Πολλοί άνθρωποι πιστεύουν ότι οι εκθετικές ανισότητες είναι κάτι πολύπλοκο και ακατανόητο. Και ότι το να μάθεις να τα λύνεις είναι σχεδόν μια μεγάλη τέχνη, που μόνο οι Εκλεκτοί μπορούν να κατανοήσουν...
Πλήρης ανοησία! Οι εκθετικές ανισότητες είναι εύκολες. Και πάντα λύνονται απλά. Λοιπόν, σχεδόν πάντα. :)
Σήμερα θα εξετάσουμε αυτό το θέμα μέσα και έξω. Αυτό το μάθημα θα είναι πολύ χρήσιμο για όσους μόλις αρχίζουν να κατανοούν αυτήν την ενότητα των σχολικών μαθηματικών. Ας ξεκινήσουμε με απλές εργασίεςκαι θα προχωρήσουμε σε πιο σύνθετα ζητήματα. Δεν θα υπάρξει σκληρή δουλειά σήμερα, αλλά αυτό που πρόκειται να διαβάσετε θα είναι αρκετό για να λύσετε τις περισσότερες ανισότητες σε κάθε είδους τεστ και τεστ. ανεξάρτητη εργασία. Και σε αυτήν την εξέτασή σου επίσης.
Όπως πάντα, ας ξεκινήσουμε με τον ορισμό. Εκθετική ανισότητα είναι κάθε ανισότητα που περιέχει εκθετική συνάρτηση. Με άλλα λόγια, μπορεί πάντα να αναχθεί σε μια ανισότητα της μορφής
\[((a)^(x)) \gt b\]
Όπου ο ρόλος του $b$ μπορεί να είναι ένας συνηθισμένος αριθμός, ή ίσως κάτι πιο σκληρό. Παραδείγματα; Ναι παρακαλώ:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\τετράγωνο ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(Χ))). \\\end(στοίχιση)\]
Νομίζω ότι το νόημα είναι ξεκάθαρο: υπάρχει μια εκθετική συνάρτηση $((a)^(x))$, συγκρίνεται με κάτι και στη συνέχεια ζητείται να βρει το $x$. Σε ιδιαίτερα κλινικές περιπτώσεις, αντί για τη μεταβλητή $x$, μπορούν να βάλουν κάποια συνάρτηση $f\left(x \right)$ και έτσι να περιπλέξουν λίγο την ανισότητα. :)
Φυσικά, σε ορισμένες περιπτώσεις η ανισότητα μπορεί να φαίνεται πιο σοβαρή. Για παράδειγμα:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Ή ακόμα και αυτό:
Γενικά, η πολυπλοκότητα τέτοιων ανισοτήτων μπορεί να είναι πολύ διαφορετική, αλλά στο τέλος εξακολουθούν να μειώνονται στην απλή κατασκευή $((a)^(x)) \gt b$. Και κάπως θα καταλάβουμε μια τέτοια κατασκευή (σε ειδικά κλινικές περιπτώσεις, όταν δεν μας έρχεται τίποτα στο μυαλό, οι λογάριθμοι θα μας βοηθήσουν). Επομένως, τώρα θα σας μάθουμε πώς να λύσετε τέτοιες απλές κατασκευές.
Επίλυση απλών εκθετικών ανισώσεων
Ας σκεφτούμε κάτι πολύ απλό. Για παράδειγμα, αυτό:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Προφανώς, ο αριθμός στα δεξιά μπορεί να ξαναγραφτεί ως δύναμη δύο: $4=((2)^(2))$. Έτσι, η αρχική ανισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί σε μια πολύ βολική μορφή:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
Και τώρα τα χέρια μου φαγούρα για να «σταυρώνω» τα δύο στις βάσεις των δυνάμεων για να πάρω την απάντηση $x \gt 2$. Αλλά πριν διαγράψουμε οτιδήποτε, ας θυμηθούμε τις δυνάμεις δύο:
\[((2)^(1))=2;\τέταρτο ((2)^(2))=4;\τετράγωνο ((2)^(3))=8;\τετράγωνο ((2)^( 4))=16;...\]
Όπως βλέπουμε, παρά μεγαλύτερο αριθμόείναι στον εκθέτη, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός εξόδου. «Ευχαριστώ, Καπ»! - θα αναφωνήσει ένας από τους μαθητές. Είναι κάτι διαφορετικό; Δυστυχώς, συμβαίνει. Για παράδειγμα:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ δεξιά))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\αριστερά(\frac(1)(2) \δεξιά))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Και εδώ όλα είναι λογικά: όσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός, τόσο περισσότερες φορές πολλαπλασιάζεται ο αριθμός 0,5 από τον εαυτό του (δηλαδή διαιρείται στο μισό). Έτσι, η προκύπτουσα ακολουθία αριθμών μειώνεται και η διαφορά μεταξύ της πρώτης και της δεύτερης ακολουθίας βρίσκεται μόνο στη βάση:
- Εάν η βάση του βαθμού $a \gt 1$, τότε καθώς αυξάνεται ο εκθέτης $n$, θα αυξάνεται και ο αριθμός $((a)^(n))$.
- Και αντίστροφα, εάν $0 \lt a \lt 1$, τότε καθώς αυξάνεται ο εκθέτης $n$, ο αριθμός $((a)^(n))$ θα μειωθεί.
Συνοψίζοντας αυτά τα γεγονότα, λαμβάνουμε την πιο σημαντική δήλωση στην οποία βασίζεται ολόκληρη η λύση των εκθετικών ανισοτήτων:
Αν $a \gt 1$, τότε η ανισότητα $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ είναι ισοδύναμη με την ανισότητα $x \gt n$. Αν $0 \lt a \lt 1$, τότε η ανισότητα $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ είναι ισοδύναμη με την ανισότητα $x \lt n$.
Με άλλα λόγια, εάν η βάση είναι μεγαλύτερη από μία, μπορείτε απλά να την αφαιρέσετε - το σύμβολο της ανισότητας δεν θα αλλάξει. Και αν η βάση είναι μικρότερη από μία, τότε μπορεί επίσης να αφαιρεθεί, αλλά ταυτόχρονα θα πρέπει να αλλάξετε το σύμβολο της ανισότητας.
Λάβετε υπόψη ότι δεν έχουμε εξετάσει τις επιλογές $a=1$ και $a\le 0$. Γιατί σε αυτές τις περιπτώσεις προκύπτει αβεβαιότητα. Ας πούμε πώς λύνεται μια ανισότητα της μορφής $((1)^(x)) \gt 3$; Ένας σε οποιαδήποτε δύναμη θα δώσει ξανά ένα - δεν θα πάρουμε ποτέ τρεις ή περισσότερες. Εκείνοι. δεν υπάρχουν λύσεις.
Με αρνητικούς λόγους όλα είναι ακόμα πιο ενδιαφέροντα. Για παράδειγμα, λάβετε υπόψη αυτήν την ανισότητα:
\[((\αριστερά(-2 \δεξιά))^(x)) \gt 4\]
Με την πρώτη ματιά, όλα είναι απλά:
Σωστά? Αλλά όχι! Αρκεί να αντικαταστήσετε δύο ζυγούς και δύο περιττούς αριθμούς αντί για $x$ για να βεβαιωθείτε ότι η λύση είναι λανθασμένη. Ρίξε μια ματιά:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Δεξί βέλος ((\αριστερά(-2 \δεξιά))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Δεξί βέλος ((\αριστερά(-2 \δεξιά))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Δεξί βέλος ((\αριστερά(-2 \δεξιά))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(στοίχιση)\]
Όπως μπορείτε να δείτε, τα σημάδια εναλλάσσονται. Υπάρχουν όμως και κλασματικές δυνάμεις και άλλες ανοησίες. Πώς, για παράδειγμα, θα παραγγείλατε να υπολογίσετε το $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (μείον δύο στη δύναμη του επτά); Με τιποτα!
Επομένως, για βεβαιότητα, υποθέτουμε ότι σε όλες τις εκθετικές ανισότητες (και τις εξισώσεις, παρεμπιπτόντως, επίσης) $1\ne a \gt 0$. Και τότε όλα λύνονται πολύ απλά:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Δεξί βέλος \αριστερά[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \δεξιά), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \δεξιά). \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]
Σε γενικές γραμμές, θυμηθείτε τον κύριο κανόνα για άλλη μια φορά: εάν η βάση σε μια εκθετική εξίσωση είναι μεγαλύτερη από μία, μπορείτε απλά να την αφαιρέσετε. και αν η βάση είναι μικρότερη από μία, μπορεί επίσης να αφαιρεθεί, αλλά το πρόσημο της ανισότητας θα αλλάξει.
Παραδείγματα λύσεων
Ας δούμε λοιπόν μερικές απλές εκθετικές ανισώσεις:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(στοίχιση)\]
Το πρωταρχικό καθήκον σε όλες τις περιπτώσεις είναι το ίδιο: να μειωθούν οι ανισότητες στην απλούστερη μορφή $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Αυτό ακριβώς θα κάνουμε τώρα με κάθε ανισότητα και ταυτόχρονα θα επαναλάβουμε τις ιδιότητες των μοιρών και των εκθετικών συναρτήσεων. Λοιπόν πάμε!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Τι μπορείτε να κάνετε εδώ; Λοιπόν, στα αριστερά έχουμε ήδη μια ενδεικτική έκφραση - τίποτα δεν χρειάζεται να αλλάξει. Αλλά στα δεξιά υπάρχει κάποιο είδος χάλια: ένα κλάσμα, ακόμη και μια ρίζα στον παρονομαστή!
Ωστόσο, ας θυμηθούμε τους κανόνες για την εργασία με κλάσματα και δυνάμεις:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(στοίχιση)\]
Τι σημαίνει? Πρώτον, μπορούμε εύκολα να απαλλαγούμε από το κλάσμα μετατρέποντάς το σε δύναμη με αρνητικό εκθέτη. Και δεύτερον, αφού ο παρονομαστής έχει ρίζα, θα ήταν ωραίο να τον μετατρέψουμε σε δύναμη - αυτή τη φορά με κλασματικό εκθέτη.
Ας εφαρμόσουμε αυτές τις ενέργειες διαδοχικά στη δεξιά πλευρά της ανισότητας και ας δούμε τι συμβαίνει:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \δεξιά))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \δεξιά)))=(2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Μην ξεχνάτε ότι όταν ανεβάζετε έναν βαθμό σε μια ισχύ, οι εκθέτες αυτών των μοιρών αθροίζονται. Και γενικά, όταν εργάζεστε με εκθετικές εξισώσεις και ανισότητες, είναι απολύτως απαραίτητο να γνωρίζετε τουλάχιστον τους απλούστερους κανόνες για την εργασία με δυνάμεις:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(στοίχιση)\]
Στην πραγματικότητα, μόλις εφαρμόσαμε τον τελευταίο κανόνα. Επομένως, η αρχική μας ανισότητα θα ξαναγραφεί ως εξής:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Δεξί βέλος ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Τώρα ξεφορτώνουμε τα δύο στη βάση. Από 2 > 1, το πρόσημο της ανισότητας θα παραμείνει το ίδιο:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Right arrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
Αυτή είναι η λύση! Η κύρια δυσκολία δεν έγκειται καθόλου στην εκθετική συνάρτηση, αλλά στον ικανό μετασχηματισμό της αρχικής έκφρασης: πρέπει να τη φέρετε προσεκτικά και γρήγορα στην απλούστερη μορφή της.
Εξετάστε τη δεύτερη ανισότητα:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Ετσι κι έτσι. Τα δεκαδικά κλάσματα μας περιμένουν εδώ. Όπως έχω πει πολλές φορές, σε οποιεσδήποτε εκφράσεις με δυνάμεις θα πρέπει να απαλλαγείτε από τα δεκαδικά - αυτός είναι συχνά ο μόνος τρόπος για να δείτε μια γρήγορη και απλή λύση. Εδώ θα απαλλαγούμε από:
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Δεξί βέλος ((\αριστερά(\frac(1)(10) \δεξιά))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(στοίχιση)\]
Εδώ πάλι έχουμε την απλούστερη ανισότητα, και μάλιστα με βάση το 1/10, δηλ. λιγότερο από ένα. Λοιπόν, αφαιρούμε τις βάσεις, αλλάζοντας ταυτόχρονα το σύμβολο από "λιγότερο" σε "περισσότερο", και παίρνουμε:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(στοίχιση)\]
Λάβαμε την τελική απάντηση: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Παρακαλώ σημειώστε: η απάντηση είναι ακριβώς ένα σύνολο, και σε καμία περίπτωση μια κατασκευή της μορφής $x \lt -1$. Διότι τυπικά, μια τέτοια κατασκευή δεν είναι καθόλου σύνολο, αλλά ανισότητα ως προς τη μεταβλητή $x$. Ναι, είναι πολύ απλό, αλλά δεν είναι η απάντηση!
Σημαντική σημείωση. Αυτή η ανισότητα θα μπορούσε να λυθεί με άλλο τρόπο - με την αναγωγή και των δύο πλευρών σε δύναμη με βάση μεγαλύτερη από τη μία. Ρίξε μια ματιά:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Δεξί βέλος ((\αριστερά(((10)^(-1)) \δεξιά))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Μετά από μια τέτοια μεταμόρφωση παίρνουμε πάλι εκθετική ανισότητα, αλλά με βάση το 10 > 1. Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε απλά να διαγράψετε το δέκα - το πρόσημο της ανισότητας δεν θα αλλάξει. Παίρνουμε:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(στοίχιση)\]
Όπως μπορείτε να δείτε, η απάντηση ήταν ακριβώς η ίδια. Ταυτόχρονα, σωθήκαμε από την ανάγκη να αλλάξουμε το σήμα και γενικά να θυμηθούμε τυχόν κανόνες. :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Ωστόσο, μην αφήσετε αυτό να σας τρομάξει. Ανεξάρτητα από το τι υπάρχει στους δείκτες, η ίδια η τεχνολογία για την επίλυση της ανισότητας παραμένει η ίδια. Επομένως, ας σημειώσουμε πρώτα ότι 16 = 2 4. Ας ξαναγράψουμε την αρχική ανισότητα λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(στοίχιση)\]
Ζήτω! Πήραμε τα συνηθισμένα τετραγωνική ανισότητα! Το πρόσημο δεν έχει αλλάξει πουθενά, αφού η βάση είναι δύο - αριθμός μεγαλύτερος του ενός.
Μηδενικά μιας συνάρτησης στην αριθμητική γραμμή
Τακτοποιούμε τα σημάδια της συνάρτησης $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - προφανώς, η γραφική παράσταση της θα είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω, οπότε θα υπάρχουν "συν ” στα πλάγια. Μας ενδιαφέρει η περιοχή όπου η συνάρτηση είναι μικρότερη από το μηδέν, δηλ. Το $x\in \left(2;5 \right)$ είναι η απάντηση στο αρχικό πρόβλημα.
Τέλος, εξετάστε μια άλλη ανισότητα:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Και πάλι βλέπουμε μια εκθετική συνάρτηση με δεκαδικό κλάσμα στη βάση. Ας μετατρέψουμε αυτό το κλάσμα σε κοινό κλάσμα:
\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=(5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2)))=((\αριστερά(((5)^(-1)) \δεξιά))^(1+((x)^(2))) )=((5)^(-1\cdot \αριστερά(1+((x)^(2)) \δεξιά)))\end(στοίχιση)\]
Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιήσαμε την παρατήρηση που δόθηκε προηγουμένως - μειώσαμε τη βάση στον αριθμό 5 > 1 για να απλοποιήσουμε την περαιτέρω λύση μας. Ας κάνουμε το ίδιο με τη δεξιά πλευρά:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ δεξιά))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Ας ξαναγράψουμε την αρχική ανισότητα λαμβάνοντας υπόψη και τους δύο μετασχηματισμούς:
\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\Δεξί βέλος ((5)^(-1\cdot \αριστερά(1+ ((x)^(2)) \δεξιά)))\ge ((5)^(-2))\]
Οι βάσεις και στις δύο πλευρές είναι ίδιες και ξεπερνούν τη μία. Δεν υπάρχουν άλλοι όροι δεξιά και αριστερά, οπότε απλά «διαβάζουμε» τις πεντάδες και παίρνουμε μια πολύ απλή έκφραση:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(στοίχιση)\]
Εδώ πρέπει να είστε πιο προσεκτικοί. Σε πολλούς μαθητές αρέσει απλώς να εξάγουν Τετραγωνική ρίζακαι των δύο πλευρών της ανισότητας και γράψτε κάτι σαν $x\le 1\Δεξί βέλος x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να το κάνετε αυτό, καθώς η ρίζα ενός ακριβούς τετραγώνου είναι ενότητα, και σε καμία περίπτωση η αρχική μεταβλητή:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\αριστερά| x\δεξιά|\]
Ωστόσο, η εργασία με ενότητες δεν είναι η πιο ευχάριστη εμπειρία, έτσι δεν είναι; Άρα δεν θα δουλέψουμε. Αντίθετα, απλώς μετακινούμε όλους τους όρους προς τα αριστερά και λύνουμε τη συνηθισμένη ανισότητα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαστήματος:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$
Σημειώνουμε ξανά τα ληφθέντα σημεία στην αριθμητική γραμμή και κοιτάμε τα σημάδια:
Σημειώστε: οι κουκκίδες είναι σκιασμένες Εφόσον λύναμε μια μη αυστηρή ανισότητα, όλα τα σημεία στο γράφημα είναι σκιασμένα. Επομένως, η απάντηση θα είναι: Το $x\in \left[ -1;1 \right]$ δεν είναι ένα διάστημα, αλλά ένα τμήμα.
Γενικά, θα ήθελα να σημειώσω ότι δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στις εκθετικές ανισότητες. Το νόημα όλων των μετασχηματισμών που πραγματοποιήσαμε σήμερα καταλήγει σε έναν απλό αλγόριθμο:
- Βρείτε τη βάση στην οποία θα μειώσουμε όλους τους βαθμούς.
- Εκτελέστε προσεκτικά τους μετασχηματισμούς για να λάβετε μια ανισότητα της μορφής $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Φυσικά, αντί για τις μεταβλητές $x$ και $n$ μπορεί να υπάρχουν πολύ περισσότερες σύνθετες λειτουργίες, αλλά το νόημα δεν θα αλλάξει.
- Διαγράψτε τις βάσεις των μοιρών. Σε αυτήν την περίπτωση, το πρόσημο της ανισότητας μπορεί να αλλάξει εάν η βάση $a \lt 1$.
Στην πραγματικότητα, αυτός είναι ένας καθολικός αλγόριθμος για την επίλυση όλων αυτών των ανισοτήτων. Και όλα τα άλλα που θα σας πουν σε αυτό το θέμα είναι απλώς συγκεκριμένες τεχνικές και κόλπα που θα απλοποιήσουν και θα επιταχύνουν τη μεταμόρφωση. Θα μιλήσουμε για μία από αυτές τις τεχνικές τώρα. :)
Μέθοδος εξορθολογισμού
Ας εξετάσουμε ένα άλλο σύνολο ανισοτήτων:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \δεξιά))^(16-x)); \\ & ((\αριστερά(3-2\sqrt(2) \δεξιά))^(3x-((x)^(2))) \lt 1. \\\end(στοίχιση)\]
Τι το ιδιαίτερο έχουν λοιπόν; Είναι ελαφριά. Αν και σταμάτα! Ο αριθμός π αυξάνεται σε κάποια ισχύ; Τι ασυναρτησίες?
Πώς να αυξήσετε τον αριθμό $2\sqrt(3)-3$ σε μια δύναμη; Ή $3-2\sqrt(2)$; Οι προβληματικοί συγγραφείς προφανώς ήπιαν πάρα πολύ Hawthorn πριν καθίσουν στη δουλειά. :)
Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τίποτα τρομακτικό σε αυτές τις εργασίες. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω: μια εκθετική συνάρτηση είναι μια έκφραση της μορφής $((a)^(x))$, όπου η βάση $a$ είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός εκτός από έναν. Ο αριθμός π είναι θετικός - το γνωρίζουμε ήδη. Οι αριθμοί $2\sqrt(3)-3$ και $3-2\sqrt(2)$ είναι επίσης θετικοί - αυτό είναι εύκολο να δούμε αν τους συγκρίνετε με το μηδέν.
Αποδεικνύεται ότι όλες αυτές οι «τρομακτικές» ανισότητες δεν επιλύονται καθόλου από τις απλές που συζητήθηκαν παραπάνω; Και λύνονται με τον ίδιο τρόπο; Ναι, αυτό είναι απολύτως σωστό. Ωστόσο, χρησιμοποιώντας το παράδειγμά τους, θα ήθελα να εξετάσω μια τεχνική που εξοικονομεί πολύ χρόνο σε ανεξάρτητη εργασία και εξετάσεις. Θα μιλήσουμε για τη μέθοδο του εξορθολογισμού. Προσοχή λοιπόν:
Οποιαδήποτε εκθετική ανισότητα της μορφής $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ισοδυναμεί με την ανισότητα $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ δεξιά) \gt 0 $.
Αυτή είναι η όλη μέθοδος. :) Πιστεύατε ότι θα υπήρχε κάποιο άλλο παιχνίδι; Τίποτα σαν αυτό! Αλλά αυτό το απλό γεγονός, γραμμένο κυριολεκτικά σε μια γραμμή, θα απλοποιήσει πολύ τη δουλειά μας. Ρίξε μια ματιά:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2) \\ \Κάτω βέλος \\ \αριστερά(x+7-\αριστερά(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]
Άρα δεν υπάρχουν πλέον εκθετικές συναρτήσεις! Και δεν χρειάζεται να θυμάστε αν το σημάδι αλλάζει ή όχι. Αλλά προκύπτει νέο πρόβλημα: τι να κάνετε με τον γαμημένο πολλαπλασιαστή \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]; Δεν ξέρουμε ποια είναι η ακριβής τιμή του αριθμού π. Ωστόσο, ο καπετάνιος φαίνεται να υπαινίσσεται το αυτονόητο:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\περίπου 3,14... \gt 3\Δεξί βέλος \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
Γενικά, η ακριβής τιμή του π δεν μας αφορά πραγματικά - είναι σημαντικό μόνο να καταλάβουμε ότι σε κάθε περίπτωση $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. Αυτή είναι μια θετική σταθερά, και μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με αυτήν:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Όπως μπορείτε να δείτε, σε μια συγκεκριμένη στιγμή έπρεπε να διαιρέσουμε με μείον ένα - και το πρόσημο της ανισότητας άλλαξε. Στο τέλος, επέκτεινα το τετραγωνικό τριώνυμο χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta - είναι προφανές ότι οι ρίζες είναι ίσες με $((x)_(1))=5$ και $((x)_(2))=-1$ . Στη συνέχεια, όλα επιλύονται χρησιμοποιώντας την κλασική μέθοδο διαστήματος:
Επίλυση ανισότητας με τη μέθοδο του διαστήματος Όλα τα σημεία αφαιρούνται επειδή η αρχική ανισότητα είναι αυστηρή. Μας ενδιαφέρει η περιοχή με αρνητικές τιμές, οπότε η απάντηση είναι $x\in \left(-1;5 \right)$. Αυτή είναι η λύση. :)
Ας προχωρήσουμε στην επόμενη εργασία:
\[((\αριστερά(2\sqrt(3)-3 \δεξιά))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Όλα εδώ είναι γενικά απλά, γιατί υπάρχει μια μονάδα στα δεξιά. Και θυμόμαστε ότι ένα είναι οποιοσδήποτε αριθμός αυξημένος στη μηδενική ισχύ. Ακόμα κι αν αυτός ο αριθμός είναι παράλογη έκφραση, στέκεται στη βάση στα αριστερά:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \δεξιά))^(0)); \\\end(στοίχιση)\]
Λοιπόν, ας εκλογικεύσουμε:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Το μόνο που μένει είναι να καταλάβουμε τα σημάδια. Ο παράγοντας $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ δεν περιέχει τη μεταβλητή $x$ - είναι απλώς μια σταθερά και πρέπει να μάθουμε το πρόσημό της. Για να το κάνετε αυτό, σημειώστε τα εξής:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \δεξιά)=0 \\\end(μήτρα)\]
Αποδεικνύεται ότι ο δεύτερος παράγοντας δεν είναι απλώς μια σταθερά, αλλά μια αρνητική σταθερά! Και όταν διαιρείται με αυτό, το πρόσημο της αρχικής ανισότητας αλλάζει στο αντίθετο:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\αριστερά(x-2 \δεξιά) \gt 0. \\\end(στοίχιση)\]
Τώρα όλα γίνονται εντελώς προφανή. Οι ρίζες του τετραγωνικού τριωνύμου στα δεξιά είναι: $((x)_(1))=0$ και $((x)_(2))=2$. Τα σημειώνουμε στην αριθμητική γραμμή και κοιτάμε τα σημάδια της συνάρτησης $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Η περίπτωση που μας ενδιαφέρουν τα πλάγια διαστήματα Μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα που σημειώνονται με το σύμβολο συν. Το μόνο που μένει είναι να γράψουμε την απάντηση:
Ας προχωρήσουμε στο επόμενο παράδειγμα:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ δεξιά))^(16-x))\]
Λοιπόν, όλα είναι εντελώς προφανή εδώ: οι βάσεις περιέχουν δυνάμεις του ίδιου αριθμού. Επομένως, θα γράψω τα πάντα εν συντομία:
\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Κάτω βέλος \\ ((\αριστερά(((3)^(-1)) \δεξιά))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\αριστερά(((3)^(-2)) \δεξιά))^(16-x)) \\\end(μήτρα)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ αριστερά (16-x \δεξιά))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Όπως μπορείτε να δείτε, κατά τη διαδικασία μετασχηματισμού έπρεπε να πολλαπλασιάσουμε επί ένας αρνητικός αριθμός, άρα το πρόσημο της ανισότητας έχει αλλάξει. Στο τέλος, εφάρμοσα και πάλι το θεώρημα του Vieta για να παραγοντοποιήσω το τετραγωνικό τριώνυμο. Ως αποτέλεσμα, η απάντηση θα είναι η εξής: $x\in \left(-8;4 \right)$ - ο καθένας μπορεί να το επαληθεύσει σχεδιάζοντας μια αριθμητική γραμμή, σημειώνοντας τα σημεία και μετρώντας τα σημάδια. Εν τω μεταξύ, θα προχωρήσουμε στην τελευταία ανισότητα από το «σύνολο» μας:
\[((\αριστερά(3-2\sqrt(2) \δεξιά))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Όπως μπορείτε να δείτε, στη βάση υπάρχει και πάλι παράλογος αριθμός, και στα δεξιά υπάρχει πάλι ένα. Επομένως, ξαναγράφουμε την εκθετική μας ανισότητα ως εξής:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ δεξιά))^(0))\]
Εφαρμόζουμε εξορθολογισμό:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Ωστόσο, είναι προφανές ότι $1-\sqrt(2) \lt 0$, αφού $\sqrt(2)\περίπου 1,4... \gt 1$. Επομένως, ο δεύτερος παράγοντας είναι και πάλι μια αρνητική σταθερά, με την οποία μπορούν να διαιρεθούν και οι δύο πλευρές της ανισότητας:
\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Κάτω βέλος \ \\end(μήτρα)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\αριστερά(x-3 \δεξιά) \lt 0. \\\end(στοίχιση)\]
Μετακίνηση σε άλλη βάση
Ένα ξεχωριστό πρόβλημα κατά την επίλυση εκθετικών ανισοτήτων είναι η αναζήτηση της «σωστής» βάσης. Δυστυχώς, δεν είναι πάντα προφανές με την πρώτη ματιά σε μια εργασία τι πρέπει να ληφθεί ως βάση και τι πρέπει να γίνει ανάλογα με το βαθμό αυτής της βάσης.
Αλλά μην ανησυχείτε: δεν υπάρχει μαγική ή «μυστική» τεχνολογία εδώ. Στα μαθηματικά, κάθε δεξιότητα που δεν μπορεί να αλγοριθμηθεί μπορεί εύκολα να αναπτυχθεί μέσω της πρακτικής. Αλλά για αυτό θα πρέπει να λύσετε προβλήματα διαφορετικών επιπέδων πολυπλοκότητας. Για παράδειγμα, όπως αυτό:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ τέλος(ευθυγράμμιση)\]
Δύσκολος? Τρομακτικός? Είναι πιο εύκολο από το να χτυπήσεις ένα κοτόπουλο στην άσφαλτο! Ας δοκιμάσουμε. Πρώτη ανισότητα:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Λοιπόν, νομίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα εδώ:
Ξαναγράφουμε την αρχική ανισότητα, μειώνοντας τα πάντα στη βάση δύο:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Δεξί βέλος \αριστερά(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Ναι, ναι, σωστά ακούσατε: μόλις εφάρμοσα τη μέθοδο εξορθολογισμού που περιγράφεται παραπάνω. Τώρα πρέπει να δουλέψουμε προσεκτικά: έχουμε μια κλασματική-ορθολογική ανισότητα (αυτή είναι αυτή που έχει μια μεταβλητή στον παρονομαστή), οπότε πριν εξισώσουμε οτιδήποτε με το μηδέν, πρέπει να φέρουμε τα πάντα σε έναν κοινό παρονομαστή και να απαλλαγούμε από τον σταθερό παράγοντα .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(στοίχιση)\]
Τώρα χρησιμοποιούμε την τυπική μέθοδο διαστήματος. Αριθμητικά μηδενικά: $x=\pm 4$. Ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν μόνο όταν $x=0$. Υπάρχουν τρία σημεία συνολικά που πρέπει να σημειωθούν στην αριθμητική γραμμή (όλα τα σημεία είναι καρφιτσωμένα επειδή το πρόσημο της ανισότητας είναι αυστηρό). Παίρνουμε:
Περισσότερο δύσκολη υπόθεση: τρεις ρίζες Όπως μπορείτε να μαντέψετε, η σκίαση σηματοδοτεί τα διαστήματα στα οποία λαμβάνει η έκφραση στα αριστερά αρνητικές τιμές. Επομένως, η τελική απάντηση θα περιλαμβάνει δύο διαστήματα ταυτόχρονα:
Τα άκρα των διαστημάτων δεν περιλαμβάνονται στην απάντηση επειδή η αρχική ανισότητα ήταν αυστηρή. Δεν απαιτείται περαιτέρω επαλήθευση αυτής της απάντησης. Από αυτή την άποψη, οι εκθετικές ανισότητες είναι πολύ απλούστερες από τις λογαριθμικές: χωρίς ODZ, χωρίς περιορισμούς κ.λπ.
Ας προχωρήσουμε στην επόμενη εργασία:
\[((\αριστερά(\frac(1)(3) \δεξιά))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Δεν υπάρχουν προβλήματα και εδώ, καθώς γνωρίζουμε ήδη ότι $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, οπότε ολόκληρη η ανισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Δεξί βέλος ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(στοίχιση)\]
Παρακαλώ σημειώστε: στην τρίτη γραμμή αποφάσισα να μην χάσω χρόνο σε μικροπράγματα και να διαιρέσω αμέσως τα πάντα με (−2). Ο Μινούλ μπήκε στην πρώτη παρένθεση (τώρα υπάρχουν πλεονεκτήματα παντού) και δύο μειώθηκαν με σταθερό παράγοντα. Αυτό ακριβώς πρέπει να κάνετε όταν προετοιμάζετε πραγματικές οθόνες σε ανεξάρτητα και δοκιμές— δεν χρειάζεται να περιγράψουμε κάθε ενέργεια και μεταμόρφωση.
Στη συνέχεια, μπαίνει στο παιχνίδι η γνωστή μέθοδος των διαστημάτων. Αριθμητικά μηδενικά: αλλά δεν υπάρχουν. Γιατί η διάκριση θα είναι αρνητική. Με τη σειρά του, ο παρονομαστής επαναφέρεται μόνο στο $x=0$ - όπως και την προηγούμενη φορά. Λοιπόν, είναι σαφές ότι στα δεξιά του $x=0$ θα πάρει το κλάσμα θετικές αξίες, και στα αριστερά είναι αρνητικά. Εφόσον μας ενδιαφέρουν οι αρνητικές τιμές, η τελική απάντηση είναι: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\αριστερά(0,16 \δεξιά))^(1+2x))\cdot ((\αριστερά(6,25 \δεξιά))^(x))\ge 1\]
Τι πρέπει να κάνετε με τα δεκαδικά κλάσματα σε εκθετικές ανισώσεις; Αυτό είναι σωστό: ξεφορτωθείτε τα, μετατρέποντάς τα σε συνηθισμένα. Εδώ θα μεταφράσουμε:
\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ αριστερά(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Δεξί βέλος ((\αριστερά(6,25 \δεξιά))^(x)=((\αριστερά(\ frac(25) (4)\δεξιά))^(x)). \\\end(στοίχιση)\]
Τι πήραμε λοιπόν στα θεμέλια των εκθετικών συναρτήσεων; Και πήραμε δύο αμοιβαία αντίστροφους αριθμούς:
\[\frac(25)(4)=((\αριστερά(\frac(4)(25) \δεξιά))^(-1))\Δεξί βέλος ((\αριστερά(\frac(25)(4) \ δεξιά))^(x))=((\αριστερά(((\αριστερά(\frac(4)(25) \δεξιά))^(-1)) \δεξιά))^(x))=((\ αριστερά(\frac(4)(25) \δεξιά))^(-x))\]
Έτσι, η αρχική ανισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \δεξιά))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(στοίχιση)\]
Φυσικά, όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, οι εκθέτες τους αθροίζονται, κάτι που συνέβη στη δεύτερη γραμμή. Επιπλέον, αντιπροσωπεύσαμε τη μονάδα στα δεξιά, επίσης ως ισχύ στη βάση 4/25. Το μόνο που μένει είναι να εξορθολογίσουμε:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Δεξί βέλος \αριστερά(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Σημειώστε ότι $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, δηλ. ο δεύτερος παράγοντας είναι μια αρνητική σταθερά και όταν διαιρείται με αυτήν, το πρόσημο της ανισότητας θα αλλάξει:
\[\αρχή(στοίχιση) & x+1-0\le 0\Δεξί βέλος x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Τέλος, η τελευταία ανισότητα από το τρέχον «σύνολο»:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
Κατ 'αρχήν, η ιδέα της λύσης εδώ είναι επίσης σαφής: όλες οι εκθετικές συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στην ανισότητα πρέπει να μειωθούν στη βάση "3". Αλλά για αυτό θα πρέπει να ασχοληθείτε λίγο με τις ρίζες και τις δυνάμεις:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\τετράγωνο 81=((3)^(4)). \\\end(στοίχιση)\]
Λαμβάνοντας υπόψη αυτά τα δεδομένα, η αρχική ανισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\δεξιά))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3)) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(στοίχιση)\]
Προσέξτε τη 2η και την 3η γραμμή των υπολογισμών: πριν κάνετε οτιδήποτε με την ανισότητα, φροντίστε να τη φέρετε στη μορφή που μιλήσαμε από την αρχή του μαθήματος: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Εφόσον έχετε κάποιους αριστερόστροφους παράγοντες, πρόσθετες σταθερές κ.λπ. αριστερά ή δεξιά, δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί εξορθολογισμός ή «διαγραφή» λόγων! Αμέτρητες εργασίες έχουν ολοκληρωθεί λανθασμένα λόγω αδυναμίας κατανόησης αυτού του απλού γεγονότος. Εγώ ο ίδιος παρατηρώ συνεχώς αυτό το πρόβλημα με τους μαθητές μου όταν μόλις αρχίζουμε να αναλύουμε εκθετικές και λογαριθμικές ανισότητες.
Ας επιστρέψουμε όμως στο έργο μας. Ας προσπαθήσουμε να κάνουμε χωρίς εξορθολογισμό αυτή τη φορά. Ας θυμηθούμε: η βάση του βαθμού είναι μεγαλύτερη από ένα, επομένως οι τριάδες μπορούν απλά να διαγραφούν - το πρόσημο της ανισότητας δεν θα αλλάξει. Παίρνουμε:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]
Αυτό είναι όλο. Τελική απάντηση: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Απομόνωση μιας σταθερής έκφρασης και αντικατάσταση μιας μεταβλητής
Εν κατακλείδι, προτείνω την επίλυση τεσσάρων ακόμη εκθετικών ανισοτήτων, που είναι ήδη αρκετά δύσκολες για απροετοίμαστους μαθητές. Για να τα αντιμετωπίσετε, πρέπει να θυμάστε τους κανόνες για την εργασία με πτυχία. Συγκεκριμένα, βάζοντας εκτός παρενθέσεων κοινούς παράγοντες.
Αλλά το πιο σημαντικό πράγμα είναι να μάθετε να κατανοείτε τι ακριβώς μπορεί να αφαιρεθεί από παρενθέσεις. Μια τέτοια έκφραση ονομάζεται σταθερή - μπορεί να υποδηλωθεί με μια νέα μεταβλητή και έτσι να απαλλαγεί από την εκθετική συνάρτηση. Ας δούμε λοιπόν τις εργασίες:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\αριστερά(0,5 \δεξιά))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(στοίχιση)\]
Ας ξεκινήσουμε από την πρώτη κιόλας γραμμή. Ας γράψουμε αυτήν την ανισότητα χωριστά:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Σημειώστε ότι $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, οπότε το δεξί χέρι η πλευρά μπορεί να ξαναγραφτεί:
Σημειώστε ότι δεν υπάρχουν άλλες εκθετικές συναρτήσεις εκτός από $((5)^(x+1))$ στην ανισότητα. Και γενικά, η μεταβλητή $x$ δεν εμφανίζεται πουθενά αλλού, οπότε ας εισάγουμε μια νέα μεταβλητή: $((5)^(x+1))=t$. Παίρνουμε την εξής κατασκευή:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]
Επιστρέφουμε στην αρχική μεταβλητή ($t=((5)^(x+1))$), και ταυτόχρονα θυμόμαστε ότι 1=5 0 . Εχουμε:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(στοίχιση)\]
Αυτή είναι η λύση! Απάντηση: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη ανισότητα:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Ολα είναι ίδια εδώ. Σημειώστε ότι $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Στη συνέχεια, η αριστερή πλευρά μπορεί να ξαναγραφτεί:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \δεξιά. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Δεξί βέλος x\in \αριστερά[ 2;+\infty \δεξιά). \\\end(στοίχιση)\]
Αυτός είναι περίπου ο τρόπος με τον οποίο πρέπει να συντάξετε μια λύση για πραγματικές δοκιμές και ανεξάρτητη εργασία.
Λοιπόν, ας δοκιμάσουμε κάτι πιο περίπλοκο. Για παράδειγμα, εδώ είναι η ανισότητα:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Ποιο είναι το πρόβλημα εδώ; Πρώτα απ 'όλα, οι βάσεις των εκθετικών συναρτήσεων στα αριστερά είναι διαφορετικές: 5 και 25. Ωστόσο, 25 = 5 2, οπότε ο πρώτος όρος μπορεί να μετατραπεί:
\[\αρχή(στοίχιση) & ((25)^(x+1,5))=((\αριστερά(((5)^(2)) \δεξιά))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]
Όπως μπορείτε να δείτε, στην αρχή φέραμε τα πάντα στην ίδια βάση και, στη συνέχεια, παρατηρήσαμε ότι ο πρώτος όρος μπορεί εύκολα να μειωθεί στον δεύτερο - απλά πρέπει να επεκτείνετε τον εκθέτη. Τώρα μπορείτε να εισάγετε με ασφάλεια μια νέα μεταβλητή: $((5)^(2x+2))=t$ και ολόκληρη η ανισότητα θα ξαναγραφεί ως εξής:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]
Και πάλι, χωρίς δυσκολίες! Τελική απάντηση: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Ας περάσουμε στην τελική ανισότητα στο σημερινό μάθημα:
\[((\αριστερά(0,5 \δεξιά))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Το πρώτο πράγμα που πρέπει να προσέξεις είναι, φυσικά, δεκαδικόςστη βάση του πρώτου βαθμού. Είναι απαραίτητο να το ξεφορτωθείτε και ταυτόχρονα να φέρετε όλες τις εκθετικές συναρτήσεις στην ίδια βάση - τον αριθμό "2":
\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Δεξί βέλος ((16)^(x+1,5))=((\αριστερά(((2)^(4)) \δεξιά))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(στοίχιση)\]
Ωραία, κάναμε το πρώτο βήμα - όλα οδήγησαν στην ίδια βάση. Τώρα πρέπει να επιλέξετε σταθερή έκφραση. Σημειώστε ότι $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Εάν εισάγουμε μια νέα μεταβλητή $((2)^(4x+6))=t$, τότε η αρχική ανισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(στοίχιση)\]
Φυσικά, μπορεί να προκύψει το ερώτημα: πώς ανακαλύψαμε ότι 256 = 2 8; Δυστυχώς, εδώ χρειάζεται απλώς να γνωρίζετε τις δυνάμεις του δύο (και ταυτόχρονα τις δυνάμεις του τριών και του πέντε). Λοιπόν, ή διαιρέστε το 256 με το 2 (μπορείτε να διαιρέσετε, αφού το 256 είναι Ζυγός αριθμός) μέχρι να έχουμε το αποτέλεσμα. Θα μοιάζει κάπως έτσι:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(στοίχιση )\]
Το ίδιο ισχύει με το τρία (οι αριθμοί 9, 27, 81 και 243 είναι οι μοίρες του), και με το επτά (οι αριθμοί 49 και 343 θα ήταν επίσης καλό να θυμόμαστε). Λοιπόν, το πέντε έχει επίσης "όμορφα" πτυχία που πρέπει να γνωρίζετε:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(στοίχιση)\]
Φυσικά, αν το επιθυμείτε, όλοι αυτοί οι αριθμοί μπορούν να επαναληφθούν στο μυαλό σας απλά πολλαπλασιάζοντάς τους διαδοχικά ο ένας με τον άλλον. Ωστόσο, όταν πρέπει να λύσετε πολλές εκθετικές ανισώσεις και κάθε επόμενη είναι πιο δύσκολη από την προηγούμενη, τότε το τελευταίο πράγμα που θέλετε να σκεφτείτε είναι οι δυνάμεις ορισμένων αριθμών. Και υπό αυτή την έννοια, αυτά τα προβλήματα είναι πιο περίπλοκα από τις «κλασικές» ανισότητες που επιλύονται με τη μέθοδο του διαστήματος.
Ελπίζω ότι αυτό το μάθημα σας βοήθησε να κατακτήσετε αυτό το θέμα. Εάν κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, ρωτήστε στα σχόλια. Και τα λέμε στα επόμενα μαθήματα. :)
Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσουμε την επίλυση πιο περίπλοκων εκθετικών εξισώσεων και θα υπενθυμίσουμε τις βασικές θεωρητικές αρχές σχετικά με την εκθετική συνάρτηση.
1. Ορισμός και ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης, μέθοδοι επίλυσης των απλούστερων εκθετικών εξισώσεων
Ας θυμηθούμε τον ορισμό και τις βασικές ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης. Η λύση όλων των εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων βασίζεται σε αυτές τις ιδιότητες.
Εκθετικη συναρτηση είναι συνάρτηση της μορφής , όπου η βάση είναι ο βαθμός και εδώ x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή, όρισμα. y είναι η εξαρτημένη μεταβλητή, συνάρτηση.
Ρύζι. 1. Γράφημα εκθετικής συνάρτησης
Το γράφημα δείχνει αυξανόμενους και φθίνοντες εκθέτες, απεικονίζοντας την εκθετική συνάρτηση με βάση μεγαλύτερη από μία και μικρότερη από μία αλλά μεγαλύτερη από μηδέν, αντίστοιχα.
Και οι δύο καμπύλες περνούν από το σημείο (0;1)
Ιδιότητες της Εκθετικής Συνάρτησης:
Τομέα: ;
Εύρος τιμών: ;
Η συνάρτηση είναι μονότονη, αυξάνεται με, μειώνεται με.
Μια μονότονη συνάρτηση παίρνει καθεμία από τις τιμές της δίνοντας μια μόνο τιμή ορίσματος.
Όταν το όρισμα αυξάνεται από μείον στο συν άπειρο, η συνάρτηση αυξάνεται από το μηδέν συμπεριλαμβανομένου στο συν άπειρο. Αντίθετα, όταν το όρισμα αυξάνεται από το μείον στο συν άπειρο, η συνάρτηση μειώνεται από το άπειρο στο μηδέν, όχι περιληπτικά.
2. Επίλυση τυπικών εκθετικών εξισώσεων
Ας σας υπενθυμίσουμε πώς να λύσετε τις απλούστερες εκθετικές εξισώσεις. Η επίλυσή τους βασίζεται στη μονοτονία της εκθετικής συνάρτησης. Σχεδόν όλες οι μιγαδικές εκθετικές εξισώσεις μπορούν να αναχθούν σε τέτοιες εξισώσεις.
Η ισότητα των εκθετών με ίσες βάσεις οφείλεται στην ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης, δηλαδή στη μονοτονία της.
Μέθοδος λύσης:
Εξισώστε τις βάσεις των μοιρών.
Εξισώστε τους εκθέτες.
Ας προχωρήσουμε στην εξέταση πιο περίπλοκων εκθετικών εξισώσεων· στόχος μας είναι να ανάγουμε καθεμία από αυτές στην απλούστερη.
Ας απαλλαγούμε από τη ρίζα στην αριστερή πλευρά και φέρνουμε τις μοίρες στην ίδια βάση:
Προκειμένου να μειωθεί μια σύνθετη εκθετική εξίσωση στην απλούστερη της, χρησιμοποιείται συχνά η αντικατάσταση μεταβλητών.
Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα power:
Παρουσιάζουμε μια αντικατάσταση. Ας είναι τότε 
Ας πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση που προκύπτει επί δύο και ας μετακινήσουμε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά:
Η πρώτη ρίζα δεν ικανοποιεί το εύρος των τιμών y, οπότε την απορρίπτουμε. Παίρνουμε:
Ας μειώσουμε τους βαθμούς στον ίδιο δείκτη:
Ας παρουσιάσουμε μια αντικατάσταση:
Ας είναι τότε 
. Με μια τέτοια αντικατάσταση, είναι προφανές ότι το y παίρνει αυστηρά θετικές τιμές. Παίρνουμε:
Ξέρουμε πώς να λύσουμε τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις, μπορούμε να γράψουμε την απάντηση:
Για να βεβαιωθείτε ότι οι ρίζες βρίσκονται σωστά, μπορείτε να ελέγξετε χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, δηλαδή να βρείτε το άθροισμα των ριζών και το γινόμενο τους και να τα συγκρίνετε με τους αντίστοιχους συντελεστές της εξίσωσης.
Παίρνουμε:
3. Μεθοδολογία επίλυσης ομοιογενών εκθετικών εξισώσεων δευτέρου βαθμού
Ας μελετήσουμε τον ακόλουθο σημαντικό τύπο εκθετικών εξισώσεων:
Οι εξισώσεις αυτού του τύπου ονομάζονται ομοιογενής δεύτερημοίρες ως προς τις συναρτήσεις f και g. Στην αριστερή πλευρά υπάρχει τετραγωνικό τριώνυμοσε σχέση με f με παράμετρο g ή τετραγωνικό τριώνυμο σε σχέση με g με παράμετρο f.
Μέθοδος λύσης:
Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί ως δευτεροβάθμια εξίσωση, αλλά είναι πιο εύκολο να γίνει διαφορετικά. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις που πρέπει να εξεταστούν:
Στην πρώτη περίπτωση παίρνουμε
Στη δεύτερη περίπτωση, έχουμε το δικαίωμα να διαιρέσουμε με τον υψηλότερο βαθμό και να πάρουμε:
Θα πρέπει να εισάγουμε μια αλλαγή μεταβλητών, παίρνουμε τετραγωνική εξίσωσησε σχέση με το y:
Ας σημειώσουμε ότι οι συναρτήσεις f και g μπορεί να είναι οποιεσδήποτε, αλλά μας ενδιαφέρει η περίπτωση που πρόκειται για εκθετικές συναρτήσεις.
4. Παραδείγματα επίλυσης ομοιογενών εξισώσεων
Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης:
Εφόσον οι εκθετικές συναρτήσεις αποκτούν αυστηρά θετικές τιμές, έχουμε το δικαίωμα να διαιρέσουμε αμέσως την εξίσωση με , χωρίς να λάβουμε υπόψη την περίπτωση που:
Παίρνουμε:
Ας παρουσιάσουμε μια αντικατάσταση: 
(σύμφωνα με τις ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης)
Έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση:
Καθορίζουμε τις ρίζες χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta:
Η πρώτη ρίζα δεν ικανοποιεί το εύρος τιμών του y, την απορρίπτουμε, παίρνουμε:
Ας χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες των μοιρών και ας μειώσουμε όλους τους βαθμούς σε απλές βάσεις:
Είναι εύκολο να παρατηρήσετε τις συναρτήσεις f και g:
Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων εξισώσεων
Αρχικά, ας θυμηθούμε εν συντομία ποιες μέθοδοι υπάρχουν γενικά για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων.
Υπάρχει τέσσερις βασικούς τρόπουςλύσεις σε συστήματα εξισώσεων:
Μέθοδος αντικατάστασης: πάρτε οποιαδήποτε από τις δοσμένες εξισώσεις και εκφράστε το $y$ ως $x$, στη συνέχεια το $y$ αντικαθίσταται στην εξίσωση συστήματος, από όπου βρίσκεται η μεταβλητή $x.$. Μετά από αυτό, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε η μεταβλητή $y.$
Μέθοδος προσθήκης: σε αυτή τη μέθοδοΕίναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε μία ή και τις δύο εξισώσεις με τέτοιους αριθμούς ώστε όταν προσθέτουμε και τις δύο μαζί, μία από τις μεταβλητές «εξαφανίζεται».
Γραφική μέθοδος: απεικονίζονται και οι δύο εξισώσεις του συστήματος επίπεδο συντεταγμένωνκαι βρίσκεται το σημείο τομής τους.
Μέθοδος εισαγωγής νέων μεταβλητών: σε αυτήν τη μέθοδο αντικαθιστούμε ορισμένες εκφράσεις για να απλοποιήσουμε το σύστημα και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε μία από τις παραπάνω μεθόδους.
Συστήματα εκθετικών εξισώσεων
Ορισμός 1
Συστήματα εξισώσεων που αποτελούνται από εκθετικές εξισώσεις ονομάζονται συστήματα εκθετικών εξισώσεων.
Θα εξετάσουμε την επίλυση συστημάτων εκθετικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας παραδείγματα.
Παράδειγμα 1
Επίλυση συστήματος εξισώσεων
Εικόνα 1.
Λύση.
Θα χρησιμοποιήσουμε την πρώτη μέθοδο για να λύσουμε αυτό το σύστημα. Αρχικά, ας εκφράσουμε $y$ στην πρώτη εξίσωση ως $x$.
Σχήμα 2.
Ας αντικαταστήσουμε το $y$ στη δεύτερη εξίσωση:
\ \ \[-2-x=2\] \ \
Απάντηση: $(-4,6)$.
Παράδειγμα 2
Επίλυση συστήματος εξισώσεων
Εικόνα 3.
Λύση.
Αυτό το σύστημα είναι ισοδύναμο με το σύστημα
Εικόνα 4.
Ας εφαρμόσουμε την τέταρτη μέθοδο επίλυσης εξισώσεων. Έστω $2^x=u\ (u >0)$ και $3^y=v\ (v >0)$, παίρνουμε:
Εικόνα 5.
Ας λύσουμε το προκύπτον σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης. Ας προσθέσουμε τις εξισώσεις:
\ \
Τότε από τη δεύτερη εξίσωση, το παίρνουμε αυτό
Επιστρέφοντας στην αντικατάσταση, παραλήφθηκε νέο σύστημαεκθετικές εξισώσεις:
Εικόνα 6.
Παίρνουμε:
Εικόνα 7.
Απάντηση: $(0,1)$.
Συστήματα εκθετικών ανισοτήτων
Ορισμός 2
Συστήματα ανισώσεων που αποτελούνται από εκθετικές εξισώσεις ονομάζονται συστήματα εκθετικών ανισώσεων.
Θα εξετάσουμε την επίλυση συστημάτων εκθετικών ανισοτήτων χρησιμοποιώντας παραδείγματα.
Παράδειγμα 3
Λύστε το σύστημα των ανισοτήτων
Εικόνα 8.
Λύση:
Αυτό το σύστημα ανισοτήτων είναι ισοδύναμο με το σύστημα
Εικόνα 9.
Για να λύσετε την πρώτη ανισότητα, θυμηθείτε το ακόλουθο θεώρημα σχετικά με την ισοδυναμία των εκθετικών ανισώσεων:
Θεώρημα 1.Η ανισότητα $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, όπου $a >0,a\ne 1$ ισοδυναμεί με τη συλλογή δύο συστημάτων
\U)
