Определение пересечения прямой и плоскости. Научная электронная библиотека. Частные случаи взаимной параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. частные случаи взаимной перпендикулярности двух плоскостей

Линия пересечения двух плоскостей - прямая линия. Рассмотрим сначала частный случай (рис. 3.9), когда одна из пересекающихся плоскостей параллельна горизонтальной плоскости проекций (α π 1 , f 0 α Х). В этом случае линия пересечения а, принадлежащая плоскости α, будет также параллельна плоскости π 1 , (рис. 3.9. а), т. е. будет совпадать с горизонталью пересекающихся плоскостей (а ≡ h).

Если одна из плоскостей параллельна фронтальной плоскости проекций (рис. 3.9. б), то линия пересечения а, принадлежащая этой плоскости, будет параллельна плоскости π 2 и будет совпадать с фронталью пересекающихся плоскостей (а ≡ f).

.

.

Рис. 3.9. Частный случай пересечения плоскости общего положения с плоскостями: а - горизонтального уровня; б - фронтального уровня

Пример построения точки пересечения (К) прямой а (АВ) с плоскостью α (DEF) показан на рис. 3.10. Для этого прямая а заключена в произвольную плоскость β и определена линия пересечения плоскостей α и β.

В рассматриваемом примере прямые АВ и MN принадлежат одной плоскости β и пересекаются в точке К, а так как прямая MN принадлежит заданной плоскости α (DEF), то точка К является и точкой пересечения прямой а (АВ) с плоскостью α. (рис. 3.11).

.

Рис. 3.10. Построение точки пересечения прямой с плоскостью

Для решения подобной задачи на комплексном чертеже необходимо уметь находить точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения.

Рассмотрим пример нахождения точки пересечения прямой АВ c плоскостью треугольника DEF представленный на рис. 3.11.

Для нахождения точки пересечения через фронтальную проекцию прямой А 2 В 2 проведена фронтально-проецирующая плоскость β которая пересекла треугольник в точках M и N. На фронтальной плоскости проекций (π 2) эти точки представлены проекциями M 2 , N 2 . Из условия принадлежности прямой плоскости на горизонтальной плоскости проекций (π 1) находятся горизонтальные проекции полученных точек M 1 N 1 . В пересечении горизонтальных проекций прямых А 1 В 1 и M 1 N 1 образуется горизонтальная проекция точки их пересечения (К 1). По линии связи и условиям принадлежности на фронтальной плоскости проекций находится фронтальная проекция точки пересечения (К 2).

.

Рис. 3.11. Пример определения точки пересечения прямой и плоскости

Видимость отрезка АВ относительно треугольника DEF определена методом конкурирующих точек.

На плоскости π 2 рассмотрены две точки NEF и 1АВ. По горизонтальным проекциям этих точек можно установить, что точка N расположена ближе к наблюдателю (Y N >Y 1), чем точка 1 (направление луча зрения параллельно S). Следовательно, прямая АВ, т. е. часть прямой АВ (К 1) закрыта плоскостью DEF на плоскости π 2 (ее проекция К 2 1 2 показана штриховой линии). Аналогично установлена видимость на плоскости π 1 .

Вопросы для самоконтроля

1) В чем заключается сущность метода конкурирующих точек?

2) Какие свойства прямой вы знаете?

3) Каков алгоритм определения точки пересечения прямой и плоскости?

4) Какие задачи называются позиционными?

5) Сформулируйте условия принадлежности прямой плоскости.

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Известно, что прямая пересекает плоскость, если она не принадлежит этой плоскости и не параллельна ей. Следуя приведенному ниже алгоритму, найдем точку пересечения прямой a с плоскостью общего положения α, заданной следами h 0α , f 0α .

Алгоритм

1. Через прямую a проводим вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость γ. На рисунке обозначены её следы h 0γ , f 0γ .
2. Строим проекции прямой AB, по которой пересекаются плоскости α и γ. В данной задаче точка B" = h 0α ∩ h 0γ , A"" = f 0α ∩ f 0γ . Точки A" и B"" лежат на оси x, их положение определяется по линиям связи.
3. Прямые a и AB пересекаются в искомой точке K. Её горизонтальная проекция K" = a" ∩ A"B". Фронтальная проекция K"" лежит на прямой a"".

Алгоритм решения останется тем же, если пл. α будет задана параллельными, скрещивающимися прямыми, отсеком фигуры или другими возможными способами .

Видимость прямой a относительно плоскости α. Метод конкурирующих точек

1. Отметим на чертеже фронтально-конкурирующие точки A и С (рис. ниже). Будем считать, что точка A принадлежит пл. α, а С лежит на прямой a. Фронтальные проекции A"" и С"" совпадают, но при этом т. A и С удалены от плоскости проекций П 2 на разное расстояние.
2. Найдем горизонтальные проекции A" и C". Как видно на рисунке, точка C" удалена от плоскости П 2 на большее расстояние, чем т. A", принадлежащая пл. α. Следовательно, участок прямой а"", расположенный левее точки K"", будет видимым. Участок a"" правее K"" является невидимым. Отмечаем его штриховой линией.
3. Отметим на чертеже горизонтально-конкурирующие точки D и E. Будем считать, что точка D принадлежит пл. α, а E лежит на прямой a. Горизонтальные проекции D" и E" совпадают, но при этом т. D и E удалены от плоскости П 1 на разное расстояние.
4. Определим положение фронтальных проекций D"" и E"". Как видно на рисунке, точка D"", находящаяся в пл. α, удалена от плоскости П 1 на большее расстояние, чем т. E"", принадлежащая прямой a. Следовательно, участок а", расположенный правее точки K", будет невидимым. Отмечаем его штриховой линией. Участок a" левее K" является видимым.

Дана прямая: (1) и плоскость: Ax + By + Cz + D = 0 (2).

Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости. Если прямая (1) и плоскость (2) пересекаются, то координаты точки пересечения удовлетворяют уравнениям (1) и (2):

, .

Подставляя найденное значение t в (1), получим координаты точки пересечения.

1) Если Am + Bn + Cp = 0, а Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0, то и t не существует, т.е. прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Они параллельны.

2) Am + Bn + Cp = 0 и Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0. В этом случае t может принимать любые значения и , т.е. прямая параллельна плоскости и имеет с ней общую точку, т.е. она лежит в плоскости.

Пример 1. Найти точку пересечения прямой с плоскостью 3x – 3y + 2z – 5 = 0.

3(2t – 1) – 3(4t + 3) + 2·3t – 5 = 0 => -17=0, что невозможно ни при одном t, т.е. прямая и плоскость не пересекаются.

Пример 2. Найти точку пересечения прямой и плоскости: x + 2y – 4z + 1 = 0.

8t + 13 + 2(2t + 1) – 4(3t + 4) + 1 = 0, 0 + 0 = 0. Это верно при любом значении t, т.е. прямая лежит в плоскости.

Пример 3. Найти точку пересечения прямой и плоскости 3x – y + 2z – 5 = 0.

3(5t + 7) – t – 4 + 2(4t + 5) – 5 = 0, 22t + 22 = 0, t = -1, x = 5(-1) + 7 = 2, y = -1 + 4 = 3, z = 4(-1) + 5 = 1, M(2, 3, 1) – точка пересечения прямой и плоскости.

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Углом между прямой и плоскостью называется острый угол ц между прямой и ее проекцией на плоскость.

Пусть заданы прямая и плоскость:

и .

Пусть прямая пересекает плоскость и образует с ней угол ц (). Тогда б = 90 0 – ц или б = 90 0 + ц – это угол между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой . Но . Значит

(3).

а) Если L P, то - условие перпендикулярности прямой и плоскости.

б) Если L||P, то - условие параллельности прямой и плоскости.

в) Если прямая L||P и при этом точка M0(x0, y0, z0) P, то прямая лежит в данной плоскости. Аналитически:

- условия принадлежности прямой и плоскости.

Пример. Дана прямая и точка М 0 (1, 0, –2). Через точку М 0 провести плоскость, перпендикулярную данной прямой. Уравнение искомой плоскости ищем в виде: A(x – 1) + B(y – 0) + C(z + 2) = 0. В данном случая , ,

5(x – 1) – 5y + 5(z + 2) = 0, - x – y + z + 3 = 0.

Пучок плоскостей.

Пучок плоскостей – множество всех плоскостей, проходящих через заданную прямую – ось пучка.

Чтобы задать пучок плоскостей, достаточно задать его ось. Пусть уравнение этой прямой задано в общем виде:

.

Составить уравнение пучка – значит составить уравнение, из которого можно получить при дополнительном условии уравнение любой плоскости пучка, кроме, б.м. одной. Умножим II уравнение на л и сложим с I уравнением:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + л(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) или

(A 1 + лA 2)x + (B 1 + лB 2)y + (C 1 + лC 2)z + (D 1 + лD 2) = 0 (2).

л – параметр – число, которое может принимать действительные значения. При любом выбранном значении л уравнения (1) и (2) линейные, т.е. это – уравнения некоторой плоскости.

1. Покажем, что эта плоскость проходит через ось пучка L. Возьмем произвольную точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) L. Следовательно, М 0 Р 1 и М 0 Р 2 . Значит:

3x – y + 2z + 9 + 17x + 17z – 51 = 0; 20x – y + 19z – 42 = 0 .

Пример 3 (Э). Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости x – 2y + z + 5 = 0. ; 3x – 2y + z – 3 + л(x – 2z) = 0; (3 + л)x – 2y + (1 – 2 л)z – 3 = 0; ; ; л = 8; 11x – 2y – 15z – 3 = 0 .

77*. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью, заданной треугольником CDE (рис. 75, а).

Решение. Как известно, для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения следует через прямую провести вспомогательную плоскость (R), построить линию пересечения этой плоскости с заданной (1-2) и найти

точку пересечения (К) заданной и построенной прямых. Точка К является искомой точкой пересечения прямой с плоскостью (рис. 75, б). В качестве вспомогательной плоскости обычно используют горизонтально- или фронтально-проецирующую плоскость.

На рис. 75, в через прямую АВ проведена фронтально-проецирующая плоскость R, ее след R ϑ совпадает с а"в". горизонт. след плоскости в данной задаче не нужен и поэтому не показан.

Строим линию пересечения плоскости R и плоскости, заданной треугольником CDE (пример такого построения см. в задаче 67). Построив линию 1-2 (рис. 75, в), находим точку пересечения ее с прямой АВ - точку К (k, k").

Для определения участков прямой АВ, которые будут закрыты треугольником, следует воспользоваться анализом положения точек на скрещивающихся прямых.

Например, точки 1 и 3 находятся на скрещивающихся прямых (соответственно) ED и АВ. Фронтальные проекции этих точек совпадают, т. е. точки 1 и 3 одинаково удалены от пл. Н. Но расстояния их от пл. V различны: точка 3 находится дальше от пл. V, чем точка 1. Поэтому по отношению к пл. V точка 3 закрывает точку 1 (направление взгляда указано стрелкой S). Следовательно, прямая АВ проходит перед треугольником CDE до точки К. Начиная же от точки К влево прямая АВ закрывается треугольником, и поэтому этот участок прямой показан штриховой линией.

Для выявления невидимого участка на горизонт. проекции прямой АВ рассмотрим точки 4 и 5, лежащие соответственно на прямых АВ и CD.

Если смотреть на эти точки по направлению s 1 , мы видим сначала точку 5. Точка 4 закрывается точкой 5. Следовательно, прямая АВ в этом месте закрыта треугольником CDE, и участок ее проекции от точки k до точки 4 должен быть показан штриховой линией. В данном случае точка К оказалась внутри контура треугольника CDE.

При ином взаимном положении пересекающихся элементов возможен случай, когда точка К окажется вне треугольника (рис. 75, г). Это означает, что прямая АВ пересекает плоскость, заданную треугольником CDE, вне контура этого треугольника. АВ становится невидимой за точкой К (влево).

78. Найти точки пересечения прямой АВ с гранями пирамиды (рис. 76). Грани пирамиды следует рассматривать как плоскости, заданные треугольниками.

79. Найти точки пересечения прямой АВ с гранями призмы (рис. 77). Грани призмы следует рассматривать как плоскости, заданные параллельными прямыми.

80*. Найти точки пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 78, а).

Решение. Проводим через прямую АВ (рис. 78, бив) фронтально-проецирующую плоскость R (ее след R ϑ совпадает с а"b") и строим линию MN пересечения обеих плоскостей - заданной и проведенной через АВ (построение подобно выполненному в задаче 70). Искомая точка К(k, k") пересечения прямой АВ с плоскостью Р находится в точке пересечения MN с АВ.

В данной задаче видимость участка прямой от точки А до К очевидна; однако в более сложных случаях следует видимый участок прямой определять на основании

анализа положения точек. Например, взяв точку 1 (на прямой АВ) и точку N (на следе Р ϑ). видим, что точка 1 располагается дальше относительно пл. V, чем точка N. Следовательно, прямая АВ до точки К видима. За точкой К прямая показана штриховой линией она невидима. Аналогично определяется видимость на горизонт. проекции.

81. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 79).

82*. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 80, а).

Решение. Через прямую АВ проводим горизонтально-проецирующую плоскость R (след R h совпадает с ab) и строим линию пересечения плоскостей Р и R,

используя точки М и N пересечения их одноименных следов (рис. 80, б и в). Искомая точка (k", k) находится в точке пересечения МN с АВ. На рис, 80, г точка К построена с помощью пл. W. Так как пл. Р профильно-проецирующая (рис. 80, б).

то профильная проекция k" лежит в точке пересечения следа P ω с а"b". Зная k", строим k" на а"b" и k на аb. Видимые участки прямой АВ определяются так же, как в задачах 77 и 80.

83. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 81).

84*. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью, заданной треугольником CDE (рис. 82, а).

Решение. Через прямую АВ проводим (рис. 82, б и в) пл. R, параллельную пл. W. Она пересекает заданную плоскость по прямой MN (точки m", n", m и n лежат на пересечении следов R ϑ и R h с одноименными проекциями соответствующих сторон

треугольника CDE). Так как прямые АВ и MN профильные, то для нахождения точки (К) их пересечения строим профильные проекции а"b" и m"n". Проекция k" находится на пересечении а"b" и m"m". По k" строим k" на а"b" и k на ab.

85. Найти точку пересечения прямой EF с плоскостью, заданной четырехугольником ABCD (рис. 83).