Η αριθμομηχανή λύνει ολοκληρώματα με περιγραφή των ενεργειών ΛΕΠΤΟΜΕΡΗΣ στα ρωσικά και δωρεάν!

Επίλυση αόριστων ολοκληρωμάτων

Αυτή είναι μια διαδικτυακή υπηρεσία στο ένα βήμα:

Επίλυση ορισμένων ολοκληρωμάτων

Αυτή είναι μια διαδικτυακή υπηρεσία στο ένα βήμα:

• Εισαγάγετε την έκφραση ολοκλήρωσης (ολοκληρωμένη συνάρτηση)
• Εισαγάγετε ένα κατώτερο όριο για το ολοκλήρωμα
• Εισαγάγετε ένα ανώτερο όριο για το ολοκλήρωμα

Επίλυση διπλών ολοκληρωμάτων

• Εισαγάγετε την έκφραση ολοκλήρωσης (ολοκληρωμένη συνάρτηση)

Επίλυση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων

• Εισαγάγετε την έκφραση ολοκλήρωσης (ολοκληρωμένη συνάρτηση)
• Εισαγάγετε την ανώτερη περιοχή ολοκλήρωσης (ή + άπειρο)
• Εισαγάγετε την κάτω περιοχή ολοκλήρωσης (ή - άπειρο)

Επίλυση τριπλών ολοκληρωμάτων

• Εισαγάγετε την έκφραση ολοκλήρωσης (ολοκληρωμένη συνάρτηση)
• Εισαγάγετε τα κατώτερα και τα ανώτερα όρια για την πρώτη περιοχή ολοκλήρωσης
• Εισαγάγετε το κάτω και το ανώτερο όριο για τη δεύτερη περιοχή ολοκλήρωσης
• Εισαγάγετε το κάτω και το ανώτερο όριο για την τρίτη περιοχή ολοκλήρωσης

Αυτή η υπηρεσία σάς επιτρέπει να ελέγξετε τη δική σας υπολογισμούςγια την ορθότητα

Δυνατότητες

• Υποστηρίζει όλες τις πιθανές μαθηματικές συναρτήσεις: ημίτονο, συνημίτονο, εκθέτη, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη, τετραγωνικές και κυβικές ρίζες, δυνάμεις, εκθετικές και άλλες.
• Υπάρχουν παραδείγματα για εισαγωγή, τόσο για αόριστα ολοκληρώματα όσο και για ακατάλληλα και οριστικά.
• Διορθώνει τα σφάλματα στις εκφράσεις που εισάγετε και προσφέρει τις δικές σας επιλογές για εισαγωγή.
• Αριθμητική λύση για οριστικά και ακατάλληλα ολοκληρώματα (συμπεριλαμβανομένων των διπλών και τριπλών ολοκληρωμάτων).
• Υποστήριξη μιγαδικοί αριθμοί, καθώς και διάφορες παραμέτρους (μπορείτε να καθορίσετε στο integrand όχι μόνο τη μεταβλητή ολοκλήρωσης, αλλά και άλλες μεταβλητές παραμέτρων)

Μιγαδικά ολοκληρώματα

Αυτό το άρθρο ολοκληρώνει το θέμα των αόριστων ολοκληρωμάτων και περιλαμβάνει ολοκληρώματα που θεωρώ αρκετά περίπλοκα. Το μάθημα δημιουργήθηκε μετά από επανειλημμένα αιτήματα επισκεπτών που εξέφρασαν την επιθυμία τους να αναλυθούν πιο δύσκολα παραδείγματα στον ιστότοπο.

Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης αυτού του κειμένου είναι καλά προετοιμασμένος και ξέρει πώς να εφαρμόζει βασικές τεχνικές ολοκλήρωσης. Τα ανδρείκελα και τα άτομα που δεν έχουν μεγάλη αυτοπεποίθηση στα ολοκληρώματα θα πρέπει να ανατρέξουν στο πρώτο μάθημα - Αόριστο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων, όπου μπορείτε να κυριαρχήσετε το θέμα σχεδόν από την αρχή. Οι πιο έμπειροι μαθητές μπορούν να εξοικειωθούν με τεχνικές και μεθόδους ενσωμάτωσης που δεν έχουν ακόμη συναντηθεί στα άρθρα μου.

Ποια ολοκληρώματα θα ληφθούν υπόψη;

Αρχικά θα εξετάσουμε ολοκληρώματα με ρίζες, για τη λύση των οποίων χρησιμοποιούμε διαδοχικά μεταβλητή αντικατάστασηΚαι ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα. Δηλαδή, σε ένα παράδειγμα συνδυάζονται δύο τεχνικές ταυτόχρονα. Και ακόμη περισσότερο.

Στη συνέχεια θα εξοικειωθούμε με ενδιαφέροντα και πρωτότυπα μέθοδος αναγωγής του ολοκληρώματος στον εαυτό του. Αρκετά ολοκληρώματα λύνονται με αυτόν τον τρόπο.

Το τρίτο τεύχος του προγράμματος θα είναι ολοκληρώματα σύνθετων κλασμάτων, τα οποία πέρασαν από το ταμείο σε προηγούμενα άρθρα.

Τέταρτον, θα αναλυθούν πρόσθετα ολοκληρώματα από τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Συγκεκριμένα, υπάρχουν μέθοδοι που αποφεύγουν τη χρονοβόρα καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση.

(2) Στη συνάρτηση ολοκληρώματος, διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο προς όρο.

(3) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα γραμμικότητας Δεν οριστικό ολοκλήρωμα. Στο τελευταίο ολοκλήρωμα αμέσως βάλτε τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο.

(4) Παίρνουμε τα υπόλοιπα ολοκληρώματα. Σημειώστε ότι σε έναν λογάριθμο μπορείτε να χρησιμοποιήσετε παρενθέσεις αντί για συντελεστή, αφού .

(5) Πραγματοποιούμε μια αντίστροφη αντικατάσταση, εκφράζοντας το "te" από την άμεση αντικατάσταση:

Οι μαζοχιστές μαθητές μπορούν να διαφοροποιήσουν την απάντηση και να πάρουν την αρχική ολοκλήρωση, όπως έκανα μόλις. Όχι, όχι, έκανα τον έλεγχο με τη σωστή έννοια =)

Όπως μπορείτε να δείτε, κατά τη διάρκεια της λύσης έπρεπε να χρησιμοποιήσουμε ακόμη περισσότερες από δύο μεθόδους λύσης, επομένως για να αντιμετωπίσετε τέτοια ολοκληρώματα χρειάζεστε σίγουρες δεξιότητες ολοκλήρωσης και αρκετή εμπειρία.

Στην πράξη, φυσικά, η τετραγωνική ρίζα είναι πιο κοινή, εδώ είναι τρία παραδείγματα για ανεξάρτητη απόφαση:

Παράδειγμα 2

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Παράδειγμα 3

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Παράδειγμα 4

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αυτά τα παραδείγματα είναι του ίδιου τύπου, επομένως η πλήρης λύση στο τέλος του άρθρου θα αφορά μόνο το Παράδειγμα 2. Τα Παραδείγματα 3-4 έχουν τις ίδιες απαντήσεις. Ποια αντικατάσταση να χρησιμοποιήσω στην αρχή των αποφάσεων, νομίζω ότι είναι προφανές. Γιατί επέλεξα παραδείγματα του ίδιου τύπου; Βρίσκονται συχνά στο ρόλο τους. Πιο συχνά, ίσως, κάτι σαν .

Αλλά όχι πάντα, όταν κάτω από τις συναρτήσεις τοξοειδούς, ημιτόνου, συνημίτονο, εκθετικής και άλλες συναρτήσεις υπάρχει μια ρίζα του γραμμική συνάρτηση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε πολλές μεθόδους ταυτόχρονα. Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι δυνατό να "ξεφύγετε εύκολα", δηλαδή αμέσως μετά την αντικατάσταση, λαμβάνεται ένα απλό ολοκλήρωμα, το οποίο μπορεί να ληφθεί εύκολα. Η ευκολότερη από τις εργασίες που προτείνονται παραπάνω είναι το Παράδειγμα 4, στο οποίο, μετά την αντικατάσταση, προκύπτει ένα σχετικά απλό ολοκλήρωμα.

Μειώνοντας το ολοκλήρωμα στον εαυτό του

Μια πνευματώδης και όμορφη μέθοδος. Ας ρίξουμε μια ματιά στα κλασικά του είδους:

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Κάτω από τη ρίζα υπάρχει ένα τετραγωνικό διώνυμο και η προσπάθεια ενσωμάτωσης αυτού του παραδείγματος μπορεί να προκαλέσει πονοκέφαλο στην τσαγιέρα για ώρες. Ένα τέτοιο ολοκλήρωμα λαμβάνεται σε μέρη και ανάγεται στον εαυτό του. Κατ 'αρχήν, δεν είναι δύσκολο. Αν ξέρεις πώς.

Ας υποδηλώσουμε το ολοκλήρωμα που εξετάζουμε με ένα λατινικό γράμμα και ας ξεκινήσουμε τη λύση:

Ας ενσωματώσουμε ανά μέρη:

(1) Προετοιμάστε τη συνάρτηση ολοκλήρωσης για διαίρεση από όρο προς όρο.

(2) Διαιρούμε τη συνάρτηση ολοκλήρωσης όρο προς όρο. Μπορεί να μην είναι σαφές σε όλους, αλλά θα το περιγράψω με περισσότερες λεπτομέρειες:

(3) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα γραμμικότητας του αόριστου ολοκληρώματος.

(4) Πάρτε το τελευταίο ολοκλήρωμα («μακρύς» λογάριθμος).

Ας δούμε τώρα την αρχή της λύσης:

Και στο τέλος:

Τι συνέβη? Ως αποτέλεσμα των χειρισμών μας, το ολοκλήρωμα περιορίστηκε στον εαυτό του!

Ας εξισώσουμε την αρχή και το τέλος:

Μετακινηθείτε προς την αριστερή πλευρά με αλλαγή πρόσημου:

Και μετακινούμε τα δύο στη δεξιά πλευρά. Σαν άποτέλεσμα:

Το σταθερό, αυστηρά, έπρεπε να είχε προστεθεί νωρίτερα, αλλά το πρόσθεσα στο τέλος. Συνιστώ ανεπιφύλακτα να διαβάσετε ποια είναι η αυστηρότητα εδώ:

Σημείωση: Πιο αυστηρά, το τελικό στάδιο της λύσης μοιάζει με αυτό:

Ετσι:

Η σταθερά μπορεί να επαναπροσδιοριστεί από . Γιατί μπορεί να επανασχεδιαστεί; Γιατί ακόμα το δέχεται όποιοςτιμές, και με αυτή την έννοια δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ σταθερών και.
Σαν άποτέλεσμα:

Ένα παρόμοιο κόλπο με συνεχή αναγραφή χρησιμοποιείται ευρέως σε διαφορικές εξισώσεις. Και εκεί θα είμαι αυστηρός. Και εδώ επιτρέπω μια τέτοια ελευθερία μόνο για να μην σας μπερδεύω με περιττά πράγματα και να εστιάσω την προσοχή ακριβώς στην ίδια τη μέθοδο ολοκλήρωσης.

Παράδειγμα 6

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Ένα άλλο τυπικό αναπόσπαστο για ανεξάρτητη λύση. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Θα υπάρχει διαφορά με την απάντηση στο προηγούμενο παράδειγμα!

Αν κάτω τετραγωνική ρίζαπου βρίσκεται τετραγωνικό τριώνυμο, τότε η λύση σε κάθε περίπτωση καταλήγει σε δύο αναλυμένα παραδείγματα.

Για παράδειγμα, εξετάστε το ολοκλήρωμα . Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι πρώτα επιλέξτε ένα πλήρες τετράγωνο:
.
Στη συνέχεια, πραγματοποιείται μια γραμμική αντικατάσταση, η οποία κάνει "χωρίς συνέπειες":
, με αποτέλεσμα το ολοκλήρωμα . Κάτι γνωστό, σωστά;

Ή αυτό το παράδειγμα, με ένα τετραγωνικό διώνυμο:
Επιλέξτε ένα πλήρες τετράγωνο:
Και, μετά από γραμμική αντικατάσταση, λαμβάνουμε το ολοκλήρωμα, το οποίο επίσης λύνεται χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο που ήδη συζητήθηκε.

Ας δούμε δύο ακόμη χαρακτηριστικά παραδείγματα για το πώς να μειώσετε ένα ολοκλήρωμα στον εαυτό του:
– ολοκλήρωμα της εκθετικής πολλαπλασιαζόμενης με ημίτονο.
– ολοκλήρωμα της εκθετικής πολλαπλασιασμένης με το συνημίτονο.

Στα αναγραφόμενα ολοκληρώματα ανά εξαρτήματα θα πρέπει να ενσωματώσετε δύο φορές:

Παράδειγμα 7

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Το ολοκλήρωμα είναι η εκθετική πολλαπλασιασμένη με το ημίτονο.

Ενσωματώνουμε με μέρη δύο φορές και μειώνουμε το ολοκλήρωμα στον εαυτό του:

Ως αποτέλεσμα της διπλής ολοκλήρωσης από μέρη, το ολοκλήρωμα μειώθηκε στον εαυτό του. Εξισώνουμε την αρχή και το τέλος της λύσης:

Το μετακινούμε στην αριστερή πλευρά με αλλαγή πρόσημου και εκφράζουμε το ολοκλήρωμα μας:

Ετοιμος. Ταυτόχρονα, καλό είναι να χτενίζετε τη δεξιά πλευρά, δηλ. αφαιρέστε τον εκθέτη από αγκύλες και τοποθετήστε το ημίτονο και το συνημίτονο σε αγκύλες με μια «όμορφη» σειρά.

Τώρα ας επιστρέψουμε στην αρχή του παραδείγματος, ή πιο συγκεκριμένα, στην ενσωμάτωση ανά μέρη:

Ορίσαμε τον εκθέτη ως. Τίθεται το ερώτημα: είναι ο εκθέτης που πρέπει πάντα να συμβολίζεται με ; Οχι απαραίτητο. Μάλιστα στο θεωρούμενο ολοκλήρωμα θεμελιωδώς δεν έχει σημασία, τι εννοούμε με το , θα μπορούσαμε να είχαμε πάρει την αντίθετη κατεύθυνση:

Γιατί είναι αυτό δυνατό; Επειδή η εκθετική μετατρέπεται στον εαυτό της (τόσο κατά τη διαφοροποίηση όσο και κατά την ολοκλήρωση), το ημίτονο και το συνημίτονο μετατρέπονται αμοιβαία το ένα στο άλλο (και πάλι, τόσο κατά τη διαφοροποίηση όσο και κατά την ολοκλήρωση).

Δηλαδή, μπορούμε να υποδηλώσουμε και μια τριγωνομετρική συνάρτηση. Όμως, στο εξεταζόμενο παράδειγμα, αυτό είναι λιγότερο λογικό, αφού θα εμφανιστούν κλάσματα. Εάν θέλετε, μπορείτε να προσπαθήσετε να λύσετε αυτό το παράδειγμα χρησιμοποιώντας τη δεύτερη μέθοδο· οι απαντήσεις πρέπει να ταιριάζουν.

Παράδειγμα 8

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Πριν αποφασίσετε, σκεφτείτε τι είναι πιο πλεονεκτικό σε αυτήν την περίπτωση να ορίσετε ως , μια εκθετική ή μια τριγωνομετρική συνάρτηση; Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Και, φυσικά, μην ξεχνάτε ότι οι περισσότερες από τις απαντήσεις σε αυτό το μάθημα είναι αρκετά εύκολο να ελεγχθούν με διαφοροποίηση!

Τα παραδείγματα που εξετάστηκαν δεν ήταν τα πιο περίπλοκα. Στην πράξη, τα ολοκληρώματα είναι πιο κοινά όπου η σταθερά είναι τόσο στον εκθέτη όσο και στο όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης, για παράδειγμα: . Πολλοί άνθρωποι θα μπερδευτούν σε ένα τέτοιο αναπόσπαστο, και συχνά μπερδεύομαι και εγώ. Το γεγονός είναι ότι υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να εμφανιστούν κλάσματα στη λύση και είναι πολύ εύκολο να χάσετε κάτι από απροσεξία. Επιπλέον, υπάρχει μεγάλη πιθανότητα λάθους στα πρόσημα· σημειώστε ότι ο εκθέτης έχει πρόσημο μείον, και αυτό εισάγει πρόσθετη δυσκολία.

Στο τελικό στάδιο, το αποτέλεσμα είναι συχνά κάπως έτσι:

Ακόμη και στο τέλος της λύσης, θα πρέπει να είστε εξαιρετικά προσεκτικοί και να κατανοήσετε σωστά τα κλάσματα:

Ολοκλήρωση μιγαδικών κλασμάτων

Πλησιάζουμε σιγά σιγά στον ισημερινό του μαθήματος και αρχίζουμε να θεωρούμε ολοκληρώματα κλασμάτων. Και πάλι, δεν είναι όλα εξαιρετικά περίπλοκα, απλώς για τον έναν ή τον άλλο λόγο τα παραδείγματα ήταν λίγο "εκτός θέματος" σε άλλα άρθρα.

Συνεχίζοντας το θέμα των ριζών

Παράδειγμα 9

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Στον παρονομαστή κάτω από τη ρίζα υπάρχει ένα τετραγωνικό τριώνυμο συν ένα «παράρτημα» με τη μορφή «Χ» έξω από τη ρίζα. Ένα ολοκλήρωμα αυτού του τύπου μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας μια τυπική αντικατάσταση.

Εμείς αποφασίζουμε:

Η αντικατάσταση εδώ είναι απλή:

Ας δούμε τη ζωή μετά την αντικατάσταση:

(1) Μετά την αντικατάσταση, ανάγουμε τους όρους κάτω από τη ρίζα σε έναν κοινό παρονομαστή.
(2) Το βγάζουμε από κάτω από τη ρίζα.
(3) Ο αριθμητής και ο παρονομαστής μειώνονται κατά . Ταυτόχρονα, κάτω από τη ρίζα, αναδιάταξη των όρων με μια βολική σειρά. Με κάποια εμπειρία, τα βήματα (1), (2) μπορούν να παραλειφθούν εκτελώντας τις ενέργειες που σχολιάστηκαν προφορικά.
(4) Το ολοκλήρωμα που προκύπτει, όπως θυμάστε από το μάθημα Ολοκλήρωση κάποιων κλασμάτων, αποφασίζεται πλήρης τετραγωνική μέθοδος εξαγωγής. Επιλέξτε ένα πλήρες τετράγωνο.
(5) Με την ολοκλήρωση παίρνουμε έναν συνηθισμένο «μακρό» λογάριθμο.
(6) Πραγματοποιούμε την αντίστροφη αντικατάσταση. Εάν αρχικά , τότε πίσω: .
(7) Η τελική ενέργεια στοχεύει στην ευθυγράμμιση του αποτελέσματος: κάτω από τη ρίζα φέρνουμε ξανά τους όρους σε έναν κοινό παρονομαστή και τους βγάζουμε από κάτω από τη ρίζα.

Παράδειγμα 10

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Εδώ προστίθεται μια σταθερά στο μοναχικό "X" και η αντικατάσταση είναι σχεδόν η ίδια:

Το μόνο πράγμα που πρέπει να κάνετε επιπλέον είναι να εκφράσετε το "x" από την αντικατάσταση που πραγματοποιείται:

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Μερικές φορές σε ένα τέτοιο ολοκλήρωμα μπορεί να υπάρχει ένα τετραγωνικό διώνυμο κάτω από τη ρίζα, αυτό δεν αλλάζει τη μέθοδο λύσης, θα είναι ακόμα πιο απλή. Νιώστε τη διαφορά:

Παράδειγμα 11

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Παράδειγμα 12

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Σύντομες λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος. Πρέπει να σημειωθεί ότι το Παράδειγμα 11 είναι ακριβώς διωνυμικό ολοκλήρωμα, η μέθοδος επίλυσης της οποίας συζητήθηκε στην τάξη Ολοκληρώματα παράλογων συναρτήσεων.

Ολοκλήρωμα αδιάσπαστου πολυωνύμου 2ου βαθμού στην ισχύ

(πολυώνυμο σε παρονομαστή)

Πιο σπάνιο, αλλά παρόλα αυτά βρίσκεται σε πρακτικά παραδείγματατύπος ολοκληρώματος.

Παράδειγμα 13

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αλλά ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα με τον τυχερό αριθμό 13 (ειλικρινά, δεν μάντεψα σωστά). Αυτό το αναπόσπαστο είναι επίσης ένα από αυτά που μπορεί να είναι αρκετά απογοητευτικό αν δεν ξέρετε πώς να το λύσετε.

Η λύση ξεκινά με έναν τεχνητό μετασχηματισμό:

Νομίζω ότι όλοι καταλαβαίνουν ήδη πώς να διαιρέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο προς όρο.

Το ολοκλήρωμα που προκύπτει λαμβάνεται σε μέρη:

Για ένα ολοκλήρωμα της μορφής (- φυσικός αριθμός) αποσύρθηκε επαναλαμβανόμενοςτύπος μείωσης:
, Οπου – ολοκλήρωμα βαθμού χαμηλότερο.

Ας επαληθεύσουμε την εγκυρότητα αυτού του τύπου για το λυμένο ολοκλήρωμα.
Σε αυτήν την περίπτωση: , , χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Όπως μπορείτε να δείτε, οι απαντήσεις είναι ίδιες.

Παράδειγμα 14

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Το διάλυμα δείγματος χρησιμοποιεί τον παραπάνω τύπο δύο φορές διαδοχικά.

Αν κάτω από το πτυχίο είναι αδιαίρετοςτετράγωνο τριώνυμο, τότε η λύση ανάγεται σε διώνυμο απομονώνοντας το τέλειο τετράγωνο, για παράδειγμα:

Τι γίνεται αν υπάρχει ένα επιπλέον πολυώνυμο στον αριθμητή; Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιείται η μέθοδος αβέβαιους συντελεστές, και το ολοκλήρωμα επεκτείνεται σε ένα άθροισμα κλασμάτων. Αλλά στην πρακτική μου υπάρχει ένα τέτοιο παράδειγμα δεν συναντήθηκαν ποτέ, οπότε έχασα αυτή την περίπτωση στο άρθρο Ολοκληρώματα κλασματικών-ορθολογικών συναρτήσεων, θα το παραλείψω τώρα. Εάν εξακολουθείτε να αντιμετωπίζετε ένα τέτοιο αναπόσπαστο, κοιτάξτε το εγχειρίδιο - όλα είναι απλά εκεί. Δεν νομίζω ότι είναι σκόπιμο να συμπεριλάβουμε υλικό (ακόμα και απλά), η πιθανότητα να συναντήσετε που τείνει στο μηδέν.

Ενσωμάτωση σύνθετων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Το επίθετο «σύνθετο» για τα περισσότερα παραδείγματα είναι και πάλι σε μεγάλο βαθμό υπό όρους. Ας ξεκινήσουμε με τις εφαπτομένες και τις συνεφαπτομένες μέσα υψηλούς βαθμούς. Από την άποψη των μεθόδων επίλυσης που χρησιμοποιούνται, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη είναι σχεδόν το ίδιο πράγμα, επομένως θα μιλήσω περισσότερο για την εφαπτομένη, υπονοώντας ότι η αποδεδειγμένη μέθοδος για την επίλυση του ολοκληρώματος ισχύει και για την συνεφαπτομένη.

Στο παραπάνω μάθημα εξετάσαμε καθολική τριγωνομετρική υποκατάστασηγια την επίλυση ενός συγκεκριμένου τύπου ολοκληρωμάτων από τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Το μειονέκτημα της καθολικής τριγωνομετρικής υποκατάστασης είναι ότι η χρήση της οδηγεί συχνά σε δυσκίνητα ολοκληρώματα με δύσκολους υπολογισμούς. Και σε ορισμένες περιπτώσεις, η καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση μπορεί να αποφευχθεί!

Ας δούμε ένα ακόμη κανονικό παράδειγμα, το ολοκλήρωμα ενός διαιρούμενου με ημίτονο:

Παράδειγμα 17

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση και να λάβετε την απάντηση, αλλά υπάρχει ένας πιο ορθολογικός τρόπος. Θα παρέχω την πλήρη λύση με σχόλια για κάθε βήμα:

(1) Χρησιμοποιούμε τον τριγωνομετρικό τύπο για το ημίτονο διπλής γωνίας.
(2) Εκτελούμε τεχνητός μετασχηματισμός: Στον παρονομαστή, διαιρέστε και πολλαπλασιάστε με.
(3) Χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο στον παρονομαστή, μετατρέπουμε το κλάσμα σε εφαπτομένη.
(4) Φέρνουμε τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο.
(5) Πάρτε το ολοκλήρωμα.

Ζεύγος απλά παραδείγματαγια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 18

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Σημείωση: Το πρώτο βήμα θα πρέπει να είναι η χρήση του τύπου μείωσης και εκτελέστε προσεκτικά ενέργειες παρόμοιες με το προηγούμενο παράδειγμα.

Παράδειγμα 19

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Λοιπόν, αυτό είναι ένα πολύ απλό παράδειγμα.

Συμπληρώστε λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.

Νομίζω ότι τώρα κανείς δεν θα έχει προβλήματα με τα ολοκληρώματα:
και ούτω καθεξής.

Ποια είναι η ιδέα της μεθόδου; Η ιδέα είναι ότι, χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς, τριγωνομετρικούς τύπουςοργανώστε μόνο τις εφαπτομένες και την παράγωγο της εφαπτομένης στο ολοκλήρωμα. Δηλαδή, μιλάμε για αντικατάσταση: . Στα Παραδείγματα 17-19 χρησιμοποιήσαμε πραγματικά αυτήν την αντικατάσταση, αλλά τα ολοκληρώματα ήταν τόσο απλά που τα καταφέραμε με μια ισοδύναμη ενέργεια - υπάγοντας τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο.

Παρόμοιος συλλογισμός, όπως ήδη ανέφερα, μπορεί να γίνει και για την συνεφαπτομένη.

Υπάρχει επίσης μια τυπική προϋπόθεση για την εφαρμογή της παραπάνω αντικατάστασης:

Το άθροισμα των δυνάμεων του συνημίτονου και του ημιτόνου είναι αρνητικός ακέραιος Ζυγός αριθμός , Για παράδειγμα:

για το ολοκλήρωμα – ένας αρνητικός ακέραιος αριθμός ΖΥΓΟΣ.

! Σημείωση : εάν το ολοκλήρωμα περιέχει ΜΟΝΟ ένα ημίτονο ή ΜΟΝΟ ένα συνημίτονο, τότε το ολοκλήρωμα λαμβάνεται επίσης για αρνητικό περιττό βαθμό (οι απλούστερες περιπτώσεις είναι στα Παραδείγματα Νο. 17, 18).

Ας δούμε μερικές πιο σημαντικές εργασίες με βάση αυτόν τον κανόνα:

Παράδειγμα 20

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Το άθροισμα των δυνάμεων του ημιτόνου και του συνημιτίου: 2 – 6 = –4 είναι ένας αρνητικός ακέραιος αριθμός ΖΥΓΟΣ, που σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα μπορεί να αναχθεί σε εφαπτομένες και στην παράγωγό του:

(1) Ας μετατρέψουμε τον παρονομαστή.
(2) Χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο, παίρνουμε .
(3) Ας μετατρέψουμε τον παρονομαστή.
(4) Χρησιμοποιούμε τον τύπο .
(5) Φέρνουμε τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο.
(6) Πραγματοποιούμε αντικατάσταση. Οι πιο έμπειροι μαθητές μπορεί να μην πραγματοποιήσουν την αντικατάσταση, αλλά είναι ακόμα καλύτερο να αντικαταστήσετε την εφαπτομένη με ένα γράμμα - υπάρχει λιγότερος κίνδυνος σύγχυσης.

Παράδειγμα 21

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας.

Υπομονή, οι γύροι του πρωταθλήματος πρόκειται να ξεκινήσουν =)

Συχνά το integrand περιέχει ένα "hodgepodge":

Παράδειγμα 22

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αυτό το ολοκλήρωμα περιέχει αρχικά μια εφαπτομένη, η οποία οδηγεί αμέσως σε μια ήδη γνωστή σκέψη:

Θα αφήσω τον τεχνητό μετασχηματισμό στην αρχή και τα υπόλοιπα βήματα χωρίς σχόλια, αφού όλα έχουν ήδη συζητηθεί παραπάνω.

Ζεύγος δημιουργικά παραδείγματαγια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 23

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Παράδειγμα 24

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Ναι, σε αυτά, φυσικά, μπορείτε να μειώσετε τις δυνάμεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου και να χρησιμοποιήσετε μια καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση, αλλά η λύση θα είναι πολύ πιο αποτελεσματική και συντομότερη εάν πραγματοποιηθεί μέσω εφαπτομένων. Πλήρης λύση και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος

Η εύρεση ενός αόριστου ολοκληρώματος (ένα σύνολο αντιπαραγώγων ή «αντιπαραγώγων») σημαίνει ανακατασκευή μιας συνάρτησης από τη γνωστή παράγωγο αυτής της συνάρτησης. Αποκατεστημένο σύνολο αντιπαραγώγων φά(Χ) + ΜΕ για λειτουργία φά(Χ) λαμβάνει υπόψη τη σταθερά ολοκλήρωσης ντο. Με την ταχύτητα κίνησης υλικό σημείο(παράγωγο) ο νόμος της κίνησης αυτού του σημείου (αντιπαράγωγο) μπορεί να αποκατασταθεί. σύμφωνα με την επιτάχυνση της κίνησης ενός σημείου - την ταχύτητά του και τον νόμο της κίνησης. Όπως μπορείτε να δείτε, η ενσωμάτωση είναι ένα ευρύ πεδίο για τις δραστηριότητες των Sherlock Holmeses της φυσικής. Και στα οικονομικά, πολλές έννοιες αντιπροσωπεύονται μέσω συναρτήσεων και των παραγώγων τους, και επομένως, για παράδειγμα, είναι δυνατό να αποκατασταθεί ο όγκος των προϊόντων που παράγονται την αντίστοιχη στιγμή χρησιμοποιώντας την παραγωγικότητα της εργασίας σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή (παράγωγο).

Για να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα, χρειάζεται πολύ λίγο ένας μεγάλος αριθμός απόβασικοί τύποι ολοκλήρωσης. Αλλά η διαδικασία εύρεσης του είναι πολύ πιο δύσκολη από την απλή εφαρμογή αυτών των τύπων. Όλη η πολυπλοκότητα δεν σχετίζεται με την ολοκλήρωση, αλλά με τη μεταφορά της ολοκληρωμένης έκφρασης σε μια μορφή που καθιστά δυνατή την εύρεση του αόριστου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τους βασικούς τύπους που αναφέρονται παραπάνω. Αυτό σημαίνει ότι για να ξεκινήσετε την πρακτική της ενσωμάτωσης, πρέπει να ενεργοποιήσετε αυτά που έχετε μάθει Λύκειοδεξιότητες μεταμόρφωσης έκφρασης.

Θα μάθουμε να βρίσκουμε ολοκληρώματα χρησιμοποιώντας ιδιότητες και πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτωναπό ένα μάθημα για τις βασικές έννοιες αυτού του θέματος (ανοίγει σε νέο παράθυρο).

Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για την εύρεση του ολοκληρώματος, εκ των οποίων μεταβλητή μέθοδος αντικατάστασηςΚαι μέθοδος ενσωμάτωσης με ανταλλακτικά- ένα υποχρεωτικό σετ κυρίων για όλους όσους έχουν περάσει επιτυχώς ανώτερα μαθηματικά. Ωστόσο, είναι πιο χρήσιμο και ευχάριστο να αρχίσουμε να κατακτούμε την ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επέκτασης, με βάση τα ακόλουθα δύο θεωρήματα για τις ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος, τα οποία επαναλαμβάνουμε εδώ για ευκολία.

Θεώρημα 3.Ο σταθερός παράγοντας στο ολοκλήρωμα μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του αόριστου ολοκληρώματος, δηλ.

Θεώρημα 4.Αόριστο ολοκλήρωμα αλγεβρικού αθροίσματος πεπερασμένος αριθμόςσυναρτήσεις ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των αόριστων ολοκληρωμάτων αυτών των συναρτήσεων, δηλ.

(2)

Επιπλέον, ο ακόλουθος κανόνας μπορεί να είναι χρήσιμος στην ολοκλήρωση: εάν η έκφραση του ολοκληρώματος περιέχει έναν σταθερό παράγοντα, τότε η έκφραση του αντιπαραγώγου πολλαπλασιάζεται με το αντίστροφο του σταθερού παράγοντα, δηλαδή

(3)

Δεδομένου ότι αυτό το μάθημα είναι ένα εισαγωγικό για την επίλυση προβλημάτων ένταξης, είναι σημαντικό να σημειώσουμε δύο πράγματα που είτε ήδη αρχικό στάδιο, ή λίγο αργότερα μπορεί να σας εκπλήξουν. Η έκπληξη οφείλεται στο γεγονός ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της διαφοροποίησης και το αόριστο ολοκλήρωμα μπορεί δικαίως να ονομαστεί «αντιπαράγωγο».

Το πρώτο πράγμα που δεν πρέπει να εκπλαγείτε κατά την ενσωμάτωση.Στον πίνακα των ολοκληρωμάτων Υπάρχουν τύποι που δεν έχουν ανάλογα μεταξύ των τύπων του πίνακα παραγώγων . Αυτοί είναι οι ακόλουθοι τύποι:

Ωστόσο, μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι οι παράγωγοι των παραστάσεων στις δεξιές πλευρές αυτών των τύπων συμπίπτουν με τα αντίστοιχα ολοκληρώματα.

Το δεύτερο πράγμα που δεν πρέπει να προκαλεί έκπληξη κατά την ενσωμάτωση. Αν και η παράγωγος οποιασδήποτε στοιχειώδους συνάρτησης είναι επίσης στοιχειώδης συνάρτηση, Τα αόριστα ολοκληρώματα ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων δεν είναι πλέον στοιχειώδεις συναρτήσεις . Παραδείγματα τέτοιων ολοκληρωμάτων θα μπορούσαν να είναι τα ακόλουθα:

Για την ανάπτυξη τεχνικών ολοκλήρωσης, θα είναι χρήσιμες οι ακόλουθες δεξιότητες: μείωση κλασμάτων, διαίρεση πολυωνύμου στον αριθμητή ενός κλάσματος με ένα μονώνυμο στον παρονομαστή (για να ληφθεί το άθροισμα αόριστων ολοκληρωμάτων), μετατροπή ριζών σε δυνάμεις, πολλαπλασιασμός ενός μονωνύμου με ένα πολυωνυμικό, ανεβάζοντας σε δύναμη. Αυτές οι δεξιότητες χρειάζονται για μετασχηματισμούς του ολοκληρώματος, οι οποίοι θα πρέπει να έχουν ως αποτέλεσμα το άθροισμα των ολοκληρωμάτων που υπάρχουν στον πίνακα των ολοκληρωμάτων.

Εύρεση αόριστων ολοκληρωμάτων μαζί

Παράδειγμα 1.Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

.

Λύση. Βλέπουμε στον παρονομαστή του ολοκληρώματος ένα πολυώνυμο στο οποίο το x είναι τετράγωνο. Αυτό είναι ένα σχεδόν σίγουρο σημάδι ότι μπορείτε να εφαρμόσετε το ολοκλήρωμα πίνακα 21 (με αποτέλεσμα μια τόξο εφαπτομένη). Βγάζουμε τον παράγοντα-δύο από τον παρονομαστή (υπάρχει μια τέτοια ιδιότητα του ολοκληρώματος - ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί πέρα ​​από το πρόσημο του ολοκληρώματος· αναφέρθηκε παραπάνω ως Θεώρημα 3). Το αποτέλεσμα όλων αυτών:

Τώρα ο παρονομαστής είναι το άθροισμα των τετραγώνων, που σημαίνει ότι μπορούμε να εφαρμόσουμε το αναφερόμενο ολοκλήρωμα πίνακα. Τελικά παίρνουμε την απάντηση:

.

Παράδειγμα 2.Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Λύση. Εφαρμόζουμε και πάλι το Θεώρημα 3 - την ιδιότητα του ολοκληρώματος, βάσει της οποίας ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του ολοκληρώματος:

Εφαρμόζουμε τον τύπο 7 από τον πίνακα των ολοκληρωμάτων (μεταβλητή σε ισχύ) στη συνάρτηση ολοκλήρωσης:

.

Μειώνουμε τα κλάσματα που προκύπτουν και έχουμε την τελική απάντηση:

Παράδειγμα 3.Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Λύση. Εφαρμόζοντας πρώτα το Θεώρημα 4 και μετά το Θεώρημα 3 στις ιδιότητες, βρίσκουμε αυτό το ολοκλήρωμα ως το άθροισμα τριών ολοκληρωμάτων:

Και τα τρία ολοκληρώματα που λήφθηκαν είναι πίνακες. Χρησιμοποιούμε τον τύπο (7) από τον πίνακα των ολοκληρωμάτων για n = 1/2, n= 2 και n= 1/5 και μετά

συνδυάζει και τις τρεις αυθαίρετες σταθερές που εισήχθησαν όταν βρίσκοντας τρειςολοκληρώματα. Επομένως, σε παρόμοιες καταστάσεις, θα πρέπει να εισαχθεί μόνο μία αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης.

Παράδειγμα 4.Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Λύση. Όταν ο παρονομαστής του ολοκληρώματος περιέχει ένα μονώνυμο, μπορούμε να διαιρέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο προς όρο. Το αρχικό ολοκλήρωμα μετατράπηκε στο άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων:

.

Για να εφαρμόσουμε το ολοκλήρωμα του πίνακα, μετατρέπουμε τις ρίζες σε δυνάμεις και εδώ είναι η τελική απάντηση:

Συνεχίζουμε να βρίσκουμε αόριστα ολοκληρώματα μαζί

Παράδειγμα 7.Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Λύση. Αν μετατρέψουμε το ολοκλήρωμα τετραγωνίζοντας το διώνυμο και διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο με τον όρο, τότε το αρχικό ολοκλήρωμα γίνεται το άθροισμα τριών ολοκληρωμάτων.

Ας αρχίσουμε να μελετάμε το θέμα" Αόριστο ολοκλήρωμα", και θα αναλύσουμε επίσης αναλυτικά παραδείγματα λύσεων στα πιο απλά (και όχι τόσο απλά) ολοκληρώματα. Ως συνήθως, θα περιοριστούμε στο ελάχιστο της θεωρίας, που υπάρχει σε πολλά σχολικά βιβλία· καθήκον μας είναι να μάθουμε πώς να λύνουμε ολοκληρώματα.

Τι πρέπει να γνωρίζετε για να κατακτήσετε με επιτυχία το υλικό; Για να αντιμετωπίσετε τον ολοκληρωτικό λογισμό, πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε παράγωγα στο ελάχιστο, σε ενδιάμεσο επίπεδο. Δεν θα είναι χάσιμο εμπειρίας εάν έχετε αρκετές δεκάδες, ή ακόμα καλύτερα, εκατοντάδες παράγωγα που βρέθηκαν ανεξάρτητα. Τουλάχιστον, δεν πρέπει να σας μπερδεύουν οι εργασίες για να διαφοροποιήσετε τις απλούστερες και πιο κοινές λειτουργίες.

Φαίνεται, τι σχέση έχουν τα παράγωγα αν το άρθρο αφορά ολοκληρώματα;! Εδώ είναι το θέμα. Το γεγονός είναι ότι η εύρεση παραγώγων και η εύρεση αόριστων ολοκληρωμάτων (διαφοροποίηση και ολοκλήρωση) είναι δύο αμοιβαία αντίστροφες ενέργειες, όπως πρόσθεση/αφαίρεση ή πολλαπλασιασμός/διαίρεση. Έτσι, χωρίς επιδεξιότητα και εμπειρία στην εύρεση παραγώγων, δυστυχώς, δεν μπορείτε να προχωρήσετε.

Από αυτή την άποψη, θα χρειαστούμε τα εξής διδακτικό υλικό: Πίνακας παραγώγωνΚαι Πίνακας ολοκληρωμάτων.

Ποια είναι η δυσκολία στην εκμάθηση αόριστων ολοκληρωμάτων; Αν στα παράγωγα υπάρχουν αυστηρά 5 κανόνες διαφοροποίησης, ένας πίνακας παραγώγων και ένας αρκετά σαφής αλγόριθμος ενεργειών, τότε στα ολοκληρώματα όλα είναι διαφορετικά. Υπάρχουν δεκάδες μέθοδοι και τεχνικές ολοκλήρωσης. Και, αν η μέθοδος ολοκλήρωσης είχε αρχικά επιλεγεί λανθασμένα (δηλαδή δεν ξέρετε πώς να λύσετε), τότε το ολοκλήρωμα μπορεί να «τρυπηθεί» κυριολεκτικά για μέρες, σαν πραγματικό παζλ, προσπαθώντας να καταλάβετε διάφορες τεχνικέςκαι κόλπα. Σε κάποιους μάλιστα αρέσει.

Παρεμπιπτόντως, ακούγαμε αρκετά συχνά από φοιτητές (που δεν έχουν ειδικότητα στις ανθρωπιστικές επιστήμες) μια άποψη όπως: «Ποτέ δεν με ενδιέφερε να λύσω ένα όριο ή μια παράγωγο, αλλά τα ολοκληρώματα είναι ένα εντελώς διαφορετικό θέμα, είναι συναρπαστικό, υπάρχει πάντα ένα επιθυμία να «χακάρετε» ένα περίπλοκο ολοκλήρωμα.» . Να σταματήσει. Φτάνει το μαύρο χιούμορ, ας περάσουμε σε αυτά τα πολύ αόριστα ολοκληρώματα.

Εφόσον υπάρχουν πολλοί τρόποι για να το λύσουμε, τότε από πού πρέπει να αρχίσει μια τσαγιέρα να μελετά τα αόριστα ολοκληρώματα; Στον ολοκληρωτικό λογισμό, κατά τη γνώμη μας, υπάρχουν τρεις πυλώνες ή ένα είδος «άξονα» γύρω από τον οποίο περιστρέφονται όλα τα άλλα. Πρώτα απ 'όλα, θα πρέπει να έχετε καλή κατανόηση των απλούστερων ολοκληρωμάτων (αυτό το άρθρο).

Στη συνέχεια, πρέπει να επεξεργαστείτε το μάθημα λεπτομερώς. ΑΥΤΗ ΕΙΝΑΙ Η ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΙΚΗ! Ίσως ακόμη και το πιο σημαντικό άρθρο από όλα τα άρθρα για τα ολοκληρώματα. Και τρίτον, πρέπει οπωσδήποτε να διαβάσετε μέθοδος ενσωμάτωσης με ανταλλακτικά, αφού ενσωματώνει μια ευρεία κατηγορία λειτουργιών. Εάν κατακτήσετε τουλάχιστον αυτά τα τρία μαθήματα, τότε δεν θα έχετε πλέον δύο. Μπορεί να σας συγχωρέσουν που δεν ξέρετε ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων, ολοκληρώματα κλασμάτων, ολοκληρώματα κλασματικών-ορθολογικών συναρτήσεων, ολοκληρώματα παράλογων συναρτήσεων (ρίζες), αλλά αν «μπλέξετε» με τη μέθοδο αντικατάστασης ή τη μέθοδο ενσωμάτωσης με εξαρτήματα, τότε θα είναι πολύ, πολύ κακό.

Λοιπόν, ας ξεκινήσουμε απλά. Ας δούμε τον πίνακα των ολοκληρωμάτων. Όπως και με τα παράγωγα, παρατηρούμε αρκετούς κανόνες ολοκλήρωσης και έναν πίνακα ολοκληρωμάτων ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων. Οποιοδήποτε ολοκλήρωμα πίνακα (και μάλιστα οποιοδήποτε αόριστο ολοκλήρωμα) έχει τη μορφή:

Ας κατανοήσουμε αμέσως τις σημειώσεις και τους όρους:

– αναπόσπαστο εικονίδιο.

– συνάρτηση ολοκλήρωσης (γραμμένη με το γράμμα «s»).

– εικονίδιο διαφορικού. Θα δούμε τι είναι αυτό πολύ σύντομα. Το κύριο πράγμα είναι ότι κατά τη σύνταξη του ολοκληρώματος και κατά τη διάρκεια της λύσης, είναι σημαντικό να μην χάσετε αυτό το εικονίδιο. Θα υπάρχει ένα αισθητό ελάττωμα.

– έκφραση ολοκληρώματος ή «γέμιση» του ολοκληρώματος.

– αντιπαράγωγολειτουργία.

– . Δεν χρειάζεται να φορτώνουμε έντονα όρους· το πιο σημαντικό εδώ είναι ότι σε οποιοδήποτε αόριστο ολοκλήρωμα προστίθεται μια σταθερά στην απάντηση.

Η επίλυση ενός αόριστου ολοκληρώματος σημαίνει εύρεσηένα μάτσο αντιπαράγωγες συναρτήσεις από το δεδομένο ολοκλήρωμα

Ας δούμε ξανά το λήμμα:

Ας δούμε τον πίνακα των ολοκληρωμάτων.

Τι συμβαίνει? Έχουμε τα αριστερά μέρη μεταμορφώνομαισε άλλες λειτουργίες: .

Ας απλοποιήσουμε τον ορισμό μας:

Λύστε αόριστο ολοκλήρωμα - αυτό σημαίνει ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ της σε μια απροσδιόριστη (μέχρι μια σταθερή) συνάρτηση , χρησιμοποιώντας κάποιους κανόνες, τεχνικές και έναν πίνακα.

Πάρτε, για παράδειγμα, το ολοκλήρωμα πίνακα . Τι συνέβη? Η συμβολική σημειογραφία έχει εξελιχθεί σε πολλές πρωτόγονες λειτουργίες.

Όπως και στην περίπτωση των παραγώγων, για να μάθουμε πώς να βρίσκουμε ολοκληρώματα, δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τι είναι μια ολοκληρωτική ή αντιπαράγωγη συνάρτηση από θεωρητική άποψη. Αρκεί απλώς να πραγματοποιήσετε μετασχηματισμούς σύμφωνα με ορισμένους επίσημους κανόνες. Έτσι, σε περίπτωση Δεν είναι καθόλου απαραίτητο να καταλάβουμε γιατί το ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε . Μπορείτε να θεωρήσετε αυτόν και άλλους τύπους δεδομένους. Όλοι χρησιμοποιούν ηλεκτρική ενέργεια, αλλά λίγοι άνθρωποι σκέφτονται πώς τα ηλεκτρόνια ταξιδεύουν μέσω των καλωδίων.

Εφόσον η διαφοροποίηση και η ολοκλήρωση είναι αντίθετες πράξεις, για κάθε αντιπαράγωγο που βρίσκεται σωστά, ισχύει το εξής:

Με άλλα λόγια, εάν διαφοροποιήσετε τη σωστή απάντηση, τότε πρέπει να λάβετε την αρχική συνάρτηση ολοκλήρωσης.

Ας επιστρέψουμε στο ίδιο ολοκλήρωμα πίνακα .

Ας επαληθεύσουμε την εγκυρότητα αυτού του τύπου. Παίρνουμε την παράγωγο της δεξιάς πλευράς:

είναι η αρχική συνάρτηση ολοκλήρωσης.

Παρεμπιπτόντως, έχει γίνει πιο σαφές γιατί μια σταθερά εκχωρείται πάντα σε μια συνάρτηση. Όταν διαφοροποιείται, η σταθερά γυρίζει πάντα στο μηδέν.

Λύστε αόριστο ολοκλήρωμα- σημαίνει να βρεις ένα μάτσο Ολοιαντιπαράγωγα, και όχι μόνο μία λειτουργία. Στο υπό εξέταση παράδειγμα πίνακα, , , , κ.λπ. – όλες αυτές οι συναρτήσεις είναι λύσεις στο ολοκλήρωμα. Υπάρχουν άπειρες λύσεις, οπότε το γράφουμε εν συντομία:

Έτσι, οποιοδήποτε αόριστο ολοκλήρωμα είναι αρκετά εύκολο να ελεγχθεί. Αυτή είναι κάποια αντιστάθμιση για μεγάλο αριθμό ολοκληρωμάτων διαφορετικών τύπων.

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση συγκεκριμένων παραδειγμάτων. Ας ξεκινήσουμε, όπως και στη μελέτη της παραγώγου, με δύο κανόνες ολοκλήρωσης:

– σταθερό ντομπορεί (και πρέπει) να αφαιρεθεί από το ολοκλήρωμα.

– το ολοκλήρωμα του αθροίσματος (διαφορά) δύο συναρτήσεων είναι ίσο με το άθροισμα (διαφορά) δύο ολοκληρωμάτων. Αυτός ο κανόνας ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό όρων.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι κανόνες είναι βασικά οι ίδιοι όπως για τα παράγωγα. Μερικές φορές καλούνται ιδιότητες γραμμικότηταςαναπόσπαστο.

Παράδειγμα 1

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

.

Εκτελέστε έλεγχο.

Λύση:Είναι πιο βολικό να το μετατρέψετε όπως.

(1) Εφαρμόστε τον κανόνα . Ξεχνάμε να γράψουμε το εικονίδιο διαφορικού dxκάτω από κάθε ολοκλήρωμα. Γιατί κάτω από το καθένα; dx– αυτός είναι ένας πλήρης πολλαπλασιαστής.Αν το περιγράψουμε λεπτομερώς, το πρώτο βήμα θα πρέπει να γραφτεί ως εξής:

.

(2) Σύμφωνα με τον κανόνα μετακινούμε όλες τις σταθερές πέρα ​​από τα πρόσημα των ολοκληρωμάτων. Σημειώστε ότι στην τελευταία περίοδο tgΤο 5 είναι σταθερά, το βγάζουμε και αυτό.

Επιπλέον, σε αυτό το βήμα προετοιμάζουμε ρίζες και δυνάμεις για ενσωμάτωση. Με τον ίδιο τρόπο όπως και με τη διαφοροποίηση, οι ρίζες πρέπει να αντιπροσωπεύονται στη μορφή . Μετακινήστε τις ρίζες και τις δυνάμεις που βρίσκονται στον παρονομαστή προς τα πάνω.

Σημείωση:Σε αντίθεση με τα παράγωγα, οι ρίζες στα ολοκληρώματα δεν πρέπει πάντα να μειώνονται στη μορφή και μετακινήστε τις μοίρες προς τα πάνω.

Για παράδειγμα, - αυτό είναι ένα έτοιμο ολοκλήρωμα πίνακα, το οποίο έχει ήδη υπολογιστεί πριν από εσάς, και κάθε είδους κινέζικα κόλπα όπως εντελώς περιττή. Επίσης: – αυτό είναι επίσης ένα ολοκλήρωμα πίνακα· δεν έχει νόημα να αναπαραστήσουμε το κλάσμα στη μορφή . Μελετήστε προσεκτικά τον πίνακα!

(3) Όλα τα ολοκληρώματα μας είναι πίνακες. Πραγματοποιούμε τον μετασχηματισμό χρησιμοποιώντας έναν πίνακα χρησιμοποιώντας τους τύπους: , Και

Για λειτουργία ισχύος - .

Πρέπει να σημειωθεί ότι το ολοκλήρωμα πίνακα είναι ειδική περίπτωσητύποι για τη συνάρτηση ισχύος: .

Συνεχήςντο αρκεί να προσθέσουμε μία φορά στο τέλος της έκφρασης

(αντί να τα βάζουμε μετά από κάθε ολοκλήρωμα).

(4) Γράφουμε το αποτέλεσμα που προκύπτει σε πιο συμπαγή μορφή, όταν όλες οι δυνάμεις είναι της μορφής

και πάλι τις αναπαριστάνουμε με τη μορφή ριζών και επαναφέρουμε τις δυνάμεις με έναν αρνητικό εκθέτη πίσω στον παρονομαστή.

Εξέταση. Για να εκτελέσετε τον έλεγχο, πρέπει να διαφοροποιήσετε την απάντηση που λάβατε:

Έλαβε το πρωτότυπο ολοκληρωτέου, δηλ. το ολοκλήρωμα βρέθηκε σωστά. Αυτό από το οποίο χόρεψαν είναι αυτό στο οποίο επέστρεψαν. Είναι καλό όταν η ιστορία με το αναπόσπαστο τελειώνει έτσι.

Από καιρό σε καιρό, υπάρχει μια ελαφρώς διαφορετική προσέγγιση για τον έλεγχο ενός αόριστου ολοκληρώματος, όταν όχι η παράγωγος, αλλά το διαφορικό λαμβάνεται από την απάντηση:

.

Ως αποτέλεσμα, δεν παίρνουμε μια συνάρτηση integrand, αλλά μια έκφραση integrand.

Μην φοβάστε την έννοια του διαφορικού.

Το διαφορικό είναι η παράγωγος πολλαπλασιαζόμενη επί dx.

Ωστόσο, αυτό που είναι σημαντικό για εμάς δεν είναι οι θεωρητικές λεπτότητες, αλλά το τι πρέπει να κάνουμε στη συνέχεια με αυτή τη διαφορά. Το διαφορικό αποκαλύπτεται ως εξής: εικονίδιο ρε το αφαιρούμε, βάζουμε έναν πρώτο στα δεξιά πάνω από την αγκύλη, προσθέτουμε έναν παράγοντα στο τέλος της έκφρασης dx :

Έλαβε το πρωτότυπο ολοκληρωτέου, δηλαδή το ολοκλήρωμα βρέθηκε σωστά.

Όπως μπορείτε να δείτε, η διαφορά καταλήγει στην εύρεση της παραγώγου. Μου αρέσει η δεύτερη μέθοδος ελέγχου λιγότερο, καθώς πρέπει επιπλέον να σχεδιάσω μεγάλες αγκύλες και να σύρω το εικονίδιο διαφορικού dx μέχρι το τέλος του ελέγχου. Αν και είναι πιο σωστό, ή «πιο αξιοσέβαστο» ή κάτι τέτοιο.

Μάλιστα, ήταν δυνατό να σιωπηθεί για τη δεύτερη μέθοδο επαλήθευσης. Το θέμα δεν είναι στη μέθοδο, αλλά στο ότι έχουμε μάθει να ανοίγουμε το διαφορικό. Πάλι.

Η διαφορά αποκαλύπτεται ως εξής:

1) εικονίδιο ρεαφαιρώ;

2) στα δεξιά πάνω από το στήριγμα βάζουμε μια πινελιά (δηλαδή της παραγώγου).

3) στο τέλος της παράστασης εκχωρούμε έναν παράγοντα dx .

Για παράδειγμα:

Να το θυμασαι. Πολύ σύντομα θα χρειαστούμε αυτή την τεχνική.

Παράδειγμα 2

.

Όταν βρίσκουμε ένα αόριστο ολοκλήρωμα, προσπαθούμε ΠΑΝΤΑ να ελέγχουμεΕπιπλέον, υπάρχει μια μεγάλη ευκαιρία για αυτό. Δεν είναι όλα τα είδη προβλημάτων στα ανώτερα μαθηματικά δώρο από αυτή την άποψη. Δεν έχει σημασία τόσο συχνά εργασίες δοκιμήςδεν απαιτείται επαλήθευση, κανείς δεν το ελέγχει και τίποτα δεν εμποδίζει να πραγματοποιηθεί σε προσχέδιο. Εξαίρεση μπορεί να γίνει μόνο όταν δεν υπάρχει αρκετός χρόνος (για παράδειγμα, κατά τη διάρκεια ενός τεστ ή εξέτασης). Προσωπικά, πάντα ελέγχω τα ολοκληρώματα και θεωρώ ότι η έλλειψη ελέγχου είναι μια δουλειά χακαρίσματος και μια κακώς ολοκληρωμένη εργασία.

Παράδειγμα 3

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα:

. Εκτελέστε έλεγχο.

Λύση: Αναλύοντας το ολοκλήρωμα, βλέπουμε ότι κάτω από το ολοκλήρωμα έχουμε το γινόμενο δύο συναρτήσεων, ακόμη και την εκτίμηση μιας ολόκληρης παράστασης. Δυστυχώς, στο πεδίο της ολοκληρωτικής μάχης Οχικαλό και άνετο τύπους για την ολοκλήρωση του προϊόντος και του πηλίκουόπως και: ή .

Επομένως, όταν δίνεται ένα γινόμενο ή ένα πηλίκο, έχει πάντα νόημα να δούμε αν είναι δυνατό να μετατραπεί το ολοκλήρωμα σε άθροισμα; Το υπό εξέταση παράδειγμα είναι η περίπτωση όταν είναι δυνατό.

Αρχικά, θα παρουσιάσουμε την πλήρη λύση, τα σχόλια θα είναι παρακάτω.

Έλαβε το πρωτότυπο ολοκληρωτέου, που σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα βρέθηκε σωστά.

Κατά τη διάρκεια της δοκιμής, είναι πάντα σκόπιμο να «πακετάρετε» τη συνάρτηση στην αρχική της μορφή, σε αυτήν την περίπτωση να την αφαιρέσετε από αγκύλες και να εφαρμόσετε τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού σε αντίστροφη κατεύθυνση: .

Παράδειγμα 4

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Εκτελέστε έλεγχο.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας. Η απάντηση και η πλήρης λύση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

. Εκτελέστε έλεγχο.

ΣΕ σε αυτό το παράδειγματο ολοκλήρωμα είναι κλάσμα. Όταν βλέπουμε ένα κλάσμα στο ολοκλήρωμα, η πρώτη σκέψη πρέπει να είναι η ερώτηση: «Είναι δυνατόν να απαλλαγούμε με κάποιο τρόπο από αυτό το κλάσμα ή τουλάχιστον να το απλοποιήσουμε;»

Παρατηρούμε ότι ο παρονομαστής περιέχει μία μόνο ρίζα του "X". Ένας στο πεδίο δεν είναι πολεμιστής, που σημαίνει ότι μπορούμε να διαιρέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο προς όρο:

Δεν σχολιάζουμε ενέργειες με κλασματικές δυνάμεις, αφού έχουν συζητηθεί πολλές φορές σε άρθρα για την παράγωγο συνάρτησης.

Εάν εξακολουθείτε να σας μπερδεύει ένα τέτοιο παράδειγμα όπως

και σε καμία περίπτωση δεν βγαίνει η σωστή απάντηση,

Σημειώστε επίσης ότι από τη λύση λείπει ένα βήμα, δηλαδή η εφαρμογή των κανόνων , . Συνήθως, με κάποια εμπειρία στην επίλυση ολοκληρωμάτων, αυτοί οι κανόνες θεωρούνται προφανές γεγονός και δεν περιγράφονται λεπτομερώς.

Παράδειγμα 6

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα. Εκτελέστε έλεγχο.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας. Η απάντηση και η πλήρης λύση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.

Γενικά, τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά με τα κλάσματα σε ολοκληρώματα, πρόσθετο υλικόσχετικά με την ενσωμάτωση κλασμάτων ορισμένων τύπων μπορείτε να βρείτε στο άρθρο: Ολοκλήρωση κάποιων κλασμάτων. Αλλά, πριν προχωρήσετε στο παραπάνω άρθρο, πρέπει να εξοικειωθείτε με το μάθημα: Μέθοδος αντικατάστασης σε αόριστο ολοκλήρωμα. Το θέμα είναι ότι η υπαγωγή μιας συνάρτησης σε μια μέθοδο διαφορικής ή μεταβλητής αντικατάστασης είναι σημείο κλειδίστη μελέτη του θέματος, καθώς βρίσκεται όχι μόνο «σε καθαρές εργασίες στη μέθοδο αντικατάστασης», αλλά και σε πολλούς άλλους τύπους ολοκληρωμάτων.

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 2: Λύση:

Παράδειγμα 4: Λύση:

Σε αυτό το παράδειγμα χρησιμοποιήσαμε τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού

Παράδειγμα 6: Λύση:

Μια συνάρτηση F(x) που διαφοροποιείται σε ένα δεδομένο διάστημα X ονομάζεται αντιπαράγωγο της συνάρτησης f(x), ή το ολοκλήρωμα της f(x), αν για κάθε x ∈X ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

F " (x) = f(x). (8.1)

Η εύρεση όλων των αντιπαραγώγων για μια δεδομένη συνάρτηση ονομάζεται της ενσωμάτωση. Αόριστη ολοκληρωτική συνάρτηση f(x) σε ένα δεδομένο διάστημα X είναι το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων συναρτήσεων για τη συνάρτηση f(x). ονομασία -

Αν η F(x) είναι κάποια αντιπαράγωγος της συνάρτησης f(x), τότε ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

όπου C είναι αυθαίρετη σταθερά.

Πίνακας ολοκληρωμάτων

Απευθείας από τον ορισμό λαμβάνουμε τις κύριες ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος και μια λίστα με πίνακα ολοκληρωμάτων:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Λίστα με πίνακα ολοκληρωμάτων

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = αρκτάνη x + C

8. = τόξο x + C

10. = - ctg x + C

Αντικατάσταση μεταβλητής

Για να ενσωματώσετε πολλές συναρτήσεις, χρησιμοποιήστε τη μέθοδο αντικατάστασης μεταβλητής ή αντικαταστάσεις,επιτρέποντάς σας να μειώσετε τα ολοκληρώματα σε μορφή πίνακα.

Αν η συνάρτηση f(z) είναι συνεχής στο [α,β], η συνάρτηση z =g(x) έχει συνεχή παράγωγο και α ≤ g(x) ≤ β, τότε

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Επιπλέον, μετά την ενσωμάτωση στη δεξιά πλευρά, θα πρέπει να γίνει η αντικατάσταση z=g(x).

Για να το αποδείξετε, αρκεί να γράψετε το αρχικό ολοκλήρωμα στη μορφή:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Για παράδειγμα:

Τρόπος ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα

Έστω u = f(x) και v = g(x) συναρτήσεις που έχουν συνεχή . Στη συνέχεια, σύμφωνα με την εργασία,

d(uv))= udv + vdu ή udv = d(uv) - vdu.

Για την έκφραση d(uv), το αντιπαράγωγο θα είναι προφανώς uv, οπότε ισχύει ο τύπος:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Αυτός ο τύπος εκφράζει τον κανόνα ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα. Οδηγεί την ολοκλήρωση της έκφρασης udv=uv"dx στην ολοκλήρωση της έκφρασης vdu=vu"dx.

Έστω, για παράδειγμα, που θέλετε να βρείτε το ∫xcosx dx. Ας βάλουμε u = x, dv = cosxdx, άρα du=dx, v=sinx. Επειτα

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Ο κανόνας της ολοκλήρωσης από μέρη έχει πιο περιορισμένο πεδίο εφαρμογής από την αντικατάσταση μεταβλητών. Αλλά υπάρχουν ολόκληρες κατηγορίες ολοκληρωμάτων, για παράδειγμα,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax και άλλα, τα οποία υπολογίζονται με ακρίβεια χρησιμοποιώντας την ολοκλήρωση ανά μέρη.

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος εισάγεται ως εξής. Έστω μια συνάρτηση f(x) να οριστεί σε ένα διάστημα. Ας χωρίσουμε το τμήμα [a,b] σε nμέρη κατά σημεία a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Καλείται άθροισμα της μορφής f(ξ i)Δ x i αναπόσπαστο άθροισμα, και το όριο του στο λ = maxΔx i → 0, αν υπάρχει και είναι πεπερασμένο, λέγεται οριστικό ολοκλήρωμασυναρτήσεις f(x) του έναπριν σικαι ορίζεται:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Η συνάρτηση f(x) σε αυτή την περίπτωση καλείται ενσωματώσιμο στο διάστημα, καλούνται οι αριθμοί α και β κάτω και άνω όρια του ολοκληρώματος.

Οι ακόλουθες ιδιότητες ισχύουν για ένα ορισμένο ολοκλήρωμα:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Το τελευταίο ακίνητο ονομάζεται θεώρημα μέσης τιμής.

Έστω η f(x) συνεχής στο . Τότε σε αυτό το τμήμα υπάρχει ένα αόριστο ολοκλήρωμα

∫f(x)dx = F(x) + C

και λαμβάνει χώρα Τύπος Newton-Leibniz, συνδέοντας το οριστικό ολοκλήρωμα με το αόριστο ολοκλήρωμα:

F(b) - F(a). (8.6)

Γεωμετρική ερμηνεία: το οριστικό ολοκλήρωμα είναι το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από πάνω από την καμπύλη y=f(x), τις ευθείες x = a και x = b και ένα τμήμα του άξονα Βόδι.

Ακατάλληλα ολοκληρώματα

Τα ολοκληρώματα με άπειρα όρια και τα ολοκληρώματα ασυνεχών (απεριόριστων) συναρτήσεων ονομάζονται όχι το δικό σου. Ακατάλληλα ολοκληρώματα πρώτου είδους -Αυτά είναι ολοκληρώματα σε ένα άπειρο διάστημα, που ορίζεται ως εξής:

Αν αυτό το όριο υπάρχει και είναι πεπερασμένο, τότε καλείται συγκλίνον ακατάλληλο ολοκλήρωμα της f(x)στο διάστημα [a,+ ∞), και καλείται η συνάρτηση f(x). ενσωματώσιμο σε άπειρο διάστημα[a,+ ∞). Διαφορετικά, το ολοκλήρωμα λέγεται ότι είναι δεν υπάρχει ή αποκλίνει.

Τα ακατάλληλα ολοκληρώματα στα διαστήματα (-∞,b] και (-∞, + ∞) ορίζονται παρόμοια:

Ας ορίσουμε την έννοια του ολοκληρώματος μιας απεριόριστης συνάρτησης. Αν η f(x) είναι συνεχής για όλες τις τιμές Χτμήμα , εκτός από το σημείο c, στο οποίο η f(x) έχει άπειρη ασυνέχεια, τότε ακατάλληλο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους f(x) που κυμαίνονται από το α έως το βτο ποσό λέγεται:

αν αυτά τα όρια υπάρχουν και είναι πεπερασμένα. Ονομασία:

Παραδείγματα ολοκληρωτικών υπολογισμών

Παράδειγμα 3.30.Υπολογίστε το ∫dx/(x+2).

Λύση.Ας συμβολίσουμε t = x+2, τότε dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Παράδειγμα 3.31. Βρείτε το ∫ tgxdx.

Λύση.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Έστω t=cosx, τότε ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Παράδειγμα3.32 . Βρείτε το ∫dx/sinx

Λύση.

Παράδειγμα3.33. Εύρημα .

Λύση. = .

Παράδειγμα3.34 . Βρείτε το ∫arctgxdx.

Λύση. Ας ενσωματωθούμε ανά μέρη. Ας συμβολίσουμε u=arctgx, dv=dx. Τότε du = dx/(x 2 +1), v=x, από όπου ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; επειδή
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Παράδειγμα3.35 . Υπολογίστε το ∫lnxdx.

Λύση.Εφαρμόζοντας τον τύπο ολοκλήρωσης με μέρη, λαμβάνουμε:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Τότε ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Παράδειγμα3.36 . Υπολογίστε το ∫e x sinxdx.

Λύση.Ας συμβολίσουμε u = e x, dv = sinxdx, τότε du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Ενσωματώνουμε επίσης το ολοκλήρωμα ∫e x cosxdx κατά μέρη: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Εχουμε:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Αποκτήσαμε τη σχέση ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, από την οποία 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Παράδειγμα 3.37. Υπολογίστε J = ∫cos(lnx)dx/x.

Λύση.Αφού dx/x = dlnx, τότε J= ∫cos(lnx)d(lnx). Αντικαθιστώντας το lnx έως το t, φτάνουμε στο ολοκλήρωμα πίνακα J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Παράδειγμα 3.38 . Υπολογίστε το J = .

Λύση.Θεωρώντας ότι = d(lnx), αντικαθιστούμε το lnx = t. Τότε J = .

Παράδειγμα 3.39 . Υπολογίστε το ολοκλήρωμα J = .

Λύση.Εχουμε: . Επομένως =
=
=. εισάγεται ως εξής: sqrt(tan(x/2)).

Και αν στο παράθυρο αποτελεσμάτων κάνετε κλικ στο Εμφάνιση βημάτων στην επάνω δεξιά γωνία, θα λάβετε μια λεπτομερή λύση.