Euklidskog algoritam za polinom.Euklidni algoritam omogućuje vam da pronađete najveći zajednički djelitelj dvaju polinoma, tj. Najveći stupanj na kojem je podijeljen bez ravnoteže od polinoma.
Algoritam se temelji na činjenici da za bilo koji dva polinoma iz jedne varijable, f.(x.) I. g.(x.) postoje takve polinome p:(x.) I. r.(x.), koji se odnose na privatno i ostatak, odnosno to
f.(x.) = g.(x.)∙p:(x.) + r.(x.), (*)
u isto vrijeme, stupanj ostatka je manji od stupnja razdjelnika, polinom g.(x.), i, štoviše, prema tim polinomima f.(x.) I. g.(x.) Privatni i ostatak su definitivno. Ako je u ostatku jednakosti (*) r.(x.) jednaka je nula polinomi (nula), a onda kažu da polinomi f.(x.) podjeljeno sa g.(x.) Nema ostatka.
Algoritam se sastoji od dosljedne podjele s ostatkom prvog od prvog danog polinoma, f.(x.), Na drugom, g.(x.):
f.(x.) = g.(x.)∙p: 1 (x.) + r. 1 (x.), (1)
onda, ako r. 1 (x.) ≠ 0, - drugi polinom, g.(x.), na prvom ostatku - na polinom r. 1 (x.):
g.(x.) = r. 1 (x.)∙p: 2 (x.) + r. 2 (x.), (2)
r. 1 (x.) = r. 2 (x.)∙p: 3 (x.) + r. 3 (x.), (3)
onda, ako r. 3 (x.) ≠ 0, - drugi ostatak na trećinu:
r. 2 (x.) = r. 3 (x.)∙p: 4 (x.) + r. 4 (x.), (4)
itd Budući da u svakoj fazi se smanjuje stupanj sljedećeg ostatka, proces ne može nastaviti na neodređeno vrijeme, tako da u nekoj fazi definitivno ćemo doći u situaciju kada je sljedeći n. + 1. ostatak r. n. + 1 je nula:
| r. n.–2 (x.) = r. n.–1 (x.)∙ P: n. (x.) + r. n. (x.), | (n.) |
| r. n.–1 (x.) = r. n. (x.)∙ P: n.+1 (x.) + r. n.+1 (x.), | (n.+1) |
| r. n.+1 (x.) = 0. | (n.+2) |
Tada potonji nije jednak nula ostataka r. n.
I to će biti najveći zajednički djelitelj početnog para polinoma f.(x.) I. g.(x.).
Doista, ako je zbog jednakosti ( n. + 2) zamjena 0 umjesto r. n. + 1 (x.) u jednakosti ( n. + 1), zatim - dobivena jednakost r. n. – 1 (x.) = r. n.
(x.)∙p: n. + 1 (x.Umjesto toga r. n. – 1
(x.) - u jednakosti ( n.) ispostavilo se da r. n. – 2 (x.) = r. n.
(x.)∙p: n. + 1 (x.) p: n.
(x.) + r. n.
(x.), tj. r. n. – 2 (x.) = r. n.
(x.)(p: n. + 1 (x.) p: n.
(x.) + 1), itd U jednakosti (2), nakon zamjene, dobivamo to g.(x.) = r. n.
(x.)∙P:(x.), i konačno, iz jednakosti (1) - što f.(x.) = r. n.
(x.)∙S.(x.), gdje P:i S.- Neki polinomi. Na ovaj način, r. n.
(x.) - zajednički djelitelj dvaju izvora polinoma i činjenica da je najveći (tj. Najveći mogući stupanj) slijedi iz postupka algoritma.
Ako najveći zajednički djelitelj dvaju polinoma ne sadrži varijablu (tj. Broj), izvorne polinome f.(x.) I. g.(x.) Nazvan međusobno jednostavna.
Definicija. Ako je svaki od dva polinomi podijeljena bez ostatka na treći, onda se zove zajednički djelitelj prve dvije.
Najveći zajednički djelitelj (čvor) dva polinomi nazivaju se njihovom ukupnom stupnju razdjelnika.
Čvor se može naći razgradnjom na nesvodivim multiplikatorima ili uz pomoć Euklidea algoritma.
Primjer 40.Pronađite planine čvorova 
.
Odluka.Mi razgrađujemo i polinomi na množiteljima:
Od raspadanja može se vidjeti da će traženi čvor biti polinoma ( h.– 1).
Primjer 41.Pronađite polinomi od čvorova 
i 
.
Odluka.Mi se razgrađujemo i polinomi na množiteljima.
Za polinom 
h.h.- 1) prema Horner shemi.
Za polinom 
mogući racionalni korijeni će biti brojevi 1, 2, №3 i 6. Uz pomoć zamjene, uvjereni smo da smo h.\u003d 1 je korijen. Polijte polinomi na ( h.- 1) prema Horner shemi.
Stoga, gdje se razgradnja trga tri 
proizvedeno je na teoremi Vieta.
Uspoređujući razgradnju polinoma na množitelje, smatramo da će željeni čvor biti polinoma ( h.– 1)(h.– 2).
Slično tome, možete pronaći čvor za nekoliko polinoma.
Ipak, način pronalaženja čvora širenjem čimbenika nije uvijek dostupan. Način pronalaženja čvora za sve slučajeve naziva se euklidni algoritam.
Dijagram algoritma euklidee je. Jedan od dva polinoma se podijeli u drugi, čiji stupanj ne prelazi stupanj prvog. Nadalje, za nedjeljive svaki put kad uzimaju polinom, koji je služio u prethodnom operaciji od strane razdjelnika, a za divisor uzmi ostatak dobivenog u istom radu. Ovaj proces se zaustavlja čim se preostane ostatak nula. Pokažite ovaj algoritam na primjerima.
Razmotrite polinome koji se koriste u dva prethodna primjera.
Primjer 42.Pronađite polinomi od čvorova 
i 
.
Odluka.Mršav 
na 
"Kutak":
x.
Sada podijelimo razdjelnika 
na miru h.– 1:
x.+ 1
Budući da se posljednja podjela dogodila bez ostatka, tada će čvor biti h.- 1, tj. Polinom koji se koristi kao razdjelnik s ovom podjelom.
Primjer 43.Pronađite polinomi od čvorova 
i 
.
Odluka, Da biste pronašli čvor, koristimo algoritam euclidea. Mršav 
na 
"Kutak":
1
Proizvodit ćemo drugu podjelu. Da biste to učinili, morali biste podijeliti prethodni razdjelnika 
na miru 
, ali od tada 
=
Za praktičnost ćemo podijeliti polinom 
ne na 
, A. 
, Od takve zamjene, rješenje za problem neće se promijeniti, jer se parovi čvora polinomi određuju s točnošću konstantnog multiplikatora. Imamo:
Ostatak je bio jednak nuli, to znači da je posljednji razdjelnika, to jest, polinom
i to će biti željeni čvor.
Frakcijske racionalne funkcije
Definicije i odobrenje za 2,5 mogu se naći u.
Frakcijska racionalna funkcija s važećim koeficijentima naziva se izraz 
gdje 
i 
- polinomi.
Frakcijska racionalna funkcija (u budućnosti ćemo ga nazvati "frakcijom") pravoAko je stupanj polinoma koji stoji u numeriru strogo manji od stupnja polinoma koji stoji u denominatoru. Inače se zove pogrešno.
Algoritam dovođenja netočne frakcije Točno se naziva "dodjela cijelog dijela".
Primjer 44.Dodijelite cijeli dio fracti: 
.
Odluka.Kako bi se razlikovao cijeli dio frakcije, potrebno je podijeliti brojanje frakcije u svoj nazivnik. Podijelimo brojnik ove frakcije na njegov nazivnik "kutak":
Budući da je stupanj primljenog polinoma manji od stupnja razdjelnika, proces podjele je dovršen. Eventualno:
=
, Rezultirajuća frakcija 
točno je.
Frakcija tipa 
nazvao je najjednostavnije ako φ ( x.
)
- nesvodivi polinom i stupanj 
manje stupnja φ ( x.
).
Komentar.Imajte na umu da se stupanj numeratora i nesvodivi polinom u denominatoru (isključujući stupanj α) uspoređuje.
Za frakcije s važećim koeficijentima postoje 4 vrste jednostavnih Flainsa:
Bilo kakve ispravne frakcije 
može se prikazati u obliku suma najjednostavnijih frakcija, čiji su nazivnici sve vrste razdjelnika 
.
Algoritam raspadanja frakcije na najjednostavnijem:
Ako je frakcija netočna, onda smo dodijelili cijeli dio, a na najjednostavniji smo stavili rezultirajuću ispravnu frakciju.
Otključajte nazivnik ispravne frakcije na multiplikatorima.
Pišemo ispravnu frakciju u obliku zbroja najjednostavnijih frakcija s neizvjesnim koeficijentima.
Vodimo zajednički nazivnik količine frakcija na desnoj strani.
Nalazimo nedefinirane koeficijente:
Ili izjednačiti koeficijente s istim stupnjem s lijeve i desne strane;
Ili zamijeniti specifične (u pravilu korijeni ukupnih nazivnika) vrijednosti x..
Zapisujemo odgovor uzimajući u obzir cijeli dio frakcije.
Primjer 45.Otpremu na najjednostavnije 
.
Odluka.Budući da je ova frakcijska racionalna funkcija netočna, označavamo cijeli dio:
1
= 1 +
.
Širiti rezultirajuću frakciju 
na najjednostavnijem. U početku će se denominator razgraditi na množitelja. Da biste to učinili, pronađite njegove korijene prema standardnoj formuli:
Pišemo razgradnju frakcijskog racionalne funkcije za najjednostavnije pomoću nedefiniranih koeficijenata:
Dajmo desni dio jednakosti s generalnim nazivom:
Mi radimo sustav, izjednačiti koeficijente s istim stupnjem u brojkama lijevih i desnih frakcija:
Odgovor: 
.
Primjer 46.Otpremu na najjednostavnije 
.
Odluka.Budući da je ova frakcija ispravna (tj. Stupanj numeratora je manji od stupnja denominatora), nije potrebno dodijeliti cijeli dio. Raširite nazivnik frakcija na množitelja:.
Pišemo razgradnju ove frakcije na najjednostavnije pomoću nesigurnih koeficijenata:
Prema odobrenju, ne bi trebalo biti denominatori najjednostavnijih frakcija sve vrstedeniklasi denamotera:
, (2.2) Bilo bi moguće sastaviti sustav jednadžbi, izjednačujući brojke lijevih i desnih frakcija, ali u ovim primjerom Izračuni će biti previše glomazni. Sljedeći prijem će ih pojednostaviti: zamjenjivat ćemo u brojčanicima zauzvrat korijena denominatora.
Za x \u003d1:
Za h.= ‑1:
Sada odrediti preostale koeficijente ALIi Sbit će dovoljno izjednačiti koeficijente s visokim stupnjem i slobodnim članovima. Mogu se naći bez otvaranja nosača:
Na lijevoj strani prve jednadžbe je 0, budući da u numeritoru lijeve frakcije u (2.2) nema temelja s 
iu pravom djeliću temelja s 
koeficijent A. +
C., Na lijevoj strani druge jednadžbe je 0, kao u numeritoru lijeve frakcije u (2.2) slobodan kurac jednaka nuli, au brojem desnog frakcije u (2.2), slobodni član je jednak (- A. +
B. +
C.
+
D.). Imamo:
Odgovor: 
.
Podjela polinoma. Algoritam euclida
§jedan. Podjela polinoma
Tijekom podjele, polinomi se podnose u kanonskim oblikom i nalaze se u smanjenju stupnjeva bilo kojeg pisma u odnosu na koji se određuje stupanj podjele i razdjelnika. Stupanj djeljivog bi trebao biti veći ili jednak stupnju razdjelnika.
Rezultat podjele je jedini par polinoma - privatni i ostatak koji mora biti zadovoljan jednakošću:
< делимое > = < делитель > ´ < частное > + < остаток > .
Ako polinomn pn (x ) je djeljiv,
Polinomski stupanjm rk (x ) je razdjelnika (n ³ m)
Polinomski qn - m (x ) - Privatni. Stupanj ovog polinoma jednak je razliku od stupnjeva podjele i razdjelnika,
I polinomk rk (x ) je ostatak (k.< m ).
Ta jednakost
Pn (x) \u003d fm (x) × QN - M (x) + Rk (X) (1.1)
trebalo bi biti identično identičan, to jest, ostaje pošteno za sve važeće vrijednosti X.
Još jednom napominjemo da je stupanj ravnotežek. treba biti manji od stupnja razdjelnikam. , Svrha ostatka - dodajte proizvod polinomaFm (x) i qn - m (x ) na polinom jednaku Delimu.
Ako proizvod polinomalaFM (x) × qn - m (x ) daje polinom jednak podjelu, zatim ostatakR. \u003d 0. U ovom slučaju, kaže se da je podjela napravljena bez ostatka.
Algoritam podjele polinoma će razmotriti na određenom primjeru.
Neka bude potrebno podijeliti polinomi (5x5 + X3 + 1) na polinom (X3 + 2).
1. Podijelite viši kurac podjele 5x5 na viši član razdjelnika X3:
U nastavku će se prikazati da je prvi termin privatan.
2. Za sljedeću (prvobitno prvi), bočno se pomnožavaju razdjelnikom i ovaj proizvod se oduzima od podjele:
5x5 + X3 + 1 - 5x2 (X3 + 2) \u003d X3 - 10x2 + 1.
3. Delimi se može zastupati kao
5x5 + X3 + 1 \u003d 5x2 (X3 + 2) + (X3 - 10x2 +
Ako u akciji (2) stupanj razlike će biti veći ili jednak stupnju razdjelnika (kao u primjeru razmatra), tada se s tom razlikom ponavlja akcija gore. U čemu
1. Viši član razlike X3 podijeljen je u viši član razdjelnika X3:
U nastavku će biti prikazano da je to drugi termin u privatnom.
2. Za sljedeći (sada, drugo), bočno se pomnožavaju razdjelnikom i ovaj proizvod se oduzima od posljednje razlike.
X3 - 10x2 + 1 - 1 × (X3 + 2) \u003d - 10x2 - 1.
3. Zatim se posljednja razlika može predstavljati kao
X3 - 10x2 + 1 \u003d 1 × (X3 + 2) + (-10x2 +
Ako je stupanj druge razlike manji od stupnja razdjelnika (kao kod ponavljanja u djelovanju (2)), podjela se završava s ostatkom jednakom posljednjoj razlici.
Da bismo potvrdili da je privatno iznos (5x2 + 1), zamjenjujemo u jednakosti (1.2) rezultat transformacije polinoma X3 - 10x2 + 1 (vidi (1.3)): 5x5 + X3 + 1 \u003d 5x2 (X3 + 2) + 1× (X3 + 2) + (- 10x2 - 1). Zatim, nakon izrade uobičajenog faktora (X3 + 2) za zagrade, konačno ćemo dobiti
5x5 + X3 + 1 \u003d (X3 + 2) (5x2 + 1) + (- 10x2 - 1).
Što, u skladu s jednakošću (1.1), treba uzeti u obzir kao rezultat podjele polinoma (5x5 + X3 + 1) po polinom (X3 + 2) s privatnim (5x2 + 1) i ostatkom (- 10x2 - 1).
Te se postupci izvlače u obliku sheme koja se naziva "podjela ugla". U isto vrijeme, u evidenciji podjele i naknadnih razlika, poželjno je proizvesti članove iznosa na svim smanjenjem stupnjeva argumenta bez preskakanja.
| |
5x5 + 10x2 5x2 + 1
| |
X3 + 2.
-10x2 + 0x - 1
položaj: rođak; Z-indeks: 1 "\u003e Vidimo da je podjela polinoma smanjena na dosljedno ponavljanje djelovanja:
1) na početku algoritma, viši član podjele, kasnije, stariji član sljedeće razlike podijeljen je u viši član razdjelnika;
2) rezultat podjele daje sljedeći izraz u privatnom, koji se pomnožio razdjelnikom. Rezultirajući proizvod je napisan pod djelićnim ili sljedećem razliku;
3) donji polinom se oduzima od gornjeg polinoma i ako je stupanj dobivene razlike veći ili jednak stupnju razdjelnika, zatim se postupci 1, 2, 3 ponavljaju s njom.
Ako je stupanj primljenog razlika manji od stupnja razdjelnika, podjela je dovršena. U ovom slučaju, posljednja razlika je ostatak.
Primjer №1
pozicija: Absolute; Z-indeks: 9; lijevo: 0px; margin-lijevo: 190px; margin-top: 0px; širina: 2px; visina: 27px "\u003e
4x2 + 0x - 24x2 ± 2x ± 2
Tako, 6x3 + X2-3x - 2 \u003d (2x2 - X - 1) (3x + 2) + 2x.
Primjer broj 2.
A3B2 + B5.
A3B2 A2B3.
- A2B3 + B5
± A2B3 ± ab4
Ab4 + b5.
- ab4 b5.
Na ovaj način , A5 + B5 \u003d (A + B) (A4 -A3B + A2B2 - AB3 + B4).
Primjer №3
| |
X5 x4U X4 + X3U + X2U2 + HU3 + U4
X3U2 - U5.
X3U2 ± X2U3
HU 4 - u 5
HU 4 - u 5
Tako, X5 - U5 \u003d (X - Y) (X4 + X3U + X2U2 + X3 + U4).
Generalizacija rezultata dobivenih u Primjerima 2 i 3 su dvije formule skraćene množenja:
(X + a) (X2N- X2N -1 A + X2N -2 A 2 - ... + A2N) \u003d X 2N + 1 + A2N + 1;
(X - a) (X2N + X 2N-1 A + X 2N-2 A2 + ... + A2N) \u003d X 2N + 1 - A2N + 1, gdje n " N..
Vježbe
Obavljati radnju
1. (- 2x5 + X4 + 2x3 - 4x2 + 2x + 4): (X3 + 2).
Odgovor: - 2x2 + x +2 - privatno, 0 - ostatak.
2. (X4 - 3x2 + 3x + 2): (X - 1).
Odgovor: X3 + X2 - 2x + 1 - Privatno, 3 - Ostatak.
3. (X2 + X5 + X3 + 1): (1 + X + X2).
Odgovor: X3 - X2 + X + 1 - Privatno, 2x - Ostatak.
4. (X4 + X2U2 + U4): (X2 + HU + U2).
Odgovor: X2 - HU + U2- privatno, 0 - ostatak.
5. (3 + B3 + C3 - 3 ABC): (A + B + C).
Odgovor: 2 - (B + C) A + (B2 - BC + C2 ) - Privatno, 0 - ostatak.
§2. Pronalaženje najvećeg zajedničkog razdjelnika dvaju polinoma
1. Algoritam Euclida
Ako je svaki od dva polinomi podijeljena bez ostatka na treći, tada se ovaj treći polinomi naziva zajednički djelitelj prve dvije.
Najveći zajednički djelitelj (čvor) dvaju polinoma naziva se njihov cjelokupni divisor.
Imajte na umu da je svaki broj nejednakih nula zajednički djelitelj dvaju polinoma. Stoga se svaki nejednak nulti broj naziva trivijalan zajednički razdjelnik tih polinoma.
Euklidni algoritam nudi niz postupaka koji ili dovodi do pronalaženja čvora dvaju polinoma, ili pokazuje da takav razdjelnici u obliku polinoma jedan ili više ne postoji.
Algoritam euklidee provodi se kao slijed podjela. U prvoj podjeli, polinom se više smatra neživim, a manje - kao razdjelnika. Ako su polinomi za koje se nalaze čvorovi, imaju isti stupanj, a zatim se razdjelnik i razdjelnici odabiru proizvoljno.
Ako, s sljedećom podjelom, polinom u ostatku ima stupanj veći ili jednak 1, tada razdjelnik postaje djeljiv, a ostatak je razdjelnik.
Ako, s sljedećom podjelom polinoma, ravnoteža je dobivena jednaka nuli, tada se nalazi čvor tih polinoma. Oni su razdjelnik s posljednjom podjelom.
Ako, s sljedećom podjelom polinoma, ostatak se ispada da je nejednaka nula, onda ne postoji čvor za te polinome pored trivijalan.
Primjer №1
Smanjiti frakciju 
.
Odluka
Nalazimo čvor tih polinoma, koristeći eurlidejski algoritam
| |
X3 + 7x2 + 14x + 8 1
- X2 - 3 - 2
| |
X3 + 3X2 + 2X - X - 4
3x2 + 9x + 6
3x2 + 9x + 6
| |
pozicija: Absolute; Z-indeks: 49; lijevo: 0px; margin-lijevo: 209px; margin-top: 6px; širina: 112px; visina: 20px "\u003e 
veličina fonta: 14.0pt; visina linije: 150% "\u003e Odgovor:
Veličina fonta: 14.0pt; visina linije: 150% "\u003e 2. Mogućnosti pojednostavljivanja izračuna čvora u Euklidskom algoritmu
Teorema
Nakon množenja podjele, broj nije jednak nuli, privatni i ostatak se umnožava s istim brojem.
Dokaz
Neka p bude djeljiv, f - razdjelnici, Q - privatni, r - ravnoteža. Zatim,
P \u003d f × q + r.
Umnožavanje ovog identiteta za broja ¹ 0, dobivamo
p \u003d f × (a q) + a r,
gdje polinomi a p može se smatrati djeljiv i polinomiq i r - kao privatni i ostatak dobiveni u podjeli polinomaa p po polinomi , Dakle, kada se umnožava podijelitea ¹ 0, Privatni i ostatak se također pomnoženoa, h. itd.
Posljedica
Množenje razdjelnika po brojua ¹ 0 se može promatrati kao množenje djeljivog po broju.
Prema tome, prilikom umnožavanja razdjelnika po brojua ¹ 0 Privatno i ostatak se umnožava.
Primjer broj 2.
Pronađite privatni Q i ostatak r Prilikom podjele polinoma
Veličina fonta: 14.0pt; visina linije: 150% "\u003e Odluka
Za prebacivanje u podjelu i razdjelnik na cijele koeficijente podjele, što će dovesti do umnožavanja za 6 traženih privatnihQ i ostatak r , Nakon toga, pomnožite razdjelnika na 5, što će dovesti do množenja privatnih 6Q i ostatak 6 r na. Kao rezultat toga, privatni i ostatak dobiveni u podjeli polinoma s cijelim koeficijentima razlikovat će se u vremenima od traženih vrijednosti privatnogQ i ostatak r dobivene podjelom tih polinoma.
| |
| |
12U4 ± 18H3 30x2U2 6U2 - 2H - 9x2 \u003d
- 4H3 - 12X2U2 - 11x3U + 3x4
± 4H3 6X2U2 ± 10x3u
- 18x2U2 - X3U + 3X4
± 18x2u2 27x3u ± 45x4
- 28x3u + 48x4 \u003d veličina fonta: 14.0pt; visina linije: 150% "\u003e stoga;
Odgovor: 
, 
.
Imajte na umu da ako se pronađe najveći ukupni razdjelnici podataka, pomnožite ga na bilo koji broj, koji nije jednak nuli, također dobivamo najveći djelitelj tih polinoma. Ova okolnost omogućuje pojednostavljenje izračuna u algoritmu euklidee. Naime, prije sljedećeg podjele, podjela ili razdjelnik može se pomnožiti brojevima odabranim na poseban način, tako da je koeficijent prvog mandata u privatnosti bio broj cijeli broj. Kao što je prikazano gore, množenje podjele i razdjelnika će dovesti do odgovarajuće promjene privatnog ostatka, ali tako da se, kao rezultat toga, čvor tih polinomi umnožava na neki jednak nulti broj, što je dopušteno.
Primjer broj 3.
Smanjiti frakciju 
.
Odluka
Koristeći algoritam euklida, dobivamo
| |
X4 X3 ± 3x2 veličina fonta: 14.0pt; Visina linije: 150% "\u003e 4 1
2x3 + 6x2 + 3x - 2
veličina fonta: 14.0pt; Visina linije: 150% "\u003e 2) 2 (X4 + X3 - 3x2 + 4) \u003d 2x4 + 2x3 - 6x2 + 8 2x3 + 6x2 + 3x - 2
2x4 6x3 3x2 ± 2 x - 2
- 4x3 - 9x2 + 2x + 8
± 4x3 ± 12x2 ± 6x veličina fonta: 14.0pt; Visina linije: 150% "\u003e 4
3x2 + 8x + 4
| |
| |
6x3 Veličina fonta: 14.0pt "\u003e 16x2 Veličina fonta: 14.0pt"\u003e 8x 2x +
1. Algoritam Euclida
Ako je svaki od dva polinomi podijeljena bez ostatka na treći, tada se ovaj treći polinomi naziva zajednički djelitelj prve dvije.
Najveći zajednički djelitelj (čvor) dvaju polinoma naziva se njihov cjelokupni divisor.
Imajte na umu da je svaki broj nejednakih nula zajednički djelitelj dvaju polinoma. Stoga se svaki nejednak nulti broj naziva trivijalan zajednički razdjelnik tih polinoma.
Euklidni algoritam nudi niz postupaka koji ili dovodi do pronalaženja čvora dvaju polinoma, ili pokazuje da takav razdjelnici u obliku polinoma jedan ili više ne postoji.
Algoritam euklidee provodi se kao slijed podjela. U prvoj podjeli, polinom se više smatra neživim, a manje - kao razdjelnika. Ako su polinomi za koje se nalaze čvorovi, imaju isti stupanj, a zatim se razdjelnik i razdjelnici odabiru proizvoljno.
Ako, s sljedećom podjelom, polinom u ostatku ima stupanj veći ili jednak 1, tada razdjelnik postaje djeljiv, a ostatak je razdjelnik.
Ako, s sljedećom podjelom polinoma, ravnoteža je dobivena jednaka nuli, tada se nalazi čvor tih polinoma. Oni su razdjelnik s posljednjom podjelom.
Ako, s sljedećom podjelom polinoma, ostatak se ispada da je nejednaka nula, onda ne postoji čvor za te polinome pored trivijalan.
Primjer №1
Smanjiti frakciju.
2. Mogućnosti pojednostavljivanja izračuna čvora u Euklidskom algoritmu
Nakon množenja podjele, broj nije jednak nuli, privatni i ostatak se umnožava s istim brojem.
Dokaz
Neka p bude djeljiv, f - razdjelnici, Q - privatni, R je ostatak. Zatim,
Umnožavanje ovog identiteta po broju 0, dobivamo
gdje se polinomial p može smatrati neživim, a polinomi q i r su i privatni i ostatak dobiveni u podjeli polinoma p po polinomial F. Dakle, kada se podjela množe s brojem 0, privatno i Ostatak se također umnožava, CH.T. D.
Posljedica
Množenje razdjelnika na broj 0 može se smatrati množenjem djeljivih po broju.
Prema tome, prilikom umnožavanja razdjelnika, broj 0 privatnog i ostatka se umnožava s.
Primjer broj 2.
Pronađite privatni Q i ostatke R pri dijeljenju polinoma
polinominski algoritalni algoritm podjela
Da se pomakne u podjelu i razdjelniku na cijeli koeficijenti podijeljenih s 6, što će dovesti do množenja s 6 željenog privatnog Q i ostatka R. Nakon toga, pomnožite razdjelnici na 5, što će dovesti do množenja Privatni 6Q i ostatak 6R. Kao rezultat toga, privatni i ostatak dobiveni u podjeli polinoma s cijelim koeficijentima bit će različiti od željenih vrijednosti privatnog Q i ostatka R dobivene dijeljenjem tih polinoma.
Stoga, ;
Imajte na umu da ako se pronađe najveći ukupni razdjelnici podataka, pomnožite ga na bilo koji broj, koji nije jednak nuli, također dobivamo najveći djelitelj tih polinoma. Ova okolnost omogućuje pojednostavljenje izračuna u algoritmu euklidee. Naime, prije sljedećeg podjele, podjela ili razdjelnik može se pomnožiti brojevima odabranim na poseban način, tako da je koeficijent prvog mandata u privatnosti bio broj cijeli broj. Kao što je prikazano gore, množenje podjele i razdjelnika će dovesti do odgovarajuće promjene privatnog ostatka, ali tako da se, kao rezultat toga, čvor tih polinomi umnožava na neki jednak nulti broj, što je dopušteno.
Upotreba jednadžbi je raširena u našim životima. Koriste se u mnogim izračunima, izgradnji struktura i čak i sportova. Jednadžbe osobe koriste se u antici i od tada se njihova primjena povećava samo. Polinomi je algebarski iznos djela brojeva, varijabli i njihovih stupnjeva. Transformacija polinoma tipično uključuje dvije vrste zadataka. Izraz je potreban ili pojednostavljen, ili se raspada na množitelja, tj. Predstaviti ga u obliku rada dva ili više polinoma ili neobičnih i polinoma.
Pojednostaviti polinom, donijeti slične uvjete. Primjer. Pojednostavite izražavanje presjeke s istom dijelom abecede. Preklopite ih. Zapišite dobivenu izrazu: pojednostavljeni polinom.
U zadacima koji zahtijevaju razgradnju polinoma na množitelja, određuju opći čimbenik ovog izraza. Da biste to učinili, prvo potječu za nosače koje su one varijable koje su dio svih članova izraza. Štoviše, ove varijable moraju imati najmanji pokazatelj. Zatim izračunajte najveći zajednički razdjelnik svakog od polinomnih koeficijenata. Modul rezultirajućeg broja bit će uobičajeni čimbenik.
Primjer. Istražite multi-ogledala odstupanja za zagrade. Varijabla m ulazi u svakog člana ovog izraza i njegov najmanji pokazatelj je dva. Izračunati koeficijent zajedničkog faktora. Jednak je pet. Dakle, ukupni čimbenik ovog izraza je: \\ t
Gdje mogu riješiti jednadžbu polinoma na internetu?
Možete riješiti jednadžbu na našoj web stranici HTTPS: // mjesto. Besplatni online solver riješit će online jednadžbu bilo koje složenosti u sekundama. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti podatke u solver. Također možete gledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih pitati u našoj VKOTntačkoj grupi http://vk.com/pocketEditeer. Pridružite se našoj grupi, uvijek nam je drago pomoći vam.
