Nuqta funktsiyasini o'rganish natijasida allaqachon uchta uzluksiz holatini tekshirish kerak, bu uchta uzluksiz holatni tekshirish kerak:

1-misol.

Uzluksizlik funktsiyasini o'rganing. Agar ular mavjud bo'lsa, funktsiya tanaffuslarining xususiyatini aniqlang. Rasmni bajaring.

Qaror:

1) Ko'rish funktsiya aniqlanmagan yagona nuqta.

Bir tomonlama cheklovlar cheklangan va teng.

Shunday qilib, funktsiya bir martalik bo'shliqni zarar ko'radi.

Ushbu funktsiyaning grafigi qanday ko'rinishga ega?

Men soddalashtirilgan bo'lishni xohlayman Va bu odatiy parabola kabi ko'rinadi. Lekin Dastlabki funktsiya nuqtada aniqlanmaydi, shuning uchun quyidagi buyurtmalar talab qilinadi:

Rasmni bajaring:

Javob: Funktsiya to'liq raqamli to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishda doimiy ravishda u bir martalik bo'shliq tomonidan tortib olinadigan nuqtadan tashqari.

Funktsiya yaxshilik bilan amalga oshirilishi mumkin yoki unchalik emas, lekin bu holatda bu talab qilinmaydi.

Siz biron bir misol deb aytasizmi? Arzimaydi. O'nlab marta amalda bajarildi. Saytning deyarli barcha vazifalari haqiqiy mustaqil va sinov asarlaridan kelib chiqadi.

Biz sizning sevimli modullaringiz bilan bo'ldik:

2-misol.

Funktsiyani o'rganing Uzluksiz uchun. Agar ular mavjud bo'lsa, funktsiya tanaffuslarining xususiyatini aniqlang. Rasmni bajaring.

Qaror: Ba'zi sabablarga ko'ra, talabalar qo'rqishadi va modul bilan ishlashni yoqtirmaydilar, garchi ularda murakkab narsa hech narsa emas. Biz allaqachon darsda ozgina qo'l tegizdik. Geometrik Geometr o'zgarishlari. Modul salbiy emasligi sababli, u quyidagicha aniqlanadi: qayerda "Alfa" ba'zi ifoda. Bunday holda, bizning funktsiyaimiz o'zgaruvchan tarzda imzolanishi kerak:

Ammo ikkala qismning fraktsiyalari kamayishi kerak. Qaytadan qisqartirish, avvalgi misolda bo'lgani kabi, oqibatsiz o'tmaydi. Dastlabki funktsiya nuqtada aniqlanmaydi, chunki denominator nolga qo'shadi. Shuning uchun, tizim qo'shimcha ravishda shartni o'z ichiga olishi kerak va birinchi tengsizlik qat'iy bo'lishi kerak:

Endi qarorning juda foydali qaroriga binoan.: Tekshirilishdan oldin, loyihadagi vazifa chizish uchun foyda keltiradi (shart yoki yo'qmi). Bu birinchi navbatda yordam beradi, uzluksizlik nuqtalari va bo'shliqni darhol ko'ring va ikkinchidan, 100% bir tomonlama chegarani topishda xatolardan qutqariladi.

Chizmani bajaring. Hisob-kitoblarimizga binoan, chap tomondan, parabola parabolalarini (ko'k) va o'ng tomonda - parabola (qizil) va funktsiyaning bir qismi aniqlanishi kerak:

Agar shubha bo'lsa, bir nechta "x" qiymatlarini oling, ularni funktsiyaga almashtiring (Moduli "minus" belgisini yo'q qiladi va jadvalni tekshirib turmasdan unutmasdan.

Biz uzluksizligi bo'yicha funktsiyani tekshiramiz:

1) Funktsiya nuqtada aniqlanmaydi, shuning uchun siz darhol u doimiy emas deb aytasiz.

2) Biz bo'shliqning mohiyatini o'rnating, chunki biz bir tomonlama cheklovni hisoblaymiz:

Bir tomonlama cheklovlar cheklangan va boshqacha, bu funktsiya 1-jinning bo'shlig'iga o'tishi bilan sakrash bilan bog'liq. E'tibor bering, bu muhim emas, funktsiya tanaffus nuqtasida yoki yo'qligini ta'kidlaydi.

Endi u chizmani qoralamadan siljitishning saqlanib qoladi (agar o'qishdan foydalanilgandek qilingan) va vazifani bajaring:

Javob: Funktsiya butun sonli to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishda doimiy bo'lib, u sakrashning birinchi turiga toqat qiladigan joydan tashqari.

Ba'zida siz qo'shimcha ravishda etishmovchilikni ajratish kerak. Hisoblangan hisoblanadi - o'ng chegaradan - chap cheklovdan voz kechish kerak: bu tanaffus nuqtasida, bizning vazifamiz 2 dyuymdan sakrab tushdi (biz "minus" belgisi bilan sakradi.

3-misol.

Funktsiyani o'rganing Uzluksiz uchun. Agar ular mavjud bo'lsa, funktsiya tanaffuslarining xususiyatini aniqlang. Durang qiling.

Bu dars oxirida namunaviy namunaviy echim, mustaqil echim uchun namuna.

Funktsiya uchta qismdan iborat bo'lganida, vazifaning eng mashhur va keng tarqalgan versiyasiga murojaat qilaylik:

4 misol.

Uzluksizlik funktsiyasini o'rganing va funktsiya grafikasini yarating

Qaror: Shubhasiz, funktsiyaning uch qismi tegishli vaqt oralig'ida doimiy ravishda doimiy ravishda doimiy ravishda doimiy bo'lib, disklar orasidagi atigi ikkita nuqtani tekshirishdir. Birinchidan, men loyihaning birinchi qismida ancha batafsil ma'lumot berdim, men ushbu maqolaning birinchi qismida batafsil ma'lumot beraman. Bitta, o'zgacha fikrlarimizni diqqat bilan kuzatib borish kerak: tengsizlik tufayli, qiymati to'g'ri chiziq (yashil nuqta) va tengsizlik tufayli, qiymat parabot (qizil nuqta) quyidagilarga tegishli:

Aslida, hamma narsa aniq \u003d) bu qaror qabul qilishdir. Ikkala "dumba" uchun 3 ta uzluksiz holatda:

Bir tomonlama cheklovlar cheklangan va boshqacha, bu funktsiya 1-jinning bo'shlig'iga o'tishi bilan sakrash bilan bog'liq.

O'ng va chap cheklovlar o'rtasidagi farqni farqlash:
, Ya'ni, jadval bir bo'linmaga yugurdi.

Ii) Uzluksizlik nuqtasini o'rganing

1) - Bu funktsiya bu vaqtda belgilanadi.

2) Biz bir tomonlama cheklovlarni topamiz:

- Bir tomonlama cheklovlar cheklangan va tengdir, bu umumiy chegara mavjudligini anglatadi.

Yakuniy bosqichda biz birinchi Chistikka o'yinni o'tkazamiz, shundan keyin biz oxirgi akkordni qo'ydik:

Javob: Funktsiya butun son to'g'ridan-to'g'ri to'g'ridan-to'g'ri, u sakrash bilan birinchi bo'shliqqa toqat qiladigan nuqtadan tashqari.

5-misol.

Uzluksizlikni o'rganing va jadvalini quring .

Bu dars oxirida mustaqil echim, qisqacha echim va vazifaning oxirida namunaviy namunasidir.

Bir joyda funktsiya doimiy bo'lishi kerak, degan taassurot bo'lishi mumkin, ikkinchisida - bo'shliq bo'lishi kerak. Amalda, bu har doim ham shunday emas. Qolgan misollarni e'tiborsiz qoldirmaslikka harakat qiling - bir nechta qiziqarli va muhim chiplar bo'ladi:

6-misol.

Dana xususiyati . Ballarda uzluksizlik funktsiyasini o'rganing. Diagramma qurish.

Qaror: Men yana qoralamada rasm chizaman:

Ushbu jadvalning o'ziga xos xususiyati shundaki, funktsiya funktsiyasi bilan, abksissa o'qining tenglamasi o'rnatiladi. Bu erda bu maydon yashil rangga ega va daftarchada u oddiy qalam bilan o'rnatiladi. Va, albatta, bizning qo'chqorimiz haqida unutmang: qiymat tangens filialiga (qizil nuqta) va qiymat chiziqqa tegishli.

O'rtoqlik bilan hamma narsa aniq - funktsiya butun sonli liniyada uzluksizdir, bu 3-4 ta misollardan keyin to'liq avtomatikaga olib keladigan echimini amalga oshiradi:

I) Uzluksizlik nuqtasini o'rganing

2) Bir tomonlama cheklovlarni hisoblang:

Shunday qilib, umumiy cheklov mavjud.

Bu erda bir oz taloq sodir bo'ldi. Gap shundaki, men juda ko'p materiallar yaratdim funktsiya doirasidaVa men bir necha marta kerak edi, lekin men bir necha bor bitta oddiy savolni unutib qo'ydim. Shunday qilib, aql bovar qilmaydigan harakatlar o'zini o'z fikrini yo'qotmaslikka olib keladi \u003d) Ehtimol, ba'zi o'quvchilar "de tsichi" deyiladi: doimiy chegarasi nima? Doimiy chegarani doimiy o'zi teng. Bunday holda, nol chegarasi nolga teng (chap tomoni chegarasi).

3) - Nuqtaning chegarasi ushbu funktsiyaning qiymatiga teng.

Shunday qilib, funktsiya funktsiyaning uzluksizligini aniqlash nuqtasida doimiydir.

Ii) Uzluksizlik nuqtasini o'rganing

1) - Funktsiya bu vaqtda aniqlanadi.

2) Biz bir tomonlama cheklovlarni topamiz:

Va bu erda, o'ng tomonning o'ng tomonida - jihozning chegarasi birligining o'ziga teng.

- Umumiy cheklov mavjud.

3) - Nuqtaning chegarasi ushbu funktsiyaning qiymatiga teng.

Shunday qilib, funktsiya funktsiyaning uzluksizligini aniqlash nuqtasida doimiydir.

Odatdagidek, tadqiqotdan keyin biz o'z rasmlarini tozastikga o'tkazamiz.

Javob: Funktsiya punktlarda uzluksiz.

E'tibor bering, bu holatda biz uzluksizlik funktsiyasini o'rganish haqida hech narsa so'ramaganligimiz va yaxshi matematik ohangni shakllantirish haqida hech narsa so'ramadik aniq va aniq So'roq qilingan savolga javob. Aytgancha, agar shart bo'yicha shart bo'yicha talab qilinmasa, unda siz buning to'liq huquqiga ega emas va qurmaslik (lekin o'qituvchi buni qilishga qodir).

Mustaqil echim uchun kichik matematik "tusli":

7 misol.

Dana xususiyati .

Ballarda uzluksizlik funktsiyasini o'rganing. Agar ular bo'lsa, bo'shliqlar nuqtalarini tasniflang. Rasmni bajaring.

Barcha "so'zlarni" qayta tinglashga harakat qiling "\u003d) va aniqroq aniqroq, aniqlikni oshirish jadvali juda ko'p bo'lmaydi ;-)

Esingizda bo'lsa, men zudlik bilan qoralama chizig'ini chizishni tavsiya qildim, ammo vaqti-vaqti bilan bunday misollar mavjud, bu erda jadval qanday ko'rinishini tushunmaysiz. Shuning uchun, ba'zi hollarda birinchi navbatda bir tomonlama cheklovlarni topish foydali va shundan keyingina, filiallar tasvirlangan. Ikkita yakuniy misolda, biz ham ba'zi bir tomonlama chegaralarni hisoblash texnikasini o'rganamiz:

8 misol.

Uzluksizlik funktsiyasini tekshirish va sxematik grafikani qurish.

Qaror: Yomon ballar aniq: (indikatorning zarbasini nolga tortadi) va (butun kranni nolga tenglashtiradi). Biroz, ushbu funktsiya jadvali kabi ko'rinadi va shuning uchun o'rganishni amalga oshirish yaxshiroqdir.

I)Uzluksizlik nuqtasini o'rganing

2) Biz bir tomonlama cheklovlarni topamiz:

e'tibor bering bir tomonlama cheklovni hisoblashning odatiy qabul qilinishi: "Iksa" o'rniga funktsiya biz o'rnini bosamiz. Denominatorda hech qanday jinoyat: "Qo'shimcha" "minus nol" rollari o'ynaydi va "to'rtta" olinmaydi. Ammo Rumeratorda kichkina triller bor: birinchi navbatda, biz -1 va 1 ni o'ldiramiz. Birlashgan "minus cheksizlik" ga tengdir, shuning uchun:. Va nihoyat, "ikki baravar" cheksiz salbiy darajada nolga teng:. Yoki ko'proq o'qing: .

O'ng qo'lni to'g'ri hisoblang:

Va bu erda - biz "Iksa" o'rniga zaxira qilamiz. "Qo'shimcha qo'shimch" da yana rollarni o'ynamaydi:. Raqamni asarlar chegarasiga o'xshash tarzda amalga oshiriladi: biz qarama-qarshi sonlarni yo'q qilamiz va jihozni ajratamiz :

To'g'ri chegaralar cheksiz, demak, funktsiya 2-turdagi bo'shliqning bo'shlig'ini buzadi.

Ii)Uzluksizlik nuqtasini o'rganing

1) Funktsiya bu vaqtda aniqlanmagan.

2) Chap tomonli chegarani hisoblang:

Usul bir xil: biz "Iksa" o'rniga vazifani almashtiramiz. Rumeratorda, hech qanday qiziqarli narsa - bu eng yaxshi ijobiy raqam. Andominatorda biz qavslarni ochib beramiz, biz "toka" ni olib tashlaymiz va hal qiluvchi rol "qo'shimcha".

Finalga ko'ra, yakuniy ijobiy raqamga bo'lingan cheksiz kichik musbat son, "plyus cheksizlik" beradi:.

Egizaning akasi singari o'ng tomonlama chegarasi, faqat denroinatorning suzishi istisno cheksiz kichik salbiy son:

Bir tomonlama cheklovlar cheksizdir, demak, funktsiya nuqtada 2-genning bo'shlig'iga zarar etkazadi.

Shunday qilib, bizda ikkita bo'shliq bor, shubhasiz, uchta tormoz novdasi bor. Har bir filial uchun joriy qurilishni amalga oshirish tavsiya etiladi, i.e. Bir nechta "x" qiymatlarini oling va ularni almashtiring. E'tibor bering, shart bo'yicha odatiy darajada qurishga ruxsat beriladi va bunday dam olish uchun tabiiydir. Men dastur yordamida grafikalarni quryapman, shuning uchun men bunday qiyinchiliklarga duch kelmayapman, bu erda juda aniq rasm:

To'g'ri vertikal asemptami Ushbu funktsiya grafikasi uchun.

Javob: Funktsiya to'liq raqamli to'g'ridan-to'g'ri doimiy bo'lib, u 2-turdagi tanaffuslarga toqat qilishdan tashqari.

O'z-o'zini hal qilish uchun yanada sodda xususiyat:

9-misol.

Uzluksizlik funktsiyasini tekshiring va sxematik rasmni bajaring.

Tugaydigan oxirida namunali namunaviy echim.

Ko'rishguncha!

Yechimlar va javoblar:

3-misol:Qaror : Biz funktsiyani o'zgartiramiz: . Modulning oshkor qilish qoidasini hisobga olgan holda va haqiqat , Funktsiyani biron bir shaklda qayta yozing:

Biz uzluksiz ishlash funktsiyasini tekshiramiz.

1) funktsiya nuqtada aniqlanmagan .

Bir tomonlama cheklovlar cheklangan va boshqacha, bu funktsiya 1-jinning bo'shlig'ini nuqta sakrash bilan bir vaqtda urishadi . Rasmni bajaring:

Javob: Funktsiya barcha raqamli to'g'ridan-to'g'ri joydan tashqari uzluksiz U sakrash bilan birinchi bo'shliqning birinchi turiga toqat qiladi. Gap sakrashi: (Ikkita birlik yuqoriga).

5-misol:Qaror : Funktsiyaning uchta qismining har biri o'z davrida uzluksizdir.
I)
1)

2) Bir tomonlama cheklovlarni hisoblang:

Shunday qilib, umumiy cheklov mavjud.
3) - Nuqtaning chegarasi ushbu funktsiyaning qiymatiga teng.
Shunday qilib, funktsiya Nuqtada uzluksiz Funktsiyaning uzluksizligini aniqlash orqali.
Ii) Uzluksizlik nuqtasini o'rganing

1) - Bu funktsiya bu vaqtda belgilanadi. Funktsiya 2-turdagi bo'shliqni toqat qiladi

Funktsiyani aniqlash sohasini qanday topish mumkin?

Solutionlarga misollar

Agar biron bir joyda biron bir narsa bo'lmasa, unda biron bir narsa bor

Biz "funktsiyalar va jadvallar" bo'limini va safarning keyingi stantsiyasini o'rganishda davom etamiz - Funktsiya ta'rifi maydoni. Ushbu kontseptsiyani faol muhokama qilish birinchi darsda boshlandi vazifalar grafikasi haqidaQayerda men boshlang'ich funktsiyalarga qaraganman, xususan, ularning ta'rifi sohasiga qaradim. Shuning uchun men choynak bilan choynakni boshlashni tavsiya qilaman, chunki men yana bir nechta asosiy daqiqalarda to'xtamayman.

Bu taxmin qilinadi, o'quvchi asosiy funktsiyalarni aniqlash bo'yicha: chiziqli, kvadratmatik, kubik funktsiya, polinomlar, eksponensial, logarom, sinus, kosine. Ular aniqlanadi. Tangentlar uchun arcsinuslar, shuning uchun yaxshilang, yaxshilang

Ta'rif maydoni - bu oddiy narsa bo'lib tuyuladi va tabiiy savol tug'iladi, maqola nima bo'ladi? Ushbu darsda men dala ta'rifini aniqlash uchun umumiy vazifalarni ko'rib chiqaman. Bundan tashqari, biz takrorlaymiz bir o'zgaruvchan tengsizlikOliy matematikaning boshqa vazifalarida kimning echimi talab etiladi. Aytgancha, butun maktab, shuning uchun bu nafaqat talabalar, balki talabalar ham foydalidir. Albatta, ma'lumot, albatta, entsiklopediyani ko'rsatmaydi, ammo bu erda "o'lik" misollar, ammo bu amaliy ishlardan olingan qovurilgan kashtan.

Mavzuni yopib qo'yamiz. Asosiy narsa haqida qisqacha: biz bitta o'zgaruvchining vazifasi haqida gapiramiz. Uning ta'rifi maydoni ko'p "x" qadriyatlariqaysi mavjud bo'lmoq "IGAREKOV" qadriyatlari. Shartli misolni ko'rib chiqing:

Ushbu funktsiyaning ta'rif maydoni - bu bo'shliqlarning kesishishi:
(Unutganlar uchun: - birlashma ikonka). Boshqacha aytganda, agar siz intervaldagi "x" ning biron bir ma'nosini olsangiz yoki undan tashqarida bo'lsa, unda "X" "X" uchun "gigr" ning ma'nosi mavjud bo'ladi.

Taxminan aytganda, ta'rif maydoni mavjud bo'lgan joyning funktsiyasi jadvali mavjud. Ammo yarim interval va "CE" nuqtai nazaridan aniqlanmagan, shuning uchun u erda grafikalar yo'q.

Ha, yo'l bilan, agar biron bir narsa terminologiyasidan va / yoki birinchi paragraflarning mazmuni aniq bo'lmasa, maqolaga qaytish yaxshidir Boshlang'ich funktsiyalarning jadvallari va xususiyatlari.

Uzluksizlik funktsiyasi. Yorilish nuqtasi.

Buqa, suzish, borar joyida xo'rsinadi:
- Oh, taxta tugaydi, endi men yiqilaman!

Ushbu darsda biz funktsiyaning uzluksizligi, taftish nuqtalarining tasnifi va keng tarqalgan amaliy vazifani tahlil qilamiz davolashning davomi uzluksizligi uchun. Mavzuning juda nomidan, qancha sarflanadigan narsani sezilarli ravishda amalga oshiradilar va material juda oddiy deb o'ylashadi. Bu to'g'ri. Ammo bu aniq oddiy vazifalar, ko'pincha ularni hal qilish uchun yuzaki yondashuv va ularni hal qilish uchun yuzaki yondashuv. Shuning uchun men maqolani juda ehtiyotkorlik bilan o'rganishni va barcha noziklik va texnik usullarni ushlashni maslahat beraman.

Siz nimani bilishingiz va qila olasiz?Haqiqatan ham juda ko'p emas. Yuqori sifatli o'quv mashg'ulotlari uchun nima ekanligini tushunish kerak funktsiya chegarasi. Kam tayyorlash o'quvchilari maqolani tushunish uchun etarli Funktsiyalar chegaralari. Solutionlarga misollar va usullardagi chegaraning geometrik ma'nosiga qarang Boshlang'ich funktsiyalarning jadvallari va xususiyatlari. Bundan tashqari, tanishish tavsiya etiladi geometrik Geometr o'zgarishlariAmaliyot ko'p hollarda chizishni qurishni o'z ichiga oladi. Istiqbollar hamma uchun optimistdir va hatto to'liq choynak, keyingi soatda vazifani mustaqil ravishda engishga qodir emas - boshqasi!

Uzluksizlik funktsiyasi. Rippalar va ularning tasnifi

Uzluksizlik funktsiyasi tushunchasi

Ba'zi funktsiyani ko'rib chiqing, to'liq raqamli chiziqda doimiy ravishda:

Yoki ko'proq qiziq gapirish, bizning funktsiyamiz doimiy ravishda davom etmoqda (ko'p sonli).

"Filistlar" uzluksizligi mezoni nima? Shubhasiz, uzluksiz funktsiya jadvalini qog'ozdan qalam olmasdan chizish mumkin.

Shu bilan birga, ikkita oddiy tushuncha aniq ajratilishi kerak: funktsiya ta'rifi maydoni va uzluksizlik funktsiyasi. Umuman bu bir xil emas. Masalan:

Ushbu funktsiya butun raqamli liniyada aniqlanadi, ya'ni har bir "X" ma'nosi uning "o'yinlar" ning ma'nosi mavjud. Xususan, agar, agar bo'lsa. E'tibor bering, aholining boshqa nuqtasi, chunki funktsiyani aniqlash orqali argumentning qiymati mos kelishi kerak yagona narsa Funktsiyaning qiymati. Shunday qilib, domen Bizning vazifamiz :.

ammo ushbu xususiyat uzluksiz emas! Shubhasiz, u nuqtaga toqat qiladi sindirish. Ushbu atama juda aniq tushunarli va tashrif buyurishga, haqiqatan ham qalamni kimdir qog'ozni yirtib tashlashi kerak. Birozdan keyin biz tafalplarning tasnifini ko'rib chiqamiz.

Funktsiyaning uzluksizligi nuqtasi va intervalda

Muayyan matematik muammoda biz funktsiyaning uzluksizligi, funktsiyaning uzluksizligi, yarim oraliq yoki segmentdagi funktsiyaning uzluksizligi to'g'risida gaplashishimiz mumkin. Ya'ni, "Doimiy uzluksizlik" yo'q - Funktsiya biron bir joyda doimiy bo'lishi mumkin. Va qolgan hamma narsaning asosiy "g'isht" uzluksizlik funktsiyasi nuqtada .

Matematik tahlil nazariyasi delta va atrof-muhitning epsilon yordamida funktsional uzilishni aniqlaydi, ammo amalda, biz diqqat bilan qaraymiz.

Avval eslab qoling bir tomonlama chegaralarbirinchi darsda bizning hayotimizga kiradigan vazifalar grafikasi haqida. Bir haftalik vaziyatni ko'rib chiqing:

Agar siz o'qni nuqtaga yaqinlashsangiz chapda (Qizil o'q), keyin "IGAREK" ning tegishli qadriyatlari o'qdan (malina o'qi) boradi. Matematik jihatdan, bu fakt bilan tuzatiladi chap tomonli chegaralar:

Kirishga e'tibor bering (chap tomonda). "Qo'shimcha" "minus nol" ramzi Aslida, bu biz chap tomondan yaqinlashayotganimizni anglatadi.

Xuddi shunday, agar "ka" nuqtai nazariga yaqinlashsa o'ngda (ko'k o'q), keyin "ateşleme" bir xil ma'noga keladi, ammo yashil o'qda allaqachon va o'ng tomonlama chegarasi quyidagicha bo'ladi:

"Qo'shimcha" ramzi Yozish quyidagicha o'qiladi: "X to'g'ri tomonga intilmoqda".

Agar bir tomonlama cheklovlar cheklangan bo'lsa va teng bo'lsa (Bizning holatlarimiz kabi): , Biz umumiy chegara bor deymiz. Hammasi oddiy, umumiy chegaramiz - bu bizning "odatiy" funktsiya chegarasicheklangan raqamga teng.

E'tibor bering, agar funktsiya aniqlanmagan bo'lsa (SHART filialiga qora nuqtani to'ldiring), so'ngra ro'yxatlangan hisob-kitoblar yaroqsiz. Bir necha bor ta'kidlaganidek, ayniqsa maqolada cheksiz kichik funktsiyalar haqida, iboralar shuni anglatadiki, "x" cheksiz yaqin bir vaqtning o'zida nuqtaga yaqinlashadi AHAMIYATI YO'QFunktsiyaning o'zi bu nuqtada aniqlanadi yoki yo'q. Yaxshi misol, funktsiya tahlil qilinayotganda keyingi paragrafda bajariladi.

Ta'rif: Agar ushbu nuqtada funktsiyaning chegarasi ushbu nuqta qiymatiga teng bo'lsa, funktsiya uzluksizdir:.

Ta'rif quyidagi shartlarda batafsil bayon qilingan:

1) Funktsiya nuqtada aniqlanishi kerak, ya'ni qiymati bo'lishi kerak.

2) funktsiyaning umumiy chegarasi bo'lishi kerak. Yuqorida aytib o'tilganidek, u bir tomonlama cheklanishning mavjudligini va tengligini anglatadi: .

3) Ushbu nuqtadagi funktsiya chegarasi ushbu nuqtadagi funktsiya qiymatiga teng bo'lishi kerak:.

Agar buzilgan bo'lsa kamida bitta Uch shartdan so'ng, funktsiya nuqtada uzluksiz mulkni yo'qotadi.

Vaqt oralig'ida uzviylik funktsiyasi Vikipediya va juda sodda shakllantiring: funktsiya ushbu intervalning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa, vaqt oralig'ida doimiydir.

Xususan, ko'plab funktsiyalar cheksiz vaqt oralig'ida, ya'ni turli xil raqamlarda doimiy ravishda doimiydir. Bu chiziqli funktsiya, polinom, eksponent, sinus, kosin va boshqalar. boshlang'ich funktsiyasi Meniki uchun uzluksiz ta'rif joylariMasalan, logarifmik funksiya oraliqda doimiy. Ushbu lahzada, asosiy funktsiyalarning grafikasi qanday ko'rinishga ega bo'lishiga umid qilaman. Ularning uzluksizligi to'g'risida ko'proq ma'lumot olish uchun siz yaxshi odamdan fixendts nomidan o'rganishingiz mumkin.

Segment va yarim interval funktsiyasining uzluksizligi bilan hamma narsa oddiy, ammo darsda aytib berish yanada mos keladi segmentdagi funktsiyaning minimal va maksimal qiymatlarini topish haqida, Bu orada biz boshingizni bolg'a emasmiz.

Rishma punktlarining tasnifi

Funktsiyalarning ajoyib hayoti har xil maxsus ballarga boy va bo'sh joylar ularning tarjimai holining sahifalaridan biridir.

Eslatma : Faqatgina boshlang'ich daqiqaga e'tibor qaratsam: GAP nuqtasi har doim ajratilgan nuqta - "Bir qatorda bir nechta ochkolar", ya'ni "sindirish oralig'i" kabi narsa yo'q.

Bu fikrlar ikki katta guruhga bo'linadi: birinchi turdagi bo'shliqlar va ikkinchi turdagi rales. Yorilishning har bir turi biz hoziroq ko'rinadigan o'ziga xos xususiyatlarga ega:

Birinchi rangli buzilish nuqtasi

Agar uzluksiz holat nuqtasida buzilsa va bir tomonlama chegaralar nozik Keyin u chaqiriladi birinchi turni buzish nuqtasi.

Keling, eng optimistik ish bilan boshlaymiz. Darsning boshlang'ich g'oyasida men "umumiy shaklda" nazariyasiga aytmoqchi edim, ammo materialning asl mohiyatini namoyish etish uchun men o'ziga xos ishtirokchilar bilan harakat qildim.

Yangi turmush qurganlarning fotosurati abadiy alanga kelib, keyingi ramka odatda qabul qilinadi. Rasmlar jadvaliidagi rasmlar:

Ushbu funktsiya butun son to'g'ridan-to'g'ri to'g'ridan-to'g'ri doimiy ravishda doimiydir, faqat nuqtadan tashqari. Va aslida, denominator nolga teng bo'lmaydi. Biroq, chegaraning ma'nosiga muvofiq - biz qila olamiz cheksiz yaqin "Nol" va o'ngda, ya'ni bir tomonlama cheklovlar mavjud va aniq, aniq tarzda murojaat qiling:
(Uzluksizlikning 2 holati tugallandi).

Ammo funktsiya nuqtada aniqlanmaydi, shuning uchun uzluksizlikning 1 holati buzilgan va funktsiya shu vaqtda tortilmoqda.

Bunday turni buzish (mavjud bo'lgan holda) umumiy chegara) Qo'ng'iroq bir marta ishlatiladigan yorilish. Nega barbod bo'lmasin? Chunki funktsiya mumkin betaraf Tanaffusda:

G'alati ko'rinadimi? Balki. Ammo bu funktsiyaning bunday yozuvi hech narsaga zid emas! Endi bo'shliq yo'q qilinadi va hamma baxtli:

Rasmiy chekni bajaring:

2) - umumiy cheklov mavjud;
3)

Shunday qilib, uchala shartli barcha shartlar amalga oshiriladi va funktsiya funktsiyaning uzluksizligini aniqlash uchun doimiy ravishda doimiydir.

Biroq, Matana nafratchilari funktsiyaga yomon yo'l bilan ta'sir qilishi mumkin, masalan, :

Bu erda birinchi ikkita uzluksiz vaziyat amalga oshirilgani qiziq
1) - funktsiya shu vaqtda belgilanadi;
2) - Umumiy cheklov mavjud.

Ammo uchinchi chegara sayohat qilmaydi: nuqtada cheklash funktsiyasi mavjud teng emas Bu funktsiyaning qiymati shu nuqtada.

Shunday qilib, funktsiya tanaffusga duchor bo'ladi.

Ikkinchidan, qayg'uli ish deb nomlangan rIP birinchi tur sakrash bilan. Va qayg'u bir tomonlama chegarani olib tashlaydi cheklangan va boshqacha. Misol darsning ikkinchi sovrin chizig'ida tasvirlangan. Bunday tafovut, qoida tariqasida, belgilangan funktsiyalargaular allaqachon maqolada aytib o'tilgan grafik o'zgarishlar bo'yicha.

Pie funktsiyasini ko'rib chiqing Va uning rasmini ijro eting. Grafikani qanday qurish kerak? Juda onson. Yarim intervalda (yashil), intervalda (qizil) va yarim intervalda - to'g'ridan-to'g'ri (ko'k rang).

Shu bilan birga, qiymat kvadrat funktsiya (yashil nuqta) uchun belgilanadi va tengsizlik tufayli qiymat chiziqli funktsiya (ko'k nuqta) uchun belgilanadi:

Qiyin holatda, ish har bir grafikaning hozirgi qurilishiga murojaat qilish kerak (avval ko'ring) funktsiyalar grafikasida dars).

Endi biz faqat nuqtaga qiziqamiz. Uni uzluksiz deb o'rganing:

2) bir tomonlama chegaralarni hisoblash.

Chapda bizda qizil kesilgan chiziq bor, shuning uchun chap tomoni chegarasi:

O'ng - ko'k tekis va o'ng tomonga yo'naltirilgan chegarasi:

Natijada olingan yakuniy raqamlarva ular teng emas. Bir tomonlama cheklovlar cheklangan va boshqacha: , keyin bizning vazifamizga bardoshli sakrash bilan birinchi turdagi bo'shliq.

Gap yo'qolmaganligi mantiqiydir - Funktsiya haqiqatan ham buni amalga oshirishi va oldingi misolda bo'lgani kabi "elim emas".

Ikkinchi eng yaxshi tanaffus ballari

Odatda, ayyorlikning ushbu toifasi barcha yorilish holatlarini o'z ichiga oladi. Men hamma narsani ro'yxatga olmadim, chunki amalda amalda 99% ni tashkil qiladi, vazifalar foizi sizga mos keladi cheksiz tanaffus - Chap tomonga yoki o'ng tomonga va tez-tez, ikkala cheklovlar cheksizdir.

Va, albatta, eng mos rasm - nol nuqtasida giperbola. Bu erda ikkala bir tomonlama chegarasi cheksiz: Shuning uchun funktsiya nuqtada ikkinchi navli bo'shliqni toqat qiladi.

Men o'z maqolalarimni eng xilma-xillik bilan to'ldirishga harakat qilaman, shuning uchun hali uchrashmagan funktsiya jadvalini ko'rib chiqaylik:

Standart sxema bo'yicha:

1) Bu ishda funktsiya aniqlanmaydi, chunki denroinator nolga to'g'ri keladi.

Albatta, siz funktsiya bo'shliqni buzadi, ammo ko'pincha shart bo'yicha talab qilinadigan bo'shliqning mohiyatini tasniflash yaxshi bo'lar edi. Buning uchun:

Sizga shuni eslatib o'tamanki, bu tushuniladi cheksiz kichik salbiy sonva rekord ostida - cheksiz kichik musbat son.

Bir tomonlama cheklovlar cheksizdir, demak, funktsiya nuqtada 2-genning bo'shlig'iga zarar etkazadi. Maqsad o'qi vertikal Assambota Jadval uchun.

Vaziyat kam uchraydigan cheklovlar mavjud bo'lsa, faqat bittasi cheksiz, masalan:

Bu funktsiyaning grafi.

Uzluksizlik nuqtasini o'rganing:

1) Funktsiya bu vaqtda aniqlanmagan.

2) Bir tomonlama cheklovlarni hisoblang:

Biz ma'ruzadagi so'nggi ikkita misolda bunday limitlarni hisoblash usuli haqida gaplashamiz, ammo ko'plab o'quvchilar allaqachon ko'rgan va taxmin qilgan.

Chap tomonli chegara cheklangan va nolga teng (biz "bormaymiz", ammo o'ng tomonlama chegarasi cheksiz va grafikning to'q sariq shoxi cheksiz vertikal asemptotenglama bilan belgilanadi (qora nuqta).

Shunday qilib, funktsiyaga toqat qiladi ikkinchi turdagi bo'shliq Nuqtada.

1-naslning bo'shlig'iga kelsak, tanaffus nuqtasida funktsiya aniqlanishi mumkin. Masalan, bir parcha funktsiya uchun Jasorat bilan koordinatlarning boshida qora jasur nuqta qo'ying. O'ng tomonda - giperolbollar va o'ng tomonga yo'naltirilgan chegara cheksiz. O'ylaymanki, deyarli barchasi ushbu jadvalga qanday ko'rinishini taqdim etdi.

Hamma nimani kutayotgan edi:

Uzluksizlik funktsiyasini qanday tekshirish kerak?

Nuqta funktsiyasini o'rganish natijasida allaqachon uchta uzluksiz holatini tekshirish kerak, bu uchta uzluksiz holatni tekshirish kerak:

1-misol.

Funktsiyani o'rganing

Qaror:

1) Ko'rish funktsiya aniqlanmagan yagona nuqta.

2) Bir tomonlama cheklovlarni hisoblang:

Bir tomonlama cheklovlar cheklangan va teng.

Shunday qilib, funktsiya bir martalik bo'shliqni zarar ko'radi.

Ushbu funktsiyaning grafigi qanday ko'rinishga ega?

Men soddalashtirilgan bo'lishni xohlayman Va bu odatiy parabola kabi ko'rinadi. Lekin Dastlabki funktsiya nuqtada aniqlanmaydi, shuning uchun quyidagi buyurtmalar talab qilinadi:

Rasmni bajaring:

Javob: Funktsiya to'liq raqamli to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishda doimiy ravishda u bir martalik bo'shliq tomonidan tortib olinadigan nuqtadan tashqari.

Funktsiya yaxshilik bilan amalga oshirilishi mumkin yoki unchalik emas, lekin bu holatda bu talab qilinmaydi.

Siz biron bir misol deb aytasizmi? Arzimaydi. O'nlab marta amalda bajarildi. Saytning deyarli barcha vazifalari haqiqiy mustaqil va sinov asarlaridan kelib chiqadi.

Biz sizning sevimli modullaringiz bilan bo'ldik:

2-misol.

Funktsiyani o'rganing Uzluksiz uchun. Agar ular mavjud bo'lsa, funktsiya tanaffuslarining xususiyatini aniqlang. Rasmni bajaring.

Biz uzluksizligi bo'yicha funktsiyani tekshiramiz:

1) Funktsiya nuqtada aniqlanmaydi, shuning uchun siz darhol u doimiy emas deb aytasiz.

2) Biz bo'shliqning mohiyatini o'rnating, chunki biz bir tomonlama cheklovni hisoblaymiz:

Bir tomonlama cheklovlar cheklangan va boshqacha, bu funktsiya 1-jinning bo'shlig'iga o'tishi bilan sakrash bilan bog'liq. Yana bir bor e'tibor bering, agar siz chegaralarni topsangiz, bu muhim emas, funktsiya tanaffus nuqtasida yoki bo'lmasligida aniqlanadi.

Endi u chizmani qoralamadan siljitishning saqlanib qoladi (agar o'qishdan foydalanilgandek qilingan) va vazifani bajaring:

Javob: Funktsiya butun sonli to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishda doimiy bo'lib, u sakrashning birinchi turiga toqat qiladigan joydan tashqari.

3-misol.

Funktsiyani o'rganing Uzluksiz uchun. Agar ular mavjud bo'lsa, funktsiya tanaffuslarining xususiyatini aniqlang. Durang qiling.

Bu dars oxirida namunaviy namunaviy echim, mustaqil echim uchun namuna.

Funktsiya uchta qismdan iborat bo'lganida, vazifaning eng mashhur va keng tarqalgan versiyasiga murojaat qilaylik:

4 misol.

Uzluksizlik funktsiyasini o'rganing va funktsiya grafikasini yarating .

I) Uzluksizlik nuqtasini o'rganing

Bir tomonlama cheklovlar cheklangan va boshqacha, bu funktsiya 1-jinning bo'shlig'iga o'tishi bilan sakrash bilan bog'liq.

O'ng va chap cheklovlar o'rtasidagi farqni farqlash:
, Ya'ni, jadval bir bo'linmaga yugurdi.

Ii) Uzluksizlik nuqtasini o'rganing

1) - Bu funktsiya bu vaqtda belgilanadi.

2) Biz bir tomonlama cheklovlarni topamiz:

- Bir tomonlama cheklovlar cheklangan va tengdir, bu umumiy chegara mavjudligini anglatadi.

3) - Nuqtaning chegarasi ushbu funktsiyaning qiymatiga teng.

Yakuniy bosqichda biz birinchi Chistikka o'yinni o'tkazamiz, shundan keyin biz oxirgi akkordni qo'ydik:

Javob: Funktsiya butun son to'g'ridan-to'g'ri to'g'ridan-to'g'ri, u sakrash bilan birinchi bo'shliqqa toqat qiladigan nuqtadan tashqari.

5-misol.

Uzluksizlikni o'rganing va jadvalini quring .

Bu dars oxirida mustaqil echim, qisqacha echim va vazifaning oxirida namunaviy namunasidir.

6-misol.

Dana xususiyati . Ballarda uzluksizlik funktsiyasini o'rganing. Diagramma qurish.

Qaror: Men yana qoralamada rasm chizaman:

O'rtoqlikdan, hamma narsa aniq - funktsiya butun son to'g'ridan-to'g'ri, 3-4 o'xshash misollardan keyin to'liq avtomatizmga olib keladigan echim qilish kerak:

I) Uzluksizlik nuqtasini o'rganing

1) - Funktsiya bu vaqtda aniqlanadi.

2) Bir tomonlama cheklovlarni hisoblang:

Shunday qilib, umumiy cheklov mavjud.

Arzimas fakt sizga biron bir o't o'chiruvchini eslatadi: doimiy chegarasi doimiy o'zini o'zi teng. Bunday holda, nol chegarasi nolga teng (chap tomoni chegarasi).

3) - Nuqtaning chegarasi ushbu funktsiyaning qiymatiga teng.

Shunday qilib, funktsiya funktsiyaning uzluksizligini aniqlash nuqtasida doimiydir.

Ii) Uzluksizlik nuqtasini o'rganing

1) - Funktsiya bu vaqtda aniqlanadi.

2) Biz bir tomonlama cheklovlarni topamiz:

Va bu erda - birlik chegarasi birlikning o'zi tengdir.

- Umumiy cheklov mavjud.

3) - Nuqtaning chegarasi ushbu funktsiyaning qiymatiga teng.

Shunday qilib, funktsiya funktsiyaning uzluksizligini aniqlash nuqtasida doimiydir.

Odatdagidek, tadqiqotdan keyin biz o'z rasmlarini tozastikga o'tkazamiz.

Javob: Funktsiya punktlarda uzluksiz.

Mustaqil echim uchun kichik matematik "tusli":

7 misol.

Dana xususiyati . Ballarda uzluksizlik funktsiyasini o'rganing. Agar ular bo'lsa, bo'shliqlar nuqtalarini tasniflang. Rasmni bajaring.

Barcha "so'zlarni" qayta tinglashga harakat qiling "\u003d) va aniqroq aniqroq, aniqlikni oshirish jadvali juda ko'p bo'lmaydi ;-)

8 misol.

Uzluksizlik funktsiyasini tekshirish va sxematik grafikani qurish.

Qaror: Yomon ballar aniq: (indikatorning zarbasini nolga tortadi) va (butun kranni nolga tenglashtiradi). Ushbu funktsiyaning jadvali qanday ko'rinishga ega, shuning uchun o'rganishni amalga oshirish yaxshiroqdir.

Funktsiyaning uzluksizligini aniqlash. Hone, Kauchy va o'sish nuqtai nazaridan ekvivalent ta'riflarini ko'rib chiqing. Segmentsiyada bir tomonlama uzluksizlikni aniqlash. Uzluksiz etishmay qolish. Misollar demontajga ega bo'lib, uning funktsiyaning uzluksizligini anglatishi, HAR va Kauchy ta'riflaridan foydalangan holda.

Tarkib

Shuningdek qarang: Funktsiyalar chegarasi - ta'riflar, teoremalar va xususiyatlar

Nuqtasida uzviylik

Nuqtada uzluksizlik funktsiyasini aniqlash
F funktsiyasi (x) chaqqon x nuqtasida uzluksiz 0 UMERA USA (X 0) bu nuqta, agar x ni x ga intilsa 0 Xdagi funktsiya qiymatiga teng va teng 0 :
.

Bu x ni anglatadi 0 - Bu yakuniy nuqta. Undagi funktsiyaning qiymati faqat chekit raqami bo'lishi mumkin.

O'ngdagi uzluksizlikni aniqlash (chapda)
F funktsiyasi (x) chaqqon x nuqtasida o'ngda doimiy (chapda) 0 Agar u shu nuqtada biron bir o'ng tomonda (chap tomoni) qo'shnisi bo'lsa, agar (chapda) x nuqtada bo'lsa 0 x funktsiyasining qiymatiga teng 0 :
.

Misollar

1-misol.

HAMMA X uchun doimiy ekanligini isbotlash uchun Ovin va Cauchy ta'riflaridan foydalanish.

O'zboshimchalik bilan raqam bo'lsin. Belgilangan funktsiya nuqtada doimiy ekanligini isbotlaymiz. Funktsiya barcha x uchun aniqlanadi. Shuning uchun u biron bir joyda va har qanday mahallada aniqlanadi.

Biz har doim barmoqning ta'rifidan foydalanamiz

Biz foydalanamiz. O'zboshimchalik bilan ketma-ket bo'lsin:. Bizda ketma-ket ketma-ketlik xususiyatidan foydalanish:
.
O'shanda o'zboshimchalik bilan ketma-ketligi mavjudligi sababli
.
Uzluksizlik isbotlandi.

Biz Cauchy ta'rifidan foydalanamiz

Biz foydalanamiz.
Ishni ko'rib chiqing. Biz biron bir nozirning har qanday mahallasidagi funktsiyani ko'rib chiqish huquqiga egamiz. Shuning uchun biz buni taxmin qilamiz
(P1.1) .

Formulani qo'llang:
.
(P1.1) ni hisobga olgan holda, biz baholaymiz:

;
(P1.2) .

Qo'llash (p1.2), biz farqning mutlaq qiymatini taxmin qilamiz:
;
(P1.3) .
.
Tengsizlik xususiyatlariga ko'ra, agar u (P1.3) bo'lsa, agar va agar bo'lsa.

Endi fikrni ko'rib chiqing. Ushbu holatda
.
.

.
Bu funktsiya nuqtada doimiy ekanligini anglatadi.

Xuddi shu tarzda, n tabiiy sonning butun haqiqiy o'qida doimiy bo'lgan funktsiya ekanligini isbotlash mumkin.

2-misol.

Funktsiya hamma uchun doimiy ekanligini isbotlash uchun foydalanish.

Belgilangan funktsiya belgilanadi. Biz bu nuqtada doimiy ekanligini isbotlaymiz.

Ishni ko'rib chiqing.
Biz biron bir nozirning har qanday mahallasidagi funktsiyani ko'rib chiqish huquqiga egamiz. Shuning uchun biz buni taxmin qilamiz
(P2.1) .

Formulani qo'llang:
(P2.2) .
Qo'yish. Keyin
.

(P2.1) ni hisobga olgan holda, biz baholaymiz:

.
Shunday qilib,
.

Ushbu tengsizlikni qo'llash va (p2.2) dan foydalanish (p2.2), biz farqni taxmin qilamiz:

.
Shunday qilib,
(P2.3) .

Biz ijobiy raqamlarni joriy etamiz va munosabatlar bilan bog'laymiz:
.
Tengsizlik xususiyatlariga ko'ra, agar bajarilgan bo'lsa (P2.3), agar va agar bo'lsa.

Bu shuni anglatadiki, har qanday ijobiy tomonga. Keyin x barcha uchun qoniqarli tengsizlik, tengsizlik avtomatik ravishda bajariladi:
.
Bu funktsiya nuqtada doimiy ekanligini anglatadi.

Endi fikrni ko'rib chiqing. Ushbu funktsiyani o'ng tomonda uzluksiz ekanligini ko'rsatishimiz kerak. Ushbu holatda
.
Biz ijobiy raqamlarni joriy qilamiz va:
.

Buni har qanday ijobiy tomonga har doim ham ko'rish mumkin. Keyin barcha x uchun, bunday, tengsizlik amalga oshiriladi:
.
Bu shuni anglatadiki. Ya'ni funktsiya nuqtada uzluksiz.

Shunga o'xshab, uni n tabiiy son, qachon uzluksiz funktsiya qilinishini isbotlash mumkin.

Adabiyotlar:
O.I. Jinlar. Matematik tahlil bo'yicha ma'ruzalar. 1. Moskva, 2004 yil.
Ld Kudryavtsev. Matematik tahlil kursi. 1. Moskva, 2003 yil.
SM. Nikolskiy. Matematik tahlil kursi. 1. Moskva, 1983 yil.

Shuningdek qarang:

Ushbu maqola doimiy raqamli funktsiya haqida. Matematikaning turli qatlamlarida doimiy xaritalar uchun doimiy displeyga qarang.

Uzluksiz funktsiya - "sakrash" funktsiyasi, ya'ni bahsda kichik o'zgarishlar funktsiya qiymatidagi kichik o'zgarishlarga olib keladi.

Uzluksiz funktsiya, umuman nutqda, kontseptsiya doimiy xaritalashdir, shunga qaramay, bu atama, bu atama juda ko'p ma'noda ishlatiladi, masalan, real chiziqda. Ushbu maqola haqiqiy raqamlar to'plamida belgilangan va haqiqiy qadriyatlarni qabul qilishda aniqlangan aniq uzluksiz funktsiyalarga bag'ishlangan.

YouTube entsiklopedik.

1 / 5

✪ funktsiyaning uzluksizligi va nuqtalarini buzish punktlari

✪ 15 doimiy funktsiya

 uzluksiz funktsiyalar

✪ Matematik tahlil, 5 dars, funktsiyaning uzluksizligi

✪ Tasodifiy tasodifiy o'zgaruvchi. Tarqatish funktsiyasi

Subtitrlar

Ta'rif

Agar siz funktsiyani "tuzatsangiz F (\\ displeystle f) Bir marta foydalaniladigan bo'shliqda va qo'yish f (a) \u003d lim x → a f (x) (A) \u003d \\ \\ \\ cheklovlar _ (x \\ ga) f (x) f (x), keyin funktsiya bu vaqtda doimiydir. Funktsiyadagi bunday operatsiya deyiladi doimiy ravishda belgilangan funktsiya yoki uzluksizlik funktsiyasini aniqlashbu nuqta kabi nuqta unvonini tasdiqlaydi bir martalik To'lqinli.

Rippop "sakrash"

"Sakrash" bo'shlig'i amalga oshsa

Lim x → a - 0 F (x) ìme x → a + 0 f (x) f (x) \\ nq \\ cheklovlar _ (x \\ ga) A + 0) f (x)).

Polisepti

Qutbning yorilishi bir tomonlama chegaralar cheksiz bo'lsa, yuzaga keladi.

Lim x → a - 0 F (x) \u003d ± \\ \\ _ (x \\ dan A-0) f (x) f (x) f (x) yoki Lim x → a + 0 F (x) \u003d ± \\ \\ \\ cheklovlar _ (x \\ dan \\ gacha) f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) \u003d \\ pm \\ perki). [ ]

Muhim yorilish nuqtasi

Katta tanaffus holatida, bir tomonlama chegaralar umuman yo'q.

R N, n\u003e 1-da ajratilgan yakkalik ballarni tasniflash

Vazifalar uchun F: r n → r n (\\ displeystle f: \\ Mathbb (r) ^ (n) \\ Matbb (R) ^ (n)) va F: c → c (\\ displeystle F: \\ Mathbb (C) \\ Matbb (c)) Chiqish nuqtalari bilan ishlashning hojati yo'q, lekin ko'pincha maxsus ballar bilan ishlash kerak (funktsiya aniqlanmagan joylar). O'xshash tasnif.

"O'tish" tushunchasi yo'q. Ichida R (\\ displeystle \\ Mathbb (r)) Bu sakrash, katta o'lchamdagi bo'shliqlar - sezilarli yakka fikr.

Xususiyatlar

Mahalliy

Funktsiyaning nuqtai nazarida uzluksiz A (\\ displeysty a)ushbu nuqtaning ba'zi mahallasida cheklangan.
Agar funktsiya bo'lsa F (\\ displeystle f) Nuqtada uzluksiz A (\\ displeysty a) va F (a)\u003e 0 (\\ displey d (a)\u003e 0) (yoki F (a)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), T. F (x)\u003e 0 (\\ displeystle f (x)\u003e 0) (yoki f (x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) Barcha uchun X (\\ displeystle x), etarlicha yaqin A (\\ displeysty a).
Agar funktsiyalar bo'lsa F (\\ displeystle f) va G (\\ displeystle g) Nuqtada uzluksiz A (\\ displeysty a), keyin funktsiyalar F + g (\\ displeystle f + g) va F ⋅ g (\\ displeystle f \\ cdot g) Shuningdek, nuqtada ham doimiy A (\\ displeysty a).
Agar funktsiyalar bo'lsa F (\\ displeystle f) va G (\\ displeystle g) Nuqtada uzluksiz A (\\ displeysty a) va qayerda G (a) ≠ 0 (\\ displeystle g (a) \\ neQ 0), keyin funktsiya F / g (\\ displeysty f / g) Shuningdek, nuqtada ham doimiy A (\\ displeysty a).
Agar funktsiya bo'lsa F (\\ displeystle f) Nuqtada uzluksiz A (\\ displeysty a) va funktsiya G (\\ displeystle g) Nuqtada uzluksiz b \u003d f (a) (\\ displey b \u003d f (a))Keyin ularning kompozitsiyasi H \u003d g ¥ f (\\ displeystle h \u003d g \\ sira f) Nuqtada uzluksiz A (\\ displeysty a).

Global

Ixcham to'plam), unda bir xil darajada doimiy.
Funktsiya, segmentda doimiy (yoki boshqa ixcham to'plam), u cheklangan va unga maksimal va minimal qiymatga etadi.
Funktsiya qiymatlari F (\\ displeystle f)segmentda uzluksiz segment [MIN F, MAX F], (\\ displstyle [\\ min f, maksimal f],) O'rta va maksimal segmentda [A, B] (\\ displey).
Agar funktsiya bo'lsa F (\\ displeystle f) Kesmada uzluksiz [A, B] (\\ displey) va f (a) ⋅ f (b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} keyin bir nuqta bor f (↓) \u003d 0 (\\ displeystle f (\\ xi) \u003d 0).
Agar funktsiya bo'lsa F (\\ displeystle f) Kesmada uzluksiz [A, B] (\\ displey) va raqam ph (\\ displeySty \\ Varpri) Tengsizlikni qondiradi F (a)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi yoki tengsizlik f (a)\u003e p (b), (\\ displeystle f (a)\u003e \\ Varpri\u003e F (B),) Bu juda yaxshi ξ ∈ (A, B), (\\ displeystle \\ xi \\ ning (A, B)) qayerda f (ξ) \u003d ph (\\ displeystle f (\\ xi) \u003d \\ Varpri).
Materialning doimiy namoyishi to'g'ridan-to'g'ri mos ravishda to'g'ridan-to'g'ri mos keladi va faqat bu segmentda bu funktsiya qat'iy ravishda Monotonne.
Segmentda monoton funktsiyasi [A, B] (\\ displey) Buda doimiy ravishda va faqat uning qadriyatlari mintaqa bo'lganida, tugashlar bilan segment F (a) (\\ displey d (a)) va F (b) (\\ displey d (b)).
Agar funktsiyalar bo'lsa F (\\ displeystle f) va G (\\ displeystle g) Kesmada uzluksiz [A, B] (\\ displey)va F (a)< g (a) {\displaystyle f(a) va f (b)\u003e g (b) (\\ displeystle f (b)\u003e g (b)) Bu juda yaxshi ξ ∈ (A, B), (\\ displeystle \\ xi \\ ning (A, B)) qayerda f (ξ) \u003d g (ξ). (\\ displeystle f (\\ xi) \u003d g (\\ xi).) Shunday qilib, xususan, segmentning har qanday doimiy displeyi kamida bitta sobit nuqtaga ega.

Misollar

Boshlang'ich funktsiyalar

Ushbu xususiyat har bir nuqtada doimiy. x ≠ 0 (\\ displeyse x \\ neQ 0).

Nuqta - bu tanaffus nuqtasi birinchi turBundan tashqari

Lim x → 0 - f (x) \u003d - 1 → 0 + F (x \\ dan 0-) f (x) f (x) \u003d - 1 \\ nq 1 \u003d \\ Lim \\ cheklovlar _ (x \\ dan 0+) f (x)),

juda shu vaqtda funktsiya nolga qo'shadi.

Qadam

O'tish funktsiyasi belgilangan deb belgilangan

f (x) \u003d (1, x ⩾ 0 0, x< 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

har bir joyda uzluksiz, ammo nuqta x \u003d 0 (\\ displey x \u003d 0)Bu erda funktsiya birinchi turdagi bo'shliqni zarar ko'radi. Biroq, nuqtada x \u003d 0 (\\ displey x \u003d 0) Ushbu nuqtada funktsiyaning qiymatiga mos keladigan to'g'ri cheklov mavjud. Shunday qilib, bu xususiyat misol. uzluksiz huquq Vazifalar ta'rif sohasi bo'ylab.

Shunga o'xshab, belgilangan funktsiya sifatida belgilangan

f (x) \u003d (1, x 1, x ⩽ 0, x ∈ R (X) \u003d (Ishlar) 1, \\ X\u003e 0 \\ \\ \\ \\ \\ @ \\ @ \\ \\ luqslant 0 \\ oxiri (holatlar)), \\ Quad X \\ da \\ Mathbb (R))

namuna uzluksiz chap Vazifalar ta'rif sohasi bo'ylab.

Dirixlet funktsiyasi

f (x) \u003d (1, x ∈ Q 0, x ∈ R ḍ (x) \u003d (\\ ni boshlang (ishlarni (ish boshlaydi) \u003d \\ Mathbb / \\ \\ Matbb (R) \\ sitminus \\ Mathbb (Q) \\ End (holatlar)

Asosiy nazariy nazariy teoremalarning ta'riflari va formulalari va bitta o'zgaruvchining doimiy funksiyasining xususiyatlari beriladi. Nuqta funktsiyaning xususiyatlari, kompleks funktsiyaning chegarasi va uzluksizligi, pullikdan mahrum qilish punktlarining tasnifi ko'rib chiqiladi. Tekshirish funktsiyasi bilan bog'liq ta'riflar va teoremalar beriladi. Boshlang'ich funktsiyalarning xususiyatlari o'rnatilgan.

Tarkib

Ichida uzluksizligi tushunchasini shakllantirish mumkin o'tish shartlari. Buning uchun biz yangi o'zgaruvchini kiritamiz, bu x nuqtaning o'sishi deb nomlanadi. Keyin funktsiya nuqtada uzluksiz
.
Biz yangi xususiyatni taqdim etamiz:
.
U chaqiriladi funktsiyani oshirish Nuqtada. Keyin funktsiya nuqtada uzluksiz
.

Doimiy funktsiyalarni cheklash teoremasini cheklash
F. ni kiriting. (x) X nuqtasida uzluksiz 0 . Keyin u erda bunday mahalla bor (X 0)funktsiya cheklangan.

Uzluksiz funktsiyalarni saqlash teoremasini saqlash
Funktsiya nuqtada doimiy ravishda davom etsin. Va bu nuqtada ijobiy (salbiy) qiymatga ega bo'lsin:
.
Keyin funktsiya ijobiy (salbiy) qiymatga ega bo'lgan nuqta mavjud:
da.

Uzluksiz funktsiyalarning arifmetik xususiyatlari
Funktsiyalarni bajaring va nuqtada uzluksiz.
Keyin funktsiyalar va nuqtada uzluksiz.
Agar, keyin funktsiya nuqtada doimiy bo'lsa.

Chap va o'ngda uzviylik xususiyatlari
Funktsiya o'sha paytda uzluksiz va faqat o'ng tomonda uzluksiz bo'lsa.

Mulk dalillari "Vazifalar nuqtalarida uzluksiz xususiyatlarning xususiyatlariga" berilgan.

Murakkab funktsiyaning uzluksizligi

Uzluksizlikning murakkab funktsiyasi
Funktsiya nuqtada doimiy ravishda davom etsin. Va funktsiya nuqtada doimiy ravishda davom ettiring.
Keyin murakkab funktsiya nuqtada uzluksiz.

Kompleks funktsiyaning chegarasi

Funktsiyadan uzluksiz funktsiyaning tekshiruvchisi
Aytaylik, funktsiyaning chegarasi mavjud va u quyidagilarga tengdir:
.
Bu erda t 't. 0 Bu cheklangan yoki cheksiz uzoq bo'lishi mumkin:.
Va funktsiya nuqtada doimiy ravishda davom ettiring.
Keyin murakkab funktsiya chegarasi mavjud va u quyidagilarga teng
.

Terminal majmua funktsiyasi
Aytaylik, funktsiya chegaraga ega va plankarilgan qo'shnichani punktga plankart qo'shiniga ko'rsatadi. Aytaylik, funktsiya ushbu mahallada aniqlanadi va unga cheklovga ega.
Bu erda - oxirgi yoki cheksiz chekka fikrlar:. Atrofda va tegishli chegaralar ikki tomonlama va bir tomonlama bo'lishi mumkin.
Keyin murakkab funktsiyaning chegarasi mavjud va u quyidagilarga tengdir:
.

Spray ballar

Tanaffusning ta'rifi
Funktsiya punktsiya qilingan ba'zi bir joylarda aniqlanishi kerak. Nuqta deb nomlanadi yorilish funktsiyasi Agar ikkita shartdan biri bajarilsa:
1) aniqlanmagan;
2) Indeksda, ammo bu nuqta emas.

1-jinning bo'sh joyini aniqlash
Nuqta deb nomlanadi birinchi turni buzish nuqtasiAgar bu tanaffus nuqtasi bo'lsa va chap va o'ngdagi oxirgi bir tomonlama chegaralari bo'lsa:
.

Sakrash funktsiyasini aniqlash
Sakrash d Nuqta o'ng va chap tomondagi chegaralar o'rtasidagi farq
.

Ta'rif nizolarini aniqlash
Nuqta deb nomlanadi bir marta ishlatiladigan tanaffus nuqtasiAgar cheklov bo'lsa
,
Ammo nuqta funktsiyasi aniqlanmagan yoki belgilanmagan yoki cheklangan qiymatga teng emas:.

Shunday qilib, bir martalik bo'sh joy nuqtasi - bu funktsiya funktsiyalari nolga teng bo'lgan 1-naslni buzish nuqtasi.

2-turdagi tafovutni aniqlash
Nuqta deb nomlanadi ikkinchi turning yorilishi nuqtasiAgar bu 1-jinni buzish nuqtasi bo'lmasa. Ya'ni, agar hech bo'lmaganda bitta bir tomonlama chegarasi bo'lmasa yoki nuqtai nazarda kamida bitta bir tomonlama limit bo'lsa.

Funktsiyalarning xususiyatlari segmentda uzluksiz uzluksiz

Ta'rif funktsiyasi, segmentda uzluksiz
Funktsiya segmentda doimiy ravishda (qachon), agar u ochiq vaqt oralig'ining barcha nuqtalari (qachon) va mos ravishda a va B nuqtalarida "deb nomlanadi.

Funktsiya segmentida doimiy doimiy ravishda doimiy ravishda doimiy ravishda doimiy ravishda doimiy ravishda doimiy ravishda doimiy ravishda doimiy ravishda uzluksiz
Agar funktsiya segmentda uzluksiz bo'lsa, u ushbu segment bilan cheklangan.

Maksimal erishga yo'naltirishni aniqlash (minimal)
Agar funktsiya to'plamdagi maksimal (minimum), agar u uchun bunday dalil bo'lsa
Barcha uchun .

Yuqori (pastki) yuzining erishganligini aniqlash
Bu funktsiya o'z yuqori (pastki) yuziga, agar bunday argument bo'lsa, u kabi argument bo'lsa
.

Ikkinchi Veristrass teoremasi maksimal va minimal funktsiyaning minimal funktsiyasida
Segmentda doimiy stipendiya uning ustki va pastki yuzlariga etib boradi yoki bu bir xil, bu uning maksimal va minimal segmentga etib boradi.

Bolzano teoremo - oraliq ma'no haqida Kauchy
Funktsiya segmentda doimiy ravishda davom etsin. Va segmentning oxirida funktsiyaning qiymatlari o'rtasida o'zboshimchalik bilan raqami bor. Keyin bir nuqta bor
.

1 ta roziyaly.
Funktsiya segmentda doimiy ravishda davom etsin. Va segmentning uchlarida funktsiya qiymatlari turli xil belgilarga ega bo'lsin: yoki. Keyin nuqta mavjud, bu nolga teng:
.

2 ta roziyaly.
Funktsiya segmentda doimiy ravishda davom etsin. Qo'yib yubor . Keyin funktsiya segmentni barcha qiymatlar va faqat ushbu qiymatlarni oladi:
da.

Teskari funktsiyalar

Teskari funktsiyani aniqlash
Aytaylik, funktsiya X va qadriyatlarning ko'pligi aniqlangan maydonga ega. Va mulkka ega bo'lsin.
Barcha uchun .
Keyin, har qanday element uchun X-ning faqat bitta elementi o'rnatilishi mumkin. Bunday muvofiqlik Funktsiyani belgilaydi teskari funktsiya ga Tekshirish funktsiyasi quyidagicha ko'rsatilgan:
.

Ta'rifdan kelib chiqadi
;
Barcha uchun ;
Barcha uchun .

Lemma to'g'ridan-to'g'ri va teskari funktsiyalarning o'zaro monotoniyasi bo'yicha
Agar funktsiya qat'iy oshsa (pasayadi), keyin teskari funktsiya mavjud, ularda qat'iylik (kamaytiriladi).

To'g'ridan-to'g'ri va teskari funktsiyalarning grafikasi simmetriyalari uchun mulk
To'g'ridan-to'g'ri va teskari funktsiyalarning grafikasi to'g'ridan-to'g'ri bog'liq.

Segment bo'yicha fikr-mulohazalarning mavjudligi va uzluksizligi bo'yicha teorema
Segmentda doimiy va qat'iy o'sishini (kamaytiriladi). Keyin teskari funktsiya segmentda aniqlanadi, bu qat'iy ravishda ko'payadi (kamayadi).

Tobora kuchayib borayotgan funktsiya uchun. Pasayish uchun -.

Intervaldagi fikr-mulohazalarning mavjudligi va uzluksizligi bo'yicha teorema
Aytaylik, funktsiya doimiy ravishda va ochiqchasiga ko'tariladi (kamayadi) Ochiq uchi yoki cheksiz oraliqda. Keyin teskari funktsiya aniqlanadi va tobora ko'payib boradi, bu qat'iy ravishda ko'payadi (kamayadi).

Tobora kuchayib borayotgan funktsiya uchun.
Pasayish uchun:.

Xuddi shunday, siz yarim intervalda teskari funktsiyalarning mavjudligi va uzluksizligi bo'yicha teormatni shakllantirishingiz mumkin.

Elementar funktsiyalarning xususiyatlari va uzluksizligi

Boshlang'ich funktsiyalari va ularga qaytish ularning ta'rifi doirasida doimiydir. Keyinchalik biz tegishli teormlarning so'zlarini taqdim etamiz va ularning dalillariga murojaat qiling.

Eksponent funksiyasi

F funktsiyasi F. (x) \u003d a x, sabab bilan a > 0 - Bu ketma-ketlik chegarasi
,
O'zboshimchalik bilan ratsional sonlarning o'zboshimchalik surasi bo'lsa, x ni qidiring:
.

Teorema. Ushbu funktsiyaning xususiyatlari
Indikativ funktsiya quyidagi xususiyatlarga ega:
(P.0) hamma uchun aniqlanadi;
(1-band) A ≠ bilan 1 ko'p qadriyatlarga ega;
(2-band) qat'iy ravishda ko'payib, qat'iy ravishda kamayadi, doimiydir;
(3-band) ;
(P.3 *) ;
(4-band) ;
(P.5) ;
(P.6) ;
(7-bet) ;
(P.8) hamma uchun doimiy;
(P.9) qachon;
da.

Logarifm

Logarifmik funktsiyasi yoki logarifm, y \u003d x dog, sabab bilan a - Bu funktsiya bazaviy funktsiyani a.

Teorema. Logarifmning xususiyatlari
Logarifmik funktsiyasi A, Y \u003d x ni bosing.Quyidagi xususiyatlarga ega:
(L.1) aniqlangan va doimiy va dalilning ijobiy qadriyatlari uchun;
(L.2) ko'p qadriyatlarga ega;
(L.3) qat'iy ravishda ko'payadi, qat'iy ravishda pasayadi;
(L.4) qachon;
qachon;
(L.5) ;
(L.6) qachon;
(L.7) qachon;
(L.8) qachon;
(L.9) da.

Eksponent va tabiiy logarifm

Indikativ funktsiyaning ta'rifi va logarifm, doimiy ko'rinadi, u logarifmning asosi yoki logarifm bazasi deyiladi. Matematik tahlilda, aksariyat ko'pchilik, agar e Baza sifatida ishlatilsa, oddiy hisob-kitoblar olinadi.
.
E-bazasi bilan indikativ funktsiya eksponent deb ataladi: va bazasi uchun logarifm tabiiy logaritm:.

Xususiyatlar ko'rgazmalar va tabiiy logarifm sahifalarda ko'rsatilgan
"Eksentitor, e daraja x",
"Tabiiy logarifm, ln x funktsiyasi"

Quvvat funktsiyasi

POW funktsiyasi P - bu F funktsiyasi (x) \u003d x pX nuqtasining nuqtai nazari p nuqtasi pent-da bazasi bilan indikatsion funktsiyaning qiymatiga teng.
Bundan tashqari, f (0) \u003d 0 p \u003d 0 p\u003e da 0 .

Bu erda biz argumentning notekis qiymatlari bilan y \u003d x p quvvat funktsiyasining xususiyatlarini ko'rib chiqamiz. Tang m oqilona, \u200b\u200btok funktsiyasi ham salbiy X uchun aniqlanadi. Bunday holda, uning xususiyatlari tenglik yoki g'alati narsalardan foydalangan holda olish mumkin.
Ushbu holatlar "Quvvat funktsiyasi, uning xususiyatlari va grafikasi" sahifasida batafsil muhokama qilinadi.

Teorema. Quvvat funktsiyasining xususiyatlari (x ≥ 0)
Quvvat funktsiyasi, y \u003d x p parametrli p parametri bilan quyidagi xususiyatlarga ega:
(P.1) Belgilangan va to'plamda uzluksiz
qachon
bilan. "

Trigonometrik funktsiyalar

Trigonometrik funktsiyalarning uzluksizligi bo'yicha teorema
Trigonometrik funktsiyalar: Sinus ( xIN X.), kosin ( cos x.), Tangens ( tg X.) va kotangent ( cTG X.

Terin trigonometrik funktsiyalarning uzluksizligi bo'yicha teorema
Teskari trigonometrik funktsiyalar: Arksinus ( arcsin x.) Arkkosinus ( arccos X.), ARCTANENS ( arctg x.) va arkotangent ( arcctg x.), ularning ta'rifi doirasida uzluksiz.

Shuningdek qarang:

Qanday funktsiya doimiy. Funktsiyaning uzluksizligini aniqlash. O'z-o'zini boshqarish bo'yicha bilimlar uchun savollar

Uzluksizlik funktsiyasi. Yorilish nuqtasi.

Uzluksizlik funktsiyasi. Rippalar va ularning tasnifi

Uzluksizlik funktsiyasi tushunchasi

Funktsiyaning uzluksizligi nuqtasi va intervalda

Rishma punktlarining tasnifi

Birinchi rangli buzilish nuqtasi

Ikkinchi eng yaxshi tanaffus ballari

Uzluksizlik funktsiyasini qanday tekshirish kerak?

Nuqtasida uzviylik

Misollar

1-misol.

Biz har doim barmoqning ta'rifidan foydalanamiz

Biz Cauchy ta'rifidan foydalanamiz

2-misol.

YouTube entsiklopedik.

Subtitrlar

Ta'rif

Rippop "sakrash"

Polisepti

Muhim yorilish nuqtasi

R N, n\u003e 1-da ajratilgan yakkalik ballarni tasniflash

Xususiyatlar

Mahalliy

Global

Misollar

Boshlang'ich funktsiyalar

Qadam

Dirixlet funktsiyasi

Murakkab funktsiyaning uzluksizligi

Kompleks funktsiyaning chegarasi

Spray ballar

Funktsiyalarning xususiyatlari segmentda uzluksiz uzluksiz

Teskari funktsiyalar

Elementar funktsiyalarning xususiyatlari va uzluksizligi

Eksponent funksiyasi

Logarifm

Eksponent va tabiiy logarifm

Quvvat funktsiyasi

Trigonometrik funktsiyalar