Βρείτε τα σημεία στον αριθμητικό κύκλο με τη δεδομένη τετμημένη. Συντεταγμένες. Ιδιότητα συντεταγμένων σημείων. Κέντρο του κύκλου αριθμών. Από κύκλο σε τριγωνόμετρο. Βρείτε τα σημεία στον κύκλο αριθμών. Βουλές με τετμημένη. Τριγωνόμετρο. Σημειώστε ένα σημείο στον κύκλο αριθμών. Αριθμητικός κύκλοςεπί επίπεδο συντεταγμένων. Αριθμητικός κύκλος. Σημεία με τεταγμένη. Δώστε τη συντεταγμένη του σημείου. Ονομάστε την ευθεία και τις συντεταγμένες του σημείου.

«Παράγωγα» άλγεβρα 10ης τάξης» - Εφαρμογή παραγώγων στη μελέτη συναρτήσεων. Η παράγωγος είναι μηδέν. Βρείτε τα σημεία. Ας συνοψίσουμε τις πληροφορίες. Η φύση της μονοτονίας της συνάρτησης. Εφαρμογή της παραγώγου στη μελέτη συναρτήσεων. Θεωρητική προθέρμανση. Συμπληρώστε τις δηλώσεις. Επιλέξτε τη σωστή δήλωση. Θεώρημα. Συγκρίνω. Το παράγωγο είναι θετικό. Συγκρίνετε τις διατυπώσεις των θεωρημάτων. Η λειτουργία αυξάνεται. Επαρκείς συνθήκες για εξτρέμ.

""Τριγωνομετρικές εξισώσεις" βαθμός 10" - Τιμές από το διάστημα. Χ= ταν χ. Δώστε ρίζες. Αληθεύει η ισότητα; Σειρά ριζών. Εξίσωση κούνια t = α. Ορισμός. Cos 4x. Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης. Εξίσωση tg t = a. Αμαρτία x. Έχει νόημα η έκφραση; Sin x =1. Ποτέ μην κάνεις αυτό που δεν ξέρεις. Συνέχισε την πρόταση. Ας πάρουμε ένα δείγμα από τις ρίζες. Λύστε την εξίσωση. Ctg x = 1. Τριγωνομετρικές εξισώσεις. Η εξίσωση.

«Άλγεβρα «Παράγωγα»» - Εφαπτομένη εξίσωση. Προέλευση όρων. Λυνω ενα ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Παράγωγο. Υλικό σημείο. Τύποι διαφοροποίησης. Μηχανική έννοια παραγώγου. Κριτήρια αξιολόγησης. Παράγωγη συνάρτηση. Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Ορισμός παραγώγου. Εξίσωση εφαπτομένης στη γραφική παράσταση συνάρτησης. Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου. Ένα παράδειγμα εύρεσης της παραγώγου. Δομή της θεματικής μελέτης. Το σημείο κινείται σε ευθεία γραμμή.

"Συντομότερο μονοπάτι" - Μια διαδρομή σε ένα δίγραμμα. Ένα παράδειγμα δύο διαφορετικών γραφημάτων. Κατευθυνόμενα γραφήματα. Παραδείγματα κατευθυνόμενων γραφημάτων. Προσβασιμότητα. Η συντομότερη διαδρομή από την κορυφή Α στην κορυφή Δ. Περιγραφή του αλγορίθμου. Πλεονεκτήματα μιας ιεραρχικής λίστας. Σταθμισμένα γραφήματα. Διαδρομή στο γράφημα. Πρόγραμμα ProGraph. Παρακείμενες κορυφές και ακμές. Ανώτατο πτυχίο. Πίνακας γειτνίασης. Μήκος διαδρομής σε σταθμισμένο γράφημα. Ένα παράδειγμα μήτρας γειτνίασης. Βρίσκοντας το συντομότερο μονοπάτι.

"Η ιστορία της τριγωνομετρίας" - Jacob Bernoulli. Τεχνική λειτουργίας με τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Το δόγμα της μέτρησης των πολυεδρών. Λέοναρντ Όιλερ. Η εξέλιξη της τριγωνομετρίας από τον 16ο αιώνα έως τις μέρες μας. Ο μαθητής πρέπει να συναντήσει την τριγωνομετρία τρεις φορές. Μέχρι τώρα έχει διαμορφωθεί και αναπτυχθεί η τριγωνομετρία. Κατασκευή κοινό σύστηματριγωνομετρικές και συναφείς γνώσεις. Ο χρόνος περνά και η τριγωνομετρία επιστρέφει στους μαθητές.

Τα ψηφία των πολυψήφιων αριθμών χωρίζονται από δεξιά προς τα αριστερά σε ομάδες των τριών ψηφίων η καθεμία. Αυτές οι ομάδες ονομάζονται τάξεις. Σε κάθε τάξη, οι αριθμοί από τα δεξιά προς τα αριστερά δείχνουν τις μονάδες, τις δεκάδες και τις εκατοντάδες αυτής της τάξης:

Η πρώτη τάξη στα δεξιά ονομάζεται κατηγορία μονάδων, δεύτερο - χίλια, τρίτο - εκατομμύρια, τέταρτο - δισεκατομμύριαπέμπτο - τρισεκατομμύριο, έκτος - τετρακισεκατομμύριον, έβδομο - εκατομμυρίων, όγδοο - εξακισεκατομμύριον.

Για να διευκολυνθεί η ανάγνωση της σημειογραφίας ενός πολυψήφιου αριθμού, αφήνεται ένα μικρό διάστημα μεταξύ των κλάσεων. Για παράδειγμα, για να διαβάσετε τον αριθμό 148951784296, επισημαίνουμε τις τάξεις σε αυτόν:

και διαβάστε τον αριθμό των μονάδων κάθε τάξης από αριστερά προς τα δεξιά:

148 δισεκατομμύρια 951 εκατομμύρια 784 χιλιάδες 296.

Κατά την ανάγνωση μιας κατηγορίας ενοτήτων, η λέξη μονάδες συνήθως δεν προστίθεται στο τέλος.

Κάθε ψηφίο στη σημειογραφία ενός πολυψήφιου αριθμού καταλαμβάνει μια συγκεκριμένη θέση - θέση. Καλείται η θέση (θέση) στην εγγραφή ενός αριθμού στον οποίο βρίσκεται το ψηφίο απαλλάσσω.

Η καταμέτρηση των ψηφίων πηγαίνει από δεξιά προς τα αριστερά. Δηλαδή, το πρώτο ψηφίο στα δεξιά σε έναν αριθμό ονομάζεται πρώτο ψηφίο, το δεύτερο ψηφίο στα δεξιά είναι το δεύτερο ψηφίο, κλπ. Για παράδειγμα, στην πρώτη κατηγορία του αριθμού 148.951.784.296, το ψηφίο 6 είναι το πρώτο ψηφίο, Το 9 είναι το δεύτερο ψηφίο, το 2 - το τρίτο ψηφίο:

Λέγονται και μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες κ.λπ μονάδες bit:
οι μονάδες ονομάζονται μονάδες της 1ης κατηγορίας (ή απλές μονάδες)
οι δεκάδες ονομάζονται μονάδες του 2ου ψηφίου
οι εκατοντάδες ονομάζονται μονάδες 3 ψηφίων κ.λπ.

Όλες οι μονάδες εκτός από τις απλές μονάδες καλούνται συστατικών μονάδων. Άρα, δέκα, εκατό, χιλιάδες κ.λπ. είναι σύνθετες μονάδες. Κάθε 10 μονάδες οποιασδήποτε κατάταξης αποτελούν μια μονάδα της επόμενης (υψηλότερης) κατάταξης. Για παράδειγμα, το εκατό περιέχει 10 δεκάδες, το δέκα περιέχει 10 πρώτες μονάδες.

Οποιαδήποτε σύνθετη μονάδα σε σύγκριση με μια άλλη μονάδα μικρότερη από αυτήν ονομάζεται μονάδα της υψηλότερης κατηγορίας, και σε σύγκριση με μονάδα μεγαλύτερη από αυτή που ονομάζεται μονάδα της χαμηλότερης κατηγορίας. Για παράδειγμα, το εκατό είναι μια μονάδα υψηλότερης τάξης σε σχέση με το δέκα και μια μονάδα χαμηλότερης τάξης σε σχέση με το χίλια.

Για να μάθετε πόσες μονάδες οποιουδήποτε ψηφίου υπάρχουν σε έναν αριθμό, πρέπει να απορρίψετε όλα τα ψηφία που υποδεικνύουν μονάδες χαμηλότερων ψηφίων και να διαβάσετε τον αριθμό που εκφράζεται από τα υπόλοιπα ψηφία.

Για παράδειγμα, πρέπει να μάθετε πόσες εκατοντάδες υπάρχουν στον αριθμό 6284, δηλαδή πόσες εκατοντάδες είναι οι χιλιάδες και οι εκατοντάδες ενός δεδομένου αριθμού μαζί.

Στον αριθμό 6284, ο αριθμός 2 βρίσκεται στην τρίτη θέση στην κατηγορία μονάδων, που σημαίνει ότι υπάρχουν δύο πρώτες εκατοντάδες στον αριθμό. Ο επόμενος αριθμός στα αριστερά είναι 6, που σημαίνει χιλιάδες. Εφόσον κάθε χίλια περιέχει 10 εκατοντάδες, οι 6 χιλιάδες περιέχουν 60. Συνολικά, επομένως, σε δεδομένου αριθμούπεριέχει 62 εκατοντάδες.

Ο αριθμός 0 σε οποιοδήποτε ψηφίο σημαίνει την απουσία μονάδων σε αυτό το ψηφίο. Για παράδειγμα, ο αριθμός 0 στη θέση των δεκάδων σημαίνει την απουσία δεκάδων, στη θέση των εκατοντάδων - την απουσία εκατοντάδων, κ.λπ. Στη θέση όπου υπάρχει το 0, δεν λέγεται τίποτα κατά την ανάγνωση του αριθμού:

172 526 - εκατόν εβδομήντα δύο χιλιάδες πεντακόσια είκοσι έξι.
102 026 - εκατόν δύο χιλιάδες είκοσι έξι.


Από μια τεράστια ποικιλία όλων των ειδών σκηνικάΙδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα λεγόμενα σύνολα αριθμών, δηλαδή σύνολα των οποίων τα στοιχεία είναι αριθμοί. Είναι σαφές ότι για να δουλέψεις άνετα μαζί τους πρέπει να μπορείς να τα γράψεις. Από αρχές σημειογραφίας και καταγραφής σύνολα αριθμώνθα ξεκινήσουμε αυτό το άρθρο. Στη συνέχεια, ας δούμε πώς απεικονίζονται τα αριθμητικά σύνολα σε μια γραμμή συντεταγμένων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Γράψιμο αριθμητικών συνόλων

Ας ξεκινήσουμε με την αποδεκτή σημείωση. Όπως γνωρίζετε, τα κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου χρησιμοποιούνται για να δηλώσουν σύνολα. Αριθμητικά σύνολα όπως ειδική περίπτωσησυμβολίζονται και σύνολα. Για παράδειγμα, μπορούμε να μιλήσουμε για σύνολα αριθμών A, H, W κ.λπ. Τα σύνολα φυσικών, ακέραιων, ορθολογικών, πραγματικών, μιγαδικών αριθμών κ.λπ. έχουν ιδιαίτερη σημασία· έχουν υιοθετηθεί οι δικοί τους συμβολισμοί για αυτούς:

  • N – σύνολο όλων των φυσικών αριθμών.
  • Z – σύνολο ακεραίων αριθμών.
  • Q – σύνολο ρητών αριθμών.
  • J – σύνολο παράλογων αριθμών.
  • R – σύνολο πραγματικών αριθμών.
  • C είναι το σύνολο των μιγαδικών αριθμών.

Από εδώ είναι σαφές ότι δεν πρέπει να υποδηλώνετε ένα σύνολο που αποτελείται, για παράδειγμα, από δύο αριθμούς 5 και −7 ως Q, αυτός ο προσδιορισμός θα είναι παραπλανητικός, καθώς το γράμμα Q συνήθως υποδηλώνει το σύνολο όλων των ρητών αριθμών. Για να δηλώσετε το καθορισμένο αριθμητικό σύνολο, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε κάποιο άλλο «ουδέτερο» γράμμα, για παράδειγμα, Α.

Εφόσον μιλάμε για σημειογραφία, ας υπενθυμίσουμε εδώ και τη σημειογραφία ενός κενού συνόλου, δηλαδή ενός συνόλου που δεν περιέχει στοιχεία. Συμβολίζεται με το πρόσημο ∅.

Ας θυμηθούμε επίσης τον προσδιορισμό του εάν ένα στοιχείο ανήκει ή όχι σε ένα σύνολο. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τα σημάδια ∈ - ανήκει και ∉ - δεν ανήκει. Για παράδειγμα, ο συμβολισμός 5∈N σημαίνει ότι ο αριθμός 5 ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών και ο 5,7∉Z - το δεκαδικό κλάσμα 5,7 δεν ανήκει στο σύνολο των ακεραίων.

Και ας θυμηθούμε επίσης τη σημειογραφία που υιοθετήθηκε για τη συμπερίληψη ενός συνόλου σε ένα άλλο. Είναι σαφές ότι όλα τα στοιχεία του συνόλου N περιλαμβάνονται στο σύνολο Z, επομένως το αριθμητικό σύνολο N περιλαμβάνεται στο Z, αυτό συμβολίζεται ως N⊂Z. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τον συμβολισμό Z⊃N, που σημαίνει ότι το σύνολο όλων των ακεραίων Z περιλαμβάνει το σύνολο N. Οι σχέσεις που δεν περιλαμβάνονται και δεν περιλαμβάνονται υποδεικνύονται με ⊄ και , αντίστοιχα. Χρησιμοποιούνται επίσης μη αυστηρά σημάδια συμπερίληψης της μορφής ⊆ και ⊇, που σημαίνει περιλαμβάνεται ή συμπίπτει και περιλαμβάνει ή συμπίπτει, αντίστοιχα.

Μιλήσαμε για σημειογραφία, ας περάσουμε στην περιγραφή των αριθμητικών συνόλων. Σε αυτή την περίπτωση, θα θίξουμε μόνο τις κύριες περιπτώσεις που χρησιμοποιούνται συχνότερα στην πράξη.

Ας ξεκινήσουμε με αριθμητικά σύνολα που περιέχουν πεπερασμένο και μικρό αριθμό στοιχείων. Είναι βολικό να περιγράψουμε αριθμητικά σύνολα που αποτελούνται από έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων παραθέτοντας όλα τα στοιχεία τους. Όλα τα αριθμητικά στοιχεία γράφονται χωρισμένα με κόμμα και περικλείονται σε , το οποίο είναι σύμφωνο με το γενικό κανόνες για την περιγραφή των συνόλων. Για παράδειγμα, ένα σύνολο που αποτελείται από τρεις αριθμούς 0, −0,25 και 4/7 μπορεί να περιγραφεί ως (0, −0,25, 4/7).

Μερικές φορές, όταν ο αριθμός των στοιχείων ενός αριθμητικού συνόλου είναι αρκετά μεγάλος, αλλά τα στοιχεία υπακούουν σε ένα συγκεκριμένο μοτίβο, χρησιμοποιείται μια έλλειψη για περιγραφή. Για παράδειγμα, το σύνολο όλων των περιττών αριθμών από το 3 έως το 99 συμπεριλαμβανομένου μπορεί να γραφτεί ως (3, 5, 7, ..., 99).

Προσεγγίσαμε λοιπόν ομαλά την περιγραφή των αριθμητικών συνόλων, ο αριθμός των στοιχείων των οποίων είναι άπειρος. Μερικές φορές μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας όλες τις ίδιες ελλείψεις. Για παράδειγμα, ας περιγράψουμε το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών: N=(1, 2. 3, …) .

Χρησιμοποιούν επίσης την περιγραφή των αριθμητικών συνόλων υποδεικνύοντας τις ιδιότητες των στοιχείων του. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός (χ| ιδιότητες). Για παράδειγμα, ο συμβολισμός (n| 8·n+3, n∈N) καθορίζει το σύνολο των φυσικών αριθμών που, όταν διαιρούνται με το 8, αφήνουν ένα υπόλοιπο 3. Αυτό το ίδιο σύνολο μπορεί να περιγραφεί ως (11,19, 27, ...).

Σε ειδικές περιπτώσεις, αριθμητικά σύνολα με άπειρο αριθμό στοιχείων είναι τα γνωστά σύνολα N, Z, R κ.λπ. ή διαστήματα αριθμών. Βασικά, τα αριθμητικά σύνολα αντιπροσωπεύονται ως Ενωσητα συστατικά τους μεμονωμένα αριθμητικά διαστήματα και αριθμητικά σύνολα με πεπερασμένο αριθμό στοιχείων (για τα οποία μιλήσαμε ακριβώς παραπάνω).

Ας δείξουμε ένα παράδειγμα. Έστω ότι το σύνολο αριθμών αποτελείται από τους αριθμούς −10, −9, −8,56, 0, όλους τους αριθμούς του τμήματος [−5, −1,3] και τους αριθμούς της ανοιχτής αριθμητικής γραμμής (7, +∞). Λόγω του ορισμού μιας ένωσης συνόλων, το καθορισμένο αριθμητικό σύνολο μπορεί να γραφτεί ως {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Αυτός ο συμβολισμός σημαίνει στην πραγματικότητα ένα σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία των συνόλων (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] και (7, +∞).

Ομοίως, με το συνδυασμό διαφορετικών διαστημάτων αριθμών και συνόλων μεμονωμένων αριθμών, μπορεί να περιγραφεί οποιοδήποτε σύνολο αριθμών (που αποτελείται από πραγματικούς αριθμούς). Εδώ καθίσταται σαφές γιατί εισήχθησαν τέτοιοι τύποι αριθμητικών διαστημάτων όπως το διάστημα, το μισό διάστημα, το τμήμα, η ανοιχτή αριθμητική ακτίνα και η αριθμητική ακτίνα: όλα αυτά, σε συνδυασμό με σημειώσεις για σύνολα μεμονωμένων αριθμών, καθιστούν δυνατή την περιγραφή οποιωνδήποτε αριθμητικών συνόλων μέσω την ένωσή τους.

Λάβετε υπόψη ότι όταν γράφετε ένα σύνολο αριθμών, οι αριθμοί που το αποτελούν και τα αριθμητικά διαστήματα ταξινομούνται με αύξουσα σειρά. Αυτή δεν είναι απαραίτητη αλλά επιθυμητή συνθήκη, καθώς ένα διατεταγμένο αριθμητικό σύνολο είναι πιο εύκολο να φανταστεί κανείς και να απεικονίσει σε μια γραμμή συντεταγμένων. Σημειώστε επίσης ότι τέτοιες εγγραφές δεν χρησιμοποιούν αριθμητικά διαστήματα με κοινά στοιχεία, καθώς τέτοιες εγγραφές μπορούν να αντικατασταθούν με συνδυασμό αριθμητικών διαστημάτων χωρίς κοινά στοιχεία. Για παράδειγμα, η ένωση αριθμητικών συνόλων με κοινά στοιχεία [−10, 0] και (−5, 3) είναι το μισό διάστημα [−10, 3) . Το ίδιο ισχύει και για την ένωση αριθμητικών διαστημάτων με τους ίδιους οριακούς αριθμούς, για παράδειγμα, η ένωση (3, 5]∪(5, 7] είναι ένα σύνολο (3, 7] , θα σταθούμε σε αυτό ξεχωριστά όταν μάθουμε να βρείτε την τομή και την ένωση αριθμητικών συνόλων

Αναπαράσταση συνόλων αριθμών σε μια γραμμή συντεταγμένων

Στην πράξη, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε γεωμετρικές εικόνες αριθμητικών συνόλων - οι εικόνες τους ενεργοποιούνται. Για παράδειγμα, όταν επίλυση ανισοτήτων, στο οποίο είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη το ODZ, είναι απαραίτητο να απεικονιστούν αριθμητικά σύνολα για να βρεθεί η τομή ή/και η ένωσή τους. Θα είναι λοιπόν χρήσιμο να κατανοήσουμε καλά όλες τις αποχρώσεις της απεικόνισης αριθμητικών συνόλων σε μια γραμμή συντεταγμένων.

Είναι γνωστό ότι υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των σημείων της γραμμής συντεταγμένων και των πραγματικών αριθμών, πράγμα που σημαίνει ότι η ίδια η γραμμή συντεταγμένων είναι ένα γεωμετρικό μοντέλο του συνόλου όλων των πραγματικών αριθμών R. Έτσι, για να απεικονίσετε το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, πρέπει να σχεδιάσετε μια γραμμή συντεταγμένων με σκίαση σε όλο το μήκος της:

Και συχνά δεν υποδεικνύουν καν την προέλευση και το τμήμα μονάδας:

Τώρα ας μιλήσουμε για την εικόνα των αριθμητικών συνόλων που αντιπροσωπεύουν μερικά τελικός αριθμόςμεμονωμένους αριθμούς. Για παράδειγμα, ας απεικονίσουμε το σύνολο αριθμών (−2, −0,5, 1,2) . Η γεωμετρική εικόνα αυτού του συνόλου, που αποτελείται από τρεις αριθμούς −2, −0,5 και 1,2, θα είναι τρία σημεία της γραμμής συντεταγμένων με τις αντίστοιχες συντεταγμένες:

Σημειώστε ότι συνήθως για πρακτικούς σκοπούς δεν χρειάζεται να πραγματοποιηθεί ακριβώς το σχέδιο. Συχνά αρκεί ένα σχηματικό σχέδιο, πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι απαραίτητο να διατηρηθεί η κλίμακα και είναι σημαντικό μόνο να διατηρηθεί αμοιβαία διευθέτησησημεία σχετικά μεταξύ τους: οποιοδήποτε σημείο με μικρότερη συντεταγμένη πρέπει να βρίσκεται στα αριστερά ενός σημείου με μεγαλύτερη συντεταγμένη. Το προηγούμενο σχέδιο θα μοιάζει σχηματικά ως εξής:

Ξεχωριστά, από κάθε είδους αριθμητικά σύνολα, διακρίνονται αριθμητικά διαστήματα (διαστήματα, ημιδιαστήματα, ακτίνες κ.λπ.) που αντιπροσωπεύουν τις γεωμετρικές τους εικόνες· τα εξετάσαμε αναλυτικά στην ενότητα. Δεν θα επαναλαμβανόμαστε εδώ.

Και μένει μόνο να σταθούμε στην εικόνα των αριθμητικών συνόλων, τα οποία είναι μια ένωση πολλών αριθμητικών διαστημάτων και συνόλων που αποτελούνται από μεμονωμένους αριθμούς. Δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο εδώ: σύμφωνα με την έννοια της ένωσης σε αυτές τις περιπτώσεις, στη γραμμή συντεταγμένων είναι απαραίτητο να απεικονιστούν όλα τα συστατικά του συνόλου ενός δεδομένου αριθμητικού συνόλου. Για παράδειγμα, ας δείξουμε μια εικόνα ενός συνόλου αριθμών (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

Και ας σταθούμε σε αρκετά συνηθισμένες περιπτώσεις όπου το εικονιζόμενο αριθμητικό σύνολο αντιπροσωπεύει ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, με εξαίρεση ένα ή περισσότερα σημεία. Τέτοια σύνολα προσδιορίζονται συχνά από συνθήκες όπως x≠5 ή x≠−1, x≠2, x≠3.7, κ.λπ. Σε αυτές τις περιπτώσεις, γεωμετρικά αντιπροσωπεύουν ολόκληρη τη γραμμή συντεταγμένων, με εξαίρεση τα αντίστοιχα σημεία. Με άλλα λόγια, αυτά τα σημεία πρέπει να «ξεκολληθούν» από τη γραμμή συντεταγμένων. Απεικονίζονται ως κύκλοι με κενό κέντρο. Για λόγους σαφήνειας, ας απεικονίσουμε ένα αριθμητικό σύνολο που αντιστοιχεί στις συνθήκες (αυτό το σετ ουσιαστικά υπάρχει):

Συνοψίζω. Ιδανικά, οι πληροφορίες από τις προηγούμενες παραγράφους θα πρέπει να σχηματίζουν την ίδια άποψη της εγγραφής και της απεικόνισης των αριθμητικών συνόλων με την προβολή μεμονωμένων αριθμητικών διαστημάτων: η εγγραφή ενός αριθμητικού συνόλου θα πρέπει να δίνει αμέσως την εικόνα του στη γραμμή συντεταγμένων και από την εικόνα στο τη γραμμή συντεταγμένων θα πρέπει να είμαστε έτοιμοι να περιγράψουμε εύκολα το αντίστοιχο αριθμητικό σύνολο μέσω της ένωσης μεμονωμένων διαστημάτων και συνόλων που αποτελούνται από μεμονωμένους αριθμούς.

Βιβλιογραφία.

  • Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 8η τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A. G.Αλγεβρα. 9η τάξη. Στις 2 μ.μ. Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές Εκπαιδευτικά ιδρύματα/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2011. - 222 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-01752-3.

Η διαισθητική ιδέα του αριθμού είναι προφανώς τόσο παλιά όσο και η ίδια η ανθρωπότητα, αν και μπορεί να εντοπιστεί αξιόπιστα πρώιμα στάδιαη ανάπτυξή του είναι καταρχήν αδύνατη. Πριν μάθει ο άνθρωπος να μετράει ή να βρει λέξεις για να δηλώσει αριθμούς, είχε αναμφίβολα μια οπτική, διαισθητική ιδέα του αριθμού που του επέτρεπε να διακρίνει μεταξύ ενός ατόμου και δύο ατόμων ή μεταξύ δύο και πολλών ανθρώπων. Το ότι οι πρωτόγονοι άνθρωποι στην αρχή γνώριζαν μόνο «ένα», «δύο» και «πολλά» επιβεβαιώνεται από το γεγονός ότι σε ορισμένες γλώσσες, όπως η ελληνική, υπάρχουν τρεις γραμματικοί τύποι: ενικός, διπλός και πληθυντικός. Αργότερα άνθρωποςέμαθε να ξεχωρίζει μεταξύ δύο και τριών δέντρων και μεταξύ τριών και τεσσάρων ατόμων. Η μέτρηση αρχικά συνδέθηκε με ένα πολύ συγκεκριμένο σύνολο αντικειμένων και τα πρώτα ονόματα των αριθμών ήταν επίθετα. Για παράδειγμα, η λέξη "τρία" χρησιμοποιήθηκε μόνο στους συνδυασμούς "τρία δέντρα" ή "τρία άτομα". η ιδέα ότι αυτά τα σύνολα έχουν κάτι κοινό - την έννοια της τριάδας - απαιτεί υψηλός βαθμόςαφαιρέσεις. Αυτή η μέτρηση προέκυψε πριν από την εμφάνιση αυτού του επιπέδου αφαίρεσης αποδεικνύεται από το γεγονός ότι οι λέξεις «ένα» και «πρώτο», καθώς και «δύο» και «δεύτερη», σε πολλές γλώσσες δεν έχουν τίποτα κοινό μεταξύ τους. , ενώ βρίσκονται πέρα ​​από την πρωτόγονη μέτρηση του «ένα», «δύο», «πολλά», οι λέξεις «τρία» και «τρίτο», «τέσσερα» και «τέταρτο» υποδεικνύουν ξεκάθαρα τη σχέση μεταξύ των βασικών και των τακτικών αριθμών.

Τα ονόματα των αριθμών, που εκφράζουν πολύ αφηρημένες ιδέες, εμφανίστηκαν, αναμφίβολα, αργότερα από τα πρώτα ακατέργαστα σύμβολα για την ένδειξη του αριθμού των αντικειμένων σε μια συγκεκριμένη συλλογή. Στην αρχαιότητα, οι πρωτόγονες αριθμητικές εγγραφές γίνονταν με τη μορφή εγκοπών σε ένα ραβδί, κόμβων σε ένα σχοινί, απλωμένα σε μια σειρά από βότσαλα και ήταν κατανοητό ότι υπήρχε μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των στοιχείων του σύνολο που καταμετράται και τα σύμβολα της αριθμητικής εγγραφής. Αλλά τα ονόματα των αριθμών δεν χρησιμοποιήθηκαν απευθείας για την ανάγνωση τέτοιων αριθμητικών εγγραφών. Σήμερα αναγνωρίζουμε εκ πρώτης όψεως συναθροίσεις δύο, τριών και τεσσάρων στοιχείων. Τα σετ που αποτελούνται από πέντε, έξι ή επτά στοιχεία είναι κάπως πιο δύσκολο να αναγνωριστούν με την πρώτη ματιά. Και πέρα ​​από αυτό το σύνορο είναι σχεδόν αδύνατο να προσδιοριστεί ο αριθμός τους με το μάτι, και χρειάζεται ανάλυση είτε με τη μορφή μέτρησης είτε με μια ορισμένη δόμηση στοιχείων. Η καταμέτρηση των ετικετών φαίνεται να ήταν η πρώτη τεχνική που χρησιμοποιήθηκε σε τέτοιες περιπτώσεις: οι εγκοπές στις ετικέτες ήταν διατεταγμένες σε ορισμένες ομάδες, όπως κατά την καταμέτρηση των ψηφοδελτίων συχνά ομαδοποιούνται σε πακέτα των πέντε ή δέκα τεμαχίων. Το μέτρημα στα δάχτυλα ήταν πολύ διαδεδομένο και είναι πολύ πιθανό τα ονόματα ορισμένων αριθμών να προέρχονται ακριβώς από αυτή τη μέθοδο μέτρησης.

Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό της μέτρησης είναι η σύνδεση των ονομάτων των αριθμών με ένα συγκεκριμένο σχήμα μέτρησης. Για παράδειγμα, η λέξη «είκοσι τρία» δεν είναι απλώς ένας όρος που σημαίνει μια καλά καθορισμένη (από την άποψη του αριθμού των στοιχείων) ομάδα αντικειμένων. είναι ένας σύνθετος όρος που σημαίνει «δύο φορές δέκα και τρεις». Εδώ είναι ξεκάθαρα ορατός ο ρόλος του αριθμού δέκα ως συλλογική μονάδα ή θεμέλιο. και πράγματι, πολλοί μετράνε σε δεκάδες, γιατί, όπως σημείωσε ο Αριστοτέλης, έχουμε δέκα δάχτυλα χεριών και ποδιών. Οι βάσεις πέντε ή είκοσι χρησιμοποιήθηκαν για τον ίδιο λόγο. Σε πολύ πρώιμα στάδια της εξέλιξης της ανθρώπινης ιστορίας, οι αριθμοί 2, 3 ή 4 ελήφθησαν ως βάση του συστήματος αριθμών. Μερικές φορές οι βάσεις 12 και 60 χρησιμοποιήθηκαν για ορισμένες μετρήσεις ή υπολογισμούς.

Ο άνθρωπος άρχισε να μετράει πολύ πριν μάθει να γράφει, έτσι δεν έχουν σωθεί γραπτά έγγραφα που να μαρτυρούν τις λέξεις που χρησιμοποιούσαν για να δηλώσουν αριθμούς στην αρχαιότητα. Οι νομαδικές φυλές χαρακτηρίζονται από προφορικά ονόματα αριθμών· όσο για τα γραπτά, η ανάγκη για αυτά προέκυψε μόνο με τη μετάβαση σε έναν καθιστικό τρόπο ζωής και τη δημιουργία αγροτικών κοινοτήτων. Προέκυψε επίσης η ανάγκη για ένα σύστημα καταγραφής αριθμών και τότε ήταν που τέθηκαν τα θεμέλια για την ανάπτυξη των μαθηματικών.

Βασικοί τύποι αριθμών

Σε αντίθεση με τις οκτάβες, καθίζηση μικρόδεν έχουν την ιδιότητα της εναλλακτικότητας, αλλά διατηρούν την ιδιότητα της συνειρμότητας εξουσίας.

Για να αναπαρασταθεί ένας θετικός ακέραιος x στη μνήμη του υπολογιστή, μετατρέπεται στο δυαδικό σύστημα αριθμών. Ο αριθμός που προκύπτει σε δυαδικό σύστημαΤο radix x 2 είναι ο συμβολισμός του μηχανήματος για τον αντίστοιχο δεκαδικό αριθμό x 10. Για να γράψετε αρνητικούς αριθμούς, τα λεγόμενα. πρόσθετος κωδικός ενός αριθμού, ο οποίος προκύπτει προσθέτοντας ένα στην ανεστραμμένη αναπαράσταση του συντελεστή ενός δεδομένου αρνητικού αριθμού στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Αναπαράσταση πραγματικών αριθμών στη μνήμη του υπολογιστή (σε τεχνολογία υπολογιστώνο όρος αριθμός κινητής υποδιαστολής χρησιμοποιείται για να τους δηλώσει) έχει ορισμένους περιορισμούς που σχετίζονται με το σύστημα αριθμών που χρησιμοποιείται, καθώς και την περιορισμένη ποσότητα μνήμης που εκχωρείται για αριθμούς. Έτσι, μόνο ορισμένοι από τους πραγματικούς αριθμούς μπορούν να αναπαρασταθούν με ακρίβεια στη μνήμη του υπολογιστή χωρίς απώλεια. Στο πιο συνηθισμένο σχήμα, ένας αριθμός κινητής υποδιαστολής γράφεται ως μπλοκ από bit, μερικά από τα οποία αντιπροσωπεύουν το mantissa του αριθμού, μερικά - την ισχύ και ένα bit εκχωρείται για να αντιπροσωπεύει το πρόσημο του αριθμού (εάν είναι απαραίτητο, το το bit σημάδι μπορεί να απουσιάζει).

Ακέραιοι- αυτοί είναι οι αριθμοί με τους οποίους ξεκίνησαν όλα. Και σήμερα αυτοί είναι οι πρώτοι αριθμοί που συναντά ένας άνθρωπος στη ζωή του, όταν στην παιδική του ηλικία μαθαίνει να μετράει στα δάχτυλά του ή να μετράει μπαστούνια.

Ορισμός: Οι φυσικοί αριθμοί είναι αριθμοί που χρησιμοποιούνται για την καταμέτρηση αντικειμένων (1, 2, 3, 4, 5, ...) [Ο αριθμός 0 δεν είναι φυσικός. Έχει τη δική του ξεχωριστή ιστορία στην ιστορία των μαθηματικών και εμφανίστηκε πολύ αργότερα από τους φυσικούς αριθμούς.]

Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών (1, 2, 3, 4, 5, ...) συμβολίζεται με το γράμμα Ν.

Ολόκληροι αριθμοί

Έχοντας μάθει να μετράμε, το επόμενο πράγμα που κάνουμε είναι να μάθουμε να εκτελούμε αριθμητικές πράξεις σε αριθμούς. Συνήθως, πρώτα διδάσκονται πρόσθεση και αφαίρεση (χρησιμοποιώντας ραβδιά μέτρησης).

Με την πρόσθεση, όλα είναι ξεκάθαρα: προσθέτοντας δύο φυσικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ο ίδιος φυσικός αριθμός. Αλλά στην αφαίρεση ανακαλύπτουμε ότι δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε το μεγαλύτερο από το μικρότερο έτσι ώστε το αποτέλεσμα να είναι ένας φυσικός αριθμός. (3 − 5 = τι;) Εδώ μπαίνει στο παιχνίδι η ιδέα των αρνητικών αριθμών. (Οι αρνητικοί αριθμοί δεν είναι πλέον φυσικοί αριθμοί)

Στο στάδιο εμφάνισης αρνητικών αριθμών (και εμφανίστηκαν αργότερα από τα κλασματικά)υπήρχαν και οι αντίπαλοί τους, που τους θεωρούσαν ανοησίες. (Τρία αντικείμενα μπορούν να εμφανιστούν στα δάχτυλά σας, δέκα μπορούν να φανούν, χίλια αντικείμενα μπορούν να αναπαρασταθούν με αναλογία. Και τι είναι το "μείον τρεις σακούλες"; - Εκείνη την εποχή, οι αριθμοί χρησιμοποιούνταν ήδη από μόνοι τους, μεμονωμένα από συγκεκριμένα αντικείμενα, ο αριθμός των οποίων υποδηλώνουν ήταν ακόμα στο μυαλό των ανθρώπων πολύ πιο κοντά σε αυτά τα συγκεκριμένα αντικείμενα από ό,τι σήμερα.) Αλλά, όπως και οι αντιρρήσεις, το κύριο επιχείρημα υπέρ των αρνητικών αριθμών προήλθε από την πρακτική: αρνητικούς αριθμούςκατέστησε δυνατή την εύκολη παρακολούθηση των χρεών. 3 − 5 = −2 - Είχα 3 νομίσματα, ξόδεψα 5. Αυτό σημαίνει ότι όχι μόνο μου τελείωσαν τα νομίσματα, αλλά χρωστούσα και σε κάποιον 2 νομίσματα. Εάν επιστρέψω ένα, το χρέος θα αλλάξει −2+1=−1, αλλά μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί με έναν αρνητικό αριθμό.

Ως αποτέλεσμα, οι αρνητικοί αριθμοί εμφανίστηκαν στα μαθηματικά και τώρα έχουμε έναν άπειρο αριθμό φυσικών αριθμών (1, 2, 3, 4, ...) και υπάρχει ο ίδιος αριθμός των αντιθέτων τους (−1, −2, − 3, −4, ...). Ας τους προσθέσουμε άλλο ένα 0. Και θα ονομάσουμε το σύνολο όλων αυτών των αριθμών ακέραιοι.

Ορισμός: Οι φυσικοί αριθμοί, τα αντίθετά τους και το μηδέν αποτελούν το σύνολο των ακεραίων. Υποδηλώνεται με το γράμμα Z.

Τυχόν δύο ακέραιοι αριθμοί μπορούν να αφαιρεθούν ο ένας από τον άλλο ή να προστεθούν για να σχηματίσουν έναν ακέραιο αριθμό.

Η ιδέα της προσθήκης ακεραίων αριθμών προϋποθέτει ήδη τη δυνατότητα πολλαπλασιασμού, όπως απλώς περισσότερο γρήγορο τρόποεκτέλεση προσθήκης. Εάν έχουμε 7 σακούλες των 6 κιλών η καθεμία, μπορούμε να προσθέσουμε 6+6+6+6+6+6+6 (προσθέσουμε 6 στο τρέχον σύνολο επτά φορές) ή μπορούμε απλά να θυμηθούμε ότι μια τέτοια λειτουργία θα έχει πάντα ως αποτέλεσμα 42. Ακριβώς όπως προσθέτοντας έξι επτά, έτσι και το 7+7+7+7+7+7 θα δίνει πάντα 42.

Αποτελέσματα της λειτουργίας προσθήκης βέβαιοςνούμερα με τον εαυτό σου βέβαιοςγράφεται ο αριθμός των φορών για όλα τα ζεύγη αριθμών από το 2 έως το 9 και δημιουργείται ένας πίνακας πολλαπλασιασμού. Για να πολλαπλασιάσουμε ακέραιους αριθμούς μεγαλύτερους από 9, επινοείται ο κανόνας πολλαπλασιασμού στηλών. (Το οποίο ισχύει επίσης για τα δεκαδικά κλάσματα, και το οποίο θα συζητηθεί σε ένα από τα ακόλουθα άρθρα.) Όταν πολλαπλασιάζουμε δύο ακέραιους αριθμούς ο ένας με τον άλλο, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας ακέραιος.

Ρητοί αριθμοί

Τώρα διαίρεση. Όπως η αφαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης, φτάνουμε στην ιδέα της διαίρεσης ως αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού.

Όταν είχαμε 7 σακούλες των 6 κιλών, χρησιμοποιώντας τον πολλαπλασιασμό υπολογίσαμε εύκολα ότι το συνολικό βάρος του περιεχομένου των σακουλών ήταν 42 κιλά. Ας φανταστούμε ότι χύσαμε όλο το περιεχόμενο όλων των σακουλών σε ένα κοινό σωρό βάρους 42 κιλών. Και μετά άλλαξαν γνώμη και θέλησαν να μοιράσουν το περιεχόμενο πίσω σε 7 σακούλες. Πόσα κιλά θα καταλήξουν σε ένα σακουλάκι αν το μοιράσουμε ισόποσα; – Προφανώς, 6.

Τι γίνεται αν θέλουμε να μοιράσουμε 42 κιλά σε 6 σακούλες; Εδώ θα σκεφτούμε ότι τα ίδια συνολικά 42 κιλά θα μπορούσαν να ληφθούν αν ρίχναμε 6 σακούλες των 7 κιλών σε ένα σωρό. Και αυτό σημαίνει ότι όταν χωρίζουμε 42 κιλά σε 6 σακούλες ισόποσα, παίρνουμε 7 κιλά σε μια σακούλα.

Τι γίνεται αν μοιράσετε 42 κιλά ισόποσα σε 3 σακούλες; Και εδώ, επίσης, αρχίζουμε να επιλέγουμε έναν αριθμό που, όταν πολλαπλασιαζόταν με το 3, θα έδινε 42. Για τιμές «πίνακες», όπως στην περίπτωση του 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7, εκτελούμε τη διαίρεση λειτουργία απλά ανακαλώντας τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Για περισσότερα πολύπλοκες περιπτώσειςΧρησιμοποιείται διαίρεση στηλών, η οποία θα συζητηθεί σε ένα από τα ακόλουθα άρθρα. Στην περίπτωση των 3 και 42, μπορείτε να "επιλέξετε" για να θυμάστε ότι 3 · 14 = 42. Αυτό σημαίνει 42:3 = 14. Κάθε σακούλα θα περιέχει 14 κιλά.

Τώρα ας προσπαθήσουμε να μοιράσουμε 42 κιλά εξίσου σε 5 σακούλες. 42:5 =;
Παρατηρούμε ότι 5 · 8 = 40 (λίγα), και 5 · 9 = 45 (πολλά). Δηλαδή δεν θα πάρουμε 42 κιλά από 5 σακούλες, ούτε 8 κιλά σε σακούλα, ούτε 9 κιλά. Είναι σαφές ότι στην πραγματικότητα, διαιρέστε οποιαδήποτε ποσότητα (για παράδειγμα δημητριακά) με 5 ίσα μέρητίποτα δεν μας ενοχλεί.

Η λειτουργία της διαίρεσης ακεραίων μεταξύ τους δεν οδηγεί απαραίτητα σε έναν ακέραιο. Έτσι φτάσαμε στην έννοια των κλασμάτων. 42:5 = 42/5 = 8 ολόκληρα 2/5 (αν μετρηθούν σε κλάσματα) ή 42:5 = 8,4 (αν μετρηθούν με δεκαδικά).

Κοινά και δεκαδικά κλάσματα

Μπορούμε να πούμε ότι οποιοδήποτε συνηθισμένο κλάσμα m/n (m είναι ακέραιος αριθμός, n είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός) είναι απλώς μια ειδική μορφή γραφής του αποτελέσματος της διαίρεσης του αριθμού m με τον αριθμό n. (το m ονομάζεται αριθμητής του κλάσματος, το n είναι ο παρονομαστής) Το αποτέλεσμα της διαίρεσης, για παράδειγμα, του αριθμού 25 με τον αριθμό 5 μπορεί επίσης να γραφτεί ως ένα συνηθισμένο κλάσμα 25/5. Αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο, αφού το αποτέλεσμα της διαίρεσης του 25 με το 5 μπορεί απλά να γραφτεί ως ο ακέραιος αριθμός 5. (Και 25/5 = 5). Αλλά το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμού 25 με τον αριθμό 3 δεν μπορεί πλέον να αναπαρασταθεί ως ακέραιος, επομένως εδώ προκύπτει η ανάγκη χρήσης ενός κλάσματος, 25:3 = 25/3. (Μπορείτε να διακρίνετε ολόκληρο το μέρος 25/3 = 8 ολόκληρα 1/3. Τα συνηθισμένα κλάσματα και οι πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα θα συζητηθούν λεπτομερέστερα στα επόμενα άρθρα.)

Το καλό με τα συνηθισμένα κλάσματα είναι ότι για να αναπαραστήσετε το αποτέλεσμα της διαίρεσης οποιωνδήποτε δύο ακεραίων ως τέτοιο κλάσμα, πρέπει απλώς να γράψετε το μέρισμα στον αριθμητή του κλάσματος και τον διαιρέτη στον παρονομαστή. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, ...) Στη συνέχεια, αν είναι δυνατόν, μειώστε το κλάσμα και/ή απομονώστε ολόκληρο το μέρος (αυτές οι ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα θα συζητηθεί λεπτομερώς στα επόμενα άρθρα). Το πρόβλημα είναι ότι η εκτέλεση αριθμητικών πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση) με συνηθισμένα κλάσματα δεν είναι πλέον τόσο βολική όσο με ακέραιους αριθμούς.

Για τη διευκόλυνση της γραφής (σε μία γραμμή) και για τη διευκόλυνση των υπολογισμών (με δυνατότητα υπολογισμών σε στήλη, όπως και για τους συνηθισμένους ακέραιους αριθμούς), εκτός από τα συνηθισμένα κλάσματα, επινοήθηκαν και δεκαδικά κλάσματα. Δεκαδικό κλάσμα είναι ένα ειδικά γραμμένο συνηθισμένο κλάσμα με παρονομαστή 10, 100, 1000 κ.λπ. Για παράδειγμα, το κοινό κλάσμα 7/10 είναι το ίδιο με το δεκαδικό κλάσμα 0,7. (8/100 = 0,08, 2 ολόκληρα 3/10 = 2,3, 7 ολόκληρα 1/1000 = 7, 001). Ένα ξεχωριστό άρθρο θα αφιερωθεί στη μετατροπή των συνηθισμένων κλασμάτων σε δεκαδικούς και αντίστροφα. Λειτουργίες με δεκαδικά– άλλα άρθρα.

Οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί ως κοινό κλάσμα με παρονομαστή 1. (5=5/1; −765=−765/1).

Ορισμός: Όλοι οι αριθμοί που μπορούν να παρασταθούν ως κλάσμα ονομάζονται ρητικοί αριθμοί. Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα Q.

Όταν διαιρούμε δύο ακέραιους αριθμούς μεταξύ τους (εκτός από τη διαίρεση με το 0), το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας ρητός αριθμός. Για τα συνηθισμένα κλάσματα, υπάρχουν κανόνες πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης που σας επιτρέπουν να εκτελέσετε την αντίστοιχη πράξη με οποιαδήποτε δύο κλάσματα και επίσης να λάβετε έναν ρητό αριθμό (κλάσμα ή ακέραιο) ως αποτέλεσμα.

Το σύνολο των ορθολογικών αριθμών είναι το πρώτο από τα σύνολα που εξετάσαμε στο οποίο μπορείτε να προσθέσετε, να αφαιρέσετε, να πολλαπλασιάσετε και να διαιρέσετε (εκτός από τη διαίρεση με το 0), χωρίς να υπερβείτε ποτέ τα όρια αυτού του συνόλου (δηλαδή, παίρνοντας πάντα μια λογική αριθμός ως αποτέλεσμα) .

Φαίνεται ότι δεν υπάρχουν άλλοι αριθμοί· όλοι οι αριθμοί είναι ορθολογικοί. Αλλά ούτε αυτό είναι αλήθεια.

Πραγματικοί αριθμοί

Υπάρχουν αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα m/n (όπου m είναι ακέραιος, n φυσικός αριθμός).

Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί; Δεν έχουμε ακόμη εξετάσει τη λειτουργία της εκθέσεως. Για παράδειγμα, 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125. Ακριβώς όπως ο πολλαπλασιασμός είναι μια πιο βολική μορφή γραφής και υπολογισμού πρόσθεσης, έτσι και η εκθετικότητα είναι μια μορφή γραφής του πολλαπλασιασμού του ίδιου αριθμού από μόνος του ορισμένες φορές.

Αλλά τώρα ας δούμε την αντίστροφη λειτουργία της εκθέσεως—εξαγωγή ρίζας. Η τετραγωνική ρίζα του 16 είναι ο αριθμός που στο τετράγωνο θα δώσει το 16, δηλαδή τον αριθμό 4. Η τετραγωνική ρίζα του 9 είναι 3. Αλλά Τετραγωνική ρίζατου 5 ή του 2, για παράδειγμα, δεν μπορεί να αναπαρασταθεί με ρητό αριθμό. (Η απόδειξη αυτής της δήλωσης, άλλα παραδείγματα παράλογων αριθμών και η ιστορία τους βρίσκονται, για παράδειγμα, στη Wikipedia)

Στο GIA του βαθμού 9 υπάρχει μια εργασία για να προσδιοριστεί εάν ένας αριθμός που περιέχει μια ρίζα στη σημειογραφία του είναι ορθολογικός ή παράλογος. Το καθήκον είναι να προσπαθήσετε να μετατρέψετε αυτόν τον αριθμό σε μια φόρμα που δεν περιέχει ρίζα (χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ριζών). Εάν δεν μπορείτε να απαλλαγείτε από τη ρίζα, τότε ο αριθμός είναι παράλογος.

Ένα άλλο παράδειγμα παράλογου αριθμού είναι ο αριθμός π, γνωστός σε όλους από τη γεωμετρία και την τριγωνομετρία.

Ορισμός: Οι ορθολογικοί και οι παράλογοι αριθμοί μαζί ονομάζονται πραγματικοί (ή πραγματικοί) αριθμοί. Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα R.

Στους πραγματικούς αριθμούς, σε αντίθεση με τους ρητούς αριθμούς, μπορούμε να εκφράσουμε την απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων σε μια ευθεία ή ένα επίπεδο.
Εάν σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή και επιλέξετε δύο αυθαίρετα σημεία σε αυτήν ή επιλέξετε δύο αυθαίρετα σημεία σε ένα επίπεδο, μπορεί να αποδειχθεί ότι η ακριβής απόσταση μεταξύ αυτών των σημείων δεν μπορεί να εκφραστεί ως ρητός αριθμός. (Παράδειγμα: υποτείνουσα ορθογώνιο τρίγωνομε τα σκέλη 1 και 1 σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα θα είναι ίση με τη ρίζα του δύο - δηλαδή παράλογος αριθμός. Αυτό περιλαμβάνει επίσης το ακριβές μήκος της διαγωνίου του κελιού του σημειωματάριου (το μήκος της διαγωνίου οποιουδήποτε τέλειου τετραγώνου με ολόκληρες πλευρές).)
Και στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, οποιεσδήποτε αποστάσεις σε μια ευθεία, σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα μπορούν να εκφραστούν με τον αντίστοιχο πραγματικό αριθμό.