C 11 όλες οι ενέργειες με κλάσματα. Ενέργειες με κλάσματα. Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

496. Να βρω Χ, αν:

497. 1) Εάν προσθέσετε 10 1/2 έως 3/10 του άγνωστου αριθμού, λαμβάνετε 13 1/2. Βρείτε έναν άγνωστο αριθμό.

2) Εάν αφαιρέσετε το 10 1/2 από το 7/10 ενός άγνωστου αριθμού, θα λάβετε 15 2/5. Βρείτε έναν άγνωστο αριθμό.

498 *. Εάν αφαιρέσετε το 10 από τα 3/4 του άγνωστου αριθμού και πολλαπλασιάσετε την προκύπτουσα διαφορά με 5, παίρνετε 100. Βρείτε τον αριθμό.

499 *. Εάν αυξήσετε τον άγνωστο αριθμό κατά 2/3 από αυτόν, παίρνετε 60. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

500 *. Εάν προσθέσετε το ίδιο ποσό στον άγνωστο αριθμό και ακόμη και 20 1/3, θα λάβετε 105 2/5. Βρείτε έναν άγνωστο αριθμό.

501. 1) Η απόδοση των πατατών με φύτευση τετραγωνικής φωλιάς είναι κατά μέσο όρο 150 εκατοστά ανά εκτάριο, και με μια κανονική φύτευση είναι 3/5 αυτής της ποσότητας. Πόσο περισσότερες πατάτες μπορούν να συλλεχθούν από έκταση 15 εκταρίων εάν οι πατάτες φυτευτούν με μέθοδο τετραγωνικής φωλιάς;

2) Ένας έμπειρος εργαζόμενος έκανε 18 μέρη σε 1 ώρα, και ένας άπειρος εργαζόμενος έκανε 2/3 αυτού του ποσού. Πόσα περισσότερα μέρη θα κάνει ένας έμπειρος εργαζόμενος σε μια 7ωρη ημέρα;

502. 1) Οι πρωτοπόροι συνέλεξαν 56 κιλά διαφορετικών σπόρων για τρεις ημέρες. Την πρώτη ημέρα, συλλέχθηκαν τα 3/14 του συνολικού ποσού, τη δεύτερη - ενάμισι φορές περισσότερο και την τρίτη ημέρα - το υπόλοιπο του σιταριού. Πόσα κιλά σπόρων συγκέντρωσαν οι πρωτοπόροι την τρίτη ημέρα;

2) Κατά την άλεση του σιταριού, αποδείχθηκε: αλεύρι 4/5 της συνολικής ποσότητας σίτου, σιμιγδάλι - 40 φορές λιγότερο από το αλεύρι και το υπόλοιπο είναι πίτουρο. Πόσο αλεύρι, σιμιγδάλι και πίτουρο πήρατε ξεχωριστά όταν αλέσετε 3 τόνους σιταριού;

503. 1) Τρία γκαράζ μπορούν να κρατήσουν 460 αυτοκίνητα. Ο αριθμός των αυτοκινήτων στο πρώτο γκαράζ είναι 3/4 των αυτοκινήτων στο δεύτερο, και στο τρίτο γκαράζ υπάρχουν 1 1/2 φορές περισσότερα αυτοκίνητα από ό, τι στο πρώτο. Πόσα αυτοκίνητα χωράνε σε κάθε γκαράζ;

2) Το εργοστάσιο, το οποίο διαθέτει τρία εργαστήρια, απασχολεί 6.000 εργαζόμενους. Στο δεύτερο κατάστημα, 1 1/2 φορές λιγότερη δουλειά από το πρώτο, και ο αριθμός των εργαζομένων στο τρίτο κατάστημα είναι 5/6 του αριθμού των εργαζομένων στο δεύτερο κατάστημα. Πόσοι εργαζόμενοι υπάρχουν σε κάθε εργαστήριο;

504. 1) Πρώτα, 2/5, στη συνέχεια το 1/3 της συνολικής κηροζίνης χύθηκε από τη δεξαμενή με κηροζίνη και μετά από αυτό παρέμειναν 8 τόνοι κηροζίνης στη δεξαμενή. Πόση κηροζίνη ήταν στη δεξαμενή αρχικά;

2) Οι ποδηλάτες αγωνίστηκαν για τρεις ημέρες. Την πρώτη ημέρα, κάλυψαν 4/15 ολόκληρης της διαδρομής, τη δεύτερη - 2/5 και την τρίτη ημέρα τα υπόλοιπα 100 χλμ. Με ποιον τρόπο πήγαν οι ποδηλάτες σε τρεις μέρες;

505. 1) Το παγοθραυστικό έφτασε στο πεδίο του πάγου για τρεις ημέρες. Την πρώτη ημέρα κάλυψε το 1/2 ολόκληρου του μονοπατιού, τη δεύτερη ημέρα 3/5 του υπόλοιπου μονοπατιού και την τρίτη ημέρα τα υπόλοιπα 24 χιλιόμετρα. Βρείτε το μήκος της διαδρομής που καλύπτεται από το παγοθραύστη σε τρεις ημέρες.

2) Τρεις ομάδες μαθητών φύτεψαν δέντρα για εξωραϊσμό του χωριού. Η πρώτη ομάδα φύτεψε το 7/20 όλων των δέντρων, το δεύτερο 5/8 των υπόλοιπων δέντρων και το τρίτο τα υπόλοιπα 195 δέντρα. Πόσα δέντρα έχουν φυτέψει οι τρεις ομάδες;

506. 1) Ο συνδυασμός σιταριού που συλλέγεται από ένα οικόπεδο σε τρεις ημέρες. Την πρώτη ημέρα, συνέλεξε 5/18 της συνολικής έκτασης του οικοπέδου, τη δεύτερη ημέρα από τις 7/13 της υπόλοιπης περιοχής, και την τρίτη ημέρα από την υπόλοιπη έκταση των 30 1/2 εκταρίων . Κατά μέσο όρο, συγκομιδή 20 εκατοστών σιταριού από κάθε εκτάριο. Πόσο σιτάρι συγκομίστηκε σε ολόκληρο το οικόπεδο;

2) Οι συμμετέχοντες στο ράλι την πρώτη ημέρα κάλυψαν 3/11 ολόκληρου του μονοπατιού, τη δεύτερη ημέρα 7/20 του υπόλοιπου μονοπατιού, την τρίτη ημέρα 5/13 του νέου υπολοίπου, και την τέταρτη ημέρα, το απομένουν 320 χλμ. Πόσο καιρό είναι η διαδρομή του ράλι;

507. 1) Το αυτοκίνητο πέρασε την πρώτη ημέρα 3/8 ολόκληρου του μονοπατιού, τη δεύτερη 15/17 εκείνης που πέρασε την πρώτη, και την τρίτη ημέρα τα υπόλοιπα 200 χλμ. Πόση βενζίνη καταναλώνεται εάν το αυτοκίνητο καταναλώνει 1 3/5 κιλά βενζίνης ανά 10 χλμ. Ταξιδιού;

2) Η πόλη αποτελείται από τέσσερις περιοχές. Και στην πρώτη συνοικία 4/13 όλων των κατοίκων της πόλης ζουν, στο δεύτερο 5/6 των κατοίκων της πρώτης περιοχής, στο τρίτο 4/11 των κατοίκων της πρώτης. δύο περιοχές συνδυάζονται και η τέταρτη περιοχή φιλοξενεί 18 χιλιάδες άτομα. Πόσο ψωμί χρειάζεται ολόκληρος ο πληθυσμός μιας πόλης για 3 ημέρες, εάν κατά μέσο όρο ένα άτομο καταναλώνει 500 γραμμάρια την ημέρα;

508. 1) Ο τουρίστας περπατούσε την πρώτη ημέρα 10/31 ολόκληρου του ταξιδιού, τη δεύτερη 9/10 εκείνης που πέρασε την πρώτη ημέρα, και την τρίτη το υπόλοιπο του ταξιδιού, και την τρίτη ημέρα κάλυψε 12 χλμ περισσότερο από ό, τι τη δεύτερη μέρα. Πόσα χιλιόμετρα περπατούσε ο τουρίστας κάθε μία από τις τρεις μέρες;

2) Το αυτοκίνητο ταξίδεψε από την πόλη Α στην πόλη Β σε τρεις ημέρες. Την πρώτη ημέρα, το αυτοκίνητο κάλυψε το 7/20 της συνολικής απόστασης, τη δεύτερη ημέρα, 8/13 της υπόλοιπης απόστασης, και την τρίτη ημέρα, το αυτοκίνητο κάλυψε 72 χιλιόμετρα λιγότερο από ό, τι την πρώτη ημέρα. Ποια είναι η απόσταση μεταξύ των πόλεων Α και Β;

509. 1) Η Εκτελεστική Επιτροπή διέθεσε γη σε εργαζόμενους τριών εργοστασίων για αγροτεμάχια. Το πρώτο εργοστάσιο εκχωρήθηκε 9/25 του συνολικού αριθμού τοποθεσιών, το δεύτερο εργοστάσιο 5/9 του αριθμού τοποθεσιών που διατέθηκαν για το πρώτο και το τρίτο - οι υπόλοιποι ιστότοποι Πόσα οικόπεδα εκχωρήθηκαν στους εργαζομένους των τριών εργοστασίων εάν το πρώτο εργοστάσιο είχε 50 λιγότερα οικόπεδα από το τρίτο;

2) Το αεροπλάνο παρέδωσε αλλαγή χειμώνα στον πολικό σταθμό από τη Μόσχα σε τρεις ημέρες. Την πρώτη μέρα, πέταξε τα 2/5 ολόκληρης της διαδρομής, τη δεύτερη - 5/6 της διαδρομής που κάλυψε την πρώτη ημέρα, και την τρίτη ημέρα πέταξε 500 χιλιόμετρα λιγότερο από τη δεύτερη μέρα. Πόσο μακριά πέταξε το αεροπλάνο σε τρεις ημέρες;

510. 1) Το εργοστάσιο είχε τρία εργαστήρια. Ο αριθμός των εργαζομένων στο πρώτο κατάστημα είναι 2/5 όλων των εργαζομένων στο εργοστάσιο. στο δεύτερο κατάστημα υπάρχουν 1 1/2 φορές λιγότεροι εργαζόμενοι από ό, τι στο πρώτο, και στο τρίτο κατάστημα υπάρχουν 100 περισσότεροι εργαζόμενοι από το δεύτερο. Πόσοι εργαζόμενοι υπάρχουν στο εργοστάσιο;

2) Το συλλογικό αγρόκτημα περιλαμβάνει κατοίκους τριών γειτονικών χωριών. Ο αριθμός των οικογενειών στο πρώτο χωριό είναι 3/10 όλων των οικογενειών του συλλογικού αγροκτήματος. Στο δεύτερο χωριό ο αριθμός των οικογενειών είναι 1 1/2 φορές μεγαλύτερος από ό, τι στο πρώτο, και στο τρίτο χωριό ο αριθμός των οικογενειών είναι 420 μικρότερος από ό, τι στο δεύτερο. Πόσες οικογένειες υπάρχουν στο συλλογικό αγρόκτημα;

511. 1) Το Artel εξαντλήθηκε την πρώτη εβδομάδα 1/3 του αποθέματος πρώτων υλών και το δεύτερο 1/3 του υπολοίπου. Πόση πρώτη ύλη παρέμεινε στο artel, αν την πρώτη εβδομάδα η κατανάλωση πρώτων υλών ήταν 3/5 τόνους περισσότερο από ό, τι στη δεύτερη εβδομάδα;

2) Από τον εισαγόμενο άνθρακα για θέρμανση του σπιτιού τον πρώτο μήνα, το 1/6 του ξοδεύτηκε και τον δεύτερο μήνα - 3/8 του υπόλοιπου. Πόσο άνθρακα απομένει για τη θέρμανση του σπιτιού εάν καταναλώνονται 1 3/4 περισσότερο τον δεύτερο μήνα από ό, τι τον πρώτο μήνα;

512. Τα 3/5 ολόκληρης της γης του συλλογικού αγροκτήματος διατίθενται για σπορά σιτηρών, το 13/36 του υπόλοιπου καταλαμβάνεται από φυτικούς κήπους και λιβάδια, το υπόλοιπο της γης είναι δάσος και η έκταση της συλλογικής εκμετάλλευσης είναι 217 εκτάρια περισσότερο από τη δασική έκταση, το 1/3 της έκτασης που έχει εκχωρηθεί για σπορά σπόρων σπέρνεται με σίκαλη και το υπόλοιπο είναι σιτάρι. Πόσα εκτάρια γης έχει σπείρει το συλλογικό αγρόκτημα με σιτάρι και πόσα σίκαλη;

513. 1) Η διαδρομή του τραμ έχει μήκος 14 3/8 χλμ. Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδρομής, το τραμ κάνει 18 στάσεις, με μέσο όρο έως 1 1/6 λεπτά ανά στάση. Η μέση ταχύτητα του τραμ σε ολόκληρη τη διαδρομή είναι 12 1/2 km ανά ώρα. Πόσος χρόνος χρειάζεται για να ολοκληρώσει ένα τραμ ένα ταξίδι;

2) Η διαδρομή με λεωφορείο είναι 16 χλμ. Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδρομής, το λεωφορείο κάνει 36 στάσεις 3/4 λεπτών. κατά μέσο όρο το καθένα. Η μέση ταχύτητα του λεωφορείου είναι 30 km ανά ώρα. Πόσος χρόνος χρειάζεται για να πάρει ένα λεωφορείο μία διαδρομή;

514 *. 1) Είναι 6 η ώρα τώρα. βράδια. Ποιο μέρος είναι το υπόλοιπο της ημέρας από το παρελθόν και ποιο μέρος της ημέρας έχει απομείνει;

2) Ένα ατμόπλοιο κατάντη καλύπτει την απόσταση μεταξύ δύο πόλεων σε 3 ημέρες. και επιστρέψτε στην ίδια απόσταση σε 4 ημέρες. Πόσες μέρες θα επιπλέουν οι σχεδίες από τη μια πόλη στην άλλη;

515. 1) Πόσες σανίδες θα χρησιμοποιηθούν για το δάπεδο σε ένα δωμάτιο μήκους 6 2/3 m και πλάτους 5 1/4 m, εάν το μήκος κάθε σανίδας είναι 6 2/3 m και το πλάτος του είναι 3/80 του μήκος?

2) Μια ορθογώνια πλατφόρμα έχει μήκος 45 1/2 m και το πλάτος της είναι 5/13 του μήκους. Αυτή η περιοχή συνορεύει με ένα κομμάτι πλάτους 4/5 μ. Βρείτε την περιοχή του ίχνους.

516. Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών:

517. 1) Ο αριθμητικός μέσος όρος των δύο αριθμών 6 1/6. Ένας από τους αριθμούς 3 3/4. Βρείτε έναν άλλο αριθμό.

2) Ο αριθμητικός μέσος όρος των δύο αριθμών 14 1/4. Ένας από αυτούς τους αριθμούς είναι 15 5/6. Βρείτε έναν άλλο αριθμό.

518. 1) Το εμπορευματικό τρένο ήταν στο δρόμο για τρεις ώρες. Την πρώτη ώρα κάλυψε 36 1/2 χλμ., Στη δεύτερη 40 χλμ και στην τρίτη 39 3/4 χλμ. Βρείτε τη μέση ταχύτητα του τρένου.

2) Το αυτοκίνητο κάλυψε 81 1/2 χλμ τις δύο πρώτες ώρες και 95 χλμ στις επόμενες 2 1/2 ώρες. Πόσα χιλιόμετρα περπατούσε κατά μέσο όρο ανά ώρα;

519. 1) Ο οδηγός τρακτέρ ολοκλήρωσε το έργο του οργώματος της γης σε τρεις ημέρες. Την πρώτη μέρα οργώθηκε 12 1/2 εκτάρια, τη δεύτερη ημέρα 15 3/4 εκτάρια και την τρίτη ημέρα 14 1/2 εκτάρια. Κατά μέσο όρο, πόσα εκτάρια γης έχει οργωθεί ένας οδηγός τρακτέρ σε μια μέρα;

2) Μια απόσπαση μαθητών, που πραγματοποίησε τριήμερο τουριστικό ταξίδι, ήταν στο δρόμο την πρώτη ημέρα 6 1/3 ώρες, τις δεύτερες 7 ώρες. και την τρίτη ημέρα - 4 2/3 ώρες. Πόσες ώρες, κατά μέσο όρο, ταξιδεύουν μαθητές κάθε μέρα;

520. 1) Τρεις οικογένειες ζουν στο σπίτι. Η πρώτη οικογένεια διαθέτει 3 ηλεκτρικούς λαμπτήρες για το φωτισμό του διαμερίσματος, ο δεύτερος 4 και ο τρίτος 5 λαμπτήρες. Πόσο πρέπει να πληρώσει κάθε οικογένεια για ηλεκτρικό ρεύμα εάν όλοι οι λαμπτήρες ήταν ίδιοι και ο συνολικός λογαριασμός (για ολόκληρο το σπίτι) για την πληρωμή ηλεκτρικής ενέργειας ήταν 7 1/5 ρούβλια;

2) Ένας καθαριστής τρίβει τα πατώματα ενός διαμερίσματος όπου ζούσαν τρεις οικογένειες. Η πρώτη οικογένεια είχε ένα σαλόνι 36 1/2 τετραγωνικών. m, το δεύτερο σε 24 1/2 τετραγωνικά. m, και το τρίτο είναι 43 τετραγωνικά. μ. Για όλη την εργασία πληρώθηκε 2 ρούβλια. 08 καπίκια Πόσο πλήρωσε κάθε οικογένεια;

521. 1) Σε οικόπεδο, οι πατάτες συλλέχθηκαν από 50 θάμνους 1 1/10 kg ανά έναν θάμνο, από 70 θάμνους 4/5 kg ανά έναν θάμνο, από 80 θάμνους 9/10 kg ανά έναν θάμνο. Πόσα κιλά πατάτας συλλέγονται κατά μέσο όρο από κάθε θάμνο;

2) Μια ομάδα καλλιέργειας σε μια έκταση 300 εκταρίων έλαβε μια συγκομιδή 20 1/2 σεντ χειμερινού σίτου ανά εκτάριο, από 80 εκτάρια έως 24 σεντ ανά εκτάριο και από 20 εκτάρια - 28 1/2 εκατοστά ανά εκτάριο. Ποια είναι η μέση απόδοση ανά 1 εκτάριο ταξιαρχία;

522. 1) Το άθροισμα των δύο αριθμών είναι 7 1/2. Ένας αριθμός είναι 4 4/5 περισσότερο από τον άλλο. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

2) Εάν προσθέσουμε τους αριθμούς που εκφράζουν το πλάτος του Τατάρ και το πλάτος των στενών του Κερτς, έχουμε 11 7/10 χλμ. Το στενό Tatar είναι 3 1/10 χλμ. Ευρύτερο από το στενό Kerch. Ποιο είναι το πλάτος κάθε στενού;

523. 1) Το άθροισμα των τριών αριθμών είναι 35 2/3. Ο πρώτος αριθμός είναι 5 1/3 περισσότερο από τον δεύτερο και 3 5/6 περισσότερο από τον τρίτο. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

2) Τα νησιά Novaya Zemlya, Sakhalin και Severnaya Zemlya καταλαμβάνουν μαζί έκταση 196 7/10 χιλιάδων τετραγωνικών μέτρων. χιλιόμετρα. Η περιοχή της Novaya Zemlya είναι 44 1/10 χιλιάδες τετραγωνικά. χιλιόμετρα περισσότερο από την περιοχή της Severnaya Zemlya και 5 1/5 χιλιάδες τετραγωνικά μέτρα. χιλιόμετρα περισσότερο από την περιοχή Sakhalin. Ποια είναι η περιοχή καθενός από τα νησιά που αναφέρονται;

524. 1) Το διαμέρισμα αποτελείται από τρία δωμάτια. Η έκταση του πρώτου δωματίου είναι 24 3/8 τετραγωνικά. m και είναι 13/36 ολόκληρης της περιοχής του διαμερίσματος. Η έκταση του δεύτερου δωματίου είναι 8 1/8 τετραγωνικά. m περισσότερο από την περιοχή του τρίτου. Ποια είναι η περιοχή του δεύτερου δωματίου;

2) Ο ποδηλάτης ταξίδεψε 3 1/4 ώρες κατά τη διάρκεια του τριήμερου διαγωνισμού την πρώτη ημέρα, που ήταν 13/43 του συνολικού χρόνου ταξιδιού. Τη δεύτερη ημέρα, οδήγησε 1 1/2 ώρες περισσότερο από ό, τι την τρίτη ημέρα. Πόσες ώρες ταξίδεψε ο ποδηλάτης τη δεύτερη ημέρα του διαγωνισμού;

525. Τρία κομμάτια σιδήρου ζυγίζουν 17 1/4 κιλά. Εάν το βάρος του πρώτου κομματιού μειωθεί κατά 1 1/2 kg, το βάρος του δεύτερου κατά 2 1/4 kg, τότε και τα τρία κομμάτια θα έχουν το ίδιο βάρος. Πόσο ζύγιζε κάθε κομμάτι σιδήρου;

526. 1) Το άθροισμα των δύο αριθμών είναι 15 1/5. Εάν ο πρώτος αριθμός μειωθεί κατά 3 1/10 και ο δεύτερος αυξηθεί κατά 3 1/10, τότε αυτοί οι αριθμοί θα είναι ίσοι. Σε τι αντιστοιχεί κάθε αριθμός;

2) Δύο κουτιά περιείχαν 38 1/4 κιλά δημητριακών. Εάν ρίξετε 4 3/4 κιλά δημητριακών από το ένα κουτί στο άλλο, τότε και στα δύο κουτιά θα υπάρχουν ίσες ποσότητες δημητριακών. Πόσα δημητριακά υπάρχουν σε κάθε κουτί;

527 ... 1) Το άθροισμα των δύο αριθμών είναι 17 17/30. Εάν αφαιρέσετε 5 1/2 από τον πρώτο αριθμό και προσθέσετε στον δεύτερο, τότε ο πρώτος θα εξακολουθεί να είναι 2 17/30 περισσότερο από τον δεύτερο. Βρείτε και τους δύο αριθμούς.

2) Σε δύο κουτιά μήλα 24 1/4 kg. Εάν μεταφέρετε 3 1/2 κιλά από το πρώτο κουτί στο δεύτερο, τότε στο πρώτο θα εξακολουθούν να υπάρχουν 3/5 κιλά περισσότερα μήλα από το δεύτερο. Πόσα κιλά μήλα υπάρχουν σε κάθε κουτί;

528 *. 1) Το άθροισμα των δύο αριθμών είναι 8 11/14 και η διαφορά είναι 2 3/7. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

2) Το σκάφος κατέβηκε κατάντη του ποταμού με ταχύτητα 15 1/2 km ανά ώρα και έναντι του ρεύματος 8 1/4 km ανά ώρα. Ποια είναι η ταχύτητα του ποταμού;

529. 1) Υπάρχουν 110 αυτοκίνητα σε δύο γκαράζ και σε ένα από αυτά υπάρχουν 1 1/5 φορές περισσότερα από ό, τι στο άλλο. Πόσα αυτοκίνητα υπάρχουν σε κάθε γκαράζ;

2) Το σαλόνι ενός διαμερίσματος που αποτελείται από δύο δωμάτια είναι 47 1/2 τετραγωνικά. μ. Η περιοχή ενός δωματίου είναι 8/11 της περιοχής ενός άλλου. Βρείτε την περιοχή κάθε δωματίου.

530. 1) Ένα κράμα που αποτελείται από χαλκό και ασήμι ζυγίζει 330 g. Το βάρος του χαλκού σε αυτό το κράμα είναι 5/28 του βάρους του αργύρου. Πόσο ασήμι είναι στο κράμα και πόσο χαλκό;

2) Το άθροισμα των δύο αριθμών είναι 6 3/4 και το πηλίκο είναι 3 1/2. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

531. Το άθροισμα των τριών αριθμών είναι 22 1/2. Ο δεύτερος αριθμός είναι 3 1/2 φορές και ο τρίτος είναι 2 1/4 φορές ο πρώτος. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

532. 1) Η διαφορά δύο αριθμών είναι 7. πηλίκο της διαίρεσης περισσότερο λιγότερο από 5 2/3. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

2) Η διαφορά δύο αριθμών είναι 29 3/8 και η πολλαπλή αναλογία τους είναι 8 5/6. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

533. Στην τάξη, ο αριθμός των μαθητών που απουσιάζουν είναι ίσος με τα 3/13 του αριθμού εκείνων που είναι παρόντες. Πόσοι μαθητές είναι στην τάξη της λίστας, εάν υπάρχουν 20 περισσότερα άτομα παρόντα απών;

534. 1) Η διαφορά δύο αριθμών είναι 3 1/5. Ο ένας αριθμός είναι 5/7 του άλλου. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

2) Ο πατέρας είναι 24 ετών μεγαλύτερος από τον γιο. Ο αριθμός των ετών του γιου είναι ίσος με τα 5/13 των ετών του πατέρα. Πόσο χρονών είναι ο πατέρας και πόσο χρονών είναι ο γιος;

535. Ο παρονομαστής του κλάσματος είναι 11 μονάδες μεγαλύτερος από τον αριθμητή του. Τι είναι ένα κλάσμα εάν ο παρονομαστής του είναι 3 3/4 φορές ο αριθμητής;

Αρ. 536 - 537 προφορικά.

536. 1) Ο πρώτος αριθμός είναι 1/2 του δευτέρου. Πόσες φορές είναι ο δεύτερος αριθμός μεγαλύτερος από τον πρώτο;

2) Ο πρώτος αριθμός είναι 3/2 του δεύτερου. Ποιο μέρος του πρώτου αριθμού είναι ο δεύτερος αριθμός;

537. 1) Το 1/2 του πρώτου αριθμού ισούται με το 1/3 του δευτέρου. Ποιο μέρος του πρώτου αριθμού είναι ο δεύτερος αριθμός;

2) 2/3 του πρώτου αριθμού ισούται με 3/4 του δευτέρου. Ποιο μέρος του πρώτου αριθμού είναι ο δεύτερος αριθμός; Ποιο μέρος του δεύτερου αριθμού είναι το πρώτο;

538. 1) Το άθροισμα των δύο αριθμών είναι 16. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς εάν το 1/3 του δεύτερου αριθμού είναι ίσο με το 1/5 του πρώτου.

2) Το άθροισμα των δύο αριθμών είναι 38. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς εάν τα 2/3 του πρώτου αριθμού είναι ίση με 3/5 του δευτέρου.

539 *. 1) Δύο αγόρια συγκέντρωσαν 100 μανιτάρια μαζί. Το 3/8 του αριθμού των μανιταριών που συλλέγονται από το πρώτο αγόρι είναι αριθμητικά ίσο με το 1/4 του αριθμού των μανιταριών που συλλέγονται από το δεύτερο αγόρι. Πόσα μανιτάρια πήρε κάθε αγόρι;

2) Το ίδρυμα απασχολεί 27 άτομα. Πόσοι άνδρες εργάζονται και πόσες γυναίκες, αν τα 2/5 όλων των ανδρών είναι ίση με τα 3/5 όλων των γυναικών;

540 *. Τρία αγόρια αγόρασαν βόλεϊ. Προσδιορίστε τη συνεισφορά κάθε αγοριού, γνωρίζοντας ότι το 1/2 της συνεισφοράς του πρώτου αγοριού ισούται με το 1/3 της συνεισφοράς του δεύτερου, ή το 1/4 της συνεισφοράς του τρίτου, και ότι η συνεισφορά του τρίτου το αγόρι είναι 64 καπίκια περισσότερο από τη συμβολή του πρώτου.

541 *. 1) Ένας αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον άλλο κατά 6. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς εάν τα 2/5 του ενός αριθμού είναι ίση με τα 2/3 του άλλου.

2) Η διαφορά δύο αριθμών είναι 35. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς εάν το 1/3 του πρώτου αριθμού είναι ίσο με 3/4 του δεύτερου αριθμού.

542. 1) Η πρώτη ομάδα μπορεί να κάνει κάποια εργασία σε 36 ημέρες και η δεύτερη σε 45 ημέρες. Πόσες μέρες θα ολοκληρώσουν και οι δύο ομάδες, συνεργαζόμενες;

2) Μια επιβατική αμαξοστοιχία ταξιδεύει την απόσταση μεταξύ δύο πόλεων σε 10 ώρες και μια εμπορευματική αμαξοστοιχία ταξιδεύει σε αυτήν την απόσταση σε 15 ώρες. Και τα δύο τρένα έφυγαν από αυτές τις πόλεις ταυτόχρονα για να συναντηθούν. Σε πόσες ώρες θα συναντηθούν;

543. 1) Ένα γρήγορο τρένο καλύπτει την απόσταση μεταξύ δύο πόλεων σε 6 1/4 ώρες και ένα επιβατικό τρένο διαρκεί 7 1/2 ώρες. Σε πόσες ώρες θα συναντηθούν αυτά τα τρένα αν φύγουν ταυτόχρονα και από τις δύο πόλεις; (Ολοκληρώστε την απάντηση στην πλησιέστερη 1 ώρα.)

2) Δύο μοτοσικλετιστές έφυγαν ταυτόχρονα από τις δύο πόλεις. Ένας μοτοσικλετιστής μπορεί να διανύσει ολόκληρη την απόσταση μεταξύ αυτών των πόλεων σε 6 ώρες και άλλος σε 5 ώρες. Πόσες ώρες μετά την αναχώρηση θα συναντηθούν οι μοτοσικλετιστές; (Ολοκληρώστε την απάντηση στην πλησιέστερη 1 ώρα.)

544. 1) Τρία οχήματα διαφορετικής μεταφορικής ικανότητας μπορούν να μεταφέρουν κάποιο φορτίο, λειτουργώντας χωριστά: το πρώτο σε 10 ώρες, το δεύτερο σε 12 ώρες. και το τρίτο σε 15 ώρες. Πόσες ώρες μπορούν να μεταφέρουν το ίδιο φορτίο μαζί;

2) Δύο αμαξοστοιχίες αφήνουν δύο σταθμούς ταυτόχρονα μεταξύ τους: η πρώτη αμαξοστοιχία καλύπτει την απόσταση μεταξύ αυτών των σταθμών σε 12 1/2 ώρες και η δεύτερη σε 18 3/4 ώρες. Πόσες ώρες μετά την αναχώρηση θα συναντηθούν τα τρένα;

545. 1) Δύο βρύσες συνδέονται στο λουτρό. Μέσω ενός από αυτά, το λουτρό μπορεί να γεμίσει σε 12 λεπτά, μέσω των άλλων 1 1/2 φορές πιο γρήγορα. Πόσα λεπτά θα χρειαστεί να γεμίσετε το 5/6 ολόκληρου του μπάνιου αν ανοίξετε και τα δύο βρύσες ταυτόχρονα;

2) Δύο δακτυλογράφοι πρέπει να πληκτρολογήσουν ξανά το χειρόγραφο. Ο πρώτος ασσινιστής μπορεί να το κάνει αυτό σε 3 1/3 ημέρες και ο δεύτερος 1 1/2 φορές πιο γρήγορα. Τι μέρες θα ολοκληρώσουν και οι δύο δακτυλογράφοι αν δουλέψουν ταυτόχρονα;

546. 1) Η δεξαμενή γεμίζει με τον πρώτο σωλήνα σε 5 ώρες και μέσω του δεύτερου σωλήνα μπορεί να αδειάσει σε 6 ώρες Πόσες ώρες θα γεμίσει ολόκληρη η πισίνα εάν ανοίξουν ταυτόχρονα και οι δύο σωλήνες;

Ενδειξη. Σε μία ώρα, η πισίνα γεμίζει (1/5 - 1/6 της χωρητικότητάς της.)

2) Δύο τρακτέρ όργωσαν το χωράφι σε 6 ώρες. Ο πρώτος τρακτέρ, που εργάζεται μόνος του, θα μπορούσε να οργώσει αυτό το χωράφι σε 15 ώρες. Πόσες ώρες το δεύτερο τρακτέρ θα οργώσει αυτό το χωράφι, δουλεύοντας μόνος του;

547 *. Δύο τρένα φεύγουν από τους δύο σταθμούς ταυτόχρονα μεταξύ τους και συναντιούνται 18 ώρες αργότερα. μετά την κυκλοφορία του. Πόσος χρόνος χρειάζεται για να καλύψει η δεύτερη αμαξοστοιχία την απόσταση μεταξύ των σταθμών, εάν η πρώτη αμαξοστοιχία καλύπτει αυτήν την απόσταση σε 1 ημέρα και 21 ώρες;

548 *. Η πισίνα είναι γεμάτη με δύο σωλήνες. Πρώτα, ο πρώτος σωλήνας άνοιξε, και μετά μετά από 3 3/4 ώρες, όταν το μισό από την πισίνα ήταν γεμάτο, ο δεύτερος σωλήνας άνοιξε. Μετά από 2 1/2 ώρες εργασίας μαζί, η πισίνα ήταν γεμάτη. Προσδιορίστε τη χωρητικότητα της πισίνας εάν 200 κουβάδες νερού χύθηκαν μέσω του δεύτερου σωλήνα ανά ώρα.

549. 1) Ένα τρένο ταχυμεταφορών έφυγε από το Λένινγκραντ για τη Μόσχα, το οποίο περνά 1 χλμ σε 3/4 λεπτά 1/2 ώρα μετά την έξοδο του τρένου από τη Μόσχα, ένα γρήγορο τρένο έφυγε για το Λένινγκραντ, η ταχύτητα του οποίου ήταν ίση με 3/4 της ταχύτητας του τρένου εξπρές. Πόσο μακριά θα είναι τα τρένα 2 1/2 ώρες μετά την αναχώρηση του τρένου ταχυμεταφορών, εάν η απόσταση μεταξύ Μόσχας και Λένινγκραντ είναι 650 χλμ;

2) Από το συλλογικό αγρόκτημα στην πόλη 24 χλμ. Ένα φορτηγό έφυγε από το συλλογικό αγρόκτημα, το οποίο καλύπτει 1 χλμ σε 2 1/2 λεπτά. Μετά από 15 λεπτά. αφού το αυτοκίνητο έφυγε από την πόλη, ένας ποδηλάτης έφυγε για το συλλογικό αγρόκτημα, με ταχύτητα μισή από εκείνη ενός φορτηγού. Πόσο καιρό θα χρειαστεί ένας ποδηλάτης για να συναντήσει ένα φορτηγό μετά την αναχώρησή του;

550. 1) Ένας πεζός βγήκε από ένα χωριό. 4 1/2 ώρες μετά την έξοδο του πεζού, ένας ποδηλάτης έφυγε προς την ίδια κατεύθυνση, του οποίου η ταχύτητα ήταν 2 1/2 φορές υψηλότερη από την ταχύτητα του πεζού. Πόσες ώρες μετά την αποχώρηση του πεζού από τον ποδηλάτη;

2) Ένα γρήγορο τρένο ταξιδεύει 187 1/2 χλμ σε 3 ώρες και ένα φορτηγό τρένο 288 χλμ σε 6 ώρες. Σε 7 1/4 ώρες μετά την έξοδο του εμπορευματικού τρένου, ένα εξπρές τρένο αναχωρεί προς την ίδια κατεύθυνση. Πόσος χρόνος χρειάζεται για να φτάσει ένα γρήγορο τρένο με ένα φορτηγό τρένο;

551. 1) Από τις δύο συλλογικές εκμεταλλεύσεις, από τις οποίες περνά ο δρόμος προς το περιφερειακό κέντρο, δύο συλλογικοί αγρότες έφυγαν ταυτόχρονα με άλογο. Ο πρώτος από αυτούς ταξίδεψε 8 3/4 χιλιόμετρα ανά ώρα και το δεύτερο ήταν 1 1/7 φορές περισσότερο από το πρώτο. Ο δεύτερος συλλογικός αγρότης επανέλαβε τον πρώτο σε 3 4/5 ώρες. Προσδιορίστε την απόσταση μεταξύ συλλογικών εκμεταλλεύσεων.

2) 26 1/3 ώρες μετά την αναχώρηση του τρένου Μόσχας-Βλαδιβοστόκ, η μέση ταχύτητα του οποίου είναι 60 km ανά ώρα, το αεροσκάφος TU-104 αναχώρησε προς την ίδια κατεύθυνση, με ταχύτητα 14 1/6 φορές υψηλότερη από την ταχύτητα τρένου. Πόσες ώρες μετά την αναχώρηση θα φτάσει το αεροπλάνο με το τρένο;

552. 1) Η απόσταση μεταξύ πόλεων κατά μήκος του ποταμού είναι 264 χλμ. Το ατμόπλοιο κάλυψε αυτήν την απόσταση κατάντη σε 18 ώρες, ξοδεύοντας το 1/12 αυτού του χρόνου σε στάσεις. Η ταχύτητα του ποταμού είναι 1 1/2 χλμ ανά ώρα. Πόσο καιρό θα είχε περάσει ένα ατμόπλοιο χωρίς στάσεις 87 χλμ στάσιμο νερό?

2) Το μηχανοκίνητο σκάφος κάλυψε 207 χιλιόμετρα κατά μήκος του ποταμού σε 13 1/2 ώρες, περνώντας το 1/9 αυτού του χρόνου σε στάσεις. Η ταχύτητα της ροής του ποταμού είναι 1 3/4 km ανά ώρα. Πόσα χιλιόμετρα μπορεί να ταξιδέψει αυτό το σκάφος σε στάσιμο νερό σε 2 1/2 ώρες;

553. Το σκάφος στη δεξαμενή κάλυψε απόσταση 52 χλμ χωρίς να σταματήσει σε 3 ώρες και 15 λεπτά. Περαιτέρω, πηγαίνοντας κατά μήκος του ποταμού ενάντια στο ρεύμα, η ταχύτητα του οποίου είναι 1 3/4 km ανά ώρα, αυτό το σκάφος κάλυψε 28 1/2 km σε 2 1/4 ώρες, κάνοντας 3 στάσεις του ίδιου χρόνου. Πόσα λεπτά σταμάτησε το σκάφος σε κάθε στάση;

554. Από το Λένινγκραντ στο Κρόνσταντ στις 12 το μεσημέρι. μια μέρα το ατμόπλοιο έφυγε και κάλυψε ολόκληρη την απόσταση μεταξύ αυτών των πόλεων σε 1 1/2 ώρες. Στο δρόμο, συνάντησε ένα άλλο ατμόπλοιο που έφυγε από το Kronstadt για το Λένινγκραντ στις 12 ώρες και 18 λεπτά. και περπατώντας με ταχύτητα 1 1/4 φορές γρηγορότερα από την πρώτη. Τι ώρα πραγματοποιήθηκε η συνάντηση και των δύο πλοίων;

555. Το τρένο έπρεπε να ταξιδέψει σε απόσταση 630 χιλιομέτρων σε 14 ώρες. Έχοντας καλύψει τα 2/3 αυτής της απόστασης, κρατήθηκε για 1 ώρα και 10 λεπτά. Πόσο γρήγορα πρέπει να συνεχίσει στο δρόμο του για να φτάσει στον προορισμό του χωρίς καθυστέρηση;

556. Στις 4 ώρες 20 λεπτά. Το πρωί, ένα εμπορευματικό τρένο έφυγε από το Κίεβο για την Οδησσό με μέση ταχύτητα 31 1/5 km ανά ώρα. Μετά από λίγο, ένα τρένο ταχυδρομείου έφυγε από την Οδησσό για να τον συναντήσει, η ταχύτητα του οποίου είναι 1 17/39 φορές υψηλότερη από την ταχύτητα ενός εμπορευματικού τρένου και συναντήθηκε με ένα φορτηγό τρένο 6 1/2 ώρες μετά την αναχώρησή του. Τι ώρα έφυγε το τρένο ταχυδρομείου από την Οδησσό εάν η απόσταση μεταξύ Κίεβου και Οδησσού είναι 663 χλμ;

557 *. Το ρολόι δείχνει το μεσημέρι. Πόσο θα χρειαστεί να συμπίπτουν τα χέρια της ώρας και του λεπτού;

558. 1) Το εργοστάσιο διαθέτει τρία εργαστήρια. Ο αριθμός των εργαζομένων στο πρώτο κατάστημα είναι 9/20 όλων των εργαζομένων του εργοστασίου, στο δεύτερο κατάστημα υπάρχουν 1 1/2 φορές λιγότεροι εργαζόμενοι από ό, τι στο πρώτο, και στο τρίτο κατάστημα υπάρχουν 300 εργαζόμενοι λιγότερο από ό, τι στο δεύτερος. Πόσοι εργαζόμενοι υπάρχουν στο εργοστάσιο;

2) Υπάρχουν τρία γυμνάσια στην πόλη. Ο αριθμός των μαθητών στο πρώτο σχολείο είναι 3/10 όλων των μαθητών σε αυτά τα τρία σχολεία. στο δεύτερο σχολείο υπάρχουν 1 1/2 φορές περισσότεροι μαθητές από ό, τι στο πρώτο, και στο τρίτο σχολείο υπάρχουν 420 λιγότεροι μαθητές από ό, τι στο δεύτερο. Πόσοι μαθητές υπάρχουν στα τρία σχολεία;

559. 1) Δύο συνδυαστές δούλεψαν σε έναν ιστότοπο. Μετά τη συγκομιδή ενός θεριζοαλωνιστικού συλλέκτη 9/16 ολόκληρου του οικοπέδου, και το δεύτερο 3/8 του ίδιου οικοπέδου, αποδείχθηκε ότι η πρώτη θεριστική μηχανή συγκομίστηκε 97 1/2 εκτάρια περισσότερο από τη δεύτερη. Κατά μέσο όρο, 32 1/2 εκατοστά σιτηρών αλωνίστηκαν από κάθε εκτάριο. Πόσα σεντόνια σιτηρών συνδυάζει κάθε θεριστική μηχανή;

2) Δύο αδέλφια αγόρασαν μια κάμερα. Το ένα είχε 5/8 και το δεύτερο είχε 4/7 του κόστους της κάμερας και το πρώτο είχε 2 ρούβλια. 25 καπίκια περισσότερο από το δεύτερο. Κάθε πλήρωσε το μισό κόστος της συσκευής. Πόσα χρήματα έχουν απομείνει όλοι;

560. 1) Από την πόλη Α έως την πόλη Β, η απόσταση μεταξύ των οποίων είναι 215 km, ένα επιβατικό αυτοκίνητο έφυγε με ταχύτητα 50 km ανά ώρα. Ταυτόχρονα, ένα φορτηγό έφυγε από την πόλη Β για την πόλη Α. Πόσα χιλιόμετρα ταξίδεψε ένα επιβατικό αυτοκίνητο πριν συναντήσει ένα φορτηγό, εάν η ταχύτητα του φορτηγού ανά ώρα ήταν 18/25 της ταχύτητας ενός επιβατικού αυτοκινήτου;

2) Μεταξύ πόλεων Α και Β 210 χλμ. Ένα αυτοκίνητο έφυγε από την πόλη Α για την πόλη Β. Ταυτόχρονα, ένα φορτηγό έφυγε από την πόλη Β για την πόλη Α. Πόσα χιλιόμετρα ταξίδεψε ένα φορτηγό πριν συναντήσει ένα επιβατικό αυτοκίνητο, εάν ένα επιβατικό αυτοκίνητο ταξίδευε με ταχύτητα 48 χλμ ανά ώρα και η ταχύτητα ενός φορτηγού ανά ώρα ήταν 3/4 της ταχύτητας ενός επιβατικού αυτοκινήτου;

561. Το συλλογικό αγρόκτημα συγκομίζει σιτάρι και σίκαλη. Το σιτάρι σπέρθηκε 20 εκτάρια περισσότερο από τη σίκαλη. Η συνολική συγκομιδή σίκαλης ήταν 5/6 της συνολικής συγκομιδής σίτου με απόδοση 20 σεντ ανά εκτάριο τόσο για το σιτάρι όσο και για τη σίκαλη. Το συλλογικό αγρόκτημα πούλησε το 7/11 της συνολικής συγκομιδής σιταριού και σίκαλης στο κράτος και άφησε το υπόλοιπο σιτάρι για να καλύψει τις ανάγκες του. Πόσα ταξίδια έκαναν τα φορτηγά δύο τόνων για τη μεταφορά των σιτηρών που πωλήθηκαν στο κράτος;

562. Αλεύρι σίκαλης και σίτου μεταφέρθηκε στο αρτοποιείο. Το βάρος του αλευριού σίτου ήταν 3/5 του βάρους του αλευριού σίκαλης και το αλεύρι σίκαλης εισήχθη 4 τόνους περισσότερο από το αλεύρι σίτου. Πόσο σιτάρι και πόσο ψωμί σίκαλης θα ψηθεί από το αρτοποιείο από αυτό το αλεύρι εάν το ψήσιμο είναι 2/5 όλου του αλευριού;

563. Μέσα σε τρεις ημέρες, μια ομάδα εργαζομένων ολοκλήρωσε τα 3/4 του συνόλου των εργασιών για την επισκευή της εθνικής οδού μεταξύ των δύο συλλογικών εκμεταλλεύσεων. Την πρώτη ημέρα, επισκευάστηκαν 2 2/5 χλμ. Αυτού του αυτοκινητόδρομου, τη δεύτερη ημέρα, 1 1/2 φορές περισσότερο από ό, τι την πρώτη και την τρίτη ημέρα, 5/8 αυτού που επισκευάστηκε τις δύο πρώτες ημέρες μαζί. Βρείτε το μήκος της εθνικής οδού μεταξύ συλλογικών αγροκτημάτων.

564. Συμπληρώστε κενούς χώρους στον πίνακα, όπου το S είναι η περιοχή του ορθογωνίου, ένα είναι η βάση του ορθογωνίου, α η - ύψος (πλάτος) του ορθογωνίου.

565. 1) Το μήκος ενός ορθογώνιου οικοπέδου είναι 120 μέτρα και το πλάτος του οικοπέδου είναι 2/5 του μήκους του. Βρείτε την περίμετρο και την περιοχή της παρτίδας.

2) Το πλάτος του ορθογώνιου τμήματος είναι 250 μέτρα και το μήκος του είναι 1 1/2 φορές το πλάτος. Βρείτε την περίμετρο και την περιοχή της παρτίδας.

566. 1) Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι 6 1/2 dm, η βάση της είναι 1/4 dm μεγαλύτερη από το ύψος. Βρείτε την περιοχή αυτού του ορθογωνίου.

2) Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι 18 cm, το ύψος του είναι 2 1/2 cm λιγότερο από τη βάση. Βρείτε την περιοχή ενός ορθογωνίου.

567. Υπολογίστε τις περιοχές των σχημάτων που φαίνονται στο Σχήμα 30 διαιρώντας τις σε ορθογώνια και βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου με μέτρηση.

568. 1) Πόσα φύλλα στεγνού γύψου θα απαιτηθούν για την ταπετσαρία της οροφής ενός δωματίου μήκους 4 1/2 m και πλάτους 4 m εάν οι διαστάσεις του φύλλου γύψου είναι 2 mx l 1/2 m;

2) Πόσες σανίδες μήκους 4 1/2 L και πλάτους 1/4 m απαιτούνται για ένα πάτωμα μήκους 4 1/2 m και πλάτους 3 1/2 m;

569. 1) Οικόπεδο ορθογώνιου σχήματος μήκους 560 μέτρων και πλάτους 3/4 του μήκους του, φυτεύτηκε με φασόλια. Πόσους σπόρους χρειάστηκε για να σπείρει το οικόπεδο, εάν σπέρθηκε 1 εκατοστά ανά εκτάριο;

2) Το σιτάρι συγκομίστηκε από ορθογώνιο αγρό 25 εκατοστών ανά εκτάριο. Πόσο σιτάρι συγκομίστηκε από ολόκληρο το χωράφι αν το χωράφι έχει μήκος 800 μέτρα και το πλάτος είναι ίσο με τα 3/8 του μήκους του;

570 ... 1) Ένα ορθογώνιο κομμάτι γης, μήκους 78 3/4 m και πλάτους 56 4/5 m, χτίζεται έτσι ώστε τα 4/5 της περιοχής του να καταλαμβάνονται από κτίρια. Προσδιορίστε την έκταση κάτω από τα κτίρια.

2) Σε ένα ορθογώνιο κομμάτι γης, του οποίου το μήκος είναι 9/20 km και το πλάτος είναι 4/9 του μήκους του, η συλλογική φάρμα σχεδιάζει να δημιουργήσει έναν κήπο. Πόσα δέντρα θα φυτευτούν σε αυτόν τον κήπο εάν απαιτείται κατά μέσο όρο 36 τετραγωνικά μέτρα χώρου για κάθε δέντρο;

571. 1) Για τον κανονικό φωτισμό της ημέρας στο δωμάτιο, είναι απαραίτητο η επιφάνεια όλων των παραθύρων να είναι τουλάχιστον το 1/5 της επιφάνειας του δαπέδου. Προσδιορίστε αν υπάρχει αρκετό φως σε ένα δωμάτιο μήκους 5 1/2 m και πλάτους 4 m. Έχει το δωμάτιο ένα παράθυρο 1 1/2 mx 2 m;

2) Χρησιμοποιώντας την κατάσταση του προηγούμενου προβλήματος, μάθετε αν υπάρχει αρκετό φως στην τάξη σας.

572. 1) Ο αχυρώνας έχει διαστάσεις 5 1/2 mx 4 1/2 mx 2 1/2 m. Πόσο σανό (κατά βάρος) θα χωρέσει σε αυτόν τον αχυρώνα εάν γεμίσει στα 3/4 του ύψους του και εάν 1 κύβος . μ. σανό ζυγίζει 82 κιλά;

2) Η ξυλεία του καυσόξυλου έχει σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου, των οποίων οι διαστάσεις είναι 2 1/2 mx 3 1/2 mx 1 1/2 m. Ποιο είναι το βάρος του ξύλου εάν 1 κυβικό μέτρο. μ. καυσόξυλου ζυγίζει 600 κιλά;

573. 1) Το ορθογώνιο ενυδρείο γεμίζει με νερό έως και τα 3/5 του ύψους. Μήκος ενυδρείου 1 1/2 μ., Πλάτος 4/5 μ., Ύψος 3/4 μ. Πόσα λίτρα νερού βρίσκονται στο ενυδρείο;

2) Η πισίνα, η οποία έχει σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου, έχει μήκος 6 1/2 m, πλάτος 4 m και ύψος 2 m. Η πισίνα είναι γεμάτη με νερό έως τα 3/4 του ύψους της . Υπολογίστε την ποσότητα νερού που χύνεται στην πισίνα.

574. Ένας φράκτης πρέπει να χτιστεί γύρω από ένα ορθογώνιο κομμάτι γης μήκους 75 μέτρων και πλάτους 45 μέτρων. Πόσα κυβικά μέτρα σανίδων πρέπει να πάνε στη συσκευή του εάν το πάχος του ταμπλό είναι 2 1/2 cm και το ύψος του φράχτη πρέπει να είναι 2 1/4 m;

575. 1) Ποια είναι η γωνία των λεπτών και της ώρας των χεριών στις 13 η ώρα; στις 15 η ώρα; στις 17 η ώρα; στις 21 η ώρα; στις 23 ώρες και 30 λεπτά;

2) Πόσες μοίρες θα γυρίσει η ώρα σε 2 ώρες; 5 ώρα; 8 ώρες; 30 λεπτά.?

3) Πόσους βαθμούς περιέχει ένα τόξο ίσο με μισό κύκλο; Κύκλος 1/4; Κύκλος 1/24; Κύκλος 5/24;

576. 1) Σχεδιάστε με ένα μοιρογνωμόνιο: α) μια ορθή γωνία. β) γωνία 30 ° · γ) γωνία 60 ° · δ) γωνία 150 ° · ε) γωνία 55 °.

2) Μετρήστε τις γωνίες του σχήματος με ένα μοιρογνωμόνιο και βρείτε το άθροισμα όλων των γωνιών κάθε σχήματος (εικ. 31).

577. Εκτελέστε ενέργειες:

578. 1) Ο ημικύκλιος χωρίζεται σε δύο τόξα, το ένα εκ των οποίων είναι 100 ° μεγαλύτερο από το άλλο. Βρείτε το μέγεθος κάθε τόξου.

2) Ο ημικύκλιος χωρίζεται σε δύο τόξα, το ένα εκ των οποίων είναι 15 ° λιγότερο από το άλλο. Βρείτε το μέγεθος κάθε τόξου.

3) Ο ημικύκλιος χωρίζεται σε δύο τόξα, ένα εκ των οποίων είναι διπλάσιο από το άλλο. Βρείτε το μέγεθος κάθε τόξου.

4) Ο ημικύκλιος χωρίζεται σε δύο τόξα, ένα εκ των οποίων είναι 5 φορές μικρότερο από το άλλο. Βρείτε το μέγεθος κάθε τόξου.

579. 1) Το διάγραμμα «Αλφαβητισμός του πληθυσμού στην ΕΣΣΔ» (Εικ. 32) δείχνει τον αριθμό των εγγράφων ανά εκατό άτομα του πληθυσμού. Με βάση τα δεδομένα του διαγράμματος και την κλίμακα του, προσδιορίστε τον αριθμό των εγγράφων ανδρών και γυναικών για καθένα από τα υποδεικνυόμενα έτη.

Καταγράψτε τα αποτελέσματα στον πίνακα:

2) Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα από το διάγραμμα "Σοβιετικοί απεσταλμένοι στο διάστημα" (Εικ. 33), εκπονήστε εργασίες.

580. 1) Σύμφωνα με το γράφημα πίτας "Τρόπος της ημέρας για έναν μαθητή βαθμού V" (Εικ. 34), συμπληρώστε τον πίνακα και απαντήστε στις ερωτήσεις: ποιο μέρος της ημέρας ξοδεύεται στον ύπνο; εργασία για το σπίτι? στο σχολείο?

2) Δημιουργήστε ένα γράφημα πίτας για την καθημερινή σας ρουτίνα.

Ενέργειες με κλάσματα. Σε αυτό το άρθρο θα αναλύσουμε παραδείγματα, όλα είναι λεπτομερή με εξηγήσεις. Θα εξετάσουμε τα συνήθη κλάσματα. Στο μέλλον, θα αναλύσουμε τα δεκαδικά ψηφία. Σας συνιστώ να τα παρακολουθείτε όλα και να τα μελετάτε με συνέπεια.

1. Άθροισμα κλασμάτων, διαφορά κλασμάτων.

Κανόνας: κατά την προσθήκη κλασμάτων με ίσους παρονομαστές, το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα - ο παρονομαστής του παραμένει ο ίδιος και ο αριθμητής του θα είναι ίσος με το άθροισμα των αριθμητών των κλασμάτων.

Κανόνας: κατά τον υπολογισμό της διαφοράς των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, λαμβάνουμε ένα κλάσμα - ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος και ο αριθμητής του δεύτερου αφαιρείται από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος.

Επίσημη σημείωση του αθροίσματος και της διαφοράς των κλασμάτων με ίσους παρονομαστές:

Παραδείγματα (1):

Είναι σαφές ότι όταν δίδονται συνηθισμένα κλάσματα, τότε όλα είναι απλά, αλλά αν αναμιχθούν; Τίποτα περίπλοκο ...

Επιλογή 1 - μπορείτε να τα μετατρέψετε σε συνηθισμένα και στη συνέχεια να τα υπολογίσετε.

Επιλογή 2 - μπορείτε να "εργαστείτε" ξεχωριστά με τα ακέραια και κλασματικά μέρη.

Παραδείγματα (2):

Περισσότερο:

Και αν δοθεί η διαφορά των δύο μικτά κλάσματα και ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος θα είναι μικρότερος από τον αριθμητή του δεύτερου; Μπορείτε επίσης να ενεργήσετε με δύο τρόπους.

Παραδείγματα (3):

* Μεταφράστηκε σε συνηθισμένα κλάσματα, υπολόγισε τη διαφορά, μετέτρεψε το προκύπτον εσφαλμένο κλάσμα σε μικτό.

* Χωρισμένο σε ολόκληρα και κλασματικά μέρη, πήρε τρία, στη συνέχεια παρουσιάστηκε 3 ως το άθροισμα των 2 και 1, όπου η μονάδα εκπροσωπήθηκε ως 11/11, στη συνέχεια βρήκε τη διαφορά μεταξύ 11/11 και 7/11 και υπολόγισε το αποτέλεσμα. Η έννοια των παραπάνω μετασχηματισμών είναι να πάρουμε (επισημάνουμε) μια μονάδα και να την αντιπροσωπεύσουμε ως κλάσμα με τον παρονομαστή που χρειαζόμαστε, τότε μπορούμε να αφαιρέσουμε ένα άλλο από αυτό το κλάσμα.

Ενα άλλο παράδειγμα:

Συμπέρασμα: υπάρχει μια καθολική προσέγγιση - προκειμένου να υπολογιστεί το άθροισμα (διαφορά) των μικτών κλασμάτων με ίσους παρονομαστές, μπορείτε πάντα να τα μεταφράσετε σε λανθασμένα και, στη συνέχεια, να εκτελέσετε την απαραίτητη ενέργεια. Μετά από αυτό, εάν το αποτέλεσμα είναι λανθασμένο κλάσμα, το μετατρέπουμε σε μικτό.

Πάνω, εξετάσαμε παραδείγματα με κλάσματα που έχουν ίσους παρονομαστές. Τι γίνεται αν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί; Σε αυτήν την περίπτωση, τα κλάσματα μειώνονται στον ίδιο παρονομαστή και εκτελείται η καθορισμένη δράση. Για να αλλάξετε (μετατρέψετε) ένα κλάσμα, χρησιμοποιείται η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος.

Ας δούμε απλά παραδείγματα:

Σε αυτά τα παραδείγματα, βλέπουμε αμέσως πώς ένα από τα κλάσματα μπορεί να μετασχηματιστεί για να πάρει ίσους παρονομαστές.

Αν ορίσουμε τρόπους μείωσης των κλασμάτων σε έναν παρονομαστή, τότε αυτός θα ονομάζεται ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΝΑ.

Δηλαδή, αμέσως όταν "αξιολογείτε" το κλάσμα, πρέπει να υπολογίσετε εάν αυτή η προσέγγιση θα λειτουργήσει - ελέγχουμε εάν ο μεγαλύτερος παρονομαστής διαιρείται με τον μικρότερο. Και εάν διαιρείται, τότε εκτελούμε τον μετασχηματισμό - πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή έτσι ώστε οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων να γίνουν ίσοι.

Τώρα δείτε αυτά τα παραδείγματα:

Αυτή η προσέγγιση δεν ισχύει για αυτούς. Υπάρχουν επίσης τρόποι για να φέρετε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, σκεφτείτε τα.

Μέθοδος ΔΥΟ.

Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου, και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος με τον παρονομαστή του πρώτου:

* Στην πραγματικότητα, φέρουμε τα κλάσματα στη μορφή όταν οι παρονομαστές γίνονται ίσοι. Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε τον κανόνα για την προσθήκη μπλουζών με ίσους παρονομαστές.

Παράδειγμα:

* Αυτή η μέθοδος μπορεί να ονομαστεί καθολική και λειτουργεί πάντα. Το μόνο μειονέκτημα είναι ότι μετά τους υπολογισμούς, μπορεί να λάβετε ένα κλάσμα που θα πρέπει να μειωθεί περαιτέρω.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Μπορείτε να δείτε ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής διαιρούνται με 5:

Μέθοδος ΤΡΙΤΟ.

Βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλό (LCM) των παρονομαστών. Αυτός θα είναι ο κοινός παρονομαστής. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; Αυτός είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται από κάθε έναν από τους αριθμούς.

Κοιτάξτε, εδώ είναι δύο αριθμοί: 3 και 4, υπάρχουν πολλοί αριθμοί που μπορούν να διαιρεθούν από αυτούς - αυτοί είναι 12, 24, 36, ... Ο μικρότερος από αυτούς είναι 12. Ή 6 και 15, διαιρούνται με 30, 60, 90 .... Το μικρότερο 30. Το ερώτημα είναι - πώς να προσδιορίσετε αυτό το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο;

Υπάρχει ένας σαφής αλγόριθμος, αλλά συχνά αυτό μπορεί να γίνει αμέσως χωρίς υπολογισμούς. Για παράδειγμα, σύμφωνα με τα παραπάνω παραδείγματα (3 και 4, 6 και 15), δεν απαιτείται αλγόριθμος, πήραμε μεγάλους αριθμούς (4 και 15) και τους διπλασιάσαμε και είδαμε ότι διαιρούνται από τον δεύτερο αριθμό, αλλά ζεύγη αριθμών μπορεί να είναι άλλοι, για παράδειγμα 51 και 119.

Αλγόριθμος. Για να προσδιορίσετε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο από πολλούς αριθμούς, πρέπει:

- αποσυνθέστε καθέναν από τους αριθμούς σε ΠΡΩΤΟΒΟΥΛΙΑ παράγοντες

- γράψτε την αποσύνθεση των περισσότερων από αυτά

- πολλαπλασιάστε το με τους παραλείποντες παράγοντες άλλων αριθμών

Ας εξετάσουμε μερικά παραδείγματα:

50 και 60 \u003d\u003e 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

λείπει η επέκταση ενός μεγαλύτερου αριθμού πέντε

\u003d\u003e LCM (50,60) \u003d 2 ∙ 2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 5 ∙ 5 \u003d 300

48 και 72 \u003d\u003e 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

η επέκταση ενός μεγαλύτερου αριθμού λείπει δύο και τρία

\u003d\u003e LCM (48,72) \u003d 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 3 \u003d 144

* Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των δύο πρώτων είναι ίσο με το προϊόν τους

Ερώτηση! Και γιατί είναι χρήσιμο να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλό, επειδή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη μέθοδο και απλώς να ακυρώσετε το προκύπτον κλάσμα; Ναι, μπορείτε, αλλά δεν είναι πάντα βολικό. Κοιτάξτε τον προκύπτον παρονομαστή για τους αριθμούς 48 και 72, αν τους πολλαπλασιάσετε απλά 48 ∙ 72 \u003d 3456. Συμφωνώ ότι είναι πιο ευχάριστο να δουλεύεις με μικρότερους αριθμούς.

Ας εξετάσουμε μερικά παραδείγματα:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

στην επέκταση ενός μεγαλύτερου αριθμού λείπει ένα τριπλό

\u003d\u003e LCM (51.119) \u003d 3 ∙ 7 ∙ 17

Τώρα ας εφαρμόσουμε την πρώτη μέθοδο:

* Δείτε ποια είναι η διαφορά στους υπολογισμούς, στην πρώτη περίπτωση υπάρχει ένα ελάχιστο από αυτά, και στη δεύτερη πρέπει να εργαστείτε ξεχωριστά σε ένα κομμάτι χαρτί και ακόμη και το κλάσμα που λάβατε πρέπει να μειωθεί. Η εύρεση του LCM κάνει τη δουλειά πολύ πιο εύκολη.

Περισσότερα παραδείγματα:

* Στο δεύτερο παράδειγμα, μπορείτε να δείτε ότι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με 40 και 60 είναι 120.

ΣΥΝΟΛΟ! ΓΕΝΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ!

- μειώνουμε τα κλάσματα σε συνηθισμένα αν υπάρχει ολόκληρο μέρος.

- φέρνουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή (πρώτα, εξετάζουμε εάν ένας παρονομαστής διαιρείται με έναν άλλο, εάν διαιρείται, τότε πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του άλλου κλάσματος · εάν δεν διαιρείται, ενεργούμε μέσω του άλλες μεθόδους που αναφέρονται παραπάνω).

- έχοντας λάβει κλάσματα με ίσους παρονομαστές, εκτελούμε ενέργειες (προσθήκη, αφαίρεση).

- εάν είναι απαραίτητο, μειώνουμε το αποτέλεσμα.

- εάν είναι απαραίτητο, επιλέξτε ολόκληρο το μέρος.

2. Προϊόν των κλασμάτων.

Ο κανόνας είναι απλός. Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, οι αριθμητές και οι παρονομαστές τους πολλαπλασιάζονται:

Παραδείγματα:

Αυτό το άρθρο καλύπτει ενέργειες για κλάσματα. Οι κανόνες προσθήκης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης ή εκτόνωσης των κλασμάτων της μορφής Α Β, όπου τα Α και Β μπορούν να είναι αριθμοί, αριθμητικές εκφράσεις ή εκφράσεις με μεταβλητές, θα σχηματιστούν και θα αιτιολογηθούν. Εν κατακλείδι, θα εξετάσουμε παραδείγματα λύσεων με λεπτομερή περιγραφή.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Γενικοί κανόνες για την εκτέλεση ενεργειών με αριθμητικά κλάσματα

Τα γενικά αριθμητικά κλάσματα έχουν αριθμητή και παρονομαστή, που περιέχουν φυσικούς αριθμούς ή αριθμητικές εκφράσεις. Λαμβάνοντας υπόψη τα κλάσματα όπως 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0 , 5 ln 3, τότε είναι σαφές ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής μπορούν να έχουν όχι μόνο αριθμούς, αλλά και εκφράσεις διαφορετικού σχεδίου.

Ορισμός 1

Υπάρχουν κανόνες σύμφωνα με τους οποίους πραγματοποιούνται ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα. Είναι επίσης κατάλληλο για γενικά κλάσματα:

• Κατά την αφαίρεση των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, προστίθενται μόνο οι αριθμητές και ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος, δηλαδή: a d ± c d \u003d a ± c d, οι τιμές a, c και d ≠ 0 είναι ορισμένοι αριθμοί ή αριθμητικές εκφράσεις.
• Όταν προσθέτετε ή αφαιρείτε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, είναι απαραίτητο να μειώσετε το σύνολο και, στη συνέχεια, να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε τα προκύπτοντα κλάσματα με τους ίδιους δείκτες. Κυριολεκτικά μοιάζει έτσι a b ± c d \u003d a p ± c r s, όπου οι τιμές a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 είναι πραγματικοί αριθμοίκαι b p \u003d d r \u003d s. Όταν p \u003d d και r \u003d b, τότε a b ± c d \u003d a d ± c d b d.
• Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, εκτελείται μια ενέργεια με τους αριθμητές και, στη συνέχεια, με τους παρονομαστές, τότε λαμβάνουμε ένα b c d \u003d a c b d, όπου a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 ενεργούν ως πραγματικοί αριθμοί.
• Όταν διαιρούμε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, το πρώτο πολλαπλασιάζεται με το δεύτερο αντίστροφο, δηλαδή, αντικαθιστούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή: a b: c d \u003d a b d c.

Σκεπτικό για τους κανόνες

Ορισμός 2

Υπάρχουν τα ακόλουθα μαθηματικά σημεία στα οποία πρέπει να βασίζεστε κατά τον υπολογισμό:

• κλασματική ράβδος σημαίνει σημάδι διαίρεσης.
• διαίρεση με έναν αριθμό θεωρείται πολλαπλασιασμός με τον αμοιβαίο του ·
• εφαρμογή των ιδιοτήτων των ενεργειών με πραγματικούς αριθμούς ·
• εφαρμογή της βασικής ιδιότητας ενός κλάσματος και αριθμητικών ανισοτήτων.

Με τη βοήθειά τους, μπορείτε να κάνετε μετασχηματισμούς της φόρμας:

a d ± c d \u003d a d - 1 ± c d - 1 \u003d a ± c d - 1 \u003d a ± c d; a b ± c d \u003d a p b p ± c r d r \u003d a p s ± c e s \u003d a p ± c r s; ab cd \u003d a db d b cb d \u003d a d a d - 1 b c b d - 1 \u003d a d b c b d - 1 B d - 1 \u003d a d b cb d b d - 1 \u003d (a c) (b d) - 1 \u003d a cb d

Παραδείγματα του

Στην προηγούμενη παράγραφο, ειπώθηκε για ενέργειες με κλάσματα. Μετά από αυτό πρέπει να απλοποιηθεί το κλάσμα. Αυτό το θέμα συζητήθηκε λεπτομερώς στην παράγραφο για τη μετατροπή των κλασμάτων.

Αρχικά, ας δούμε ένα παράδειγμα προσθήκης και αφαίρεσης κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή.

Παράδειγμα 1

Λαμβάνοντας υπόψη τα κλάσματα 8 2, 7 και 1 2, 7, τότε σύμφωνα με τον κανόνα είναι απαραίτητο να προσθέσετε τον αριθμητή και να ξαναγράψετε τον παρονομαστή.

Απόφαση

Στη συνέχεια, λαμβάνουμε ένα κλάσμα της φόρμας 8 + 1 2, 7. Μετά την ολοκλήρωση της προσθήκης, λαμβάνουμε ένα κλάσμα της φόρμας 8 + 1 2, 7 \u003d 9 2, 7 \u003d 90 27 \u003d 3 1 3. Ως εκ τούτου, 8 2, 7 + 1 2, 7 \u003d 8 + 1 2, 7 \u003d 9 2, 7 \u003d 90 27 \u003d 3 1 3.

Απάντηση: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Υπάρχει μια άλλη λύση. Καταρχάς, πραγματοποιείται μετάβαση στη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος, μετά την οποία πραγματοποιούμε μια απλοποίηση. Μοιάζει με αυτό:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Παράδειγμα 2

Αφαιρέστε 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 κλάσματα της φόρμας 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1.

Δεδομένου ότι οι παρονομαστές είναι ίσοι, αυτό σημαίνει ότι υπολογίζουμε το κλάσμα με τον ίδιο παρονομαστή. Το καταλαβαίνουμε

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 \u003d 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Υπάρχουν παραδείγματα υπολογισμού των κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Ένα σημαντικό σημείο είναι η μείωση σε έναν κοινό παρονομαστή. Χωρίς αυτό, δεν θα μπορούμε να κάνουμε περαιτέρω ενέργειες με κλάσματα.

Η διαδικασία μοιάζει αόριστα με την κοινή μείωση παρονομαστή. Δηλαδή, γίνεται αναζήτηση για τον λιγότερο κοινό συντελεστή στον παρονομαστή, μετά τον οποίο προστίθενται οι συντελεστές που λείπουν στα κλάσματα.

Εάν τα κλάσματα που θα προστεθούν δεν έχουν κοινούς παράγοντες, τότε το προϊόν τους μπορεί να γίνει αυτά.

Παράδειγμα 3

Εξετάστε το παράδειγμα της προσθήκης των κλασμάτων 2 3 5 + 1 και 1 2.

Απόφαση

Σε αυτήν την περίπτωση, ο κοινός παρονομαστής είναι το προϊόν των παρονομαστών. Τότε έχουμε αυτό το 2 · 3 5 + 1. Στη συνέχεια, όταν ορίζουμε επιπλέον παράγοντες, έχουμε ότι στο πρώτο κλάσμα είναι ίσο με 2 και στο δεύτερο 3 5 + 1. Μετά τον πολλαπλασιασμό, τα κλάσματα μειώνονται στη μορφή 4 2 · 3 5 + 1. Το γενικό cast 1 2 θα είναι 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Προσθέτουμε τις προκύπτουσες κλασματικές εκφράσεις και λαμβάνουμε αυτό

2 3 5 + 1 + 1 2 \u003d 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 \u003d \u003d 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 \u003d 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 \u003d 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Απάντηση: 2 3 5 + 1 + 1 2 \u003d 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Όταν αντιμετωπίζουμε γενικά κλάσματα, τότε ο λιγότερο κοινός παρονομαστής συνήθως δεν ισχύει. Δεν είναι επικερδές να λαμβάνετε το προϊόν των αριθμητών ως παρονομαστή. Πρώτον, πρέπει να ελέγξετε εάν υπάρχει ένας αριθμός που έχει λιγότερη αξία από το προϊόν τους.

Παράδειγμα 4

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, 1 6 2 1 5 και 1 4 2 3 5, όταν το προϊόν τους θα είναι 6 2 1 5 4 2 3 5 \u003d 24 2 4 5. Στη συνέχεια παίρνουμε το 12 · 2 3 5 ως τον κοινό παρονομαστή.

Εξετάστε παραδείγματα πολλαπλασιασμού γενικών κλασμάτων.

Παράδειγμα 5

Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα 2 + 1 6 και 2 · 5 3 · 2 + 1.

Απόφαση

Ο ακόλουθος κανόνας πρέπει να ξαναγραφεί και το προϊόν των αριθμητών πρέπει να γραφτεί ως παρονομαστής. Έχουμε αυτό το 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Όταν το κλάσμα πολλαπλασιάζεται, μπορούν να γίνουν συντομογραφίες για να το απλοποιήσουν. Στη συνέχεια 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 \u003d 5 3 3 2 + 1 9 3 10.

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της μετάβασης από διαίρεση σε πολλαπλασιασμό με ένα αντίστροφο κλάσμα, παίρνουμε το αντίστροφο του δεδομένου κλάσματος. Για να γίνει αυτό, ο αριθμητής και ο παρονομαστής εναλλάσσονται. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 \u003d 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Τότε πρέπει να εκτελέσουν πολλαπλασιασμό και να απλοποιήσουν το προκύπτον κλάσμα. Εάν είναι απαραίτητο, απαλλαγείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή. Το καταλαβαίνουμε

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 \u003d 5 3 3 9 3 10 2 + 1 \u003d 5 2 10 2 + 1 \u003d 3 2 2 + 1 \u003d \u003d 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 \u003d 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 \u003d 3 2 - 1 2

Απάντηση: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 \u003d 3 2 - 1 2

Αυτή η ρήτρα ισχύει όταν ένας αριθμός ή αριθμητική έκφραση μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα με παρονομαστή ίσο με 1, τότε η ενέργεια με ένα τέτοιο κλάσμα θεωρείται ξεχωριστή ρήτρα. Για παράδειγμα, η έκφραση 1 6 · 7 4 - 1 · 3 δείχνει ότι η ρίζα του 3 μπορεί να αντικατασταθεί από μια άλλη έκφραση 3 1. Στη συνέχεια, αυτή η εγγραφή θα μοιάζει με τον πολλαπλασιασμό δύο κλασμάτων της φόρμας 1 6 · 7 4 - 1 · 3 \u003d 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Εκτέλεση ενέργειας σε κλάσματα που περιέχουν μεταβλητές

Οι κανόνες που συζητήθηκαν στο πρώτο άρθρο ισχύουν για ενέργειες με κλάσματα που περιέχουν μεταβλητές. Σκεφτείτε τον κανόνα της αφαίρεσης όταν οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι.

Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι τα A, C και D (D δεν είναι μηδέν) μπορούν να είναι οποιεσδήποτε εκφράσεις και η ισότητα A D ± C D \u003d A ± C D είναι ισοδύναμη με το εύρος των αποδεκτών τιμών.

Είναι απαραίτητο να ληφθεί ένα σύνολο μεταβλητών DHS. Στη συνέχεια, τα A, C, D πρέπει να λάβουν τις αντίστοιχες τιμές a 0, c 0 και δ 0... Η αντικατάσταση της φόρμας A D ± C D οδηγεί σε διαφορά της φόρμας 0 d 0 ± c 0 d 0, όπου με τον κανόνα προσθήκης λαμβάνουμε έναν τύπο της φόρμας 0 ± c 0 d 0. Αν αντικαταστήσουμε την έκφραση A ± C D, τότε λαμβάνουμε το ίδιο κλάσμα της μορφής 0 ± c 0 d 0. Ως εκ τούτου, συμπεραίνουμε ότι η επιλεγμένη τιμή που ικανοποιεί τα ODZ, A ± C D και A D ± C D θεωρείται ίση.

Για οποιαδήποτε τιμή των μεταβλητών, αυτές οι εκφράσεις θα είναι ίσες, δηλαδή ονομάζονται ίδιες. Ως εκ τούτου, αυτή η έκφραση θεωρείται αποδεδειγμένη ισότητα της μορφής A D ± C D \u003d A ± C D.

Παραδείγματα προσθήκης και αφαίρεσης κλασμάτων με μεταβλητές

Όταν οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι, πρέπει μόνο να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε τους αριθμητές. Αυτό το κλάσμα μπορεί να απλοποιηθεί. Μερικές φορές πρέπει να εργαστείτε με κλάσματα που είναι όμοια ίδια, αλλά με την πρώτη ματιά αυτό είναι αόρατο, καθώς είναι απαραίτητο να εκτελέσετε κάποιους μετασχηματισμούς. Για παράδειγμα, x 2 3 x 1 3 + 1 και x 1 3 + 1 2 ή 1 2 sin 2 α και sin a cos a. Τις περισσότερες φορές, απαιτείται απλοποίηση της αρχικής έκφρασης για να δείτε τους ίδιους παρονομαστές.

Παράδειγμα 6

Υπολογισμός: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - xx + x - 2, 2) lg 2 x + 4 x (lgx + 2) + 4 lgxx (lgx + 2), x - 1 x - 1 + xx + 1.

Απόφαση

1. Για τον υπολογισμό, πρέπει να αφαιρέσετε τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Τότε έχουμε το x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 \u003d x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2. Μετά από αυτό, μπορείτε να ανοίξετε τις αγκύλες με τη μείωση παρόμοιων όρων. Έχουμε ότι x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 \u003d x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 \u003d x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Δεδομένου ότι οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι, παραμένει μόνο η προσθήκη των αριθμητών, αφήνοντας τον παρονομαστή: lg 2 x + 4 x (lgx + 2) + 4 lgxx (lgx + 2) \u003d lg 2 x + 4 + 4 x (lgx + 2)
   Η προσθήκη ολοκληρώθηκε. Φαίνεται ότι είναι δυνατόν να μειωθεί το κλάσμα. Ο αριθμητής του μπορεί να διπλωθεί σύμφωνα με τον τύπο του τετραγώνου του αθροίσματος, μετά παίρνουμε (l g x + 2) 2 από τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού. Τότε το καταλαβαίνουμε
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) \u003d (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) \u003d l g x + 2 x
3. Δεδομένα κλάσματα της μορφής x - 1 x - 1 + x x + 1 με διαφορετικούς παρονομαστές. Μετά τον μετασχηματισμό, μπορείτε να προχωρήσετε στην προσθήκη.

Εξετάστε μια διπλή λύση.

Η πρώτη μέθοδος συνίσταται στο γεγονός ότι ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος αποσυντίθεται σε παράγοντες που χρησιμοποιούν τετράγωνα και με την επακόλουθη μείωση του. Λαμβάνουμε ένα κλάσμα της φόρμας

x - 1 x - 1 \u003d x - 1 (x - 1) x + 1 \u003d 1 x + 1

Ως εκ τούτου, x - 1 x - 1 + x x + 1 \u003d 1 x + 1 + x x + 1 \u003d 1 + x x + 1.

Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή.

1 + x x + 1 \u003d 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 \u003d x - 1 + x x - x x - 1

Ο δεύτερος τρόπος είναι να πολλαπλασιαστεί ο αριθμητής και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος με την έκφραση x - 1. Έτσι, απαλλαγούμε από τον παράλογο και προχωρούμε στην προσθήκη κλασμάτων παρουσία του ίδιου παρονομαστή. Τότε

x - 1 x - 1 + xx + 1 \u003d x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 \u003d \u003d x - 1 x - 1 + x x - xx - 1 \u003d x - 1 + xx - xx - 1

Απάντηση: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - xx + x - 2 \u003d x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) lg 2 x + 4 x (lgx + 2) + 4 lgxx (Lgx) + 2) \u003d lgx + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + xx + 1 \u003d x - 1 + xx - xx - 1.

ΣΕ τελευταίο παράδειγμα κατέληξε ότι η μείωση σε έναν κοινό παρονομαστή είναι αναπόφευκτη. Για αυτό, είναι απαραίτητο να απλουστευθούν τα κλάσματα. Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε, πρέπει πάντα να αναζητήσετε έναν κοινό παρονομαστή, ο οποίος μοιάζει με το προϊόν των παρονομαστών με την προσθήκη επιπλέον παραγόντων στους αριθμητές.

Παράδειγμα 7

Υπολογίστε τις τιμές των κλασμάτων: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin xx 5 ln (x + 1) (2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos xx + x

Απόφαση

1. Ο παρονομαστής δεν απαιτεί περίπλοκους υπολογισμούς, οπότε πρέπει να επιλέξετε το προϊόν του με τη μορφή 3 x 7 + 2 2, και στη συνέχεια στο πρώτο κλάσμα το x 7 + 2 2 επιλέγεται ως πρόσθετος παράγοντας και 3 στο δεύτερο. Όταν πολλαπλασιάζουμε, λαμβάνουμε ένα κλάσμα της μορφής x 3 + 1 x 7 + 2 2 \u003d x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 \u003d \u003d x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 \u003d xx 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Μπορεί να φανεί ότι οι παρονομαστές παρουσιάζονται ως προϊόν, πράγμα που σημαίνει ότι δεν χρειάζονται πρόσθετοι μετασχηματισμοί. Ο κοινός παρονομαστής είναι προϊόν της μορφής x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4. Ως εκ τούτου x 4 είναι ο συμπληρωματικός παράγοντας του πρώτου κλάσματος και ln (x + 1) στο δεύτερο. Στη συνέχεια αφαιρούμε και παίρνουμε αυτό:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin xx 5 ln (x + 1) 2 x - 4 \u003d \u003d x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) \u003d \u003d x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) \u003d xx 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4)
3. Αυτό το παράδειγμα έχει νόημα όταν εργάζεστε με παρονομαστές των κλασμάτων. Είναι απαραίτητο να εφαρμόσετε τους τύπους για τη διαφορά των τετραγώνων και του τετραγώνου του αθροίσματος, καθώς θα καταστήσουν δυνατή τη μετάβαση σε μια έκφραση της φόρμας 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x 2. Μπορεί να φανεί ότι τα κλάσματα μειώνονται σε έναν κοινό παρονομαστή. Έχουμε αυτό το cos x - x · cos x + x 2.

Τότε το καταλαβαίνουμε

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x \u003d \u003d 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 \u003d \u003d cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 \u003d \u003d cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 \u003d 2 cos x cos x - x Cos x + x 2

Απάντηση:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 \u003d x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin xx 5 ln (x + 1) 2 x - 4 \u003d \u003d xx 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos xx + x \u003d 2 cos x cos x - x cos x + x 2.

Παραδείγματα πολλαπλασιασμού κλασμάτων με μεταβλητές

Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, ο αριθμητής πολλαπλασιάζεται με τον αριθμητή και ο παρονομαστής με τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, μπορεί να εφαρμοστεί η ιδιότητα μείωσης.

Παράδειγμα 8

Πολλαπλασιάστε τα κλάσματα x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 και 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Απόφαση

Ο πολλαπλασιασμός πρέπει να γίνει. Το καταλαβαίνουμε

x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) \u003d \u003d x - 2 x 3 x 2 1 3 X + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 αμαρτία (2 x - x)

Ο αριθμός 3 μεταφέρεται στην πρώτη θέση για τη διευκόλυνση των υπολογισμών και μπορείτε να μειώσετε το κλάσμα κατά x 2, τότε λαμβάνουμε μια έκφραση της φόρμα

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Απάντηση: x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) \u003d 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x).

Διαίρεση

Η διαίρεση για τα κλάσματα είναι παρόμοια με τον πολλαπλασιασμό, καθώς το πρώτο κλάσμα πολλαπλασιάζεται με το δεύτερο αντίστροφο. Αν πάρουμε για παράδειγμα το κλάσμα x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 και διαιρέσουμε με 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, τότε μπορεί να γραφτεί ως

x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε με ένα προϊόν της μορφής x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Εκτόνωση

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση των ενεργειών με γενικά κλάσματα με αύξηση σε ισχύ. Εάν υπάρχει ένας βαθμός με έναν φυσικό εκθέτη, τότε η δράση θεωρείται ως πολλαπλασιασμός των ίδιων κλασμάτων. Συνιστάται όμως η χρήση μιας γενικής προσέγγισης βάσει των ιδιοτήτων των βαθμών. Οποιεσδήποτε εκφράσεις A και C, όπου το C δεν είναι ίδιο με το μηδέν και οποιοδήποτε πραγματικό r στο ODZ για έκφραση της μορφής A C r, η ισότητα A C r \u003d A r C r είναι αλήθεια. Το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα που αυξάνεται σε ισχύ. Για παράδειγμα, σκεφτείτε:

x 0,7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 \u003d \u003d x 0,7 - π ln 3 x - 2 - 5 2,5 x + 1 2, 5

Η σειρά των ενεργειών με κλάσματα

Οι ενέργειες στα κλάσματα εκτελούνται σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Στην πράξη, παρατηρούμε ότι μια έκφραση μπορεί να περιέχει πολλά κλάσματα ή κλασματικές εκφράσεις. Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε όλες τις ενέργειες με αυστηρή σειρά: αύξηση σε ισχύ, πολλαπλασιασμός, διαίρεση και, στη συνέχεια, προσθήκη και αφαίρεση. Εάν υπάρχουν αγκύλες, η πρώτη ενέργεια πραγματοποιείται σε αυτά.

Παράδειγμα 9

Αξιολογήστε 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x.

Απόφαση

Δεδομένου ότι έχουμε τον ίδιο παρονομαστή, τότε 1 - x cos x και 1 c o s x, αλλά είναι αδύνατο να αφαιρεθεί σύμφωνα με τον κανόνα, πρώτα εκτελούνται οι ενέργειες σε παρενθέσεις, μετά πολλαπλασιασμός και μετά προσθήκη. Στη συνέχεια, κατά τον υπολογισμό, το βρίσκουμε

1 + 1 x \u003d 1 1 + 1 x \u003d x x + 1 x \u003d x + 1 x

Αντικαθιστώντας την έκφραση στην αρχική, λαμβάνουμε αυτό το 1 - x cos x - 1 cos x x + 1 x. Όταν πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα, έχουμε: 1 cos x x + 1 x \u003d x + 1 cos x x. Κάνοντας όλες τις αντικαταστάσεις, έχουμε 1 - x cos x - x + 1 cos x x. Τώρα πρέπει να εργαστείτε με κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Παίρνουμε:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x \u003d x 1 - x - 1 + x cos x x \u003d \u003d x - x - x - 1 cos x x \u003d - x + 1 cos x x

Απάντηση: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x \u003d - x + 1 cos x x.

Εάν παρατηρήσετε σφάλμα στο κείμενο, επιλέξτε το και πατήστε Ctrl + Enter

Υπολογιστής κλάσματος σχεδιασμένο για γρήγορο υπολογισμό των λειτουργιών με κλάσματα, θα σας βοηθήσει να προσθέσετε, να πολλαπλασιάσετε, να διαιρέσετε ή να αφαιρέσετε εύκολα κλάσματα.

Οι σύγχρονοι μαθητές αρχίζουν να μελετούν κλάσματα που βρίσκονται ήδη στην τάξη 5, κάθε χρόνο οι ασκήσεις μαζί τους γίνονται πιο περίπλοκες. Οι μαθηματικοί όροι και οι αξίες που μαθαίνουμε στο σχολείο σπάνια μας βοηθούν στην ενηλικίωση. Ωστόσο, τα κλάσματα, σε αντίθεση με τους λογάριθμους και τις δυνάμεις, συναντώνται αρκετά συχνά στην καθημερινή ζωή (μέτρηση απόστασης, ζύγιση εμπορευμάτων κ.λπ.). Η αριθμομηχανή μας έχει σχεδιαστεί για γρήγορες λειτουργίες με κλάσματα.

Αρχικά, ας καθορίσουμε τι είναι τα κλάσματα και τι είναι. Τα κλάσματα είναι η αναλογία ενός αριθμού προς τον άλλο, αυτός είναι ένας αριθμός που αποτελείται από έναν ακέραιο αριθμό κλασμάτων ενός.

Ποικιλίες κλασμάτων:

• Συνήθης
• Δεκαδικός
• Μικτός

Παράδειγμα κοινά κλάσματα:

Η ανώτερη τιμή είναι ο αριθμητής, η χαμηλότερη είναι ο παρονομαστής. Η παύλα μας δείχνει ότι ο κορυφαίος αριθμός διαιρείται από τον κάτω. Αντί για παρόμοια μορφή γραφής με την παύλα οριζόντια, μπορείτε να γράψετε διαφορετικά. Μπορείτε να βάλετε μια κεκλιμένη γραμμή, για παράδειγμα:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Δεκαδικά κλάσματα είναι ο πιο δημοφιλής τύπος κλασμάτων. Αποτελούνται από ένα ολόκληρο μέρος και ένα κλασματικό μέρος, χωρισμένο με κόμμα.

Ένα παράδειγμα δεκαδικών κλασμάτων:

0,2, ή 6,71 ή 0,125

Αποτελούνται από ακέραιο και κλασματικό μέρος. Για να μάθετε την έννοια αυτού του κλάσματος, πρέπει να προσθέσετε έναν ακέραιο και ένα κλάσμα.

Ένα παράδειγμα μικτών κλασμάτων:

Ο υπολογιστής κλάσματος στον ιστότοπό μας είναι σε θέση να εκτελεί γρήγορα μαθηματικές πράξεις με κλάσματα στο διαδίκτυο:

• Πρόσθεση
• Αφαίρεση
• Πολλαπλασιασμός
• Διαίρεση

Για να πραγματοποιήσετε τον υπολογισμό, πρέπει να εισαγάγετε αριθμούς στα πεδία και να επιλέξετε μια ενέργεια. Για κλάσματα, πρέπει να συμπληρώσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή, ολόκληρος ο αριθμός ενδέχεται να μην είναι γραμμένος (εάν το κλάσμα είναι συνηθισμένο). Μην ξεχάσετε να κάνετε κλικ στο κουμπί ίσο.

Βολικά, η αριθμομηχανή παρέχει αμέσως μια διαδικασία για την επίλυση ενός παραδείγματος με κλάσματα και όχι απλώς μια έτοιμη απάντηση. Χάρη στην υλοποιημένη λύση μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτό το υλικό κατά την επίλυση σχολικά καθήκοντα και για καλύτερη γνώση του καλυπτόμενου υλικού.

Πρέπει να υπολογίσετε το παράδειγμα:

Αφού εισαγάγετε τους δείκτες στα πεδία φόρμας, λαμβάνουμε:

Για να κάνετε έναν ανεξάρτητο υπολογισμό, εισαγάγετε τα δεδομένα στη φόρμα.

Περιεχόμενο μαθήματος

Προσθήκη κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή

Υπάρχουν δύο τύποι προσθήκης κλασμάτων:

1. Προσθήκη κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή
2. Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Αρχικά, ας μελετήσουμε την προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Όλα είναι απλά εδώ. Για να προσθέσετε κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, προσθέστε τους αριθμητές τους και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Για παράδειγμα, προσθέστε τα κλάσματα και. Προσθέστε τους αριθμητές και αφήστε αμετάβλητο τον παρονομαστή:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτείτε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Εάν προσθέσετε πίτσες στην πίτσα, λαμβάνετε πίτσες:

Παράδειγμα 2. Προσθέστε κλάσματα και.

Η απάντηση ήταν ακατάλληλο κλάσμα ... Εάν έρθει το τέλος του προβλήματος, είναι συνηθισμένο να απαλλαγείτε από λανθασμένα κλάσματα. Για να απαλλαγείτε από το λανθασμένο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό. Στην περίπτωσή μας, ολόκληρο το μέρος διακρίνεται εύκολα - δύο διαιρούμενα με δύο είναι ίσο με ένα:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί εύκολα να γίνει κατανοητό αν σκεφτείτε πίτσα, η οποία χωρίζεται σε δύο μέρη. Εάν προσθέσετε πίτσα στην πίτσα, θα πάρετε μια ολόκληρη πίτσα:

Παράδειγμα 3... Προσθέστε κλάσματα και.

Και πάλι, προσθέστε τους αριθμητές και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει κατανοητό αν σκεφτείτε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν προσθέσετε πίτσα στην πίτσα, λαμβάνετε πίτσες:

Παράδειγμα 4. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτό το παράδειγμα επιλύεται με τον ίδιο τρόπο όπως και τα προηγούμενα. Προσθέστε τους αριθμητές και αφήστε αμετάβλητο τον παρονομαστή:

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Εάν προσθέσετε πίτσες στην πίτσα και προσθέσετε πίτσες στην πίτσα, θα λάβετε 1 ολόκληρη και περισσότερη πίτσα.

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:

1. Για να προσθέσετε κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, προσθέστε τους αριθμητές τους και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο.

Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Τώρα ας μάθουμε πώς να προσθέτουμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Κατά την προσθήκη κλασμάτων, οι παρονομαστές αυτών των κλασμάτων πρέπει να είναι οι ίδιοι. Αλλά δεν είναι πάντα οι ίδιοι.

Για παράδειγμα, μπορείτε να προσθέσετε και να κλάσματα επειδή έχουν τους ίδιους παρονομαστές.

Αλλά τα κλάσματα δεν μπορούν να προστεθούν αμέσως, καθώς αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να μειωθούν στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να φέρετε κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή. Σήμερα θα εξετάσουμε μόνο μία από αυτές, καθώς οι υπόλοιπες μέθοδοι μπορεί να φαίνονται δύσκολες για έναν αρχάριο.

Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι αναζητείται πρώτα το (LCM) των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και λαμβάνεται ο πρώτος πρόσθετος συντελεστής. Κάντε το ίδιο με το δεύτερο κλάσμα - το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και λαμβάνεται ένας δεύτερος επιπλέον συντελεστής.

Στη συνέχεια, οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους παράγοντες τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών, τα κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Και ήδη γνωρίζουμε πώς να προσθέσουμε τέτοια κλάσματα.

Παράδειγμα 1... Προσθέστε τα κλάσματα και

Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των παρανομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι 2. Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο από αυτούς τους αριθμούς είναι 6

LCM (2 και 3) \u003d 6

Τώρα επιστρέφουμε στα κλάσματα και. Κατ 'αρχάς, διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και λάβετε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 6 με το 3, παίρνουμε το 2.

Ο προκύπτων αριθμός 2 είναι ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Το γράφουμε στο πρώτο κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, δημιουργήστε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το κλάσμα και γράψτε τον επιπλέον παράγοντα που βρίσκεται πάνω από αυτό:

Κάνουμε το ίδιο με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και παίρνουμε τον δεύτερο επιπλέον παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρέστε το 6 με το 2, παίρνουμε το 3.

Ο προκύπτων αριθμός 3 είναι ο δεύτερος πρόσθετος παράγοντας. Το γράφουμε στο δεύτερο κλάσμα. Και πάλι, σχεδιάζουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το δεύτερο κλάσμα και γράφουμε τον επιπλέον παράγοντα που βρίσκεται πάνω από αυτό:

Είμαστε τώρα έτοιμοι να προσθέσουμε. Απομένει να πολλαπλασιαστούν οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους παράγοντες τους:

Κοιτάξτε προσεκτικά τι φτάσαμε. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Και ήδη γνωρίζουμε πώς να προσθέσουμε τέτοια κλάσματα. Ας τελειώσουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:

Έτσι, το παράδειγμα τελειώνει. Αποδεικνύεται ότι προσθέτει.

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Εάν προσθέσετε πίτσες στην πίτσα, θα πάρετε μια ολόκληρη πίτσα και μια άλλη έκτη πίτσα:

Η μείωση των κλασμάτων στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Μειώνοντας τα κλάσματα και σε έναν κοινό παρονομαστή, έχουμε τα κλάσματα και. Αυτά τα δύο κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας. Η μόνη διαφορά είναι ότι αυτή τη φορά θα χωριστούν σε ίσες μετοχές (μειωμένες στον ίδιο παρονομαστή).

Το πρώτο σχέδιο απεικονίζει ένα κλάσμα (τέσσερα από τα έξι), και το δεύτερο σχέδιο απεικονίζει ένα κλάσμα (τρία από τα έξι). Συγκεντρώνοντας αυτά τα κομμάτια παίρνουμε (επτά στα έξι). Αυτό το κλάσμα είναι λανθασμένο, επομένως επιλέξαμε ολόκληρο το μέρος σε αυτό. Το αποτέλεσμα ήταν (μια ολόκληρη πίτσα και μια άλλη έκτη πίτσα).

Σημειώστε ότι έχουμε περιγράψει αυτό το παράδειγμα με πάρα πολλές λεπτομέρειες. ΣΕ Εκπαιδευτικά ιδρύματα δεν είναι συνηθισμένο να γράφεις τόσο εκτενώς. Πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε γρήγορα το LCM και των δύο παρονομαστών και πρόσθετων παραγόντων σε αυτούς, καθώς και να πολλαπλασιάσετε γρήγορα τους επιπλέον παράγοντες που βρέθηκαν με τους αριθμητές και τους παρονομαστές σας. Ενώ στο σχολείο, θα έπρεπε να γράψουμε αυτό το παράδειγμα ως εξής:

Αλλά υπάρχει επίσης πίσω πλευρά μετάλλια. Εάν στα πρώτα στάδια της μελέτης των μαθηματικών δεν κάνετε λεπτομερείς σημειώσεις, τότε αρχίζουν να εμφανίζονται ερωτήσεις αυτού του είδους «Από πού προέρχεται αυτός ο αριθμός;» «Γιατί τα κλάσματα ξαφνικά μετατρέπονται σε εντελώς διαφορετικά κλάσματα; «.

Για να διευκολύνετε την προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ακόλουθες οδηγίες βήμα προς βήμα:

1. Βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων.
2. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον παράγοντα για κάθε κλάσμα.
3. Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους παράγοντες σας.
4. Προσθέστε κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή.
5. Εάν η απάντηση είναι λανθασμένο κλάσμα, τότε επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα της.

Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης .

Ας χρησιμοποιήσουμε τις παραπάνω οδηγίες.

Βήμα 1. Βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων

Βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 2, 3 και 4.

Βήμα 2. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον παράγοντα για κάθε κλάσμα

Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρέστε το 12 με το 2, έχουμε 6. Έχουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 6. Το γράφουμε πάνω από το πρώτο κλάσμα:

Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Έχουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 4. Το γράφουμε πάνω από το δεύτερο κλάσμα:

Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρέστε 12 με 4, παίρνουμε 3. Έχουμε τον τρίτο επιπλέον παράγοντα 3. Το γράφουμε πάνω από το τρίτο κλάσμα:

Βήμα 3. Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους παράγοντες σας

Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους επιπλέον παράγοντες μας:

Βήμα 4. Προσθέστε κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα με τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Απομένει να προσθέσουμε αυτά τα κλάσματα. Προσθέτουμε:

Η προσθήκη δεν ταιριάζει σε μια γραμμή, επομένως μετακινήσαμε την υπόλοιπη έκφραση στην επόμενη γραμμή. Αυτό επιτρέπεται στα μαθηματικά. Όταν μια παράσταση δεν ταιριάζει σε μια γραμμή, μεταφέρεται στην επόμενη γραμμή και πρέπει πάντα να βάλετε ίσο σύμβολο (\u003d) στο τέλος της πρώτης γραμμής και στην αρχή μιας νέας γραμμής. Το σύμβολο ίσου στη δεύτερη γραμμή δείχνει ότι πρόκειται για συνέχεια της έκφρασης που ήταν στην πρώτη γραμμή.

Βήμα 5. Εάν η απάντηση αποδειχθεί λανθασμένο κλάσμα, τότε επιλέξτε ολόκληρο το μέρος σε αυτό

Έχουμε λάθος κλάσμα στην απάντησή μας. Πρέπει να επιλέξουμε ολόκληρο το μέρος από αυτό. Αποκορύφωμα:

Έλαβα μια απάντηση

Αφαίρεση κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή

Υπάρχουν δύο τύποι αφαίρεσης κλασμάτων:

1. Αφαίρεση κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή
2. Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Αρχικά, ας μελετήσουμε την αφαίρεση των κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή. Όλα είναι απλά εδώ. Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή το ίδιο.

Για παράδειγμα, ας βρούμε την αξία μιας έκφρασης. Για να λύσετε αυτό το παράδειγμα, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Ας το κάνουμε:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτείτε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από πίτσα, παίρνετε πίτσες:

Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Και πάλι, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει κατανοητό αν σκεφτείτε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από πίτσα, παίρνετε πίτσες:

Παράδειγμα 3. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτό το παράδειγμα επιλύεται με τον ίδιο τρόπο όπως και τα προηγούμενα. Από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, πρέπει να αφαιρέσετε τους αριθμητές των υπόλοιπων κλασμάτων:

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο στην αφαίρεση των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:

1. Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
2. Εάν η απάντηση είναι λανθασμένο κλάσμα, τότε πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό.

Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Για παράδειγμα, μπορείτε να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα, καθώς αυτά τα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Αλλά δεν μπορείτε να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα, καθώς αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να μειωθούν στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Ο κοινός παρονομαστής βρίσκεται σύμφωνα με την ίδια αρχή που χρησιμοποιήσαμε κατά την προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Πρώτα απ 'όλα, βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και λαμβάνεται ο πρώτος πρόσθετος συντελεστής, ο οποίος γράφεται πάνω από το πρώτο κλάσμα. Παρομοίως, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και λαμβάνεται ένας δεύτερος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω από το δεύτερο κλάσμα.

Τα κλάσματα πολλαπλασιάζονται κατόπιν με τους πρόσθετους παράγοντες τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των εργασιών, τα κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Γνωρίζουμε ήδη πώς να αφαιρέσουμε τέτοια κλάσματα.

Παράδειγμα 1. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης:

Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Πρώτον, βρίσκουμε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι 4. Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο από αυτούς τους αριθμούς είναι 12

LCM (3 και 4) \u003d 12

Τώρα πίσω στα κλάσματα και

Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Γράφουμε τα τέσσερα πάνω από το πρώτο κλάσμα:

Κάνουμε το ίδιο με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρέστε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Γράψτε τα τρία πάνω από το δεύτερο κλάσμα:

Είμαστε τώρα έτοιμοι για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιαστούν τα κλάσματα με τους πρόσθετους παράγοντες σας:

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Γνωρίζουμε ήδη πώς να αφαιρέσουμε τέτοια κλάσματα. Ας τελειώσουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:

Έλαβα μια απάντηση

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Αν κόψετε πίτσες από πίτσα, παίρνετε πίτσα

Αυτή είναι μια λεπτομερής έκδοση της λύσης. Στο σχολείο, θα έπρεπε να λύσουμε αυτό το παράδειγμα με μικρότερο τρόπο. Μια τέτοια λύση θα μοιάζει με αυτήν:

Η μείωση των κλασμάτων και σε έναν κοινό παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας το σχήμα. Φέρνοντας αυτά τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, έχουμε κλάσματα και. Αυτά τα κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας, αλλά αυτή τη φορά θα χωριστούν σε ίσες μετοχές (μειωμένες στον ίδιο παρονομαστή):

Το πρώτο σχέδιο απεικονίζει ένα κλάσμα (οκτώ στα δώδεκα κομμάτια) και το δεύτερο σχέδιο απεικονίζει ένα κλάσμα (τρία στα δώδεκα κομμάτια). Κόβοντας τρία κομμάτια από οκτώ κομμάτια, παίρνουμε πέντε κομμάτια στα δώδεκα. Κλάσμα και περιγράφει αυτά τα πέντε κομμάτια.

Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει πρώτα να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Βρείτε το LCM των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων.

Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι 10, 3 και 5. Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο από αυτούς τους αριθμούς είναι 30

LCM (10, 3, 5) \u003d 30

Τώρα βρίσκουμε επιπλέον παράγοντες για κάθε κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος.

Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι 10. Διαιρέστε το 30 με το 10, παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 3. Το γράφουμε πάνω από το πρώτο κλάσμα:

Τώρα βρίσκουμε έναν επιπλέον παράγοντα για το δεύτερο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 30 με το 3, παίρνουμε τον δεύτερο επιπλέον παράγοντα 10. Το γράφουμε πάνω από το δεύτερο κλάσμα:

Τώρα βρίσκουμε έναν επιπλέον παράγοντα για το τρίτο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 5. Διαιρέστε το 30 με το 5, παίρνουμε τον τρίτο επιπλέον παράγοντα 6. Το γράφουμε πάνω από το τρίτο κλάσμα:

Όλα είναι τώρα έτοιμα για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιαστούν τα κλάσματα με τους πρόσθετους παράγοντες σας:

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα με τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Γνωρίζουμε ήδη πώς να αφαιρέσουμε τέτοια κλάσματα. Ας ολοκληρώσουμε αυτό το παράδειγμα.

Η συνέχεια του παραδείγματος δεν θα ταιριάζει σε μία γραμμή, επομένως μεταφέρουμε τη συνέχεια στην επόμενη γραμμή. Μην ξεχάσετε το ίσο σύμβολο (\u003d) σε μια νέα γραμμή:

Η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν το σωστό κλάσμα, και όλα φαίνεται να μας ταιριάζουν, αλλά είναι πολύ επαχθές και άσχημο. Θα έπρεπε να το κάνουμε ευκολότερο. Τί μπορεί να γίνει? Μπορείτε να μειώσετε αυτό το κλάσμα.

Για να μειώσετε ένα κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με (GCD) αριθμούς 20 και 30.

Έτσι, βρίσκουμε το GCD των αριθμών 20 και 30:

Τώρα επιστρέφουμε στο παράδειγμά μας και διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το GCD που βρέθηκε, δηλαδή με 10

Έλαβα μια απάντηση

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή αυτού του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.

Παράδειγμα 1... Πολλαπλασιάστε το κλάσμα με 1.

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με 1

Η εγγραφή μπορεί να γίνει κατανοητή ως μισή ώρα. Για παράδειγμα, εάν παίρνετε πίτσες 1 φορά, παίρνετε πίτσες

Γνωρίζουμε από τους νόμους του πολλαπλασιασμού ότι εάν ο πολλαπλασιαστής και ο πολλαπλασιαστής αντιστραφούν, το προϊόν δεν θα αλλάξει. Εάν η έκφραση γράφεται ως, τότε το προϊόν θα εξακολουθεί να είναι ίσο. Και πάλι, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου και ενός κλάσματος λειτουργεί:

Αυτό το ρεκόρ μπορεί να θεωρηθεί ότι παίρνει το μισό από ένα. Για παράδειγμα, εάν υπάρχει 1 ολόκληρη πίτσα και παίρνουμε τη μισή, τότε θα έχουμε πίτσα:

Παράδειγμα 2... Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με 4

Η απάντηση είναι ένα λανθασμένο κλάσμα. Ας επιλέξουμε ολόκληρο το μέρος σε αυτό:

Η έκφραση μπορεί να θεωρηθεί ότι λαμβάνει δύο τέταρτα 4 φορές. Για παράδειγμα, εάν παίρνετε πίτσες 4 φορές, παίρνετε δύο ολόκληρες πίτσες

Και αν αλλάξουμε τον πολλαπλασιαστή και τον πολλαπλασιαστή σε μέρη, παίρνουμε την έκφραση. Θα είναι επίσης ίσο με 2. Αυτή η έκφραση μπορεί να θεωρηθεί ότι παίρνει δύο πίτσες από τέσσερις ολόκληρες πίτσες:

Ένας αριθμός που πολλαπλασιάζεται με ένα κλάσμα και ο παρονομαστής ενός κλάσματος επιτρέπεται εάν έχουν έναν κοινό παράγοντα μεγαλύτερο από έναν.

Για παράδειγμα, μια έκφραση μπορεί να αξιολογηθεί με δύο τρόπους.

Ο πρώτος τρόπος... Πολλαπλασιάστε το 4 με τον αριθμητή του κλάσματος και αφήστε αμετάβλητο τον παρονομαστή του κλάσματος:

Δεύτερος τρόπος... Ο πολλαπλασιασμός τεσσάρων και τεσσάρων στον παρονομαστή του κλάσματος μπορεί να ακυρωθεί. Μπορείτε να ακυρώσετε αυτά τα τέσσερα με 4, καθώς ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας για τα δύο τετράγωνα είναι τα ίδια τα τέσσερα:

Το ίδιο αποτέλεσμα επιτεύχθηκε 3. Μετά τη μείωση των τεσσάρων, σχηματίζονται νέοι αριθμοί στη θέση τους: δύο. Αλλά ο πολλαπλασιασμός ενός με τρεις, και στη συνέχεια διαίρεση με έναν, δεν αλλάζει τίποτα. Επομένως, η λύση μπορεί να γραφτεί συντομότερη:

Η μείωση μπορεί να πραγματοποιηθεί ακόμη και όταν αποφασίσαμε να χρησιμοποιήσουμε την πρώτη μέθοδο, αλλά στο στάδιο πολλαπλασιασμού του αριθμού 4 και του αριθμητή 3 αποφασίσαμε να χρησιμοποιήσουμε τη μείωση:

Για παράδειγμα, η έκφραση μπορεί να υπολογιστεί μόνο με τον πρώτο τρόπο - πολλαπλασιάστε 7 με τον παρονομαστή του κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:

Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο αριθμός 7 και ο παρονομαστής του κλάσματος δεν έχουν κοινό διαιρέτη, μεγαλύτερο από ένα, και επομένως δεν ακυρώνουν.

Μερικοί μαθητές συντομογραφούν λανθασμένα τον πολλαπλασιασμένο αριθμό και τον αριθμητή του κλάσματος. Αυτό δεν μπορεί να γίνει. Για παράδειγμα, τα ακόλουθα δεν είναι σωστά:

Αυτό σημαίνει ότι η μείωση του κλάσματος και αριθμητής και παρονομαστής θα διαιρεθεί με τον ίδιο αριθμό. Σε μια κατάσταση με μια έκφραση, η διαίρεση πραγματοποιείται μόνο στον αριθμητή, καθώς η καταγραφή της είναι ίδια με την καταγραφή της. Βλέπουμε ότι η διαίρεση πραγματοποιείται μόνο στον αριθμητή και δεν υπάρχει διαίρεση στον παρονομαστή.

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Εάν η απάντηση αποδειχθεί λανθασμένο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό.

Παράδειγμα 1. Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Έχουμε μια απάντηση. Είναι επιθυμητό να μειωθεί αυτό το κλάσμα. Το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά 2. Στη συνέχεια, η τελική απόφαση θα έχει την ακόλουθη μορφή:

Η έκφραση μπορεί να νοηθεί ως λήψη πίτσας από το ήμισυ της πίτσας. Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:

Πώς να πάρετε τα δύο τρίτα αυτού του ημιχρόνου; Πρώτα πρέπει να διαιρέσετε αυτό το μισό σε τρία ίσα μέρη:

Και πάρτε δύο από αυτά τα τρία κομμάτια:

Θα έχουμε πίτσα. Θυμηθείτε πώς φαίνεται μια πίτσα όταν χωρίζεται σε τρία μέρη:

Ένα κομμάτι από αυτήν την πίτσα και τα δύο φέτες που πήραμε θα έχουν τις ίδιες διαστάσεις:

Με άλλα λόγια, μιλάμε για το ίδιο μέγεθος πίτσας. Επομένως, η τιμή της έκφρασης είναι

Παράδειγμα 2... Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:

Η απάντηση είναι ένα λανθασμένο κλάσμα. Ας επιλέξουμε ολόκληρο το μέρος σε αυτό:

Παράδειγμα 3. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:

Η απάντηση αποδείχθηκε σωστό κλάσμα, αλλά θα ήταν καλό αν το μειώσετε. Για να μειώσετε αυτό το κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD) των 105 και 450.

Ας βρούμε λοιπόν το GCD των αριθμών 105 και 450:

Τώρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της απάντησής μας στο GCD, το οποίο έχουμε βρει τώρα, δηλαδή έως

Αναπαράσταση κλάσματος ενός ακέραιου

Οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως. Από αυτό, οι πέντε δεν θα αλλάξουν την τιμή του, καθώς η έκφραση σημαίνει "ο αριθμός πέντε διαιρούμενος με ένα" και αυτό, όπως γνωρίζετε, είναι ίσο με πέντε:

Αντίστροφοι αριθμοί

Τώρα θα συναντηθούμε πολύ ενδιαφέρον θέμα στα μαθηματικά. Ονομάζεται "αριθμοί πίσω".

Ορισμός. Το αντίστροφο του αριθμούένα είναι ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιάζεται μεένα δίνει ένα.

Ας αντικαταστήσουμε σε αυτόν τον ορισμό αντί για μεταβλητή ένα αριθμός 5 και προσπαθήστε να διαβάσετε τον ορισμό:

Το αντίστροφο του αριθμού 5 είναι ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιάζεται με 5 δίνει ένα.

Είναι δυνατόν να βρείτε έναν αριθμό που, όταν πολλαπλασιαστεί με 5, δίνει έναν; Αποδεικνύεται ότι μπορείτε. Ας αντιπροσωπεύσουμε τους πέντε ως κλάσμα:

Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε αυτό το κλάσμα από μόνο του, αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Με άλλα λόγια, πολλαπλασιάζουμε το κλάσμα από μόνο του, μόνο ανεστραμμένο:

Ποιο θα είναι το αποτέλεσμα αυτού; Εάν συνεχίσουμε να επιλύουμε αυτό το παράδειγμα, λαμβάνουμε ένα:

Αυτό σημαίνει ότι το αντίστροφο του 5 είναι ένας αριθμός, αφού όταν το 5 πολλαπλασιάζεται με ένα.

Η αμοιβαία μπορεί επίσης να βρεθεί για οποιονδήποτε άλλο ακέραιο.

Μπορείτε επίσης να βρείτε την αμοιβαιότητα για οποιοδήποτε άλλο κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, απλώς γυρίστε το.

Διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό

Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:

Χωρίστε το εξίσου σε δύο. Πόση πίτσα θα πάρει ο καθένας;

Μπορεί να φανεί ότι μετά τη διάσπαση της μισής πίτσας, λαμβάνονται δύο ίσα κομμάτια, καθένα από τα οποία αποτελεί πίτσα. Έτσι όλοι θα πάρουν μια πίτσα.