Как считается корень квадратный. Вычисление квадратного корня из числа: как вычислить вручную. Возведение в степень

Среди множества знаний, которые являются признаком грамотности, на первом месте стоит азбука. Следующим, таким же «знаковым» элементом, являются навыки сложения-умножения и, примыкающие к ним, но обратные по смыслу, арифметические операции вычитания-деления. Усвоенные в далеком школьном детстве навыки, служат верой и правдой денно и нощно: ТВ, газета, СМС, И везде читаем, пишем, считаем, складываем, вычитаем, умножаем. А, скажите, часто ли вам приходилось по жизни, извлекать корни, кроме, как на даче? Например, такая занимательная задачка, типа, корень квадратный из числа 12345… Есть еще порох в пороховницах? Осилим? Да нет ничего проще! Где тут мой калькулятор… А без него, врукопашную, слабо?

Сначала уточним, что же это такое - квадратный корень числа. Вообще говоря, «извлечь корень из числа» означает выполнить арифметическое действие противоположное возведению в степень - вот вам и единство противоположностей в жизненном приложении. допустим, квадрат, это умножение числа на самое себя, т.е., как учили в школе, Х * Х = А или в другой записи Х2 = А, а словами - «Х в квадрате равняется А». Тогда обратная задача звучит так: квадратный корень числа А, представляет собой число Х, которое будучи возведено в квадрат равно А.

Извлекаем квадратный корень

Из школьного курса арифметики известны способы вычислений «в столбик», которые помогают выполнить любые подсчеты с применением первых четырех арифметических действий. Увы… Для квадратных, и не только квадратных, корней таких алгоритмов не существует. А в таком случае, как извлечь квадратный корень без калькулятора? Исходя из определения квадратного корня вывод один - необходимо подбирать значение результата последовательным перебором чисел, квадрат которых приближается к значению подкоренного выражения. Только и всего! Не успеет пройти час-другой, как можно посчитать, используя хорошо известный прием умножения в «столбик», любой квадратный корень. При наличии навыков для этого достаточно пары минут. Даже не совсем продвинутый пользователь калькулятора или ПК делает это одним махом - прогресс.

А если серьезно, то вычисление квадратного корня часто выполняют, используя прием «артиллерийской вилки»: сначала берут число, квадрат которого, примерно, соответствует подкоренному выражению. Лучше, если «наш квадрат» чуть меньше этого выражения. Затем корректируют число по собственному умению-разумению, например, умножают на два, и… вновь возводят в квадрат. Если результат больше числа под корнем, последовательно корректируя исходное число, постепенно приближаются к его «коллеге» под корнем. Как видите - никакого калькулятора, только умение считать «в столбик». Конечно же, есть множество научно-аргументированных и оптимизированных алгоритмов вычислений квадратного корня, но для «домашнего применения» указанный выше прием дает 100% уверенность в результате.

Да, чуть не забыл, чтобы подтвердить свою возросшую грамотность, вычислим квадратный корень ранее указанного числа 12345. Делаем пошагово:

1. Возьмем, чисто интуитивно, Х=100. Подсчитаем: Х * Х = 10000. Интуиция на высоте - результат меньше 12345.

2. Попробуем, тоже чисто интуитивно, Х = 120. Тогда: Х * Х = 14400.И опять с интуицией порядок - результат больше 12345.

3. Выше получена «вилка» 100 и 120. Выберем новые числа - 110 и 115. Получаем, соответственно, 12100 и 13225 - вилка сужается.

4. Пробуем на «авось» Х=111. Получаем Х * Х = 12321. Это число уже достаточно близко к 12345. В соответствии с требуемой точностью «подгонку» можно продолжить или остановиться на полученном результате. Вот и все. Как и было обещано - все очень просто и без калькулятора.

Совсем немного истории…

Додумались до использования квадратных корней еще пифагорейцы, ученики школы и последователи Пифагора, за 800 лет до н.э. и тут же, «нарвались» на новые открытия в области чисел. И откуда что взялось?

1. Решение задачи с извлечением корня, дает результат в виде чисел нового класса. Их назвали иррациональными, иначе говоря, «неразумными», т.к. они не записываются законченным числом. Самый классический пример такого рода - квадратный корень из 2. Этот случай соответствует вычислению диагонали квадрата со стороной равной 1 - вот оно, влияние школы Пифагора. Оказалось, что у треугольника с вполне конкретным единичным размером сторон, гипотенуза имеет размер, который выражается числом, у которого «нет конца». Так в математике появились

2. Известно, что Оказалось, что эта математическая операция содержит еще один подвох - извлекая корень, мы не знаем, квадратом какого числа, положительного или отрицательного, является подкоренное выражение. Эта неопределенность, двойной результат от одной операции, так и записывается.

Изучение связанных с этим явлением проблем стало направлением в математике под названием теория комплексной переменной, имеющим большое практическое значение в математической физике.

Любопытно, что обозначение корня - радикал - применил в своей «Универсальной арифметике» все тот же вездесущий И. Ньютон, а в точности современный вид записи корня известен с 1690 года из книги француза Ролля «Руководство алгебры».

Ну, если учесть, что этот самый квадратный корень является произведением одного и того же числа (то есть, в = а), то квадратный корень из ста будет 10 (100 = 10).

При этом следует отметить, что можно число 100 представить как произведение 25 и 4. А затем уже вычислить квадратный корень и из 25 и из 4. 5 и 2. Перемножаем и получаем также 10.

Когда в школе мы только начали изучать эту тему, квадратный корень из 100 , наверное, был одним из самых легких для понимания и вычисления . Обычно я смотрела на четное (!) количество нулей и сразу высчитывала, какое число, умноженное само на себя, дает цифру под квадратным корнем. Например, если бы это было 10000, то квадратный корень из этого числа будет сто (100х100 = 10000 ). Если в числе под кв. корнем шесть нулей, то ответ будет содержать три нуля. И т.д.

В данном случае в цифре всего лишь два нуля, это означает, что десятки было две. Итак, квадратный корень из 100 равен 10. Проверяем: 10х10 = 100

Для вычисления квадратного корня можно воспользоваться несколькими способами.

1) Взять калькулятор или смартфон/планшет/компьютер с установленной программой для вычислений, ввести число 100 и нажать на значек квадратного корня, который выглядит примерно так:

2) Знать таблицу квадратов чисел до 100=25*4.

3) Методом деления.

4) Методом разложения на простые множители 100=10*10.

Теоретически, если сделаете все верно, получите результат равный 10.

Значок, которым обозначают корень квадратный, называется радикал и выглядит вот таким образом.

А квадратный корень из 100 извлекается просто, если знать квадраты чисел. 10 Х 10 = 100. Вот и квадратный корень из 100, следуя определению квадратного корня, равен 10.

Наверное, каждый школьник знает, что цифра 100 — это произведения 10 на 10.

Так как квадратный корень — это число, которое при умножении само на себя дат подкоренное выражение, то квадратный корень из ста будет равен числу 10 .

Если вы забыли, что 100=10*10, то можно воспользоваться свойствами корней:

корень из 100 = корень из (25*4) = корень из 25 * корень из 4.

Все знают, что 5*5 = 25, а 2*2 = 4. Поэтому, корень из 100 = 5 * 2 = 10.

Ну а если вы и этого не знаете, то можно воспользоваться калькулятором или таблицами Excel, в них есть специальная формула, называющаяся КОРЕНЬ . Вот, как это вс выглядит наглядно:

Сейчас с помощью калькулятора очень легко вычислить корень квадратный любого числа.

Извлечь корень квадратный из числа 100 можно устно. Ведь известно, что поднести число x до квадрата — это число x, умноженное на число x.

Если 10 10 = 100, значит, корень квадратный из 100 — это 10.

Ответ на вопрос: 10 .

Корень квадратный в математике обозначается условным символом.

Квадратный корень из числа а -это неотрицательное число, квадрат которого равен а. Так как 10^2=100,то квадратный корень из 100 равен 10.

Есть такие числа корень которых запомнить очень просто. Для меня это например, 25 — корень будет 5, так как 5*5=25, 625 — корень 25, так как 25*25=625.

К таким числам отношу и число 100 — корень будет 10, проверяем 10*10=100. Значит правильно.

Квадратный корень из ста? вроде будет 10

С трудом представляю себе, что за этим ответом человек полезет в интернет, но, если представить себе, что он совершенно несобранный и невнимательный, то даю ответ.Корень квадратный из числа 100 равен 10, а также -10. Во многих источниках пишется так.

Квадратный корень из 100 имеет два значения 10 и -10. Кто не верит можно проверить перемножением.

Дл ятого чтобы произвести извлечение квадратного корня без калькулятора, нужно прибегнуть к разложению числа под корнем на самые мелькие множители и уже отсюда исходить. Итак для числа ста:

И соответсвенно отсюда сразу же становится ясно, что квадратный корень из ста будет у нас равен именно 10.

Пришлось вспоминать правило, которое запомнилось еще со школы:

Хотя извлечение корня из 100 — дело простейшее, не требующее применения калькуляторов, поскольку въелось в память на всю жизнь. Число 100 получается умножением 10 на 10, а следовательно, число 10 и будет являться корнем из сотни.

Сегодня мы с вами разберемся на этой странице нашего сайта сайт о том, квадратный корень из 100 сколько будет. Давайте вместе с вами разберемся сколько будет квадратный корень из 100, так как над этой темой многие десятилетия ломали свои умы 1000 научных сотрудников и многие пришли без поворотному выводу по расчётам, что такого корня вообще не существует и его просто невозможно вычислить. Также очень важно в данном случае задать именно правильный вопрос по выявлению квадратного корня из 100. Если быть точным, то мы будем высчитывать арифметический корень квадрата из 100 так как в обычном квадратном корне из 100 в результате у нас будет получаться два числа: 10 и -10.

Сумму нужных нам этих чисел мы можем посчитать простым арифметическим приемом с помощью вертикальной, привычной чертой, цифры и корни которые прописываются справа внизу. Там мы будем находить нужный нам квадрат единиц корня, затем умножать десятки и находить удвоенное а не утроенное произведение десятка любого корня на единицы. Некоторые цифры нам придётся возводить в квадрат, чтобы в сумме получилось двузначное число, если в итоге у нас получилась число 10, значит мы всё сделали с вами верно. Главное изначально перед началом расчетов хотя бы немного подружиться с математикой и с математической прогрессией составление квадратного корня.

Запомните одно единственное и основное правило: чтобы нам извлечь нужный корень квадратный из любого целого числа, в первую очередь извлекаем любой нужный нам корень из числа его сумм и сотен. Если число равняется или больше 100, тогда мы начинаем искать корень из сотен фактических чисел этих данных сотен, потом из десятков тысяч фактического числа, тем более если данное число намного больше чем 100, затем уже в обязательном порядке извлекаем корень числа из сотен десятков тысяч или если быть точнее: из миллиона данного числа. На эту тему есть много правил и различных научных рекомендаций, школьных программ по извлечению квадратного корня из числа 100 будет всегда неизменным.

Если рассматривать прогресс нахождения корня из числа 100, нам надо обратить внимание что в корне находится столько же цифр, сколько и под конечным числом граней, при этом левая грань может состоять всего лишь из одной цифры. Исходя из всего этого, самым точным на планете земля квадратным корнем из любого числа, будет называться такая сумма чисел, квадрат которого в точности при подсчетах равняется данному числу. Именно на этом мы можем окончить свой краткий курс по вычислению квадратного корня из 100 который будет равняться (10) десяти.

Константинова Вера

Как найти корень числа

Задача нахождения корня в математике является обратной задачей возведения числа в степень. Корни бывают различные: корни второй степени, корни третьей степени, корни четвертой степени и так далее. Это зависит от того, в какую степень изначально было возведено число. Корень обознается символом: √ – это квадратный корень, то есть корень из второй степени, если у корня степень больше, чем вторая, то над знаком корня приписывается соответствующая степень. Число, которое находится под знаком корня – это подкоренное выражение. При нахождении корня существует несколько правил, которые помогут не ошибиться в нахождении корня:

Корень четной степени (если степень равна 2, 4, 6, 8 и так далее) из отрицательного числа НЕ существует. Если подкоренное выражение отрицательно, но ищется корень нечетной степени (3, 5, 7 и так далее), то результат будет отрицательным.
Корень любой степени от единицы всегда единица: √1 = 1.
Корень нуля есть нуль: √0 = 0.

Как найти корень из числа 100

Если в задаче не написано, корень какой степени необходимо найти, то обычно подразумевается, что необходимо найти корень второй степени (квадратный).
Найдем √100 = ? Нам необходимо найти такое число, при возведении которого во вторую степень, получится число 100. Очевидно, что таким числом является число 10, так как: 10 2 = 100. Следовательно, √100 = 10: квадратный корень из 100 равен 10.

При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.

К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.

Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов

Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы . Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?

При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах - значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.

Поскольку извлечение корня - это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.

Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки - 1, по вертикали находим единицы - 3. Ответ: √169 = 13.

Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.

Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.

Разложение на простые множители

Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители . Простые множители - это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.

Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.

Метод Герона

Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона . Его суть заключается в использовании приближённой формулы:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

где R - число, корень которого нужно вычислить, a - ближайшее число, значение корня которого известно.

Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен - 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Теперь проверим точность метода :

10,55² = 111,3025.

Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Проверим точность расчёта:

10,536² = 111,0073.

После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.

Вычисление корня делением в столбик

Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора .

Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.

Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 - первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
Повторим шаги 3-6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 - 721 = 498.
Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.

В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.

Поразрядное вычисление значения квадратного корня

Метод обладает высокой точностью . Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.

Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.

Выясним, какой разряд значения квадратного корня будет являться старшим. Для этого возведём в квадрат 0, 10, 100, 1000 и т. д. и выясним, между какими из них находится подкоренное число. Мы получим, что 10² < 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
Подберём значение десятков. Для этого будем по очереди возводить в степень 10, 20, …, 90, пока не получим число, превышающее 781. Для нашего случая получим 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Значение результата n будет находиться в пределах 20 < n <30.
Аналогично предыдущему шагу подбирается значение разряда единиц. Поочерёдно возведём в квадрат 21,22, …, 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Получаем, что 27 < n < 28.
Каждый последующий разряд (десятые, сотые и т. д.) вычисляется так же, как было показано выше. Расчёты проводятся до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.

Видео

Из видео вы узнаете, как извлекать квадратные корни без использования калькулятора.

До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.

Шаги

Разложение на простые множители

Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).

Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b. Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.
- В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
  - √(25 х 16)
  - √25 х √16
  - 5 х 4 = 20
Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.
- Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
  - = √(49 х 3)
  - = √49 х √3
  - = 7√3
Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.
- Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
  - Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 - мы были правы.
Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители . Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.
- Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
- Рассмотрим другой пример: √88.
  - = √(2 х 44)
  - = √ (2 х 4 х 11)
  - = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
  - = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.
Вычисление квадратного корня вручную

При помощи деления в столбик
1. Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".
  - Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде "7 80, 14". Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.
2. Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.
  - В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4 < 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).
  - В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.
4. Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением "_×_=".
  - В нашем примере второй парой чисел является "80". Запишите "80" после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите "4_×_=" снизу справа.
5. Заполните прочерки справа.
  - В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 - слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа - это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.
6. Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.
  - В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.
7. Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением "_×_=".
  - В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите "54_×_=" снизу справа.
8. Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.
  - В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 - 4941 = 173.
9. Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).
Понимание процесса
1. Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен S a (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa < (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.