Το βίντεο μάθημα «Ο ορισμός του ημιτονοειδούς και συνημιτόνου στον κύκλο μονάδας» παρέχει οπτικό υλικό για ένα μάθημα σχετικά με το σχετικό θέμα. Κατά τη διάρκεια του μαθήματος, συζητούνται οι έννοιες του ημιτόνου και του συνημίτονου για αριθμούς που αντιστοιχούν σε σημεία του κύκλου μονάδας και περιγράφονται πολλά παραδείγματα που αναπτύσσουν την ικανότητα επίλυσης προβλημάτων όπου χρησιμοποιείται αυτή η ερμηνεία των εννοιών. Βολικές και κατανοητές απεικονίσεις λύσεων, μια λεπτομερής πορεία συλλογιστικής βοηθούν στην γρήγορη επίτευξη μαθησιακών στόχων και στην αύξηση της αποτελεσματικότητας του μαθήματος.
Το μάθημα βίντεο ξεκινάει με την εισαγωγή του θέματος. Στην αρχή της επίδειξης δίνεται ο ορισμός του ημιτόνου και του συνημίτονος ενός αριθμού. Στην οθόνη εμφανίζεται ένας κύκλος μονάδας με κέντρο στην αρχή των συντεταγμένων, σημειώνονται τα σημεία τομής του κύκλου μονάδας με τους άξονες συντεταγμένων A, B, C, D. Στο πλαίσιο επισημαίνεται ένας ορισμός, ο οποίος δηλώνει ότι αν ένα σημείο Μ που ανήκει στον μοναδιαίο κύκλο αντιστοιχεί σε ορισμένο αριθμό t, τότε η τετμημένη αυτού του σημείου είναι το συνημίτονο του αριθμού t και συμβολίζεται με cos t, η τεταγμένη του σημείου είναι ημίτονο και συμβολίζεται με sin t . Η έκφραση του ορισμού συνοδεύεται από μια εικόνα του σημείου Μ στον μοναδιαίο κύκλο, που δείχνει την τετμημένη και τη τεταγμένη του. Παρουσιάζεται ένας σύντομος συμβολισμός χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό ότι για M(t)=M(x;y), x= cos t, y= sin t. Υποδεικνύονται οι περιορισμοί που επιβάλλονται στην τιμή του συνημιτόνου και του ημιτόνου ενός αριθμού. Σύμφωνα με τα στοιχεία που εξετάστηκαν, -1<=cos t<=1 и -1<= sin t<=1.
Είναι επίσης εύκολο να δούμε από το σχήμα πώς αλλάζει το πρόσημο της συνάρτησης ανάλογα με το σε ποιο τέταρτο βρίσκεται το σημείο. Στην οθόνη συντάσσεται ένας πίνακας στον οποίο για κάθε συνάρτηση υποδεικνύεται το πρόσημο της ανάλογα με το τέταρτο. Το πρόσημο του cos t είναι συν στο πρώτο και τέταρτο τέταρτο και μείον στο δεύτερο και τρίτο τέταρτο. Το σύμβολο sin t είναι συν στο πρώτο και δεύτερο τέταρτο, μείον στο τρίτο και τέταρτο τέταρτο.
Υπενθυμίζεται στους μαθητές η εξίσωση κύκλου μονάδας x 2 + y 2 = 1. Σημειώνεται ότι αφού αντικαταστήσουμε αντί των συντεταγμένων των αντίστοιχων συναρτήσεων, λαμβάνουμε cos 2 t+ sin 2 t=1 - την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο εύρεσης sin t και cos t χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο, συμπληρώστε έναν πίνακα με τις βασικές τιμές του ημιτόνου και του συνημίτονου για αριθμούς από 0 έως 2π σε προσαυξήσεις π/4 και για αριθμούς από π/6 έως 11π. /6 σε προσαυξήσεις π/6. Αυτοί οι πίνακες εμφανίζονται στην οθόνη. Χρησιμοποιώντας τα και το σχέδιο, ο δάσκαλος μπορεί να ελέγξει πόσο καλά έχει κατακτηθεί η ύλη και πόσο καλά κατανοούν οι μαθητές την προέλευση των τιμών sin t και cos t.
Εξετάζεται ένα παράδειγμα στο οποίο τα sin t και cos t υπολογίζονται για t=41π/4. Η λύση απεικονίζεται από ένα σχήμα που δείχνει έναν κύκλο μονάδας με το κέντρο του στην αρχή. Σε αυτό σημειώνεται το σημείο 41π/4. Σημειώνεται ότι το σημείο αυτό συμπίπτει με τη θέση του σημείου π/4. Αυτό αποδεικνύεται με την αναπαράσταση αυτού του κλάσματος ως μικτό κλάσμα 41π/4=π/4+2π·5. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα τιμών συνημιτόνου, λαμβάνουμε τις τιμές cos π/4=√2/2 και sinπ/4=√2/2. Από τις πληροφορίες που ελήφθησαν προκύπτει ότι cos 41π/4=√2/2 και sin 41π/4=√2/2.
Στο δεύτερο παράδειγμα, είναι απαραίτητο να υπολογιστούν τα sin t και cos t για t=-25π/3. Στην οθόνη εμφανίζεται ένας κύκλος μονάδας με το σημείο t=-25π/3 σημειωμένο πάνω του. Πρώτον, για να λυθεί το πρόβλημα, ο αριθμός -25π/3 αναπαρίσταται ως μικτό κλάσμα προκειμένου να ανακαλύψουμε σε ποια τιμή πίνακα θα αντιστοιχούν το sin t και το cos t του. Μετά τον μετασχηματισμό παίρνουμε -25π/3=-π/3+2π·(-4). Προφανώς, t=-25π/3 θα συμπίπτει στον κύκλο με το σημείο -π/3 ή 5π/3. Από τον πίνακα επιλέγουμε τις αντίστοιχες τιμές ημιτονοειδούς και συνημιτόνου cos 5π/3=1/2 και sin 5π/3=-√3/2. Αυτές οι τιμές θα είναι σωστές για τον εν λόγω αριθμό cos (-25π/3)=1/2 και sin (-25π/3)=-√3/2. Το πρόβλημα λύθηκε.
Παρόμοια λύνεται και το Παράδειγμα 3, στο οποίο είναι απαραίτητος ο υπολογισμός των sin t και cos t για t=37π. Για να λυθεί το παράδειγμα, ο αριθμός 37π επεκτείνεται, απομονώνοντας το π και το 2π. Στην παράσταση αυτή προκύπτει 37π=π+2π·18. Στον μοναδιαίο κύκλο, που φαίνεται δίπλα στη λύση, το σημείο αυτό σημειώνεται στην τομή του αρνητικού τμήματος του άξονα τεταγμένων και του μοναδιαίου κύκλου - σημείο π. Προφανώς, οι τιμές του ημιτόνου και του συνημίτονος του αριθμού θα συμπίπτουν με τις τιμές του πίνακα του π. Από τον πίνακα βρίσκουμε τις τιμές sin π=-1 και cos π=0. Κατά συνέπεια, αυτές οι ίδιες τιμές είναι οι επιθυμητές, δηλαδή sin 37π=-1 και cos 37π=0.
Στο παράδειγμα 4 απαιτείται ο υπολογισμός των sin t και cos t στο t=-12π. Αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό ως -12π=0+2π·(-6). Κατά συνέπεια, το σημείο -12π συμπίπτει με το σημείο 0. Οι τιμές συνημιτόνου και ημιτόνου αυτού του σημείου είναι sin 0=1 και cos 0=0. Αυτές οι τιμές είναι οι απαιτούμενες sin (-12π)=1 και cos (-12π)=0.
Στο πέμπτο παράδειγμα, πρέπει να λύσετε την εξίσωση sin t=√3/2. Για την επίλυση της εξίσωσης χρησιμοποιείται η έννοια του ημίτονου ενός αριθμού. Εφόσον αντιπροσωπεύει την τεταγμένη του σημείου M(t), είναι απαραίτητο να βρεθεί το σημείο με την τεταγμένη √3/2. Το σχήμα που συνοδεύει τη λύση δείχνει ότι η τεταγμένη √3/2 αντιστοιχεί σε δύο σημεία - το πρώτο π/3 και το δεύτερο 2π/3. Λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα της συνάρτησης, σημειώνουμε ότι t=π/3+2πk και t= 2π/3+2πk για ακέραιο k.
Στο παράδειγμα 6, λύνεται η εξίσωση με συνημίτονο - cos t=-1/2. Στην αναζήτηση λύσεων της εξίσωσης, βρίσκουμε σημεία στον μοναδιαίο κύκλο με την τετμημένη 2π/3. Στην οθόνη εμφανίζεται ένα σχήμα στο οποίο σημειώνεται η τετμημένη -1/2. Αντιστοιχεί σε δύο σημεία του κύκλου - 2π/3 και -2π/3. Λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα των συναρτήσεων, η λύση που βρέθηκε γράφεται με τη μορφή t=2π/3+2πk και t=-2π/3+2πk, όπου k είναι ακέραιος.
Στο παράδειγμα 7 λύνεται η εξίσωση sin t-1=0. Για να βρεθεί λύση, η εξίσωση μετατρέπεται σε sin t=1. Το ημίτονο 1 αντιστοιχεί στον αριθμό π/2. Λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα της συνάρτησης, η λύση που βρέθηκε γράφεται με τη μορφή t=π/2+2πk, όπου k είναι ακέραιος. Ομοίως, στο παράδειγμα 8 λύνεται η εξίσωση cos t+1=0. Ας μετατρέψουμε την εξίσωση στη μορφή cos t=-1. Το σημείο του οποίου η τετμημένη είναι -1 αντιστοιχεί στον αριθμό π. Αυτό το σημείο σημειώνεται στον κύκλο μονάδας που εμφανίζεται δίπλα στη λύση κειμένου. Αντίστοιχα, η λύση αυτής της εξίσωσης είναι ο αριθμός t=π+2πk, όπου k είναι ακέραιος. Δεν είναι πιο δύσκολο να λύσουμε την εξίσωση cos t+1=1 στο παράδειγμα 9. Μετασχηματίζοντας την εξίσωση, λαμβάνουμε cos t=0. Στον μοναδιαίο κύκλο που φαίνεται δίπλα στη λύση, σημειώνουμε τα σημεία -π/2 και -3π/2, στα οποία το συνημίτονο παίρνει την τιμή 0. Προφανώς, η λύση αυτής της εξίσωσης θα είναι μια σειρά τιμών t= π/2+πk, όπου k είναι ακέραιος αριθμός.
Στο παράδειγμα 10, συγκρίνονται οι τιμές του sin 2 και του cos 3. Για να γίνει η λύση σαφής, εμφανίζεται ένα σχήμα όπου σημειώνονται τα σημεία 2 και 3. Γνωρίζοντας ότι π/2≈1,57, υπολογίζουμε την απόσταση των σημείων από αυτό. Το σχήμα σημειώνει ότι το σημείο 2 απέχει 0,43 από το π/2, ενώ το 3 απέχει 1,43, επομένως το σημείο 2 έχει μεγαλύτερη τετμημένη από το σημείο 3. Αυτό σημαίνει sin 2>cos 3.
Το Παράδειγμα 11 περιγράφει τον υπολογισμό της έκφρασης sin 5π/4. Εφόσον το 5π/4 είναι π/4+π, χρησιμοποιώντας τύπους αναγωγής, η έκφραση μπορεί να μετατραπεί σε - sin π/4. Από τον πίνακα επιλέγουμε την τιμή του - sin π/4=-√2/2. Ομοίως, στο παράδειγμα 12 βρίσκεται η τιμή της έκφρασης cos7π/6. Μετατρέποντάς το στη μορφή cos(π/6+π), παίρνουμε την έκφραση - cos π/6. Η τιμή του πίνακα είναι cos π/6=-√3/2. Αυτή η τιμή θα είναι η λύση.
Στη συνέχεια, προτείνεται να θυμάστε σημαντικές ισότητες που βοηθούν στην επίλυση προβλημάτων - αυτές είναι sin(-t)= -sin t και cos (-t)=cos t. Στην πραγματικότητα, αυτή η έκφραση αντικατοπτρίζει την ομαλότητα του συνημιτονοειδούς και την παραδοξότητα του ημιτόνου. Στην εικόνα του κύκλου μονάδας δίπλα στις ισότητες μπορείτε να δείτε πώς λειτουργούν αυτές οι ισότητες στο επίπεδο συντεταγμένων. Παρουσιάζονται επίσης δύο ισότητες που αντικατοπτρίζουν την περιοδικότητα των συναρτήσεων, οι οποίες είναι σημαντικές για την επίλυση προβλημάτων sin(t+2πk)= sin t και cos (t+2πk)=cos t. Επιδεικνύονται ισότητες που αντικατοπτρίζουν τη συμμετρική διάταξη των σημείων στον μοναδιαίο κύκλο sin(t+π)= -sin t και cos (t+π)=-cos t. Δίπλα στις ισότητες, κατασκευάζεται μια εικόνα που εμφανίζει τη θέση αυτών των σημείων στον μοναδιαίο κύκλο. Και οι τελευταίες παρουσιαζόμενες ισότητες sin(t+π/2)= cos t και cos (t+π/2)=- sin t.
Το μάθημα βίντεο «Ο ορισμός του ημιτόνου και του συνημιτόνου στον κύκλο της μονάδας» συνιστάται για χρήση σε ένα παραδοσιακό σχολικό μάθημα μαθηματικών για να αυξηθεί η αποτελεσματικότητά του και να διασφαλιστεί η σαφήνεια της εξήγησης του δασκάλου. Για τον ίδιο σκοπό, το υλικό μπορεί να χρησιμοποιηθεί κατά τη διάρκεια της εξ αποστάσεως εκπαίδευσης. Το εγχειρίδιο μπορεί επίσης να είναι χρήσιμο για την ανάπτυξη κατάλληλων δεξιοτήτων επίλυσης προβλημάτων στους μαθητές όταν κατέχουν το υλικό ανεξάρτητα.
ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ:
"Ορισμός του ημιτόνου και του συνημιτόνου στον μοναδιαίο κύκλο."
Ας ορίσουμε το ημίτονο και το συνημίτονο ενός αριθμού
ΟΡΙΣΜΟΣ: αν ένα σημείο Μ ενός κύκλου αριθμητικής μονάδας αντιστοιχεί στον αριθμό t(te), τότε η τετμημένη του σημείου M ονομάζεται συνημίτονο του αριθμού t(te) και ορίζεται κόστος και η τεταγμένη του σημείου M. ονομάζεται ημίτονο του αριθμού t(te) και ορίζεται sint(εικ).
Αυτό σημαίνει ότι αν M(t) = M (x,y)(em από το te είναι ίσο με το em με συντεταγμένες x και y), τότε x = κόστος, y= sint (x είναι ίσο με το συνημίτονο του te, το y είναι ίσο με το ημίτονο του te). Κατά συνέπεια, - 1≤ κόστος ≤ 1, -1≤ sint ≤1 (το συνημίτονο te είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μείον ένα, αλλά μικρότερο ή ίσο με ένα, το sine te είναι μεγαλύτερο ή ίσο μείον ένα, αλλά μικρότερο ή ίσο με ένα).Γνωρίζοντας ότι κάθε σημείο κύκλος αριθμώνέχει τις δικές του συντεταγμένες στο σύστημα xOy, μπορείτε να δημιουργήσετε έναν πίνακα με τις τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου ανά τέταρτα του κύκλου, όπου η τιμή συνημιτόνου είναι θετική στο πρώτο και τέταρτο τέταρτο και, κατά συνέπεια, αρνητική στο δεύτερο και τρίτο τρίμηνο.
Η ημιτονοειδής τιμή είναι θετική στο πρώτο και δεύτερο τρίμηνο και, κατά συνέπεια, αρνητική στο τρίτο και τέταρτο τρίμηνο. (εμφάνιση στο σχέδιο)
Αφού η εξίσωση του αριθμητικού κύκλου έχει τη μορφή x 2 + y 2 = 1 (x τετράγωνο συν y τετράγωνο ισούται με ένα), τότε παίρνουμε την ισότητα:
(συνημίτονο στο τετράγωνο te συν ημίτονο στο τετράγωνο te ισούται με ένα).
Με βάση τους πίνακες που συντάξαμε κατά τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των σημείων στον αριθμητικό κύκλο, θα συντάξουμε πίνακες για τις συντεταγμένες των σημείων στον αριθμητικό κύκλο για τις τιμές κόστους και συντεταγμένων.
Ας δούμε παραδείγματα.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Υπολογίστε το cos t και το sin t εάν t = (το te ισούται με σαράντα ένα pi έναντι τεσσάρων).
Λύση. Ο αριθμός t = αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο στον κύκλο αριθμών με τον αριθμό, αφού = ∙π = (10 +) ∙π = + 2π ∙ 5 (σαράντα ένα pi επί τέσσερα ισούται με το άθροισμα των pi επί τέσσερα και το γινόμενο δύο π επί πέντε). Και για το σημείο t = σύμφωνα με τον πίνακα την τιμή των συνημιτόνων 1 έχουμε cos = και sin =. Ως εκ τούτου,
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Υπολογίστε cos t και αμαρτία t, αν t = (το te ισούται με μείον είκοσι πέντε pi έναντι τριών).
ΛΥΣΗ: Ο αριθμός t = αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο στον κύκλο αριθμών με τον αριθμό, αφού = ∙ π = - (8 +)∙π = + 2π ∙ (- 4) (μείον είκοσι πέντε pi πάνω από τρία ισούται με το άθροισμα του μείον pi πάνω από το τρία και το γινόμενο των δύο pi επί πλην τέσσερα). Και ο αριθμός αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο στον κύκλο αριθμών με τον αριθμό. Και για το σημείο t = σύμφωνα με τον Πίνακα 2 έχουμε cos = και sin = Επομένως, cos () = και sin () =.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Υπολογίστε cos t και sin t εάν t = 37π; (το te ισούται με τριάντα επτά pi).
ΛΥΣΗ: 37π = 36π + π = π + 2π ∙ 18. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 37π αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο στον αριθμητικό κύκλο με τον αριθμό π. Και για το σημείο t = π, σύμφωνα με τον Πίνακα 1, έχουμε cos π = -1, sin π = 0. Αυτό σημαίνει cos37π = -1, sin37π = 0.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Υπολογίστε το cos t και το sin t εάν t = -12π (ίσο με μείον δώδεκα pi).
ΛΥΣΗ: - 12π = 0 + 2π ∙ (- 6), δηλαδή, ο αριθμός - 12π αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο στον κύκλο αριθμών με τον αριθμό μηδέν. Και για το σημείο t = 0, σύμφωνα με τον Πίνακα 1, έχουμε cos 0 = 1, sin 0 =0. Αυτό σημαίνει cos(-12π) =1, sin(-12π) =0.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Λύστε την εξίσωση sin t = .
Λύση. Θεωρώντας ότι το sin t είναι η τεταγμένη του σημείου M(t) (em από te) του αριθμητικού κύκλου, θα βρούμε σημεία με την τεταγμένη στον κύκλο αριθμών και θα γράψουμε σε ποιους αριθμούς t αντιστοιχούν. Ένα σημείο αντιστοιχεί σε έναν αριθμό και επομένως σε οποιονδήποτε αριθμό της μορφής + 2πk. Το δεύτερο σημείο αντιστοιχεί σε έναν αριθμό, και επομένως σε οποιονδήποτε αριθμό της μορφής + 2πk. Απάντηση: t = + 2πk, όπου kϵZ (το ka ανήκει στο zet), t= + 2πk, όπου kϵZ (το ka ανήκει στο zet).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Λύστε την εξίσωση cos t = .
Λύση. Λαμβάνοντας υπόψη ότι το cos t είναι η τετμημένη του σημείου M(t) (em από te) του αριθμητικού κύκλου, θα βρούμε τα σημεία με την τετμημένη στον αριθμητικό κύκλο και θα γράψουμε σε ποιους αριθμούς t αντιστοιχούν. Ένα σημείο αντιστοιχεί σε έναν αριθμό και επομένως σε οποιονδήποτε αριθμό της μορφής + 2πk. Και το δεύτερο σημείο αντιστοιχεί στον αριθμό ή, και επομένως σε οποιονδήποτε αριθμό της μορφής + 2πk ή + 2πk.
Απάντηση: t = + 2πk, t=+ 2πk (ή ± + 2πk (συν μείον δύο pi επί τρία συν δύο pi ka), όπου kϵZ (ka ανήκει στο zet).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7. Λύστε την εξίσωση cos t = .
Λύση. Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, πρέπει να βρείτε σημεία με τετμημένη στον αριθμητικό κύκλο και να γράψετε σε ποιους αριθμούς t αντιστοιχούν.
Το σχήμα δείχνει ότι δύο σημεία Ε και Σ έχουν τετμημένη, αλλά δεν μπορούμε ακόμη να πούμε σε ποιους αριθμούς αντιστοιχούν. Θα επανέλθουμε σε αυτό το θέμα αργότερα.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8. Λύστε την εξίσωση sin t = - 0,3.
Λύση. Στον αριθμητικό κύκλο βρίσκουμε σημεία με τεταγμένη - 0,3 και γράφουμε σε ποιους αριθμούς t αντιστοιχούν.
Η τεταγμένη - 0,3 έχει δύο σημεία P και H, αλλά δεν μπορούμε ακόμη να πούμε σε ποιους αριθμούς αντιστοιχούν. Θα επανέλθουμε επίσης σε αυτό το θέμα αργότερα.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9. Λύστε την εξίσωση sin t -1 =0
Λύση. Ας μετακινηθούμε μείον ένα στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, παίρνουμε sine te ίσο με ένα (sin t = 1). Στον αριθμητικό κύκλο πρέπει να βρούμε ένα σημείο του οποίου η τεταγμένη είναι ίση με ένα. Αυτό το σημείο αντιστοιχεί σε έναν αριθμό, και επομένως σε όλους τους αριθμούς της μορφής + 2πk (pi επί δύο συν δύο κορυφές).
Απάντηση: t = + 2πk, kϵZ(ka ανήκει στο zet).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10. Λύστε την εξίσωση cos t + 1 = 0.
Ας μετακινήσουμε το ένα στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, παίρνουμε το συνημίτονο te ίσο με μείον ένα (cos t = - 1) Η τετμημένη μείον ένα έχει ένα σημείο στον κύκλο αριθμών, που αντιστοιχεί στον αριθμό π, και αυτό σημαίνει όλα αριθμοί της μορφής π+2πk. Απάντηση: t = π+ 2πk, kϵZ.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11. Λύστε την εξίσωση cos t + 1 = 1.
Ας μετακινήσουμε τη μονάδα στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, παίρνουμε το συνημίτονο te ίσο με μηδέν (cos t = 0) Η τετμημένη μηδέν έχει σημεία B και D (Εικόνα 1), τα οποία αντιστοιχούν σε αριθμούς, κλπ. Αυτοί οι αριθμοί μπορούν να γραφούν ως + πk. Απάντηση: t = + πk, kϵZ.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 12. Ποιος από τους δύο αριθμούς είναι μεγαλύτερος, cos 2 ή cos 3; (συνημίτονο του δύο ή συνημίτονο του τρία)
Λύση. Ας επαναδιατυπώσουμε την ερώτηση διαφορετικά: τα σημεία 2 και 3 σημειώνονται στον αριθμητικό κύκλο.Ποιο από αυτά έχει μεγαλύτερη τετμημένη;
Στον αριθμητικό κύκλο, σημειώστε τα σημεία 2 και 3. Να θυμάστε ότι αυτό σημαίνει ότι το σημείο 2 αφαιρείται από τον κύκλο κατά περίπου 0,43 (σημείο μηδέν σαράντα τρία εκατοστά) (2 -≈ 2 - 1,57 = 0,43) και το σημείο 3 με 1,43 (ένας βαθμός σαράντα τρία εκατοστά). Επομένως, το σημείο 2 είναι πιο κοντά στο σημείο από το σημείο 3, άρα έχει μεγαλύτερη τετμημένη (λάβαμε υπόψη ότι και τα δύο τετμημένα είναι αρνητικά).
Απάντηση: cos 2 > cos 3.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 13. Υπολογίστε την αμαρτία (sine πέντε pi επί τέσσερα)
Λύση. sin(+ π) = - sin = (sine πέντε pi πάνω από τέσσερα ισούται με το άθροισμα του pi πάνω από τέσσερα και το pi ισούται με μείον sine pi πάνω από τέσσερα ίσον μείον ρίζα δύο έναντι δύο).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14. Υπολογίστε το cos (συνημίτονο επτά pi επί έξι).
cos(+ π) = - cos =. (παριστάναμε επτά πι πάνω από έξι ως το άθροισμα των π πάνω από έξι και π και εφαρμόσαμε την τρίτη ισότητα).
Για το ημίτονο και το συνημίτονο παίρνουμε μερικούς σημαντικούς τύπους.
1. Για οποιαδήποτε τιμή του t ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:
sin (-t) = -sin t
cos (-t) = cos t
Το ημίτονο του μείον te είναι ίσο με το μείον του τε
Το συνημίτονο του minu te είναι ίσο με το συνημίτονο του te.
Το σχήμα δείχνει ότι τα σημεία E και L, συμμετρικά ως προς τον άξονα της τετμημένης, έχουν την ίδια τετμημένη, αυτό σημαίνει
cos(-t) = κόστος, αλλά οι τεταγμένες είναι ίσες σε μέγεθος και αντίθετες σε πρόσημο (αυτό σημαίνει sin(-t) = - sint.
2. Για οποιαδήποτε τιμή του t ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:
sin (t+2πk) = αμαρτία t
cos (t+2πk) = cos t
Το ημίτονο του te συν δύο pi είναι ίσο με το ημίτονο του te
Το συνημίτονο του te συν δύο pi είναι ίσο με το συνημίτονο του te
Αυτό ισχύει, αφού οι αριθμοί t και t+2πk αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο.
3. Για οποιαδήποτε τιμή του t ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:
sin (t+π) = -sin t
cos (t+π) = -cos t
Το ημίτονο του te συν pi ισούται με μείον το ημίτονο του te
συνημίτονο του te συν pi ίσον μείον συνημίτονο του te
Έστω ο αριθμός t αντιστοιχεί στο σημείο Ε του αριθμητικού κύκλου, τότε ο αριθμός t+π αντιστοιχεί στο σημείο L, το οποίο είναι συμμετρικό στο σημείο Ε σε σχέση με την αρχή. Το σχήμα δείχνει ότι σε αυτά τα σημεία η τετμημένη και η τεταγμένη είναι ίσα σε μέγεθος και αντίθετα σε πρόσημο. Αυτό σημαίνει,
cos(t +π)= - κόστος;
sin(t +π)= - sint.
4. Για οποιαδήποτε τιμή του t ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:
sin(t+) = cos t
cos(t+) = -sin t
Sine te συν pi κατά δύο ίσον συνημίτονο te
Συνημίτονο te συν pi επί δύο ισούται με μείον sine te.
>> Κύκλος αριθμών
Κατά τη μελέτη του μαθήματος της άλγεβρας για τις τάξεις 7-9, έχουμε ασχοληθεί μέχρι τώρα με αλγεβρικές συναρτήσεις, δηλ. συναρτήσεις που προσδιορίζονται αναλυτικά από εκφράσεις, στην καταγραφή των οποίων χρησιμοποιήσαμε αλγεβρικές πράξειςπάνω από αριθμούς και μεταβλητές (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, εκθετικότητα, εξαγωγή τετραγωνική ρίζα). Αλλά τα μαθηματικά μοντέλα πραγματικών καταστάσεων συχνά συνδέονται με συναρτήσεις διαφορετικού τύπου, όχι αλγεβρικές. Με τους πρώτους εκπροσώπους της κατηγορίας των μη αλγεβρικών συναρτήσεων - τριγωνομετρικές συναρτήσεις - θα γνωρίσουμε σε αυτό το κεφάλαιο. Θα μελετήσετε αναλυτικότερα τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και άλλους τύπους μη αλγεβρικών συναρτήσεων (εκθετικές και λογαριθμικές) στο λύκειο.
Για εισαγωγή τριγωνομετρικές συναρτήσειςθα χρειαστούμε ένα νέο μαθηματικό μοντέλο- έναν αριθμητικό κύκλο που δεν έχετε συναντήσει ακόμα, αλλά είστε πολύ εξοικειωμένοι με την αριθμητική γραμμή. Θυμηθείτε ότι η αριθμητική γραμμή είναι μια ευθεία γραμμή στην οποία δίνεται το σημείο εκκίνησης Ο, η κλίμακα (τμήμα μονάδας) και η θετική κατεύθυνση. Μπορούμε να συγκρίνουμε οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό με ένα σημείο σε μια ευθεία και το αντίστροφο.
Πώς να βρείτε το αντίστοιχο σημείο Μ σε μια ευθεία χρησιμοποιώντας τον αριθμό x; Ο αριθμός 0 αντιστοιχεί στο σημείο εκκίνησης O. Εάν x > 0, τότε, κινούμενοι κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής από το σημείο 0 προς τη θετική κατεύθυνση, πρέπει να πάτε το n^ο του μήκους x. το τέλος αυτής της διαδρομής θα είναι το επιθυμητό σημείο M(x). Αν x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.
Και πώς λύσαμε το αντίστροφο πρόβλημα, δηλ. Πώς βρήκατε τη συντεταγμένη x ενός δεδομένου σημείου M στην αριθμητική ευθεία; Βρήκαμε το μήκος του τμήματος ΟΜ και το πήραμε με το πρόσημο «+» ή * - «ανάλογα με ποια πλευρά του σημείου Ο το σημείο Μ βρίσκεται στην ευθεία.
Αλλά σε πραγματική ζωήΠρέπει να κινηθείτε όχι μόνο σε ευθεία γραμμή. Αρκετά συχνά, κίνηση κατά μήκος κύκλος. Εδώ είναι ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Ας θεωρήσουμε το στίβο του σταδίου ως κύκλο (στην πραγματικότητα, δεν είναι, φυσικά, κύκλος, αλλά θυμηθείτε, όπως λένε συνήθως οι αθλητικοί σχολιαστές: "ο δρομέας έχει τρέξει έναν κύκλο", "υπάρχει μισός κύκλος" να τρέξει πριν τον τερματισμό», κ.λπ.), το μήκος του είναι 400 μ. Σημειώνεται η εκκίνηση - σημείο Α (Εικ. 97). Ο δρομέας από το σημείο Α κινείται γύρω από τον κύκλο αριστερόστροφα. Πού θα είναι στα 200 μ. σε 400 μ. στα 800 μ. στα 1500 μ. Πού πρέπει να τραβήξει τη γραμμή τερματισμού εάν τρέχει μαραθώνιο απόσταση 42 km 195 m;
Μετά από 200 m, θα βρίσκεται στο σημείο C, διαμετρικά αντίθετο από το σημείο Α (200 m είναι το μήκος του μισού διαδρόμου, δηλαδή το μήκος του μισού κύκλου). Αφού τρέξει 400 μέτρα (δηλαδή «ένας γύρος», όπως λένε οι αθλητές), θα επιστρέψει στο σημείο Α. Αφού τρέξει 800 μέτρα (δηλ. «δύο γύρους»), θα είναι και πάλι στο σημείο Α. Τι είναι 1500 μέτρα ? Αυτό είναι "τρεις κύκλοι" (1200 m) συν άλλα 300 m, δηλ. 3
Διάδρομος - το τελείωμα αυτής της απόστασης θα είναι στο σημείο 2) (Εικ. 97).
Αρκεί να αντιμετωπίσουμε τον μαραθώνιο. Αφού τρέξει 105 γύρους, ο αθλητής θα διανύσει απόσταση 105-400 = 42.000 m, δηλ. 42 χλμ. Απομένουν 195 μέτρα μέχρι τη γραμμή τερματισμού, δηλαδή 5 μέτρα λιγότερο από τη μισή περιφέρεια. Αυτό σημαίνει ότι ο τερματισμός της απόστασης του μαραθωνίου θα είναι στο σημείο Μ, που βρίσκεται κοντά στο σημείο Γ (Εικ. 97).
Σχόλιο. Φυσικά καταλαβαίνετε τη σύμβαση τελευταίο παράδειγμα. Κανείς δεν τρέχει μαραθώνιο απόσταση γύρω από το γήπεδο, το μέγιστο είναι 10.000 m, δηλ. 25 γύρους.
Μπορείτε να τρέξετε ή να περπατήσετε οποιοδήποτε μήκος κατά μήκος του διαδρόμου του σταδίου. Αυτό σημαίνει ότι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός αντιστοιχεί σε κάποιο σημείο - το "τέρμα της απόστασης". Επιπλέον, ο καθένας μπορεί αρνητικός αριθμόςαντιστοιχίστε ένα σημείο στον κύκλο: απλά πρέπει να κάνετε τον αθλητή να τρέξει προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλ. ξεκινήστε από το σημείο Α όχι αριστερόστροφα, αλλά κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Τότε η πίστα τρεξίματος του σταδίου μπορεί να θεωρηθεί ως αριθμητικός κύκλος.
Κατ 'αρχήν, οποιοσδήποτε κύκλος μπορεί να θεωρηθεί ως αριθμητικός κύκλος, αλλά στα μαθηματικά συμφωνήθηκε να χρησιμοποιηθεί ένας κύκλος μονάδας για το σκοπό αυτό - ένας κύκλος με ακτίνα 1. Αυτός θα είναι ο "διάδρομος" μας. Το μήκος b ενός κύκλου με ακτίνα K υπολογίζεται με τον τύπο Το μήκος ενός ημικύκλου είναι n και το μήκος ενός τετάρτου κύκλου είναι AB, BC, SB, DA στο Σχήμα. 98 - ίσο Ας συμφωνήσουμε να ονομάσουμε τόξο AB το πρώτο τέταρτο του κύκλου μονάδας, τόξο BC το δεύτερο τέταρτο, τόξο CB το τρίτο τέταρτο, τόξο DA το τέταρτο τέταρτο (Εικ. 98). Σε αυτή την περίπτωση συνήθως μιλάμε για Ανοιχτό τόξο, δηλ. περίπου ένα τόξο χωρίς τα άκρα του (κάτι σαν ένα διάστημα σε μια αριθμητική γραμμή).
Ορισμός.Δίνεται ένας κύκλος μονάδας και πάνω του σημειώνεται το σημείο εκκίνησης Α - το δεξί άκρο της οριζόντιας διαμέτρου (Εικ. 98). Ας ταιριάξουμε το καθένα πραγματικός αριθμόςΣημειώνω τον κύκλο σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:
1) αν x > 0, τότε, κινούμενοι από το σημείο Α αριστερόστροφα (η θετική κατεύθυνση του κύκλου), θα περιγράψουμε μια διαδρομή κατά μήκος του κύκλου με μήκος και το τελικό σημείο Μ αυτής της διαδρομής θα είναι το επιθυμητό σημείο: M = M(x);
2) αν x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);
Ας συσχετίσουμε το σημείο Α με το 0: A = A(0).
Ένας κύκλος μονάδας με καθορισμένη αντιστοιχία (μεταξύ πραγματικών αριθμών και σημείων του κύκλου) θα ονομάζεται κύκλος αριθμών.
Παράδειγμα 1.Βρείτε στον αριθμητικό κύκλο 
Δεδομένου ότι οι πρώτοι έξι από τους δεδομένους επτά αριθμούς είναι θετικοί, τότε για να βρείτε τα αντίστοιχα σημεία στον κύκλο, πρέπει να περπατήσετε κατά μήκος του κύκλου δεδομένου μήκους, κινούμενος από το σημείο Α προς θετική κατεύθυνση. Ας το λάβουμε υπόψη μας
Ο αριθμός 2 αντιστοιχεί στο σημείο Α, αφού, έχοντας περάσει κατά μήκος του κύκλου μια διαδρομή μήκους 2, δηλ. ακριβώς έναν κύκλο, θα φτάσουμε και πάλι στο σημείο εκκίνησης A Άρα, A = A(2).
Τι συνέβη 
Αυτό σημαίνει ότι κινούμενοι από το σημείο Α προς θετική κατεύθυνση, πρέπει να περάσετε από έναν ολόκληρο κύκλο.
Σχόλιο.Όταν είμαστε στην 7η και στην 8η τάξη δούλεψεμε την αριθμητική γραμμή, τότε συμφωνήσαμε, για λόγους συντομίας, να μην πούμε «το σημείο της ευθείας που αντιστοιχεί στον αριθμό x», αλλά να πούμε «σημείο x». Θα τηρούμε ακριβώς την ίδια συμφωνία όταν εργαζόμαστε με τον αριθμητικό κύκλο: "σημείο f" - αυτό σημαίνει ότι μιλάμε για ένα σημείο στον κύκλο που αντιστοιχεί στον αριθμό
Παράδειγμα 2.
Διαιρώντας το πρώτο τέταρτο ΑΒ σε τρία ίσα μέρη με τα σημεία Κ και Ρ, παίρνουμε: 
Παράδειγμα 3.Βρείτε σημεία στον κύκλο αριθμών που αντιστοιχούν σε αριθμούς 
Θα κάνουμε κατασκευές χρησιμοποιώντας το Σχ. 99. Εναπόθεση τόξου ΑΜ (το μήκος του είναι -) από το σημείο Α πέντε φορές προς την αρνητική κατεύθυνση, λαμβάνουμε το σημείο!, - το μέσο του τόξου BC. Ετσι,
Σχόλιο.Παρακαλούμε σημειώστε ορισμένες από τις ελευθερίες που έχουμε στη χρήση μαθηματική γλώσσα. Είναι σαφές ότι το τόξο AK και το μήκος του τόξου AK είναι διαφορετικά πράγματα (η πρώτη ιδέα είναι γεωμετρικό σχήμακαι η δεύτερη έννοια είναι ο αριθμός). Αλλά και οι δύο χαρακτηρίζονται με τον ίδιο τρόπο: ΑΚ. Επιπλέον, εάν τα σημεία Α και Κ συνδέονται με ένα τμήμα, τότε τόσο το τμήμα που προκύπτει όσο και το μήκος του συμβολίζονται με τον ίδιο τρόπο: ΑΚ. Είναι συνήθως σαφές από τα συμφραζόμενα ποια σημασία προορίζεται στον προσδιορισμό (τόξο, μήκος τόξου, τμήμα ή μήκος τμήματος).
Επομένως, δύο διατάξεις κύκλου αριθμών θα μας φανούν πολύ χρήσιμες.
ΠΡΩΤΗ ΔΙΑΤΑΞΗ
Κάθε ένα από τα τέσσερα τέταρτα του κύκλου των αριθμών χωρίζεται σε δύο ίσα μέρη και κοντά σε καθένα από τα διαθέσιμα οκτώ σημεία είναι γραμμένα τα «ονόματά» τους (Εικ. 100).
ΔΕΥΤΕΡΗ ΔΙΑΤΑΞΗΚάθε ένα από τα τέσσερα τέταρτα του κύκλου των αριθμών χωρίζεται σε τρία ίσα μέρη και κοντά σε καθένα από τα διαθέσιμα δώδεκα σημεία είναι γραμμένα τα «ονόματά» τους (Εικ. 101).
Σημειώστε ότι και στις δύο διατάξεις θα μπορούσαμε δοθέντες πόντουςορίστε άλλα «ονόματα».
Έχετε παρατηρήσει ότι σε όλα τα αναλυόμενα παραδείγματα μηκών τόξων
εκφράζεται με κάποια κλάσματα του αριθμού n; Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη: εξάλλου, το μήκος ενός κύκλου μονάδας είναι 2n, και αν διαιρέσουμε έναν κύκλο ή το τέταρτο του σε ίσα μέρη, παίρνουμε τόξα των οποίων τα μήκη εκφράζονται σε κλάσματα του αριθμού και. Πιστεύετε ότι είναι δυνατό να βρεθεί ένα σημείο Ε στον μοναδιαίο κύκλο έτσι ώστε το μήκος του τόξου ΑΕ να είναι ίσο με 1; Ας το καταλάβουμε:
Συλλογίζοντας με παρόμοιο τρόπο, συμπεραίνουμε ότι στον μοναδιαίο κύκλο μπορεί κανείς να βρει το σημείο Π.χ., για το οποίο ΑΕ = 1, και το σημείο Ε2, για το οποίο AEr = 2, και το σημείο Ε3, για το οποίο ΑΕ3 = 3, και το σημείο Ε4, για το οποίο AE4 = 4, και το σημείο Eb, για το οποίο AEb = 5, και το σημείο E6, για το οποίο AE6 = 6. Στο Σχ. 102 σημειώνονται τα αντίστοιχα σημεία (κατά προσέγγιση) (για τον προσανατολισμό, καθένα από τα τέταρτα του μοναδιαίου κύκλου χωρίζεται με παύλες σε τρία ίσα μέρη).
Παράδειγμα 4.Βρείτε το σημείο στον κύκλο αριθμών που αντιστοιχεί στον αριθμό -7.
Χρειάζεται, ξεκινώντας από το σημείο Α(0) και κινούμενοι προς την αρνητική κατεύθυνση (δεξιόστροφα), να ακολουθήσουμε έναν κύκλο μήκους 7. Αν περάσουμε από έναν κύκλο, παίρνουμε (περίπου) 6,28, που σημαίνει ότι πρέπει ακόμα να περάστε από (στην ίδια κατεύθυνση) μονοπάτι μήκους 0,72. Τι είδους τόξο είναι αυτό; Λίγο λιγότερο από μισό τέταρτο κύκλο, δηλ. το μήκος του είναι μικρότερο από τον αριθμό -. 
Έτσι, σε έναν κύκλο αριθμών, όπως σε μια αριθμητική ευθεία, κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα σημείο (μόνο, φυσικά, είναι ευκολότερο να τον βρείτε σε μια ευθεία παρά σε έναν κύκλο). Αλλά για μια ευθεία ισχύει και το αντίθετο: κάθε σημείο αντιστοιχεί σε έναν μόνο αριθμό. Για έναν κύκλο αριθμών, μια τέτοια δήλωση δεν είναι αληθινή· το έχουμε δει επανειλημμένα παραπάνω. Η παρακάτω πρόταση ισχύει για τον αριθμητικό κύκλο.
Αν το σημείο M του αριθμητικού κύκλου αντιστοιχεί στον αριθμό I, τότε αντιστοιχεί και σε έναν αριθμό της μορφής I + 2k, όπου k είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός (k e 2).
Στην πραγματικότητα, 2n είναι το μήκος του αριθμητικού (μοναδιαίου) κύκλου και ο ακέραιος |th| μπορεί να θεωρηθεί ως ο αριθμός των πλήρων γύρων του κύκλου προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση. Εάν, για παράδειγμα, k = 3, τότε αυτό σημαίνει ότι κάνουμε τρεις γύρους του κύκλου προς τη θετική κατεύθυνση. αν k = -7, τότε αυτό σημαίνει ότι κάνουμε επτά (| k | = | -71 = 7) γύρους του κύκλου στην αρνητική κατεύθυνση. Αν όμως βρισκόμαστε στο σημείο Μ(1), τότε, έχοντας συμπληρώσει και το | προς | πλήρεις κύκλους γύρω από τον κύκλο, θα βρεθούμε ξανά στο σημείο Μ.
Ο Α.Γ. Mordkovich Algebra 10η τάξη
Περιεχόμενο μαθήματος σημειώσεις μαθήματοςυποστήριξη μεθόδων επιτάχυνσης παρουσίασης μαθήματος διαδραστικές τεχνολογίες Πρακτική εργασίες και ασκήσεις αυτοδιαγνωστικά εργαστήρια, προπονήσεις, περιπτώσεις, αναζητήσεις ερωτήσεις συζήτησης εργασιών για το σπίτι ρητορικές ερωτήσεις από μαθητές εικονογραφήσεις ήχου, βίντεο κλιπ και πολυμέσαφωτογραφίες, εικόνες, γραφικά, πίνακες, διαγράμματα, χιούμορ, ανέκδοτα, ανέκδοτα, κόμικς, παραβολές, ρήσεις, σταυρόλεξα, αποσπάσματα Πρόσθετα περιλήψειςάρθρα κόλπα για την περίεργη κούνια σχολικά βιβλία βασικά και επιπλέον λεξικό όρων άλλα Βελτίωση σχολικών βιβλίων και μαθημάτωνδιόρθωση λαθών στο σχολικό βιβλίοενημέρωση ενός τμήματος σε ένα σχολικό βιβλίο, στοιχεία καινοτομίας στο μάθημα, αντικατάσταση ξεπερασμένων γνώσεων με νέες Μόνο για δασκάλους τέλεια μαθήματα ημερολογιακό σχέδιογια έναν χρόνο Κατευθυντήριες γραμμέςπρογράμματα συζήτησης Ολοκληρωμένα ΜαθήματαΜάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Αριθμητικός κύκλος στο επίπεδο συντεταγμένων"
Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τις κριτικές, τις επιθυμίες σας! Όλα τα υλικά έχουν ελεγχθεί από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.
Εγχειρίδια και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα Integral για τον βαθμό 10 από 1C
Αλγεβρικά προβλήματα με παραμέτρους, τάξεις 9–11
Επίλυση προβλημάτων στη γεωμετρία. Διαδραστικές εργασίες κατασκευής για τις τάξεις 7-10
Τι θα μελετήσουμε:
1. Ορισμός.
2. Σημαντικές συντεταγμένες του κύκλου αριθμών.
3. Πώς να βρείτε τη συντεταγμένη του κύκλου των αριθμών;
4. Πίνακας με τις κύριες συντεταγμένες του αριθμητικού κύκλου.
5. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων.
Ορισμός του κύκλου αριθμών στο επίπεδο συντεταγμένων
Ας τοποθετήσουμε τον αριθμητικό κύκλο στο επίπεδο συντεταγμένων έτσι ώστε το κέντρο του κύκλου να συμπίπτει με την αρχή των συντεταγμένων και να πάρουμε την ακτίνα του ως τμήμα μονάδας. Το σημείο εκκίνησης του αριθμητικού κύκλου Α συνδυάζεται με το σημείο (1;0).Κάθε σημείο στον κύκλο αριθμών έχει τις δικές του συντεταγμένες x και y στο επίπεδο συντεταγμένων και:
1) για $x > 0$, $y > 0$ - το πρώτο τρίμηνο.
2) για $ x 0 $ - το δεύτερο τρίμηνο.
3) για $x 4) για $x > 0$, $y
Για οποιοδήποτε σημείο $M(x; y)$ στον αριθμητικό κύκλο ικανοποιούνται οι ακόλουθες ανισότητες: $-1
Θυμηθείτε την εξίσωση του κύκλου των αριθμών: $x^2 + y^2 = 1$.
Είναι σημαντικό για εμάς να μάθουμε πώς να βρίσκουμε τις συντεταγμένες των σημείων στον αριθμητικό κύκλο που παρουσιάζεται στο σχήμα. 
Ας βρούμε τη συντεταγμένη του σημείου $\frac(π)(4)$
Το σημείο $M(\frac(π)(4))$ είναι το μέσο του πρώτου τριμήνου. Ας ρίξουμε την κάθετη MR από το σημείο M στην ευθεία OA και ας θεωρήσουμε το τρίγωνο OMP. Εφόσον το τόξο AM είναι το μισό του τόξου AB, τότε $∠MOP=45°$. Άρα το τρίγωνο OMP είναι ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνοκαι $OP=MP$, δηλ. στο σημείο Μ η τετμημένη και η τεταγμένη είναι ίσες: $x = y$.
Εφόσον οι συντεταγμένες του σημείου $M(x;y)$ ικανοποιούν την εξίσωση του κύκλου των αριθμών, τότε για να τις βρείτε πρέπει να λύσετε το σύστημα εξισώσεων:
$\αρχή (περιπτώσεις) x^2 + y^2 = 1, \\ x = y. \end (περιπτώσεις)$
Έχοντας αποφασίσει αυτό το σύστημα, παίρνουμε: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου M που αντιστοιχεί στον αριθμό $\frac(π)(4)$ θα είναι $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Οι συντεταγμένες των σημείων που παρουσιάζονται στο προηγούμενο σχήμα υπολογίζονται με παρόμοιο τρόπο.
Συντεταγμένες σημείων στον αριθμητικό κύκλο
Ας δούμε παραδείγματα
Παράδειγμα 1.Βρείτε τη συντεταγμένη ενός σημείου στον αριθμητικό κύκλο: $P(45\frac(π)(4))$.
Λύση:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός $45\frac(π)(4)$ αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο στον αριθμητικό κύκλο με τον αριθμό $\frac(5π)(4)$. Εξετάζοντας την τιμή του σημείου $\frac(5π)(4)$ στον πίνακα, παίρνουμε: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.
Παράδειγμα 2.
Βρείτε τη συντεταγμένη ενός σημείου στον αριθμητικό κύκλο: $P(-\frac(37π)(3))$.
Λύση:
Επειδή οι αριθμοί $t$ και $t+2π*k$, όπου k είναι ακέραιος, αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο στον κύκλο αριθμών, τότε:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός $-\frac(37π)(3)$ αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο στον αριθμητικό κύκλο με τον αριθμό $–\frac(π)(3)$ και τον αριθμό –$\frac(π) Το (3)$ αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο με το $\frac(5π)(3)$. Εξετάζοντας την τιμή του σημείου $\frac(5π)(3)$ στον πίνακα, παίρνουμε:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.
Παράδειγμα 3.
Βρείτε σημεία στον κύκλο αριθμών με τεταγμένη $y =\frac(1)(2)$ και γράψτε σε ποιους αριθμούς $t$ αντιστοιχούν;
Λύση: 
Η ευθεία $y =\frac(1)(2)$ τέμνει τον αριθμητικό κύκλο στα σημεία M και P. Το σημείο M αντιστοιχεί στον αριθμό $\frac(π)(6)$ (από τα δεδομένα του πίνακα). Αυτό σημαίνει οποιονδήποτε αριθμό της μορφής: $\frac(π)(6)+2π*k$. Το σημείο P αντιστοιχεί στον αριθμό $\frac(5π)(6)$, και επομένως σε οποιονδήποτε αριθμό της μορφής $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
Λάβαμε, όπως λέγεται συχνά σε τέτοιες περιπτώσεις, δύο σειρές τιμών:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ και $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Απάντηση: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ και $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.
Παράδειγμα 4.
Βρείτε σημεία στον κύκλο αριθμών με τετμημένη $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ και γράψτε σε ποιους αριθμούς $t$ αντιστοιχούν.
Λύση:
Η ευθεία $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ τέμνει τον αριθμητικό κύκλο στα σημεία M και P. Η ανισότητα $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ αντιστοιχεί στα σημεία του τόξου ΠΜ. Το σημείο M αντιστοιχεί στον αριθμό $3\frac(π)(4)$ (από τα δεδομένα του πίνακα). Αυτό σημαίνει οποιονδήποτε αριθμό της μορφής $-\frac(3π)(4) +2π*k$. Το σημείο P αντιστοιχεί στον αριθμό $-\frac(3π)(4)$, και επομένως σε οποιονδήποτε αριθμό της μορφής $-\frac(3π)(4) +2π*k$.
Τότε παίρνουμε $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Απάντηση: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα
1) Βρείτε τη συντεταγμένη ενός σημείου στον αριθμητικό κύκλο: $P(\frac(61π)(6))$.2) Βρείτε τη συντεταγμένη ενός σημείου στον αριθμητικό κύκλο: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Βρείτε σημεία στον κύκλο αριθμών με τεταγμένη $y = -\frac(1)(2)$ και γράψτε σε ποιους αριθμούς $t$ αντιστοιχούν.
4) Βρείτε σημεία στον κύκλο αριθμών με τεταγμένη $y ≥ -\frac(1)(2)$ και γράψτε σε ποιους αριθμούς $t$ αντιστοιχούν.
5) Βρείτε σημεία στον κύκλο αριθμών με την τετμημένη $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ και γράψτε σε ποιους αριθμούς $t$ αντιστοιχούν.
Εάν τοποθετήσετε τον κύκλο του αριθμού μονάδας στο επίπεδο συντεταγμένων, τότε μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες για τα σημεία του. Ο αριθμητικός κύκλος είναι τοποθετημένος έτσι ώστε το κέντρο του να συμπίπτει με την αρχή του επιπέδου, δηλαδή το σημείο O (0; 0).
Συνήθως στον κύκλο με τον αριθμό μονάδας σημειώνονται τα σημεία που αντιστοιχούν στην αρχή του κύκλου
- τέταρτα - 0 ή 2π, π/2, π, (2π)/3,
- μεσαία τέταρτα - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- τρίτα των τετάρτων - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
Στο επίπεδο συντεταγμένων, με την παραπάνω θέση του κύκλου μονάδας πάνω του, μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες που αντιστοιχούν σε αυτά τα σημεία του κύκλου.
Οι συντεταγμένες των άκρων των τεταρτημορίων είναι πολύ εύκολο να βρεθούν. Στο σημείο 0 του κύκλου, η συντεταγμένη x είναι 1 και η συντεταγμένη y είναι 0. Μπορούμε να τη συμβολίσουμε ως A (0) = A (1; 0).
Το τέλος του πρώτου τριμήνου θα βρίσκεται στον θετικό άξονα y. Επομένως, B (π/2) = B (0; 1).
Το τέλος του δεύτερου δεκαλέπτου είναι στον αρνητικό ημιάξονα: C (π) = C (-1; 0).
Τέλος τρίτου δεκαλέπτου: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Πώς όμως να βρείτε τις συντεταγμένες των μεσαίων σημείων των τετάρτων; Για να το κάνετε αυτό, κατασκευάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Η υποτείνησή του είναι ένα τμήμα από το κέντρο του κύκλου (ή την αρχή) έως το μέσο του τεταρτοκύκλου. Αυτή είναι η ακτίνα του κύκλου. Εφόσον ο κύκλος είναι μονάδα, η υποτείνουσα είναι ίση με 1. Στη συνέχεια, σχεδιάστε μια κάθετη από ένα σημείο του κύκλου σε οποιονδήποτε άξονα. Έστω προς τον άξονα x. Το αποτέλεσμα είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τα μήκη των σκελών του οποίου είναι οι συντεταγμένες x και y του σημείου του κύκλου.
Το τέταρτο του κύκλου είναι 90º. Και το μισό τέταρτο είναι 45º. Εφόσον η υποτείνουσα τραβιέται στο μέσο του τεταρτημορίου, η γωνία μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους που εκτείνεται από την αρχή είναι 45º. Αλλά το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι 180º. Κατά συνέπεια, η γωνία μεταξύ της υποτείνουσας και του άλλου σκέλους παραμένει επίσης 45º. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο.
Από το Πυθαγόρειο θεώρημα παίρνουμε την εξίσωση x 2 + y 2 = 1 2. Εφόσον x = y και 1 2 = 1, η εξίσωση απλοποιείται σε x 2 + x 2 = 1. Λύνοντάς το, παίρνουμε x = √½ = 1/√2 = √2/2.
Έτσι, οι συντεταγμένες του σημείου M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
Στις συντεταγμένες των σημείων των μεσαίων σημείων των άλλων τετάρτων, μόνο τα σημάδια θα αλλάξουν και οι μονάδες των τιμών θα παραμείνουν ίδιες, αφού το ορθογώνιο τρίγωνο θα αναποδογυριστεί μόνο. Παίρνουμε:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)
Κατά τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των τρίτων μερών των τεταρτημορίων ενός κύκλου, κατασκευάζεται και ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Αν πάρουμε το σημείο π/6 και σχεδιάσουμε μια κάθετη στον άξονα x, τότε η γωνία μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους που βρίσκεται στον άξονα x θα είναι 30º. Είναι γνωστό ότι ένα πόδι που βρίσκεται απέναντι από μια γωνία 30º είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας. Αυτό σημαίνει ότι βρήκαμε τη συντεταγμένη y, είναι ίση με ½.
Γνωρίζοντας τα μήκη της υποτείνουσας και του ενός σκέλους, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε το άλλο σκέλος:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
Έτσι T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
Για το σημείο του δεύτερου τρίτου του πρώτου τετάρτου (π/3), είναι προτιμότερο να σχεδιάσουμε μια κάθετη στον άξονα προς τον άξονα y. Τότε η γωνία στην αρχή θα είναι επίσης 30º. Εδώ η συντεταγμένη x θα είναι ίση με ½, και y, αντίστοιχα, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
Για άλλα σημεία του τρίτου τριμήνου, τα σημάδια και η σειρά των τιμών των συντεταγμένων θα αλλάξουν. Όλα τα σημεία που είναι πιο κοντά στον άξονα x θα έχουν τιμή συντεταγμένων συντελεστή x ίση με √3/2. Αυτά τα σημεία που είναι πιο κοντά στον άξονα y θα έχουν τιμή συντελεστή y ίση με √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
