Содржина на лекцијата

Додавање дропки со ист именител

Постојат два вида на собирање на дропки:

  1. Додавање дропки со ист именител
  2. Додавање дропки со различни именители

Прво, да го проучиме собирањето дропки со исти именители. Сè е едноставно тука. За да додадете дропки со ист именител, додадете ги нивните броители и оставете го именителот непроменет. На пример, додадете дропки и. Ги додаваме броителите и го оставаме именителот непроменет:

Овој пример може лесно да се разбере ако размислите за пица, која е поделена на четири дела. Ако додадете пици на пица, добивате пици:

Пример 2. Додадете дропки и.

Одговорот е неточна дропка. Ако дојде крајот на проблемот, тогаш вообичаено е да се ослободат од неточни фракции. За да се ослободите од неправилната дропка, треба да го изберете целиот дел во неа. Во нашиот случај, целиот дел лесно се разликува - две поделени со две е еднакво на еден:

Овој пример лесно може да се разбере ако размислите за пица, која е поделена на два дела. Ако додадете пица на пицата, добивате една цела пица:

Пример 3... Додадете дропки и.

Повторно, соберете ги броителите и оставете го именителот непроменет:

Овој пример лесно може да се разбере ако размислите за пица, која е поделена на три дела. Ако додадете повеќе пица на пицата, добивате пица:

Пример 4. Пронајдете ја вредноста на изразот

Овој пример е решен на ист начин како и претходните. Додадете ги броителите и оставете го именителот непроменет:

Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи слика. Ако додадете пици во пицата и додадете пици во пицата, добивате 1 цела и повеќе пица.

Како што можете да видите, нема ништо комплицирано во додавањето дропки со исти именители. Доволно е да ги разберете следниве правила:

  1. За да додадете дропки со ист именител, додадете ги нивните броители и оставете го именителот непроменет;

Додавање дропки со различни именители

Сега да научиме како да додадеме дропки со различни именители. При собирање дропки, именителите на тие дропки треба да бидат исти. Но, тие не се секогаш исти.

На пример, можете да додадете и дропки затоа што ги имаат истите именители.

Но, дропките не можат да се додадат веднаш, бидејќи овие дропки имаат различни именители. Во такви случаи, дропките мора да се сведат на истиот (заеднички) именител.

Постојат неколку начини да се донесат дропките во истиот именител. Денес ќе разгледаме само еден од нив, бидејќи остатокот од методите може да изгледаат тешки за почетник.

Суштината на овој метод е што најпрво се бара (LCM) од именителите на обете дропки. Тогаш LCM се дели со именителот на првата дропка и се добива првиот дополнителен фактор. Направете го истото со втората дропка - LCM се дели со именителот на втората дропка и се добива втор дополнителен фактор.

Тогаш броителите и именителите на дропките се множат со нивните дополнителни фактори. Како резултат на овие дејства, дропките со различни именители се претвораат во дропки со исти именители. И веќе знаеме како да додадеме такви дропки.

Пример 1... Додадете дропки и

Прво на сите, наоѓаме најмала заедничка множина од именителите на обете дропки. Именителот на првата дропка е 3, а именителот на втората дропка е 2. Најмалку заеднички множина од овие броеви е 6

LCM (2 и 3) \u003d 6

Сега се враќаме на дропките и. Прво, поделете го LCM со именителот на првата дропка и добијте го првиот дополнителен фактор. LCM е број 6, а именител на првата дропка е бројот 3. Подели го 6 со 3, добиваме 2.

Резултирачкиот број 2 е првиот дополнителен фактор. Го запишуваме до првата дропка. За да го направите ова, направете мала косо линија над дропката и напишете го дополнителниот фактор што се наоѓа над него:

Истото го правиме и со втората дропка. Го делиме LCM со именителот на втората дропка и го добиваме вториот дополнителен фактор. LCM е бројот 6, а именителот на втората дропка е бројот 2. Подели го 6 со 2, добиваме 3.

Резултирачкиот број 3 е вториот дополнителен фактор. Го запишуваме на втората дропка. Повторно, повлекуваме мала косо линија над втората дропка и го запишуваме дополнителниот фактор што се наоѓа над него:

Сега сме подготвени да додадеме. Останува да се помножат броителите и именителите на дропките со нивните дополнителни фактори:

Погледнете внимателно до што стигнавме. Дојдовме до заклучок дека дропките што имаат различни именители се претвораат во дропки со исти именители. И веќе знаеме како да додадеме такви дропки. Да го завршиме овој пример до крај:

Така, примерот завршува. Излезе да се додаде.

Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи слика. Ако додадете пици во пицата, добивате една цела пица и друга шеста пица:

Намалувањето на дропките на истиот (заеднички) именител може да биде прикажано и со помош на слика. Намалувајќи ги дропките и до заеднички именител, добивме дропки и. Овие две фракции ќе бидат претставени со исти парчиња пица. Единствената разлика е во тоа што овој пат тие ќе бидат поделени на еднакви акции (намалени на истиот именител).

На првата слика е прикажана фракција (четири од шест парчиња), а на втората слика е дел (три од шест парчиња). Со додавање на овие парчиња, добиваме (седум парчиња од шест). Оваа фракција не е точна, па затоа го избравме целиот дел во неа. Резултатот беше (една цела пица и друга шеста пица).

Забележете дека овој пример го опишавме премногу детално. ИН образовни институции не е вообичаено да се пишува толку опширно. Треба да бидете во можност брзо да ги пронајдете LCM на именителите и дополнителните фактори за нив, како и брзо да ги умножите пронајдените дополнителни фактори со вашите бројачи и именители. Додека бевме на училиште, овој пример ќе треба да го напишеме на следниов начин:

Но, исто така има и задна страна медали. Ако во првите фази на студии по математика не направите детални белешки, тогаш почнуваат да се појавуваат прашања од овој вид „Од каде е тој број?“ „Зошто дропките одеднаш се претвораат во сосема различни дропки? «.

За полесно додавање дропки со различни именители, можете да ги користите следниве чекор-по-чекор инструкции:

  1. Пронајдете LCM на именителите на дропки;
  2. Поделете го LCM со именителот на секоја дропка и добијте дополнителен фактор за секоја дропка;
  3. Помножете ги броителите и именителите на дропки со вашите дополнителни фактори;
  4. Додадете дропки што имаат ист именител;
  5. Ако одговорот е неточен дел, тогаш изберете го целиот негов дел;

Пример 2. Пронајдете ја вредноста на изразот .

Ајде да ги користиме упатствата дадени погоре.

Чекор 1. Пронајдете LCM на именителите на дропки

Пронајдете LCM на именителите на обете дропки. Назначувачи на дропките се броевите 2, 3 и 4.

Чекор 2. Поделете го LCM со именителот на секоја дропка и добијте дополнителен фактор за секоја дропка

Го делиме LCM со именителот на првата дропка. LCM е број 12, а именител на првата дропка е бројот 2. Подели 12 на 2, добиваме 6. Го добивме првиот дополнителен фактор 6. Го пишуваме во текот на првата дропка:

Сега го делиме LCM со именителот на втората дропка. LCM е број 12, а именител на втората дропка е бројот 3. Подели 12 на 3, добиваме 4. Го добивме вториот дополнителен фактор 4. Го пишуваме над втората дропка:

Сега го делиме LCM со именителот на третата дропка. LCM е број 12, а именител на третата дропка е бројот 4. Подели 12 на 4, добиваме 3. Го добивме третиот дополнителен фактор 3. Го пишуваме над третата дропка:

Чекор 3. Помножете ги броителите и именителите на дропки со вашите дополнителни фактори

Ние ги множиме броителите и именителите со нашите дополнителни фактори:

Чекор 4. Додадете дропки со исти именители

Дојдовме до заклучок дека дропките што имаат различни именители се претвораат во дропки со исти (заеднички) именители. Останува да се додадат овие дропки. Ние додаваме:

Додавањето не се вклопуваше во една линија, па преостанатиот израз го преместивме во следната линија. Ова е дозволено во математиката. Кога изразот не одговара на една линија, тој се пренесува на следната линија и секогаш мора да ставите знак за еднаквост (\u003d) на крајот од првата линија и на почетокот на новата линија. Знакот за еднаквост на втората линија покажува дека ова е продолжение на изразот што беше на првата линија.

Чекор 5. Ако одговорот се покаже како неточен дел, тогаш изберете го целиот дел во него

Добивме погрешна фракција во нашиот одговор. Ние мора да го избереме целиот дел од него. Означување:

Доби одговор

Одземање на дропки со ист именител

Постојат два вида на одземање на дропки:

  1. Одземање на дропки со ист именител
  2. Одземање на дропки со различни именители

Прво, да го проучиме одземањето на дропки со ист именител. Сè е едноставно тука. За да одземете друга од една дропка, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка и да го оставите именителот ист.

На пример, да ја најдеме вредноста на изразот. За да го решите овој пример, одброителот на втората дропка одземете го од броителот на првата дропка и оставете го именителот непроменет. Да го направиме ова:

Овој пример може лесно да се разбере ако размислите за пица, која е поделена на четири дела. Ако исечете пици од пица, добивате пици:

Пример 2. Пронајдете ја вредноста на изразот.

Повторно, одземете го броителот на втората дропка од броителот на првата дропка и оставете го именителот непроменет:

Овој пример лесно може да се разбере ако размислите за пица, која е поделена на три дела. Ако исечете пици од пица, добивате пици:

Пример 3. Пронајдете ја вредноста на изразот

Овој пример е решен на ист начин како и претходните. Од броителот на првата дропка, треба да ги одземете броителите на преостанатите дропки:

Како што можете да видите, нема ништо тешко во одземањето на дропки со исти именители. Доволно е да ги разберете следниве правила:

  1. За да одземете друга од една дропка, однесете го броителот на втората дропка од броителот на првата дропка и оставете го именителот непроменет;
  2. Ако одговорот е неточен дел, тогаш треба да го изберете целиот дел во него.

Одземање на дропки со различни именители

На пример, може да одземете дел од дел, бидејќи овие дропки го имаат истиот именител. Но, не можете да одземете дел од дел, бидејќи овие дропки имаат различни именители. Во такви случаи, дропките мора да се сведат на истиот (заеднички) именител.

Заедничкиот именител се наоѓа според истиот принцип што го користевме кога додаваме дропки со различни именители. Прво на сите, пронајдете LCM на именителите на обете дропки. Тогаш LCM се дели со именителот на првата дропка и се добива првиот дополнителен фактор, кој е запишан над првата дропка. Слично на тоа, LCM е поделен со именителот на втората дропка и се добива втор дополнителен фактор, кој е запишан над втората дропка.

Тогаш фракциите се множат со нивните дополнителни фактори. Како резултат на овие операции, дропките со различни именители се претвораат во дропки со исти именители. Ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки.

Пример 1. Пронајдете ја вредноста на изразот:

Овие дропки имаат различни именители, затоа треба да ги доведете во ист (заеднички) именител.

Прво, го наоѓаме LCM на именителите на обете дропки. Именител на првата дропка е 3, а именителот на втората дропка е 4. Најмалку заеднички множител од овие броеви е 12

LCM (3 и 4) \u003d 12

Сега назад на дропки и

Ајде да најдеме дополнителен фактор за првата дропка. За да го направите ова, го делиме LCM со именителот на првата дропка. LCM е број 12, а именител на првата дропка е бројот 3. Подели 12 на 3, добиваме 4. Ги запишуваме четирите над првата дропка:

Истото го правиме и со втората дропка. Ние го делиме LCM со именителот на втората дропка. LCM е број 12, а именител на втората дропка е бројот 4. Подели 12 на 4, добиваме 3. Напиши ги трите над втората дропка:

Сега сме подготвени за одземање. Останува да се помножат дропките со вашите дополнителни фактори:

Дојдовме до заклучок дека дропките што имаат различни именители се претвораат во дропки со исти именители. Ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки. Да го завршиме овој пример до крај:

Доби одговор

Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи слика. Ако исечете пици од пица, добивате пица

Ова е детална верзија на решението. На училиште, овој пример ќе треба да го решиме на пократок начин. Таквото решение би изгледало вака:

Намалувањето на дропките и во заеднички именител, исто така, може да биде прикажано со помош на сликата. Доведувајќи ги овие дропки во заеднички именител, добивме дропки и. Овие фракции ќе бидат претставени со исти парчиња пица, но овој пат тие ќе бидат поделени во еднакви делови (намалени на истиот именител):

На првиот цртеж е прикажана фракција (осум од дванаесет парчиња), а втората црта (три од дванаесет парчиња). Сечење три парчиња од осум парчиња, добиваме пет парчиња од дванаесет. Фракција и ги опишува овие пет дела.

Пример 2. Пронајдете ја вредноста на изразот

Овие дропки имаат различни именители, па затоа прво треба да ги донесете во истиот (заеднички) именител.

Пронајдете LCM на именителите на овие дропки.

Назначувачите на дропките се 10, 3 и 5. Најмалку заеднички множител од овие броеви е 30

LCM (10, 3, 5) \u003d 30

Сега наоѓаме дополнителни фактори за секоја фракција. За да го направите ова, го делиме LCM со именителот на секоја дропка.

Ајде да најдеме дополнителен фактор за првата дропка. LCM е број 30, а именителот на првата дропка е 10. Подели 30 на 10, го добиваме првиот дополнителен фактор 3. Го пишуваме во текот на првата дропка:

Сега наоѓаме дополнителен фактор за втората фракција. Поделете го LCM со именителот на втората дропка. LCM е број 30, а именител на втората дропка е бројот 3. Подели 30 на 3, го добиваме вториот дополнителен фактор 10. Го пишуваме во текот на втората дропка:

Сега наоѓаме дополнителен фактор за третата фракција. Поделете го LCM со именителот на третата дропка. LCM е 30, а именителот на третата дропка е 5. Подели 30 на 5, го добиваме третиот дополнителен фактор 6. Го пишуваме над третата дропка:

Сега сè е подготвено за одземање. Останува да се помножат дропките со вашите дополнителни фактори:

Дојдовме до заклучок дека дропките што имаат различни именители се претвораат во дропки со исти (заеднички) именители. Ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки. Да го завршиме овој пример.

Продолжението на примерот нема да се вклопи во една линија, така што продолжувањето го пренесуваме на следната линија. Не заборавајте за знакот за еднаквост (\u003d) на нова линија:

Одговорот се покажа како точна фракција и се чини дека сè ни одговара, но е премногу незгодно и грдо. Требаше да го олесниме тоа. Што може да се направи? Оваа фракција можете да ја скратите.

За да намалите дел, треба да ги поделите неговиот броител и именител со (GCD) броеви 20 и 30.

Значи, го наоѓаме ГЦД на броевите 20 и 30:

Сега се враќаме на нашиот пример и ги делиме броителот и именителот на дропката со пронајдениот ГЦД, односно со 10

Доби одговор

Множење на дел со број

За да множите дропка со број, треба да го помножите броителот на оваа дропка со овој број и да го оставите именителот непроменет.

Пример 1... Умножете ја дропката со 1.

Помножете го броителот на дропката со 1

Снимањето може да се сфати дека трае половина 1 пат. На пример, ако земете пици 1 пат, добивате пици

Од законите на множењето знаеме дека ако множителот и множителот се свртат назад, производот нема да се промени. Ако изразот е напишан како, тогаш производот сепак ќе биде еднаков. Повторно, правилото за множење на цел број и дропка работи:

Овој запис може да се сфати дека зема половина од еден. На пример, ако има 1 цела пица и земеме половина од неа, тогаш ќе имаме пица:

Пример 2... Пронајдете ја вредноста на изразот

Помножете го броителот на дропката со 4

Одговорот е неточна дропка. Ајде да го избереме целиот дел во него:

Изразот може да се сфати дека трае два четвртини 4 пати. На пример, ако земете пици 4 пати, ќе добиете две цели пици

И ако ги смениме мултипликаторот и множителот на места, го добиваме изразот. Исто така, ќе биде еднакво на 2. Овој израз може да се сфати дека зема две пици од четири цели пици:

Дозволен е број што се множи со дропка и именител на дропка ако имаат заеднички фактор поголем од еден.

На пример, израз може да се оцени на два начина.

Првиот начин... Помножете 4 со броителот на дропката и оставете го именителот на дропката непроменет:

Втор начин... Помножените четири и четири во именителот на дропката може да се откажат. Овие четири може да ги откажете за 4, бидејќи најголемиот заеднички фактор за две четири е самите четири:

Истиот резултат е добиен 3. По намалувањето на четворките, на нивно место се формираат нови броеви: два. Но, множењето еден со три, а потоа делењето со едно, не менува ништо. Затоа, решението може да се напише пократко:

Намалувањето може да се изврши дури и кога решивме да го користиме првиот метод, но во фаза на множење на бројот 4 и броителот 3 решивме да го користиме намалувањето:

Но, на пример, изразот може да се пресмета само на прв начин - множете 7 со именителот на дропката и оставете го именителот непроменет:

Ова се должи на фактот дека бројот 7 и именителот на дропката немаат заеднички делител, поголем од еден, и, соодветно, не се откажуваат.

Некои ученици погрешно ги откажуваат бројот на множење и броителот на дропката. Ова не може да се направи. На пример, следново не е точно:

Намалувањето на фракцијата го подразбира тоа и броител и именител ќе се подели со ист број. Во ситуација со израз, поделбата се изведува само во броителот, бидејќи нејзиното запишување е исто како и запишувањето. Гледаме дека поделбата се изведува само во броителот, а во именителот не се случува поделба.

Множење на дропки

За да множите дропки, треба да ги умножите нивните бројачи и именители. Ако одговорот се покаже како неточен дел, треба да го изберете целиот дел во него.

Пример 1. Пронајдете ја вредноста на изразот.

Добивме одговор. Пожелно е да се скрати оваа фракција. Фракцијата може да се намали за 2. Тогаш конечната одлука ќе ја добие следнава форма:

Изразот може да се сфати како земање пица од половина пица. Да речеме дека имаме половина пица:

Како да добиете две третини од оваа половина? Прво треба да ја поделите оваа половина на три еднакви делови:

И земете две од овие три дела:

Makeе направиме пица. Запомнете како изгледа пицата кога е поделена на три дела:

Едно парче од оваа пица и двете парчиња што ги зедовме ќе имаат исти димензии:

Со други зборови, ние зборуваме за иста големина на пица. Затоа, вредноста на изразот е

Пример 2... Пронајдете ја вредноста на изразот

Помножете го броителот на првата дропка со броителот на втората дропка, и именителот на првата дропка со именителот на втората дропка:

Одговорот е неточна дропка. Ајде да го избереме целиот дел во него:

Пример 3. Пронајдете ја вредноста на изразот

Помножете го броителот на првата дропка со броителот на втората дропка, и именителот на првата дропка со именителот на втората дропка:

Одговорот се покажа како точна дропка, но добро ќе биде ако го намалите. За да ја намалите оваа дропка, треба да ги поделите броителот и именителот на оваа дропка со најголемиот заеднички делител (GCD) од 105 и 450.

Значи, да го најдеме ГЦД на броевите 105 и 450:

Сега ги делиме броителот и именителот на нашиот одговор на ГЦД, што сега го најдовме, односно со 15

Претставување на дропки на цел број

Било цел број може да се претстави како дропка. На пример, бројот 5 може да се претстави како. Од ова, петте нема да ја променат својата вредност, бидејќи изразот значи "бројот пет поделен со еден", и ова, како што знаете, е еднакво на пет:

Обратни броеви

Сега ќе се сретнеме многу интересна тема во математиката. Се нарекува „задни броеви“.

Дефиниција Инверзна бројкаа е бројка што, кога се множи соа дава еден.

Да ја замениме оваа дефиниција наместо променливата а број 5 и обидете се да ја прочитате дефиницијата:

Инверзна бројка 5 е бројка што, кога се множи со 5 дава еден.

Дали е можно да се најде таков број што, кога ќе се помножи со 5, ќе даде еден? Излегува дека можеш. Да ги претставиме петте како дропка:

Потоа множете ја оваа дропка со себе, само разменете ги броителот и именителот. Со други зборови, ние ја множиме дропката сам по себе, само превртена:

Кој ќе биде резултатот од ова? Ако продолжиме да го решаваме овој пример, ќе добиеме еден:

Ова значи дека инверзната од 5 е број, затоа што кога множиш 5 со, добиваш еден.

Реципроцитетот може да се најде и за кој било друг цел број.

Можете исто така да најдете реципрочни за која било друга фракција. За да го направите ова, само превртете го.

Делење на дел со број

Да речеме дека имаме половина пица:

Поделете го подеднакво на два дела. Колку пица ќе добие секоја од нив?

Може да се види дека по поделбата на половина од пицата, се добиваат две еднакви парчиња, од кои секоја сочинува пица. Така, секој добива пица.

Сега, кога научивме како да додаваме и множиме индивидуални фракции, можеме да разгледаме посложени дизајни. На пример, што ако истиот проблем содржи собирање, одземање и множење на дропки?

Пред сè, треба да ги преведете сите дропки во неточни. Потоа, последователно ги извршуваме потребните дејства - во истиот редослед како и за обичните броеви. Имено:

  1. Прво се изведува експоненцијацијата - ослободете се од сите изрази што содржат индикатори;
  2. Потоа - поделба и множење;
  3. Последниот чекор е собирање и одземање.

Се разбира, ако има загради во изразот, редоследот на дејствување се менува - прво мора да се изброи сè што има во заградите. И запомнете за неточни дропки: треба да го изберете целиот дел само кога сите други дејства се веќе завршени.

Да ги преведеме сите дропки од првиот израз во неточни, а потоа да ги извршиме следниве дејства:


Сега да ја најдеме вредноста на вториот израз. Нема дропки со цел број, но има загради, затоа прво изведуваме собирање, а дури потоа поделба. Забележете дека 14 \u003d 7 2. Потоа:

На крај, разгледај го третиот пример. Тука има загради и диплома - подобро е да ги броиме одделно. Имајќи предвид дека 9 \u003d 3 3, имаме:

Погледнете го последниот пример. За да подигнете дел на моќност, мора одделно да го подигнете броителот на оваа моќност, а одделно - именителот.

Можете да одлучите на поинаков начин. Ако се потсетиме на дефиницијата за степенот, проблемот ќе се намали на вообичаеното множење на дропки:

Катни фракции

Досега разгледувавме само „чисти“ дропки, кога броител и именител се обични броеви. Ова е прилично во согласност со дефиницијата за нумерички дропка дадена на првиот час.

Но, што ако покомплексен предмет се стави во броителот или именителот? На пример, друга бројна фракција? Ваквите конструкции се случуваат доста често, особено кога се работи со долги изрази. Еве неколку примери:

Постои само едно правило за работа со катни фракции: веднаш мора да се ослободите од нив. Отстранувањето на "дополнителни" подови е прилично лесно ако се сеќавате дека фракционата лента значи работа на стандардна поделба. Затоа, секоја фракција може да се препише на следниов начин:

Користејќи го овој факт и набудувајќи го редоследот на дејствија, можеме лесно да ја намалиме секоја фракција на повеќе нивоа на редовна. Погледнете примери:

Задача. Претворете повеќекатни дропки во редовни:

Во секој случај, ја препишуваме главната дропка, заменувајќи ја линијата на поделба со знак на поделба. Исто така запомнете дека секој цел број може да се претстави како дропка со именител 1. Тоа е, 12 \u003d 12/1; 3 \u003d 3/1. Добиваме:

ИН последен пример пред последното множење, дропките беа скратени.

Спецификите на работа со фракции на повеќе нивоа

Постои една суптилност во катните фракции што секогаш мора да се запомни, во спротивно може да добиете погрешен одговор, дури и ако сите пресметки беа точни. Погледни:

  1. Броителот содржи единечен број 7, а именителот содржи дропка 12/5;
  2. Броителот содржи дропка 7/12, а именител е единствениот број 5.

Значи, за една снимка, добивме две сосема различни толкувања. Ако сметате, одговорите исто така ќе бидат различни:

За секогаш да го читате записот недвосмислено, користете едноставно правило: линијата за одвојување на главната дропка мора да биде подолга од вгнездената линија. Пожелно е - неколку пати.

Ако го следите ова правило, горенаведените фракции треба да бидат напишани како што следува:

Да, можеби е грдо и зафаќа премногу простор. Но, правилно ќе сметате. Конечно, неколку примери каде навистина се појавуваат катни фракции:

Задача. Пронајдете ги вредностите на изразите:

Значи, работиме со првиот пример. Ајде да ги претвориме сите дропки во неправилни, а потоа да извршиме операции на собирање и поделба:

Ајде да го сториме истото со вториот пример. Да ги преведеме сите дропки во неправилни и да ги извршиме потребните операции. За да не го заморувам читателот, ќе изоставам некои очигледни пресметки. Ние имаме:


Поради фактот што има суми во броителот и именителот на основните дропки, правилото за пишување катни дропки се почитува автоматски. Исто така, во последниот пример, ние намерно оставивме 46/1 во фракционо форма за да направиме поделба.

Исто така, забележете дека и во двата примери, дробната лента всушност ги заменува заградите: прво го најдовме збирот, а дури потоа - количникот.

Некои може да речат дека преминот кон неправилни дропки во вториот пример беше очигледен излишен. Можеби е така. Но, со ова се осигуруваме од грешки, бидејќи следниот пат примерот може да се покаже дека е многу покомплициран. Изберете за себе што е поважно: брзина или сигурност.

Множење и делење на дропки.

Внимание!
Постојат дополнителни
материјали во Специјалниот дел 555.
За оние кои „не се многу ...“
И за оние кои „многу ...“)

Оваа операција е многу поубава од собирање-одземање! Затоа што е полесно. Дозволете ми да ве потсетам: за да множите дропка со дел, треба да ги умножите броителите (ова ќе биде броител на резултатот) и именителите (ова ќе биде именител). Т.е.

На пример:

Сè е крајно едноставно... И, ве молам, не барајте заеднички именител! Не ти треба тука ...

За да поделите дел на дел, треба да флипувате второ(ова е важно!) Дропка и помножете ги, т.е.:

На пример:

Ако наидете на множење или делење со цели броеви и дропки - во ред е. Како и со собирањето, правиме дропка со еден во именителот од цел број - и оди! На пример:

Во средно училиште, честопати треба да се занимавате со трикатни (па дури и со четири катни!) Дропки. На пример:

Како да се донесе оваа фракција на пристоен изглед? Многу е едноставно! Користете поделба во две точки:

Но, не заборавајте на редот за поделба! За разлика од множењето, ова е многу важно тука! Се разбира, 4: 2 или 2: 4, нема да се збуниме. Но, во трикатна фракција е лесно да се направи грешка. Забележете, на пример:

Во првиот случај (израз лево):

Во втората (израз десно):

Ја чувствувате ли разликата? 4 и 1/9!

И што го одредува редоследот на поделба? Или држачи, или (како овде) должината на хоризонталните шипки. Развијте око. И ако нема загради или цртички, како:

тогаш делиме-множиме со цел, од лево надесно!

И уште еден многу едноставен и важен трик. Во акции со степени, ох, колку е корисен! Поделете ја единицата со која било дропка, на пример, со 13/15:

Фракцијата се преврте! И секогаш има. Кога се дели 1 со која било дропка, резултатот е иста дропка, само превртена.

Тоа е сè за дропки. Работата е прилично едноставна, но дава повеќе од доволно грешки. Забелешка практичен совет, и ќе има помалку (грешки)!

Практичен совет:

1. Најважната работа при работа со фракциони изрази е точност и грижа! Не е заеднички зборови, не добри желби! Ова е крајна потреба! Направете ги сите пресметки на испитот како полноправна задача, со концентрација и јасност. Подобро е да напишете две дополнителни редови во нацрт отколку да го мешате кога пресметувате во вашата глава.

2. Во примери со различни видови дропки - одете на обични дропки.

3. Сите фракции се намалуваат за да запрат.

4. Ние ги сведуваме катните фракциони изрази на обични со користење на поделба преку две точки (гледајте го редоследот на поделба!).

5. Поделете ја единицата во дел умствено, едноставно со превртување на дропката.

Еве ги задачите што дефинитивно мора да ги решите. Одговорите се дадени по сите задачи. Користете ги материјалите на оваа тема и практични совети. Разгледајте колку примери сте можеле правилно да ги решите. Првиот пат! Без калкулатор! И донесете вистински заклучоци ...

Запомнете - точниот одговор е примено од втор (особено трет) пат - не се брои! Ова е суров живот.

Значи, решаваме во режим на испит ! Патем, ова е веќе подготовка за испит. Ние го решаваме примерот, проверете го, решете го следниот. Одлучивме за сè - проверивме повторно од првиот до последниот. Но само тогаш погледнете ги одговорите.

Пресметај:

Дали сте го решиле?

Ние бараме одговори што одговараат на вашите. Намерно ги запишав во неред, далеку од искушение, така да се каже ... Еве ги, одговорите, разделени со точка-запирка.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

И сега извлекуваме заклучоци. Ако сè проработеше, мило ми е за вас! Основните пресметки со дропки не се ваш проблем! Можете да направите посериозни работи. Ако не ...

Значи, имате еден од двата проблеми. Или и двете одеднаш.) Недостаток на знаење и / или невнимание. Но, ова решено Проблеми

Ако ви се допаѓа оваа страница ...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате решавање примери и да го дознаете вашето ниво. Итно тестирање за валидација. Учење - со интерес!)

можете да се запознаете со функциите и дериватите.

Оваа статија опфаќа дејства на дропки. Правилата за собирање, одземање, множење, делење или експоненцијација на дропки од формата А Б, каде што А и Б можат да бидат броеви, нумерички изрази или изрази со променливи, ќе бидат формирани и оправдани. Како заклучок, ќе бидат разгледани примери на решенија со детален опис.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Општи правила за вршење дејства со нумерички дропки

Општите нумерички дропки имаат броител и именител, кои содржат природни броеви или нумерички изрази. Разгледување на дропки како 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, тогаш е јасно дека броителот и именителот можат да имаат не само броеви, туку и изрази на различен план.

Дефиниција 1

Постојат правила според кои се вршат дејства со обични дропки. Погоден е и за општи фракции:

  • При одземање на дропки со исти именители, се додаваат само броителите, а именителот останува ист, имено: a d ± c d \u003d a ± c d, вредностите a, c и d ≠ 0 се некои броеви или нумерички изрази.
  • При собирање или одземање дропки со различни именители, потребно е да се намали на вкупниот број, а потоа да се додадат или одземат добиените дропки со истите индикатори. Буквално изгледа вака a b ± c d \u003d a p ± c r s, каде што се вредностите a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 реални броевии b p \u003d d r \u003d s. Кога p \u003d d и r \u003d b, тогаш a b ± c d \u003d a d ± c d b d.
  • При множење на дропки се врши дејство со броителите, потоа со именителите, тогаш добиваме a b c d \u003d a c b d, каде a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 делуваат како реални броеви.
  • Кога делиме дропка со дропка, првата се множи со втората инверзна, односно ги заменуваме броителот и именителот: a b: c d \u003d a b d c.

Образложение за правилата

Дефиниција 2

Постојат следниве математички точки на кои треба да се потпрете при пресметувањето:

  • дробна лента значи знак на поделба;
  • поделбата со број се смета за множење со нејзината реципрочна;
  • примена на својствата на дејствата со реални броеви;
  • примена на основното својство на дропка и бројни нееднаквости.

Со нивна помош, можете да направите трансформации на формата:

a d ± c d \u003d a d - 1 ± c d - 1 \u003d a ± c d - 1 \u003d a ± c d; a b ± c d \u003d a p b p ± c r d r \u003d a p s ± c e s \u003d a p ± c r s; ab cd \u003d a db d b cb d \u003d a d a d - 1 b c b d - 1 \u003d a d b c b d - 1 B d - 1 \u003d a d b cb d b d - 1 \u003d (a c) (b d) - 1 \u003d a cb d

Примери за

Во претходниот пасус беше кажано за дејства со дропки. По ова, фракцијата треба да се поедностави. Оваа тема детално беше разгледана во пасусот за конвертирање на дропки.

Прво, да погледнеме пример за собирање и одземање дропки со ист именител.

Пример 1

Со оглед на дропките 8 2, 7 и 1 2, 7, тогаш според правилото потребно е да се додаде броителот и да се напише именителот.

Одлука

Потоа добиваме дел од образецот 8 + 1 2, 7. По завршувањето на собирањето, добиваме дел од образецот 8 + 1 2, 7 \u003d 9 2, 7 \u003d 90 27 \u003d 3 1 3. Оттука, 8 2, 7 + 1 2, 7 \u003d 8 + 1 2, 7 \u003d 9 2, 7 \u003d 90 27 \u003d 3 1 3.

Одговор: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Постои и друго решение. За почеток, се прави премин во форма на обична дропка, по што извршуваме поедноставување. Изгледа вака:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Пример 2

Одземете 1 - 2 3 лог 2 3 лог 2 5 + 1 дропки од формуларот 2 3 3 лог 2 3 лог 2 5 + 1.

Бидејќи именителите се еднакви, тоа значи дека ја пресметуваме дропката со истиот именител. Го добиваме тоа

1 - 2 3 дневник 2 3 дневник 2 5 + 1 - 2 3 3 дневник 2 3 дневник 2 5 + 1 \u003d 1 - 2 - 2 3 3 најава 2 3 најава 2 5 + 1

Постојат примери за пресметување на дропки со различни именители. Важна точка е намалување на заеднички именител. Без ова, нема да можеме да извршиме понатамошни дејства со дропки.

Процесот нејасно личи на намалување на заедничкиот именител. Тоа е, се прави пребарување за најмалку заедничкиот фактор во именителот, по што факторите што недостасуваат се додаваат на дропките.

Ако фракциите што треба да се додадат немаат заеднички фактори, тогаш нивниот производ може да стане нив.

Пример 3

Размислете за примерот за собирање дропки 2 3 5 + 1 и 1 2.

Одлука

Во овој случај, заедничкиот именител е производ на именителите. Тогаш го добиваме тој 2 · 3 5 + 1. Потоа, при поставување дополнителни фактори, имаме дека е еднакво на 2 на првата дропка, и 3 5 + 1 на втората. По множењето, дропките се сведуваат на формата 4 2 · 3 5 + 1. Општата екипа 1 2 ќе има форма 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Ги додаваме добиените фракциони изрази и го добиваме тоа

2 3 5 + 1 + 1 2 \u003d 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 \u003d \u003d 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 \u003d 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 \u003d 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Одговор: 2 3 5 + 1 + 1 2 \u003d 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Кога имаме работа со општи дропки, тогаш најмалиот заеднички именител обично не е случај. Неисплатливо е да се земе производот на броителите како именител. Прво, треба да проверите дали има број кој е помал во вредност од нивниот производ.

Пример 4

Размислете, на пример, 1 6 2 1 5 и 1 4 2 3 5, кога нивниот производ ќе биде 6 2 1 5 4 2 3 5 \u003d 24 2 4 5. Тогаш земаме 12 · 2 3 5 како заеднички именител.

Размислете за примери на множења на општи дропки.

Пример 5

За да го направите ова, треба да множите 2 + 1 6 и 2 · 5 3 · 2 + 1.

Одлука

Следното правило мора да биде препишано и производот на броителите да се запише како именител. Го добиваме тој 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Кога фракцијата се множи, може да се направат кратенки за да се поедностави. Потоа 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 \u003d 5 3 3 2 + 1 9 3 10.

Користејќи го правилото за премин од поделба во множење со инверзна дропка, ја добиваме инверзната на дадената дропка. За да го направите ова, броителот и именителот се менуваат. Да земеме пример:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 \u003d 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Тогаш тие мора да извршат множење и да ја поедностават добиената дропка. Доколку е потребно, ослободете се од ирационалноста во именителот. Го добиваме тоа

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 \u003d 5 3 3 9 3 10 2 + 1 \u003d 5 2 10 2 + 1 \u003d 3 2 2 + 1 \u003d \u003d 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 \u003d 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 \u003d 3 2 - 1 2

Одговор: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 \u003d 3 2 - 1 2

Оваа клаузула е применлива кога број или нумерички израз можат да бидат претставени како дропка со именител еднаква на 1, тогаш дејството со таква дропка се смета за посебна реченица. На пример, изразот 1 6 · 7 4 - 1 · 3 покажува дека коренот на 3 може да се замени со друг израз 3 1. Тогаш овој запис ќе изгледа како множење на две дропки од формата 1 6 · 7 4 - 1 · 3 \u003d 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Изведување акција на дропки што содржат променливи

Правилата што се дискутираат во првиот напис се однесуваат на дејства со дропки што содржат променливи. Размислете за правилото на одземање кога именителите се исти.

Неопходно е да се докаже дека A, C и D (D не е еднакво на нула) може да бидат какви било изрази, а еднаквоста A D ± C D \u003d A ± C D е еквивалентна на неговиот опсег на прифатливи вредности.

Неопходно е да се земат збир на DHS променливи. Тогаш A, C, D мора да ги земе соодветните вредности a 0, c 0 и г 0... Замена на формата A D ± C D доведува до разлика во формата a 0 d 0 ± c 0 d 0, каде според правилото за собирање добиваме формула од формата 0 ± c 0 d 0. Ако го замениме изразот A ± C D, тогаш ја добиваме истата фракција од формата 0 ± c 0 d 0. Оттука, заклучуваме дека избраната вредност што ги задоволува ODZ, A ± C D и A D ± C D се смета за еднаква.

За која било вредност на променливите, овие изрази ќе бидат еднакви, односно се нарекуваат идентично еднакви. Оттука, овој израз се смета за докажана еднаквост на формата A D ± C D \u003d A ± C D.

Примери за собирање и одземање на дропки со променливи

Кога именителите се исти, треба само да ги соберете или одземете броителите. Оваа фракција може да се поедностави. Понекогаш треба да работите со дропки идентични еднакви, но на прв поглед ова е невидливо, бидејќи е неопходно да се извршат некои трансформации. На пример, x 2 3 x 1 3 + 1 и x 1 3 + 1 2 или 1 2 sin 2 α и sin a cos a. Најчесто, потребно е поедноставување на оригиналниот израз со цел да се видат истите именители.

Пример 6

Пресметај: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - xx + x - 2, 2) lg 2 x + 4 x (lgx + 2) + 4 lgxx (lgx + 2), x - 1 x - 1 + xx + 1.

Одлука

  1. За да пресметате, треба да одземете дропки што имаат ист именител. Тогаш се добива тоа x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 \u003d x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2. После тоа, можете да ги отворите заградите со намалување на слични термини. Добиваме дека x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 \u003d x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 \u003d x 2 + x - 4 x + x - 2
  2. Бидејќи именителите се исти, останува само да се додадат броителите, оставајќи го именителот: lg 2 x + 4 x (lgx + 2) + 4 lgxx (lgx + 2) \u003d lg 2 x + 4 + 4 x (lgx + 2)
    Додавањето беше завршено. Може да се види дека е можно да се намали фракцијата. Неговиот броител може да се преклопи според формулата на квадратот на збирот, тогаш ќе добиеме (l g x + 2) 2 од скратените формули за множење. Тогаш го добиваме тоа
    l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) \u003d (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) \u003d l g x + 2 x
  3. Дадени дропки од формата x - 1 x - 1 + x x + 1 со различни именители. По трансформацијата, можете да продолжите со додавање.

Размислете за двојно решение.

Првиот метод се состои во фактот дека именителот на првата дропка се распаѓа на фактори со употреба на квадрати, и со неговото последователно намалување. Добиваме дел од формата

x - 1 x - 1 \u003d x - 1 (x - 1) x + 1 \u003d 1 x + 1

Оттука, x - 1 x - 1 + x x + 1 \u003d 1 x + 1 + x x + 1 \u003d 1 + x x + 1.

Во овој случај, потребно е да се ослободиме од ирационалноста во именителот.

1 + x x + 1 \u003d 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 \u003d x - 1 + x x - x x - 1

Вториот начин е да се помножат броителот и именителот на втората дропка со изразот x - 1. Така, се ослободуваме од ирационалноста и преминуваме на додавање дропки во присуство на ист именител. Потоа

x - 1 x - 1 + xx + 1 \u003d x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 \u003d \u003d x - 1 x - 1 + x x - xx - 1 \u003d x - 1 + x x - xx - 1

Одговор: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - xx + x - 2 \u003d x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) lg 2 x + 4 x (lgx + 2) + 4 lxxx (Lgx + 2) \u003d lgx + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + xx + 1 \u003d x - 1 + x x - xx - 1.

Во последниот пример, откривме дека намалувањето во заеднички именител е неизбежно. Ова бара поедноставување на дропките. За собирање или одземање, секогаш треба да барате заеднички именител, кој изгледа како производ на именители со додавање на дополнителни фактори на броителите.

Пример 7

Пресметај ги вредностите на дропките: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin xx 5 ln (x + 1) (2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Одлука

  1. На именителот не се потребни комплицирани пресметки, затоа треба да го изберете нивниот производ од формата 3 x 7 + 2 2, потоа до првата дропка x 7 + 2 2 е избран за дополнителен фактор, а 3 за вториот. При множење, добиваме дел од формата x 3 + 1 x 7 + 2 2 \u003d x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 \u003d \u003d x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 \u003d x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
  2. Може да се види дека именителите се претставени како производ, што значи дека не се потребни дополнителни трансформации. Заеднички именител е производ од формата x 5 ln 2 x + 1 2 x - 4. Оттука x 4 е комплементарен фактор на првата дропка, и ln (x + 1) до втората. Потоа одземаме и го добиваме тоа:
    x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin xx 5 ln (x + 1) 2 x - 4 \u003d \u003d x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) \u003d \u003d x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) \u003d x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4 )
  3. Овој пример има смисла кога работиме со именители на дропки. Неопходно е да се применат формулите за разликата на квадратите и квадратот на збирот, бидејќи тие ќе овозможат да се оди во израз на формата 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Може да се види дека дропките се сведени на заеднички именител. Го добиваме тој cos x - x · cos x + x 2.

Тогаш го добиваме тоа

1 кос 2 х - х + 1 кос 2 х + 2 кос x x + x \u003d \u003d 1 кос x - x кос x + x + 1 кос x + x 2 \u003d \u003d кос x + x кос x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 \u003d \u003d кос x + x + кос x - x кос x - x кос x + x 2 \u003d 2 кос x кос x - x Кос x + x 2

Одговор:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 \u003d x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin xx 5 ln (x + 1) 2 x - 4 \u003d \u003d x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x \u003d 2 cos x cos x - x cos x + x 2.

Примери за множење на дропки со променливи

При множење на дропки, броителот се множи со броителот, а именителот со именителот. Тогаш може да се примени својството за намалување.

Пример 8

Помножете ги дропките x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 и 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Одлука

Треба да се направи множење. Го добиваме тоа

x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 грев (2 x - x) \u003d \u003d x - 2 x 3 x 2 1 3 X + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 грев (2 x - x)

Бројот 3 се пренесува на прво место за погодност на пресметките, и можете да ја намалите дропката за x 2, тогаш добиваме израз на формата

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 грев (2 x - x)

Одговор: x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 грев (2 x - x) \u003d 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 грев (2 x - x).

Поделба

Поделбата за дропки е слична на множењето, бидејќи првата дропка се множи со втората инверзна. Ако ја земеме на пример дропката x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 и поделиме со 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, тогаш ова може да се напише како

x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x), а потоа заменете со производ од формата x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 грев (2 x - x)

Експоненцијација

Да преминеме кон разгледување на дејства со општи фракции со зголемување на моќност. Ако има степен со природен експонент, тогаш дејството се смета за множење на истите дропки. Но, се препорачува да се користи општ пристап заснован на својствата на степени. Било какви изрази A и C, каде C не е идентично еднакво на нула, и кој било вистински r на ODZ за израз на формата A C r, точната е еднаквоста A C r \u003d A r C r. Резултатот е дел зголемен на моќност. На пример, размислете:

x 0,7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 \u003d \u003d x 0,7 - π ln 3 x - 2 - 5 2,5 x + 1 2, 5

Редоследот на дејства со дропки

Дејства на дропки се изведуваат според одредени правила. Во пракса, забележуваме дека изразот може да содржи неколку дропки или фракциони изрази. Тогаш е потребно да се извршат сите дејства по строг редослед: подигнете ја моќноста, размножете се, поделете, а потоа собирајте и одземете. Ако има загради, првото дејство се изведува во нив.

Пример 9

Проценете 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x.

Одлука

Бидејќи имаме ист именител, тогаш 1 - x cos x и 1 c o s x, но невозможно е да се одземе според правилото, прво се вршат дејствата во заградите, потоа множењето, а потоа и собирањето. Потоа, кога пресметуваме, го наоѓаме тоа

1 + 1 x \u003d 1 1 + 1 x \u003d x x + 1 x \u003d x + 1 x

Заменувајќи го изразот во оригиналниот, добиваме дека 1 - x cos x - 1 cos x x + 1 x. При множење на дропки имаме: 1 cos x x + 1 x \u003d x + 1 cos x x. Правејќи ги сите замени, добиваме 1 - x cos x - x + 1 cos x x. Сега треба да работите со дропки кои имаат различни именители. Добиваме:

x 1 - x кос x x - x + 1 кос x x \u003d x 1 - x - 1 + x кос x x \u003d \u003d x - x - x - 1 кос x x \u003d - x + 1 кос x x

Одговор: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x \u003d - x + 1 cos x x.

Ако забележите грешка во текстот, изберете ја и притиснете Ctrl + Enter

1º Цел број- ова се броеви што се користат за броење. Множеството на сите природни броеви се означува со N, односно N \u003d (1, 2, 3, ...).

Дропкае број кој се состои од неколку делови од еден. Обична дропкае број на формата, каде што природен број нпокажува на колку еднакви делови е поделена единицата и природниот број мпокажува колку такви еднакви делови се земени. Броеви ми нсоодветно се нарекуваат броители именителдропки.

Ако броителот е помал од именителот, тогаш се повикува обична дропка правилно; ако броителот е еднаков или поголем од именителот, тогаш се повикува дропката погрешно... Се нарекува број кој се состои од цели и дробни делови мешан број.

На пример,
- редовни обични фракции,
- неправилни обични дропки, 1 - мешан број.

2º. Кога извршувате дејства на обични фракции, запомнете ги следниве правила:

1) Основно својство на дропка... Ако броителот и именителот на дропката се помножат или поделат со истиот природен број, се добива дропка еднаква на дадената.

На пример, а)
; б)
.

Се нарекува поделба на броителот и именителот на дропката според нивниот заеднички делител, освен еден намалување на фракцијата.

2) За да го претставите измешаниот број како неправилна дропка, треба да го помножите целиот негов дел со именителот на дробниот дел и да го додадете броителот на дробниот дел на добиениот производ, да ја напишете добиената сума како броител на дропката и да го оставите именителот ист.

Слично на тоа, секој природен број може да се запише како неправилна дропка со кој било именител.

На пример, а)
, како
; б)
итн.

3) Да се \u200b\u200bнапише неточна дропка во формата мешан број (т.е. одберете го целиот дел од неточна дропка), треба да го поделите броителот со именителот, земете го количникот на поделбата како целиот дел, остатокот како броител, оставете го именителот исто.

На пример, а)
, од 200: 7 \u003d 28 (одмор. 4); б)
, од 20: 5 \u003d 4 (одмор 0).

4) За да ги намалите дропките до најнискиот заеднички именител, треба да пронајдете најмал заеднички множител (ЗКМ) од именителите на овие дропки (ова ќе биде нивниот најнизок заеднички именител), поделете го најмалиот заеднички именител со именителите на овие дропки (т.е. најдете дополнителни фактори за дропките) , помножете ги броителот и именителот на секоја дропка со неговиот дополнителен фактор.

На пример, даваме дропки
до најнискиот заеднички именител:

,
,
;

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

Оттука,
;
;
.

5) Правила за аритметички операции со обични дропки:

а) Собирање и одземање на дропки со ист именител се врши според правилото:

.

б) Собирање и одземање на дропки со различни именители се изведува според правилото а), откако претходно дропките се сведени на најмалиот заеднички именител.

в) Кога собирате и одземате мешани броеви, можете да ги претворите неправилни дропки, а потоа изврши дејства според правилата а) и б),

г) Кога множите дропки, користете го правилото:

.

д) За да се подели една дропка со друга, дивидендата мора да се помножи со реципроцитет на делителот:

.

ѓ) При множење и делење на мешани броеви, тие прво се претвораат во неправилни дропки, а потоа се користат правилата г) и д).

3º. Кога решавате примери за сите дејства со дропки, запомнете дека прво се вршат дејства во загради. И во заградите и надвор од нив, прво се вршат множење и делење, а потоа собирање и одземање.

Да го разгледаме спроведувањето на горенаведените правила користејќи пример.

Пример 1. Пресметај:
.

1)
;

2)
;

5)
... Одговор: 3.