Γραμμές δεύτερης τάξης.
Έλειψη και η κανονική της εξίσωση. Κύκλος

Μετά από ενδελεχή μελέτη ευθείες γραμμές στο επίπεδοΣυνεχίζουμε να μελετάμε τη γεωμετρία του δισδιάστατου κόσμου. Τα στοιχήματα διπλασιάζονται και σας προσκαλώ να επισκεφτείτε μια γραφική γκαλερί ελλείψεων, υπερβολών, παραβολών, που είναι τυπικοί εκπρόσωποι γραμμές δεύτερης τάξης. Η εκδρομή έχει ήδη ξεκινήσει, και πρώτα σύντομες πληροφορίεςγια ολόκληρη την έκθεση σε διάφορους ορόφους του μουσείου:

Η έννοια της αλγεβρικής γραμμής και η σειρά της

Μια γραμμή σε ένα επίπεδο ονομάζεται αλγεβρικός, εάν μέσα συγγενικό σύστημα συντεταγμένωνη εξίσωσή του έχει τη μορφή , όπου είναι ένα πολυώνυμο που αποτελείται από όρους της μορφής ( – πραγματικός αριθμός, – μη αρνητικοί ακέραιοι).

Όπως μπορείτε να δείτε, η εξίσωση μιας αλγεβρικής γραμμής δεν περιέχει ημίτονο, συνημίτονο, λογάριθμους και άλλα συναρτησιακά beau monde. Μόνο τα Χ και Υ είναι μέσα μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοίβαθμούς.

Γραμμική παραγγελίαίση με τη μέγιστη τιμή των όρων που περιλαμβάνονται σε αυτό.

Σύμφωνα με το αντίστοιχο θεώρημα, η έννοια μιας αλγεβρικής γραμμής, καθώς και η σειρά της, δεν εξαρτώνται από την επιλογή συγγενικό σύστημα συντεταγμένων, επομένως, για ευκολία ύπαρξης, υποθέτουμε ότι όλοι οι επόμενοι υπολογισμοί πραγματοποιούνται στο Καρτεσιανές συντεταγμένες.

Γενική εξίσωσηη δεύτερη γραμμή παραγγελίας έχει τη μορφή , όπου – αυθαίρετο πραγματικούς αριθμούς (Συνηθίζεται να το γράφουμε με συντελεστή δύο), και οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν ταυτόχρονα.

Αν , τότε η εξίσωση απλοποιείται σε , και αν οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν ταυτόχρονα, τότε αυτό ακριβώς είναι γενική εξίσωση μιας «επίπεδης» γραμμής, που αντιπροσωπεύει γραμμή πρώτης παραγγελίας.

Πολλοί έχουν καταλάβει την έννοια των νέων όρων, αλλά, παρόλα αυτά, για να κατακτήσουμε 100% το υλικό, βάζουμε τα δάχτυλά μας στην υποδοχή. Για να προσδιορίσετε τη σειρά γραμμής, πρέπει να κάνετε επανάληψη όλους τους όρουςτις εξισώσεις του και βρείτε για καθένα από αυτά άθροισμα βαθμώνεισερχόμενες μεταβλητές.

Για παράδειγμα:

ο όρος περιέχει "x" στην 1η δύναμη.
ο όρος περιέχει "Y" στην 1η δύναμη.
Δεν υπάρχουν μεταβλητές στον όρο, επομένως το άθροισμα των δυνάμεών τους είναι μηδέν.

Τώρα ας καταλάβουμε γιατί η εξίσωση ορίζει τη γραμμή δεύτεροςΣειρά:

ο όρος περιέχει "x" στη 2η δύναμη.
το άθροισμα έχει το άθροισμα των δυνάμεων των μεταβλητών: 1 + 1 = 2;
ο όρος περιέχει "Y" στη 2η δύναμη.
όλοι οι άλλοι όροι - πιο λιγοβαθμούς.

Μέγιστη τιμή: 2

Εάν προσθέσουμε επιπλέον, ας πούμε, στην εξίσωσή μας, τότε θα καθορίσει ήδη γραμμή τρίτης τάξης. Είναι προφανές ότι η γενική μορφή της εξίσωσης γραμμής 3ης τάξης περιέχει ένα «πλήρες σύνολο» όρων, το άθροισμα των δυνάμεων των μεταβλητών στις οποίες είναι ίσο με τρεις:
, όπου οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν ταυτόχρονα.

Σε περίπτωση που προσθέσετε έναν ή περισσότερους κατάλληλους όρους που περιέχουν , τότε θα μιλήσουμε ήδη Γραμμές 4ης παραγγελίας, και τα λοιπά.

Θα πρέπει να συναντήσουμε αλγεβρικές γραμμές της 3ης, 4ης και υψηλότερης τάξης περισσότερες από μία φορές, ιδίως όταν εξοικειωθούμε με πολικό σύστημα συντεταγμένων.

Ωστόσο, ας επιστρέψουμε στη γενική εξίσωση και ας θυμηθούμε τις πιο απλές σχολικές παραλλαγές της. Ως παραδείγματα, προκύπτει μια παραβολή, η εξίσωση της οποίας μπορεί εύκολα να αναχθεί σε μια γενική μορφή, και μια υπερβολή με μια ισοδύναμη εξίσωση. Ωστόσο, δεν είναι όλα τόσο ομαλά...

Σημαντικό μειονέκτημα γενική εξίσωσηείναι ότι σχεδόν πάντα δεν είναι ξεκάθαρο ποια γραμμή θέτει. Ακόμη και στην πιο απλή περίπτωση, δεν θα συνειδητοποιήσετε αμέσως ότι πρόκειται για υπερβολή. Τέτοιες διατάξεις είναι καλές μόνο σε μια μεταμφίεση, επομένως ένα τυπικό πρόβλημα εξετάζεται στην πορεία της αναλυτικής γεωμετρίας φέρνοντας την εξίσωση γραμμής 2ης τάξης σε κανονική μορφή.

Ποια είναι η κανονική μορφή μιας εξίσωσης;

Αυτή είναι η γενικά αποδεκτή τυπική μορφή μιας εξίσωσης, όταν μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα γίνεται σαφές ποιο γεωμετρικό αντικείμενο ορίζει. Επιπλέον, η κανονική μορφή είναι πολύ βολική για την επίλυση πολλών πρακτικές εργασίες. Έτσι, για παράδειγμα, σύμφωνα με την κανονική εξίσωση «επίπεδη» ευθεία, πρώτον, είναι αμέσως σαφές ότι πρόκειται για μια ευθεία γραμμή, και δεύτερον, το σημείο που ανήκει σε αυτήν και το διάνυσμα κατεύθυνσης είναι εύκολα ορατά.

Είναι προφανές ότι οποιαδήποτε γραμμή 1ης παραγγελίαςείναι μια ευθεία γραμμή. Στον δεύτερο όροφο, δεν μας περιμένει πλέον ο φύλακας, αλλά μια πολύ πιο διαφορετική παρέα από εννέα αγάλματα:

Ταξινόμηση γραμμών δεύτερης τάξης

Χρησιμοποιώντας ένα ειδικό σύνολο ενεργειών, οποιαδήποτε εξίσωση μιας γραμμής δεύτερης τάξης μειώνεται σε μία από τις ακόλουθες μορφές:

(και είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί)

1) – κανονική εξίσωση της έλλειψης.

2) – κανονική εξίσωση υπερβολής.

3) – κανονική εξίσωση παραβολής.

4) – φανταστικοέλλειψη;

5) - ένα ζεύγος τεμνόμενων γραμμών.

6) – ζεύγος φανταστικοτεμνόμενες γραμμές (με ένα μόνο έγκυρο σημείο τομής στην αρχή).

7) – ένα ζευγάρι παράλληλων γραμμών.

8) – ζεύγος φανταστικοπαράλληλες γραμμές;

9) – ένα ζευγάρι συμπίπτουσες γραμμές.

Ορισμένοι αναγνώστες μπορεί να έχουν την εντύπωση ότι η λίστα είναι ελλιπής. Για παράδειγμα, στο σημείο Νο. 7, η εξίσωση καθορίζει το ζεύγος απευθείας, παράλληλη προς τον άξονα, και τίθεται το ερώτημα: πού βρίσκεται η εξίσωση που καθορίζει τις ευθείες παράλληλες στον άξονα τεταγμένων; Απάντησέ το δεν θεωρείται κανονική. Οι ευθείες γραμμές αντιπροσωπεύουν την ίδια τυπική περίπτωση, περιστρέφεται κατά 90 μοίρες και η πρόσθετη καταχώριση στην ταξινόμηση είναι περιττή, καθώς δεν φέρνει τίποτα ουσιαστικά νέο.

Έτσι, υπάρχουν εννέα και μόνο εννέα διαφορετικοί τύποι γραμμών 2ης τάξης, αλλά στην πράξη είναι οι πιο συνηθισμένοι έλλειψη, υπερβολή και παραβολή.

Ας δούμε πρώτα την έλλειψη. Ως συνήθως, επικεντρώνομαι σε εκείνα τα σημεία που έχουν μεγάλης σημασίαςγια να λύσετε προβλήματα και εάν χρειάζεστε λεπτομερή παραγωγή τύπων, αποδείξεις θεωρημάτων, ανατρέξτε, για παράδειγμα, στο εγχειρίδιο των Bazylev/Atanasyan ή Aleksandrov.

Η έλλειψη και η κανονική της εξίσωση

Ορθογραφία... παρακαλώ μην επαναλάβετε τα λάθη ορισμένων χρηστών του Yandex που ενδιαφέρονται για το "πώς να φτιάξετε μια έλλειψη", "τη διαφορά μεταξύ μιας έλλειψης και ενός οβάλ" και "η εκκεντρότητα μιας έλλειψης".

Κανονική εξίσωσηΗ έλλειψη έχει τη μορφή , όπου είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, και . Θα διατυπώσω τον ίδιο τον ορισμό της έλλειψης αργότερα, αλλά προς το παρόν είναι ώρα να κάνουμε ένα διάλειμμα από το κατάστημα που μιλάει και να λύσουμε ένα κοινό πρόβλημα:

Πώς να φτιάξετε μια έλλειψη;

Ναι, απλά πάρτε το και απλώς ζωγραφίστε το. Η εργασία γίνεται συχνά και ένα σημαντικό μέρος των μαθητών δεν αντιμετωπίζει σωστά το σχέδιο:

Παράδειγμα 1

Κατασκευάστε την έλλειψη που δίνεται από την εξίσωση

Λύση: Αρχικά, ας φέρουμε την εξίσωση σε κανονική μορφή:

Γιατί να φέρεις; Ένα από τα πλεονεκτήματα της κανονικής εξίσωσης είναι ότι σας επιτρέπει να προσδιορίσετε αμέσως κορυφές της έλλειψης, τα οποία βρίσκονται σε σημεία. Είναι εύκολο να δούμε ότι οι συντεταγμένες καθενός από αυτά τα σημεία ικανοποιούν την εξίσωση.

Σε αυτήν την περίπτωση :


Ευθύγραμμο τμήμαπου ονομάζεται κύριος άξοναςέλλειψη;
ευθύγραμμο τμήμα – μικρός άξονας;
αριθμός που ονομάζεται ημι-κύριος άξοναςέλλειψη;
αριθμός – μικρός άξονας.
στο παράδειγμά μας: .

Για να φανταστείτε γρήγορα πώς μοιάζει μια συγκεκριμένη έλλειψη, απλά κοιτάξτε τις τιμές του «a» και του «be» της κανονικής της εξίσωσης.

Όλα είναι καλά, ομαλά και όμορφα, αλλά υπάρχει μια προειδοποίηση: έφτιαξα το σχέδιο χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα. Και μπορείτε να κάνετε το σχέδιο χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε εφαρμογή. Ωστόσο, στη σκληρή πραγματικότητα, υπάρχει ένα καρό χαρτί στο τραπέζι και τα ποντίκια χορεύουν κυκλικά στα χέρια μας. Άνθρωποι με καλλιτεχνικό ταλέντο, φυσικά, μπορούν να μαλώσουν, αλλά έχετε και ποντίκια (αν και μικρότερα). Δεν είναι μάταιο ότι η ανθρωπότητα επινόησε τον χάρακα, την πυξίδα, το μοιρογνωμόνιο και άλλες απλές συσκευές για το σχέδιο.

Για το λόγο αυτό, είναι απίθανο να μπορέσουμε να σχεδιάσουμε με ακρίβεια μια έλλειψη γνωρίζοντας μόνο τις κορυφές. Είναι εντάξει αν η έλλειψη είναι μικρή, για παράδειγμα, με ημιάξονες. Εναλλακτικά, μπορείτε να μειώσετε την κλίμακα και, κατά συνέπεια, τις διαστάσεις του σχεδίου. Αλλά σε γενικές γραμμές, είναι πολύ επιθυμητό να βρείτε επιπλέον σημεία.

Υπάρχουν δύο προσεγγίσεις για την κατασκευή μιας έλλειψης - γεωμετρική και αλγεβρική. Δεν μου αρέσει η κατασκευή με πυξίδα και χάρακα, επειδή ο αλγόριθμος δεν είναι ο συντομότερος και το σχέδιο είναι σημαντικά ακατάστατο. Σε περίπτωση έκτακτης ανάγκης, ανατρέξτε στο σχολικό βιβλίο, αλλά στην πραγματικότητα είναι πολύ πιο λογικό να χρησιμοποιείτε τα εργαλεία της άλγεβρας. Από την εξίσωση της έλλειψης στο προσχέδιο εκφράζουμε γρήγορα:

Στη συνέχεια, η εξίσωση αναλύεται σε δύο συναρτήσεις:
– ορίζει το άνω τόξο της έλλειψης.
– ορίζει το κάτω τόξο της έλλειψης.

Η έλλειψη που ορίζεται από την κανονική εξίσωση είναι συμμετρική ως προς τους άξονες συντεταγμένων, καθώς και ως προς την αρχή. Και αυτό είναι υπέροχο - η συμμετρία είναι σχεδόν πάντα προάγγελος δωρεάν. Προφανώς, αρκεί να ασχοληθούμε με το 1ο τέταρτο συντεταγμένων, οπότε χρειαζόμαστε τη συνάρτηση . Παρακαλεί να βρεθούν επιπλέον πόντους με τετμημένα . Ας πατήσουμε τρία μηνύματα SMS στην αριθμομηχανή:

Φυσικά, είναι επίσης ωραίο ότι εάν γίνει ένα σοβαρό λάθος στους υπολογισμούς, θα γίνει αμέσως σαφές κατά την κατασκευή.

Ας σημειώσουμε τα σημεία στο σχέδιο (κόκκινο), τα συμμετρικά σημεία στα υπόλοιπα τόξα (μπλε) και ας συνδέσουμε προσεκτικά ολόκληρη την εταιρεία με μια γραμμή:


Είναι καλύτερα να σχεδιάσετε το αρχικό σκίτσο πολύ λεπτά και μόνο τότε να ασκήσετε πίεση με ένα μολύβι. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι μια αρκετά αξιοπρεπής έλλειψη. Παρεμπιπτόντως, θα θέλατε να μάθετε ποια είναι αυτή η καμπύλη;

Ορισμός έλλειψης. Εστίες έλλειψης και εκκεντρικότητα έλλειψης

Έλειψη είναι ειδική περίπτωσηωοειδής Η λέξη «οβάλ» δεν πρέπει να κατανοηθεί με τη φιλισταϊκή έννοια («το παιδί ζωγράφισε ένα οβάλ» κ.λπ.). Αυτός είναι ένας μαθηματικός όρος που έχει λεπτομερή διατύπωση. Ο σκοπός αυτού του μαθήματος δεν είναι να εξετάσει τη θεωρία των οβάλ και τους διάφορους τύπους τους, στους οποίους πρακτικά δεν δίνεται προσοχή στο τυπικό μάθημα της αναλυτικής γεωμετρίας. Και, σύμφωνα με τις πιο σύγχρονες ανάγκες, προχωράμε αμέσως στον αυστηρό ορισμό της έλλειψης:

Ελλειψηείναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου, το άθροισμα των αποστάσεων σε καθένα από τα οποία από δύο δεδομένα σημεία, που ονομάζονται κόλπαέλλειψη, είναι μια σταθερή ποσότητα, αριθμητικά ίση με το μήκος του κύριου άξονα αυτής της έλλειψης: .
Σε αυτήν την περίπτωση, οι αποστάσεις μεταξύ των εστιών είναι μικρότερες από αυτήν την τιμή: .

Τώρα όλα θα γίνουν πιο ξεκάθαρα:

Φανταστείτε ότι η μπλε κουκκίδα «ταξιδεύει» κατά μήκος μιας έλλειψης. Έτσι, ανεξάρτητα από το σημείο της έλλειψης, το άθροισμα των μηκών των τμημάτων θα είναι πάντα το ίδιο:

Ας βεβαιωθούμε ότι στο παράδειγμά μας η τιμή του αθροίσματος είναι πραγματικά ίση με οκτώ. Τοποθετήστε διανοητικά το σημείο "um" στη δεξιά κορυφή της έλλειψης, στη συνέχεια: , που είναι αυτό που έπρεπε να ελεγχθεί.

Μια άλλη μέθοδος σχεδίασής του βασίζεται στον ορισμό της έλλειψης. Τα ανώτερα μαθηματικά είναι μερικές φορές η αιτία της έντασης και του άγχους, οπότε ήρθε η ώρα να κάνετε μια άλλη συνεδρία αποφόρτισης. Πάρτε χαρτί Whatman ή ένα μεγάλο φύλλο χαρτονιού και καρφώστε το στο τραπέζι με δύο καρφιά. Αυτά θα είναι κόλπα. Δέστε μια πράσινη κλωστή στις κεφαλές των νυχιών που προεξέχουν και τραβήξτε την μέχρι το τέλος με ένα μολύβι. Το καλώδιο μολυβιού θα καταλήξει σε ένα ορισμένο σημείο που ανήκει στην έλλειψη. Τώρα ξεκινήστε να μετακινείτε το μολύβι κατά μήκος του φύλλου χαρτιού, κρατώντας το πράσινο νήμα σφιχτά τεντωμένο. Συνεχίστε τη διαδικασία μέχρι να επιστρέψετε στο σημείο εκκίνησης... υπέροχο... το σχέδιο μπορεί να ελεγχθεί από τον γιατρό και τον δάσκαλο =)

Πώς να βρείτε τις εστίες μιας έλλειψης;

Στο παραπάνω παράδειγμα, απεικόνισα «έτοιμα» εστιακά σημεία και τώρα θα μάθουμε πώς να τα εξάγουμε από τα βάθη της γεωμετρίας.

Εάν μια έλλειψη δίνεται από μια κανονική εξίσωση, τότε οι εστίες της έχουν συντεταγμένες , που είναι απόσταση από κάθε εστία έως το κέντρο συμμετρίας της έλλειψης.

Οι υπολογισμοί είναι απλούστεροι από απλοί:

! Οι συγκεκριμένες συντεταγμένες των εστιών δεν μπορούν να ταυτιστούν με την έννοια του «tse»!Επαναλαμβάνω ότι αυτό είναι ΑΠΟΣΤΑΣΗ από κάθε εστίαση στο κέντρο(που στη γενική περίπτωση δεν χρειάζεται να βρίσκεται ακριβώς στην προέλευση).
Και, επομένως, η απόσταση μεταξύ των εστιών επίσης δεν μπορεί να συνδεθεί με την κανονική θέση της έλλειψης. Με άλλα λόγια, η έλλειψη μπορεί να μετακινηθεί σε άλλο μέρος και η τιμή θα παραμείνει αμετάβλητη, ενώ οι εστίες θα αλλάξουν φυσικά τις συντεταγμένες τους. Παρακαλώ λάβετε υπ'όψιν αυτή τη στιγμήκατά την περαιτέρω μελέτη του θέματος.

Η εκκεντρικότητα της έλλειψης και η γεωμετρική της σημασία

Η εκκεντρότητα μιας έλλειψης είναι μια αναλογία που μπορεί να λάβει τιμές εντός του εύρους.

Στην περίπτωσή μας:

Ας μάθουμε πώς το σχήμα μιας έλλειψης εξαρτάται από την εκκεντρότητά της. Για αυτό διορθώστε την αριστερή και τη δεξιά κορυφήτης υπό εξέταση έλλειψης, δηλαδή, η τιμή του ημιμείζονος άξονα θα παραμείνει σταθερή. Τότε ο τύπος της εκκεντρικότητας θα έχει τη μορφή: .

Ας αρχίσουμε να φέρνουμε την τιμή της εκκεντρικότητας πιο κοντά στην ενότητα. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν . Τι σημαίνει? ...θυμηθείτε τα κόλπα . Αυτό σημαίνει ότι οι εστίες της έλλειψης θα «απομακρυνθούν» κατά μήκος του άξονα της τετμημένης προς τις πλευρικές κορυφές. Και, δεδομένου ότι "τα πράσινα τμήματα δεν είναι καουτσούκ", η έλλειψη θα αρχίσει αναπόφευκτα να ισοπεδώνεται, μετατρέποντας σε ένα λεπτότερο και λεπτότερο λουκάνικο αρδευόμενο σε έναν άξονα.

Ετσι, Όσο πιο κοντά είναι η τιμή της εκκεντρότητας της έλλειψης στη μονάδα, τόσο πιο επιμήκης είναι η έλλειψη.

Τώρα ας μοντελοποιήσουμε την αντίθετη διαδικασία: τις εστίες της έλλειψης περπάτησαν ο ένας προς τον άλλο πλησιάζοντας προς το κέντρο. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή του «ce» γίνεται όλο και μικρότερη και, κατά συνέπεια, η εκκεντρότητα τείνει στο μηδέν: .
Σε αυτή την περίπτωση, τα «πράσινα τμήματα» αντίθετα θα «συνωστιστούν» και θα αρχίσουν να «σπρώχνουν» τη γραμμή έλλειψης πάνω-κάτω.

Ετσι, Όσο πιο κοντά είναι η τιμή της εκκεντρότητας στο μηδέν, τόσο πιο παρόμοια είναι η έλλειψη... κοιτάξτε την περιοριστική περίπτωση όταν οι εστίες επανενώνονται με επιτυχία στην αρχή:

Ένας κύκλος είναι μια ειδική περίπτωση έλλειψης

Πράγματι, στην περίπτωση της ισότητας των ημιαξόνων, η κανονική εξίσωση της έλλειψης παίρνει τη μορφή , η οποία μετατρέπεται αντανακλαστικά στην εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο στην αρχή της ακτίνας «a», πολύ γνωστή από το σχολείο.

Στην πράξη, ο συμβολισμός με το «ομιλούμενο» γράμμα «er» χρησιμοποιείται συχνότερα: . Η ακτίνα είναι το μήκος ενός τμήματος, με κάθε σημείο του κύκλου να αφαιρείται από το κέντρο κατά μια απόσταση ακτίνας.

Σημειώστε ότι ο ορισμός της έλλειψης παραμένει απόλυτα σωστός: οι εστίες συμπίπτουν και το άθροισμα των μηκών των συμπίπτοντων τμημάτων για κάθε σημείο του κύκλου είναι σταθερά. Αφού η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι , λοιπόν η εκκεντρότητα οποιουδήποτε κύκλου είναι μηδέν.

Η κατασκευή ενός κύκλου είναι εύκολη και γρήγορη, απλά χρησιμοποιήστε μια πυξίδα. Ωστόσο, μερικές φορές είναι απαραίτητο να μάθουμε τις συντεταγμένες ορισμένων από τα σημεία του, σε αυτήν την περίπτωση ακολουθούμε τον γνωστό τρόπο - φέρνουμε την εξίσωση στη χαρούμενη μορφή Matanov:

– λειτουργία του άνω ημικυκλίου.
– λειτουργία του κάτω ημικυκλίου.

Μετά την οποία βρίσκουμε απαιτούμενες τιμές, διαφοροποιούν, ενσωματώνουνκαι κάνε άλλα καλά πράγματα.

Το άρθρο, φυσικά, είναι μόνο για αναφορά, αλλά πώς μπορείτε να ζήσετε στον κόσμο χωρίς αγάπη; Δημιουργική εργασία για ανεξάρτητη απόφαση

Παράδειγμα 2

Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν είναι γνωστή μια από τις εστίες και ο ημιμικρός άξονάς της (το κέντρο βρίσκεται στην αρχή). Βρείτε κορυφές, πρόσθετα σημεία και σχεδιάστε μια γραμμή στο σχέδιο. Υπολογίστε την εκκεντρικότητα.

Λύση και σχέδιο στο τέλος του μαθήματος

Ας προσθέσουμε μια ενέργεια:

Περιστροφή και παράλληλη μετάφραση μιας έλλειψης

Ας επιστρέψουμε στην κανονική εξίσωση της έλλειψης, δηλαδή, στην κατάσταση, το μυστήριο της οποίας βασανίζει τα αδιάκριτα μυαλά από την πρώτη αναφορά αυτής της καμπύλης. Έτσι κοιτάξαμε την έλλειψη , αλλά δεν είναι δυνατό στην πράξη να ικανοποιηθεί η εξίσωση ? Άλλωστε κι εδώ φαίνεται να είναι έλλειψη!

Αυτό το είδος εξίσωσης είναι σπάνιο, αλλά συναντάται. Και στην πραγματικότητα ορίζει μια έλλειψη. Ας απομυθοποιήσουμε:

Ως αποτέλεσμα της κατασκευής, λήφθηκε η μητρική μας έλλειψη, περιστρεφόμενη κατά 90 μοίρες. Αυτό είναι, - Αυτό μη κανονική καταχώρησηέλλειψη . Ρεκόρ!- η εξίσωση δεν ορίζει καμία άλλη έλλειψη, αφού δεν υπάρχουν σημεία (εστίες) στον άξονα που να ικανοποιούν τον ορισμό της έλλειψης.

Καμπύλες δεύτερης τάξηςσε ένα επίπεδο είναι γραμμές που ορίζονται από εξισώσεις στις οποίες η μεταβλητή συντεταγμένες ΧΚαι yπεριέχονται στον δεύτερο βαθμό. Αυτά περιλαμβάνουν την έλλειψη, την υπερβολή και την παραβολή.

Η γενική μορφή της εξίσωσης καμπύλης δεύτερης τάξης είναι η εξής:

Οπου Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΣΤ- αριθμούς και τουλάχιστον έναν από τους συντελεστές Α, Β, Γόχι ίσο με μηδέν.

Κατά την επίλυση προβλημάτων με καμπύλες δεύτερης τάξης, λαμβάνονται υπόψη οι κανονικές εξισώσεις της έλλειψης, της υπερβολής και της παραβολής. Είναι εύκολο να προχωρήσουμε σε αυτές από τις γενικές εξισώσεις· το παράδειγμα 1 των προβλημάτων με τις ελλείψεις θα αφιερωθεί σε αυτό.

Έλειψη που δίνεται από την κανονική εξίσωση

Ορισμός έλλειψης.Έλειψη είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων από τα σημεία που ονομάζονται εστίες είναι σταθερή τιμή μεγαλύτερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών.

Οι εστίες υποδεικνύονται όπως στο παρακάτω σχήμα.

Η κανονική εξίσωση μιας έλλειψης έχει τη μορφή:

Οπου έναΚαι σι (ένα > σι) - τα μήκη των ημι-αξόνων, δηλ., τα μισά μήκη των τμημάτων που κόβονται από την έλλειψη στους άξονες συντεταγμένων.

Η ευθεία που διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης είναι ο άξονας συμμετρίας της. Ένας άλλος άξονας συμμετρίας μιας έλλειψης είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το μέσο ενός τμήματος κάθετου σε αυτό το τμήμα. Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕη τομή αυτών των γραμμών χρησιμεύει ως το κέντρο συμμετρίας της έλλειψης ή απλώς το κέντρο της έλλειψης.

Ο άξονας της τετμημένης της έλλειψης τέμνεται στα σημεία ( ένα, ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ) Και (- ένα, ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ), και ο άξονας τεταγμένων είναι σε σημεία ( σι, ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ) Και (- σι, ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ). Αυτά τα τέσσερα σημεία ονομάζονται κορυφές της έλλειψης. Το τμήμα μεταξύ των κορυφών της έλλειψης στον άξονα x ονομάζεται κύριος άξονας και στον άξονα τεταγμένης - δευτερεύων άξονά του. Τα τμήματα τους από την κορυφή έως το κέντρο της έλλειψης ονομάζονται ημιάξονες.

Αν ένα = σι, τότε η εξίσωση της έλλειψης παίρνει τη μορφή . Αυτή είναι η εξίσωση ενός κύκλου με ακτίνα ένα, και ένας κύκλος είναι μια ειδική περίπτωση έλλειψης. Μια έλλειψη μπορεί να ληφθεί από έναν κύκλο ακτίνας ένα, εάν το συμπιέσετε σε ένα/σιφορές κατά μήκος του άξονα Oy .

Παράδειγμα 1.Ελέγξτε εάν μια γραμμή που δίνεται από μια γενική εξίσωση είναι , έλλειψη.

Λύση. Μετασχηματίζουμε τη γενική εξίσωση. Χρησιμοποιούμε τη μεταφορά του ελεύθερου όρου στη δεξιά πλευρά, τη διαίρεση όρων προς όρο της εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό και τη μείωση των κλασμάτων:

Απάντηση. Η εξίσωση που προκύπτει ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης. Επομένως, αυτή η γραμμή είναι έλλειψη.

Παράδειγμα 2.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν οι ημιάξονες της είναι 5 και 4, αντίστοιχα.

Λύση. Εξετάζουμε τον τύπο για την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης και υποκαθιστούμε: ο ημικύριος άξονας είναι ένα= 5, ο ημικατώτερος άξονας είναι σι= 4. Λαμβάνουμε την κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Σημεία και , υποδεικνύονται με πράσινο χρώμα στον κύριο άξονα, όπου

λέγονται κόλπα.

που ονομάζεται εκκεντρικότηταέλλειψη.

Στάση σι/έναχαρακτηρίζει την «απλότητα» της έλλειψης. Όσο μικρότερη είναι αυτή η αναλογία, τόσο περισσότερο επιμηκύνεται η έλλειψη κατά μήκος του κύριου άξονα. Ωστόσο, ο βαθμός επιμήκυνσης μιας έλλειψης εκφράζεται συχνότερα μέσω της εκκεντρότητας, ο τύπος της οποίας δίνεται παραπάνω. Για διαφορετικές ελλείψεις, η εκκεντρότητα κυμαίνεται από 0 έως 1, παραμένοντας πάντα μικρότερη από τη μονάδα.

Παράδειγμα 3.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση της έλλειψης εάν η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι 8 και του κύριου άξονα είναι 10.

Λύση. Ας βγάλουμε μερικά απλά συμπεράσματα:

Αν ο κύριος άξονας είναι ίσος με 10, τότε το μισό του, δηλαδή ο ημιάξονας ένα = 5 ,

Εάν η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι 8, τότε ο αριθμός ντοτων εστιακών συντεταγμένων ισούται με 4.

Αντικαθιστούμε και υπολογίζουμε:

Το αποτέλεσμα είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Παράδειγμα 4.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν ο κύριος άξονάς της είναι 26 και η εκκεντρότητά της είναι .

Λύση. Όπως προκύπτει τόσο από το μέγεθος του κύριου άξονα όσο και από την εξίσωση της εκκεντρότητας, ο ημικύριος άξονας της έλλειψης ένα= 13. Από την εξίσωση της εκκεντρότητας εκφράζουμε τον αριθμό ντο, που απαιτείται για τον υπολογισμό του μήκους του δευτερεύοντος ημιάξονα:

.

Υπολογίζουμε το τετράγωνο του μήκους του δευτερεύοντος ημιάξονα:

Συνθέτουμε την κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Παράδειγμα 5.Να προσδιορίσετε τις εστίες της έλλειψης που δίνονται από την κανονική εξίσωση.

Λύση. Βρείτε τον αριθμό ντο, που καθορίζει τις πρώτες συντεταγμένες των εστιών της έλλειψης:

.

Παίρνουμε τις εστίες της έλλειψης:

Παράδειγμα 6.Οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα Βόδισυμμετρικά ως προς την προέλευση. Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση της έλλειψης αν:

1) η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι 30 και ο κύριος άξονας είναι 34

2) μικρός άξονας 24, και μία από τις εστίες είναι στο σημείο (-5; 0)

3) εκκεντρικότητα και μία από τις εστίες βρίσκεται στο σημείο (6; 0)

Ας συνεχίσουμε να λύνουμε προβλήματα έλλειψης μαζί

Αν είναι ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης (υποδεικνύεται με πράσινο χρώμα στο πάνω δεξιά μέρος της έλλειψης στο σχέδιο) και είναι η απόσταση σε αυτό το σημείο από τις εστίες, τότε οι τύποι για τις αποστάσεις είναι οι εξής:

Για κάθε σημείο που ανήκει στην έλλειψη, το άθροισμα των αποστάσεων από τις εστίες είναι σταθερή τιμή ίση με 2 ένα.

Γραμμές που ορίζονται από εξισώσεις

λέγονται διευθυντέςέλλειψη (στο σχέδιο υπάρχουν κόκκινες γραμμές κατά μήκος των άκρων).

Από τις δύο παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι για οποιοδήποτε σημείο της έλλειψης

,

όπου και είναι οι αποστάσεις αυτού του σημείου προς τις κατευθύνσεις και .

Παράδειγμα 7.Δίνεται έλλειψη. Να γράψετε μια εξίσωση για τις κατευθύνσεις του.

Λύση. Εξετάζουμε την εξίσωση της ευθείας και διαπιστώνουμε ότι πρέπει να βρούμε την εκκεντρότητα της έλλειψης, δηλ. Έχουμε όλα τα δεδομένα για αυτό. Υπολογίζουμε:

.

Λαμβάνουμε την εξίσωση των κατευθύνσεων της έλλειψης:

Παράδειγμα 8.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν οι εστίες της είναι σημεία και οι κατευθύνσεις ευθείες.

Η κανονική εξίσωση της έλλειψης έχει τη μορφή

όπου a είναι ο ημικύριος άξονας. β – ημιμικρός άξονας. Τα σημεία F1(c,0) και F2(-c,0) − c λέγονται

α, β - ημιάξονες της έλλειψης.

Εύρεση των εστιών, της εκκεντρότητας, των κατευθύνσεων μιας έλλειψης, αν είναι γνωστή η κανονική της εξίσωση.

Ορισμός της υπερβολής. Υπερβολικά κόλπα.

Ορισμός. Μια υπερβολή είναι ένα σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο για τα οποία το μέτρο της διαφοράς αποστάσεων από δύο δεδομένα σημεία, που ονομάζονται εστίες, είναι μια σταθερή τιμή μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών.

Εξ ορισμού |r1 – r2|= 2a. F1, F2 – εστίες της υπερβολής. F1F2 = 2c.

Η κανονική εξίσωση μιας υπερβολής. Ημιάξονες μιας υπερβολής. Κατασκευάζοντας μια υπερβολή εάν είναι γνωστή η κανονική της εξίσωση.

Κανονική εξίσωση:

Ο ημικύριος άξονας μιας υπερβολής είναι το μισό της ελάχιστης απόστασης μεταξύ των δύο κλάδων της υπερβολής, στη θετική και την αρνητική πλευρά του άξονα (αριστερά και δεξιά σε σχέση με την αρχή). Για ένα υποκατάστημα που βρίσκεται στο από τη θετική πλευρά, ο ημιάξονας θα είναι ίσος με:

Αν το εκφράσουμε μέσω κωνική τομήκαι εκκεντρικότητα, τότε η έκφραση θα πάρει τη μορφή:

Εύρεση των εστιών, της εκκεντρότητας, των κατευθύνσεων μιας υπερβολής, εάν είναι γνωστή η κανονική της εξίσωση.

Υπερβολική εκκεντρικότητα

Ορισμός. Ο λόγος ονομάζεται εκκεντρότητα της υπερβολής, όπου c –

το ήμισυ της απόστασης μεταξύ των εστιών, και είναι ο πραγματικός ημι-άξονας.

Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι c2 – a2 = b2:

Αν a = b, e = , τότε η υπερβολή ονομάζεται ισόπλευρη (ισόπλευρη).

Κατευθύνσεις μιας υπερβολής

Ορισμός. Δύο ευθείες γραμμές κάθετες στον πραγματικό άξονα της υπερβολής και βρίσκονται συμμετρικά σε σχέση με το κέντρο σε απόσταση a/e από αυτήν ονομάζονται κατευθύνσεις της υπερβολής. Οι εξισώσεις τους είναι: .

Θεώρημα. Αν r είναι η απόσταση από ένα αυθαίρετο σημείο M της υπερβολής σε οποιαδήποτε εστία, d είναι η απόσταση από το ίδιο σημείο στην ευθεία που αντιστοιχεί σε αυτή την εστία, τότε ο λόγος r/d είναι μια σταθερή τιμή ίση με την εκκεντρότητα.

Ορισμός παραβολής. Εστίαση και διεύθυνση παραβολής.

Παραβολή. Παραβολή είναι ο τόπος των σημείων, καθένα από τα οποία απέχει εξίσου από ένα δεδομένο σταθερό σημείο και από μια δεδομένη σταθερή γραμμή. Το σημείο που αναφέρεται στον ορισμό ονομάζεται εστία της παραβολής και η ευθεία είναι η κατευθυντήρια γραμμή της.

Κανονική εξίσωση παραβολής. Παράμετρος παραβολής. Κατασκευή παραβολής.

Η κανονική εξίσωση μιας παραβολής σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων: (ή, εάν οι άξονες εναλλάσσονται).

Η κατασκευή μιας παραβολής για μια δεδομένη τιμή της παραμέτρου p πραγματοποιείται με την ακόλουθη σειρά:

Σχεδιάστε τον άξονα συμμετρίας της παραβολής και σχεδιάστε πάνω της το τμήμα KF=p.

Το Directrix DD1 σύρεται μέσω του σημείου K κάθετο στον άξονα συμμετρίας.

Το τμήμα KF διαιρείται στο μισό για να ληφθεί η κορυφή 0 της παραβολής.

Μια σειρά από αυθαίρετα σημεία 1, 2, 3, 5, 6 μετρώνται από την κορυφή με σταδιακά αυξανόμενη απόσταση μεταξύ τους.

Μέσα από αυτά τα σημεία, σχεδιάστε βοηθητικές ευθείες γραμμές κάθετες στον άξονα της παραβολής.

Στις βοηθητικές ευθείες φτιάχνετε σερίφ με ακτίνα ίση με την απόστασηαπό απευθείας σε σκηνοθέτη?

Τα σημεία που προκύπτουν συνδέονται με μια ομαλή καμπύλη.

Θεώρημα. Στο κανονικό σύστημα συντεταγμένων για μια έλλειψη, η εξίσωση της έλλειψης έχει τη μορφή:

Απόδειξη. Πραγματοποιούμε την απόδειξη σε δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο, θα αποδείξουμε ότι οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται στην έλλειψη ικανοποιούν την εξίσωση (4). Στο δεύτερο στάδιο, θα αποδείξουμε ότι οποιαδήποτε λύση της εξίσωσης (4) δίνει τις συντεταγμένες ενός σημείου που βρίσκεται στην έλλειψη. Από αυτό θα προκύψει ότι η εξίσωση (4) ικανοποιείται από αυτά και μόνο αυτά τα σημεία επίπεδο συντεταγμένων, που βρίσκονται στην έλλειψη. Από αυτό και από τον ορισμό της εξίσωσης μιας καμπύλης θα προκύψει ότι η εξίσωση (4) είναι μια εξίσωση μιας έλλειψης.

1) Έστω το σημείο M(x, y) σημείο της έλλειψης, δηλ. το άθροισμα των εστιακών ακτίνων του είναι 2a:

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων και χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο για να βρούμε τις εστιακές ακτίνες ενός δεδομένου σημείου M:

Από πού το παίρνουμε:

Ας μετακινήσουμε μια ρίζα στη δεξιά πλευρά της ισότητας και ας την τετραγωνίσουμε:

Μειώνοντας, παίρνουμε:

Παρουσιάζουμε παρόμοια, μειώνουμε κατά 4 και αφαιρούμε το ριζικό:

.

Τετραγωνισμός

Ανοίξτε τις αγκύλες και συντομεύστε κατά:

που φτάνουμε:

Χρησιμοποιώντας την ισότητα (2), παίρνουμε:

.

Διαιρώντας την τελευταία ισότητα με , προκύπτει η ισότητα (4) κ.λπ.

2) Έστω τώρα ένα ζεύγος αριθμών (x, y) ικανοποιεί την εξίσωση (4) και έστω M(x, y) το αντίστοιχο σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων Oxy.

Στη συνέχεια από το (4) προκύπτει:

Αντικαθιστούμε αυτήν την ισότητα στην έκφραση για τις εστιακές ακτίνες του σημείου M:

.

Εδώ χρησιμοποιήσαμε την ισότητα (2) και (3).

Ετσι, . Ομοίως,.

Τώρα σημειώστε ότι από την ισότητα (4) προκύπτει ότι

Ή κλπ. , τότε η ανισότητα ακολουθεί:

Από εδώ προκύπτει, με τη σειρά του, ότι

Από τις ισότητες (5) προκύπτει ότι, δηλ. το σημείο M(x, y) είναι ένα σημείο της έλλειψης κ.λπ.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ορισμός. Η εξίσωση (4) ονομάζεται κανονική εξίσωση της έλλειψης.

Ορισμός. Οι κανονικοί άξονες συντεταγμένων για μια έλλειψη ονομάζονται κύριοι άξονες της έλλειψης.

Ορισμός. Η αρχή του κανονικού συστήματος συντεταγμένων για μια έλλειψη ονομάζεται κέντρο της έλλειψης.

Ελλειψηονομάζεται γεωμετρικός τόπος σημείων σε ένα επίπεδο, για καθένα από τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων σε δύο δεδομένα σημεία του ίδιου επιπέδου, που ονομάζονται εστίες της έλλειψης, είναι σταθερή τιμή. Για την έλλειψη, μπορούν να δοθούν αρκετοί ακόμη ισοδύναμοι ορισμοί. Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να εξοικειωθούν μαζί τους σε πιο σοβαρά σχολικά βιβλία αναλυτικής γεωμετρίας. Εδώ σημειώνουμε μόνο ότι μια έλλειψη είναι μια καμπύλη που προκύπτει ως προβολή στο επίπεδο ενός κύκλου που βρίσκεται στο επίπεδο που σχηματίζεται αιχμηρή γωνίαμε αεροπλάνο. Σε αντίθεση με έναν κύκλο, δεν είναι δυνατό να γράψουμε την εξίσωση μιας έλλειψης σε ένα αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων σε μια «βολική» μορφή. Επομένως, για μια σταθερή έλλειψη, είναι απαραίτητο να επιλέξετε ένα σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε η εξίσωσή του να είναι αρκετά απλή. Έστω και είναι οι εστίες της έλλειψης. Ας τοποθετήσουμε την αρχή του συστήματος συντεταγμένων στο μέσο του τμήματος. Ο άξονας κατευθύνεται κατά μήκος αυτού του τμήματος, ο άξονας κατευθύνεται κάθετα σε αυτό το τμήμα

24)Υπερβολή

Από ένα σχολικό μάθημα μαθηματικών γνωρίζουμε ότι μια καμπύλη που ορίζεται από την εξίσωση , όπου είναι ένας αριθμός, ονομάζεται υπερβολή. Ωστόσο, αυτή είναι μια ειδική περίπτωση υπερβολής (ισόπλευρη υπερβολή). Ορισμός 12. 5 Υπερβολή είναι ο τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, για καθένα από τα οποία απόλυτη τιμήη διαφορά αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία του ίδιου επιπέδου, που ονομάζονται εστίες υπερβολής, είναι σταθερή τιμή. Όπως και στην περίπτωση μιας έλλειψης, για να λάβουμε την εξίσωση μιας υπερβολής, επιλέγουμε ένα κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων. Ας τοποθετήσουμε την αρχή των συντεταγμένων στο μέσο του τμήματος μεταξύ των εστιών, κατευθύνουμε τον άξονα κατά μήκος αυτού του τμήματος και κατευθύνουμε τον άξονα τεταγμένων κάθετα σε αυτό. Θεώρημα 12. 3 Έστω ίση η απόσταση μεταξύ των εστιών και της υπερβολής και ίση η απόλυτη τιμή της διαφοράς στις αποστάσεις από το σημείο της υπερβολής έως τις εστίες. Τότε η υπερβολή στο σύστημα συντεταγμένων που επιλέχθηκε παραπάνω έχει την εξίσωση (12.8) όπου (12.9) Απόδειξη. Έστω το τρέχον σημείο της υπερβολής (Εικ. 12.9). Ρύζι. 12 . 9 . Αφού η διαφορά μεταξύ δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι μικρότερη από την τρίτη πλευρά, τότε , αυτό είναι , . Δυνάμει της τελευταίας ανισότητας, υπάρχει ο πραγματικός αριθμός που ορίζεται από τον τύπο (12.9). Κατά σύμβαση, οι εστίες είναι , . Χρησιμοποιώντας τον τύπο (10.4) για την περίπτωση ενός επιπέδου, λαμβάνουμε Με τον ορισμό υπερβολής Γράφουμε αυτή την εξίσωση με τη μορφή Τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές: Αφού φέρουμε παρόμοιους όρους και διαιρέσουμε με το 4, καταλήγουμε στην ισότητα Και πάλι, τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές: Ανοίγοντας την αγκύλη και φέρνοντας παρόμοιους όρους, παίρνουμε Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (12.9), η εξίσωση παίρνει τη μορφή Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με και πάρουμε την εξίσωση (12.8) Η εξίσωση (12.8) ονομάζεται κανονική εξίσωση μιας υπερβολής. Πρόταση 12. 3 Μια υπερβολή έχει δύο αμοιβαία κάθετους άξονες συμμετρίας, ο ένας από τους οποίους περιέχει τις εστίες της υπερβολής και ένα κέντρο συμμετρίας. Εάν μια υπερβολή δίνεται από μια κανονική εξίσωση, τότε οι άξονες συμμετρίας της είναι

άξονες συντεταγμένων και , και η αρχή είναι το κέντρο συμμετρίας της υπερβολής. Απόδειξη. Η απόδειξη είναι παρόμοια με την Πρόταση 12.1. Ας κατασκευάσουμε την υπερβολή που δίνεται από την εξίσωση (12.8). Σημειώστε ότι, λόγω συμμετρίας, αρκεί η κατασκευή της καμπύλης μόνο στην πρώτη γωνία συντεταγμένων. Ας εκφράσουμε από την κανονική εξίσωση ως συνάρτηση, υπό την προϋπόθεση ότι: και δημιουργήστε ένα γράφημα αυτής της συνάρτησης. Το πεδίο ορισμού είναι το διάστημα , , η συνάρτηση μεγαλώνει μονότονα. Παράγωγο υπάρχει σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού, εκτός από το σημείο. Επομένως, το γράφημα είναι μια ομαλή καμπύλη (χωρίς γωνίες). Δεύτερη παράγωγος είναι αρνητικό σε όλα τα σημεία του διαστήματος, επομένως, το γράφημα είναι κυρτό προς τα πάνω. Ας ελέγξουμε το γράφημα για την παρουσία μιας ασύμπτωτης στο . Έστω η ασύμπτωτη εξίσωση . Στη συνέχεια, σύμφωνα με τους κανόνες της μαθηματικής ανάλυσης Πολλαπλασιάζουμε την έκφραση κάτω από το οριακό πρόσημο και διαιρούμε με .

Παίρνουμε: Άρα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει ασύμπτωτη. Από τη συμμετρία της υπερβολής προκύπτει ότι είναι και ασύμπτωτη. Η φύση της καμπύλης κοντά στο σημείο παραμένει ασαφής, δηλαδή αν το γράφημα σχηματίζεται και το μέρος της υπερβολής που είναι συμμετρικό προς αυτήν σε σχέση με τον άξονα σε αυτό το σημείο είναι μια γωνία ή μια υπερβολή σε αυτό το σημείο - μια ομαλή καμπύλη (υπάρχει μια εφαπτομένη). Για να λύσουμε αυτό το ζήτημα, εκφράζουμε από την εξίσωση (12.8) ως εξής: Είναι προφανές ότι αυτή η συνάρτηση έχει παράγωγο στο σημείο , , και στο σημείο η υπερβολή έχει κατακόρυφη εφαπτομένη. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που ελήφθησαν, σχεδιάζουμε ένα γράφημα της συνάρτησης (Εικ. 12.10). Ρύζι. 12 . 10. Γράφημα συνάρτησης Τέλος, χρησιμοποιώντας τη συμμετρία της υπερβολής, παίρνουμε την καμπύλη του Σχήματος 12.11. Ρύζι. 12 . 11. Ορισμός υπερβολής 12. 6 Τα σημεία τομής της υπερβολής που ορίζονται από την κανονική εξίσωση (12.8) με τον άξονα ονομάζονται κορυφές της υπερβολής, το μεταξύ τους τμήμα ονομάζεται πραγματικός άξονας της υπερβολής. Το τμήμα του άξονα τεταγμένων μεταξύ των σημείων ονομάζεται νοητός άξονας. Οι αριθμοί και ονομάζονται πραγματικοί και φανταστικοί ημιάξονες της υπερβολής, αντίστοιχα. Η αρχή των συντεταγμένων ονομάζεται κέντρο της. Η ποσότητα ονομάζεται εκκεντρότητα της υπερβολής. Σημείωση 12. 3 Από την ισότητα (12.9) προκύπτει ότι , δηλαδή για την υπερβολή . Η εκκεντρικότητα χαρακτηρίζει τη γωνία μεταξύ των ασυμπτωμάτων· όσο πιο κοντά στο 1, τόσο μικρότερη είναι αυτή η γωνία. Σημείωση 12. 4 Σε αντίθεση με μια έλλειψη, στην κανονική εξίσωση μιας υπερβολής, η σχέση μεταξύ των ποσοτήτων και μπορεί να είναι αυθαίρετη. Συγκεκριμένα, όταν παίρνουμε μια ισόπλευρη υπερβολή, γνωστή από το μάθημα των σχολικών μαθηματικών. Η εξίσωσή του έχει μια γνωστή μορφή αν πάρουμε , και τους άξονες και τους κατευθύνουμε κατά μήκος των διχοτόμων της τέταρτης και πρώτης γωνίας συντεταγμένων (Εικ. 12.12). Ρύζι. 12 . 12. Ισόπλευρη υπερβολή Για να αντικατοπτριστούν τα ποιοτικά χαρακτηριστικά μιας υπερβολής σε ένα σχήμα, αρκεί να προσδιορίσουμε τις κορυφές της, να σχεδιάσουμε ασύμπτωτες και να σχεδιάσουμε μια ομαλή καμπύλη που διέρχεται από τις κορυφές, πλησιάζοντας τις ασύμπτωτες και παρόμοια με την καμπύλη της Εικόνας 12.10. Παράδειγμα 12. 4 Κατασκευάστε μια υπερβολή, βρείτε τις εστίες και την εκκεντρότητά της. Λύση. Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 4. Παίρνουμε την κανονική εξίσωση , . Σχεδιάζουμε ασύμπτωτες και κατασκευάζουμε υπερβολή (Εικ. 12.13). Ρύζι. 12 . 13.Υπερβολία Από τον τύπο (12.9) προκύπτει. Τότε τα κόλπα είναι , , . Παράδειγμα 12. 5 Κατασκευάστε μια υπερβολή. Βρείτε τις εστίες και την εκκεντρικότητά του. Λύση. Ας μετατρέψουμε την εξίσωση στη μορφή Αυτή η εξίσωση δεν είναι μια κανονική εξίσωση μιας υπερβολής, αφού τα πρόσημα είναι πριν και αντίθετα από τα σημεία της κανονικής εξίσωσης. Ωστόσο, εάν επαναπροσδιορίσουμε τις μεταβλητές , τότε στις νέες μεταβλητές λαμβάνουμε την κανονική εξίσωση Ο πραγματικός άξονας αυτής της υπερβολής βρίσκεται στον άξονα, δηλαδή στον άξονα του αρχικού συστήματος συντεταγμένων, οι ασύμπτωτες έχουν μια εξίσωση, δηλαδή , η εξίσωση στις αρχικές συντεταγμένες. Ο πραγματικός ημιάξονας είναι ίσος με 5, ο φανταστικός είναι 2. Σύμφωνα με αυτά τα δεδομένα, πραγματοποιούμε την κατασκευή (Εικ. 12.14). Ρύζι. 12 . 14. Υπέρβολα με εξίσωση Από τον τύπο (12.9) λαμβάνουμε, , οι εστίες βρίσκονται στον πραγματικό άξονα - , , όπου οι συντεταγμένες υποδεικνύονται στο αρχικό σύστημα συντεταγμένων.

Παραβολή

ΣΕ σχολικό μάθηματα μαθηματικά μελέτησαν την παραβολή με αρκετή λεπτομέρεια, η οποία, εξ ορισμού, ήταν ένα γράφημα τετραγωνικό τριώνυμο. Εδώ θα δώσουμε έναν άλλο (γεωμετρικό) ορισμό της παραβολής. Ορισμός 12. 7 Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, για καθένα από τα οποία η απόσταση από ένα σταθερό σημείο αυτού του επιπέδου, που ονομάζεται εστίαση, είναι ίση με την απόσταση από μια σταθερή ευθεία που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο και ονομάζεται κατευθυντήριος άξονας της παραβολής. Για να λάβουμε την εξίσωση μιας καμπύλης που αντιστοιχεί σε αυτόν τον ορισμό, εισάγουμε ένα κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων. Για να το κάνετε αυτό, χαμηλώστε την κάθετο από την εστίαση στην κατεύθυνση. Ας τοποθετήσουμε την αρχή των συντεταγμένων στο μέσο του τμήματος και ας κατευθύνουμε τον άξονα κατά μήκος του τμήματος έτσι ώστε η διεύθυνση του να συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος. Ας σχεδιάσουμε τον άξονα κάθετο στον άξονα (Εικ. 12.15). Ρύζι. 12 . 15 . Θεώρημα 12. 4 Έστω η απόσταση μεταξύ της εστίασης και της ευθείας της παραβολής ίση με . Τότε στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων η παραβολή έχει την εξίσωση (12.10) Απόδειξη. Στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων, το επίκεντρο της παραβολής είναι το σημείο και η ευθεία έχει την εξίσωση (Εικ. 12.15). Έστω το τρέχον σημείο της παραβολής. Στη συνέχεια σύμφωνα με τον τύπο (10.4) για επίπεδη θήκηβρίσκουμε Η απόσταση από ένα σημείο στον κατευθύνοντα άξονα είναι το μήκος της καθέτου που έπεσε στον προσανατολισμό από το σημείο. Από το σχήμα 12.15 είναι προφανές ότι . Τότε με τον ορισμό της παραβολής, δηλαδή Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της τελευταίας εξίσωσης: που Αφού φέρουμε παρόμοιους όρους, προκύπτει η εξίσωση (12.10). Η εξίσωση (12.10) ονομάζεται κανονική εξίσωση μιας παραβολής. Πρόταση 12. 4 Μια παραβολή έχει άξονα συμμετρίας. Εάν μια παραβολή δίνεται από μια κανονική εξίσωση, τότε ο άξονας συμμετρίας συμπίπτει με τον άξονα. Απόδειξη. Προχωρήστε με τον ίδιο τρόπο όπως η απόδειξη (Προτάσεις 12.1). Το σημείο τομής του άξονα συμμετρίας με την παραβολή ονομάζεται κορυφή της παραβολής. Εάν επαναπροσδιορίσουμε τις μεταβλητές, τότε η εξίσωση (12.10) μπορεί να γραφτεί με μια μορφή που συμπίπτει με τη συνηθισμένη εξίσωση παραβολής σε ένα σχολικό μάθημα μαθηματικών. Επομένως, θα σχεδιάσουμε μια παραβολή χωρίς πρόσθετη έρευνα (Εικ. 12.16). Ρύζι. 12 . 16. Παράδειγμα Παραβολής 12. 6 Κατασκευάστε μια παραβολή. Βρείτε την εστίασή της και τον σκηνοθέτη της. Λύση. Η εξίσωση είναι η κανονική εξίσωση της παραβολής, , . Ο άξονας της παραβολής είναι ο άξονας, η κορυφή βρίσκεται στην αρχή, οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται κατά μήκος του άξονα. Για να κατασκευάσουμε, θα βρούμε αρκετά σημεία της παραβολής. Για να γίνει αυτό, εκχωρούμε τιμές στη μεταβλητή και βρίσκουμε τις τιμές. Ας πάρουμε βαθμούς , , . Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία ως προς τον άξονα, σχεδιάζουμε μια καμπύλη (Εικ. 12.17) Ρύζι. 12 . 17. Μια παραβολή που δίνεται από την εξίσωση Focus βρίσκεται στον άξονα σε απόσταση από την κορυφή, δηλαδή έχει συντεταγμένες . Το directrix έχει μια εξίσωση, δηλαδή . Μια παραβολή, όπως μια έλλειψη, έχει μια ιδιότητα που σχετίζεται με την ανάκλαση του φωτός (Εικ. 12.18). Ας διατυπώσουμε ξανά το ακίνητο χωρίς απόδειξη. Πρόταση 12. 5 Έστω η εστία της παραβολής, ένα αυθαίρετο σημείο της παραβολής, και μια ακτίνα με την αρχή της σε σημείο παράλληλο με τον άξονα της παραβολής. Τότε η κανονική προς την παραβολή στο σημείο διαιρεί τη γωνία που σχηματίζεται από το τμήμα και την ακτίνα στη μέση. Ρύζι. 12 . 18. Ανάκλαση μιας ακτίνας φωτός από μια παραβολή Αυτή η ιδιότητα σημαίνει ότι μια ακτίνα φωτός που φεύγει από την εστία, που ανακλάται από την παραβολή, θα πάει στη συνέχεια παράλληλα με τον άξονα αυτής της παραβολής. Και αντίστροφα, όλες οι ακτίνες που προέρχονται από το άπειρο και παράλληλες προς τον άξονα της παραβολής θα συγκλίνουν στην εστία της. Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται ευρέως στην τεχνολογία. Οι προβολείς έχουν συνήθως έναν καθρέφτη, η επιφάνεια του οποίου προκύπτει με την περιστροφή μιας παραβολής γύρω από τον άξονα συμμετρίας της (παραβολικός καθρέφτης). Η πηγή φωτός στους προβολείς τοποθετείται στο επίκεντρο μιας παραβολής. Ως αποτέλεσμα, ο προβολέας παράγει μια δέσμη σχεδόν παράλληλων ακτίνων φωτός. Η ίδια ιδιότητα χρησιμοποιείται σε κεραίες λήψης για διαστημικές επικοινωνίες και σε τηλεσκοπικά κάτοπτρα, τα οποία συλλέγουν ένα ρεύμα παράλληλων ακτίνων ραδιοκυμάτων ή ένα ρεύμα παράλληλων ακτίνων φωτός και το συγκεντρώνουν στο επίκεντρο του καθρέφτη.

26) Ορισμός Matrix. Ένας πίνακας είναι ένας ορθογώνιος πίνακας αριθμών που περιέχει έναν ορισμένο αριθμό m σειρών και έναν ορισμένο αριθμό n στηλών.

Βασικές έννοιες μήτρας: Οι αριθμοί m και n ονομάζονται τάξεις του πίνακα. Αν m=n, καλείται ο πίνακας τετράγωνο, και ο αριθμός m=n είναι η σειρά του.

Στη συνέχεια, ο ακόλουθος συμβολισμός θα χρησιμοποιηθεί για τη σύνταξη του πίνακα:

Αν και μερικές φορές στη βιβλιογραφία ο προσδιορισμός εμφανίζεται:

Ωστόσο, για να υποδηλώσει εν συντομία έναν πίνακα, χρησιμοποιείται συχνά ένα μεγάλο γράμμα του λατινικού αλφαβήτου (για παράδειγμα, A), ή το σύμβολο ||a ij ||, και μερικές φορές με μια εξήγηση: A=||a ij ||= (a ij) (i =1,2,...,m; j=1,2,...n)

Οι αριθμοί a ij που περιλαμβάνονται σε αυτόν τον πίνακα ονομάζονται στοιχεία του. Στην καταχώρηση a ij, ο πρώτος δείκτης i σημαίνει τον αριθμό της σειράς και ο δεύτερος δείκτης j σημαίνει τον αριθμό της στήλης.

Για παράδειγμα, μήτρα

αυτός είναι ένας πίνακας τάξης 2×3, τα στοιχεία του είναι a 11 =1, a 12 =x, a 13 =3, a 21 =-2y, ...

Έτσι, έχουμε εισαγάγει τον ορισμό του πίνακα. Ας εξετάσουμε τα είδη των πινάκων και ας δώσουμε τους αντίστοιχους ορισμούς.

Τύποι πινάκων

Ας εισαγάγουμε την έννοια των πινάκων: τετράγωνο, διαγώνιος, μονάδα και μηδέν.

Ορισμός τετραγωνικού πίνακα: Τετράγωνη μήτραΈνας πίνακας ν-ης τάξης ονομάζεται πίνακας n×n.

Στην περίπτωση τετραγωνικού πίνακα

Εισάγεται η έννοια των κύριων και δευτερευουσών διαγωνίων. Κύρια διαγώνιοςμιας μήτρας είναι η διαγώνιος που πηγαίνει από την επάνω αριστερή γωνία της μήτρας στην κάτω δεξιά γωνία της.

Πλαϊνή διαγώνιοςτου ίδιου πίνακα ονομάζεται η διαγώνιος που πηγαίνει από την κάτω αριστερή γωνία στην επάνω δεξιά γωνία.

Η έννοια του διαγώνιου πίνακα: Διαγώνιοςείναι ένας τετράγωνος πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία έξω από την κύρια διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν.

Η έννοια του πίνακα ταυτότητας: Μονόκλινο(συμβολίζεται με E μερικές φορές I) ονομάζεται διαγώνιος πίνακας με αυτούς στην κύρια διαγώνιο.

Η έννοια του μηδενικού πίνακα:Μηδενικόείναι ένας πίνακας του οποίου τα στοιχεία είναι όλα μηδέν.

Δύο πίνακες Α και Β λέγονται ίσοι (Α=Β) αν έχουν το ίδιο μέγεθος (δηλαδή έχουν τον ίδιο αριθμό σειρών και τον ίδιο αριθμό στηλών και τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα). Οπότε αν

τότε A=B, αν a 11 =b 11, a 12 =b 12, a 21 =b 21, a 22 =b 22

Πίνακες ειδικού τύπου

Τετράγωνη μήτρα που ονομάζεται άνω τριγωνικό, εάν σε i>j, Και κάτω τριγωνικό, εάν σε Εγώ

Γενική άποψη τριγωνικών πινάκων:

Σημειώστε ότι μεταξύ των διαγώνιων στοιχείων μπορεί να υπάρχουν στοιχεία ίσα με μηδέν. Μήτρα ονομάζεται άνω τραπεζοειδής αν πληρούνται οι ακόλουθες τρεις προϋποθέσεις:

1. για i>j;

2. Υπάρχει κάτι τέτοιο φυσικός αριθμός r ικανοποιώντας τις ανισότητες , Τι .

3. Αν κάποιο διαγώνιο στοιχείο είναι , τότε όλα τα στοιχεία i-η γραμμήκαι όλες οι επόμενες γραμμές είναι ίσες με μηδέν.

Γενική άποψη των άνω τραπεζοειδών μητρών:

στο .

στο .

σε r=n

σε r=m=n.

Σημειώστε ότι όταν r=m=n, ο επάνω τραπεζοειδής πίνακας είναι ένας τριγωνικός πίνακας με μη μηδενικά διαγώνια στοιχεία.

27) Δράσεις με πίνακες

Προσθήκη μήτρας

Πίνακες του ίδιου μεγέθους μπορούν να στοιβάζονται.

Το άθροισμα δύο τέτοιων πινάκων Α και Β ονομάζεται πίνακας Γ, τα στοιχεία του οποίου είναι ίσα με το άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων των πινάκων Α και Β. Συμβολικά θα τον γράψουμε ως εξής: Α+Β=Γ.

Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι η πρόσθεση πινάκων υπακούει στους νόμους αντικατάστασης και συνδυασμού:

(Α+Β)+Γ=Α+(Β+Γ).

Όταν προσθέτουμε πίνακες, ο μηδενικός πίνακας παίζει το ρόλο ενός συνηθισμένου μηδενός όταν προσθέτουμε αριθμούς: A+0=A.

Αφαίρεση πινάκων.

Η διαφορά μεταξύ δύο πινάκων Α και Β ίδιου μεγέθους είναι ένας πίνακας C τέτοιος ώστε

Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι τα στοιχεία του πίνακα C είναι ίσα με τη διαφορά των αντίστοιχων στοιχείων των πινάκων Α και Β.

Η διαφορά μεταξύ των πινάκων Α και Β συμβολίζεται ως εξής: C=A – B.

3. Πολλαπλασιασμός πίνακα

Εξετάστε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό δύο τετραγωνικών πινάκων δεύτερης τάξης.

Το γινόμενο του πίνακα Α και του πίνακα Β ονομάζεται πίνακας C=AB.

Κανόνες για τον πολλαπλασιασμό ορθογώνιων πινάκων:

Ο πολλαπλασιασμός του πίνακα Α με τον πίνακα Β έχει νόημα στην περίπτωση που ο αριθμός των στηλών του πίνακα Α συμπίπτει με τον αριθμό των γραμμών στον πίνακα Β.

Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο ορθογώνιων πινάκων, λαμβάνεται ένας πίνακας που περιέχει τόσες σειρές όσες ήταν οι γραμμές στον πρώτο πίνακα και τόσες στήλες όσες ήταν οι στήλες στον δεύτερο πίνακα.

4. Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό

Όταν ο πίνακας A πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό , όλοι οι αριθμοί που αποτελούν τον πίνακα A πολλαπλασιάζονται με τον αριθμό . Για παράδειγμα, ας πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα με τον αριθμό 2. Παίρνουμε, δηλ. Κατά τον πολλαπλασιασμό ενός πίνακα με έναν αριθμό, ο παράγοντας "εισάγεται" κάτω από το πρόσημο του πίνακα.

Μεταφορά μήτρας

Ο μεταφερόμενος πίνακας είναι ένας πίνακας AT που λαμβάνεται από τον αρχικό πίνακα Α αντικαθιστώντας τις γραμμές με στήλες.

Τυπικά, ο μετατιθέμενος πίνακας για έναν πίνακα Α με διαστάσεις m*n είναι ένας πίνακας AT διαστάσεων n*m, που ορίζεται ως AT = A .

Για παράδειγμα,

Ιδιότητες μετατιθέμενων πινάκων

2. (A + B)T = AT + BT

28) Η έννοια της ορίζουσας νης τάξης

Ας μας δοθεί ένας τετράγωνος πίνακας που αποτελείται από αριθμούς διατεταγμένους σε n οριζόντιες και n κάθετες σειρές. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους αριθμούς, σύμφωνα με ορισμένους κανόνες, υπολογίζεται ένας συγκεκριμένος αριθμός, ο οποίος ονομάζεται ορίζουσα nης τάξης και συμβολίζεται ως εξής:

(1)

Οι οριζόντιες σειρές στην ορίζουσα (1) ονομάζονται σειρές, οι κάθετες γραμμές ονομάζονται στήλες, οι αριθμοί είναι στοιχεία της ορίζουσας (ο πρώτος δείκτης σημαίνει ο αριθμός της σειράς, ο δεύτερος - ο αριθμός στήλης στη διασταύρωση της οποίας βρίσκεται το στοιχείο i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., n). Η σειρά μιας ορίζουσας είναι ο αριθμός των σειρών και των στηλών της.

Μια φανταστική ευθεία γραμμή που συνδέει στοιχεία της ορίζουσας για την οποία και οι δύο δείκτες είναι ίδιοι, δηλ. στοιχεία

ονομάζεται κύρια διαγώνιος, η άλλη διαγώνιος ονομάζεται δευτερεύουσα διαγώνιος.

Ορίζουσα ντης τάξης είναι ένας αριθμός που είναι το αλγεβρικό άθροισμα του n! όρους, καθένας από τους οποίους είναι το γινόμενο του n από τα στοιχεία του, λαμβάνεται μόνο ένας από κάθε n σειρές και από κάθε n στήλες ενός τετραγωνικού πίνακα αριθμών, με τους μισούς από τους (ορισμένους) όρους να λαμβάνονται με τα πρόσημά τους, και οι υπόλοιποι με αντίθετα σημάδια.

Ας δείξουμε πώς υπολογίζονται οι ορίζουσες των τριών πρώτων τάξεων.

Η ορίζουσα πρώτης τάξης είναι το ίδιο το στοιχείο, δηλ.

Η ορίζουσα δεύτερης τάξης είναι ο αριθμός που προκύπτει ως εξής:

(2)

Ο τύπος (3) δείχνει ότι οι όροι που λαμβάνονται με τα πρόσημά τους είναι το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου, καθώς και των στοιχείων που βρίσκονται στις κορυφές δύο τριγώνων, οι βάσεις των οποίων είναι παράλληλες με αυτήν. με αντίθετους - όρους που είναι προϊόντα στοιχείων της πλευρικής διαγωνίου, καθώς και στοιχεία που βρίσκονται στις κορυφές δύο τριγώνων που είναι παράλληλες με αυτήν.

Παράδειγμα 2. Υπολογίστε την ορίζουσα τρίτης τάξης:

Λύση. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τριγώνου, παίρνουμε

Ο υπολογισμός των οριζόντιων παραγόντων της τέταρτης και των επόμενων τάξεων μπορεί να μειωθεί στον υπολογισμό των οριζόντων της δεύτερης και τρίτης τάξης. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των οριζόντων. Προχωράμε τώρα στην εξέταση τους.

Ιδιότητες της ορίζουσας νης τάξης

Ιδιότητα 1. Κατά την αντικατάσταση σειρών με στήλες (μεταφορά), η τιμή της ορίζουσας δεν θα αλλάξει, π.χ.

Ιδιότητα 2. Αν τουλάχιστον μία σειρά (γραμμή ή στήλη) αποτελείται από μηδενικά, τότε η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν. Η απόδειξη είναι προφανής.

Στην πραγματικότητα, τότε σε κάθε όρο της ορίζουσας ένας από τους παράγοντες θα είναι μηδέν.

Ιδιότητα 3. Εάν δύο γειτονικές παράλληλες σειρές (γραμμές ή στήλες) ανταλλάσσονται στην ορίζουσα, τότε η ορίζουσα θα αλλάξει το πρόσημά της στο αντίθετο, δηλ.

Ιδιότητα 4. Αν η ορίζουσα περιέχει δύο ίδιες παράλληλες σειρές, τότε η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν:

Ιδιότητα 5. Αν δύο παράλληλες σειρές στην ορίζουσα είναι ανάλογες, τότε η ορίζουσα ισούται με μηδέν:

Ιδιότητα 6. Εάν όλα τα στοιχεία της ορίζουσας που βρίσκονται στην ίδια σειρά πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε η τιμή της ορίζουσας θα αλλάξει κατά αυτόν τον αριθμό φορών:

Συνέπεια. Ο κοινός παράγοντας που περιέχεται σε όλα τα στοιχεία μιας σειράς μπορεί να αφαιρεθεί από το ορίζοντα, για παράδειγμα:

Ιδιότητα 7. Αν σε μια ορίζουσα όλα τα στοιχεία μιας σειράς παρουσιάζονται ως άθροισμα δύο όρων, τότε ισούται με το άθροισμα δύο ορίζουσες:

Ιδιότητα 8. Αν το γινόμενο των αντίστοιχων στοιχείων μιας παράλληλης σειράς με σταθερό παράγοντα προστεθεί στα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς, τότε η τιμή της ορίζουσας δεν θα αλλάξει:

Ιδιότητα 9. Αν ένας γραμμικός συνδυασμός των αντίστοιχων στοιχείων πολλών παράλληλων σειρών προστεθεί στα στοιχεία της σειράς i-ης, τότε η τιμή της ορίζουσας δεν θα αλλάξει:

μπορεί κανείς να κατασκευάσει διάφορα ανήλικα πρώτης, δεύτερης και τρίτης τάξης.