Μάθετε ποσοστά. Μελέτη του θέματος «Ποσοστό» σε ένα σύγχρονο σχολείο. Ποσοστά στα μαθηματικά. Ποσοστιαία προβλήματα

Ποσοστά στα μαθηματικά. Προβλήματα που αφορούν ποσοστά.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Ποσοστά στα μαθηματικά.

Τι συνέβη ποσοστά στα μαθηματικά? Πώς να αποφασίσετε τοις εκατό προβλήματα? Αυτές οι ερωτήσεις αναδύονται, αλίμονο, ξαφνικά... Όταν ένας απόφοιτος διαβάζει την εργασία της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Και τον έβαλαν σε αδιέξοδο. Αλλά μάταια. Αυτές είναι πολύ απλές έννοιες.

Το μόνο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι τι είναι ένα τοις εκατό . Αυτή η έννοια είναι πασπαρτούστην επίλυση προβλημάτων που αφορούν ποσοστά και στην εργασία με ποσοστά γενικά.

Το ένα τοις εκατό είναι το ένα εκατοστό ενός αριθμού . Αυτό είναι όλο. Δεν υπάρχει πια σοφία.

Μια λογική ερώτηση - τι γίνεται με το εκατοστό μέρος; ποια ημερομηνία ? Αλλά ο αριθμός που συζητείται στην εργασία. Αν μιλάμε για τιμή, το ένα τοις εκατό είναι το ένα εκατοστό της τιμής. Αν μιλάμε για ταχύτητα, το ένα τοις εκατό είναι το ένα εκατοστό της ταχύτητας. Και ούτω καθεξής. Είναι σαφές ότι ο ίδιος ο αριθμός είναι πάντα 100%. Και αν δεν υπάρχει ο ίδιος αριθμός, τότε τα ποσοστά δεν έχουν νόημα...

Ένα άλλο πράγμα είναι ότι σε σύνθετες εργασίεςΩ, ο ίδιος ο αριθμός θα είναι τόσο κρυμμένος που δεν θα τον βρείτε. Αλλά δεν στοχεύουμε ακόμα στα περίπλοκα. Ας ασχοληθούμε ποσοστά στα μαθηματικά.

Δεν είναι για τίποτε που τονίζω τα λόγια ένα τοις εκατό, ένα εκατοστό. Να θυμάστε τι είναι ένα τοις εκατό, μπορείτε εύκολα να βρείτε δύο τοις εκατό, και τριάντα τέσσερα, και δεκαεπτά και εκατόν είκοσι έξι! Θα βρείτε όσα χρειάζεστε.

Και αυτή, παρεμπιπτόντως, είναι η κύρια δεξιότητα για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν ποσοστά.

Να προσπαθήσουμε;

Ας βρούμε το 3% των 400. Πρώτα ας βρούμε ένα τοις εκατό. Αυτό θα είναι ένα εκατοστό, δηλ. 400/100 = 4. Το ένα τοις εκατό είναι 4. Πόσο τοις εκατό χρειαζόμαστε; Τρία. Πολλαπλασιάζουμε λοιπόν το 4 επί τρία. Παίρνουμε 12. Αυτό είναι. Το 3 τοις εκατό των 400 είναι 12.

Το 5% του 20 είναι το 20 διαιρούμενο με το 100 (το ένα εκατοστό είναι 1%) και πολλαπλασιάζεται επί πέντε (5%):

Το 5% των 20 θα είναι 1. Αυτό είναι.

Δεν θα μπορούσε να είναι πιο απλό. Ας εξασκηθούμε γρήγορα πριν ξεχαστούμε!

Βρείτε πόσο θα είναι:
5% από 200 ρούβλια.
8% των 350 χιλιομέτρων.
120% από 10 λίτρα.
15% των 60 μοιρών.
4% αριστούχων σε 25 μαθητές.
Το 10% των φτωχών μαθητών στα 20 άτομα.

Απαντήσεις (σε πλήρη διαταραχή): 9, 10, 2, 1, 28, 12.

Αυτοί οι αριθμοί είναι ο αριθμός των ρούβλια, πτυχία, φοιτητές κ.λπ. Δεν έγραψα πόσο από τι, για να είναι πιο ενδιαφέρον να αποφασίσω...

Τι γίνεται αν χρειαστεί να γράψουμε Χ%από κάποιο αριθμό, για παράδειγμα, από το 50; Ναι, όλα είναι ίδια. Ένα τοις εκατό των 50 - πόσο; Σωστά, 50/100 = 0,5. Και έχουμε αυτό το ποσοστό - Χ. Λοιπόν, ας πολλαπλασιάσουμε το 0,5 επί Χ! Το καταλαβαίνουμε Χ%από 50 αυτό είναι - 0,5x.

το ελπίζω ποσοστά στα μαθηματικάτο έχεις. Και μπορείτε εύκολα να βρείτε οποιοδήποτε ποσοστό οποιουδήποτε αριθμού. Είναι απλό. Τώρα μπορείτε να χειριστείτε περίπου το 60% όλων των ποσοστιαίων προβλημάτων! Ήδη πάνω από το μισό. Λοιπόν, ας τελειώσουμε τα υπόλοιπα; Εντάξει, ό,τι πεις!

Σε προβλήματα που αφορούν ποσοστά, συμβαίνει συχνά η αντίθετη κατάσταση. Μας δίνουν ποσότητες (κάθε είδους), αλλά πρέπει να βρούμε ενδιαφέρον . Ας κατακτήσουμε αυτή την απλή διαδικασία.

3 άτομα στα 120 – τι ποσοστό; Δεν ξέρω? Λοιπόν, ας είναι Χτοις εκατό.

Ας υπολογίσουμε Χ%από 120 άτομα. Σε ανθρώπους. Αυτό μπορούμε να κάνουμε. Διαιρέστε το 120 με το 100 (υπολογίστε το 1%) και πολλαπλασιάστε με Χ(υπολογίζουμε Χ%). Παίρνουμε 1.2 Χ.

Ας καταλάβουμε το αποτέλεσμα.

Χ τοις εκατό από 120 άτομα, αυτό είναι 1,2 Χ Ο άνθρωπος . Και έχουμε τρεις τέτοιους ανθρώπους. Μένει να εξισώσουμε:

Θυμόμαστε ότι για το Χ πήραμε τον αριθμό των ποσοστών. Αυτό σημαίνει ότι 3 άτομα στα 120 άτομα είναι 2,5%.

Αυτό είναι όλο.

Μπορεί να γίνει διαφορετικά. Μπορείτε να το κάνετε με απλή ευρηματικότητα, χωρίς εξισώσεις. Ας σκεφτούμε , πόσες φορές 3 άτομα κάτω από 120; Διαιρέστε το 120 με το 3 και λάβετε 40. Αυτό σημαίνει ότι το 3 είναι 40 φορές μικρότερο από το 120.

Ο απαιτούμενος αριθμός ατόμων σε ποσοστό θα είναι τις ίδιες φορές λιγότερο από 100%. Άλλωστε 120 άτομα είναι 100%. Διαιρέστε το 100 με το 40, 100/40 = 2,5

Αυτό είναι όλο. Πήραμε 2,5%.

Υπάρχει επίσης μια μέθοδος αναλογιών, αλλά αυτό είναι ουσιαστικά το ίδιο πράγμα σε μια συντομευμένη έκδοση. Όλες αυτές οι μέθοδοι είναι σωστές. Ό,τι σας είναι πιο βολικό, οικείο και κατανοητό – σκεφτείτε το έτσι.

Προπονούμαστε ξανά.

Υπολογίστε το ποσοστό:
3 άτομα στα 12.
10 ρούβλια από 800.
4 σχολικά βιβλία από 160 βιβλία.
24 σωστές απαντήσεις σε 32 ερωτήσεις.
2 εικασμένες απαντήσεις σε 32 ερωτήσεις.
9 χτυπήματα στις 10 βολές.

Απαντήσεις (κατά σειρά): 75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.

Κατά τη διαδικασία των υπολογισμών, μπορεί κάλλιστα να συναντήσετε κλάσματα. Συμπεριλαμβανομένων των άβολων, όπως το 1.333333... Ποιος σας είπε να χρησιμοποιήσετε αριθμομηχανή; Ο ίδιος? Δεν χρειάζεται. μετρώ χωρίς αριθμομηχανή , όπως γράφτηκε στο θέμα «Κλάσματα». Υπάρχουν όλα τα ποσοστά...

Έτσι έχουμε κατακτήσει τη μετάβαση από τις ποσότητες στα ποσοστά και πίσω. Μπορείτε να αναλάβετε καθήκοντα.

Προβλήματα που αφορούν ποσοστά.

ΣΕ Εργασίες Ενιαίας Κρατικής Εξέτασηςεπί τόκων είναι πολύ δημοφιλή. Από το πιο απλό μέχρι το πιο σύνθετο. Σε αυτή την ενότητα εργαζόμαστε με απλές εργασίες. ΣΕ απλές εργασίες, κατά κανόνα, πρέπει να μετακινηθείτε από τα ποσοστά στις ποσότητες που συζητούνται στο πρόβλημα. Σε ρούβλια, κιλά, δευτερόλεπτα, μέτρα και ούτω καθεξής. Ή αντιστρόφως. Ξέρουμε ήδη πώς να το κάνουμε αυτό. Μετά από αυτό, το πρόβλημα γίνεται σαφές και εύκολο να λυθεί. Δεν με πιστεύεις; Δες το και μονος σου.
Ας έχουμε ένα τέτοιο πρόβλημα.

«Μια διαδρομή με το λεωφορείο κοστίζει 14 ρούβλια. Σε μέρες σχολικές διακοπέςΈχει θεσπιστεί έκπτωση 25% για φοιτητές. Πόσο κοστίζει η μετακίνηση με λεωφορείο κατά τη διάρκεια των σχολικών διακοπών;

Πώς να αποφασίσετε; Αν μάθουμε πόσο 25% σε ρούβλια- τότε δεν υπάρχει τίποτα να αποφασίσετε. Ας αφαιρέσουμε την έκπτωση από την αρχική τιμή - και αυτό είναι!

Αλλά ξέρουμε ήδη πώς να το αναγνωρίσουμε αυτό! Πόσο θα ένα τοις εκατό από 14 ρούβλια; Ένα εκατοστό μέρος. Δηλαδή, 14/100 = 0,14 ρούβλια. Και έχουμε 25 τέτοια ποσοστά. Ας πολλαπλασιάσουμε λοιπόν τα 0,14 ρούβλια επί 25. Παίρνουμε 3,5 ρούβλια. Αυτό είναι όλο. Έχουμε καθορίσει το ποσό της έκπτωσης σε ρούβλια, το μόνο που μένει είναι να μάθουμε τον νέο ναύλο:

14 – 3,5 = 10,5.

Δέκα και μισό ρούβλια. Αυτή είναι η απάντηση.

Μόλις περάσαμε από τους τόκους στα ρούβλια, όλα έγιναν απλά και ξεκάθαρα. Αυτή είναι μια γενική προσέγγιση για την επίλυση ποσοστιαίων προβλημάτων.

Είναι σαφές ότι δεν είναι όλες οι εργασίες εξίσου στοιχειώδεις. Υπάρχουν πιο περίπλοκα. Απλά σκέψου! Θα τα λύσουμε και τώρα. Η δυσκολία είναι ότι είναι το αντίστροφο. Μας δίνονται κάποιες ποσότητες, αλλά πρέπει να βρούμε τα ποσοστά. Για παράδειγμα, αυτή η εργασία:

«Προηγουμένως, η Βάσια έλυσε σωστά δύο προβλήματα από τα είκοσι. Αφού μελέτησε το θέμα σε έναν χρήσιμο ιστότοπο, ο Βάσια άρχισε να λύνει σωστά 16 από τα 20 προβλήματα. Σε ποιο ποσοστό ο Βάσια έγινε σοφότερος; Θεωρούμε 20 λυμένα προβλήματα 100% έξυπνα».

Εφόσον η ερώτηση αφορά ποσοστά (και όχι ρούβλια, κιλά, δευτερόλεπτα κ.λπ.), τότε περνάμε στα ποσοστά. Ας μάθουμε τι ποσοστό έλυσε η Βάσια πριν κατανόηση, τι ποσοστό μετά – και είναι στην τσάντα!

Μετράμε. Δύο προβλήματα από τα 20 – τι ποσοστό; Το 2 είναι 10 φορές μικρότερο από το 20, σωστά; Αυτό σημαίνει τον αριθμό των προβλημάτων σε ποσοστάθα είναι 10 φορές μικρότερο από το 100%. Δηλαδή 100/10 = 10.

10%. Ναι, η Βάσια αποφάσισε λίγο... Δεν υπάρχει τίποτα να κάνεις στην Ενιαία Κρατική Εξέταση. Αλλά τώρα έγινε σοφότερος και λύνει 16 προβλήματα από τα 20. Ας υπολογίσουμε τι ποσοστό θα είναι αυτό; Πόσες φορές το 16 είναι μικρότερο από το 20; Δεν μπορείς να το πεις αυθόρμητα... Θα πρέπει να το χωρίσεις.

5/4 φορές. Λοιπόν, τώρα διαιρούμε το 100 με το 5/4:

Εδώ. Το 80% είναι ήδη συμπαγές. Και το πιο σημαντικό - ο ουρανός είναι το όριο!

Αλλά αυτή δεν είναι η απάντηση ακόμα! Ξαναδιαβάσαμε το πρόβλημα για να μην κάνουμε λάθος. Ναι, μας ρωτάνε για ποσο καιρο Έχει γίνει η Βάσια κατά ένα τοις εκατό σοφότερη; Λοιπόν, είναι απλό. 80% - 10% = 70%. Κατά 70%.

Το 70% είναι η σωστή απάντηση.

Όπως μπορείτε να δείτε, σε απλά προβλήματα αρκεί να μετατρέψετε δεδομένες τιμές σε ποσοστά ή δεδομένα ποσοστά σε τιμές και όλα γίνονται πιο ξεκάθαρα. Είναι σαφές ότι το πρόβλημα μπορεί κάλλιστα να περιέχει επιπλέον καμπάνες και σφυρίχτρες. Τα οποία, συχνά, δεν έχουν καμία απολύτως σχέση με ποσοστά. Εδώ, το κύριο πράγμα είναι να διαβάσετε προσεκτικά την κατάσταση και, βήμα προς βήμα, αργά, να ξεδιπλώσετε το πρόβλημα. Θα μιλήσουμε για αυτό στο επόμενο θέμα.

Υπάρχει όμως μια σοβαρή ενέδρα στα προβλήματα που αφορούν ποσοστά! Πολλοί πέφτουν μέσα, ναι... Αυτή η ενέδρα φαίνεται αρκετά αθώα. Για παράδειγμα, εδώ υπάρχει ένα πρόβλημα.

«Ένα όμορφο σημειωματάριο κόστιζε 40 ρούβλια το καλοκαίρι. Πριν την αρχή σχολική χρονιά, ο πωλητής αύξησε την τιμή κατά 25%. Ωστόσο, τα σημειωματάρια άρχισαν να πωλούν τόσο άσχημα που μείωσε την τιμή κατά 10%. Ακόμα δεν το παίρνουν! Έπρεπε να μειώσει την τιμή κατά 15%. Εδώ ξεκίνησε το εμπόριο! Ποια ήταν η τελική τιμή του notebook;»

Λοιπόν, πώς; Στοιχειώδης?

Εάν απαντήσατε γρήγορα και χαρούμενα "40 ρούβλια!", τότε σας έκαναν ενέδρα...

Το κόλπο είναι ότι οι τόκοι υπολογίζονται πάντα από κάτι .

Οπότε μετράμε. Πόσο καιρό ρούβλιαφούσκωσε την τιμή ο πωλητής; 25% από 40 ρούβλια - είναι 10 ρούβλια. Δηλαδή, το σημειωματάριο, που έχει γίνει πιο ακριβό, κοστίζει τώρα 50 ρούβλια. Αυτό είναι κατανοητό, σωστά;

Και τώρα πρέπει να μειώσουμε την τιμή κατά 10% από 50 ρούβλια. Από 50, όχι 40! Το 10% των 50 ρούβλια είναι 5 ρούβλια. Κατά συνέπεια, μετά την πρώτη μείωση της τιμής, το σημειωματάριο άρχισε να κοστίζει 45 ρούβλια.

Θεωρούμε τη δεύτερη μείωση της τιμής. 15% από 45 ρούβλια ( από 45, όχι 40, ή 50! ) είναι 6,75 ρούβλια. Επομένως, η τελική τιμή του notebook είναι:

45 – 6,75 = 38,25 ρούβλια.

Όπως μπορείτε να δείτε, το αλιευτικό είναι ότι οι τόκοι υπολογίζονται κάθε φορά από τη νέα τιμή. Από το τελευταίο. Αυτό συμβαίνει σχεδόν πάντα. Εάν στο πρόβλημα της διαδοχικής αύξησης-μείωσης μιας τιμής δεν αναφέρεται σε απλό κείμενο, από τι Για να μετρήσετε τα ποσοστά, πρέπει να τα μετρήσετε από την τελευταία τιμή. Και αυτό είναι αλήθεια. Πώς ξέρει ο πωλητής πόσες φορές έχει ανεβάσει και κατέβει η τιμή αυτού του σημειωματάριου πριν από αυτόν και πόσο κόστισε στην αρχή...

Παρεμπιπτόντως, τώρα ίσως σκέφτεστε, γιατί γράφεται η τελευταία φράση στο πρόβλημα για την έξυπνη Βάσια; Αυτό: " Θεωρούμε 20 λυμένα προβλήματα 100% έξυπνα;Φαίνεται ότι όλα είναι ξεκάθαρα... Εεε... Πώς να το πω. Εάν αυτή η φράση δεν υπάρχει, ο Βάσια μπορεί κάλλιστα να μετρήσει τις αρχικές του επιτυχίες ως 100%. Δηλαδή δύο λυμένα προβλήματα. Και 16 εργασίες είναι οκτώ φορές περισσότερες. Εκείνοι. 800%! Ο Βάσια θα μπορεί να μιλήσει δικαιολογημένα για τη δική του σοφία έως και 700%!

Μπορείτε επίσης να αναλάβετε 16 εργασίες για 100%. Και λάβετε μια νέα απάντηση. Επίσης σωστό...

Εξ ου και το συμπέρασμα: Το πιο σημαντικό σε προβλήματα που αφορούν ποσοστά είναι να καθοριστεί με σαφήνεια από ποιο ποσοστό θα πρέπει να υπολογιστεί το ένα ή το άλλο ποσοστό.

Παρεμπιπτόντως, αυτό είναι απαραίτητο και στη ζωή. Όπου χρησιμοποιούνται ποσοστά. Σε καταστήματα, τράπεζες, σε κάθε είδους προσφορές. Διαφορετικά περιμένεις έκπτωση 70%, αλλά παίρνεις 7%. Και όχι εκπτώσεις, αλλά αυξήσεις στις τιμές... Και όλα είναι δίκαια, δεν υπολόγισα σωστά τον εαυτό μου.

Λοιπόν, καταλάβατε την ιδέα των ποσοστών στα μαθηματικά. Ας σημειώσουμε το πιο σημαντικό.

Πρακτικές συμβουλές:

1. Σε προβλήματα που αφορούν ποσοστά, περνάμε από τα ποσοστά σε συγκεκριμένες ποσότητες. Ή, εάν είναι απαραίτητο, από συγκεκριμένες τιμές σε ποσοστά. Διαβάστε προσεκτικά την εργασία!

2. Μελετάμε πολύ προσεκτικά, από τι πρέπει να υπολογιστούν οι τόκοι. Αν αυτό δεν δηλώνεται ευθέως, αναγκαστικά υπονοείται. Όταν αλλάζετε μια τιμή διαδοχικά, τα ποσοστά λαμβάνονται υπόψη από την τελευταία τιμή. Διαβάστε προσεκτικά την εργασία!

3. Αφού ολοκληρώσετε την επίλυση του προβλήματος, διαβάστε το ξανά. Είναι πολύ πιθανό να έχετε βρει μια ενδιάμεση απάντηση, όχι μια τελική. Διαβάστε προσεκτικά την εργασία!

Λύστε πολλά προβλήματα που αφορούν ποσοστά. Να εδραιωθεί, ας πούμε. Σε αυτούς τους γρίφους προσπάθησα να συγκεντρώσω όλες τις βασικές δυσκολίες που περιμένουν τους λύτες. Εκείνες τις γκανιότα που τις πατάνε πιο συχνά. Εδώ είναι:

1. Στοιχειώδης λογική στην ανάλυση απλών προβλημάτων.

2. Σωστή επιλογήτο ποσό από το οποίο πρέπει να υπολογιστούν τα ποσοστά. Πόσοι άνθρωποι έχουν σκοντάψει σε αυτό! Υπάρχει όμως ένας πολύ απλός κανόνας...

3. Τόκοι επί τόκων. Είναι μικρό πράγμα, αλλά είναι πραγματικά ενοχλητικό...

4. Και άλλο ένα πιρούνι. Σχέση ποσοστών και κλασμάτων και μερών. Μεταφράζοντάς τα μεταξύ τους.

«Στην Ολυμπιάδα των μαθηματικών συμμετείχαν 50 άτομα. Το 68% των μαθητών έλυσε λίγα προβλήματα. Το 75% των υπολοίπων έλυσαν μέτρια προβλήματα και τα υπόλοιπα έλυσαν πολλά προβλήματα. Πόσοι άνθρωποι έχουν λύσει πολλά προβλήματα;

Ενδειξη. Εάν έχετε κλασματικούς μαθητές, αυτό είναι λάθος. Διαβάστε προσεκτικά το πρόβλημα, υπάρχει μια σημαντική λέξη εκεί... Ένα άλλο πρόβλημα:

«Η Vasya (ναι, η ίδια!) λατρεύει πολύ τους λουκουμάδες με μαρμελάδα. Τα οποία ψήνονται σε φούρνο, μια στάση από το σπίτι. Τα ντόνατς κοστίζουν 15 ρούβλια το τεμάχιο. Έχοντας διαθέσιμα 43 ρούβλια, η Βάσια πήγε στο αρτοποιείο με λεωφορείο για 13 ρούβλια. Και στο αρτοποιείο υπήρχε μια προσφορά "Έκπτωση σε όλα - 30%!!!". Ερώτηση: πόσα επιπλέον ντόνατς δεν μπόρεσε να αγοράσει ο Βάσια λόγω της τεμπελιάς του (θα μπορούσε να είχε πάει μια βόλτα, σωστά;)»

Σύντομα προβλήματα.

Τι τοις εκατό είναι 4 λιγότερο από 5;

Τι ποσοστό είναι το 5 μεγαλύτερο από το 4;

Μακρύ έργο...

Ο Κόλια βρήκε μια απλή δουλειά που περιελάμβανε τον υπολογισμό των τόκων. Κατά τη διάρκεια της συνέντευξης, το αφεντικό με ένα πονηρό χαμόγελο πρόσφερε στον Κόλια δύο επιλογές για αμοιβή. Σύμφωνα με την πρώτη επιλογή, στον Kolya εκχωρήθηκε αμέσως ένα επιτόκιο 15.000 ρούβλια το μήνα. Σύμφωνα με τον δεύτερο Κόλια, αν συμφωνήσει, τους 2 πρώτους μήνες θα πληρώσει μισθό μειωμένο κατά 50%. Κάτι σαν αρχάριος. Μετά όμως θα του αυξήσουν τον μειωμένο μισθό έως και 80%!

Ο Κόλια επισκέφτηκε έναν χρήσιμο ιστότοπο στο Διαδίκτυο... Επομένως, αφού σκέφτηκε για έξι δευτερόλεπτα, διάλεξε την πρώτη επιλογή με ένα ελαφρύ χαμόγελο. Το αφεντικό χαμογέλασε και όρισε στον Κόλια μόνιμο μισθό 17.000 ρούβλια.

Ερώτηση: Πόσα χρήματα ετησίως (σε χιλιάδες ρούβλια) κέρδισε ο Κόλια σε αυτή τη συνέντευξη; Σε σύγκριση με τη χειρότερη επιλογή; Και κάτι ακόμα: γιατί χαμογελούσαν όλη την ώρα!;)

Άλλο ένα σύντομο πρόβλημα.

Βρείτε το 20% του 50%.

Και πάλι πολύ.)

Το γρήγορο τρένο Νο 205 "Krasnoyarsk - Anapa" έκανε στάση στο σταθμό "Syzran-Gorod". Ο Βασίλι και ο Κύριλλος πήγαν στο κατάστημα του σταθμού για να πάρουν παγωτό για τη Λένα και ένα χάμπουργκερ για τον εαυτό τους. Όταν αγόρασαν όλα όσα χρειάζονταν, η καθαρίστρια του καταστήματος είπε ότι το τρένο τους είχε ήδη φύγει... Ο Βασίλι και ο Κύριλλος έτρεξαν γρήγορα και κατάφεραν να πηδήξουν στην άμαξα. Ερώτηση: θα είχε ο παγκόσμιος πρωταθλητής δρομέας χρόνο να πηδήξει στην άμαξα υπό αυτές τις συνθήκες;
Πιστεύουμε ότι υπό κανονικές συνθήκες ο παγκόσμιος πρωταθλητής τρέχει 30% πιο γρήγορα από τον Vasily και τον Kirill. Ωστόσο, η επιθυμία να προλάβουν την άμαξα (ήταν η τελευταία), να κεράσουν τη Λένα παγωτό και να φάνε ένα χάμπουργκερ, αύξησε την ταχύτητά τους κατά 20%. Και παγωτό με χάμπουργκερ στα χέρια ενός πρωταθλητή και σαγιονάρες στα πόδια θα μείωνε την ταχύτητά του κατά 10%...

Αλλά εδώ υπάρχει ένα πρόβλημα χωρίς ποσοστά... Αναρωτιέμαι γιατί είναι εδώ;)

Προσδιορίστε πόσο ζυγίζει τα 3/4 ενός μήλου αν ολόκληρο το μήλο ζυγίζει 200 ​​γραμμάρια;

Και το τελευταίο.

Στο γρήγορο τρένο Νο 205 «Krasnoyarsk - Anapa», συνταξιδιώτες έλυναν ένα σταυρόλεξο. Η Λένα μάντεψε τα 2/5 όλων των λέξεων και ο Βασίλι μάντευε το ένα τρίτο από τις υπόλοιπες. Στη συνέχεια συμμετείχε ο Kirill και έλυσε το 30% ολόκληρου του σταυρόλεξου! Ο Seryozha μάντεψε τις τελευταίες 5 λέξεις. Πόσες λέξεις υπήρχαν στο scanword; Είναι αλήθεια ότι η Λένα μάντεψε τις περισσότερες λέξεις;

Οι απαντήσεις είναι στην παραδοσιακή διαταραχή και χωρίς ονόματα μονάδων. Πού είναι τα ντόνατς, πού είναι οι μαθητές, πού είναι τα ρούβλια με τόκο - αυτός είσαι…

10; 50; Ναί; 4; 20; Οχι; 54; 2; 25; 150.

Πώς είναι λοιπόν; Εάν όλα συνδυάζονται - συγχαρητήρια! Το ενδιαφέρον δεν είναι δικό σου πρόβλημα. Μπορείτε να πάτε με ασφάλεια στη δουλειά σε μια τράπεζα.)

Υπάρχει κάτι λάθος; Δεν δουλεύει? Δεν ξέρετε πώς να υπολογίσετε γρήγορα τα ποσοστά ενός αριθμού; Δεν γνωρίζετε πολύ απλούς και σαφείς κανόνες; Από τι να υπολογίσω τους τόκους, για παράδειγμα; Ή, πώς να μετατρέψετε τα κλάσματα σε ποσοστά;

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Τα χρήματα έχουν εδραιωθεί τόσο σταθερά στη ζωή μας που όλοι μας, ανεξαρτήτως ηλικίας, φύλου και τρόπου απόκτησης εισοδήματος, βρισκόμαστε από καιρό σε καιρό σε καταστάσεις όπου αναγκαζόμαστε να πάρουμε αποφάσεις που απαιτούν οικονομικούς υπολογισμούς. Και μετά εξαρτάται από την ικανότητά μας να λειτουργούμε με συγκεκριμένες οικονομικές κατηγορίες πόσο κερδοφόρα θα είναι η επιλογή που θα επιλέξουμε. Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε τις κύριες κατηγορίες των χρηματοοικονομικών μαθηματικών και θα δείξουμε πώς να τις χρησιμοποιήσετε για να λάβετε τις σωστές αποφάσεις σε μια μεγάλη ποικιλία καταστάσεων.

Ενδιαφέρον. Ανατοκισμός. Κεφαλαιοποίηση τόκων (Comcomounding)

Τόκοι είναι το εισόδημα που λαμβάνεται ως πληρωμή για δανεισμό χρημάτων σε οποιαδήποτε μορφή. Τα ποσοστά μπορούν να εκφραστούν σε απόλυτη ή σχετική μορφή. Η απόλυτη μορφή είναι ένα συγκεκριμένο ποσό για μια ορισμένη περίοδο. Σχετικό - με τη μορφή ενός επιτοκίου που συνδέεται με μια καθορισμένη περίοδο (έτος, μήνας ή ημέρα). Για να υπολογίσετε το συσσωρευμένο ποσό (S), με το οποίο εννοούμε το αρχικό ποσό συν τους συσσωρευμένους τόκους, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο:

(1) S = P * (1 + i * n),
όπου P είναι το ποσό επί του οποίου υπολογίζονται οι τόκοι, i είναι το επιτόκιο, N είναι ο αριθμός των περιόδων δεδουλευμένης χρήσης.

Παράδειγμα
Παρείχατε δάνειο σε έναν φίλο του ποσού των 10.000 $ για 3 μήνες, υπό τους όρους του οποίου υπόσχεται να σας πληρώσει 2% το μήνα. Πρέπει να υπολογίσετε το ποσό που θα λάβετε στο τέλος της περιόδου του δανείου. Παίρνουμε 10.000 * (1 + 2% * 3) = 10.600 $.

Συχνά μπορεί να συναντήσετε μια κατάσταση όπου οι τόκοι δεν καταβάλλονται, αλλά προστίθενται στο επενδυμένο ποσό και από τη νέα περίοδο η δεδουλευμένη βάση γίνεται στο ποσό λαμβάνοντας υπόψη τους προηγουμένως προστιθέμενους τόκους. Τέτοιοι τόκοι καλούνται σύνθετοι τόκοι και η διαδικασία υπολογισμού των τόκων επί τόκων ονομάζεται κεφαλαιοποίηση τόκων. Στην περίπτωση ανατοκισμού, το δεδουλευμένο ποσό υπολογίζεται διαφορετικά:

(2) S = P * (1 + i) ^ n,
όπου η σημασία των γραμμάτων είναι η ίδια όπως στον παραπάνω τύπο και το πρόσημο "^" σημαίνει εκθετικότητα.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ σύνθετου και απλού τόκου; Εάν ο απλός τόκος αυξάνεται γραμμικά (κατά το ίδιο ποσό κάθε περίοδο), τότε ο σύνθετος τόκος αυξάνεται εκθετικά (κάθε επόμενη περίοδο το ποσό του τόκου είναι μεγαλύτερο από την προηγούμενη). Χάρη σε αυτό το αποτέλεσμα, το ποσό που τοποθετείται σε ανατοκισμό για μεγάλο χρονικό διάστημα είναι πολλές φορές μεγαλύτερο από την αύξηση του ποσού που τοποθετείται με απλό τόκο. Ακολουθούν τα αποτελέσματα της αύξησης των καταθέσεων (6% ετησίως) με απλό και σύνθετο επιτόκιο. Εάν στην αρχή η διαφορά παραμένει μικρή, τότε αργότερα φτάνει κανείς σε μια κρίσιμη τιμή. Έτσι, το έτος 80, μια κατάθεση με απλό τόκο θα φτάσει τα $58.000, ενώ μια κατάθεση με σύνθετους τόκους θα φτάσει τα $1.057.960.

Στην πράξη, υπάρχει συχνά μια πρακτική κατά την οποία η περίοδος υπολογισμού των τόκων διαφέρει από έναν ακέραιο αριθμό. Σε μια τέτοια περίπτωση, ο τύπος για τον υπολογισμό του δεδουλευμένου ποσού με απλούς τόκους έχει τη μορφή:

(3) S = P * (1 + i * d / 365),
όπου d είναι η περίοδος τόκου εκφρασμένη σε ημέρες.

Υπάρχουν επίσης περιπτώσεις όπου το επιτόκιο εκφράζεται σε ετήσιους όρους, αλλά ο τόκος υπολογίζεται μηνιαίως. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ο τύπος για τον υπολογισμό του δεδουλευμένου ποσού (κατά κανόνα, χρησιμοποιείται σύνθετος τόκος σε αυτήν την περίπτωση) θα μοιάζει με:

(4) S = P * (1 + i/m) ^ (n*m),
όπου m είναι ο αριθμός των περιόδων υπολογισμού τόκων εντός της περιόδου (συνήθως χρησιμοποιείται 12 ανάλογα με τον αριθμό των μηνών του έτους).

Και τέλος, ας σημειώσουμε ότι, ανεξάρτητα από το είδος των τόκων, όλοι οι τύποι για τον υπολογισμό του δεδουλευμένου ποσού μπορούν να μειωθούν σε μια γενική μορφή:

(5) S = P * k,
όπου k είναι ο συντελεστής συσσώρευσης, ο οποίος υπολογίζεται με διάφορους τρόπους ανάλογα με το είδος του τόκου που χρησιμοποιείται. Αυτό το συμπέρασμα θα διευκολύνει πολύ την κατανόησή μας για τις επόμενες μαθηματικές πράξεις.

Η έκπτωση και η ουσία της

Η έννοια του τόκου που συζητήσαμε παραπάνω αντανακλά τη διαχρονική αξία του χρήματος. Με άλλα λόγια, λόγω του γεγονότος ότι τα χρήματα που διαθέτουμε σήμερα μπορούν να μας αποφέρουν εισόδημα αύριο ως αποτέλεσμα της επένδυσης τους με ένα συγκεκριμένο επιτόκιο, οι μελλοντικές εισπράξεις μετρητών έχουν χαμηλότερη παρούσα αξία. Αυτή η αρχή είναι η βάση μιας μαθηματικής πράξης που ονομάζεται προεξόφληση. Η προεξόφληση σημαίνει τη μεταφορά των μελλοντικών πληρωμών στην τρέχουσα αξία και, κατά την έννοια της, είναι η αντίστροφη λειτουργία του αυξανόμενου τόκου. Δηλαδή, η προεξόφληση θεωρεί τις μελλοντικές πληρωμές ως δεδουλευμένο ποσό (S) και καθήκον του επενδυτή είναι να υπολογίσει την τρέχουσα αξία τους (P) με βάση το επιτόκιο που έχει στη διάθεσή του (i). Ανάλογα με το είδος του ενδιαφέροντος, ο τύπος έκπτωσης θα είναι ο εξής: ή

(6) Ρ = S/(1+i*n)

(7) Ρ = S/(1+i)^ n

Ο σκοπός της έκπτωσης είναι να μας δείξει πόσο αξίζουν τα χρήματα που θα λάβουμε στο μέλλον σήμερα, ώστε να μην πληρώσουμε υπερβολικά για μελλοντικές πληρωμές όσον αφορά την εναλλακτική επένδυση που έχουμε στη διάθεσή μας. Ας δούμε διάφορες κοινές πράξεις στις οποίες χρησιμοποιείται η έκπτωση.

Αγορά μιας ροής μελλοντικών πληρωμών (λογιστικές συναλλαγές)
Ένα ομόλογο ονομαστικής αξίας $1.000 με επιτόκιο 6% ετησίως προσφέρεται για αγορά, με πληρωμές τόκων ανά τρίμηνο και εξαγορά στο τέλος του έτους. Το καθήκον είναι να υπολογιστεί η τρέχουσα αξία της υποχρέωσης με βάση το προεξοφλητικό επιτόκιο 15% τον χρόνο.

Λύση
Ας υπολογίσουμε τα τριμηνιαία έσοδα από τόκους και ας χτίσουμεσε ένα πρόγραμμαΠροέχω πίνακας ταμειακών ροών. Ας βρούμε την τρέχουσα τιμή χρησιμοποιώντας τον ενσωματωμένο τύπο NPV. Έτσι, με προεξοφλητικό επιτόκιο 15% ετησίως, η τρέχουσα αξία αυτής της οικονομικής υποχρέωσης είναι 916,22 $

Σημείωση

2) Στον τύπο NPV, αντί για το επιτόκιο, βάζουμε το ετήσιο ποσοστό διαιρούμενο με το 12

Οικονομική ισοδυναμία
Τα μέρη συμφωνούν για τους όρους πληρωμής για χώρους γραφείων. Η τιμή του χώρου είναι 24.000 $. Ο πωλητής συμφωνεί με την πληρωμή δόσεων με τους ακόλουθους όρους: 8.000$ αμέσως, τα υπόλοιπα σε ίσα μέρηεντός 4 μηνών. Ωστόσο, είναι έτοιμος να εξετάσει το ενδεχόμενο μεγαλύτερης περιόδου δόσεων εάν ο πωλητής του προσφέρει μεγαλύτερο ποσό για τις εγκαταστάσεις που πωλούνται.

Λύση
Ας αντικατοπτρίσουμε τους αρχικούς όρους του προγράμματος δόσεων με τη μορφή πίνακα στο Excel. Ας μοντελοποιήσουμε στον ίδιο πίνακα μια προσφορά με αυξανόμενες μηνιαίες πληρωμές, με αποτέλεσμα η τιμή του χώρου να αυξηθεί στα 24.400 $. Ας υπολογίσουμε την τρέχουσα αξία κάθε επιλογής για να συγκρίνουμε την ισοδυναμία τους με βάση ένα επιτόκιο 10% ετησίως. Ο υπολογισμός δείχνει ότι η δεύτερη επιλογή, ακόμη και με υψηλότερη τιμή αγοράς, είναι πιο κερδοφόρα για τον αγοραστή από την πρώτη

Ενοποίηση πληρωμών
Η ενοποίηση πληρωμών είναι η λειτουργία του συνδυασμού πολλών υποχρεώσεων πληρωμής σε μία πληρωμή (S0) μέσα σε μια ορισμένη χρονική περίοδο (T0). Η ιδιαιτερότητα αυτής της πράξης είναι ότι όλες οι πληρωμές που αναμένεται να εισπραχθούν πριν από αυτή την ημερομηνία υπολογίζονται με δεδουλευμένη βάση και αυτές που αναμένονται μετά από αυτήν υπολογίζονται με προεξόφληση. Ανάλογα με τον τύπο του ποσοστού που χρησιμοποιείται, ο τύπος ενοποίησης έχει ως εξής:

(8) S = ∑ Pn * (1 + i * (T0 - Tn))

(9) S = ∑ Pn* (1 + i) ^ (T0 - Ta))

Παράδειγμα
Έχετε ανοίξει μια τραπεζική κατάθεση 10.000 $ για 12 μήνες με 10% ετησίως. Πόσα χρήματα πρέπει να καταθέσετε στον λογαριασμό σας για τον μήνα 14, ώστε μετά από 3 χρόνια να έχετε 15.000 $ στον λογαριασμό σας;

Λύση
Ας φανταστούμε το πρόβλημα με τη μορφή ενοποίησης πληρωμών, όπου η υπάρχουσα συνεισφορά θα εκφράζεται ως θετικός αριθμός και το αναμενόμενο ποσό στο μέλλον θα εκφράζεται ως αρνητικός αριθμός. Λαμβάνοντας υπόψη ότι ο τόκος υπολογίζεται με το σύνθετο επιτόκιο, λαμβάνουμε τον ακόλουθο υπολογισμό: 10.000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-0) - 15.000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-36) = 11.232 - 12.496 = -1.264 $.

Προσδιορισμός του εσωτερικού ποσοστού απόδοσης

Στις επιχειρήσεις και τις επενδύσεις, υπάρχουν συχνά καταστάσεις όπου ένας επενδυτής γνωρίζει τις μελλοντικές πληρωμές και το ποσό των επενδύσεων και χρειάζεται να υπολογίσει τον ρυθμό ανάπτυξης με τον οποίο το ποσό των μελλοντικών πληρωμών μειωμένο στην τρέχουσα αξία θα είναι αριθμητικά ίσο με το ποσό των επενδύσεων . Συντελεστής αύξησης για τον οποίο εκτελείται αυτή η συνθήκη, ονομάζεται εσωτερικός συντελεστής απόδοσης (IRR, στα Αγγλικά - IRR, εσωτερική απόδοση απόδοσης). Για τον υπολογισμό του εσωτερικού ποσοστού απόδοσης, χρησιμοποιείται η ενσωματωμένη συνάρτηση του προγράμματος Excel - IRR -.

Παράδειγμα
Ένας επενδυτής εξετάζει μια επενδυτική πρόταση, η οποία αντιπροσωπεύει μετοχική συμμετοχή στο άνοιγμα μιας πιτσαρίας (δείτε εδώ). Γνωρίζουμε: α) το ποσό της ζητούμενης επένδυσης. β) οικονομικό σχέδιο (πρόβλεψη ταμειακών ροών). γ) σχέδιο διανομής ταμειακών ροών. Η περίληψη της επενδυτικής πρότασης (βλ. πίνακα) περιέχει 6 επιλογές κερδοφορίας. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η συνολική κερδοφορία της επενδυτικής πρότασης γιασυγκρίσεις με άλλες επενδυτικές επιλογές.

Λύση
Ας φτιάξουμε έναν πίνακα στο Excel με τις ταμειακές ροές που θα λάβει ο επενδυτής σύμφωνα με το οικονομικό σχέδιο (βλ. πίνακα). Ας υπολογίσουμε το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης χρησιμοποιώντας τον ενσωματωμένο τύπο IRR, όπου υποδεικνύουμε όλες τις αξίες πληρωμής, συμπεριλαμβανομένης της αρχικής επένδυσης, ως εύρος τιμών. Το προκύπτον εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (IRR) = 38,47%. Έτσι, η συνολική αναμενόμενη απόδοση της υπό εξέταση επενδυτικής πρότασης είναι 38,47% ετησίως.

Σημείωση
1) Σε περιόδους που δεν υπάρχουν πληρωμές, ορίστε "0".
2) Για να λάβετε τον ετήσιο ρυθμό VSD, πολλαπλασιάστε την τιμή που προκύπτει επί 12.

Πρόσοδος (οικονομικό ενοίκιο)
Μια ροή πληρωμών, της οποίας όλα τα στοιχεία είναι θετικά και τα χρονικά διαστήματα μεταξύ των πληρωμών είναι τα ίδια, ονομάζεται πρόσοδος ή οικονομικό μίσθωμα. Για παράδειγμα, μια πρόσοδος είναι η σειρά λήψης τόκων για ένα ομόλογο, πληρωμών για καταναλωτικό δάνειο, τακτικών εισφορών στο πλαίσιο συσσωρευτικών ασφαλιστικών συμβάσεων και πληρωμής συντάξεων. Οι προσόδους χαρακτηρίζονται από τις ακόλουθες παραμέτρους: 1) το ποσό κάθε μεμονωμένης πληρωμής. 2) το διάστημα μεταξύ των πληρωμών. 3) διάρκεια πληρωμών (υπάρχουν αιώνιες προσόδους). 4) επιτόκιο. Λόγω της πολυπλοκότητας του τύπου υπολογισμού, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε τους ενσωματωμένους τύπους του Excel για τον υπολογισμό των διαφόρων στοιχείων της προσόδου. Ας δούμε τα κυριότερα.

Κατά τον υπολογισμό του δανείου, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι τύποι: PLT (υπολογίζει το ποσό της μηνιαίας πληρωμής), OSPLT (υπολογίζει το ποσό αποπληρωμής του κύριου χρέους ως μέρος μιας συγκεκριμένης μηνιαίας πληρωμής), PRPLT (υπολογίζει το ποσό των τόκων ως μέρος μιας συγκεκριμένης μηνιαίας πληρωμής).

Παράδειγμα
Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τη μηνιαία πληρωμή και να συντάξετε ένα πρόγραμμα πληρωμής για το δάνειο, το ποσό είναι 10.000 $, το επιτόκιο είναι 20%, η διάρκεια είναι 20 μήνες.

Λύση
Για τον υπολογισμό της πληρωμής χρησιμοποιούμε τον τύπο PMT. Στη θέση του επιτοκίου αντικαθιστούμε τη μηνιαία αξία (ετήσια αξία διαιρούμενη με 12), ως παρούσα αξία υποδεικνύουμε το ποσό του δανείου, τη μελλοντική αξία - υποδεικνύουμε 0. Χρησιμοποιούμε τις ίδιες τιμές για τους τύπους OSPLT και PRPLT , στην οποία μόνο το σειριακός αριθμόςπερίοδος. Παρουσιάζουμε τις λαμβανόμενες τιμές με τη μορφή πίνακα:

Ο ίδιος τύπος PMT μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των μηνιαίων εισφορών για τη συσσώρευση του ποσού δεδομένη στιγμήχρόνος. Για να γίνει αυτό, τοποθετούμε το ποσό της προκαταβολής στη θέση της παρούσας αξίας και το απαιτούμενο ποσό στη θέση της μελλοντικής αξίας.

Παράδειγμα
Είσαι 25 χρονών. Ανοίγετε έναν λογαριασμό ταμιευτηρίου συνταξιοδότησης με επιτόκιο 6% ετησίως και καταθέτετε 10.000 $ από τις αποταμιεύσεις σας σε αυτόν. Ας υπολογίσουμε τη μηνιαία πληρωμή που θα πρέπει να βάλετε στον λογαριασμό σας για να φτάσετε τα 100.000 $ έως την ηλικία των 45 ετών.

Λύση
Χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση PMT. Το επιτόκιο είναι 6% / 12, ο αριθμός των περιόδων είναι 20 * 12, η ​​παρούσα αξία είναι 10.000 $, η μελλοντική αξία είναι 100.000 $. Σε αυτήν την περίπτωση, ο συμπληρωμένος τύπος θα μοιάζει με αυτό =PLT(6%/12;20*12;10000;100.000).Λαμβάνουμε ένα μηνιαίο ποσό πληρωμής 288 $.

Όπως παρατηρήσατε, στα παραπάνω παραδείγματα υπολογίσαμε το ποσό της μηνιαίας πληρωμής, άλλες παράμετροι της προσόδου μας ήταν γνωστές. Το Excel μας επιτρέπει να υπολογίσουμε άλλες παραμέτρους μιας προσόδου - παρούσα αξία, μελλοντική αξία, αριθμός περιοδικών πληρωμών. Ας δούμε παραδείγματα για το πώς λειτουργούν αυτοί οι τύποι.

Παράδειγμα υπολογισμού της παρούσας αξίας
Για τα 10α γενέθλια του γιου σας, αποφασίζετε να ανοίξετε έναν λογαριασμό ταμιευτηρίου ώστε να εξοικονομήσει 10.000 $ στα 18α γενέθλιά του. Τι προκαταβολή πρέπει να κάνετε σε αυτόν τον λογαριασμό εάν οι προγραμματισμένες μηνιαίες συνεισφορές σας είναι 50 $;

Λύση
Χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση PS. Το επιτόκιο είναι 6% / 12, ο αριθμός πληρωμών είναι 8 * 12, η ​​περιοδική πληρωμή είναι 50 $, η μελλοντική αξία είναι μείον 10.000 $. Σε αυτήν την περίπτωση, ο συμπληρωμένος τύπος θα μοιάζει με αυτό =PS(6%/12;8*12;50;-10000). Η προκύπτουσα αξία προκαταβολής είναι $2390.

Σημείωση
Μια αρνητική τιμή στους τύπους PS και BS σημαίνει "θα λάβω", μια θετική τιμή σημαίνει "πληρώνω".

Ένα παράδειγμα υπολογισμού της μελλοντικής αξίας και του αριθμού πληρωμών
Δύο φίλοι αποφάσισαν να εξασφαλίσουν μια επιπλέον σύνταξη για τον εαυτό τους. Για να γίνει αυτό, καθένας από αυτούς άνοιξε έναν λογαριασμό ταμιευτηρίου με απόδοση 6% ετησίως, ο ένας έκανε μια αρχική συνεισφορά σε αυτόν με ποσό 3.000 $ και ο δεύτερος - 5.000 $. Ο πρώτος είναι 25 ετών, ο δεύτερος είναι 30, και οι δύο θέλουν να συνταξιοδοτηθούν μέχρι τα 45. Και οι δύο είναι πρόθυμοι να συνεισφέρουν 50 $ μηνιαίως. Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το ποσό των συνταξιοδοτικών αποταμιεύσεών τους και ο αριθμός των μηνών δεδουλευμένης σύνταξης από τα συσσωρευμένα κεφάλαια, εάν προγραμματίζονται πληρωμές συντάξεων ύψους 150 $.

Λύση
Αρχικά, ας υπολογίσουμε το ποσό της συνταξιοδοτικής αποταμίευσης. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε τον τύπο BS. Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός πληρωμών θα είναι ίσος με 20 * 12, στη δεύτερη - 15 * 12, η ​​παρούσα αξία στην πρώτη περίπτωση είναι 3000 $, στη δεύτερη - 5000 $, το επιτόκιο και στις δύο περιπτώσεις θα είναι ίσο έως 6% / 12 και η περιοδική πληρωμή θα είναι 50 $. Ο συναρμολογημένος τύπος στην πρώτη περίπτωση θα μοιάζει με = BS(6%/12;20*12;50;3000), στη δεύτερη = BS(6%/12;15*12;50;5000). Στην πρώτη περίπτωση, οι συνταξιοδοτικές αποταμιεύσεις θα είναι 33.032 $, στη δεύτερη - 26.811 $. Τώρα ας υπολογίσουμε την περίοδο κατά την οποία το συσσωρευμένο ποσό μπορεί να παρέχει τις παραπάνω πληρωμές συντάξεων. Για να το κάνουμε αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση NPER, όπου υποδεικνύουμε 6%/12 ως επιτόκιο, ορίζουμε 150 $ ως ποσό πληρωμής και αντικαθιστούμε τις προκύπτουσες τιμές ως την παρούσα αξία. Παίρνουμε το ποσό σε μήνες - 149 για το πρώτο και 128 για το δεύτερο.

Σημείωση
Μια αρνητική τιμή στον τύπο υποδεικνύει ότι λαμβάνουμε πληρωμές, σε περίπτωση που εφαρμόζεται ο τύπος για τον υπολογισμό των πληρωμών που πρέπει να πληρωθούν, η τιμή που προκύπτει θα είναι θετική.

Διαρκής πρόσοδος (perpetuity) και το μοντέλο Gordon

Ειδική περίπτωση προσόδου είναι μια αλληλουχία πληρωμών, η διάρκεια της οποίας δεν καθορίζεται υπό όρους, και ως εκ τούτου η πρόσοδος αυτή θεωρείται αέναη. Ένα παράδειγμα διαρκούς πρόσοδος θα ήταν οι κονσόλες, ένας τύπος τίτλων (ομολογιών) στους οποίους οι τόκοι συγκεντρώνονται επ' αόριστον, αλλά η ονομαστική αξία δεν επιστρέφεται. Στην πράξη, τέτοια χρεόγραφαείναι αρκετά σπάνιες. Ένα πιο συνηθισμένο παράδειγμα αιώνιας προσόδου είναι οι μακροπρόθεσμες πληρωμές μερισμάτων που πραγματοποιούν ορισμένες εταιρείες στους μετόχους τους. Για τον υπολογισμό του κόστους μιας διαρκούς πρόσοδος, χρησιμοποιείται το μοντέλο Gordon:

(10) S = P * (1+g) / (r - g) , όπου S είναι το κόστος της πρόσοδος, P είναι η τρέχουσα πληρωμή, g είναι ο ρυθμός αύξησης της τρέχουσας πληρωμής, r είναι ο ρυθμός απόδοσης.

Οι παραπάνω τύποι είναι η κύρια λίστα εργαλείων για υπολογισμούς διαφόρων ειδών και σας επιτρέπουν να κάνετε υπολογισμούς σε σχέση με οποιαδήποτε κατάσταση. Στα σχόλια αυτού του άρθρου, μπορείτε να περιγράψετε καταστάσεις που απαιτούν οικονομικούς υπολογισμούς και θα προσπαθήσω να δείξω πώς η παραπάνω μαθηματική συσκευή θα σας βοηθήσει στην επίλυσή τους.

Κατά την προετοιμασία του άρθρου, υλικά από διδακτικό βοήθημα«Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά» Shirshova E.V., N.I. Petrika, Tutygina A.G., Menshikova T.V., Moscow, ed. "Knorus", 2010

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Η τιμή του ψυγείου σε ένα κατάστημα έχει αυξηθεί κατά. Ποια ήταν η τιμή εάν το ψυγείο κόστιζε αρχικά RUB;

Λύση:

Αρχικά, ας προσδιορίσουμε πόσα ρούβλια έχει αλλάξει το κόστος του ψυγείου (σε αυτή την περίπτωση, αυξήθηκε).

Σύμφωνα με την προϋπόθεση - on.

Αλλά από τι;

Φυσικά, από το αρχικό κόστος του ψυγείου - τρίψτε.

Αποδεικνύεται ότι πρέπει να βρούμε από τα ρούβλια:

Τώρα γνωρίζουμε ότι η τιμή έχει αυξηθεί κατά RUR.

Το μόνο που μένει είναι, σύμφωνα με τον κανόνα, να προστεθεί το ποσό της αλλαγής στο αρχικό κόστος:

Νέα τιμή σε ρούβλια.

Ενα άλλο παράδειγμα(προσπάθησε να αποφασίσεις μόνος σου):

Το βιβλίο "Mathematics for Dummies" κοστίζει RUR στο κατάστημα. Κατά τη διάρκεια της προσφοράς, όλα τα βιβλία πωλούνται με έκπτωση

Πόσα θα πρέπει να πληρώσετε για αυτό το βιβλίο τώρα;

Λύση:

Τι είναι η έκπτωση, ξέρετε πιθανώς; Έκπτωση σημαίνει ότι το κόστος του προϊόντος έχει μειωθεί κατά

Πόσο έχει μειωθεί το κόστος του βιβλίου (σε ρούβλια);

Πρέπει να βρείτε από το αρχικό του κόστος σε ρούβλια:

Η τιμή έχει μειωθεί, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να αφαιρέσετε από το αρχικό κόστος πόσο έχει μειωθεί:

Νέα τιμή σε ρούβλια.

Δεν είναι απλό;

Υπάρχει όμως τρόπος να πάρεις αυτή την απόφαση ακόμα πιο εύκολη και σύντομη!

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Αυξήστε τον αριθμό κατά.

Τι ισούται με από;

Όπως μάθαμε πριν, θα γίνει.

Τώρα ας αυξήσουμε τον ίδιο τον αριθμό x κατά αυτό το ποσό:

Αποδεικνύεται ότι ως αποτέλεσμα προσθέσαμε στον δεκαδικό συμβολισμό και πολλαπλασιάσαμε με τον αριθμό.

Ας συνοψίσουμε αυτόν τον κανόνα:

Ας πούμε ότι πρέπει να αυξήσουμε τον αριθμό κατά.

από τον αριθμό - αυτό.

Τότε ο νέος αριθμός θα είναι ίσος με: .

Για παράδειγμα, ας αυξήσουμε τον αριθμό κατά:

Τώρα δοκιμάστε το μόνοι σας:

1. Αυξήστε τον αριθμό κατά
2. Αυξήστε τον αριθμό κατά
3. Τι ποσοστό είναι ο αριθμός μεγαλύτερος από τον αριθμό;

Λύσεις:

3) Αφήστε την απαιτούμενη ποσότητα τοις εκατόισοδυναμεί.

Αυτό σημαίνει ότι εάν ο αριθμός αυξηθεί κατά, θα είναι:

Απάντηση σε.

Εάν ο αριθμός x πρέπει να μειωθεί κατά, όλα είναι παρόμοια:

Ο κανόνας λοιπόν:

Παραδείγματα:

1) Μειώστε τον αριθμό κατά.

2) Ενεργό τι ποσοστόείναι ο αριθμός μικρότερος από τον αριθμό;

3) Η τιμή ενός προϊόντος με έκπτωση ισούται με το p. Ποια είναι η τιμή χωρίς έκπτωση;

Λύσεις:

2) Ο αριθμός μειώθηκε κατά x τοις εκατόκαι πήρε:

Απάντηση σε.

3) Ας είναι ίση η τιμή χωρίς έκπτωση. Αποδεικνύεται ότι το x μειώθηκε κατά και πήραμε:

Τέλος, ας δούμε έναν άλλο τύπο προβλήματος που συχνά προκαλεί σύγχυση.

Επίλυση σύνθετων προβλημάτων που αφορούν ποσοστά

Ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό κατά. Επί τι ποσοστόείναι ο αριθμός μικρότερος από τον αριθμό;

Τι περίεργη ερώτηση: φυσικά όχι!

Σωστά?

Αλλά όχι.

Εάν, για παράδειγμα, η μάζα ενός ντουλαπιού είναι 25 kg περισσότερη μάζαάλλο, λοιπόν, χωρίς αμφιβολία, η μάζα του δεύτερου ντουλαπιού είναι 25 κιλά μικρότερη από τη μάζα του πρώτου.

Μύτη τοις εκατόΔεν θα λειτουργήσει έτσι!

Πράγματι, στην πρώτη περίπτωση, όταν λέμε ότι ένας αριθμός είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό, μετράμε από τον αριθμό. και στη δεύτερη περίπτωση, όταν λέμε ότι ένας αριθμός είναι μικρότερος από έναν αριθμό, μετράμε από τον αριθμό. Και αφού οι αριθμοί είναι διαφορετικοί, τότε και αυτοί οι αριθμοί θα είναι διαφορετικοί!

Για να λύσουμε σωστά αυτό το πρόβλημα, ας γράψουμε την συνθήκη ως εξίσωση:

Ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό κατά. Αυτό σημαίνει ότι αν ο αριθμός αυξηθεί κατά, παίρνουμε τον αριθμό:

Τώρα ας γράψουμε την ερώτηση με την ίδια μορφή: αν ο αριθμός a μειωθεί κατά τοις εκατό, παίρνουμε τον αριθμό:

Ας εκφράσουμε τον αριθμό από την ισότητα (1):

Και αντικαταστήστε στο (2):

Από αυτό προκύπτει ότι:

Έτσι, παίρνουμε ότι ο αριθμός είναι μικρότερος από τον αριθμό!

Παρόμοια προβλήματα συναντώνται συχνά στις Εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους.

Για παράδειγμα:

Τη Δευτέρα, οι μετοχές της εταιρείας αυξήθηκαν κατά ένα συγκεκριμένο ποσό τοις εκατό, και την Τρίτη υποχώρησαν ισάριθμα τοις εκατό. Ως αποτέλεσμα, έγιναν φθηνότερα από όταν άνοιξαν οι συναλλαγές τη Δευτέρα. Επί τι ποσοστόανέβηκαν οι μετοχές της εταιρείας τη Δευτέρα;

Λύση:

Ας είναι ίση η τιμή της μετοχής τη Δευτέρα και η απαιτούμενη ποσότητα τοις εκατό, γραμμένο ως δεκαδικό κλάσμα (δηλαδή διαιρούμενο ήδη με), ισούται με.

Ας γράψουμε τον τύπο για την αξία της μετοχής μετά την αύξηση της τιμής:

Είναι γνωστό ότι αυτή η τελική τιμή είναι μικρότερη από την αρχική τιμή. Δηλαδή, αν μειώσουμε κατά, παίρνουμε:

Ας αντικαταστήσουμε αυτό που εκφράστηκε προηγουμένως:

Σύμφωνα με ΚΟΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗΜόνο μια θετική λύση είναι κατάλληλη:

Ας θυμηθούμε τώρα ότι αυτό εξακολουθεί να είναι μόνο μια δεκαδική σημείωση της απαιτούμενης ποσότητας τοις εκατό, δηλαδή αυτή η ποσότητα τοις εκατό, διαιρούμενο με. Για μετατροπή σε ενδιαφέρον, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κατά 100%:

Πού χρησιμοποιούμε τα ποσοστά στη ζωή;

Λοιπόν, για παράδειγμα, σε τραπεζικά προϊόντα: καταθέσεις, δάνεια, στεγαστικά δάνεια κ.λπ.

Εάν καταλαβαίνετε καλά τι είναι τόκοι και ξέρετε πώς να λύνετε εξισώσεις, τότε μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε, για παράδειγμα, το μέγεθος της μηνιαίας πληρωμής του δανείου.

Ή πόσα θα πρέπει να πληρώσετε υπερβολικά παίρνοντας μια υποθήκη. Υπάρχει μια τέτοια εργασία στην Ενιαία Κρατική Εξέταση με τον αριθμό 17.

Ενδιαφέρον. Εν συντομία για το κύριο πράγμα

Το ένα τοις εκατό οποιουδήποτε αριθμού είναι το ένα εκατοστό αυτού του αριθμού.

1. Ποσοστά και δεκαδικά ψηφία

2. Αλλάξτε τον αριθμό κατά ένα ορισμένο ποσοστό

Ας πούμε ότι πρέπει να αυξήσουμε τον αριθμό κατά.

από τον αριθμό - αυτό.

Τότε, ο νέος αριθμός θα είναι ίσος με: .

Για να αυξήσετε έναν αριθμό κατά, πρέπει να τον πολλαπλασιάσετε με.

Εάν ο αριθμός πρέπει να μειωθεί κατά, τότε:

Για να μειώσουμε έναν αριθμό κατά κάποιο ποσό σημαίνει να αφαιρέσουμε αυτήν την τιμή από αυτόν:

Για να μειώσετε έναν αριθμό κατά, πρέπει να τον πολλαπλασιάσετε με.

, μια σειρά άρθρων για τα προσωπικά οικονομικά.

Σήμερα θα μιλήσουμε για ενδιαφέρον.

Είναι αδύνατο να επενδύσεις χωρίς να κατανοήσεις τι είναι το ενδιαφέρον και πώς υπολογίζεται η κερδοφορία.

Κατά κανόνα, δεν υπάρχουν προβλήματα με τους απλούς τόκους· όποιος έχει κρατήσει χρήματα σε κατάθεση σε τράπεζα καταλαβαίνει ότι, για παράδειγμα, το επιτόκιο είναι 10% ετησίως σε μια κατάθεση 50.000 ρούβλια. θα δίνει 5000 εισόδημα το χρόνο.

Είναι πιο δύσκολο να κατανοήσουμε την επίδραση του ανατοκισμού, αλλά είναι πολύ σημαντικό στις μακροπρόθεσμες επενδύσεις, δηλ. όταν οι επενδύσεις γίνονται με στόχο την επίτευξη οικονομικής ελευθερίας.

Ουσιαστικά, με τον ανατοκισμό, τα έσοδα από τόκους επανεπενδύονται, αυξάνοντας το μέγεθος της κατάθεσης. Εδώ είναι ένα παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχετε 100.000 ρούβλια. και σε αυτά λαμβάνετε το 10% του εισοδήματος, δηλ. 10.000 τρίψιμο. στο έτος.

Τον πρώτο χρόνο λάβατε 10.000 ρούβλια. και η συνεισφορά σας αυξήθηκε κατά αυτά τα 10.000, που ανέρχεται σε 110.000 ρούβλια.

Το δεύτερο έτος, το εισόδημά σας θα είναι ήδη το 10% των 110.000 ρούβλια, δηλ. 11.000 ρούβλια, τα οποία προσθέτετε επίσης στην κατάθεση, η οποία γίνεται 110.000 + 11.000 = 121.000 ρούβλια.

Τρίτο έτος: Τα 121 χιλιάδες ρούβλια σας φέρνουν πάλι 10%, που είναι 12.100 ρούβλια σε ρούβλια και η συνεισφορά σας στο τέλος του τρίτου έτους θα είναι 121.000 + 12.100 = 133.100 ρούβλια.

Και τα λοιπά.

Σε επισημοποιημένη μορφή, ο σύνθετος τόκος γράφεται ως εξής:

FV = PV (1 + r)^n

Οπου F.V.– μελλοντική αξία της κατάθεσης·Φ/Β– αρχικό κόστος της κατάθεσης·r– ποσοστό απόδοσης (κερδοφορία).n– αριθμός περιόδων.

Λοιπόν, ελέγξτε τον τύπο χρησιμοποιώντας το παράδειγμά μας FV = 10.000 (1 + 0,1)^3 = 133.100 ρούβλια. Όπως μπορείτε να δείτε, όλα ήρθαν μαζί :)

Όταν επενδύετε μακροπρόθεσμα, τότε η σημασία του ανατοκισμού αυξάνεται σημαντικά.

Φανταστείτε αυτό το παράδειγμα: αν το γάλα αυξάνεται κατά 10% ετησίως, πόσο θα κοστίζει σε 20 χρόνια; Εάν σήμερα το γάλα κοστίζει 30 ρούβλια το λίτρο, τότε επιτρέποντας στο κόστος του γάλακτος να αυξάνεται κατά 10% ετησίως, σε 20 χρόνια το γάλα θα κοστίζει FV = 30 (1+0,1)^20 = 201 ρούβλια 82 καπίκια!

Αυτό το παράδειγμα, παρεμπιπτόντως, δείχνει πολύ καλά την ανάγκη επένδυσης και διατήρησης του κεφαλαίου κάποιου, αφού και αυτό υποτιμάται σύμφωνα με τον τύπο του σύνθετου επιτοκίου.

Αυτή η φόρμουλα ονομάζεται επίσης «φόρμουλα Ρότσιλντ», «η φόρμουλα του διαβόλου» και στα αγγλικά και στους χρηματοοικονομικούς κύκλους ονομάζεται «compounding».

Τα πάντα στη γη αλλάζουν σύμφωνα με τον τύπο του σύνθετου ενδιαφέροντος: πληθωρισμός, αυξημένη κατανάλωση λαδιού ή σιταριού, αλλάζει ο πληθυσμός της γης κ.λπ.

Όταν επενδύετε το ποσοστό λειτουργεί για εσάς, εδώ είναι ένα παράδειγμαΑνέφερα προηγουμένως για τις συντάξεις:

Πόσα χρήματα θα μπορέσει να εξοικονομήσει ο μέσος Ρώσος αν επενδύσει 3.000 ρούβλια; το μήνα για 30 χρόνια; Ας υποθέσουμε ότι η αύξηση των επενδύσεών του θα είναι 5% ετησίως και η απόδοση της επένδυσής του θα είναι ίση με 17% ετησίως.

Μετά από 30 χρόνια, θα έχουν συσσωρευτεί 32.022.812 ρούβλια. Έτσι λειτουργεί για εσάς ο ανατοκισμός, λειτουργώντας ως μοχλός που αυξάνει τη συνεισφορά σας.

Αλλά λειτουργεί επίσης εναντίον του όταν παίρνετε δάνεια, για παράδειγμα.

Κατ 'αρχήν, υπάρχουν προγράμματα που σας επιτρέπουν να υπολογίζετε τους σύνθετους τόκους και τους τύπους προσόδων που σχετίζονται με αυτούς (προσόδου θεωρείται μια σειρά πληρωμών που είναι ίδιες (ή αλλάζουν σύμφωνα με ένα πρότυπο) και απέχουν μεταξύ τους για το ίδιο χρονική περίοδο· το παράδειγμα με τη συσσώρευση 3.000 ρουβλίων σε ένα μήνα θεωρείται επίσης πρόσοδος. μήνας υψηλότερη και ίσες μηνιαίες πληρωμές δανείου με την πάροδο του χρόνου).

Μπορείτε να το δοκιμάσετε μόνοι σας, το χρησιμοποιώόπως αυτό το πρόγραμμα για iPad , είναι δωρεάν και έχουν επιλογές και για Android.

Το σχήμα δείχνει ένα παράδειγμα υπολογισμού του ποσού των πληρωμών δανείου χρησιμοποιώντας αυτό το πρόγραμμα.

Εκεί μπορείτε επίσης να δοκιμάσετε άλλους οικονομικούς υπολογισμούς, για παράδειγμα, τον υπολογισμό των ανατοκιστικών τόκων και των προσόδων.

Δοκιμάστε το, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσετε την ίδια την αρχή.

Συνεχίζουμε να μελετάμε στοιχειώδη προβλήματα στα μαθηματικά. Αυτό το μάθημα αφορά ποσοστιαία προβλήματα. Θα δούμε αρκετά προβλήματα, αλλά και θα θίξουμε εκείνα τα σημεία που δεν αναφέραμε νωρίτερα κατά τη μελέτη των ποσοστών, δεδομένου ότι στην αρχή δημιουργούν δυσκολίες στη μάθηση.

Τα περισσότερα προβλήματα που αφορούν ποσοστά καταλήγουν στην εύρεση ενός ποσοστού ενός αριθμού, στην εύρεση ενός αριθμού κατά ποσοστό, στην έκφραση κάποιου μέρους ως ποσοστό ή στην έκφραση ως ποσοστού της σχέσης μεταξύ πολλών αντικειμένων, αριθμών, ποσοτήτων.

Προκαταρκτικές Δεξιότητες Περιεχόμενο μαθήματος

Μέθοδοι εύρεσης ποσοστού

Το ποσοστό μπορεί να βρεθεί με διάφορους τρόπους. Ο πιο δημοφιλής τρόπος είναι να διαιρέσετε τον αριθμό με το 100 και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με το επιθυμητό ποσοστό.

Για παράδειγμα, για να βρείτε το 60% των 200 ρούβλια, πρέπει πρώτα να διαιρέσετε αυτά τα 200 ρούβλια σε εκατό ίσα μέρη:

200 ρούβλια: 100 = 2 ρούβλια.

Όταν διαιρούμε έναν αριθμό με το 100, βρίσκουμε το ένα τοις εκατό αυτού του αριθμού. Έτσι, διαιρώντας 200 ρούβλια σε 100 μέρη, βρήκαμε αυτόματα το 1% από διακόσια ρούβλια, δηλαδή, ανακαλύψαμε πόσα ρούβλια είναι ανά μέρος. Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, ένα μέρος (ένα τοις εκατό) αντιστοιχεί σε 2 ρούβλια.

1% από 200 ρούβλια - 2 ρούβλια

Γνωρίζοντας πόσα ρούβλια υπάρχουν σε ένα μέρος (1%), μπορείτε να μάθετε πόσα ρούβλια είναι σε δύο μέρη, τρία, τέσσερα, πέντε κ.λπ. Δηλαδή, μπορείτε να βρείτε οποιοδήποτε αριθμό ποσοστών. Για να το κάνετε αυτό, απλώς πολλαπλασιάστε αυτά τα 2 ρούβλια με τον απαιτούμενο αριθμό εξαρτημάτων (ποσοστά). Ας βρούμε εξήντα κομμάτια (60%)

2 ρούβλια × 60 = 120 ρούβλια.

2 ρούβλια × 5 = 10 ρούβλια.

Ας βρούμε το 90%

2 ρούβλια × 90 = 180 ρούβλια.

θα βρούμε 100%

2 ρούβλια × 100 = 200 ρούβλια.

Το 100% είναι όλα εκατό μέρη και αποτελούν και τα 200 ρούβλια.

Ο δεύτερος τρόπος είναι να αναπαραστήσετε το ποσοστό ως κοινό κλάσμακαι βρείτε αυτό το κλάσμα από τον αριθμό από τον οποίο θέλετε να βρείτε το ποσοστό.

Για παράδειγμα, ας βρούμε το ίδιο 60% των 200 ρούβλια. Αρχικά, ας αντιπροσωπεύσουμε το 60% ως κλάσμα. Το 60% είναι εξήντα μέρη στα εκατό, δηλαδή εξήντα εκατοστά:

Τώρα η εργασία μπορεί να γίνει κατανοητή ως « βρείτε από 200ρούβλια" . Αυτό μελετήσαμε νωρίτερα. Να σας υπενθυμίσουμε ότι για να βρείτε ένα κλάσμα ενός αριθμού, πρέπει να διαιρέσετε αυτόν τον αριθμό με τον παρονομαστή του κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα που προκύπτει με τον αριθμητή του κλάσματος

200: 100 = 2

2 × 60 = 120

Ή πολλαπλασιάστε τον αριθμό με ένα κλάσμα ():

Ο τρίτος τρόπος είναι να αναπαραστήσετε το ποσοστό ως δεκαδικό και να πολλαπλασιάσετε τον αριθμό με το δεκαδικό.

Για παράδειγμα, ας βρούμε το ίδιο 60% των 200 ρούβλια. Αρχικά, αντιπροσωπεύστε το 60% ως κλάσμα. Το 60% τοις εκατό είναι εξήντα μέρη στα εκατό

Ας κάνουμε τη διαίρεση σε αυτό το κλάσμα. Ας μετακινήσουμε την υποδιαστολή στον αριθμό 60 δύο ψηφία προς τα αριστερά:

Τώρα βρίσκουμε 0,60 από 200 ρούβλια. Για να βρείτε το δεκαδικό κλάσμα ενός αριθμού, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτόν τον αριθμό με το δεκαδικό κλάσμα:

200 × 0,60 = 120 τρίψτε.

Η παραπάνω μέθοδος εύρεσης ποσοστού είναι η πιο βολική, ειδικά εάν ένα άτομο έχει συνηθίσει να χρησιμοποιεί αριθμομηχανή. Αυτή η μέθοδος σάς επιτρέπει να βρείτε το ποσοστό σε ένα βήμα.

Συνήθως, η έκφραση ενός ποσοστού ως δεκαδικού κλάσματος δεν είναι ειδική εργασία. Αρκεί να προσθέσετε «μηδενικό ακέραιο» πριν από το ποσοστό εάν το ποσοστό αντιπροσωπεύει διψήφιος αριθμός, ή προσθέστε "μηδέν ακέραιος" και άλλο μηδέν εάν το ποσοστό είναι μονοψήφιος αριθμός. Παραδείγματα:

60% = 0,60 - προστέθηκαν μηδέν ακέραιοι πριν από τον αριθμό 60, αφού ο αριθμός 60 είναι διψήφιος

6% = 0,06 - πρόσθεσε μηδέν ακέραιους αριθμούς και ένα ακόμη μηδέν πριν από τον αριθμό 6, αφού ο αριθμός 6 είναι μονοψήφιος.

Κατά τη διαίρεση με το 100 χρησιμοποιήσαμε τη μέθοδο μετακίνησης της υποδιαστολής δύο ψηφία προς τα αριστερά. Στην απάντηση 0,60 διατηρήθηκε το μηδέν μετά τον αριθμό 6. Αλλά αν κάνετε αυτή τη διαίρεση με μια γωνία, το μηδέν εξαφανίζεται - λαμβάνετε την απάντηση 0,6

Πρέπει να θυμόμαστε ότι τα δεκαδικά κλάσματα 0,60 και 0,6 είναι ίσα με την ίδια τιμή:

0,60 = 0,6

Στην ίδια "γωνία" μπορείτε να συνεχίσετε τη διαίρεση επ' αόριστον, προσθέτοντας κάθε φορά ένα μηδέν στο υπόλοιπο, αλλά αυτό θα είναι μια ενέργεια χωρίς νόημα:

Μπορείτε να εκφράσετε τα ποσοστά ως δεκαδικό κλάσμα όχι μόνο διαιρώντας με το 100, αλλά και πολλαπλασιάζοντας. Το σύμβολο ποσοστού (%) αντικαθιστά τον πολλαπλασιαστή 0,01. Και αν λάβουμε υπόψη ότι ο αριθμός των ποσοστών και το σύμβολο του ποσοστού γράφονται μαζί, τότε μεταξύ τους υπάρχει ένα «αόρατο» σύμβολο πολλαπλασιασμού (×).

Έτσι, η καταχώριση 45% μοιάζει στην πραγματικότητα ως εξής:

Αντικαταστήστε το πρόσημο τοις εκατό με συντελεστή 0,01

Αυτός ο πολλαπλασιασμός με το 0,01 εκτελείται μετακινώντας την υποδιαστολή δύο ψηφία προς τα αριστερά:

Πρόβλημα 1. Ο οικογενειακός προϋπολογισμός είναι 75 χιλιάδες ρούβλια το μήνα. Από αυτά, το 70% είναι χρήματα που κερδίζει ο μπαμπάς. Πόσα κέρδισε η μαμά;

Λύση

Το σύνολο είναι 100 τοις εκατό Αν ο μπαμπάς κέρδισε το 70% των χρημάτων, τότε η μαμά κέρδισε το υπόλοιπο 30% των χρημάτων.

Πρόβλημα 2. Ο οικογενειακός προϋπολογισμός είναι 75 χιλιάδες ρούβλια το μήνα. Από αυτά, το 70% είναι χρήματα που κερδίζει ο μπαμπάς και το 30% είναι χρήματα που κερδίζει η μαμά. Πόσα χρήματα έβγαλε ο καθένας;

Λύση

Θα βρούμε 70 και 30 τοις εκατό από 75 χιλιάδες ρούβλια. Με αυτόν τον τρόπο θα καθορίσουμε πόσα χρήματα κέρδισε κάθε άτομο. Για ευκολία, γράφουμε το 70% και το 30% ως δεκαδικά κλάσματα:

75 × 0,70 = 52,5 (χίλια ρούβλια κέρδισε ο μπαμπάς)

75 × 0,30 = 22,5 (χίλια ρούβλια κέρδισε η μητέρα)

Εξέταση

52,5 + 22,5 = 75

75 = 75

Απάντηση: 52,5 χιλιάδες ρούβλια. Ο μπαμπάς κέρδισε 22,5 ρούβλια. Η μαμά έκανε χρήματα.

Πρόβλημα 3. Κατά την ψύξη, το ψωμί χάνει έως και 4% της μάζας του ως αποτέλεσμα της εξάτμισης του νερού. Πόσα κιλά θα εξατμιστούν όταν κρυώσουν 12 τόνοι ψωμιού;

Λύση

Ας μετατρέψουμε 12 τόνους σε κιλά. Ένας τόνος περιέχει χίλια κιλά και 12 τόνοι περιέχει 12 φορές περισσότερα:

1000 × 12 = 12.000 κιλά

Τώρα ας βρούμε το 4% του 12000. Το αποτέλεσμα που θα προκύψει θα είναι η απάντηση στο πρόβλημα:

12.000 × 0,04 = 480 κιλά

Απάντηση: Όταν κρυώσουν 12 τόνοι ψωμιού, θα εξατμιστούν 480 κιλά.

Πρόβλημα 4. Όταν στεγνώσουν, τα μήλα χάνουν το 84% της μάζας τους. Πόσα αποξηραμένα μήλα θα πάρετε από 300 κιλά φρέσκα;

Ας βρούμε το 84% των 300 κιλών

300: 100 × 84 = 252 κιλά

300 κιλά φρέσκων μήλων θα χάσουν 252 κιλά της μάζας τους ως αποτέλεσμα της ξήρανσης. Για να απαντήσετε στην ερώτηση πόσα αποξηραμένα μήλα θα πάρετε, πρέπει να αφαιρέσετε 252 από 300

300 − 252 = 48 κιλά

Απάντηση: από 300 κιλά φρέσκα μήλα θα πάρετε 48 κιλά αποξηραμένα.

Πρόβλημα 5. Οι σπόροι σόγιας περιέχουν 20% λάδι. Πόσο λάδι περιέχονται σε 700 κιλά σόγιας;

Λύση

Ας βρούμε το 20% των 700 κιλών

700 × 0,20 = 140 κιλά

Απάντηση: 700 κιλά σόγιας περιέχουν 140 κιλά λάδι

Πρόβλημα 6. Το φαγόπυρο περιέχει 10% πρωτεΐνες, 2,5% λιπαρά και 60% υδατάνθρακες. Πόσα από αυτά τα προϊόντα περιέχονται σε 14,4 κιλά φαγόπυρου;

Λύση

Ας μετατρέψουμε 14,4 centners σε κιλά. Υπάρχουν 100 κιλά σε ένα centner, 14,4 φορές περισσότερα σε 14,4 centner

100 × 14,4 = 1440 κιλά

Ας βρούμε το 10%, το 2,5% και το 60% των 1440 κιλών

1440 × 0,10 = 144 (kg πρωτεϊνών)

1440 × 0,025 = 36 (kg λίπους)

1440 × 0,60 = 864 (kg υδατάνθρακες)

Απάντηση: 14,4 κιλά φαγόπυρου περιέχει 144 κιλά πρωτεΐνη, 36 κιλά λίπος, 864 κιλά υδατάνθρακες.

Πρόβλημα 7. Οι μαθητές συγκέντρωσαν 60 κιλά σπόρους βελανιδιάς, ακακίας, φλαμουριάς και σφενδάμου για το φυτώριο. Τα βελανίδια αποτελούσαν το 60%, οι σπόροι σφενδάμου το 15%, οι σπόροι φλαμουριά το 20% όλων των σπόρων και τα υπόλοιπα ήταν σπόροι ακακίας. Πόσα κιλά σπόρους ακακίας συγκέντρωσαν μαθητές;

Λύση

Ας πάρουμε τους σπόρους βελανιδιάς, ακακίας, φλαμουριάς και σφενδάμου ως 100%. Ας αφαιρέσουμε από αυτά το 100% τα ποσοστά που εκφράζουν τους σπόρους βελανιδιάς, φλαμουριάς και σφενδάμου. Έτσι βρίσκουμε το ποσοστό των σπόρων ακακίας:

100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%

Τώρα βρίσκουμε σπόρους ακακίας:

60 × 0,05 = 3 κιλά

Απάντηση: Μαθητές μάζεψαν 3 κιλά σπόρους ακακίας.

Εξέταση:

60 × 0,60 = 36

60 × 0,15 = 9

60 × 0,20 = 12

60 × 0,05 = 3

36 + 9 + 12 + 3 = 60

60 = 60

Πρόβλημα 8. Ένας άντρας αγόρασε παντοπωλεία. Το γάλα κοστίζει 60 ρούβλια, που είναι το 48% του κόστους όλων των αγορών. Προσδιορίστε το συνολικό ποσό των χρημάτων που δαπανήθηκαν για είδη παντοπωλείου.

Λύση

Αυτό είναι ένα έργο εύρεσης ενός αριθμού με βάση το ποσοστό του, δηλαδή με το γνωστό μέρος του. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με δύο τρόπους. Το πρώτο είναι να εκφράσουμε έναν γνωστό αριθμό ποσοστών ως δεκαδικό κλάσμα και να βρούμε τον άγνωστο αριθμό από αυτό το κλάσμα

Εκφράστε το 48% ως δεκαδικό

48% : 100 = 0,48

Γνωρίζοντας ότι το 0,48 είναι 60 ρούβλια, μπορούμε να προσδιορίσουμε το ποσό όλων των αγορών. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε τον άγνωστο αριθμό με δεκαδικό κλάσμα:

60: 0,48 = 125 ρούβλια

Αυτό σημαίνει ότι το συνολικό χρηματικό ποσό που δαπανάται για είδη παντοπωλείου είναι 125 ρούβλια.

Ο δεύτερος τρόπος είναι να μάθετε πρώτα πόσα χρήματα είναι ανά ένα τοις εκατό και μετά να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα επί 100

Το 48% είναι 60 ρούβλια. Αν διαιρέσουμε 60 ρούβλια με 48, θα μάθουμε πόσα ρούβλια αντιστοιχούν στο 1%

60: 48% = 1,25 ρούβλια

Το 1% αντιστοιχεί σε 1,25 ρούβλια. Το σύνολο είναι 100 τοις εκατό. Εάν πολλαπλασιάσουμε 1,25 ρούβλια επί 100, παίρνουμε το συνολικό ποσό χρημάτων που δαπανάται για προϊόντα

1,25 × 100 = 125 ρούβλια

Πρόβλημα 9. Τα φρέσκα δαμάσκηνα αποδίδουν 35% αποξηραμένα δαμάσκηνα. Πόσα φρέσκα δαμάσκηνα χρειάζεστε για να πάρετε 140 κιλά ξερά δαμάσκηνα; Πόσα αποξηραμένα δαμάσκηνα θα πάρετε από 600 κιλά φρέσκα;

Λύση

Ας εκφράσουμε το 35% ως δεκαδικό κλάσμα και ας βρούμε τον άγνωστο αριθμό χρησιμοποιώντας αυτό το κλάσμα:

35% = 0,35

140: 0,35 = 400 κιλά

Για να πάρετε 140 κιλά αποξηραμένα δαμάσκηνα, πρέπει να πάρετε 400 κιλά φρέσκα.

Ας απαντήσουμε στο δεύτερο ερώτημα του προβλήματος - πόσα αποξηραμένα δαμάσκηνα θα πάρετε από 600 κιλά φρέσκα; Εάν το 35% των αποξηραμένων δαμάσκηνων προέρχεται από φρέσκα δαμάσκηνα, τότε αρκεί να βρείτε αυτά τα 35% από τα 600 κιλά φρέσκων δαμάσκηνων

600 × 0,35 = 210 κιλά

Απάντηση: για να πάρετε 140 κιλά αποξηραμένα δαμάσκηνα, πρέπει να πάρετε 400 κιλά φρέσκα. Από 600 κιλά φρέσκα δαμάσκηνα θα πάρετε 210 κιλά ξερά.

Πρόβλημα 10. Η απορρόφηση των λιπών από τον ανθρώπινο οργανισμό είναι 95%. Κατά τη διάρκεια ενός μήνα, ο μαθητής κατανάλωσε 1,2 κιλά λίπους. Πόσο λίπος μπορεί να απορροφήσει το σώμα του;

Λύση

Μετατρέψτε 1,2 κιλά σε γραμμάρια

1,2 × 1000 = 1200 γρ

Ας βρούμε το 95% των 1200 γρ

1200 × 0,95 = 1140 γρ

Απάντηση: 1140 g λίπους μπορούν να απορροφηθούν από τον οργανισμό του μαθητή.

Εκφράζοντας αριθμούς ως ποσοστά

Το ποσοστό, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, μπορεί να αναπαρασταθεί ως δεκαδικό κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, απλώς διαιρέστε τον αριθμό αυτών των ποσοστών με το 100. Για παράδειγμα, φανταστείτε το 12% ως δεκαδικό κλάσμα:

Σχόλιο. Τώρα δεν βρίσκουμε το ποσοστό κάποιου, αλλά απλώς το γράφουμε ως δεκαδικό κλάσμα.

Αλλά η αντίστροφη διαδικασία είναι επίσης δυνατή. Ένα δεκαδικό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως ποσοστό. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτό το κλάσμα επί 100 και να βάλετε ένα πρόσημο τοις εκατό (%)

Ας αντιπροσωπεύσουμε το δεκαδικό κλάσμα 0,12 ως ποσοστό

0,12 × 100 = 12%

Αυτή η ενέργεια ονομάζεται εκφράζοντας έναν αριθμό ως ποσοστόή εκφράζοντας αριθμούς σε εκατοστά.

Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι αντίστροφες πράξεις. Για παράδειγμα, αν 2 × 5 = 10, τότε 10: 5 = 2

Με τον ίδιο τρόπο, η διαίρεση μπορεί να γραφτεί με αντίστροφη σειρά. Αν 10: 5 = 2, τότε 2 × 5 = 10:

Το ίδιο συμβαίνει όταν εκφράζουμε δεκαδικό ως ποσοστό. Έτσι, το 12% εκφράστηκε ως δεκαδικό ως εξής: 12: 100 = 0,12 αλλά στη συνέχεια το ίδιο 12% «επέστρεψε» χρησιμοποιώντας πολλαπλασιασμό, γράφοντας την έκφραση 0,12 × 100 = 12%.

Ομοίως, μπορείτε να εκφράσετε οποιουσδήποτε άλλους αριθμούς, συμπεριλαμβανομένων των ακεραίων, ως ποσοστά. Για παράδειγμα, ας εκφράσουμε ως ποσοστό τον αριθμό 3. Πολλαπλασιάστε δεδομένου αριθμούκατά 100 και προσθέστε ένα σύμβολο τοις εκατό στο αποτέλεσμα:

3 × 100 = 300%

Μεγάλα ποσοστά όπως το 300% μπορεί να προκαλέσουν σύγχυση στην αρχή επειδή οι άνθρωποι έχουν συνηθίσει να σκέφτονται το 100% ως το μέγιστο ποσοστό. Από πρόσθετες πληροφορίες για τα κλάσματα, γνωρίζουμε ότι ένα ολόκληρο αντικείμενο μπορεί να συμβολιστεί με ένα. Για παράδειγμα, εάν υπάρχει ένα ολόκληρο άκοπο κέικ, τότε μπορεί να χαρακτηριστεί με 1

Το ίδιο κέικ μπορεί να χαρακτηριστεί ως 100% κέικ. Σε αυτήν την περίπτωση, τόσο το ένα όσο και το 100% θα σημαίνουν το ίδιο ολόκληρο κέικ:

Ας κόψουμε το κέικ στη μέση. Σε αυτήν την περίπτωση, το ένα θα γίνει ο δεκαδικός αριθμός 0,5 (αφού είναι το μισό του ενός) και το 100% θα γίνει 50% (αφού το 50 είναι το μισό του εκατό)

Θα επιστρέψουμε ολόκληρο το κέικ, μία μονάδα και 100%

Ας απεικονίσουμε άλλες δύο τέτοιες τούρτες με τις ίδιες σημειώσεις:

Αν ένα κέικ είναι μονάδα, τότε τρία κέικ είναι τρεις μονάδες. Κάθε κέικ είναι 100% ολόκληρο. Αν αθροίσεις αυτά τα τριακόσια, θα πάρεις 300%.

Επομένως, όταν μετατρέπουμε ακέραιους αριθμούς σε ποσοστά, πολλαπλασιάζουμε αυτούς τους αριθμούς επί 100.

Πρόβλημα 2. Εκφράστε τον αριθμό 5 ως ποσοστό

5 × 100 = 500%

Πρόβλημα 3. Εκφράστε τον αριθμό 7 ως ποσοστό

7 × 100 = 700%

Πρόβλημα 4. Εκφράστε τον αριθμό 7,5 ως ποσοστό

7,5 × 100 = 750%

Πρόβλημα 5. Εκφράστε τον αριθμό 0,5 ως ποσοστό

0,5 × 100 = 50%

Πρόβλημα 6. Εκφράστε τον αριθμό 0,9 ως ποσοστό

0,9 × 100 = 90%

Παράδειγμα 7. Εκφράστε τον αριθμό 1,5 ως ποσοστό

1,5 × 100 = 150%

Παράδειγμα 8. Εκφράστε τον αριθμό 2,8 ως ποσοστό

2,8 × 100 = 280%

Πρόβλημα 9. Ο Γιώργος γυρίζει σπίτι από το σχολείο. Στα πρώτα δεκαπέντε λεπτά περπάτησε 0,75 της διαδρομής. Τον υπόλοιπο χρόνο περπάτησε το υπόλοιπο 0,25 της διαδρομής. Να εκφράσετε το ποσοστό της απόστασης που διένυσε ο Γιώργος.

Λύση

0,75 × 100 = 75%

0,25 × 100 = 25%

Πρόβλημα 10. Ο Γιάννης κέρασε μισό μήλο. Εκφράστε αυτό το μισό ως ποσοστό.

Λύση

Το μισό μήλο γράφεται ως κλάσμα 0,5. Για να εκφράσετε αυτό το κλάσμα ως ποσοστό, πολλαπλασιάστε το με το 100 και προσθέστε ένα πρόσημο τοις εκατό στο αποτέλεσμα.

0,5 × 100 = 50%

Ανάλογα με τη μορφή κλασμάτων

Μια τιμή που εκφράζεται ως ποσοστό έχει το αντίστοιχό της με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος. Έτσι, το ανάλογο για το 50% είναι το κλάσμα. Το πενήντα τοις εκατό μπορεί επίσης να ονομαστεί "μισό".

Το ισοδύναμο για το 25% είναι ένα κλάσμα. Το είκοσι πέντε τοις εκατό μπορεί επίσης να ονομαστεί ένα τέταρτο.

Το ισοδύναμο για το 20% είναι ένα κλάσμα. Το είκοσι τοις εκατό μπορεί επίσης να αναφέρεται ως ένα πέμπτο.

Το ανάλογο για το 40% είναι ένα κλάσμα.

Το ανάλογο για το 60% είναι ένα κλάσμα

Παράδειγμα 1. Τα πέντε εκατοστά είναι το 50% ενός δεκατόμετρου, ή μόνο το μισό. Σε όλες τις περιπτώσεις μιλάμε για την ίδια τιμή - πέντε εκατοστά στα δέκα

Παράδειγμα 2. Τα δυόμισι εκατοστά είναι το 25% ενός δεκαμέτρου ή μόλις το ένα τέταρτο

Παράδειγμα 3. Δύο εκατοστά είναι το 20% ενός δεκατόμετρου ή

Παράδειγμα 4. Τέσσερα εκατοστά είναι το 40% ενός δεκατόμετρου ή

Παράδειγμα 5. Έξι εκατοστά είναι το 60% ενός δεκατόμετρου ή

Μείωση και αύξηση ενδιαφέροντος

Όταν αυξάνεται ή μειώνεται μια τιμή που εκφράζεται ως ποσοστό, χρησιμοποιείται η πρόθεση "to".

Παραδείγματα:

• Αύξηση κατά 50% σημαίνει αύξηση της τιμής κατά 1,5 φορές.
• Η αύξηση κατά 100% σημαίνει αύξηση της τιμής κατά 2 φορές.
• Αύξηση κατά 200% σημαίνει αύξηση κατά 3 φορές.
• Μείωση κατά 50% σημαίνει μείωση της τιμής κατά 2 φορές.
• Μείωση κατά 80% σημαίνει μείωση κατά 5 φορές.

Παράδειγμα 1. Δέκα εκατοστά αυξήθηκαν κατά 50%. Πόσα εκατοστά πήρες;

Για να λύσετε τέτοια προβλήματα, πρέπει να λάβετε την αρχική τιμή ως 100%. Η αρχική τιμή είναι 10 εκ. Το 50% αυτών είναι 5 εκ

Το αρχικό 10 cm αυξήθηκε κατά 50% (κατά 5 cm), που σημαίνει ότι αποδείχθηκε ότι ήταν 10+5 cm, δηλαδή 15 cm

Το ισοδύναμο της αύξησης δέκα εκατοστών κατά 50% είναι πολλαπλασιαστής 1,5. Αν πολλαπλασιάσετε 10 cm με αυτό θα πάρετε 15 cm

10 × 1,5 = 15 cm

Επομένως, οι εκφράσεις «αύξηση κατά 50%» και «αύξηση κατά 1,5 φορές» σημαίνουν το ίδιο πράγμα.

Παράδειγμα 2. Πέντε εκατοστά αυξήθηκαν κατά 100%. Πόσα εκατοστά πήρες;

Ας πάρουμε τα αρχικά πέντε εκατοστά ως 100%. Το εκατό τοις εκατό από αυτά τα πέντε εκατοστά θα είναι 5 εκατοστά από μόνα τους. Αν αυξήσετε 5 εκατοστά με τα ίδια 5 εκατοστά, θα πάρετε 10 εκατοστά

Το ανάλογο μιας αύξησης πέντε εκατοστών κατά 100% είναι συντελεστής 2. Εάν πολλαπλασιάσετε 5 cm με αυτό, θα έχετε 10 cm

5 × 2 = 10 cm

Επομένως, οι εκφράσεις "αύξηση κατά 100%" και "αύξηση κατά 2 φορές" σημαίνουν το ίδιο πράγμα.

Παράδειγμα 3. Πέντε εκατοστά αυξήθηκαν κατά 200%. Πόσα εκατοστά πήρες;

Ας πάρουμε τα αρχικά πέντε εκατοστά ως 100%. Το διακόσιο τοις εκατό είναι δύο φορές το εκατό τοις εκατό. Δηλαδή, το 200% των 5 cm θα είναι 10 cm (5 cm για κάθε 100%). Αν αυξήσεις 5 εκατοστά με αυτά τα 10 εκατοστά, θα πάρεις 15 εκατοστά

Το ισοδύναμο της αύξησης των πέντε εκατοστών κατά 200% είναι συντελεστής 3. Αν πολλαπλασιάσετε 5 cm με αυτόν, θα έχετε 15 cm

5 × 3 = 15 cm

Επομένως, οι εκφράσεις "αύξηση κατά 200%" και "αύξηση κατά 3 φορές" σημαίνουν το ίδιο πράγμα.

Παράδειγμα 4. Δέκα εκατοστά μειωμένα κατά 50%. Πόσα εκατοστά απομένουν;

Ας πάρουμε το αρχικό 10 cm ως 100%. Το πενήντα τοις εκατό των 10 cm είναι 5 cm. Αν μειώσετε τα 10 cm κατά αυτά τα 5 cm, θα σας μείνουν 5 cm

Ένα ανάλογο μείωσης δέκα εκατοστών κατά 50% είναι ο διαιρέτης 2. Αν διαιρέσετε 10 cm με αυτόν, θα έχετε 5 cm

10: 2 = 5 cm

Επομένως, οι εκφράσεις "μείωση κατά 50%" και "μείωση κατά 2 φορές" σημαίνουν το ίδιο πράγμα.

Παράδειγμα 5. Δέκα εκατοστά μειώθηκαν κατά 80%. Πόσα εκατοστά απομένουν;

Ας πάρουμε το αρχικό 10 cm ως 100%. Το ογδόντα τοις εκατό των 10 εκ. είναι 8 εκ. Αν μειώσετε τα 10 εκ. κατά αυτό το 8 εκ., θα σας μείνουν 2 εκ.

Ένα ανάλογο μείωσης δέκα εκατοστών κατά 80% είναι ο διαιρέτης 5. Αν διαιρέσετε 10 cm με αυτόν, θα έχετε 2 cm

10:5 = 2 cm

Επομένως, οι εκφράσεις «μείωση κατά 80%» και «μείωση κατά 5 φορές» σημαίνουν το ίδιο πράγμα.

Όταν επιλύετε προβλήματα που περιλαμβάνουν μείωση και αύξηση ποσοστών, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε/διαιρέσετε την τιμή με τον παράγοντα που καθορίζεται στο πρόβλημα.

Πρόβλημα 1. Σε τι ποσοστό άλλαξε η τιμή αν αυξανόταν κατά 1,5 φορές;

Η τιμή που συζητείται στο πρόβλημα μπορεί να οριστεί ως 100%. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε αυτό το 100% με έναν παράγοντα 1,5

100% × 1,5 = 150%

Τώρα από το ληφθέν 150% αφαιρούμε το αρχικό 100% και παίρνουμε την απάντηση στο πρόβλημα:

150% − 100% = 50%

Πρόβλημα 2. Σε τι ποσοστό άλλαξε η τιμή αν μειωνόταν κατά 4 φορές;

Αυτή τη φορά η τιμή θα μειωθεί, οπότε θα κάνουμε διαίρεση. Ας υποδηλώσουμε την τιμή που αναφέρεται στο πρόβλημα ως 100%. Στη συνέχεια, διαιρέστε αυτό το 100% με έναν διαιρέτη του 4

Από το αρχικό 100%, αφαιρέστε το 25% που προκύπτει και λάβετε την απάντηση στο πρόβλημα:

100% − 25% = 75%

Αυτό σημαίνει ότι όταν η τιμή μειώνεται κατά 4 φορές, μειώνεται κατά 75%.

Πρόβλημα 3. Σε τι ποσοστό άλλαξε η τιμή αν μειωνόταν κατά 5 φορές;

Ας υποδηλώσουμε την τιμή που αναφέρεται στο πρόβλημα ως 100%. Στη συνέχεια, διαιρέστε αυτό το 100% με έναν διαιρέτη του 5

Από το αρχικό 100%, αφαιρέστε το 20% που προκύπτει και λάβετε την απάντηση στο πρόβλημα:

100% − 20% = 80%

Αυτό σημαίνει ότι όταν η τιμή μειώνεται κατά 5 φορές, μειώνεται κατά 80%.

Πρόβλημα 4. Σε τι ποσοστό άλλαξε η τιμή αν μειωνόταν κατά 10 φορές;

Ας υποδηλώσουμε την τιμή που αναφέρεται στο πρόβλημα ως 100%. Στη συνέχεια, διαιρέστε αυτό το 100% με έναν διαιρέτη του 10

Από το αρχικό 100%, αφαιρέστε το 10% που προκύπτει και λάβετε την απάντηση στο πρόβλημα:

100% − 10% = 90%

Αυτό σημαίνει ότι όταν η τιμή μειώνεται κατά 10 φορές, μειώνεται κατά 90%.

Πρόβλημα εύρεσης ποσοστού

Για να εκφράσετε κάτι ως ποσοστό, πρέπει πρώτα να γράψετε ένα κλάσμα που να δείχνει ποιο μέρος είναι ο πρώτος αριθμός του δεύτερου, μετά να διαιρέσετε σε αυτό το κλάσμα και να εκφράσετε το αποτέλεσμα που προκύπτει ως ποσοστό.

Για παράδειγμα, ας είναι πέντε μήλα. Σε αυτή την περίπτωση, δύο μήλα είναι κόκκινα, τρία είναι πράσινα. Ας εκφράσουμε τα κόκκινα και πράσινα μήλα ως ποσοστό.

Πρώτα πρέπει να μάθετε ποιο μέρος είναι τα κόκκινα μήλα. Υπάρχουν πέντε μήλα συνολικά και δύο κόκκινα. Αυτό σημαίνει ότι δύο στα πέντε ή τα δύο πέμπτα είναι κόκκινα μήλα:

Υπάρχουν τρία πράσινα μήλα. Αυτό σημαίνει ότι τρία στα πέντε ή τρία πέμπτα είναι πράσινα μήλα:

Έχουμε δύο κλάσματα και . Ας κάνουμε τη διαίρεση σε αυτά τα κλάσματα

Λάβαμε δεκαδικά κλάσματα 0,4 και 0,6. Τώρα ας εκφράσουμε αυτά τα δεκαδικά κλάσματα ως ποσοστό:

0,4 × 100 = 40%

0,6 × 100 = 60%

Αυτό σημαίνει ότι το 40% είναι κόκκινα μήλα, το 60% είναι πράσινα.

Και τα πέντε μήλα αποτελούν το 40%+60%, δηλαδή το 100%

Πρόβλημα 2. Η μητέρα μου έδωσε στους δύο γιους μου 200 ρούβλια. Η μητέρα μου έδωσε στον μικρότερο αδερφό μου 80 ρούβλια και στον μεγαλύτερο αδερφό μου 120 ρούβλια. Εκφράστε ως ποσοστό τα χρήματα που δίνονται σε κάθε αδελφό.

Λύση

Ο μικρότερος αδελφός έλαβε 80 ρούβλια από 200 ρούβλια. Γράφουμε το κλάσμα ογδόντα δύο εκατοστών:

Ο μεγαλύτερος αδελφός έλαβε 120 ρούβλια από 200 ρούβλια. Γράφουμε το κλάσμα εκατόν είκοσι δύο εκατοστών:

Έχουμε κλάσματα και . Ας κάνουμε τη διαίρεση σε αυτά τα κλάσματα

Ας εκφράσουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν ως ποσοστά:

0,4 × 100 = 40%

0,6 × 100 = 60%

Αυτό σημαίνει ότι ο μικρότερος αδερφός έλαβε το 40% των χρημάτων και ο μεγαλύτερος έλαβε το 60%.

Μερικά κλάσματα που δείχνουν ποιο μέρος είναι ο πρώτος αριθμός του δεύτερου μπορούν να μειωθούν.

Έτσι θα μπορούσαν να μειωθούν τα κλάσματα. Αυτό δεν θα άλλαζε την απάντηση στο πρόβλημα:

Πρόβλημα 3. Ο οικογενειακός προϋπολογισμός είναι 75 χιλιάδες ρούβλια το μήνα. Από αυτά, 52,5 χιλιάδες ρούβλια. - χρήματα που κέρδισε ο μπαμπάς. 22,5 χιλιάδες ρούβλια. - χρήματα που κέρδισε η μαμά. Εκφράστε ως ποσοστό τα χρήματα που κέρδισαν η μαμά και ο μπαμπάς.

Λύση

Αυτή η εργασία, όπως και η προηγούμενη, είναι μια εργασία εύρεσης ποσοστού.

Ας εκφράσουμε τα χρήματα που κέρδισε ο μπαμπάς ως ποσοστό. Κέρδισε 52,5 χιλιάδες ρούβλια από 75 χιλιάδες ρούβλια

Ας κάνουμε τη διαίρεση σε αυτό το κλάσμα:

0,7 × 100 = 70%

Αυτό σημαίνει ότι ο μπαμπάς κέρδισε το 70% των χρημάτων. Επιπλέον, δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι το υπόλοιπο 30% των χρημάτων κέρδισε η μητέρα μου. Μετά από όλα, 75 χιλιάδες ρούβλια είναι 100% χρήματα. Ας ελέγξουμε για να είμαστε σίγουροι. Η μαμά κέρδισε 22,5 χιλιάδες ρούβλια. από 75 χιλιάδες ρούβλια. Καταγράφουμε το κλάσμα, εκτελούμε τη διαίρεση και εκφράζουμε το αποτέλεσμα ως ποσοστό:

Πρόβλημα 4. Ένας μαθητής εκπαιδεύεται να κάνει έλξεις σε μια μπάρα. Τον περασμένο μήνα μπορούσε να κάνει 8 έλξεις ανά σετ. Αυτόν τον μήνα μπορεί να κάνει 10 έλξεις ανά σετ. Σε τι ποσοστό αύξησε τον αριθμό των έλξεων;

Λύση

Ας μάθουμε πόσα περισσότερα pull-ups κάνει ένας μαθητής τον τρέχοντα μήνα από ό,τι στο παρελθόν

Ας μάθουμε ποιο μέρος δύο έλξεις αποτελούν από οκτώ έλξεις. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την αναλογία 2 προς 8

Ας κάνουμε τη διαίρεση σε αυτό το κλάσμα

Ας εκφράσουμε το αποτέλεσμα ως ποσοστό:

0,25 × 100 = 25%

Αυτό σημαίνει ότι ο μαθητής αύξησε τον αριθμό των έλξεων κατά 25%.

Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί σε ένα δευτερόλεπτο, περισσότερο γρήγορη μέθοδος— Μάθετε πόσες φορές 10 έλξεις είναι μεγαλύτερες από 8 έλξεις και εκφράστε το αποτέλεσμα ως ποσοστό.

Για να μάθετε πόσες φορές δέκα έλξεις είναι μεγαλύτερες από οκτώ έλξεις, πρέπει να βρείτε την αναλογία 10 προς 8

Ας διαιρέσουμε το κλάσμα που προκύπτει

Ας εκφράσουμε το αποτέλεσμα ως ποσοστό:

1,25 × 100 = 125%

Το ποσοστό έλξης για τον τρέχοντα μήνα είναι 125%. Αυτή η δήλωση πρέπει να γίνει κατανοητή ακριβώς όπως "είναι 125%", όχι πώς «Ο δείκτης αυξήθηκε κατά 125%». Αυτές είναι δύο διαφορετικές προτάσεις που εκφράζουν διαφορετικές ποσότητες.

Η δήλωση "είναι 125%" πρέπει να γίνει κατανοητή ως "οκτώ έλξεις που αποτελούν το 100% συν δύο έλξεις που αποτελούν το 25% των οκτώ έλξεων". Γραφικά μοιάζει με αυτό:

Και η δήλωση "αυξήθηκε κατά 125%" θα πρέπει να γίνει κατανοητή ως "στα τρέχοντα οκτώ έλξεις, που ήταν 100%, προστέθηκαν άλλο 100% (8 ακόμη έλξεις) συν ένα άλλο 25% (2 έλξεις). ” Αυτό είναι συνολικά 18 έλξεις.

100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 έλξεις

Γραφικά αυτή η δήλωση μοιάζει με αυτό:

Συνολικά αποδεικνύεται ότι είναι 225%. Αν βρούμε το 225% από οκτώ έλξεις, παίρνουμε 18 έλξεις

8 × 2,25 = 18

Πρόβλημα 5. Τον περασμένο μήνα ο μισθός ήταν 19,2 χιλιάδες ρούβλια. Αυτό το μήνα ανήλθε σε 20,16 χιλιάδες ρούβλια. Σε τι ποσοστό αυξήθηκε ο μισθός;

Αυτό το πρόβλημα, όπως και το προηγούμενο, μπορεί να λυθεί με δύο τρόπους. Το πρώτο είναι να μάθετε πρώτα πόσα ρούβλια έχει αυξηθεί ο μισθός. Στη συνέχεια, μάθετε ποιο μέρος αυτής της αύξησης είναι από τον μισθό του προηγούμενου μήνα

Ας μάθουμε πόσα ρούβλια αυξήθηκε ο μισθός:

20,16 − 19,2 = 0,96 χιλιάδες ρούβλια.

Ας μάθουμε ποιο μέρος των 0,96 χιλιάδων ρούβλια. κυμαίνεται από 19,2. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε την αναλογία 0,96 προς 19,2

Ας κάνουμε τη διαίρεση στο κλάσμα που προκύπτει. Στην πορεία, ας θυμηθούμε:

Ας εκφράσουμε το αποτέλεσμα ως ποσοστό:

0,05 × 100 = 5%

Αυτό σημαίνει ότι ο μισθός αυξήθηκε κατά 5%.

Ας λύσουμε το πρόβλημα με τον δεύτερο τρόπο. Ας μάθουμε πόσες φορές 20,16 χιλιάδες ρούβλια. περισσότερα από 19,2 χιλιάδες ρούβλια. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε την αναλογία 20,16 προς 19,2

Ας διαιρέσουμε το κλάσμα που προκύπτει:

Ας εκφράσουμε το αποτέλεσμα ως ποσοστό:

1,05 × 100 = 105%

Ο μισθός είναι 105%. Δηλαδή, αυτό περιλαμβάνει το 100%, το οποίο ανήλθε σε 19,2 χιλιάδες ρούβλια, συν 5%, το οποίο ανήλθε σε 0,96 χιλιάδες ρούβλια.

100% + 5% = 19,2 + 0,96

Πρόβλημα 6. Η τιμή ενός φορητού υπολογιστή αυξήθηκε κατά 5% αυτόν τον μήνα. Ποια είναι η τιμή του αν τον περασμένο μήνα κόστιζε 18,3 χιλιάδες ρούβλια;

Λύση

Ας βρούμε το 5% του 18,3:

18,3 × 0,05 = 0,915

Ας προσθέσουμε αυτό το 5% στο 18,3:

18,3 + 0,915 = 19,215 χιλιάδες ρούβλια.

Απάντηση: η τιμή του φορητού υπολογιστή είναι 19.215 χιλιάδες ρούβλια.

Πρόβλημα 7. Η τιμή ενός φορητού υπολογιστή έχει μειωθεί κατά 10% αυτόν τον μήνα. Ποια είναι η τιμή του αν τον περασμένο μήνα κόστιζε 16,3 χιλιάδες ρούβλια;

Λύση

Ας βρούμε το 10% του 16,3:

16,3 × 0,10 = 1,63

Αφαιρέστε αυτό το 10% από το 16,3:

16,3 − 1,63 = 14,67 (χιλιάδες ρούβλια)

Τέτοιες εργασίες μπορούν να γραφτούν εν συντομία:

16,3 − (16,3 × 0,10) = 14,67 (χιλιάδες ρούβλια)

Απάντηση: Η τιμή του φορητού υπολογιστή είναι 14,67 χιλιάδες ρούβλια.

Πρόβλημα 8. Τον περασμένο μήνα η τιμή ενός φορητού υπολογιστή ήταν 21 χιλιάδες ρούβλια. Αυτό το μήνα η τιμή αυξήθηκε στα 22,05 χιλιάδες ρούβλια. Κατά πόσο αυξήθηκε η τιμή;

Λύση

Ας προσδιορίσουμε πόσα ρούβλια έχει αυξηθεί η τιμή

22,05 − 21 = 1,05 (χιλιάδες ρούβλια)

Ας μάθουμε ποιο μέρος των 1,05 χιλιάδων ρούβλια. είναι από 21 χιλιάδες ρούβλια.

Ας εκφράσουμε το αποτέλεσμα ως ποσοστό

0,05 × 100 = 5%

Απάντηση: Η τιμή του laptop αυξήθηκε κατά 5%

Πρόβλημα 8. Ο εργάτης έπρεπε να παράγει 600 εξαρτήματα σύμφωνα με το σχέδιο, αλλά παρήγαγε 900 εξαρτήματα. Σε ποιο ποσοστό εκπλήρωσε το σχέδιο;

Λύση

Ας μάθουμε πόσες φορές περισσότερα είναι τα 900 μέρη από τα 600. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την αναλογία 900 προς 600

Η τιμή αυτού του κλάσματος είναι 1,5. Ας εκφράσουμε αυτήν την τιμή ως ποσοστό:

1,5 × 100 = 150%

Αυτό σημαίνει ότι ο εργαζόμενος εκπλήρωσε το σχέδιο κατά 150%. Δηλαδή το ολοκλήρωσε 100%, βγάζοντας 600 εξαρτήματα. Στη συνέχεια έφτιαξε άλλα 300 μέρη, που είναι το 50% του αρχικού σχεδίου.

Απάντηση: ο εργαζόμενος ολοκλήρωσε το σχέδιο κατά 150%.

Σύγκριση ποσοστιαίων τιμών

Έχουμε ήδη συγκρίνει ποσότητες πολλές φορές με διάφορους τρόπους. Το πρώτο μας εργαλείο ήταν η διαφορά. Έτσι, για παράδειγμα, για να συγκρίνουμε 5 ρούβλια και 3 ρούβλια, καταγράψαμε τη διαφορά 5−3. Έχοντας λάβει την απάντηση 2, θα μπορούσε κανείς να πει ότι "πέντε ρούβλια είναι δύο ρούβλια περισσότερα από τρία ρούβλια".

Η απάντηση που λαμβάνεται ως αποτέλεσμα της αφαίρεσης είναι Καθημερινή ζωήονομάζεται όχι «διαφορά», αλλά «διαφορά».

Έτσι, η διαφορά μεταξύ πέντε και τριών ρούβλια είναι δύο ρούβλια.

Το επόμενο εργαλείο που χρησιμοποιήσαμε για να συγκρίνουμε τιμές ήταν η αναλογία. Η αναλογία μας επέτρεψε να μάθουμε πόσες φορές είναι ο πρώτος αριθμός περισσότερο από το δεύτερο(ή πόσες φορές ο πρώτος αριθμός περιέχει τον δεύτερο).

Έτσι, για παράδειγμα, δέκα μήλα είναι πέντε φορές περισσότερα από δύο μήλα. Ή για να το θέσω αλλιώς, δέκα μήλα περιέχουν δύο μήλα πέντε φορές. Αυτή η σύγκριση μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας τη σχέση

Αλλά οι τιμές μπορούν επίσης να συγκριθούν ως ποσοστά. Για παράδειγμα, συγκρίνετε την τιμή δύο αγαθών όχι σε ρούβλια, αλλά αξιολογήστε πόσο η τιμή ενός προϊόντος είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από την τιμή του άλλου ως ποσοστό.

Για να συγκρίνετε τις ποσοστιαίες τιμές, μια από αυτές πρέπει να οριστεί ως 100%, και η δεύτερη με βάση τις συνθήκες του προβλήματος.

Για παράδειγμα, ας μάθουμε σε ποιο ποσοστό δέκα μήλα είναι περισσότερα από οκτώ μήλα.

Το 100% είναι η τιμή με την οποία συγκρίνουμε κάτι. Συγκρίνουμε 10 μήλα με 8 μήλα. Έτσι, για 100% συμβολίζουμε 8 μήλα:

Τώρα το καθήκον μας είναι να συγκρίνουμε ποιο ποσοστό είναι 10 μήλα μεγαλύτερα από αυτά τα 8 μήλα. 10 μήλα είναι 8+2 μήλα. Αυτό σημαίνει ότι προσθέτοντας άλλα δύο μήλα σε οκτώ μήλα, θα αυξήσουμε 100% κατά έναν άλλο αριθμό ποσοστών. Για να μάθουμε ποιο, ας προσδιορίσουμε ποιο ποσοστό από οκτώ μήλα είναι δύο μήλα

Προσθέτοντας αυτό το 25% σε οκτώ μήλα μας δίνουμε 10 μήλα. Και 10 μήλα είναι 8+2, δηλαδή 100% και άλλα 25%. Συνολικά παίρνουμε 125%

Αυτό σημαίνει ότι δέκα μήλα είναι 25% μεγαλύτερα από οκτώ μήλα.

Τώρα ας λύσουμε το αντίστροφο πρόβλημα. Ας μάθουμε πόσο τοις εκατό οκτώ μήλα είναι λιγότερα από δέκα μήλα. Η απάντηση υποδηλώνεται αμέσως: οκτώ μήλα είναι 25% μικρότερα. Ωστόσο, δεν είναι.

Συγκρίνουμε οκτώ μήλα με δέκα μήλα. Συμφωνήσαμε ότι θα πάρουμε 100% ό,τι συγκρίνουμε. Επομένως, αυτή τη φορά παίρνουμε 10 μήλα για 100%:

Οκτώ μήλα είναι 10−2, δηλαδή μειώνοντας 10 μήλα κατά 2 μήλα, θα τα μειώσουμε κατά ένα ορισμένο ποσοστό. Για να μάθουμε ποιο, ας προσδιορίσουμε ποιο ποσοστό από τα δέκα μήλα είναι δύο μήλα

Αφαιρώντας αυτό το 20% από δέκα μήλα, παίρνουμε 8 μήλα. Και 8 μήλα είναι 10−2, δηλαδή 100% και μείον 20%. Συνολικά παίρνουμε 80%

Αυτό σημαίνει ότι οκτώ μήλα είναι 20% λιγότερα από δέκα μήλα.

Πρόβλημα 2. Σε ποιο ποσοστό τα 5.000 ρούβλια είναι περισσότερα από 4.000 ρούβλια;

Λύση

Ας πάρουμε 4000 ρούβλια για 100%. 5 χιλιάδες είναι πάνω από 4 χιλιάδες επί 1 χιλιάδες. Αυτό σημαίνει ότι αυξάνοντας τέσσερις χιλιάδες επί χίλιες, θα αυξήσουμε τέσσερις χιλιάδες κατά ένα ορισμένο ποσοστό. Ας μάθουμε ποιο. Για να γίνει αυτό, προσδιορίζουμε ποιο μέρος χίλια είναι από τέσσερις χιλιάδες:

Ας εκφράσουμε το αποτέλεσμα ως ποσοστό:

0,25 × 100 = 25%

1000 ρούβλια από 4000 ρούβλια είναι 25%. Εάν προσθέσετε αυτό το 25% σε 4000, θα λάβετε 5000 ρούβλια. Αυτό σημαίνει ότι 5.000 ρούβλια είναι 25% περισσότερα από 4.000 ρούβλια

Πρόβλημα 3. Τι ποσοστό είναι 4000 ρούβλια μικρότερα από 5000 ρούβλια;

Αυτή τη φορά συγκρίνουμε το 4000 με το 5000. Ας πάρουμε το 5000 ως 100%. Πέντε χιλιάδες είναι πάνω από τέσσερις χιλιάδες επί χίλια ρούβλια. Μάθετε ποιο μέρος χίλια είναι από πέντε χιλιάδες

Χίλια στις πέντε χιλιάδες είναι 20%. Εάν αφαιρέσουμε αυτό το 20% από τα 5.000 ρούβλια, θα έχουμε 4.000 ρούβλια.

Αυτό σημαίνει ότι 4000 ρούβλια είναι λιγότερο από 5000 ρούβλια κατά 20%

Προβλήματα συγκέντρωσης, κραμάτων και μιγμάτων

Ας πούμε ότι θέλετε να φτιάξετε λίγο χυμό. Έχουμε στη διάθεσή μας νερό και σιρόπι βατόμουρου.

Ρίξτε 200 ml νερό σε ένα ποτήρι:

Προσθέστε 50 ml σιρόπι βατόμουρου και ανακατέψτε το υγρό που προκύπτει. Ως αποτέλεσμα, θα πάρουμε 250 ml χυμού βατόμουρου (200 ml νερό + 50 ml σιρόπι = 250 ml χυμός)

Ποιο μέρος του χυμού που προκύπτει είναι το σιρόπι βατόμουρου;

Το σιρόπι βατόμουρου συνθέτει τον χυμό. Ας υπολογίσουμε αυτή την αναλογία και ας πάρουμε τον αριθμό 0,20. Αυτός ο αριθμός δείχνει την ποσότητα του διαλυμένου σιροπιού στον χυμό που προκύπτει. Ας καλέσουμε αυτόν τον αριθμό συγκέντρωση σιροπιού.

Η συγκέντρωση μιας διαλυμένης ουσίας είναι ο λόγος της ποσότητας μιας διαλυμένης ουσίας ή της μάζας της προς τον όγκο ενός διαλύματος.

Η συγκέντρωση συνήθως εκφράζεται ως ποσοστό. Ας εκφράσουμε τη συγκέντρωση του σιροπιού ως ποσοστό:

0,20 × 100 = 20%

Έτσι, η συγκέντρωση του σιροπιού στον χυμό βατόμουρου είναι 20%.

Οι ουσίες στο διάλυμα μπορεί να είναι ετερογενείς. Για παράδειγμα, ανακατέψτε 3 λίτρα νερό και 200 ​​γραμμάρια αλάτι.

Η μάζα 1 λίτρου νερού είναι 1 κιλό. Τότε η μάζα των 3 λίτρων νερού θα είναι 3 κιλά. Ας μετατρέψουμε 3 κιλά σε γραμμάρια, παίρνουμε 3 κιλά = 3000 γρ.

Τώρα προσθέστε 200 g αλάτι σε 3000 g νερό και ανακατέψτε το υγρό που προκύπτει. Το αποτέλεσμα θα είναι ένα αλατούχο διάλυμα, η συνολική μάζα του οποίου θα είναι 3000 + 200, δηλαδή 3200 γρ. Ας βρούμε τη συγκέντρωση του αλατιού στο διάλυμα που προκύπτει. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την αναλογία της μάζας του διαλυμένου αλατιού προς τη μάζα του διαλύματος

Αυτό σημαίνει ότι όταν αναμειγνύετε 3 λίτρα νερού και 200 ​​g αλάτι, θα πάρετε ένα διάλυμα άλατος 6,25%.

Ομοίως, μπορεί να προσδιοριστεί η ποσότητα μιας ουσίας σε ένα κράμα ή μείγμα. Για παράδειγμα, ένα κράμα περιέχει κασσίτερο βάρους 210 g και ασήμι βάρους 90 g. Τότε η μάζα του κράματος θα είναι 210 + 90, δηλαδή 300 g. Το κράμα θα περιέχει κασσίτερο και ασήμι. Το ποσοστό κασσίτερου θα είναι 70% και ασήμι 30%

Όταν αναμειγνύονται δύο διαλύματα, προκύπτει ένα νέο διάλυμα που αποτελείται από το πρώτο και το δεύτερο διάλυμα. Το νέο διάλυμα μπορεί να έχει διαφορετική συγκέντρωση της ουσίας. Μια χρήσιμη δεξιότητα είναι η ικανότητα επίλυσης προβλημάτων που αφορούν τη συγκέντρωση, τα κράματα και τα μείγματα. Γενικά, ο σκοπός τέτοιων εργασιών είναι η παρακολούθηση των αλλαγών που συμβαίνουν όταν αναμιγνύονται διαλύματα διαφορετικών συγκεντρώσεων.

Ανακατέψτε δύο χυμούς βατόμουρου. Τα πρώτα 250 ml χυμού περιέχουν 12,8% σιρόπι βατόμουρου. Και ο δεύτερος χυμός, 300 ml, περιέχει 15% σιρόπι βατόμουρου. Ρίξτε αυτούς τους δύο χυμούς σε ένα μεγάλο ποτήρι και ανακατέψτε. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε έναν νέο χυμό με όγκο 550 ml.

Τώρα ας προσδιορίσουμε τη συγκέντρωση του σιροπιού στον χυμό που προκύπτει. Τα πρώτα 250 ml στραγγισμένου χυμού περιείχαν σιρόπι 12,8%. Και το 12,8% των 250 ml είναι 32 ml. Αυτό σημαίνει ότι ο πρώτος χυμός περιείχε 32 ml σιρόπι.

Ο δεύτερος στραγγισμένος χυμός των 300 ml περιείχε σιρόπι 15%. Και το 15% των 300 ml είναι 45 ml. Αυτό σημαίνει ότι ο δεύτερος χυμός περιείχε 45 ml σιρόπι.

Ας προσθέσουμε τις ποσότητες των σιροπιών:

32 ml + 45 ml = 77 ml

Αυτά τα 77 ml σιροπιού περιέχονται στον νέο χυμό, ο οποίος έχει όγκο 550 ml. Ας προσδιορίσουμε τη συγκέντρωση του σιροπιού σε αυτόν τον χυμό. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την αναλογία 77 ml διαλυμένου σιροπιού προς τον όγκο του χυμού 550 ml:

Αυτό σημαίνει ότι όταν αναμιγνύετε 12,8% χυμό βατόμουρου με όγκο 250 ml και 15% χυμό βατόμουρου με όγκο 300 ml, το αποτέλεσμα είναι 14% χυμός βατόμουρου με όγκο 550 ml.

Πρόβλημα 1. Υπάρχουν 3 διαλύματα θαλασσινού αλατιού στο νερό: το πρώτο διάλυμα περιέχει 10% αλάτι, το δεύτερο περιέχει 15% αλάτι και το τρίτο περιέχει 20% αλάτι. Αναμείξτε 130 ml από το πρώτο διάλυμα, 200 ml από το δεύτερο διάλυμα και 170 ml από το τρίτο διάλυμα. Προσδιορίστε ποιο ποσοστό θαλασσινού αλατιού βρίσκεται στο διάλυμα που προκύπτει.

Λύση

Ας προσδιορίσουμε τον όγκο του διαλύματος που προκύπτει:

130 ml + 200 ml + 170 ml = 500 ml

Δεδομένου ότι το πρώτο διάλυμα περιείχε 130 × 0,10 = 13 ml θαλασσινό αλάτι, το δεύτερο διάλυμα περιείχε 200 × 0,15 = 30 ml θαλασσινό αλάτι και το τρίτο περιείχε 170 × 0,20 = 34 ml θαλασσινό αλάτι, τότε το διάλυμα που θα προκύψει θα περιέχει 13 + 30 + 34 = 77 ml θαλασσινό αλάτι.

Ας προσδιορίσουμε τη συγκέντρωση του θαλασσινού αλατιού στο προκύπτον διάλυμα. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την αναλογία 77 ml θαλασσινού αλατιού προς όγκο διαλύματος 500 ml

Αυτό σημαίνει ότι το διάλυμα που προκύπτει περιέχει 15,4% θαλασσινό αλάτι.

Πρόβλημα 2. Πόσα γραμμάρια νερού πρέπει να προστεθούν σε 50 g διαλύματος που περιέχει 8% αλάτι για να ληφθεί διάλυμα 5%;

Λύση

Σημειώστε ότι εάν προστεθεί νερό στο υπάρχον διάλυμα, η ποσότητα του αλατιού σε αυτό δεν θα αλλάξει. Μόνο το ποσοστό του θα αλλάξει, αφού η προσθήκη νερού στο διάλυμα θα οδηγήσει σε αλλαγή της μάζας του.

Πρέπει να προσθέσουμε τέτοια ποσότητα νερού που το οκτώ τοις εκατό αλάτι να γίνει πέντε τοις εκατό.

Ας προσδιορίσουμε πόσα γραμμάρια αλατιού περιέχονται σε 50 g διαλύματος. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε το 8% του 50

50 g × 0,08 = 4 g

Το 8% των 50 γραμμαρίων είναι 4 γραμμάρια Με άλλα λόγια, οκτώ μέρη στα εκατό ισοδυναμούν με 4 γραμμάρια αλάτι. Ας βεβαιωθούμε ότι αυτά τα 4 γραμμάρια δεν προέρχονται από οκτώ μέρη, αλλά από πέντε μέρη, δηλαδή 5%

4 γραμμάρια - 5%

Τώρα γνωρίζοντας ότι υπάρχουν 4 γραμμάρια ανά διάλυμα 5%, μπορούμε να βρούμε τη μάζα ολόκληρου του διαλύματος. Για να το κάνετε αυτό χρειάζεστε:

4 g: 5 = 0,8 g
0,8 g × 100 = 80 g

80 γραμμάρια διαλύματος είναι η μάζα στην οποία θα υπάρχουν 4 γραμμάρια αλατιού ανά διάλυμα 5%. Και για να πάρετε αυτά τα 80 γραμμάρια, πρέπει να προσθέσετε 30 γραμμάρια νερό στα αρχικά 50 γραμμάρια.

Αυτό σημαίνει ότι για να λάβετε ένα διάλυμα άλατος 5%, πρέπει να προσθέσετε 30 g νερού στο υπάρχον διάλυμα.

Πρόβλημα 2. Τα σταφύλια περιέχουν 91% υγρασία και οι σταφίδες - 7%. Πόσα κιλά σταφύλια χρειάζονται για να παραχθούν 21 κιλά σταφίδας;

Λύση

Τα σταφύλια αποτελούνται από υγρασία και καθαρή ύλη. Εάν τα φρέσκα σταφύλια περιέχουν 91% υγρασία, τότε το υπόλοιπο 9% θα είναι η καθαρή ουσία αυτού του σταφυλιού:

Οι σταφίδες περιέχουν 93% καθαρή ουσία και 7% υγρασία:

Σημειώστε ότι κατά τη διαδικασία μετατροπής των σταφυλιών σε σταφίδες εξαφανίζεται μόνο η υγρασία αυτών των σταφυλιών. Η καθαρή ουσία παραμένει αμετάβλητη. Αφού τα σταφύλια μετατραπούν σε σταφίδες, οι σταφίδες που θα προκύψουν θα έχουν 7% υγρασία και 93% καθαρή ύλη.

Ας προσδιορίσουμε πόση καθαρή ουσία περιέχει 21 κιλά σταφίδας. Για να γίνει αυτό, θα βρούμε το 93% των 21 κιλών

21 kg × 0,93 = 19,53 kg

Τώρα ας επιστρέψουμε στο πρώτο σχέδιο. Το καθήκον μας ήταν να καθορίσουμε πόσα σταφύλια χρειάζονταν για να πάρουμε 21 κιλά σταφίδες. Μια καθαρή ουσία βάρους 19,53 kg θα αντιπροσωπεύει το 9% των σταφυλιών:

Τώρα γνωρίζοντας ότι το 9% καθαρής ουσίας είναι 19,53 κιλά, μπορούμε να προσδιορίσουμε πόσα σταφύλια χρειάζονται για να παραχθούν 21 κιλά σταφίδας. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε τον αριθμό με βάση το ποσοστό του:

19,53 κιλά: 9 = 2,17 κιλά
2,17 kg × 100 = 217 kg

Αυτό σημαίνει ότι για να αποκτήσετε 21 κιλά σταφίδες πρέπει να πάρετε 217 κιλά σταφύλια.

Πρόβλημα 3. Σε ένα κράμα κασσίτερου και χαλκού, ο χαλκός αποτελεί το 85%. Πόσο κράμα πρέπει να ληφθεί ώστε να περιέχει 4,5 κιλά κασσίτερο;

Λύση

Εάν ο χαλκός αποτελεί το 85% του κράματος, τότε το υπόλοιπο 15% θα είναι κασσίτερος:

Το θέμα είναι πόσο κράμα πρέπει να ληφθεί ώστε να περιέχει 4,5 κασσίτερο. Δεδομένου ότι το κράμα περιέχει 15% κασσίτερο, 4,5 kg κασσίτερου θα αντιπροσωπεύουν αυτό το 15%.

Και γνωρίζοντας ότι τα 4,5 κιλά κράματος αποτελούν το 15%, μπορούμε να προσδιορίσουμε τη μάζα ολόκληρου του κράματος. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε τον αριθμό με βάση το ποσοστό του:

4,5 κιλά: 15 = 0,3 κιλά
0,3 kg × 100 = 30 kg

Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να πάρετε 30 κιλά κράματος ώστε να περιέχει 4,5 κιλά κασσίτερο.

Πρόβλημα 4. Αναμείξτε κάποια ποσότητα διαλύματος 12%. υδροχλωρικού οξέοςμε την ίδια ποσότητα διαλύματος 20% του ίδιου οξέος. Να βρείτε τη συγκέντρωση του υδροχλωρικού οξέος που προκύπτει.

Λύση

Ας απεικονίσουμε την πρώτη λύση στο σχήμα ως ευθεία γραμμή και ας τονίσουμε το 12% πάνω της.

Δεδομένου ότι ο αριθμός των διαλυμάτων είναι ίδιος, το ίδιο σχήμα μπορεί να σχεδιαστεί το ένα δίπλα στο άλλο, απεικονίζοντας το δεύτερο διάλυμα με περιεκτικότητα σε υδροχλωρικό οξύ 20%.

Έχουμε διακόσια μέρη διαλύματος (100% + 100%), τριάντα δύο μέρη από τα οποία είναι υδροχλωρικό οξύ (12% + 20%)

Ας προσδιορίσουμε ποιο μέρος 32 αποτελείται από 200 μέρη

Αυτό σημαίνει ότι όταν αναμιγνύεται ένα διάλυμα 12% υδροχλωρικού οξέος με την ίδια ποσότητα ενός διαλύματος 20% του ίδιου οξέος, το αποτέλεσμα είναι ένα διάλυμα υδροχλωρικού οξέος 16%.

Για να ελέγξετε, φανταστείτε ότι η μάζα του πρώτου διαλύματος ήταν 2 kg. Η μάζα του δεύτερου διαλύματος θα είναι επίσης 2 kg. Στη συνέχεια, κατά την ανάμειξη αυτών των διαλυμάτων, θα λάβετε 4 κιλά διαλύματος. Στο πρώτο διάλυμα υδροχλωρικού οξέος υπήρχε 2 × 0,12 = 0,24 kg, και στο δεύτερο - 2 × 0,20 = 0,40 kg. Τότε στο νέο διάλυμα υδροχλωρικού οξέος θα υπάρχουν 0,24 + 0,40 = 0,64 kg. Η συγκέντρωση του υδροχλωρικού οξέος θα είναι 16%

Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα

στις , θα βρούμε το 60% του αριθμού

Τώρα ας αυξήσουμε τον αριθμό κατά το 60%, δηλ. ανά αριθμό

Απάντηση:η νέα τιμή είναι

Εργασία 12. Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις:

1) Ξόδεψε το 80% του ποσού. Τι τοις εκατό αυτού του ποσού απομένει;
2) Οι άνδρες αποτελούν το 75% του συνόλου των εργαζομένων στα εργοστάσια. Τι ποσοστό των εργαζομένων του εργοστασίου είναι γυναίκες;
3) Τα κορίτσια αποτελούν το 40% της τάξης. Τι ποσοστό της τάξης είναι αγόρια;

ΕΝΑ Λύση

Ας χρησιμοποιήσουμε μια μεταβλητή. Αφήνω Παυτός είναι ο αρχικός αριθμός που αναφέρεται στο πρόβλημα. Ας πάρουμε αυτόν τον αρχικό αριθμό Πγια 100%

Ας μειώσουμε αυτόν τον αρχικό αριθμό Πκατά 50%

Τώρα ο νέος αριθμός είναι το 50% του αρχικού αριθμού. Μάθετε πόσες φορές είναι ο αρχικός αριθμός Ππερισσότερο από τον νέο αριθμό. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την αναλογία 100% έως 50%

Ο αρχικός αριθμός είναι διπλάσιος από τον νέο. Αυτό φαίνεται ακόμα και από το σχέδιο. Και για να γίνει ο νέος αριθμός ίσος με τον αρχικό, πρέπει να διπλασιαστεί. Και ο διπλασιασμός ενός αριθμού σημαίνει αύξηση του κατά 100%.

Αυτό σημαίνει ότι ο νέος αριθμός, που είναι ο μισός από τον αρχικό αριθμό, πρέπει να αυξηθεί κατά 100%.

Κατά την εξέταση του νέου αριθμού, λαμβάνεται επίσης ως 100%. Έτσι, στο παραπάνω σχήμα, ο νέος αριθμός είναι ο μισός του αρχικού αριθμού και επισημαίνεται ως 50%. Σε σχέση με τον αρχικό αριθμό, ο νέος αριθμός είναι ο μισός. Αν όμως το θεωρήσουμε ξεχωριστά από το αρχικό, πρέπει να ληφθεί ως 100%.

Επομένως, στο σχήμα, ο νέος αριθμός, ο οποίος αντιπροσωπεύεται από μια γραμμή, ορίστηκε αρχικά ως 50%. Αλλά στη συνέχεια ορίσαμε αυτόν τον αριθμό ως 100%.

Απάντηση:Για να λάβετε τον αρχικό αριθμό, ο νέος αριθμός πρέπει να αυξηθεί κατά 100%.

Πρόβλημα 16. Τον περασμένο μήνα σημειώθηκαν 15 ατυχήματα στην πόλη.
Αυτό το μήνα ο αριθμός αυτός μειώθηκε σε 6. Κατά πόσο μειώθηκε ο αριθμός των ατυχημάτων;

Λύση

Τον περασμένο μήνα σημειώθηκαν 15 ατυχήματα. Αυτό το μήνα είναι 6. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός των ατυχημάτων έχει μειωθεί κατά 9.
Ας πάρουμε 15 ατυχήματα ως 100%. Μειώνοντας 15 τροχαία ατυχήματα κατά 9, θα τα μειώσουμε κατά ένα ορισμένο ποσοστό. Για να μάθουμε ποιο, θα μάθουμε ποιο μέρος των 9 ατυχημάτων είναι από 15 ατυχήματα

Απάντηση:η συγκέντρωση του διαλύματος που προκύπτει είναι 12%.

Πρόβλημα 18. Αναμείξτε μια ορισμένη ποσότητα διαλύματος 11% μιας συγκεκριμένης ουσίας με την ίδια ποσότητα διαλύματος 19% της ίδιας ουσίας. Βρείτε τη συγκέντρωση του διαλύματος που προκύπτει.

Λύση

Η μάζα και των δύο διαλυμάτων είναι η ίδια. Κάθε διάλυμα μπορεί να ληφθεί ως 100%. Αφού προσθέσετε τα διαλύματα, παίρνετε ένα διάλυμα 200%. Το πρώτο διάλυμα περιείχε 11% της ουσίας και το δεύτερο διάλυμα περιείχε 19% της ουσίας. Τότε το προκύπτον διάλυμα 200% θα περιέχει 11% + 19% = 30% της ουσίας.

Ας προσδιορίσουμε τη συγκέντρωση του διαλύματος που προκύπτει. Για να γίνει αυτό, ανακαλύπτουμε ποιο μέρος τριάντα μέρη μιας ουσίας αποτελείται από διακόσια μέρη μιας ουσίας:

1,10. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή για τον πρώτο μήνα θα είναι 1,10.

Τον δεύτερο μήνα η τιμή αυξήθηκε επίσης κατά 10%. Προσθέστε δέκα τοις εκατό αυτής της τιμής στην τρέχουσα τιμή του 1,10, θα έχουμε 1,10 + 0,10 × 1,10. Το ποσό αυτό ισούται με την έκφραση 1,21 . Αυτό σημαίνει ότι η τιμή για τον δεύτερο μήνα θα γίνει 1,21.

Τον τρίτο μήνα η τιμή αυξήθηκε επίσης κατά 10%. Προσθέστε δέκα τοις εκατό αυτής της τιμής στην τρέχουσα τιμή του 1,21, θα έχουμε 1,21 + 0,10 × 1,21. Το ποσό αυτό ισούται με την έκφραση 1.331 . Τότε η τιμή για τον τρίτο μήνα θα γίνει 1,331.

Ας υπολογίσουμε τη διαφορά μεταξύ των νέων και των παλαιών τιμών. Αν η αρχική τιμή ήταν ίση με 1, τότε αυξήθηκε κατά 1,331 − 1 = 0,331. Ας εκφράσουμε αυτό το αποτέλεσμα ως ποσοστό, παίρνουμε 0,331 × 100 = 33,1%

Απάντηση:σε 3 μήνες, οι τιμές των τροφίμων αυξήθηκαν κατά 33,1%.

Σας άρεσε το μάθημα;
Εγγραφείτε στη νέα μας ομάδα VKontakte και αρχίστε να λαμβάνετε ειδοποιήσεις για νέα μαθήματα