Πώς να καθορίσετε την προσδοκία ματ. Βασικές αρχές της θεωρίας πιθανοτήτων. Μαθηματική προσδοκία μιας τιμής. Εξάρτηση από τον αριθμό των πειραμάτων

Οι τυχαίες μεταβλητές, εκτός από τους νόμους κατανομής, μπορούν επίσης να περιγραφούν αριθμητικά χαρακτηριστικά .

Μαθηματική προσδοκία M(x) τυχαία μεταβλητήη μέση τιμή του ονομάζεται.

Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

Οπου – τυχαίες τιμές μεταβλητών, σελ Εγώ -τις πιθανότητες τους.

Ας εξετάσουμε τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας:

1. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθεράς είναι ίση με την ίδια τη σταθερά

2. Εάν μια τυχαία μεταβλητή πολλαπλασιαστεί με έναν ορισμένο αριθμό k, τότε η μαθηματική προσδοκία θα πολλαπλασιαστεί με τον ίδιο αριθμό

M (kx) = kM (x)

3. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. Για ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές x 1, x 2, … x n, η μαθηματική προσδοκία του γινομένου είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

Ας υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία για την τυχαία μεταβλητή από το Παράδειγμα 11.

Μ(χ) = = .

Παράδειγμα 12.Αφήστε τις τυχαίες μεταβλητές x 1, x 2 να καθορίζονται ανάλογα από τους νόμους κατανομής:

x 1 Πίνακας 2

x 2 Πίνακας 3

Ας υπολογίσουμε το M (x 1) και το M (x 2)

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0

Οι μαθηματικές προσδοκίες και των δύο τυχαίων μεταβλητών είναι ίδιες - είναι ίσες με μηδέν. Ωστόσο, η φύση της κατανομής τους είναι διαφορετική. Εάν οι τιμές του x 1 διαφέρουν ελάχιστα από τις μαθηματικές προσδοκίες τους, τότε οι τιμές του x 2 διαφέρουν σε μεγάλο βαθμό από τις μαθηματικές προσδοκίες τους και οι πιθανότητες τέτοιων αποκλίσεων δεν είναι μικρές. Αυτά τα παραδείγματα δείχνουν ότι είναι αδύνατο να προσδιοριστεί από τη μέση τιμή ποιες αποκλίσεις από αυτήν εμφανίζονται, μικρότερες και μεγαλύτερες. Άρα, με την ίδια μέση ετήσια βροχόπτωση σε δύο περιοχές, δεν μπορεί να λεχθεί ότι οι περιοχές αυτές είναι εξίσου ευνοϊκές για αγροτικές εργασίες. Ομοίως, με βάση τον δείκτη μέσου μισθού, δεν είναι δυνατό να κριθεί το ποσοστό των εργαζομένων με υψηλή και χαμηλή αμοιβή. Επομένως, εισάγεται ένα αριθμητικό χαρακτηριστικό - διασπορά D(x) , που χαρακτηρίζει τον βαθμό απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μέση τιμή της:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Η διασπορά είναι η μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική προσδοκία. Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, η διακύμανση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

D(x)= = (3)

Από τον ορισμό της διασποράς προκύπτει ότι D (x) 0.

Ιδιότητες διασποράς:

1. Η διακύμανση της σταθεράς είναι μηδέν

2. Εάν μια τυχαία μεταβλητή πολλαπλασιαστεί με έναν ορισμένο αριθμό k, τότε η διακύμανση θα πολλαπλασιαστεί με το τετράγωνο αυτού του αριθμού

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. Για ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ανά ζεύγη x 1 , x 2 , … x n η διακύμανση του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

Ας υπολογίσουμε τη διακύμανση για την τυχαία μεταβλητή από το Παράδειγμα 11.

Μαθηματική προσδοκία M (x) = 1. Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (3) έχουμε:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Σημειώστε ότι είναι ευκολότερο να υπολογίσετε τη διακύμανση εάν χρησιμοποιείτε την ιδιότητα 3:

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

Ας υπολογίσουμε τις διακυμάνσεις για τις τυχαίες μεταβλητές x 1 , x 2 από το Παράδειγμα 12 χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο. Οι μαθηματικές προσδοκίες και των δύο τυχαίων μεταβλητών είναι μηδενικές.

D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260

Όσο πιο κοντά είναι η τιμή της διακύμανσης στο μηδέν, τόσο μικρότερη είναι η εξάπλωση της τυχαίας μεταβλητής σε σχέση με τη μέση τιμή.

Η ποσότητα ονομάζεται τυπική απόκλιση. Λειτουργία τυχαίας μεταβλητήςΧ διακριτού τύπου MdΗ τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής που έχει τη μεγαλύτερη πιθανότητα ονομάζεται.

Λειτουργία τυχαίας μεταβλητήςΧ συνεχούς τύπου Md, είναι ένας πραγματικός αριθμός που ορίζεται ως το σημείο μέγιστου της πυκνότητας κατανομής πιθανότητας f(x).

Διάμεσος μιας τυχαίας μεταβλητήςΧ συνεχούς τύπου Mnείναι ένας πραγματικός αριθμός που ικανοποιεί την εξίσωση

Η έννοια της μαθηματικής προσδοκίας μπορεί να εξεταστεί χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της ρίψης ζαριού. Με κάθε ρίψη καταγράφονται οι πόντοι που πέφτουν. Για την έκφρασή τους, χρησιμοποιούνται φυσικές τιμές στην περιοχή 1 – 6.

Μετά από έναν ορισμένο αριθμό ρίψεων, χρησιμοποιώντας απλούς υπολογισμούς μπορείτε να βρείτε τον μέσο όρο αριθμητική τιμήέπεσαν πόντους.

Ακριβώς όπως η εμφάνιση οποιασδήποτε από τις τιμές στο εύρος, αυτή η τιμή θα είναι τυχαία.

Τι γίνεται αν αυξήσετε τον αριθμό των βολών πολλές φορές; Με μεγάλο αριθμό ρίψεων, ο αριθμητικός μέσος όρος των πόντων θα πλησιάσει έναν συγκεκριμένο αριθμό, ο οποίος στη θεωρία πιθανοτήτων ονομάζεται μαθηματική προσδοκία.

Έτσι, με τον όρο μαθηματική προσδοκία εννοούμε τη μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής. Αυτός ο δείκτης μπορεί επίσης να παρουσιαστεί ως σταθμισμένο άθροισμα πιθανών τιμών.

Αυτή η έννοια έχει πολλά συνώνυμα:

μέση αξία;
μέση αξία;
δείκτης κεντρικής τάσης·
πρώτη στιγμή.

Με άλλα λόγια, δεν είναι τίποτα περισσότερο από έναν αριθμό γύρω από τον οποίο κατανέμονται οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής.

ΣΕ διάφορα πεδία ανθρώπινη δραστηριότηταΟι προσεγγίσεις για την κατανόηση των μαθηματικών προσδοκιών θα είναι κάπως διαφορετικές.

Μπορεί να θεωρηθεί ως:

το μέσο όφελος που προκύπτει από τη λήψη μιας απόφασης, όταν μια τέτοια απόφαση εξετάζεται από τη σκοπιά της θεωρίας των μεγάλων αριθμών·
το πιθανό ποσό νίκης ή ήττας (θεωρία τζόγου), που υπολογίζεται κατά μέσο όρο για κάθε στοίχημα. Στην αργκό, ακούγονται ως «πλεονέκτημα του παίκτη» (θετικό για τον παίκτη) ή «πλεονέκτημα καζίνο» (αρνητικό για τον παίκτη).
ποσοστό του κέρδους που λαμβάνεται από τα κέρδη.

Η προσδοκία δεν είναι υποχρεωτική για όλες τις τυχαίες μεταβλητές. Απουσιάζει για όσους έχουν απόκλιση στο αντίστοιχο άθροισμα ή ολοκλήρωμα.

Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας

Όπως κάθε στατιστική παράμετρος, η μαθηματική προσδοκία έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

Βασικοί τύποι για τη μαθηματική προσδοκία

Ο υπολογισμός της μαθηματικής προσδοκίας μπορεί να πραγματοποιηθεί τόσο για τυχαίες μεταβλητές που χαρακτηρίζονται τόσο από συνέχεια (τύπος Α) όσο και από διακριτικότητα (τύπος Β):

M(X)=∑i=1nxi⋅pi, όπου xi είναι οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής, pi είναι οι πιθανότητες:
M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, όπου f(x) είναι η δεδομένη πυκνότητα πιθανότητας.

Παραδείγματα υπολογισμού μαθηματικών προσδοκιών

Παράδειγμα Α.

Είναι δυνατόν να μάθετε το μέσο ύψος των νάνων στο παραμύθι για τη Χιονάτη. Είναι γνωστό ότι καθένας από τους 7 νάνους είχε ένα ορισμένο ύψος: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 και 0,81 μ.

Ο αλγόριθμος υπολογισμού είναι αρκετά απλός:

βρίσκουμε το άθροισμα όλων των τιμών του δείκτη ανάπτυξης (τυχαία μεταβλητή):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
Διαιρέστε το ποσό που προκύπτει με τον αριθμό των καλικάντζαρων:
6,31:7=0,90.

Έτσι, το μέσο ύψος των καλικάντζαρων σε ένα παραμύθι είναι 90 εκ. Με άλλα λόγια, αυτή είναι η μαθηματική προσδοκία για την ανάπτυξη των καλικάντζαρων.

Φόρμουλα εργασίας— Μ(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Πρακτική εφαρμογή της μαθηματικής προσδοκίας

Ο υπολογισμός του στατιστικού δείκτη της μαθηματικής προσδοκίας καταφεύγει σε διάφορους τομείς πρακτικής δραστηριότητας. Πρώτα απ 'όλα, μιλάμε για την εμπορική σφαίρα. Εξάλλου, η εισαγωγή αυτού του δείκτη από τον Huygens συνδέεται με τον προσδιορισμό των πιθανοτήτων που μπορεί να είναι ευνοϊκές ή, αντίθετα, δυσμενείς, για κάποιο γεγονός.

Αυτή η παράμετρος χρησιμοποιείται ευρέως για την αξιολόγηση των κινδύνων, ειδικά όταν πρόκειται για χρηματοοικονομικές επενδύσεις.
Έτσι, στις επιχειρήσεις, ο υπολογισμός των μαθηματικών προσδοκιών λειτουργεί ως μέθοδος για την εκτίμηση του κινδύνου κατά τον υπολογισμό των τιμών.

Αυτός ο δείκτης μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της αποτελεσματικότητας ορισμένων μέτρων, για παράδειγμα, της προστασίας της εργασίας. Χάρη σε αυτό, μπορείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν.

Ένας άλλος τομέας εφαρμογής αυτής της παραμέτρου είναι η διαχείριση. Μπορεί επίσης να υπολογιστεί κατά τον ποιοτικό έλεγχο του προϊόντος. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας χαλάκι. προσδοκίες, μπορείτε να υπολογίσετε τον πιθανό αριθμό των ελαττωματικών ανταλλακτικών που παράγονται.

Η μαθηματική προσδοκία αποδεικνύεται επίσης αναντικατάστατη κατά τη διεξαγωγή στατιστικής επεξεργασίας των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται κατά τη επιστημονική έρευναΑποτελέσματα. Σας επιτρέπει να υπολογίσετε την πιθανότητα ενός επιθυμητού ή ανεπιθύμητου αποτελέσματος ενός πειράματος ή μελέτης ανάλογα με το επίπεδο επίτευξης του στόχου. Άλλωστε, το επίτευγμά του μπορεί να συνδέεται με κέρδος και όφελος και η αποτυχία του μπορεί να συνδέεται με απώλεια ή απώλεια.

Χρήση μαθηματικών προσδοκιών στο Forex

Πρακτική χρήσηΑυτή η στατιστική παράμετρος είναι δυνατή κατά τη διεξαγωγή πράξεων στην αγορά συναλλάγματος. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να αναλύσετε την επιτυχία των συναλλαγών. Επιπλέον, μια αύξηση στην αξία προσδοκίας υποδηλώνει αύξηση της επιτυχίας τους.

Είναι επίσης σημαντικό να θυμόμαστε ότι η μαθηματική προσδοκία δεν πρέπει να θεωρείται ως η μόνη στατιστική παράμετρος που χρησιμοποιείται για την ανάλυση της απόδοσης ενός εμπόρου. Η χρήση πολλών στατιστικών παραμέτρων μαζί με τη μέση τιμή αυξάνει σημαντικά την ακρίβεια της ανάλυσης.

Αυτή η παράμετρος έχει αποδειχθεί καλά στην παρακολούθηση των παρατηρήσεων των λογαριασμών συναλλαγών. Χάρη σε αυτό, πραγματοποιείται μια γρήγορη αξιολόγηση των εργασιών που πραγματοποιήθηκαν στον καταθετικό λογαριασμό. Σε περιπτώσεις που η δραστηριότητα του εμπόρου είναι επιτυχής και αποφεύγει τις ζημιές, δεν συνιστάται η χρήση αποκλειστικά του υπολογισμού της μαθηματικής προσδοκίας. Σε αυτές τις περιπτώσεις, οι κίνδυνοι δεν λαμβάνονται υπόψη, γεγονός που μειώνει την αποτελεσματικότητα της ανάλυσης.

Οι μελέτες που πραγματοποιήθηκαν για τις τακτικές των εμπόρων δείχνουν ότι:

Οι πιο αποτελεσματικές τακτικές είναι αυτές που βασίζονται στην τυχαία καταχώρηση.
Οι λιγότερο αποτελεσματικές είναι οι τακτικές που βασίζονται σε δομημένες εισροές.

Για την επίτευξη θετικών αποτελεσμάτων, εξίσου σημαντικά είναι:

τακτικές διαχείρισης χρημάτων?
στρατηγικές εξόδου.

Χρησιμοποιώντας έναν τέτοιο δείκτη όπως η μαθηματική προσδοκία, μπορείτε να προβλέψετε ποιο θα είναι το κέρδος ή η ζημία όταν επενδύσετε 1 δολάριο. Είναι γνωστό ότι αυτός ο δείκτης, που υπολογίζεται για όλα τα παιχνίδια που ασκούνται στο καζίνο, είναι υπέρ της εγκατάστασης. Αυτό είναι που σας επιτρέπει να κερδίσετε χρήματα. Στην περίπτωση μιας μεγάλης σειράς παιχνιδιών, η πιθανότητα ένας πελάτης να χάσει χρήματα αυξάνεται σημαντικά.

Τα παιχνίδια που παίζονται από επαγγελματίες παίκτες περιορίζονται σε μικρές χρονικές περιόδους, γεγονός που αυξάνει την πιθανότητα νίκης και μειώνει τον κίνδυνο ήττας. Το ίδιο μοτίβο παρατηρείται κατά την εκτέλεση επενδυτικών πράξεων.

Ένας επενδυτής μπορεί να κερδίσει ένα σημαντικό ποσό έχοντας θετικές προσδοκίες και κάνοντας μεγάλο αριθμό συναλλαγών σε σύντομο χρονικό διάστημα.

Η προσδοκία μπορεί να θεωρηθεί ως η διαφορά μεταξύ του ποσοστού κέρδους (PW) πολλαπλασιασμένο με το μέσο κέρδος (AW) και της πιθανότητας ζημίας (PL) πολλαπλασιαζόμενη με τη μέση απώλεια (AL).

Ως παράδειγμα, μπορούμε να εξετάσουμε τα εξής: θέση – 12,5 χιλιάδες δολάρια, χαρτοφυλάκιο – 100 χιλιάδες δολάρια, κίνδυνος καταθέσεων – 1%. Η κερδοφορία των συναλλαγών είναι 40% των περιπτώσεων με μέσο κέρδος 20%. Σε περίπτωση απώλειας, η μέση απώλεια είναι 5%. Ο υπολογισμός της μαθηματικής προσδοκίας για τη συναλλαγή δίνει μια τιμή 625 $.

Χαρακτηριστικά των DSV και οι ιδιότητές τους. Προσδοκία, διακύμανση, τυπική απόκλιση

Ο νόμος κατανομής χαρακτηρίζει πλήρως την τυχαία μεταβλητή. Ωστόσο, όταν είναι αδύνατο να βρείτε τον νόμο κατανομής ή αυτό δεν απαιτείται, μπορείτε να περιοριστείτε στην εύρεση τιμών που ονομάζονται αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής. Αυτές οι τιμές καθορίζουν κάποια μέση τιμή γύρω από την οποία ομαδοποιούνται οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής και το βαθμό στον οποίο είναι διασκορπισμένες γύρω από αυτήν τη μέση τιμή.

Μαθηματική προσδοκίαΜια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών της τυχαίας μεταβλητής και των πιθανοτήτων τους.

Η μαθηματική προσδοκία υπάρχει εάν η σειρά στη δεξιά πλευρά της ισότητας συγκλίνει απόλυτα.

Από την άποψη της πιθανότητας, μπορούμε να πούμε ότι η μαθηματική προσδοκία είναι περίπου ίση με τον αριθμητικό μέσο όρο των παρατηρούμενων τιμών της τυχαίας μεταβλητής.

Παράδειγμα. Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι γνωστός. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία.

Χ
Π	0.2	0.3	0.1	0.4

Λύση:

9.2 Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας

1. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με την ίδια τη σταθερά.

2. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να ληφθεί ως σημάδι της μαθηματικής προσδοκίας.

3. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους.

Αυτή η ιδιότητα ισχύει για έναν αυθαίρετο αριθμό τυχαίων μεταβλητών.

4. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών ισούται με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων.

Αυτή η ιδιότητα ισχύει επίσης για έναν αυθαίρετο αριθμό τυχαίων μεταβλητών.

Έστω να γίνουν n ανεξάρτητες δοκιμές, η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α στο οποίο είναι ίση με p.

Θεώρημα.Η μαθηματική προσδοκία M(X) του αριθμού των εμφανίσεων του συμβάντος Α σε n ανεξάρτητες δοκιμές είναι ίση με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών και της πιθανότητας εμφάνισης του συμβάντος σε κάθε δοκιμή.

Παράδειγμα. Να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής Ζ αν είναι γνωστές οι μαθηματικές προσδοκίες των Χ και Υ: Μ(Χ)=3, Μ(Υ)=2, Ζ=2Χ+3Υ.

Λύση:

9.3 Διασπορά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Ωστόσο, η μαθηματική προσδοκία δεν μπορεί να χαρακτηρίσει πλήρως την τυχαία διαδικασία. Εκτός από τη μαθηματική προσδοκία, είναι απαραίτητο να εισαγάγετε μια τιμή που να χαρακτηρίζει την απόκλιση των τιμών της τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική προσδοκία.

Αυτή η απόκλιση είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ της τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής προσδοκίας της. Σε αυτή την περίπτωση, η μαθηματική προσδοκία της απόκλισης είναι μηδέν. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι ορισμένες πιθανές αποκλίσεις είναι θετικές, άλλες είναι αρνητικές και ως αποτέλεσμα της αμοιβαίας ακύρωσης τους, προκύπτει μηδέν.

Διασπορά (σκέδαση)μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης της τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία.

Στην πράξη, αυτή η μέθοδος υπολογισμού της διακύμανσης είναι άβολη, γιατί οδηγεί σε δυσκίνητους υπολογισμούς για μεγάλο αριθμό τυχαίων τιμών μεταβλητών.

Επομένως, χρησιμοποιείται μια άλλη μέθοδος.

Θεώρημα. Η διακύμανση είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ της μαθηματικής προσδοκίας του τετραγώνου της τυχαίας μεταβλητής Χ και του τετραγώνου της μαθηματικής της προσδοκίας.

Απόδειξη. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι η μαθηματική προσδοκία M(X) και το τετράγωνο της μαθηματικής προσδοκίας M2(X) είναι σταθερά μεγέθη, μπορούμε να γράψουμε:

Παράδειγμα. Βρείτε τη διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής που δίνεται από τον νόμο κατανομής.

Χ
Χ 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Λύση: .

9.4 Ιδιότητες διασποράς

1. Η διακύμανση μιας σταθερής τιμής είναι μηδέν. .

2. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο διασποράς τετραγωνίζοντάς τον. .

3. Η διακύμανση του αθροίσματος δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων αυτών των μεταβλητών. .

4. Η διακύμανση της διαφοράς μεταξύ δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων αυτών των μεταβλητών. .

Θεώρημα. Η διακύμανση του αριθμού των εμφανίσεων του συμβάντος Α σε n ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα p της εμφάνισης του συμβάντος είναι σταθερή, είναι ίση με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών με τις πιθανότητες εμφάνισης και μη εμφάνιση του γεγονότος σε κάθε δοκιμή.

9.5 Τυπική απόκλιση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Τυπική απόκλισηΗ τυχαία μεταβλητή Χ ονομάζεται τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.

Θεώρημα. Τυπική απόκλιση του αθροίσματος πεπερασμένος αριθμόςΟι αμοιβαία ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές είναι ίσες με τετραγωνική ρίζααπό το άθροισμα των τετραγώνων των τυπικών αποκλίσεων αυτών των μεγεθών.

Η μαθηματική προσδοκία είναι ο ορισμός

Η αναμονή ματ είναιμια από τις πιο σημαντικές έννοιες σε μαθηματικές στατιστικέςκαι η θεωρία πιθανοτήτων, που χαρακτηρίζει την κατανομή των τιμών ή πιθανότητεςτυχαία μεταβλητή. Συνήθως εκφράζεται ως σταθμισμένος μέσος όρος όλων των πιθανών παραμέτρων μιας τυχαίας μεταβλητής. Χρησιμοποιείται ευρέως στην τεχνική ανάλυση, στη μελέτη των σειρών αριθμών και στη μελέτη συνεχών και χρονοβόρων διαδικασιών. Είναι σημαντικό για την αξιολόγηση των κινδύνων, την πρόβλεψη δεικτών τιμών κατά τη διαπραγμάτευση σε χρηματοπιστωτικές αγορές και χρησιμοποιείται για την ανάπτυξη στρατηγικών και μεθόδων τακτικής τυχερών παιχνιδιών σε θεωρίες για τα τυχερά παιχνίδια.

Αναμονή ματ- Αυτόμέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής, κατανομή πιθανότητεςΗ τυχαία μεταβλητή θεωρείται στη θεωρία πιθανοτήτων.

Η αναμονή ματ είναιένα μέτρο της μέσης τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής στη θεωρία πιθανοτήτων. Ελέγξτε την προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χσυμβολίζεται με M(x).

Αναμενόμενη αξία ( Μέσος πληθυσμός) - Αυτό

Η αναμονή ματ είναι

Η αναμονή ματ είναιστη θεωρία πιθανοτήτων, ένας σταθμισμένος μέσος όρος όλων των πιθανών τιμών που μπορεί να λάβει μια τυχαία μεταβλητή.

Η αναμονή ματ είναιτο άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και οι πιθανότητες αυτών των τιμών.

Η μαθηματική προσδοκία (μέσος όρος πληθυσμού) είναι

Η αναμονή ματ είναιτο μέσο όφελος από μια συγκεκριμένη απόφαση, υπό την προϋπόθεση ότι μια τέτοια απόφαση μπορεί να εξεταστεί στο πλαίσιο της θεωρίας των μεγάλων αριθμών και των μεγάλων αποστάσεων.

Η αναμονή ματ είναιστη θεωρία του τζόγου, το ποσό των κερδών που μπορεί να κερδίσει ή να χάσει ένας κερδοσκόπος, κατά μέσο όρο, σε κάθε στοίχημα. Στη γλώσσα του τζόγου κερδοσκόπωναυτό μερικές φορές ονομάζεται "πλεονέκτημα" κερδοσκόπος" (αν είναι θετικό για τον κερδοσκόπο) ή "ακρη του σπιτιού" (αν είναι αρνητικό για τον κερδοσκόπο).

Η μαθηματική προσδοκία (μέσος όρος πληθυσμού) είναι

Η προσδοκία είναι η κατανομή πιθανοτήτων μιας τυχαίας μεταβλητής

Μαθηματική προσδοκία, ορισμός, μαθηματική προσδοκία διακριτών και συνεχών τυχαίων μεταβλητών, δείγμα, προσδοκία υπό όρους, υπολογισμός, ιδιότητες, προβλήματα, εκτίμηση προσδοκίας, διασπορά, συνάρτηση κατανομής, τύποι, παραδείγματα υπολογισμού

Αναπτύξτε τα περιεχόμενα

Σύμπτυξη περιεχομένου

Η μαθηματική προσδοκία είναι ο ορισμός

Μία από τις πιο σημαντικές έννοιες στη μαθηματική στατιστική και τη θεωρία πιθανοτήτων, που χαρακτηρίζει την κατανομή των τιμών ή των πιθανοτήτων μιας τυχαίας μεταβλητής. Συνήθως εκφράζεται ως σταθμισμένος μέσος όρος όλων των πιθανών παραμέτρων μιας τυχαίας μεταβλητής. Χρησιμοποιείται ευρέως στην τεχνική ανάλυση, στη μελέτη των σειρών αριθμών και στη μελέτη συνεχών και χρονοβόρων διαδικασιών. Είναι σημαντικό για την αξιολόγηση των κινδύνων, την πρόβλεψη δεικτών τιμών κατά τη διαπραγμάτευση σε χρηματοπιστωτικές αγορές και χρησιμοποιείται για την ανάπτυξη στρατηγικών και μεθόδων τακτικών τυχερών παιχνιδιών στη θεωρία του τζόγου.

Μαθηματική προσδοκία είναιη μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής, η κατανομή πιθανοτήτων μιας τυχαίας μεταβλητής λαμβάνεται υπόψη στη θεωρία πιθανοτήτων.

Μαθηματική προσδοκία είναιένα μέτρο της μέσης τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής στη θεωρία πιθανοτήτων. Προσδοκία τυχαίας μεταβλητής Χσυμβολίζεται με M(x).

Μαθηματική προσδοκία είναι

Μαθηματική προσδοκία είναιστη θεωρία πιθανοτήτων, ένας σταθμισμένος μέσος όρος όλων των πιθανών τιμών που μπορεί να λάβει μια τυχαία μεταβλητή.

Μαθηματική προσδοκία είναιτο άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και οι πιθανότητες αυτών των τιμών.

Μαθηματική προσδοκία είναιτο μέσο όφελος από μια συγκεκριμένη απόφαση, υπό την προϋπόθεση ότι μια τέτοια απόφαση μπορεί να εξεταστεί στο πλαίσιο της θεωρίας των μεγάλων αριθμών και των μεγάλων αποστάσεων.

Μαθηματική προσδοκία είναιστη θεωρία του τζόγου, το ποσό των κερδών που μπορεί να κερδίσει ή να χάσει ένας παίκτης, κατά μέσο όρο, για κάθε στοίχημα. Στη γλώσσα του τζόγου, αυτό αποκαλείται μερικές φορές "το άκρο του παίκτη" (αν είναι θετικό για τον παίκτη) ή το "άκρο του σπιτιού" (αν είναι αρνητικό για τον παίκτη).

Μαθηματική προσδοκία είναιτο ποσοστό κέρδους ανά νίκη πολλαπλασιασμένο με το μέσο κέρδος, μείον την πιθανότητα απώλειας πολλαπλασιαζόμενη με τη μέση απώλεια.

Μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής στη μαθηματική θεωρία

Ένα από τα σημαντικά αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία της. Ας εισαγάγουμε την έννοια ενός συστήματος τυχαίων μεταβλητών. Ας εξετάσουμε ένα σύνολο τυχαίων μεταβλητών που είναι τα αποτελέσματα του ίδιου τυχαίου πειράματος. Εάν είναι μία από τις πιθανές τιμές του συστήματος, τότε το συμβάν αντιστοιχεί σε μια ορισμένη πιθανότητα που ικανοποιεί τα αξιώματα του Kolmogorov. Μια συνάρτηση που ορίζεται για οποιεσδήποτε πιθανές τιμές τυχαίων μεταβλητών ονομάζεται νόμος κοινής κατανομής. Αυτή η συνάρτηση σας επιτρέπει να υπολογίσετε τις πιθανότητες οποιωνδήποτε γεγονότων από. Συγκεκριμένα, ο νόμος κοινής κατανομής των τυχαίων μεταβλητών και, που παίρνουν τιμές από το σύνολο και, δίνεται από πιθανότητες.

Ο όρος «μαθηματική προσδοκία» εισήχθη από τον Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) και προέρχεται από την έννοια της «αναμενόμενης αξίας των κερδών», η οποία εμφανίστηκε για πρώτη φορά τον 17ο αιώνα στη θεωρία του τζόγου στα έργα των Blaise Pascal και Christiaan. Huygens. Ωστόσο, η πρώτη πλήρης θεωρητική κατανόηση και αξιολόγηση αυτής της έννοιας δόθηκε από τον Pafnuty Lvovich Chebyshev (μέσα του 19ου αιώνα).

Ο νόμος κατανομής των τυχαίων αριθμητικών μεταβλητών (συνάρτηση κατανομής και σειρά διανομής ή πυκνότητα πιθανότητας) περιγράφει πλήρως τη συμπεριφορά μιας τυχαίας μεταβλητής. Αλλά σε μια σειρά προβλημάτων, αρκεί να γνωρίζουμε ορισμένα αριθμητικά χαρακτηριστικά της υπό μελέτη ποσότητας (για παράδειγμα, η μέση τιμή της και πιθανή απόκλιση από αυτήν) για να απαντήσουμε στο ερώτημα που τίθεται. Τα κύρια αριθμητικά χαρακτηριστικά των τυχαίων μεταβλητών είναι η μαθηματική προσδοκία, η διακύμανση, ο τρόπος και η διάμεσος.

Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι το άθροισμα των γινομένων των πιθανών τιμών της και των αντίστοιχων πιθανοτήτων τους. Μερικές φορές η μαθηματική προσδοκία ονομάζεται σταθμισμένος μέσος όρος, καθώς είναι περίπου ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των παρατηρούμενων τιμών της τυχαίας μεταβλητής στο μεγάλος αριθμόςπειράματα. Από τον ορισμό της μαθηματικής προσδοκίας προκύπτει ότι η τιμή της δεν είναι μικρότερη από τη μικρότερη δυνατή τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής και όχι μεγαλύτερη από τη μεγαλύτερη. Η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής είναι μια μη τυχαία (σταθερή) μεταβλητή.

Η μαθηματική προσδοκία έχει ένα απλό φυσική έννοια: αν τοποθετήσετε μια μονάδα μάζας σε μια ευθεία γραμμή, τοποθετώντας μια συγκεκριμένη μάζα σε ορισμένα σημεία (για μια διακριτή κατανομή) ή «αλείφοντας» τη με μια ορισμένη πυκνότητα (για μια απολύτως συνεχή κατανομή), τότε το σημείο που αντιστοιχεί στη μαθηματική Η προσδοκία θα είναι η συντεταγμένη του «κέντρου βάρους» της ευθείας.

Η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ένας ορισμένος αριθμός που είναι, σαν να λέγαμε, ο «αντιπροσωπευτής» της και τον αντικαθιστά σε περίπου κατά προσέγγιση υπολογισμούς. Όταν λέμε: "ο μέσος χρόνος λειτουργίας του λαμπτήρα είναι 100 ώρες" ή "το μέσο σημείο πρόσκρουσης μετατοπίζεται σε σχέση με τον στόχο κατά 2 m προς τα δεξιά", υποδεικνύουμε ένα συγκεκριμένο αριθμητικό χαρακτηριστικό μιας τυχαίας μεταβλητής που περιγράφει τη θέση της στον αριθμητικό άξονα, δηλ. «χαρακτηριστικά θέσης».

Από τα χαρακτηριστικά μιας θέσης στη θεωρία πιθανοτήτων, τον πιο σημαντικό ρόλο παίζει η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής, η οποία μερικές φορές ονομάζεται απλά η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής.

Θεωρήστε την τυχαία μεταβλητή Χ, έχοντας πιθανές αξίες x1, x2, …, xnμε πιθανότητες p1, p2, …, pn. Πρέπει να χαρακτηρίσουμε με κάποιο αριθμό τη θέση των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής στον άξονα x, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι αυτές οι τιμές έχουν διαφορετικές πιθανότητες. Για το σκοπό αυτό, είναι φυσικό να χρησιμοποιείται ο λεγόμενος «σταθμισμένος μέσος όρος» των τιμών xi, και κάθε τιμή xi κατά τον μέσο όρο θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη με ένα «βάρος» ανάλογο με την πιθανότητα αυτής της τιμής. Έτσι, θα υπολογίσουμε τον μέσο όρο της τυχαίας μεταβλητής Χ, που συμβολίζουμε M |X|:

Αυτός ο σταθμισμένος μέσος όρος ονομάζεται μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής. Έτσι, εισαγάγαμε υπόψη μια από τις πιο σημαντικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων - την έννοια της μαθηματικής προσδοκίας. Η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής είναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και των πιθανοτήτων αυτών των τιμών.

Χσυνδέεται με μια περίεργη εξάρτηση με τον αριθμητικό μέσο όρο των παρατηρούμενων τιμών της τυχαίας μεταβλητής σε μεγάλο αριθμό πειραμάτων. Αυτή η εξάρτηση είναι του ίδιου τύπου με την εξάρτηση μεταξύ συχνότητας και πιθανότητας, συγκεκριμένα: με μεγάλο αριθμό πειραμάτων, ο αριθμητικός μέσος όρος των παρατηρούμενων τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής προσεγγίζει (συγκλίνει κατά πιθανότητα) στη μαθηματική προσδοκία της. Από την παρουσία μιας σύνδεσης μεταξύ συχνότητας και πιθανότητας, μπορεί κανείς να συμπεράνει ως συνέπεια την ύπαρξη παρόμοιας σύνδεσης μεταξύ του αριθμητικού μέσου όρου και της μαθηματικής προσδοκίας. Πράγματι, θεωρήστε την τυχαία μεταβλητή Χ, που χαρακτηρίζεται από μια σειρά διανομής:

Αφήστε το να παραχθεί Νανεξάρτητα πειράματα, σε καθένα από τα οποία η τιμή Χπαίρνει μια ορισμένη αξία. Ας υποθέσουμε ότι η τιμή x1εμφανίστηκε m1φορές, αξία x2εμφανίστηκε m2φορές, γενική έννοια xiεμφανίστηκε πολλές φορές. Ας υπολογίσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο των παρατηρούμενων τιμών της τιμής X, ο οποίος, σε αντίθεση με τη μαθηματική προσδοκία Μ|Χ|δηλώνουμε M*|X|:

Με αυξανόμενο αριθμό πειραμάτων Νσυχνότητες πιθα πλησιάσει (συγκλίνει κατά πιθανότητα) τις αντίστοιχες πιθανότητες. Κατά συνέπεια, ο αριθμητικός μέσος όρος των παρατηρούμενων τιμών της τυχαίας μεταβλητής Μ|Χ|με αύξηση του αριθμού των πειραμάτων θα προσεγγίσει (συγκλίνει κατά πιθανότητα) στη μαθηματική του προσδοκία. Η σύνδεση μεταξύ του αριθμητικού μέσου όρου και της μαθηματικής προσδοκίας που διατυπώθηκε παραπάνω αποτελεί το περιεχόμενο μιας από τις μορφές του νόμου των μεγάλων αριθμών.

Γνωρίζουμε ήδη ότι όλες οι μορφές του νόμου των μεγάλων αριθμών δηλώνουν το γεγονός ότι ορισμένοι μέσοι όροι είναι σταθεροί σε μεγάλο αριθμό πειραμάτων. Εδώ μιλάμε για τη σταθερότητα του αριθμητικού μέσου όρου από μια σειρά παρατηρήσεων της ίδιας ποσότητας. Με έναν μικρό αριθμό πειραμάτων, ο αριθμητικός μέσος όρος των αποτελεσμάτων τους είναι τυχαίος. με επαρκή αύξηση του αριθμού των πειραμάτων, γίνεται "σχεδόν μη τυχαίο" και, σταθεροποιώντας, προσεγγίζει μια σταθερή τιμή - τη μαθηματική προσδοκία.

Η σταθερότητα των μέσων όρων σε μεγάλο αριθμό πειραμάτων μπορεί εύκολα να επαληθευτεί πειραματικά. Για παράδειγμα, όταν ζυγίζουμε ένα σώμα σε ένα εργαστήριο σε ακριβείς ζυγαριές, ως αποτέλεσμα της ζύγισης παίρνουμε μια νέα τιμή κάθε φορά. Για να μειώσουμε το σφάλμα παρατήρησης, ζυγίζουμε το σώμα αρκετές φορές και χρησιμοποιούμε τον αριθμητικό μέσο όρο των τιμών που λαμβάνονται. Είναι εύκολο να δούμε ότι με μια περαιτέρω αύξηση του αριθμού των πειραμάτων (ζυγίσεις), ο αριθμητικός μέσος όρος αντιδρά σε αυτήν την αύξηση όλο και λιγότερο και, με έναν αρκετά μεγάλο αριθμό πειραμάτων, πρακτικά παύει να αλλάζει.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι το πιο σημαντικό χαρακτηριστικό της θέσης μιας τυχαίας μεταβλητής - η μαθηματική προσδοκία - δεν υπάρχει για όλες τις τυχαίες μεταβλητές. Είναι δυνατό να συνθέσουμε παραδείγματα τέτοιων τυχαίων μεταβλητών για τις οποίες δεν υπάρχει μαθηματική προσδοκία, αφού το αντίστοιχο άθροισμα ή ολοκλήρωμα αποκλίνει. Ωστόσο, τέτοιες περιπτώσεις δεν παρουσιάζουν σημαντικό ενδιαφέρον για την πρακτική. Συνήθως, οι τυχαίες μεταβλητές που αντιμετωπίζουμε έχουν περιορισμένο εύρος πιθανών τιμών και, φυσικά, έχουν μια μαθηματική προσδοκία.

Εκτός από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά της θέσης μιας τυχαίας μεταβλητής - τη μαθηματική προσδοκία - στην πράξη, μερικές φορές χρησιμοποιούνται και άλλα χαρακτηριστικά της θέσης, ιδίως ο τρόπος και η διάμεσος της τυχαίας μεταβλητής.

Ο τρόπος λειτουργίας μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η πιο πιθανή τιμή της. Ο όρος "πιο πιθανή τιμή" αυστηρά ισχύει μόνο για ασυνεχείς ποσότητες. για μια συνεχή ποσότητα, ο τρόπος είναι η τιμή στην οποία η πυκνότητα πιθανότητας είναι μέγιστη. Τα σχήματα δείχνουν τον τρόπο λειτουργίας για ασυνεχείς και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, αντίστοιχα.

Εάν το πολύγωνο κατανομής (καμπύλη κατανομής) έχει περισσότερα από ένα μέγιστα, η κατανομή ονομάζεται "πολυτροπική".

Μερικές φορές υπάρχουν διανομές που έχουν ένα ελάχιστο στη μέση και όχι ένα μέγιστο. Τέτοιες κατανομές ονομάζονται «αντιτροπικές».

Στη γενική περίπτωση, ο τρόπος και η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής δεν συμπίπτουν. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, όταν η κατανομή είναι συμμετρική και τροπική (δηλαδή έχει τρόπο) και υπάρχει μαθηματική προσδοκία, τότε συμπίπτει με τον τρόπο και το κέντρο συμμετρίας της κατανομής.

Ένα άλλο χαρακτηριστικό θέσης χρησιμοποιείται συχνά - η λεγόμενη διάμεσος μιας τυχαίας μεταβλητής. Αυτό το χαρακτηριστικό χρησιμοποιείται συνήθως μόνο για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, αν και μπορεί να οριστεί επίσημα για μια ασυνεχή μεταβλητή. Γεωμετρικά, η διάμεσος είναι η τετμημένη του σημείου στο οποίο η περιοχή που περικλείεται από την καμπύλη κατανομής διαιρείται στο μισό.

Στην περίπτωση μιας συμμετρικής τροπικής κατανομής, η διάμεσος συμπίπτει με τη μαθηματική προσδοκία και τρόπο.

Η μαθηματική προσδοκία είναι η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής - ένα αριθμητικό χαρακτηριστικό της κατανομής πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής. Με τον πιο γενικό τρόπο, η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής X(w)ορίζεται ως το ολοκλήρωμα Lebesgue σε σχέση με το μέτρο πιθανότητας Rστον αρχικό χώρο πιθανοτήτων:

Η μαθηματική προσδοκία μπορεί επίσης να υπολογιστεί ως ολοκλήρωμα Lebesgue του Χμε κατανομή πιθανοτήτων pxποσότητες Χ:

Η έννοια μιας τυχαίας μεταβλητής με άπειρες μαθηματικές προσδοκίες μπορεί να οριστεί με φυσικό τρόπο. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι οι ώρες επιστροφής κάποιων τυχαίων περιπάτων.

Χρησιμοποιώντας τη μαθηματική προσδοκία, προσδιορίζονται πολλά αριθμητικά και λειτουργικά χαρακτηριστικά μιας κατανομής (όπως η μαθηματική προσδοκία των αντίστοιχων συναρτήσεων μιας τυχαίας μεταβλητής), για παράδειγμα, η συνάρτηση δημιουργίας, χαρακτηριστική συνάρτηση, στιγμές οποιασδήποτε τάξης, ιδίως διασπορά, συνδιακύμανση .

Η μαθηματική προσδοκία είναι ένα χαρακτηριστικό της θέσης των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής (η μέση τιμή της κατανομής της). Υπό αυτή την ιδιότητα, η μαθηματική προσδοκία χρησιμεύει ως κάποια «τυπική» παράμετρος κατανομής και ο ρόλος της είναι παρόμοιος με τον ρόλο της στατικής ροπής - της συντεταγμένης του κέντρου βάρους της κατανομής μάζας - στη μηχανική. Από άλλα χαρακτηριστικά τοποθεσίας με τη βοήθεια των οποίων η κατανομή περιγράφεται με γενικούς όρους - διάμεσοι, τρόποι, μαθηματική προσδοκία - διαφέρει στη μεγαλύτερη τιμή που έχει αυτή και το αντίστοιχο χαρακτηριστικό σκέδασης - διασπορά. οριακά θεωρήματαθεωρία πιθανοτήτων. Η έννοια της μαθηματικής προσδοκίας αποκαλύπτεται πληρέστερα από τον νόμο των μεγάλων αριθμών (ανισότητα του Chebyshev) και τον ενισχυμένο νόμο των μεγάλων αριθμών.

Προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Ας υπάρχει κάποια τυχαία μεταβλητή που μπορεί να λάβει μία από πολλές αριθμητικές τιμές (για παράδειγμα, ο αριθμός των πόντων όταν ρίχνετε ένα ζάρι μπορεί να είναι 1, 2, 3, 4, 5 ή 6). Συχνά στην πράξη, για μια τέτοια τιμή, τίθεται το ερώτημα: τι αξία παίρνει "κατά μέσο όρο" με μεγάλο αριθμό δοκιμών; Ποιο θα είναι το μέσο εισόδημά μας (ή ζημία) από κάθε μια από τις επικίνδυνες συναλλαγές;

Ας πούμε ότι υπάρχει κάποιο είδος λαχειοφόρου αγοράς. Θέλουμε να καταλάβουμε αν είναι κερδοφόρο ή όχι να συμμετέχουμε σε αυτό (ή ακόμα και να συμμετέχουμε επανειλημμένα, τακτικά). Ας πούμε ότι κάθε τέταρτο εισιτήριο είναι νικητής, το έπαθλο θα είναι 300 ρούβλια και η τιμή οποιουδήποτε εισιτηρίου θα είναι 100 ρούβλια. Με απείρως μεγάλο αριθμό συμμετοχών, αυτό συμβαίνει. Στα τρία τέταρτα των περιπτώσεων θα χάσουμε, κάθε τρεις απώλειες θα κοστίζουν 300 ρούβλια. Σε κάθε τέταρτη περίπτωση θα κερδίσουμε 200 ρούβλια. (βραβείο μείον κόστος), δηλαδή, για τέσσερις συμμετοχές χάνουμε κατά μέσο όρο 100 ρούβλια, για μία - κατά μέσο όρο 25 ρούβλια. Συνολικά, ο μέσος όρος της καταστροφής μας θα είναι 25 ρούβλια ανά εισιτήριο.

Ρίχνουμε ζάρια. Αν δεν είναι cheating (χωρίς μετατόπιση του κέντρου βάρους κ.λπ.), τότε πόσους πόντους θα έχουμε κατά μέσο όρο τη φορά; Δεδομένου ότι κάθε επιλογή είναι εξίσου πιθανή, παίρνουμε απλώς τον αριθμητικό μέσο όρο και παίρνουμε 3,5. Δεδομένου ότι αυτό είναι ΜΕΣΟΣ, δεν χρειάζεται να αγανακτείτε που κανένα συγκεκριμένο ρολό δεν θα δώσει 3,5 πόντους - ε, αυτός ο κύβος δεν έχει πρόσωπο με τέτοιο αριθμό!

Τώρα ας συνοψίσουμε τα παραδείγματά μας:

Ας δούμε την εικόνα που μόλις δόθηκε. Στα αριστερά υπάρχει ένας πίνακας κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής. Η τιμή X μπορεί να λάβει μία από τις n πιθανές τιμές (εμφανίζονται στην επάνω γραμμή). Δεν μπορεί να υπάρχουν άλλες έννοιες. Κάτω από κάθε πιθανή τιμή, η πιθανότητα της γράφεται παρακάτω. Στα δεξιά είναι ο τύπος, όπου το M(X) ονομάζεται μαθηματική προσδοκία. Το νόημα αυτής της τιμής είναι ότι με μεγάλο αριθμό τεστ (με μεγάλο δείγμα), η μέση τιμή θα τείνει στην ίδια μαθηματική προσδοκία.

Ας επιστρέψουμε ξανά στον ίδιο κύβο παιχνιδιού. Η μαθηματική προσδοκία του αριθμού των πόντων κατά τη ρίψη είναι 3,5 (υπολογίστε τον μόνοι σας χρησιμοποιώντας τον τύπο αν δεν με πιστεύετε). Ας πούμε ότι το έριξες μια-δυο φορές. Τα αποτελέσματα ήταν 4 και 6. Ο μέσος όρος ήταν 5, που απέχει πολύ από το 3,5. Το έριξαν άλλη μια φορά, πήραν 3, δηλαδή κατά μέσο όρο (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Κάπως μακριά από τη μαθηματική προσδοκία. Τώρα κάντε ένα τρελό πείραμα - κυλήστε τον κύβο 1000 φορές! Και ακόμα κι αν ο μέσος όρος δεν είναι ακριβώς 3,5, θα είναι κοντά σε αυτό.

Ας υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία για την κλήρωση που περιγράφεται παραπάνω. Το πιάτο θα μοιάζει με αυτό:

Τότε η μαθηματική προσδοκία θα είναι, όπως καθορίσαμε παραπάνω:

Ένα άλλο πράγμα είναι ότι θα ήταν δύσκολο να το κάνετε "στα δάχτυλα" χωρίς μια φόρμουλα εάν υπήρχαν περισσότερες επιλογές. Λοιπόν, ας πούμε ότι θα υπήρχαν 75% χαμένα εισιτήρια, 20% κερδισμένα και 5% ειδικά κερδισμένα.

Τώρα μερικές ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας.

Είναι εύκολο να αποδείξεις:

Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να ληφθεί ως σημάδι της μαθηματικής προσδοκίας, δηλαδή:

Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση της ιδιότητας της γραμμικότητας της μαθηματικής προσδοκίας.

Μια άλλη συνέπεια της γραμμικότητας της μαθηματικής προσδοκίας:

Δηλαδή, η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των τυχαίων μεταβλητών.

Έστω X, Y ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, Επειτα:

Αυτό είναι επίσης εύκολο να αποδειχθεί) Δούλεψε XYη ίδια είναι μια τυχαία μεταβλητή, και αν οι αρχικές τιμές θα μπορούσαν να ληφθούν nΚαι Μαξίες ανάλογα λοιπόν XYμπορεί να πάρει τιμές nm. Η πιθανότητα κάθε τιμής υπολογίζεται με βάση το γεγονός ότι πολλαπλασιάζονται οι πιθανότητες ανεξάρτητων γεγονότων. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε αυτό:

Προσδοκία συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

Οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές έχουν ένα τέτοιο χαρακτηριστικό όπως η πυκνότητα κατανομής (πυκνότητα πιθανότητας). Ουσιαστικά χαρακτηρίζει την κατάσταση ότι ορισμένες τιμές από το σύνολο πραγματικούς αριθμούςμια τυχαία μεταβλητή παίρνει πιο συχνά, κάποια λιγότερο συχνά. Για παράδειγμα, λάβετε υπόψη αυτό το γράφημα:

Εδώ Χ- πραγματική τυχαία μεταβλητή, f(x)- πυκνότητα κατανομής. Κρίνοντας από αυτό το γράφημα, κατά τη διάρκεια των πειραμάτων η τιμή Χθα είναι συχνά ένας αριθμός κοντά στο μηδέν. Οι πιθανότητες ξεπερνιούνται 3 ή να είναι μικρότερο -3 μάλλον καθαρά θεωρητικό.

Ας υπάρχει, για παράδειγμα, μια ομοιόμορφη κατανομή:

Αυτό είναι αρκετά συνεπές με τη διαισθητική κατανόηση. Ας πούμε, εάν λάβουμε πολλούς τυχαίους πραγματικούς αριθμούς με ομοιόμορφη κατανομή, καθένα από τα τμήματα |0; 1| , τότε ο αριθμητικός μέσος όρος πρέπει να είναι περίπου 0,5.

Οι ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας - γραμμικότητας κ.λπ., που ισχύουν για διακριτές τυχαίες μεταβλητές, είναι επίσης εφαρμόσιμες εδώ.

Σχέση μεταξύ μαθηματικών προσδοκιών και άλλων στατιστικών δεικτών

Στη στατιστική ανάλυση, μαζί με τη μαθηματική προσδοκία, υπάρχει ένα σύστημα αλληλεξαρτώμενων δεικτών που αντικατοπτρίζουν την ομοιογένεια των φαινομένων και τη σταθερότητα των διαδικασιών. Οι δείκτες διακύμανσης συχνά δεν έχουν ανεξάρτητο νόημα και χρησιμοποιούνται για περαιτέρω ανάλυση δεδομένων. Εξαίρεση αποτελεί ο συντελεστής διακύμανσης, που χαρακτηρίζει την ομοιογένεια των δεδομένων, που αποτελεί πολύτιμο στατιστικό χαρακτηριστικό.

Ο βαθμός μεταβλητότητας ή σταθερότητας των διαδικασιών στη στατιστική επιστήμη μπορεί να μετρηθεί χρησιμοποιώντας διάφορους δείκτες.

Ο πιο σημαντικός δείκτης που χαρακτηρίζει τη μεταβλητότητα μιας τυχαίας μεταβλητής είναι Διασπορά, που σχετίζεται στενότερα και άμεσα με τη μαθηματική προσδοκία. Αυτή η παράμετρος χρησιμοποιείται ενεργά σε άλλους τύπους στατιστικών αναλύσεων (έλεγχος υποθέσεων, ανάλυση σχέσεων αιτίου-αποτελέσματος κ.λπ.). Όπως η μέση γραμμική απόκλιση, η διακύμανση αντικατοπτρίζει επίσης την έκταση της εξάπλωσης των δεδομένων γύρω από τη μέση τιμή.

Είναι χρήσιμο να μεταφράσουμε τη γλώσσα των σημείων στη γλώσσα των λέξεων. Αποδεικνύεται ότι η διασπορά είναι το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων. Δηλαδή, πρώτα υπολογίζεται η μέση τιμή, στη συνέχεια λαμβάνεται η διαφορά μεταξύ κάθε αρχικής και μέσης τιμής, τετραγωνίζεται, προστίθεται και στη συνέχεια διαιρείται με τον αριθμό των τιμών στον πληθυσμό. Η διαφορά μεταξύ μιας μεμονωμένης τιμής και του μέσου όρου αντανακλά το μέτρο της απόκλισης. Τετραγωνίζεται έτσι ώστε όλες οι αποκλίσεις να γίνονται αποκλειστικά θετικοί αριθμοί και να αποφεύγεται η αμοιβαία καταστροφή θετικών και αρνητικών αποκλίσεων κατά την άθροισή τους. Στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη τις αποκλίσεις στο τετράγωνο, υπολογίζουμε απλώς τον αριθμητικό μέσο όρο. Μέσες - τετράγωνες - αποκλίσεις. Οι αποκλίσεις τετράγωνονται και υπολογίζεται ο μέσος όρος. Λύση μαγική λέξηΗ «διακύμανση» είναι μόνο τρεις λέξεις.

Ωστόσο, στην καθαρή της μορφή, όπως ο αριθμητικός μέσος όρος ή ο δείκτης, η διασπορά δεν χρησιμοποιείται. Είναι μάλλον ένας βοηθητικός και ενδιάμεσος δείκτης που χρησιμοποιείται για άλλους τύπους στατιστικών αναλύσεων. Δεν έχει καν κανονική μονάδα μέτρησης. Κρίνοντας από τον τύπο, αυτό είναι το τετράγωνο της μονάδας μέτρησης των αρχικών δεδομένων.

Ας μετρήσουμε μια τυχαία μεταβλητή Νφορές, για παράδειγμα, μετράμε την ταχύτητα του ανέμου δέκα φορές και θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή. Πώς σχετίζεται η μέση τιμή με τη συνάρτηση κατανομής;

Ή θα ρίξουμε τα ζάρια ένας μεγάλος αριθμός απόμια φορά. Ο αριθμός των πόντων που θα εμφανίζονται στα ζάρια με κάθε ρίψη είναι μια τυχαία μεταβλητή και μπορεί να πάρει οποιαδήποτε φυσική τιμή από 1 έως 6. Ο αριθμητικός μέσος όρος των πόντων που έπεσαν για όλες τις ρίψεις ζαριών είναι επίσης μια τυχαία μεταβλητή, αλλά για μεγάλες Ντείνει σε έναν πολύ συγκεκριμένο αριθμό - μαθηματική προσδοκία Μχ. Σε αυτή την περίπτωση Mx = 3,5.

Πώς πήρατε αυτήν την τιμή; Αφήνω μέσα Νδοκιμές n1μόλις πάρεις 1 βαθμό, n2μία φορά - 2 πόντους και ούτω καθεξής. Στη συνέχεια, ο αριθμός των αποτελεσμάτων στα οποία έπεσε ένας βαθμός:

Ομοίως για τα αποτελέσματα όταν έρχονται 2, 3, 4, 5 και 6 σημεία.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι γνωρίζουμε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής x, δηλαδή γνωρίζουμε ότι η τυχαία μεταβλητή x μπορεί να λάβει τιμές x1, x2, ..., xk με πιθανότητες p1, p2, ..., πκ.

Η μαθηματική προσδοκία Mx μιας τυχαίας μεταβλητής x είναι ίση με:

Η μαθηματική προσδοκία δεν είναι πάντα μια λογική εκτίμηση κάποιας τυχαίας μεταβλητής. Έτσι, για την εκτίμηση του μέσου μισθού, είναι πιο λογικό να χρησιμοποιηθεί η έννοια του διάμεσου, δηλαδή τέτοια τιμή ώστε ο αριθμός των ατόμων που λαμβάνουν μισθό χαμηλότερο από το διάμεσο και μεγαλύτερο να συμπίπτουν.

Η πιθανότητα p1 η τυχαία μεταβλητή x να είναι μικρότερη από x1/2 και η πιθανότητα p2 η τυχαία μεταβλητή x να είναι μεγαλύτερη από x1/2, είναι ίδιες και ίση με 1/2. Η διάμεσος δεν καθορίζεται μοναδικά για όλες τις διανομές.

Τυπική ή Τυπική Απόκλισηστη στατιστική ονομάζεται ο βαθμός απόκλισης των δεδομένων ή των συνόλων παρατήρησης από την τιμή ΜΕΣΗ. Υποδηλώνεται με τα γράμματα s ή s. Μια μικρή τυπική απόκλιση υποδηλώνει ότι τα δεδομένα συγκεντρώνονται γύρω από τη μέση τιμή, ενώ μια μεγάλη τυπική απόκλιση υποδηλώνει ότι τα αρχικά δεδομένα βρίσκονται μακριά από αυτήν. Η τυπική απόκλιση είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα μιας ποσότητας που ονομάζεται διακύμανση. Είναι ο μέσος όρος του αθροίσματος των τετραγωνικών διαφορών των αρχικών δεδομένων που αποκλίνουν από τη μέση τιμή. Η τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:

Παράδειγμα. Υπό συνθήκες δοκιμής όταν πυροβολείτε έναν στόχο, υπολογίστε τη διασπορά και την τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής:

Παραλλαγή- διακύμανση, μεταβλητότητα της τιμής ενός χαρακτηριστικού μεταξύ των μονάδων του πληθυσμού. Οι μεμονωμένες αριθμητικές τιμές ενός χαρακτηριστικού που βρίσκονται στον υπό μελέτη πληθυσμό ονομάζονται παραλλαγές τιμών. Η ανεπάρκεια της μέσης τιμής για τον πλήρη χαρακτηρισμό του πληθυσμού μας αναγκάζει να συμπληρώσουμε τις μέσες τιμές με δείκτες που μας επιτρέπουν να εκτιμήσουμε την τυπικότητα αυτών των μέσων μετρήσεων μετρώντας τη μεταβλητότητα (παραλλαγή) του χαρακτηριστικού που μελετάται. Ο συντελεστής διακύμανσης υπολογίζεται με τον τύπο:

Εύρος παραλλαγήςΤο (R) αντιπροσωπεύει τη διαφορά μεταξύ των μέγιστων και ελάχιστων τιμών του χαρακτηριστικού στον πληθυσμό που μελετάται. Αυτός ο δείκτης δίνει τα περισσότερα γενική ιδέασχετικά με τη μεταβλητότητα του χαρακτηριστικού που μελετήθηκε, καθώς δείχνει τη διαφορά μόνο μεταξύ των οριακών τιμών των επιλογών. Η εξάρτηση από τις ακραίες τιμές ενός χαρακτηριστικού δίνει στο εύρος της παραλλαγής έναν ασταθή, τυχαίο χαρακτήρα.

Μέση γραμμική απόκλισηαντιπροσωπεύει τον αριθμητικό μέσο όρο των απόλυτων (modulo) αποκλίσεων όλων των τιμών του αναλυόμενου πληθυσμού από τη μέση τιμή τους:

Μαθηματική προσδοκία στη θεωρία του τζόγου

Μαθηματική προσδοκία είναιΤο μέσο χρηματικό ποσό που μπορεί να κερδίσει ή να χάσει ένας παίκτης σε ένα δεδομένο στοίχημα. Αυτή είναι μια πολύ σημαντική ιδέα για τον παίκτη, επειδή είναι θεμελιώδης για την αξιολόγηση των περισσότερων καταστάσεων παιχνιδιού. Η μαθηματική προσδοκία είναι επίσης το βέλτιστο εργαλείο για την ανάλυση βασικών διατάξεων καρτών και καταστάσεων παιχνιδιού.

Ας υποθέσουμε ότι παίζετε ένα παιχνίδι νομισμάτων με έναν φίλο, ποντάροντας ίσα με 1$ κάθε φορά, ό,τι κι αν προκύψει. Ουρές σημαίνει ότι κερδίζεις, κεφάλια σημαίνει ότι χάνεις. Οι πιθανότητες είναι μία προς μία ότι θα ανέβει, οπότε ποντάρετε $1 έως $1. Έτσι, η μαθηματική σας προσδοκία είναι μηδενική, γιατί Από μαθηματική άποψη, δεν μπορείς να ξέρεις αν θα προηγηθείς ή θα χάσεις μετά από δύο βολές ή μετά από 200.

Το ωριαίο κέρδος σας είναι μηδέν. Τα ωριαία κέρδη είναι το χρηματικό ποσό που περιμένετε να κερδίσετε σε μια ώρα. Μπορείς να πετάξεις ένα νόμισμα 500 φορές σε μια ώρα, αλλά δεν θα κερδίσεις ή θα χάσεις γιατί... οι πιθανότητές σου δεν είναι ούτε θετικές ούτε αρνητικές. Αν το δεις, από τη σκοπιά ενός σοβαρού παίκτη, αυτό το σύστημα στοιχημάτων δεν είναι κακό. Αλλά αυτό είναι απλώς χάσιμο χρόνου.

Αλλά ας υποθέσουμε ότι κάποιος θέλει να ποντάρει $2 έναντι του $1 σας στο ίδιο παιχνίδι. Τότε έχετε αμέσως μια θετική προσδοκία 50 σεντ από κάθε στοίχημα. Γιατί 50 σεντς; Κατά μέσο όρο, κερδίζετε ένα στοίχημα και χάνετε το δεύτερο. Ποντάρετε το πρώτο δολάριο και θα χάσετε $1, ποντάρετε το δεύτερο και θα κερδίσετε $2. Ποντάρετε 1 $ δύο φορές και προηγείστε με $1. Έτσι, κάθε ένα από τα στοιχήματά σας ενός δολαρίου σας έδινε 50 σεντς.

Εάν ένα νόμισμα εμφανιστεί 500 φορές σε μία ώρα, τα ωριαία κέρδη σας θα είναι ήδη 250 $, επειδή... Κατά μέσο όρο, χάσατε ένα δολάριο 250 φορές και κερδίσατε δύο δολάρια 250 φορές. $500 μείον $250 ισούται με $250, που είναι τα συνολικά κέρδη. Λάβετε υπόψη ότι η αναμενόμενη αξία, που είναι το μέσο ποσό που κερδίζετε ανά στοίχημα, είναι 50 σεντ. Κερδίσατε 250 $ ποντάροντας ένα δολάριο 500 φορές, που ισούται με 50 σεντς ανά στοίχημα.

Η μαθηματική προσδοκία δεν έχει καμία σχέση με τα βραχυπρόθεσμα αποτελέσματα. Ο αντίπαλός σας, ο οποίος αποφάσισε να ποντάρει $2 εναντίον σας, θα μπορούσε να σας κερδίσει στις πρώτες δέκα ροές στη σειρά, αλλά εσείς, έχοντας πλεονέκτημα στοιχηματισμού 2 προς 1, ενώ όλα τα υπόλοιπα είναι ίσα, θα κερδίζετε 50 σεντ για κάθε στοίχημα $1 σε οποιοδήποτε περιστάσεις. Δεν έχει σημασία αν κερδίζετε ή χάνετε ένα στοίχημα ή πολλά στοιχήματα, αρκεί να έχετε αρκετά μετρητά για να καλύψετε άνετα τα έξοδα. Εάν συνεχίσετε να στοιχηματίζετε με τον ίδιο τρόπο, τότε για μεγάλο χρονικό διάστημα τα κέρδη σας θα πλησιάζουν το άθροισμα των προσδοκιών σε μεμονωμένες ρίψεις.

Κάθε φορά που κάνετε ένα καλύτερο στοίχημα (ένα στοίχημα που μπορεί να αποδειχθεί κερδοφόρο μακροπρόθεσμα), όταν οι πιθανότητες είναι υπέρ σας, είναι βέβαιο ότι θα κερδίσετε κάτι σε αυτό, ανεξάρτητα από το αν το χάσετε ή όχι στο δίνεται χέρι. Αντίθετα, αν στοιχηματίσετε αουτσάιντερ (ένα στοίχημα που είναι ασύμφορο μακροπρόθεσμα) όταν οι πιθανότητες είναι εναντίον σας, χάνετε κάτι ανεξάρτητα από το αν κερδίσετε ή χάσετε το χέρι.

Τοποθετείτε ένα στοίχημα με το καλύτερο αποτέλεσμα εάν οι προσδοκίες σας είναι θετικές και είναι θετικό εάν οι πιθανότητες είναι με το μέρος σας. Όταν τοποθετείτε ένα στοίχημα με το χειρότερο αποτέλεσμα, έχετε μια αρνητική προσδοκία, κάτι που συμβαίνει όταν οι πιθανότητες είναι εναντίον σας. Οι σοβαροί παίκτες στοιχηματίζουν μόνο στο καλύτερο αποτέλεσμα· αν συμβεί το χειρότερο, κάνουν πάσο. Τι σημαίνουν οι πιθανότητες υπέρ σας; Μπορεί να καταλήξετε να κερδίσετε περισσότερα από όσα φέρνουν οι πραγματικές πιθανότητες. Οι πραγματικές πιθανότητες προσγείωσης είναι 1 προς 1, αλλά παίρνετε 2 προς 1 λόγω του λόγου πιθανοτήτων. Σε αυτή την περίπτωση, οι πιθανότητες είναι υπέρ σας. Έχετε σίγουρα το καλύτερο αποτέλεσμα με θετική προσδοκία 50 σεντ ανά στοίχημα.

Εδώ είναι περισσότερα σύνθετο παράδειγμαμαθηματική προσδοκία. Ένας φίλος σημειώνει αριθμούς από το ένα έως το πέντε και ποντάρει 5$ έναντι 1$ σας ότι δεν θα μαντέψετε τον αριθμό. Θα πρέπει να συμφωνήσετε σε ένα τέτοιο στοίχημα; Ποια είναι η προσδοκία εδώ;

Κατά μέσο όρο θα κάνετε λάθος τέσσερις φορές. Με βάση αυτό, οι πιθανότητες εναντίον σας να μαντέψετε τον αριθμό είναι 4 προς 1. Οι πιθανότητες να χάσετε ένα δολάριο με μία προσπάθεια. Ωστόσο, κερδίζετε 5 προς 1, με πιθανότητα να χάσετε 4 προς 1. Άρα οι πιθανότητες είναι υπέρ σας, μπορείτε να πάρετε το στοίχημα και να ελπίζετε για το καλύτερο αποτέλεσμα. Εάν κάνετε αυτό το στοίχημα πέντε φορές, κατά μέσο όρο θα χάσετε $1 τέσσερις φορές και θα κερδίσετε $5 μία φορά. Με βάση αυτό, και για τις πέντε προσπάθειες θα κερδίσετε 1$ με θετική μαθηματική προσδοκία 20 σεντς ανά στοίχημα.

Ένας παίκτης που πρόκειται να κερδίσει περισσότερα από όσα ποντάρει, όπως στο παραπάνω παράδειγμα, ρισκάρει. Αντίθετα, καταστρέφει τις ευκαιρίες του όταν περιμένει να κερδίσει λιγότερα από όσα ποντάρει. Ένας παίκτης μπορεί να έχει είτε θετική είτε αρνητική προσδοκία, κάτι που εξαρτάται από το αν θα κερδίσει ή θα καταστρέψει τις πιθανότητες.

Αν ποντάρετε 50$ για να κερδίσετε 10$ με πιθανότητα 4 προς 1 να κερδίσετε, θα έχετε αρνητική προσδοκία 2$ επειδή Κατά μέσο όρο, θα κερδίσετε $10 τέσσερις φορές και θα χάσετε $50 μία φορά, κάτι που δείχνει ότι η απώλεια ανά στοίχημα θα είναι $10. Αλλά αν ποντάρετε $30 για να κερδίσετε $10, με τις ίδιες πιθανότητες να κερδίσετε 4 προς 1, τότε σε αυτήν την περίπτωση έχετε μια θετική προσδοκία $2, επειδή κερδίζετε πάλι $10 τέσσερις φορές και χάνετε $30 μία φορά, με κέρδος $10. Αυτά τα παραδείγματα δείχνουν ότι το πρώτο στοίχημα είναι κακό και το δεύτερο είναι καλό.

Η μαθηματική προσδοκία είναι το κέντρο οποιασδήποτε κατάστασης παιχνιδιού. Όταν ένας πράκτορας στοιχημάτων ενθαρρύνει τους ποδοσφαιρόφιλους να στοιχηματίσουν 11$ για να κερδίσουν 10$, έχει θετική προσδοκία 50 σεντς για κάθε 10$. Εάν το καζίνο πληρώσει ακόμη και χρήματα από το pass line σε ζάρια, τότε η θετική προσδοκία του καζίνο θα είναι περίπου 1,40 $ για κάθε 100 $, επειδή Αυτό το παιχνίδι είναι δομημένο έτσι ώστε όποιος ποντάρει σε αυτή τη γραμμή χάνει κατά μέσο όρο το 50,7% και κερδίζει το 49,3% του συνολικού χρόνου. Αναμφίβολα, αυτή η φαινομενικά ελάχιστη θετική προσδοκία είναι που φέρνει τεράστια κέρδη στους ιδιοκτήτες καζίνο σε όλο τον κόσμο. Όπως σημείωσε ο ιδιοκτήτης του καζίνο Vegas World Bob Stupak, «το ένα χιλιοστό του ενός τοις εκατό αρνητική πιθανότητα σε αρκετά μεγάλη απόσταση θα καταστρέψει πλουσιότερος άνθρωποςστον κόσμο".

Προσδοκίες όταν παίζετε πόκερ

Το παιχνίδι πόκερ είναι το πιο ενδεικτικό και ενδεικτικό παράδειγμα από την άποψη της χρήσης της θεωρίας και των ιδιοτήτων της μαθηματικής προσδοκίας.

Η αναμενόμενη αξία στο πόκερ είναι το μέσο όφελος από μια συγκεκριμένη απόφαση, υπό την προϋπόθεση ότι μια τέτοια απόφαση μπορεί να εξεταστεί στο πλαίσιο της θεωρίας των μεγάλων αριθμών και των μεγάλων αποστάσεων. Ένα επιτυχημένο παιχνίδι πόκερ είναι να δέχεσαι πάντα κινήσεις με θετική αναμενόμενη αξία.

Η μαθηματική έννοια της μαθηματικής προσδοκίας όταν παίζουμε πόκερ είναι ότι συναντάμε συχνά τυχαίες μεταβλητές όταν παίρνουμε αποφάσεις (δεν ξέρουμε τι φύλλα έχει ο αντίπαλος στα χέρια του, ποια φύλλα θα έρθουν στους επόμενους γύρους στοιχηματισμού). Πρέπει να εξετάσουμε καθεμία από τις λύσεις από την άποψη της θεωρίας των μεγάλων αριθμών, η οποία δηλώνει ότι με ένα αρκετά μεγάλο δείγμα, η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής θα τείνει στη μαθηματική της προσδοκία.

Μεταξύ των συγκεκριμένων τύπων για τον υπολογισμό της μαθηματικής προσδοκίας, τα ακόλουθα είναι πιο εφαρμόσιμα στο πόκερ:

Όταν παίζετε πόκερ, η αναμενόμενη αξία μπορεί να υπολογιστεί τόσο για στοιχήματα όσο και για κλήσεις. Στην πρώτη περίπτωση, θα πρέπει να ληφθούν υπόψη τα fold equity, στη δεύτερη, οι πιθανότητες της ίδιας της τράπεζας. Όταν αξιολογείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας συγκεκριμένης κίνησης, θα πρέπει να θυμάστε ότι ένα πάσο έχει πάντα μηδενική προσδοκία. Έτσι, η απόρριψη των καρτών θα είναι πάντα μια πιο κερδοφόρα απόφαση από οποιαδήποτε αρνητική κίνηση.

Η προσδοκία σας λέει τι μπορείτε να περιμένετε (κέρδος ή ζημιά) για κάθε δολάριο που διακινδυνεύετε. Τα καζίνο βγάζουν χρήματα επειδή η μαθηματική προσδοκία όλων των παιχνιδιών που παίζονται σε αυτά είναι υπέρ του καζίνο. Με μια αρκετά μεγάλη σειρά παιχνιδιών, μπορείτε να περιμένετε ότι ο πελάτης θα χάσει τα χρήματά του, αφού οι «πιθανότητες» είναι υπέρ του καζίνο. Ωστόσο, οι επαγγελματίες παίκτες του καζίνο περιορίζουν τα παιχνίδια τους σε μικρές χρονικές περιόδους, στοιβάζοντας έτσι τις πιθανότητες υπέρ τους. Το ίδιο ισχύει και για την επένδυση. Εάν οι προσδοκίες σας είναι θετικές, μπορείτε να κερδίσετε περισσότερα χρήματα κάνοντας πολλές συναλλαγές σε σύντομο χρονικό διάστημα. Η προσδοκία είναι το ποσοστό του κέρδους σας ανά νίκη πολλαπλασιασμένο με το μέσο κέρδος σας, μείον την πιθανότητα απώλειας πολλαπλασιαζόμενη με τη μέση απώλεια.

Το πόκερ μπορεί επίσης να εξεταστεί από τη σκοπιά της μαθηματικής προσδοκίας. Μπορεί να υποθέσετε ότι μια συγκεκριμένη κίνηση είναι κερδοφόρα, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να μην είναι η καλύτερη επειδή μια άλλη κίνηση είναι πιο κερδοφόρα. Ας υποθέσουμε ότι πέτυχες ένα φουλ σπίτι στο πόκερ με πέντε φύλλα. Ο αντίπαλός σας βάζει ένα στοίχημα. Ξέρεις ότι αν ανεβάσεις το στοίχημα, θα απαντήσει. Επομένως, η αύξηση φαίνεται να είναι η καλύτερη τακτική. Αλλά αν αυξήσετε το στοίχημα, οι υπόλοιποι δύο παίκτες θα κάνουν σίγουρα fold. Αλλά αν καλέσετε, έχετε πλήρη εμπιστοσύνη ότι οι άλλοι δύο παίκτες πίσω σας θα κάνουν το ίδιο. Όταν ανεβάσετε το στοίχημά σας, λαμβάνετε μία μονάδα και όταν κάνετε call παίρνετε δύο. Έτσι, η κλήση σας δίνει υψηλότερη θετική αναμενόμενη αξία και θα είναι η καλύτερη τακτική.

Η μαθηματική προσδοκία μπορεί επίσης να δώσει μια ιδέα για το ποιες τακτικές πόκερ είναι λιγότερο κερδοφόρες και ποιες είναι πιο κερδοφόρες. Για παράδειγμα, εάν παίζετε ένα συγκεκριμένο χέρι και πιστεύετε ότι η απώλεια σας θα είναι κατά μέσο όρο 75 σεντ συμπεριλαμβανομένου του ante, τότε θα πρέπει να παίξετε αυτό το χέρι επειδή αυτό είναι καλύτερο από το δίπλωμα όταν το ante είναι $1.

Αλλο σημαντικός λόγοςγια να καταλάβετε την ουσία της μαθηματικής προσδοκίας είναι ότι σας δίνει μια αίσθηση γαλήνης είτε κερδίσετε το στοίχημα είτε όχι: αν βάλετε ένα καλό στοίχημα ή πάτε πάσο στην ώρα σας, θα ξέρετε ότι έχετε κερδίσει ή αποταμιεύσει ένα συγκεκριμένο ποσό χρημάτων που ο πιο αδύναμος παίκτης δεν μπόρεσε να σώσει. Είναι πολύ πιο δύσκολο να κάνεις fold αν είσαι αναστατωμένος επειδή ο αντίπαλός σου τράβηξε πιο δυνατό χέρι. Με όλα αυτά, τα χρήματα που εξοικονομείτε μη παίζοντας αντί να στοιχηματίζετε προστίθενται στα κέρδη σας για τη νύχτα ή τον μήνα.

Απλώς να θυμάστε ότι αν αλλάζατε χέρια, ο αντίπαλός σας θα σας είχε καλέσει πίσω, και όπως θα δείτε στο άρθρο " θεμελιώδες θεώρημαπόκερ» είναι μόνο ένα από τα πλεονεκτήματά σας. Θα πρέπει να είστε χαρούμενοι όταν συμβαίνει αυτό. Μπορείτε ακόμη να μάθετε να απολαμβάνετε να χάνετε ένα χέρι επειδή γνωρίζετε ότι άλλοι παίκτες στη θέση σας θα είχαν χάσει πολύ περισσότερα.

Όπως αναφέρθηκε στο παράδειγμα του παιχνιδιού με νομίσματα στην αρχή, το ωριαίο ποσοστό κέρδους είναι αλληλένδετο με τη μαθηματική προσδοκία και αυτή η ιδέα είναι ιδιαίτερα σημαντική για τους επαγγελματίες παίκτες. Όταν πας να παίξεις πόκερ, θα πρέπει να υπολογίσεις διανοητικά πόσα μπορείς να κερδίσεις σε μια ώρα παιχνιδιού. Στις περισσότερες περιπτώσεις θα χρειαστεί να βασιστείτε στη διαίσθηση και την εμπειρία σας, αλλά μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε κάποια μαθηματικά. Για παράδειγμα, παίζετε draw lowball και βλέπετε τρεις παίκτες να ποντάρουν $10 και μετά να ανταλλάσσουν δύο φύλλα, που είναι πολύ κακή τακτική, μπορείτε να καταλάβετε ότι κάθε φορά που ποντάρουν $10, χάνουν περίπου $2. Καθένας από αυτούς το κάνει αυτό οκτώ φορές την ώρα, πράγμα που σημαίνει ότι και οι τρεις χάνουν περίπου 48 $ την ώρα. Είστε ένας από τους υπόλοιπους τέσσερις παίκτες που είναι περίπου ίσοι, επομένως αυτοί οι τέσσερις παίκτες (και εσείς ανάμεσά τους) πρέπει να μοιραστούν $48, αποκομίζοντας κέρδος $12 ανά ώρα ο καθένας. Οι ωριαίες αποδόσεις σας σε αυτήν την περίπτωση είναι απλώς ίσες με το μερίδιό σας στο ποσό των χρημάτων που χάνουν τρεις κακοί παίκτες σε μια ώρα.

Για μεγάλο χρονικό διάστημα, τα συνολικά κέρδη του παίκτη είναι το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών του σε μεμονωμένα χέρια. Όσο περισσότερα χέρια παίζεις με θετική προσδοκία, τόσο περισσότερα κερδίζεις, και αντίστροφα, όσο περισσότερα χέρια παίζεις με αρνητικές προσδοκίες, τόσο περισσότερα χάνεις. Ως αποτέλεσμα, θα πρέπει να επιλέξετε ένα παιχνίδι που μπορεί να μεγιστοποιήσει τη θετική σας προσμονή ή να αναιρέσει την αρνητική σας προσμονή, ώστε να μπορείτε να μεγιστοποιήσετε τα ωριαία κέρδη σας.

Θετική μαθηματική προσδοκία στη στρατηγική gaming

Αν ξέρεις να μετράς φύλλα, μπορείς να έχεις πλεονέκτημα έναντι του καζίνο, αρκεί να μην το προσέχουν και να σε πετάξουν έξω. Τα καζίνο αγαπούν τους μεθυσμένους παίκτες και δεν ανέχονται τους παίκτες που μετράνε κάρτες. Το πλεονέκτημα θα σας επιτρέψει να κερδίσετε με την πάροδο του χρόνου. μεγαλύτερο αριθμόφορές από το να χάσεις. Η καλή διαχείριση χρημάτων χρησιμοποιώντας υπολογισμούς αναμενόμενης αξίας μπορεί να σας βοηθήσει να αποσπάσετε περισσότερα κέρδη από το πλεονέκτημά σας και να μειώσετε τις απώλειές σας. Χωρίς πλεονέκτημα, καλύτερα να δώσετε τα χρήματα σε φιλανθρωπικούς σκοπούς. Στο παιχνίδι στο χρηματιστήριο το πλεονέκτημα δίνει το σύστημα παιχνιδιού που δημιουργεί μεγαλύτερα κέρδη από απώλειες, διαφορές τιμών και προμήθειες. Καμία διαχείριση χρημάτων δεν μπορεί να σώσει ένα κακό σύστημα τυχερών παιχνιδιών.

Μια θετική προσδοκία ορίζεται ως μια τιμή μεγαλύτερη από το μηδέν. Όσο μεγαλύτερος είναι αυτός ο αριθμός, τόσο ισχυρότερη είναι η στατιστική προσδοκία. Εάν η τιμή είναι μικρότερη από το μηδέν, τότε η μαθηματική προσδοκία θα είναι επίσης αρνητική. Όσο μεγαλύτερη είναι η μονάδα της αρνητικής τιμής, τόσο χειρότερη είναι η κατάσταση. Εάν το αποτέλεσμα είναι μηδέν, τότε η αναμονή είναι νεκρή. Μπορείτε να κερδίσετε μόνο όταν έχετε θετικές μαθηματικές προσδοκίες και λογικό σύστημα παιχνιδιού. Το παιχνίδι με τη διαίσθηση οδηγεί στην καταστροφή.

Μαθηματική προσδοκία και συναλλαγές μετοχών

Η μαθηματική προσδοκία είναι ένας αρκετά ευρέως χρησιμοποιούμενος και δημοφιλής στατιστικός δείκτης κατά τη διεξαγωγή συναλλαγών σε χρηματιστηριακές αγορές. Πρώτα απ 'όλα, αυτή η παράμετρος χρησιμοποιείται για την ανάλυση της επιτυχίας των συναλλαγών. Δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι όσο υψηλότερη είναι αυτή η τιμή, τόσο περισσότεροι λόγοι για να θεωρηθεί επιτυχής η συναλλαγή που μελετάται. Φυσικά, η ανάλυση της εργασίας ενός εμπόρου δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας μόνο αυτήν την παράμετρο. Ωστόσο, η υπολογιζόμενη τιμή, σε συνδυασμό με άλλες μεθόδους αξιολόγησης της ποιότητας της εργασίας, μπορεί να αυξήσει σημαντικά την ακρίβεια της ανάλυσης.

Η μαθηματική προσδοκία υπολογίζεται συχνά στις υπηρεσίες παρακολούθησης λογαριασμών συναλλαγών, γεγονός που σας επιτρέπει να αξιολογείτε γρήγορα την εργασία που εκτελείται στην κατάθεση. Οι εξαιρέσεις περιλαμβάνουν στρατηγικές που χρησιμοποιούν μη κερδοφόρες συναλλαγές «κάθονται έξω». Ένας έμπορος μπορεί να είναι τυχερός για κάποιο χρονικό διάστημα και επομένως μπορεί να μην υπάρχουν καθόλου απώλειες στη δουλειά του. Σε αυτή την περίπτωση, δεν θα είναι δυνατό να καθοδηγείται μόνο από τη μαθηματική προσδοκία, επειδή δεν θα ληφθούν υπόψη οι κίνδυνοι που χρησιμοποιούνται στην εργασία.

Στις συναλλαγές αγοράς, η μαθηματική προσδοκία χρησιμοποιείται συχνότερα κατά την πρόβλεψη της κερδοφορίας οποιασδήποτε στρατηγικής συναλλαγών ή κατά την πρόβλεψη του εισοδήματος ενός εμπόρου με βάση στατιστικά δεδομένα από τις προηγούμενες συναλλαγές του.

Όσον αφορά τη διαχείριση χρημάτων, είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε ότι όταν κάνετε συναλλαγές με αρνητικές προσδοκίες, δεν υπάρχει κανένα σχέδιο διαχείρισης χρημάτων που μπορεί να αποφέρει σίγουρα υψηλά κέρδη. Εάν συνεχίσετε να παίζετε στο χρηματιστήριο υπό αυτές τις συνθήκες, τότε ανεξάρτητα από το πώς διαχειρίζεστε τα χρήματά σας, θα χάσετε ολόκληρο τον λογαριασμό σας, ανεξάρτητα από το πόσο μεγάλος ήταν στην αρχή.

Αυτό το αξίωμα ισχύει όχι μόνο για παιχνίδια ή συναλλαγές με αρνητικές προσδοκίες, ισχύει επίσης και για παιχνίδια με ίσες πιθανότητες. Επομένως, η μόνη φορά που έχετε την ευκαιρία να κερδίσετε μακροπρόθεσμα είναι εάν κάνετε συναλλαγές με θετική αναμενόμενη αξία.

Η διαφορά μεταξύ αρνητικής προσδοκίας και θετικής προσδοκίας είναι η διαφορά μεταξύ ζωής και θανάτου. Δεν έχει σημασία πόσο θετική ή αρνητική είναι η προσδοκία. Το μόνο που έχει σημασία είναι αν είναι θετικό ή αρνητικό. Επομένως, πριν σκεφτείτε τη διαχείριση χρημάτων, θα πρέπει να βρείτε ένα παιχνίδι με θετικές προσδοκίες.

Εάν δεν έχετε αυτό το παιχνίδι, τότε όλη η διαχείριση χρημάτων στον κόσμο δεν θα σας σώσει. Από την άλλη πλευρά, εάν έχετε θετική προσδοκία, μπορείτε, μέσω της σωστής διαχείρισης των χρημάτων, να τα μετατρέψετε σε συνάρτηση εκθετικής ανάπτυξης. Δεν έχει σημασία πόσο μικρή είναι η θετική προσδοκία! Με άλλα λόγια, δεν έχει σημασία πόσο επικερδές είναι ένα σύστημα συναλλαγών που βασίζεται σε ένα ενιαίο συμβόλαιο. Εάν έχετε ένα σύστημα που κερδίζει 10 $ ανά συμβόλαιο ανά συναλλαγή (μετά από προμήθειες και ολίσθηση), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τεχνικές διαχείρισης χρημάτων για να το κάνετε πιο κερδοφόρο από ένα σύστημα με μέσο όρο 1.000 $ ανά συναλλαγή (μετά την αφαίρεση των προμηθειών και της ολίσθησης).

Αυτό που έχει σημασία δεν είναι πόσο κερδοφόρο ήταν το σύστημα, αλλά πόσο βέβαιο μπορούμε να πούμε ότι το σύστημα θα παρουσιάσει τουλάχιστον ελάχιστο κέρδος στο μέλλον. Επομένως, η πιο σημαντική προετοιμασία που μπορεί να κάνει ένας έμπορος είναι να διασφαλίσει ότι το σύστημα θα δείξει θετική αναμενόμενη αξία στο μέλλον.

Για να έχετε μια θετική αναμενόμενη αξία στο μέλλον, είναι πολύ σημαντικό να μην περιορίζετε τους βαθμούς ελευθερίας του συστήματός σας. Αυτό επιτυγχάνεται όχι μόνο με την εξάλειψη ή τη μείωση του αριθμού των παραμέτρων που πρέπει να βελτιστοποιηθούν, αλλά και με τη μείωση όσο το δυνατόν περισσότερων κανόνων συστήματος. Κάθε παράμετρος που προσθέτετε, κάθε κανόνας που κάνετε, κάθε μικροσκοπική αλλαγή που κάνετε στο σύστημα μειώνει τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας. Στην ιδανική περίπτωση, πρέπει να δημιουργήσετε ένα αρκετά πρωτόγονο και απλό σύστημα που θα αποφέρει σταθερά μικρά κέρδη σχεδόν σε οποιαδήποτε αγορά. Και πάλι, είναι σημαντικό να καταλάβετε ότι δεν έχει σημασία πόσο κερδοφόρο είναι το σύστημα, αρκεί να είναι κερδοφόρο. Τα χρήματα που κερδίζετε στις συναλλαγές θα γίνουν μέσω της αποτελεσματικής διαχείρισης χρημάτων.

Ένα σύστημα συναλλαγών είναι απλώς ένα εργαλείο που σας δίνει μια θετική αναμενόμενη αξία, ώστε να μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη διαχείριση χρημάτων. Συστήματα που λειτουργούν (δείχνουν τουλάχιστον ελάχιστα κέρδη) σε μία ή λίγες μόνο αγορές ή έχουν διαφορετικούς κανόνες ή παραμέτρους για διαφορετικές αγορές, πιθανότατα δεν θα λειτουργούν σε πραγματικό χρόνο για αρκετό καιρό. Το πρόβλημα με τους περισσότερους τεχνικά προσανατολισμένους εμπόρους είναι ότι ξοδεύουν πάρα πολύ χρόνο και προσπάθεια βελτιστοποιώντας τους διάφορους κανόνες και τις τιμές παραμέτρων του συστήματος συναλλαγών. Αυτό δίνει εντελώς αντίθετα αποτελέσματα. Αντί να σπαταλάτε ενέργεια και χρόνο υπολογιστή για να αυξήσετε τα κέρδη του συστήματος συναλλαγών, κατευθύνετε την ενέργειά σας στην αύξηση του επιπέδου αξιοπιστίας της απόκτησης ενός ελάχιστου κέρδους.

Γνωρίζοντας ότι η διαχείριση χρημάτων είναι απλώς ένα παιχνίδι αριθμών που απαιτεί τη χρήση θετικών προσδοκιών, ένας έμπορος μπορεί να σταματήσει να ψάχνει για το «ιερό δισκοπότηρο» της διαπραγμάτευσης μετοχών. Αντίθετα, μπορεί να αρχίσει να δοκιμάζει τη μέθοδο συναλλαγών του, να ανακαλύψει πόσο λογική είναι αυτή η μέθοδος και αν δίνει θετικές προσδοκίες. Οι σωστές μέθοδοι διαχείρισης χρημάτων, που εφαρμόζονται σε οποιεσδήποτε, ακόμη και πολύ μέτριες μεθόδους συναλλαγών, θα κάνουν την υπόλοιπη δουλειά μόνοι τους.

Για να πετύχει οποιοσδήποτε έμπορος στη δουλειά του, χρειάζεται να λύσει τρεις πιο σημαντικές εργασίες: . Να διασφαλίσει ότι ο αριθμός των επιτυχημένων συναλλαγών υπερβαίνει τα αναπόφευκτα λάθη και λανθασμένους υπολογισμούς. Ρυθμίστε το σύστημα συναλλαγών σας έτσι ώστε να έχετε την ευκαιρία να κερδίζετε χρήματα όσο το δυνατόν συχνότερα. Επιτύχετε σταθερά θετικά αποτελέσματα από τις δραστηριότητές σας.

Και εδώ, για εμάς τους εμπόρους που εργαζόμαστε, η μαθηματική προσδοκία μπορεί να βοηθήσει πολύ. Αυτός ο όρος είναι ένας από τους βασικούς στη θεωρία πιθανοτήτων. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να δώσετε μια μέση εκτίμηση κάποιας τυχαίας τιμής. Η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής είναι παρόμοια με το κέντρο βάρους, αν φανταστείτε όλες τις πιθανές πιθανότητες ως σημεία με διαφορετικές μάζες.

Σε σχέση με μια στρατηγική συναλλαγών, η μαθηματική προσδοκία κέρδους (ή ζημίας) χρησιμοποιείται συχνότερα για την αξιολόγηση της αποτελεσματικότητάς της. Αυτή η παράμετρος ορίζεται ως το άθροισμα των γινομένων των δεδομένων επιπέδων κέρδους και ζημίας και η πιθανότητα εμφάνισής τους. Για παράδειγμα, η αναπτυγμένη στρατηγική συναλλαγών προϋποθέτει ότι το 37% όλων των συναλλαγών θα αποφέρει κέρδος και το υπόλοιπο μέρος - 63% - θα είναι ασύμφορο. Ταυτόχρονα, το μέσο εισόδημα από μια επιτυχημένη συναλλαγή θα είναι 7 $ και η μέση απώλεια θα είναι 1,4 $. Ας υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία συναλλαγών χρησιμοποιώντας αυτό το σύστημα:

Τι σημαίνει δεδομένου αριθμού? Λέει ότι, ακολουθώντας τους κανόνες αυτού του συστήματος, κατά μέσο όρο θα λαμβάνουμε 1.708 $ από κάθε κλειστή συναλλαγή. Δεδομένου ότι η προκύπτουσα βαθμολογία απόδοσης είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για πραγματική εργασία. Εάν, ως αποτέλεσμα του υπολογισμού, η μαθηματική προσδοκία αποδειχθεί αρνητική, τότε αυτό δείχνει ήδη μια μέση απώλεια και μια τέτοια συναλλαγή θα οδηγήσει σε καταστροφή.

Το ποσό του κέρδους ανά συναλλαγή μπορεί επίσης να εκφραστεί ως σχετική τιμή με τη μορφή %. Για παράδειγμα:

– ποσοστό εισοδήματος ανά 1 συναλλαγή - 5%

– ποσοστό επιτυχών συναλλαγών - 62%;

– ποσοστό απώλειας ανά 1 συναλλαγή - 3%

– ποσοστό αποτυχημένων συναλλαγών - 38%

Δηλαδή η μέση συναλλαγή θα φέρει 1,96%.

Είναι δυνατόν να αναπτυχθεί ένα σύστημα που, παρά την επικράτηση των ασύμφορων συναλλαγών, θα έχει θετικό αποτέλεσμα, αφού το ΜΟ>0 του.

Ωστόσο, η αναμονή από μόνη της δεν αρκεί. Είναι δύσκολο να κερδίσετε χρήματα εάν το σύστημα δίνει πολύ λίγα σήματα συναλλαγών. Σε αυτή την περίπτωση, η κερδοφορία του θα είναι συγκρίσιμη με τους τραπεζικούς τόκους. Αφήστε κάθε λειτουργία να παράγει κατά μέσο όρο μόνο 0,5 δολάρια, αλλά τι γίνεται αν το σύστημα περιλαμβάνει 1000 λειτουργίες ετησίως; Αυτό θα είναι ένα πολύ σημαντικό ποσό σε σχετικά σύντομο χρονικό διάστημα. Από αυτό προκύπτει λογικά ότι ένα άλλο διακριτικό χαρακτηριστικό ενός καλού συστήματος συναλλαγών μπορεί να θεωρηθεί μια σύντομη περίοδος διατήρησης θέσεων.