Проучването на функцията за непрекъснатост в точката се извършва на вече позритърната рутинна схема, която трябва да провери трите условия на непрекъснатост:

Пример 1.

Разгледайте функцията за непрекъснатост. Определят естеството на почивките на функцията, ако те съществуват. Извършване на чертеж.

Решение:

1) Под гледката е единствената точка, в която функцията не е дефинирана.

Едностранните граници са ограничени и равни.

Така, в точката, функцията страда от разпоредби за еднократна употреба.

Как изглежда една графика на тази функция?

Искам да бъда опростен и изглежда, че е обичайната парабола. НО Първоначалната функция не е дефинирана в точката, така че се изисква следната резервация:

Извършете чертеж:

Отговор: Функцията е непрекъсната по цялата цифрова директна, с изключение на точката, в която се изтегля с пролука за еднократна употреба.

Функцията може да се направи добро или не по много начин, но при условие това не се изисква.

Казвате ли пример? Въобще не. Десетки пъти се срещнаха на практика. Почти всички задачи на сайта идват от истински независими и тестови работи.

Ние сме разделени с любимите ви модули:

Пример 2.

Разгледайте функцията За приемственост. Определят естеството на почивките на функцията, ако те съществуват. Извършване на чертеж.

Решение: По някаква причина учениците се страхуват и не харесват функции с модул, въпреки че нищо не се усложнява. Вече докоснахме такива неща малко в урока. Геометрични трансформации на диаграма. Тъй като модулът не е отрицателен, той се разкрива, както следва: където "алфа" е някакъв израз. В този случай нашата функция трябва да подпише парче:

Но фракциите на двете части трябва да бъдат намалени. Намаляването, както в предишния пример, няма да премине без последствия. Първоначалната функция не е дефинирана в точката, тъй като знаменателят добавя към нула. Следователно системата следва допълнително да определи състоянието и първото неравенство трябва да бъде строго:

Сега за много полезно решение на решението.: Преди да приключи, задачата в проекта е печеливша да направи чертеж (независимо от това дали се изисква от условието или не). Това ще помогне, първо, незабавно да видите точките на непрекъснатостта и точка за разликата, и второ, 100% ще спестят от грешки при намирането на едностранни граници.

Изпълнява рисунка. В съответствие с нашите изчисления, отляво на точката, е необходимо да се направи парабола фрагмент (син), а отдясно - парче парабола (червено), а функцията не е дефинирана в точката:

Ако има съмнения, вземете няколко "x" стойности, заместйте ги на функцията (Без да забравяте, че модулът унищожава възможния "минус" знак) и проверява графика.

Ние проучваме функцията за аналитично:

1) Функцията не е дефинирана в точката, така че можете веднага да кажете, че тя не е непрекъсната в нея.

2) Установете естеството на пропастта, за това изчисляваме еднопосочни граници:

Еднопосочните граници са крайни и различни, това означава, че функцията се толерира пропастта на първия род с скок в точката. Имайте предвид, че няма значение, функцията е дефинирана в точката на прекъсване или не.

Сега остава да се движи рисунка от проекта (той е направен така, сякаш използва проучването ;-)) и изпълнете задачата:

Отговор: Функцията е непрекъсната по цялата цифрова директна, с изключение на точката, в която толерира първия вид пролука с скока.

Понякога трябва допълнително да посочите скок за изтичане. Изчислено е, че е елементарно - от правилната граница трябва да приспадне левия лимит: т.е. в точката на прекъсване, нашата функция скочи с 2 единици надолу (както казваме "минус" знак).

Пример 3.

Разгледайте функцията За приемственост. Определят естеството на почивките на функцията, ако те съществуват. Направете равенство.

Това е пример за независим разтвор, примерен разтвор на проби в края на урока.

Нека се обърнем към най-популярната и обща версия на задачата, когато функцията се състои от три части:

Пример 4.

Разгледайте функцията за непрекъснатост и изградете функционална графика

Решение: Очевидно всичките три части на функцията са непрекъснати на съответните интервали, така че остава да се проверят само две точки "съвместно" между парчетата. Първо, ще извърша рисунка по проекта, строителната техника, се оплаквах доста подробно в първата част на статията. Единственият, е необходимо внимателно да се проследи нашите специални точки: поради неравенство, стойността принадлежи на права линия (зелена точка) и по силата на неравенството, стойността принадлежи на параболе (червена точка):

Е, по принцип всичко е ясно \u003d) остава да вземе решение. За всеки от двете "задници" в стандартните условия за непрекъснатост:

Еднопосочните граници са крайни и различни, това означава, че функцията се толерира пропастта на първия род с скок в точката.

Изчислете пропастта скок като разликата между десните и левите граници:
Това означава, че графикът се втурна към една единица нагоре.

Ii) Разгледайте точка за непрекъснатост

1) - функцията е дефинирана в този момент.

2) Ще намерим еднопосочни граници:

- едностранните граници са ограничени и равни, което означава, че има общ лимит.

На последния етап прехвърляме чертежа до първия Чистик, след което поставяме последния акорд:

Пример 5.

Разгледайте приемствеността и изградете своя график .

Това е пример за независимо решение, кратко решение и примерна извадка от дизайна на задачите в края на урока.

Може да е впечатлението, че в една точка функцията трябва непременно да бъде непрекъсната, а в друга - трябва да бъде празнина. На практика това не винаги е така. Опитайте се да не пренебрегвате останалите примери - ще има няколко интересни и важни чипа:

Пример 6.

Дана Хартия . Разгледайте функцията за непрекъснатост в точки. Изграждане на диаграма.

Решение: И отново ще изпълня тегленето в проекта:

Характеристиката на този график е, че с част от функцията е настроено уравнението на оста на абсциса. Тук тази област е привлечена от зелено, а в преносимия компютър обикновено се избухва с прост молив. И, разбира се, не забравяйте за нашите овни: стойността се отнася до допирателната клон (червена точка) и стойността принадлежи на линията.

От чертежа, всичко е ясно - функцията е непрекъсната по цялата цифрова линия, остава да се направи решение, което се довежда до пълен автоматизъм буквално след 3-4 такива примера:

I) Разгледайте точка за непрекъснатост

2) Изчислете еднопосочни граници:

Така съществува общото ограничение.

Това се случи тук малко любопилки. Факт е, че създадох много материали относно границите на функциятаИ исках няколко пъти, но няколко пъти забравих за един прост въпрос. И така, невероятните усилия ще се накарат да не загубят мисълта си \u003d) най-вероятно някои читатели "детики" съмнение: какво е постоянната граница? Константната граница е равна на самата констант. В този случай нулевият лимит е нулев (ляво ограничение).

3) - Граничната функция в точката е равна на стойността на тази функция в този момент.

Така функцията е непрекъсната в точката, за да се определи непрекъснатостта на функцията в точката.

Ii) Разгледайте точка за непрекъснатост

1) - функцията е дефинирана в този момент.

2) Ще намерим еднопосочни граници:

И тук, в дясната граница - лимитът на устройството е равен на самия единство.

- общото ограничение съществува.

3) - Граничната функция в точката е равна на стойността на тази функция в този момент.

Така функцията е непрекъсната в точката, за да се определи непрекъснатостта на функцията в точката.

Както обикновено, след проучването, ние прехвърляме нашия чертеж в Чистастик.

Отговор: Функцията е непрекъсната в точки.

Моля, обърнете внимание, че в състоянието не е поискало нищо за изучаването на цялата функция на приемственост и се счита за добър математически тон точни и ясни Отговора на въпросния въпрос. Между другото, ако чрез условие не е необходимо да се изгради график, тогава имате пълното право на това и да не изграждате (обаче, тогава учителят може да го направи).

Малка математическа "трошене" за независимо решение:

Пример 7.

Дана Хартия .

Разгледайте функцията за непрекъснатост в точки. Класифицират точките за пропаст, ако са. Извършване на чертеж.

Опитайте се да "отблъснете" всички "думи" \u003d) и графикът да привлече по-точна, точност, тя няма да бъде твърде много ;-)

Както помните, препоръчвам незабавно да рисувате чертежа на проекта, но от време на време има такива примери, където няма да разберете веднага как изглежда графикът. Ето защо, в някои случаи е изгодно първо да се намери едностранни граници и едва тогава въз основа на проучването, изобразяващи клоновете. В два окончателни примера, ние, освен това, ще овладеем техниката за изчисляване на някои едностранни граници:

Пример 8.

Проучване на функцията за непрекъснатост и изграждане на нейната схема.

Решение: Лошите точки са очевидни: (изтегля знаменател на индикатора до нула) и (нарисува деномотер на цялата фракция до нула). Малко, както изглежда графикът на тази функция, и следователно е по-добре да се проведе проучване.

I)Разгледайте точка за непрекъснатост

2) Ще намерим еднопосочни граници:

обърни внимание на типично приемане на изчисляването на еднопосочната граница: Функцията вместо "iksa" заменим. В знаменателя без престъпление: "Добавка" "минус нула" не играе роли и се получава "четири". Но в числителя има малък трилър: първо в знаменателя, убиваме -1 и 1, което води до резултата. Юнайтед е равен на "минус безкрайност", следователно :. И накрая, "двойно" в безкрайно голяма негативна степен равен на нула :. Или, ако е повече Прочетете повече: .

Изчислете границата на дясната ръка:

И тук - вместо "Iksa" заменим. В знаменател "добавка" отново не възпроизвежда ролите :. Нулката се извършва, подобна на предишната граница на действие: ние унищожаваме противоположните числа и разделяме устройството :

Правилният лимит е безкраен, това означава, че функцията страда от пропастта на втория вид в точката.

Ii)Разгледайте точка за непрекъснатост

1) Функцията не е дефинирана в този момент.

2) Изчислете левия лимит:

Методът е един и същ: заместваме функцията вместо "IKSA". В число, нищо интересно е окончателното положително число. И в знаменателя разкриваме скобите, премахваме "тройката" и решаващата роля се играе от "добавката".

Според финала крайното положително число, разделено на безкрайно малък положителен брой, дава "плюс безкрайност" :.

Дясната граница като брат близнак, само изключението, че знаменателят плува безкрайно малък отрицателен брой:

Еднопосочните граници са безкрайни, това означава, че функцията страда от разликата на втория род в точката.

По този начин имаме две точки и, очевидно три спирачни клона. За всеки клон е препоръчително да се извърши текущото строителство, т.е. Вземете няколко "x" ценности и ги замените. Имайте предвид, че при условие е разрешено да се изгради конвенционална степен и такава релаксация е естествена за ръчно изработени. Аз изграждам графики с помощта на програмата, така че нямам такава трудност, ето доста точна картина:

Право са вертикален асимптотами За графиката на тази функция.

Отговор: Функцията е непрекъсната по цялата цифрова директна, с изключение на точките, в които толерира почивките на втория вид.

По-проста функция за саморешения:

Пример 9.

Разгледайте функцията за непрекъснатост и извършете схематичен рисун.

Примерен разтвор за проби в края, който избухва незабелязано.

Ще се видим скоро!

Решения и отговори:

Пример 3:Решение : Конвертираме функцията: . Като се има предвид правилото за разкриване на модула и факта, че , пренапишете функцията в формуляр:

Ние изследваме функцията за приемственост.

1) функцията не е дефинирана в точката .

Едностранните граници са ограничени и различни, това означава, че функцията се толерира за разликата на първия род с скок в точката . Извършете чертеж:

Отговор: Функцията е непрекъсната при всички цифрови директни, с изключение на точката в която тя толерира първия вид междина с скок. Gap Jump: (Две единици).

Пример 5:Решение : Всяка от трите части на функцията е непрекъсната на своя интервал.
I)
1)

2) Изчислете еднопосочни граници:

Така съществува общото ограничение.
3) - Граничната функция в точката е равна на стойността на тази функция в този момент.
Така функцията Непрекъснато в точка Чрез определяне на непрекъснатостта на функцията в точката.
Ii) Разгледайте точка за непрекъснатост

1) - функцията е дефинирана в този момент. Функцията толерира пропастта на втория вид, в точката

Как да намерим област на дефиниране на функция?

Примери за решения

Ако някъде няма нещо, тогава някъде има нещо

Продължаваме да изследваме секцията "Функции и графики" и следващата станция на нашето пътуване - Област на дефиниране на функции. Активното обсъждане на тази концепция започна в първия урок за графики на функциитекъдето погледнах елементарни функции и по-специално тяхната област определение. Затова препоръчвам да започнете чайник с Азов, защото отново няма да спра на някои основни моменти.

Предполага се, че читателят знае областта на определянето на основните функции: линейна, квадратична, кубична функция, полиноми, експоненциални, логаритъм, синус, косинус. Те са дефинирани. За допирателните, арцинусите, така че бъдете, goodbye \u003d) повече редки графики не се запомнят незабавно.

Районът на дефиницията - изглежда, че е просто нещо и възниква естествен въпрос, каква ще бъде статията? В този урок ще разгледам общите задачи да намеря зоната за определяне на място. В допълнение, повтарям неравенство с една променлива, чиито умения за решение ще бъдат необходими в други задачи по висша математика. Между другото, цялото училище, така че ще бъде полезно не само за учениците, но и на учениците. Информацията, разбира се, не се преструва на енциклопедизирането, но тук не се измислят "мъртви" примери, но пържени кестени, които са взети от тези практически труд.

Да започнем с Express SUCT по темата. Накратко за най-важното: ние говорим за функцията на една променлива. Неговата област на дефиниция е много "x" стойностиза което . \\ t Ценностите на "Игареков". Помислете за условен пример:

Областта на дефиницията на тази функция е пресичането на пропуските:
(За тези, които са забравили: - иконата на Съюза). С други думи, ако вземете някакво значение на "X" от интервала, или от, или навън, тогава за всеки такъв "x" ще съществува значението на "Igrek".

Грубо казано, където има област на дефиниция, има функционален график. Но половин интервал и точката "СЕ" не са включени в областта на дефиницията, така че там няма графики.

Да, между другото, ако нещо не е ясно от терминологията и / или съдържанието на първите параграфи, по-добре е да се върне в статията Графики и свойства на елементарните функции.

Функция за непрекъснатост. Точка на разкъсване.

Има бик, люлеещ се, въздишвай в движение:
- О, борда свършва, сега ще падна!

В този урок ще анализираме концепцията за непрекъснатост на функцията, класифициране на пропуските и обща практическа задача изследователски функции за приемственост. От самото име на темата много интуитивно осъзнават какво ще бъде изразходвано и мисля, че материалът е доста прост. Вярно е. Но именно простите задачи най-често са наказвани за пренебрежение и повърхностен подход за решаването им. Затова препоръчвам да проучите статията много внимателно и да уловите всички тънкости и технически техники.

Какво трябва да знаете и да можете?Не много много. За висококачествен урок по учене е необходимо да се разбере какво е функционална лимит. Ниските читатели на подготовка са достатъчни, за да разберат статия Граници на функции. Примери за решения и вижте геометричното значение на лимита в методите Графики и свойства на елементарните функции. Също така е препоръчително да се запознаете геометрични трансформации на диаграмаТъй като практиката в повечето случаи включва изграждане на чертеж. Перспективите са оптимисти за всички и дори пълен чайник ще може да се справя самостоятелно с задачата в следващия час - друг!

Функция за непрекъснатост. Rippoints и тяхната класификация

Концепцията за функция за непрекъснатост

Помислете за някаква функция, непрекъснато по цялата цифрова линия:

Или, говорим по-кратка, нашата функция е непрекъсната (няколко номера).

Какъв е "филистимният" критерий за приемственост? Очевидно може да се направи диаграма на непрекъсната функция, без да се вземат молив от хартия.

В същото време трябва ясно да се разграничат две прости концепции: област на дефиниране на функции и функция за непрекъснатост. Общо взето това не е същото. Например:

Тази функция е дефинирана на цялата цифрова линия, т.е. всеки Знанията "X" съществуват значението на "Игри". По-специално, ако след това. Обърнете внимание, че друга точка на населението, защото по дефиниция на функцията стойността на аргумента трябва да съответства единственото нещо Стойността на функцията. По този начин, домейн Нашата функция :.

но тази функция не е непрекъсната! Очевидно, в точката, която толерира пробив. Терминът също е доста разбираем и посетен, всъщност, молив тук за всеки, който ще трябва да откъсне хартията. Малко по-късно ще разгледаме класификацията на точките за пропаст.

Непрекъснатост на функцията в точката и на интервала

В конкретен математически проблем можем да говорим за непрекъснатостта на функцията в точката, непрекъснатостта на функцията на интервала, полу-интервала или непрекъснатостта на функцията на сегмента. I.e, няма "просто приемственост" - Функцията може да бъде непрекъсната някъде. И фундаменталната "тухла" от всичко останало е функция за непрекъснатост в точка .

Теорията на математическия анализ дава на дефиницията за непрекъснатост на функцията в точка с помощта на делта и епсилон на околността, но на практика, друга дефиниция, която ще обърнем специално внимание.

Първо помнете едностранни границикойто избухна в живота ни в първия урок за графики на функциите. Помислете за седмична ситуация:

Ако се приближите до оста до точката наляво (Червена стрелка), след това съответните стойности на "Igarek" ще вървят по оста до точката (стрелата на малина). Математически, този факт е фиксиран с граница на лявата страна:

Обърнете внимание на вписването (IKS чете вляво "). "Добавка" "минус нула" символизира Всъщност това означава, че ние се приближаваме от лявата страна.

По същия начин, ако се приближи до точката "KA" на дясно (синя стрела), тогава "запалването" ще дойде в същото значение, но вече на зелената стрелка и дясно лимит ще бъде както следва:

"Добавка" символизира И записът се чете така: "X се стреми къмдясно".

Ако едностранните граници са ограничени и равни (както в нашия случай): Ще кажем, че има общ лимит. Всичко е просто, общото ограничение е нашето "обичайно" функционална лимитравен на крайния номер.

Обърнете внимание, че ако функцията не е дефинирана при (попълнете черната точка на клона на графиката), тогава изброените изчисления остават валидни. Както многократно отбеляза, по-специално в статията за безкрайно малки функции, изразите означават, че "X" безкрайно затворени се приближава към точката едновременно НЕУМЕСТЕНСамата функция е дефинирана в този момент или не. Добър пример ще бъде изпълнен в следващия параграф, когато се анализира функцията.

Дефиниция: Функцията е непрекъсната в точката, ако границата на функцията в тази точка е равна на функционалната стойност в този момент :. \\ T

Дефиницията е подробна при следните условия:

1) Функцията трябва да бъде дефинирана в точката, т.е. трябва да има стойност.

2) Трябва да има обща граница на функцията. Както е отбелязано по-горе, то предполага съществуване и равенство на еднопосочни граници: .

3) Границата на функцията в този момент трябва да бъде равна на стойността на функцията в този момент :. \\ T

Ако е нарушено поне един От трите условия функцията губи собствеността на непрекъснатост в точката.

Функция за непрекъснатост на интервала Формулирайте остроумен и много прост: функцията е непрекъсната на интервала, ако тя е непрекъсната във всяка точка на този интервал.

По-специално, много функции са непрекъснати на безкраен интервал, т.е. по различни валидни числа. Това е линейна функция, полином, експонент, синус, косинус и т.н. и като цяло, всеки елементарна функция Непрекъснато в мина определени областиНапример, логаритмичната функция е непрекъсната на интервала. Надявам се да стана достатъчно за този момент, как изглеждат графиките на основните функции. За повече информация относно тяхната приемственост можете да научите от добър човек от името Фихентхот.

С непрекъснатостта на функцията на сегмента и полу-интервалите, всичко също е просто, но е по-подходящо да се каже в урока за намиране на минимални и максимални стойности на функцията на сегментаМеждувременно няма да забиваме главата ви.

Класификация на точките на разкъсване

Очарователният живот на функциите е богат на всякакви специални точки, а пропастта са само една от страниците на тяхната биография.

Забележка : Само в случай, че ще се съсредоточа върху елементарния момент: точката на пролуката е винаги разделена точка - Няма "няколко точки на счупване подред", т.е. няма такова нещо като "интервал на счупване".

Тези точки на свой ред са разделени на две големи групи: първия вид пропуски и от втория вид. Всеки вид разкъсване има свои собствени характеристики, които гледаме сега:

Първа точка на прекъсване

Ако състоянието на непрекъснатостта е нарушено в точката и едностранни граници по-фин тогава се нарича точката на счупване на първия вид.

Нека започнем с най-оптимистичния случай. При първоначалната идея на урока исках да кажа на теорията "като цяло", но за да демонстрирам реалността на материала, спрях на вариант със специфични участници.

Снимката на младоженците е тъжна на фона на вечния пламък, но следващата рамка обикновено се приема. Снимки в функцията за график на чертежа:

Тази функция е непрекъсната по цялата цифрова директна, с изключение на точката. Всъщност знаменателят не може да бъде нула. Въпреки това, в съответствие със значението на лимита - можем безкрайно затворени Подхождайте към "нула" и отляво и надясно, т.е. съществуват едностранни граници и очевидно съвпадат:
(Завършване на непрекъснатостта 2).

Но функцията не е дефинирана в точката, следователно, условието за непрекъснатост 1 е нарушено и функцията се изтегля в този момент.

Счупване на такъв вид (със съществуващ общ лимит) Повикване разкъсване за еднократна употреба. Защо елиминираем? Защото функцията може зависимост На точката на прекъсване:

Изглежда странно? Може би. Но такъв запис на функцията не противоречи нищо! Сега пропастта се елиминира и всеки е щастлив:

Изпълнява официална проверка:

2) - съществува общото ограничение;
3)

Така се правят и трите условия и функцията е непрекъсната в точката, за да се определи непрекъснатостта на функцията в точката.

Въпреки това, Matana Haters могат да повлияят на функцията с лош начин, например :

Любопитно е, че тук са извършени първите две условия на непрекъснатост:
1) - функцията е дефинирана в този момент;
2) - общото ограничение съществува.

Но третата граница не се пътува: в точката има гранична функция не е равно Стойността на тази функция в този момент.

Така, в точката, функцията страда от почивка.

Вторият, толкова по-тъжен случай се нарича празнене първи вид с скок. И тъгата се изважда едностранна граница ограничени и различни. Пример е изобразен на втория чертеж на урока. Такава пропаст се случва като правило, в определени функциикоито вече са споменати в статията върху трансформациите на графиката.

Помислете за част от функцията на пай И изпълнете чертежа си. Как да изградим диаграма? Много просто. На половин интервал, параболът фрагмент (зелен), на интервала - права линия (червено) и на половин интервал - директен (син цвят).

В същото време, поради неравенството, стойността се определя за квадратична функция (зелена точка) и по силата на неравенството, стойността е дефинирана за линейна функция (синя точка):

В самия твърд случай случаят трябва да бъде прибягван до текущото изграждане на всяка част от графиката (виж първо урок за графики на функции).

Сега ще се интересуваме само от точката. Разгледайте го за приемственост:

2) Изчислете едностранни граници.

Отляво имаме червена линия, така че крайната граница:

Право - синя права и дясна граница:

В резултат на това получено крайни номера, и те не е равно. След еднопосочни граници ограничени и различни: , след това нашата функция толерира празнина от първия ви вид с скок.

Логично е, че празнината не е елиминирана - функцията наистина не трябва да го прави и "не лепило", както в предишния пример.

Точки за прекъсване втори

Обикновено тази категория хитрост включва всички други случаи на разкъсване. Аз няма да изброя всичко, защото на практика на 99%, процентите на задачите ще ви посрещнат безкрайна почивка - Когато сте лесни или десни, и по-често и двата граница са безкрайни.

И, разбира се, най-подходящата картина - хипербола в точката нула. Тук и едностранният лимит са безкрайни: Следователно функцията толерира разликата в секундата в точката.

Опитвам се да попълня статиите си с най-разнообразното съдържание, така че нека погледнем графика на функция, която все още не е изпълнила:

Съгласно стандартната схема:

1) Функцията не е дефинирана в този момент, тъй като знаменателят се отнася до нула.

Разбира се, можете веднага да заключите, че функцията страда от пропастта в точката, но би било добре да се класифицира естеството на пропастта, която често се изисква от условието. За това:

Напомням ви, че под записа се разбира безкрайно малък отрицателен бройи под записа - безкрайно малък положителен брой.

Еднопосочните граници са безкрайни, това означава, че функцията страда от разликата на втория род в точката. Ординатната ос е вертикална Asimptota. За график.

Ситуацията не е рядкост, когато съществуват и едностранни ограничения, но само един от тях е безкраен, например:

Това е графика на функция.

Разгледайте точката на непрекъснатост:

1) Функцията не е дефинирана в този момент.

2) Изчислете еднопосочни граници:

Ще говорим за метода за изчисляване на такива едностранни ограничения в последните два примера за лекцията, въпреки че много читатели вече са виждали и се досетиха.

Лявата граница е ограничена и равна на нула (в самата точка, която "не отиваме"), но дясната граница е безкрайна и оранжевият клон на графиката е безкрайно близо до неговата вертикална асимптотадефинирани от уравнение (черно пунктирано).

Така функцията толерира празнина от втория вид В точка.

Що се отнася до разликата на първия род, в точката на прекъсване, функцията може да бъде определена. Например, за функция на парче Смело постави черна удебелена точка в началото на координатите. Отдясно - клонът на хиперболите и дясната граница е безкрайна. Мисля, че почти всички представени как изглежда този график.

Това, което всички очакваха:

Как да разследваме функция за приемственост?

Пример 1.

Разгледайте функцията

Решение:

1) Под гледката е единствената точка, в която функцията не е дефинирана.

2) Изчислете еднопосочни граници:

Едностранните граници са ограничени и равни.

Така, в точката, функцията страда от разпоредби за еднократна употреба.

Как изглежда една графика на тази функция?

Извършете чертеж:

Функцията може да се направи добро или не по много начин, но при условие това не се изисква.

Ние сме разделени с любимите ви модули:

Пример 2.

Ние проучваме функцията за аналитично:

1) Функцията не е дефинирана в точката, така че можете веднага да кажете, че тя не е непрекъсната в нея.

2) Установете естеството на пропастта, за това изчисляваме еднопосочни граници:

Еднопосочните граници са крайни и различни, това означава, че функцията се толерира пропастта на първия род с скок в точката. Още веднъж, забележете, че когато намерите границите, няма значение, функцията се определя на точката на прекъсване или не.

Пример 3.

Това е пример за независим разтвор, примерен разтвор на проби в края на урока.

Нека се обърнем към най-популярната и обща версия на задачата, когато функцията се състои от три части:

Пример 4.

Разгледайте функцията за непрекъснатост и изградете функционална графика .

I) Разгледайте точка за непрекъснатост

Ii) Разгледайте точка за непрекъснатост

1) - функцията е дефинирана в този момент.

2) Ще намерим еднопосочни граници:

- едностранните граници са ограничени и равни, което означава, че има общ лимит.

3) - Граничната функция в точката е равна на стойността на тази функция в този момент.

На последния етап прехвърляме чертежа до първия Чистик, след което поставяме последния акорд:

Пример 5.

Разгледайте приемствеността и изградете своя график .

Пример 6.

Дана Хартия . Разгледайте функцията за непрекъснатост в точки. Изграждане на диаграма.

Решение: И отново ще изпълня тегленето в проекта:

От чертежа всичко е ясно - функцията е непрекъсната по цялата цифрова директна, тя остава да се направи решение, което е доведено до пълно автоматизъм буквално след 3-4 подобни примера:

I) Разгледайте точка за непрекъснатост

1) - функцията е дефинирана в този момент.

2) Изчислете еднопосочни граници:

Така съществува общото ограничение.

Тривиален факт ще ви напомня на всеки пожарникар: постоянната граница е равна на самата констант. В този случай нулевият лимит е нулев (ляво ограничение).

3) - Граничната функция в точката е равна на стойността на тази функция в този момент.

Така функцията е непрекъсната в точката, за да се определи непрекъснатостта на функцията в точката.

Ii) Разгледайте точка за непрекъснатост

1) - функцията е дефинирана в този момент.

2) Ще намерим еднопосочни граници:

И тук - лимитът на единицата е равен на самия единство.

- общото ограничение съществува.

3) - Граничната функция в точката е равна на стойността на тази функция в този момент.

Така функцията е непрекъсната в точката, за да се определи непрекъснатостта на функцията в точката.

Както обикновено, след проучването, ние прехвърляме нашия чертеж в Чистастик.

Отговор: Функцията е непрекъсната в точки.

Малка математическа "трошене" за независимо решение:

Пример 7.

Дана Хартия . Разгледайте функцията за непрекъснатост в точки. Класифицират точките за пропаст, ако са. Извършване на чертеж.

Пример 8.

Проучване на функцията за непрекъснатост и изграждане на нейната схема.

Решение: Лошите точки са очевидни: (изтегля знаменател на индикатора до нула) и (нарисува деномотер на цялата фракция до нула). Не е възможно как изглежда графикът на тази функция и следователно е по-добре да се проведе проучване.

Определяне на непрекъснатостта на функцията в точката. Считат еквивалентни дефиниции на Heine, Cauchy и по отношение на стъпките. Определяне на едностранно непрекъснатост в сегмента. Формулиране на липса на приемственост. Примери се разглобяват, в които е необходимо да се докаже непрекъснатостта на функцията, използвайки дефинициите на Heine и Cauchy.

Съдържание

Вижте също: Ограничение на функцията - определения, теореми и свойства

Приемственост в точка

Определяне на функцията за непрекъснатост в точка
Функция F. (х) Наречен непрекъснато в точка X 0 квартал U. (x 0) тази точка и ако лимитът, когато X се стреми към x 0 Има и равно на стойността на функцията в x 0 :
.

Тук се разбира, че x 0 - Това е крайната точка. Стойността на функцията в нея може да бъде само крайнен номер.

Дефиниране на приемственост вдясно (вляво)
Функция F. (х) Наречен непрекъснато вдясно (ляво) в точка x 0 Ако е дефиниран на някои дясно (ляво) квартал от тази точка, и ако дясната (лявата) лимит в точка X 0 равен на стойността на функцията в x 0 :
.

Примери

Пример 1.

Използване на дефиниции в Heine и Cauchy за доказване, че функцията е непрекъсната за всички x.

Нека има произволен брой. Доказваме, че посочената функция е непрекъсната в точката. Функцията е дефинирана за всички x. Следователно тя е дефинирана в точката и във всеки квартал.

Ние използваме дефиницията на Heine

Ние използваме. Нека да има произволна последователност, свързана с :. Използване на собственост Лимитността на последователностите, които имаме:
.
Тъй като тогава има и произволна последователност, която се колебае
.
Доказана е приемственост.

Ние използваме дефиниция на Cauchy

Ние използваме.
Помислете за случая. Имаме право да разгледаме функцията за всеки квартал на точката. Следователно ние приемаме това
(P1.1) .

Приложете формулата:
.
Като се има предвид (p1.1), ние ще оценим:

;
(P1.2) .

Прилагане (P1.2), ние оценяваме абсолютната стойност на разликата:
;
(P1.3) .
.
Според свойствата на неравенствата, ако се изпълнява (p1.3), ако и ако тогава.

Сега разгледайте въпроса. В такъв случай
.
.

.
Това означава, че функцията е непрекъсната в точката.

По същия начин може да се докаже, че функция, при която п е естествено число, е непрекъснато на цялата валидна ос.

Пример 2.

Използване, за да докаже, че функцията е непрекъсната за всички.

Посочената функция е дефинирана на. Доказваме, че тя е непрекъсната в точката.

Помислете за случая.
Имаме право да разгледаме функцията за всеки квартал на точката. Следователно ние приемаме това
(P2.1) .

Приложете формулата:
(P2.2) .
Слагам. Тогава
.

Като се има предвид (P2.1), ние ще направим оценка:

.
Така,
.

Прилагането на това неравенство и използване (P2.2), ние оценяваме разликата:

.
Така,
(P2.3) .

Въвеменяваме положителни номера и обвързани от отношенията:
.
Според свойствата на неравенствата, ако е изпълнено (P2.3), ако и ако тогава.

Това означава, че за всеки положителен винаги там. Тогава за всички X, удовлетворяването на неравенството, неравенството автоматично се извършва:
.
Това означава, че функцията е непрекъсната в точката.

Сега разгледайте въпроса. Трябва да покажем, че посочената функция е непрекъсната в този момент отдясно. В такъв случай
.
Въвеждаме положителни номера и:
.

Може да се види, че за всеки положителен винаги там. Тогава за всички X, така че се извършва неравенство:
.
Означава, че . Това означава, че функцията е непрекъсната вдясно в точката.

По подобен начин може да се докаже, че функция, в която n е естествено число, непрекъснато, когато.

Препратки:
O.i. Демони. Лекции по математически анализ. Част 1. Москва, 2004.
LD. Kudryavtsev. Курс на математически анализ. Том 1. Москва, 2003.
СМ. Николски. Курс на математически анализ. Том 1. Москва, 1983.

Вижте също:

Тази статия е за непрекъсната цифрова функция. За непрекъснати карти в различни раздели на математиката вижте непрекъснат дисплей.

Непрекъсната функция - функция без "скокове", така че малките промени в аргумента да доведат до малки промени в стойността на функцията.

Непрекъснато функциониране, общо казано, синоним Концепцията е непрекъснато картографиране, въпреки това този термин най-често се използва в по-тесен смисъл - за преобразувания между числени пространства, например, на реална линия. Тази статия е посветена на прецизно непрекъснати функции, определени в подгрупа от реални числа и получават реални стойности.

Енциклопедичен YouTube.

1 / 5

✪ непрекъснатост на функциите и точките за прекъсване

✪ 15 непрекъсната функция

✪ непрекъснати функции

✪ Математически анализ, 5 урок, непрекъснатост на функциите

✪ непрекъсната произволна променлива. Функция за разпространение

Субтитри

Дефиниция

Ако "фиксирате" функцията F (displessstyle f) В точката на разполагане за еднократна употреба и сложи f (a) \u003d lim x → a f (x) (displaysyle f (a) \u003d ограничения _ (x до a) f (x)), след това функцията е непрекъсната в този момент. Такава операция на функцията се нарича дефинирана функция за непрекъснато или определяне на функцията за непрекъснатосттова оправдава заглавието на точките като точки разполагаем Пулс.

Rippoint "скок"

Разликата "скок" се случва, ако

Lim x → a - 0 f (x) ≠ lim x → a + 0 f (x) (displaysyle] лимити _ (x на A-0) F (x) a + 0) f (x)).

Polyce прекъсване

Разкъсването на полюса се случва, ако един от едностранните граници е безкраен.

Lim x → a - 0 f (x) \u003d ± ∞ (displaySyle \\ tm \\ _ (x) \\ t или Lim x → a + 0 f (x) \u003d ± ∞ (displaysley lim граници _ (x на a + 0) f (x) \u003d pm infly). [ ]

Точка на есент

В точката на значителна почивка една от едностранните граници обикновено липсва.

Класификация на изолирани единични точки в R N, N\u003e 1

За функции F: r n → r n (displaySyle f: mathbb (r) ^ (n) на matbb (r) ^ (n)) и F: c → c (displessSyle f: mathbb (c) на matbb (c)) Няма нужда да работите с точки за разликата, но често е необходимо да работите със специални точки (точки, където функцията не е дефинирана). Класификация подобно.

Концепцията за "скок" липсва. В R (displessstyle mathbb (r)) Счита се за скок, в пространства с по-големи размери - значителна единична точка.

Имоти

Местни

Функция непрекъснато в точка A (dispresstyle a)е ограничен в някои съседство на тази точка.
Ако функцията F (displessstyle f) Непрекъснато в точка A (dispresstyle a) и F (a)\u003e 0 (DisplaySyle F (a)\u003e 0) (или F (а)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), T. F (x)\u003e 0 (DisplaySyle F (x)\u003e 0) (или f (x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) за всички X (displaySyle x), достатъчно близо до A (dispresstyle a).
Ако функции F (displessstyle f) и G (displaySyle g) Непрекъснато в точка A (dispresstyle a), след това функции F + G (DisplaySyle F + G) и F ⋅ g (displessSyle f cdot g) Също непрекъснато в точката A (dispresstyle a).
Ако функции F (displessstyle f) и G (displaySyle g) Непрекъснато в точка A (dispresstyle a) и където G (a) ≠ 0 (displaySyle g (a) neq 0), след това функция F / g (dispresstyle f / g) Също непрекъснато в точката A (dispresstyle a).
Ако функцията F (displessstyle f) Непрекъснато в точка A (dispresstyle a) и функция G (displaySyle g) Непрекъснато в точка b \u003d f (a) (displaySyle b \u003d f (a))след това техния състав H \u003d g ∘ f (displaySyle h \u003d g цирк f) Непрекъснато в точка A (dispresstyle a).

Global.

Компактен комплект), равномерно непрекъснат.
Функцията, непрекъснато на сегмента (или всеки друг компактен комплект), е ограничен и достига максималната и минималната си стойност върху нея.
Функционални стойности област F (displessstyle f)непрекъснато на сегмента е сегмент [Min f, max f], (displessstyle [min f, max f],) Където минимално и максимално приемане на сегмента [A, b] (дисплей).
Ако функцията F (displessstyle f) Непрекъснато на рязане [A, b] (дисплей) и F (а) f (b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} след това има точка, в която f (ξ) \u003d 0 (displaySyle f (xi) \u003d 0).
Ако функцията F (displessstyle f) Непрекъснато на рязане [A, b] (дисплей) и номер φ (displessstyle varphi) Удовлетворява неравенството F (а)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi или неравенство f (a)\u003e φ\u003e f (b), (displaySyle f (a)\u003e varphi\u003e f (b),) Това съществува ξ (A, B), (DisplessSley xi в (a, b),) където f (ξ) \u003d φ (displaySyle f (xi) \u003d varphi).
Непрекъснатото показване на сегмента към материала е директно инжективно в това и само когато тази функция на сегмента е строго монотон.
Монотонна функция на сегмента [A, b] (дисплей) непрекъснато в това и само в случая, когато площта на нейните ценности е сегмент с краищата F (a) (displaySyle f (a)) и F (b) (dispresstyle f (b)).
Ако функции F (displessstyle f) и G (displaySyle g) Непрекъснато на рязане [A, b] (дисплей), и F (а)< g (a) {\displaystyle f(a) и f (b)\u003e g (b), (displessstyle f (b)\u003e g (b),) Това съществува ξ (A, B), (DisplessSley xi в (a, b),) където f (ξ) \u003d g (ξ). (DisplaySyle F (xi) \u003d g (xi).) Следователно, по-специално, следва, че всеки непрекъснат дисплей на сегмента сам по себе си има поне една фиксирана точка.

Примери

Елементарни функции

Тази функция е непрекъсната във всяка точка. x ≠ 0 (DisplaySyle x neq 0).

Точка е точка на прекъсване първи видосвен това

Lim x → 0 - f (x) \u003d - 1 ≠ 1 \u003d lim x → 0 + f (x) (displaySyle \\ t лимити _ (x 0-) f (x) \u003d - 1 neq 1 \u003d LIM ограничения _ (x 0+) f (x)),

докато е в момента, функцията добавя към нула.

Естествена функция

Преместена функция, определена като

f (x) \u003d (1, x ⩾ 0 0, x< 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

е навсякъде непрекъснато, но точка x \u003d 0 (displaySyle x \u003d 0)където функцията страда от празнината от първия вид. Въпреки това, в точката x \u003d 0 (displaySyle x \u003d 0) Има правилен лимит, който съответства на стойността на функцията в този момент. Така тази функция е пример. непрекъснато право Функции по време на дефиницията.

По същия начин, стъпкана функция, определена като

f (x) \u003d (1, x\u003e 0 0, x ⩽ 0, x ∈ r (displaysyle f (x) \u003d (начало (калъфи) 1, & x\u003e 0, & x leqslant 0 \\ t край (случаи)), Quad x в MathBB (R))

е пример непрекъснато ляво Функции по време на дефиницията.

Дирихлетна функция

F (x) \u003d (1, x ∈ q 0, x ∈ r ∖ q (displaystyle f (x) \u003d (начало (калъфи) 1, & x в MathBB (Q) \\ t mathbb (r) setminus mathbb (q) край (случаи))

Дадени са дефинициите и формулировките на основните теореми и свойствата на непрекъсната функция на една променлива. Свойствата на непрекъсната функция в точката, на сегмента, лимита и непрекъснатостта на сложната функция, се разглеждат класификацията на точките за освобождаване от отговорност. Дадени са дефинициите и теоремите, свързани с обратната функция. Свойствата на елементарните функции са изложени.

Съдържание

Възможно е да се формулира концепцията за приемственост условия за стъпки. За да направите това, въвеждаме нова променлива, която се нарича увеличение на променливата x в точката. Тогава функцията е непрекъсната в точката, ако
.
Въвеждаме нова функция:
.
Нарича се увеличаване на функцията В точка. Тогава функцията е непрекъсната в точката, ако
.

Теорема за ограничаване на постоянната функция
Нека F. (х) непрекъснато в точка x 0 . Тогава има такъв квартал u (x 0)на която функцията е ограничена.

Непрекъснато функциониране на теорема за опазване
Нека функционира непрекъснато в точката. И нека има положителна (отрицателна) стойност в този момент:
.
След това има такъв квартал от точка, където функцията има положителна (отрицателна) стойност:
в.

Аритметични свойства на непрекъснатите функции
Нека функциите и са непрекъснати в точката.
След това функционира и непрекъснато в точката.
Ако, тогава функцията е непрекъсната в точката.

Имотът за непрекъснатост отляво и надясно
Функцията е непрекъсната в точката и само ако е непрекъсната в дясно и ляво.

Доказателствата за собственост са дадени на "свойствата на непрекъснатите имоти в точките на функциите".

Непрекъснатост на сложната функция

Функция за теорема за непрекъснатост
Нека функционира непрекъснато в точката. И нека функционира непрекъснато в точката.
Тогава сложната функция е непрекъсната в точката.

Ограничение на сложната функция

Граничната теорема на непрекъснатата функция от функцията
Да предположим, че има граница на функцията, когато и тя е равна на:
.
Тук точка Т. 0 Тя може да бъде ограничена или безкрайно отдалечена :.
И нека функционира непрекъснато в точката.
След това има ограничение на сложна функция и е равно на:
.

Функция за терминална теорема
Да предположим, че функцията има ограничение и показва преплетения квартал на точката до прободния квартал на точката. Да предположим, че функцията се определя в този квартал и има ограничение за него.
Тук - окончателните или безкрайно отдалечени точки :. Околностите и съответните граници могат да бъдат и двустранни и едностранчиви.
След това има ограничение на сложна функция и е равно на:
.

Точки за пръскане

Определение на точката на прекъсване
Нека функцията се определя на някакъв пробит квартал на точката. Точка се нарича точка на функция за разрушаване Ако се извърши едно от двете условия:
1) не е дефиниран;
2) дефинирани в, но не и в този момент.

Определяне на точката на разликата на първия род
Точка се нарича точката на счупване на първия видАко това е точка на прекъсване и съществуват крайни едностранни граници отляво и надясно:
.

Определение на функцията за скок
Скок Δ функция В точката е разликата между границите отдясно и наляво
.

Определяне на точката на спорове
Точка се нарича точка за прекъсване за еднократна употребаАко има ограничение
,
Но функцията в точката е или не е дефинирана или не е равна на пределната стойност :.

По този начин, точката за разполагане за еднократна употреба е точката на счупване на първия род, в който функциите на функцията са нула.

Определение на точката на пролуката на втория вид
Точка се нарича точката на разкъсване от втория видАко не е точка на прекъсване на първия род. Това означава, че ако няма, поне една едностранна граница, или поне една едностранна граница в точката е безкрайност.

Свойства на функциите непрекъснато на сегмента

Функция за дефиниция, непрекъснато на сегмента
Функцията се нарича непрекъснато на сегмента (кога), ако е непрекъснато във всички точки на отворения интервал (кога) и в точки А и Б, съответно.

Първо теоремата на Weierstrass непрекъснато непрекъснато на сегмент от функция
Ако функцията е непрекъсната по сегмента, тя е ограничена по този сегмент.

Определяне на максималната постижимост (минимум)
Функцията достига максимално (минимум) на определения, ако има такъв аргумент за това
за всички .

Определяне на постижимостта на горното (дъното) лице
Функцията достига до горното (дъното) лице на комплекта, ако има такъв аргумент за който
.

Втората теорема на Weierstrass за максималната и минимума на непрекъсната функция
Функцията, която непрекъснато на сегмента достига до горната и долната част на нея или, която е една и съща, достига до сегмента на максималния и минимум.

Болцано Теорема - Cauchy за междинно значение
Нека функцията непрекъснато на сегмента. И нека c да имат произволен брой между стойностите на функцията в края на сегмента: и. След това има точка, за която
.

Следствие 1.
Нека функцията непрекъснато на сегмента. И оставете стойностите на функцията в края на сегмента да имат различни знаци: Or. След това съществува точка, стойността на функцията, в която е нула:
.

Следствие 2.
Нека функцията непрекъснато на сегмента. Остави . След това функцията приема на сегмента всички стойности от и само тези стойности:
в.

Обратните функции

Определяне на обратната функция
Да предположим, че функцията има поле за определяне x и множество стойности y. И нека притежава имота:
за всички .
След това, за всеки елемент, само един елемент от комплекта X може да бъде поставен в съответствие с зададения Y, за който. Такова съответствие определя функцията, наречена обратна функция да се. Обратната функция е посочена, както следва:
.

От определението следва това
;
за всички ;
за всички .

Лема за взаимно монотонност на директни и обратни функции
Ако функцията стриктно се увеличава (намалява), тогава има обратна функция, която също така се увеличава стриктно (намалява).

Имот за симетрия на графики на преки и обратни функции
Графиките на директните и обратните функции са симетрични за директното.

Теорема за съществуването и непрекъснатостта на обратната връзка към сегмента
Нека функцията непрекъснато и стриктно се увеличава (намалява) върху сегмента. Тогава обратната функция е дефинирана на сегмента, която строго се увеличава (намалява).

За нарастваща функция. За намаляване -.

Теорема за съществуването и непрекъснатостта на обратната връзка на интервала
Да предположим, че функцията е непрекъсната и стриктно се увеличава (намалява) на отворен край или безкраен интервал. След това обратната функция е дефинирана и непрекъсната на интервала, която стриктно се увеличава (намалява).

За нарастваща функция.
За намаляване :. \\ T

По същия начин можете да формулирате теорема за съществуването и непрекъснатостта на обратната функция на полу-интервала.

Свойства и непрекъснатост на елементарните функции

Елементарните функции и обратно към тях са непрекъснати в областта на дефиницията им. След това представяме формулировката на съответните теореми и даваме позовавания на техните доказателства.

Експоненциална функция

Индикативна функция F. (x) \u003d a x, с причина a > 0 - Това е ограничение на последователността
,
където има произволна последователност от рационални числа, търсейки X:
.

Теорема. Свойства на индикативната функция
Индикативната функция има следните свойства:
(P.0) определено, с, за всички;
(Клауза 1) С ≠ 1 има много ценности;
(Клауза 2) стриктно се увеличава, стриктно намалява, е постоянно;
(Клауза 3) ;
(Стр.3 *) ;
(Клауза 4) ;
(Стр.5) ;
(Стр.6) ;
(Стр. 7) ;
(Стр.8) непрекъснато за всички;
(Стр.9) кога;
в.

Логаритм

Логаритмична функция или логаритъм, y \u003d log a x, с причина a - Това е функция, обратна на индикативна функция с базата a.

Теорема. Свойства на логаритъма
Логаритмична функция с база A, Y \u003d регистрирайте X.има следните свойства:
(1.1) дефинирани и непрекъснати, и за положителни стойности на аргумента;
(L.2) има много ценности;
(L.3) стриктно се увеличава със стриктно намалява;
(L.4) кога;
кога;
(L.5) ;
(L.6) кога;
(L.7) кога;
(L.8) кога;
(L.9) в.

Изложител и естествен логарит

В определенията на индикативната функция и логаритъм се появява константата, която се нарича база на степента или основата на логаритъма. В математическия анализ, в огромното мнозинство, се получават по-прости изчисления, ако номерът Е се използва като основа.
.
Индикативната функция с базата Е се нарича експонент: и логаритъмът за базата Е е естествен логаритъм :.

На страници са изложени изложители и естествени логаритъм
"Изложител, е степен X",
"Естествен логаритъм, функция ln x"

Функция на захранването

Функция на захранването с индикатор за P - Това е функция f (x) \u003d x p, чиято стойност в точка X е равна на стойността на индикативната функция с базата x в точката P.
В допълнение, f (0) \u003d 0 p \u003d 0 при p \u003e. 0 .

Тук ще разгледаме свойствата на функцията за захранване y \u003d x P с неотрицателни стойности на аргумента. За рационално, с нечетен m функцията на захранването също се определя за отрицателен X. В този случай неговите свойства могат да бъдат получени чрез паритет или странност.
Тези случаи са обсъдени подробно и илюстрирани на страницата "Power Function, неговите свойства и графични".

Теорема. Свойствата на функцията за захранване (x ≥ 0)
Функцията за захранване, Y \u003d x P, с параметъра P има следните свойства:
(Стр.1) дефинирани и непрекъснати на множеството
кога
с. "

Тригонометрични функции

Теорема за непрекъснатост на тригонометричните функции
Тригонометрични функции: Синус ( sIN X.), косинус ( cos X.), Допирателна ( tG X.) и котангент ( cTG X.

Теорема за непрекъснатост на обратните тригонометрични функции
Обратни тригонометрични функции: Arksinus ( arcsin x.), Arkkosinus ( arccos X.), Арктанинс ( aRCTG X.) и аркотангент ( aRCCTG X.), непрекъснати в техните области на дефиниране.

Вижте също:

Каква функция е непрекъсната. Определяне на непрекъснатостта на функцията в точката. Въпроси за самоконтролиращо знание

Функция за непрекъснатост. Точка на разкъсване.

Функция за непрекъснатост. Rippoints и тяхната класификация

Концепцията за функция за непрекъснатост

Непрекъснатост на функцията в точката и на интервала

Класификация на точките на разкъсване

Първа точка на прекъсване

Точки за прекъсване втори

Как да разследваме функция за приемственост?

Приемственост в точка

Примери

Пример 1.

Ние използваме дефиницията на Heine

Ние използваме дефиниция на Cauchy

Пример 2.

Енциклопедичен YouTube.

Субтитри

Дефиниция

Rippoint "скок"

Polyce прекъсване

Точка на есент

Класификация на изолирани единични точки в R N, N\u003e 1

Имоти

Местни

Global.

Примери

Елементарни функции

Естествена функция

Дирихлетна функция

Непрекъснатост на сложната функция

Ограничение на сложната функция

Точки за пръскане

Свойства на функциите непрекъснато на сегмента

Обратните функции

Свойства и непрекъснатост на елементарните функции

Експоненциална функция

Логаритм

Изложител и естествен логарит

Функция на захранването

Тригонометрични функции