S razlomcima se učenici upoznaju u 5. razredu. Prije su se ljudi koji su znali izvoditi akcije s razlomcima smatrali vrlo pametnima. Prvi razlomak je bio 1/2, odnosno polovica, zatim se pojavila 1/3 i tako dalje. Nekoliko stoljeća su se primjeri smatrali previše složenima. Sada su razvijena detaljna pravila za pretvaranje razlomaka, zbrajanje, množenje i druge radnje. Dovoljno je malo razumjeti gradivo, a rješenje će se lako dati.
Obični razlomak, koji se naziva prosti razlomak, zapisuje se dijeljenjem dvaju brojeva: m i n.
M je dividenda, odnosno brojnik razlomka, a djelitelj n nazivamo nazivnik.
Odaberite odgovarajuće razlomke (m< n) а также неправильные (m >n).
Pravilan razlomak je manji od jedan (na primjer, 5/6 - to znači da je od jednog uzeto 5 dijelova; 2/8 - od jednog su uzeta 2 dijela). Nepravilan razlomak je jednak ili veći od 1 (8/7 - jedinica će biti 7/7 i još jedan dio se uzima kao plus).
Dakle, jedinica je kada se brojnik i nazivnik podudaraju (3/3, 12/12, 100/100 i drugi).
Akcije s običnim razlomcima 6. razred
S jednostavnim razlomcima možete učiniti sljedeće:
- Proširi razlomak. Ako pomnožite gornji i donji dio razlomka s bilo kojim identičnim brojem (ali ne s nulom), tada se vrijednost razlomka neće promijeniti (3/5 = 6/10 (samo pomnoženo s 2).
- Smanjenje razlomaka je slično proširivanju, ali ovdje su podijeljeni brojem.
- Usporedi. Ako dva razlomka imaju isti brojnik, tada će razlomak s manjim nazivnikom biti veći. Ako su nazivnici isti, tada će razlomak s najvećim brojnikom biti veći.
- Izvršite zbrajanje i oduzimanje. S istim nazivnicima to je lako izvesti (gornje dijelove zbrajamo, a donji se ne mijenja). Za različite ćete morati pronaći zajednički nazivnik i dodatne faktore.
- Množenje i dijeljenje razlomaka.
Primjeri operacija s razlomcima razmatraju se u nastavku.
Skraćeni razlomci 6. razred
Smanjiti znači podijeliti vrh i dno razlomka nekim jednakim brojem.
Na slici su prikazani jednostavni primjeri redukcije. U prvoj opciji odmah možete pogoditi da su brojnik i nazivnik djeljivi s 2.
Napomena! Ako je broj paran, onda je djeljiv sa 2. Parni brojevi je 2, 4, 6…32 8 (završava na par), itd.
U drugom slučaju, pri dijeljenju 6 s 18, odmah je jasno da su brojevi djeljivi s 2. Dijeljenjem dobivamo 3/9. Ovaj je razlomak također djeljiv s 3. Tada je odgovor 1/3. Ako pomnožite oba djelitelja: 2 s 3, tada će izaći 6. Ispada da je ulomak podijeljen sa šest. Ova postupna podjela zove se uzastopno smanjivanje razlomka zajedničkim djeliteljima.
Netko će odmah podijeliti sa 6, nekome će trebati dijeljenje na dijelove. Glavno je da na kraju postoji razlomak koji se nikako ne može smanjiti.
Imajte na umu da ako se broj sastoji od znamenki, čiji će zbrajanje rezultirati brojem djeljivim s 3, onda se izvorni također može smanjiti za 3. Primjer: broj 341. Zbrojite brojeve: 3 + 4 + 1 = 8 ( 8 nije djeljiv s 3, pa se broj 341 ne može smanjiti za 3 bez ostatka). Drugi primjer: 264. Zbrojite: 2 + 6 + 4 = 12 (podijeljeno s 3). Dobivamo: 264: 3 = 88. To će pojednostaviti redukciju velikih brojeva.
Osim metode uzastopnog smanjivanja razlomka zajedničkim djeliteljima, postoje i drugi načini.
GCD je najveći djelitelj za broj. Nakon što ste pronašli GCD za nazivnik i brojnik, možete odmah smanjiti razlomak za željeni broj. Pretraga se provodi postupnim dijeljenjem svakog broja. Zatim gledaju koji se djelitelji podudaraju, ako ih ima nekoliko (kao na slici ispod), tada morate pomnožiti.
Mješoviti razlomci 6. razred
Svi nepravi razlomci mogu se pretvoriti u mješovite razlomke izoliranjem cijelog dijela u njima. Cijeli broj je napisan s lijeve strane.
Često morate napraviti mješoviti broj od nepravilnog razlomka. Proces pretvorbe u donjem primjeru: 22/4 = 22 podijeljeno s 4, dobivamo 5 cijelih brojeva (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Dobivamo 5 cijelih brojeva i 2/4 (nazivnik se ne mijenja). Budući da se razlomak može smanjiti, gornji i donji dio podijelimo s 2.
Lako je mješoviti broj pretvoriti u nepravi razlomak (to je potrebno kod dijeljenja i množenja razlomaka). Da biste to učinili: pomnožite cijeli broj s donjim dijelom razlomka i tome dodajte brojnik. Spreman. Nazivnik se ne mijenja.
Računanje s razlomcima 6. razred
Mogu se zbrajati mješoviti brojevi. Ako su nazivnici isti, onda je to lako učiniti: zbrojite cijele dijelove i brojnike, nazivnik ostaje na mjestu.
Kod zbrajanja brojeva s različitim nazivnicima, postupak je kompliciraniji. Prvo dovodimo brojeve na jedan najmanji nazivnik (NOD).
U donjem primjeru, za brojeve 9 i 6, nazivnik će biti 18. Nakon toga su potrebni dodatni faktori. Da biste ih pronašli, trebate podijeliti 18 s 9, tako da se dobije dodatni broj - 2. Pomnožimo ga s brojnikom 4, dobivamo razlomak 8/18). Isto se radi s drugom frakcijom. Već zbrajamo pretvorene razlomke (cijele brojeve i brojnike odvojeno, nazivnik ne mijenjamo). U primjeru je odgovor trebalo pretvoriti u pravi razlomak (u početku se pokazalo da je brojnik veći od nazivnika).
Imajte na umu da je s razlikom razlomaka algoritam radnji isti.
Prilikom množenja razlomaka važno je staviti oba pod istu crtu. Ako je broj mješovit, onda ga pretvaramo u prosti razlomak. Zatim pomnožite gornji i donji dio i zapišite odgovor. Ako je jasno da se razlomci mogu reducirati, tada reduciramo odmah.
U ovom primjeru nismo morali ništa rezati, samo smo napisali odgovor i označili cijeli dio.
U ovom primjeru, morao sam smanjiti brojeve ispod jednog retka. Iako je moguće smanjiti i gotov odgovor.
Kod dijeljenja algoritam je gotovo isti. Prvo okrećemo mješovita frakcija u pogrešnu, zatim brojeve upisujemo ispod jedne crte, zamjenjujući dijeljenje množenjem. Ne zaboravite zamijeniti gornji i donji dio drugog razlomka (ovo je pravilo za dijeljenje razlomaka).
Po potrebi smanjujemo brojke (u donjem primjeru smanjili su za pet i dva). Nepravi razlomak transformiramo tako da istaknemo cjelobrojni dio.
Osnovni zadaci za razlomke 6. razred
Video prikazuje još nekoliko zadataka. Radi jasnoće, koristili smo grafičke slike rješenja koja pomažu u vizualizaciji razlomaka.
Primjeri množenja razlomaka 6. razred s objašnjenjima
Množenje razlomaka napisano je ispod jedne crte. Nakon toga se umanjuju dijeljenjem s istim brojevima (npr. 15 u nazivniku i 5 u brojniku može se podijeliti s pet).
Usporedba razlomaka 6. razred
Da biste usporedili razlomke, morate zapamtiti dva jednostavna pravila.
Pravilo 1. Ako su nazivnici različiti
Pravilo 2. Kad su nazivnici isti
Na primjer, usporedimo razlomke 7/12 i 2/3.
- Gledamo nazivnike, ne poklapaju se. Dakle, morate pronaći zajedničku.
- Za razlomke, zajednički nazivnik je 12.
- Prvo podijelimo 12 s donjim dijelom prvog razlomka: 12 : 12 = 1 (ovo je dodatni faktor za 1. razlomak).
- Sada dijelimo 12 sa 3, dobivamo 4 - zbrajamo. množitelj 2. razlomka.
- Dobivene brojeve množimo s brojnicima da bismo pretvorili razlomke: 1 x 7 \u003d 7 (prvi razlomak: 7/12); 4 x 2 = 8 (drugi razlomak: 8/12).
- Sada možemo usporediti: 7/12 i 8/12. Ispalo: 7/12< 8/12.
Da biste bolje predstavili razlomke, možete koristiti crteže radi jasnoće, gdje je objekt podijeljen na dijelove (na primjer, kolač). Ako želite usporediti 4/7 i 2/3, onda se u prvom slučaju torta podijeli na 7 dijelova od kojih se biraju 4. U drugom dijele na 3 dijela i uzimaju 2. Golim okom će biti jasno da će 2/3 biti više od 4/7.
Primjeri s razlomcima 6. razred za obuku
Kao vježbu možete izvesti sljedeće zadatke.
- Usporedite razlomke
- izvrši množenje
Savjet: ako je teško pronaći najmanji zajednički nazivnik razlomaka (pogotovo ako su njihove vrijednosti male), tada možete pomnožiti nazivnik prvog i drugog razlomka. Primjer: 2/8 i 5/9. Jednostavno je pronaći njihov nazivnik: pomnožite 8 s 9 i dobit ćete 72.
Rješavanje jednadžbi s razlomcima 6. razred
U rješavanju jednadžbi potrebno je zapamtiti radnje s razlomcima: množenje, dijeljenje, oduzimanje i zbrajanje. Ako je jedan od faktora nepoznat, tada se umnožak (ukupno) dijeli s poznatim faktorom, odnosno razlomci se množe (drugi se okreće).
Ako je dividenda nepoznata, tada se nazivnik množi djeliteljem, a da biste pronašli djelitelj, trebate podijeliti dividendu s količnikom.
Zamislimo jednostavne primjere rješavanja jednadžbi:
Ovdje je potrebno samo proizvesti razliku razlomaka, bez dovođenja do zajedničkog nazivnika.
Odgovor je nepravi razlomak. Može se pretvoriti u 1 cijelo i 3/5.
U drugoj metodi, brojnik i nazivnik pomnoženi su s 4 kako bi se skratio dno, a ne preokrenuo nazivnik.
Sada kada smo naučili kako zbrajati i množiti pojedinačne razlomke, možemo razmotriti više složene strukture. Na primjer, što ako se u jednom problemu pojavi zbrajanje, oduzimanje i množenje razlomaka?
Prije svega, trebate pretvoriti sve razlomke u neprave. Zatim uzastopno izvodimo potrebne radnje - istim redoslijedom kao i za obične brojeve. Naime:
- Prvo se izvodi potenciranje - riješite se svih izraza koji sadrže eksponente;
- Zatim - dijeljenje i množenje;
- Zadnji korak je zbrajanje i oduzimanje.
Naravno, ako u izrazu postoje zagrade, redoslijed radnji se mijenja - prvo se mora uzeti u obzir sve što je unutar zagrada. I zapamtite nepravilne razlomke: morate odabrati cijeli dio tek kada su sve druge radnje već dovršene.
Prevedimo sve razlomke iz prvog izraza u nepravilne, a zatim izvršimo sljedeće radnje:
Nađimo sada vrijednost drugog izraza. Ovdje razlomci sa cijeli dio ne, ali ima zagrada, pa prvo radimo zbrajanje, pa tek onda dijeljenje. Primijetimo da je 14 = 7 2 . Zatim:
Na kraju, razmotrite treći primjer. Ovdje postoje zagrade i stupanj - bolje ih je računati odvojeno. S obzirom da je 9 = 3 3 , imamo:
Obratite pozornost na posljednji primjer. Da biste podigli razlomak na potenciju, morate posebno podići brojnik na tu potenciju, a posebno nazivnik.
Možete odlučiti drugačije. Ako se prisjetimo definicije stupnja, problem će se svesti na uobičajeno množenje razlomaka:
Višekatni razlomci
Do sada smo razmatrali samo "čiste" razlomke, kada su brojnik i nazivnik obični brojevi. Ovo je u skladu s definicijom numeričkog razlomka danom u prvoj lekciji.
Ali što ako je složeniji objekt stavljen u brojnik ili nazivnik? Na primjer, još jedan numerički razlomak? Takve se konstrukcije pojavljuju prilično često, osobito pri radu s dugim izrazima. Evo nekoliko primjera:
Postoji samo jedno pravilo za rad s višekatnim frakcijama: morate ih se odmah riješiti. Uklanjanje "dodatnih" katova vrlo je jednostavno, ako se sjetite da razlomačka traka znači standardnu operaciju dijeljenja. Stoga se svaki razlomak može prepisati na sljedeći način:
Koristeći ovu činjenicu i slijedeći proceduru, možemo lako svesti bilo koju višekatnicu na običnu. Pogledajte primjere:
Zadatak. Pretvorite višekatne razlomke u obične:
U svakom slučaju prepisujemo glavni razlomak, zamjenjujući crtu dijeljenja znakom dijeljenja. Također zapamtite da se svaki cijeli broj može predstaviti kao razlomak s nazivnikom 1. To jest, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Dobivamo:
U posljednji primjer prije konačnog množenja razlomci su se smanjivali.
Specifičnosti rada s višekatnim frakcijama
Postoji jedna suptilnost u višekatnim frakcijama koje se uvijek moraju zapamtiti, inače možete dobiti pogrešan odgovor, čak i ako su svi izračuni bili točni. Pogledaj:
- U brojniku je zaseban broj 7, au nazivniku - razlomak 12/5;
- Brojnik je razlomak 7/12, a nazivnik je jedini broj 5.
Dakle, za jednu ploču dobili smo dvije potpuno različite interpretacije. Ako brojite, odgovori će također biti drugačiji:
Kako biste osigurali da se zapis uvijek čita nedvosmisleno, upotrijebite jednostavno pravilo: crta razdjelnice glavnog razlomka mora biti duža od ugniježđene crte. Po mogućnosti nekoliko puta.
Ako slijedite ovo pravilo, tada bi gornji razlomci trebali biti napisani na sljedeći način:
Da, vjerojatno je ružan i zauzima previše mjesta. Ali dobro ćete računati. Na kraju, nekoliko primjera gdje se stvarno pojavljuju razlomci s više razina:
Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:
Dakle, poradimo na prvom primjeru. Pretvorimo sve razlomke u neprave, a zatim izvršimo operacije zbrajanja i dijeljenja:
Učinimo isto s drugim primjerom. Pretvorite sve razlomke u neprave i izvedite potrebne operacije. Da ne bih dosadio čitatelju, izostavit ću neke očite računice. Imamo:
Zbog činjenice da brojnik i nazivnik glavnih razlomaka sadrže zbrojeve, automatski se poštuje pravilo za pisanje višeetažnih razlomaka. Također, u prošlom primjeru smo namjerno ostavili broj 46/1 u obliku razlomka kako bismo izvršili dijeljenje.
Također napominjem da u oba primjera razlomačka traka zapravo zamjenjuje zagrade: prije svega smo pronašli zbroj, a tek onda - kvocijent.
Netko će reći da je prijelaz na neprave razlomke u drugom primjeru bio očito suvišan. Možda je to tako. Ali na taj se način osiguravamo od pogrešaka, jer sljedeći put primjer može ispasti puno kompliciraniji. Odaberite sami što vam je važnije: brzina ili pouzdanost.
Sljedeća radnja koja se može izvesti s običnim razlomcima je oduzimanje. U sklopu ovog materijala razmotrit ćemo kako pravilno izračunati razliku između razlomaka s istim i različitim nazivnicima, kako oduzeti razlomak od prirodni broj i obrnuto. Svi primjeri bit će ilustrirani zadacima. Pojasnimo unaprijed da ćemo analizirati samo slučajeve u kojima razlika razlomaka rezultira pozitivnim brojem.
Kako pronaći razliku između razlomaka s istim nazivnikom
Počnimo odmah s ilustrativnim primjerom: recimo da imamo jabuku koja je podijeljena na osam dijelova. Ostavimo pet dijelova na tanjuru i uzmemo dva. Ova akcija se može napisati ovako:
Na kraju imamo 3 osmine jer je 5 − 2 = 3 . Ispada da je 5 8 - 2 8 = 3 8 .
Time jednostavan primjer vidjeli smo kako točno funkcionira pravilo oduzimanja za razlomke čiji su nazivnici isti. Idemo to formulirati.
Definicija 1
Da biste pronašli razliku između razlomaka s istim nazivnicima, morate brojnik jednoga oduzeti od brojnika drugoga, a nazivnik ostaviti isti. Ovo se pravilo može napisati kao a b - c b = a - c b .
Ovu ćemo formulu koristiti u nastavku.
Uzmimo konkretne primjere.
Primjer 1
Od razlomka 24 15 oduzmi obični razlomak 17 15 .
Riješenje
Vidimo da ti razlomci imaju iste nazivnike. Sve što trebamo učiniti je oduzeti 17 od 24. Dobijemo 7 i dodamo mu nazivnik, dobivamo 7 15 .
Naši izračuni mogu se napisati ovako: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15
Ako je potrebno, možete skratiti spojena frakcija ili odaberite cijeli dio s pogrešnog kako biste ga lakše brojali.
Primjer 2
Pronađite razliku 37 12 - 15 12 .
Riješenje
Upotrijebimo gore opisanu formulu i izračunajmo: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12
Lako je vidjeti da se brojnik i nazivnik mogu podijeliti s 2 (o tome smo već govorili ranije kada smo analizirali znakove djeljivosti). Smanjivanjem odgovora dobivamo 11 6 . Ovo je nepravi razlomak iz kojeg ćemo odabrati cijeli dio: 11 6 \u003d 1 5 6.
Kako pronaći razliku između razlomaka s različitim nazivnicima
Takva matematička operacija može se svesti na ono što smo već opisali gore. Da biste to učinili, jednostavno dovedite željene razlomke na isti nazivnik. Formulirajmo definiciju:
Definicija 2
Da biste pronašli razliku između razlomaka različite nazivnike, potrebno ih je dovesti na isti nazivnik i pronaći razliku među brojnicima.
Pogledajmo primjer kako se to radi.
Primjer 3
Oduzmite 1 15 od 2 9 .
Riješenje
Nazivnici su različiti i potrebno ih je svesti na najmanji zdrav razum. U ovom slučaju, LCM je 45. Za prvi razlomak potreban je dodatni faktor 5, a za drugi - 3.
Izračunajmo: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45
Dobili smo dva razlomka s istim nazivnikom, a sada lako možemo pronaći njihovu razliku koristeći prethodno opisani algoritam: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45
Kratki zapis rješenja izgleda ovako: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.
Nemojte zanemariti smanjenje rezultata ili odabir cijelog dijela iz njega, ako je potrebno. U ovaj primjer ne moramo to učiniti.
Primjer 4
Pronađite razliku 19 9 - 7 36 .
Riješenje
Razlomke navedene u uvjetu dovodimo na najmanji zajednički nazivnik 36 i dobivamo 76 9 odnosno 7 36.
Razmatramo odgovor: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36
Rezultat se može smanjiti za 3 i dobiti 23 12 . Brojnik je veći od nazivnika, što znači da možemo izdvojiti cijeli dio. Konačni odgovor je 1 11 12 .
Sažetak cijelog rješenja je 19 9 - 7 36 = 1 11 12 .
Kako oduzeti prirodni broj od običnog razlomka
Ova se radnja također može lako svesti na jednostavno oduzimanje obični razlomci. To se može učiniti predstavljanjem prirodnog broja kao razlomka. Pokažimo primjer.
Primjer 5
Nađi razliku 83 21 - 3 .
Riješenje
3 je isto što i 3 1 . Tada možete izračunati ovako: 83 21 - 3 \u003d 20 21.
Ako je u uvjetu potrebno oduzeti cijeli broj od nepravog razlomka, prikladnije je najprije izdvojiti cijeli broj iz njega, zapisujući ga kao mješoviti broj. Tada se prethodni primjer može drugačije riješiti.
Od razlomka 83 21, kada odaberete cijeli broj, dobit ćete 83 21 \u003d 3 20 21.
Sada samo oduzmite 3 od toga: 3 20 21 - 3 = 20 21 .
Kako od prirodnog broja oduzeti razlomak
Ova se radnja izvodi slično kao i prethodna: prirodni broj prepisujemo kao razlomak, oba dovodimo na zajednički nazivnik i nalazimo razliku. Ilustrirajmo to primjerom.
Primjer 6
Pronađite razliku: 7 - 5 3 .
Riješenje
Neka 7 bude razlomak 7 1 . Oduzimamo i transformiramo konačni rezultat, izdvajajući iz njega cijeli broj: 7 - 5 3 = 5 1 3 .
Postoji još jedan način izračunavanja. Ima neke prednosti koje se mogu koristiti u slučajevima kada su brojnici i nazivnici razlomaka u problemu veliki brojevi.
Definicija 3
Ako je razlomak koji se oduzima točan, tada prirodni broj od kojeg oduzimamo moramo prikazati kao zbroj dvaju brojeva od kojih je jedan jednak 1. Nakon toga potrebno je od jedinice oduzeti željeni razlomak i dobiti odgovor.
Primjer 7
Izračunaj razliku 1 065 - 13 62 .
Riješenje
Razlomak koji treba oduzeti je ispravan jer mu je brojnik manji od nazivnika. Dakle, trebamo oduzeti jedan od 1065 i od njega oduzeti željeni razlomak: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62
Sada moramo pronaći odgovor. Koristeći svojstva oduzimanja, dobiveni izraz može se napisati kao 1064 + 1 - 13 62 . Izračunajmo razliku u zagradama. Da bismo to učinili, jedinicu predstavljamo kao razlomak 1 1 .
Ispada da je 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.
Sada se prisjetimo 1064. i formuliramo odgovor: 1064 49 62 .
Koristimo stari način da dokažemo da je manje zgodan. Ovo su izračuni koje bismo dobili:
1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6
Odgovor je isti, ali su računice očito glomaznije.
Razmotrili smo slučaj kada trebate oduzeti točan razlomak. Ako je pogrešan, zamijenimo ga mješovitim brojem i oduzimamo prema poznatim pravilima.
Primjer 8
Izračunaj razliku 644 - 73 5 .
Riješenje
Drugi razlomak je nepravilan i od njega se mora odvojiti cijeli dio.
Sada računamo slično kao u prethodnom primjeru: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5
Svojstva oduzimanja pri radu s razlomcima
Svojstva koja posjeduje oduzimanje prirodnih brojeva vrijede i za slučajeve oduzimanja običnih razlomaka. Pogledajmo kako ih koristiti pri rješavanju primjera.
Primjer 9
Nađi razliku 24 4 - 3 2 - 5 6 .
Riješenje
Slične primjere već smo rješavali kada smo analizirali oduzimanje zbroja od broja, pa postupamo prema već poznatom algoritmu. Prvo izračunamo razliku 25 4 - 3 2, a zatim od nje oduzmemo zadnji razlomak:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Transformirajmo odgovor izdvajanjem cijelog dijela iz njega. Rezultat je 3 11 12.
Kratak sažetak cijelog rješenja:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
Ako izraz sadrži i razlomke i prirodne brojeve, preporučuje se grupirati ih po vrstama prilikom računanja.
Primjer 10
Nađi razliku 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .
Riješenje
Poznavajući osnovna svojstva oduzimanja i zbrajanja, brojeve možemo grupirati na sljedeći način: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Dovršimo izračune: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik) prirodnih brojeva koji su nazivnici zadanih razlomaka.
Brojnicima zadanih razlomaka potrebno je dodati dodatne faktore, jednaka omjeru LCM i pripadni nazivnik.
Brojnici zadanih razlomaka pomnoženi su njihovim dodatnim faktorima, dobiveni su brojnici razlomaka sa zajedničkim nazivnikom. Znakovi akcije ("+" ili "-") u zapisu razlomaka svedenih na zajednički nazivnik pohranjeni su prije svakog razlomka. Za razlomke sa zajedničkim nazivnikom čuvaju se predznaci radnji ispred svakog smanjenog brojnika.
Tek sada možete zbrojiti ili oduzeti brojnike i potpisati zajednički nazivnik ispod rezultata.
Pažnja! Ako u dobivenom razlomku brojnik i nazivnik imaju zajedničke faktore, tada se razlomak mora smanjiti. Poželjno je nepravi razlomak pretvoriti u mješoviti razlomak. Ostavljanje rezultata zbrajanja ili oduzimanja bez smanjivanja razlomka gdje je to moguće je nedovršeno rješenje primjera!
Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. Pravilo. Do zbrajati ili oduzimati razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate dovesti do najmanjeg zajedničkog nazivnika, a zatim izvršiti operacije zbrajanja ili oduzimanja kao s razlomcima s istim nazivnicima.
Postupak zbrajanja i oduzimanja razlomaka s različitim nazivnicima
- pronaći LCM svih nazivnika;
- staviti dodatne množitelje za svaki razlomak;
- pomnožite svaki brojnik dodatnim faktorom;
- uzmite dobivene umnoške kao brojnike, potpisujući zajednički nazivnik ispod svakog razlomka;
- zbrajati ili oduzimati brojnike razlomaka potpisujući zajednički nazivnik ispod zbroja ili razlike.
Također se izvodi zbrajanje i oduzimanje razlomaka u prisutnosti slova u brojniku.
S razlomcima možete izvoditi razne radnje, na primjer zbrajanje razlomaka. Zbrajanje razlomaka može se podijeliti u nekoliko vrsta. Svaka vrsta zbrajanja razlomaka ima svoja pravila i algoritam djelovanja. Pogledajmo pobliže svaku vrstu dodavanja.
Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.
Na primjer, pogledajmo kako zbrajati razlomke sa zajedničkim nazivnikom.
Planinari su išli na pješačenje od točke A do točke E. Prvog dana pješačili su od točke A do točke B, odnosno \(\frac(1)(5)\) cijelim putem. Drugog su dana išli od točke B do D ili \(\frac(2)(5)\) cijelim putem. Koliki su put prešli od početka puta do točke D?
Da biste pronašli udaljenost od točke A do točke D, zbrojite razlomke \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).
Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima znači da trebate zbrojiti brojnike tih razlomaka, a nazivnik će ostati isti.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
U doslovnom obliku zbroj razlomaka s istim nazivnicima izgledat će ovako:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Odgovor: turisti su putovali \(\frac(3)(5)\) cijelim putem.
Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.
Razmotrite primjer:
Zbrojite dva razlomka \(\frac(3)(4)\) i \(\frac(2)(7)\).
Da biste zbrajali razlomke s različitim nazivnicima, prvo morate pronaći, a zatim upotrijebite pravilo za zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.
Za nazivnike 4 i 7, zajednički nazivnik je 28. Prvi razlomak \(\frac(3)(4)\) mora se pomnožiti sa 7. Drugi razlomak \(\frac(2)(7)\) mora biti pomnoženo sa 4.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ puta \boja(crvena) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
U doslovnom obliku dobivamo sljedeću formulu:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \puta d + c \puta b)(b \puta d)\)
Zbrajanje mješovitih brojeva ili mješovitih razlomaka.
Zbrajanje se događa prema zakonu zbrajanja.
Za mješovite razlomke, dodajte cijele dijelove cijelim dijelovima i razlomke dijelovima razlomaka.
Ako su razlomački dijelovi mješoviti brojevi imaju iste nazivnike, zatim dodaju brojnike, a nazivnik ostaje isti.
Zbrojite mješovite brojeve \(3\frac(6)(11)\) i \(1\frac(3)(11)\).
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\boja(crvena) (3) + \boja(plava) (\frac(6)(11))) + ( \boja(crvena) (1) + \boja(plava) (\frac(3)(11))) = (\boja(crvena) (3) + \boja(crvena) (1)) + (\boja( plava) (\frac(6)(11)) + \boja(plava) (\frac(3)(11))) = \boja(crvena)(4) + (\boja(plava) (\frac(6) + 3)(11))) = \boja(crvena)(4) + \boja(plava) (\frac(9)(11)) = \boja(crvena)(4) \boja(plava) (\frac (9)(11))\)
Ako razlomci mješovitih brojeva imaju različite nazivnike, tada nalazimo zajednički nazivnik.
Zbrojimo mješovite brojeve \(7\frac(1)(8)\) i \(2\frac(1)(6)\).
Nazivnik je različit, pa morate pronaći zajednički nazivnik, on je jednak 24. Pomnožite prvi razlomak \(7\frac(1)(8)\) s dodatnim faktorom 3, a drugi razlomak \( 2\frac(1)(6)\) na 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1 \times \color(red) (4))(6 \times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
Povezana pitanja:
Kako zbrajati razlomke?
Odgovor: prvo morate odlučiti kojoj vrsti pripada izraz: razlomci imaju iste nazivnike, različite nazivnike ili mješovite razlomke. Ovisno o vrsti izraza, prelazimo na algoritam rješenja.
Kako riješiti razlomke s različitim nazivnicima?
Odgovor: potrebno je pronaći zajednički nazivnik, a zatim slijediti pravilo zbrajanja razlomaka s istim nazivnicima.
Kako riješiti mješovite razlomke?
Odgovor: Zbrojite cijele dijelove cijelim brojevima i razlomljene dijelove razlomljenim dijelovima.
Primjer #1:
Može li zbroj dva rezultirati pravilnim razlomkom? Pogrešan razlomak? Navedite primjere.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
Razlomak \(\frac(5)(7)\) je pravi razlomak, rezultat je zbroja dvaju pravih razlomaka \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3) (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \puta 9 + 8 \puta 5)(5 \puta 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
Razlomak \(\frac(58)(45)\) je nepravi razlomak, rezultat je zbroja pravih razlomaka \(\frac(2)(5)\) i \(\frac(8) (9)\).
Odgovor: Odgovor je da na oba pitanja.
Primjer #2:
Zbrojite razlomke: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\).
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Primjer #3:
Napiši mješoviti razlomak kao zbroj prirodnog broja i pravilnog razlomka: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Primjer #4:
Izračunajte zbroj: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)
c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \puta 3)(5 \puta 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
Zadatak #1:
Za večerom su pojeli \(\frac(8)(11)\) kolača, a navečer za večerom pojeli su \(\frac(3)(11)\). Mislite li da je kolač u potpunosti pojeden ili ne?
Riješenje:
Nazivnik razlomka je 11, on označava na koliko je dijelova kolač podijeljen. Za ručkom smo pojeli 8 komada kolača od 11. Za večerom smo pojeli 3 komada kolača od 11. Zbrojimo 8 + 3 = 11, pojeli smo komade kolača od 11, odnosno cijelu tortu.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Odgovor: Pojeli su cijelu tortu.
