Μαθηματικά προβλήματα. Αναπόδεικτα θεωρήματα της εποχής μας, για τα οποία οφείλεται ανταμοιβή. Θεωρία Yang-Mills

Τα άλυτα προβλήματα είναι 7 ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα. Κάθε ένα από αυτά προτάθηκε κάποια στιγμή από διάσημους επιστήμονες, συνήθως με τη μορφή υποθέσεων. Για πολλές δεκαετίες τώρα, οι μαθηματικοί σε όλο τον κόσμο μαζεύουν το μυαλό τους για να τα λύσουν. Όσοι τα καταφέρουν θα λάβουν ανταμοιβή ενός εκατομμυρίου δολαρίων ΗΠΑ, που προσφέρει το Ινστιτούτο Clay.

Clay Institute

Αυτό είναι το όνομα που δόθηκε σε έναν ιδιωτικό μη κερδοσκοπικό οργανισμό με έδρα το Cambridge της Μασαχουσέτης. Ιδρύθηκε το 1998 από τον μαθηματικό του Χάρβαρντ A. Jaffee και τον επιχειρηματία L. Clay. Στόχος του ινστιτούτου είναι η εκλαΐκευση και ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης. Για να επιτευχθεί αυτό, ο οργανισμός απονέμει βραβεία σε επιστήμονες και χορηγούς που υπόσχονται έρευνα.

Στις αρχές του 21ου αιώνα Μαθηματικό ΙνστιτούτοΗ Kleya πρόσφερε ένα βραβείο σε όσους λύνουν προβλήματα που είναι γνωστό ότι είναι τα πιο δύσκολα άλυτα προβλήματα, αποκαλώντας τη λίστα τους Προβλήματα με το Βραβείο Χιλιετίας. Από τη λίστα Hilbert, μόνο η υπόθεση Riemann συμπεριλήφθηκε σε αυτήν.

Προκλήσεις της Χιλιετίας

Η λίστα του Clay Institute αρχικά περιελάμβανε:

• Υπόθεση του κύκλου Hodge;
• εξισώσεις κβαντική θεωρία Young-Mills;
• Εικασία Πουανκαρέ;
• Πρόβλημα ισότητας των κατηγοριών P και NP.
• Υπόθεση Riemann;
• σχετικά με την ύπαρξη και την ομαλότητα των λύσεών του·
• Πρόβλημα Birch-Swinnerton-Dyer.

Αυτά τα ανοιχτά μαθηματικά προβλήματα παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον γιατί μπορούν να έχουν πολλές πρακτικές εφαρμογές.

Τι απέδειξε ο Γκριγκόρι Πέρελμαν

Το 1900, ο διάσημος επιστήμονας-φιλόσοφος Henri Poincaré πρότεινε ότι κάθε απλά συνδεδεμένη συμπαγής τρισδιάστατη πολλαπλότητα χωρίς σύνορα είναι ομοιομορφική σε μια τρισδιάστατη σφαίρα. Η απόδειξή του στη γενική υπόθεση δεν βρέθηκε για έναν αιώνα. Μόνο το 2002-2003, ο μαθηματικός της Αγίας Πετρούπολης G. Perelman δημοσίευσε μια σειρά από άρθρα που λύνουν το πρόβλημα Poincaré. Προκάλεσαν το αποτέλεσμα μιας έκρηξης βόμβας. Το 2010, η υπόθεση του Πουανκαρέ αποκλείστηκε από τη λίστα των «Άλυτων Προβλημάτων» του Ινστιτούτου Κλέι και στον ίδιο τον Πέρελμαν προσφέρθηκε να λάβει τη σημαντική ανταμοιβή που του αναλογούσε, την οποία ο τελευταίος αρνήθηκε χωρίς να εξηγήσει τους λόγους της απόφασής του.

Η πιο κατανοητή εξήγηση αυτού που μπόρεσε να αποδείξει ο Ρώσος μαθηματικός μπορεί να δοθεί με το να φανταστεί κανείς ότι τεντώνουν έναν λαστιχένιο δίσκο πάνω από ένα ντόνατ (τόρος) και στη συνέχεια προσπαθούν να τραβήξουν τις άκρες του κύκλου του σε ένα σημείο. Προφανώς αυτό είναι αδύνατο. Είναι διαφορετικό εάν κάνετε αυτό το πείραμα με μια μπάλα. Στην περίπτωση αυτή, φαίνεται ότι μια τρισδιάστατη σφαίρα που προκύπτει από έναν δίσκο, η περιφέρεια του οποίου τραβήχτηκε σε ένα σημείο από ένα υποθετικό κορδόνι, θα είναι τρισδιάστατη στην κατανόηση φυσιολογικό άτομο, αλλά δισδιάστατη από μαθηματική άποψη.

Ο Πουανκαρέ πρότεινε ότι η τρισδιάστατη σφαίρα είναι το μόνο τρισδιάστατο «αντικείμενο» του οποίου η επιφάνεια μπορεί να συστέλλεται σε ένα σημείο, και ο Πέρελμαν μπόρεσε να το αποδείξει αυτό. Έτσι, ο κατάλογος των «Αλύτων Προβλημάτων» σήμερα αποτελείται από 6 προβλήματα.

Θεωρία Yang-Mills

Αυτό το μαθηματικό πρόβλημα προτάθηκε από τους συγγραφείς του το 1954. Η επιστημονική διατύπωση της θεωρίας έχει ως εξής: για κάθε απλή συμπαγή ομάδα μετρητών, υπάρχει η κβαντική χωρική θεωρία που δημιουργήθηκε από τους Yang και Mills και ταυτόχρονα έχει ελάττωμα μηδενικής μάζας.

Μιλώντας σε μια γλώσσα που μπορεί να καταλάβει ο μέσος άνθρωπος, οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ τους φυσικά αντικείμενα(σωματίδια, σώματα, κύματα κ.λπ.) χωρίζονται σε 4 τύπους: ηλεκτρομαγνητικά, βαρυτικά, αδύναμα και ισχυρά. Εδώ και πολλά χρόνια, οι φυσικοί προσπαθούν να δημιουργήσουν γενική θεωρίαχωράφια. Πρέπει να γίνει ένα εργαλείο για να εξηγηθούν όλες αυτές οι αλληλεπιδράσεις. Η θεωρία Yang-Mills είναι μαθηματική γλώσσα, με τη βοήθεια του οποίου κατέστη δυνατή η περιγραφή 3 από τις 4 κύριες δυνάμεις της φύσης. Δεν ισχύει για τη βαρύτητα. Επομένως, δεν μπορεί να θεωρηθεί ότι οι Young και Mills πέτυχαν να δημιουργήσουν μια θεωρία πεδίου.

Επιπλέον, η μη γραμμικότητα των προτεινόμενων εξισώσεων καθιστά εξαιρετικά δύσκολη την επίλυσή τους. Για μικρές σταθερές σύζευξης, μπορούν να λυθούν κατά προσέγγιση με τη μορφή μιας σειράς θεωρίας διαταραχών. Ωστόσο, δεν είναι ακόμη σαφές πώς μπορούν να λυθούν αυτές οι εξισώσεις υπό ισχυρή σύζευξη.

Εξισώσεις Navier-Stokes

Αυτές οι εκφράσεις περιγράφουν διαδικασίες όπως τα ρεύματα αέρα, η ροή ρευστού και οι αναταράξεις. Για ορισμένες ειδικές περιπτώσεις, έχουν ήδη βρεθεί αναλυτικές λύσεις για την εξίσωση Navier-Stokes, αλλά κανείς δεν έχει ακόμη καταφέρει να το κάνει αυτό για τη γενική περίπτωση. Ταυτόχρονα, η αριθμητική μοντελοποίηση για συγκεκριμένες τιμές ταχύτητας, πυκνότητας, πίεσης, χρόνου και ούτω καθεξής επιτρέπει σε κάποιον να επιτύχει εξαιρετικά αποτελέσματα. Μπορούμε μόνο να ελπίζουμε ότι κάποιος θα μπορέσει να εφαρμόσει τις εξισώσεις Navier-Stokes αντίστροφη κατεύθυνση, δηλαδή, να υπολογίσετε τις παραμέτρους χρησιμοποιώντας αυτές ή να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει μέθοδος επίλυσης.

Πρόβλημα Birch-Swinnerton-Dyer

Η κατηγορία των «Αλυμένων Προβλημάτων» περιλαμβάνει επίσης μια υπόθεση που προτάθηκε από Άγγλους επιστήμονες από το Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ. Ακόμη και πριν από 2300 χρόνια, ο αρχαίος Έλληνας επιστήμονας Ευκλείδης έδωσε Πλήρης περιγραφήλύσεις της εξίσωσης x2 + y2 = z2.

Αν για κάθε πρώτο αριθμό μετρήσουμε τον αριθμό των σημείων στην καμπύλη modulo it, παίρνουμε ένα άπειρο σύνολο ακεραίων αριθμών. Εάν το «κολλήσετε» συγκεκριμένα σε 1 συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής, τότε λαμβάνετε τη συνάρτηση ζήτα Hasse-Weil για μια καμπύλη τρίτης τάξης, που συμβολίζεται με το γράμμα L. Περιέχει πληροφορίες σχετικά με τη συμπεριφορά του modulo όλων των πρώτων αριθμών ταυτόχρονα .

Οι Brian Birch και Peter Swinnerton-Dyer πρότειναν μια εικασία σχετικά με τις ελλειπτικές καμπύλες. Σύμφωνα με αυτό, η δομή και η ποσότητα του συνόλου των ορθολογικών λύσεών του σχετίζονται με τη συμπεριφορά της συνάρτησης L στη μονάδα. Αναπόδεικτη στο αυτή τη στιγμήΗ εικασία Birch-Swinnerton-Dyer εξαρτάται από την περιγραφή των αλγεβρικών εξισώσεων του βαθμού 3 και είναι ο μόνος σχετικά απλός γενικός τρόπος υπολογισμού της κατάταξης των ελλειπτικών καμπυλών.

Για να κατανοήσουμε την πρακτική σημασία αυτού του προβλήματος, αρκεί να πούμε ότι στη σύγχρονη κρυπτογραφία ελλειπτικής καμπύλης βασίζεται μια ολόκληρη κατηγορία ασύμμετρων συστημάτων και χρησιμοποιείται η εφαρμογή τους εγχώρια πρότυπαψηφιακή υπογραφή.

Ισότητα κλάσεων p και np

Αν τα υπόλοιπα Προβλήματα της Χιλιετίας είναι καθαρά μαθηματικά, τότε αυτό σχετίζεται με την τρέχουσα θεωρία των αλγορίθμων. Το πρόβλημα σχετικά με την ισότητα των κλάσεων p και np, γνωστό και ως πρόβλημα Cook-Lewin, μπορεί να διατυπωθεί με σαφή γλώσσα ως εξής. Ας υποθέσουμε ότι μια θετική απάντηση σε μια συγκεκριμένη ερώτηση μπορεί να ελεγχθεί αρκετά γρήγορα, δηλαδή σε πολυωνυμικό χρόνο (PT). Τότε είναι σωστό να πούμε ότι η απάντηση σε αυτό μπορεί να βρεθεί αρκετά γρήγορα; Ακούγεται ακόμα πιο απλό: δεν είναι πραγματικά πιο δύσκολο να ελέγξετε τη λύση σε ένα πρόβλημα από το να την βρείτε; Εάν αποδειχθεί ποτέ η ισότητα των κλάσεων p και np, τότε όλα τα προβλήματα επιλογής μπορούν να λυθούν με PV. Αυτή τη στιγμή, πολλοί ειδικοί αμφιβάλλουν για την αλήθεια αυτής της δήλωσης, αν και δεν μπορούν να αποδείξουν το αντίθετο.

Υπόθεση Riemann

Μέχρι το 1859, δεν εντοπίστηκε κανένα μοτίβο που να περιγράφει πώς οι πρώτοι αριθμοί κατανέμονται μεταξύ των φυσικών αριθμών. Ίσως αυτό οφειλόταν στο γεγονός ότι η επιστήμη ασχολούνταν με άλλα θέματα. Ωστόσο, από τα μέσα του 19ου αιώνα, η κατάσταση άλλαξε και έγιναν ένα από τα πιο σημαντικά που άρχισαν να μελετούν τα μαθηματικά.

Η υπόθεση Riemann, η οποία προέκυψε κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, είναι η υπόθεση ότι υπάρχει ένα συγκεκριμένο μοτίβο στην κατανομή των πρώτων αριθμών.

Σήμερα, πολλοί σύγχρονοι επιστήμονες πιστεύουν ότι εάν αποδειχθεί, πολλές από τις θεμελιώδεις αρχές της σύγχρονης κρυπτογραφίας, που αποτελούν τη βάση μεγάλου μέρους των μηχανισμών ηλεκτρονικού εμπορίου, θα πρέπει να επανεξεταστούν.

Σύμφωνα με την υπόθεση Riemann, η φύση της κατανομής των πρώτων αριθμών μπορεί να διαφέρει σημαντικά από αυτό που υποτίθεται επί του παρόντος. Γεγονός είναι ότι μέχρι στιγμής δεν έχει ανακαλυφθεί κανένα σύστημα κατανομής πρώτων αριθμών. Για παράδειγμα, υπάρχει το πρόβλημα των «διδύμων», η διαφορά μεταξύ των οποίων είναι 2. Αυτοί οι αριθμοί είναι 11 και 13, 29. Άλλοι πρώτοι αριθμοί σχηματίζουν συστάδες. Αυτά είναι τα 101, 103, 107 κ.λπ. Οι επιστήμονες υποψιάζονταν εδώ και καιρό ότι τέτοια σμήνη υπάρχουν ανάμεσα σε πολύ μεγάλους πρώτους αριθμούς. Εάν βρεθούν, θα αμφισβητηθεί η ισχύς των σύγχρονων κρυπτοκλειδών.

Εικασία κύκλου Hodge

Αυτό το ακόμη άλυτο πρόβλημα διατυπώθηκε το 1941. Η υπόθεση του Hodge προτείνει τη δυνατότητα προσέγγισης του σχήματος οποιουδήποτε αντικειμένου «κολλώντας» μεταξύ τους απλά σώματα υψηλότερης διάστασης. Αυτή η μέθοδος είναι γνωστή και χρησιμοποιείται με επιτυχία εδώ και πολύ καιρό. Ωστόσο, δεν είναι γνωστό σε ποιο βαθμό μπορεί να πραγματοποιηθεί απλοποίηση.

Τώρα ξέρετε ποια άλυτα προβλήματα υπάρχουν αυτή τη στιγμή. Αποτελούν αντικείμενο έρευνας από χιλιάδες επιστήμονες σε όλο τον κόσμο. Μπορούμε μόνο να ελπίζουμε ότι θα επιλυθούν στο εγγύς μέλλον, και τους πρακτική χρήσηθα βοηθήσει την ανθρωπότητα να εισέλθει σε ένα νέο στάδιο τεχνολογικής ανάπτυξης.

Έτσι, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά (συχνά αποκαλούμενο το τελευταίο θεώρημα του Φερμά), που διατυπώθηκε το 1637 από τον λαμπρό Γάλλο μαθηματικό Πιερ Φερμά, είναι πολύ απλό στη φύση και κατανοητό σε οποιονδήποτε έχει δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Λέει ότι ο τύπος a στη δύναμη του n + b στη δύναμη του n = c στη δύναμη του n δεν έχει φυσικές (δηλαδή, όχι κλασματικές) λύσεις για n > 2. Όλα φαίνονται απλά και ξεκάθαρα, αλλά το Οι καλύτεροι μαθηματικοί και οι απλοί ερασιτέχνες αγωνίστηκαν στην αναζήτηση μιας λύσης για περισσότερους από τρεισήμισι αιώνες.

Δεν υπάρχουν πολλοί άνθρωποι στον κόσμο που δεν έχουν ακούσει ποτέ για το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά - ίσως αυτό είναι το μόνο μαθηματικό πρόβλημα, που έγινε τόσο ευρέως γνωστό και έγινε πραγματικός θρύλος. Αναφέρεται σε πολλά βιβλία και ταινίες, και το κύριο πλαίσιο σχεδόν όλων των αναφορών είναι η αδυναμία απόδειξης του θεωρήματος.

Ναι, αυτό το θεώρημα είναι πολύ γνωστό και, κατά μία έννοια, έχει γίνει ένα «είδωλο» που λατρεύεται από ερασιτέχνες και επαγγελματίες μαθηματικούς, αλλά λίγοι γνωρίζουν ότι η απόδειξή του βρέθηκε και αυτό συνέβη το 1995. Πρώτα όμως πρώτα.

Έτσι, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά (συχνά αποκαλούμενο το τελευταίο θεώρημα του Φερμά), που διατυπώθηκε το 1637 από τον λαμπρό Γάλλο μαθηματικό Πιερ Φερμά, είναι πολύ απλό στην ουσία και κατανοητό σε οποιονδήποτε έχει δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Λέει ότι ο τύπος a στη δύναμη του n + b στη δύναμη του n = c στη δύναμη του n δεν έχει φυσικές (δηλαδή, όχι κλασματικές) λύσεις για n > 2. Όλα φαίνονται απλά και ξεκάθαρα, αλλά το Οι καλύτεροι μαθηματικοί και οι απλοί ερασιτέχνες αγωνίστηκαν στην αναζήτηση μιας λύσης για περισσότερους από τρεισήμισι αιώνες.

Γιατί είναι τόσο διάσημη; Τώρα θα μάθουμε...

Υπάρχουν πολλά αποδεδειγμένα, αναπόδεικτα και αναπόδεικτα ακόμη θεωρήματα; Το θέμα εδώ είναι ότι το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά αντιπροσωπεύει τη μεγαλύτερη αντίθεση μεταξύ της απλότητας της διατύπωσης και της πολυπλοκότητας της απόδειξης. Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι ένα απίστευτα δύσκολο πρόβλημα, και όμως η διατύπωσή του μπορεί να γίνει κατανοητή από οποιονδήποτε από την 5η τάξη του λυκείου, αλλά ούτε καν κάθε επαγγελματίας μαθηματικός μπορεί να καταλάβει την απόδειξη. Ούτε στη φυσική, ούτε στη χημεία, ούτε στη βιολογία, ούτε στα μαθηματικά, δεν υπάρχει ένα μόνο πρόβλημα που θα μπορούσε να διατυπωθεί τόσο απλά, αλλά να έμεινε άλυτο για τόσο καιρό. 2. Από τι αποτελείται;

Ας ξεκινήσουμε με τα πυθαγόρεια παντελόνια Η διατύπωση είναι πραγματικά απλή - με την πρώτη ματιά. Όπως γνωρίζουμε από την παιδική ηλικία, «τα πυθαγόρεια παντελόνια είναι ίσα από όλες τις πλευρές». Το πρόβλημα φαίνεται τόσο απλό γιατί βασίστηκε σε μια μαθηματική πρόταση που όλοι γνωρίζουν - το Πυθαγόρειο θεώρημα: σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο που χτίζεται στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη.

Τον 5ο αιώνα π.Χ. Ο Πυθαγόρας ίδρυσε την Πυθαγόρεια αδελφότητα. Οι Πυθαγόρειοι, μεταξύ άλλων, μελέτησαν ακέραιες τριπλέτες που ικανοποιούσαν την ισότητα x²+y²=z². Απέδειξαν ότι υπάρχουν άπειρες Πυθαγόρειες τριάδες και έλαβαν γενικούς τύπους για την εύρεση τους. Μάλλον προσπάθησαν να ψάξουν για C και ανώτερα πτυχία. Πεπεισμένοι ότι αυτό δεν λειτούργησε, οι Πυθαγόρειοι εγκατέλειψαν τις άχρηστες προσπάθειές τους. Τα μέλη της αδελφότητας ήταν περισσότερο φιλόσοφοι και αισθητιστές παρά μαθηματικοί.

Δηλαδή, είναι εύκολο να επιλέξετε ένα σύνολο αριθμών που ικανοποιούν απόλυτα την ισότητα x²+y²=z²

Ξεκινώντας από το 3, 4, 5 - πράγματι, ένας κατώτερος μαθητής καταλαβαίνει ότι 9 + 16 = 25.

Ή 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Υπέροχα.

Άρα, αποδεικνύεται ότι ΔΕΝ είναι. Εδώ αρχίζει το κόλπο. Η απλότητα είναι εμφανής, γιατί είναι δύσκολο να αποδειχθεί όχι η παρουσία κάτι, αλλά, αντίθετα, η απουσία του. Όταν χρειάζεται να αποδείξετε ότι υπάρχει λύση, μπορείτε και πρέπει απλώς να παρουσιάσετε αυτήν τη λύση.

Η απόδειξη της απουσίας είναι πιο δύσκολη: για παράδειγμα, κάποιος λέει: η τάδε εξίσωση δεν έχει λύσεις. Να τον βάλω σε μια λακκούβα; εύκολο: μπαμ - και εδώ είναι, η λύση! (δώστε λύση). Και αυτό είναι όλο, ο αντίπαλος ηττήθηκε. Πώς να αποδείξετε την απουσία;

Πείτε: "Δεν έχω βρει τέτοιες λύσεις"; Ή μήπως δεν έδειχνες καλά; Τι θα συμβεί αν υπάρχουν, μόνο πολύ μεγάλα, πολύ μεγάλα, έτσι ώστε ακόμη και ένας υπερ-ισχυρός υπολογιστής να μην έχει αρκετή δύναμη; Αυτό είναι το δύσκολο.

Αυτό μπορεί να φανεί οπτικά ως εξής: εάν πάρετε δύο τετράγωνα κατάλληλων μεγεθών και τα αποσυναρμολογήσετε σε τετράγωνα μονάδων, τότε από αυτό το μάτσο τετράγωνων μονάδων θα έχετε ένα τρίτο τετράγωνο (Εικ. 2):


Αλλά ας κάνουμε το ίδιο με την τρίτη διάσταση (Εικ. 3) - δεν λειτουργεί. Δεν υπάρχουν αρκετοί κύβοι ή έχουν απομείνει επιπλέον:

Όμως ο Γάλλος μαθηματικός του 17ου αιώνα Pierre de Fermat μελέτησε με ενθουσιασμό τη γενική εξίσωση x n + y n = z n. Και τελικά, κατέληξα: για n>2 δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις. Η απόδειξη του Φερμά έχει χαθεί ανεπανόρθωτα. Τα χειρόγραφα καίγονται! Το μόνο που μένει είναι η παρατήρησή του στην Αριθμητική του Διόφαντου: «Βρήκα μια πραγματικά εκπληκτική απόδειξη αυτής της πρότασης, αλλά τα περιθώρια εδώ είναι πολύ στενά για να τη συγκρατήσουν».

Στην πραγματικότητα, ένα θεώρημα χωρίς απόδειξη ονομάζεται υπόθεση. Αλλά ο Fermat έχει τη φήμη ότι δεν κάνει ποτέ λάθη. Ακόμα κι αν δεν άφησε στοιχεία για δήλωση, στη συνέχεια επιβεβαιώθηκε. Επιπλέον, ο Fermat απέδειξε τη διατριβή του για n=4. Έτσι, η υπόθεση του Γάλλου μαθηματικού έμεινε στην ιστορία ως το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά.

Μετά τον Fermat, τόσο μεγάλα μυαλά όπως ο Leonhard Euler εργάστηκαν στην αναζήτηση μιας απόδειξης (το 1770 πρότεινε μια λύση για το n = 3),

Adrien Legendre και Johann Dirichlet (αυτοί οι επιστήμονες βρήκαν από κοινού την απόδειξη για n = 5 το 1825), Gabriel Lamé (που βρήκε την απόδειξη για n = 7) και πολλοί άλλοι. Στα μέσα της δεκαετίας του '80 του περασμένου αιώνα, κατέστη σαφές ότι ο επιστημονικός κόσμος βρισκόταν στο δρόμο προς την τελική λύση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά, αλλά μόλις το 1993 οι μαθηματικοί είδαν και πίστεψαν ότι το έπος τριών αιώνων της αναζήτησης μιας απόδειξης Το τελευταίο θεώρημα του Fermat είχε σχεδόν τελειώσει.

Αποδεικνύεται εύκολα ότι αρκεί να αποδειχθεί το θεώρημα του Fermat μόνο για απλά n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Για το σύνθετο n, η απόδειξη παραμένει έγκυρη. Υπάρχουν όμως άπειροι πρώτοι αριθμοί...

Το 1825, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της Sophie Germain, οι γυναίκες μαθηματικοί, η Dirichlet και η Legendre απέδειξαν ανεξάρτητα το θεώρημα για n=5. Το 1839, χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο, ο Γάλλος Gabriel Lame έδειξε την αλήθεια του θεωρήματος για n=7. Σταδιακά το θεώρημα αποδείχθηκε για σχεδόν όλα τα n λιγότερο από εκατό.

Τέλος, ο Γερμανός μαθηματικός Ernst Kummer, σε μια λαμπρή μελέτη, έδειξε ότι το θεώρημα γενικά δεν μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας τις μεθόδους των μαθηματικών του 19ου αιώνα. Το Βραβείο της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών, που ιδρύθηκε το 1847 για την απόδειξη του θεωρήματος του Φερμά, παρέμεινε αδιάθετο.

Το 1907, ο πλούσιος γερμανός βιομήχανος Paul Wolfskehl αποφάσισε να αυτοκτονήσει εξαιτίας της αγάπης που δεν ανταποκρίθηκε. Σαν γνήσιος Γερμανός, όρισε την ημερομηνία και την ώρα της αυτοκτονίας: ακριβώς τα μεσάνυχτα. Την τελευταία μέρα έκανε διαθήκη και έγραψε γράμματα σε φίλους και συγγενείς. Τα πράγματα τελείωσαν πριν τα μεσάνυχτα. Πρέπει να πούμε ότι ο Παύλος ενδιαφέρθηκε για τα μαθηματικά. Μη έχοντας τίποτα άλλο να κάνει, πήγε στη βιβλιοθήκη και άρχισε να διαβάζει το διάσημο άρθρο του Kummer. Ξαφνικά του φάνηκε ότι ο Κούμερ είχε κάνει λάθος στο σκεπτικό του. Ο Wolfskel άρχισε να αναλύει αυτό το μέρος του άρθρου με ένα μολύβι στα χέρια του. Πέρασαν τα μεσάνυχτα, ήρθε το πρωί. Το κενό στην απόδειξη έχει καλυφθεί. Και ο ίδιος ο λόγος της αυτοκτονίας φαινόταν πλέον εντελώς γελοίος. Ο Παύλος έσκισε τις αποχαιρετιστήριες επιστολές του και ξαναέγραψε τη διαθήκη του.

Σύντομα πέθανε από φυσικά αίτια. Οι κληρονόμοι έμειναν αρκετά έκπληκτοι: 100.000 μάρκα (πάνω από 1.000.000 τρέχουσες λίρες στερλίνες) μεταφέρθηκαν στον λογαριασμό της Βασιλικής Επιστημονικής Εταιρείας του Γκέτινγκεν, η οποία την ίδια χρονιά ανακοίνωσε διαγωνισμό για το Βραβείο Wolfskehl. 100.000 μόρια απονεμήθηκαν στο άτομο που απέδειξε το θεώρημα του Φερμά. Δεν απονεμήθηκε ούτε ένα pfennig για την αντίκρουση του θεωρήματος...

Οι περισσότεροι επαγγελματίες μαθηματικοί θεώρησαν την αναζήτηση μιας απόδειξης του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά μια απελπιστική εργασία και αρνήθηκαν αποφασιστικά να σπαταλήσουν χρόνο σε μια τόσο άχρηστη άσκηση. Αλλά οι ερασιτέχνες είχαν μια έκρηξη. Λίγες εβδομάδες μετά την ανακοίνωση, μια χιονοστιβάδα «αποδεικτικών στοιχείων» έπληξε το Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν. Ο καθηγητής E.M. Landau, του οποίου η ευθύνη ήταν να αναλύσει τα αποδεικτικά στοιχεία που στάλθηκαν, μοίρασε κάρτες στους μαθητές του:

Αγαπητός. . . . . . . .

Σας ευχαριστώ που μου στείλατε το χειρόγραφο με την απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά. Το πρώτο σφάλμα βρίσκεται στη σελίδα ... στη σειρά... . Εξαιτίας αυτού, ολόκληρη η απόδειξη χάνει την ισχύ της.
Καθηγητής E. M. Landau

Το 1963, ο Paul Cohen, βασιζόμενος στα ευρήματα του Gödel, απέδειξε την άλυτη κατάσταση ενός από τα είκοσι τρία προβλήματα του Hilbert - την υπόθεση του συνεχούς. Τι κι αν το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι επίσης αδιευκρίνιστο;! Αλλά οι αληθινοί φανατικοί του Μεγάλου Θεωρήματος δεν απογοητεύτηκαν καθόλου. Η εμφάνιση των υπολογιστών έδωσε ξαφνικά στους μαθηματικούς μια νέα μέθοδο απόδειξης. Μετά τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο, ομάδες προγραμματιστών και μαθηματικών απέδειξαν το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά για όλες τις τιμές του n έως το 500, μετά μέχρι το 1.000 και αργότερα μέχρι το 10.000.

Στη δεκαετία του 1980, ο Samuel Wagstaff αύξησε το όριο στις 25.000, και στη δεκαετία του 1990, οι μαθηματικοί δήλωσαν ότι το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat ήταν αληθές για όλες τις τιμές n έως 4 εκατομμύρια. Αλλά αν αφαιρέσετε έστω και ένα τρισεκατομμύριο τρισεκατομμύριο από το άπειρο, δεν θα γίνει μικρότερο. Οι μαθηματικοί δεν πείθονται από τις στατιστικές. Το να αποδείξεις το Μεγάλο Θεώρημα σήμαινε να το αποδείξεις για ΟΛΑ τα n που πήγαιναν στο άπειρο.

Το 1954, δύο νεαροί Ιάπωνες φίλοι μαθηματικοί άρχισαν να ερευνούν τις αρθρωτές μορφές. Αυτές οι φόρμες δημιουργούν σειρές αριθμών, ο καθένας με τη δική του σειρά. Κατά τύχη, η Taniyama συνέκρινε αυτές τις σειρές με σειρές που δημιουργούνται από ελλειπτικές εξισώσεις. Ταίριαξαν! Αλλά οι αρθρωτές μορφές είναι γεωμετρικά αντικείμενα και οι ελλειπτικές εξισώσεις είναι αλγεβρικές. Δεν έχει βρεθεί ποτέ σύνδεση μεταξύ τόσο διαφορετικών αντικειμένων.

Ωστόσο, μετά από προσεκτική δοκιμή, οι φίλοι διατύπωσαν μια υπόθεση: κάθε ελλειπτική εξίσωση έχει ένα δίδυμο - μια σπονδυλωτή μορφή και το αντίστροφο. Ήταν αυτή η υπόθεση που έγινε το θεμέλιο μιας ολόκληρης κατεύθυνσης στα μαθηματικά, αλλά μέχρι να αποδειχτεί η υπόθεση Taniyama-Shimura, ολόκληρο το κτίριο μπορούσε να καταρρεύσει ανά πάσα στιγμή.

Το 1984, ο Gerhard Frey έδειξε ότι μια λύση στην εξίσωση του Fermat, εάν υπάρχει, μπορεί να συμπεριληφθεί σε κάποια ελλειπτική εξίσωση. Δύο χρόνια αργότερα, ο καθηγητής Ken Ribet απέδειξε ότι αυτή η υποθετική εξίσωση δεν θα μπορούσε να έχει αντίστοιχο στον αρθρωτό κόσμο. Από εδώ και πέρα, το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά ήταν άρρηκτα συνδεδεμένο με την εικασία Taniyama-Shimura. Έχοντας αποδείξει ότι οποιαδήποτε ελλειπτική καμπύλη είναι σπονδυλωτή, συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχει ελλειπτική εξίσωση με λύση της εξίσωσης του Φερμά και το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά θα αποδεικνυόταν αμέσως. Αλλά για τριάντα χρόνια δεν ήταν δυνατό να αποδειχθεί η υπόθεση Taniyama-Shimura και υπήρχαν όλο και λιγότερες ελπίδες για επιτυχία.

Το 1963, όταν ήταν μόλις δέκα ετών, ο Andrew Wiles ήταν ήδη γοητευμένος από τα μαθηματικά. Όταν έμαθε για το Μεγάλο Θεώρημα, συνειδητοποίησε ότι δεν μπορούσε να το παρατήσει. Ως μαθητής, φοιτητής και μεταπτυχιακός φοιτητής, προετοιμάστηκε για αυτό το έργο.

Έχοντας μάθει για τα ευρήματα του Ken Ribet, ο Wiles βυθίστηκε αδιάκοπα στην απόδειξη της υπόθεσης Taniyama-Shimura. Αποφάσισε να εργαστεί σε πλήρη απομόνωση και μυστικότητα. «Συνειδητοποίησα ότι όλα όσα είχαν να κάνουν με το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά προκαλούν υπερβολικό ενδιαφέρον... Πάρα πολλοί θεατές προφανώς παρεμβαίνουν στην επίτευξη του στόχου». Επτά χρόνια σκληρής δουλειάς απέδωσαν, ο Γουάιλς ολοκλήρωσε τελικά την απόδειξη της εικασίας Τανιγιάμα-Σιμούρα.

Το 1993, ο Άγγλος μαθηματικός Andrew Wiles παρουσίασε στον κόσμο την απόδειξή του για το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά (ο Wiles διάβασε τη συγκλονιστική εργασία του σε ένα συνέδριο στο Ινστιτούτο Sir Isaac Newton στο Cambridge.), έργο για το οποίο διήρκεσε περισσότερα από επτά χρόνια.

Ενώ η δημοσιότητα συνεχιζόταν στον Τύπο, άρχισε σοβαρή δουλειά για την επαλήθευση των αποδεικτικών στοιχείων. Κάθε αποδεικτικό στοιχείο πρέπει να εξετάζεται προσεκτικά προτού τα στοιχεία θεωρηθούν αυστηρά και ακριβή. Ο Wiles πέρασε ένα ανήσυχο καλοκαίρι περιμένοντας σχόλια από τους κριτικούς, ελπίζοντας ότι θα μπορούσε να κερδίσει την έγκρισή τους. Στα τέλη Αυγούστου, οι ειδικοί διαπίστωσαν ότι η απόφαση ήταν ανεπαρκώς τεκμηριωμένη.

Αποδείχθηκε ότι αυτή η απόφαση περιέχει ένα χονδροειδές λάθος, αν και σε γενικές γραμμές είναι σωστή. Ο Wiles δεν το έβαλε κάτω, κάλεσε τη βοήθεια του διάσημου ειδικού στη θεωρία αριθμών Richard Taylor και ήδη το 1994 δημοσίευσαν μια διορθωμένη και διευρυμένη απόδειξη του θεωρήματος. Το πιο εκπληκτικό είναι ότι αυτή η εργασία κατέλαβε έως και 130 (!) σελίδες στο μαθηματικό περιοδικό «Annals of Mathematics». Αλλά η ιστορία δεν τελείωσε ούτε εκεί - το τελικό σημείο έφτασε μόνο το επόμενο έτος, το 1995, όταν δημοσιεύτηκε η τελική και «ιδανική», από μαθηματική άποψη, έκδοση της απόδειξης.

«...μισό λεπτό μετά την έναρξη του εορταστικού δείπνου με την ευκαιρία των γενεθλίων της, παρουσίασα στη Νάντια το χειρόγραφο της πλήρους απόδειξης» (Andrew Wales). Δεν έχω πει ακόμα ότι οι μαθηματικοί είναι περίεργοι άνθρωποι;

Αυτή τη φορά δεν υπήρχε καμία αμφιβολία για τα στοιχεία. Δύο άρθρα υποβλήθηκαν στην πιο προσεκτική ανάλυση και δημοσιεύτηκαν τον Μάιο του 1995 στο Annals of Mathematics.

Έχει περάσει πολύς χρόνος από εκείνη τη στιγμή, αλλά εξακολουθεί να υπάρχει η άποψη στην κοινωνία ότι το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι άλυτο. Αλλά ακόμη και όσοι γνωρίζουν για την απόδειξη που βρέθηκε συνεχίζουν να εργάζονται προς αυτή την κατεύθυνση - λίγοι είναι ικανοποιημένοι ότι το Μεγάλο Θεώρημα απαιτεί μια λύση 130 σελίδων!

Επομένως, τώρα οι προσπάθειες πολλών μαθηματικών (κυρίως ερασιτεχνών, όχι επαγγελματιών επιστημόνων) ρίχνονται στην αναζήτηση μιας απλής και συνοπτικής απόδειξης, αλλά αυτός ο δρόμος, πιθανότατα, δεν θα οδηγήσει πουθενά...

πηγή

1. 1 Μουράτ:

   Θεωρήσαμε ότι η ισότητα Zn = Xn + Yn είναι η εξίσωση του Διόφαντου ή το μεγάλο θεώρημα του Fermat, και αυτή είναι η λύση της εξίσωσης (Zn-Xn) Xn = (Zn – Yn) Yn. Τότε το Zn =-(Xn + Yn) είναι λύση της εξίσωσης (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn. Αυτές οι εξισώσεις και λύσεις σχετίζονται με τις ιδιότητες των ακεραίων και τις πράξεις σε αυτούς. Άρα δεν γνωρίζουμε τις ιδιότητες των ακεραίων;! Με τόσο περιορισμένη γνώση δεν θα αποκαλύψουμε την αλήθεια.
   Θεωρήστε τις λύσεις Zn = +(Xn + Yn) και Zn =-(Xn + Yn) όταν n = 1. Οι ακέραιοι + Z σχηματίζονται χρησιμοποιώντας 10 ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Διαιρούνται με το 2 ολόκληροι αριθμοί+X – ζυγά, τελευταία δεξιά ψηφία: 0, 2, 4, 6, 8 και +Y – περιττά, τελευταία δεξιά ψηφία: 1, 3, 5, 7, 9, δηλ. + X = + Y. Ο αριθμός των Y = 5 – περιττοί και X = 5 – ζυγοί αριθμοί είναι: Z = 10. Ικανοποιεί την εξίσωση: (Z – X) X = (Z – Y) Y, και η λύση είναι + Ζ = +Χ + Υ= +(Χ + Υ).
   Οι ακέραιοι αριθμοί -Z αποτελούνται από την ένωση -X – άρτιο και –Y – περιττό και ικανοποιούν την εξίσωση:
   (Z + X) X = (Z + Y) Y, και η λύση είναι -Z = – X – Y = – (X + Y).
   Αν Z/X = Y ή Z/Y = X, τότε Z = XY; Z / -X = -Y ή Z / -Y = -X, μετά Z = (-X)(-Y). Η διαίρεση ελέγχεται με πολλαπλασιασμό.
   Οι μονοψήφιοι θετικοί και αρνητικοί αριθμοί αποτελούνται από 5 περιττούς και 5 περιττούς αριθμούς.
   Θεωρήστε την περίπτωση n = 2. Τότε Z2 = X2 + Y2 είναι λύση της εξίσωσης (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 και Z2 = -(X2 + Y2) είναι λύση της εξίσωσης (Z2 + Χ2) Χ2 = (Ζ2 + Υ2) Υ2. Θεωρήσαμε ότι το Ζ2 = Χ2 + Υ2 είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα και τότε η λύση Ζ2 = -(Χ2 + Υ2) είναι το ίδιο θεώρημα. Γνωρίζουμε ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου το χωρίζει σε 2 μέρη, όπου η διαγώνιος είναι η υποτείνουσα. Τότε ισχύουν οι ισότητες: Z2 = X2 + Y2, και Z2 = -(X2 + Y2) όπου X και Y είναι σκέλη. Και επίσης οι λύσεις R2 = X2 + Y2 και R2 =- (X2 + Y2) είναι κύκλοι, τα κέντρα είναι η αρχή του τετραγωνικού συστήματος συντεταγμένων και με ακτίνα R. Μπορούν να γραφούν με τη μορφή (5n)2 = (3n )2 + (4n)2 , όπου n είναι θετικοί και αρνητικοί ακέραιοι και είναι 3 διαδοχικοί αριθμοί. Επίσης οι λύσεις είναι 2 -αριθμοί bit XY, που αρχίζει με 00 και τελειώνει σε 99 και είναι 102 = 10x10 και μετράει 1 αιώνα = 100 χρόνια.
   Ας θεωρήσουμε λύσεις όταν n = 3. Τότε Z3 = X3 + Y3 λύσεις της εξίσωσης (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3.
   Οι τριψήφιοι αριθμοί XYZ αρχίζει από 000 και τελειώνει σε 999 και είναι 103 = 10x10x10 = 1000 χρόνια = 10 αιώνες
   Από 1000 κύβους ίδιου μεγέθους και χρώματος, μπορείτε να φτιάξετε ένα ρούμπικ της τάξης του 10. Θεωρήστε ένα ρούμπικ της τάξης +103=+1000 - κόκκινο και -103=-1000 - μπλε. Αποτελούνται από 103 = 1000 κύβους. Αν το απλώσουμε και βάλουμε τους κύβους στη μία σειρά ή τον ένα πάνω στον άλλο, χωρίς κενά, θα πάρουμε ένα οριζόντιο ή κάθετο τμήμα μήκους 2000. Το Rubik είναι ένας μεγάλος κύβος, καλυμμένος με μικρούς κύβους, ξεκινώντας από το μέγεθος 1butto = 10st.-21, και δεν μπορεί να προστεθεί σε αυτό ή να αφαιρεθεί ένας κύβος.
   - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
   - (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
   - (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
   Κάθε ακέραιος είναι 1. Προσθέστε 1 (μονάδες) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21 και τα γινόμενα:
   111111111 x 111111111= 12345678987654321; 1111111111 x 111111111= 123456789987654321.
   0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
   Αυτές οι λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν σε αριθμομηχανές 20-bit.
   Είναι γνωστό ότι το +(n3 – n) διαιρείται πάντα με το +6 και το – (n3 – n) διαιρείται πάντα με το -6. Γνωρίζουμε ότι n3 – n = (n-1)n(n+1). Αυτοί είναι 3 διαδοχικοί αριθμοί (n-1)n(n+1), όπου το n είναι άρτιος, μετά διαιρείται με το 2, (n-1) και (n+1) περιττό, διαιρούμενο με το 3. Τότε (n-1) Το n(n+1) διαιρείται πάντα με το 6. Αν n=0, τότε (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, τότε (n-1) n (n+1)=(19)(20)(21).
   Γνωρίζουμε ότι 19 x 19 = 361. Αυτό σημαίνει ότι ένα τετράγωνο περιβάλλεται από 360 τετράγωνα και στη συνέχεια ένας κύβος περιβάλλεται από 360 κύβους. Η ισότητα ισχύει: 6 n – 1 + 6n. Αν n=60, τότε 360 – 1 + 360 και n=61, τότε 366 – 1 + 366.
   Οι γενικεύσεις προκύπτουν από τις παραπάνω δηλώσεις:
   n5 – 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 – 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
   0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
   (n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3 )…3210
   n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! = n! (n+1).
   0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
   n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1)2.
   Αν 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
   = 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
   Οποιοσδήποτε ακέραιος n είναι δύναμη του 10, έχει: – n και +n, +1/ n και -1/ n, περιττό και ζυγό:
   - (n + n +…+ n) =-n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
   + (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
   Είναι σαφές ότι αν προστεθεί κάποιος ακέραιος στον εαυτό του, θα αυξηθεί κατά 2 φορές και το γινόμενο θα είναι τετράγωνο: X = a, Y = a, X+Y = a +a = 2a; XY = a x a =a2. Αυτό θεωρήθηκε το θεώρημα του Βιέτα - λάθος!
   Αν μέσα δεδομένου αριθμούπροσθέστε και αφαιρέστε τον αριθμό b, τότε το άθροισμα δεν αλλάζει, αλλά το γινόμενο αλλάζει, για παράδειγμα:
   X = a + b, Y =a – b, X+Y = a + b + a – b = 2a; XY = (a + b) x (a – b) = a2- b2.
   X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY = (a +√b) x (a -√b) = a2- β.
   X = a + bi, Y =a – bi, X+Y = a + bi + a – bi = 2a; XY = (a + bi) x (a –bi) = a2+ b2.
   X = a +√b i, Y = a – √bi, X+Y = a +√bi+ a – √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
   Αν βάλουμε ακέραιους αντί για τα γράμματα a και b, έχουμε παράδοξα, παραλογισμούς και δυσπιστία για τα μαθηματικά.