Dimostrazione e derivazione delle formule per la derivata dell'esponente (e alla potenza di x) e funzione esponenziale(a alla x potenza). Esempi di calcolo delle derivate di e^2x, e^3x e e^nx. Formule per derivate di ordine superiore.

Contenuto

Guarda anche: Funzione esponenziale - proprietà, formule, grafico
Esponente, e alla potenza di x - proprietà, formule, grafico

Formule di base

La derivata dell'esponente è uguale all'esponente stesso (la derivata di e alla potenza di x è uguale a e alla potenza di x):
(1) (e x )′ = e x.

La derivata di una funzione esponenziale con base di grado a è uguale alla funzione stessa, moltiplicata per il logaritmo naturale di a:
(2) .

L'esponente è una funzione esponenziale la cui base esponente è uguale al numero e, che è il seguente limite:
.
Qui può essere un numero naturale o reale. Successivamente, deriviamo la formula (1) per la derivata dell'esponente.

Derivazione della formula per la derivata dell'esponente

Considera l'esponente, e alla potenza di x :
y = ex.
Questa funzione è definita per tutti i file . Troviamo la sua derivata rispetto a x . Per definizione, la derivata è il seguente limite:
(3) .

Trasformiamo questa espressione per ridurla a proprietà e regole matematiche note. Per questo abbiamo bisogno dei seguenti fatti:
UN) Proprietà esponente:
(4) ;
B) Proprietà del logaritmo:
(5) ;
IN) Continuità del logaritmo e proprietà dei limiti per una funzione continua:
(6) .
Ecco una funzione che ha un limite e questo limite è positivo.
G) Il significato del secondo meraviglioso limite:
(7) .

Applichiamo questi fatti al nostro limite (3). Usiamo la proprietà (4):
;
.

Facciamo una sostituzione. Poi ; .
A causa della continuità dell'esponente,
.
Pertanto, a , . Di conseguenza, otteniamo:
.

Facciamo una sostituzione. Poi . A , . E noi abbiamo:
.

Applichiamo la proprietà del logaritmo (5):
. Poi
.

Applichiamo la proprietà (6). Poiché esiste un limite positivo e il logaritmo è continuo, allora:
.
Qui abbiamo utilizzato anche il secondo limite notevole (7). Poi
.

Pertanto, abbiamo ottenuto la formula (1) per la derivata dell'esponente.

Derivazione della formula per la derivata della funzione esponenziale

Deriviamo ora la formula (2) per la derivata della funzione esponenziale con base di grado a. Crediamo che e. Poi la funzione esponenziale
(8)
Definito per tutti.

Trasformiamo la formula (8). Per fare questo, usiamo le proprietà della funzione esponenziale e del logaritmo.
;
.
Quindi, abbiamo trasformato la formula (8) nella seguente forma:
.

Derivate di ordine superiore di e alla potenza di x

Ora troviamo le derivate di ordine superiore. Diamo prima un'occhiata all'esponente:
(14) .
(1) .

Vediamo che la derivata della funzione (14) è uguale alla funzione (14) stessa. Differenziando (1), otteniamo le derivate di secondo e terzo ordine:
;
.

Ciò mostra che anche la derivata dell'ennesimo ordine è uguale alla funzione originale:
.

Derivate di ordine superiore della funzione esponenziale

Consideriamo ora una funzione esponenziale con base di grado a:
.
Troviamo la sua derivata di primo ordine:
(15) .

Differenziando (15), otteniamo le derivate di secondo e terzo ordine:
;
.

Vediamo che ogni differenziazione porta alla moltiplicazione della funzione originale per . Pertanto, la derivata n-esima ha la seguente forma:
.

Guarda anche:

Con questo video inizio una lunga serie di lezioni sulle derivate. Questa lezione ha diverse parti.

Prima di tutto ti dirò cosa sono le derivate in generale e come calcolarle, ma non in un sofisticato linguaggio accademico, ma nel modo in cui lo capisco io stesso e come lo spiego ai miei studenti. In secondo luogo, considereremo la regola più semplice per risolvere problemi in cui cercheremo derivate di somme, derivate di una differenza e derivate di una funzione di potenza.

Esamineremo esempi combinati più complessi, dai quali imparerai, in particolare, che problemi simili che coinvolgono radici e persino frazioni possono essere risolti usando la formula per la derivata di una funzione di potenza. Inoltre, ovviamente, ci saranno molti compiti ed esempi di soluzioni di vari livelli di complessità.

In generale, inizialmente stavo per registrare un breve video di 5 minuti, ma puoi vedere di persona cosa ne è venuto fuori. Quindi basta con i testi - mettiamoci al lavoro.

Cos'è un derivato?

Allora, partiamo da lontano. Tanti anni fa, quando gli alberi erano più verdi e la vita più divertente, i matematici ci pensavano: consideriamo una semplice funzione data dal suo grafico, chiamiamola $y=f\left(x \right)$. Naturalmente, il grafico non esiste da solo, quindi devi disegnare l'asse $x$, così come l'asse $y$. E ora scegliamo un qualsiasi punto su questo grafico, assolutamente qualsiasi. Chiamiamo l'ascissa $((x)_(1))$, l'ordinata, come puoi immaginare, sarà $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Considera un altro punto sullo stesso grafico. Non importa quale, l'importante è che differisca dall'originale. Ha, ancora una volta, un'ascissa, chiamiamola $((x)_(2))$, così come un'ordinata - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Quindi, abbiamo due punti: hanno ascisse diverse e, quindi, significati diversi funzioni, anche se quest'ultimo è facoltativo. Ma ciò che è veramente importante è che sappiamo dall'andamento planimetrico che una retta può essere tracciata per due punti e, inoltre, solo per uno. Ecco, eseguiamolo.

E ora tracciamo una linea retta attraverso la prima di esse, parallela all'asse x. Ottenere triangolo rettangolo. Chiamiamolo $ABC$, angolo retto $C$. Questo triangolo ha una proprietà molto interessante: il fatto è che l'angolo $\alpha $ è, infatti, uguale all'angolo sotto il quale la retta $AB$ interseca con la continuazione dell'asse delle ascisse. Giudica tu stesso:

la retta $AC$ è parallela all'asse $Ox$ per costruzione,
la linea $AB$ interseca $AC$ sotto $\alpha $,
quindi $AB$ interseca $Ox$ sotto lo stesso $\alpha $.

Cosa possiamo dire di $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Niente di concreto, tranne che nel triangolo $ABC$ il rapporto tra il cateto $BC$ e il cateto $AC$ è uguale alla tangente di questo stesso angolo. Quindi scriviamo:

Naturalmente, $AC$ in questo caso è facilmente considerato:

Allo stesso modo per $BC$:

In altre parole, possiamo scrivere quanto segue:

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \right))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Ora che abbiamo tolto di mezzo tutto questo, torniamo al nostro grafico e osserviamo il nuovo punto $B$. Cancella i vecchi valori e prendi e prendi $B$ da qualche parte più vicino a $((x)_(1))$. Indichiamo nuovamente la sua ascissa come $((x)_(2))$ e la sua ordinata come $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Considera di nuovo il nostro piccolo triangolo $ABC$ e $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ al suo interno. È abbastanza ovvio che questo sarà un angolo completamente diverso, anche la tangente sarà diversa perché le lunghezze dei segmenti $AC$ e $BC$ sono cambiate in modo significativo e la formula per la tangente dell'angolo non è cambiata affatto - questo è ancora il rapporto tra cambiare la funzione e cambiare l'argomento.

Infine, continuiamo a spostare $B$ sempre più vicino al punto iniziale $A$, di conseguenza il triangolo si ridurrà ancora di più e la linea contenente il segmento $AB$ sembrerà sempre più una tangente al grafico della funzione.

Di conseguenza, se continuiamo ad avvicinarci ai punti, cioè riduciamo la distanza a zero, allora la retta $AB$ si trasformerà effettivamente in una tangente al grafico in questo punto, e $\text( )\!\! \alpha\!\ !\text( )$ cambierà da un elemento triangolo regolare ad un angolo tra la tangente al grafico e la direzione positiva dell'asse $Ox$.

E qui passiamo agevolmente alla definizione di $f$, vale a dire, la derivata della funzione nel punto $((x)_(1))$ è la tangente dell'angolo $\alpha $ tra la tangente alla grafico nel punto $((x)_( 1))$ e la direzione positiva dell'asse $Ox$:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Tornando al nostro grafico, va notato che come $((x)_(1))$, puoi scegliere qualsiasi punto del grafico. Ad esempio, con lo stesso successo, potremmo rimuovere il tratto nel punto mostrato in figura.

Chiamiamo l'angolo tra la tangente e la direzione positiva dell'asse $\beta $. Di conseguenza, $f$ in $((x)_(2))$ sarà uguale alla tangente di questo angolo $\beta $.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Ogni punto del grafico avrà la propria tangente e, di conseguenza, il proprio valore della funzione. In ognuno di questi casi, oltre al punto in cui si cerca la derivata di una differenza o di una somma, o una derivata di una funzione di potenza, è necessario prendere un altro punto situato a una certa distanza da esso, e quindi indirizza questo punto a quello originale e, naturalmente, scopri come nel processo un tale movimento cambierà la tangente dell'angolo di inclinazione.

Derivata della funzione potenza

Sfortunatamente, questa definizione non ci soddisfa affatto. Tutte queste formule, immagini, angoli non ci danno la minima idea di come calcolare la derivata reale in problemi reali. Pertanto, divaghiamo un po 'dalla definizione formale e consideriamo formule e tecniche più efficaci con le quali puoi già risolvere problemi reali.

Cominciamo con le costruzioni più semplici, vale a dire le funzioni della forma $y=((x)^(n))$, cioè funzioni di potenza. In questo caso, possiamo scrivere quanto segue: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. In altre parole, il grado che era nell'esponente è mostrato nel moltiplicatore davanti , e l'esponente stesso viene ridotto di unità, ad esempio:

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

Ed ecco un'altra opzione:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Usando queste semplici regole, proviamo a smussare i seguenti esempi:

Quindi otteniamo:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Ora risolviamo la seconda espressione:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Certo, questi erano molto compiti semplici. Tuttavia, i problemi reali sono più complessi e non sono limitati ai poteri di una funzione.

Quindi, regola numero 1: se la funzione è rappresentata come le altre due, la derivata di questa somma è uguale alla somma delle derivate:

\[((\sinistra(f+g \destra))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Allo stesso modo, la derivata della differenza di due funzioni è uguale alla differenza delle derivate:

\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ primo ))+((\sinistra(x \destra))^(\primo ))=2x+1\]

Inoltre, ce n'è un altro regola importante: se qualche $f$ è preceduto da una costante $c$, per la quale questa funzione viene moltiplicata, allora la $f$ dell'intera costruzione è considerata come segue:

\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ primo ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Infine, un'altra regola molto importante: i problemi spesso contengono un termine separato che non contiene affatto $x$. Ad esempio, possiamo osservarlo nelle nostre espressioni odierne. La derivata di una costante, cioè un numero che non dipende in alcun modo da $x$, è sempre uguale a zero, e non ha alcuna importanza quanto sia uguale la costante $c$:

\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]

Esempio di soluzione:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Ancora una volta i punti chiave:

La derivata della somma di due funzioni è sempre uguale alla somma delle derivate: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
Per ragioni simili, la derivata della differenza di due funzioni è uguale alla differenza di due derivate: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
Se la funzione ha un fattore costante, allora questa costante può essere estratta dal segno della derivata: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)" $;
Se l'intera funzione è una costante, allora la sua derivata è sempre zero: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Vediamo come funziona il tutto con esempi reali. COSÌ:

Scriviamo:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\sinistra(((x)^(2)) \destra))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]

In questo esempio, vediamo sia la derivata della somma che la derivata della differenza. Quindi la derivata è $5((x)^(4))-6x$.

Passiamo alla seconda funzione:

Scrivi la soluzione:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Qui abbiamo trovato la risposta.

Passiamo alla terza funzione - è già più seria:

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Abbiamo trovato la risposta.

Passiamo all'ultima espressione, la più complessa e la più lunga:

Quindi, consideriamo:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Ma la soluzione non finisce qui, perché ci viene chiesto non solo di rimuovere il tratto, ma anche di calcolarne il valore in un punto specifico, quindi sostituiamo −1 invece di $x$ nell'espressione:

\[(y)"\sinistra(-1 \destra)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Andiamo oltre e passiamo ad esempi ancora più complessi e interessanti. Il punto è che la formula per risolvere la derivata della potenza $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ ha una portata ancora più ampia di quanto comunemente si creda. Con il suo aiuto, puoi risolvere esempi con frazioni, radici, ecc. Questo è ciò che faremo ora.

Per cominciare, scriviamo ancora una volta la formula, che ci aiuterà a trovare la derivata della funzione di potenza:

Ed ora attenzione: finora abbiamo considerato solo numeri naturali come $n$, ma nulla vieta di considerare frazioni e pari numeri negativi. Ad esempio, possiamo scrivere quanto segue:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]

Niente di complicato, quindi vediamo come questa formula ci aiuterà a risolvere di più compiti impegnativi. Quindi un esempio:

Scrivi la soluzione:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(align)\]

Torniamo al nostro esempio e scriviamo:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

Questa è una decisione così difficile.

Passiamo al secondo esempio: ci sono solo due termini, ma ognuno di essi contiene sia un grado classico che radici.

Ora impareremo come trovare la derivata di una funzione di potenza, che, inoltre, contiene una radice:

\[\begin(align)& ((\sinistra(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3 ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7 ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3 ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Entrambi i termini sono calcolati, resta da scrivere la risposta finale:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Abbiamo trovato la risposta.

Derivata di una frazione in funzione di una potenza

Ma le possibilità della formula per risolvere la derivata di una funzione potenza non finiscono qui. Il fatto è che con il suo aiuto puoi contare non solo esempi con radici, ma anche con frazioni. Questa è solo quella rara opportunità che semplifica enormemente la soluzione di tali esempi, ma spesso viene ignorata non solo dagli studenti, ma anche dagli insegnanti.

Quindi, ora proveremo a combinare due formule contemporaneamente. Da un lato, la derivata classica di una funzione di potenza

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

D'altra parte, sappiamo che un'espressione della forma $\frac(1)(((x)^(n)))$ può essere rappresentata come $((x)^(-n))$. Quindi,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Pertanto, anche le derivate di frazioni semplici, in cui il numeratore è una costante e il denominatore è un grado, vengono calcolate utilizzando la formula classica. Vediamo come funziona in pratica.

Quindi la prima funzione:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ destra))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Risolto il primo esempio, passiamo al secondo:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2 ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ left(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ end(align)\]...

Ora raccogliamo tutti questi termini in un'unica formula:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Abbiamo ricevuto una risposta.

Tuttavia, prima di proseguire, vorrei attirare la vostra attenzione sulla forma di scrittura delle stesse espressioni originali: nella prima espressione abbiamo scritto $f\left(x \right)=...$, nella seconda: $y =...$ Molti studenti si perdono quando vedono diverse forme di notazione. Qual è la differenza tra $f\left(x \right)$ e $y$? In realtà, niente. Sono solo voci diverse con lo stesso significato. È solo che quando diciamo $f\left(x\right)$, allora stiamo parlando, prima di tutto, di una funzione, e quando parliamo di $y$, molto spesso intendiamo il grafico della funzione. Altrimenti, è lo stesso, cioè la derivata è considerata la stessa in entrambi i casi.

Problemi complessi con le derivate

In conclusione, vorrei considerare un paio di complessi problemi combinati che utilizzano tutto ciò che abbiamo considerato oggi contemporaneamente. In essi, stiamo aspettando radici, frazioni e somme. Tuttavia, questi esempi saranno complessi solo nell'ambito del video tutorial di oggi, perché funzioni derivate veramente complesse ti aspetteranno.

Quindi, la parte finale del video tutorial di oggi, composta da due attività combinate. Partiamo dal primo:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

La derivata della funzione è:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Il primo esempio è risolto. Considera il secondo problema:

Nel secondo esempio, agiamo in modo simile:

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\primo))\]

Calcoliamo ciascun termine separatamente:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Tutti i termini sono contati. Ora torniamo alla formula originale e sommiamo tutti e tre i termini. Otteniamo che la risposta finale sarà:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

E questo è tutto. Questa è stata la nostra prima lezione. Nelle lezioni seguenti, vedremo di più strutture complesse, e scopri anche perché i derivati sono assolutamente necessari.

È molto facile da ricordare.

Ebbene, non andremo lontano, considereremo subito la funzione inversa. Qual è l'inverso della funzione esponenziale? Logaritmo:

Nel nostro caso, la base è un numero:

Tale logaritmo (cioè un logaritmo con una base) è chiamato "naturale" e per esso usiamo una notazione speciale: scriviamo invece.

A cosa è uguale? Ovviamente, .

Derivato di logaritmo naturale anche molto semplice:

Esempi:

Trova la derivata della funzione.
Qual è la derivata della funzione?

Risposte: L'esponente e il logaritmo naturale sono funzioni che sono unicamente semplici in termini di derivata. Le funzioni esponenziali e logaritmiche con qualsiasi altra base avranno una derivata diversa, che analizzeremo in seguito, dopo aver esaminato le regole di derivazione.

Regole di differenziazione

Quali regole? Un altro nuovo termine, ancora?!...

Differenziazioneè il processo per trovare la derivata.

Solo e tutto. Qual è un'altra parola per questo processo? Non proizvodnovanie... Il differenziale della matematica è chiamato l'incremento stesso della funzione a. Questo termine deriva dal latino differentia - differenza. Qui.

Nel derivare tutte queste regole, useremo due funzioni, ad esempio, e. Avremo anche bisogno di formule per i loro incrementi:

Ci sono 5 regole in totale.

La costante viene tolta dal segno della derivata.

Se - un numero costante (costante), allora.

Ovviamente, questa regola funziona anche per la differenza: .

Dimostriamolo. Lascia, o più facile.

Esempi.

Trova le derivate delle funzioni:

al punto;
al punto;
al punto;
al punto.

Soluzioni:

(la derivata è la stessa in tutti i punti, poiché lo è funzione lineare, Ricordare?);

Derivata di un prodotto

Tutto è simile qui: introduciamo una nuova funzione e troviamo il suo incremento:

Derivato:

Esempi:

Trova derivate di funzioni e;
Trova la derivata di una funzione in un punto.

Soluzioni:

Derivata della funzione esponenziale

Ora le tue conoscenze sono sufficienti per imparare a trovare la derivata di qualsiasi funzione esponenziale, e non solo l'esponente (hai già dimenticato cos'è?).

Allora, dov'è un numero?

Conosciamo già la derivata della funzione, quindi proviamo a portare la nostra funzione su una nuova base:

Per questo usiamo regola semplice: . Poi:

Bene, ha funzionato. Ora prova a trovare la derivata e non dimenticare che questa funzione è complessa.

Accaduto?

Qui, controlla tu stesso:

La formula si è rivelata molto simile alla derivata dell'esponente: com'era, rimane, è apparso solo un fattore, che è solo un numero, ma non una variabile.

Esempi:
Trova le derivate delle funzioni:

Risposte:

Questo è solo un numero che non può essere calcolato senza una calcolatrice, cioè non c'è modo di scriverlo di più forma semplice. Pertanto, nella risposta è lasciato in questa forma.

Nota che qui è il quoziente di due funzioni, quindi applichiamo la regola di differenziazione appropriata:

In questo esempio, il prodotto di due funzioni:

Derivata di una funzione logaritmica

Qui è simile: conosci già la derivata del logaritmo naturale:

Pertanto, per trovare un arbitrario dal logaritmo con una base diversa, ad esempio:

Dobbiamo portare questo logaritmo alla base. Come si cambia la base di un logaritmo? Spero ti ricordi questa formula:

Solo ora invece di scriveremo:

Il denominatore si è rivelato essere solo una costante (un numero costante, senza una variabile). La derivata è molto semplice:

Le derivate delle funzioni esponenziali e logaritmiche non si trovano quasi mai nell'esame, ma non sarà superfluo conoscerle.

Derivata di una funzione complessa.

Cos'è una "funzione complessa"? No, questo non è un logaritmo e non un arcotangente. Queste funzioni possono essere difficili da capire (anche se se il logaritmo ti sembra difficile, leggi l'argomento "Logaritmi" e tutto funzionerà), ma in matematica la parola "complesso" non significa "difficile".

Immagina un piccolo nastro trasportatore: due persone sono sedute e compiono alcune azioni con alcuni oggetti. Ad esempio, il primo avvolge una barretta di cioccolato in un involucro e il secondo la lega con un nastro. Si scopre un oggetto così composito: una barretta di cioccolato avvolta e legata con un nastro. Per mangiare una barretta di cioccolato, devi fare i passaggi opposti in ordine inverso.

Creiamo una pipeline matematica simile: prima troveremo il coseno di un numero, quindi quadratiamo il numero risultante. Quindi, ci danno un numero (cioccolato), trovo il suo coseno (involucro), e poi fai il quadrato di quello che ho ottenuto (legalo con un nastro). Quello che è successo? Funzione. Questo è l'esempio funzione complessa: quando, per trovarne il valore, facciamo la prima azione direttamente con la variabile, e poi un'altra seconda azione con quello che è successo come risultato della prima.

In altre parole, Una funzione complessa è una funzione il cui argomento è un'altra funzione: .

Per il nostro esempio, .

Potremmo benissimo fare le stesse azioni in ordine inverso: prima elevi il quadrato e poi cerco il coseno del numero risultante:. È facile intuire che il risultato sarà quasi sempre diverso. Una caratteristica importante delle funzioni complesse: quando l'ordine delle azioni cambia, la funzione cambia.

Secondo esempio: (uguale). .

L'ultima azione che faremo sarà chiamata funzione "esterna". e l'azione eseguita per prima, rispettivamente funzione "interna".(questi sono nomi informali, li uso solo per spiegare il materiale in un linguaggio semplice).

Prova a determinare da solo quale funzione è esterna e quale è interna:

Risposte: La separazione delle funzioni interne ed esterne è molto simile alla modifica delle variabili: ad esempio, nella funzione

Quale azione intraprenderemo per prima? Per prima cosa calcoliamo il seno e solo allora lo eleviamo a un cubo. Quindi è una funzione interna, non esterna.
E la funzione originaria è la loro composizione: .
Interno: ; esterno: .
Visita medica: .
Interno: ; esterno: .
Visita medica: .
Interno: ; esterno: .
Visita medica: .
Interno: ; esterno: .
Visita medica: .

cambiamo variabili e otteniamo una funzione.

Bene, ora estrarremo il nostro cioccolato - cerca il derivato. La procedura è sempre inversa: prima cerchiamo la derivata della funzione esterna, poi moltiplichiamo il risultato per la derivata della funzione interna. Per l'esempio originale, assomiglia a questo:

Un altro esempio:

Quindi, formuliamo finalmente la regola ufficiale:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

Sembra essere semplice, vero?

Verifichiamo con esempi:

Soluzioni:

1) Interno: ;

Esterno: ;

2) Interno: ;

(ma non provare a ridurre ormai! Nulla viene tolto da sotto il coseno, ricordi?)

3) Interno: ;

Esterno: ;

È subito chiaro che qui esiste una funzione complessa a tre livelli: dopotutto, questa è già una funzione complessa in sé, e ne estraiamo ancora la radice, cioè eseguiamo la terza azione (mettiamo il cioccolato in un involucro e con un nastro in una valigetta). Ma non c'è motivo di aver paura: comunque, "scompacchettamo" questa funzione nello stesso ordine del solito: dalla fine.

Cioè, prima distinguiamo la radice, poi il coseno e solo allora l'espressione tra parentesi. E poi moltiplichiamo tutto.

In tali casi, è conveniente numerare le azioni. Cioè, immaginiamo quello che sappiamo. In quale ordine eseguiremo le azioni per calcolare il valore di questa espressione? Diamo un'occhiata a un esempio:

Più tardi viene eseguita l'azione, più "esterna" sarà la funzione corrispondente. La sequenza di azioni - come prima:

Qui l'annidamento è generalmente a 4 livelli. Determiniamo il corso dell'azione.

1. Espressione radicale. .

2. Radice. .

3. Seno. .

4. Quadrato. .

5. Mettendo tutto insieme:

DERIVATO. BREVEMENTE SUL PRINCIPALE

Derivata di funzioni- il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento con un incremento infinitesimale dell'argomento:

Derivati di base:

Regole di differenziazione:

La costante viene tolta dal segno della derivata:

Derivata di somma:

Prodotto derivato:

Derivata del quoziente:

Derivata di una funzione complessa:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

Definiamo la funzione "interna", troviamo la sua derivata.
Definiamo la funzione "esterna", troviamo la sua derivata.
Moltiplichiamo i risultati del primo e del secondo punto.

Ecco una tabella riassuntiva per comodità e chiarezza nello studio dell'argomento.

Costantey=C

Funzione potenza y = x p

(x p)" = p x p - 1

Funzione esponenzialey = x

(a x)" = a x ln a

In particolare, quandoa = eabbiamo y = ex

(ex)" = ex

funzione logaritmica

(log a x) " = 1 x ln a

In particolare, quandoa = eabbiamo y = logaritmo x

(lnx)" = 1x

Funzioni trigonometriche

(sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x

Funzioni trigonometriche inverse

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

Funzioni iperboliche

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Analizziamo come sono state ottenute le formule della tabella indicata, ovvero, in altre parole, dimostreremo la derivazione di formule per derivate per ogni tipo di funzione.

Derivata di una costante

Dimostrazione 1

Per derivare questa formula, prendiamo come base la definizione della derivata di una funzione in un punto. Usiamo x 0 = x, dove X assume il valore di qualsiasi numero reale o, in altre parole, Xè qualsiasi numero dal dominio della funzione f (x) = C . Scriviamo il limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento come ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Si noti che l'espressione 0 ∆ x cade sotto il segno limite. Non è l'incertezza dello “zero diviso zero”, poiché il numeratore non contiene un valore infinitesimale, ma zero. In altre parole, l'incremento di una funzione costante è sempre zero.

Quindi, la derivata della funzione costante f (x) = C è uguale a zero sull'intero dominio di definizione.

Esempio 1

Date funzioni costanti:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = un , un ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Soluzione

Descriviamo le condizioni date. Nella prima funzione vediamo la derivata del numero naturale 3 . Nell'esempio seguente, devi prendere la derivata di UN, Dove UN- Qualunque numero reale. Il terzo esempio ci dà la derivata numero irrazionale 4 . 13 7 22 , il quarto - la derivata di zero (zero è un numero intero). Infine, nel quinto caso abbiamo la derivata frazione razionale - 8 7 .

Risposta: derivati funzioni impostateè zero per ogni reale X(sull'intero dominio di definizione)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivata della funzione potenza

Passiamo alla funzione potenza e alla formula per la sua derivata, che ha la forma: (x p) " = p x p - 1, dove l'esponente Pè un qualsiasi numero reale.

Prova 2

Presentiamo la dimostrazione della formula quando l'esponente è numero naturale: p = 1 , 2 , 3 , …

Ancora una volta, ci affidiamo alla definizione di derivata. Scriviamo il limite del rapporto tra l'incremento della funzione di potenza e l'incremento dell'argomento:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Per semplificare l'espressione al numeratore, usiamo la formula binomiale di Newton:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Così:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Quindi, abbiamo dimostrato la formula per la derivata di una funzione di potenza quando l'esponente è un numero naturale.

Dimostrazione 3

Per dare la prova per il caso in cui P- qualsiasi numero reale diverso da zero, usiamo la derivata logaritmica (qui dovremmo capire la differenza dalla derivata funzione logaritmica). Per avere una comprensione più completa, è auspicabile studiare la derivata della funzione logaritmica e trattare inoltre la derivata di una funzione implicitamente data e la derivata di una funzione complessa.

Consideriamo due casi: quando X positivo e quando X sono negativi.

Quindi x > 0 . Allora: x p > 0 . Prendiamo il logaritmo dell'uguaglianza y \u003d x p alla base e e applichiamo la proprietà del logaritmo:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

A questo punto è stata ottenuta una funzione implicitamente definita. Definiamo la sua derivata:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Consideriamo ora il caso in cui X- un numero negativo.

Se l'indicatore P C'è numero pari, allora anche la funzione potenza è definita per x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Quindi xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Se Pè un numero dispari, allora la funzione potenza è definita per x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

L'ultima transizione è possibile perché if Pè un numero dispari, allora p-1 o un numero pari o zero (per p = 1), quindi, per negativo X l'uguaglianza (- x) p - 1 = x p - 1 è vera.

Quindi, abbiamo dimostrato la formula per la derivata di una funzione potenza per ogni reale p.

Esempio 2

Funzioni date:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Determina le loro derivate.

Soluzione

Trasformiamo parte delle funzioni date in una forma tabulare y = x p , basata sulle proprietà del grado, e poi usiamo la formula:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivata della funzione esponenziale

Prova 4

Deriviamo la formula per la derivata, in base alla definizione:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Abbiamo incertezza. Per espanderla, scriviamo una nuova variabile z = a ∆ x - 1 (z → 0 come ∆ x → 0). In questo caso a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Per l'ultima transizione, viene utilizzata la formula per la transizione a una nuova base del logaritmo.

Eseguiamo una sostituzione nel limite originale:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Ricordiamo il secondo meraviglioso limite e quindi otteniamo la formula per la derivata della funzione esponenziale:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Esempio 3

Le funzioni esponenziali sono date:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Dobbiamo trovare le loro derivate.

Soluzione

Usiamo la formula per la derivata della funzione esponenziale e le proprietà del logaritmo:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivata di una funzione logaritmica

Dimostrazione 5

Presentiamo la dimostrazione della formula per la derivata della funzione logaritmica per qualsiasi X nel dominio di definizione ed eventuali valori validi della base a del logaritmo. Dalla definizione della derivata si ottiene:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Si può vedere dalla catena di uguaglianze specificata che le trasformazioni sono state costruite sulla base della proprietà del logaritmo. L'uguaglianza lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e è vera secondo il secondo limite notevole.

Esempio 4

Le funzioni logaritmiche sono date:

f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x

È necessario calcolare le loro derivate.

Soluzione

Applichiamo la formula derivata:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Quindi la derivata del logaritmo naturale è uno diviso per X.

Derivate di funzioni trigonometriche

Dimostrazione 6

Ne usiamo alcuni formule trigonometriche e il primo notevole limite per derivare la formula per la derivata di una funzione trigonometrica.

Secondo la definizione della derivata della funzione seno, otteniamo:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

La formula per la differenza dei seni ci consentirà di eseguire le seguenti azioni:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Infine, usiamo il primo meraviglioso limite:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Quindi la derivata della funzione peccato x Volere cosx.

Dimostreremo anche la formula per la derivata del coseno nello stesso modo:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Quelli. sarà la derivata della funzione cos x – peccato x.

Deriviamo le formule per le derivate della tangente e della cotangente in base alle regole di derivazione:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Derivate di funzioni trigonometriche inverse

Sezione Derivata funzioni inverse fornisce informazioni complete sulla dimostrazione delle formule per le derivate di arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcotangente, quindi non duplicheremo il materiale qui.

Derivate di funzioni iperboliche

Dimostrazione 7

Possiamo derivare formule per le derivate del seno iperbolico, coseno, tangente e cotangente utilizzando la regola di derivazione e la formula per la derivata della funzione esponenziale:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

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derivati complessi. Derivata logaritmica.
Derivata della funzione esponenziale

Continuiamo a migliorare la nostra tecnica di differenziazione. In questa lezione consolideremo il materiale trattato, prenderemo in considerazione derivate più complesse e conosceremo anche nuovi trucchi e trucchi per trovare la derivata, in particolare, con la derivata logaritmica.

Quei lettori che hanno un basso livello di preparazione dovrebbero fare riferimento all'articolo Come trovare la derivata? Esempi di soluzioni che ti permetterà di aumentare le tue abilità quasi da zero. Successivamente, è necessario studiare attentamente la pagina Derivata di una funzione complessa, comprendere e risolvere Tutto gli esempi che ho fatto. Questa lezione è logicamente la terza di fila e, dopo averla padroneggiata, distinguerai con sicurezza funzioni abbastanza complesse. Non è auspicabile attenersi alla posizione “Dove altro? E basta!”, visto che tutti gli esempi e le soluzioni sono tratti dal reale il controllo funziona e spesso incontrato nella pratica.

Iniziamo con la ripetizione. Alla lezione Derivata di una funzione complessa abbiamo considerato una serie di esempi con commenti dettagliati. Nel corso dello studio del calcolo differenziale e di altre sezioni dell'analisi matematica, dovrai differenziare molto spesso, e non è sempre conveniente (e non sempre necessario) dipingere esempi in modo molto dettagliato. Pertanto, ci eserciteremo nella scoperta orale dei derivati. I "candidati" più adatti per questo sono i derivati della più semplice delle funzioni complesse, ad esempio:

Secondo la regola di derivazione di una funzione complessa :

Quando si studiano altri argomenti matan in futuro, un record così dettagliato molto spesso non è richiesto, si presume che lo studente sia in grado di trovare derivati simili con il pilota automatico. Immaginiamo che alle 3 del mattino squilli il telefono e una voce gradevole chieda: "Qual è la derivata della tangente di due x?". Questo dovrebbe essere seguito da una risposta quasi istantanea ed educata: .

Il primo esempio sarà immediatamente inteso decisione indipendente.

Esempio 1

Trova i seguenti derivati oralmente, in un unico passaggio, ad esempio: . Per completare l'attività, devi solo usare tavola delle derivate di funzioni elementari(se non l'ha già ricordata). In caso di difficoltà, ti consiglio di rileggere la lezione Derivata di una funzione complessa.

, , ,
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Risposte alla fine della lezione

Derivate complesse

Dopo la preparazione preliminare dell'artiglieria, gli esempi con 3-4-5 allegati di funzioni saranno meno spaventosi. Forse i seguenti due esempi sembreranno complicati ad alcuni, ma se vengono compresi (qualcuno soffre), allora quasi tutto il resto nel calcolo differenziale sembrerà uno scherzo per bambini.

Esempio 2

Trova la derivata di una funzione

Come già notato, quando si trova la derivata di una funzione complessa, prima di tutto è necessario Giusto CAPIRE GLI INVESTIMENTI. Nei casi in cui ci sono dubbi, vi ricordo un trucco utile: prendiamo il valore sperimentale "x", per esempio, e proviamo (mentalmente o su una bozza) a sostituire questo valore nell'espressione "terribile".

1) Per prima cosa dobbiamo calcolare l'espressione, quindi la somma è l'annidamento più profondo.

2) Quindi devi calcolare il logaritmo:

4) Quindi cubi il coseno:

5) Al quinto passaggio, la differenza:

6) E infine, la funzione più esterna è Radice quadrata:

Formula di differenziazione di funzioni complesse vengono applicati in ordine inverso, dalla funzione più esterna a quella più interna. Noi decidiamo:

Sembra non esserci errore...

(1) Prendiamo la derivata della radice quadrata.

(2) Prendiamo la derivata della differenza usando la regola

(3) La derivata della terna è uguale a zero. Nel secondo termine prendiamo la derivata del grado (cubo).

(4) Prendiamo la derivata del coseno.

(5) Prendiamo la derivata del logaritmo.

(6) Infine, prendiamo la derivata dell'annidamento più profondo .

Può sembrare troppo difficile, ma questo non è l'esempio più brutale. Prendi, ad esempio, la collezione di Kuznetsov e apprezzerai tutto il fascino e la semplicità del derivato analizzato. Ho notato che a loro piace dare una cosa simile all'esame per verificare se lo studente capisce come trovare la derivata di una funzione complessa o non capisce.

L'esempio seguente è per una soluzione autonoma.

Esempio 3

Trova la derivata di una funzione

Suggerimento: per prima cosa applichiamo le regole di linearità e la regola di differenziazione del prodotto

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

È ora di passare a qualcosa di più compatto e più carino.
Non è raro che una situazione in cui il prodotto di non due, ma tre funzioni sia fornito in un esempio. Come trovare la derivata del prodotto di tre fattori?

Esempio 4

Trova la derivata di una funzione

Innanzitutto, guardiamo, ma è possibile trasformare il prodotto di tre funzioni in un prodotto di due funzioni? Ad esempio, se avessimo due polinomi nel prodotto, allora potremmo aprire le parentesi. Ma in questo esempio, tutte le funzioni sono diverse: grado, esponente e logaritmo.

In questi casi, è necessario successivamente applicare la regola di differenziazione del prodotto due volte

Il trucco è che per "y" indichiamo il prodotto di due funzioni: , e per "ve" - il logaritmo :. Perché è possibile farlo? È - questo non è il prodotto di due fattori e la regola non funziona?! Non c'è niente di complicato:

Ora resta da applicare la regola una seconda volta alla parentesi:

Puoi ancora pervertire e togliere qualcosa dalle parentesi, ma in questo caso è meglio lasciare la risposta in questo modulo: sarà più facile controllarla.

L'esempio precedente può essere risolto nel secondo modo:

Entrambe le soluzioni sono assolutamente equivalenti.

Esempio 5

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio per una soluzione indipendente, nel campione è risolto nel primo modo.

Considera esempi simili con le frazioni.

Esempio 6

Trova la derivata di una funzione

Qui puoi andare in diversi modi:

O così:

Ma la soluzione può essere scritta in modo più compatto se, prima di tutto, usiamo la regola di derivazione del quoziente , prendendo per il numeratore intero:

In linea di principio, l'esempio è risolto e, se lasciato in questa forma, non sarà un errore. Ma se hai tempo, è sempre consigliabile controllare una bozza, ma è possibile semplificare la risposta? Portiamo l'espressione del numeratore a un comune denominatore e sbarazzarsi della frazione di tre piani:

Lo svantaggio di ulteriori semplificazioni è che c'è il rischio di commettere un errore non quando si trova un derivato, ma quando si effettuano banali trasformazioni scolastiche. D'altra parte, gli insegnanti spesso rifiutano il compito e chiedono di "ricordare" il derivato.

Un esempio più semplice per una soluzione fai-da-te:

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione

Continuiamo a padroneggiare le tecniche per trovare la derivata, e ora considereremo un caso tipico in cui viene proposto un logaritmo "terribile" per la differenziazione

Esempio 8

Trova la derivata di una funzione

Qui puoi fare molta strada, usando la regola di differenziazione di una funzione complessa:

Ma il primissimo passo ti fa precipitare immediatamente nello sconforto: devi prendere uno spiacevole derivato di un grado frazionario, e poi anche da una frazione.

Ecco perché Prima come prendere la derivata del logaritmo "fantasioso", è stato precedentemente semplificato utilizzando note proprietà scolastiche:

! Se hai un quaderno di pratica a portata di mano, copia queste formule proprio lì. Se non hai un quaderno, disegnali su un pezzo di carta, poiché il resto degli esempi della lezione ruoterà attorno a queste formule.

La soluzione stessa può essere formulata in questo modo:

Trasformiamo la funzione:

Troviamo la derivata:

La trasformazione preliminare della funzione stessa ha notevolmente semplificato la soluzione. Pertanto, quando un logaritmo simile viene proposto per la differenziazione, è sempre consigliabile "scomporre".

E ora un paio di semplici esempi per una soluzione indipendente:

Esempio 9

Trova la derivata di una funzione

Esempio 10

Trova la derivata di una funzione

Tutte le trasformazioni e le risposte alla fine della lezione.

derivata logaritmica

Se la derivata dei logaritmi è una musica così dolce, allora sorge la domanda, è possibile in alcuni casi organizzare artificialmente il logaritmo? Potere! E anche necessario.

Esempio 11

Trova la derivata di una funzione

Esempi simili che abbiamo recentemente considerato. Cosa fare? Si può successivamente applicare la regola di differenziazione del quoziente, e poi la regola di differenziazione del prodotto. Lo svantaggio di questo metodo è che ottieni un'enorme frazione di tre piani, che non vuoi affatto affrontare.

Ma in teoria e in pratica esiste una cosa meravigliosa come la derivata logaritmica. I logaritmi possono essere organizzati artificialmente "appendendoli" su entrambi i lati:

Nota : Perché la funzione può assumere valori negativi, quindi, in generale, è necessario utilizzare i moduli: , che scompaiono a causa della differenziazione. Tuttavia, è accettabile anche il design attuale, dove per impostazione predefinita il file complesso valori. Ma se con tutto il rigore, in entrambi i casi è necessario effettuare una prenotazione.

Ora devi "abbattere" il più possibile il logaritmo del lato destro (formule davanti ai tuoi occhi?). Descriverò questo processo in modo molto dettagliato:

Partiamo dalla differenziazione.
Concludiamo entrambe le parti con un tratto:

La derivata del lato destro è abbastanza semplice, non la commenterò, perché se stai leggendo questo testo dovresti essere in grado di maneggiarla con sicurezza.

E il lato sinistro?

Sul lato sinistro abbiamo funzione complessa. Prevedo la domanda: "Perché, c'è una lettera "y" sotto il logaritmo?".

Il fatto è che questa "una lettera y" - È UNA FUNZIONE IN SÉ(se non è molto chiaro, fare riferimento all'articolo Derivata di una funzione implicitamente specificata). Pertanto, il logaritmo è una funzione esterna e "y" è una funzione interna. E usiamo la regola di differenziazione delle funzioni composte :

Sul lato sinistro, come da un'onda bacchetta magica abbiamo una derivata. Inoltre, secondo la regola della proporzione, gettiamo la "y" dal denominatore del lato sinistro alla parte superiore del lato destro:

E ora ricordiamo di che tipo di funzione "gioco" abbiamo parlato durante la differenziazione? Diamo un'occhiata alla condizione:

Risposta finale:

Esempio 12

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio fai da te. Esempio di progettazione di un esempio di questo tipo alla fine della lezione.

Con l'aiuto della derivata logaritmica, è stato possibile risolvere uno qualsiasi degli esempi n. 4-7, un'altra cosa è che le funzioni sono più semplici e, forse, l'uso della derivata logaritmica non è molto giustificato.

Derivata della funzione esponenziale

Non abbiamo ancora considerato questa funzione. Una funzione esponenziale è una funzione che ha e il grado e la base dipendono da "x". Un classico esempio che ti verrà dato in qualsiasi libro di testo o in qualsiasi lezione:

Come trovare la derivata di una funzione esponenziale?

È necessario utilizzare la tecnica appena considerata: la derivata logaritmica. Appendiamo i logaritmi su entrambi i lati:

Di norma, il grado viene estratto da sotto il logaritmo sul lato destro:

Di conseguenza, sul lato destro abbiamo un prodotto di due funzioni, che saranno differenziate secondo la formula standard .

Troviamo la derivata, per questo racchiudiamo entrambe le parti sotto tratti:

I passaggi successivi sono facili:

Finalmente:

Se qualche trasformazione non è del tutto chiara, rileggi attentamente le spiegazioni dell'Esempio 11.

IN compiti pratici la funzione esponenziale sarà sempre più complicata dell'esempio di lezione considerato.

Esempio 13

Trova la derivata di una funzione

Usiamo la derivata logaritmica.

Sul lato destro abbiamo una costante e il prodotto di due fattori: "x" e "logaritmo del logaritmo di x" (un altro logaritmo è annidato sotto il logaritmo). Quando si differenzia una costante, come ricordiamo, è meglio toglierla subito dal segno della derivata in modo che non si intrometta; e, naturalmente, applicare la regola familiare :