Το ημίτονο μιας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίσο με τον λόγο. Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Λοιπόν, ας δοκιμάσουμε αυτούς τους τύπους εξασκώντας την εύρεση σημείων σε έναν κύκλο

Γνωρίζοντας ένα από τα σκέλη σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μπορείτε να βρείτε το δεύτερο σκέλος και την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς λόγους - ημίτονο και εφαπτομένη γνωστής γωνίας. Δεδομένου ότι η αναλογία του σκέλους απέναντι από τη γωνία προς την υποτείνουσα είναι ίση με το ημίτονο αυτής της γωνίας, επομένως, για να βρείτε την υποτείνουσα, πρέπει να διαιρέσετε το σκέλος με το ημίτονο της γωνίας. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Το δεύτερο σκέλος μπορεί να βρεθεί από την εφαπτομένη μιας γνωστής γωνίας, ως ο λόγος του γνωστού σκέλους προς την εφαπτομένη. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Για να υπολογίσετε την άγνωστη γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, πρέπει να αφαιρέσετε την τιμή της γωνίας α από τις 90 μοίρες. β=90°-α

Περίμετρος και εμβαδόν ορθογώνιο τρίγωνομέσω του σκέλους και της γωνίας απέναντι από αυτό μπορεί να εκφραστεί αντικαθιστώντας τις εκφράσεις που λήφθηκαν προηγουμένως για το δεύτερο σκέλος και την υποτείνουσα στους τύπους. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 ταν⁡α)

Μπορείτε επίσης να υπολογίσετε το ύψος μέσω τριγωνομετρικών λόγων, αλλά στο εσωτερικό ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρά α, που σχηματίζει. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την πλευρά α, ως την υποτείνουσα ενός τέτοιου τριγώνου, με το ημίτονο της γωνίας β ή συνημιτόνου α, αφού σύμφωνα με τις τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι ισοδύναμα. (Εικ. 79.2) h=a cos⁡α

Η διάμεσος της υποτείνουσας είναι ίση με το ήμισυ της υποτείνουσας ή του γνωστού σκέλους α διαιρούμενο με δύο ημίτονο α. Για να βρούμε τις διάμεσες των ποδιών, μειώνουμε τους τύπους στην αντίστοιχη μορφή για τις γνωστές πλευρές και γωνίες. (Εικ.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Από τη διχοτόμο ορθή γωνίασε ένα τρίγωνο είναι το γινόμενο δύο πλευρών και η ρίζα των δύο, διαιρούμενη με το άθροισμα αυτών των πλευρών, αντικαθιστώντας ένα από τα σκέλη με την αναλογία του γνωστού σκέλους προς την εφαπτομένη, λαμβάνουμε την ακόλουθη έκφραση. Ομοίως, αντικαθιστώντας τον λόγο στον δεύτερο και τον τρίτο τύπο, μπορείτε να υπολογίσετε τις διχοτόμους των γωνιών α και β. (Εικ.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Η μεσαία γραμμή είναι παράλληλη με μία από τις πλευρές του τριγώνου, ενώ σχηματίζει ένα άλλο παρόμοιο ορθογώνιο τρίγωνο με τις ίδιες γωνίες, στο οποίο όλες οι πλευρές έχουν το μισό μέγεθος από το αρχικό. Με βάση αυτό, οι μεσαίες γραμμές μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους, γνωρίζοντας μόνο το πόδι και τη γωνία απέναντι από αυτό. (Εικ.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ των ποδιών και της υποτείνουσας διαιρούμενη με δύο, και για να βρείτε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, πρέπει να διαιρέσετε την υποτείνουσα με δύο. Αντικαθιστούμε το δεύτερο σκέλος και την υποτείνουσα με την αναλογία σκέλους α προς ημίτονο και εφαπτομένη, αντίστοιχα. (Εικ. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Τι είναι ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη μιας γωνίας θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Πώς ονομάζονται οι πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου; Αυτό είναι σωστό, υποτείνουσα και πόδια: η υποτείνουσα είναι η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία (στο παράδειγμά μας αυτή είναι η πλευρά \(AC\)). σκέλη είναι οι δύο υπόλοιπες πλευρές \(AB\) και \(BC\) (αυτές που γειτνιάζουν με τη σωστή γωνία), και αν θεωρήσουμε τα σκέλη σε σχέση με τη γωνία \(BC\), τότε το σκέλος \(AB\) είναι το διπλανό πόδι, και το πόδι \(BC\) είναι απέναντι. Λοιπόν, ας απαντήσουμε τώρα στην ερώτηση: τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας;

Ημίτονο γωνίας– αυτή είναι η αναλογία του απέναντι (μακρινού) ποδιού προς την υποτείνουσα.

Στο τρίγωνο μας:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Συνημίτονο γωνίας– αυτή είναι η αναλογία του διπλανού (κοντού) σκέλους προς την υποτείνουσα.

Στο τρίγωνο μας:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Εφαπτομένη της γωνίας– αυτή είναι η αναλογία της απέναντι (μακρινής) πλευράς προς τη διπλανή (κοντινή).

Στο τρίγωνο μας:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Συμεφαπτομένη γωνίας– αυτή είναι η αναλογία του διπλανού (κοντού) ποδιού προς το αντίθετο (μακριά).

Στο τρίγωνο μας:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Αυτοί οι ορισμοί είναι απαραίτητοι θυμάμαι! Για να είναι πιο εύκολο να θυμάστε ποιο πόδι να χωρίσετε σε τι, πρέπει να το καταλάβετε ξεκάθαρα εφαπτομένη γραμμήΚαι συνεφαπτομένημόνο τα πόδια κάθονται και η υποτείνουσα εμφανίζεται μόνο στο κόλποςΚαι συνημίτονο. Και τότε μπορείτε να καταλήξετε σε μια αλυσίδα ενώσεων. Για παράδειγμα, αυτό:

Συνημίτονο→ αφή→ αφή→ παρακείμενο;

Συνεφαπτομένη→αφή→αφή→παρακείμενο.

Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να θυμάστε ότι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη καθώς οι λόγοι των πλευρών ενός τριγώνου δεν εξαρτώνται από τα μήκη αυτών των πλευρών (στην ίδια γωνία). Δεν πιστεύω? Στη συνέχεια, βεβαιωθείτε κοιτάζοντας την εικόνα:

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το συνημίτονο της γωνίας \(\beta \) . Εξ ορισμού, από ένα τρίγωνο \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), αλλά μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο της γωνίας \(\beta \) από το τρίγωνο \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Βλέπετε, τα μήκη των πλευρών είναι διαφορετικά, αλλά η τιμή του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι η ίδια. Έτσι, οι τιμές του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης εξαρτώνται αποκλειστικά από το μέγεθος της γωνίας.

Εάν κατανοείτε τους ορισμούς, τότε προχωρήστε και εμπεδώστε τους!

Για το τρίγωνο \(ABC \) που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, βρίσκουμε \(\sin \ \alpha,\ \cos \ \alpha,\ tg\ \alpha,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(πίνακας) \)

Λοιπόν, το κατάλαβες; Στη συνέχεια, δοκιμάστε το μόνοι σας: υπολογίστε το ίδιο για τη γωνία \(\beta \) .

Απαντήσεις: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Μοναδικός (τριγωνομετρικός) κύκλος

Κατανοώντας τις έννοιες των μοιρών και των ακτίνων, θεωρήσαμε έναν κύκλο με ακτίνα ίση με \(1\) . Ένας τέτοιος κύκλος ονομάζεται μονόκλινο. Θα είναι πολύ χρήσιμο όταν μελετάτε τριγωνομετρία. Επομένως, ας το δούμε λίγο πιο αναλυτικά.

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτός ο κύκλος κατασκευάζεται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με ένα, ενώ το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στην αρχή των συντεταγμένων, η αρχική θέση του διανύσματος ακτίνας είναι σταθερή κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης του άξονα \(x\) (στο παράδειγμά μας, αυτό είναι η ακτίνα \(AB\)).

Κάθε σημείο του κύκλου αντιστοιχεί σε δύο αριθμούς: τη συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα \(x\) και τη συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα \(y\). Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί συντεταγμένων; Και γενικά τι σχέση έχουν με το επίμαχο θέμα; Για να γίνει αυτό, πρέπει να θυμόμαστε το εξεταζόμενο ορθογώνιο τρίγωνο. Στο παραπάνω σχήμα, μπορείτε να δείτε δύο ολόκληρα ορθογώνια τρίγωνα. Θεωρήστε το τρίγωνο \(ACG\) . Είναι ορθογώνιο επειδή το \(CG\) είναι κάθετο στον άξονα \(x\).

Τι είναι το \(\cos \ \alpha \) από το τρίγωνο \(ACG \); Σωστά \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι το \(AC\) είναι η ακτίνα κύκλος μονάδας, που σημαίνει \(AC=1\) . Ας αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή στον τύπο μας για το συνημίτονο. Να τι συμβαίνει:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Με τι ισούται το \(\sin \ \άλφα \) από το τρίγωνο \(ACG \); Λοιπόν, φυσικά, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Αντικαταστήστε την τιμή της ακτίνας \(AC\) σε αυτόν τον τύπο και λάβετε:

\(\sin \άλφα =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Λοιπόν, μπορείτε να πείτε ποιες συντεταγμένες έχει το σημείο \(C\) που ανήκει στον κύκλο; Λοιπόν, δεν υπάρχει περίπτωση; Τι γίνεται αν συνειδητοποιήσετε ότι τα \(\cos \ \alpha \) και \(\sin \alpha \) είναι απλώς αριθμοί; Σε ποια συντεταγμένη αντιστοιχεί το \(\cos \alpha \); Λοιπόν, φυσικά, η συντεταγμένη \(x\)! Και σε ποια συντεταγμένη αντιστοιχεί το \(\sin \alpha \); Σωστά, συντονίστε \(y\)! Το θέμα λοιπόν \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Τι είναι τότε τα \(tg \alpha \) και \(ctg \alpha \) ίσα; Αυτό είναι σωστό, ας χρησιμοποιήσουμε τους αντίστοιχους ορισμούς της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης και ας το καταλάβουμε \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), ΕΝΑ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha)=\dfrac(x)(y) \).

Τι γίνεται αν η γωνία είναι μεγαλύτερη; Για παράδειγμα, όπως σε αυτή την εικόνα:

Τι έχει αλλάξει σε σε αυτό το παράδειγμα? Ας το καταλάβουμε. Για να το κάνουμε αυτό, ας γυρίσουμε ξανά σε ορθογώνιο τρίγωνο. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : γωνία (όπως δίπλα στη γωνία \(\beta \) ). Ποια είναι η τιμή του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης για μια γωνία \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? Σωστά, τηρούμε τους αντίστοιχους ορισμούς των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:

\(\αρχή(πίνακας)(l)\sin \γωνία ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \γωνία ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\γωνία ((C )_(1)((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\γωνία ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(πίνακας) \)

Λοιπόν, όπως μπορείτε να δείτε, η τιμή του ημιτόνου της γωνίας εξακολουθεί να αντιστοιχεί στη συντεταγμένη \(y\) ; η τιμή του συνημιτόνου της γωνίας - συντεταγμένη \(x\) ; και τις τιμές της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης στις αντίστοιχες αναλογίες. Έτσι, αυτές οι σχέσεις ισχύουν για οποιαδήποτε περιστροφή του διανύσματος ακτίνας.

Έχει ήδη αναφερθεί ότι η αρχική θέση του διανύσματος ακτίνας είναι κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης του άξονα \(x\). Μέχρι στιγμής έχουμε περιστρέψει αυτό το διάνυσμα αριστερόστροφα, αλλά τι συμβαίνει αν το περιστρέψουμε δεξιόστροφα; Τίποτα το εξαιρετικό, θα πάρετε επίσης μια γωνία ορισμένης τιμής, αλλά μόνο αυτή θα είναι αρνητική. Έτσι, όταν περιστρέφουμε το διάνυσμα ακτίνας αριστερόστροφα, παίρνουμε θετικές γωνίεςκαι όταν περιστρέφεται δεξιόστροφα – αρνητικός.

Άρα, γνωρίζουμε ότι ολόκληρη η περιστροφή του διανύσματος ακτίνας γύρω από τον κύκλο είναι \(360()^\circ \) ή \(2\pi \) . Είναι δυνατή η περιστροφή του διανύσματος ακτίνας κατά \(390()^\circ \) ή κατά \(-1140()^\circ \); Λοιπόν, φυσικά και μπορείς! Στην πρώτη περίπτωση, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), έτσι, το διάνυσμα ακτίνας θα κάνει μια πλήρη περιστροφή και θα σταματήσει στη θέση \(30()^\circ \) ή \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Στη δεύτερη περίπτωση, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), δηλαδή, το διάνυσμα ακτίνας θα κάνει τρεις πλήρεις στροφές και θα σταματήσει στη θέση \(-60()^\circ \) ή \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Έτσι, από τα παραπάνω παραδείγματα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι γωνίες που διαφέρουν κατά \(360()^\circ \cdot m\) ή \(2\pi \cdot m\) (όπου \(m \) είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός ), αντιστοιχούν στην ίδια θέση του διανύσματος ακτίνας.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει τη γωνία \(\beta =-60()^\circ \) . Η ίδια εικόνα αντιστοιχεί στη γωνία \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)και τα λοιπά. Αυτή η λίστα μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον. Όλες αυτές οι γωνίες μπορούν να γραφτούν με τον γενικό τύπο \(\beta +360()^\circ \cdot m\)ή \(\beta +2\pi \cdot m\) (όπου \(m\) είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(πίνακας) \)

Τώρα, γνωρίζοντας τους ορισμούς των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων και χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας, προσπαθήστε να απαντήσετε ποιες είναι οι τιμές:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\κείμενο (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\κείμενο (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(πίνακας) \)

Ακολουθεί ένας κύκλος μονάδας για να σας βοηθήσει:

Έχετε δυσκολίες; Τότε ας το καταλάβουμε. Ξέρουμε λοιπόν ότι:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(πίνακας)\)

Από εδώ, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων που αντιστοιχούν σε ορισμένα μέτρα γωνίας. Λοιπόν, ας ξεκινήσουμε με τη σειρά: η γωνία μέσα \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες \(\left(0;1 \right) \) , επομένως:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Δεξί βέλος \text(tg)\ 90()^\circ \)- δεν υπάρχει;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Περαιτέρω, τηρώντας την ίδια λογική, διαπιστώνουμε ότι οι γωνίες μέσα \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )αντιστοιχούν σε σημεία με συντεταγμένες \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \δεξιά) \), αντίστοιχα. Γνωρίζοντας αυτό, είναι εύκολο να προσδιοριστούν οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στα αντίστοιχα σημεία. Δοκιμάστε το πρώτα μόνοι σας και μετά ελέγξτε τις απαντήσεις.

Απαντήσεις:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Δεξί βέλος \text(ctg)\ \pi \)- δεν υπάρχει

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Δεξί βέλος \text(tg)\ 270()^\circ \)- δεν υπάρχει

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Δεξί βέλος \text(ctg)\ 2\pi \)- δεν υπάρχει

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Δεξί βέλος \text(tg)\ 450()^\circ \)- δεν υπάρχει

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Έτσι, μπορούμε να φτιάξουμε τον παρακάτω πίνακα:

Δεν χρειάζεται να θυμάστε όλες αυτές τις αξίες. Αρκεί να θυμάστε την αντιστοιχία μεταξύ των συντεταγμένων των σημείων στον κύκλο μονάδας και των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:

\(\αριστερά \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Πρέπει να το θυμάστε ή να μπορείτε να το εμφανίσετε!! \) !}

Αλλά οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των γωνιών σε και \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)που δίνεται στον παρακάτω πίνακα, πρέπει να θυμάστε:

Μην φοβάστε, τώρα θα σας δείξουμε ένα παράδειγμα μιας αρκετά απλής απομνημόνευσης των αντίστοιχων τιμών:

Για να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο, είναι ζωτικής σημασίας να θυμάστε τις ημιτονοειδείς τιμές και για τα τρία μέτρα γωνίας ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), καθώς και την τιμή της εφαπτομένης της γωνίας στο \(30()^\circ \) . Γνωρίζοντας αυτές τις τιμές \(4\), είναι πολύ απλό να επαναφέρετε ολόκληρο τον πίνακα - οι τιμές συνημιτόνου μεταφέρονται σύμφωνα με τα βέλη, δηλαδή:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(πίνακας) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), γνωρίζοντας αυτό, μπορείτε να επαναφέρετε τις τιμές για \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Ο αριθμητής "\(1 \)" θα αντιστοιχεί στο \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) και ο παρονομαστής "\(\sqrt(\text(3)) \)" θα αντιστοιχεί σε \(\κείμενο (tg)\ 60()^\circ \ \) . Οι τιμές συνεφαπτομένης μεταφέρονται σύμφωνα με τα βέλη που υποδεικνύονται στο σχήμα. Εάν το καταλαβαίνετε και θυμάστε το διάγραμμα με τα βέλη, τότε θα αρκεί να θυμάστε μόνο τις τιμές \(4\) από τον πίνακα.

Συντεταγμένες ενός σημείου σε κύκλο

Είναι δυνατόν να βρούμε ένα σημείο (τις συντεταγμένες του) σε έναν κύκλο, γνωρίζοντας τις συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου, την ακτίνα και τη γωνία περιστροφής του; Λοιπόν, φυσικά και μπορείς! Ας βγάλουμε έναν γενικό τύπο για την εύρεση των συντεταγμένων ενός σημείου. Για παράδειγμα, εδώ είναι ένας κύκλος μπροστά μας:

Μας δίνεται αυτό το σημείο \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- κέντρο του κύκλου. Η ακτίνα του κύκλου είναι \(1,5\) . Είναι απαραίτητο να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου \(P\) που λαμβάνονται περιστρέφοντας το σημείο \(O\) κατά \(\δέλτα \) μοίρες.

Όπως φαίνεται από το σχήμα, η συντεταγμένη \(x\) του σημείου \(P\) αντιστοιχεί στο μήκος του τμήματος \(TP=UQ=UK+KQ\) . Το μήκος του τμήματος \(UK\) αντιστοιχεί στη συντεταγμένη \(x\) του κέντρου του κύκλου, δηλαδή είναι ίσο με \(3\) . Το μήκος του τμήματος \(KQ\) μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας τον ορισμό του συνημιτόνου:

\(\cos \ \δέλτα =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Δεξί βέλος KQ=r\cdot \cos \ \δέλτα \).

Τότε έχουμε ότι για το σημείο \(P\) η συντεταγμένη \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \δέλτα =3+1,5\cdot \cos \ \δέλτα \).

Χρησιμοποιώντας την ίδια λογική, βρίσκουμε την τιμή της συντεταγμένης y για το σημείο \(P\) . Ετσι,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \δέλτα =2+1,5\cdot \sin \δέλτα \).

Έτσι, γενικά, οι συντεταγμένες των σημείων καθορίζονται από τους τύπους:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \δέλτα \end(πίνακας) \), Οπου

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου,

\(r\) - ακτίνα του κύκλου,

\(\δέλτα \) - γωνία περιστροφής της διανυσματικής ακτίνας.

Όπως μπορείτε να δείτε, για τον μοναδιαίο κύκλο που εξετάζουμε, αυτοί οι τύποι μειώνονται σημαντικά, αφού οι συντεταγμένες του κέντρου είναι ίσες με μηδέν και η ακτίνα είναι ίση με ένα:

\(\αρχή(πίνακας)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \δέλτα =\cos \ \δέλτα \\ y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \δέλτα =0+1\cdot \sin \ \δέλτα =\sin \ \δέλτα \end(πίνακας) \)

Η Javascript είναι απενεργοποιημένη στον browser σας.
Για να εκτελέσετε υπολογισμούς, πρέπει να ενεργοποιήσετε τα στοιχεία ελέγχου ActiveX!

Θα ξεκινήσουμε τη μελέτη μας για την τριγωνομετρία με το ορθογώνιο τρίγωνο. Ας ορίσουμε τι είναι το ημίτονο και το συνημίτονο, καθώς και τι είναι η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη οξεία γωνία. Αυτά είναι τα βασικά της τριγωνομετρίας.

Να σας το υπενθυμίσουμε ορθή γωνίαείναι γωνία ίση με . Με άλλα λόγια, μισή στροφή γωνία.

Κοφτερή γωνία- μικρότερο.

Αμβλεία γωνία - μεγαλύτερο. Σε σχέση με μια τέτοια γωνία, το "αμβλύ" δεν είναι προσβολή, αλλά μαθηματικός όρος :-)

Ας σχεδιάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Μια ορθή γωνία συνήθως συμβολίζεται με . Λάβετε υπόψη ότι η πλευρά απέναντι από τη γωνία υποδεικνύεται με το ίδιο γράμμα, μόνο μικρό. Έτσι, ορίζεται η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία.

Η γωνία συμβολίζεται με το αντίστοιχο ελληνικό γράμμα.

Υποτείνουσαενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία.

Πόδια- πλευρές που βρίσκονται απέναντι από οξείες γωνίες.

Το πόδι που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία ονομάζεται απεναντι απο(σε σχέση με τη γωνία). Το άλλο σκέλος, που βρίσκεται σε μία από τις πλευρές της γωνίας, ονομάζεται γειτονικός.

ΚόλποςΗ οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα:

Συνημίτονοοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - η αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα:

Εφαπτομένη γραμμήοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη γειτονική:

Ένας άλλος (ισοδύναμος) ορισμός: η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου της γωνίας προς το συνημίτονό της:

Συνεφαπτομένηοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - η αναλογία της γειτονικής πλευράς προς την αντίθετη (ή, που είναι η ίδια, η αναλογία συνημιτόνου προς ημίτονο):

Σημειώστε τις βασικές σχέσεις για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη παρακάτω. Θα μας είναι χρήσιμοι όταν λύνουμε προβλήματα.

Ας αποδείξουμε μερικά από αυτά.

1. Το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι ίσο με . Που σημαίνει, το άθροισμα δύο οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με .

2. Αφενός, ως λόγος της αντίθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. Από την άλλη, αφού για τη γωνία το πόδι θα είναι γειτονικό.

Το καταλαβαίνουμε. Με άλλα λόγια, .

3. Πάρτε το Πυθαγόρειο θεώρημα: . Ας χωρίσουμε και τα δύο μέρη με:

Πήραμε βασική τριγωνομετρική ταυτότητα:

Έτσι, γνωρίζοντας το ημίτονο μιας γωνίας, μπορούμε να βρούμε το συνημίτονο της και αντίστροφα.

4. Διαίρεση και των δύο μερών του κύριου τριγωνομετρική ταυτότηταστις , παίρνουμε:

Αυτό σημαίνει ότι αν μας δοθεί η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας, τότε μπορούμε να βρούμε αμέσως το συνημίτονο της.

Επίσης,

Εντάξει, δώσαμε ορισμούς και γράψαμε τύπους. Αλλά γιατί χρειαζόμαστε ακόμα ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη;

Ξέρουμε ότι το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι ίσο με.

Γνωρίζουμε τη σχέση μεταξύ κόμματαορθογώνιο τρίγωνο. Αυτό είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα: .

Αποδεικνύεται ότι γνωρίζοντας δύο γωνίες σε ένα τρίγωνο, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Γνωρίζοντας τις δύο πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες έχουν τη δική τους αναλογία και οι πλευρές τη δική τους. Αλλά τι πρέπει να κάνετε εάν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο γνωρίζετε μια γωνία (εκτός από τη σωστή γωνία) και μια πλευρά, αλλά πρέπει να βρείτε τις άλλες πλευρές;

Αυτό αντιμετώπισαν οι άνθρωποι στο παρελθόν όταν έφτιαχναν χάρτες της περιοχής και του έναστρου ουρανού. Εξάλλου, δεν είναι πάντα δυνατό να μετρηθούν απευθείας όλες οι πλευρές ενός τριγώνου.

Ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη - ονομάζονται επίσης συναρτήσεις τριγωνομετρικής γωνίας- δίνουν σχέσεις μεταξύ κόμματαΚαι γωνίεςτρίγωνο. Γνωρίζοντας τη γωνία, μπορείτε να βρείτε όλες τις τριγωνομετρικές της συναρτήσεις χρησιμοποιώντας ειδικούς πίνακες. Και γνωρίζοντας τα ημίτονο, τα συνημίτονα και τις εφαπτομένες των γωνιών ενός τριγώνου και μιας από τις πλευρές του, μπορείτε να βρείτε τα υπόλοιπα.

Θα σχεδιάσουμε επίσης έναν πίνακα με τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης για «καλές» γωνίες από έως.

Σημειώστε τις δύο κόκκινες παύλες στον πίνακα. Σε κατάλληλες τιμές γωνίας, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη δεν υπάρχουν.

Ας δούμε πολλά προβλήματα τριγωνομετρίας από την Τράπεζα Εργασιών FIPI.

1. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , . Εύρημα .

Το πρόβλημα λύνεται σε τέσσερα δευτερόλεπτα.

Από , έχουμε: .

2. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , , . Εύρημα . , είναι ίσο το ήμισυ της υποτείνουσας.

Ένα τρίγωνο με γωνίες και είναι ισοσκελές. Σε αυτό, η υποτείνουσα είναι φορές μεγαλύτερη από το πόδι.

Στη ζωή θα έχουμε συχνά να αντιμετωπίσουμε μαθηματικά προβλήματα: στο σχολείο, στο πανεπιστήμιο και στη συνέχεια να βοηθήσετε το παιδί σας να ολοκληρώσει εργασία για το σπίτι. Οι άνθρωποι σε ορισμένα επαγγέλματα θα συναντούν τα μαθηματικά σε καθημερινή βάση. Επομένως, είναι χρήσιμο να απομνημονεύσετε ή να ανακαλέσετε μαθηματικούς κανόνες. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε ένα από αυτά: την εύρεση της πλευράς ενός ορθογώνιου τριγώνου.

Τι είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Αρχικά, ας θυμηθούμε τι είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι γεωμετρικό σχήμααπό τρία τμήματα που συνδέουν σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και μία από τις γωνίες αυτού του σχήματος είναι 90 μοίρες. Οι πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία ονομάζονται πόδια και η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα.

Εύρεση του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να μάθετε το μήκος του ποδιού. Θα ήθελα να τα εξετάσω λεπτομερέστερα.

Πυθαγόρειο θεώρημα για την εύρεση της πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου

Αν γνωρίζουμε την υποτείνουσα και το σκέλος, τότε μπορούμε να βρούμε το μήκος του άγνωστου σκέλους χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ακούγεται ως εξής: «Το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών». Τύπος: c²=a²+b², όπου c είναι η υποτείνουσα, a και b είναι τα σκέλη. Μετασχηματίζουμε τον τύπο και παίρνουμε: a²=c²-b².

Παράδειγμα. Η υποτείνουσα είναι 5 εκ. και το πόδι είναι 3 εκ. Μετασχηματίζουμε τον τύπο: c²=a²+b² → a²=c²-b². Στη συνέχεια λύνουμε: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Τριγωνομετρικοί λόγοι για την εύρεση του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου

Μπορείτε επίσης να βρείτε ένα άγνωστο σκέλος εάν είναι γνωστή οποιαδήποτε άλλη πλευρά και οποιαδήποτε οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου. Υπάρχουν τέσσερις επιλογές για την εύρεση ενός σκέλους με χρήση τριγωνομετρικών συναρτήσεων: ημιτόνου, συνημίτονο, εφαπτομένης, συνεφαπτομένης. Ο παρακάτω πίνακας θα μας βοηθήσει να λύσουμε προβλήματα. Ας εξετάσουμε αυτές τις επιλογές.

Βρείτε το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου χρησιμοποιώντας το ημίτονο

Το ημίτονο μιας γωνίας (sin) είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα. Τύπος: sin=a/c, όπου a είναι το σκέλος απέναντι από τη δεδομένη γωνία και c είναι η υποτείνουσα. Στη συνέχεια, μετασχηματίζουμε τον τύπο και παίρνουμε: a=sin*c.

Παράδειγμα. Η υποτείνουσα είναι 10 cm, η γωνία Α είναι 30 μοίρες. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα, υπολογίζουμε το ημίτονο της γωνίας Α, είναι ίσο με 1/2. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμένο τύπο, λύνουμε: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Βρείτε το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου χρησιμοποιώντας συνημίτονο

Το συνημίτονο μιας γωνίας (cos) είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα. Τύπος: cos=b/c, όπου b είναι το σκέλος δίπλα σε μια δεδομένη γωνία και c είναι η υποτείνουσα. Ας μετασχηματίσουμε τον τύπο και πάρουμε: b=cos*c.

Παράδειγμα. Η γωνία Α ισούται με 60 μοίρες, η υποτείνουσα ίση με 10 εκ. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα υπολογίζουμε το συνημίτονο της γωνίας Α, είναι ίσο με 1/2. Στη συνέχεια λύνουμε: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Βρείτε το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη

Η εφαπτομένη μιας γωνίας (tg) είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά. Τύπος: tg=a/b, όπου a είναι η πλευρά απέναντι από τη γωνία και b είναι η διπλανή πλευρά. Ας μετασχηματίσουμε τον τύπο και πάρουμε: a=tg*b.

Παράδειγμα. Η γωνία Α ισούται με 45 μοίρες, η υποτείνουσα ίση με 10 εκ. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα, υπολογίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας Α, ισούται με Επίλυση: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Βρείτε το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου χρησιμοποιώντας συνεφαπτομένη

Γωνιακή συνεφαπτομένη (ctg) είναι ο λόγος της γειτονικής πλευράς προς την αντίθετη πλευρά. Τύπος: ctg=b/a, όπου b είναι το σκέλος δίπλα στη γωνία και είναι το αντίθετο σκέλος. Με άλλα λόγια, η συνεφαπτομένη είναι μια «ανεστραμμένη εφαπτομένη». Παίρνουμε: b=ctg*a.

Παράδειγμα. Η γωνία Α είναι 30 μοίρες, το αντίθετο σκέλος είναι 5 εκ. Σύμφωνα με τον πίνακα, η εφαπτομένη της γωνίας Α είναι √3. Υπολογίζουμε: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Τώρα λοιπόν ξέρετε πώς να βρείτε ένα πόδι σε ορθογώνιο τρίγωνο. Όπως μπορείτε να δείτε, δεν είναι τόσο δύσκολο, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε τους τύπους.

Ο λόγος της αντίθετης πλευράς προς την υποτείνουσα ονομάζεται κόλπο οξείας γωνίαςορθογώνιο τρίγωνο.

\sin \άλφα = \frac(a)(c)

Συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

Ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα ονομάζεται συνημίτονο οξείας γωνίαςορθογώνιο τρίγωνο.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

Ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά ονομάζεται εφαπτομένη οξείας γωνίαςορθογώνιο τρίγωνο.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Συνεφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

Ο λόγος της διπλανής πλευράς προς την απέναντι πλευρά ονομάζεται συνεφαπτομένη οξείας γωνίαςορθογώνιο τρίγωνο.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Ημίτονο αυθαίρετης γωνίας

Η τεταγμένη ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο στον οποίο αντιστοιχεί η γωνία \άλφα ονομάζεται ημίτονο αυθαίρετης γωνίαςπεριστροφή \άλφα .

\sin \alpha=y

Συνημίτονο αυθαίρετης γωνίας

Η τετμημένη ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο στον οποίο αντιστοιχεί η γωνία \άλφα ονομάζεται συνημίτονο αυθαίρετης γωνίαςπεριστροφή \άλφα .

\cos \alpha=x

Εφαπτομένη αυθαίρετης γωνίας

Ο λόγος του ημιτόνου μιας αυθαίρετης γωνίας περιστροφής \άλφα προς το συνημίτονό του ονομάζεται εφαπτομένη μιας αυθαίρετης γωνίαςπεριστροφή \άλφα .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Συνεφαπτομένη αυθαίρετης γωνίας

Ο λόγος του συνημιτόνου μιας αυθαίρετης γωνίας περιστροφής \άλφα προς το ημίτονό της ονομάζεται συνεφαπτομένη αυθαίρετης γωνίαςπεριστροφή \άλφα .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Ένα παράδειγμα εύρεσης αυθαίρετης γωνίας

Εάν το \άλφα είναι κάποια γωνία AOM, όπου το M είναι ένα σημείο του μοναδιαίου κύκλου, τότε

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Για παράδειγμα, εάν \γωνία AOM = -\frac(\pi)(4), τότε: η τεταγμένη του σημείου Μ ισούται με -\frac(\sqrt(2))(2), τετμημένη ισούται με \frac(\sqrt(2))(2)και για αυτο

\sin \αριστερά (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \αριστερά (-\frac(\pi)(4) \δεξιά)=-1.

Πίνακας τιμών ημιτόνων συνημιτόνων των εφαπτομένων συνεφαπτομένων

Οι τιμές των κύριων γωνιών που εμφανίζονται συχνά δίνονται στον πίνακα:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right)	180^(\circ)\αριστερά(\pi\δεξιά)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right)	360^(\circ)\αριστερά(2\pi\δεξιά)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—