1 Costruzione aggiuntiva che porta al teorema sulla linea centrale del triangolo, dei trapezoidi e delle proprietà della somiglianza dei triangoli.
E lei uguale a metà degli ipoteni.
Corollario 1.
Corollario 2.
Sembra che 
1 Tutti i triangoli rettangolari con un angolo uguale acuto sono simili. Visualizza su funzioni trigonometriche.
I triangoli con lati accarezzati e i non tratti sono simili sull'uguaglianza di due angoli. Perciò
Ciò significa che questi rapporti dipendono solo dall'angolo acuto del triangolo rettangolare e sono essenzialmente determinati da esso. Questa è una delle fondamenta della comparsa di funzioni trigonometriche:
Spesso la funzione trigonometrica dell'angolo in tali triangoli rettangolari di record visivi dei rapporti di somiglianza!
2 Esempio di ulteriore costruzione - altezza, abbassata sull'ipotenusa. Il ritiro del teorema del pithagora basato sulla somiglianza dei triangoli.
Accensione dell'ipothenus ab altezza ch. Abbiamo tre triangoli simili ABC, AHC e CHB. Scriviamo espressioni per le funzioni trigonometriche:
Sembra che . Piegare, otteniamo il teorema del pithagore, perché:
Un'altra prova del teorema del Pythagoreo vede nei commenti sul compito 4.
3 Un esempio importante di un costrutto aggiuntivo è quello di costruire un angolo uguale a uno degli angoli del triangolo.
Eseguiamo dal vertice dell'angolo diretto di una linea retta, il che costituisce un angolo di automobile CA uguale all'angolo di taxi di un determinato triangolo rettangolare ABC. Di conseguenza, otteniamo un triangolo ACM equifiaglia con angoli alla base. Ma l'altro triangolo, ottenuto con un tale costrutto, sarà anche uguale, poiché ogni angolo alla base è uguale a (dalla proprietà degli angoli del triangolo rettangolare e sulla costruzione - dall'angolo diretto dell'angolo "rilevato" ). A causa del fatto che i triangoli di BMC e AMC vengono mangiati con il lato generale del MC con l'uguaglianza MB \u003d MA \u003d MC, I.e. Mc - mediana, speso sull'ipotenuz di un triangolo rettangolare, e lei uguale a metà degli ipoteni.
Corollario 1. La metà dell'ipotenusa è il centro del cerchio descritto intorno a questo triangolo, poiché si è scoperto che il centro dell'ipotenusa è equivalente ai vertici del triangolo rettangolare.
Corollario 2. La linea centrale del triangolo rettangolare che collega la metà dell'ipotenusa e il centro della categoria, parallelo al casteelet opposto ed è uguale alla sua metà.
Inferiore in triangoli ugualmente incatenati di BMC e altezza AMC MH e MG sulla base. Poiché in un triangolo ugualmente incatenato, l'altezza, abbassata alla base, è anche mediana (e bisettore), quindi MH e mg-rini di un triangolo rettangolare che collega la metà dell'ipotenusa con il centro dei categchi. Per costruzione, sono paralleli alle dogane opposte e alle loro metà, poiché i triangoli sono uguali a MHC e MGC sono uguali a (e il MHCG è un rettangolo). Questo risultato è la base per la prova del teorema sulla linea mediana di un triangolo arbitrario e, inoltre, la linea media del trapezio e le proprietà della proporzionalità dei segmenti tagliati da quelli diritti paralleli su due direttamente.
Compiti
Uso di proprietà di somiglianza -1
Uso di proprietà di base - 2
Utilizzo di costruzioni aggiuntive 3-4
1 2 3 4
L'altezza, abbassata dal vertice dell'angolo diretto del triangolo rettangolare è uguale alla radice del quadrato delle lunghezze dei segmenti a cui divide l'ipotenusa.
La decisione sembra essere ovvia se conosci il ritiro del teorema del pithagoree dalla somiglianza dei triangoli:
\\ (\\ Mathrm (tg) \\ beta \u003d \\ frac (h) (c_1) \u003d \\ frac (c_2) (h) \\),
Dove \\ (h ^ 2 \u003d c_1c_2 \\).
Trova l'intersezione della posizione geometrica (GMT) della mediana di tutti i tipi di triangoli rettangolari, il cui ipotenusa è fisso.
Il punto di intersezione della mediana di qualsiasi triangolo si interrompe dal terzo mediano, contando dal punto di intersezione con il lato corrispondente. In un triangolo rettangolare, una mediana condotta da un angolo diretto è pari a metà dell'ipotenusa. Pertanto, il GMT desiderato è un cerchio di raggio pari a 1/6 della lunghezza dell'ipotenusa, con un centro nel mezzo di questo (fisso) ipotenusa.
Lezione di tema
La linea centrale del triangolo
Lezione di obiettivi
Consolidare la conoscenza degli scolari sui triangoli;
Introdurre studenti con un tale concetto come la linea centrale del triangolo;
Formare la conoscenza degli studenti sulle proprietà dei triangoli;
Continuare ad insegnare ai bambini ad applicare le proprietà delle figure durante la risoluzione dei compiti;
Sviluppa il pensiero logico, la deperità e l'attenzione degli studenti.
Lezione delle attività
Formare la conoscenza degli scolari della linea centrale dei triangoli;
Controlla le conoscenze degli studenti sugli argomenti sui triangoli;
Controlla l'abilità degli studenti per risolvere i problemi.
Sviluppare interesse negli scolari a scienze accurate;
Continua a formare l'abilità degli studenti per esprimere i loro pensieri e proprio il proprio linguaggio matematico;
Piano di lezione
1. La linea centrale del triangolo. Concetti basilari.
2. La linea centrale del triangolo, teoremi e proprietà.
3. Ripetizione del materiale precedentemente studiato.
4. Le linee principali del triangolo e le loro proprietà.
5. Fatti interessanti dal campo della matematica.
6. Compiti.
La linea centrale del triangolo
La linea centrale del triangolo è chiamata tale segmento che collega la metà dei due lati di questo triangolo.
In ogni triangolo ci sono tre linee medie che formano un altro nuovo triangolo situato all'interno.
I vertici del triangolo appena formato sono a metà dei lati di questo triangolo.
Ogni triangolo ha la capacità di trascorrere tre linee medie.
Ora fermiamo in dettaglio su questo argomento. Guarda il disegno del triangolo in cima. Prima di te, il triangolo ABC su cui tiene la linea centrale. Segmenti MN, MP e NP sono formati all'interno di questo triangolo triangolo MNP.
Proprietà della linea centrale del triangolo
Ogni linea centrale del triangolo che collega il centro dei suoi lati, ha le seguenti proprietà:
1. La linea centrale del triangolo è parallela alla sua terza parte ed è uguale alla sua metà.
Quindi, vediamo che il lato dell'AU è parallelo al MN, che è due volte meno del lato dell'AU.
2. Le linee medie del triangolo dividelo in quattro triangoli uguali.
Se guardiamo al triangolo ABC, vedremo che le linee middle mn, MP e NP sono state divise in quattro triangoli uguali, e come risultato, sono stati formati i triangoli Mbn, PMn, NCP e AMP.
3. La linea centrale del triangolo si interrompe da questo triangolo simile, l'area di cui è uguale a un quarto triangolo sorgente.
Ad esempio, nel triangolo ABC, la mid-line MP si interrompe da questo triangolo, formando il triangolo AMP, l'area di cui è uguale a un quarto triangolo ABC.
triangoli
Nelle classi precedenti, hai già studiato una forma geometrica come triangolo e sappia che tipo di triangoli sono, ciò che differiscono e quali proprietà sono possedute.
Il triangolo si riferisce alle figure geometriche più semplici che hanno tre lati, tre angoli e la loro area è limitata a tre punti e tre sezioni che collegano in abbinamento a questi punti.
Quindi abbiamo ricordato la definizione di un triangolo, e ora ripetiamo tutto ciò che sai di questa figura, rispondendo alle domande:
4. Quali tipi di triangoli hai già studiato? Elencali.
5. Dare le definizioni di ciascuno dei tipi di triangoli.
6. Qual è l'area del triangolo?
7. Qual è la somma degli angoli di questa forma geometrica?
8. Quali tipi di triangoli sei conosciuto? Nominali.
9. Che cosa conosci i triangoli sul tipo di parti uguali?
10. Dare la definizione di ipoteni.
11. Quanti angoli acuti possono essere in un triangolo?
Le linee principali del triangolo
Le linee triangolari principali includono: mediana, bisettore, altezza e mediana perpendicolare.
Mediano
Il triangolo mediano è chiamato segmento che collega il vertice del triangolo dal centro del lato opposto di questo triangolo.
Proprietà triangolo mediano
1. Divide il triangolo in altri due uguali nella zona;
2. Tutte le medie di questa figura si intersecano in un punto. Questo punto li condivide in relazione a due a uno, avviando il conto alla rovescia dall'alto, ed è chiamato il centro di gravità del triangolo;
3. I media condividono questo triangolo a sei areometrici.
Bisettrice
Un raggio che esce dalla cima e passando tra i lati dell'angolo, divide a metà, è chiamato il bisettore di questo angolo.
E se il segmento dell'angolo Bisettore lo collega con un vertice con un punto, che si trova sul lato opposto del triangolo, quindi è chiamato un triangolo Bisector.
Proprietà del triangolo Bisetor
1. L'angolo Bisector è la posizione geometrica dei punti che sono equidistanti dei lati di questo angolo.
2. Il bisettore dell'angolo interno del triangolo divide il lato opposto dei segmenti, che sono proporzionali ai lati adiacenti del triangolo.
3. Il centro del cerchio inscritto nel triangolo è il punto di intersezione del bisettore di questa figura.
Altezza
Perpendicolare, che viene effettuato dall'alto alla figura a una linea retta, che è il lato opposto del triangolo, è chiamato la sua altezza.
Proprietà delle altezze del triangolo
1. L'altezza condotta dal vertice dell'angolo diretto divide il triangolo in due simili.
2. Se il triangolo è acuto, le sue due altezze tagliano questo triangolo a lui.
Municipale perpendicolare
Il triangolo mediano perpendicolare è chiamato diretto, che passa attraverso il centro del segmento, che si trova perpendicolare a questo segmento.
Proprietà del triangolo medio Perpendicolare
1. Qualsiasi punto del mezzo perpendicolare al segmento è uguale alle sue estremità. In questo caso, la dichiarazione opposta sarà vera.
2. Il punto di intersezione del mezzo perpendicolare, che viene effettuato ai lati del triangolo, è il centro del cerchio, che è descritto vicino a questo triangolo.
Fatti interessanti dal campo della matematica
Se apprenderà le notizie per te che per decifrare la corrispondenza segreta del governo della Spagna, Francois Vieta voleva inviare al fuoco, perché credevano che solo il diavolo potesse conoscere il cifrario, e non poteva essere forze.
Sai che la prima persona che ha suggerito un numero di sedie, ranghi e luoghi era Rena Descartes? Gli aristocratici del teatro hanno anche chiesto al re della Francia di dare a Descartes per questo premio, ma, ahimè, il re rifiutò, come credeva di dare una ricompensa di un filosofo - questo è inferiore alla sua dignità.
A causa degli studenti che potevano ricordare il teorema di Pythagora, ma non poteva capirlo, questo teorema era chiamato un "ponte asino". Ciò significava che lo studente d'asino, che non poteva superare il ponte. In questo caso, il ponte era considerato il teorema di Pythagora.
Fale Writers ha dedicato le loro opere non solo da eroi mitici, persone e animali, ma anche simboli matematici. Quindi, ad esempio, l'autore del famoso "Red Hat", ha scritto una fiaba sull'amore della circolazione e della linea.
Compiti a casa
1. Prima di essere raffigurato tre triangoli, dare una risposta, la linea condotta nei triangoli?
2. Quante linee medie possono essere costruite in un triangolo?
3. Dan triangolo ABC. Trova i lati del triangolo ABS se le sue linee intermedie hanno tali dimensioni: di \u003d 5,5 cm, fn \u003d 8 cm, acceso \u003d 7 cm.
La linea media del trapezio, e in particolare le sue proprietà, sono molto spesso utilizzate nella geometria per risolvere problemi e prove di determinati teoremi.
- Questo è un quadrilatero, che ha solo 2 feste parallele tra loro. I lati paralleli sono chiamati motivi (in figura 1 - ANNO DOMINI e AVANTI CRISTO.), due altri - lato (nella foto Ab. e CD).
Trapezio di media linea - Questo è un segmento che collega il centro dei suoi lati (nella figura 1 - Kl.).
Proprietà della linea centrale
Prova del teorema della linea centrale
DimostrareÈ uguale alla linea centrale del trapezio pari a metà del terreno ed è parallelo a questi motivi.
Dana Trapezium. ABCD. con linea media Kl.. Per dimostrare le proprietà in esame, è necessario spendere direttamente attraverso punti. B. e L.. La figura 2 è una linea retta BQ.. Oltre a continuare la Fondazione ANNO DOMINI prima dell'incrocio con una scala BQ..
Considera i triangoli risultanti LBC. e Lqd.:
- Per definizione della linea mediana Kl. punto L. è un taglio medio CD. Ne consegue che i segmenti Cl. e Ld. pari.
- ∠ BLC. = ∠ QLD.Poiché questi angoli sono verticali.
- ∠ BCL. = ∠ LDQ.Poiché questi angoli copriranno in corso in corso con linee rette parallele ANNO DOMINI e AVANTI CRISTO. E vendita CD.
Di queste 3 uguagliatrici ne consegue che i triangoli precedentemente discussi LBC. e Lqd. uguale a 1 lato e due angoli adiacenti (vedi figura 3). Quindi, ∠ LBC. = ∠ lqd., BC \u003d DQ. e la cosa più importante - Bl \u003d lq. => Kl.La linea media del trapezio ABCD.è anche la linea medi del triangolo Abq.. Secondo la proprietà della linea centrale del triangolo Abq. Noi abbiamo.
Per risolvere i problemi planimetrici, oltre ai lati degli angoli della figura, altri valori sono spesso accettati - mediani, altezze, diagonali, bisettore e altri. La linea centrale appartiene al loro numero.
Se il poligono originale è un trapezio, allora qual è la sua linea di mezzo? Questo segmento è parte della diretta, che attraversa i lati della figura nel mezzo e si trova in parallelo a altre due parti - i motivi.
Come trovare una linea medio di trapezio attraverso la linea del centro e fondamento
Se è nota la grandezza della base superiore e inferiore, allora l'espressione verrà calcolata per calcolare l'ignoto:
a, B - Basi, L è la linea centrale.
Come trovare una linea media di trapezio attraverso l'area
Se i dati di origine sono presenti nella dimensione della figura, è anche possibile calcolare la lunghezza della linea del trapezio. Usiamo la formula S \u003d (A + B) / 2 * h,
S - Area,
h - altezza,
A, B - Grounds.
Ma, dal momento che L \u003d (A + B) / 2, quindi s \u003d l * h, che significa l \u003d s / h.
Come trovare la linea media trapezio attraverso la base e gli angoli con esso
In presenza della lunghezza di una base più ampia della figura, le sue altezze, così come il noto grado di angoli con esso, l'espressione per trovare la linea del centro del trapezio avrà la seguente forma:
l \u003d a - h * (ctgα + ctgβ) / 2, mentre
L - il valore desiderato
A - Base maggiore
α, β - angoli con esso,
H è l'altezza della figura.
Se il valore di una base più piccola è noto (con gli stessi altri dati), il rapporto contribuirà a trovare la linea centrale:
l \u003d B + H * (CTGα + CTGβ) / 2,
l - il valore desiderato
B è una base più piccola
α, β - angoli con esso,
H è l'altezza della figura.
Trova la linea centrale del trapezing attraverso l'altezza, diagonale e angoli
Considera la situazione in cui nelle condizioni del problema ci sono i valori delle diagonali della figura, gli angoli che si formano, attraversando l'un l'altro, così come l'altezza. Calcola la linea centrale usando le espressioni:
l \u003d (D1 * D2) / 2H * SINγ o L \u003d (D1 * D2) / 2H * Sinφ,
l - linea del centro,
D1, D2 - Diagonal,
φ, γ - angoli tra loro,
H è l'altezza della figura.
Come trovare la linea centrale della trapezione di una figura equifiaglia
Nel caso in cui la figura di base - il trapezio è gratuito, le formule sopra riportate avranno il seguente modulo.
- In presenza di valori delle basi del trapezing di cambiamenti nell'espressione non accadrà.
l \u003d (A + B) / 2, A, B - Base, L è la linea centrale.
- Se l'altezza, la base e gli angoli sono noti, adiacenti ad esso, quindi:
l \u003d a - h * ctgα,
L \u003d b + h * ctgα,
l - linea del centro,
A, B - Basi (B< a),
α - Angoli con esso,
H è l'altezza della figura.
- Se il lato del trapezio è noto e uno dei motivi, è possibile definire il valore desiderato contattando l'espressione:
l \u003d a-√ (c * c-h * h),
L \u003d b + √ (c * c-h * h),
L - linea del centro,
A, B - Basi (B< a),
H è l'altezza della figura.
- Con i valori di altezza noti, le diagonali (e sono uguali l'una all'altra) e gli angoli si sono formati come risultato del loro incrocio, la linea interna può essere trovata come segue:
l \u003d (d * d) / 2h * sinγ o l \u003d (d * d) / 2h * sinφ,
l - linea del centro,
D - Diagonale,
φ, γ - angoli tra loro,
H è l'altezza della figura.
- Quadrato e l'altezza della figura è nota, quindi:
l \u003d s / h,
S - Area,
H - altezza.
- Se l'altezza perpendicolare è sconosciuta, può essere determinata definendo una funzione trigonometrica.
h \u003d c * sinα, così
L \u003d s / c * sinα,
L - linea del centro,
S - Area,
C - lato,
angolo α alla base.
La linea centrale del triangolo è un segmento caratterizzante interessante, poiché ha diverse proprietà che ti consentono di trovare una soluzione semplice per un compito apparentemente complesso. Pertanto, considera le proprietà di base della linea centrale e parlare di come trovare la lunghezza di questo segmento nel triangolo.
Triangolo e i suoi segmenti che caratterizzano
Il triangolo è una figura composta da tre lati e tre angoli. A seconda degli angoli, i triangoli sono suddivisi in:
- Otterugh.
- Bomberiere
- Rettangolare
Fico. 1. Tipi di triangoli
I principali segmenti di caratterizzazione del triangolo sono:
- Mediano - Tagliare il collegamento del vertice dal lato a metà opposto.
- Bisettrice - Segmento angolo diviso a metà
- Altezza - Perpendicolare, abbassato dal vertice del triangolo sulla direzione opposta.
Fico. 2. Altezza, mediana e bisettore in un triangolo
Per ciascuno dei segmenti di caratterizzazione c'è il suo punto di intersezione. Quando si collegano tre punti di intersezione, la mediana, bisettore e altezze sono la sezione trasversale dorata del triangolo.
Tuttavia, ci sono un certo numero di segmenti di caratterizzazione aggiuntivi:
- Medio perpendicolare - Altezza restaurata dal centro dell'altezza. Di norma, il mezzo perpendicolare continua fino all'intersezione dall'altra parte.
- linea di mezzo - Tagliare il collegamento al centro dei lati adiacenti.
- Raggio cerchio inscritto. Il cerchio inscritto è un cerchio che riguarda ogni lato del triangolo.
- Il raggio del cerchio descritto. Il cerchio descritto è un cerchio contenente tutti i lati del triangolo.
I lati adiacenti dei triangoli chiamano le parti che hanno un vertice totale. Nella geometria c'è il concetto di lati opposti, cioè. Feste che si trovano opposte a vicenda e non hanno vertici comuni. Ma questo concetto per i triangoli non è applicabile - qualsiasi coppia di feste nel triangolo è adiacente.
Proprietà di media linea
Le proprietà della linea mediana non sono così tanto, ma tutte le cose durante la risoluzione dei compiti. Il fatto è che i compiti di trovare la lunghezza della linea mediana non sono sufficienti, e quindi alcuni di loro sono in grado di costruire un allievo in uno stupore con tutta la sua semplicità.
Pertanto, diamo e discutiamo tutte le proprietà della linea centrale del triangolo:
- La linea centrale è uguale a metà della base. In generale, è più corretto dire non metà della fondazione, ma metà del lato opposto. Dal momento che i lati nel triangolo 3, e la base è solo una. Ma in generale, la base può essere considerata uno dei lati del triangolo, in modo che tale formulazione sia considerata ammissibile. Inoltre, è più facile da imparare. In generale, secondo questa proprietà, è determinata la lunghezza della linea centrale del triangolo.
- La linea centrale è parallela alla base. Con il concetto di fondazione qui è la stessa situazione della proprietà passata.
- La linea centrale taglia dal triangolo un piccolo triangolo simile con un rapporto di somiglianza di 0,5
- Tre linee medie dividono un triangolo su 4 triangoli uguali, simili a un grande triangolo con un rapporto di somiglianza di 0,5
Fico. 3. Linee medie in un triangolo
La formula effettiva della lunghezza della linea mediana scorre dalla seconda proprietà:
$ M \u003d 1 \\ Over (2) * A $ - Dove M è la linea centrale, il lato è la linea mediana opposta.
Cosa sapevamo?
Abbiamo parlato dei segmenti di caratterizzazione secondari, evidenziando la linea media. Lingo le proprietà delle linee medie e hanno parlato delle caratteristiche della formulazione di queste proprietà. Hanno descritto come viene visualizzata la formula per la lunghezza della linea centrale del triangolo e come la linea centrale interrompe il triangolo. Tutte queste proprietà vengono utilizzate durante la risoluzione dei triangoli.
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