VIII . Ομάδες εργασιών κατασκευής.

    Επίλυση ομάδων προβλημάτων με χρήση βοηθητικού τριγώνου.

Η ουσία της μεθόδου είναι η κατασκευή βοηθητικών τριγώνων και η χρήση των ιδιοτήτων τους και των στοιχείων που αποκτήθηκαν πρόσφατα για να λυθεί τελικά το πρόβλημα.

Η ανάλυση κατασκευής αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

    Αναζητήστε ένα βοηθητικό τρίγωνο στην ανάλυσή σας.

    Εάν εμφανιστούν νέα στοιχεία με τη βοήθεια του οποίου μπορεί να κατασκευαστεί το τρίγωνο ABC, τότε ο στόχος έχει επιτευχθεί.

    Εάν αυτό δεν συμβεί, τότε ίσως μπορεί να κατασκευαστεί ένα άλλο βοηθητικό τρίγωνο που θα παρέχει τα στοιχεία που λείπουν.

Ας δούμε την ουσία της μεθόδου χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Εργασία 1. Κατασκευάστε ένα ισοσκελές τρίγωνο ABC ( σι= ντο) Με ένα, η σι .

Ψάχνουμε για βοηθητικό τρίγωνο. Προφανώς, είναι βολικό να θεωρήσουμε το τρίγωνο CDB ως ένα τέτοιο τρίγωνο.

Αυτό θα δώσει τη γωνία C, επομένως τη γωνία ABC. Άρα, υπάρχει a, γωνία B, γωνία C, που σημαίνει ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε τρίγωνο ABC. Θα το γράψουμε σχηματικά ως εξής:

    (α, η β) → Δ CDB →< C.

    (ένα,< B, < C) → Δ ABC.

Καθήκοντα για ανεξάρτητη απόφαση:

Χρησιμοποιώντας συλλογισμούς παρόμοιους με τους παραπάνω, συνιστούμε να κατασκευάσετε ένα ισοσκελές τρίγωνο (b=c) χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα δεδομένα:

ΕΝΑ)< А, h b ;

σι)< В, h с;

ΣΟΛ)< В, h b ;

μι)< С, h b .

Εργασία 2. Κατασκευάστε ένα τρίγωνο χρησιμοποιώντας την ακτίνα r του εγγεγραμμένου κύκλου, τη γωνία Α και τη γωνία Β.

Έστω εγώ το κέντρο του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο ABC.

    (r; ½< А) → Δ AID → |AD|;

    (r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;

    (|AD| + |ВD| = |AB|) → (γ,< А, < В) → Δ ABC.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

    Κατασκευάστε ένα τρίγωνο χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα στοιχεία:

α) α, η γ, η β; β) α, η α, η β; γ) α, μ α, μ β;

ΣΟΛ)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;

ζ) b, h b, m b (όπου m είναι διάμεσοι, l διχοτόμοι, h ύψη).

Από μόνος του:

    κατασκευάστε έναν ρόμβο ABCD χρησιμοποιώντας τη διαγώνιο ΒΔ και το ύψος ΒΜ. (ΔBHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);

    χτίστε ένα τραπεζοειδές σε τέσσερις πλευρές.

    1. Επίλυση ομάδων προβλημάτων με βάση το κύριο.

      1. Το κύριο καθήκον:

Κατασκευάστε ένα τρίγωνο χρησιμοποιώντας δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους.

    Κατασκευάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο κατά μήκος δύο πλευρών.

    Κατασκευάστε έναν ρόμβο κατά μήκος δύο διαγώνιων.

    Κατασκευάστε ένα ορθογώνιο με δύο άνισες πλευρές.

    Κατασκευάστε ένα παραλληλόγραμμο χρησιμοποιώντας δύο διαγώνιους και τη μεταξύ τους γωνία.

    Κατασκευάστε ένα ορθογώνιο χρησιμοποιώντας τις διαγώνιες και τη γωνία μεταξύ τους.

    1. Το κύριο καθήκον:

Κατασκευάστε ένα τρίγωνο χρησιμοποιώντας μια πλευρά και δύο γειτονικές γωνίες.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

    Κατασκευάστε ένα ισοσκελές τρίγωνο χρησιμοποιώντας τη βάση και τη γειτονική του γωνία.

    Κατασκευάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο χρησιμοποιώντας ένα σκέλος και μια παρακείμενη οξεία γωνία.

    Κατασκευάστε έναν ρόμβο χρησιμοποιώντας μια γωνία και μια διαγώνιο που διέρχεται από την κορυφή αυτής της γωνίας.

    Κατασκευάστε ένα ισοσκελές τρίγωνο με βάση το ύψος και τη γωνία κορυφής.

    Κατασκευάστε ένα τετράγωνο κατά μήκος της δεδομένης διαγωνίου.

    1. Το κύριο καθήκον:

Κατασκευάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο χρησιμοποιώντας την υποτείνουσα και μια οξεία γωνία.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

    Κατασκευάστε ένα ισοσκελές τρίγωνο κατά μήκος της πλευράς και της γωνίας στη βάση.

    Κατασκευάστε ένα ισοσκελές τρίγωνο χρησιμοποιώντας την πλευρά και τη γωνία κορυφής του.

    1. Το κύριο καθήκον:

Κατασκευάστε ένα τρίγωνο χρησιμοποιώντας τρεις πλευρές.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

    Κατασκευάστε ένα ισοσκελές τρίγωνο χρησιμοποιώντας τη βάση και τις πλευρές του.

    Κατασκευάστε έναν ρόμβο κατά μήκος των πλευρών και των διαγώνιων.

    Κατασκευάστε ένα παραλληλόγραμμο χρησιμοποιώντας δύο άνισες πλευρές και μια διαγώνιο.

    Κατασκευάστε ένα παραλληλόγραμμο χρησιμοποιώντας μια πλευρά και δύο διαγώνιες.

    1. Το κύριο καθήκον:

Κατασκευάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο χρησιμοποιώντας ένα σκέλος και μια υποτείνουσα.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

    Κατασκευάστε ένα ισοσκελές τρίγωνο κατά μήκος και πλευρά.

    Κατασκευάστε ένα ισοσκελές τρίγωνο χρησιμοποιώντας τη βάση και μια κάθετη από το άκρο της βάσης προς την πλευρά.

    Κατασκευάστε ένα παραλληλόγραμμο χρησιμοποιώντας τη βάση, το ύψος και τη διαγώνιο του.

    Κατασκευάστε έναν ρόμβο κατά το ύψος και τη διαγώνιο του.

    Κατασκευάστε ένα ισοσκελές τρίγωνο χρησιμοποιώντας την πλευρά και το ύψος που έχει χαμηλώσει από αυτήν.

    Κατασκευάστε ένα τρίγωνο με βάση τη βάση, το ύψος και την πλευρά.

Βιβλιογραφία:

    B. I. Argunov, M. B. Balk “Geometric structures on the plane”, M, “Prosveshchenie” 1955.

    Glazer G.I. «Ιστορία των μαθηματικών στο σχολείο» IV – VI τάξεις, M, «Διαφωτισμός», 1981

    I. Goldenblant «Εμπειρία στην επίλυση προβλημάτων γεωμετρικής κατασκευής» «Τα μαθηματικά στο σχολείο» Νο. 3, 1946

    I. A. Kushnir "On one way to επίλυση προβλημάτων κατασκευής" "Mathematics at school" No. 2, 1984

    A. I. Mostovoy "Εφαρμογή διαφόρων μεθόδων για την επίλυση προβλημάτων κατασκευής" "Μαθηματικά στο σχολείο" Νο. 5, 1983

    A. A. Popova "Μαθηματικά" Εγχειρίδιο. «Πολιτεία Τσελιάμπινσκ Παιδαγωγικό Πανεπιστήμιο», 2005

    E. M. Selezneva, M. N. Serebryakova «Γεωμετρικές κατασκευές στις τάξεις I – V Λύκειο«Μεθοδολογικές εξελίξεις. Sverdlovsk, 1974

Ισοσκελήςείναι έτσι τρίγωνο, στο οποίο τα μήκη των δύο πλευρών του είναι ίσα μεταξύ τους.

Κατά την επίλυση προβλημάτων σχετικά με το θέμα "Ισοσκελές τρίγωνο"είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε τα ακόλουθα γνωστά ιδιότητες:

1. Οι γωνίες απέναντι από ίσες πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους.
2. Διχοτόμοι, διάμεσοι και υψόμετρα που αντλούνται από ίσες γωνίες, είναι ίσα μεταξύ τους.
3. Η διχοτόμος, η διάμεσος και το υψόμετρο στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου συμπίπτουν μεταξύ τους.
4. Το κέντρο του κύκλου και το κέντρο του κυκλικού κύκλου βρίσκονται στο ύψος, και επομένως στη μέση και τη διχοτόμο που έλκονται στη βάση.
5. Οι γωνίες που είναι ίσες σε ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι πάντα οξείες.

Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν έχει τα εξής σημάδια:

1. Δύο γωνίες ενός τριγώνου είναι ίσες.
2. Το ύψος συμπίπτει με το διάμεσο.
3. Η διχοτόμος συμπίπτει με τη διάμεσο.
4. Το ύψος συμπίπτει με τη διχοτόμο.
5. Τα δύο ύψη ενός τριγώνου είναι ίσα.
6. Οι δύο διχοτόμοι ενός τριγώνου είναι ίσες.
7. Οι δύο διάμεσοι ενός τριγώνου είναι ίσες.

Ας εξετάσουμε πολλά προβλήματα σχετικά με το θέμα "Ισοσκελές τρίγωνο"και δίνουν την αναλυτική τους λύση.

Εργασία 1.

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, το ύψος από τη βάση είναι 8, και η βάση προς την πλευρά είναι 6: 5. Βρείτε την απόσταση από την κορυφή του τριγώνου μέχρι το σημείο τομής των διχοτόμων του.

Λύση.

Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (Εικ. 1).

1) Αφού AC: BC = 6: 5, τότε AC = 6x και BC = 5x. VN – ύψος που τραβιέται στη βάση του ηχείου τρίγωνο ABC.

Εφόσον το σημείο H είναι το μέσο του AC (σύμφωνα με την ιδιότητα ενός ισοσκελούς τριγώνου), τότε HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

BC 2 = VN 2 + NS 2;

(5x) 2 = 8 2 + (3x) 2 ;

x = 2, λοιπόν

AC = 6x = 6 2 = 12 και

π.Χ. = 5x = 5 2 = 10.

3) Εφόσον το σημείο τομής των διχοτόμων ενός τριγώνου είναι το κέντρο του κύκλου που εγγράφεται σε αυτό, τότε
OH = r. Βρίσκουμε την ακτίνα του κύκλου εγγεγραμμένη στο τρίγωνο ABC χρησιμοποιώντας τον τύπο

4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;

p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, μετά OH = r = 48/16 = 3.

Ως εκ τούτου VO = VN – OH; VO = 8 – 3 = 5.

Απάντηση: 5.

Εργασία 2.

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ABC σχεδιάζεται η διχοτόμος AD. Τα εμβαδά των τριγώνων ABD και ADC είναι 10 και 12. Βρείτε το τριπλό εμβαδόν ενός τετραγώνου που έχει κατασκευαστεί στο ύψος αυτού του τριγώνου που έλκεται στη βάση AC.

Λύση.

Θεωρήστε τρίγωνο ABC - ισοσκελές, AD - διχοτόμος γωνίας Α (Εικ. 2).

1) Ας γράψουμε τα εμβαδά των τριγώνων BAD και DAC:

S BAD = 1/2 · AB · AD · αμαρτία α; S DAC = 1/2 · AC · AD · αμαρτία α.

2) Βρείτε την αναλογία των περιοχών:

S BAD /S DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB/AC.

Αφού S BAD = 10, S DAC = 12, τότε 10/12 = AB/AC;

AB/AC = 5/6, μετά έστω AB = 5x και AC = 6x.

AN = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

3) Από το τρίγωνο ABN - ορθογώνιο σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα AB 2 = AN 2 + BH 2;

25x 2 = VN 2 + 9x 2;

4) S A ВС = 1/2 · АС · ВН; S A B C = 1/2 · 6x · 4x = 12x 2 .

Αφού S A BC = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22, τότε 22 = 12x 2 ;

x 2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.

5) Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι ίσο με VN 2 = 88/3. 3 88/3 = 88.

Απάντηση: 88.

Εργασία 3.

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η βάση είναι 4 και η πλευρά είναι 8. Βρείτε το τετράγωνο του ύψους που έπεσε στην πλευρά.

Λύση.

Σε τρίγωνο ABC - ισοσκελές BC = 8, AC = 4 (Εικ. 3).

1) ВН – ύψος που τραβιέται στη βάση AC του τριγώνου ABC.

Δεδομένου ότι το σημείο H είναι το μέσο του AC (σύμφωνα με την ιδιότητα ενός ισοσκελούς τριγώνου), τότε HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2.

2) Από το τρίγωνο VNS - ορθογώνιο σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα BC 2 = VN 2 + NS 2;

64 = VN 2 + 4;

3) S ABC = 1/2 · (AC · BH), καθώς και S ABC = 1/2 · (AM · BC), τότε εξισώνουμε τις δεξιές πλευρές των τύπων, παίρνουμε

1/2 · AC · BH = 1/2 · AM · BC;

AM = (AC BH)/BC;

ΠΜ = (√60 · 4)/8 = (2√15 · 4)/8 = √15.

Απάντηση: 15.

Εργασία 4.

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η βάση και το ύψος που έχει χαμηλώσει είναι ίσο με 16. Βρείτε την ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από αυτό το τρίγωνο.

Λύση.

Στο τρίγωνο ABC – ισοσκελές βάση AC = 16, ВН = 16 – ύψος που τραβιέται στη βάση AC (Εικ. 4).

1) AN = NS = 8 (σύμφωνα με την ιδιότητα ισοσκελούς τριγώνου).

2) Από το τρίγωνο VNS - ορθογώνιο σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα

BC 2 = VN 2 + NS 2;

π.Χ. 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;

3) Θεωρήστε το τρίγωνο ABC: από το θεώρημα των ημιτόνων 2R = AB/sin C, όπου R είναι η ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το τρίγωνο ABC.

sin C = BH/BC (από το τρίγωνο VNS εξ ορισμού του ημιτονοειδούς).

sin C = 16/(8√5) = 2/√5, μετά 2R = 8√5/(2/√5);

2R = (8√5 · √5)/2; R = 10.

Απάντηση: 10.

Εργασία 5.

Το μήκος του υψομέτρου που τραβιέται στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 36 και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι 10. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου.

Λύση.

Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ.

1) Εφόσον το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τρίγωνο είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του, τότε Ο ϵ VN και AO είναι η διχοτόμος της γωνίας Α και επίσης OH = r = 10 (Εικ. 5).

2) VO = VN – OH; VO = 36 – 10 = 26.

3) Θεωρήστε το τρίγωνο ABN. Με το θεώρημα της διχοτόμου γωνίας τριγώνου

AB/AN = VO/OH;

AB/AN = 26/10 = 13/5, τότε έστω AB = 13x και AN = 5x.

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, AB 2 = AN 2 + VN 2;

(13x) 2 = 36 2 + (5x) 2 ;

169x 2 = 25x 2 + 36 2;

144x 2 = (12 · 3) 2 ;

144x2 = 144 9;

x = 3, μετά AC = 2 · AN = 10x = 10 · 3 = 30.

4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;

Απάντηση: 540.

Εργασία 6.

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο δύο πλευρές είναι ίσες με 5 και 20. Βρείτε τη διχοτόμο της γωνίας στη βάση του τριγώνου.

Λύση.

1) Έστω ότι οι πλευρές του τριγώνου είναι 5 και η βάση είναι 20.

Μετά 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (Εικ. 6).

2) Έστω LC = x, μετά BL = 20 – x. Με το θεώρημα της διχοτόμου γωνίας τριγώνου

AB/AC = BL/LC;

20/5 = (20 – x)/x,

τότε 4x = 20 – x;

Έτσι LC = 4; BL = 20 – 4 = 16.

3) Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τη διχοτόμο μιας γωνίας τριγώνου:

AL 2 = AB AC – BL LC,

τότε AL 2 = 20 5 – 4 16 = 36;

Απάντηση: 6.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε προβλήματα γεωμετρίας;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Πώς να κατασκευάσετε ένα ισοσκελές τρίγωνο; Αυτό γίνεται εύκολα με χάρακα, μολύβι και κελιά σημειωματάριου.

Ξεκινάμε την κατασκευή ενός ισοσκελούς τριγώνου από τη βάση. Για να γίνει το μοτίβο άρτιο, ο αριθμός των κελιών στη βάση πρέπει να είναι άρτιος.

Διαχωρίστε το τμήμα - τη βάση του τριγώνου - στο μισό.

Η κορυφή του τριγώνου μπορεί να επιλεγεί σε οποιοδήποτε ύψος από τη βάση, αλλά πάντα ακριβώς πάνω από τη μέση.

Πώς να κατασκευάσετε ένα οξύ ισοσκελές τρίγωνο;

Οι γωνίες στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου μπορούν να είναι μόνο οξείες. Για να είναι οξύ ένα ισοσκελές τρίγωνο, πρέπει να είναι οξεία και η γωνία στην κορυφή.

Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε την κορυφή του τριγώνου ψηλότερα, μακριά από τη βάση.

Όσο υψηλότερη είναι η κορυφή, τόσο μικρότερη είναι η γωνία κορυφής. Οι γωνίες στη βάση αυξάνονται ανάλογα.

Πώς να φτιάξετε ένα αμβλύ ισοσκελές τρίγωνο;

Καθώς η κορυφή ενός ισοσκελούς τριγώνου πλησιάζει τη βάση μέτρο βαθμούη γωνία κορυφής αυξάνεται.

Έτσι, να κατασκευάσουμε ένα ισοσκελές αμβλύ τρίγωνο, επιλέξτε μια χαμηλότερη κορυφή.

Πώς να κατασκευάσετε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο;

Για να κατασκευάσετε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, πρέπει να επιλέξετε μια κορυφή σε απόσταση ίση με το μισό της βάσης (αυτό οφείλεται στις ιδιότητες ενός ισοσκελούς ορθογώνιο τρίγωνο).

Για παράδειγμα, αν το μήκος της βάσης είναι 6 κελιά, τότε τοποθετούμε την κορυφή του τριγώνου σε ύψος 3 κελιών πάνω από τη μέση της βάσης. Παρακαλώ σημειώστε: σε αυτήν την περίπτωση, κάθε κελί στις γωνίες στη βάση χωρίζεται διαγώνια.

Η κατασκευή ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου μπορεί να ξεκινήσει από την κορυφή.

Επιλέγουμε μια κορυφή και από αυτήν σε ορθή γωνία βάζουμε ίσα τμήματα προς τα πάνω και προς τα δεξιά. Αυτές είναι οι πλευρές του τριγώνου.

Ας τα συνδέσουμε και ας πάρουμε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο.

Θα εξετάσουμε την κατασκευή ενός ισοσκελούς τριγώνου με χρήση πυξίδας και χάρακα χωρίς διαιρέσεις σε άλλο θέμα.