У него – квадрат, а состоит он из трех слагаемых (). Вот и получается – квадратный трехчлен.
Примеры не квадратных трехчленов:
\(x^3-3x^2-5x+6\) - кубический четырёхчлен
\(2x+1\) - линейный двучлен
Корень квадратного трехчлена:
Пример:
У трехчлена \(x^2-2x+1\) корень \(1\), потому что \(1^2-2·1+1=0\)
У трехчлена \(x^2+2x-3\) корни \(1\) и \(-3\), потому что \(1^2+2-3=0\) и \((-3)^2-6-3=9-9=0\)
Например: если нужно найти корни для квадратного трехчлена \(x^2-2x+1\), приравняем его к нулю и решим уравнение \(x^2-2x+1=0\).
\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac{2-0}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Готово. Корень равен \(1\).
Разложение квадратного трёхчлена на :
Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно разложить как \(a(x-x_1)(x-x_2)\), если уравнения \(ax^2+bx+c=0\) больше нуля \(x_1\) и \(x_2\) - корни того же уравнения).
Например
, рассмотрим трехчлен \(3x^2+13x-10\).
У квадратного уравнения \(3x^2+13x-10=0\) дискриминант равен 289 (больше нуля), а корни равны \(-5\) и \(\frac{2}{3}\). Поэтому \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac{2}{3})\). В верности этого утверждения легко убедится – если мы , то получим исходный трехчлен.
Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно представить как \(a(x-x_1)^2\), если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) равен нулю.
Например , рассмотрим трехчлен \(x^2+6x+9\).У квадратного уравнения \(x^2+6x+9=0\) дискриминант равен \(0\), а единственный корень равен \(-3\). Значит, \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (здесь коэффициент \(a=1\), поэтому перед скобкой не пишется – незачем). Обратите внимание, что тоже самое преобразование можно сделать и по .
Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) не раскладывается на множители, если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) меньше нуля.
Например , у трехчленов \(x^2+x+4\) и \(-5x^2+2x-1\) – дискриминант меньше нуля. Поэтому разложить их на множители невозможно.
Пример
. Разложите на множители \(2x^2-11x+12\).
Решение
:
Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2-11x+12=0\)
\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac{11-5}{4}=1,5;\) \(x_2=\frac{11+5}{4}=4.\)
Значит, \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Ответ
: \(2(x-1,5)(x-4)\)
Полученный ответ, может быть, записать по-другому: \((2x-3)(x-4)\).
Пример
. (Задание из ОГЭ)
Квадратный трехчлен разложен на множители \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Найдите \(a\).
Решение:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac{-33-17}{10}=-5\)
\(x_2=\frac{-33+17}{10}=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Ответ
: \(-1,6\)
Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:
A x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)
где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,
x – переменная (то есть буква),
x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.
Если квадратное уравнение имеет только один корень, то разложение выглядит так:
a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 0) 2
Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:
- − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7
− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)
- − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2
− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2
Если квадратный трехчлен является неполным (b = 0 или c = 0) , то его можно разложить на множители следующими способами:
- c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)
- b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.
Задания для самостоятельного решения
№1. Квадратный трёхчлен разложен на множители: x 2 + 6 x − 27 = (x + 9) (x − a) . Найдите a .
Решение:
Для начала необходимо приравнять квадратных трехчлен к нулю, чтобы найти x 1 и x 2 .
x 2 + 6 x − 27 = 0
a = 1, b = 6, c = − 27
D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 27) = 36 + 108 = 144
D > 0 – значит будет два различных корня.
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 144 2 ⋅ 1 = [ − 6 + 12 2 = 6 2 = 3 − 6 − 12 2 = − 18 2 = − 9
Зная корни разложим квадратный трехчлен на множители:
x 2 + 6 x − 27 = (x − (− 9)) (x − 3) = (x + 9) (x − 3)
№2. Уравнение x 2 + p x + q = 0 имеет корни − 5 ; 7. Найдите q .
Решение:
1 способ: (надо знать, как раскладывается квадратный трехчлен на множители)
Если x 1 и x 2 – корни квадратного трехчлена a x 2 + b x + c , то его можно разложить на множители следующим образом: a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2) .
Поскольку в заданном квадратном трехчлене старший коэффициент (множитель перед x 2) равен единице, то разложение будет следующим:
x 2 + p x + q = (x − x 1) (x − x 2) = (x − (− 5)) (x − 7) = (x + 5) (x − 7) = x 2 − 7 x + 5 x − 35 = x 2 − 2 x − 35
x 2 + p x + q = x 2 − 2 x − 35 ⇒ p = − 2, q = − 35
2 способ: (надо знать теорему Виета)
Теорема Виета:
Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x 2 + p x + q равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q .
{ x 1 + x 2 = − p x 1 ⋅ x 2 = q
q = x 1 ⋅ x 2 = (− 5) ⋅ 7 = − 35.
Прежде всего укажем на некоторые употребительные названия. Станем рассматривать многочлены, в состав которых входит лишь одна какая-нибудь буква, напр., буква x . Тогда самым простым является многочлен, в котором два члена, причем в одном из них имеется буква x в первой степени, а в другом вовсе буквы x не имеется, напр., 3x – 5 или 15 – 7x или 8z + 7 (здесь уже вместо буквы x взята буква z ) и т. д. Такие многочлены называются линейными двучленами .
3x² – 5x + 7 или x² + 2x – 1
или 5y² + 7y + 8 или z² – 5z – 2 и т. д.
Такие многочлены называются квадратными трехчленами .
Затем, мы можем составить кубический четырехчлен, напр.:
x³ + 2x² – x + 1 или 3x³ – 5x² – 2x – 3 и т. д.,
многочлен четвертой степени, напр.:
x 4 – 2x³ – 3x² + 4x – 5 и т. д.
Возможно обозначать коэффициенты при x , при x², при x³ и т. д. также буквами, напр., буквами a, b, c и т. д. Тогда получим:
1) общий вид линейного относительно x двучлена ax + b,
2) общий вид квадратного трехчлена (относительно x ): ax² + bx + c,
3) общий вид кубического трехчлена (относительно x ): ax³ + bx² + cx + d и т. д.
Заменяя в этих формулах буквы a, b, c, d … различными числами, получим всевозможные линейные двучлены, квадратные трехчлены и т. д. Напр., в формуле ax² + bx + c, выражающей общий вид квадратного трехчлена, заменим букву a числом +3, букву b числом –2 и букву c числом –1, получим квадратный трехчлен 3x² – 2x – 1. В частном случае возможно получить и двучлен, заменяя одну из букв нулем, напр., если a = +1, b = 0 и c = –3, то получим квадратный двучлен x² – 3.
Можно научиться раскладывать некоторые квадратные трехчлены довольно быстро на линейные множители. Ограничимся, однако, рассмотрением только таких квадратных трехчленов, которые удовлетворяют следующим условиям:
1) коэффициентом при старшем члене (при x²) служит +1,
2) можно подыскать такие два целых числа (со знаками, или два относительных целых числа), чтобы их сумма равнялась коэффициенту при x в первой степени и их произведение равнялось члену, свободному от x (где буквы x вовсе нет).
Примеры. 1. x² + 5x + 6; легко в уме подыскать два числа (со знаками), чтобы их сумма равнялась +5 (коэффициенту при x ) и чтобы их произведение = +6 (члену, свободному от x), – эти числа суть: +2 и +3 [в самом деле, +2 + 3 = +5 и (+2) ∙ (+3) = +6]. При помощи этих двух чисел заменим член +5x двумя членами, а именно: +2x + 3x (конечно, +2x + 3x = +5x); тогда наш техчлен искусственно будет обращен в четырехчлен x² + 2x + 3x + 6. Применим теперь к нему прием группировки, относя первые два члена в одну группу и последние два – в другую:
x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).
В первой группе мы вынесли за скобку x и во второй +3, получили два члена, у которых оказался общий множитель (x + 2), который также вынесли за скобку, и наш трехчлен x² + 5x + 6 разложился на 2 линейных множителя: x + 2 и x + 3.
2. x² – x – 12. Здесь надо подыскать два числа (относительных), чтобы их сумма равнялась –1 и чтобы их произведение равнялось –12. Такие числа суть: –4 и +3.
Проверка: –4 + 3 = –1; (–4) (+3) = –12. При помощи этих чисел заменим член –x двумя членами: –x = –4x + 3x, – получим:
x² – x – 12 = x² – 4x + 3x – 12 = x (x – 4) + 3 (x – 4) = (x – 4) (x + 3).
3. x² – 7x + 6; здесь нужные числа суть: –6 и –1. [Проверка: –6 + (–1) = –7; (–6) (–1) = +6].
x² – 7x + 6 = x² – 6x – x + 6 = x (x – 6) – (x – 6) = (x – 6) (x – 1).
Здесь члены второй группы –x + 6 пришлось заключить в скобки, со знаком минус перед ними.
4. x² + 8x – 48. Здесь нужно подыскать два числа, чтобы их сумма равнялась +8 и чтобы их произведение равнялось –48. Так как произведение должно иметь знак минус, то искомые числа должны быть с разными знаками, так как сумма наших чисел имеет знак +, то абсолютная величина положительного числа должна быть больше. Раскладывая арифметическое число 48 на два множителя (а это можно сделать по-разному), получим: 48 = 1 ∙ 48 = 2 ∙ 24 = 3 ∙ 16 = 4 ∙ 12 = 6 ∙ 8. Из этих разложений легко выбрать подходящее к нашим требованиям, а именно: 48 = 4 ∙ 12. Тогда наши числа суть: +12 и –4. Дальнейшее просто:
x² + 8x – 48 = x² + 12x – 4x – 48 = x (x + 12) – 4 (x + 12) = (x + 12) (x – 4).
5. x² + 7x – 12. Здесь надо найти 2 числа, чтобы их сумма равнялась +7 и произведение = –12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. По-видимому, подходящими числами являлись бы 3 и 4, но их надо взять с разными знаками, чтобы их произведение равнялось –12, а тогда их сумма ни в коем случае не может равняться +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1]. Другие разложения на множители также не дают требуемых чисел; поэтому мы приходим к заключению, что данных квадратных трехчлен мы еще не умеем разложить на линейные множители, так как к нему наш прием не применим (он не удовлетворяет второму из условий, какие были установлены вначале).
На данном уроке мы с вами научимся раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители. Для этого необходимо вспомнить теорему Виета и обратную ей. Данное умение поможет нам быстро и удобно раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители, а также упростит сокращение дробей, состоящих из выражений.
Итак вернёмся к квадратному уравнению , где .
То, что стоит у нас в левой части, называется квадратным трёхчленом.
Справедлива теорема: Если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо тождество
Где - старший коэффициент, - корни уравнения.
Итак, мы имеем квадратное уравнение - квадратный трёхчлен, где корни квадратного уравнения также называются корнями квадратного трёхчлена. Поэтому если мы имеем корни квадратного трёхчлена, то этот трёхчлен раскладывается на линейные множители.
Доказательство:
Доказательство данного факта выполняется с помощью теоремы Виета, рассмотренной нами в предыдущих уроках.
Давайте вспомним, о чём говорит нам теорема Виета:
Если - корни квадратного трёхчлена, у которого , то .
Из данной теоремы вытекает следующее утверждение, что .
Мы видим, что, по теореме Виета, , т. е., подставив данные значения в формулу выше, мы получаем следующее выражение
что и требовалось доказать.
Вспомним, что мы доказали теорему, что если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо разложение .
Теперь давайте вспомним пример квадратного уравнения , к которому с помощью теоремы Виета мы подбирали корни . Из этого факта мы можем получить следующее равенство благодаря доказанной теореме:
Теперь давайте проверим правильность данного факта простым раскрытием скобок:
Видим, что на множители мы разложили верно, и любой трёхчлен, если он имеет корни, может быть разложен по данной теореме на линейные множители по формуле
Однако давайте проверим, для любого ли уравнения возможно такое разложение на множители:
Возьмём, к примеру, уравнение . Для начала проверим знак дискриминанта
А мы помним, что для выполнения выученной нами теоремы D должен быть больше 0, поэтому в данном случае разложение на множители по изученной теореме невозможно.
Поэтому сформулируем новую теорему: если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.
Итак, мы рассмотрели теорему Виета, возможность разложения квадратного трёхчлена на линейные множители, и теперь решим несколько задач.
Задача №1
В данной группе мы будем по факту решать задачу, обратную к поставленной. У нас было уравнение, и мы находили его корни, раскладывая на множители. Здесь мы будем действовать наоборот. Допустим, у нас есть корни квадратного уравнения
Обратная задача такова: составьте квадратное уравнение, чтобы были его корнями.
Для решения данной задачи существует 2 способа.
Поскольку - корни уравнения, то - это квадратное уравнение, корнями которого являются заданные числа. Теперь раскроем скобки и проверим:
Это был первый способ, по которому мы создали квадратное уравнение с заданными корнями, в котором нет каких-либо других корней, поскольку любое квадратное уравнение имеет не более двух корней.
Данный способ предполагает использование обратной теоремы Виета.
Если - корни уравнения, то они удовлетворяют условию, что .
Для приведённого квадратного уравнения , , т. е. в данном случае , а .
Таким образом, мы создали квадратное уравнение, которое имеет заданные корни.
Задача №2
Необходимо сократить дробь .
Мы имеем трёхчлен в числителе и трёхчлен в знаменателе, причём трёхчлены могут как раскладываться, так и не раскладываться на множители. Если же и числитель, и знаменатель раскладываются на множители, то среди них могут оказаться равные множители, которые можно сократить.
В первую очередь необходимо разложить на множители числитель .
Вначале необходимо проверить, можно ли разложить данное уравнении на множители, найдём дискриминант . Поскольку , то знак зависит от произведения ( должно быть меньше 0), в данном примере , т. е. заданное уравнение имеет корни.
Для решения используем теорему Виета:
В данном случае, поскольку мы имеем дело с корнями, то просто подобрать корни будет довольно сложно. Но мы видим, что коэффициенты уравновешены, т. е. если предположить, что , и подставить это значение в уравнение, то получается следующая система: , т. е. 5-5=0. Таким образом, мы подобрали один из корней данного квадратного уравнения.
Второй корень мы будем искать методом подставления уже известного в систему уравнений, к примеру, , т.е. .
Таким образом, мы нашли оба корня квадратного уравнения и можем подставить их значения в исходное уравнение, чтобы разложить его на множители:
Вспомним изначальную задачу, нам необходимо было сократить дробь .
Попробуем решить поставленную задачу, подставив вместо числителя .
Необходимо не забыть, что при этом знаменатель не может равняться 0, т. е. , .
Если данные условия будут выполняться, то мы сократили исходную дробь до вида .
Задача №3 (задача с параметром)
При каких значениях параметра сумма корней квадратного уравнения
Если корни данного уравнения существуют, то , вопрос: когда .
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III
§ 54. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
В этом параграфе мы рассмотрим следующий вопрос: в каком случае квадратный трехчлен ax 2 + bx + c можно представить в виде произведения
(a 1 x + b 1) (a 2 x + b 2)
двух линейных относительно х множителей с действительными коэффициентами a 1 , b 1 , a 2 , b 2 (a 1 =/=0, a 2 =/=0) ?
1. Предположим, что данный квадратный трехчлен ax 2 + bx + c представим в виде
ax 2 + bx + c = (a 1 x + b 1) (a 2 x + b 2). (1)
Правая часть формулы (1) обращается в нуль при х = - b 1 / a 1 и х = - b 2 / a 2 (a 1 и a 2 по условию не равны нулю). Но в таком случае числа - b 1 / a 1 и - b 2 / a 2 являются корнями уравнения
ax 2 + bx + c = 0.
Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c должен быть неотрицательным.
2. Обратно, предположим, что дискриминант D = b 2 - 4ас квадратного трехчлена ax 2 + bx + c неотрицателен. Тогда этот трехчлен имеет действительные корни x 1 и x 2 . Используя теорему Виета, получаем:
ax 2 + bx + c = а (x 2 + b / a х + c / a ) = а [x 2 - (x 1 + x 2) х + x 1 x 2 ] =
= а [(x 2 - x 1 x ) - (x 2 x - x 1 x 2)] = а [х (х - x 1) - x 2 (х - x 1) =
= a (х - x 1)(х - x 2).
ax 2 + bx + c = a (х - x 1)(х - x 2), (2)
где x 1 и x 2 - корни трехчлена ax 2 + bx + c . Коэффициент а можно отнести к любому из двух линейных множителей, например,
a (х - x 1)(х - x 2) = (aх - ax 1)(х - x 2).
Но это означает, что в рассматриваемом случае квадратный трехчлен ax 2 + bx + c представим в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами.
Объединяя результаты, полученные в пунктах 1 и 2, мы приходим к следующей теореме.
Теорема. Квадратный трехчлен ax 2 + bx + c тогда и тoлько тогда можно представить в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами,
ax 2 + bx + c = (aх - ax 1)(х - x 2),
когда дискриминант этого квадратного трехчлена неотрицателен (то есть когда этот трехчлен имеет действительные корни) .
Пример 1 . Разложить на линейные множители 6x 2 - х -1.
Корни этого квадратного трехчлена равны x 1 = 1 / 2 и x 2 = - 1 / 3 .
Поэтому по формуле (2)
6x 2 - х -1 = 6 (х - 1 / 2)(х + 1 / 3) = (2х - 1) (3x + 1).
Пример 2 . Разложить на линейные множители x 2 + х + 1. Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен:
D = 1 2 - 4 1 1 = - 3 < 0.
Поэтому данный квадратный трехчлен на линейные множители с действительными коэффициентами не раскладывается.
Упражнения
Разложить на линейные множители следующие выражения (№ 403 - 406):
403. 6x 2 - 7х + 2. 405. x 2 - х + 1.
404. 2x 2 - 7ах + 6а 2 . 406. x 2 - 3ах + 2а 2 - аb - b 2 .
Сократить дроби (№ 407, 408):
Решить уравнения: