1 допълнително строителство, което води до теоремата на средната линия на триъгълника, трапецоидите и свойствата на сходството на триъгълниците.
И тя равна на половината от хипотензията.
Следствие 1.
Следствие 2.
Изглежда че 
1 Всички правоъгълни триъгълници с равен остър ъгъл са сходни. Преглед на тригонометричните функции.
Триъгълниците с погалени страни и без инсулти са сходни по равнопоставеност на два ъгъла. Следователно
Това означава, че тези съотношения зависят само от остър ъгъл на правоъгълия триъгълник и се определят по същество от него. Това е една от основите на появата на тригонометрични функции:
Често тригонометричната функция на ъгъла в такива правоъгълни триъгълници на визуални записи на коефициентите на приликата!
2 Пример за допълнителна конструкция - височина, спусната върху хипотенузата. Оттеглянето на теоремата Pythagora, основано на сходството на триъгълниците.
Силата на хипотения AB височина ch. Имаме три подобни триъгълници ABC, AHC и CHB. Пишем изрази за тригонометрични функции:
Изглежда че . Сгъване, получавам теоремата на Пиртагор, защото:
Друго доказателство за теоремата Pythagoreo виж в коментари по задача 4.
3 Важен пример за допълнителна конструкция е да се изгради ъгъл, равен на един от ъглите на триъгълника.
Ние извършваме от върха на директния ъгъл на права линия, което представлява ъгъл на кола, равен на ъгъла на кабината на даден правоъгълен триъгълник ABC. В резултат на това получаваме уравнителен ACM триъгълник с ъгли в основата. Но другият триъгълник, получен с такава конструкция, също ще бъде равен, тъй като всеки ъгъл в основата е равен на (от свойството на ъглите на правоъгълен триъгълник и върху конструкцията - от директния ъгъл на "открит" ъгъл ). Поради факта, че триъгълниците на BMC и AMC се консумират с общата страна на MC с равенството MB \u003d MA \u003d MC, т.е. MC - медиана, изразходвана за хипотенузма на правоъгълен триъгълник, и тя равна на половината от хипотензията.
Следствие 1. В средата на хипотенузата е центърът на кръга, описан около този триъгълник, тъй като се оказа, че средата на хипотенузата е еквивалентна на върховете на правоъгълния триъгълник.
Следствие 2. Средната линия на правоъгълния триъгълник, свързващ средата на хипотенузата и средата на категорията, успоредно на противоположния капак и е равен на половината си.
По-нисък в еднакво оковани триъгълници на BMC и AMC височина МН и mg на основата. Тъй като в еднакво окован триъгълник височината, спусната до основата, също е медиана (и бисектор), след това mH и mg-рини на правоъгълен триъгълник, свързващ средата на хипотенузата със средата на катетите. Чрез строителството те са успоредни на противоположните обичаи и техните половини, тъй като триъгълниците са равни на МНС и MGC са равни на (и MHCG е правоъгълник). Този резултат е основата за доказване на теорема на средната линия на произволен триъгълник и, допълнително, средната линия на трапецоида и свойствата на пропорционалността на сегментите, които се отрязват от паралелни права на две кръстосани права директно.
Задачи
Използване на свойства на сходство -1
Използване на основни свойства - 2
Използване на допълнителни конструкции 3-4
1 2 3 4
Височината, спусната от върха на директния ъгъл на правоъгълния триъгълник, е равна на корена на квадрата на дължините на сегментите, към които разделя хипотенузата.
Решението изглежда очевидно, ако знаете оттеглянето на теоремата Pythagoree от сходството на триъгълниците:
(Mathrm (tg) бета \u003d frac (h) (c_1) \u003d frac (c_2) (h),
Където (h ^ 2 \u003d c_1c_2).
Намерете геометричното местоположение (GMT) пресичане на средата на всички видове правоъгълни триъгълници, чиято хипотенуза е фиксирана.
Точката на пресичане на медианата на всеки триъгълник се отрязва от средната една трета, като се брои от точката на нейното пресичане със съответната страна. В правоъгълен триъгълник средата, проведена от директен ъгъл, е равна на половината от хипотенузата. Следователно, желаният GMT е кръг от радиус, равен на 1/6 от дължината на хипотенузата, с център в средата на тази (фиксирана) хипотенуза.
Урок по тема
Средната линия на триъгълника
Цели Урок
Консолидиране на познанията за учениците за триъгълниците;
Въведете ученици с такава концепция като средната линия на триъгълника;
Образуват познания за учениците за свойствата на триъгълниците;
Продължават да учат децата да прилагат свойствата на цифрите при решаване на задачи;
Развиват логическо мислене, нетрайност и внимание на учениците.
Урок за задачите
Образуват познания за учениците за средната линия на триъгълниците;
Проверете знанията на учениците по темите за триъгълниците;
Проверете уменията на учениците за решаване на проблеми.
Развиват интерес към учениците до точни науки;
Продължават да формират уменията на учениците да изразят мислите си и да притежават математическия език;
План на урока
1. средната линия на триъгълника. Основни понятия.
2. средната линия на триъгълника, теореми и свойства.
3. Повторение на изучавания по-рано материали.
4. основните линии на триъгълника и техните свойства.
5. Интересни факти от областта на математиката.
6. Домашна работа.
Средната линия на триъгълника
Средната линия на триъгълника се нарича такъв сегмент, който свързва средата на двете страни на този триъгълник.
Във всеки триъгълник има три средни линии, които образуват друг нов триъгълник, разположен вътре.
Версиците на новосформирания триъгълник са в средата на страните на този триъгълник.
Всеки триъгълник има способността да прекара три средни линии.
Сега нека да спрем подробно по тази тема. Погледнете чертежа на триъгълника на върха. Преди вас ABC триъгълник, на който се държи средната линия. Сегменти MN, MP и NP се образуват в този триъгълник друг триъгълник на MNP.
Свойства на средната линия на триъгълника
Всяка средна линия на триъгълника, свързваща средата на страните си, има следните свойства:
1. Средната линия на триъгълника е успоредна на третата страна и е равна на половината си.
Така виждаме, че страната на AU е успоредна на MN, която е два пъти по-малка от страната на AU.
2. Средните линии на триъгълника го разделят на четири равни триъгълника.
Ако погледнем към Триъгълника на ABC, ще видим, че средните линии MN, MP и NP са разделени на четири равни триъгълника, и в резултат на това са оформени MBN, PMN, NCP и AMP триъгълници.
3. Средната линия на триъгълника се прекъсва от този триъгълник подобен, чиято площ е равна на един четвърти източник триъгълник.
Например, в Thiangle ABC, средната депутат отрязва от този триъгълник, образувайки триъгълника на усилвателя, площта на която е равна на един четвъртият триъгълник на ABC.
Триъгълници
В предишните класове вече сте изучавали такава геометрична форма като триъгълник и знаете какви триъгълници са, това, което те се различават и какви са притежаваните имоти.
Триъгълникът се отнася до най-простите геометрични фигури, които имат три страни, три ъгъл и площта им са ограничени до три точки и три раздела, които двойки свързват тези точки.
Така че си спомняме дефиницията на триъгълник и сега нека повторим всичко, което знаете за тази цифра, отговаряйки на въпроси:
4. Какви видове триъгълници вече сте учили? Ги избройте.
5. Дайте дефинициите на всеки от видовете триъгълници.
6. Какво е областта на триъгълника?
7. Каква е сумата на ъглите на тази геометрична форма?
8. Какви видове триъгълници сте познати? Назовете ги.
9. Какво знаете триъгълниците върху вида на равни партии?
10. Дайте определението за хипотензи.
11. Колко остри ъгли могат да бъдат в триъгълник?
Основните линии на триъгълника
Основните триъгълни линии включват: медиана, бисектор, височина и медиана перпендикулярна.
Медиана
Средният триъгълник се нарича сегмент, който свързва върха на триъгълника от средата на противоположната страна на този триъгълник.
Свойства Средни триъгълник
1. разделя триъгълника в два други равни в областта;
2. Всички медиани от тази фигура се пресичат в една точка. Тази точка ги споделя по отношение на две към едно, като се започне отброяването отгоре и се нарича център на тежестта на триъгълника;
3. Медиаците споделят този триъгълник до шест ареометрични.
Бисектор
Лъч, който излиза от върха и минава между страните на ъгъла, разделя го наполовина, се нарича бисектор на този ъгъл.
И ако сегментът на ъгъла бисектор го свързва с връх с точка, която се намира от противоположната страна на триъгълника, след което се нарича триъгълник.
Свойства на бисекторния триъгълник
1. Ъгълът на бисектора е геометричното местоположение на точките, които са равносилни на страните на този ъгъл.
2. Бисерът на вътрешния ъгъл на триъгълника разделя противоположната страна на сегментите, които са пропорционални на съседните страни на триъгълника.
3. Центърът на кръга, вписан в триъгълника, е точката на пресичане на бисекта на тази цифра.
Височина
Перпендикулярно, което се извършва от върха до фигурата до права линия, което е противоположната страна на триъгълника, се нарича височина.
Свойства на триъгълни височини
1. Височината, проведена от върха на директния ъгъл, разделя триъгълника на две подобни.
2. Ако триъгълникът е остър, тогава две височини отрязаха този триъгълник към него като.
Общински перпендикулярни
Средният триъгълник перпендикулярът се нарича директно, който преминава през средата на сегмента, който се намира перпендикулярно на този сегмент.
Свойства на средния триъгълник перпендикулярни
1. Всяка точка от средната перпендикулярна на сегмента е равна на нейните краища. В този случай обратното изявление ще бъде вярно.
2. Точката на пресичане на средната перпендикулярна, която се извършва до страните на триъгълника, е центърът на кръга, който е описан близо до този триъгълник.
Интересни факти от областта на математиката
Независимо дали ще научи новината за вас, че за дешифрирането на тайната кореспонденция на Испания Франсоа Вата искаше да изпрати на огъня, защото вярваха, че само дяволът може да знае шифъра и не може да бъде сили.
Знаете ли, че първият човек, който предложи броя на столовете, редиците и местата е Рена Декартс? Театралните аристократи дори помолиха на царя на Франция да даде на Декарт за тази награда, но уви, царят отказал, тъй като вярваше, че да даде награда на философ - това е по-ниско от неговото достойнство.
Заради учениците, които биха могли да си спомнят теоремата на Питагора, но не можеха да го разберат, тази теорема се наричаше "магарест мост". Това означаваше, че студентът на магарето, който не може да преодолее моста. В този случай мостът се счита за теорема на Питагора.
FALE писателите посветиха творбите си не само от митични герои, хора и животни, но и математически символи. Така например авторът на известната "червена шапка" написа една приказка за любовта на кръвообращението и линията.
Домашна работа
1. Преди да сте изобразени три триъгълника, дайте отговор, линията се провежда в триъгълниците?
2. Колко средни линии могат да бъдат построени в един триъгълник?
3. Дан триъгълник ABC. Намерете ABS триъгълните страни, ако средните ни линии имат такива размери: от \u003d 5.5 cm, fn \u003d 8 cm, on \u003d 7 cm.
Средната линия на трапеца и особено нейните свойства, много често се използва в геометрията, за да решава проблеми и доказателства за определени теореми.
- Това е четириъгълник, който има само 2 партии успоредни един на друг. Паралелните страни се наричат \u200b\u200bоснования (на фигура 1 - АД и Пр. Хр.), две други - страна (на снимката AB. и CD.).
Средна линия трапец - Това е сегмент, свързващ средата на страничните й страни (на фигура 1 - КЛ.).
Свойства на средната линия
Доказателство за теоремата на средната линия
ДокажиТя е равна на средната линия на трапеца, равна на половината от основата и е успоредна на тези основания.
Дана трапец ABCD. със средна линия КЛ.. За да се докаже разглежданите имоти, е необходимо да се изразходват директно чрез точки. Б. и Л.. Фигура 2 е права линия Bq.. Както и продължават основата АД преди пресечката с права Bq..
Помислете за получените триъгълници LBC. и LQD.:
- По дефиниция на средната линия КЛ. точка Л. е среден разрез CD.. От това следва, че сегментите Cl. и Ld. равен.
- ∠ BLC. = ∠ qld.Тъй като тези ъгли са вертикални.
- ∠ BCL. = ∠ LDQ.Тъй като тези ъгли ще покриват в ход с паралелни прави линии АД и Пр. Хр. И продажба CD..
От тези 3 равенства следва, че преди това обсъжданите триъгълници LBC. и LQD. равен на 1 страна и два съседни ъгли (виж фиг. 3). Следователно, ∠ LBC. = ∠ lqd., BC \u003d DQ. и най-важното нещо - Bl \u003d lq. => КЛ.Средната линия на трапеца ABCD.също е средната линия на триъгълника ABQ.. Според собствеността на средната линия на триъгълника ABQ. Получаваме.
При решаването на планерични проблеми, в допълнение към страните на ъглите на фигурата, често се приемат други стойности - медиани, височини, диагонали, бисектор и др. Средната линия принадлежи на техния брой.
Ако оригиналният многоъгълник е трапец, тогава каква е неговата средна линия? Този сегмент е част от директното, което пресича страните на фигурата в средата и се намира успоредно на две други страни - основанията.
Как да намерим средна линия на трапеца през линията на средата и основата
Ако величината на горната и долната база е известна, тогава изразът ще бъде изчислен, за да се изчисли неизвестното:
a, B - бази, L е средната линия.
Как да намерим средна линия на трапеца през района
Ако данните за източника са налични в размера на фигурата, също така е възможно да се изчисли дължината на линията на трапеца. Използваме формула S \u003d (A + B) / 2 * H,
S - област,
H - Височина,
А, Б - основания.
Но тъй като l \u003d (a + b) / 2, след това s \u003d l * h, което означава l \u003d s / h.
Как да намерим средната трапецоидна линия през базата и ъглите с него
В присъствието на по-голяма основа на фигурата, неговите височини, както и известната степен на ъглите с нея, изразът за намиране на линията на средата на трапеца ще има следната форма:
l \u003d a - h * (ctga + ctgβ) / 2, докато
L - желаната стойност
А - по-голяма база
α, β - ъгли с него,
H е височината на фигурата.
Ако стойността на по-малка база е известна (с същите други данни), съотношението ще ви помогне да намерите средната линия:
l \u003d b + h * (ctga + ctgβ) / 2,
l - желаната стойност
b е по-малка база
α, β - ъгли с него,
H е височината на фигурата.
Намерете средната линия на трапеза през височината, диагоналните и ъглите
Помислете за ситуацията, когато в условията на проблема има стойности на диагоналите на фигурата, ъглите, които те образуват, пресичат един друг, както и височината. Изчислете средната линия, като използвате изрази:
l \u003d (d1 * d2) / 2H * sinγ или l \u003d (d1 * d2) / 2H * sinφ,
l - линия на средата,
D1, D2 - диагонал,
φ, γ - ъгли между тях,
H е височината на фигурата.
Как да намерим средната линия на трапезата на уравнена фигура
В случай, че основната фигура - трапецът е свободен, горните формули ще имат следната форма.
- В присъствието на ценности на основите на трапезата на промените в израза, това няма да се случи.
l \u003d (a + b) / 2, a, b - база, l е средната линия.
- Ако височината, базата и ъгъла са известни, в непосредствена близост до нея:
l \u003d a - h * ctgα,
L \u003d b + h * ctgα,
l - линия на средата,
A, B - Основи (B< a),
α - ъгли с него,
H е височината на фигурата.
- Ако страната на трапеза е известна и една от основата, тогава можете да дефинирате желаната стойност, като се свържете с експресията:
l \u003d a-√ (c * c-h * h),
L \u003d b + √ (c * c-h * h),
L - линия на средата,
A, B - Основи (B< a),
H е височината на фигурата.
- С известни стойности на височината, диагонали (и те са равни един на друг) и ъглите, образувани в резултат на тяхното пресичане, интериорната линия може да бъде намерена, както следва:
l \u003d (d * d) / 2H * sinγ или l \u003d (d * d) / 2H * sinφ,
l - линия на средата,
D - диагонал,
φ, γ - ъгли между тях,
H е височината на фигурата.
- Площад и височината на фигурата са известни, след това:
l \u003d s / h,
S - област,
H - Височина.
- Ако перпендикулярната височина е неизвестна, тя може да бъде определена чрез определяне на тригонометрична функция.
h \u003d c * sinα, така че
L \u003d s / c * sinα,
L - линия на средата,
S - област,
С - страна,
α-ъгъл в основата.
Средната линия на триъгълника е интересен характеризивен сегмент, тъй като има няколко свойства, които ви позволяват да намерите просто решение за привидно сложна задача. Затова помислете за основните свойства на средната линия и говорете как да намерите продължителността на този сегмент в триъгълника.
Триъгълник и характеризиращи се сегменти
Триъгълникът е фигура, състояща се от три страни и три ъгли. В зависимост от ъглите, триъгълниците са разделени на:
- Otterugal
- Мек
- Правоъгълна
Фиг. 1. Видове триъгълници
Основните характеризивни сегменти на триъгълника са:
- Медиана - Намалете свързването на върха от средната страна.
- Бисектор - сегмент Разделен ъгъл наполовина
- Височина - перпендикулярно, спуснато от върха на триъгълника в обратна посока.
Фиг. 2. Височина, медиана и бисектор в триъгълник
За всеки от характеризиращите се сегменти има своя собствена точка на пресичане. Когато свързвате три точки на пресичане, средната, бисектор и височини са златното напречно сечение на триъгълника.
Въпреки това, съществуват редица допълнителни характеризивни сегменти:
- Средна перпендикулярна - Височина, възстановена от средата на височината. Като правило средната перпендикулярна продължи до пресичането от другата страна.
- средна линия - Намаляване Свързване на средата на съседните страни.
- Радиус е вписан кръг. Вписаният кръг е кръг, който се отнася до всяка страна на триъгълника.
- Радиуса на описания кръг. Описаният кръг е кръг, съдържащ всички страни на триъгълника.
Съседните страни на триъгълниците наричат \u200b\u200bстраните, които имат общ връх. В геометрията има концепция за противоположни страни, т.е. Страни, които лежат един срещу друг и нямат общи върхове. Но тази концепция за триъгълници не е приложима - всяка двойка партита в триъгълника са съседни.
Средна линия
Свойствата на средната линия не са толкова много, но всички те имат значение при решаването на задачите. Факт е, че задачите за намиране на дължината на средната линия не са достатъчни и затова някои от тях са в състояние да построят ученик в ступор с цялата си простота.
Затова даваме и обсъждаме всички свойства на средната линия на триъгълника:
- Средната линия е равна на половината от основата. Като цяло, по-правилно е да се каже не половината от основата, а половината от противоположната страна. От страните в триъгълника 3 и основата е само една. Но като цяло, основата може да се счита за някоя от страните на триъгълника, така че такава формулировка се счита за допустима. Освен това е по-лесно да се научите. Като цяло, според този имот, е определена дължината на средната линия на триъгълника.
- Средната линия е успоредна на основата. С концепцията на Фондацията тук е една и съща ситуация, както в миналото.
- Средната линия се отрязва от триъгълника малък подобен триъгълник с коефициент на прилика от 0.5
- Три средни линии разделят триъгълник на 4 равни триъгълника, подобни на голям триъгълник с коефициент на прилика от 0.5
Фиг. 3. Средни линии в триъгълник
Действителната формула на средната дължина на дължината от втория имот:
$ M \u003d 1 над (2) * $ - където m е средната линия, страната е противоположна средна линия.
Какво знаехме?
Говорихме за вторичните характеризивни сегменти, подчертавайки средната линия. Те водят свойствата на средните линии и говориха за характеристиките на формулирането на тези свойства. Те описват как се показва формулата за дължината на средната линия на триъгълника и как средната линия прекъсва триъгълника. Всички тези свойства се използват при решаване на триъгълници.
Тест по темата
Оценка на статията
Среден рейтинг: 4.3. Получени са общите рейтинги: 174.
