1. Системы линейных уравнений с параметром
Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.
Пример 1.
Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.
{х + (а 2 – 3)у = а,
{х + у = 2.
Решение.
Рассмотрим несколько способов решения данного задания.
1 способ . Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). Тогда имеем:
1/1 = (а 2 – 3)/1 ≠ а/2 или систему
{а 2 – 3 = 1,
{а ≠ 2.
Из первого уравнения а 2 = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.
Ответ: а = -2.
2 способ . Решаем методом подстановки.
{2 – у + (а 2 – 3)у = а,
{х = 2 – у,
{(а 2 – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.
После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:
{(а 2 – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.
Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть
{а 2 – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.
Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.
Ответ: а = -2.
Пример 2.
Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.
{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.
Решение.
По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а 1 = b/b 1 = c/c 1). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.
Ответ: а = 4.
2. Системы рациональных уравнений с параметром
Пример 3.
{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.
Решение.
Умножим первое уравнение системы на 2:
{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.
Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).
Ответ: а = 4.
Пример 4.
Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.
{х + у = а,
{у – х 2 = 1.
Решение.
Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1)
. Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:
1,25 = 0,5 + а;
Ответ: а = 0,75.
Пример 5.
Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.
{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.
Решение.
Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:
{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.
Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:
ах + а 2 х – а 2 – а + 2ах – 2а – 2 = 2;
а 2 х + 3ах = 2 + а 2 + 3а + 2.
Квадратный трехчлен а 2 + 3а + 2 представим в виде произведения скобок
(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:
(а 2 + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).
Очевидно, что а 2 + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,
а 2 + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.
Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.
Пример 6.
Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.
{х 2 + у 2 = 9,
{у – |х| = а.
Решение.
Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы
х 2 + у 2 = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2
рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.
Ответ: а = 3.
Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
При каких значениях параметра $a$ неравенство ${}-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0$ имеет хотя бы одно решение?
Решение
Приведем данное неравенство к положительному коэффициенту при $x^2$:
${}-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - (a + 2)x + 8a + 1 < 0 .$
Вычислим дискриминант: $D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$. Чтобы данное неравенство имело решение, необходимо, чтобы хотя бы одна точка параболы лежала ниже оси $x$. Так как ветви параболы направлены вверх, то для этого нужно, чтобы квадратный трёхчлен в левой части неравенства имел два корня, то есть его дискриминант был положительным. Мы приходим к необходимости решить квадратное неравенство $a^2 - 28a > 0$. Квадратный трехчлен $a^2 - 28a$ имеет два корня: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. Поэтому неравенству $a^2 - 28a > 0$ удовлетворяют промежутки $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
Ответ. $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
При каких значениях параметра $a$ уравнение $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ имеет хотя бы один корень, и при этом все корни положительны?
Решение
Пусть $a=2$. Тогда уравнение принимает вид ${} - 4x +5 = 0$ , откуда получаем, что $x=\dfrac{5}{4}$ - положительный корень.
Пусть теперь $a\ne 2$. Получается квадратное уравнение. Определим сначала, при каких значениях параметра $a$ данное уравнение имеет корни. Нужно, чтобы его дискриминант был неотрицателен. То есть:
$ D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) ={} -4a+24\geqslant 0\Leftrightarrow a\leqslant 6.$
Корни по условию должны быть положительны, следовательно, из теоремы Виета получаем систему:
$ \begin{cases}x_1 + x_2 = \dfrac{2a}{a - 2}>0,\\ x_1x_2 = \dfrac{a + 3}{a - 2}> 0,\\a\leqslant 6\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases}a\in(- \infty;0)\cup(2; +\infty), \\ a\in(- \infty;-3)\cup(2; +\infty), \\ a\in(-\infty;6] \end{cases}\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6]. $
Объединяем ответы, получаем искомое множество: $a\in(-\infty;-3)\cup$.
Ответ. $a\in(-\infty;-3)\cup$.
При каких значениях параметра $a$ неравенство $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ не имеет решений?
Решение
- Если $a = 0$, то данное неравенство вырождается в неравенство $5 \leqslant 0$ , которое не имеет решений. Поэтому значение $a = 0$ удовлетворяет условию задачи.
- Если $a > 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вверх. Вычислим $\dfrac{D}{4} = 4a^2 - 5a$. Неравенство не имеет решений, если парабола расположена выше оси абсцисс, то есть когда квадратный трёхчлен не имеет корней ($D < 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- Если $a < 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
Ответ. $a \in \left$ лежит между корнями, поэтому корней должно быть два (значит, $a\ne 0$). Если ветви параболы $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ направлены вверх, то $y(-1) < 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) > 0$ и $y(1) > 0$.
Случай I. Пусть $a > 0$. Тогда
$\left\{ \begin{array}{l} y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end{array} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3.$
То есть в этом случае получается, что подходят все $a > 3$.
Cлучай II. Пусть $a < 0$. Тогда
$\left\{ \begin{array}{l} y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
То есть в этом случае получается, что подходят все $a < -1$.
Ответ. $a\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$ \begin{cases} x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end{cases} $
имеет ровно два решения.
Решение
Вычтем из первого второе: $(x-y)^2 = 1$. Тогда
$ \left[\begin{array}{l} x-y = 1, \\ x-y = -1 \end{array}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{array}{l} x = y+1, \\ x = y-1. \end{array}\right. $
Подставляя полученные выражения во второе уравнение системы, получаем два квадратных уравнения: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ и $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. Дискриминант каждого из них равен $D = 16a-4$.
Заметим, что не может получиться так, что пара корней первого из квадратных уравнений совпадает с парой корней второго квадратного уравнения, так как сумма корней первого равна $-1$, а второго 1.
Значит, нужно, чтобы у каждого из этих уравнений было по одному корню, тогда у исходной системы их будет два решения. То есть $D = 16a - 4 = 0$.
Ответ. $a=\dfrac{1}{4}$
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ имеет два корня.
Решение
Перепишем уравнение в виде:
$ 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0. $
Рассмотрим функцию $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$.
При $x\geqslant 3$ первый модуль раскрывается со знаком плюс, и функция принимает вид: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. Очевидно, что при любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\geqslant 5-3-1=1>0$, то есть эта функция на данном промежутке неограниченно возрастает.
Рассмотрим теперь промежуток $x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
Итак, мы получили, что $x=3$ - точка минимума данной функции. А это означает, что для того чтобы у исходного уравнения было два решения, значение функции в точке минимума должно быть меньше нуля. То есть имеет место неравенство: $f(3)<0$.
$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftrightarrow \quad |9-|3+a|| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$\Leftrightarrow\quad |3+a| < 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24 Ответ.
$a \in (-24; 18)$ При каких значениях параметра $a$ уравнение $5^{2x}-3\cdot 5^x+a-1=0$ имеет единственный корень? Сделаем замену: $t = 5^x > 0$. Тогда первоначальное уравнение принимает вид квадратного уравнения: $t^2-3t+a-1 =0$. Исходное уравнение будет иметь единственный корень в том случае, если у данного уравнения будет один положительный корень либо два корня, один из которых положительный, другой - отрицательный. Дискриминант уравнения равен: $D = 13-4a$. Один корень это уравнение будет иметь в том случае, если полученный дискриминант окажется равным нулю, то есть при $a = \dfrac{13}{4}$. При этом корень $t=\dfrac{3}{2} > 0$, поэтому данное значение $a$ подходит. Если есть два корня, один из которых положителен, другой - неположителен, то $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ и $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$. То есть $a\in(-\infty;1]$ Ответ.
$a\in(-\infty;1]\cup\left\{\dfrac{13}{4}\right\}$ Найдите все значения параметра $a$, при которых система $ \begin{cases}\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end{cases} $ имеет ровно два решения. Преобразуем систему к следующему виду: $ \begin{cases} \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \end{cases} $ Поскольку параметр $a$ находится в основании логарифма, на него накладываются следующие ограничения: $a>0$, $a \ne 1$. Поскольку переменная $y$ является аргументом логарифма, то $y > 0$. Скомбинировав оба уравнения системы, переходим к уравнению: $\log_a y = y^2$. В зависимости от того, какие значения принимает параметр $a$, возможны два случая: Ответ.
$a\in(0;1)$
Рассмотрим случай, когда $a > 1$. Так как при больших по модулю значениях $t$ график функции $f(t) = a^t$ лежит выше прямой $g(t) = t$, то единственная общая точка может быть только точкой касания. Пусть $t_0$ - точка касания. В этой точке производная к $f(t) = a^t$ равняется единице (тангенс угла наклона касательной), кроме того, значения обоих функций совпадают, то есть имеет место система: $ \begin{cases} a^{t_0}\ln a = 1, \\ a^{t_0} = t_0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} a^{t_0} = \dfrac{1}{\ln a}, \\ a^{\tau} = \tau \end{cases} $ Откуда $t_0 = \dfrac{1}{\ln a}$. $ a^{\frac{1}{\ln a}}\ln a = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^{\log_a e} =\frac{1}{\ln a} \quad \Leftrightarrow \quad a = e^{\frac{1}{e}}. $ При этом других общих точек у прямой и показательной функции очевидно нет. Ответ.
$a \in (0;1] \cup \left\{e^{e^{-1}}\right\}$ Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве
сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только
возрастает. В математике существуют задачи, в которых необходимо произвести поиск решений линейных и
квадратных уравнений в общем виде или произвести поиск количества корней, которое имеет уравнение в
зависимости от значения параметра. Все эти задачи с параметрами. Рассмотрим следующие уравнения в качестве наглядного примера: \[у = kx,\] где \ - переменные, \- параметр; \[у = kx + b,\] где \ - переменные, \ - параметр; \[аx^2 + bх + с = 0,\] где \ - переменная, \[а, b, с\] - параметр. Решить уравнение с параметром значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений. Однако, придерживаясь определенного алгоритма, можно легко решить такие уравнения: 1. Определить "контрольные" значения параметра. 2. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, определенных в первом пункте. 3. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом
пункте. Допустим, дано такое уравнение: \[\mid 6 - x \mid = a.\] Проанализировав исходные данные, видно, что a \[\ge 0.\] По правилу модуля \ выразим \ Ответ: \ где \ Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель
позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это
просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию
и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей
групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда
рады помочь вам.Решение
Решение
Где можно решить уравнение с параметром онлайн?
