Ένα κλάσμα είναι ένα ή περισσότερα μέρη ενός συνόλου, που συνήθως λαμβάνεται ως ένα (1). Όπως και με τους φυσικούς αριθμούς, μπορείτε να εκτελέσετε όλες τις βασικές αριθμητικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, διαίρεση, πολλαπλασιασμό) με κλάσματα· για να το κάνετε αυτό, πρέπει να γνωρίζετε τα χαρακτηριστικά της εργασίας με κλάσματα και να διακρίνετε τους τύπους τους. Υπάρχουν διάφοροι τύποι κλασμάτων: δεκαδικά και συνηθισμένα ή απλά. Κάθε τύπος κλάσματος έχει τις δικές του ιδιαιτερότητες, αλλά μόλις κατανοήσετε καλά πώς να τα χειρίζεστε, θα μπορείτε να λύσετε τυχόν παραδείγματα με κλάσματα, αφού θα γνωρίζετε τις βασικές αρχές εκτέλεσης αριθμητικών υπολογισμών με κλάσματα. Ας δούμε παραδείγματα για το πώς να διαιρέσουμε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό χρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπους κλασμάτων.
Πώς να διαιρέσετε ένα απλό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό;Τα συνηθισμένα ή απλά κλάσματα είναι κλάσματα που γράφονται με τη μορφή αναλογίας αριθμών στον οποίο το μέρισμα (αριθμητής) υποδεικνύεται στην κορυφή του κλάσματος και ο διαιρέτης (παρονομαστής) του κλάσματος υποδεικνύεται στο κάτω μέρος. Πώς να διαιρέσετε ένα τέτοιο κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό; Ας δούμε ένα παράδειγμα! Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 8/12 με το 2.
Για να γίνει αυτό πρέπει να εκτελέσουμε μια σειρά από ενέργειες:
Έτσι, αν έχουμε να διαιρέσουμε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό, το διάγραμμα λύσης θα μοιάζει κάπως έτσι: 
Με παρόμοιο τρόπο, μπορείτε να διαιρέσετε οποιοδήποτε συνηθισμένο (απλό) κλάσμα με έναν ακέραιο.
Πώς να διαιρέσετε ένα δεκαδικό με έναν ακέραιο αριθμό;
Δεκαδικός είναι ένα κλάσμα που προκύπτει από τη διαίρεση μιας μονάδας σε δέκα, χίλια κ.λπ. μέρη. Οι αριθμητικές πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς είναι αρκετά απλές.
Ας δούμε ένα παράδειγμα για το πώς να διαιρέσουμε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το δεκαδικό κλάσμα 0,925 με τον φυσικό αριθμό 5.
Για να συνοψίσουμε, ας σταθούμε σε δύο κύρια σημεία που είναι σημαντικά κατά την εκτέλεση της λειτουργίας διαίρεσης δεκαδικών κλασμάτων με έναν ακέραιο: - Για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, χρησιμοποιείται διαίρεση μεγάλης διάρκειας.
- Ένα κόμμα μπαίνει σε πηλίκο όταν ολοκληρωθεί η διαίρεση ολόκληρου του μερίσματος.
Για να κατανοήσουμε πώς να διαιρέσουμε τα κλάσματα, ας μελετήσουμε τον κανόνα και ας χρησιμοποιήσουμε παραδείγματα για να δούμε πώς να τον εφαρμόσουμε.
Κανόνας διαίρεσης συνηθισμένα κλάσματα
Για να διαιρέσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον πρώτο αριθμό με το δεύτερο (δηλαδή, πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα με το ανεστραμμένο δεύτερο).
Παραδείγματα διαίρεσης συνηθισμένων κλασμάτων:
Για να διαιρέσουμε αυτά τα κλάσματα, ξαναγράφουμε το πρώτο κλάσμα και το αντίστροφο του δεύτερου (πολλαπλασιάζουμε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη). Τίποτα δεν μπορεί να συντομευτεί εδώ.
Για να διαιρέσουμε αυτά τα κλάσματα, ξαναγράφουμε τον πρώτο αριθμό αμετάβλητο και τον πολλαπλασιάζουμε με το αντίστροφο του δεύτερου 6 και 9 με το 3, το 20 και το 25 με το 5. Το κλάσμα 8/15 που προκύπτει είναι σωστό και μη αναγώγιμο. Αυτή είναι λοιπόν η τελική απάντηση.
Αφήνουμε αμετάβλητο το πρώτο κλάσμα και το πολλαπλασιάζουμε με το αντίστροφο του δεύτερου κλάσματος. Μειώνουμε το 45 και το 36 κατά 9, το 65 και το 52 κατά 13. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα ακατάλληλο κλάσμα, από το οποίο .
Όταν διαιρούμε δύο ίσους αριθμούς, παίρνουμε έναν, ώστε να γράψουμε αμέσως την απάντηση.
Για να διαιρέσετε τα κλάσματα, πολλαπλασιάστε το πρώτο με το αντίστροφο του δεύτερου. Μειώνουμε το 23 και το 23 με 23, το 14 και το 7 με 7. Εφόσον ο παρονομαστής είναι ένας, η απάντηση είναι ακέραιος.
Την επόμενη φορά θα δούμε πώς να διαιρέσουμε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα.
Περιεχόμενο μαθήματοςΠροσθήκη κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές
Υπάρχουν δύο τύποι προσθήκης κλασμάτων:
- Προσθήκη κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.
- Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
Αρχικά, ας μελετήσουμε την πρόσθεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές. Όλα είναι απλά εδώ. Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Για παράδειγμα, ας προσθέσουμε τα κλάσματα και . Προσθέστε τους αριθμητές και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Αν προσθέσετε πίτσα στην πίτσα, παίρνετε πίτσα:
Παράδειγμα 2.Προσθέστε κλάσματα και .
Η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ένα ακατάλληλο κλάσμα. Όταν έρθει το τέλος της εργασίας, είναι συνηθισμένο να απαλλαγούμε από ακατάλληλα κλάσματα. Να ξεφορτωθώ ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ένα ολόκληρο μέρος του. Στην περίπτωσή μας ολόκληρο μέροςξεχωρίζει εύκολα - δύο διαιρούμενα με δύο ίσον ένα:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε δύο μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερη πίτσα στην πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα:
Παράδειγμα 3. Προσθέστε κλάσματα και .
Και πάλι, αθροίζουμε τους αριθμητές και αφήνουμε αμετάβλητο τον παρονομαστή:
Αυτό το παράδειγμα γίνεται εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερη πίτσα στην πίτσα, θα πάρετε πίτσα:
Παράδειγμα 4.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Οι αριθμητές πρέπει να προστεθούν και ο παρονομαστής να παραμείνει αμετάβλητος:
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας ένα σχέδιο. Εάν προσθέσετε πίτσες σε μια πίτσα και προσθέσετε περισσότερες πίτσες, θα λάβετε 1 ολόκληρη πίτσα και περισσότερες πίτσες.
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:
- Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Τώρα ας μάθουμε πώς να προσθέτουμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Όταν προσθέτουμε κλάσματα, οι παρονομαστές των κλασμάτων πρέπει να είναι οι ίδιοι. Δεν είναι όμως πάντα τα ίδια.
Για παράδειγμα, τα κλάσματα μπορούν να προστεθούν επειδή έχουν τους ίδιους παρονομαστές.
Αλλά τα κλάσματα δεν μπορούν να προστεθούν αμέσως, καθώς αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αναγωγής κλασμάτων στον ίδιο παρονομαστή. Σήμερα θα εξετάσουμε μόνο μία από αυτές, αφού οι άλλες μέθοδοι μπορεί να φαίνονται περίπλοκες για έναν αρχάριο.
Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι πρώτα γίνεται αναζήτηση του LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος για να ληφθεί ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Κάνουν το ίδιο με το δεύτερο κλάσμα - το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ένας δεύτερος πρόσθετος παράγοντας.
Στη συνέχεια, οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα.
Παράδειγμα 1. Ας προσθέσουμε τα κλάσματα και
Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 6
LCM (2 και 3) = 6
Τώρα ας επιστρέψουμε στα κλάσματα και . Αρχικά, διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και λάβετε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 6 με το 3, παίρνουμε 2.
Ο αριθμός 2 που προκύπτει είναι ο πρώτος πρόσθετος πολλαπλασιαστής. Το γράφουμε στο πρώτο κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, κάντε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το κλάσμα και σημειώστε τον πρόσθετο παράγοντα που βρίσκεται πάνω από αυτό:
Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρέστε το 6 με το 2, παίρνουμε 3.
Ο αριθμός 3 που προκύπτει είναι ο δεύτερος επιπλέον πολλαπλασιαστής. Το γράφουμε στο δεύτερο κλάσμα. Και πάλι, κάνουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το δεύτερο κλάσμα και γράφουμε τον πρόσθετο παράγοντα που βρίσκεται πάνω από αυτό:
Τώρα τα έχουμε όλα έτοιμα για προσθήκη. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Κοιτάξτε προσεκτικά σε τι έχουμε καταλήξει. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα. Ας πάρουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:
Αυτό συμπληρώνει το παράδειγμα. Αποδεικνύεται να προσθέσετε .
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας ένα σχέδιο. Εάν προσθέσετε πίτσα σε μια πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα και ένα άλλο έκτο μιας πίτσας:
Η αναγωγή των κλασμάτων στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Μειώνοντας τα κλάσματα και σε έναν κοινό παρονομαστή, πήραμε τα κλάσματα και . Αυτά τα δύο κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τα ίδια κομμάτια πίτσας. Η μόνη διαφορά θα είναι ότι αυτή τη φορά θα διαιρεθούν σε ίσα μερίδια (μειωμένα στον ίδιο παρονομαστή).
Το πρώτο σχέδιο αντιπροσωπεύει ένα κλάσμα (τέσσερα κομμάτια από τα έξι), και το δεύτερο σχέδιο αντιπροσωπεύει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα έξι). Προσθέτοντας αυτά τα κομμάτια παίρνουμε (επτά κομμάτια στα έξι). Αυτό το κλάσμα είναι ακατάλληλο, οπότε τονίσαμε ολόκληρο το μέρος του. Ως αποτέλεσμα, πήραμε (μία ολόκληρη πίτσα και μια άλλη έκτη πίτσα).
Σημειώστε ότι έχουμε περιγράψει αυτό το παράδειγμαπολύ λεπτομερής. ΣΕ Εκπαιδευτικά ιδρύματαΔεν συνηθίζεται να γράφουμε με τόση λεπτομέρεια. Πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε γρήγορα το LCM τόσο των παρονομαστών όσο και των πρόσθετων παραγόντων σε αυτούς, καθώς και να πολλαπλασιάσετε γρήγορα τους πρόσθετους παράγοντες που βρέθηκαν με τους αριθμητές και τους παρονομαστές σας. Αν ήμασταν στο σχολείο, θα έπρεπε να γράψουμε αυτό το παράδειγμα ως εξής:
Αλλά υπάρχει επίσης πίσω πλευράμετάλλια. Εάν δεν κρατάτε λεπτομερείς σημειώσεις στα πρώτα στάδια της μελέτης των μαθηματικών, τότε αρχίζουν να εμφανίζονται ερωτήσεις αυτού του είδους. «Από πού προέρχεται αυτός ο αριθμός;», «Γιατί τα κλάσματα μετατρέπονται ξαφνικά σε εντελώς διαφορετικά κλάσματα; «.
Για να διευκολύνετε την προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις παρακάτω οδηγίες βήμα προς βήμα:
- Να βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων.
- Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν πρόσθετο παράγοντα για κάθε κλάσμα.
- Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους.
- Προσθέστε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές.
- Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα του.
Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
.
Ας χρησιμοποιήσουμε τις οδηγίες που δίνονται παραπάνω.
Βήμα 1. Βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων
Βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 2, 3 και 4
Βήμα 2. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον παράγοντα για κάθε κλάσμα
Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρούμε το 12 με το 2, παίρνουμε 6. Πήραμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 6. Τον γράφουμε πάνω από το πρώτο κλάσμα:
Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 4. Τον γράφουμε πάνω από το δεύτερο κλάσμα:
Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρούμε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Παίρνουμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 3. Τον γράφουμε πάνω από το τρίτο κλάσμα:
Βήμα 3. Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους
Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Βήμα 4. Προσθέστε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Το μόνο που μένει είναι να προσθέσουμε αυτά τα κλάσματα. Προσθέστε το:
Η προσθήκη δεν χωρούσε σε μία γραμμή, οπότε μετακινήσαμε την υπόλοιπη έκφραση στην επόμενη γραμμή. Αυτό επιτρέπεται στα μαθηματικά. Όταν μια έκφραση δεν χωράει σε μια γραμμή, μεταφέρεται στην επόμενη γραμμή και είναι απαραίτητο να βάλετε ένα σύμβολο ίσου (=) στο τέλος της πρώτης γραμμής και στην αρχή της νέας γραμμής. Το σύμβολο ίσου στη δεύτερη γραμμή υποδηλώνει ότι πρόκειται για συνέχεια της έκφρασης που υπήρχε στην πρώτη γραμμή.
Βήμα 5. Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, τότε επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα της
Η απάντησή μας αποδείχθηκε ότι ήταν ακατάλληλο κλάσμα. Πρέπει να αναδείξουμε ένα ολόκληρο κομμάτι του. Τονίζουμε:
Λάβαμε απάντηση
Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές
Υπάρχουν δύο τύποι αφαίρεσης κλασμάτων:
- Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές
- Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Αρχικά, ας μάθουμε πώς να αφαιρούμε κλάσματα με παρονομαστές όμοιους.
Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Για παράδειγμα, ας βρούμε την τιμή της έκφρασης . Για να λύσετε αυτό το παράδειγμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Ας το κάνουμε:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:
Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή της έκφρασης.
Και πάλι, από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:
Αυτό το παράδειγμα γίνεται εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:
Παράδειγμα 3.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος πρέπει να αφαιρέσετε τους αριθμητές των υπόλοιπων κλασμάτων:
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην αφαίρεση των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:
- Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
- Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, τότε πρέπει να επισημάνετε ολόκληρο το μέρος της.
Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Για παράδειγμα, μπορείτε να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα επειδή τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Αλλά δεν μπορείτε να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα, καθώς αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Ο κοινός παρονομαστής βρίσκεται χρησιμοποιώντας την ίδια αρχή που χρησιμοποιήσαμε όταν προσθέταμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Πρώτα απ 'όλα, βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προκύπτει ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω από το πρώτο κλάσμα. Ομοίως, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ένας δεύτερος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω από το δεύτερο κλάσμα.
Τα κλάσματα στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των πράξεων, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα.
Παράδειγμα 1.Βρείτε το νόημα της έκφρασης:
Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει να τα μειώσετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Πρώτα βρίσκουμε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 12
LCM (3 και 4) = 12
Τώρα ας επιστρέψουμε στα κλάσματα και
Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Γράψτε ένα τέσσερα πάνω από το πρώτο κλάσμα:
Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρέστε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Γράψτε ένα τρία στο δεύτερο κλάσμα:
Τώρα είμαστε έτοιμοι για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας πάρουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:
Λάβαμε απάντηση
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας ένα σχέδιο. Αν κόψεις πίτσα από πίτσα, παίρνεις πίτσα
Αυτό αναλυτική έκδοσηλύσεις. Αν ήμασταν στο σχολείο, θα έπρεπε να λύσουμε αυτό το παράδειγμα πιο σύντομα. Μια τέτοια λύση θα μοιάζει με αυτό:
Η αναγωγή των κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Μειώνοντας αυτά τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, πήραμε τα κλάσματα και . Αυτά τα κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας, αλλά αυτή τη φορά θα χωριστούν σε ίσα μερίδια (ανάγεται στον ίδιο παρονομαστή):
Η πρώτη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (οκτώ κομμάτια από τα δώδεκα), και η δεύτερη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα δώδεκα). Κόβοντας τρία κομμάτια από οκτώ, παίρνουμε πέντε από τα δώδεκα. Το κλάσμα περιγράφει αυτά τα πέντε κομμάτια.
Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει πρώτα να τα μειώσετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Ας βρούμε το LCM των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων.
Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 10, 3 και 5. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Τώρα βρίσκουμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος.
Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 10. Διαιρούμε το 30 με το 10, παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 3. Τον γράφουμε πάνω από το πρώτο κλάσμα:
Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το δεύτερο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 30 με το 3, παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 10. Το γράφουμε πάνω από το δεύτερο κλάσμα:
Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το τρίτο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 5. Διαιρούμε το 30 με το 5, παίρνουμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 6. Τον γράφουμε πάνω από το τρίτο κλάσμα:
Τώρα όλα είναι έτοιμα για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας τελειώσουμε αυτό το παράδειγμα.
Η συνέχεια του παραδείγματος δεν χωράει σε μια γραμμή, οπότε μεταφέρουμε τη συνέχεια στην επόμενη γραμμή. Μην ξεχνάτε το σύμβολο ίσου (=) στη νέα γραμμή:
Η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ένα κανονικό κλάσμα και όλα φαίνονται να μας ταιριάζουν, αλλά είναι πολύ δυσκίνητη και άσχημη. Θα πρέπει να το κάνουμε πιο απλό. Τί μπορεί να γίνει? Μπορείτε να συντομεύσετε αυτό το κλάσμα.
Για να μειώσετε ένα κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με (GCD) των αριθμών 20 και 30.
Έτσι, βρίσκουμε το gcd των αριθμών 20 και 30:
Τώρα επιστρέφουμε στο παράδειγμά μας και διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το gcd που βρέθηκε, δηλαδή με το 10
Λάβαμε απάντηση
Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Παράδειγμα 1. Πολλαπλασιάστε ένα κλάσμα με τον αριθμό 1.
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με τον αριθμό 1
Η ηχογράφηση μπορεί να γίνει κατανοητή ως η λήψη μισού χρόνου. Για παράδειγμα, αν πάρετε πίτσα μια φορά, θα πάρετε πίτσα
Από τους νόμους του πολλαπλασιασμού γνωρίζουμε ότι εάν ο πολλαπλασιαστής και ο παράγοντας ανταλλάσσονται, το γινόμενο δεν θα αλλάξει. Εάν η έκφραση γραφτεί ως , τότε το γινόμενο θα εξακολουθεί να είναι ίσο με . Και πάλι, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού και ενός κλάσματος λειτουργεί:
Αυτός ο συμβολισμός μπορεί να γίνει κατανοητός ως λήψη του μισού του ενός. Για παράδειγμα, αν υπάρχει 1 ολόκληρη πίτσα και πάρουμε τη μισή, τότε θα έχουμε πίτσα:
Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με το 4
Η απάντηση ήταν ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας τονίσουμε ολόκληρο το μέρος του:
Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο τετάρτων 4 φορές. Για παράδειγμα, αν πάρετε 4 πίτσες, θα πάρετε δύο ολόκληρες πίτσες
Και αν ανταλλάξουμε τον πολλαπλασιαστή και τον πολλαπλασιαστή, παίρνουμε την έκφραση . Θα είναι επίσης ίσο με 2. Αυτή η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο πίτσες από τέσσερις ολόκληρες πίτσες:
Ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται με το κλάσμα και ο παρονομαστής του κλάσματος επιλύονται εάν έχουν κοινό παράγοντα μεγαλύτερο του ενός.
Για παράδειγμα, μια έκφραση μπορεί να αξιολογηθεί με δύο τρόπους.
Πρώτος τρόπος. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό 4 με τον αριθμητή του κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή του κλάσματος αμετάβλητος:
Δεύτερος τρόπος. Τα τέσσερα πολλαπλασιάζονται και τα τέσσερα στον παρονομαστή του κλάσματος μπορούν να μειωθούν. Αυτά τα τέσσερα μπορούν να μειωθούν κατά 4, αφού ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης για δύο τέσσερα είναι το ίδιο το τέσσερα:
Πήραμε το ίδιο αποτέλεσμα 3. Μετά τη μείωση των τεσσάρων, στη θέση τους σχηματίζονται νέοι αριθμοί: δύο ένας. Αλλά πολλαπλασιάζοντας το ένα με τρία και μετά διαιρώντας με ένα δεν αλλάζει τίποτα. Επομένως, η λύση μπορεί να γραφτεί εν συντομία:
Η μείωση μπορεί να πραγματοποιηθεί ακόμη και όταν αποφασίσαμε να χρησιμοποιήσουμε την πρώτη μέθοδο, αλλά στο στάδιο του πολλαπλασιασμού του αριθμού 4 και του αριθμητή 3 αποφασίσαμε να χρησιμοποιήσουμε τη μείωση:
Αλλά για παράδειγμα, η έκφραση μπορεί να υπολογιστεί μόνο με τον πρώτο τρόπο - πολλαπλασιάστε το 7 με τον παρονομαστή του κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:
Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο αριθμός 7 και ο παρονομαστής του κλάσματος δεν έχουν κοινό διαιρέτη μεγαλύτερο του ενός και συνεπώς δεν ακυρώνουν.
Μερικοί μαθητές συντομεύουν κατά λάθος τον αριθμό που πολλαπλασιάζεται και τον αριθμητή του κλάσματος. Δεν μπορείς να το κάνεις αυτό. Για παράδειγμα, η ακόλουθη καταχώριση δεν είναι σωστή:
Η μείωση ενός κλάσματος σημαίνει ότι και αριθμητής και παρονομαστήςθα διαιρεθεί με τον ίδιο αριθμό. Στην κατάσταση με την έκφραση, η διαίρεση εκτελείται μόνο στον αριθμητή, αφού η γραφή αυτού είναι ίδια με τη σύνταξη . Βλέπουμε ότι η διαίρεση εκτελείται μόνο στον αριθμητή και δεν υπάρχει διαίρεση στον παρονομαστή.
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων
Για να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επισημάνετε ολόκληρο το τμήμα της.
Παράδειγμα 1.Βρείτε την τιμή της έκφρασης.
Λάβαμε απάντηση. Συνιστάται να μειωθεί αυτό το κλάσμα. Το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά 2. Τότε το τελικό διάλυμα θα πάρει την ακόλουθη μορφή:
Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή σαν να παίρνεις μια πίτσα από μισή πίτσα. Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:
Πώς να πάρετε τα δύο τρίτα από αυτό το μισό; Πρώτα πρέπει να χωρίσετε αυτό το μισό σε τρία ίσα μέρη:
Και πάρτε δύο από αυτά τα τρία κομμάτια:
Θα φτιάξουμε πίτσα. Θυμηθείτε πώς μοιάζει η πίτσα όταν χωρίζεται σε τρία μέρη:
Ένα κομμάτι αυτής της πίτσας και τα δύο κομμάτια που πήραμε θα έχουν τις ίδιες διαστάσεις:
Με άλλα λόγια, μιλάμε για πίτσα ίδιου μεγέθους. Επομένως η αξία της έκφρασης είναι
Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:
Η απάντηση ήταν ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας τονίσουμε ολόκληρο το μέρος του:
Παράδειγμα 3.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:
Η απάντηση αποδείχθηκε κανονικό κλάσμα, αλλά καλό θα ήταν να συντομευόταν. Για να μειώσετε αυτό το κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD) των αριθμών 105 και 450.
Λοιπόν, ας βρούμε το gcd των αριθμών 105 και 450:
Τώρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της απάντησής μας με το gcd που βρήκαμε τώρα, δηλαδή με το 15
Αναπαράσταση ακέραιου αριθμού ως κλάσμα
Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως . Αυτό δεν θα αλλάξει την έννοια του πέντε, αφού η έκφραση σημαίνει "ο αριθμός πέντε διαιρούμενος με ένα" και αυτό, όπως γνωρίζουμε, είναι ίσο με πέντε:
Αμοιβαίοι αριθμοί
Τώρα θα εξοικειωθούμε με πολύ ενδιαφέρον θέμαστα μαθηματικά. Ονομάζεται «αντίστροφοι αριθμοί».
Ορισμός. Αντίστροφη στον αριθμόένα είναι ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί μεένα δίνει ένα.
Ας αντικαταστήσουμε σε αυτόν τον ορισμό αντί για τη μεταβλητή ένανούμερο 5 και προσπαθήστε να διαβάσετε τον ορισμό:
Αντίστροφη στον αριθμό 5 είναι ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με 5 δίνει ένα.
Είναι δυνατόν να βρεθεί ένας αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος με το 5 να δίνει ένα; Αποδεικνύεται ότι είναι δυνατό. Ας φανταστούμε το πέντε ως κλάσμα:
Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε αυτό το κλάσμα από μόνο του, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Με άλλα λόγια, ας πολλαπλασιάσουμε το κλάσμα από μόνο του, μόνο ανάποδα:
Τι θα συμβεί ως αποτέλεσμα αυτού; Αν συνεχίσουμε να λύνουμε αυτό το παράδειγμα, θα έχουμε ένα:
Αυτό σημαίνει ότι το αντίστροφο του αριθμού 5 είναι ο αριθμός, αφού όταν πολλαπλασιάσετε το 5 με το παίρνετε ένα.
Το αντίστροφο ενός αριθμού μπορεί επίσης να βρεθεί για οποιονδήποτε άλλο ακέραιο.
Εύρημα αμοιβαίος αριθμόςΕίναι επίσης δυνατό για οποιοδήποτε άλλο κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, απλώς αναποδογυρίστε το.
Διαιρώντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό
Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:
Ας το χωρίσουμε εξίσου στα δύο. Πόση πίτσα θα πάρει κάθε άτομο;
Φαίνεται ότι μετά τη διαίρεση της μισής πίτσας, προέκυψαν δύο ίσα κομμάτια, καθένα από τα οποία αποτελεί μια πίτσα. Έτσι όλοι παίρνουν μια πίτσα.
Μπορείτε να κάνετε τα πάντα με τα κλάσματα, συμπεριλαμβανομένης της διαίρεσης. Αυτό το άρθρο δείχνει τη διαίρεση των συνηθισμένων κλασμάτων. Θα δοθούν ορισμοί και θα συζητηθούν παραδείγματα. Ας σταθούμε αναλυτικά στη διαίρεση των κλασμάτων με τους φυσικούς αριθμούς και το αντίστροφο. Θα συζητηθεί η διαίρεση ενός κοινού κλάσματος με έναν μικτό αριθμό.
Διαίρεση κλασμάτων
Η διαίρεση είναι το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού. Κατά τη διαίρεση, ο άγνωστος παράγοντας βρίσκεται με το γνωστό γινόμενο ενός άλλου παράγοντα, όπου η δεδομένη σημασία του διατηρείται με συνηθισμένα κλάσματα.
Εάν είναι απαραίτητο να διαιρέσετε ένα κοινό κλάσμα a b με το c d, τότε για να προσδιορίσετε έναν τέτοιο αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσετε με τον διαιρέτη c d, αυτό θα δώσει τελικά το μέρισμα a b. Ας πάρουμε έναν αριθμό και τον γράψουμε a b · d c , όπου d c είναι το αντίστροφο του c d αριθμού. Οι ισότητες μπορούν να γραφτούν χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, δηλαδή: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, όπου η παράσταση a b · d c είναι το πηλίκο της διαίρεσης του a b με το c d.
Από εδώ λαμβάνουμε και διατυπώνουμε τον κανόνα για τη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων:
Ορισμός 1
Για να διαιρέσετε ένα κοινό κλάσμα a b με c d, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.
Ας γράψουμε τον κανόνα σε μορφή έκφρασης: α β: γ δ = α β · δ γ
Οι κανόνες της διαίρεσης καταλήγουν στον πολλαπλασιασμό. Για να το διατηρήσετε, πρέπει να έχετε καλή κατανόηση του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων.
Ας προχωρήσουμε στην εξέταση της διαίρεσης των συνηθισμένων κλασμάτων.
Παράδειγμα 1
Διαιρέστε το 9 7 με το 5 3. Γράψε το αποτέλεσμα ως κλάσμα.
Λύση
Ο αριθμός 5 3 είναι το αμοιβαίο κλάσμα 3 5. Είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων. Γράφουμε αυτήν την έκφραση ως εξής: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Απάντηση: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Κατά τη μείωση των κλασμάτων, διαχωρίστε ολόκληρο το μέρος εάν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή.
Παράδειγμα 2
Διαιρέστε 8 15: 24 65. Γράψε την απάντηση ως κλάσμα.
Λύση
Για να λύσετε, πρέπει να μετακινηθείτε από τη διαίρεση στον πολλαπλασιασμό. Ας το γράψουμε με αυτή τη μορφή: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Είναι απαραίτητο να κάνετε μια μείωση και αυτό γίνεται ως εξής: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Επιλέξτε ολόκληρο το μέρος και λάβετε 13 9 = 1 4 9.
Απάντηση: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Διαίρεση ενός έκτακτου κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό
Χρησιμοποιούμε τον κανόνα για τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό: για να διαιρέσετε το b με έναν φυσικό αριθμό n, χρειάζεται μόνο να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή με το n. Από εδώ παίρνουμε την έκφραση: a b: n = a b · n.
Ο κανόνας της διαίρεσης είναι συνέπεια του κανόνα του πολλαπλασιασμού. Επομένως η παρουσίαση φυσικός αριθμόςμε τη μορφή κλάσματος θα δώσει μια ισότητα αυτού του τύπου: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n .
Θεωρήστε αυτή τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό.
Παράδειγμα 3
Διαιρέστε το κλάσμα 16 45 με τον αριθμό 12.
Λύση
Ας εφαρμόσουμε τον κανόνα για τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό. Λαμβάνουμε μια έκφραση της μορφής 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Ας μειώσουμε το κλάσμα. Παίρνουμε 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Απάντηση: 16 45: 12 = 4 135 .
Διαίρεση ενός φυσικού αριθμού με ένα κλάσμα
Ο κανόνας της διαίρεσης είναι παρόμοιος Οο κανόνας για τη διαίρεση ενός φυσικού αριθμού με ένα συνηθισμένο κλάσμα: για να διαιρέσουμε έναν φυσικό αριθμό n με ένα συνηθισμένο κλάσμα a b, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό n με το αντίστροφο του κλάσματος a b.
Με βάση τον κανόνα, έχουμε n: a b = n · b a, και χάρη στον κανόνα του πολλαπλασιασμού ενός φυσικού αριθμού με ένα συνηθισμένο κλάσμα, παίρνουμε την έκφρασή μας με τη μορφή n: a b = n · b a. Είναι απαραίτητο να εξετάσουμε αυτή τη διαίρεση με ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 4
Διαιρέστε το 25 με το 15 28.
Λύση
Πρέπει να περάσουμε από τη διαίρεση στον πολλαπλασιασμό. Ας το γράψουμε με τη μορφή της έκφρασης 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Ας μειώσουμε το κλάσμα και ας πάρουμε το αποτέλεσμα με τη μορφή του κλάσματος 46 2 3.
Απάντηση: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Διαίρεση κλάσματος με μικτό αριθμό
Όταν διαιρείτε ένα κοινό κλάσμα με έναν μικτό αριθμό, μπορείτε εύκολα να αρχίσετε να διαιρείτε κοινά κλάσματα. Πρέπει να γίνει μεταγραφή μικτός αριθμόςσε ακατάλληλο κλάσμα.
Παράδειγμα 5
Διαιρέστε το κλάσμα 35 16 με 3 1 8.
Λύση
Επειδή το 3 1 8 είναι μικτός αριθμός, ας τον παραστήσουμε ως ακατάλληλο κλάσμα. Τότε παίρνουμε 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Τώρα ας διαιρέσουμε τα κλάσματα. Παίρνουμε 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Απάντηση: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Η διαίρεση ενός μικτού αριθμού γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως οι συνηθισμένοι αριθμοί.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων.
Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)
Αυτή η πράξη είναι πολύ πιο ωραία από την πρόσθεση-αφαίρεση! Γιατί είναι πιο εύκολο. Ως υπενθύμιση, για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές (αυτός θα είναι ο αριθμητής του αποτελέσματος) και οι παρονομαστές (αυτός θα είναι ο παρονομαστής). Αυτό είναι:
Για παράδειγμα:
Όλα είναι εξαιρετικά απλά. Και παρακαλώ μην ψάχνετε για κοινό παρονομαστή! Δεν τον χρειάζεται εδώ...
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να αντιστρέψετε δεύτερος(αυτό είναι σημαντικό!) κλάσμα και πολλαπλασιάστε το, δηλ.:
Για παράδειγμα:
Αν συναντήσετε πολλαπλασιασμό ή διαίρεση με ακέραιους και κλάσματα, είναι εντάξει. Όπως και με την πρόσθεση, κάνουμε ένα κλάσμα από έναν ακέραιο αριθμό με ένα στον παρονομαστή - και προχωράμε! Για παράδειγμα:
Στο γυμνάσιο, συχνά πρέπει να ασχοληθείς με τριώροφα (ή και τετραώροφα!) κλάσματα. Για παράδειγμα:
Πώς μπορώ να κάνω αυτό το κλάσμα να φαίνεται αξιοπρεπές; Ναι, πολύ απλό! Χρησιμοποιήστε διαίρεση δύο σημείων:
Αλλά μην ξεχνάτε τη σειρά διαίρεσης! Σε αντίθεση με τον πολλαπλασιασμό, αυτό είναι πολύ σημαντικό εδώ! Φυσικά, δεν θα μπερδεύουμε το 4:2 ή το 2:4. Αλλά είναι εύκολο να κάνεις ένα λάθος σε ένα κλάσμα τριών ορόφων. Σημειώστε για παράδειγμα:
Στην πρώτη περίπτωση (έκφραση στα αριστερά):
Στο δεύτερο (έκφραση στα δεξιά):
Νιώθεις τη διαφορά; 4 και 1/9!
Τι καθορίζει τη σειρά διαίρεσης; Είτε με αγκύλες, είτε (όπως εδώ) με το μήκος οριζόντιων γραμμών. Αναπτύξτε το μάτι σας. Και αν δεν υπάρχουν αγκύλες ή παύλες, όπως:
μετά διαιρέστε και πολλαπλασιάστε με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά!
Και μια άλλη πολύ απλή και σημαντική τεχνική. Σε δράσεις με πτυχία, θα σας είναι τόσο χρήσιμο! Ας διαιρέσουμε το ένα με οποιοδήποτε κλάσμα, για παράδειγμα, με το 13/15:
Ο πυροβολισμός ανατράπηκε! Και αυτό συμβαίνει πάντα. Όταν διαιρούμε το 1 με οποιοδήποτε κλάσμα, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο κλάσμα, μόνο ανάποδα.
Αυτό είναι για πράξεις με κλάσματα. Το θέμα είναι αρκετά απλό, αλλά δίνει περισσότερα από αρκετά λάθη. Σημείωση πρακτικές συμβουλές, και θα είναι λιγότερα από αυτά (λάθη)!
Πρακτικές συμβουλές:
1. Το πιο σημαντικό πράγμα όταν εργάζεστε με κλασματικές εκφράσεις είναι η ακρίβεια και η προσοχή! Δεν είναι κοινές λέξεις, όχι καλές ευχές! Αυτό είναι επιτακτική ανάγκη! Κάνετε όλους τους υπολογισμούς για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους ως μια ολοκληρωμένη εργασία, εστιασμένη και ξεκάθαρη. Είναι καλύτερα να γράψετε δύο επιπλέον γραμμές στο προσχέδιό σας παρά να ανακατεύεστε όταν κάνετε νοητικούς υπολογισμούς.
2. Σε παραδείγματα με ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙκλάσματα - μεταβείτε σε συνηθισμένα κλάσματα.
3. Μειώνουμε όλα τα κλάσματα μέχρι να σταματήσουν.
4. Μειώνουμε τις πολυεπίπεδες κλασματικές εκφράσεις σε συνηθισμένες χρησιμοποιώντας διαίρεση σε δύο σημεία (ακολουθούμε τη σειρά διαίρεσης!).
5. Διαιρέστε μια μονάδα με ένα κλάσμα στο κεφάλι σας, απλώς αναποδογυρίζοντας το κλάσμα.
Εδώ είναι οι εργασίες που πρέπει οπωσδήποτε να ολοκληρώσετε. Οι απαντήσεις δίνονται μετά από όλες τις εργασίες. Χρησιμοποιήστε τα υλικά για αυτό το θέμα και πρακτικές συμβουλές. Υπολογίστε πόσα παραδείγματα μπορέσατε να λύσετε σωστά. Η πρώτη φορά! Χωρίς αριθμομηχανή! Και βγάλτε τα σωστά συμπεράσματα...
Θυμηθείτε - η σωστή απάντηση είναι που έλαβε από τη δεύτερη (ειδικά την τρίτη) φορά δεν μετράει!Τέτοια είναι η σκληρή ζωή.
Ετσι, επίλυση σε λειτουργία εξέτασης ! Παρεμπιπτόντως, πρόκειται ήδη για προετοιμασία για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους. Λύνουμε το παράδειγμα, το ελέγχουμε, λύνουμε το επόμενο. Αποφασίσαμε τα πάντα - ελέγξαμε ξανά από την πρώτη έως την τελευταία. Αλλά μόνο Επειτακοιτάξτε τις απαντήσεις.
Υπολογίζω:
Εχεις αποφασίσει?
Αναζητούμε απαντήσεις που ταιριάζουν με τις δικές σας. Τα έγραψα επίτηδες άτακτα, μακριά από πειρασμούς, ας πούμε... Ιδού, οι απαντήσεις, γραμμένες με άνω τελείες.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Τώρα βγάζουμε συμπεράσματα. Αν όλα πάνε καλά, χαίρομαι για σένα! Οι βασικοί υπολογισμοί με κλάσματα δεν είναι δικό σου πρόβλημα! Μπορείς να κάνεις πιο σοβαρά πράγματα. Αν όχι...
Άρα έχετε ένα από τα δύο προβλήματα. Ή και τα δύο ταυτόχρονα.) Έλλειψη γνώσης και (ή) απροσεξία. Αλλά αυτό διαλυτός Προβλήματα.
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
