ΣΕ μετασχηματισμοί ταυτότητας τριγωνομετρικές εκφράσειςΜπορούν να χρησιμοποιηθούν οι ακόλουθες αλγεβρικές τεχνικές: πρόσθεση και αφαίρεση πανομοιότυπων όρων. βάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων. πολλαπλασιασμός και διαίρεση με την ίδια ποσότητα. εφαρμογή συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού. κατανομή πλήρες τετράγωνο; αποσύνθεση τετραγωνικό τριώνυμομε πολλαπλασιαστές? εισαγωγή νέων μεταβλητών για την απλοποίηση των μετασχηματισμών.

Κατά τη μετατροπή τριγωνομετρικών παραστάσεων που περιέχουν κλάσματα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες της αναλογίας, τη μείωση των κλασμάτων ή τη μείωση των κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή. Επιπλέον, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την απομόνωση ολόκληρου του κλάσματος, πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το ίδιο μέγεθος, και επίσης, αν είναι δυνατόν, λάβετε υπόψη την ομοιογένεια του αριθμητή ή του παρονομαστή. Εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να αναπαραστήσετε ένα κλάσμα ως το άθροισμα ή τη διαφορά πολλών απλούστερων κλασμάτων.

Επιπλέον, κατά την εφαρμογή όλων των απαραίτητων μεθόδων για τη μετατροπή τριγωνομετρικών παραστάσεων, είναι απαραίτητο να λαμβάνεται συνεχώς υπόψη το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών των παραστάσεων που μετατρέπονται.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1.

Υπολογίστε A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ αμαρτία (3π/2 – x) αμαρτία (2x –5π/2)) 2

Λύση.

Από τους τύπους μείωσης προκύπτει:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

αμαρτία (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; αμαρτία (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Από όπου, δυνάμει των τύπων για την προσθήκη ορισμάτων και της κύριας τριγωνομετρικής ταυτότητας, παίρνουμε

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= αμαρτία 2 3x + cos 2 3x = 1

Απάντηση: 1.

Παράδειγμα 2.

Να μετατρέψετε την έκφραση M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ σε γινόμενο.

Λύση.

Από τύπους προσθήκης ορισμάτων και τύπους μετατροπής αθροισμάτων τριγωνομετρικές συναρτήσειςστο προϊόν μετά από κατάλληλη ομαδοποίηση που έχουμε

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) συν ((β – γ)/2) + (συν α + συν (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) συν ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) συν ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) συν ((α +β)/2) συν ((α + γ)/2).

Απάντηση: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Παράδειγμα 3.

Δείξτε ότι η παράσταση A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) παίρνει ένα για όλα τα x από το R και η ίδια σημασία. Βρείτε αυτήν την τιμή.

Λύση.

Εδώ είναι δύο τρόποι για να λύσετε αυτό το πρόβλημα. Εφαρμόζοντας την πρώτη μέθοδο, απομονώνοντας ένα πλήρες τετράγωνο και χρησιμοποιώντας τους αντίστοιχους βασικούς τριγωνομετρικούς τύπους, παίρνουμε

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Λύνοντας το πρόβλημα με τον δεύτερο τρόπο, θεωρήστε το Α ως συνάρτηση του x από το R και υπολογίστε την παράγωγό του. Μετά από μεταμορφώσεις παίρνουμε

Α´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Επομένως, λόγω του κριτηρίου της σταθερότητας μιας συνάρτησης διαφοροποιήσιμης σε ένα διάστημα, συμπεραίνουμε ότι

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Απάντηση: A = 3/4 για x € R.

Οι κύριες τεχνικές για την απόδειξη τριγωνομετρικών ταυτοτήτων είναι:

ΕΝΑ)μείωση της αριστερής πλευράς της ταυτότητας προς τα δεξιά μέσω κατάλληλων μετασχηματισμών.
σι)μείωση της δεξιάς πλευράς της ταυτότητας προς τα αριστερά.
V)μείωση της δεξιάς και της αριστερής πλευράς της ταυτότητας στην ίδια μορφή.
ΣΟΛ)μηδενίζοντας τη διαφορά μεταξύ της αριστερής και της δεξιάς πλευράς της ταυτότητας που αποδεικνύεται.

Παράδειγμα 4.

Ελέγξτε ότι cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Λύση.

Μετασχηματίζοντας τη δεξιά πλευρά αυτής της ταυτότητας χρησιμοποιώντας τους αντίστοιχους τριγωνομετρικούς τύπους, έχουμε

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Η δεξιά πλευρά της ταυτότητας περιορίζεται προς τα αριστερά.

Παράδειγμα 5.

Να αποδείξετε ότι sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2 αν α, β, γ είναι οι εσωτερικές γωνίες κάποιου τριγώνου.

Λύση.

Θεωρώντας ότι οι α, β, γ είναι οι εσωτερικές γωνίες κάποιου τριγώνου, λαμβάνουμε ότι

α + β + γ = π και, επομένως, γ = π – α – β.

αμαρτία 2 α + αμαρτία 2 β + αμαρτία 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – συν 2α) + ½ · (1 – συν 2β) + 1 + 1/2 · (συν 2α + συν 2β) = 2.

Η αρχική ισότητα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα 6.

Να αποδείξετε ότι για να είναι μία από τις γωνίες α, β, γ του τριγώνου ίση με 60°, είναι απαραίτητο και αρκετό αμαρτία 3α + αμαρτία 3β + αμαρτία 3γ = 0.

Λύση.

Η συνθήκη αυτού του προβλήματος περιλαμβάνει την απόδειξη τόσο της αναγκαιότητας όσο και της επάρκειας.

Πρώτα ας αποδείξουμε ανάγκη.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι

αμαρτία 3α + αμαρτία 3β + αμαρτία 3γ = -4cos (3α/2) συν (3β/2) συν (3γ/2).

Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη ότι cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, προκύπτει ότι εάν μία από τις γωνίες α, β ή γ είναι ίση με 60°, τότε

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 και, επομένως, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Ας αποδείξουμε τώρα επάρκειατην καθορισμένη συνθήκη.

Αν sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, τότε cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, και επομένως

είτε cos (3α/2) = 0, είτε συν (3β/2) = 0, είτε συν (3γ/2) = 0.

Ως εκ τούτου,

ή 3α/2 = π/2 + πk, δηλ. α = π/3 + 2πk/3,

ή 3β/2 = π/2 + πk, δηλ. β = π/3 + 2πk/3,

ή 3γ/2 = π/2 + πk,

εκείνοι. γ = π/3 + 2πk/3, όπου k ϵ Z.

Από το ότι α, β, γ είναι οι γωνίες ενός τριγώνου, έχουμε

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Επομένως, για α = π/3 + 2πk/3 ή β = π/3 + 2πk/3 ή

γ = π/3 + 2πk/3 όλων των kϵZ μόνο το k = 0 είναι κατάλληλο.

Από αυτό προκύπτει ότι είτε α = π/3 = 60°, είτε β = π/3 = 60°, είτε γ = π/3 = 60°.

Η δήλωση έχει αποδειχθεί.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν είστε σίγουροι πώς να απλοποιήσετε τις τριγωνομετρικές εκφράσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων, θα είναι χρήσιμος ένας πίνακας τριγωνομετρικών ταυτοτήτων, ο οποίος θα διευκολύνει πολύ τον μετασχηματισμό συναρτήσεων:

Οι απλούστερες τριγωνομετρικές ταυτότητες

Το πηλίκο της διαίρεσης του ημιτόνου μιας γωνίας άλφα με το συνημίτονο της ίδιας γωνίας είναι ίσο με την εφαπτομένη αυτής της γωνίας (Τύπος 1). Δείτε επίσης την απόδειξη της ορθότητας του μετασχηματισμού των απλούστερων τριγωνομετρικών ταυτοτήτων.
Το πηλίκο της διαίρεσης του συνημιτόνου μιας γωνίας άλφα με το ημίτονο της ίδιας γωνίας είναι ίσο με την συνεφαπτομένη της ίδιας γωνίας (Τύπος 2)
Η τομή μιας γωνίας είναι ίση με το ένα διαιρούμενο με το συνημίτονο της ίδιας γωνίας (Τύπος 3)
Το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου της ίδιας γωνίας είναι ίσο με ένα (Τύπος 4). Δείτε επίσης την απόδειξη του αθροίσματος των τετραγώνων συνημιτόνου και ημιτόνου.
Το άθροισμα του ενός και της εφαπτομένης μιας γωνίας είναι ίσο με το λόγο ενός προς το τετράγωνο του συνημιτόνου αυτής της γωνίας (Τύπος 5)
Ένα συν τη συνεφαπτομένη μιας γωνίας ισούται με το πηλίκο του ενός διαιρούμενου με το ημιτονοειδές τετράγωνο αυτής της γωνίας (Τύπος 6)
Το γινόμενο της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης της ίδιας γωνίας είναι ίσο με ένα (Τύπος 7).

Μετατροπή αρνητικών γωνιών τριγωνομετρικών συναρτήσεων (άρτιων και περιττών)

Για να απαλλαγούμε από την αρνητική τιμή μέτρο βαθμούγωνία κατά τον υπολογισμό του ημιτόνου, του συνημιτόνου ή της εφαπτομένης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους ακόλουθους τριγωνομετρικούς μετασχηματισμούς (ταυτότητες) με βάση τις αρχές των άρτιων ή περιττών τριγωνομετρικών συναρτήσεων.


Όπως φαίνεται, συνημίτονοκαι η τομή είναι ομοιόμορφη λειτουργία , ημιτονοειδές, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι περιττές συναρτήσεις.

Το ημίτονο μιας αρνητικής γωνίας είναι ίσο με αρνητική τιμήημίτονο της ίδιας θετικής γωνίας (μείον ημιτονικό άλφα).
Το συνημίτονο μείον άλφα θα δώσει την ίδια τιμή με το συνημίτονο της γωνίας άλφα.
Η εφαπτομένη μείον άλφα είναι ίση με την εφαπτομένη μείον άλφα.

Τύποι για τη μείωση των διπλών γωνιών (ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη διπλών γωνιών)

Εάν πρέπει να διαιρέσετε μια γωνία στο μισό ή το αντίστροφο, να μετακινηθείτε από μια διπλή γωνία σε μια μόνο γωνία, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ακόλουθες τριγωνομετρικές ταυτότητες:


Μετατροπή διπλής γωνίας (ημίτονο διπλής γωνίας, συνημίτονο διπλής γωνίας και εφαπτομένη διπλής γωνίας) σε μονή εμφανίζεται από ακολουθώντας τους κανόνες:

Ημίτονο διπλής γωνίαςίσο με το διπλάσιο του γινομένου του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας μόνο γωνίας

Συνημίτονο διπλής γωνίαςίση με τη διαφορά μεταξύ του τετραγώνου του συνημιτόνου μιας μόνο γωνίας και του τετραγώνου του ημιτόνου αυτής της γωνίας

Συνημίτονο διπλής γωνίαςίσο με το διπλάσιο του τετραγώνου του συνημιτόνου μιας μόνο γωνίας μείον ένα

Συνημίτονο διπλής γωνίαςίσο με ένα μείον διπλό ημιτονο τετράγωνο μονή γωνία

Εφαπτομένη διπλής γωνίαςείναι ίσο με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι διπλάσιος της εφαπτομένης μιας απλής γωνίας και ο παρονομαστής είναι ίσος με ένα μείον την εφαπτομένη στο τετράγωνο μιας μοναδικής γωνίας.

Συμεφαπτομένη διπλής γωνίαςείναι ίσο με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι το τετράγωνο της συνεφαπτομένης μιας απλής γωνίας μείον ένα και ο παρονομαστής είναι ίσος με το διπλάσιο της συνεφαπτομένης μιας μοναδικής γωνίας

Τύποι για καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση

Οι παρακάτω τύποι μετατροπής μπορούν να είναι χρήσιμοι όταν πρέπει να διαιρέσετε το όρισμα μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης (sin α, cos α, tan α) με δύο και να μειώσετε την έκφραση στην τιμή της μισής γωνίας. Από την τιμή του α παίρνουμε α/2.

Αυτοί οι τύποι ονομάζονται τύποι καθολικής τριγωνομετρικής υποκατάστασης. Η αξία τους έγκειται στο γεγονός ότι μια τριγωνομετρική έκφραση με τη βοήθειά τους μειώνεται στην έκφραση της εφαπτομένης μισής γωνίας, ανεξάρτητα από το ποιες τριγωνομετρικές συναρτήσεις ( sincos tg ctg) ήταν στην έκφραση αρχικά. Μετά από αυτό, η εξίσωση με την εφαπτομένη της μισής γωνίας είναι πολύ πιο εύκολο να λυθεί.

Τριγωνομετρικές ταυτότητες για μετασχηματισμούς μισής γωνίας

Οι παρακάτω τύποι τριγωνομετρικός μετασχηματισμόςη μισή τιμή της γωνίας σε ολόκληρη την τιμή της.
Η τιμή του ορίσματος της τριγωνομετρικής συνάρτησης α/2 ανάγεται στην τιμή του ορίσματος της τριγωνομετρικής συνάρτησης α.

Τριγωνομετρικοί τύποι για την προσθήκη γωνιών

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

αμαρτία (α + β) = αμαρτία α cos β + αμαρτία β cos α

αμαρτία (α - β) = αμαρτία α cos β - αμαρτία β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη του αθροίσματος των γωνιώνΤο άλφα και το βήτα μπορούν να μετατραπούν χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους κανόνες για τη μετατροπή τριγωνομετρικών συναρτήσεων:

Εφαπτομένη του αθροίσματος των γωνιώνισούται με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι το άθροισμα της εφαπτομένης της πρώτης και της εφαπτομένης της δεύτερης γωνίας και ο παρονομαστής είναι ένα μείον το γινόμενο της εφαπτομένης της πρώτης γωνίας και της εφαπτομένης της δεύτερης γωνίας.

Εφαπτομένη διαφοράς γωνίαςείναι ίσο με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με τη διαφορά μεταξύ της εφαπτομένης της γωνίας που μειώνεται και της εφαπτομένης της γωνίας που αφαιρείται, και ο παρονομαστής είναι ένα συν το γινόμενο των εφαπτομένων αυτών των γωνιών.

Συνεφαπτομένη του αθροίσματος των γωνιώνισούται με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με το γινόμενο των συνεφαπτομένων αυτών των γωνιών συν ένα και ο παρονομαστής είναι ίσος με τη διαφορά μεταξύ της συνεφαπτομένης της δεύτερης γωνίας και της συνεφαπτομένης της πρώτης γωνίας.

Συμεφαπτομένη διαφοράς γωνίαςισούται με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι το γινόμενο των συνεφαπτομένων αυτών των γωνιών μείον ένα, και ο παρονομαστής είναι ίσος με το άθροισμα των συνεφαπτομένων αυτών των γωνιών.

Δεδομένα τριγωνομετρικές ταυτότητεςΕίναι βολικό να το χρησιμοποιείτε όταν πρέπει να υπολογίσετε, για παράδειγμα, την εφαπτομένη των 105 μοιρών (tg 105). Εάν το αντιπροσωπεύετε ως tg (45 + 60), τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το δεδομένο πανομοιότυπες μετατροπέςεφαπτομένη του αθροίσματος των γωνιών, στη συνέχεια απλώς αντικαταστήστε τις πινακοποιημένες τιμές της εφαπτομένης 45 και της εφαπτομένης 60 μοιρών.

Τύποι μετατροπής του αθροίσματος ή της διαφοράς τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Οι εκφράσεις που αντιπροσωπεύουν ένα άθροισμα της μορφής sin α + sin β μπορούν να μετασχηματιστούν χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:

Τύποι τριπλής γωνίας - μετατροπή sin3α cos3α tan3α σε sinα cosα tana

Μερικές φορές είναι απαραίτητο να μετασχηματιστεί η τριπλή τιμή μιας γωνίας έτσι ώστε το όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης να γίνει η γωνία α αντί για 3α.
Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους τύπους μετασχηματισμού τριπλής γωνίας (ταυτότητες):

Τύποι μετατροπής προϊόντων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Εάν υπάρχει ανάγκη να μετασχηματίσετε το γινόμενο ημιτόνων διαφορετικών γωνιών, συνημιτόνων διαφορετικών γωνιών ή ακόμα και το γινόμενο ημιτόνου και συνημιτόνου, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ακόλουθες τριγωνομετρικές ταυτότητες:


Στην περίπτωση αυτή, το γινόμενο των συναρτήσεων ημιτονοειδούς, συνημιτονοειδούς ή εφαπτομένης διαφορετικών γωνιών θα μετατραπεί σε άθροισμα ή διαφορά.

Τύποι μείωσης τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα μείωσης ως εξής. Στη γραμμή επιλέγουμε τη συνάρτηση που μας ενδιαφέρει. Στη στήλη υπάρχει μια γωνία. Για παράδειγμα, το ημίτονο της γωνίας (α+90) στην τομή της πρώτης σειράς και της πρώτης στήλης, διαπιστώνουμε ότι αμαρτία (α+90) = συν α.

Εκτελείται για όλες τις τιμές ορίσματος (από γενική περιοχήορισμοί).

Καθολικοί τύποι αντικατάστασης.

Με αυτούς τους τύπους, είναι εύκολο να μετατραπεί οποιαδήποτε έκφραση που περιέχει διαφορετικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις ενός ορίσματος σε ορθολογική έκφραση μιας συνάρτησης tg (α /2):

Τύποι μετατροπής ποσών σε προϊόντα και προϊόντων σε ποσά.

Προηγουμένως, οι παραπάνω τύποι χρησιμοποιούνταν για την απλοποίηση των υπολογισμών. Υπολογίστηκαν χρησιμοποιώντας λογαριθμικούς πίνακες και αργότερα - έναν κανόνα διαφάνειας, καθώς οι λογάριθμοι είναι οι πλέον κατάλληλοι για τον πολλαπλασιασμό αριθμών. Γι' αυτό κάθε αρχική έκφραση περιορίστηκε σε μια μορφή που θα ήταν βολική για λογαρίθμηση, δηλαδή σε προϊόντα Για παράδειγμα:

2 αμαρτία α αμαρτία σι = cos (α - σι) - cos (α + σι);

2 cos α cos σι = cos (α - σι) + cos (α + σι);

2 αμαρτία α cos σι = αμαρτία (α - σι) + αμαρτία (α + σι).

πού είναι η γωνία για την οποία, ειδικότερα,

Οι τύποι για τις συναρτήσεις εφαπτομένης και συνεφαπτομένης λαμβάνονται εύκολα από τα παραπάνω.

Τύποι μείωσης πτυχίου.

sin 2 α = (1 - cos 2α)/2;

cos 2 α = (1 + cos 2α)/2;

αμαρτία 3α = (3 αμαρτίαα - αμαρτία 3α )/4;

cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

Χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους, οι τριγωνομετρικές εξισώσεις μειώνονται εύκολα σε εξισώσεις με χαμηλότερες δυνάμεις. Με τον ίδιο τρόπο, προκύπτουν τύποι αναγωγής για περισσότερα υψηλούς βαθμούς αμαρτίαΚαι cos.

Έκφραση τριγωνομετρικών συναρτήσεων μέσω μιας από αυτές του ίδιου ορίσματος.

Το σημάδι μπροστά από τη ρίζα εξαρτάται από τη θέση της γωνίας τετάρτου α .


Σχέσεις μεταξύ βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων – ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη- ερωτώνται τριγωνομετρικούς τύπους. Και δεδομένου ότι υπάρχουν πολλές συνδέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αυτό εξηγεί την αφθονία των τριγωνομετρικών τύπων. Ορισμένοι τύποι συνδέουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις της ίδιας γωνίας, άλλοι - συναρτήσεις πολλαπλής γωνίας, άλλοι - σας επιτρέπουν να μειώσετε τη μοίρα, τέταρτο - να εκφράσετε όλες τις συναρτήσεις μέσω της εφαπτομένης μισής γωνίας κ.λπ.

Σε αυτό το άρθρο θα παραθέσουμε με τη σειρά όλους τους βασικούς τριγωνομετρικούς τύπους, οι οποίοι επαρκούν για την επίλυση της συντριπτικής πλειοψηφίας των τριγωνομετρικών προβλημάτων. Για ευκολία απομνημόνευσης και χρήσης, θα τα ομαδοποιήσουμε κατά σκοπό και θα τα καταχωρήσουμε σε πίνακες.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητεςνα ορίσετε τη σχέση μεταξύ ημιτόνου, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης μιας γωνίας. Προκύπτουν από τον ορισμό του ημιτονοειδούς, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης, καθώς και έννοιες κύκλου μονάδας. Σας επιτρέπουν να εκφράσετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση ως προς οποιαδήποτε άλλη.

Για μια λεπτομερή περιγραφή αυτών των τύπων τριγωνομετρίας, την παραγωγή τους και παραδείγματα εφαρμογής, δείτε το άρθρο.

Φόρμουλες μείωσης




Φόρμουλες μείωσηςακολουθήστε από ιδιότητες ημιτόνου, συνημιτονοειδούς, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης, δηλαδή αντανακλούν την ιδιότητα της περιοδικότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, την ιδιότητα της συμμετρίας, καθώς και την ιδιότητα της μετατόπισης κατά δεδομένη γωνία. Αυτοί οι τριγωνομετρικοί τύποι σάς επιτρέπουν να μετακινηθείτε από την εργασία με αυθαίρετες γωνίες στην εργασία με γωνίες που κυμαίνονται από μηδέν έως 90 μοίρες.

Το σκεπτικό αυτών των τύπων, ένας μνημονικός κανόνας για την απομνημόνευσή τους και παραδείγματα εφαρμογής τους μπορούν να μελετηθούν στο άρθρο.

Τύποι προσθήκης

Τριγωνομετρικοί τύποιπρόσθεσηΔείξτε πώς εκφράζονται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις του αθροίσματος ή της διαφοράς δύο γωνιών ως προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτών των γωνιών. Αυτοί οι τύποι χρησιμεύουν ως βάση για την εξαγωγή των ακόλουθων τριγωνομετρικών τύπων.

Φόρμουλες για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία



Φόρμουλες για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία (λέγονται και τύποι πολλαπλών γωνιών) δείχνουν πώς οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις του διπλού, του τριπλού κ.λπ. Οι γωνίες () εκφράζονται ως τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας μόνο γωνίας. Η παραγωγή τους βασίζεται σε τύπους πρόσθεσης.

Περισσότερες λεπτομέρειες συλλέγονται στο άρθρο τύποι για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία.

Τύποι μισής γωνίας

Τύποι μισής γωνίαςνα δείξετε πώς εκφράζονται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας μισής γωνίας ως προς το συνημίτονο μιας ολόκληρης γωνίας. Αυτοί οι τριγωνομετρικοί τύποι προκύπτουν από τους τύπους διπλής γωνίας.

Το συμπέρασμά τους και παραδείγματα εφαρμογής βρίσκονται στο άρθρο.

Τύποι μείωσης πτυχίου


Τριγωνομετρικοί τύποι για μείωση μοιρώνέχουν σχεδιαστεί για να διευκολύνουν τη μετάβαση από τις φυσικές δυνάμεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε ημίτονο και συνημίτονο στον πρώτο βαθμό, αλλά σε πολλαπλές γωνίες. Με άλλα λόγια, σας επιτρέπουν να μειώσετε τις δυνάμεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στην πρώτη.

Τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά τριγωνομετρικών συναρτήσεων


Ο κύριος σκοπός τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά τριγωνομετρικών συναρτήσεωνείναι να πάμε στο γινόμενο των συναρτήσεων, το οποίο είναι πολύ χρήσιμο κατά την απλοποίηση τριγωνομετρικών παραστάσεων. Αυτοί οι τύποι χρησιμοποιούνται επίσης ευρέως στην επίλυση τριγωνομετρικές εξισώσεις, αφού σας επιτρέπουν να παραγοντοποιήσετε το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων.

Τύποι για το γινόμενο ημιτόνων, συνημιτόνων και ημιτονοειδών συνημιτόνων


Η μετάβαση από το γινόμενο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο άθροισμα ή τη διαφορά πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τύποι για το γινόμενο ημιτόνων, συνημιτόνων και ημιτόνου προς συνημίτονο.

Καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση

Ολοκληρώνουμε την ανασκόπηση των βασικών τύπων της τριγωνομετρίας με τύπους που εκφράζουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις ως προς την εφαπτομένη μισής γωνίας. Αυτή η αντικατάσταση κλήθηκε καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση. Η ευκολία του έγκειται στο γεγονός ότι όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις εκφράζονται σε όρους εφαπτομένης μισής γωνίας ορθολογικά χωρίς ρίζες.

Βιβλιογραφία.

  • Αλγεβρα:Σχολικό βιβλίο για την 9η τάξη. μέσος όρος σχολείο/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Εκδ. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 σελ.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
  • Μπασμάκοφ Μ. Ι.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Σχολικό βιβλίο. για τις τάξεις 10-11. μέσος όρος σχολείο - 3η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 1993. - 351 σελ.: εικ. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για τις τάξεις 10-11. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn και άλλοι; Εκδ. A. N. Kolmogorov - 14η έκδ. - M.: Education, 2004. - 384 σελ.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους εισέρχονται σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.

Πνευματικά δικαιώματα από έξυπνους μαθητές

Ολα τα δικαιώματα διατηρούνται.
Προστατεύεται από το νόμο περί πνευματικών δικαιωμάτων. Κανένα μέρος του ιστότοπου, συμπεριλαμβανομένων των εσωτερικών υλικών και της εμφάνισης, δεν επιτρέπεται να αναπαραχθεί σε οποιαδήποτε μορφή ή να χρησιμοποιηθεί χωρίς την προηγούμενη γραπτή άδεια του κατόχου των πνευματικών δικαιωμάτων.