Lo studio della funzione di continuità al punto è effettuato sullo schema di routine già ridicolare, che è quello di verificare le tre condizioni di continuità:

Esempio 1.

Esplora la funzione di continuità. Determinare la natura delle pause della funzione se esistono. Eseguire il disegno.

Decisione:

1) Sotto la vista è l'unico punto in cui la funzione non è definita.

I limiti unilaterali sono finiti e uguali.

Quindi, al punto la funzione subisce un divario monouso.

Come appare un grafico di questa funzione?

Voglio essere semplificato , E sembra essere la solita parabola. MA La funzione iniziale non è definita nel punto, quindi è richiesta la seguente prenotazione:

Esegui un disegno:

Risposta: La funzione è continua su tutto il numero numerico eccetto il punto in cui viene tirato da un divario monouso.

La funzione può essere fatta buona o non in un modo molto semplice, ma sotto la condizione non è richiesta.

Dici un esempio escogitato? Affatto. Dozzine di volte incontrati in pratica. Quasi tutti i compiti del sito provengono da reali lavori indipendenti e di prova.

Siamo divisi con i tuoi moduli preferiti:

ESEMPIO 2.

Esplora la funzione Per continuità. Determinare la natura delle pause della funzione se esistono. Eseguire il disegno.

Decisione: Per qualche ragione, gli studenti hanno paura e non piacciono le funzioni con un modulo, anche se nulla è complicato in loro. Abbiamo già toccato queste cose un po 'nella lezione. Trasformazioni geometriche del grafico. Poiché il modulo non è negativo, è rivelato come segue: Dove "Alpha" è un'espressione. In questo caso, la nostra funzione dovrebbe firmare un modo a tratti:

Ma le frazioni di entrambi i pezzi devono essere ridotte. La riduzione, come nell'esempio precedente, non passerà senza conseguenze. La funzione iniziale non è definita al punto, poiché il denominatore aggiunge a zero. Pertanto, il sistema dovrebbe specificare ulteriormente la condizione e la prima disuguaglianza dovrebbe essere rigorosa:

Ora su una decisione molto utile della decisione.: Prima di finire, il compito del progetto è redditizio per fare un disegno (indipendentemente dal fatto che sia richiesto per condizione o meno). Ciò aiuterà, prima, vedrà immediatamente i punti di continuità e il punto di gap e, in secondo luogo, il 100% salverà dagli errori durante la ricerca di limiti unilaterali.

Eseguire un disegno. In conformità con i nostri calcoli, a sinistra del punto, è necessario disegnare un frammento di parabola (blu), e sulla destra: un pezzo di parabola (rosso) e la funzione non è definita nel punto del punto:

Se ci sono dubbi, prenditi alcuni valori "x", sostituirli alla funzione (Senza dimenticare che il modulo distrugge il possibile segno "meno") e controlla il programma.

Esaminiamo analiticamente la funzione per la continuità:

1) La funzione non è definita al punto, in modo da poter dire immediatamente che non è continuo in esso.

2) Stabilire la natura del divario, per questo calcoliamo i limiti unidirezionali:

I limiti a unidirezionale sono finiti e diversi, significa che la funzione è tollera il gap del 1 ° gener con un salto al punto. Si noti che non importa, la funzione è definita al punto di interruzione o meno.

Ora rimane per spostare il disegno dalla bozza (è fatto come se si usi lo studio ;-)) e completare l'attività:

Risposta: La funzione è continua sull'intero numero numerico tranne il punto in cui tollera il primo tipo di gap con il salto.

A volte è necessario specificare ulteriormente un salto di perdita. È calcolato che è elementare - dal limite di destra è necessario dedurre il limite di sinistra:, cioè, al punto di interruzione, la nostra funzione è saltata da 2 unità in giù (come diciamo il segno "meno").

ESEMPIO 3.

Esplora la funzione Per continuità. Determinare la natura delle pause della funzione se esistono. Fare un pareggio

Questo è un esempio per una soluzione indipendente, una soluzione esemplare campione alla fine della lezione.

Rivolgenci alla versione più popolare e comune dell'attività quando la funzione è composta da tre pezzi:

ESEMPIO 4.

Esplora la funzione di continuità e crea un grafico della funzione

Decisione: Ovviamente, tutte e tre le parti della funzione sono continue a intervalli corrispondenti, quindi rimane per controllare solo due punti "giunto" tra pezzi. In primo luogo, eseguirò il disegno sulla bozza, la tecnica di costruzione, mi sono lamentato in dettaglio nella prima parte dell'articolo. L'unico, è necessario rintracciare attentamente i nostri punti speciali: A causa della disuguaglianza, il valore appartiene a una linea retta (punto verde), e in virtù della disuguaglianza, il valore appartiene al parabolo (punto rosso):

Bene, in linea di principio, tutto è chiaro \u003d) rimane per prendere una decisione. Per ciascuno dei due punti "Butt" nelle condizioni di continuità standard 3:

IO)

I limiti a unidirezionale sono finiti e diversi, significa che la funzione è tollera il gap del 1 ° gener con un salto al punto.

Calcola il gap salto come la differenza tra i limiti giusti e sinistro:
, cioè, il programma si precipitò su una unità in alto.

Ii) Esplora il punto di continuità

1) - La funzione è definita a questo punto.

2) Troveremo limiti unidirezionali:

- I limiti unilaterali sono finiti e uguali, il che significa che c'è un limite generale.

Nella fase finale, trasferiamo il disegno al primo Chistik, dopo di che mettiamo l'accordo finale:

Risposta: La funzione è continua su tutta diretta numerica, ad eccezione del punto in cui tollera il primo tipo di gap con il salto.

ESEMPIO 5.

Esplora la continuità e costruisci il suo programma .

Questo è un esempio per una soluzione indipendente, una breve soluzione e un campione esemplare di progettazione attività alla fine della lezione.

Potrebbe essere l'impressione che a un certo punto la funzione debba necessariamente essere continua, e nell'altro - deve essere un divario. In pratica, questo non è sempre il caso. Cerca di non trascurare gli esempi rimanenti - ci saranno molti chip interessanti e importanti:

ESEMPIO 6.

Caratteristica Dana . Esplora la funzione di continuità nei punti. Costruire un grafico.

Decisione: E di nuovo, eseguirò immediatamente un disegno nella bozza:

La funzione di questo programma è che con un pezzo di funzione, l'equazione dell'asse Ascissa è impostata. Qui questa zona è disegnata da verde, e nel notebook di solito è scoppiato con una semplice matita. E, naturalmente, non dimenticare i nostri ram: il valore si riferisce al ramo tangente (punto rosso) e il valore appartiene alla linea.

Dal disegno, tutto è chiaro - la funzione è continua sull'intera linea numerica, resta per creare una soluzione che viene portata al completo automatismo letteralmente dopo 3-4 esempi di questi esempi:

IO) Esplora il punto di continuità

2) Calcola i limiti a senso unico:

Quindi il limite generale esiste.

È successo qui un piccolo curiosità. Il fatto è che ho creato molti materiali sui limiti della funzioneE volevo più volte, ma ho dimenticato una semplice domanda più volte. E così, lo sforzo incredibile si può perdere il suo pensiero \u003d) molto probabilmente, alcuni lettori "детики" dubbi: qual è il limite costante? Il limite costante è uguale alla costante stessa. In questo caso, il limite zero è zero stesso (limite di sinistra).

3) - La funzione limite al punto è uguale al valore di questa funzione a questo punto.

Pertanto, la funzione è continua nel punto per determinare la continuità della funzione al punto.

Ii) Esplora il punto di continuità

1) - La funzione è definita a questo punto.

2) Troveremo limiti unidirezionali:

E qui, nel limite di destra - il limite dell'unità è uguale all'unità stessa.

- Il limite generale esiste.

3) - La funzione limite al punto è uguale al valore di questa funzione a questo punto.

Pertanto, la funzione è continua nel punto per determinare la continuità della funzione al punto.

Come al solito, dopo lo studio, trasferiamo il nostro disegno alla pulizia.

Risposta: La funzione è continua nei punti.

Siete pregati di notare che nella condizione non abbiamo chiesto nulla sullo studio dell'intera funzione della continuità, e un buon tono matematico è considerato accurato e chiaro. La risposta alla domanda interrogata. A proposito, se per condizione non è richiesto per costruire un programma, allora hai il massimo diritto di esso e non costruire (tuttavia, allora l'insegnante può farlo fare).

Piccolo "patter matematico" per una soluzione indipendente:

Esempio 7.

Caratteristica Dana .

Esplora la funzione di continuità nei punti. Classificare i punti di gap se lo sono. Eseguire il disegno.

Prova a "ripulse" tutte le "parole" \u003d) e il programma per disegnare più precisa, precisione, non sarà troppo ;-)

Come ricordi, ho raccomandato di disegnare immediatamente il disegno sulla bozza, ma di volta in volta ci sono tali esempi, dove non capirai immediatamente come appare il programma. Pertanto, in alcuni casi, è vantaggioso trovare i limiti unilaterali e solo in base allo studio, raffigurante i rami. In due esempi finali, abbiamo, inoltre, manterremo la tecnica di calcolare alcuni limiti unilaterali:

ESEMPIO 8.

Indagare sulla funzione di continuità e costruire il suo grafico schematico.

Decisione: I punti negativi sono ovvi: (disegna un denominatore dell'indicatore a zero) e (disegna un denimoter dell'intera frazione a zero). Leggermente, come sembra il programma di questa funzione, e quindi, è meglio condurre uno studio.

IO)Esplora il punto di continuità

2) Troveremo limiti unidirezionali:

prestare attenzione a ricezione tipica del calcolo del limite a unidirezionale: La funzione invece di "Iksa" sostituiamo. Nel Denominatore, nessun crimine: "Additivo" "Minus Zero" non gioca ruoli e "quattro" è ottenuto. Ma nel numeratore c'è un piccolo thriller: prima nel denominatore, uccidiamo -1 e 1, con conseguente risultato. Unito è uguale a "meno infinito", quindi :. E infine, "doppio" in infinitamente un grande grado negativo uguale a zero :. O, se più leggi di più: .

Calcola il limite destro:

E qui - invece di "Iksa" sostituiamo. Nel "supplemento" del denominatore di nuovo non gioca i ruoli :. Il Numener viene effettuato simile al limite precedente dell'azione: distruggiamo i numeri opposti e dividiamo l'unità a :

Il limite giusto è infinito, significa che la funzione subisce il gap del 2 ° tipo al punto.

Ii)Esplora il punto di continuità

1) La funzione non è definita a questo punto.

2) Calcola il limite di lato sinistro:

Il metodo è lo stesso: sostituiamo la funzione invece di "Iksa". In un numeratore, niente di interessante è il numero positivo finale. E nel denominatore, riveliamo le parentesi, rimuoviamo la "Troika", e il ruolo decisivo è giocato dall'additivo "additivo".

Secondo la finale, il numero positivo finale diviso per numero positivo infinitamente piccolo, dà "più infinito" :.

Limite a destra come Twin Brother, solo l'eccezione che il denominatore galleggia numero negativo infinitamente piccolo:

I limiti a unidirezionale sono infiniti, significa che la funzione subisce il gap del 2 ° genere al punto.

Quindi, abbiamo due punti di divario, e, ovviamente, tre rami dei freni. Per ogni ramo, è consigliabile eseguire la costruzione corrente, cioè. Prenditi alcuni valori "x" e sostituiscili. Si noti che sotto la condizione è autorizzata a costruire una laurea convenzionale, e un tale rilassamento è naturale per fatto a mano. Sto costruendo la grafica con l'aiuto del programma, quindi non ho tale difficoltà, ecco un'immagine abbastanza accurata:

Rettilinei sono asymtotami verticale. Per il grafico di questa funzione.

Risposta: La funzione è continua sull'intero numero numerico tranne i punti in cui tollera le interruzioni del 2 ° tipo.

Una caratteristica più semplice per le soluzioni auto:

Esempio 9.

Esaminare la funzione di continuità ed eseguire un disegno schematico.

Una soluzione esemplare campione alla fine, che è scoppiata inosservata.

A presto!

Soluzioni e risposte:

ESEMPIO 3:Decisione : Convertiamo la funzione: . Dato la regola di divulgazione del modulo e il fatto che , riscrivi la funzione in un modulo pezzo:

Esaminiamo la funzione per la continuità.

1) La funzione non è definita al punto .

I limiti unilaterali sono finiti e diversi, significa che la funzione è tollera il gap del 1 ° genere con un salto al punto . Esegui un disegno:

Risposta: La funzione è continua su tutto il numero numerico tranne il punto in cui tollera il primo tipo di gap con un salto. Jump GAP: (Due unità in alto).

Esempio 5:Decisione : Ciascuna delle tre parti della funzione è continua sul suo intervallo.
IO)
1)

2) Calcola i limiti a senso unico:

Quindi il limite generale esiste.
3) - La funzione limite al punto è uguale al valore di questa funzione a questo punto.
Quindi, la funzione Continuo al punto Determinando la continuità della funzione al punto.
Ii) Esplora il punto di continuità

1) - La funzione è definita a questo punto. La funzione tollera il gap del 2 ° tipo, al punto

Come trovare un'area di definizione funzione?

Esempi di soluzioni

Se da qualche parte non c'è qualcosa, allora da qualche parte c'è qualcosa

Continuiamo a esplorare la sezione "Funzioni e grafici" e la prossima stazione del nostro viaggio - Area di definizione della funzione. La discussione attiva di questo concetto è iniziata nella prima lezione informazioni sui grafici delle funzioniDove ho guardato le funzioni elementari e, in particolare, la loro area di definizione. Pertanto, consiglio di avviare la teiera con l'Azov, perché non mi fermerò di nuovo alcuni momenti di base.

Si presume che il lettore conosca il campo di determinazione delle funzioni principali: funzione lineare, quadratica, cubica, polinomi, esponenziali, logaritmo, sinus, coseno. Sono definiti. Per tangenti, arcsini, quindi essere, addio \u003d) I grafici più rari non sono ricordati immediatamente.

L'area di definizione - sembra essere una cosa semplice e sorge una domanda naturale, cosa sarà l'articolo? In questa lezione, considererò i compiti comuni per trovare l'area di definizione del campo. Inoltre, ripetiamo disuguaglianze con una variabile, le cui capacità di soluzione saranno richieste in altri compiti di matematica superiore. Materiale, a proposito, tutta la scuola, quindi sarà utile non solo agli studenti, ma anche agli studenti. Informazioni, ovviamente, non fingono di encyclopedize, ma qui non sono entusiasti di esempi "morti", ma castagne fritte che vengono prelevate da questi lavori pratici.

Iniziamo con espresso chiuso nell'argomento. Brevemente sulla cosa principale: stiamo parlando della funzione di una variabile. La sua area di definizione è molti valori "x"per cui esistere I valori di "Igireakov". Considera un esempio condizionale:

L'area di definizione di questa funzione è l'intersezione delle lacune:
(Per coloro che hanno dimenticato: - l'icona dell'Unione). In altre parole, se prendi alcun significato di "X" dall'intervallo, o da, o fuori, quindi per ciascuno "X" esisterà il significato di "Igrek".

Principalmente parlando, dove l'area di definizione è lì è presente un programma funzione. Ma l'intervallo e il punto "CE" non sono inclusi nell'area definizione, quindi non c'è grafica lì.

Sì, a proposito, se nulla non è chiaro dalla terminologia e / o dal contenuto dei primi paragrafi, è meglio tornare all'articolo Grafici e proprietà delle funzioni elementari.

Funzione di continuità. Punto di rottura.

C'è un toro, oscillante, sospiri in movimento:
- Oh, la tavola finisce, ora cadrò!

In questa lezione, analizzeremo il concetto di continuità della funzione, la classificazione dei punti di gap e un compito pratico comune funzioni di ricerca per la continuità. Dal proprio nome dell'argomento, molti intuitivamente rendono conto di ciò che verrà speso e pensa che il materiale sia abbastanza semplice. È vero. Ma sono semplici compiti semplici più spesso puniti per un disprezzo e un approccio superficiale per risolverli. Pertanto, consiglio di studiare attentamente l'articolo e prendere tutte le sottigliezze e le tecniche tecniche.

Cosa devi sapere ed essere in grado di?Non proprio molto. Per la lezione di apprendimento di alta qualità, è necessario capire cos'è limite di funzione. I lettori di preparazione bassi sono sufficienti per comprendere l'articolo Limiti di funzioni. Esempi di soluzioni e vedere il significato geometrico del limite nei metodi Grafici e proprietà delle funzioni elementari. È anche consigliabile conoscere trasformazioni geometriche del graficoPoiché la pratica nella maggior parte dei casi riguarda la costruzione di un disegno. Le prospettive sono ottimistiche per tutti, e anche un bollitore completo sarà in grado di far fronte all'indirizzo del compito nella prossima ora - un altro!

Funzione di continuità. Ripposti e la loro classificazione

Il concetto di funzione di continuità

Considera qualche funzione, continua sull'intera linea numerica:

Oppure, parlando più conciso, la nostra funzione è continua (numeri multipli).

Qual è il criterio di continuità "filisteo"? Ovviamente, può essere disegnato un grafico di funzione continua senza prendere una matita dalla carta.

Allo stesso tempo, due semplici concetti dovrebbero essere chiaramente distinti: area di definizione della funzione e funzione di continuità. Generalmente questo non è lo stesso. Per esempio:

Questa funzione è definita sull'intera linea numerica, cioè, per oGNI I significati "x" esistono il suo significato di "giochi". In particolare, se, allora. Si noti che un altro punto della popolazione, poiché per definizione della funzione, il valore dell'argomento deve corrispondere l'unica cosa Il valore della funzione. In questo modo, dominio La nostra funzione:.

ma questa funzione non è continua! Ovviamente, al punto tollera rompere. Il termine è anche abbastanza intelligibile e visitato, in effetti, la matita qui per chiunque dovrà strappare la carta. Un po 'più tardi, considereremo la classificazione dei punti di gap.

Continuità della funzione al punto e sull'intervallo

In particolare un problema matematico, possiamo parlare della continuità della funzione al punto, la continuità della funzione sull'intervallo, l'intervallo di semi-intervallo o la continuità della funzione sul segmento. I.e, non c'è "solo continuità" - La funzione può essere continua da qualche parte. E il "mattone" fondamentale di tutto il resto è funzione di continuità al punto .

La teoria dell'analisi matematica dà la definizione di continuità della funzione in un punto con l'aiuto di Delta e Epsilon dell'area circostante, ma in pratica, un'altra definizione, che presteremo molta attenzione.

Prima ricorda limiti unilateraliChi è esploso nella nostra vita nella prima lezione informazioni sui grafici delle funzioni. Considera la situazione di una settimana:

Se ti avvicini all'asse al punto sinistra (Freccia rossa), quindi i valori corrispondenti di "Igirek" andranno lungo l'asse fino al punto (la freccia del lampone). Matematicamente, questo fatto è fisso con limite di sinistra:

Prestare attenzione alla voce (IKS sta leggendo a sinistra "). "Aditivo" simboleggia il "Aditivo" "Minus Zero" In effetti, significa che ci stiamo avvicinando dal lato sinistro.

Allo stesso modo, se si avvicina al punto "ka" sulla destra (freccia blu), quindi "accensione" arriverà allo stesso significato, ma già sulla freccia verde, e limite di il diritto sarà il seguente:

"Additivo" simboleggia E la registrazione è letta in questo modo: "X sta cercando per la destra".

Se i limiti unilaterali sono finiti e uguali (come nel nostro caso): , diremo che c'è un limite comune. Tutto è semplice, il limite generale è il nostro "ordinario" limite di funzioneuguale al numero finito.

Si noti che se la funzione non è definita a (riempire il punto nero sul ramo del grafico), i calcoli elencati rimangono validi. Come menzionato ripetutamente, in particolare, nell'articolo su funzioni infinitamente piccole, le espressioni significano che "x" infinitamente vicino si avvicina al punto allo stesso tempo IrrilevanteLa funzione stessa è definita a questo punto o meno. Un buon esempio verrà soddisfatto nel paragrafo successivo quando viene analizzata una funzione.

Definizione: La funzione è continua nel punto se il limite della funzione a questo punto è uguale al valore della funzione a questo punto :.

La definizione è dettagliata nelle seguenti condizioni:

1) La funzione deve essere definita al punto, cioè, deve esserci un valore.

2) deve esserci un limite comune della funzione. Come notato sopra, implica l'esistenza e l'uguaglianza dei limiti a senso unico: .

3) Il limite della funzione a questo punto dovrebbe essere uguale al valore della funzione a questo punto :.

Se violato almeno una Delle tre condizioni, la funzione perde la proprietà della continuità al punto.

Funzione di continuità sull'intervallo Formulare spiritoso e molto semplice: la funzione è continua sull'intervallo se è continua ad ogni punto di questo intervallo.

In particolare, molte funzioni sono continue su un intervallo infinito, cioè su una varietà di numeri validi. Questa è una funzione lineare, polinomiale, esponente, sinus, coseno, ecc. E in generale, qualsiasi funzione elementare Continua sulla mia aree di definizioneAd esempio, la funzione logaritmica è continua sull'intervallo. Spero di renderlo abbastanza chiaro per questo momento, come sembra la grafica delle funzioni di base. Per ulteriori informazioni sulla loro continuità, puoi imparare da una persona buona con il nome di Fihtendholts.

Con la continuità della funzione sul segmento e sui semi-intervalli, tutto è anche semplice, ma è più appropriato raccontare nella lezione sulla ricerca dei valori minimi e massimi della funzione sul segmento, Nel frattempo, non ci chiameremo la testa.

Classificazione dei punti di rottura

La vita affascinante delle funzioni è ricca di tutti i tipi di punti speciali, e i punti di gap sono solo una delle pagine della loro biografia.

Nota : Nel caso in cui mi concentrerò sul momento elementare: il punto di gap è sempre punto separato - Non ci sono "diversi punti di rottura di fila", cioè, non esiste una cosa come l'intervallo di "intervallo di rottura".

Questi punti a loro volta sono suddivisi in due grandi gruppi: primo tipo di lacune e rales del secondo tipo. Ogni tipo di rottura ha le sue caratteristiche caratteristiche che guardiamo adesso:

Punto di rottura di primo tipo

Se la condizione di continuità è rotta nel punto e limiti unilaterali più fine Quindi viene chiamato il punto di rompere il primo tipo.

Iniziamo con il caso più ottimistico. All'idea iniziale della lezione, volevo dire alla teoria "in forma generale", ma per dimostrare la realtà del materiale, mi sono fermato a una variante con attori specifici.

La foto di sposi è triste contro lo sfondo della fiamma eterna, ma il frame successivo è generalmente accettato. Immagini nella funzione Pianificazione del disegno:

Questa funzione è continua su tutta la rete numerica, ad eccezione del punto. E infatti, il denominatore non può essere zero. Tuttavia, in accordo con il significato del limite - possiamo infinitamente vicino Avvicinati allo "zero" ea sinistra ea destra, cioè, esistono limiti unilaterali e, ovviamente, coincidono:
(Continuità 2 Condizione è completata).

Ma la funzione non è definita al punto, quindi, la condizione di continuità 1 è violata e la funzione viene tirata a questo punto.

Breaking del genere (con esistente limite comune) Chiama rottura monouso. Perché eliminabile? Perché la funzione può dipendenza Alla rottura:

Sembra strano? Può essere. Ma un tale record della funzione non contraddice nulla! Ora il gap viene eliminato e tutti sono felici:

Eseguire un controllo formale:

2) - il limite generale esiste;
3)

Pertanto, tutte e tre le condizioni sono fatte e la funzione è continua nel punto per determinare la continuità della funzione al punto.

Tuttavia, gli odiatori Matana possono influenzare la funzione con un brutto modo, per esempio :

È curioso che le prime due condizioni di continuità sono state eseguite qui:
1) - La funzione è definita a questo punto;
2) - Il limite generale esiste.

Ma la terza frontiera non è percorsa: c'è una funzione limite al punto non uguale Il valore di questa funzione a questo punto.

Quindi, al punto la funzione subisce una pausa.

Il secondo, è chiamato il caso più triste rip Primo tipo con il salto. E la tristezza è offerta limiti unilaterali che finito e diverso.. Un esempio è raffigurato sul secondo disegno della lezione. Un tale divario si verifica, di regola, in funzioni specificate a trattiche sono già stati menzionati nell'articolo sulle trasformazioni del grafico.

Considera un pezzo di funzione torta Ed esegui il suo disegno. Come costruire un grafico? Molto semplice. Sull'intervallo di mezzo intervallo, il frammento del parabol (verde), sull'intervallo - una linea retta (rosso) e sull'a mezzo intervallo - diretto (colore blu).

Allo stesso tempo, a causa della disuguaglianza, il valore è definito per una funzione quadratica (punto verde), e in virtù della disuguaglianza, il valore è definito per una funzione lineare (DOT blu):

Nel caso molto difficile, il caso dovrebbe essere ricorso alla costruzione attuale di ogni pezzo di grafica (vedi prima lezione sui grafici delle funzioni).

Ora saremo interessati solo al punto. Esploralo per la continuità:

2) calcolare i limiti unilaterali.

A sinistra abbiamo una linea di taglio rossa, quindi il limite di lato sinistro:

Destra - BLU Straight e Limite adidomestico:

Di conseguenza, ottenuto numeri finali, e loro non uguale. Dal limiti a senso unico finito e diverso.: , quindi la nostra funzione tollera gap del primo tipo con un salto.

È logico che il divario non venga eliminato: la funzione è davvero non farlo e "non colla", come nell'esempio precedente.

Punti di rottura di secondo tipo

In genere, questa categoria di astuzia include tutti gli altri casi di rottura. Non elencherò tutto, perché in pratica al 99%, le percentuali dei compiti ti incontreranno infinita rottura - Quando sinistro o lati a destra, e più spesso, entrambi i limiti sono infiniti.

E, naturalmente, l'immagine più adatta - iperbole al punto zero. Qui entrambi i limiti unilate sono infiniti: Pertanto, la funzione tollera il gap di secondo tipo al punto.

Cerco di riempire i miei articoli con il contenuto più diversificato, quindi guardiamo al programma di una funzione che non è ancora soddisfatta:

Secondo lo schema standard:

1) La funzione non è definita a questo punto, dal momento che il denominatore si riferisce a zero.

Naturalmente, è possibile concludere immediatamente che la funzione subisce il divario al punto, ma sarebbe bello classificare la natura del divario, che è spesso richiesto per condizione. Per questo:

Ti ricordo che sotto il record è compreso numero negativo infinitamente piccoloe sotto il record - numero positivo infinitamente piccolo.

I limiti a unidirezionale sono infiniti, significa che la funzione subisce il gap del 2 ° genere al punto. L'asse ordinato è asimptota verticale. Per il programma.

La situazione non è rara quando esistono entrambi i limiti unilaterali, ma solo uno di loro è infinito, ad esempio:

Questo è un grafico di una funzione.

Esplora il punto di continuità:

1) La funzione non è definita a questo punto.

2) Calcola i limiti a senso unico:

Parleremo del metodo per calcolare tali limiti unilaterali negli ultimi due esempi della conferenza, anche se molti lettori hanno già visto e indovinato.

Il limite di lato sinistro è finito e uguale a zero (nel punto noi "non andare"), ma il limite del lato destro è infinito e il ramo arancione del grafico è infinitamente vicino al suo asymtota verticale.definito dall'equazione (nero punteggiato).

Pertanto, la funzione tollera gap del secondo tipo Al punto.

Per quanto riguarda il divario del 1 ° genere, nel punto stesso punto del punto, la funzione può essere determinata. Ad esempio, per una funzione pezzo Inserire audacemente un punto in grassetto nero all'inizio delle coordinate. A destra - il ramo degli iperbole e il limite del lato destro è infinito. Penso che quasi tutti presentino come appare questo programma.

Ciò che tutti non vedevano l'ora di:

Come indagare una funzione per la continuità?

Lo studio della funzione di continuità al punto è effettuato sullo schema di routine già ridicolare, che è quello di verificare le tre condizioni di continuità:

Esempio 1.

Esplora la funzione

Decisione:

1) Sotto la vista è l'unico punto in cui la funzione non è definita.

2) Calcola i limiti a senso unico:

I limiti unilaterali sono finiti e uguali.

Quindi, al punto la funzione subisce un divario monouso.

Come appare un grafico di questa funzione?

Voglio essere semplificato , E sembra essere la solita parabola. MA La funzione iniziale non è definita nel punto, quindi è richiesta la seguente prenotazione:

Esegui un disegno:

Risposta: La funzione è continua su tutto il numero numerico eccetto il punto in cui viene tirato da un divario monouso.

La funzione può essere fatta buona o non in un modo molto semplice, ma sotto la condizione non è richiesta.

Dici un esempio escogitato? Affatto. Dozzine di volte incontrati in pratica. Quasi tutti i compiti del sito provengono da reali lavori indipendenti e di prova.

Siamo divisi con i tuoi moduli preferiti:

ESEMPIO 2.

Esplora la funzione Per continuità. Determinare la natura delle pause della funzione se esistono. Eseguire il disegno.

Esaminiamo analiticamente la funzione per la continuità:

1) La funzione non è definita al punto, in modo da poter dire immediatamente che non è continuo in esso.

2) Stabilire la natura del divario, per questo calcoliamo i limiti unidirezionali:

I limiti a unidirezionale sono finiti e diversi, significa che la funzione è tollera il gap del 1 ° gener con un salto al punto. Ancora una volta, nota che quando trovi i limiti, non importa, la funzione è definita al punto di interruzione o meno.

Ora rimane per spostare il disegno dalla bozza (è fatto come se si usi lo studio ;-)) e completare l'attività:

Risposta: La funzione è continua sull'intero numero numerico tranne il punto in cui tollera il primo tipo di gap con il salto.

ESEMPIO 3.

Esplora la funzione Per continuità. Determinare la natura delle pause della funzione se esistono. Fare un pareggio

Questo è un esempio per una soluzione indipendente, una soluzione esemplare campione alla fine della lezione.

Rivolgenci alla versione più popolare e comune dell'attività quando la funzione è composta da tre pezzi:

ESEMPIO 4.

Esplora la funzione di continuità e crea un grafico della funzione .

IO) Esplora il punto di continuità

I limiti a unidirezionale sono finiti e diversi, significa che la funzione è tollera il gap del 1 ° gener con un salto al punto.

Calcola il gap salto come la differenza tra i limiti giusti e sinistro:
, cioè, il programma si precipitò su una unità in alto.

Ii) Esplora il punto di continuità

1) - La funzione è definita a questo punto.

2) Troveremo limiti unidirezionali:

- I limiti unilaterali sono finiti e uguali, il che significa che c'è un limite generale.

3) - La funzione limite al punto è uguale al valore di questa funzione a questo punto.

Nella fase finale, trasferiamo il disegno al primo Chistik, dopo di che mettiamo l'accordo finale:

Risposta: La funzione è continua su tutta diretta numerica, ad eccezione del punto in cui tollera il primo tipo di gap con il salto.

ESEMPIO 5.

Esplora la continuità e costruisci il suo programma .

Questo è un esempio per una soluzione indipendente, una breve soluzione e un campione esemplare di progettazione attività alla fine della lezione.

ESEMPIO 6.

Caratteristica Dana . Esplora la funzione di continuità nei punti. Costruire un grafico.

Decisione: E di nuovo, eseguirò immediatamente un disegno nella bozza:

Dal disegno, tutto è chiaro - la funzione è continua sull'intero numero numerico, resta per creare una soluzione che viene portata al completo automatismo letteralmente dopo 3-4 esempi simili:

IO) Esplora il punto di continuità

1) - La funzione è definita a questo punto.

2) Calcola i limiti a senso unico:

Quindi il limite generale esiste.

Un fatto banale ti ricorderà qualsiasi pompiere: il limite costante è uguale alla costante stessa. In questo caso, il limite zero è zero stesso (limite di sinistra).

3) - La funzione limite al punto è uguale al valore di questa funzione a questo punto.

Pertanto, la funzione è continua nel punto per determinare la continuità della funzione al punto.

Ii) Esplora il punto di continuità

1) - La funzione è definita a questo punto.

2) Troveremo limiti unidirezionali:

E qui - il limite unitario è uguale all'unità stessa.

- Il limite generale esiste.

3) - La funzione limite al punto è uguale al valore di questa funzione a questo punto.

Pertanto, la funzione è continua nel punto per determinare la continuità della funzione al punto.

Come al solito, dopo lo studio, trasferiamo il nostro disegno alla pulizia.

Risposta: La funzione è continua nei punti.

Piccolo "patter matematico" per una soluzione indipendente:

Esempio 7.

Caratteristica Dana . Esplora la funzione di continuità nei punti. Classificare i punti di gap se lo sono. Eseguire il disegno.

Prova a "ripulse" tutte le "parole" \u003d) e il programma per disegnare più precisa, precisione, non sarà troppo ;-)

ESEMPIO 8.

Indagare sulla funzione di continuità e costruire il suo grafico schematico.

Decisione: I punti negativi sono ovvi: (disegna un denominatore dell'indicatore a zero) e (disegna un denimoter dell'intera frazione a zero). Non è possibile come appare il programma di questa funzione, e quindi, è meglio condurre uno studio.

Determinare la continuità della funzione al punto. Considerato definizioni equivalenti di HEINE, Cauchy e in termini di incrementi. La determinazione della continuità unilaterale al segmento termina. Formulazione della mancanza di continuità. Esempi sono smontati in cui è necessario dimostrare la continuità della funzione utilizzando le definizioni di Heine e Cauchy.

Soddisfare

Guarda anche: Limite della funzione - definizioni, teoremi e proprietà

Continuità al punto

Definizione della funzione di continuità al punto
Funzione F. (X) chiamato continuo al punto x 0 Quartiere U. (x 0) Questo punto e se il limite quando x sta cercando x 0 C'è e uguale al valore della funzione in x 0 :
.

Qui è significato che x 0 - Questo è l'endpoint. Il valore della funzione in esso può essere solo un numero finito.

Definizione di continuità a destra (a sinistra)
Funzione F. (X) chiamato continuo a destra (a sinistra) al punto x 0 Se è definito su un quartiere a destra (lato sinistro) di questo punto, e se il limite destro (a sinistra) al punto x 0 uguale al valore della funzione in x 0 :
.

Esempi

Esempio 1.

Usando le definizioni di Heine e Cauchy per dimostrare che la funzione è continua per tutti x.

Lascia che ci sia un numero arbitrario. Dimostriamo che la funzione specificata è continua nel punto. La funzione è definita per tutti x. Pertanto, è definito nel punto e in qualsiasi quartiere.

Usiamo la definizione di HEINE

Noi usiamo. Lascia che ci sia una sequenza arbitraria convergente per :. Usando la proprietà limite di proprietà delle sequenze che abbiamo:
.
Dal momento che c'è una sequenza arbitraria convergente a, quindi
.
La continuità è dimostrata.

Usiamo la definizione di Cauchy

Noi usiamo.
Considera il caso. Abbiamo il diritto di considerare la funzione su qualsiasi quartiere del punto. Pertanto, lo assumiamo
(P1.1) .

Applica la formula:
.
Considerando (P1.1), valuteremo:

;
(P1.2) .

Applicazione (P1.2), stimiamo il valore assoluto della differenza:
;
(P1.3) .
.
Secondo le proprietà delle disuguaglianze, se viene eseguita (P1.3), se e se, allora.

Ora considera il punto. In questo caso
.
.

.
Ciò significa che la funzione è continua nel punto.

Allo stesso modo, si può dimostrare che una funzione in cui n è un numero naturale è continuo su tutto l'asse valido.

ESEMPIO 2.

Usare per dimostrare che la funzione è continua per tutti.

La funzione specificata è definita a. Dimostriamo che è continuo al punto.

Considera il caso.
Abbiamo il diritto di considerare la funzione su qualsiasi quartiere del punto. Pertanto, lo assumiamo
(P2.1) .

Applica la formula:
(P2.2) .
Mettere. Poi
.

Considerando (P2.1), faremo una valutazione:

.
Così,
.

Applicazione di questa disuguaglianza e utilizzo (P2.2), stimiamo la differenza:

.
Così,
(P2.3) .

Introduciamo numeri positivi e, legati dalle relazioni:
.
Secondo le proprietà delle disuguaglianze, se eseguite (P2.3), se e se, allora.

Ciò significa che per qualsiasi positivo sempre lì. Quindi per tutte le x, soddisfacendo la disuguaglianza, la disuguaglianza viene automaticamente eseguita:
.
Ciò significa che la funzione è continua nel punto.

Ora considera il punto. Dobbiamo dimostrare che la funzione specificata è continua a questo punto a destra. In questo caso
.
Introduciamo numeri positivi e:
.

Si può vedere che per qualsiasi positivo sempre lì. Quindi per tutti x, in modo tale che la disuguaglianza sia effettuata:
.
Significa che . Cioè, la funzione è continua a destra al punto.

In modo simile, può essere dimostrato che una funzione in cui n è un numero naturale, continuo quando.

Riferimenti:
O.i. Demoni. Conferenze sull'analisi matematica. Parte 1. Mosca, 2004.
Ld. Kudryavtsev. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 2003.
CM. Nikolsky. Corso di analisi matematica. Volume 1. Moscow, 1983.

Guarda anche:

Questo articolo riguarda una funzione numerica continua. Per i mappati continui in varie sezioni di matematica, vedere Display continuo.

Funzione continua - Funzione senza "salti", cioè, tale che piccole modifiche nell'argomento portano a piccole modifiche del valore della funzione.

Funzione continua, in generale, sinonimo del concetto è una mappatura continua, tuttavia, questo termine è più spesso utilizzato in un senso più stretto - per mappature tra spazi numerici, ad esempio su una linea reale. Questo articolo è dedicato a funzioni continue precisamente definite su un sottoinsieme di numeri reali e ricevendo valori reali.

Enciclopedico Youtube.

1 / 5

✪ Continuità della funzione e punti di interruzione del punto

✪ 15 funzione continua

✪ Funzioni continue

✪ Analisi matematica, 5 lezioni, continuità della funzione

✪ Variabile casuale continuo. Funzione di distribuzione

Sottotitoli

Definizione

Se ti "risolvi" la funzione F (\\ displaystyle f) Alla fine del gap monouso e messo f (a) \u003d lim x → A f (x) (\\ displaystyle f (a) \u003d \\ lim \\ Limits _ (x \\ a a) f (x)), quindi la funzione è continua a questo punto. Tale operazione sulla funzione è chiamata funzione definita per continuo o definizione della funzione di continuitàche giustifica il titolo del punto come i punti monouso Ondulazione.

Rippoint "Jump"

Il "salto" del gap si verifica se

Lim x → A - 0 f (x) ≠ lim x → A + 0 f (x) (\\ Displaystyle \\ Lim \\ Limits _ (x \\ a A-0) f (x) \\ neq \\ Limits _ (x \\ a A + 0) f (x)).

POLICE BREAKPOINT.

La rottura del polo si verifica se uno dei limiti unilaterale è infinito.

Lim x → A - 0 f (x) \u003d ± ∞ (\\ displaystyle \\ l \\ Limits _ (x \\ a A-0) f (x) \u003d \\ pm \\ Infty) o Lim x → A + 0 f (x) \u003d ± ∞ (\\ Displaystyle \\ Lim \\ Limits _ (x \\ a + 0) f (x) \u003d \\ pm \\ Infty). [ ]

Punto di rottura essenziale

Alla fine di una sostanziale pausa, uno dei limiti unilaterale è generalmente assente.

Classificazione dei punti singolari isolati in r n, n\u003e 1

Per funzioni F: r n → r n (\\ displaystyle f: \\ mathbbs (r) ^ (n) \\ to \\ mathbb (r) ^ (n)) e F: c → c (\\ Displaystyle f: \\ mathbbb (c) \\ to \\ mathbbb (c)) Non c'è bisogno di lavorare con punti di gap, ma spesso è necessario lavorare con punti speciali (punti in cui la funzione non è definita). Classificazione simile.

Il concetto di "salto" è assente. In R (\\ displaystyle \\ mathbb (r)) È considerato un salto, negli spazi di dimensioni maggiori - un punto singolare significativo.

Proprietà

Locale

Funzione continui al punto A (\\ DisplayStyle A)è limitato in alcuni dintorni di questo punto.
Se la funzione. F (\\ displaystyle f) Continuo al punto A (\\ DisplayStyle A) e F (A)\u003e 0 (\\ DisplayStyle F (A)\u003e 0) (o Fa)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), T. f (x)\u003e 0 (\\ Displaystyle f (x)\u003e 0) (o f (x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) per tutti X (\\ DisplayStyle X), abbastanza vicino a A (\\ DisplayStyle A).
Se funzioni F (\\ displaystyle f) e G (\\ DisplayStyle G) Continuo al punto A (\\ DisplayStyle A), quindi funzioni F + G (\\ DisplayStyle F + G) e F ⋅ g (\\ displaystyle f \\ cdot g) Anche continuo al punto A (\\ DisplayStyle A).
Se funzioni F (\\ displaystyle f) e G (\\ DisplayStyle G) Continuo al punto A (\\ DisplayStyle A) e in cui G (A) ≠ 0 (\\ DisplayStyle G (A) \\ Neq 0), quindi funzionare F / g (\\ Displaystyle f / g) Anche continuo al punto A (\\ DisplayStyle A).
Se la funzione. F (\\ displaystyle f) Continuo al punto A (\\ DisplayStyle A) e funzione G (\\ DisplayStyle G) Continuo al punto B \u003d F (A) (\\ DisplayStyle B \u003d F (A))Quindi la loro composizione H \u003d g ∘ f (\\ displaystyle h \u003d g \\ circt f) Continuo al punto A (\\ DisplayStyle A).

Globale

Set compatto), uniformemente continuo su di esso.
La funzione, continua sul segmento (o qualsiasi altro set compatto), è limitato e raggiunge il suo valore massimo e minimo su di esso.
Area di valori di funzione F (\\ displaystyle f)Il continuo sul segmento è un segmento [MIN F, MAX F], (\\ DisplayStyle [\\ min F, \\ \\ MAX F],) dove minimo e massimo assumono il segmento [A, B] (\\ DisplayStyle).
Se la funzione. F (\\ displaystyle f) Continuo on tagliato [A, B] (\\ DisplayStyle) e f (a) ⋅ f (b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} Poi c'è un punto in cui f (ξ) \u003d 0 (\\ displaystyle f (\\ xi) \u003d 0).
Se la funzione. F (\\ displaystyle f) Continuo on tagliato [A, B] (\\ DisplayStyle) e numero. φ (\\ DisplayStyle \\ Varfi) Soddisfa la disuguaglianza Fa)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi o disuguaglianza f (a)\u003e φ\u003e f (b), (\\ displaystyle f (a)\u003e \\ varphi\u003e f (b),) Questo esiste il punto ξ ∈ (A, B), (\\ Displaystyle \\ Xi \\ in (A, B),) in cui f (ξ) \u003d φ (\\ displaystyle f (\\ xi) \u003d \\ varphi).
La visualizzazione continua del segmento al materiale è direttamente in iniettivamente in quella e solo quando questa funzione sul segmento è strettamente monotonne.
Funzione monotonica sul segmento [A, B] (\\ DisplayStyle) continuo in quello e solo nel caso in cui l'area dei suoi valori è un segmento con le estremità F (A) (\\ DisplayStyle F (A)) e F (B) (\\ DisplayStyle F (B)).
Se funzioni F (\\ displaystyle f) e G (\\ DisplayStyle G) Continuo on tagliato [A, B] (\\ DisplayStyle), e Fa)< g (a) {\displaystyle f(a) e F (B)\u003e G (B), (\\ DisplayStyle F (B)\u003e G (B),) Questo esiste il punto ξ ∈ (A, B), (\\ Displaystyle \\ Xi \\ in (A, B),) in cui f (ξ) \u003d g (ξ). (\\ DisplayStyle F (\\ XI) \u003d G (\\ XI).) Quindi, in particolare, ne consegue che qualsiasi visualizzazione continua del segmento di per sé ha almeno un punto fisso.

Esempi

Funzioni elementari

Questa funzione è continua in ogni punto. x ≠ 0 (\\ Displaystyle x \\ neq 0).

Il punto è un punto di interruzione primo tipoinoltre

Lim x → 0 - f (x) \u003d - 1 ≠ 1 \u003d Lim x → 0 + f (x) (\\ Displaystyle \\ l \\ Limits _ (x \\ a 0-) f (x) \u003d - 1 \\ neq 1 \u003d \\ Lim \\ Limits _ (x a 0+) f (x)),

mentre al momento, la funzione aggiunge a zero.

Funzione di passo

Funzione a graduata definita come

f (x) \u003d (1, x ⩾ 0 0, x< 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

è ovunque continuo ma punto x \u003d 0 (\\ Displaystyle x \u003d 0)dove la funzione subisce il gap del primo tipo. Tuttavia, al punto x \u003d 0 (\\ Displaystyle x \u003d 0) C'è un limite giusto che corrisponde al valore della funzione a questo punto. Pertanto, questa funzione è un esempio. a destra continuo Funzioni durante il campo della definizione.

Allo stesso modo, una funzione a graduata definita come

f (x) \u003d (1, x\u003e 0 0, x ⩽ 0, x ∈ r (\\ Displaystyle f (x) \u003d (\\ inizio (casi) 1, e x\u003e 0 \\\\ 0, e x \\ leqslant 0 \\ fine (casi)), \\ quad x \\ in \\ mathbb (r))

è un esempio sinistra continua Funzioni durante il campo della definizione.

Funzione di Dirichlet.

f (x) \u003d (1, x ∈ q 0, x ∈ r ∖ q (\\ displaystyle f (x) \u003d (\\ begin (casi) 1, e x \\ in \\ mathbb (q) \\\\ 0, e x \\ in \\ MathBB (R) \\ SetMINUS \\ MathBB (Q) \\ End (casi))

Le definizioni e le formulazioni dei principali teoremi e le proprietà della funzione continua di una variabile vengono fornite. Le proprietà della funzione continua nel punto, sul segmento, il limite e la continuità della funzione complessa, la classificazione dei punti di scarico è considerata. Vengono fornite le definizioni e i teoremi associati alla funzione inversa. Le proprietà delle funzioni elementari sono riportate.

Soddisfare

È possibile formulare il concetto di continuità in termini di incrementi. Per fare ciò, inseriamo una nuova variabile, che viene chiamata l'incremento della variabile X al punto. Quindi la funzione è continua al punto se
.
Presentiamo una nuova funzionalità:
.
È chiamato incremento della funzione. Al punto. Quindi la funzione è continua al punto se
.

Teorema di limitazione della funzione costante
Lascia che F. (X) continuo al punto x 0 . Poi c'è un tale quartiere (x 0)su cui la funzione è limitata.

Segno continuo Segno di conservazione teorema
Lasciare continuare la funzione al punto. E lascia che abbia un valore positivo (negativo) a questo punto:
.
Poi c'è un tale quartiere di un punto in cui la funzione ha un valore positivo (negativo):
a.

Proprietà aritmetiche delle funzioni continue
Lascia che le funzioni e siano continue al punto.
Quindi funziona e continuo al punto.
Se, quindi la funzione è continua nel punto.

Proprietà di continuità a sinistra ea destra
La funzione è continua al punto quindi e solo se è continua a destra ea sinistra.

Le prove di proprietà sono fornite sulle "Proprietà delle proprietà continue nei punti delle funzioni".

Continuità della funzione complessa

Funzione complessa del teorema di continuità
Lasciare continuare la funzione al punto. E lascia che la funzione continui al punto.
Quindi la funzione complessa è continua al punto.

Limite di funzione complessa

Il teorema limite della funzione continua dalla funzione
Supponiamo che vi sia un limite della funzione quando, ed è uguale a:
.
Qui punto t. 0 Può essere finito o infinitamente remoto :.
E lascia che la funzione continui al punto.
Poi c'è un limite di una funzione complessa, ed è uguale a:
.

Funzione complessa del teorema del terminale
Supponiamo che la funzione abbia un limite e visualizza il quartiere forato del punto al quartiere forato del punto. Supponiamo che la funzione sia determinata in questo quartiere e ha un limite su di esso.
Qui - i punti finali o infinitamente remoti :. I dintorni e i limiti corrispondenti possono essere sia bilaterali che unilaterali.
Poi c'è un limite di una funzione complessa ed è uguale a:
.

Punti di spruzzatura

Definizione del punto di interruzione
Lascia che la funzione sia determinata in alcuni quartieri forati del punto. Il punto è chiamato punto di rottura della funzione Se viene eseguita una delle due condizioni:
1) non è definito in;
2) Definito, ma non a questo punto.

Determinazione del punto di gap del 1 ° genere
Il punto è chiamato il punto di rompere il primo tipoSe è un punto di interruzione ed esistono i limiti unilaterali finali a sinistra ea destra:
.

Definizione della funzione di salto
Salta la funzione Δ. Alla fine è la differenza tra i limiti a destra ea sinistra
.

Definizione Determinazione del punto di disputa
Il punto è chiamato posto di pausa monousoSe c'è un limite
,
Ma la funzione al punto è o non definita o non è uguale al valore limite :.

Pertanto, il punto di gap monouso è il punto di rottura del 1 ° gener, in cui le funzioni della funzione sono zero.

Definizione del punto di gap del 2 ° tipo
Il punto è chiamato il punto di rottura del secondo tipoSe non è un punto di rompere il 1 ° gener. Cioè, se non c'è, almeno un limite unilaterale, o almeno un limite unilaterale al punto è infinito.

Proprietà delle funzioni continue sul segmento

Funzione di definizione, continuo sul segmento
La funzione è chiamata continua sul segmento (quando), se è continua in tutti i punti dell'intervallo aperto (quando) e nei punti A e B, rispettivamente.

Il primo teorema di Weierstrass continuo continuamente su un segmento di una funzione
Se la funzione è continua sul segmento, è limitato a questo segmento.

Determinazione della massima ottenzionalità (minimo)
La funzione raggiunge il suo massimo (minimo) sul set, se c'è un tale argomento per il quale
per tutti .

Determinazione della realizzazione della faccia superiore (in basso)
La funzione raggiunge la sua faccia superiore (in basso) sul set, se c'è un tale argomento per il quale
.

Il secondo teorema di Weierstrass sul massimo e il minimo di una funzione continua
La funzione continua sul segmento raggiunge i suoi volti superiore e inferiore su di esso o, che è la stessa, raggiunge il segmento del suo massimo e minimo.

TEOREM BOLZANO - Cauchy sul significato intermedio
Lasciare continuare la funzione sul segmento. E lascia che c abbia un numero arbitrario tra i valori della funzione alle estremità del segmento: e. Poi c'è un punto per il quale
.

Corollario 1.
Lasciare continuare la funzione sul segmento. E lasciare che i valori della funzione alle estremità del segmento abbiano segni diversi: o. Poi esiste un punto, il valore della funzione in cui è zero:
.

Corollario 2.
Lasciare continuare la funzione sul segmento. Lasciarlo andare . Quindi la funzione prende il segmento da tutti i valori da e solo questi valori:
a.

Funzioni inverse

Definizione della funzione inversa
Supponiamo che la funzione abbia un campo di determinazione X e una pluralità di valori y. E lascia che possieda la proprietà:
per tutti .
Quindi, per qualsiasi elemento, solo un elemento del set X può essere messo in linea con il set y, per il quale. Tale conformità determina la funzione chiamata funzione inversa per. La funzione inversa è indicata come segue:
.

Dalla definizione ne consegue
;
per tutti ;
per tutti .

Lemma sulla monotonia reciproca di funzioni dirette e inverse
Se la funzione aumenta rigorosamente (diminuisce), quindi c'è una funzione inversa, che aumenta anche rigorosamente (diminuisce).

Proprietà per simmetria di grafici di funzioni dirette e inverse
I grafici delle funzioni diretti e inverse sono simmetrici su diretti.

Teorema sull'esistenza e la continuità del feedback sul segmento
Lasciare che la funzione aumenti continui e rigorosamente aumenta (diminuisce) sul segmento. Quindi la funzione inversa è definita sul segmento, che aumenta rigorosamente (diminuisce).

Per una funzione crescente. Per diminuire -.

Teorema sull'esistenza e la continuità del feedback sull'intervallo
Supponiamo che la funzione sia continua e rigorosamente aumenti (diminuisce) su un intervallo aperto o infinito. Quindi la funzione inversa è definita e continua sull'intervallo, che aumenta rigorosamente (diminuisce).

Per una funzione crescente.
Per diminuire :.

Allo stesso modo, è possibile formulare il teorema sull'esistenza e la continuità della funzione inversa sul semi-intervallo.

Proprietà e continuità delle funzioni elementari

Le funzioni elementari e riportate sono continue nella loro area di definizione. Successivamente, presentiamo la formulazione dei teoremi pertinenti e forniamo riferimenti alle loro prove.

Funzione esponenziale

Funzione indicativa F. (x) \u003d A X, con ragione a > 0 - Questo è un limite di sequenza
,
Dove c'è una sequenza arbitraria di numeri razionali, cercando x:
.

Teorema. Proprietà della funzione indicativa
La funzione indicativa ha le seguenti proprietà:
(P.0) definito, con, per tutti;
(Clausola 1) Con un ≠. 1 ha molti valori;
(Clausola 2) aumenta rigorosamente, rigorosamente diminuzioni, è costante a;
(Clausola 3) ;
(P.3 *) ;
(Clausola 4) ;
(P.5) ;
(P.6) ;
(P. 7) ;
(P.8) continuo per tutti;
(P.9) quando;
a.

Logaritmo

Funzione logaritmica o logaritmo, y \u003d log a x, con ragione a - Questa è una funzione inversa a una funzione indicativa con la base a.

Teorema. Proprietà del logaritmo
Funzione logaritmica con base A, y \u003d lOG A X.ha le seguenti proprietà:
(L.1) definito e continuo, e, per valori positivi dell'argomento,;
(L.2) ha molti valori;
(L.3) aumenta rigorosamente, rigorosamente diminuisce a;
(L.4) quando;
quando;
(L.5) ;
(L.6) quando;
(L.7) quando;
(L.8) quando;
(L.9) a.

Espositore e logaritmo naturale

Nelle definizioni della funzione indicativa e del logaritmo, viene visualizzata la costante A, che è chiamata la base del grado o la base del logaritmo. Nell'analisi matematica, nella maggioranza travolgente, vengono ottenuti più semplici calcoli se il numero E viene utilizzato come base.
.
La funzione indicativa con la base E è chiamata Exponent:, e il logaritmo per la base E è un logaritmo naturale :.

Gli espositori delle proprietà e il logaritmo naturale sono esposti alle pagine
"Espositore, e una laurea x",
"Logaritmo naturale, LN X funzione"

Funzione di potenza

Funzione di alimentazione con un indicatore di P - Questa è la funzione f (x) \u003d x p, il cui valore al punto x è uguale al valore della funzione indicativa con la base X al punto P.
Inoltre, f (0) \u003d 0 p \u003d 0 a P \u003e. 0 .

Qui considereremo le proprietà della funzione di potenza y \u003d x P con valori non negativi dell'argomento. Per razionali, con una disp dispari, la funzione di potenza è anche determinata per X negative X. In questo caso, le sue proprietà possono essere ottenute utilizzando parità o stranidità.
Questi casi sono discussi in dettaglio e illustrati sulla pagina "Funzione di alimentazione, proprietà di proprietà e grafica".

Teorema. Le proprietà della funzione di alimentazione (x ≥ 0)
La funzione di alimentazione, y \u003d x P, con il parametro P ha le seguenti proprietà:
(P.1) definito e continuo sul set
quando
con. "

Funzioni trigonometriche

Teorema sulla continuità delle funzioni trigonometriche
Funzioni trigonometriche: seno ( peccato X.), Coseno ( cos x.), Tangente ( tG X.) e cotongente ( ctg x.

Teorema sulla continuità delle funzioni trigonometriche inverse
Funzioni trigonometriche inverse: Arksinus ( arcsin X.), Arkkosinus ( arcCos X.), Arctarnens ( arctg X.) e Arkotangent ( arcCTG X.), continuo nei loro campi di definizione.

Guarda anche:

Che funzione è continua. Determinare la continuità della funzione al punto. Domande per conoscenza autorimando

Funzione di continuità. Punto di rottura.

Funzione di continuità. Ripposti e la loro classificazione

Il concetto di funzione di continuità

Continuità della funzione al punto e sull'intervallo

Classificazione dei punti di rottura

Punto di rottura di primo tipo

Punti di rottura di secondo tipo

Come indagare una funzione per la continuità?

Continuità al punto

Esempi

Esempio 1.

Usiamo la definizione di HEINE

Usiamo la definizione di Cauchy

ESEMPIO 2.

Enciclopedico Youtube.

Sottotitoli

Definizione

Rippoint "Jump"

POLICE BREAKPOINT.

Punto di rottura essenziale

Classificazione dei punti singolari isolati in r n, n\u003e 1

Proprietà

Locale

Globale

Esempi

Funzioni elementari

Funzione di passo

Funzione di Dirichlet.

Continuità della funzione complessa

Limite di funzione complessa

Punti di spruzzatura

Proprietà delle funzioni continue sul segmento

Funzioni inverse

Proprietà e continuità delle funzioni elementari

Funzione esponenziale

Logaritmo

Espositore e logaritmo naturale

Funzione di potenza

Funzioni trigonometriche