Βίντεο μάθημα «Πτυχίο με ορθολογικός δείκτης» περιέχει οπτικό εκπαιδευτικό υλικόνα δώσει ένα μάθημα για αυτό το θέμα. Το μάθημα βίντεο περιέχει πληροφορίες σχετικά με την έννοια ενός πτυχίου με ορθολογικό εκθέτη, ιδιότητες τέτοιων βαθμών, καθώς και παραδείγματα που περιγράφουν τη χρήση εκπαιδευτικού υλικού για επίλυση πρακτικά προβλήματα. Σκοπός αυτού του βίντεο μαθήματος είναι να παρουσιάσει καθαρά και ξεκάθαρα το εκπαιδευτικό υλικό, να διευκολύνει την ανάπτυξη και την απομνημόνευσή του από τους μαθητές και να αναπτύξει την ικανότητα επίλυσης προβλημάτων χρησιμοποιώντας τις έννοιες που διδάχθηκαν.
Τα κύρια πλεονεκτήματα του μαθήματος βίντεο είναι η δυνατότητα οπτικής εκτέλεσης μετασχηματισμών και υπολογισμών, η δυνατότητα χρήσης εφέ κινούμενων σχεδίων για τη βελτίωση της μαθησιακής απόδοσης. Η φωνητική συνοδεία βοηθά στην ανάπτυξη της σωστής μαθηματικής ομιλίας και επίσης καθιστά δυνατή την αντικατάσταση της εξήγησης του δασκάλου, ελευθερώνοντάς τον να πραγματοποιήσει ατομική εργασία.
Το μάθημα βίντεο ξεκινάει με την εισαγωγή του θέματος. Σύνδεση μελετών νέο θέμαΜε υλικό που μελετήθηκε προηγουμένως, προτείνεται να θυμάστε ότι το n √a συμβολίζεται διαφορετικά με ένα 1/n για το φυσικό n και με το θετικό a. Αυτή η αναπαράσταση n-root εμφανίζεται στην οθόνη. Στη συνέχεια, προτείνουμε να εξετάσουμε τι σημαίνει η έκφραση a m/n, στην οποία το a είναι θετικός αριθμός και το m/n είναι ένα κλάσμα. Δίνεται ο ορισμός ενός βαθμού με λογικό εκθέτη ως m/n = n √a m, τονισμένο στο πλαίσιο. Σημειώνεται ότι το n μπορεί να είναι φυσικός αριθμός και το m μπορεί να είναι ακέραιος.
Αφού ορίσουμε έναν βαθμό με λογικό εκθέτη, το νόημά του αποκαλύπτεται μέσω παραδειγμάτων: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Δείχνεται επίσης ένα παράδειγμα στο οποίο ο βαθμός που αντιπροσωπεύεται από δεκαδικός, μετατρέπεται σε κοινό κλάσμα που θα αναπαρασταθεί ως ρίζα: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 και παράδειγμα με αρνητική τιμήμοίρες: 3 -1/8 = 8 √3 -1.
Η ιδιαιτερότητα της ειδικής περίπτωσης όταν η βάση του βαθμού είναι μηδέν αναγράφεται χωριστά. Σημειώνεται ότι αυτός ο βαθμός έχει νόημα μόνο με θετικό κλασματικό εκθέτη. Στην περίπτωση αυτή, η τιμή του είναι μηδέν: 0 m/n =0.
Σημειώνεται ένα άλλο χαρακτηριστικό ενός βαθμού με λογικό εκθέτη - ότι ένας βαθμός με κλασματικό εκθέτη δεν μπορεί να θεωρηθεί με κλασματικό εκθέτη. Δίνονται παραδείγματα λανθασμένης σημειογραφίας βαθμού: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.
Στη συνέχεια στο μάθημα βίντεο συζητάμε τις ιδιότητες ενός βαθμού με λογικό εκθέτη. Σημειώνεται ότι οι ιδιότητες ενός βαθμού με ακέραιο εκθέτη θα ισχύουν και για βαθμό με λογικό εκθέτη. Προτείνεται η ανάκληση της λίστας των ακινήτων που ισχύουν και σε αυτή την περίπτωση:
- Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με για τους ίδιους λόγουςοι δείκτες τους αθροίζονται: a p a q =a p+q.
- Η διαίρεση των μοιρών με τις ίδιες βάσεις ανάγεται σε ένα βαθμό με δεδομένη βάση και τη διαφορά στους εκθέτες: a p:a q =a p-q.
- Αν αυξήσουμε τη μοίρα σε μια ορισμένη ισχύ, τότε καταλήγουμε σε μια μοίρα με δεδομένη βάση και το γινόμενο των εκθετών: (a p) q =a pq.
Όλες αυτές οι ιδιότητες ισχύουν για δυνάμεις με ρητούς εκθέτες p, q και θετική βάση a>0. Επίσης, οι μετασχηματισμοί βαθμών κατά το άνοιγμα παρενθέσεων παραμένουν αληθινοί:
- (αβ) p =a p b p - αύξηση σε κάποια ισχύ με ρητό εκθέτη το γινόμενο δύο αριθμών ανάγεται στο γινόμενο αριθμών, καθένας από τους οποίους αυξάνεται σε μια δεδομένη ισχύ.
- (a/b) p =a p /b p - η αύξηση ενός κλάσματος σε μια ισχύ με λογικό εκθέτη ανάγεται σε ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής αυξάνονται σε μια δεδομένη δύναμη.
Το εκπαιδευτικό βίντεο εξετάζει την επίλυση παραδειγμάτων που χρησιμοποιούν τις εξεταζόμενες ιδιότητες των δυνάμεων με έναν ορθολογικό εκθέτη. Το πρώτο παράδειγμα σας ζητά να βρείτε την τιμή μιας παράστασης που περιέχει μεταβλητές x σε κλασματική ισχύ: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Παρά την πολυπλοκότητα της έκφρασης, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάμεων μπορεί να λυθεί πολύ απλά. Η επίλυση του προβλήματος ξεκινά με την απλοποίηση της έκφρασης, η οποία χρησιμοποιεί τον κανόνα της αύξησης μιας δύναμης με λογικό εκθέτη σε μια δύναμη, καθώς και τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση. Αφού αντικαταστήσετε τη δεδομένη τιμή x=8 στην απλοποιημένη έκφραση x 1/3 +48, είναι εύκολο να λάβετε την τιμή - 50.
Στο δεύτερο παράδειγμα, πρέπει να μειώσετε ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν δυνάμεις με λογικό εκθέτη. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του βαθμού, εξάγουμε από τη διαφορά τον παράγοντα x 1/3, ο οποίος στη συνέχεια ανάγεται στον αριθμητή και στον παρονομαστή, και χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη διαφορά των τετραγώνων, ο αριθμητής παραγοντοποιείται, ο οποίος δίνει περαιτέρω μειώσεις των πανομοιότυπων παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Το αποτέλεσμα τέτοιων μετασχηματισμών είναι το βραχύ κλάσμα x 1/4 +3.
Το μάθημα βίντεο «Εκθέτης με ορθολογικό εκθέτη» μπορεί να χρησιμοποιηθεί αντί ο δάσκαλος να εξηγεί ένα νέο θέμα μαθήματος. Αυτό το εγχειρίδιο περιέχει επίσης αρκετά πλήρεις πληροφορίεςΓια αυτοδιδασκαλίαςμαθητης σχολειου. Το υλικό μπορεί επίσης να είναι χρήσιμο για εξ αποστάσεως εκπαίδευση.
Εκφράσεις, μετατροπή έκφρασης
Εκφράσεις δύναμης (εκφράσεις με δυνάμεις) και ο μετασχηματισμός τους
Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμε για τη μετατροπή εκφράσεων με δυνάμεις. Αρχικά, θα επικεντρωθούμε σε μετασχηματισμούς που εκτελούνται με εκφράσεις οποιουδήποτε είδους, συμπεριλαμβανομένων των εκφράσεων ισχύος, όπως το άνοιγμα παρενθέσεων και η εισαγωγή παρόμοιων όρων. Και στη συνέχεια θα αναλύσουμε τους μετασχηματισμούς που είναι εγγενείς ειδικά σε εκφράσεις με βαθμούς: εργασία με τη βάση και τον εκθέτη, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των μοιρών κ.λπ.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Τι είναι οι εκφράσεις δύναμης;
Ο όρος «εκφράσεις εξουσίας» δεν χρησιμοποιείται σχεδόν ποτέ σχολικά εγχειρίδιαμαθηματικά, αλλά εμφανίζεται αρκετά συχνά σε συλλογές προβλημάτων, ειδικά εκείνων που προορίζονται για την προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση και την Ενιαία Κρατική Εξέταση, για παράδειγμα. Μετά την ανάλυση των εργασιών στις οποίες είναι απαραίτητο να εκτελεστούν οποιεσδήποτε ενέργειες με εκφράσεις ισχύος, γίνεται σαφές ότι οι εκφράσεις ισχύος νοούνται ως εκφράσεις που περιέχουν δυνάμεις στις καταχωρίσεις τους. Επομένως, μπορείτε να αποδεχτείτε τον ακόλουθο ορισμό για τον εαυτό σας:
Ορισμός.
Εκφράσεις δύναμηςείναι εκφράσεις που περιέχουν βαθμούς.
Ας δώσουμε παραδείγματα εκφράσεων δύναμης. Επιπλέον, θα τα παρουσιάσουμε ανάλογα με το πώς η ανάπτυξη απόψεων για από ένα βαθμό με φυσικό δείκτη σε έναν βαθμό με πραγματικός δείκτης.
Όπως είναι γνωστό, πρώτα εξοικειώνεται με τη δύναμη ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη· σε αυτό το στάδιο, οι πρώτες απλούστερες εκφράσεις ισχύος του τύπου 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 εμφανίζονται −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 κ.λπ.
Λίγο αργότερα, μελετάται η ισχύς ενός αριθμού με ακέραιο εκθέτη, η οποία οδηγεί στην εμφάνιση παραστάσεων ισχύος με αρνητικές ακέραιες δυνάμεις, όπως οι εξής: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 +c 2 .
Στο λύκειο επιστρέφουν στα πτυχία. Εκεί εισάγεται ένας βαθμός με ορθολογικό εκθέτη, ο οποίος συνεπάγεται την εμφάνιση των αντίστοιχων εκφράσεων ισχύος: 
, , 
και ούτω καθεξής. Τέλος, βαθμοί με παράλογους εκθέτες και εκφράσεις που τους περιέχουν θεωρούνται: , .
Το θέμα δεν περιορίζεται στις παρατιθέμενες εκφράσεις ισχύος: περαιτέρω η μεταβλητή διεισδύει στον εκθέτη και, για παράδειγμα, προκύπτουν οι ακόλουθες εκφράσεις: 2 x 2 +1 ή 
. Και αφού εξοικειωθείτε με το , αρχίζουν να εμφανίζονται εκφράσεις με δυνάμεις και λογάριθμους, για παράδειγμα, x 2·lgx −5·x lgx.
Έτσι, έχουμε ασχοληθεί με το ερώτημα τι αντιπροσωπεύουν οι εκφράσεις δύναμης. Στη συνέχεια θα μάθουμε να τα μετατρέπουμε.
Κύριοι τύποι μετασχηματισμών εκφράσεων δύναμης
Με τις εκφράσεις ισχύος, μπορείτε να εκτελέσετε οποιονδήποτε από τους βασικούς μετασχηματισμούς ταυτότητας των εκφράσεων. Για παράδειγμα, μπορείτε να επεκτείνετε τις αγκύλες, να τις αντικαταστήσετε αριθμητικές εκφράσειςτις τιμές τους, δίνουν παρόμοιους όρους κ.λπ. Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να ακολουθήσετε την αποδεκτή διαδικασία για την εκτέλεση ενεργειών. Ας δώσουμε παραδείγματα.
Παράδειγμα.
Υπολογίστε την τιμή της παράστασης ισχύος 2 3 ·(4 2 −12) .
Λύση.
Σύμφωνα με τη σειρά εκτέλεσης των ενεργειών, εκτελέστε πρώτα τις ενέργειες σε αγκύλες. Εκεί, πρώτον, αντικαθιστούμε την ισχύ 4 2 με την τιμή της 16 (αν χρειάζεται, βλ.) και δεύτερον, υπολογίζουμε τη διαφορά 16−12=4. Εχουμε 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
Στην παράσταση που προκύπτει, αντικαθιστούμε την ισχύ 2 3 με την τιμή της 8, μετά την οποία υπολογίζουμε το γινόμενο 8·4=32. Αυτή είναι η επιθυμητή τιμή.
Ετσι, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
Απάντηση:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
Παράδειγμα.
Απλοποιήστε τις εκφράσεις με δυνάμεις 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
Λύση.
Προφανώς, αυτή η έκφραση περιέχει παρόμοιους όρους 3·a 4 ·b −7 και 2·a 4 ·b −7 , και μπορούμε να τους παρουσιάσουμε: .
Απάντηση:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Παράδειγμα.
Εκφράστε μια έκφραση με δυνάμεις ως προϊόν.
Λύση.
Μπορείτε να αντιμετωπίσετε την εργασία αντιπροσωπεύοντας τον αριθμό 9 ως δύναμη 3 2 και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον τύπο για συντομευμένο πολλαπλασιασμό - διαφορά τετραγώνων: 
Απάντηση:
Υπάρχουν επίσης ένας αριθμός μετασχηματισμοί ταυτότητας, εγγενές ειδικά στις εκφράσεις δύναμης. Θα τα αναλύσουμε περαιτέρω.
Εργασία με βάση και εκθέτη
Υπάρχουν βαθμοί των οποίων η βάση και/ή ο εκθέτης δεν είναι απλώς αριθμοί ή μεταβλητές, αλλά κάποιες εκφράσεις. Ως παράδειγμα, δίνουμε τις εγγραφές (2+0,3·7) 5−3,7 και (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
Όταν εργάζεστε με τέτοιες εκφράσεις, μπορείτε να αντικαταστήσετε τόσο την έκφραση στη βάση του βαθμού όσο και την έκφραση στον εκθέτη με μια πανομοιότυπη έκφραση στο ODZ των μεταβλητών του. Με άλλα λόγια, σύμφωνα με τους γνωστούς μας κανόνες, μπορούμε να μετατρέψουμε χωριστά τη βάση του βαθμού και ξεχωριστά τον εκθέτη. Είναι σαφές ότι ως αποτέλεσμα αυτού του μετασχηματισμού, θα ληφθεί μια έκφραση που είναι πανομοιότυπη με την αρχική.
Τέτοιοι μετασχηματισμοί μας επιτρέπουν να απλοποιήσουμε τις εκφράσεις με δυνάμεις ή να πετύχουμε άλλους στόχους που χρειαζόμαστε. Για παράδειγμα, στην έκφραση ισχύος που αναφέρθηκε παραπάνω (2+0,3 7) 5−3,7, μπορείτε να εκτελέσετε πράξεις με τους αριθμούς στη βάση και τον εκθέτη, που θα σας επιτρέψουν να μετακινηθείτε στην ισχύ 4.1 1.3. Και αφού ανοίξουμε τις αγκύλες και φέρουμε παρόμοιους όρους στη βάση του βαθμού (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) παίρνουμε μια έκφραση ισχύος περισσότερο απλός τύπος a 2·(x+1) .
Χρήση ιδιοτήτων πτυχίου
Ένα από τα κύρια εργαλεία για τη μετατροπή εκφράσεων με δυνάμεις είναι οι ισότητες που αντανακλούν . Ας θυμηθούμε τα κυριότερα. Για τυχόν θετικούς αριθμούς a και b και αυθαίρετους πραγματικούς αριθμούς r και s ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες των βαθμών:
- a r ·a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r ;
- (α:β) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
Σημειώστε ότι για φυσικούς, ακέραιους και θετικούς εκθέτες, οι περιορισμοί στους αριθμούς a και b μπορεί να μην είναι τόσο αυστηροί. Για παράδειγμα, για τους φυσικούς αριθμούς m και n η ισότητα a m ·a n =a m+n ισχύει όχι μόνο για το θετικό a, αλλά και για το αρνητικό a, και για το a=0.
Στο σχολείο, η κύρια εστίαση κατά τη μετατροπή των εκφράσεων δύναμης είναι η ικανότητα επιλογής της κατάλληλης ιδιότητας και σωστής εφαρμογής της. Σε αυτή την περίπτωση, οι βάσεις των μοιρών είναι συνήθως θετικές, γεγονός που επιτρέπει τη χρήση των ιδιοτήτων των μοιρών χωρίς περιορισμούς. Το ίδιο ισχύει και για τον μετασχηματισμό των εκφράσεων που περιέχουν μεταβλητές στις βάσεις των δυνάμεων - το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών των μεταβλητών είναι συνήθως τέτοιο ώστε οι βάσεις σε αυτό λαμβάνουν μόνο θετικές αξίες, το οποίο σας επιτρέπει να χρησιμοποιείτε ελεύθερα τις ιδιότητες των βαθμών. Γενικά, πρέπει να αναρωτιέστε συνεχώς εάν είναι δυνατό να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε ιδιότητα πτυχίων σε αυτήν την περίπτωση, επειδή η ανακριβής χρήση των ιδιοτήτων μπορεί να οδηγήσει σε περιορισμό της εκπαιδευτικής αξίας και άλλα προβλήματα. Αυτά τα σημεία συζητούνται λεπτομερώς και με παραδείγματα στο άρθρο μετασχηματισμός εκφράσεων χρησιμοποιώντας ιδιότητες δυνάμεων. Εδώ θα περιοριστούμε στην εξέταση μερικών απλών παραδειγμάτων.
Παράδειγμα.
Να εκφράσετε την παράσταση a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ως δύναμη με βάση α.
Λύση.
Πρώτον, μετασχηματίζουμε τον δεύτερο παράγοντα (a 2) −3 χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της αύξησης μιας ισχύος σε μια ισχύ: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Η αρχική έκφραση ισχύος θα πάρει τη μορφή a 2,5 ·a −6:a −5,5. Προφανώς, μένει να χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης των δυνάμεων με την ίδια βάση, έχουμε
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .
Απάντηση:
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.
Οι ιδιότητες των δυνάμεων κατά τη μετατροπή εκφράσεων ισχύος χρησιμοποιούνται τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και από τα δεξιά προς τα αριστερά.
Παράδειγμα.
Βρείτε την τιμή της έκφρασης δύναμης.
Λύση.
Η ισότητα (a·b) r =a r ·b r, που εφαρμόζεται από τα δεξιά προς τα αριστερά, μας επιτρέπει να μεταβούμε από την αρχική έκφραση σε ένα γινόμενο της μορφής και παραπέρα. Και όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις, οι εκθέτες αθροίζονται: 
.
Ήταν δυνατό να μεταμορφωθεί η αρχική έκφραση με άλλο τρόπο: 
Απάντηση:
.
Παράδειγμα.
Δίνοντας την έκφραση ισχύος a 1,5 −a 0,5 −6, εισάγετε μια νέα μεταβλητή t=a 0,5.
Λύση.
Ο βαθμός a 1,5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως 0,5 3 και στη συνέχεια, με βάση την ιδιότητα του βαθμού στον βαθμό (a r) s =a r s, που εφαρμόζεται από τα δεξιά προς τα αριστερά, μετασχηματίστε τον στη μορφή (a 0,5) 3. Ετσι, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Τώρα είναι εύκολο να εισαγάγουμε μια νέα μεταβλητή t=a 0,5, παίρνουμε t 3 −t−6.
Απάντηση:
t 3 −t−6 .
Μετατροπή κλασμάτων που περιέχουν δυνάμεις
Οι εκφράσεις ισχύος μπορούν να περιέχουν ή να αντιπροσωπεύουν κλάσματα με δυνάμεις. Οποιοσδήποτε από τους βασικούς μετασχηματισμούς των κλασμάτων που είναι εγγενείς σε κλάσματα κάθε είδους είναι πλήρως εφαρμόσιμος σε τέτοια κλάσματα. Δηλαδή, κλάσματα που περιέχουν δυνάμεις μπορούν να ανάγονται, να ανάγονται σε νέο παρονομαστή, να δουλεύονται χωριστά με τον αριθμητή τους και χωριστά με τον παρονομαστή κ.λπ. Για να επεξηγήσετε αυτές τις λέξεις, εξετάστε λύσεις σε πολλά παραδείγματα.
Παράδειγμα.
Απλοποιήστε την έκφραση δύναμης 
.
Λύση.
Αυτή η έκφραση δύναμης είναι ένα κλάσμα. Ας δουλέψουμε με τον αριθμητή και τον παρονομαστή του. Στον αριθμητή ανοίγουμε τις αγκύλες και απλοποιούμε την έκφραση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάμεων και στον παρονομαστή παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους: 
Και ας αλλάξουμε επίσης το πρόσημο του παρονομαστή τοποθετώντας ένα μείον μπροστά από το κλάσμα: 
.
Απάντηση:
.
Η αναγωγή των κλασμάτων που περιέχουν δυνάμεις σε νέο παρονομαστή πραγματοποιείται με τον ίδιο τρόπο όπως η αναγωγή σε νέο παρονομαστή λογικά κλάσματα. Στην περίπτωση αυτή, βρίσκεται επίσης ένας πρόσθετος παράγοντας και ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πολλαπλασιάζονται με αυτόν. Κατά την εκτέλεση αυτής της ενέργειας, αξίζει να θυμάστε ότι η αναγωγή σε νέο παρονομαστή μπορεί να οδηγήσει σε στένωση του ODZ. Για να μην συμβεί αυτό, είναι απαραίτητο ο πρόσθετος παράγοντας να μην μηδενίζεται για καμία τιμή των μεταβλητών από τις μεταβλητές ODZ για την αρχική έκφραση.
Παράδειγμα.
Ανάγουμε τα κλάσματα σε νέο παρονομαστή: α) σε παρονομαστή α, β) 
στον παρονομαστή.
Λύση.
α) Σε αυτήν την περίπτωση, είναι πολύ εύκολο να καταλάβουμε ποιος πρόσθετος πολλαπλασιαστής βοηθά να επιτευχθεί επιθυμητό αποτέλεσμα. Αυτός είναι ένας πολλαπλασιαστής του 0,3, αφού ένα 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Σημειώστε ότι στο εύρος των επιτρεπόμενων τιμών της μεταβλητής a (αυτό είναι το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών), η ισχύς του 0,3 δεν εξαφανίζεται, επομένως, έχουμε το δικαίωμα να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός δεδομένου κλάσμα με αυτόν τον πρόσθετο παράγοντα: 
β) Ρίχνοντας μια πιο προσεκτική ματιά στον παρονομαστή, θα διαπιστώσετε ότι 
και πολλαπλασιάζοντας αυτήν την έκφραση με θα δώσει το άθροισμα των κύβων και, δηλαδή, . Και αυτός είναι ο νέος παρονομαστής στον οποίο πρέπει να μειώσουμε το αρχικό κλάσμα.
Έτσι βρήκαμε έναν επιπλέον παράγοντα. Στο εύρος των αποδεκτών τιμών των μεταβλητών x και y, η έκφραση δεν εξαφανίζεται, επομένως, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτήν: 
Απάντηση:
ΕΝΑ) 
, β) 
.
Δεν υπάρχει επίσης τίποτα νέο στη μείωση των κλασμάτων που περιέχουν δυνάμεις: ο αριθμητής και ο παρονομαστής αντιπροσωπεύονται ως ένας αριθμός παραγόντων και οι ίδιοι συντελεστές του αριθμητή και του παρονομαστή μειώνονται.
Παράδειγμα.
Μείωσε το κλάσμα: α) 
, β).
Λύση.
α) Πρώτον, ο αριθμητής και ο παρονομαστής μπορούν να μειωθούν κατά τους αριθμούς 30 και 45, που ισούται με 15. Είναι επίσης προφανώς δυνατό να πραγματοποιηθεί μείωση κατά x 0,5 +1 και κατά 
. Να τι έχουμε: 
β) Στην περίπτωση αυτή, οι ίδιοι παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή δεν είναι άμεσα ορατοί. Για να τα αποκτήσετε, θα πρέπει να εκτελέσετε προκαταρκτικές μετατροπές. Σε αυτή την περίπτωση, συνίστανται στην παραγοντοποίηση του παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων: 
Απάντηση:
ΕΝΑ) 
σι) 
.
Η μετατροπή των κλασμάτων σε νέο παρονομαστή και η μείωση των κλασμάτων χρησιμοποιούνται κυρίως για να κάνουμε πράγματα με κλάσματα. Οι ενέργειες εκτελούνται σύμφωνα με γνωστούς κανόνες. Κατά την πρόσθεση (αφαίρεση) κλασμάτων, μειώνονται σε έναν κοινό παρονομαστή, μετά τον οποίο προστίθενται (αφαιρούνται) οι αριθμητές, αλλά ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος. Το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι το γινόμενο των αριθμητών και ο παρονομαστής είναι το γινόμενο των παρονομαστών. Η διαίρεση με ένα κλάσμα πολλαπλασιάζεται με το αντίστροφό του.
Παράδειγμα.
Ακολούθησε τα βήματα 
.
Λύση.
Αρχικά, αφαιρούμε τα κλάσματα σε παρένθεση. Για να γίνει αυτό, τα φέρνουμε σε έναν κοινό παρονομαστή, που είναι 
, μετά από την οποία αφαιρούμε τους αριθμητές: 
Τώρα πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα: 
Προφανώς, είναι δυνατόν να μειωθεί κατά μια δύναμη x 1/2, μετά την οποία έχουμε 
.
Μπορείτε επίσης να απλοποιήσετε την έκφραση ισχύος στον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων: 
.
Απάντηση:
Παράδειγμα.
Απλοποιήστε την έκφραση ισχύος 
.
Λύση.
Προφανώς, αυτό το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά (x 2,7 +1) 2, αυτό δίνει το κλάσμα 
. Είναι σαφές ότι κάτι άλλο πρέπει να γίνει με τις δυνάμεις του Χ. Για να γίνει αυτό, μετατρέπουμε το κλάσμα που προκύπτει σε προϊόν. Αυτό μας δίνει την ευκαιρία να εκμεταλλευτούμε την ιδιότητα της διαίρεσης δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις: 
. Και στο τέλος της διαδικασίας μετακινούμαστε από τελευταία δουλειάσε ένα κλάσμα.
Απάντηση:
.
Και ας προσθέσουμε επίσης ότι είναι δυνατό, και σε πολλές περιπτώσεις επιθυμητό, να μεταφέρουμε παράγοντες με αρνητικούς εκθέτες από τον αριθμητή στον παρονομαστή ή από τον παρονομαστή στον αριθμητή, αλλάζοντας το πρόσημο του εκθέτη. Τέτοιοι μετασχηματισμοί συχνά απλοποιούν περαιτέρω ενέργειες. Για παράδειγμα, μια έκφραση ισχύος μπορεί να αντικατασταθεί από .
Μετατροπή εκφράσεων με ρίζες και δυνάμεις
Συχνά, σε εκφράσεις στις οποίες απαιτούνται ορισμένοι μετασχηματισμοί, υπάρχουν και ρίζες με κλασματικούς εκθέτες μαζί με δυνάμεις. Για να μετατρέψετε μια τέτοια έκφραση στην επιθυμητή μορφή, στις περισσότερες περιπτώσεις αρκεί να πάτε μόνο στις ρίζες ή μόνο στις εξουσίες. Αλλά επειδή είναι πιο βολικό να δουλεύεις με δυνάμεις, συνήθως μετακινούνται από τις ρίζες στις δυνάμεις. Ωστόσο, συνιστάται να πραγματοποιήσετε μια τέτοια μετάβαση όταν το ODZ των μεταβλητών για την αρχική έκφραση σάς επιτρέπει να αντικαταστήσετε τις ρίζες με δυνάμεις χωρίς να χρειάζεται να αναφερθείτε στη μονάδα ή να χωρίσετε το ODZ σε πολλά διαστήματα (το συζητήσαμε λεπτομερώς στο το άρθρο μετάβαση από τις ρίζες στις δυνάμεις και πίσω Μετά την εξοικείωση με το βαθμό με λογικό εκθέτη εισάγεται ένας βαθμός με παράλογο εκθέτη, ο οποίος μας επιτρέπει να μιλάμε για πτυχίο με αυθαίρετο πραγματικό εκθέτη.Σε αυτό το στάδιο, το σχολείο αρχίζει να μελέτη εκθετικη συναρτηση , που δίνεται αναλυτικά από μια δύναμη, η βάση της οποίας είναι ένας αριθμός και ο εκθέτης είναι μια μεταβλητή. Ερχόμαστε λοιπόν αντιμέτωποι με εκφράσεις ισχύος που περιέχουν αριθμούς στη βάση της δύναμης, και στον εκθέτη - εκφράσεις με μεταβλητές, και φυσικά προκύπτει η ανάγκη να πραγματοποιηθούν μετασχηματισμοί τέτοιων παραστάσεων.
Πρέπει να ειπωθεί ότι ο μετασχηματισμός των εκφράσεων του υποδεικνυόμενου τύπου συνήθως πρέπει να εκτελείται κατά την επίλυση εκθετικές εξισώσειςΚαι εκθετικές ανισότητες , και αυτές οι μετατροπές είναι αρκετά απλές. Στη συντριπτική πλειοψηφία των περιπτώσεων, βασίζονται στις ιδιότητες του πτυχίου και στοχεύουν, ως επί το πλείστον, στην εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής στο μέλλον. Η εξίσωση θα μας επιτρέψει να τα αποδείξουμε 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Πρώτον, οι δυνάμεις, στους εκθέτες των οποίων είναι το άθροισμα μιας συγκεκριμένης μεταβλητής (ή έκφρασης με μεταβλητές) και ενός αριθμού, αντικαθίστανται από γινόμενα. Αυτό ισχύει για τον πρώτο και τον τελευταίο όρο της έκφρασης στην αριστερή πλευρά:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Στη συνέχεια, και οι δύο πλευρές της ισότητας διαιρούνται με την έκφραση 7 2 x, η οποία στο ODZ της μεταβλητής x για την αρχική εξίσωση παίρνει μόνο θετικές τιμές (αυτή είναι μια τυπική τεχνική για την επίλυση εξισώσεων αυτού του τύπου, δεν είμαστε μιλώντας για αυτό τώρα, οπότε επικεντρωθείτε σε μεταγενέστερους μετασχηματισμούς εκφράσεων με δυνάμεις ): 
Τώρα μπορούμε να ακυρώσουμε κλάσματα με δυνάμεις, που δίνει 
.
Τέλος, ο λόγος των δυνάμεων με τους ίδιους εκθέτες αντικαθίσταται από δυνάμεις των σχέσεων, με αποτέλεσμα η εξίσωση 
, που είναι ισοδύναμο 
. Οι μετασχηματισμοί που έγιναν μας επιτρέπουν να εισαγάγουμε μια νέα μεταβλητή, η οποία μειώνει τη λύση στην αρχική εκθετική εξίσωσηγια την επίλυση τετραγωνικής εξίσωσης
Η έκφραση a n (ισχύς με ακέραιο εκθέτη) θα ορίζεται σε όλες τις περιπτώσεις, εκτός από την περίπτωση που το a = 0 και το n είναι μικρότερο ή ίσο με μηδέν.
Ιδιότητες πτυχίων
Βασικές ιδιότητες μοιρών με ακέραιο εκθέτη:
a m *a n = a (m+n) ;
a m: a n = a (m-n) (με έναδεν ισούται με μηδέν).
(a m) n = a (m*n) ;
(a*b) n = a n *b n ;
(a/b) n = (a n)/(b n) (με σιδεν ισούται με μηδέν).
a 0 = 1 (με έναδεν ισούται με μηδέν).
Αυτές οι ιδιότητες θα ισχύουν για οποιουσδήποτε αριθμούς a, b και οποιονδήποτε ακέραιο m και n. Αξίζει επίσης να σημειωθεί η ακόλουθη ιδιοκτησία:
Αν m>n, τότε a m > a n, για a>1 και a m
Μπορούμε να γενικεύσουμε την έννοια του βαθμού ενός αριθμού σε περιπτώσεις όπου οι ρητικοί αριθμοί λειτουργούν ως εκθέτης. Ταυτόχρονα θα ήθελα να εκπληρωθούν όλα τα παραπάνω ακίνητα ή τουλάχιστον κάποια από αυτά.
Για παράδειγμα, εάν η ιδιότητα (a m) n = a (m*n) ικανοποιούνταν, θα ισχύει η ακόλουθη ισότητα:
(a (m/n)) n = a m .
Αυτή η ισότητα σημαίνει ότι ο αριθμός a (m/n) πρέπει να είναι η ν η ρίζα του αριθμού a m.
Η ισχύς κάποιου αριθμού a (μεγαλύτερος από μηδέν) με ορθολογικό εκθέτη r = (m/n), όπου m είναι κάποιος ακέραιος, n κάποιος φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από ένα, είναι ο αριθμός n√(a m). Με βάση τον ορισμό: a (m/n) = n√(a m).
Για όλα τα θετικά r, θα προσδιοριστεί η ισχύς του μηδέν. Εξ ορισμού, 0 r = 0. Σημειώστε επίσης ότι για κάθε ακέραιο αριθμό, κάθε φυσικό m και n και θετικό ΕΝΑισχύει η ακόλουθη ισότητα: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .
Για παράδειγμα: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).
Από τον ορισμό ενός βαθμού με λογικό εκθέτη προκύπτει άμεσα ότι για κάθε θετικό a και κάθε ορθολογικό r ο αριθμός a r θα είναι θετικός.
Βασικές ιδιότητες βαθμού με λογικό εκθέτη
Για οποιουσδήποτε ρητούς αριθμούς p, q και οποιονδήποτε a>0 και b>0 ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:
1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;
2. (a p):(b q) = a (p-q) ;
3. (a p) q = a (p*q) ;
4. (a*b) p = (a p)*(b p);
5. (a/b) p = (a p)/(b p).
Αυτές οι ιδιότητες απορρέουν από τις ιδιότητες των ριζών. Όλες αυτές οι ιδιότητες αποδεικνύονται με παρόμοιο τρόπο, επομένως θα περιοριστούμε να αποδείξουμε μόνο μία από αυτές, για παράδειγμα, την πρώτη (a p)*(a q) = a (p + q) .
Έστω p = m/n, και q = k/l, όπου n, l είναι κάποιοι φυσικοί αριθμοί και m, k είναι κάποιοι ακέραιοι αριθμοί. Τότε πρέπει να αποδείξεις ότι:
(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .
Αρχικά, ας φέρουμε τα κλάσματα m/n k/l σε κοινό παρονομαστή. Παίρνουμε τα κλάσματα (m*l)/(n*l) και (k*n)/(n*l). Ας ξαναγράψουμε την αριστερή πλευρά της ισότητας χρησιμοποιώντας αυτούς τους συμβολισμούς και πάρουμε:
(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).
(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .
Μάθημα Νο. 30 (Άλγεβρα και βασική ανάλυση, 11η τάξη)
Θέμα μαθήματος: Πτυχίο με ορθολογικό εκθέτη.
Στόχος μαθήματος: 1 . Επεκτείνετε την έννοια του βαθμού, δώστε την έννοια του βαθμού με έναν ορθολογικό εκθέτη. διδάξτε πώς να μετατρέψετε έναν βαθμό με λογικό εκθέτη σε ρίζα και αντίστροφα. υπολογίστε δυνάμεις με λογικό εκθέτη.
2. Ανάπτυξη μνήμης και σκέψης.
3. Διαμόρφωση δραστηριότητας.
«Ας προσπαθήσει κάποιος να διαγράψει
από το πτυχίο των μαθηματικών και θα δει,
Ότι δεν θα πάτε μακριά χωρίς αυτούς». M.V. Lomonosov
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.
I. Δήλωση του θέματος και του σκοπού του μαθήματος.
II. Επανάληψη και εμπέδωση του καλυπτόμενου υλικού.
1. Ανάλυση άλυτων οικιακών παραδειγμάτων.
2. Επίβλεψη ανεξάρτητης εργασίας:
Επιλογή 1.
1. Λύστε την εξίσωση: √(2x – 1) = 3x – 12
2. Λύστε την ανίσωση: √(3x – 2) ≥ 4 – x
Επιλογή 2.
1. Λύστε την εξίσωση: 3 – 2x = √(7x + 32)
2. Λύστε την ανίσωση: √(3x + 1) ≥ x – 1
III. Εκμάθηση νέου υλικού.
1 . Ας θυμηθούμε την επέκταση της έννοιας των αριθμών: N є Z є Q є R.
Αυτό αντιπροσωπεύεται καλύτερα από το παρακάτω διάγραμμα:
Φυσικό (N)
Μηδέν
Μη αρνητικοί αριθμοί
Αρνητικοί αριθμοί
Κλασματικοί αριθμοί
Ακέραιοι (Z)
Παράλογος
Λογικό (Q)
Πραγματικοί αριθμοί
2. Στις κατώτερες τάξεις ορίστηκε η έννοια της δύναμης ενός αριθμού με ακέραιο εκθέτη. α) Θυμηθείτε τον ορισμό του εκθέτη α) με φυσικό, β) με αρνητικό ακέραιο, γ) με μηδενικό εκθέτη.Τονίστε ότι η έκφραση α n έχει νόημα για όλους τους ακέραιους αριθμούς n και οποιεσδήποτε τιμές του a, εκτός από a=0 και n≤0.
β) Να αναφέρετε τις ιδιότητες των μοιρών με ακέραιο εκθέτη.
3. Προφορική εργασία.
1). Υπολογίστε: 1 -5 ; 4 -3 ; (-100 ; (-5) -2; (1/2) -4 ; (3/7) -1 .
2). Γράψτε το ως δύναμη με αρνητικό εκθέτη:
1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7 ; 1/a 9 .
3).Σύγκριση με μονάδα: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .
4 . Τώρα πρέπει να κατανοήσετε τη σημασία των εκφράσεων 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 και τα λοιπά. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να γενικεύσουμε την έννοια του βαθμού με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιούνται όλες οι αναφερόμενες ιδιότητες των πτυχίων. Εξετάστε την ισότητα (α m/n ) n = a m . Τότε εξ ορισμού ρίζας ου βαθμούείναι λογικό να υποθέσουμε ότι α m/n θα νύοστη ρίζαμοίρες από τον αριθμό αΜ . Δίνεται ορισμός του βαθμού με ορθολογικό εκθέτη.
5. Εξετάστε τα παραδείγματα 1 και 2 από το σχολικό βιβλίο.
6. Ας κάνουμε μια σειρά από σχόλια που σχετίζονται με την έννοια του πτυχίου με ορθολογικό εκθέτη.
Σημείωση 1 : Για οποιαδήποτε α>0 και ρητός αριθμός r αριθμός α r >0
Σημείωση 2 : Σύμφωνα με τη βασική ιδιότητα των κλασμάτων, ο ρητός αριθμός m/n μπορεί να γραφεί με τη μορφή mk/nk για οποιαδήποτε φυσικός αριθμόςκ. Επειταη τιμή του βαθμού δεν εξαρτάται από τη μορφή γραφής του ρητού αριθμού,αφού a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n
Σημείωση 3: Όταν ένα Ας το εξηγήσουμε αυτό με ένα παράδειγμα. Σκεφτείτε (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. Από την άλλη πλευρά: 1/3 = 2/6 και μετά (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Παίρνουμε μια αντίφαση.
