Βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών που δίνονται κανονικές εξισώσεις. Γωνία μεταξύ ευθειών. Πώς να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών στο χώρο

Γωνία φ γενικές εξισώσεις A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 και A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, υπολογισμένα με τον τύπο:

Γωνία φ ανάμεσα σε δύο γραμμές που δίνονται κανονικές εξισώσεις(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 και (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2, υπολογισμένα με τον τύπο:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Κάθε επίπεδο στο χώρο μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια γραμμική εξίσωση που ονομάζεται γενική εξίσωσηεπίπεδο

Ειδικές περιπτώσεις.

o Αν στην εξίσωση (8) , τότε το επίπεδο διέρχεται από την αρχή.

o Όταν (,) το επίπεδο είναι παράλληλο προς τον άξονα (άξονας, άξονας), αντίστοιχα.

o Όταν (,) το επίπεδο είναι παράλληλο με το επίπεδο (επίπεδο, επίπεδο).

Λύση: χρήση (7)

Απάντηση: εξίσωση γενικού επιπέδου.

Παράδειγμα.

Ένα επίπεδο στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz δίνεται από τη γενική εξίσωση του επιπέδου . Γράψτε τις συντεταγμένες όλων των κανονικών διανυσμάτων αυτού του επιπέδου.

Γνωρίζουμε ότι οι συντελεστές των μεταβλητών x, y και z στη γενική εξίσωση ενός επιπέδου είναι οι αντίστοιχες συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος αυτού του επιπέδου. Επομένως, το κανονικό διάνυσμα ενός δεδομένου επιπέδου έχει συντεταγμένες. Το σύνολο όλων των κανονικών διανυσμάτων μπορεί να οριστεί ως:

Να γράψετε την εξίσωση του επιπέδου αν στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz στο διάστημα διέρχεται από το σημείο , ΕΝΑ είναι το κανονικό διάνυσμα αυτού του επιπέδου.

Παρουσιάζουμε δύο λύσεις σε αυτό το πρόβλημα.

Από την κατάσταση που έχουμε . Αντικαθιστούμε αυτά τα δεδομένα στη γενική εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο:

Να γράψετε τη γενική εξίσωση ενός επιπέδου παράλληλου στο επίπεδο συντεταγμένων Oyz και που διέρχεται από το σημείο .

Ένα επίπεδο που είναι παράλληλο στο επίπεδο συντεταγμένων Oyz μπορεί να δοθεί από μια γενική μη ολοκληρωμένη εξίσωση επιπέδου της μορφής . Από το σημείο ανήκει στο επίπεδο κατά συνθήκη, τότε οι συντεταγμένες αυτού του σημείου πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του επιπέδου, δηλαδή η ισότητα να είναι αληθής. Από εδώ βρίσκουμε. Έτσι, η απαιτούμενη εξίσωση έχει τη μορφή.

Λύση. Το διασταυρούμενο γινόμενο, εξ ορισμού 10.26, είναι ορθογώνιο στα διανύσματα p και q. Κατά συνέπεια, είναι ορθογώνιο στο επιθυμητό επίπεδο και το διάνυσμα μπορεί να ληφθεί ως το κανονικό του διάνυσμα. Ας βρούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος n:

αυτό είναι . Χρησιμοποιώντας τον τύπο (11.1), λαμβάνουμε

Ανοίγοντας τις αγκύλες σε αυτή την εξίσωση, φτάνουμε στην τελική απάντηση.

Απάντηση: .

Ας ξαναγράψουμε το κανονικό διάνυσμα στη φόρμα και ας βρούμε το μήκος του:

Συμφωνα με τα ΠΑΡΑΠΑΝΩ:

Απάντηση:

Τα παράλληλα επίπεδα έχουν το ίδιο κανονικό διάνυσμα. 1) Από την εξίσωση βρίσκουμε το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου:.

2) Ας συνθέσουμε την εξίσωση του επιπέδου χρησιμοποιώντας το σημείο και το κανονικό διάνυσμα:

Απάντηση:

Διανυσματική εξίσωση ενός επιπέδου στο διάστημα

Παραμετρική εξίσωση ενός επιπέδου στο χώρο

Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα

Ας δοθεί ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων σε τρισδιάστατο χώρο. Ας διατυπώσουμε το εξής πρόβλημα:

Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται αυτό το σημείο Μ(Χ 0, y 0, z 0) κάθετα στο δεδομένο διάνυσμα n = ( ΕΝΑ, σι, ντο} .

Λύση. Αφήνω Π(Χ, y, z) είναι ένα αυθαίρετο σημείο στο χώρο. Τελεία Πανήκει στο επίπεδο αν και μόνο αν το διάνυσμα βουλευτής = {Χ − Χ 0, y − y 0, z − z 0) ορθογώνιο ως προς το διάνυσμα n = {ΕΝΑ, σι, ντο) (Εικ. 1).

Έχοντας γράψει την συνθήκη για την ορθογωνικότητα αυτών των διανυσμάτων (n, βουλευτής) = 0 σε μορφή συντεταγμένων, παίρνουμε:

ΕΝΑ(Χ − Χ 0) + σι(y − y 0) + ντο(z − z 0) = 0

Εξίσωση επιπέδου που χρησιμοποιεί τρία σημεία

Σε διανυσματική μορφή

Σε συντεταγμένες

Αμοιβαία διάταξη των αεροπλάνων στο διάστημα

– γενικές εξισώσειςδύο αεροπλάνα. Επειτα:

1) εάν , τότε τα αεροπλάνα συμπίπτουν?

2) αν , τότε τα επίπεδα είναι παράλληλα.

3) αν ή , τότε τα επίπεδα τέμνονται και το σύστημα των εξισώσεων

(6)

είναι οι εξισώσεις της ευθείας τομής αυτών των επιπέδων.

Λύση: Συνθέτουμε τις κανονικές εξισώσεις της γραμμής χρησιμοποιώντας τον τύπο: Απάντηση:

Παίρνουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν και διανοητικά «τσιμπάμε», για παράδειγμα, το αριστερό κομμάτι: . Τώρα ας εξισώσουμε αυτό το κομμάτι σε οποιοδήποτε αριθμό(θυμηθείτε ότι υπήρχε ήδη ένα μηδέν), για παράδειγμα, σε ένα: . Αφού , τότε τα άλλα δύο «κομμάτια» θα πρέπει επίσης να είναι ίσα με ένα. Ουσιαστικά, πρέπει να λύσετε το σύστημα:

Να συνθέσετε παραμετρικές εξισώσεις των παρακάτω ευθειών:

Λύση: Καθορίζεται απευθείας κανονικές εξισώσειςκαι στο πρώτο στάδιο θα πρέπει να βρείτε κάποιο σημείο που ανήκει στη γραμμή και στο διάνυσμα κατεύθυνσής της.

α) Από τις εξισώσεις αφαιρέστε το σημείο και το διάνυσμα κατεύθυνσης: . Μπορείτε να επιλέξετε ένα άλλο σημείο (πώς να το κάνετε αυτό περιγράφεται παραπάνω), αλλά είναι καλύτερο να πάρετε το πιο προφανές. Παρεμπιπτόντως, για να αποφύγετε λάθη, αντικαθιστάτε πάντα τις συντεταγμένες του στις εξισώσεις.

Ας δημιουργήσουμε παραμετρικές εξισώσεις για αυτή τη γραμμή:

Η ευκολία των παραμετρικών εξισώσεων είναι ότι καθιστούν πολύ εύκολη την εύρεση άλλων σημείων σε μια γραμμή. Για παράδειγμα, ας βρούμε ένα σημείο του οποίου οι συντεταγμένες, ας πούμε, αντιστοιχούν στην τιμή της παραμέτρου:

Έτσι: β) Θεωρήστε τις κανονικές εξισώσεις . Η επιλογή ενός σημείου εδώ δεν είναι δύσκολη, αλλά προδοτική: (προσοχή μην μπερδέψετε τις συντεταγμένες!!!). Πώς να αφαιρέσετε το διάνυσμα οδηγού; Μπορείτε να υποθέσετε σε τι είναι παράλληλη αυτή η ευθεία ή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια απλή τυπική τεχνική: η αναλογία περιέχει το "Y" και το "Z", οπότε γράφουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης και βάζουμε ένα μηδέν στο υπόλοιπο διάστημα: .

Ας συνθέσουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας:

γ) Ας ξαναγράψουμε τις εξισώσεις με τη μορφή , δηλαδή, το "zet" μπορεί να είναι οτιδήποτε. Και αν υπάρχει, τότε ας, για παράδειγμα, . Έτσι, το σημείο ανήκει σε αυτή τη γραμμή. Για να βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης, χρησιμοποιούμε την ακόλουθη τυπική τεχνική: στις αρχικές εξισώσεις υπάρχουν "x" και "y", και στο διάνυσμα κατεύθυνσης σε αυτά τα σημεία γράφουμε μηδενικά: . Στον υπόλοιπο χώρο βάζουμε μονάδα: . Αντί για ένα, οποιοσδήποτε αριθμός εκτός από το μηδέν θα κάνει.

Ας γράψουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας:

Αφήστε τις ευθείες γραμμές να δίνονται στο διάστημα μεγάλοΚαι Μ. Μέσα από κάποιο σημείο Α του χώρου τραβάμε ευθείες γραμμές μεγάλο 1 || μεγάλοΚαι Μ 1 || Μ(Εικ. 138).

Σημειώστε ότι το σημείο Α μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα· συγκεκριμένα, μπορεί να βρίσκεται σε μία από αυτές τις γραμμές. Αν ευθεία μεγάλοΚαι Μτέμνονται, τότε το Α μπορεί να ληφθεί ως σημείο τομής αυτών των γραμμών ( μεγάλο 1 = λΚαι Μ 1 = m).

Γωνία μεταξύ μη παράλληλων γραμμών μεγάλοΚαι Μείναι η τιμή της μικρότερης από τις παρακείμενες γωνίες που σχηματίζονται από τεμνόμενες ευθείες μεγάλο 1 Και Μ 1 (μεγάλο 1 || μεγάλο, Μ 1 || Μ). Η γωνία μεταξύ παράλληλων ευθειών θεωρείται ίση με μηδέν.

Γωνία μεταξύ ευθειών μεγάλοΚαι Μσυμβολίζεται με \(\widehat((l;m))\). Από τον ορισμό προκύπτει ότι αν μετρηθεί σε μοίρες, τότε 0° < \(\widehat((l;m)) \) < 90° και αν σε ακτίνια, τότε 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Εργο.Δίνεται ένας κύβος ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Εικ. 139).

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών AB και DC 1.

Ευθείες γραμμές AB και DC 1 διασταύρωση. Εφόσον η ευθεία γραμμή DC είναι παράλληλη με την ευθεία AB, η γωνία μεταξύ των ευθειών AB και DC 1, σύμφωνα με τον ορισμό, είναι ίση με \(\widehat(C_(1)DC)\).

Επομένως, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Απευθείας μεγάλοΚαι Μλέγονται κάθετος, εάν \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Για παράδειγμα, σε έναν κύβο

Υπολογισμός της γωνίας μεταξύ ευθειών.

Το πρόβλημα του υπολογισμού της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών στο διάστημα λύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως σε ένα επίπεδο. Ας συμβολίσουμε με φ το μέγεθος της γωνίας μεταξύ των ευθειών μεγάλο 1 Και μεγάλο 2, και μέσω ψ - το μέγεθος της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης ΕΝΑ Και σι αυτές τις ευθείες γραμμές.

Τότε αν

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Εικ. 206.6), μετά φ = 180° - ψ. Προφανώς και στις δύο περιπτώσεις ισχύει η ισότητα cos φ = |cos ψ|. Σύμφωνα με τον τύπο (το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των μη μηδενικών διανυσμάτων a και b είναι ίσο με το βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων διαιρούμενο με το γινόμενο των μηκών τους) έχουμε

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

ως εκ τούτου,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Αφήστε τις ευθείες να δίνονται από τις κανονικές τους εξισώσεις

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Και \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Στη συνέχεια, η γωνία φ μεταξύ των γραμμών προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Εάν μία από τις γραμμές (ή και οι δύο) δίνεται από μη κανονικές εξισώσεις, τότε για να υπολογίσετε τη γωνία πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των γραμμών και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον τύπο (1).

Εργασία 1.Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;και\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών έχουν συντεταγμένες:

a = (-√2 ; √2 ; -2), σι = (√3 ; √3 ; √6 ).

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1) βρίσκουμε

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Επομένως, η γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών είναι 60°.

Εργασία 2.Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

$$ \begin(περιπτώσεις)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(περιπτώσεις) και \begin(περιπτώσεις)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(περιπτώσεις) $$

Πίσω από το διάνυσμα οδηγού ΕΝΑ πάρτε την πρώτη ευθεία διανυσματικό προϊόνκανονικά διανύσματα n 1 = (3; 0; -12) και n 2 = (1; 1; -3) επίπεδα που ορίζουν αυτή τη γραμμή. Χρησιμοποιώντας τον τύπο \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) παίρνουμε

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Ομοίως, βρίσκουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της δεύτερης ευθείας:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Αλλά χρησιμοποιώντας τον τύπο (1) υπολογίζουμε το συνημίτονο της επιθυμητής γωνίας:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Επομένως, η γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών είναι 90°.

Εργασία 3.Στην τριγωνική πυραμίδα MABC, οι ακμές MA, MB και MC είναι αμοιβαία κάθετες (Εικ. 207).

τα μήκη τους είναι αντίστοιχα 4, 3, 6. Το σημείο D είναι το μέσο [MA]. Βρείτε τη γωνία φ μεταξύ των ευθειών CA και DB.

Έστω CA και DB τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών CA και DB.

Ας πάρουμε το σημείο Μ ως την αρχή των συντεταγμένων. Με την προϋπόθεση της εξίσωσης έχουμε A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Επομένως \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα συνημιτόνων, βρίσκουμε ότι η γωνία μεταξύ των ευθειών CA και DB είναι περίπου 72°.

Θα είναι χρήσιμο για κάθε μαθητή που προετοιμάζεται για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους στα μαθηματικά να επαναλάβει το θέμα «Εύρεση γωνίας μεταξύ ευθειών». Όπως δείχνουν τα στατιστικά στοιχεία, όταν περνάτε το τεστ πιστοποίησης, οι εργασίες σε αυτό το τμήμα της στερεομετρίας προκαλούν δυσκολίες για μεγάλη ποσότηταΦοιτητές. Ταυτόχρονα, εργασίες που απαιτούν την εύρεση της γωνίας μεταξύ ευθειών βρίσκονται στην Ενιαία Κρατική Εξέταση τόσο της βασικής όσο και της επίπεδο προφίλ. Αυτό σημαίνει ότι όλοι πρέπει να μπορούν να τα λύσουν.

Βασικές στιγμές

Υπάρχουν 4 τύποι σχετικών θέσεων γραμμών στο χώρο. Μπορούν να συμπίπτουν, να τέμνονται, να είναι παράλληλες ή τέμνουσες. Η γωνία μεταξύ τους μπορεί να είναι οξεία ή ευθεία.

Για να βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών στην Ενιαία Κρατική Εξέταση ή, για παράδειγμα, στην επίλυση, οι μαθητές στη Μόσχα και σε άλλες πόλεις μπορούν να χρησιμοποιήσουν διάφορους τρόπους για να λύσουν προβλήματα σε αυτήν την ενότητα της στερεομετρίας. Μπορείτε να ολοκληρώσετε την εργασία χρησιμοποιώντας κλασικές κατασκευές. Για να γίνει αυτό, αξίζει να μάθετε τα βασικά αξιώματα και θεωρήματα της στερεομετρίας. Ο μαθητής πρέπει να μπορεί να συλλογίζεται λογικά και να δημιουργεί σχέδια για να φέρει την εργασία σε ένα επιπεδομετρικό πρόβλημα.

Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο συντεταγμένων διανυσμάτων χρησιμοποιώντας απλοί τύποι, κανόνες και αλγόριθμους. Το κύριο πράγμα σε αυτή την περίπτωση είναι να εκτελέσετε όλους τους υπολογισμούς σωστά. Ακονίστε τις δεξιότητές σας στην επίλυση προβλημάτων στη στερεομετρία και σε άλλους τομείς σχολικό μάθημαθα σε βοηθήσει εκπαιδευτικό έργο«Σκολκόβο».

Oh-oh-oh-oh-oh... καλά, είναι σκληρό, σαν να διάβαζε μια πρόταση στον εαυτό του =) Ωστόσο, η χαλάρωση θα βοηθήσει αργότερα, ειδικά επειδή σήμερα αγόρασα τα κατάλληλα αξεσουάρ. Επομένως, ας προχωρήσουμε στην πρώτη ενότητα, ελπίζω ότι μέχρι το τέλος του άρθρου θα διατηρήσω μια χαρούμενη διάθεση.

Η σχετική θέση δύο ευθειών

Αυτό συμβαίνει όταν το κοινό τραγουδά μαζί σε χορωδία. Δύο ευθείες γραμμές μπορούν:

1) ταίριασμα?

2) να είναι παράλληλη: ;

3) ή τέμνονται σε ένα μόνο σημείο: .

Βοήθεια για ανδρείκελα : Θυμηθείτε το μαθηματικό σημάδι τομής, θα εμφανίζεται πολύ συχνά. Ο συμβολισμός σημαίνει ότι η ευθεία τέμνεται με τη γραμμή στο σημείο .

Πώς να προσδιορίσετε τη σχετική θέση δύο γραμμών;

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη περίπτωση:

Δύο ευθείες συμπίπτουν αν και μόνο αν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ανάλογοι, δηλαδή υπάρχει ένας αριθμός «λάμδα» τέτοιος ώστε να ικανοποιούνται οι ισότητες

Ας εξετάσουμε τις ευθείες γραμμές και ας δημιουργήσουμε τρεις εξισώσεις από τους αντίστοιχους συντελεστές: . Από κάθε εξίσωση προκύπτει ότι, επομένως, αυτές οι γραμμές συμπίπτουν.

Πράγματι, αν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης πολλαπλασιάζοντας με –1 (μεταβολή πρόσημων), και μειώστε όλους τους συντελεστές της εξίσωσης κατά 2, παίρνετε την ίδια εξίσωση: .

Η δεύτερη περίπτωση, όταν οι ευθείες είναι παράλληλες:

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν οι συντελεστές τους των μεταβλητών είναι ανάλογοι: , Αλλά.

Για παράδειγμα, θεωρήστε δύο ευθείες γραμμές. Ελέγχουμε την αναλογικότητα των αντίστοιχων συντελεστών για τις μεταβλητές:

Ωστόσο, είναι αρκετά προφανές ότι.

Και η τρίτη περίπτωση, όταν τέμνονται οι γραμμές:

Δύο ευθείες τέμνονται αν και μόνο αν οι συντελεστές τους των μεταβλητών ΔΕΝ είναι ανάλογοι, δηλαδή ΔΕΝ υπάρχει τέτοια τιμή του «λάμδα» που να ικανοποιούνται οι ισότητες

Έτσι, για τις ευθείες γραμμές θα δημιουργήσουμε ένα σύστημα:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , και από τη δεύτερη εξίσωση: , που σημαίνει το σύστημα είναι ασυνεπές(χωρίς λύσεις). Έτσι, οι συντελεστές των μεταβλητών δεν είναι ανάλογοι.

Συμπέρασμα: οι γραμμές τέμνονται

ΣΕ πρακτικά προβλήματαμπορείτε να χρησιμοποιήσετε το σχήμα λύσεων που μόλις συζητήσαμε. Παρεμπιπτόντως, θυμίζει πολύ τον αλγόριθμο για τον έλεγχο των διανυσμάτων για συγγραμμικότητα, τον οποίο εξετάσαμε στην τάξη Η έννοια της γραμμικής (αν)εξάρτησης διανυσμάτων. Βάση διανυσμάτων. Αλλά υπάρχει μια πιο πολιτισμένη συσκευασία:

Παράδειγμα 1

Να καταλάβω αμοιβαία διευθέτησηαπευθείας:

Λύσημε βάση τη μελέτη κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:

α) Από τις εξισώσεις βρίσκουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών: .

, που σημαίνει ότι τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά και οι γραμμές τέμνονται.

Για κάθε ενδεχόμενο, θα βάλω μια πέτρα με ταμπέλες στο σταυροδρόμι:

Οι υπόλοιποι πηδούν πάνω από την πέτρα και ακολουθούν παρακάτω, κατευθείαν στο Kashchei τον Αθάνατο =)

β) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης, που σημαίνει ότι είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουσες. Δεν χρειάζεται να μετρήσουμε την ορίζουσα εδώ.

Είναι προφανές ότι οι συντελεστές των αγνώστων είναι ανάλογοι, και .

Ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα:

Ετσι,

γ) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων:
, επομένως, τα διανύσματα κατεύθυνσης είναι συγγραμμικά. Οι γραμμές είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουσες.

Ο συντελεστής αναλογικότητας "λάμδα" είναι εύκολο να φανεί απευθείας από την αναλογία των διανυσμάτων συγγραμμικής κατεύθυνσης. Ωστόσο, μπορεί επίσης να βρεθεί μέσω των συντελεστών των ίδιων των εξισώσεων: .

Τώρα ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα. Και τα δυο ελεύθερα μέλημηδέν, άρα:

Η τιμή που προκύπτει ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση (οποιοσδήποτε αριθμός γενικά την ικανοποιεί).

Έτσι, οι γραμμές συμπίπτουν.

Απάντηση:

Πολύ σύντομα θα μάθετε (ή θα έχετε ήδη μάθει) να λύνετε το πρόβλημα που συζητήθηκε προφορικά κυριολεκτικά μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Από αυτή την άποψη, δεν βλέπω νόημα να προσφέρω κάτι ανεξάρτητη απόφαση, είναι καλύτερα να βάλετε ένα άλλο σημαντικό τούβλο στη γεωμετρική βάση:

Πώς να κατασκευάσετε μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη;

Για άγνοια αυτού απλούστερη εργασίαΟ Αηδόνι ο Ληστής τιμωρεί αυστηρά.

Παράδειγμα 2

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση. Να γράψετε μια εξίσωση για μια παράλληλη ευθεία που διέρχεται από το σημείο.

Λύση: Ας υποδηλώσουμε την άγνωστη γραμμή με το γράμμα . Τι λέει η κατάσταση για αυτήν; Η ευθεία διέρχεται από το σημείο. Και αν οι γραμμές είναι παράλληλες, τότε είναι προφανές ότι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας "tse" είναι επίσης κατάλληλο για την κατασκευή της ευθείας "de".

Βγάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης από την εξίσωση:

Απάντηση:

Το παράδειγμα γεωμετρίας φαίνεται απλό:

Η αναλυτική δοκιμή αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

1) Ελέγχουμε ότι οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης (αν η εξίσωση της ευθείας δεν απλοποιηθεί σωστά, τότε τα διανύσματα θα είναι συγγραμμικά).

2) Ελέγξτε αν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, η αναλυτική εξέταση μπορεί να πραγματοποιηθεί εύκολα από το στόμα. Κοιτάξτε τις δύο εξισώσεις και πολλοί από εσάς θα προσδιορίσετε γρήγορα τον παραλληλισμό των γραμμών χωρίς κανένα σχέδιο.

Τα παραδείγματα για ανεξάρτητες λύσεις σήμερα θα είναι δημιουργικά. Γιατί θα πρέπει ακόμα να συναγωνιστείς την Μπάμπα Γιάγκα και εκείνη, ξέρεις, είναι λάτρης όλων των ειδών των γρίφων.

Παράδειγμα 3

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο παράλληλο στην ευθεία αν

Υπάρχει ένας λογικός και όχι τόσο ορθολογικός τρόπος να το λύσουμε. Ο συντομότερος δρόμος είναι στο τέλος του μαθήματος.

Δουλέψαμε λίγο με παράλληλες γραμμές και θα επιστρέψουμε σε αυτές αργότερα. Η περίπτωση των γραμμών που συμπίπτουν είναι λίγο ενδιαφέρον, οπότε ας εξετάσουμε ένα πρόβλημα που σας είναι οικείο σχολικό πρόγραμμα σπουδών:

Πώς να βρείτε το σημείο τομής δύο ευθειών;

Αν ευθεία τέμνονται στο σημείο , τότε οι συντεταγμένες του είναι η λύση συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Πώς να βρείτε το σημείο τομής των γραμμών; Λύστε το σύστημα.

Ορίστε γεωμετρική σημασίασυστήματα των δύο γραμμικές εξισώσειςμε δύο αγνώστους- αυτές είναι δύο τεμνόμενες (τις περισσότερες φορές) γραμμές σε ένα επίπεδο.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών

Λύση: Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης - γραφικός και αναλυτικός.

Γραφική μέθοδοςείναι απλά να σχεδιάσετε τις δεδομένες γραμμές και να βρείτε το σημείο τομής απευθείας από το σχέδιο:

Εδώ είναι το θέμα μας: . Για να ελέγξετε, θα πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες της σε κάθε εξίσωση της γραμμής, θα πρέπει να ταιριάζουν και εκεί και εκεί. Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες ενός σημείου είναι μια λύση στο σύστημα. Ουσιαστικά, εξετάσαμε μια γραφική λύση συστήματα γραμμικών εξισώσεωνμε δύο εξισώσεις, δύο άγνωστους.

Η γραφική μέθοδος, φυσικά, δεν είναι κακή, αλλά υπάρχουν αξιοσημείωτα μειονεκτήματα. Όχι, το θέμα δεν είναι ότι οι μαθητές της έβδομης τάξης αποφασίζουν έτσι, το θέμα είναι ότι θα χρειαστεί χρόνος για να δημιουργήσετε ένα σωστό και ΑΚΡΙΒΗ σχέδιο. Επιπλέον, ορισμένες ευθείες γραμμές δεν είναι τόσο εύκολο να κατασκευαστούν και το ίδιο το σημείο τομής μπορεί να βρίσκεται κάπου στο τριακοστό βασίλειο έξω από το φύλλο του σημειωματάριου.

Επομένως, είναι πιο σκόπιμο να αναζητήσετε το σημείο τομής χρησιμοποιώντας την αναλυτική μέθοδο. Ας λύσουμε το σύστημα:

Για την επίλυση του συστήματος χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της πρόσθεσης εξισώσεων κατά όρο. Για να αναπτύξετε σχετικές δεξιότητες, κάντε ένα μάθημα Πώς να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων;

Απάντηση:

Ο έλεγχος είναι ασήμαντος - οι συντεταγμένες του σημείου τομής πρέπει να ικανοποιούν κάθε εξίσωση του συστήματος.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών αν τέμνονται.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Είναι βολικό να χωρίσετε την εργασία σε διάφορα στάδια. Η ανάλυση της κατάστασης υποδηλώνει ότι είναι απαραίτητο:
1) Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας.
2) Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας.
3) Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών.
4) Εάν οι ευθείες τέμνονται, τότε βρείτε το σημείο τομής.

Η ανάπτυξη ενός αλγορίθμου δράσης είναι χαρακτηριστική για πολλούς γεωμετρικά προβλήματα, και θα επικεντρωθώ επανειλημμένα σε αυτό.

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος:

Ούτε ένα ζευγάρι παπούτσια δεν είχε φθαρεί πριν φτάσουμε στη δεύτερη ενότητα του μαθήματος:

Κάθετες γραμμές. Απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.
Γωνία μεταξύ ευθειών

Ας ξεκινήσουμε με μια τυπική και πολύ σημαντική εργασία. Στο πρώτο μέρος, μάθαμε πώς να χτίζουμε μια ευθεία γραμμή παράλληλη με αυτήν και τώρα η καλύβα στα μπούτια κοτόπουλου θα γυρίσει 90 μοίρες:

Πώς να κατασκευάσετε μια ευθεία κάθετη σε μια δεδομένη;

Παράδειγμα 6

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση. Να γράψετε μια εξίσωση κάθετη στην ευθεία που διέρχεται από το σημείο.

Λύση: Κατά συνθήκη είναι γνωστό ότι . Θα ήταν ωραίο να βρούμε το σκηνοθετικό διάνυσμα της γραμμής. Δεδομένου ότι οι γραμμές είναι κάθετες, το κόλπο είναι απλό:

Από την εξίσωση «αφαιρούμε» το κανονικό διάνυσμα: , που θα είναι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας.

Ας συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης:

Απάντηση:

Ας επεκτείνουμε το γεωμετρικό σκίτσο:

Χμμμ... Πορτοκαλί ουρανός, πορτοκαλί θάλασσα, πορτοκαλί καμήλα.

Αναλυτική επαλήθευση της λύσης:

1) Βγάζουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης από τις εξισώσεις και με τη βοήθεια κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτωνκαταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι ευθείες είναι όντως κάθετες: .

Παρεμπιπτόντως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κανονικά διανύσματα, είναι ακόμα πιο εύκολο.

2) Ελέγξτε αν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει .

Το τεστ, πάλι, είναι εύκολο να γίνει από το στόμα.

Παράδειγμα 7

Να βρείτε το σημείο τομής των κάθετων ευθειών αν η εξίσωση είναι γνωστή και περίοδος.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Υπάρχουν πολλές ενέργειες στο πρόβλημα, επομένως είναι βολικό να διατυπώσετε τη λύση σημείο προς σημείο.

Το συναρπαστικό μας ταξίδι συνεχίζεται:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Έχουμε μια ευθεία λωρίδα ποταμού μπροστά μας και καθήκον μας είναι να φτάσουμε σε αυτήν από τη συντομότερη διαδρομή. Δεν υπάρχουν εμπόδια και η βέλτιστη διαδρομή θα είναι η κίνηση κατά μήκος της κάθετης. Δηλαδή, η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία είναι το μήκος του κάθετου τμήματος.

Η απόσταση στη γεωμετρία υποδηλώνεται παραδοσιακά Ελληνικό γράμμα«ro», για παράδειγμα: – η απόσταση από το σημείο «em» έως την ευθεία «de».

Απόσταση από σημείο σε γραμμή εκφράζεται με τον τύπο

Παράδειγμα 8

Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία

Λύση: το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να αντικαταστήσετε προσεκτικά τους αριθμούς στον τύπο και να εκτελέσετε τους υπολογισμούς:

Απάντηση:

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Η απόσταση που βρέθηκε από το σημείο μέχρι τη γραμμή είναι ακριβώς το μήκος του κόκκινου τμήματος. Εάν σχεδιάσετε ένα σχέδιο σε καρό χαρτί σε κλίμακα 1 μονάδας. = 1 cm (2 κελιά), τότε η απόσταση μπορεί να μετρηθεί με έναν συνηθισμένο χάρακα.

Ας εξετάσουμε μια άλλη εργασία που βασίζεται στο ίδιο σχέδιο:

Το καθήκον είναι να βρούμε τις συντεταγμένες ενός σημείου που είναι συμμετρικό προς το σημείο σε σχέση με την ευθεία . Προτείνω να εκτελέσετε τα βήματα μόνοι σας, αλλά θα περιγράψω τον αλγόριθμο λύσης με ενδιάμεσα αποτελέσματα:

1) Βρείτε μια ευθεία που είναι κάθετη στην ευθεία.

2) Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών: .

Και οι δύο ενέργειες συζητούνται λεπτομερώς σε αυτό το μάθημα.

3) Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της μέσης και ενός από τα άκρα. Με τύποι για τις συντεταγμένες του μέσου ενός τμήματοςβρίσκουμε .

Καλό θα ήταν να ελέγξετε ότι η απόσταση είναι επίσης 2,2 μονάδες.

Μπορεί να προκύψουν δυσκολίες στους υπολογισμούς εδώ, αλλά ένας μικροϋπολογιστής είναι μια μεγάλη βοήθεια στον πύργο, επιτρέποντάς σας να υπολογίσετε κοινά κλάσματα. Σας έχω συμβουλέψει πολλές φορές και θα σας προτείνω ξανά.

Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών;

Παράδειγμα 9

Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών

Αυτό είναι ένα άλλο παράδειγμα για να αποφασίσετε μόνοι σας. Θα σας δώσω μια μικρή υπόδειξη: υπάρχουν άπειροι τρόποι για να το λύσετε αυτό. Απολογισμός στο τέλος του μαθήματος, αλλά είναι καλύτερο να προσπαθήσετε να μαντέψετε μόνοι σας, νομίζω ότι η εφευρετικότητά σας ήταν καλά αναπτυγμένη.

Γωνία μεταξύ δύο ευθειών

Κάθε γωνιά είναι ένα τζάμπα:


Στη γεωμετρία, η γωνία μεταξύ δύο ευθειών λαμβάνεται ως η ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ γωνία, από την οποία αυτόματα προκύπτει ότι δεν μπορεί να είναι αμβλεία. Στο σχήμα, η γωνία που υποδεικνύεται από το κόκκινο τόξο δεν θεωρείται η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών. Και ο «πράσινος» γείτονάς του ή αντίθετα προσανατολισμέναγωνία "βατόμουρου".

Εάν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε οποιαδήποτε από τις 4 γωνίες μπορεί να ληφθεί ως γωνία μεταξύ τους.

Πώς διαφέρουν οι γωνίες; Προσανατολισμός. Πρώτον, η κατεύθυνση στην οποία η γωνία "κύλιση" είναι θεμελιωδώς σημαντική. Δεύτερον, μια αρνητικά προσανατολισμένη γωνία γράφεται με αρνητικό πρόσημο, για παράδειγμα εάν .

Γιατί σας το είπα αυτό; Φαίνεται ότι μπορούμε να τα βγάλουμε πέρα ​​με τη συνηθισμένη έννοια της γωνίας. Γεγονός είναι ότι οι τύποι με τους οποίους θα βρούμε γωνίες μπορούν εύκολα να οδηγήσουν σε αρνητικό αποτέλεσμα και αυτό δεν πρέπει να σας εκπλήξει. Μια γωνία με σύμβολο μείον δεν είναι χειρότερη και έχει μια πολύ συγκεκριμένη γεωμετρική σημασία. Στο σχέδιο, για αρνητική γωνία, φροντίστε να υποδείξετε τον προσανατολισμό του με ένα βέλος (δεξιόστροφα).

Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών;Υπάρχουν δύο τύποι εργασίας:

Παράδειγμα 10

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

ΛύσηΚαι Μέθοδος ένα

Εξετάστε δύο ευθείες γραμμές, δίνονται με εξισώσεις V γενική εικόνα:

Αν ευθεία όχι κάθετο, Οτι προσανατολισμένηΗ γωνία μεταξύ τους μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ας δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στον παρονομαστή - αυτό ακριβώς είναι κλιμακωτό προϊόνκατευθυντικά διανύσματα ευθειών:

Αν , τότε ο παρονομαστής του τύπου γίνεται μηδέν, και τα διανύσματα θα είναι ορθογώνια και οι ευθείες θα είναι κάθετες. Γι' αυτό διατυπώθηκε επιφύλαξη για τη μη καθετότητα των ευθειών στη διατύπωση.

Με βάση τα παραπάνω, είναι βολικό να επισημοποιήσετε τη λύση σε δύο βήματα:

1) Ας υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων κατεύθυνσης των γραμμών:
, που σημαίνει ότι οι γραμμές δεν είναι κάθετες.

2) Βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Με τη χρήση αντίστροφη συνάρτησηΕίναι εύκολο να βρεις την ίδια τη γωνία. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε την περιττότητα της εφαπτομένης (βλ. Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων):

Απάντηση:

Στην απάντησή σας, υποδεικνύουμε την ακριβή τιμή, καθώς και μια κατά προσέγγιση τιμή (κατά προτίμηση και σε μοίρες και ακτίνια), που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή.

Λοιπόν, μείον, μείον, δεν υπάρχει μεγάλη υπόθεση. Εδώ είναι μια γεωμετρική απεικόνιση:

Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η γωνία αποδείχθηκε αρνητικός προσανατολισμός, επειδή στη δήλωση του προβλήματος ο πρώτος αριθμός είναι μια ευθεία γραμμή και το "ξεβίδωμα" της γωνίας ξεκίνησε ακριβώς με αυτό.

Εάν θέλετε πραγματικά να έχετε μια θετική γωνία, πρέπει να ανταλλάξετε τις γραμμές, δηλαδή να πάρετε τους συντελεστές από τη δεύτερη εξίσωση , και πάρτε τους συντελεστές από την πρώτη εξίσωση. Εν ολίγοις, πρέπει να ξεκινήσετε με ένα άμεσο .

ΕΝΑ. Έστω δύο ευθείες, οι οποίες, όπως υποδεικνύονται στο Κεφάλαιο 1, σχηματίζουν διάφορες θετικές και αρνητικές γωνίες, οι οποίες μπορεί να είναι οξείες ή αμβλείες. Γνωρίζοντας μία από αυτές τις γωνίες, μπορούμε εύκολα να βρούμε οποιαδήποτε άλλη.

Παρεμπιπτόντως, για όλες αυτές τις γωνίες η αριθμητική τιμή της εφαπτομένης είναι η ίδια, η διαφορά μπορεί να είναι μόνο στο πρόσημο

Εξισώσεις γραμμών. Οι αριθμοί είναι οι προβολές των διανυσμάτων κατεύθυνσης της πρώτης και της δεύτερης ευθείας.Η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι ίση με μία από τις γωνίες που σχηματίζονται από ευθείες γραμμές. Επομένως, το πρόβλημα έγκειται στον προσδιορισμό της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων

Για απλότητα, μπορούμε να συμφωνήσουμε ότι η γωνία μεταξύ δύο ευθειών είναι μια οξεία θετική γωνία (όπως, για παράδειγμα, στο Σχ. 53).

Τότε η εφαπτομένη αυτής της γωνίας θα είναι πάντα θετική. Έτσι, εάν υπάρχει ένα σύμβολο μείον στη δεξιά πλευρά του τύπου (1), τότε πρέπει να το απορρίψουμε, δηλαδή να αποθηκεύσουμε μόνο την απόλυτη τιμή.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των ευθειών

Σύμφωνα με τον τύπο (1) έχουμε

Με. Αν υποδεικνύεται ποια από τις πλευρές της γωνίας είναι η αρχή και ποια το τέλος της, τότε, μετρώντας πάντα την φορά της γωνίας αριστερόστροφα, μπορούμε να εξαγάγουμε κάτι παραπάνω από τον τύπο (1). Όπως φαίνεται εύκολα από το Σχ. 53, το σύμβολο που λαμβάνεται στη δεξιά πλευρά του τύπου (1) θα υποδεικνύει τι είδους γωνία - οξεία ή αμβλεία - σχηματίζει η δεύτερη ευθεία με την πρώτη.

(Πράγματι, από το Σχ. 53 βλέπουμε ότι η γωνία μεταξύ του πρώτου και του δεύτερου διανύσματος κατεύθυνσης είναι είτε ίση με την επιθυμητή γωνία μεταξύ των ευθειών είτε διαφέρει από αυτήν κατά ±180°.)

ρε. Αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε τα διανύσματα κατεύθυνσής τους είναι παράλληλα Εφαρμόζοντας την συνθήκη παραλληλισμού δύο διανυσμάτων, παίρνουμε!

Αυτή είναι απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό δύο ευθειών.

Παράδειγμα. Απευθείας

είναι παράλληλες γιατί

μι. Αν οι ευθείες είναι κάθετες τότε κάθετα είναι και τα διανύσματα κατεύθυνσής τους. Εφαρμόζοντας τη συνθήκη της καθετότητας δύο διανυσμάτων, προκύπτει η συνθήκη της καθετότητας δύο ευθειών, δηλαδή

Παράδειγμα. Απευθείας

είναι κάθετες λόγω του ότι

Σε σχέση με τις συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας, θα λύσουμε τα ακόλουθα δύο προβλήματα.

φά. Σχεδιάστε μια ευθεία σε σημείο παράλληλο στη δεδομένη ευθεία

Η λύση πραγματοποιείται ως εξής. Εφόσον η επιθυμητή ευθεία είναι παράλληλη με αυτήν, τότε για το διάνυσμα κατεύθυνσής της μπορούμε να πάρουμε το ίδιο με αυτό της δεδομένης γραμμής, δηλαδή ένα διάνυσμα με προβολές Α και Β. Και τότε η εξίσωση της επιθυμητής ευθείας θα γραφεί στο το έντυπο (§ 1)

Παράδειγμα. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο (1; 3) παράλληλο προς την ευθεία

θα υπάρξει επόμενο!

σολ. Σχεδιάστε μια ευθεία σε ένα σημείο κάθετο στη δεδομένη ευθεία

Εδώ δεν είναι πλέον κατάλληλο να παίρνουμε το διάνυσμα με προβολές Α και ως καθοδηγητικό διάνυσμα, αλλά είναι απαραίτητο να παίρνουμε το διάνυσμα κάθετο σε αυτό. Οι προβολές αυτού του διανύσματος πρέπει επομένως να επιλέγονται σύμφωνα με την συνθήκη της καθετότητας και των δύο διανυσμάτων, δηλαδή σύμφωνα με την συνθήκη

Αυτή η συνθήκη μπορεί να εκπληρωθεί με αμέτρητους τρόπους, αφού εδώ υπάρχει μία εξίσωση με δύο άγνωστα.Αλλά ο ευκολότερος τρόπος είναι να ληφθεί ή Στη συνέχεια η εξίσωση της επιθυμητής γραμμής θα γραφτεί με τη μορφή

Παράδειγμα. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο (-7; 2) σε κάθετη ευθεία

θα υπάρχει το εξής (σύμφωνα με τον δεύτερο τύπο)!

η. Στην περίπτωση που οι γραμμές δίνονται με εξισώσεις της μορφής

ξαναγράφοντας αυτές τις εξισώσεις διαφορετικά, έχουμε