Οι μαθητές εισάγονται στα κλάσματα της Ε' τάξης. Παλαιότερα, τα άτομα που ήξεραν πώς να εκτελούν λειτουργίες με κλάσματα θεωρούνταν πολύ έξυπνα. Το πρώτο κλάσμα ήταν το 1/2, δηλαδή το μισό, μετά εμφανίστηκε το 1/3 κ.λπ. Για αρκετούς αιώνες τα παραδείγματα θεωρούνταν πολύ περίπλοκα. Τώρα έχουν αναπτυχθεί λεπτομερείς κανόνες για τη μετατροπή κλασμάτων, πρόσθεση, πολλαπλασιασμό και άλλες πράξεις. Αρκεί να κατανοήσετε λίγο το υλικό και η λύση θα είναι εύκολη.
Ένα συνηθισμένο κλάσμα, που ονομάζεται απλό κλάσμα, γράφεται ως διαίρεση δύο αριθμών: m και n.
Μ είναι το μέρισμα, δηλαδή ο αριθμητής του κλάσματος και ο διαιρέτης n ονομάζεται παρονομαστής.
Προσδιορίστε τα κατάλληλα κλάσματα (μ< n) а также неправильные (m >ιδ).
Ένα σωστό κλάσμα είναι μικρότερο από ένα (για παράδειγμα, 5/6 - αυτό σημαίνει ότι λαμβάνονται 5 μέρη από ένα· 2/8 - 2 μέρη λαμβάνονται από ένα). Ένα ακατάλληλο κλάσμα είναι ίσο ή μεγαλύτερο από 1 (8/7 - η μονάδα είναι 7/7 και ένα επιπλέον μέρος λαμβάνεται ως συν).
Άρα, το ένα είναι όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής συμπίπτουν (3/3, 12/12, 100/100 και άλλα).
Πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα, βαθμός 6
Μπορείτε να κάνετε τα εξής με απλά κλάσματα:
- Αναπτύξτε ένα κλάσμα. Εάν πολλαπλασιάσετε το πάνω και το κάτω μέρος του κλάσματος με οποιονδήποτε ίδιο αριθμό (απλώς όχι με μηδέν), τότε η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει (3/5 = 6/10 (απλά πολλαπλασιάζεται με 2).
- Η μείωση των κλασμάτων είναι παρόμοια με την επέκταση, αλλά εδώ διαιρούνται με έναν αριθμό.
- Συγκρίνω. Αν δύο κλάσματα έχουν τους ίδιους αριθμητές, τότε το κλάσμα με τον μικρότερο παρονομαστή θα είναι μεγαλύτερο. Αν οι παρονομαστές είναι ίδιοι, τότε το κλάσμα με τον μεγαλύτερο αριθμητή θα είναι μεγαλύτερο.
- Εκτελέστε πρόσθεση και αφαίρεση. Με τους ίδιους παρονομαστές, αυτό είναι εύκολο να γίνει (συνοψίζουμε τα πάνω μέρη, αλλά το κάτω μέρος δεν αλλάζει). Εάν είναι διαφορετικά, θα πρέπει να βρείτε έναν κοινό παρονομαστή και πρόσθετους παράγοντες.
- Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων.
Ας δούμε παραδείγματα πράξεων με κλάσματα παρακάτω.
Μειωμένα κλάσματα βαθμού 6
Η μείωση είναι να διαιρέσει το πάνω και το κάτω μέρος ενός κλάσματος με κάποιο ίσο αριθμό.
Το σχήμα δείχνει απλά παραδείγματα μείωσης. Στην πρώτη επιλογή, μπορείτε αμέσως να μαντέψετε ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής διαιρούνται με το 2.
Σε μια σημείωση! Αν ο αριθμός είναι άρτιος, τότε διαιρείται με το 2 ούτως ή άλλως. Μονοί αριθμοί- αυτό είναι 2, 4, 6...32 8 (τελειώνει με ζυγό αριθμό) κ.λπ.
Στη δεύτερη περίπτωση, όταν διαιρούμε το 6 με το 18, είναι αμέσως σαφές ότι οι αριθμοί διαιρούνται με το 2. Διαιρώντας, παίρνουμε 3/9. Αυτό το κλάσμα διαιρείται περαιτέρω με το 3. Τότε η απάντηση είναι 1/3. Αν πολλαπλασιάσετε και τους δύο διαιρέτες: 2 επί 3, θα λάβετε 6. Αποδεικνύεται ότι το κλάσμα διαιρέθηκε με το έξι. Αυτή η σταδιακή διαίρεση ονομάζεται διαδοχική μείωση των κλασμάτων με κοινούς διαιρέτες.
Μερικοί άνθρωποι θα διαιρεθούν αμέσως με το 6, άλλοι θα πρέπει να διαιρεθούν με μέρη. Το κύριο πράγμα είναι ότι στο τέλος μένει ένα κλάσμα που δεν μπορεί να μειωθεί με κανέναν τρόπο.
Σημειώστε ότι εάν ένας αριθμός αποτελείται από ψηφία, η πρόσθεση των οποίων έχει ως αποτέλεσμα έναν αριθμό που διαιρείται με το 3, τότε ο αρχικός μπορεί επίσης να μειωθεί κατά 3. Παράδειγμα: αριθμός 341. Προσθέστε τους αριθμούς: 3 + 4 + 1 = 8 (8 δεν διαιρείται με το 3, Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 341 δεν μπορεί να μειωθεί κατά 3 χωρίς υπόλοιπο). Άλλο παράδειγμα: 264. Προσθέστε: 2 + 6 + 4 = 12 (διαιρείται με 3). Παίρνουμε: 264: 3 = 88. Αυτό θα διευκολύνει τη μείωση των μεγάλων αριθμών.
Εκτός από τη μέθοδο της διαδοχικής αναγωγής των κλασμάτων με κοινούς διαιρέτες, υπάρχουν και άλλες μέθοδοι.
Το GCD είναι ο μεγαλύτερος διαιρέτης για έναν αριθμό. Έχοντας βρει το gcd για τον παρονομαστή και τον αριθμητή, μπορείτε να μειώσετε αμέσως το κλάσμα στον επιθυμητό αριθμό. Η αναζήτηση πραγματοποιείται με σταδιακή διαίρεση κάθε αριθμού. Στη συνέχεια, εξετάζουν ποιοι διαιρέτες συμπίπτουν· εάν υπάρχουν αρκετοί από αυτούς (όπως στην παρακάτω εικόνα), τότε πρέπει να πολλαπλασιάσετε.
Μικτά κλάσματα Βαθμός 6
Όλα τα ακατάλληλα κλάσματα μπορούν να μετατραπούν σε μικτά κλάσματα διαχωρίζοντας ολόκληρο το τμήμα από αυτά. Ολόκληρος ο αριθμός είναι γραμμένος στα αριστερά.
Συχνά πρέπει να κάνετε έναν μικτό αριθμό από ένα ακατάλληλο κλάσμα. Η διαδικασία μετατροπής φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα: 22/4 = 22 διαιρούμενο με 4, παίρνουμε 5 ακέραιους αριθμούς (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Παίρνουμε 5 ακέραιους και 2/4 (ο παρονομαστής δεν αλλάζει). Δεδομένου ότι το κλάσμα μπορεί να μειωθεί, διαιρούμε το πάνω και το κάτω μέρος με 2.
Είναι εύκολο να μετατρέψετε έναν μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα (αυτό είναι απαραίτητο κατά τη διαίρεση και τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων). Για να το κάνετε αυτό: πολλαπλασιάστε τον ακέραιο με το κάτω μέρος του κλάσματος και προσθέστε τον αριθμητή σε αυτό. Ετοιμος. Ο παρονομαστής δεν αλλάζει.
Υπολογισμοί με κλάσματα ΣΤ' δημοτικού
Μπορούν να προστεθούν μικτοί αριθμοί. Εάν οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι, τότε είναι εύκολο να το κάνετε: προσθέστε τα ακέραια μέρη και τους αριθμητές, ο παρονομαστής παραμένει στη θέση του.
Όταν προσθέτουμε αριθμούς με διαφορετικούς παρονομαστές, η διαδικασία είναι πιο περίπλοκη. Αρχικά, μειώνουμε τους αριθμούς σε έναν μικρότερο παρονομαστή (LSD).
Στο παρακάτω παράδειγμα, για τους αριθμούς 9 και 6, ο παρονομαστής θα είναι 18. Μετά από αυτό, χρειάζονται πρόσθετοι παράγοντες. Για να τα βρείτε, θα πρέπει να διαιρέσετε το 18 με το 9, έτσι βρίσκετε τον πρόσθετο αριθμό - 2. Τον πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμητή 4 για να πάρουμε το κλάσμα 8/18). Το ίδιο κάνουν και με το δεύτερο κλάσμα. Ήδη προσθέτουμε τα κλάσματα που έχουν μετατραπεί (ακέραιους και αριθμητές χωριστά, δεν αλλάζουμε τον παρονομαστή). Στο παράδειγμα, η απάντηση έπρεπε να μετατραπεί σε σωστό κλάσμα (αρχικά ο αριθμητής αποδείχθηκε μεγαλύτερος από τον παρονομαστή).
Λάβετε υπόψη ότι όταν τα κλάσματα διαφέρουν, ο αλγόριθμος των ενεργειών είναι ο ίδιος.
Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, είναι σημαντικό να τοποθετούνται και τα δύο κάτω από την ίδια ευθεία. Αν ο αριθμός είναι μεικτός, τότε τον μετατρέπουμε σε απλό κλάσμα. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε το πάνω και το κάτω μέρος και σημειώστε την απάντηση. Εάν είναι σαφές ότι τα κλάσματα μπορούν να μειωθούν, τότε τα μειώνουμε αμέσως.
Στο παραπάνω παράδειγμα, δεν χρειάστηκε να κόψετε τίποτα, απλώς γράψατε την απάντηση και επισημάνατε ολόκληρο το μέρος.
Σε αυτό το παράδειγμα, έπρεπε να μειώσουμε τους αριθμούς κάτω από μία γραμμή. Αν και μπορείτε να συντομεύσετε την έτοιμη απάντηση.
Κατά τη διαίρεση, ο αλγόριθμος είναι σχεδόν ο ίδιος. Πρώτα μεταμορφώνουμε μικτό κλάσμαστο λάθος, στη συνέχεια γράψτε τους αριθμούς κάτω από μια γραμμή, αντικαθιστώντας τη διαίρεση με τον πολλαπλασιασμό. Μην ξεχάσετε να ανταλλάξετε το πάνω και το κάτω μέρος του δεύτερου κλάσματος (αυτός είναι ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων).
Αν χρειαστεί, μειώνουμε τους αριθμούς (στο παρακάτω παράδειγμα τους μειώσαμε κατά πέντε και δύο). Μετατρέπουμε το ακατάλληλο κλάσμα επισημαίνοντας ολόκληρο το τμήμα.
Βασικά προβλήματα κλασμάτων ΣΤ τάξη
Το βίντεο δείχνει μερικές ακόμη εργασίες. Χρησιμοποιείται για λόγους σαφήνειας γραφικές εικόνεςλύσεις που θα σας βοηθήσουν να οπτικοποιήσετε τα κλάσματα.
Παραδείγματα πολλαπλασιασμού κλασμάτων βαθμού 6 με επεξηγήσεις
Τα κλάσματα πολλαπλασιασμού γράφονται κάτω από μια γραμμή. Στη συνέχεια μειώνονται με διαίρεση με τους ίδιους αριθμούς (για παράδειγμα, το 15 στον παρονομαστή και το 5 στον αριθμητή μπορεί να διαιρεθεί με το πέντε).
Σύγκριση κλασμάτων βαθμού 6
Για να συγκρίνετε τα κλάσματα, πρέπει να θυμάστε δύο απλούς κανόνες.
Κανόνας 1. Αν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί
Κανόνας 2. Όταν οι παρονομαστές είναι ίδιοι
Για παράδειγμα, συγκρίνετε τα κλάσματα 7/12 και 2/3.
- Κοιτάμε τους παρονομαστές, δεν ταιριάζουν. Πρέπει λοιπόν να βρείτε ένα κοινό.
- Για τα κλάσματα, ο κοινός παρονομαστής είναι 12.
- Αρχικά διαιρούμε το 12 με το κάτω μέρος του πρώτου κλάσματος: 12: 12 = 1 (αυτός είναι ένας πρόσθετος παράγοντας για το 1ο κλάσμα).
- Τώρα διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4 - επιπλέον. συντελεστής του 2ου κλάσματος.
- Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς που προκύπτουν με τους αριθμητές για να μετατρέψουμε τα κλάσματα: 1 x 7 = 7 (πρώτο κλάσμα: 7/12). 4 x 2 = 8 (δεύτερο κλάσμα: 8/12).
- Τώρα μπορούμε να συγκρίνουμε: 7/12 και 8/12. Αποδείχθηκε: 7/12< 8/12.
Για να αναπαραστήσετε καλύτερα τα κλάσματα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε εικόνες για σαφήνεια όπου ένα αντικείμενο χωρίζεται σε μέρη (για παράδειγμα, ένα κέικ). Αν θέλετε να συγκρίνετε 4/7 και 2/3, τότε στην πρώτη περίπτωση το κέικ χωρίζεται σε 7 μέρη και επιλέγονται 4 από αυτά. Στο δεύτερο, χωρίζονται σε 3 μέρη και παίρνουν 2. Με γυμνό μάτι θα είναι ξεκάθαρο ότι τα 2/3 θα είναι μεγαλύτερα από τα 4/7.
Παραδείγματα με κλάσματα βαθμού 6 για εκπαίδευση
Μπορείτε να ολοκληρώσετε τις παρακάτω εργασίες ως πρακτική.
- Συγκρίνετε κλάσματα
- εκτελέσει πολλαπλασιασμό
Συμβουλή: εάν είναι δύσκολο να βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή για τα κλάσματα (ειδικά αν οι τιμές τους είναι μικρές), τότε μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του πρώτου και του δεύτερου κλάσματος. Παράδειγμα: 2/8 και 5/9. Η εύρεση του παρονομαστή τους είναι απλή: πολλαπλασιάστε το 8 με το 9, θα πάρετε 72.
Επίλυση εξισώσεων με κλάσματα ΣΤ' δημοτικού
Η επίλυση εξισώσεων απαιτεί να θυμόμαστε πράξεις με κλάσματα: πολλαπλασιασμό, διαίρεση, αφαίρεση και πρόσθεση. Εάν ένας από τους παράγοντες είναι άγνωστος, τότε το γινόμενο (σύνολο) διαιρείται με τον γνωστό παράγοντα, δηλαδή πολλαπλασιάζονται τα κλάσματα (ο δεύτερος αναποδογυρίζεται).
Εάν το μέρισμα είναι άγνωστο, τότε ο παρονομαστής πολλαπλασιάζεται με τον διαιρέτη και για να βρείτε τον διαιρέτη πρέπει να διαιρέσετε το μέρισμα με το πηλίκο.
Ας παρουσιάσουμε απλά παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων:
Εδώ χρειάζεται μόνο να παράγετε τη διαφορά των κλασμάτων, χωρίς να οδηγείτε σε κοινό παρονομαστή.
Η απάντηση βγήκε ως ακατάλληλο κλάσμα. Μπορεί να μετατραπεί σε 1 ολόκληρο και 3/5.
Στη δεύτερη μέθοδο, ο αριθμητής και ο παρονομαστής πολλαπλασιάστηκαν επί 4 για να ακυρωθεί το κάτω μέρος αντί να αναποδογυριστεί ο παρονομαστής.
Τώρα που μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να πολλαπλασιάζουμε μεμονωμένα κλάσματα, μπορούμε να δούμε περισσότερα σύνθετα σχέδια. Για παράδειγμα, τι γίνεται αν το ίδιο πρόβλημα περιλαμβάνει την πρόσθεση, την αφαίρεση και τον πολλαπλασιασμό κλασμάτων;
Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να μετατρέψετε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα. Στη συνέχεια εκτελούμε τις απαιτούμενες ενέργειες διαδοχικά - με την ίδια σειρά όπως για τους συνηθισμένους αριθμούς. Και συγκεκριμένα:
- Πρώτα γίνεται η εκθεσιμότητα - απαλλαγείτε από όλες τις εκφράσεις που περιέχουν εκθέτες.
- Στη συνέχεια - διαίρεση και πολλαπλασιασμός.
- Το τελευταίο βήμα είναι η πρόσθεση και η αφαίρεση.
Φυσικά, εάν υπάρχουν παρενθέσεις στην έκφραση, αλλάζει η σειρά των πράξεων - ό,τι βρίσκεται μέσα στις παρενθέσεις πρέπει πρώτα να μετρηθεί. Και θυμηθείτε τα ακατάλληλα κλάσματα: πρέπει να επισημάνετε ολόκληρο το μέρος μόνο όταν έχουν ήδη ολοκληρωθεί όλες οι άλλες ενέργειες.
Ας μετατρέψουμε όλα τα κλάσματα από την πρώτη έκφραση σε ακατάλληλα και, στη συνέχεια, εκτελέστε τα ακόλουθα βήματα:
Τώρα ας βρούμε την τιμή της δεύτερης έκφρασης. Εδώ κλάσματα με ολόκληρο μέροςόχι, αλλά υπάρχουν παρενθέσεις, οπότε κάνουμε πρώτα την πρόσθεση και μόνο μετά τη διαίρεση. Σημειώστε ότι 14 = 7 · 2. Επειτα:
Τέλος, εξετάστε το τρίτο παράδειγμα. Εδώ υπάρχουν αγκύλες και πτυχίο - καλύτερα να τα μετρήσετε χωριστά. Θεωρώντας ότι 9 = 3 3, έχουμε:
Δώστε προσοχή στο τελευταίο παράδειγμα. Για να αυξήσετε ένα κλάσμα σε δύναμη, πρέπει να αυξήσετε χωριστά τον αριθμητή σε αυτήν την ισχύ και ξεχωριστά τον παρονομαστή.
Μπορείτε να αποφασίσετε διαφορετικά. Αν θυμηθούμε τον ορισμό του βαθμού, το πρόβλημα θα περιοριστεί στον συνηθισμένο πολλαπλασιασμό των κλασμάτων:
Πολυόροφα κλάσματα
Μέχρι τώρα, θεωρούσαμε μόνο «καθαρά» κλάσματα, όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι συνηθισμένοι αριθμοί. Αυτό είναι αρκετά συνεπές με τον ορισμό ενός αριθμητικού κλάσματος που δόθηκε στο πρώτο μάθημα.
Τι γίνεται όμως αν βάλετε ένα πιο σύνθετο αντικείμενο στον αριθμητή ή στον παρονομαστή; Για παράδειγμα, ένα άλλο αριθμητικό κλάσμα; Τέτοιες κατασκευές προκύπτουν αρκετά συχνά, ειδικά όταν εργάζεστε με μακριές εκφράσεις. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα:
Υπάρχει μόνο ένας κανόνας για την εργασία με κλάσματα πολλαπλών επιπέδων: πρέπει να τα ξεφορτωθείτε αμέσως. Η αφαίρεση των «έξτρα» δαπέδων είναι αρκετά απλή, αν θυμάστε ότι η κάθετο σημαίνει την τυπική λειτουργία διαίρεσης. Επομένως, οποιοδήποτε κλάσμα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
Χρησιμοποιώντας αυτό το γεγονός και ακολουθώντας τη διαδικασία, μπορούμε εύκολα να αναγάγουμε οποιοδήποτε πολυώροφο κλάσμα σε ένα συνηθισμένο. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα:
Εργο. Μετατρέψτε τα πολυώροφα κλάσματα σε συνηθισμένα:
Σε κάθε περίπτωση, ξαναγράφουμε το κύριο κλάσμα, αντικαθιστώντας τη διαχωριστική γραμμή με ένα σύμβολο διαίρεσης. Θυμηθείτε επίσης ότι οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα με παρονομαστή 1. Δηλαδή 12 = 12/1; 3 = 3/1. Παίρνουμε:
ΣΕ τελευταίο παράδειγματα κλάσματα ακυρώθηκαν πριν από τον τελικό πολλαπλασιασμό.
Προδιαγραφές εργασίας με κλάσματα πολλαπλών επιπέδων
Υπάρχει μια λεπτότητα στα κλάσματα πολλαπλών επιπέδων που πρέπει πάντα να θυμόμαστε, διαφορετικά μπορείτε να πάρετε τη λάθος απάντηση, ακόμα κι αν όλοι οι υπολογισμοί ήταν σωστοί. Ρίξε μια ματιά:
- Ο αριθμητής περιέχει τον απλό αριθμό 7 και ο παρονομαστής περιέχει το κλάσμα 12/5.
- Ο αριθμητής περιέχει το κλάσμα 7/12 και ο παρονομαστής τον χωριστό αριθμό 5.
Έτσι, για μια ηχογράφηση πήραμε δύο εντελώς διαφορετικές ερμηνείες. Εάν μετρήσετε, οι απαντήσεις θα είναι επίσης διαφορετικές:
Για να διασφαλίσετε ότι η εγγραφή διαβάζεται πάντα χωρίς αμφιβολία, χρησιμοποιήστε έναν απλό κανόνα: η διαχωριστική γραμμή του κύριου κλάσματος πρέπει να είναι μεγαλύτερη από τη γραμμή του ένθετου κλάσματος. Κατά προτίμηση πολλές φορές.
Εάν ακολουθείτε αυτόν τον κανόνα, τότε τα παραπάνω κλάσματα θα πρέπει να γράφονται ως εξής:
Ναι, μάλλον είναι αντιαισθητικό και πιάνει πολύ χώρο. Θα μετρήσεις όμως σωστά. Τέλος, μερικά παραδείγματα όπου στην πραγματικότητα προκύπτουν κλάσματα πολλαπλών ορόφων:
Εργο. Βρείτε τις έννοιες των εκφράσεων:
Λοιπόν, ας δουλέψουμε με το πρώτο παράδειγμα. Ας μετατρέψουμε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και, στη συνέχεια, κάνουμε πράξεις πρόσθεσης και διαίρεσης:
Ας κάνουμε το ίδιο με το δεύτερο παράδειγμα. Ας μετατρέψουμε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και ας εκτελέσουμε τις απαιτούμενες πράξεις. Για να μην κουράσω τον αναγνώστη, θα παραλείψω κάποιους προφανείς υπολογισμούς. Εχουμε:
Λόγω του γεγονότος ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής των βασικών κλασμάτων περιέχουν αθροίσματα, τηρείται αυτόματα ο κανόνας για τη γραφή πολυώροφων κλασμάτων. Επίσης, στο τελευταίο παράδειγμα, αφήσαμε σκόπιμα το 46/1 σε μορφή κλάσματος για να εκτελέσουμε διαίρεση.
Θα σημειώσω επίσης ότι και στα δύο παραδείγματα η γραμμή κλασμάτων αντικαθιστά στην πραγματικότητα τις παρενθέσεις: πρώτα απ 'όλα, βρήκαμε το άθροισμα και μόνο τότε το πηλίκο.
Κάποιοι θα πουν ότι η μετάβαση σε ακατάλληλα κλάσματα στο δεύτερο παράδειγμα ήταν σαφώς περιττή. Ίσως αυτό είναι αλήθεια. Αλλά κάνοντάς το αυτό ασφαλιζόμαστε από λάθη, γιατί την επόμενη φορά το παράδειγμα μπορεί να αποδειχθεί πολύ πιο περίπλοκο. Επιλέξτε μόνοι σας τι είναι πιο σημαντικό: ταχύτητα ή αξιοπιστία.
Η επόμενη ενέργεια που μπορεί να γίνει με συνηθισμένα κλάσματα είναι η αφαίρεση. Ως μέρος αυτού του υλικού, θα δούμε πώς να υπολογίσουμε σωστά τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με παρονομαστές όμοιους και διαφορετικούς, πώς να αφαιρέσουμε ένα κλάσμα από φυσικός αριθμόςκαι αντίστροφα. Όλα τα παραδείγματα θα επεξηγηθούν με προβλήματα. Ας διευκρινίσουμε εκ των προτέρων ότι θα εξετάσουμε μόνο περιπτώσεις όπου η διαφορά των κλασμάτων καταλήγει σε θετικό αριθμό.
Πώς να βρείτε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές
Ας ξεκινήσουμε αμέσως με ένα ξεκάθαρο παράδειγμα: ας πούμε ότι έχουμε ένα μήλο που έχει χωριστεί σε οκτώ μέρη. Ας αφήσουμε πέντε μέρη στο πιάτο και πάρουμε δύο από αυτά. Αυτή η ενέργεια μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Ως αποτέλεσμα, μας απομένουν 3 όγδοα, αφού 5 − 2 = 3. Αποδεικνύεται ότι 5 8 - 2 8 = 3 8.
Εκ τούτου απλό παράδειγμαΕίδαμε ακριβώς πώς λειτουργεί ο κανόνας της αφαίρεσης για κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές είναι ίδιοι. Ας το διατυπώσουμε.
Ορισμός 1
Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του άλλου από τον αριθμητή του ενός και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο. Αυτός ο κανόνας μπορεί να γραφτεί ως b - c b = a - c b.
Θα χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο στο μέλλον.
Ας πάρουμε συγκεκριμένα παραδείγματα.
Παράδειγμα 1
Αφαιρέστε το κοινό κλάσμα 17 15 από το κλάσμα 24 15.
Λύση
Βλέπουμε ότι αυτά τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Άρα το μόνο που χρειάζεται να κάνουμε είναι να αφαιρέσουμε το 17 από το 24. Παίρνουμε 7 και προσθέτουμε τον παρονομαστή σε αυτό, παίρνουμε 7 15.
Οι υπολογισμοί μας μπορούν να γραφτούν ως εξής: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15
Εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να μειώσετε σύνθετο κλάσμαή επιλέξτε ένα ολόκληρο μέρος από ένα λανθασμένο για να διευκολύνετε την καταμέτρηση.
Παράδειγμα 2
Βρείτε τη διαφορά 37 12 - 15 12.
Λύση
Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο που περιγράφεται παραπάνω και ας υπολογίσουμε: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12
Είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής μπορούν να διαιρεθούν με το 2 (το έχουμε ήδη μιλήσει νωρίτερα όταν εξετάσαμε τα σημάδια της διαιρετότητας). Συντομεύοντας την απάντηση, παίρνουμε 11 6. Αυτό είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, από το οποίο θα επιλέξουμε ολόκληρο το μέρος: 11 6 = 1 5 6.
Πώς να βρείτε τη διαφορά των κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Αυτή η μαθηματική πράξη μπορεί να περιοριστεί σε αυτό που ήδη περιγράψαμε παραπάνω. Για να γίνει αυτό, απλώς μειώνουμε τα απαραίτητα κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή. Ας διατυπώσουμε έναν ορισμό:
Ορισμός 2
Να βρεθεί η διαφορά των κλασμάτων για τα οποία διαφορετικούς παρονομαστές, είναι απαραίτητο να τα φέρουμε στον ίδιο παρονομαστή και να βρούμε τη διαφορά μεταξύ των αριθμητών.
Ας δούμε ένα παράδειγμα για το πώς γίνεται αυτό.
Παράδειγμα 3
Αφαιρέστε το κλάσμα 1 15 από το 2 9.
Λύση
Οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί και πρέπει να τους μειώσετε στο μικρότερο συνολική αξία. Σε αυτήν την περίπτωση, το LCM είναι 45. Το πρώτο κλάσμα απαιτεί πρόσθετο συντελεστή 5 και το δεύτερο - 3.
Ας υπολογίσουμε: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45
Έχουμε δύο κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή και τώρα μπορούμε εύκολα να βρούμε τη διαφορά τους χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο που περιγράφηκε προηγουμένως: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45
Μια σύντομη περίληψη της λύσης μοιάζει με αυτό: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45.
Μην αμελήσετε να μειώσετε το αποτέλεσμα ή να χωρίσετε ένα ολόκληρο μέρος από αυτό, εάν είναι απαραίτητο. ΣΕ σε αυτό το παράδειγμαδεν χρειάζεται να το κάνουμε αυτό.
Παράδειγμα 4
Βρείτε τη διαφορά 19 9 - 7 36.
Λύση
Ας μειώσουμε τα κλάσματα που υποδεικνύονται στη συνθήκη στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή 36 και πάρουμε 76 9 και 7 36, αντίστοιχα.
Υπολογίζουμε την απάντηση: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36
Το αποτέλεσμα μπορεί να μειωθεί κατά 3 και να πάρει 23 12. Ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, που σημαίνει ότι μπορούμε να επιλέξουμε ολόκληρο το τμήμα. Η τελική απάντηση είναι 1 11 12.
Μια σύντομη περίληψη ολόκληρης της λύσης είναι 19 9 - 7 36 = 1 11 12.
Πώς να αφαιρέσετε έναν φυσικό αριθμό από ένα κοινό κλάσμα
Αυτή η ενέργεια μπορεί επίσης να μειωθεί εύκολα σε μια απλή αφαίρεση συνηθισμένα κλάσματα. Αυτό μπορεί να γίνει αντιπροσωπεύοντας έναν φυσικό αριθμό ως κλάσμα. Ας το δείξουμε με ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 5
Βρείτε τη διαφορά 83 21 – 3 .
Λύση
Το 3 είναι το ίδιο με το 3 1. Στη συνέχεια, μπορείτε να το υπολογίσετε ως εξής: 83 21 - 3 = 20 21.
Εάν η συνθήκη απαιτεί την αφαίρεση ενός ακέραιου από ένα ακατάλληλο κλάσμα, είναι πιο βολικό να διαχωρίσετε πρώτα τον ακέραιο από αυτό γράφοντάς τον ως μικτό αριθμό. Τότε το προηγούμενο παράδειγμα μπορεί να λυθεί διαφορετικά.
Από το κλάσμα 83 21, όταν διαχωρίζετε ολόκληρο το μέρος, παίρνετε 83 21 = 3 20 21.
Τώρα ας αφαιρέσουμε 3 από αυτό: 3 20 21 - 3 = 20 21.
Πώς να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από έναν φυσικό αριθμό
Αυτή η ενέργεια γίνεται παρόμοια με την προηγούμενη: ξαναγράφουμε τον φυσικό αριθμό ως κλάσμα, φέρνουμε και τους δύο σε έναν παρονομαστή και βρίσκουμε τη διαφορά. Ας το επεξηγήσουμε αυτό με ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 6
Βρείτε τη διαφορά: 7 - 5 3 .
Λύση
Ας κάνουμε το 7 κλάσμα 7 1. Κάνουμε την αφαίρεση και μετασχηματίζουμε το τελικό αποτέλεσμα, χωρίζοντας ολόκληρο το μέρος από αυτό: 7 - 5 3 = 5 1 3.
Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να κάνετε υπολογισμούς. Έχει κάποια πλεονεκτήματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε περιπτώσεις όπου οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων στο πρόβλημα είναι μεγάλοι αριθμοί.
Ορισμός 3
Εάν το κλάσμα που πρέπει να αφαιρεθεί είναι σωστό, τότε ο φυσικός αριθμός από τον οποίο αφαιρούμε πρέπει να παριστάνεται ως το άθροισμα δύο αριθμών, εκ των οποίων ο ένας είναι ίσος με 1. Μετά από αυτό, πρέπει να αφαιρέσετε το επιθυμητό κλάσμα από το ένα και να πάρετε την απάντηση.
Παράδειγμα 7
Υπολογίστε τη διαφορά 1 065 - 13 62.
Λύση
Το κλάσμα που πρέπει να αφαιρεθεί είναι σωστό κλάσμα γιατί ο αριθμητής του είναι μικρότερος από τον παρονομαστή του. Επομένως, πρέπει να αφαιρέσουμε ένα από το 1065 και να αφαιρέσουμε το επιθυμητό κλάσμα από αυτό: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62
Τώρα πρέπει να βρούμε την απάντηση. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της αφαίρεσης, η παράσταση που προκύπτει μπορεί να γραφτεί ως 1064 + 1 - 13 62. Ας υπολογίσουμε τη διαφορά σε αγκύλες. Για να γίνει αυτό, ας φανταστούμε τη μονάδα ως κλάσμα 1 1.
Αποδεικνύεται ότι 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62.
Τώρα ας θυμηθούμε το 1064 και ας διατυπώσουμε την απάντηση: 1064 49 62.
Χρησιμοποιούμε την παλιά μέθοδο για να αποδείξουμε ότι είναι λιγότερο βολική. Αυτοί είναι οι υπολογισμοί στους οποίους θα καταλήξαμε:
1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064
Η απάντηση είναι η ίδια, αλλά οι υπολογισμοί είναι προφανώς πιο δυσκίνητοι.
Εξετάσαμε την περίπτωση που πρέπει να αφαιρέσουμε ένα σωστό κλάσμα. Αν είναι λάθος, τον αντικαθιστούμε με μικτό αριθμό και αφαιρούμε σύμφωνα με γνωστούς κανόνες.
Παράδειγμα 8
Υπολογίστε τη διαφορά 644 - 73 5.
Λύση
Το δεύτερο κλάσμα είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα και ολόκληρο το τμήμα πρέπει να διαχωριστεί από αυτό.
Τώρα υπολογίζουμε παρόμοια με το προηγούμενο παράδειγμα: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5
Ιδιότητες της αφαίρεσης κατά την εργασία με κλάσματα
Οι ιδιότητες που έχει η αφαίρεση των φυσικών αριθμών ισχύουν και για περιπτώσεις αφαίρεσης κοινών κλασμάτων. Ας δούμε πώς να τα χρησιμοποιήσουμε κατά την επίλυση παραδειγμάτων.
Παράδειγμα 9
Βρείτε τη διαφορά 24 4 - 3 2 - 5 6.
Λύση
Έχουμε ήδη λύσει παρόμοια παραδείγματα όταν εξετάσαμε την αφαίρεση ενός αθροίσματος από έναν αριθμό, οπότε ακολουθούμε τον ήδη γνωστό αλγόριθμο. Αρχικά, ας υπολογίσουμε τη διαφορά 25 4 - 3 2 και, στη συνέχεια, αφαιρούμε το τελευταίο κλάσμα από αυτήν:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Ας μεταμορφώσουμε την απάντηση διαχωρίζοντας ολόκληρο το μέρος από αυτήν. Αποτέλεσμα - 3 11 12.
Μια σύντομη περίληψη ολόκληρης της λύσης:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
Εάν η παράσταση περιέχει και κλάσματα και φυσικούς αριθμούς, συνιστάται η ομαδοποίηση τους κατά τύπο κατά τον υπολογισμό.
Παράδειγμα 10
Βρείτε τη διαφορά 98 + 17 20 - 5 + 3 5.
Λύση
Γνωρίζοντας τις βασικές ιδιότητες της αφαίρεσης και της πρόσθεσης, μπορούμε να ομαδοποιήσουμε τους αριθμούς ως εξής: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Ας ολοκληρώσουμε τους υπολογισμούς: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Ο κοινός παρονομαστής πολλών κλασμάτων είναι το LCM (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο) των φυσικών αριθμών που είναι οι παρονομαστές των δοσμένων κλασμάτων.
Πρέπει να προσθέσετε πρόσθετους παράγοντες στους αριθμητές των δοσμένων κλασμάτων, ίσο με την αναλογία LOC και τον αντίστοιχο παρονομαστή.
Οι αριθμητές των δοθέντων κλασμάτων πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους, με αποτέλεσμα αριθμητές κλασμάτων με έναν μόνο κοινό παρονομαστή. Τα σημάδια δράσης (“+” ή “-”) στην καταγραφή των κλασμάτων που έχουν μειωθεί σε έναν κοινό παρονομαστή αποθηκεύονται πριν από κάθε κλάσμα. Για κλάσματα με κοινό παρονομαστή, τα σημάδια δράσης διατηρούνται πριν από κάθε μειωμένο αριθμητή.
Μόνο τώρα μπορείτε να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε τους αριθμητές και να υπογράψετε τον κοινό παρονομαστή κάτω από το αποτέλεσμα.
Προσοχή! Εάν στο κλάσμα που προκύπτει ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν κοινούς παράγοντες, τότε το κλάσμα πρέπει να μειωθεί. Συνιστάται η μετατροπή ενός ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό κλάσμα. Το να αφήνουμε το αποτέλεσμα μιας πρόσθεσης ή αφαίρεσης χωρίς να ακυρώνουμε το κλάσμα όπου είναι δυνατόν είναι μια ελλιπής λύση στο παράδειγμα!
Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Κανόνας. Προς την προσθέτει ή αφαιρεί κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει πρώτα να τα μειώσετε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή και στη συνέχεια να εκτελέσετε πρόσθεση ή αφαίρεση όπως συμβαίνει με τα κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές.
Διαδικασία πρόσθεσης και αφαίρεσης κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
- βρείτε το LCM όλων των παρονομαστών.
- προσθέστε επιπλέον παράγοντες σε κάθε κλάσμα.
- πολλαπλασιάστε κάθε αριθμητή με έναν επιπλέον παράγοντα.
- πάρτε τα προϊόντα που προκύπτουν ως αριθμητές, υπογράφοντας τον κοινό παρονομαστή κάτω από κάθε κλάσμα.
- προσθέτει ή αφαιρεί τους αριθμητές των κλασμάτων υπογράφοντας τον κοινό παρονομαστή κάτω από το άθροισμα ή τη διαφορά.
Τα κλάσματα μπορούν επίσης να προστεθούν και να αφαιρεθούν εάν υπάρχουν γράμματα στον αριθμητή.
Μπορείτε να εκτελέσετε διάφορες λειτουργίες με κλάσματα, για παράδειγμα, να προσθέσετε κλάσματα. Η προσθήκη κλασμάτων μπορεί να χωριστεί σε διάφορους τύπους. Κάθε τύπος πρόσθεσης κλασμάτων έχει τους δικούς του κανόνες και αλγόριθμο ενεργειών. Ας δούμε αναλυτικά κάθε τύπο προσθήκης.
Προσθήκη κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.
Ας δούμε ένα παράδειγμα του τρόπου προσθήκης κλασμάτων με κοινό παρονομαστή.
Οι τουρίστες έκαναν πεζοπορία από το σημείο Α στο σημείο Ε. Την πρώτη μέρα περπάτησαν από το σημείο Α στο Β ή \(\frac(1)(5)\) ολόκληρου του μονοπατιού. Τη δεύτερη μέρα περπάτησαν από το σημείο Β στο Δ ή \(\frac(2)(5)\) όλη τη διαδρομή. Πόσο μακριά διένυσαν από την αρχή του ταξιδιού μέχρι το σημείο Δ;
Για να βρείτε την απόσταση από το σημείο Α στο σημείο Δ, πρέπει να προσθέσετε τα κλάσματα \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).
Η προσθήκη κλασμάτων με παρονομαστές παρόμοιους σημαίνει ότι πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές αυτών των κλασμάτων, αλλά ο παρονομαστής θα παραμείνει ο ίδιος.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
Σε κυριολεκτική μορφή, το άθροισμα των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές θα μοιάζει με αυτό:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Απάντηση: οι τουρίστες περπάτησαν \(\frac(3)(5)\) όλη τη διαδρομή.
Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Πρέπει να προσθέσετε δύο κλάσματα \(\frac(3)(4)\) και \(\frac(2)(7)\).
Για να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει πρώτα να βρείτε, και μετά χρησιμοποιήστε τον κανόνα για την προσθήκη κλασμάτων με παρονομαστές όμοιους.
Για τους παρονομαστές 4 και 7, ο κοινός παρονομαστής θα είναι ο αριθμός 28. Το πρώτο κλάσμα \(\frac(3)(4)\) πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 7. Το δεύτερο κλάσμα \(\frac(2)(7)\ ) πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 4.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(κόκκινο) (4))(4 \ φορές \χρώμα(κόκκινο) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
Σε κυριολεκτική μορφή παίρνουμε τον ακόλουθο τύπο:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \φορές d)\)
Προσθήκη μικτών αριθμών ή μικτών κλασμάτων.
Η πρόσθεση γίνεται σύμφωνα με το νόμο της πρόσθεσης.
Για μικτά κλάσματα προσθέτουμε τα ολόκληρα με τα ολόκληρα μέρη και τα κλασματικά με τα κλάσματα.
Αν κλασματικά μέρη μικτούς αριθμούςέχουν τους ίδιους παρονομαστές, τότε προσθέτουμε τους αριθμητές, αλλά ο παρονομαστής παραμένει ίδιος.
Ας προσθέσουμε τους μεικτούς αριθμούς \(3\frac(6)(11)\) και \(1\frac(3)(11)\).
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(κόκκινο) (3) + \color(μπλε) (\frac(6)(11))) + ( \color(red) (1) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( μπλε) (\frac(6)(11)) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = \color(red)(4) + (\color(blue) (\frac(6) + 3)(11)) = \color(κόκκινο)(4) + \color(μπλε) (\frac(9)(11)) = \color(κόκκινο)(4) \color(μπλε) (\frac (9)(11))\)
Αν τα κλασματικά μέρη των μικτών αριθμών έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, τότε βρίσκουμε τον κοινό παρονομαστή.
Ας εκτελέσουμε την πρόσθεση μικτών αριθμών \(7\frac(1)(8)\) και \(2\frac(1)(6)\).
Ο παρονομαστής είναι διαφορετικός, επομένως πρέπει να βρούμε τον κοινό παρονομαστή, είναι ίσος με 24. Πολλαπλασιάστε το πρώτο κλάσμα \(7\frac(1)(8)\) με έναν επιπλέον παράγοντα 3, και το δεύτερο κλάσμα \( 2\frac(1)(6)\) επί 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(κόκκινο) (3) ) = 2\frac(1\times \color(κόκκινο) (4))(6\times \color(κόκκινο) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
Σχετικές ερωτήσεις:
Πώς να προσθέσετε κλάσματα;
Απάντηση: πρώτα πρέπει να αποφασίσετε ποιος τύπος έκφρασης είναι: τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές, διαφορετικούς παρονομαστές ή μικτά κλάσματα. Ανάλογα με το είδος της έκφρασης προχωράμε στον αλγόριθμο επίλυσης.
Πώς να λύσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές;
Απάντηση: πρέπει να βρείτε τον κοινό παρονομαστή και στη συνέχεια να ακολουθήσετε τον κανόνα της πρόσθεσης κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές.
Πώς να λύσετε μικτά κλάσματα;
Απάντηση: προσθέτουμε ακέραια μέρη με ακέραιους και κλασματικά με κλάσματα.
Παράδειγμα #1:
Μπορεί το άθροισμα δύο να οδηγήσει σε σωστό κλάσμα; Ακατάλληλο κλάσμα; Δώσε παραδείγματα.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
Το κλάσμα \(\frac(5)(7)\) είναι ένα σωστό κλάσμα, είναι το αποτέλεσμα του αθροίσματος δύο κατάλληλων κλασμάτων \(\frac(2)(7)\) και \(\frac(3) (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
Το κλάσμα \(\frac(58)(45)\) είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, είναι το αποτέλεσμα του αθροίσματος των κατάλληλων κλασμάτων \(\frac(2)(5)\) και \(\frac(8) (9)\).
Απάντηση: Η απάντηση και στις δύο ερωτήσεις είναι ναι.
Παράδειγμα #2:
Προσθέστε τα κλάσματα: α) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) β) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .
α) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
β) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(κόκκινο) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Παράδειγμα #3:
Γράψτε το μικτό κλάσμα ως το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού και ενός σωστού κλάσματος: α) \(1\frac(9)(47)\) β) \(5\frac(1)(3)\)
α) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
β) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Παράδειγμα #4:
Υπολογίστε το άθροισμα: α) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) β) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) γ) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
α) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
β) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)
γ) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\ φορές 3)(5\ φορές 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
Εργασία #1:
Το μεσημεριανό γεύμα φάγαμε \(\frac(8)(11)\) από το κέικ, και το βράδυ στο δείπνο φάγαμε \(\frac(3)(11)\). Πιστεύετε ότι η τούρτα φαγώθηκε εντελώς ή όχι;
Λύση:
Ο παρονομαστής του κλάσματος είναι 11, δείχνει σε πόσα μέρη χωρίστηκε το κέικ. Στο μεσημεριανό φάγαμε 8 κομμάτια κέικ από τα 11. Στο βραδινό φάγαμε 3 κομμάτια κέικ από τα 11. Ας προσθέσουμε 8 + 3 = 11, φάγαμε κομμάτια κέικ από τα 11, δηλαδή ολόκληρο το κέικ.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Απάντηση: φαγώθηκε ολόκληρη η τούρτα.
