เครื่องคิดเลขแก้ปัญหาบูรณาการกับคำอธิบายของการกระทำในรายละเอียดในภาษารัสเซียและฟรี!

การตัดสินใจของ Integrals ที่ไม่แน่นอน

มันเป็นบริการออนไลน์ใน ขั้นตอนเดียว:

การแก้ปัญหาของบูรณาการบางอย่าง

มันเป็นบริการออนไลน์ใน ขั้นตอนเดียว:

• ป้อนแนวทาง (ฟังก์ชั่นความบันเทิง)
• ป้อนขีด จำกัด ล่างสำหรับอินทิกรัล
• ป้อนขีด จำกัด บนสำหรับอินทิกรัล

การแก้ปัญหาของอินทิกรัลสองเท่า

• ป้อนแนวทาง (ฟังก์ชั่นความบันเทิง)

การแก้ปัญหาของการสร้างภูมิคุ้มกัน

• ป้อนแนวทาง (ฟังก์ชั่นความบันเทิง)
• ป้อนพื้นที่ด้านบนของการรวม (หรือ + อนันต์)
• ป้อนพื้นที่ล่างของการรวม (หรืออินฟินิตี้)

การแก้ปัญหาของการรวมสามครั้ง

• ป้อนแนวทาง (ฟังก์ชั่นความบันเทิง)
• ป้อนขีด จำกัด ล่างและบนสำหรับพื้นที่แรกของการรวม
• ป้อนขีด จำกัด ล่างและบนสำหรับพื้นที่รวมที่สอง
• ป้อนขีด จำกัด ล่างและบนสำหรับพื้นที่การรวมที่สาม

บริการนี้ช่วยให้คุณตรวจสอบของคุณ การคำนวณ บนความถูกต้อง

ความสามารถ

• รองรับฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด: ไซนัส, โคไซน์, เลขชี้กำลัง, สัมผัส, catangent, สแควร์และลูกบาศก์ราก, ปริญญา, บ่งบอกและอื่น ๆ
• มีตัวอย่างสำหรับอินพุตทั้งสองสำหรับอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนและสำหรับภูมิคุ้มกันและแน่นอน
• แก้ไขข้อผิดพลาดในนิพจน์ที่คุณจัดการและเสนอตัวเลือกในการป้อน
• โซลูชันเชิงตัวเลขสำหรับอินทิกรัลที่แน่นอนและเข้ากันไม่ได้ (รวมถึงอินทิกรัลแบบคู่และสาม)
• รองรับตัวเลขที่ซับซ้อนเช่นเดียวกับพารามิเตอร์ต่าง ๆ (คุณสามารถระบุในแนวทางไม่เพียง แต่ตัวแปรการรวม แต่ยังเป็นตัวแปรอื่น ๆ - พารามิเตอร์)

อินทิกรัลที่ซับซ้อน

บทความนี้เสร็จสิ้นเรื่องของ Integrals ที่ไม่แน่นอนและอยู่ในนั้นรวมที่ฉันคิดว่าค่อนข้างซับซ้อนรวมอยู่ด้วย บทเรียนถูกสร้างขึ้นในคำขอซ้ำ ๆ ของผู้เข้าชมที่แสดงความปรารถนาเพื่อให้ตัวอย่างที่ยากขึ้นถูกรื้อขึ้นบนเว็บไซต์

สันนิษฐานว่าผู้อ่านข้อความนี้มีการเตรียมพร้อมและรู้วิธีการใช้เทคนิคหลักของการรวม กาน้ำชาและผู้ที่ไม่ได้รับการจัดการอย่างมั่นใจกับอินทิกรัลควรอ้างถึงบทเรียนแรก - อินทิกรัลไม่แน่นอน ตัวอย่างของการแก้ปัญหาที่ที่คุณสามารถควบคุมหัวข้อได้เกือบศูนย์ นักเรียนที่มีประสบการณ์มากขึ้นสามารถทำความคุ้นเคยกับเทคนิคและวิธีการบูรณาการซึ่งในบทความของฉันยังไม่พบ

จะพิจารณาอะไรบ้าง

อันดับแรกเราจะพิจารณาอินทิกรัลกับรากเพื่อแก้ปัญหาที่ใช้อย่างสม่ำเสมอ การเปลี่ยนตัวแปร และ บูรณาการในส่วนต่างๆ. นั่นคือในตัวอย่างหนึ่งการรับสองส่วนได้รวมกัน และมากยิ่งขึ้น

จากนั้นเราจะทำความคุ้นเคยกับที่น่าสนใจและเป็นต้นฉบับ ข้อมูลวิธีการที่สำคัญกับตัวคุณเอง. วิธีนี้ได้รับการแก้ไขไม่กี่อินทิกรัล

จำนวนที่สามของโปรแกรมจะเข้าสู่ส่วนประกอบจากเศษส่วนที่ซับซ้อนที่บินลงทะเบียนเงินสดในบทความก่อนหน้า

ประการที่สี่อินทิกรัลเพิ่มเติมจากฟังก์ชั่นตรีโกณมิติจะถูกถอดประกอบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีวิธีการที่ช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงการใช้เวลาในการทดแทนตรีโกณมิติทั่วไป

(2) ในฟังก์ชั่น Integrand ตัวเศษบนตัวหาร

(3) ใช้คุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด ในอินทิกรัลสุดท้ายทันที กวาดฟังก์ชั่นภายใต้สัญลักษณ์ของความแตกต่าง.

(4) ใช้อินทิกรัลที่เหลืออยู่ โปรดทราบว่าในลอการิทึมคุณสามารถใช้วงเล็บไม่ใช่โมดูลตั้งแต่

(5) เราถือทดแทนแสดงจากการเปลี่ยนโดยตรง "TE":

นักเรียน Masochian สามารถเฉยเพียงคำตอบและรับฟังก์ชั่น Integrand ดั้งเดิมได้อย่างที่ฉันเพิ่งทำ ไม่, ไม่ฉันเติมเต็มการตรวจสอบในความหมายที่เหมาะสม \u003d)

อย่างที่คุณเห็นในระหว่างการตัดสินใจฉันต้องใช้มากกว่าสองการตัดสินใจของการแก้ปัญหาดังนั้นสำหรับการตอบโต้ที่มีอินทิกรัลที่คล้ายกันคุณต้องมีทักษะการรวมที่มั่นใจและไม่ใช่ประสบการณ์ที่เล็กที่สุด

ในทางปฏิบัติแน่นอนว่ารากสแควร์เป็นเรื่องธรรมดามากขึ้นนี่คือสามตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหาอิสระ:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

ตัวอย่างเหล่านี้ของประเภทเดียวกันดังนั้นโซลูชันที่สมบูรณ์ในตอนท้ายของบทความจะเป็นเพียงตัวอย่างที่ 2 ในตัวอย่าง 3-4 - หนึ่งคำตอบ สิ่งที่เปลี่ยนไปใช้ในการเริ่มต้นของการตัดสินใจฉันคิดอย่างชัดเจน ทำไมฉันถึงเลือกตัวอย่างประเภทเดียวกัน มักพบในบทบาทของคุณ บ่อยครั้งบางทีบางอย่างเช่น .

แต่ไม่เสมอไปเมื่ออยู่ภายใต้ ARCTGENNES, ไซนัส, โคไซน์, เลขชี้กำลัง ฯลฯ คุณสมบัติเป็นรากของฟังก์ชั่นเชิงเส้นต้องใช้วิธีการหลายวิธี ในบางกรณีมันเป็นไปได้ที่จะ "กำจัด" นั่นคือทันทีหลังจากการเปลี่ยนจะได้รับการรวมอย่างง่ายซึ่งเป็นประถมศึกษา วิธีที่ง่ายที่สุดของงานที่เสนอคือ 4 ในนั้นหลังจากเปลี่ยนมันจะกลายเป็นอินทิกรัลที่ค่อนข้างง่าย

ข้อมูลวิธีการที่สำคัญกับตัวคุณเอง

วิธีที่มีไหวพริบและสวยงาม พิจารณาคลาสสิกของประเภททันที:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

ภายใต้รากที่มี Biccoon สี่เหลี่ยมจัตุรัสและเมื่อพยายามรวมตัวอย่างนี้กาต้มน้ำสามารถทนทุกข์ทรมานเป็นเวลาหลายชั่วโมง เป็นส่วนสำคัญดังกล่าวนำไปใช้ในส่วนและลงมาเอง โดยหลักการแล้วมันไม่ยาก ถ้าคุณรู้วิธี

แสดงโดยการพิจารณาตัวอักษรละตินและเริ่มการแก้ปัญหา:

เรารวมในส่วนต่าง ๆ :

(1) เราเตรียมฟังก์ชั่นทดแทนสำหรับการแบ่งดิน

(2) เราแบ่งฟังก์ชั่นการเปลี่ยน บางทีไม่ชัดเจนทั้งหมดฉันจะเขียนรายละเอียดเพิ่มเติม:

(3) ใช้คุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

(4) ใช้โปรแกรมลอการิทึมแบบอินทิกรัล ("ยาว")

ตอนนี้เราดูที่จุดเริ่มต้นของการตัดสินใจ:

และในตอนท้าย:

เกิดอะไรขึ้น? อันเป็นผลมาจากการจัดการของเราอินทิกรัลได้รับตัวเอง!

เราถือเอาจุดเริ่มต้นและสิ้นสุด:

เราถ่ายโอนไปทางซ้ายด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมาย:

และสาธิต Demolose ไปทางด้านขวา ผลที่ตามมา:

ค่าคงที่พูดอย่างเคร่งครัดต้องมีการเพิ่มก่อนหน้านี้ แต่สาเหตุที่สิ้นสุด ฉันขอแนะนำให้อ่านสิ่งที่นี่เพื่อความเข้มงวด:

บันทึก: ขั้นตอนสุดท้ายที่เข้มงวดมากขึ้นของโซลูชันมีลักษณะดังนี้:

ทางนี้:

สามารถนำกลับมาใช้ใหม่ได้ ทำไมคุณสามารถออกใหม่ได้ เพราะมันยังใช้เวลา ใด ๆ ค่านิยมและในแง่นี้ระหว่างค่าคงที่และไม่มีความแตกต่าง
ผลที่ตามมา:

เคล็ดลับที่มีค่าคงที่ที่ออกใหม่นั้นใช้กันอย่างแพร่หลายใน สมการเชิงอนุพันธ์. และที่นั่นฉันจะเข้มงวด และที่นี่อนุญาตให้ฉันได้รับอนุญาตให้ฉันเพียงเพื่อไม่ให้สับสนกับสิ่งที่ไม่ฟุ่มเฟือยและมุ่งเน้นไปที่วิธีการรวมตัวกัน

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

อีกหนึ่งองค์ประกอบทั่วไปสำหรับการตัดสินใจด้วยตนเอง โซลูชันที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน ความแตกต่างของการตอบสนองของตัวอย่างก่อนหน้านี้จะเป็น!

หากรากสแควร์เป็นสแควร์ทริปเปิลจากนั้นโซลูชันในกรณีใด ๆ จะลดลงเป็นสองตัวอย่างถอดประกอบ

ตัวอย่างเช่นพิจารณาอินทิกรัล . สิ่งที่คุณต้องทำคือก่อน เลือกตารางเต็ม:
.
ถัดไปการเปลี่ยนเชิงเส้นจะดำเนินการซึ่งมีค่าใช้จ่าย "โดยไม่มีผลกระทบใด ๆ ":
เป็นผลให้การรวมจะได้รับ บางสิ่งที่คุ้นเคยใช่มั้ย

หรือตัวอย่างเช่นสแควร์เด้ง:
เราเน้นตารางเต็มรูปแบบ:
และหลังจากการแทนที่เชิงเส้นเราได้รับการสนับสนุนซึ่งจะแก้ไขได้ด้วยอัลกอริทึมที่พิจารณาแล้ว

พิจารณาตัวอย่างทั่วไปอีกสองตัวอย่างในการรับข้อมูลที่สำคัญกับตัวคุณเอง:
- อินทิกรัลจากการจัดแสดงคูณด้วยไซนัส;
- อินทิกรัลจากการจัดแสดงคูณด้วยโคไซน์

ใน Integrals ที่ระบุไว้ในชิ้นส่วนจะต้องรวมสองครั้ง:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

ฟังก์ชั่น Integrand เป็นผู้แสดงสินค้าคูณด้วยไซนัส

เรารวมสองครั้งในส่วนต่างๆและนำอินทิกรัลให้กับตัวเอง:

อันเป็นผลมาจากการรวมสองครั้งในส่วนหนึ่งส่วนรวมได้รับตัวเอง เราถือเอาโซลูชันการเริ่มต้นและสิ้นสุด:

เราถ่ายโอนไปทางด้านซ้ายด้วยการเปลี่ยนแปลงของเครื่องหมายและแสดงส่วนรวมของเรา:

พร้อมแล้ว นอกจากนี้ยังเป็นที่พึงปรารถนาที่จะต่อสู้กับด้านขวา I.e. ในการทำเลขชี้กำลังสำหรับวงเล็บและในวงเล็บเพื่อวางไซนัสด้วยโคไซน์ในคำสั่ง "ที่สวยงาม"

ตอนนี้เรากลับไปที่จุดเริ่มต้นของตัวอย่างหรือค่อนข้าง - เพื่อรวมในส่วนต่าง ๆ :

สำหรับเรากำหนดผู้เข้าร่วมงาน คำถามเกิดขึ้นมันจำเป็นเสมอที่จะอ้างถึงผู้แสดงสินค้า? ไม่จำเป็น. ในความเป็นจริงในการตรวจสอบอินทิกรัล หลักการ ไม่แตกต่างสิ่งที่ต้องอ้างถึงมันเป็นไปได้ที่จะไปอีกวิธี:

ทำไมเป็นไปได้ เนื่องจากผู้แสดงสินค้ากลายเป็นตัวเอง (และในระหว่างการรวมตัวกันและในระหว่างการรวม) ไซนัสที่มีโคไซน์นั้นกลายเป็นกันและกันซึ่งกันและกัน (อีกครั้ง - ทั้งในระหว่างการรวมตัวกันและระหว่างการรวมกัน)

นั่นคือฟังก์ชั่นตรีโกณมิติสามารถแสดงได้ แต่ในตัวอย่างการตรวจสอบมันมีเหตุผลน้อยลงเนื่องจากเศษส่วนจะปรากฏขึ้น หากคุณต้องการคุณสามารถลองแก้ปัญหานี้ในวิธีที่สองคำตอบต้องสอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระ ก่อนตัดสินใจคิดว่ามันทำกำไรได้มากกว่าในกรณีนี้เพื่อกำหนดฟังก์ชั่นเลขชี้กำลังหรือตรีโกณมิติ? โซลูชันที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

และแน่นอนอย่าลืมว่าคำตอบส่วนใหญ่ของบทเรียนนี้ค่อนข้างง่ายที่จะตรวจสอบความแตกต่าง!

ตัวอย่างไม่ถือว่าไม่ยากที่สุด ในทางปฏิบัติ Integrals มักพบมากขึ้นซึ่งมีค่าคงที่ในตัวบ่งชี้เลขชี้กำลังและในการโต้แย้งของฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวอย่างเช่น: ความคิดในการรวมกันที่คล้ายกันจะต้องทำให้จำนวนมากฉันมักจะสับสนฉัน ความจริงก็คือการแก้ปัญหาความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของเศษส่วนและเป็นสิ่งที่รุนแรงมากที่จะสูญเสีย นอกจากนี้ความเป็นไปได้ของข้อผิดพลาดในสัญญาณที่ดีโปรดทราบว่าในตัวบ่งชี้ของเลขชี้กำลังมีเครื่องหมายลบและสิ่งนี้ทำให้เกิดปัญหาเพิ่มเติม

ในขั้นตอนสุดท้ายโดยประมาณต่อไปนี้มักจะได้รับ:

แม้ในตอนท้ายของการตัดสินใจควรมีความเอาใจใส่อย่างมากและจัดการกับเศษส่วน:

การบูรณาการเศษส่วนที่ซับซ้อน

ช้าเราไปที่เส้นศูนย์สูตรของบทเรียนและเริ่มพิจารณาอินทิกรัลจากเศษส่วน อีกครั้งไม่ใช่พวกเขาทั้งหมดเป็น Superswit เพียงแค่เหตุผลหนึ่งหรือตัวอย่างอื่นคือ "ไม่ได้อยู่ในหัวข้อ" ในบทความอื่น ๆ

เราดำเนินการต่อหัวข้อของรากต่อไป

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

ในตัวหารภายใต้รากมีสแควร์สแควร์สแควร์และนอกราก "ปรับปรุง" ในรูปแบบของ "Iksa" อินทิกรัลของประเภทนี้ได้รับการแก้ไขโดยใช้การเปลี่ยนมาตรฐาน

เราตัดสินใจ:

การเปลี่ยนที่นี่ง่าย:

เราดูชีวิตหลังจากเปลี่ยน:

(1) หลังจากการทดแทนเรามอบให้กับเงื่อนไขของตัวส่วนโดยรวมภายใต้ราก
(2) เราอดทนจากราก
(3) ตัวเลขและตัวหารลดลง ในเวลาเดียวกันภายใต้รากฉันปรับส่วนประกอบใหม่ในลำดับที่สะดวกสบาย ด้วยการทดลองบางอย่างขั้นตอน (1) (2) สามารถข้ามได้โดยการแสดงความคิดเห็นในทางปาก
(4) อินทิกรัลที่เกิดขึ้นตามที่คุณจำได้จากบทเรียน การบูรณาการเศษส่วนบางอย่างตัดสินใจ วิธีการจัดสรรสี่เหลี่ยมเต็มรูปแบบ. เลือกสี่เหลี่ยมเต็มรูปแบบ
(5) การบูรณาการเราได้รับลอการิทึม "ยาว" สูงสุด
(6) ดำเนินการทดแทน ถ้าเริ่มแรกแล้วกลับมา:.
(7) การกระทำขั้นสุดท้ายมุ่งเป้าไปที่ทรงผมของผลลัพธ์: ภายใต้รากพวกเขานำส่วนประกอบไปยังส่วนโดยรวมและทนต่อรากอีกครั้ง

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระ ที่นี่มีการเพิ่มค่าคงที่ใน "ICSU" ที่โดดเดี่ยวและการแทนที่เกือบจะเหมือนกัน:

สิ่งเดียวที่คุณต้องทำเพิ่มเติมคือ Express "X" จากการเปลี่ยน:

โซลูชันที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

บางครั้งในส่วนที่สำคัญภายใต้รากอาจมีการทะเลาะกันสี่เหลี่ยมมันไม่ได้เปลี่ยนวิธีแก้ปัญหาในการแก้ปัญหามันจะง่ายยิ่งขึ้น รู้สึกถึงความแตกต่าง:

ตัวอย่างที่ 11

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

ตัวอย่างที่ 12

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

การตัดสินใจและคำตอบสั้น ๆ ในตอนท้ายของบทเรียน ควรสังเกตว่าตัวอย่างที่ 11 นั้นแน่นอน integral binomialการตัดสินใจของใครได้รับการพิจารณาในบทเรียน อินทิกรัลจากฟังก์ชั่นที่ไม่มีเหตุผล.

อินทิกรัลจากพหุนามที่ไม่สามารถใช้ได้ในระดับที่ 2 จนถึงระดับ

(พหุนามในตัวหาร)

หายากมากขึ้น แต่อย่างไรก็ตามในตัวอย่างการปฏิบัติมุมมองของอินทิกรัล

ตัวอย่างที่ 13

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

แต่กลับมาอีกครั้งตัวอย่างที่มีความสุขหมายเลข 13 (สุจริตไม่พอดี) อินทิกรัลนี้ยังมาจากหมวดหมู่ของผู้ที่คุณสามารถทำได้ดีพอถ้าคุณไม่ทราบวิธีการแก้ปัญหา

การตัดสินใจเริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนแปลงเทียม:

วิธีการแบ่งตัวเลขไปยังตัวหารฉันคิดว่าทุกอย่างเป็นที่เข้าใจ

ส่วนสำคัญที่เกิดขึ้นถูกนำมาใช้ในส่วนต่าง ๆ :

สำหรับมุมมองที่สำคัญ (- หมายเลขธรรมชาติ) ลบออก กำเริบ สูตรลดระดับ:
ที่ไหน - ระดับที่ต่ำกว่า

ฉันจะเชื่อมั่นในความยุติธรรมของสูตรนี้สำหรับการพยากรณ์อินทิกรัล
ในกรณีนี้: เราใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็นคำตอบตรง

ตัวอย่างที่ 14

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระ ในตัวอย่างของการแก้ปัญหาสูตรดังกล่าวข้างต้นเป็นสองเท่า

หากอยู่ภายใต้ปริญญาอยู่ อิสระในตัวคูณ Square Threefold จากนั้นวิธีการแก้ปัญหาลงมาที่ Bicked โดยเน้นตารางที่สมบูรณ์เช่น:

เกิดอะไรขึ้นถ้าคุณยังอยู่ในตัวเศษที่มีพหุนาม? ในกรณีนี้ใช้วิธีการใช้สัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนและฟังก์ชั่นรวมอธิบายไว้ในปริมาณของเศษส่วน แต่ในการฝึกฝนตัวอย่างเช่นของฉัน ฉันไม่พบดังนั้นฉันจึงพลาดกรณีนี้ในบทความ อินทิกรัลจากฟังก์ชั่นเหตุผลของเศษส่วนฉันคิดถึงและตอนนี้ หากมีอินทิกรัลยังคงมีการตอบสนองดูตำราเรียน - ทุกอย่างง่ายๆที่นั่น ฉันไม่คิดว่ามันจะรวมถึงวัสดุ (ง่าย ๆ ) ความน่าจะเป็นที่จะพบกันซึ่งเธอมุ่งมั่นที่จะเป็นศูนย์

การรวมฟังก์ชั่นตรีโกณมิติที่ซับซ้อน

คำคุณศัพท์ "ซับซ้อน" สำหรับตัวอย่างส่วนใหญ่มีเงื่อนไขหลายอย่าง เริ่มต้นด้วย Tangents และ Kotangenes ในระดับสูง จากมุมมองของวิธีการแก้ปัญหาแทนเจนต์และ Kotangent เกือบจะเหมือนกันดังนั้นฉันจะพูดถึงสัมผัสแทนเจนต์หมายความว่าการรับสารละลายของการแก้ปัญหาของอินทิกรัลนั้นมีความเป็นธรรมเช่นกัน

ในบทเรียนข้างต้นเราพิจารณาแล้ว การทดแทนตรีโกณมิติสากล เพื่อแก้ปัญหาประเภทของอินทิกรัลที่เฉพาะเจาะจงจากฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ การขาดการทดแทนตรีโกณมิติสากลคือเมื่อมีการใช้งาน, อินทิกรัลขนาดใหญ่ที่มีการคำนวณที่ยากลำบากมักเกิดขึ้น และในบางกรณีสามารถหลีกเลี่ยงการทดแทนตรีโกณมิติสากลได้!

พิจารณาตัวอย่างตามบัญญัติอื่นที่สำคัญจากหน่วยแบ่งออกเป็นไซนัส:

ตัวอย่างที่ 17

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

ที่นี่คุณสามารถใช้การทดแทนตรีโกณมิติสากลและรับคำตอบ แต่มีเส้นทางที่มีเหตุผลมากขึ้น ฉันจะให้โซลูชันที่สมบูรณ์พร้อมความคิดเห็นสำหรับแต่ละขั้นตอน:

(1) ใช้สูตรตรีโกณมิติของไซน์มุมคู่
(2) เราดำเนินการเปลี่ยนแปลงเทียม: ในส่วนที่เราแบ่งและทวีคูณ
(3) ตามสูตรที่รู้จักในตัวส่วนเราเปลี่ยนเศษในวงเกษ
(4) กวาดฟังก์ชั่นภายใต้สัญลักษณ์ของความแตกต่าง
(5) ใช้อินทิกรัล

สองตัวอย่างง่ายๆสำหรับการแก้ปัญหาอิสระ:

ตัวอย่างที่ 18

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

หมายเหตุ: สูตรการดำเนินการแรกที่ควรใช้โดยสูตร และดำเนินการอย่างรอบคอบคล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้านี้

ตัวอย่าง 19.

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

นี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายมาก

โซลูชั่นและคำตอบเต็มรูปแบบในตอนท้ายของบทเรียน

ฉันคิดว่าตอนนี้ไม่มีใครมีปัญหากับ Integrals:
เป็นต้น

ความคิดของวิธีการคืออะไร? แนวคิดก็คือด้วยความช่วยเหลือของการเปลี่ยนแปลงสูตรตรีโกณมิติเพื่อจัดระเบียบในการรวมกันเป็นเพียงการแทนเจนต์และอนุพันธ์แทนเจนต์ นั่นคือมันเกี่ยวกับการเปลี่ยน: . ในตัวอย่าง 17-19 เราใช้การเปลี่ยนนี้จริง ๆ แต่อินทิกรัลนั้นง่ายมากจนมีผลเทียบเท่า - เพื่อสรุปฟังก์ชั่นภายใต้สัญลักษณ์ของความแตกต่าง

อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันตามที่ฉันได้กำหนดไว้แล้วคุณสามารถใช้จ่ายเพื่อ cotangent

มีข้อกำหนดเบื้องต้นอย่างเป็นทางการสำหรับการใช้งานการเปลี่ยนด้านบน:

ผลรวมขององศาของโคไซน์และไซนัสเป็นจำนวนลบทั้งหมด, เช่น:

สำหรับอินทิกรัล - จำนวนลบทั้งหมด

! บันทึก : หากฟังก์ชั่น Integrand มีเพียงไซนัสหรือโคไซน์เพียงอย่างเดียวที่สำคัญจะถูกถ่ายในระดับคี่เชิงลบ (กรณีที่ง่ายที่สุดในตัวอย่างที่ 11, 18)

พิจารณางานที่ให้ข้อมูลอีกสองสามอย่างสำหรับกฎนี้:

ตัวอย่างที่ 20

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

ผลรวมขององศาของไซนัสและโคไซน์: 2 - 6 \u003d -4 เป็นจำนวนลบทั้งหมดซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลสามารถลดลงไปที่แทนเจนต์และอนุพันธ์ของมัน:

(1) เราเปลี่ยนส่วน
(2) ตามสูตรที่มีชื่อเสียงเราได้รับ
(3) เราเปลี่ยนส่วนของตัวหาร
(4) เราใช้สูตร .
(5) ยอมจำนนฟังก์ชั่นภายใต้สัญลักษณ์ของความแตกต่าง
(6) เราแทนที่ นักเรียนที่มีประสบการณ์มากขึ้นไม่สามารถเปลี่ยนได้ แต่ยังคงเป็นการดีกว่าที่จะแทนที่แทนเจนต์ด้วยตัวอักษรหนึ่งตัว - ความเสี่ยงน้อยลงจะสับสน

ตัวอย่างที่ 21

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระ

ยึดมั่นในรอบของแชมป์เริ่มต้น \u003d)

บ่อยครั้งในฟังก์ชั่น Integrand คือ "Solyanka":

ตัวอย่างที่ 22

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

ในอินทิกรัลนี้สัมผัสกันในตอนแรกซึ่งเริ่มดำเนินการที่ความคิดที่คุ้นเคยทันที:

การเปลี่ยนแปลงเทียมในตอนเริ่มต้นและเหลือขั้นตอนที่เหลืออยู่โดยไม่มีความคิดเห็นเนื่องจากทุกอย่างถูกกล่าวถึงข้างต้น

ตัวอย่างที่สร้างสรรค์สำหรับการแก้ปัญหาอิสระ:

ตัวอย่างที่ 23

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

ตัวอย่างที่ 24

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

ใช่ในพวกเขาแน่นอนมันเป็นไปได้ที่จะลดระดับของไซนัสโคไซน์เพื่อใช้การทดแทนตรีโกณมิติสากล แต่การตัดสินใจจะมีประสิทธิภาพมากขึ้นและสั้นกว่าถ้ามันดำเนินการผ่านการแทนเจนต์ โซลูชันและคำตอบที่สมบูรณ์ในตอนท้ายของบทเรียน

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด (หลักหลักหรือ "ต่อต้านอนุพันธ์") หมายถึงการกู้คืนฟังก์ชั่นตามอนุพันธ์ที่รู้จักของฟังก์ชั่นนี้ เรียกคืนคูณ F.(เอ็กซ์) + จาก สำหรับฟังก์ชั่น f.(เอ็กซ์) คำนึงถึงค่าคงที่รวม ค.. ด้วยความเร็วของการเคลื่อนไหวของจุดวัสดุ (อนุพันธ์), กฎหมายของการเคลื่อนไหวของจุดนี้ (ดั้งเดิม) สามารถกู้คืน; โดยการเร่งการเคลื่อนไหวของจุด - ความเร็วและกฎของการเคลื่อนไหว ดังที่สามารถมองเห็นได้รวมเป็นฟิลด์กว้างสำหรับกิจกรรมของ Sherlock Holmes จากฟิสิกส์ ใช่และในทางเศรษฐกิจมีแนวคิดมากมายที่แสดงถึงฟังก์ชั่นและอนุพันธ์ของพวกเขาดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะเรียกคืนปริมาณผลิตภัณฑ์ในบางจุดในเวลา (อนุพันธ์) เพื่อเรียกคืนจำนวนผลิตภัณฑ์ที่ออกในเวลาที่เหมาะสม .

ในการค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด กำหนดสูตรการรวมขั้นพื้นฐานจำนวนน้อยที่เป็นธรรม แต่กระบวนการของสถานที่นั้นยากกว่าการประยุกต์ใช้สูตรเหล่านี้ ความซับซ้อนทั้งหมดหมายถึงการไม่รวม แต่เพื่อนำนิพจน์แบบบูรณาการไปยังสปีชีส์นี้ที่ทำให้สามารถค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด บนสูตรที่กล่าวถึงข้างต้นที่กล่าวถึงข้างต้น ซึ่งหมายความว่าเพื่อเริ่มต้นการปฏิบัติงานที่คุณต้องเปิดใช้งานทักษะการแปลงนิพจน์ที่ได้รับในโรงเรียนมัธยม

เรียนรู้การหาอินทิกรัลที่เราจะใช้ คุณสมบัติและตารางอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน จากบทเรียนบนแนวคิดพื้นฐานของหัวข้อนี้ (เปิดในหน้าต่างใหม่)

มีหลายวิธีในการค้นหาอินทิกรัลซึ่ง วิธีการเปลี่ยนตัวแปร และ วิธีการรวมในส่วนต่างๆ - ชุดของสุภาพบุรุษที่จำเป็นของทุกคนที่ประสบความสำเร็จในการผ่านคณิตศาสตร์สูงสุด อย่างไรก็ตามในการเริ่มการบูรณาการการเรียนรู้มีประโยชน์มากขึ้นและน่าพอใจมากขึ้นด้วยการใช้วิธีการสลายตัวตามทฤษฎีบทสองทฤษฎีต่อไปนี้เกี่ยวกับคุณสมบัติของอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด ซึ่งเป็นเรื่องง่ายต่อการอ้างอิงที่นี่

ทฤษฎีบท 3.ตัวคูณถาวรใน Integrand สามารถทำเพื่อสัญลักษณ์ของ Intefinite Integral I.e.

ทฤษฎีบท 4.อินทิกรัลที่ไม่ จำกัด ของปริมาณพีชคณิตของฟังก์ชั่นจำนวน จำกัด นั้นเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด ของฟังก์ชั่นเหล่านี้ I.e.

(2)

นอกจากนี้กฎต่อไปนี้มีประโยชน์ในการรวม: หากการแสดงออกของฟังก์ชั่น Integrand มีตัวคูณถาวรจากนั้นการแสดงออกของดั้งเดิมนั้นถูกครอบงำด้วยจำนวนย้อนกลับปัจจัยคงที่นั่นคือ

(3)

เนื่องจากบทเรียนนี้ได้รับการแนะนำให้รู้จักกับวัตถุประสงค์ของการบูรณาการเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบสองสิ่งที่ทั้งในขั้นตอนแรกหรือค่อนข้างอาจทำให้คุณประหลาดใจ เซอร์ไพรส์เนื่องจากความจริงที่ว่าการรวม - การดำเนินการแยกความแตกต่างแบบผกผันและอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนสามารถเรียกได้อย่างถูกต้อง "ต่อต้านอนุพันธ์"

สิ่งแรกที่ไม่ควรแปลกใจที่บูรณาการ ในตารางอินทิกรัล มีสูตรที่ไม่มี analogues ระหว่างสูตรของตารางอนุพันธ์ . เหล่านี้เป็นสูตรดังต่อไปนี้:

อย่างไรก็ตามเป็นไปได้ที่จะทำให้แน่ใจว่าอนุพันธ์ของนิพจน์ในส่วนที่เหมาะสมของสูตรเหล่านี้ตรงกับฟังก์ชั่นรวมที่สอดคล้องกัน

สิ่งที่สองที่ไม่ควรแปลกใจที่บูรณาการ. แม้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นประถมศึกษาใด ๆ ก็เป็นฟังก์ชั่นเบื้องต้น integrals ที่ไม่ได้กำหนดจากฟังก์ชั่นเบื้องต้นบางอย่างไม่มีฟังก์ชั่นเบื้องต้นอีกต่อไป . ตัวอย่างของอินทิกรัลดังกล่าวอาจมีดังต่อไปนี้:

สำหรับการพัฒนาเทคนิคการรวมทักษะต่อไปนี้จะถูกใช้: การลดเศษส่วนการแบ่งพหุนามในเศษเศษส่วนของเศษส่วนในปีกเดียวในตัวหั่น (เพื่อให้ได้จำนวนเงินที่ไม่ จำกัด ) การแปลงรากเป็นระดับ , การคูณไม่ได้เป็นพหุนาม, การทำลายล้าง ทักษะเหล่านี้จำเป็นสำหรับการเปลี่ยนแปลงของ Integrand ซึ่งเป็นผลมาจากจำนวนของอินทิกรัลที่มีอยู่ในตารางอินทิกรัลควรได้รับ

เราพบว่า Integrals Intefinite เข้าด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน

.

การตัดสินใจ เราเห็นในตัวหารของการแสดงออกของการรวมของพหุนามที่ x อยู่ในตาราง นี่เป็นสัญญาณที่เกือบจะซื่อสัตย์ที่คุณสามารถใช้ตารางอินทิกรัล 21 (กับ Arctangent เป็นผล) เราดำเนินการทวีคูณสองครั้งจากตัวหาร (มีคุณสมบัติของอินทิกรัล - ตัวคูณถาวรสามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลข้างต้นมันถูกกล่าวถึงเป็นทฤษฎีบท 3) ผลลัพธ์ของทั้งหมดนี้:

ตอนนี้ในส่วนรวมของสแควร์สซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้อินทิกรัลตารางที่กล่าวถึง ในที่สุดก็ได้รับคำตอบ:

.

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน

การตัดสินใจ เราใช้ทฤษฎีบท 3 อีกครั้ง - คุณสมบัติของอินทิกรัลบนพื้นฐานของตัวคูณค่าคงที่สามารถทำได้สำหรับเครื่องหมายอินทิกรัล:

เราใช้สูตร 7 จากตารางอินทิกรัล (ตัวแปรเป็นระดับ) ไปยังฟังก์ชัน Integrand:

.

เราลดเศษส่วนที่เกิดขึ้นและก่อนที่เราจะตอบจุดสิ้นสุด:

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน

การตัดสินใจ การใช้ทฤษฎีบทครั้งแรก 4 จากนั้นทฤษฎีบท 3 เกี่ยวกับคุณสมบัติเราจะพบว่าอินทิกรัลนี้เป็นผลรวมของสามอินทิกรัล:

ทั้งหมดทั้งสามที่ได้รับ - ตาราง - ตาราง เราใช้สูตร (7) จากตารางอินทิกรัลด้วย น. = 1/2, น. \u003d 2 I. น. \u003d 1/5 แล้ว

รวมค่าคงที่ทั้งสามโดยพลการที่ได้รับการแนะนำเมื่อมีการตั้งอยู่สามตัว ดังนั้นในสถานการณ์ที่คล้ายคลึงกันควรใช้การบูรณาการโดยพลการ (คงที่) เพียงอย่างเดียว

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน

การตัดสินใจ เมื่ออยู่ในส่วนของเศษส่วนแบบบูรณาการ - UNROCHENE เราสามารถลดตัวเลขให้กับตัวหาร อินทิกรัลเริ่มต้นได้กลายเป็นสองอินทิกรล:

.

ในการใช้ตารางอินทิกรัลเราเปลี่ยนรากในระดับและตอนนี้คำตอบสุดท้ายคือ:

เรายังคงหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด ร่วมกัน

ตัวอย่างที่ 7ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน

การตัดสินใจ หากเราเปลี่ยนฟังก์ชั่นปฏิกิริยาการสร้างบิดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและหารชิ้นส่วนไปยังตัวหารอย่างอินทิกรัลเริ่มต้นจะกลายเป็นผลรวมของสามอินทิกรัล

เริ่มเรียนหัวข้อ " Intefinite Integralรวมถึงอธิบายรายละเอียดตัวอย่างของการแก้ปัญหาของอินทิกรัลที่ง่ายที่สุด (และไม่มาก) ตามปกติเรา จำกัด เฉพาะทฤษฎีขั้นต่ำที่อยู่ในตำราเรียนจำนวนมากงานของเราคือการเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาการรวม

คุณต้องรู้อะไรให้ประสบความสำเร็จในการควบคุมวัสดุ? ในการรับมือกับแคลคูลัสที่สำคัญคุณต้องสามารถค้นหาอนุพันธ์อย่างน้อยระดับเฉลี่ย ไม่เกินกว่าประสบการณ์หากคุณมีหลายโหลและดีกว่า - ร้อยอนุพันธ์พบกันอย่างอิสระ ในเวลาเดียวกันคุณไม่ควรใส่ในการหยุดชะงักของงานเกี่ยวกับความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ง่ายและมักใช้บ่อยที่สุด

ดูเหมือนว่าอนุพันธ์โดยทั่วไปจะอยู่ที่ไหนถ้าบทความจะไปที่ Integrals! และสิ่งที่เป็นสิ่งที่ ความจริงก็คือการค้นหาอนุพันธ์และการค้นหาอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน (ความแตกต่างและการรวม) เป็นสองการกระทำย้อนกลับกันเช่นตัวอย่างเช่นการบวก / การลบหรือการคูณ / การแบ่งแยก ดังนั้นหากไม่มีทักษะและประสบการณ์ใด ๆ ในการค้นหาอนุพันธ์น่าเสียดายที่อย่าย้ายต่อไป

ในเรื่องนี้เราต้องการวัสดุที่เป็นระเบียบต่อไปนี้: อนุพันธ์ของตารางและ บูรณาการตาราง.

ความยากลำบากในการศึกษาอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนคืออะไร? หากมีกฎความแตกต่างอย่างเคร่งครัด 5 ตารางของอนุพันธ์และอัลกอริทึมที่ชัดเจนของการกระทำที่ชัดเจนจากนั้นในอินทิกรัลทุกอย่างอื่น มีหลายสิบวิธีและเทคนิคการบูรณาการ และหากวิธีการรวมถูกหยิบขึ้นมาอย่างไม่ถูกต้อง (I.e. คุณไม่ทราบวิธีการแก้ปัญหา) จากนั้นอินทิกรัลสามารถเป็น "ทิ่ม" อย่างแท้จริงเป็นเวลาหลายวันในการตอบโต้ที่แท้จริงพยายามแจ้งเทคนิคและเทคนิคต่าง ๆ บางคนถึงแก่

โดยวิธีการที่เรามักจะต้องได้ยินจากนักเรียน (ไม่ใช่ความเชี่ยวชาญด้านมนุษยธรรม). หยุด. หยุดอารมณ์ขันสีดำไปที่อินทิกรัลที่ไม่แน่นอนเหล่านี้

ตั้งแต่วิธีการแก้ปัญหาหลายวิธีทำไมต้องเริ่มเรียนรู้ Integrals ที่ไม่แน่นอนกับกาน้ำชา? ในแคลคูลัสที่สำคัญมีอยู่ในความเห็นของเราสามเสาหลักหรือ "แกน" ซึ่งทุกอย่างหมุนเวียน ก่อนอื่นควรค้นหาอย่างดีในอินทิกรัลที่ง่ายที่สุด (บทความนี้)

จากนั้นคุณต้องทำงานในรายละเอียดบทเรียน นี่เป็นเทคนิคที่สำคัญที่สุด! บางทีอาจเป็นบทความที่สำคัญที่สุดจากบทความทั้งหมดในอินทิกรัล และประการที่สามก็จำเป็นต้องทำความคุ้นเคยกับตัวเองด้วย โดยการบูรณาการในส่วนต่างๆเนื่องจากมีการรวมเข้ากับฟังก์ชั่นระดับที่กว้างขวาง หากคุณเชี่ยวชาญอย่างน้อยสามบทเรียนเหล่านี้ "ไม่ใช่สอง" คุณสามารถ "ให้อภัย" ไม่รู้ อินทิกรัลจากฟังก์ชันตรีโกณมิติ, อินทิกรัลจากเศษส่วน, อินทิกรัลจากฟังก์ชั่นเหตุผลของเศษส่วน, อินทิกรัลจากฟังก์ชั่นที่ไม่มีเหตุผล (ราก), แต่ถ้าคุณ "นั่งในแอ่งน้ำ" ในวิธีการเปลี่ยนหรือวิธีการรวมในส่วน - มันจะแย่มากและแย่มาก

ดังนั้นเริ่มต้นด้วยง่าย ลองดูที่ตารางอินทิกรัล เช่นเดียวกับในอนุพันธ์เราสังเกตเห็นกฎการรวมหลายอย่างและตารางอินทิกรัลจากฟังก์ชั่นระดับประถมศึกษาบางอย่าง อินทิกรัลแบบตารางใด ๆ (และแน่นอนอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด ใด ๆ คือ:

เข้าใจสัญลักษณ์และข้อกำหนด:

- ไอคอนอินทิกรัล

- ฟังก์ชั่น Integrand (เขียนด้วยตัวอักษร ")

- ไอคอนที่แตกต่างกัน มันคืออะไรเราจะดูเร็ว ๆ นี้ สิ่งสำคัญคือเมื่อบันทึกอินทิกรัลและในระหว่างการแก้ปัญหามันเป็นสิ่งสำคัญที่จะไม่สูญเสียไอคอนนี้ ข้อบกพร่องที่เห็นได้ชัดเจนจะเป็น

- การแสดงออกยับยั้งหรือ "กรอก" ของอินทิกรัล

– การพิมพ์ฟังก์ชั่น.

– . คุณไม่จำเป็นต้องเต็มไปด้วยคำศัพท์นี่เป็นสิ่งที่สำคัญที่สุดที่มีค่าคงที่ในตัวใดที่ไม่แน่นอนใด ๆ ที่จะตอบคำตอบ

แก้ปัญหา Intefinite Integral - หมายถึงการค้นหา ฟังก์ชั่นดั้งเดิมจำนวนมากจาก Integrand นี้

ให้เราดูที่บันทึก:

ลองดูที่ตารางอินทิกรัล

เกิดอะไรขึ้น? ชิ้นส่วนซ้ายกับเรา กลับถึงฟังก์ชั่นอื่น ๆ :.

เราทำให้คำจำกัดความของเราง่ายขึ้น:

แก้ไขอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด - มันหมายถึงการเปลี่ยนเป็นฟังก์ชั่นที่ไม่มีกำหนด (มีความแม่นยำต่อค่าคงที่) ใช้กฎเทคนิคและตารางบางอย่าง

ยกตัวอย่างเช่นอินทิกรัลแบบตาราง . เกิดอะไรขึ้น? การบันทึกสัญลักษณ์ได้กลายเป็นฟังก์ชั่นดั้งเดิมมากมาย

เช่นเดียวกับในกรณีของอนุพันธ์เพื่อเรียนรู้วิธีการหาอินทิกรัลมันไม่จำเป็นต้องตระหนักถึงสิ่งที่สำคัญคือหรือฟังก์ชั่นดั้งเดิมจากมุมมองเชิงทฤษฎี มันเพียงพอที่จะแปลงเป็นกฎที่เป็นทางการ ดังนั้นในกรณีของ ไม่จำเป็นต้องเข้าใจว่าทำไมอินทิกรัลจึงกลายเป็น คุณสามารถใช้สูตรนี้และสูตรอื่น ๆ ตามที่กำหนด ทุกคนใช้ไฟฟ้า แต่มีคนเพียงไม่กี่คนที่คิดว่าอิเล็กตรอนทำงานบนสายไฟหรือไม่

เนื่องจากการสร้างความแตกต่างและการรวม - การดำเนินการตรงข้ามกับจากนั้นสำหรับดั้งเดิมที่พบว่าพบต่อไปนี้เป็นจริง:

กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าคุณไม่สนใจคำตอบที่ถูกต้องจะต้องได้รับฟังก์ชั่นแบบรวมเริ่มต้น

มากลับไปที่อินทิกรัลแบบตารางเดียวกันกัน .

เราจะเชื่อมั่นในความยุติธรรมของสูตรนี้ รับมาจากด้านขวา:

- นี่คือ integrand เริ่มต้น

ดังนั้นโดยวิธีการที่ชัดเจนว่าทำไมค่าคงที่จะเกิดขึ้นกับฟังก์ชั่นเสมอ เมื่อความแตกต่างของค่าคงที่จะกลายเป็นศูนย์เสมอ

แก้ไขอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด- หมายถึงการค้นหา มีเยอะ ทั้งหมดซุยและไม่ใช่ฟังก์ชั่นเดียว ในตัวอย่างแบบตารางนี้และอื่น ๆ - ฟังก์ชั่นทั้งหมดเหล่านี้เป็นวิธีการแก้ปัญหาของอินทิกรัล โซลูชันเป็นจำนวนมากมากดังนั้นพวกเขาจึงเขียนสั้น ๆ :

ดังนั้นอินทิกรัลที่ไม่มีกำหนดใด ๆ จึงง่ายต่อการตรวจสอบ นี่คือการชดเชยบางอย่างสำหรับบูรณาการจำนวนมากของประเภทที่แตกต่างกัน

เราหันไปพิจารณาตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง เริ่มกันเถอะในการเรียนรู้อนุพันธ์ด้วยกฎการรวมสองประการ:

- คอนสแตนตา ค. คุณสามารถ (และคุณต้องการ) เพื่อให้เป็นสัญญาณสำคัญ

- ส่วนประกอบของผลรวม (ความแตกต่าง) ของสองฟังก์ชั่นเท่ากับจำนวน (ความแตกต่าง) ของทั้งสองอินทิกรัล กฎนี้ใช้ได้สำหรับส่วนประกอบจำนวนเท่าใดก็ได้

อย่างที่คุณเห็นกฎในหลักการเป็นเช่นเดียวกับอนุพันธ์ บางครั้งพวกเขาถูกเรียก คุณสมบัติของเชิงเส้นอินทิกรัล

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

.

ดำเนินการตรวจสอบ

การตัดสินใจ: สะดวกในการแปลงเป็น

(1) ใช้กฎ . ลืมที่จะบันทึกไอคอนความแตกต่าง dX ภายใต้แต่ละอินทิกรัล ทำไมภายใต้แต่ละคน dX- นี่เป็นตัวคูณที่สมบูรณ์ หากคุณวาดรายละเอียดขั้นตอนแรกควรบันทึกเช่นนี้:

.

(2) ตามกฎ เราทนต่อค่าคงที่ทั้งหมดสำหรับสัญญาณของอินทิกรัล โปรดทราบว่าในคำสุดท้าย tg5 เป็นค่าคงที่มันยังนำออกมา

นอกจากนี้ในขั้นตอนนี้เราเตรียมรากและองศาสำหรับการบูรณาการ ในลักษณะเดียวกันเช่นเดียวกับในการสร้างความแตกต่างรากจะต้องแสดงเป็น . รากและองศาที่ตั้งอยู่ในตัวหาร - โอน

บันทึก: ซึ่งแตกต่างจากอนุพันธ์รากในอินทิกรัลไม่ได้นำไปสู่จิตใจเสมอไป และปริญญาที่จะดำเนินการ

ตัวอย่างเช่น, - นี่เป็นอินทิกรัลแบบตารางสำเร็จรูปที่มีความคิดกับคุณแล้วและเทคนิคภาษาจีนทุกชนิดเช่น ไม่จำเป็นอย่างยิ่ง ในทำนองเดียวกัน: - นี่เป็นอินทิกรัลแบบตารางไม่มีจุดในการนำเสนอเศษส่วนในแบบฟอร์ม . เรียนรู้ตารางอย่างระมัดระวัง!

(3) อินทิกรัลทั้งหมดมีตาราง เราดำเนินการเปลี่ยนแปลงโดยใช้ตารางโดยใช้สูตร: , ผม.

สำหรับฟังก์ชั่นกำลัง - .

ควรสังเกตว่าตารางอินทิกรัลเป็นกรณีพิเศษของสูตรสำหรับฟังก์ชั่นกำลังไฟ: .

คอนสแตนตาค. พอที่จะเพิ่มหนึ่งครั้งในตอนท้ายของการแสดงออก

(และไม่ใส่พวกเขาหลังจากแต่ละอินทิกรัล).

(4) เขียนผลลัพธ์ที่ได้รับในรูปแบบขนาดกะทัดรัดมากขึ้นเมื่อทุกองศาของประเภท

เราเป็นตัวแทนในรูปแบบของรากและองศาที่มีตัวบ่งชี้เชิงลบรีเซ็ตกลับไปที่ตัวหาร

ตรวจสอบ. ในการตรวจสอบการตรวจสอบคุณต้องได้รับผลลัพธ์โดยตรง:

รับแหล่งที่มา รวมกัน, i.e. ตัวประกอบพบอย่างถูกต้อง จากสิ่งที่เต้นไปกับสิ่งนั้นและกลับมา เมื่อเรื่องราวที่มีส่วนสำคัญจบลงด้วยวิธีนั้น

บางครั้งมีวิธีการที่แตกต่างกันเล็กน้อยในการตรวจสอบอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด เมื่อไม่ได้รับการตอบสนอง แต่แตกต่างกัน:

.

เป็นผลให้เราไม่ได้รับฟังก์ชั่นปฏิกิริยา แต่เป็นการแสดงออกของแหล่งข้อมูล

อย่ากลัวแนวคิดของความแตกต่าง

ความแตกต่างเป็นอนุพันธ์คูณด้วย dX.

อย่างไรก็ตามเราไม่ได้มีรายละเอียดย่อยทางทฤษฎีที่สำคัญ แต่ความจริงที่ว่าด้วยความแตกต่างนี้เพิ่มเติมให้ทำ ความแตกต่างถูกเปิดเผยดังต่อไปนี้: ไอคอน d. เราลบอยู่เหนือวงเล็บเราใส่บาร์โค้ดที่ส่วนท้ายของนิพจน์ที่เราระบุว่าตัวคูณ dX :

ได้รับต้นฉบับ การแสดงออกของการยับยั้งนั่นคืออินทิกรัลถูกพบอย่างถูกต้อง

อย่างที่คุณเห็นความแตกต่างจะลงมาเพื่อค้นหาอนุพันธ์ ฉันชอบวิธีที่สองในการตรวจสอบน้อยลงเพราะคุณต้องดึงวงเล็บขนาดใหญ่และลากไอคอนที่แตกต่างกัน DX จนกระทั่งสิ้นสุดการตรวจสอบ แม้ว่ามันจะถูกต้องหรือ "แข็ง" หรือบางสิ่งบางอย่าง

ในความเป็นจริงมันเป็นไปได้ที่จะสอนเกี่ยวกับวิธีที่สองในการตรวจสอบ ประเด็นนี้ไม่ได้อยู่ในทาง แต่ในความจริงที่ว่าเราเรียนรู้ที่จะเปิดเผยความแตกต่าง อีกครั้ง

แตกต่างกันมีการเปิดเผยดังนี้:

1) ไอคอน d. เราลบ;

2) ไปทางขวาเหนือวงเล็บเราใส่บาร์โค้ด (อนุพันธ์มอบหมาย);

3) ในตอนท้ายของนิพจน์ที่เราระบุถึงตัวคูณ dX .

ตัวอย่างเช่น:

จำไว้ การรับสัญญาณที่ถือว่าเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับเราในไม่ช้า

ตัวอย่างที่ 2

.

เมื่อเราพบว่าอินทิกรัลไม่ จำกัด เราพยายามตรวจสอบเสมอยิ่งไปกว่านั้นยังมีโอกาสที่ดีสำหรับเรื่องนี้ ไม่ใช่งานทุกประเภทในคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นเป็นของขวัญจากมุมมองนี้ มันไม่สำคัญว่ามันมักจะไม่จำเป็นในงานควบคุมของการตรวจสอบไม่มีใครและไม่มีอะไรรบกวนการใช้จ่ายในร่าง ข้อยกเว้นสามารถทำได้เฉพาะเมื่อมีเวลาไม่เพียงพอ (ตัวอย่างเช่นในอันดับการสอบ) โดยส่วนตัวแล้วฉันมักจะตรวจสอบอินทิกรัลและฉันคิดว่าการขาดการตรวจสอบโดย Halturoy และงานที่ดำเนินการไม่ดี

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด :

. ดำเนินการตรวจสอบ

การแก้ปัญหา: การวิเคราะห์อินทิกรัลเราเห็นว่าเรามีงานสองฟังก์ชั่นภายใต้อินทิกรัลและแม้กระทั่งการก่อสร้างการแสดงออกทั้งหมด น่าเสียดายที่ในสาขาการต่อสู้แบบอินทิกรัล ไม่ ดีและสะดวกสบาย สูตรสำหรับการรวมงานและส่วนตัว เช่น: หรือ .

ดังนั้นเมื่องานได้รับหรือเป็นส่วนตัวมันสมเหตุสมผลเสมอและไม่ว่าจะเป็นไปไม่ได้ที่จะแปลงฟังก์ชั่นปฏิกิริยาในจำนวนหรือไม่ ตัวอย่างที่อยู่ระหว่างการพิจารณาเป็นกรณีที่คุณสามารถทำได้

ครั้งแรกที่เราให้การแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ความคิดเห็นจะลดลง

รับแหล่งที่มา รวมกันดังนั้นอินทิกรัลจะพบอย่างถูกต้อง

ในระหว่างการทดสอบฟังก์ชั่นมักจะ "บรรจุภัณฑ์" กับสปีชีส์เริ่มต้นนำไปสู่ในกรณีนี้สำหรับวงเล็บและใช้สูตรการคูณตัวย่อในทิศทางตรงกันข้าม:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

ดำเนินการตรวจสอบ

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหา คำตอบและการตัดสินใจที่สมบูรณ์ในตอนท้ายของบทเรียน

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด

. ดำเนินการตรวจสอบ

ในตัวอย่างนี้ Integrand เป็นเศษส่วน เมื่อเราเห็นในนิพจน์ดั้งเดิมคำถามของความคิดแรกควรเป็นคำถาม: "เป็นไปได้ที่จะกำจัดเศษส่วนนี้หรืออย่างน้อยก็ง่ายขึ้น?"

เราสังเกตเห็นว่าในตัวหารมีรากโดดเดี่ยวจาก "x" หนึ่งในฟิลด์ไม่ใช่นักรบหมายความว่าคุณสามารถแบ่งตัวเศษไปยังตัวหาร:

เราไม่แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับองศาเศษส่วนที่มีองศาเศษส่วนตามที่พวกเขาพูดถึงซ้ำ ๆ ในบทความเกี่ยวกับฟังก์ชั่นอนุพันธ์

หากคุณยังคงใส่ปลายตายเช่น

และในทางที่มันจะกลายเป็นคำตอบที่ถูกต้อง

โปรดทราบว่าโซลูชันผ่านขั้นตอนเดียวคือการประยุกต์ใช้กฎ , . โดยปกติแล้วด้วยประสบการณ์บางอย่างของการแก้ปริรงกฎเหล่านี้ถือเป็นข้อเท็จจริงที่ชัดเจนและไม่ได้ทาสีในรายละเอียด

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด ดำเนินการตรวจสอบ

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหา คำตอบและการตัดสินใจที่สมบูรณ์ในตอนท้ายของบทเรียน

โดยทั่วไปแล้วมีเศษส่วนในอินทิกรัลไม่ใช่ทุกอย่างง่ายมากวัสดุเพิ่มเติมในการรวมของเศษส่วนของสปีชีส์บางชนิดสามารถพบได้ในบทความ: การบูรณาการเศษส่วนบางอย่าง. แต่ก่อนที่จะดำเนินการต่อไปยังบทความข้างต้นคุณต้องทำความคุ้นเคยกับบทเรียน: วิธีการทดแทนในอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด. ความจริงก็คือการประสานงานฟังก์ชั่นภายใต้ความแตกต่างหรือวิธีการเปลี่ยนตัวแปรคือ ช่วงเวลาสำคัญในการศึกษาหัวข้อเนื่องจากพบไม่เพียง "ในงานที่บริสุทธิ์สำหรับวิธีการทดแทน" แต่ยังอยู่ในอินทิกรัลอื่น ๆ อีกมากมาย

โซลูชั่นและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2: การแก้ปัญหา:

ตัวอย่างที่ 4: การแก้ปัญหา:

ในตัวอย่างนี้เราใช้สูตรการคูณตัวย่อ

ตัวอย่างที่ 6: การแก้ปัญหา:

ฟังก์ชั่น F (x), ความแตกต่างในช่องว่างนี้เรียกว่า เหมาะสำหรับฟังก์ชั่น f (x) หรือโดยอินทิกรัลจาก f (x), ถ้าสำหรับ x ∈xใด ๆ ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

f "(x) \u003d f (x) (8.1)

การค้นหาคุณสมบัติหลักทั้งหมดสำหรับคุณสมบัตินี้เรียกว่า บูรณาการ ฟังก์ชั่นอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนf (x) ที่ช่องว่างนี้เรียกว่าชุดของฟังก์ชั่นดั้งเดิมทั้งหมดสำหรับฟังก์ชั่น f (x); การกำหนด -

ถ้า f (x) เป็นฟังก์ชั่นการทำงานบางประเภท f (x), จากนั้น∫ f (x) dx \u003d f (x) + c, (8.2)

ที่มีค่าคงที่โดยพลการ

บูรณาการตาราง

โดยตรงจากคำจำกัดความเราได้รับคุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนและรายการของอินทิกรัลแบบตาราง:

1) d∫f (x) dx \u003d f (x)

2) ∫df (x) \u003d f (x) + c

3) ∫AF (x) dx \u003d a∫f (x) dx (a \u003d const)

4) ∫ (F (x) + g (x)) dx \u003d ∫f (x) dx + ∫g (x) dx

รายการอินทิกรัลแบบตาราง

1. ∫x m dx \u003d x m + 1 / (m + 1) + c; (m ≠ -1)

3. asa x dx \u003d a x / ln a + c (a\u003e 0, a ≠ 1)

4. he x dx \u003d e x + c

5.∫sin x dx \u003d cosx + c

6.∫cos x dx \u003d - sin x + c

7. \u003d arctg x + c

8. \u003d arcsin x + c

10. \u003d - CTG X + C

การเปลี่ยนตัวแปร

สำหรับการรวมฟังก์ชั่นจำนวนมากวิธีการเปลี่ยนตัวแปรหรือ การทดแทนอนุญาตให้นำอินทิกรัลไปยังแบบตาราง

หากฟังก์ชั่น F (z) ต่อเนื่องเป็น [α, β], ฟังก์ชัน z \u003d g (x) มีอนุพันธ์อย่างต่อเนื่องและα≤ g (x) ≤βแล้ว

∫ F (g (g)) g "(x) dx \u003d ∫f (z) DZ, (8.3)

ยิ่งไปกว่านั้นหลังจากการรวมการทดแทน Z \u003d G (x) ควรทำในส่วนที่ถูกต้อง

ในการพิสูจน์มันก็เพียงพอที่จะเขียนแหล่งที่มาอินทิกรัลในแบบฟอร์ม:

∫ F (g (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫ f (g (g (x)) DG (x)

ตัวอย่างเช่น:

วิธีการรวมในส่วนต่างๆ

ให้ u \u003d f (x) และ v \u003d g (x) เป็นฟังก์ชั่นที่ต่อเนื่อง จากนั้นทำงาน

d (UV)) \u003d UDV + VDU หรือ UDV \u003d D (UV) - VDU

สำหรับการแสดงออก D (UV) ครั้งแรกที่เห็นได้ชัดว่าจะเป็น UV ดังนั้นสูตรคือ:

∫ UDV \u003d UV - ∫ VDU (8.4.)

สูตรนี้เป็นการแสดงออกถึงกฎ บูรณาการในส่วนต่างๆ. มันส่งผลให้การรวมของนิพจน์ UDV \u003d UV "DX เพื่อรวมนิพจน์ VDU \u003d VU" DX

ยกตัวอย่างเช่นคุณต้องค้นหา∫xcosx dx ใส่ u \u003d x, dv \u003d cosxdx ดังนั้น du \u003d dx, v \u003d sinx จากนั้น

∫xcosxdx \u003d ∫x D (SIN X) \u003d X SIN X - ∫sin x dx \u003d x sin x + cosx + c

กฎการรวมในชิ้นส่วนมีขอบเขตที่ จำกัด มากกว่าการเปลี่ยนตัวแปร แต่มีคลาสของอินทิกรัลทั้งหมดเช่น

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e axe และอื่น ๆ ที่คำนวณโดยใช้การรวมในส่วน

อินทิกรัลบางอย่าง

แนวคิดของอินทิกรัลที่เฉพาะเจาะจงได้รับการปรับปรุงดังนี้ ให้ฟังก์ชั่น f (x) กำหนดในส่วน เราแบ่งเซ็กเมนต์ [A, B] บน น. ชิ้นส่วนจุด A \u003d x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
δ x i \u003d x i - x i-1 ผลรวมของแบบฟอร์ม F (ξ i) δ x ฉันถูกเรียก ผลรวมอินทิกรัลและขีด จำกัด ของมันที่λ \u003d maxδx i → 0 หากมีอยู่และมีการ จำกัด ที่เรียกว่า อินทิกรัลบางอย่างฟังก์ชั่น f (x) จาก ก. ก่อน b. และระบุ:

f (ξฉัน) δx i (8.5)

ฟังก์ชั่น F (x) ในกรณีนี้เรียกว่า รวมในการตัดหมายเลข A และ B เรียกว่า ขีด จำกัด ที่ต่ำกว่าและสูง.

สำหรับอินทิกรัลที่เฉพาะเจาะจงคุณสมบัติต่อไปนี้ถูกต้อง:

4), (k \u003d const, k∈r);

5)

6)

7) F (ξ) (B - A) (ξ∈)

คุณสมบัติสุดท้ายเรียกว่า ทฤษฎีความหมายเฉลี่ย.

ให้ f (x) ต่อเนื่องต่อเนื่อง จากนั้นมีอินทิกรัลที่ไม่ จำกัด ในส่วนนี้

∫F (x) dx \u003d f (x) + c

และเกิดขึ้น สูตรนิวตัน Labitsaการผูกมัดอินทิกรัลที่เฉพาะเจาะจงด้วยความไม่แน่นอน:

f (b) - f (a) (8.6)

การตีความทางเรขาคณิต: อินทิกรัลบางอย่างเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู curvilinear ที่ จำกัด จากด้านบนโค้ง y \u003d f (x), ตรง x \u003d a และ x \u003d b และส่วนของแกน วัว..

อินทิกรัลไม่ถูกต้อง

อินทิกรัลที่มีข้อ จำกัด ที่ไม่มีที่สิ้นสุดและอินทิกรัลจากฟังก์ชั่นที่ไม่ต่อเนื่อง (ไม่ จำกัด ) เรียกว่า เข้ากันไม่ได้ Integrals ที่เข้ากันไม่ได้ของฉันชนิด - นี่คืออินทิกรัลที่ช่องว่างที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่กำหนดไว้ดังนี้:

หากมีข้อ จำกัด นี้มีอยู่และมี จำกัด แล้วเรียกว่า การรวมอินทิกรัลที่ไม่สมบูรณ์จาก F (x) ในช่วงเวลา [A, + ∞) และฟังก์ชั่น F (x) เรียกว่า บูรณาการที่ช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุด[A, + ∞) มิฉะนั้นเกี่ยวกับอินทิกรัลบอกว่าเขา ไม่มีอยู่จริงหรือแตกต่าง.

ในลักษณะเดียวกันอินทิกรัลที่เข้าใจไม่ได้ในช่วงเวลา (-∞, b] และ (-∞, + ∞) จะถูกกำหนด:

เรากำหนดแนวคิดของอินทิกรัลจากฟังก์ชั่นไม่ จำกัด ถ้า f (x) ต่อเนื่องสำหรับค่าทั้งหมด เอ็กซ์ ตัดยกเว้นจุด C ซึ่ง f (x) มีช่องว่างที่ไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว สกุลที่เข้ากันไม่ได้ II f (x) ในช่วงจาก a ถึง b จำนวนเงินที่เรียกว่า:

หากมีข้อ จำกัด เหล่านี้มีอยู่และมี จำกัด การกำหนด:

ตัวอย่างการคำนวณอินทิกรัล

ตัวอย่าง 3.30 คำนวณ∫dx / (x + 2)

การตัดสินใจ แสดงโดย T \u003d X + 2 จากนั้น DX \u003d DT, ∫dx / (x + 2) \u003d ∫dt / t \u003d ln | t | + c \u003d ln | x + 2 | + C.

ตัวอย่าง 3.31. ค้นหา∫ TGXDX

การตัดสินใจ∫ tgxdx \u003d ∫sinx / cosxdx \u003d - ∫dcosx / cosx ให้ t \u003d cosx, จากนั้น∫ tgxdx \u003d -∫ dt / t \u003d - ln | t | + c \u003d -ln | cosx | + C.

ตัวอย่าง3.32 . ค้นหา∫dx / sinx

การตัดสินใจ

ตัวอย่าง3.33. การค้นหา .

การตัดสินใจ = .

ตัวอย่าง3.34 . ค้นหา∫arctgxdx

การตัดสินใจ เรารวมอยู่ในส่วนต่างๆ Denote U \u003d ARCTGX, DV \u003d DX จากนั้น du \u003d dx / (x 2 +1), v \u003d x, จากที่∫arctgxdx \u003d xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) \u003d xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + c; เช่น
∫XDX / (x 2 +1) \u003d 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) \u003d 1/2 ln (x 2 +1) + c.

ตัวอย่าง3.35 . คำนวณ∫lnxdx

การตัดสินใจ การใช้สูตรการรวมในชิ้นส่วนเราได้รับ:
U \u003d LNX, DV \u003d DX, DU \u003d 1 / x DX, V \u003d X จากนั้น∫lnxdx \u003d xlnx - ∫x 1 / x dx \u003d
\u003d xlnx - ∫dx + c \u003d xlnx - x + c.

ตัวอย่าง3.36 . คำนวณ∫e x sinxdx

การตัดสินใจ denote u \u003d e x, dv \u003d sinxdx, จากนั้น du \u003d e x dx, v \u003d ∫sinxdx \u003d - cosx →∫ e x sinxdx \u003d - e x cosx + ∫ e x cosxdx อินทิกรัล∫e x cosxdx ยังรวมในส่วนต่าง ๆ : u \u003d e x, dv \u003d cosxdx, du \u003d e x dx, v \u003d sinx เรามี:
∫ e x cosxdx \u003d e x sinx - ∫ e x sinxdx ได้รับ∫e x sinxdx \u003d - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx จากที่2∫e x sinx dx \u003d - e x cosx + e x sinx + s

ตัวอย่าง 3.37. คำนวณ J \u003d ∫cos (LNX) DX / X

การตัดสินใจตั้งแต่ DX / X \u003d DLNX จากนั้น J \u003d ∫cos (LNX) D (LNX) การแทนที่ LNX ผ่าน T เรามาที่ตารางอินทิกรัล J \u003d ∫ CostDT \u003d SINT + C \u003d SIN (LNX) + C.

ตัวอย่าง 3.38 . คำนวณ j \u003d.

การตัดสินใจ เมื่อพิจารณาว่า \u003d D (LNX) เราผลิตการทดแทน LNX \u003d T จากนั้น j \u003d. .

ตัวอย่าง 3.39 . คำนวณอินทิกรัล J \u003d .

การตัดสินใจเรามี: . ดังนั้น \u003d.
=
\u003d. มันถูกป้อนดังนั้น SQRT (ตาล (x / 2))

และถ้าคุณคลิกที่ขั้นตอนการแสดงที่มุมขวาบนจากนั้นรับโซลูชันโดยละเอียด