In geometria, l'area di una figura è una delle principali caratteristiche numeriche di un corpo piatto. Che cos'è un'area, come determinarla per varie figure e quali proprietà ha - considereremo tutte queste domande in questo articolo.

Cos'è l'area: definizione

L'area di una figura è il numero di quadrati unitari in quella figura; informalmente parlando, questa è la dimensione della figura. Molto spesso, l'area della figura è indicata come "S". Può essere misurato utilizzando una tavolozza o un dispositivo planimetro. Inoltre, l'area di una figura può essere calcolata conoscendone le dimensioni di base. Ad esempio, l'area di un triangolo può essere calcolata utilizzando tre diverse formule:

L'area di un rettangolo è uguale al prodotto della sua larghezza e lunghezza e l'area di un cerchio è uguale al prodotto del quadrato del raggio e π \u003d 3,14.

Proprietà dell'area della forma

  • l'area è uguale a quella delle cifre uguali;
  • l'area è sempre non negativa;
  • l'unità di misura dell'area è l'area di un quadrato con un lato pari a 1 unità di lunghezza;
  • se la figura è divisa in due parti, l'area totale della figura è uguale alla somma delle aree delle sue parti costituenti;
  • le figure di area uguale sono chiamate di dimensioni uguali;
  • se una figura appartiene a un'altra figura, l'area della prima non può superare l'area della seconda.

Calcolo dell'area di una forma - Questo è forse uno dei problemi più difficili nella teoria delle aree. Nella geometria della scuola, insegnano come trovare le aree delle forme geometriche di base come, ad esempio, un triangolo, un rombo, un rettangolo, un trapezio, un cerchio, ecc. Tuttavia, spesso devi occuparti del calcolo delle aree di forme più complesse. È quando si risolvono tali problemi che è molto conveniente utilizzare il calcolo integrale.

Definizione.

Trapezio curvo è chiamata una figura G, delimitata dalle rette y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d aex \u003d b, e la funzione f (x) è continua sul segmento [a; b] e non cambia il suo segno su di esso (Fig. 1).L'area di un trapezio curvo può essere indicata con S (G).

L'integrale definito ʃ а b f (x) dx per la funzione f (x), che è continuo e non negativo sull'intervallo [а; b], ed è l'area del corrispondente trapezio curvo.

Cioè, per trovare l'area della figura G, delimitata dalle rette y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d aex \u003d b, è necessario calcolare l'integrale definito ʃ abf (x) dx.

In questo modo, S (G) \u003d ʃ a b f (x) dx.

Se la funzione y \u003d f (x) non è positiva su [a; b], quindi l'area di un trapezio curvo può essere trovata dalla formula S (G) \u003d -ʃ a b f (x) dx.

Esempio 1.

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee y \u003d x 3; y \u003d 1; x \u003d 2.

Decisione.

Le linee date formano la figura ABC, che viene mostrata tratteggiando figura. 2.

L'area richiesta è pari alla differenza tra le aree del trapezio curvo DACE e del quadrato DABE.

Usando la formula S \u003d ʃ e b f (x) dx \u003d S (b) - S (a), troviamo i limiti di integrazione. Per fare ciò, risolviamo un sistema di due equazioni:

(y \u003d x 3,
(y \u003d 1.

Quindi, abbiamo x 1 \u003d 1 - il limite inferiore e x \u003d 2 - il limite superiore.

Quindi, S \u003d S DACE - S DABE \u003d ʃ 1 2 x 3 dx - 1 \u003d x 4/4 | 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (unità quadrate).

Risposta: 11/4 mq unità

Esempio 2.

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee y \u003d √x; y \u003d 2; x \u003d 9.

Decisione.

Le linee date formano una figura ABC, che è delimitata dall'alto dal grafico della funzione

y \u003d √x, e sotto il grafico della funzione y \u003d 2. La figura risultante è mostrata ombreggiando figura. 3.

L'area richiesta è S \u003d ʃ a b (√x - 2). Troviamo i limiti di integrazione: b \u003d 9, per trovare a, risolviamo il sistema di due equazioni:

(y \u003d √x,
(y \u003d 2.

Quindi, abbiamo che x \u003d 4 \u003d a è il limite inferiore.

Quindi, S \u003d ∫ 4 9 (√x - 2) dx \u003d ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx \u003d 2/3 x√x | 4 9 - 2x | 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (unità quadrate).

Risposta: S \u003d 2 2/3 mq unità

Esempio 3.

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee y \u003d x 3 - 4x; y \u003d 0; x ≥ 0.

Decisione.

Costruiamo un grafico della funzione y \u003d x 3 - 4x per x ≥ 0. Per fare ciò, trova la derivata y ':

y ’\u003d 3x 2 - 4, y’ \u003d 0 in x \u003d ± 2 / √3 ≈ 1,1 sono punti critici.

Se rappresentiamo i punti critici sull'asse numerico e disponiamo i segni della derivata, allora troviamo che la funzione diminuisce da zero a 2 / √3 e aumenta da 2 / √3 a più infinito. Allora x \u003d 2 / √3 è un punto minimo, il valore minimo della funzione è min \u003d -16 / (3√3) ≈ -3.

Definiamo i punti di intersezione del grafico con gli assi delle coordinate:

se x \u003d 0, allora y \u003d 0, il che significa che A (0; 0) è il punto di intersezione con l'asse Oy;

se y \u003d 0, allora x 3 - 4x \u003d 0 o x (x 2 - 4) \u003d 0, o x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, da cui x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (non adatto, poiché x ≥ 0).

I punti A (0; 0) e B (2; 0) sono i punti di intersezione del grafico con l'asse del bue.

Le linee specificate formano una figura della Rubrica fuori rete, che viene visualizzata tratteggiando figura. 4.

Poiché la funzione y \u003d x 3 - 4x assume un valore negativo su (0; 2), allora

S \u003d | ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx |.

Abbiamo: ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx \u003d (x 4/4 - 4x 2/2) | 0 2 \u003d -4, da cui S \u003d 4 sq. unità

Risposta: S \u003d 4 mq unità

Esempio 4.

Trova l'area della figura delimitata dalla parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1, le rette x \u003d 0, y \u003d 0 e la tangente a questa parabola nel punto con l'ascissa x 0 \u003d 2.

Decisione.

Per prima cosa, componiamo l'equazione della tangente alla parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1 nel punto con l'ascissa x₀ \u003d 2.

Poiché la derivata y ’\u003d 4x - 2, allora in x 0 \u003d 2 otteniamo k \u003d y’ (2) \u003d 6.

Trova l'ordinata del punto di contatto: y 0 \u003d 2 2 2 - 2 2 + 1 \u003d 5.

Pertanto, l'equazione tangente ha la forma: y - 5 \u003d 6 (x - 2) o y \u003d 6x - 7.

Disegniamo una forma delimitata da linee:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

G y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabola. Punti di intersezione con gli assi delle coordinate: A (0; 1) - con l'asse Oy; con l'asse del bue - non ci sono punti di intersezione, perché l'equazione 2x 2 - 2x + 1 \u003d 0 non ha soluzioni (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, cioè il vertice del punto della parabola B ha coordinate B (1/2; 1/2).

Quindi, la figura di cui vuoi determinare l'area viene mostrata tratteggiando figura. 5.

Abbiamo: S О A В D \u003d S OABC - S ADBC.

Trova le coordinate del punto D dalla condizione:

6x - 7 \u003d 0, cioè x \u003d 7/6, quindi CD \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

L'area del triangolo DBC si trova dalla formula S ADBC \u200b\u200b\u003d 1/2 DC BC. In questo modo,

S ADBC \u200b\u200b\u003d 1/2 5/6 5 \u003d 25/12 mq unità

S OABC \u003d ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1) dx \u003d (2x 3/3 - 2x 2/2 + x) | 0 2 \u003d 10/3 (unità quadrate).

Infine, otteniamo: S О A В D \u003d S OABC - S ADBC \u200b\u200b\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (unità quadrate).

Risposta: S \u003d 1 1/4 sq. unità

Abbiamo analizzato esempi trovare le aree delle figure delimitate da linee specificate... Per risolvere con successo tali problemi, è necessario essere in grado di costruire linee e grafici di funzioni sul piano, trovare i punti di intersezione delle linee, applicare una formula per trovare l'area, il che implica la presenza di abilità e abilità per calcolare determinati integrali.

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Come trovare l'area di una forma?


Conoscere ed essere in grado di calcolare le aree di varie forme è necessario non solo per risolvere semplici problemi geometrici... Non è possibile fare a meno di questa conoscenza durante la redazione o il controllo dei preventivi per la riparazione dei locali, calcolando la quantità di materiali di consumo necessari. Quindi scopriamo come trovare le aree di forme diverse.

La parte di un piano racchiusa in un contorno chiuso è chiamata area di questo piano. L'area è espressa dal numero di unità quadrate racchiuse in essa.

Per calcolare l'area delle forme geometriche di base, è necessario utilizzare la formula corretta.

Area di un triangolo

Leggenda:

  1. Se h, a sono noti, allora l'area del triangolo desiderato è determinata come il prodotto delle lunghezze del lato e l'altezza del triangolo lasciato cadere su questo lato, diviso a metà: S \u003d (a h) / 2
  2. Se a, b, c sono noti, l'area richiesta viene calcolata dalla formula di Heron: la radice quadrata ricavata dal prodotto di metà del perimetro del triangolo e tre differenze di metà del perimetro e ciascun lato del triangolo: S \u003d √ (p (p - a) (p - b) (p - c)).
  3. Se a, b, γ sono noti, allora l'area di un triangolo è determinata come metà del prodotto di 2 lati, moltiplicato per il valore del seno dell'angolo tra questi lati: S \u003d (ab sin γ) / 2
  4. Se a, b, c, R sono noti, l'area richiesta è determinata come la divisione del prodotto delle lunghezze di tutti i lati del triangolo per i quattro raggi del cerchio circoscritto: S \u003d (a b c) / 4R
  5. Se p, r sono noti, l'area richiesta del triangolo è determinata moltiplicando metà del perimetro per il raggio del cerchio inscritto: S \u003d p r

Area quadrata

Leggenda:

  1. Se il lato è noto, l'area di questa figura è determinata come il quadrato della lunghezza del suo lato: S \u003d a 2
  2. Se d è noto, l'area di un quadrato è definita come metà del quadrato della lunghezza della sua diagonale: S \u003d d 2/2

Area rettangolo

Leggenda:

  • S - area determinata,
  • a, b - le lunghezze dei lati del rettangolo.
  1. Se a, b sono noti, l'area di questo rettangolo è determinata dal prodotto delle lunghezze dei suoi due lati: S \u003d a b
  2. Se le lunghezze dei lati sono sconosciute, l'area del rettangolo deve essere divisa in triangoli. In questo caso, l'area di un rettangolo è definita come la somma delle aree dei suoi triangoli costituenti.

Area del parallelogramma

Leggenda:

  • S è l'area richiesta,
  • a, b - lunghezze dei lati,
  • h è la lunghezza dell'altezza di questo parallelogramma,
  • d1, d2 - lunghezze di due diagonali,
  • α è l'angolo tra i lati,
  • γ è l'angolo tra le diagonali.
  1. Se si conoscono a, h, l'area richiesta viene determinata moltiplicando le lunghezze del lato e l'altezza abbassata su questo lato: S \u003d a h
  2. Se a, b, α sono noti, l'area del parallelogramma viene determinata moltiplicando le lunghezze dei lati del parallelogramma e il valore del seno dell'angolo tra questi lati: S \u003d a b sin α
  3. Se d 1, d 2, γ sono noti, allora l'area del parallelogramma è determinata come metà del prodotto delle lunghezze delle diagonali e il valore del seno dell'angolo tra queste diagonali: S \u003d (d 1 d 2 sinγ) / 2

Zona rombo

Leggenda:

  • S è l'area richiesta,
  • a - lunghezza laterale,
  • h - altezza lunghezza,
  • α - angolo più piccolo tra due lati,
  • d1, d2 - lunghezze di due diagonali.
  1. Se si conoscono a, h, l'area di un rombo viene determinata moltiplicando la lunghezza del lato per la lunghezza dell'altezza che viene abbassata su questo lato: S \u003d a h
  2. Se a, α sono noti, allora l'area del rombo è determinata moltiplicando il quadrato della lunghezza del lato per il seno dell'angolo tra i lati: S \u003d a 2 sin α
  3. Se d 1 e d 2 sono noti, l'area richiesta è determinata come metà del prodotto delle lunghezze delle diagonali del rombo: S \u003d (d 1 d 2) / 2

Area del trapezio

Leggenda:

  1. Se a, b, c, d sono noti, l'area richiesta è determinata dalla formula: S \u003d (a + b) / 2 * √.
  2. Con note a, b, h, l'area richiesta è determinata come il prodotto della metà della somma delle basi per l'altezza del trapezio: S \u003d (a + b) / 2 h

Area di un quadrilatero convesso

Leggenda:

  1. Se d 1, d 2, α sono noti, allora l'area di un quadrilatero convesso è determinata come metà del prodotto delle diagonali del quadrilatero moltiplicato per il seno dell'angolo tra queste diagonali: S \u003d (d 1 d 2 sin α) / 2
  2. Per noti p e r, l'area di un quadrilatero convesso è definita come il prodotto del semiperimetro del quadrilatero per il raggio di un cerchio inscritto in questo quadrilatero: S \u003d p r
  3. Se a, b, c, d, θ sono noti, l'area di un quadrilatero convesso è determinata come la radice quadrata dei prodotti della differenza del mezzo perimetro e della lunghezza di ciascun lato meno il prodotto del lunghezze di tutti i lati e il quadrato del coseno della metà della somma di due angoli opposti: S 2 \u003d (p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd cos 2 ((α + β) / 2)

Area di un cerchio

Leggenda:

Se r è noto, l'area richiesta è determinata come il prodotto del numero π per il raggio al quadrato: S \u003d π r 2

Se d è noto, l'area di un cerchio è definita come il prodotto di π per il quadrato del diametro, diviso per quattro: S \u003d (π d 2) / 4

Area della figura complessa

Il complesso può essere suddiviso in semplice figure geometriche... L'area di una figura complessa è definita come la somma o la differenza delle aree componenti. Considera, ad esempio, un anello.

Designazione:

  • S è l'area dell'anello,
  • R, r - raggi dei cerchi esterno e interno, rispettivamente,
  • D, d - diametri dei cerchi esterno e interno, rispettivamente.

Per trovare l'area dell'anello, è necessario sottrarre l'area dall'area del cerchio più grande cerchio più piccolo. S \u003d S1-S2 \u003d πR 2 -πr 2 \u003d π (R 2 -r 2).

Quindi, se R e r sono noti, l'area dell'anello è determinata come la differenza tra i quadrati dei raggi dei cerchi esterno e interno, moltiplicata per il numero pi: S \u003d π (R 2 -r 2 ).

Se D ed sono noti, l'area dell'anello è determinata come un quarto della differenza tra i quadrati dei diametri dei cerchi esterno e interno, moltiplicata per il numero pi greco: S \u003d (1/4) ( D 2 -d 2) π.

Area della forma piena

Supponiamo che all'interno di un quadrato (A) ci sia un altro (B) (più piccolo) e dobbiamo trovare la cavità piena tra le forme "A" e "B". Diciamo solo la "cornice" di un piccolo quadrato. Per questo:

  1. Trova l'area della figura "A" (calcolata dalla formula per trovare l'area di un quadrato).
  2. Allo stesso modo, troviamo l'area della figura "B".
  3. Sottrai l'area "B" dall'area "A". E così otteniamo l'area della figura piena.

Ora sai come trovare le aree di forme diverse.

Se hai intenzione di effettuare riparazioni da solo, dovrai fare un preventivo per i materiali da costruzione e di finitura. Per fare ciò, dovrai calcolare l'area della stanza in cui prevedi di eseguire i lavori di riparazione. L'assistente principale in questo è una formula appositamente sviluppata. L'area della stanza, vale a dire il suo calcolo, ti consentirà di risparmiare molti soldi sui materiali da costruzione e di dirigere le risorse finanziarie liberate in una direzione più necessaria.

Forma geometrica della stanza

La formula per calcolare l'area di una stanza dipende direttamente dalla sua forma. I più tipici per gli edifici domestici sono stanze rettangolari e quadrate. Tuttavia, durante la riqualificazione, la forma standard potrebbe essere distorta. Le stanze sono:

  • Rettangolare.
  • Piazza.
  • Configurazione complessa (ad esempio, rotonda).
  • Con nicchie e sporgenze.

Ognuno di essi ha le proprie caratteristiche di calcolo, ma, di regola, viene utilizzata la stessa formula. L'area di una stanza di qualsiasi forma e dimensione, in un modo o nell'altro, si presta al calcolo.

Camera rettangolare o quadrata

Per calcolare l'area di una stanza rettangolare o quadrata, basta ricordare le lezioni di geometria della scuola. Pertanto, non dovrebbe essere difficile per te determinare l'area della stanza. La formula di calcolo è:

S stanze \u003d A * B, dove

A è la lunghezza della stanza.

B è la larghezza della stanza.

Per misurare questi valori, avrai bisogno di un metro a nastro regolare. Per ottenere il calcolo più accurato, vale la pena misurare il muro su entrambi i lati. Se i valori non convergono, prendere come base la media dei dati risultanti. Ma ricorda che tutti i calcoli hanno i loro errori, quindi il materiale dovrebbe essere acquistato con un margine.

Una stanza con una configurazione complessa

Se la tua stanza non corrisponde alla definizione di "tipico", ad es. ha la forma di un cerchio, triangolo, poligono, quindi potrebbe essere necessaria una formula diversa per i calcoli. Puoi provare a dividere condizionatamente l'area di una stanza con una tale caratteristica in elementi rettangolari e fare calcoli in modo standard. Se non si dispone di tale opportunità, utilizzare i seguenti metodi:

  • La formula per trovare l'area di un cerchio:

S stanza \u003d π * R 2, dove

R è il raggio della stanza.

  • La formula per trovare l'area di un triangolo:

S stanza \u003d √ (P (P - A) x (P - B) x (P - C)), dove

P è il semiperimetro del triangolo.

A, B, C - le lunghezze dei suoi lati.

Quindi, P \u003d A + B + C / 2

Se nel processo di calcolo hai difficoltà, è meglio non torturarti e rivolgerti a professionisti.

Zona stanza con sporgenze e nicchie

Spesso le pareti sono decorate con elementi decorativi sotto forma di tutti i tipi di nicchie o sporgenze. Inoltre, la loro presenza potrebbe essere dovuta alla necessità di nascondere alcuni degli elementi antiestetici della tua stanza. La presenza di sporgenze o nicchie sul muro significa che il calcolo deve essere eseguito per fasi. Quelli. per prima cosa viene trovata l'area di una sezione piatta del muro, quindi viene aggiunta l'area di una nicchia o sporgenza.

L'area del muro si trova con la formula:

S pareti \u003d P x C, dove

P - perimetro

С - altezza

È inoltre necessario considerare la presenza di finestre e porte. La loro area deve essere sottratta dal valore risultante.

Una stanza con un soffitto a più livelli

Un soffitto a più livelli non complica i calcoli tanto quanto sembra a prima vista. Se ha un design semplice, i calcoli possono essere effettuati in base al principio di trovare l'area delle pareti complicata da nicchie e sporgenze.

Tuttavia, se il design del soffitto ha elementi arcuati e ondulati, è più consigliabile determinarne l'area utilizzando l'area del pavimento. Questo richiede:

  1. Trova le dimensioni di tutte le sezioni di muro diritte.
  2. Trova l'area del pavimento.
  3. Moltiplica la lunghezza e l'altezza delle sezioni verticali.
  4. Aggiungi il valore risultante alla superficie del pavimento.

Istruzioni dettagliate per la determinazione del totale

area della stanza

  1. Libera la stanza da cose inutili. Durante il processo di misurazione, avrai bisogno di accesso gratuito a tutte le aree della tua stanza, quindi devi sbarazzarti di tutto ciò che potrebbe interferire con questo.
  2. Dividi visivamente la stanza in sezioni di corretto e forma irregolare... Se la tua stanza è rigorosamente quadrata o rettangolare, questo passaggio può essere saltato.
  3. Crea una disposizione arbitraria della stanza. Questo disegno è necessario in modo che tutti i dati siano sempre a portata di mano. Inoltre, non ti darà l'opportunità di confonderti in numerose misurazioni.
  4. Le misurazioni devono essere effettuate più volte. Questa è una regola importante per evitare errori di calcolo. Inoltre, se si utilizza, assicurarsi che il raggio sia piatto sulla superficie del muro.
  5. Trova l'area totale della stanza. La formula per la superficie totale di una stanza è trovare la somma di tutte le aree delle singole sezioni di una stanza. Quelli. S totale \u003d S pareti + S pavimento + S soffitto

Nella sezione precedente sull'analisi significato geometrico integrale definito, abbiamo ottenuto una serie di formule per calcolare l'area di un trapezio curvo:

S (G) \u003d ∫ a b f (x) d x per una funzione continua e non negativa y \u003d f (x) sull'intervallo [a; b],

S (G) \u003d - ∫ a b f (x) d x per una funzione continua e non positiva y \u003d f (x) sul segmento [a; b].

Queste formule sono applicabili alla decisione riguardante compiti semplici... In effetti, spesso dobbiamo lavorare con forme più complesse. A tal proposito, dedicheremo questa sezione all'analisi degli algoritmi per il calcolo dell'area delle figure che sono limitate dalle funzioni in forma esplicita, es. come y \u003d f (x) o x \u003d g (y).

Teorema

Siano definite e continue le funzioni y \u003d f 1 (x) e y \u003d f 2 (x) sul segmento [a; b] e f 1 (x) ≤ f 2 (x) per ogni x da [a; b]. Quindi la formula per calcolare l'area della figura G delimitata dalle rette x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) e y \u003d f 2 (x) avrà la forma S (G) \u003d ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx.

Una formula simile sarà applicabile per l'area della figura delimitata dalle rette y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) e x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ cd ( g 2 (y) - g 1 (y) dy.

Prova

Consideriamo tre casi per i quali la formula è valida.

Nel primo caso, tenendo conto della proprietà dell'additività dell'area, la somma delle aree della figura originale G e del trapezio curvilineo G 1 è uguale all'area della figura G 2. Significa che

Pertanto, S (G) \u003d S (G 2) - S (G 1) \u003d ∫ abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Possiamo fare l'ultima transizione usando la terza proprietà dell'integrale definito.

Nel secondo caso, vale la seguente uguaglianza: S (G) \u003d S (G 2) + S (G 1) \u003d ∫ abf 2 (x) dx + - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx

L'illustrazione grafica sarà simile a:

Se entrambe le funzioni sono non positive, otteniamo: S (G) \u003d S (G 2) - S (G 1) \u003d - ∫ abf 2 (x) dx - - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx. L'illustrazione grafica sarà simile a:

Passiamo alla considerazione del caso generale in cui y \u003d f 1 (x) ey \u003d f 2 (x) intersecano l'asse O x.

I punti di intersezione saranno indicati come x i, i \u003d 1, 2 ,. ... ... , n - 1. Questi punti dividono il segmento [a; b] in n parti x i - 1; x io, i \u003d 1, 2 ,. ... ... , n, dove α \u003d x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Quindi,

S (G) \u003d ∑ i \u003d 1 n S (G i) \u003d ∑ i \u003d 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx \u003d \u003d ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f ( x)) dx \u003d ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx

Possiamo fare l'ultima transizione usando la quinta proprietà dell'integrale definito.

Illustriamo il caso generale nel grafico.

La formula S (G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x può essere considerata provata.

E ora passiamo all'analisi di esempi di calcolo dell'area delle figure che sono delimitate dalle rette y \u003d f (x) e x \u003d g (y).

Inizieremo a considerare uno qualsiasi degli esempi costruendo un grafico. L'immagine ci permetterà di rappresentare forme complesse come combinazioni di forme più semplici. Se tracciare grafici e forme su di essi crea difficoltà, è possibile studiare la sezione sulle funzioni atomiche di base, la trasformazione geometrica dei grafici delle funzioni e la stampa mentre si esplora una funzione.

Esempio 1

È necessario determinare l'area della figura, che è delimitata dalla parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 e dalle rette y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.

Decisione

Tracciamo delle linee sul grafico nel sistema di coordinate cartesiane.

Sul segmento [1; 4] il grafico della parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 si trova sopra la retta y \u003d - 1 3 x - 1 2. A questo proposito, per ottenere una risposta, utilizziamo la formula ottenuta in precedenza, nonché il metodo per il calcolo di un integrale definito secondo la formula di Newton-Leibniz:

S (G) \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx \u003d \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx \u003d - 1 3 x 3 + 19 6 x 2-9 2 x 1 4 \u003d \u003d - 1 3 4 3 + 19 6 4 2-9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2-9 2 1 \u003d \u003d - 64 3 + 152 3-18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 \u003d 13

Risposta: S (G) \u003d 13

Diamo un'occhiata a un esempio più complesso.

Esempio 2

È necessario calcolare l'area della figura, che è delimitata dalle linee y \u003d x + 2, y \u003d x, x \u003d 7.

Decisione

In questo caso abbiamo una sola retta parallela all'asse delle ascisse. Questo è x \u003d 7. Ciò ci impone di trovare da soli il secondo limite di integrazione.

Costruiamo un grafico e tracciamo su di esso le linee fornite nell'istruzione del problema.

Avendo il grafico davanti ai nostri occhi, possiamo facilmente determinare che il limite inferiore di integrazione sarà l'ascissa del punto di intersezione del grafico della retta y \u003d x e della semiparabola y \u003d x + 2. Per trovare l'ascissa, usiamo le uguaglianze:

y \u003d x + 2 О Д З: x ≥ - 2 x 2 \u003d x + 2 2 x 2 - x - 2 \u003d 0 D \u003d (- 1) 2-4 1 (- 2) \u003d 9 x 1 \u003d 1 + 9 2 \u003d 2 ∈ О Д З x 2 \u003d 1 - 9 2 \u003d - 1 ∉ О Д З

Risulta che l'ascissa del punto di intersezione è x \u003d 2.

Attiriamo la vostra attenzione sul fatto che in esempio generale nel disegno, le linee y \u003d x + 2, y \u003d x si intersecano nel punto (2; 2), quindi tali calcoli dettagliati possono sembrare ridondanti. Abbiamo fornito una soluzione così dettagliata qui solo perché in più casi difficili la soluzione potrebbe non essere così ovvia. Ciò significa che le coordinate dell'intersezione delle linee sono sempre meglio calcolate analiticamente.

Nell'intervallo [2; 7] il grafico della funzione y \u003d x si trova sopra il grafico della funzione y \u003d x + 2. Applichiamo la formula per calcolare l'area:

S (G) \u003d ∫ 2 7 (x - x + 2) dx \u003d x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 \u003d \u003d 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 \u003d \u003d 49 2 - 18 - 2 + 16 3 \u003d 59 6

Risposta: S (G) \u003d 59 6

Esempio 3

È necessario calcolare l'area della figura, che è limitata dai grafici delle funzioni y \u003d 1 x e y \u003d - x 2 + 4 x - 2.

Decisione

Tracciamo delle linee sul grafico.

Definiamo i limiti dell'integrazione. Per fare ciò, determineremo le coordinate dei punti di intersezione delle rette, equiparando le espressioni 1 x e - x 2 + 4 x - 2. A condizione che x non sia zero, l'uguaglianza 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 diventa equivalente all'equazione del terzo grado - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 con coefficienti interi. È possibile aggiornare la memoria dell'algoritmo per risolvere tali equazioni facendo riferimento alla sezione "Risoluzione di equazioni cubiche".

La radice di questa equazione è x \u003d 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 \u003d 0.

Dividendo l'espressione - x 3 + 4 x 2-2 x - 1 per il binomio x - 1, otteniamo: - x 3 + 4 x 2-2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2-3 x - 1) \u003d 0

Possiamo trovare le radici rimanenti dall'equazione x 2-3 x - 1 \u003d 0:

x 2-3 x - 1 \u003d 0 D \u003d (- 3) 2-4 1 (- 1) \u003d 13 x 1 \u003d 3 + 13 2 ≈ 3. 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Abbiamo trovato l'intervallo x ∈ 1; 3 + 13 2, in cui la cifra G è racchiusa sopra la linea blu e sotto la linea rossa. Questo ci aiuta a determinare l'area della forma:

S (G) \u003d ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2-1 xdx \u003d - x 3 3 + 2 x 2-2 x - ln x 1 3 + 13 2 \u003d \u003d - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Risposta: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Esempio 4

È necessario calcolare l'area della figura, che è limitata dalle curve y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 e dall'asse delle ascisse.

Decisione

Mettiamo tutte le linee sul grafico. Possiamo ottenere il grafico della funzione y \u003d - log 2 x + 1 dal grafico y \u003d log 2 x, se lo disponiamo simmetricamente attorno all'asse delle ascisse e lo solleviamo di un'unità. L'equazione delle ascisse y \u003d 0.

Contrassegniamo i punti di intersezione delle linee.

Come si può vedere dalla figura, i grafici delle funzioni y \u003d x 3 e y \u003d 0 si intersecano nel punto (0; 0). Questo perché x \u003d 0 è l'unica vera radice dell'equazione x 3 \u003d 0.

x \u003d 2 è l'unica radice dell'equazione - log 2 x + 1 \u003d 0, quindi i grafici delle funzioni y \u003d - log 2 x + 1 e y \u003d 0 si intersecano nel punto (2; 0).

x \u003d 1 è l'unica radice dell'equazione x 3 \u003d - log 2 x + 1. A questo proposito, i grafici delle funzioni y \u003d x 3 e y \u003d - log 2 x + 1 si intersecano nel punto (1; 1). L'ultima affermazione potrebbe non essere ovvia, ma l'equazione x 3 \u003d - log 2 x + 1 non può avere più di una radice, poiché la funzione y \u003d x 3 è strettamente crescente e la funzione y \u003d - log 2 x + 1 è strettamente decrescente.

Un'ulteriore soluzione implica diverse opzioni.

Opzione numero 1

Possiamo rappresentare la figura G come la somma di due trapezi curvilinei posti sopra l'asse delle ascisse, il primo dei quali si trova sotto la linea mediana sul segmento x ∈ 0; 1, e il secondo è sotto la linea rossa sul segmento x ∈ 1; 2. Ciò significa che l'area sarà S (G) \u003d ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x.

Opzione numero 2

La figura G può essere rappresentata come la differenza di due cifre, la prima delle quali si trova sopra l'asse delle ascisse e sotto la linea blu sul segmento x ∈ 0; 2, e la seconda si trova tra le linee rossa e blu sul segmento x ∈ 1; 2. Questo ci permette di trovare l'area come segue:

S (G) \u003d ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

In questo caso, per trovare l'area, dovrai usare una formula della forma S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Infatti, le linee che delimitano la forma possono essere rappresentate come funzioni dell'argomento y.

Risolvi le equazioni y \u003d x 3 e - log 2 x + 1 per x:

y \u003d x 3 ⇒ x \u003d y 3 y \u003d - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x \u003d 1 - y ⇒ x \u003d 2 1 - y

Otteniamo l'area richiesta:

S (G) \u003d ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) dy \u003d - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 \u003d \u003d - 2 1-1 ln 2-1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 \u003d - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 \u003d 1 ln 2 - 1 4

Risposta: S (G) \u003d 1 ln 2 - 1 4

Esempio 5

È necessario calcolare l'area della figura, che è delimitata dalle linee y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.

Decisione

Con la linea rossa, traccia sul grafico la linea definita dalla funzione y \u003d x. Disegna la linea y \u003d - 1 2 x + 4 in blu e la linea y \u003d 2 3 x - 3 in nero.

Segniamo i punti di intersezione.

Trova i punti di intersezione dei grafici delle funzioni y \u003d x e y \u003d - 1 2 x + 4:

x \u003d - 1 2 x + 4 О Д З: x ≥ 0 x \u003d - 1 2 x + 4 2 ⇒ x \u003d 1 4 x 2-4 x + 16 ⇔ x 2-20 x + 64 \u003d 0 D \u003d (- 20) 2-4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 \u003d 20 - 144 2 \u003d 4 Verifica: x 1 \u003d 16 \u003d 4, - 1 2 x 1 + 4 \u003d - 1 2 16 + 4 \u003d - 4 ⇒ x 1 \u003d 16 non Ho una soluzione x 2 \u003d 4 \u003d 2, - 1 2 x 2 + 4 \u003d - 1 2 4 + 4 \u003d 2 ⇒ x 2 \u003d 4 i s e r t e r s ⇒ (4; 2) punto di intersezione io y \u003d x e y \u003d - 1 2 x + 4

Trova il punto di intersezione dei grafici delle funzioni y \u003d x e y \u003d 2 3 x - 3:

x \u003d 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x \u003d 2 3 x - 3 2 ⇔ x \u003d 4 9 x 2-4 x + 9 ⇔ 4 x 2-45 x + 81 \u003d 0 D \u003d (- 45 ) 2-4 4 81 \u003d 729 x 1 \u003d 45 + 729 8 \u003d 9, x 2 45-729 8 \u003d 9 4 Controlli: x 1 \u003d 9 \u003d 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9-3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 ho una soluzione ⇒ (9; 3) punto sezione trasversale y \u003d x e y \u003d 2 3 x - 3 x 2 \u003d 9 4 \u003d 3 2, 2 3 x 1-3 \u003d 2 3 9 4-3 \u003d - 3 2 ⇒ x 2 \u003d 9 4 non ha una soluzione

Trova l'intersezione delle rette y \u003d - 1 2 x + 4 e y \u003d 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 \u003d 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 \u003d 4 x - 18 ⇔ 7 x \u003d 42 ⇔ x \u003d 6 - 1 2 6 + 4 \u003d 2 3 6 - 3 \u003d 1 ⇒ (6 ; 1) il punto di intersezione y \u003d - 1 2 x + 4 e y \u003d 2 3 x - 3

Metodo numero 1

Immaginiamo l'area della figura richiesta come la somma delle aree delle singole figure.

Quindi l'area della figura è:

S (G) \u003d ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx \u003d \u003d 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 \u003d \u003d 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2-6 2 3 + 3 6 \u003d \u003d - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 \u003d 11 3

Metodo numero 2

L'area della forma originale può essere pensata come la somma delle altre due forme.

Quindi risolveremo l'equazione della retta rispetto a x, e solo dopo applicheremo la formula per calcolare l'area della figura.

y \u003d x ⇒ x \u003d y 2 linea rossa y \u003d 2 3 x - 3 ⇒ x \u003d 3 2 y + 9 2 linea nera y \u003d - 1 2 x + 4 ⇒ x \u003d - 2 y + 8 s i n y l i n i s

Quindi, l'area è uguale a:

S (G) \u003d ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy \u003d \u003d ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy \u003d \u003d 7 4 y 2-7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 \u003d 7 4 2 2-7 4 2 - 7 4 1 2-7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 \u003d \u003d 7 4 + 23 12 \u003d 11 3

Come puoi vedere, i valori sono gli stessi.

Risposta: S (G) \u003d 11 3

Risultato

Per trovare l'area di una figura, che è limitata dalle linee specificate, dobbiamo costruire linee su un piano, trovare i loro punti di intersezione, applicare la formula per trovare l'area. In questa sezione, abbiamo considerato le opzioni di attività più comuni.

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