Федеральное агентство по образованию

Российской федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального обучения

Санкт-Петербургский Государственный Горный Институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Отчёт по лабораторной работе № 21
По дисциплине: Физика
Тема: Определение коэффициента вязкости жидкости

Выполнил: студент гр. НГ-04 ___ _____________ Гладков П.Д.

(подпись) (Ф.И.О.)

Проверил: ассистент ____________ Чернобай В.И.

(должность) (подпись) (Ф.И.О.)

Санкт-Петербург

Цель работы :

определить коэффициент вязкости жидкости методом Стокса.

Краткое теоретическое обоснование.

Явлением внутреннего трения (вязкости) называется появление сил трения между слоями жидкости (или газа) движущимися друг относительно друга параллельно и с разными по величине скоростями.

При движении плоских слоев сила трения между ними согласно закону Ньютона равна:

где  - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом вязкости или динамической вязкостью; S - площадь соприкосновения слоев,
- разница в скорости между соседними слоями,
- расстояние между соседними слоями.

Отсюда η численно равен тангенциальной силе, приходящейся на единицу площади соприкосновения слоев, необходимой для поддержания разности скоростей, равной единице, между двумя параллельными слоями вещества, расстояние между которыми равно единице. В СИ единица вязкости - паскаль·секунда.

Пусть в заполненном жидкостью сосуде движется шарик, размеры которого значительно меньше размеров сосуда. На шарик действуют три силы: сила тяжести Р , направленная вниз; сила внутреннего трения и выталкивающая сила F в, направленные вверх. Шарик сначала падает ускоренно, но затем очень быстро наступает равновесие, так как с увеличением скорости растет и сила трения. Стокс же показал, что эта сила при малых значениях скорости пропорциональна скорости движения шарика v и его радиусу r :

,

где  - коэффициент вязкости.

Схема установки.

Основные расчетные формулы.


где - коэффициент вязкости, r- радиус шарика, - скорость движения шарика;


где Р- сила тяжести, действующая на шарик, F А - сила Архимеда, F тр - сила внутреннего трения;


где  м - плотность материала шарика; V – объем шарика;


где
- плотность жидкости;


Формула расчета средней квадратичной погрешности.

,

где - среднее значение коэффициента вязкости, - значение коэффициента вязкости в каждом отдельном опыте, n - количество опытов.

Таблица измерений и вычислений.

Таблица 1

измерений

Погрешности прямых измерений.

=0,1К;
=5·10 -5 м;
= 5·10 -5 м;
= 5·10 -5 м;
=0,01с.

Цель работы:ознакомление с методом Стокса и определение коэффициента вязкости различных жидкостей.

Теоретическое введение

Во всех реальных жидкостях и газах при перемещении одного слоя относительно другого возникают силы трения. Со стороны слоя, движущегося более быстро, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила. Наоборот, со стороны слоя, движущегося медленнее, на более быстрый слой действует тормозящая сила. Эти силы, носящие название сил внутреннего трения , направлены по касательной к поверхности слоёв.

Пусть два слоя (рис.15.1) площади , отстоящих друг от друга на расстояние , движутся со скоростями v 1 и v 2 соответственно, Δv=v 2 –v 1 . Направление, в котором отсчитывается расстояние между слоями (ось z ), перпендикулярно вектору скорости движения слоев. Величина

,

которая показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою, называется градиентом скорости . Величина силы внутреннего трения , действующей между слоями, пропорциональна площади соприкосновения движущихся слоёв и градиенту скорости (закон Ньютона):

где – коэффициент вязкости (динамическая вязкость ). Знак «–» показывает, что сила направлена противоположно градиенту скорости, то есть что быстрый слой тормозится, а медленный – ускоряется.

Единицей измерения коэффициента вязкости в СИ служит такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 м/с на 1м, приводит к силе внутреннего трения в 1 Н на 1 м 2 площади слоев. Эта единица называется паскаль-секундой (Па. с). В некоторые формулы (например, число Рейнольдса, формула Пуазейля) входит отношение коэффициента вязкости к плотности жидкости ρ . Это отношение получило название коэффициента кинематической вязкости :

Для жидкостей, течение которых подчиняется уравнению Ньютона (15.1), вязкость не зависит от градиента скорости. Такие жидкости называются ньютоновскими . К неньютоновским (то есть не подчиняющимся уравнению (15.1)) жидкостям относятся жидкости, состоящие из сложных и крупных молекул, например, растворы полимеров.

Вязкость данной жидкости сильно зависит от температуры: при изменениях температуры, которые сравнительно нетрудно осуществить на опыте, вязкость некоторых жидкостей может изменяться в миллионы раз. При понижении температуры вязкость некоторых жидкостей настолько возрастает, что жидкость теряет текучесть, превращаясь в аморфное твердое тело.

Я.И. Френкель вывел формулу, связывающую коэффициент вязкости жидкости с температурой:

, (15.3)

где А – множитель, который зависит от расстояния между соседними положениями равновесия молекул в жидкости и от частоты колебаний молекул, ΔЕ – энергия, которую надо сообщить молекуле жидкости, чтобы она могла перескочить из одного положения равновесия в другое, соседнее (энергия активации). Величина ΔЕ обычно имеет порядок (2÷3) . 10 -20 Дж, поэтому, согласно формуле (15.3), при нагревании жидкости на 10 0 С вязкость её уменьшается на 20÷30%.

Значения коэффициентов вязкости газов существенно меньше, чем жидкостей. С повышением температуры вязкость газа увеличивается (рис.15.2) и при критической температуре становится равной вязкости жидкости.

Отличие в характере поведения вязкости при изменении температуры указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах. Молекулярно-кинетическая теория объясняет вязкость газов переносом импульса из одного слоя в другой слой, происходящим за счет переноса вещества при хаотическом движении молекул газа. В результате в слое газа, движущемся медленно, увеличивается доля быстрых молекул, и его скорость (средняя скорость направленного движения молекул) возрастает. Слой газа, движущийся медленно, увлекается более быстрым слоем, а слой газа, движущийся с большей скоростью, замедляется. С повышением температуры интенсивность хаотического движения молекул газа возрастает, и вязкость газа увеличивается.

Вязкость жидкости имеет другую природу. В силу малой подвижности молекул жидкости перенос импульса из слоя в слой происходит из-за взаимодействия молекул. Вязкость жидкости в основном определяется силами взаимодействия молекул между собой (силами сцепления). С повышением температуры взаимодействие молекул жидкости уменьшается, и вязкость также уменьшается.

Несмотря на различную природу, вязкость жидкостей и газов с макроскопической точки зрения описывается одинаковым уравнением (15.1). Величину импульса , перенесенного из одного слоя газа или жидкости в другой слой за время Δt , можно найти из второго закона Ньютона:

Из (15.1) и (15.4) получим:

. (15.5)

Тогда физический смысл коэффициента динамической вязкости можно сформулировать так: коэффициент вязкости численно равен импульсу, перенесенному между слоями жидкости или газа единичной площади за единицу времени при единичном градиенте скорости. Знак «минус» показывает, что импульс переносится из более быстрого слоя в более медленный.

При движении тела в вязкой среде возникают силы сопротивления. Происхождение этого сопротивления двояко.

При небольших скоростях, когда за телом нет вихрей (то есть обтекание тела ламинарное ), сила сопротивления обуславливается вязкостью среды. Между движущимся телом и средой существуют силы сцепления, так что непосредственно вблизи поверхности тела слой газа (жидкости) полностью задерживается, как бы прилипая к телу. Он трется о следующий слой, который слегка отстает от тела. Тот, в свою очередь, испытывает силу трения со стороны еще более удаленного слоя и т.д. Совсем далекие от тела слои можно считать покоящимися. Для ламинарного потока сила трения пропорциональна скорости тела: . Теоретический расчет внутреннего трения для движения шарикав вязкой среде с небольшой скоростью, когда нет вихрей, приводит к формуле Стокса :

, (15.6)

где – радиус шарика, – скорость его движения, – коэффициент динамической вязкости среды.

Второй механизм сил сопротивления включается при больших скоростях движения тела, когда поток становится турбулентным. При увеличении скорости тела вокруг него возникают вихри. Часть работы, совершаемой при движении тела в жидкости или газе, идет на образование вихрей, энергия которых переходит во внутреннюю энергию. При турбулентном потоке в некотором интервале скоростей сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости тела: .

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: лабораторная установка, микрометр, линейка, штангенциркуль, секундомер, шарики.

Метод определения

Этот метод основан на измерении скорости установившегося движения твердого шарика в вязкой среде под действием постоянной внешней силы, в простейшем случае – силы тяжести.

Выведем рабочую формулу для определения коэффициента вязкости методом Стокса. Если взять шарик большей плотности, чем плотность жидкости, то он будет тонуть, опускаясь на дно сосуда. На падающий шарик действуют три силы (рис.15.3):

1. сила вязкого трения F С по закону Стокса (15.6), направленная вверх, навстречу скорости: F С = 6πηr v;

2. сила тяжести, направленная вниз:

, (15.7)

где – масса шарика; – плотность шарика; – ускорение свободного падения; – объем шарика, равный:

; (15.8)

3. выталкивающая сила F Арх, согласно закону Архимеда, равная весу вытесненной жидкости:

F Арх =Vρ ж g , (15.9)

где – плотность жидкости.

Запишем уравнение движения (второй закон Ньютона) для падающего шарика в проекциях на вертикальную ось:

ma=F тяж –F Арх –F С. (15.10)

Сила тяжести и выталкивающая сила не зависят от скорости движения шарика. Сила трения в законе Стокса прямо пропорциональна скорости. Поэтому на некотором начальном участке l 0 (рис.15.3) падения шарика в жидкости, пока скорость мала, сила трения меньше разности сил тяжести и выталкивающей, и шарик в результате движется с ускорением. Величину участка l 0 можно оценить из уравнения движения (см. дальше).

По мере нарастания скорости падения шарика растет сила вязкого трения. С момента достижения равенства

F С = F тяж – F Арх (15.11)

сумма сил, действующих на шарик, становится равной нулю, и шарик, в соответствии с первым законом Ньютона, движется по инерции равномерно, с набранной им к этому моменту скоростью.

По измеренной скорости установившегося падения шарика можно найти коэффициент вязкости жидкости η .

После подстановки в (15.11) выражений (15.6-15.9) получим:

после сокращения и замены радиуса шарика через его диаметр , :

. (15.12)

Из (15.12) выразим коэффициент динамической вязкости:

. (15.13)

Наконец, скорость v шарика выражаем через пройденный путь и время падения : :

. (15.14)

Выведенная формула (15.14) для расчета коэффициента вязкости, как и формула Стокса (15.6), получены в предположении, что шарик движется в сосуде неограниченного объема. При движении шарика по оси цилиндрического сосуда конечного диаметра D в формуле (14) необходимо учесть влияние стенок сосуда. Уточненная рабочая формула имеет вид:

. (15.15)

где – диаметр цилиндрического сосуда установки.

Описание установки .

Установка состоит из высокого цилиндрического прозрачного сосуда 1 (рис.15.3), по высоте которого на стенке нанесены на определенном расстоянии друг от друга метки 2. В сосуд налита исследуемая жидкость 3 с известной плотностью. Для определения ее вязкости в верхней части сосуда вблизи центра в жидкость опускают маленькие шарики 4, плотность которых несколько больше плотности жидкости.

Порядок выполнения работы

Упражнение 1. Определение коэффициента вязкости жидкости без учета влияния стенок сосуда .

1. Штангенциркулем измерить диаметр d шарика.

2. Пинцетом или смоченной палочкой опустить шарик по центру сосуда.

3. Определить при помощи секундомера время прохождения шарика между метками.

4. Измерить линейкой расстояние между метками . Повторить пункты 1-3 еще для четырех шариков.

6. Найти среднее значение коэффициента вязкости и рассчитать погрешность .

Упражнение 2. Определение коэффициента вязкости жидкости по уточненной формуле с учетом влияния стенок сосуда .

1. Измерить линейкой внутренний диаметр сосуда 1.

3. Сравнить результаты, полученные по формулам (15.14) и (15.15) и сделать выводы.

4. Все результаты занести в таблицу по форме 15.1.

Форма 15.1.

№ d, м Δd, м t, c Δt, c h, м Δh, м η, Па.с Δη i , Па.с Δη по (15.17) D , м η’, Па.с l 0 , м
Средние – –

Замечание . Погрешность коэффициента вязкости Δη рассчитывается двумя способами:

а) по стандартной методике расчета погрешностей случайной величины:

, (15.16)

где коэффициент Стьюдента для числа опытов и доверительной вероятности α=0.95 равен: t n, α =2.57; Δη i =|η ср.– η i |.

б) исходя из формулы (15.14) по стандартной методике расчета погрешностей при косвенных измерениях:

, (15.17)

где , , .

Расчет по (15.17) производится для одного какого-либо опыта, при этом в качестве , и нужно взять приборные погрешности.

Упражнение 3. Оценка участка неравномерного падения шарика l 0 .

Выведем формулу для оценки l 0 .

Запишем формулу (15.10):

ma=F тяж –F Арх –F С. (15.10)

после подстановки выражений (15.6-15.9) получим:

ρ ш a= (ρ ш – ρ ж) g –6πηr v,

или после почленного деления на ρ ш :

,

. (15.18)

Решением дифференциального уравнения (15.18) будет функция:

где v р – скорость равномерного (установившегося) движения, v 0 – начальная скорость шарика, которую можно принять равной нулю, коэффициент b в показателе степени экспоненты равен:

Убедиться в том, что (15.19) является решением уравнения (15.18), можно путем подстановки (15.19) в (15.18), рассчитав предварительно производную скорости v по времени; при этом будут получены также и выражение для b (15.20), и формула для установившейся скорости движения (см.(15.13)):

. (15.21)

Заметим, что (15.19) удовлетворяет начальным условиям: при t= 0 скорость равна v 0 , при t →∞ скорость v→v р. Движение можно считать практически равномерным, если экспонента мала:

Это реализуется при (bt )→∞, то есть если t >>b -1 . Достаточно потребовать (bt )=4; в этом случае отличие скорости от установившейся составит не более 2% (при v 0 =0): . Таким образом, оценим l 0 , проинтегрировав (15.19) по времени на промежутке , где :

откуда с учетом (15.20) и (15.21):

,

и окончательно:

. (15.22)

1. Оценить участок неравномерного движения шарика по формуле (15.22).

2. Записать результат в таблицу 15.1.

3. Сравнить полученное значение с величиной l0, реально используемой в установке.

4. Сделать вывод.

Контрольные вопросы .

1. Запишите формулу Ньютона для коэффициента динамической вязкости. Сделайте поясняющий рисунок.

2. Что называется коэффициентом динамической вязкости? Поясните его физический смысл и выведите его размерность.

3. Объяснить механизм внутреннего трения для газов и жидкостей. Как зависит от температуры вязкость газов и жидкостей? Почему?

4. Какие силы действуют на шарик, падающий в жидкости? Сделайте рисунок, запишите второй закон Ньютона для шарика, падающего в вязкой жидкости.

5. Почему, начиная с некоторого момента, шарик движется равномерно?

6. Как зависит скорость падения шарика от его диаметра?

7. Имеет ли смысл использование уточненной формулы (15.15) при выполнении работы на данной установке?

8. Выведите приближенную расчетную формулу (15.14) для коэффициента вязкости.

9. Докажите (15.19) и (15.20).

Используемая литература

§9.4; §10.7, 10.8; §75, 76, 78, 130; §5.6, 5.7; §31, 33, 48.

Лабораторная работа 1-16 “Определение модуля Юнга методом прогиба”

Цель работы: определение модуля Юнга материала путем измерения прогиба стержня при нагрузке.

Теоретическое введение

Прочность, долговечность и надежность металлических изделий (твердых тел), работающих в различных условиях, во многом зависит от характеристик, определяющих упругие свойства материалов.

Твердые тела при этом будем рассматривать как сплошную среду с определенной плотностью . Под воздействием внешних сил твердые тела в той или иной степени деформируются, то есть изменяют свою форму и объем. При всем разнообразии деформаций тел возможно любую деформацию свести к двум основным (элементарным): растяжению (сжатию) и сдвигу. Деформация растяжения характеризуется величиной относительного удлинения :

где – длина тела до растяжения; – после растяжения; – абсолютное удлинение.

Деформация называется упругой, если после снятия нагрузки полностью восстанавливаются размеры и форма тела, т.е. это обратимая деформация.

Сдвигом называется такая деформация твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой неподвижной плоскости, называемой плоскостью сдвига, не искривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу. Деформация сдвига характеризуется величиной относительного сдвига. При малых деформациях сдвига относительный сдвиг есть просто измеренный в радианах угол .

При деформации однородного сдвига величина во всех точках тела одна и та же.

Растяжение тела всегда сопровождается соответствующим сокращением его поперечного сечения и, наоборот, сжатие – соответствующим увеличением поперечного сечения. Характеристикой этого изменения поперечных размеров при растяжении и сжатии является относительное поперечное расширение или сжатие:

, (16.2)

где – поперечный размер тела до деформации, а – после деформации..

Ясно, что знак продольной деформации противоположен знаку поперечной . Отношение

называют коэффициентом Пуассона. Он не зависит от размеров тел и для всех тел, сделанных из данного материала, является константой, характеризующей его свойства. Для всех известных в природе тел коэффициент Пуассона имеет значение в пределах от 0 до 0,5.

Деформацию реальных твердых тел представляют в виде диаграммы. При этом удобно растяжение задавать не силой как таковой, а отношением силы к площади сечения:

(16.4)

Величина в механике деформируемых твердых тел называется напряжением и измеряется в Н/м 2 . Диаграмма растяжения схематически представлена на рис.16.1 в виде зависимости . Как видно из рис.16.1, при малых деформациях (напряжение пропорционально деформациям). Это есть известный из школы закон Гука. Точка А соответствует максимальному напряжению, при котором еще сохраняется пропорциональность между и , то есть еще справедлив закон Гука.

где – модуль упругости (модуль Юнга для данного материала).

Напряжение, соответствующее точке А, называется пределом пропорциональности . Выше т.А удлинение растет быстрее, чем напряжение . В этой области (т.А’) находится предел упругости тела . Точного определения предела упругости тела дать вообще невозможно, так как малые остаточные деформации наблюдаются всегда.

Далее (за т.А’) начинается область текучести материала (пластическая деформация) – наибольшие деформации, которым подвергся материал, почти целиком сохраняются как остаточные, но целость материала еще не нарушается. При еще больших нагрузках наступает разрушение.

Область упругих деформаций обычно очень незначительна (например, для стали пределу упругости соответствует значение порядка 0,001).

В отличие от растяжения и сжатия деформация сдвига вызывается касательными напряжениями

где – сила, параллельная поверхности твердого тела, которая вызывает сдвиг.

При малых деформациях закон Гука в этом случае имеет вид, аналогичный (16.5):

где – коэффициент пропорциональности между напряжением сдвига и углом сдвига - называется модулем сдвига.

Итак, упругие свойства деформируемого упругого тела характеризуются двумя основными модулями упругости – модулем Юнга и модулем сдвига . Еще одна упругая константа – коэффициент Пуассона . В изотропных твердых телах (у таких тел свойства одинаковы во всех направлениях) эти три константы , и не являются независимыми, а связаны между собой соотношением

Из (16.8), кстати, следует, что в твердых телах.

Экспериментальная часть

В работе определяется модуль упругости предложенных образцов и проверяется зависимость деформации от нагрузки.

Используется установка, которая показана на рис. 16.2.

Изгиб представляет собой более сложный вид деформации, чем деформация растяжения или сжатия, так как заключает в себе одновременно и растяжение, и сжатие. Различные слои образца при изгибе несут неодинаковую нагрузку. В большинстве случаев испытания на изгиб проводятся сосредоточенной нагрузкой на образец, лежащий на двух опорах. Образцы изготовляют обычно в виде стержней прямоугольного сечения. Длина образца на 40-60 мм больше, чем расстояние между опорами. Ширина образца должна быть вдвое больше его толщины.

На исследуемый образец надевается подвеска для грузов, а образец кладется на острые металлические опоры. Подвеска с грузами находится на одинаковом расстоянии от точек опоры стержня. Стрела прогиба h образца измеряется индикатором часового типа.

Если к середине стержня (рис. 16.2), опирающегося концами на неподвижные опоры, приложить вертикальную силу, направленную перпендикулярно оси стержня, то будет наблюдаться деформация изгиба (на рис. 16.2 деформации представлены не в масштабе). Нижние слои стержня при этом испытывают деформацию растяжения, верхние - деформацию сжатия, а средний слой, длина которого не изменяется, нагрузок не несет и называется нейтральным. При так называемом чистом изгибе напряжения, которые испытывают слои материала при деформации, имеют прямую зависимость от их деформации: сжатию соответствуют отрицательные напряжения, растяжению - положительные.

Величина прогиба при этом оказывается обратно пропорциональной модулю Юнга . Вывод формулы для модуля Юнга по этому методу относительно сложен. Окночательно формула имеет вид:

, (16.9)

где: F – приложенная к образцу сила, ;

– длина образца между опорами;

– стрела прогиба образца;

– ширина образца;

– толщина образца.

Лабораторная установка

Схема установки для определения модуля Юнга по прогибу представлена на рис. 16.3.


На основании 1 закреплена массивная направляющая 2. По ней могут перемещаться стойки 3 и кронштейн 4, зажимаемые в необходимом положении винтами 5 (вручную). Стойки вверху оканчиваются призмами 6, на параллельные острия которых устанавливается измеряемый образец 7. В гнезде 8 кронштейна зажимается вручную винтом 9 индикатор перемещения 10. На образце напротив индикатора подвешена серьга 11 с платформой для специальных (с прорезью) гирь 12. При нагружении платформы гирями образец прогибается. Стрела прогиба 13 регистрируется перемещением стрелки индикатора.

Методика измерений

1. Ослабив винты 5, установите призмы 6 на заданное (преподавателем) расстояние. Закрепите винты.

2. Установите кронштейн 4 на одинаковом расстоянии от стоек. Закрепите винты.

3. Расположите образец на призмах так, чтобы гнездо индикатора находилось над средней частью по ширине образца.

4. Вставьте индикатор в гнездо, осторожно утопив его так, чтобы стрелка малой шкалы оказалась около метки 5 мм. Аккуратно зажмите индикатор винтом 9.

5. Измерьте штангенциркулем толщину b и ширину a образца. Измерьте линейкой расстояние между ребрами призм l . Установите поворотом кольца нуль на индикаторе.

6. Аккуратно поставьте на платформу гирю. Запишите (по красной шкале) показания индикатора.

7. Снимите с платформы гирю. Если стрелка сместилась с нулевой отметки, установить нуль. Повторите для контроля несколько раз измерения с тем же грузом.

8. Проведите аналогично п.7 измерение прогиба с гирями большей массы (массы брать около 1,2,3,4,5 кг).

9. Результаты занести в таблицу предложенной формы 16.1.

Форма 16.1.

10. Рассчитайте модуль Юнга при каждом измерении и усредните результат.

11. Рассчитайте ошибку определения модуля Юнга DE (достаточно рассчитать для одного опыта).

12. Значения модуля Юнга, совпадающие с учетом ошибки DE друг с другом, т.е. не выходящие за границы значений (E cp + DE )и (E cp - DE ), позволяют определить истинное (среднее) значение модуля Юнга.

13. С учетом п.12 определить среднее значение модуля Юнга.

14. Ошибка модуля Юнга DE определяется из рабочей формулы (16.9) как сумма частных ошибок всех величин, входящих в выражение:

Контрольные вопросы.

1. Что такое модуль Юнга?

2. Что такое абсолютное и относительное удлинение образца?

3. Что такое механическое напряжение?

4. Что такое коэффициент Пуассона?

5. Что такое абсолютное и относительное поперечное сжатие?

6. Какие из перечисленных характеристик относятся к материалу?

7. Какие из перечисленных характеристик относятся к образцу?

8. Закон Гука и его физический смысл.

9. Кривая зависимости s (e ) и ее характерные точки и участки.

10. Деформация сдвига, иллюстрация пластических деформаций.

11. В чем состоит суть данного метода измерения Е?

12. Зависит ли модуль Юнга от нагрузки и стрелы прогиба?

13. Чем отличается деформация прогиба от деформации растяжения?

14. Напишите формулу для модуля Юнга по прогибу.

Используемая литература

§14; §21; §48.

Лабораторная работа 1-17 “Изучение упругой деформации растяжения”

Цель работы: определить коэффициент упругости, модуль Юнга и коэффициент Пуассона для образца резины и проверить применимость для этого образца закона Гука .

Теоретическое введение

Жидкости сопротивляются изменению их объема, но не сопротивляются изменению формы. С этим свойством связан характерный для жидкостей закон Паскаля: передаваемое жидкостью во все стороны давление одинаково.

Твердые же тела сопротивляются как изменению объема, так и изменению формы; они сопротивляются, как говорят, любому деформированию. Для твердых тел не справедлив закон Паскаля. Передаваемое твердым телом давление различно в разных направлениях. Давления, возникающие в твердом теле при его деформировании, называются напряжениями . В отличие от давления в жидкости, упругие напряжения в твердом теле могут иметь любые направления по отношению к площадке, на которую действуют силы. Но при всем разнообразии деформации твердых тел оказывается возможным любую деформацию тела свести к двум основным типам, которые поэтому называют

где – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств материала цилиндра, но не зависящей от его размеров. Он называется модулем упругости или модулем Юнга данного материала.

Если деформации тела достаточны малы, то по прекращению действия вызвавших деформацию внешних сил тело возвращается в исходное недеформированное состояние. Такие деформации называются упругими.

Соотношение (17.2) называют законом Гука. Модуль Юнга, однако, еще не характеризует полностью упругие свойства тела. Это видно и из рисунка 17.1. – продольное растяжение цилиндра связано с сокращением его поперечных размеров: удлиняясь, цилиндр одновременно становится более тонким. Характеристикой этого изменения является относительное поперечное сжатие

Лабораторная работа № 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ПРОЗРАЧНОЙ ЖИДКОСТИ ПО МЕТОДУ СТОКСА

Цель работы: ознакомиться с методом определения коэффициента вязкости прозрачной жидкости методом движущегося в жидкости шарика.

Оборудование: стеклянный цилиндр, с прозрачной жидкостью; секундомер; микрометр; масштабная линейка; шарики из свинца.

Теория вопроса и метод выполнения работы

Явления переноса объединяют группу процессов, связанных с неоднородностями плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев вещества. К явлениям переноса относятся диффузия, внутреннее трение и теплопроводность.

Явлением внутреннего трения (вязкости) называется появление сил трения между слоями газа или жидкости, движущимся, друг относительно друга, параллельно и с разными по величине скоростями. Слой, движущийся быстрее, действует с ускоряющей силой на более медленно движущийся соседний слой. Силы внутреннего трения, которые возникают при этом, направлены по касательной к поверхности соприкосновения слоев (рис. 1, 2).

Величина силы внутреннего трения между соседними слоями пропорциональна их площади и градиенту скорости , то есть справедливо соотношение, полученное экспериментально Ньютоном

Величина называется коэффициентом внутреннего трения или динамическим коэффициентом вязкости. В СИ измеряется в .

Входящая в (1) величина показывает, как меняется скорость жидкости в пространстве при перемещении точки наблюдения в направлении, перпендикулярном слоям. Понятие градиента скорости иллюстрируется рис. 1, 2.

Рис. 1. Постоянный градиент скорости

На рисунке 1 показано распределение скоростей слоев жидкости между двумя параллельными пластинами, одна из которых неподвижна, а другая имеет скорость . Подобная ситуация возникает в прослойке смазки между движущимися деталями. В этом случае слои жидкости, непосредственно прилегающие к каждой из пластин, имеют одинаковую с ней скорость. Движущиеся слои частично увлекают за собой соседние. В результате в пространстве между пластинами скорость жидкости меняется по направлению равномерно. Таким образом, здесь

.

Рис. 2. Переменный градиент скорости

На рисунке 2 показано распределение скоростей жидкости около движущегося в ней вертикально вниз со скоростью шарика.

Предполагается, что скорость мала, так что завихрения в жидкости не образуются. В этом случае жидкость, непосредственно прилегающая к поверхности шарика, имеет скорость . В это движение частично вовлекаются удаленные от шарика слои жидкости. При этом скорость наиболее быстро меняется по направлению вблизи шарика.

Наличие градиента скорости у поверхности тела указывает, что на него действует сила внутреннего трения, зависящая от коэффициента вязкости . Сама величина определяется природой жидкости и обычно существенно зависит от ее температуры.

Сила внутреннего трения и коэффициент вязкости жидкости может быть определен различными методами – по скорости истечения жидкости через калиброванное отверстие, по скорости движения тела в жидкости и т.д. В данной работе для определения используется метод, предложенный Стоксом.

Рассмотрим для примера равномерное движение маленького шарика радиуса в жидкости. Обозначим скорость шарика относительно жидкости через . Распределение скоростей в соседних слоях жидкости, увлекаемых шариком, должно иметь вид, изображенный на рис. 2. В непосредственной близости к поверхности шара эта скорость равна , а по мере удаления уменьшается и практически становится равной нулю на некотором расстоянии от поверхности шара.

Очевидно, чем больше радиус шара, тем большая масса жидкости вовлекается им в движение, и должно быть пропорционально радиусу шарика : . Тогда среднее значение градиента скорости на поверхности шара равно

.


Поверхность шара , и полная сила трения, испытываемая движущимся шаром, равна

.

Более подробные расчеты показывают, что для шара , окончательно – формула Стокса.

По формуле Стокса можно, например, определить скорости оседания частиц тумана и дыма. Ею можно пользоваться и для решения обратной задачи – измеряя скорость падения шарика в жидкости, можно определить ее вязкость.

Упавший в жидкость шарик движется равноускоренно, но, по мере того, как растет его скорость, будет возрастать и сила сопротивления жидкости до тех пор, пока сила тяжести шарика в жидкости не сравняется с суммой силы сопротивления и силы трения жидкости движению шарика. После этого движение будет происходить с постоянной скоростью .

При движении шарика слой жидкости, граничащий с его поверхностью, прилипает к шарику и движется со скоростью шарика. Ближайшие смежные слои жидкости также приводятся в движение, но получаемая ими скорость тем меньше, чем дальше они находятся от шарика. Таким образом, при вычислении сопротивления среды следует учитывать трение отдельных слоев жидкости друг о друга, а не трение шарика о жидкость.

Если шарик падает в жидкости, простирающейся безгранично по всем направлениям , не оставляя за собой никаких завихрений (малая скорость падения, маленький шарик), то, как показал Стокс, сила сопротивления равна


где – коэффициент внутреннего трения жидкости; – скорость шарика; – его радиус.

Кроме силы на шарик действует сила тяжести и архимедова сила , равная весу вытесненной шариком жидкости. Для шара

; ,(3)

где , – плотность материала шарика и исследуемой жидкости.

Все три силы будут направлены по вертикали: сила тяжести – вниз, подъемная сила и сила сопротивления – вверх. Первое время, после вхождения в жидкость, шарик движется ускоренно. Считая, что к моменту прохождения шариком верхней метки скорость его уже установилась, получим

где – время прохождения шариком расстояния между метками, – расстояние между метками.

Движения шарика возрастает, ускорение уменьшается и, наконец, шарик достигнет такой скорости, при которой ускорение становится равным нулю, тогда

Подставляя в равенство (4) значение величин, получим:


.(5)

Решая уравнение (5) относительно коэффициента внутреннего трения, получаем расчетную формулу:

.(6)

Рис. 3. Прибор Стокса

На рисунке 3 представлен прибор, состоящий из широкого стеклянного цилиндра с нанесенными на него двумя кольцевыми горизонтальными метками и ( – расстояние между метками), который наполняется исследуемой жидкостью (касторовое масло, трансформаторное масло, глицерин) так, чтобы уровень жидкости был на 5¸8 см выше верхней метки.

Порядок выполнения работы

Для измерения коэффициента внутреннего трения жидкости, например, масла, берутся очень маленькие шарики. Диаметр этих шариков измеряют микрометром. Время падения шарика – секундомером.

1. С помощью микрометра измерьте диаметр шарика.

2. Измерьте время опускания каждого шарика между двумя метками и . Шарик опустите в отверстие воронки и в момент прохождения через верхнюю метку включите секундомер, а в момент прохождения через нижнюю метку его выключите.

3. Проведите опыт не менее пяти раз.

4. Измерьте расстояние между метками. Вычислите скорость движения шарика и по формуле (5) найдите значение коэффициента вязкости.

5. Плотность жидкости и шариков возьмите из таблицы физических величин.

6. Найдите среднее значение коэффициента вязкости, оценить абсолютную и относительную погрешности измерений.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается метод определения коэффициента вязкости жидкости по Стоксу?

2. Какие силы действуют на шарик при его движении в жидкости?

3. Как зависит коэффициент внутреннего трения жидкостей от температуры?

4. Какие течения жидкости называют ламинарными и турбулентными? Как определяются числом Рейнольдса эти течения?

5. Каков физический смысл коэффициента вязкости жидкости?

6. Почему измерения верны только при малых скоростях?

7. Для какой жидкости глицерина или воды коэффициент вязкости можно определить точнее рассматриваемым методом?

8. Имеется два свинцовых шарика разного диаметра. У какого из них скорость падения в жидкости будет больше?

9. Охарактеризуйте другие явления переноса (диффузию и теплопроводность). Каким законам они подчиняются?

1. Метод Стокса (Дж. Стокс (1819-1903) - английский физик и математик). Этот метод определения вязкости основан на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы.

На шарик, падающий в жидкости вертикально вниз, действуют три силы: сила тяжести ( - плотность шарика), сила Архимеда ( - плотность жидкости) и сила сопротивления, эмпирически установленная Дж. Стоксом: где - радиус шарика, v - его скорость. При равномерном движении шарика

Измерив скорость равномерного движения шарика, можно определить вязкость жидкости (газа).

2. Метод Пуазейля (Ж. Пуазейль (1799-1868) - французскии физиолог и физик). Этот метод основан на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной . В жидкости мысленно выделим цилиндрический слой радиусом и толщиной dr (рис. 54).

Сила внутреннего трения (см. (31.1)), действующая на боковую поверхность этого слоя,

где dS - боковая поверхность цилиндрического слоя; знак минус означает, что при возрастании радиуса скорость уменьшается.

Для установившегося течения жидкости сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность цилиндра, уравновешивается силой давления, действующей на его основание:

После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипание жидкости, т. е. скорость на расстоянии R от оси равна нулю, получим

Отсюда видно, что скорости частиц жидкости распределяются по параболическому закону, причем вершина параболы лежит на оси трубы (см. также рис.53).

За время t из трубы вытечет жидкость, объем которой

откуда вязкость

Лабораторная работа 5

Определение динамической вязкости жидкости по методу Стокса

Приборы и принадлежности

    Цилиндр с исследуемой жидкостью; набор шариков; микрометр; секундомер.

Цель работы

Освоить метод определения коэффициента внутреннего трения (динамической вязкости) жидкости и определить его по методу Стокса.

Краткая теория

Вязкость – это свойство жидкостей (и газов) оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой или перемещению твердого тела в этой жидкости. Из-за вязкости происходит превращение кинетической энергии жидкости в .

При течении реальной жидкости между слоями, имеющими разные скорости, возникают силы трения. Их называют силами внутреннего трения.

В жидкостях силы внутреннего трения обусловлены молекулярным взаимодействием. Перемещение одних слоев жидкости относительно других сопровождается разрывом связей между молекулами соприкасающихся слоев. Движение слоев, имеющих большую скорость, замедляется. Слои, обладающие меньшей скоростью, ускоряются.

Известно, что силы взаимодействия между молекулами ослабевают при повышении температуры жидкости, следовательно, силы внутреннего трения должны убывать с возрастанием температуры.

Вязкость жидкости зависит также от природы вещества и от примесей в ней. При механическом смешивании различных жидкостей вязкость смеси может значительно изменяться. Если при смешивании образуется новое химическое соединение, то вязкость смеси может изменяться в широком диапазоне.


В газах расстояния между молекулами значительно больше радиуса действия межмолекулярных сил, поэтому их внутреннее трение много меньше внутреннего трения в жидкостях.

Для оценки внутреннего трения в жидкости используют динамическую и вязкости.

Динамическая вязкость характеризует когезионные свойства жидкости (когезия – сцепление друг с другом частей одного и того же тела, жидкого или твердого. Обусловлено химической связью и молекулярным взаимодействием). Она важна для оценки текучести жидкости при выборе, например, дозирующих устройств (форсунок, жиклеров и т. п.).

Кинематическая вязкость характеризует адгезионные свойства жидкости (адгезия – сцепление поверхностей разнородных тел. Благодаря адгезии возможны нанесение покрытий, склеивание, сварка и др., а также образование поверхностных пленок).

Эта характеристика важна при подборе смазочных материалов для различных машин и механизмов с целью уменьшения силы трения между частями данных устройств.

Динамическая и кинематическая вязкости связаны между собой соотношением:

где η - динамическая вязкость;

τ - кинематическая вязкость;

ρ - плотность жидкости.

В системе СГС

η измеряется в г/см⋅с = П (пуаз);

    - в см2/с = Ст (Стокс);

ρ - в г/см3.

В системе СИ

    измеряется в Па⋅с;
    - в м2/с;

ρ - в кг/м3.

Поскольку, практически определить динамическую вязкость проще, чем кинематическую, обычно и определяют эту характеристику, например, по способу Стокса (метод падающего шарика).

Сущность метода заключается в следующем. Если в сосуд с жидкостью опустить шарик, плотность материала которого больше плотности жидкости, то он начинает падать. При этом на шарик будут действовать три силы: сила тяжести – F, сила Архимеда – FA и сила сопротивления движению– FC (рис. 1).

Рис. 1. Силы, действующие на шарик при его падении в жидкости

В общем случае сила сопротивления движению или сила внутреннего трения определяется по закону Ньютона для жидкостей:

, (2)

где - динамическая вязкость;

Градиент скорости, характеризующий изменение скорости от слоя к слою (рис. 2);

ΔS - площадь соприкасающихся слоев;

знак «–» указывает на то, что сила трения и скорость шарика направлены в противопложные стороны.

Рис. 2. Ламинарное течение жидкости

Из формулы (2) следует, что динамическая вязкость численно равна силе внутреннего трения, действующей на единицу поверхности соприкасающихся слоев при градиенте скорости, равном единице. Полагая в формуле (2) ΔS = 1 м2 , dυ/dz=-1 c-1, получим

Следствием закона Ньютона (2) является формула Стокса для тел шарообразной формы, движущихся в жидкости:

, (3)

где - скорость шарика;

Радиус шарика.

Поскольку возрастает с увеличением скорости движения тела, а силы и постоянны, то через некоторое время после начала движения противоположно направленные силы компенсируют друг друга, т. е.

С этого момента движение шарика будет равномерным.


Учитывая, что

, а (5)

, (6)

где и - соответственно плотности материала шарика и жидкости, соотношение (4) можно записать в виде:

(7)

Из выражения (7) находят динамическую вязкость .

- расчетная формула (8)

В системе СГС = 981 см/с2.

В формуле (8) соотношение является величиной постоянной для данной плотности материала шарика и плотности жидкости, поэтому при обработке результатов измерений можно один раз вычислить эту постоянную, затем умножают ее на r2 и делят на скорость падения шарика υ.

Следует иметь в виду, что (3) справедлива при ламинарном (безвихревом) течении жидкости. Такое движение реализуется в случае небольшой скорости падения шарика, что возможно, если плотность материала шарика незначительно превышает плотность жидкости.

Описание прибора

Прибор представляет собой стеклянный цилиндр, в котором находится исследуемая жидкость. На цилиндре имеются две горизонтальные кольцевые метки a и b, расположенные на некотором расстоянии друг от друга (рис. 1). Верхняя метка находится ниже уровня жидкости в цилиндре на 5 - 8 см для того, чтобы к моменту прохождения шариком верхней метки, геометрическая сумма сил, действующих на шарик, равнялась нулю.

1. Измеряют микрометром диаметр шарика в миллиметрах, переводят миллиметры в сантиметры и находят радиус шарика. Опускают шарик в исследуемую жидкость как можно ближе к оси цилиндра.

2. В момент прохождения шариком верхней метки включают секундомер. При прохождении шариком нижней метки секундомер отключают.

3. Измерения повторить не менее 5 раз. Результаты заносят в таблицу 1.

Таблица 1

Необходимые результаты для нахождения коэффициента вязкости жидкости


Обработка результатов измерений

1. Вычисляют скорость движения шарика для каждого опыта по

формуле , где l – расстояние между верхней и нижней метками.

2. Рассчитывают значение по формуле (8).

3. Вычисляют средние арифметические значения коэффициента вязкости и абсолютной погрешности измерений и заносят их в таблицу 1.

4. Определяют относительную погрешность измерений по формуле:

.

5. Результаты измерений записывают в виде:

, г/см⋅с.

6. Вычисляют кинематическую вязкость по формуле:

.

Вопросы для подготовки к отчету по работе

Вариант № 1


Какую жидкость называют идеальной? Какое течение называют ламинарным? Что такое градиент скорости? Сформулируйте закон Стокса. Почему скорость течения в центре реки больше, чем у берегов? Когда движение тела, падающего в жидкости, становится равномерным? Сформулируйте закон всемирного тяготения. Почему для определения вязкости жидкости используют тело шарообразной формы? Какой физический смысл коэффициента вязкости?

10.Единица измерения коэффициента вязкости.

Вариант № 2


Что называется вязкостью жидкости? От чего зависит коэффициент вязкости? Сформулируйте закон Архимеда. Действует ли выталкивающая сила в данный момент на Вас? Чему равна выталкивающая сила, действующая на шарик, падающий в жидкости? (Формула). Куда направлен вектор силы внутреннего трения и к чему она приложена? Два слоя жидкости, имеющие скорости 2 и 3 см/сек, расстояние между которыми 0,06 м, движутся относительно друг друга. Определите градиент скорости. Как можно уменьшить вязкость жидкости? Зависит ли коэффициент внутреннего трения от высоты цилиндра?

10. Когда движение жидкости становится турбулентным?

Вариант № 3


Сформулируйте закон Ньютона для внутреннего трения. Река, шириной 50 м, имеет скорость течения в центре 90 см/сек, а у берегов – 10 см/сек. Определите градиент скорости течения. Сравните полученный Вами результат определения коэффициента вязкости жидкости с табличным. Объясните разницу в данных. Переведите коэффициента вязкости в систему СИ. От чего зависит погрешность измерений в данной работе? Почему сила трения в газах меньше, чем в жидкостях? Как зависит коэффициент вязкости жидкости от диаметра цилиндра? Какие силы действуют на шарик, падающий в жидкости? Как движется шарик в жидкости: равномерно, равнозамедленно, равноускоренно?

2. Грабовский физики. 6-е издание.- СПб.: Издательство «Лань», 2002г., стр. 186-191.

3. Кузнецов физика. Издательский отдел ПГТУ, 2003 г. 314 с.