Μάθημα από τη σειρά " Γεωμετρικοί αλγόριθμοι»

Γεια σου αγαπητέ αναγνώστη.

Η λύση σε πολλά προβλήματα στην υπολογιστική γεωμετρία βασίζεται στην εύρεση περιοχή πολυγώνου. Σε αυτό το μάθημα, θα εξαγάγουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός πολυγώνου μέσω των συντεταγμένων των κορυφών του και θα γράψουμε μια συνάρτηση για τον υπολογισμό αυτής της περιοχής.

Εργο. Υπολογίστε το εμβαδόν του πολυγώνου, που δίνονται από τις συντεταγμένες των κορυφών του, με τη σειρά της διέλευσης τους δεξιόστροφα.

Πληροφορίες από την Υπολογιστική Γεωμετρία

Για να εξαγάγουμε τον τύπο για το εμβαδόν ενός πολυγώνου, χρειαζόμαστε πληροφορίες από την υπολογιστική γεωμετρία, δηλαδή την έννοια της προσανατολισμένης περιοχής ενός τριγώνου.

Η προσανατολισμένη περιοχή ενός τριγώνου είναι μια συνηθισμένη περιοχή που παρέχεται με ένα σημάδι. Σημάδι της προσανατολισμένης περιοχής ενός τριγώνου αλφάβητοίδια με την προσανατολισμένη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και . Δηλαδή, το πρόσημο του εξαρτάται από τη σειρά με την οποία παρατίθενται οι κορυφές.

Επί ρύζι. 1 τρίγωνο ABC– ορθογώνιο. Το προσανατολισμένο εμβαδόν του είναι ίσο με (είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, αφού το ζεύγος προσανατολίζεται θετικά). Η ίδια τιμή μπορεί να υπολογιστεί με άλλο τρόπο.

Αφήνω ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ– αυθαίρετο σημείο του αεροπλάνου. Στο σχήμα μας η περιοχή τρίγωνο ABCπου προκύπτει αφαιρώντας τις περιοχές OAB και OCA από την περιοχή του τριγώνου OBC. Έτσι απλά χρειάζεστε προσθέστε προσανατολισμένες περιοχέςτρίγωνα OAB, OBC και OCA. Αυτός ο κανόνας λειτουργεί για οποιαδήποτε επιλογή σημείου ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ.

Ομοίως, για να υπολογίσετε το εμβαδόν οποιουδήποτε πολυγώνου, πρέπει να προσθέσετε τις προσανατολισμένες περιοχές των τριγώνων

Το σύνολο θα είναι το εμβαδόν του πολυγώνου, που λαμβάνεται με πρόσημο συν, εάν, κατά τη διέλευση του πολυγώνου, το πολύγωνο βρίσκεται στα αριστερά (αριστερόστροφη διέλευση του ορίου) και με σύμβολο μείον εάν είναι στα δεξιά ( δεξιόστροφη διέλευση).

Έτσι, ο υπολογισμός του εμβαδού ενός πολυγώνου μειώνεται στην εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου. Ας δούμε πώς να το εκφράσουμε σε συντεταγμένες.

Διάνυσμα έργα τέχνηςδύο διανύσματα σε ένα επίπεδο είναι η περιοχή ενός παραλληλογράμμου που έχει κατασκευαστεί σε αυτά τα διανύσματα.

Διαγώνιο εκφρασμένο σε διανυσματικές συντεταγμένες:

Το εμβαδόν του τριγώνου θα είναι ίσο με το μισό αυτής της περιοχής:

Είναι βολικό να λαμβάνεται η αρχή των συντεταγμένων ως σημείο Ο, τότε οι συντεταγμένες των διανυσμάτων βάσει των οποίων υπολογίζονται οι προσανατολισμένες περιοχές θα συμπίπτουν με τις συντεταγμένες των σημείων.

Έστω (x 1, y 1), (x 2, y 2), ..., (x N, y N) - συντεταγμένες των κορυφών ενός δεδομένου πολυγώνου κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού ή αριστερόστροφα. Τότε η προσανατολισμένη περιοχή του S θα είναι ίση με:

Αυτό είναι δικό μας τύπος εργασίας, χρησιμοποιείται στο πρόγραμμά μας.

Εάν οι συντεταγμένες των κορυφών καθορίστηκαν με αριστερόστροφη σειρά, τότε ο αριθμός ΜΙΚΡΟ,ο υπολογισμός με αυτόν τον τύπο θα είναι θετικός. Διαφορετικά θα είναι αρνητικό, και για να αποκτήσετε το συνηθισμένο γεωμετρική περιοχήπρέπει να πάρουμε την απόλυτη τιμή του.

Ας εξετάσουμε λοιπόν ένα πρόγραμμα για την εύρεση του εμβαδού ενός πολυγώνου που δίνεται από τις συντεταγμένες των κορυφών.

Πρόγραμμα geom6; Const n_max=200; (μέγιστος αριθμός σημείων+1) πληκτρολογήστε b=record x,y:real; τέλος; myArray= πίνακας του b; var input:text; A:myArray; s:πραγματικό; i,n:integer; διαδικασία ZapMas(var n:ακέραιος; var A:myArray); (Γεμίζοντας τον πίνακα) start assign(input,"input.pas"); επαναφορά (εισαγωγή); readln(input, n); για i:=1 έως n do read(input, a[i].x,a[i].y); κλείσιμο(εισαγωγή); τέλος; συνάρτηση Τετράγωνο (A:myarray): πραγματικό; (Υπολογισμός του εμβαδού ενός πολυγώνου) var i:integer; S: πραγματικό; αρχίζω a.x:=a.x; a.y:=a.y; s:=0; για i:=1 έως n κάνω s:= s + (a[i].x*a.y - a[i].y*a.x); s:=abs(s/2); Τετράγωνο:= S άκρο; (Τετράγωνο) αρχίζουν (κύρια) Zapmas(n, a); PrintMas(a); S:= Τετράγωνο(a); writeln("S= ",s:6:2); τέλος.

Οι συντεταγμένες των κορυφών διαβάζονται από το αρχείο input.pas., που είναι αποθηκευμένο σε έναν πίνακα ΕΝΑως εγγραφές με δύο πεδία. Για τη διευκόλυνση της διέλευσης του πολυγώνου, εισάγονται n+1 στοιχεία στον πίνακα, η τιμή των οποίων είναι ίση με την τιμή του πρώτου στοιχείου του πίνακα.

Εισαγωγή δεδομένων:
5
0.6 2.1 1.8 3.6 2.2 2.3 3.6 2.4 3.1 0.5

Παραγωγή:
S= 3,91

Επιλύσαμε το πρόβλημα εύρεσης του εμβαδού ενός πολυγώνου από τις συντεταγμένες των κορυφών του. Τα καθήκοντα γίνονται πιο περίπλοκα. Εάν έχετε σχόλια για αυτό το άρθρο ή προτάσεις, γράψτε στα σχόλια. Θα είμαι πολύ ευγνώμων για τη συνεργασία σας.

Τα λέμε στο επόμενο μάθημα.

Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμε για το πώς να εκφράσουμε την περιοχή ενός πολυγώνου στο οποίο μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος, μέσω της ακτίνας αυτού του κύκλου. Αξίζει να σημειωθεί αμέσως ότι δεν χωράει κάθε πολύγωνο έναν κύκλο. Ωστόσο, εάν αυτό είναι δυνατό, τότε ο τύπος με τον οποίο υπολογίζεται το εμβαδόν ενός τέτοιου πολυγώνου γίνεται πολύ απλός. Διαβάστε αυτό το άρθρο μέχρι το τέλος ή παρακολουθήστε το συνημμένο εκπαιδευτικό βίντεο και θα μάθετε πώς να εκφράζετε το εμβαδόν ενός πολυγώνου ως προς την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένο σε αυτό.

Τύπος για το εμβαδόν ενός πολυγώνου ως προς την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου

Ας σχεδιάσουμε ένα πολύγωνο ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 ΕΝΑ 3 ΕΝΑ 4 ΕΝΑ 5, όχι απαραίτητα σωστό, αλλά ένα στο οποίο μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος. Να σας υπενθυμίσω ότι ένας εγγεγραμμένος κύκλος είναι ένας κύκλος που αγγίζει όλες τις πλευρές του πολυγώνου. Στην εικόνα είναι ένας πράσινος κύκλος με κέντρο στο σημείο Ο:

Πήραμε το 5-gon ως παράδειγμα εδώ. Αλλά στην πραγματικότητα, αυτό δεν έχει σημαντική σημασία, αφού η περαιτέρω απόδειξη ισχύει τόσο για ένα 6-gon όσο και για ένα 8-gon, και γενικά για οποιοδήποτε αυθαίρετο «gon».

Εάν συνδέσετε το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου με όλες τις κορυφές του πολυγώνου, τότε θα χωριστεί σε τόσα τρίγωνα όσα κορυφές υπάρχουν στο δεδομένο πολύγωνο. Στην περίπτωσή μας: για 5 τρίγωνα. Αν συνδέσουμε την τελεία Ομε όλα τα σημεία εφαπτομένης του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές του πολυγώνου, τότε παίρνετε 5 τμήματα (στο παρακάτω σχήμα αυτά είναι τμήματα OH 1 , OH 2 , OH 3 , OH 4 και OH 5), οι οποίες είναι ίσες με την ακτίνα του κύκλου και κάθετες στις πλευρές του πολυγώνου προς το οποίο σχεδιάζονται. Το τελευταίο ισχύει, δεδομένου ότι η ακτίνα που τραβιέται στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη:

Πώς να βρείτε το εμβαδόν του περιγεγραμμένου πολυγώνου μας; Η απάντηση είναι απλή. Πρέπει να προσθέσετε τα εμβαδά όλων των τριγώνων που προκύπτουν:

Ας εξετάσουμε ποιο είναι το εμβαδόν ενός τριγώνου. Στην παρακάτω εικόνα επισημαίνεται με κίτρινο χρώμα:

Είναι ίσο με το μισό γινόμενο της βάσης ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 στο ύψος OH 1, τραβηγμένο σε αυτή τη βάση. Όμως, όπως έχουμε ήδη ανακαλύψει, αυτό το ύψος είναι ίσο με την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Δηλαδή, ο τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου έχει τη μορφή: , Οπου r— ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Τα εμβαδά όλων των υπόλοιπων τριγώνων βρίσκονται παρόμοια. Ως αποτέλεσμα, η απαιτούμενη περιοχή του πολυγώνου είναι ίση με:

Μπορεί να φανεί ότι σε όλους τους όρους αυτού του ποσού υπάρχει ένας κοινός παράγοντας που μπορεί να αφαιρεθεί εκτός παρενθέσεων. Το αποτέλεσμα θα είναι η ακόλουθη έκφραση:

Δηλαδή, αυτό που μένει σε αγκύλες είναι απλώς το άθροισμα όλων των πλευρών του πολυγώνου, δηλαδή η περίμετρός του Π. Τις περισσότερες φορές σε αυτόν τον τύπο η έκφραση απλώς αντικαθίσταται από Πκαι ονομάζουν αυτό το γράμμα «ημιπερίμετρο». Ως αποτέλεσμα, ο τελικός τύπος παίρνει τη μορφή:

Δηλαδή, το εμβαδόν ενός πολυγώνου στο οποίο είναι εγγεγραμμένος ένας κύκλος γνωστής ακτίνας ισούται με το γινόμενο αυτής της ακτίνας και της μισής περιμέτρου του πολυγώνου. Αυτό είναι το αποτέλεσμα που στοχεύαμε.

Τέλος, θα σημειώσει ότι ένας κύκλος μπορεί πάντα να εγγραφεί σε ένα τρίγωνο, που είναι ειδική περίπτωση πολυγώνου. Επομένως, για ένα τρίγωνο αυτός ο τύπος μπορεί πάντα να εφαρμοστεί. Για άλλα πολύγωνα με περισσότερες από 3 πλευρές, πρέπει πρώτα να βεβαιωθείτε ότι μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος σε αυτά. Εάν ναι, μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε με ασφάλεια απλή φόρμουλακαι χρησιμοποιήστε το για να βρείτε την περιοχή αυτού του πολυγώνου.

Υλικό που ετοίμασε ο Σεργκέι Βαλέριεβιτς

1.1 Υπολογισμός εκτάσεων στην αρχαιότητα

1.2 Διαφορετικές προσεγγίσεις για τη μελέτη των εννοιών "εμβαδόν", "πολύγωνο", "εμβαδόν πολυγώνου"

1.2.1 Η έννοια της περιοχής. Ιδιότητες Περιοχής

1.2.2 Έννοια του πολυγώνου

1.2.3 Η έννοια του εμβαδού ενός πολυγώνου. Περιγραφικός ορισμός

1.3 Διάφοροι τύποι για τα εμβαδά των πολυγώνων

1.4 Παραγωγή τύπων για τα εμβαδά των πολυγώνων

1.4.1 Εμβαδόν τριγώνου. Η φόρμουλα του Heron

1.4.2 Εμβαδόν ορθογωνίου

1.4.3 Εμβαδόν τραπεζοειδούς

1.4.4 Εμβαδόν τετράπλευρου

1.4.5 Γενικός τύπος

1.4.6 Περιοχή n-gon

1.4.7 Υπολογισμός του εμβαδού ενός πολυγώνου από τις συντεταγμένες των κορυφών του

1.4.8 Ο τύπος του Pick

1.5 Πυθαγόρειο θεώρημα για το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα σε σκέλη ορθογώνιο τρίγωνο

1.6 Ίση διάταξη τριγώνων. Θεώρημα Bolyay-Gerwin

1.7 Λόγος εμβαδών ομοειδών τριγώνων

1.8 Αριθμοί με τη μεγαλύτερη έκταση

1.8.1 Τραπεζοειδές ή ορθογώνιο

1.8.2 Αξιόλογη ιδιοκτησία της πλατείας

1.8.3 Τομές άλλων σχημάτων

1.8.4 Τρίγωνο με το μεγαλύτερο εμβαδόν

Κεφάλαιο 2. Μεθοδολογικά χαρακτηριστικά της μελέτης των εμβαδών των πολυγώνων στις τάξεις των μαθηματικών

2.1 Θεματικός σχεδιασμόςκαι χαρακτηριστικά διδασκαλίας σε τάξεις με εις βάθος μελέτη των μαθηματικών

2.2 Μεθοδολογία διεξαγωγής μαθημάτων

2.3 Αποτελέσματα πειραματικών εργασιών

συμπέρασμα

Βιβλιογραφία

Εισαγωγή

Το θέμα «Περιοχές Πολυγώνων» αποτελεί αναπόσπαστο μέρος του σχολικό μάθημαμαθηματικά, κάτι που είναι απολύτως φυσικό. Εξάλλου, ιστορικά η ίδια η εμφάνιση της γεωμετρίας συνδέεται με την ανάγκη σύγκρισης οικοπέδων του ενός ή του άλλου σχήματος. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι οι εκπαιδευτικές ευκαιρίες για την κάλυψη αυτού του θέματος στο Λύκειοαπέχουν πολύ από το να χρησιμοποιηθούν πλήρως.

Το κύριο καθήκον της διδασκαλίας των μαθηματικών στο σχολείο είναι να εξασφαλίσει από τους μαθητές ισχυρή και συνειδητή γνώση του συστήματος των μαθηματικών γνώσεων και δεξιοτήτων που απαιτούνται Καθημερινή ζωήΚαι εργασιακή δραστηριότητακάθε μέλος σύγχρονη κοινωνίαεπαρκή για τη μελέτη συναφών κλάδων και τη συνεχή εκπαίδευση.

Παράλληλα με την επίλυση του κύριου προβλήματος, η σε βάθος μελέτη των μαθηματικών περιλαμβάνει τη διαμόρφωση στους μαθητές ενός βιώσιμου ενδιαφέροντος για το θέμα, τον εντοπισμό και την ανάπτυξη τους μαθηματικές ικανότητες, προσανατολισμός σε επαγγέλματα που σχετίζονται σημαντικά με τα μαθηματικά, προετοιμασία για σπουδές σε πανεπιστήμιο.

Η ειδική εργασία περιλαμβάνει το περιεχόμενο ενός μαθήματος μαθηματικών δευτεροβάθμιο σχολείοκαι μια σειρά από πρόσθετα ερωτήματα που γειτνιάζουν άμεσα με αυτό το μάθημα και το εμβαθύνουν στις κύριες ιδεολογικές γραμμές.

Η συμπερίληψη πρόσθετων ερωτήσεων έχει δύο αλληλένδετους σκοπούς. Αφενός, πρόκειται για τη δημιουργία, σε συνδυασμό με τις κύριες ενότητες του μαθήματος, μιας βάσης για την ικανοποίηση των ενδιαφερόντων και την ανάπτυξη των ικανοτήτων των μαθητών με κλίση στα μαθηματικά, αφετέρου είναι η εκπλήρωση τα κενά περιεχομένου του κυρίως πιάτου, δίνοντας το περιεχόμενο σε βάθος μελέτηαπαραίτητη ακεραιότητα.

Η ειδική εργασία αποτελείται από μια εισαγωγή, δύο κεφάλαια, ένα συμπέρασμα και παρατιθέμενη βιβλιογραφία. Το πρώτο κεφάλαιο εξετάζει τις θεωρητικές βάσεις της μελέτης των περιοχών των πολυγώνων και το δεύτερο κεφάλαιο πραγματεύεται άμεσα μεθοδολογικά χαρακτηριστικάπεριοχές μελέτης.

Κεφάλαιο 1. Θεωρητική βάσημελετώντας τα εμβαδά των πολυγώνων

1.1 Υπολογισμός εκτάσεων στην αρχαιότητα

Οι απαρχές της γεωμετρικής γνώσης που σχετίζεται με τη μέτρηση των περιοχών χάνονται στα βάθη χιλιάδων ετών.

Ακόμη και πριν από 4 - 5 χιλιάδες χρόνια, οι Βαβυλώνιοι ήταν σε θέση να προσδιορίσουν την περιοχή ενός ορθογωνίου και τραπεζοειδούς τετραγωνικές μονάδες. Το τετράγωνο έχει χρησιμεύσει ως πρότυπο για τη μέτρηση των περιοχών λόγω των πολλών αξιοσημείωτων ιδιοτήτων του: ίσες πλευρές, ίσες και ορθές γωνίες, συμμετρία και γενική τελειότητα της μορφής. Τα τετράγωνα είναι εύκολο να κατασκευαστούν ή μπορείτε να γεμίσετε ένα επίπεδο χωρίς κενά.

ΣΕ Αρχαία ΚίναΤο μέτρο του εμβαδού ήταν ένα ορθογώνιο. Όταν οι κτίστες προσδιόρισαν την περιοχή ενός ορθογώνιου τοίχου ενός σπιτιού, πολλαπλασίασαν το ύψος και το πλάτος του τοίχου. Αυτός είναι ο ορισμός που γίνεται αποδεκτός στη γεωμετρία: το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι ίσο με το γινόμενο των παρακείμενων πλευρών του. Και οι δύο αυτές πλευρές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες γραμμικές μονάδες. Το γινόμενο τους θα είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου, που εκφράζεται στις αντίστοιχες τετραγωνικές μονάδες. Ας πούμε, εάν το ύψος και το πλάτος ενός τοίχου μετρηθούν σε δεκατόμετρα, τότε το γινόμενο και των δύο μετρήσεων θα εκφραστεί σε τετραγωνικά δεκατόμετρα. Και αν η περιοχή κάθε σχεδίας που βλέπει είναι ένα τετράγωνο δεκατόμετρο, τότε το προϊόν που προκύπτει θα υποδεικνύει τον αριθμό των πλακιδίων που χρειάζονται για την επένδυση. Αυτό προκύπτει από τη δήλωση στην οποία βασίζεται η μέτρηση των περιοχών: το εμβαδόν ενός σχήματος που αποτελείται από μη τέμνοντα σχήματα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών τους.

Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι πριν από 4.000 χρόνια χρησιμοποιούσαν σχεδόν τις ίδιες τεχνικές με εμάς για να μετρήσουν το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, τριγώνου και τραπεζοειδούς: η βάση του τριγώνου διαιρέθηκε στο μισό και πολλαπλασιάστηκε με το ύψος. για ένα τραπεζοειδές, το άθροισμα των παράλληλων πλευρών διαιρέθηκε στο μισό και πολλαπλασιάστηκε με το ύψος κ.λπ. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν

τετράπλευρο με πλευρές (Εικ. 1.1), χρησιμοποιήθηκε ο τύπος (1.1).

εκείνοι. Τα μισά αθροίσματα των απέναντι πλευρών πολλαπλασιάστηκαν.

Αυτός ο τύπος είναι σαφώς λανθασμένος για οποιοδήποτε τετράπλευρο· συνεπάγεται, συγκεκριμένα, ότι τα εμβαδά όλων των ρόμβων είναι τα ίδια. Εν τω μεταξύ, είναι προφανές ότι τα εμβαδά τέτοιων ρόμβων εξαρτώνται από το μέγεθος των γωνιών στις κορυφές. Αυτός ο τύπος ισχύει μόνο για ένα ορθογώνιο. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να υπολογίσετε κατά προσέγγιση την περιοχή των τετράπλευρων των οποίων οι γωνίες είναι κοντά σε ορθές γωνίες.

Για τον προσδιορισμό της περιοχής

ισοσκελές τρίγωνο(Εικ. 1.2), στον οποίο οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν έναν κατά προσέγγιση τύπο:
(1.2) Εικ. 1.2 Το σφάλμα που γίνεται σε αυτήν την περίπτωση είναι μικρότερο, όσο μικρότερη είναι η διαφορά μεταξύ της πλευράς και του ύψους του τριγώνου, με άλλα λόγια, τόσο πιο κοντά είναι η κορυφή (και ) στη βάση του ύψους από . Γι' αυτό ο κατά προσέγγιση τύπος (1.2) ισχύει μόνο για τρίγωνα με σχετικά μικρή γωνία στην κορυφή.

Αλλά ήδη οι αρχαίοι Έλληνες ήξεραν πώς να βρίσκουν σωστά τις περιοχές των πολυγώνων. Στα Στοιχεία του, ο Ευκλείδης δεν χρησιμοποιεί τη λέξη «περιοχή», αφού από την ίδια τη λέξη «σχήμα» κατανοεί ένα τμήμα ενός επιπέδου που οριοθετείται από τη μία ή την άλλη κλειστή γραμμή. Ο Ευκλείδης δεν εκφράζει το αποτέλεσμα της μέτρησης του εμβαδού με έναν αριθμό, αλλά συγκρίνει τα εμβαδά διαφορετικών σχημάτων μεταξύ τους.

Όπως και άλλοι αρχαίοι επιστήμονες, ο Ευκλείδης ασχολείται με τη μετατροπή κάποιων μορφών σε άλλες ίσου μεγέθους. Η περιοχή ενός σύνθετου σχήματος δεν θα αλλάξει εάν τα μέρη του είναι διατεταγμένα διαφορετικά, αλλά χωρίς να τέμνονται. Επομένως, για παράδειγμα, είναι δυνατό, με βάση τους τύπους για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, να βρείτε τύπους για τις περιοχές άλλων σχημάτων. Έτσι, ένα τρίγωνο χωρίζεται σε μέρη από τα οποία μπορεί στη συνέχεια να σχηματιστεί ένα ορθογώνιο ίσου μεγέθους. Από αυτή την κατασκευή προκύπτει ότι το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινόμενου της βάσης και του ύψους του. Καταφεύγοντας σε μια τέτοια ανακοπή, διαπιστώνουν ότι το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο της βάσης και του ύψους και το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους .

Όταν οι κτίστες πρέπει να πλακώσουν έναν τοίχο με πολύπλοκη διαμόρφωση, μπορούν να προσδιορίσουν την περιοχή του τοίχου μετρώντας τον αριθμό των πλακιδίων που χρησιμοποιούνται για την επένδυση. Ορισμένα πλακάκια, φυσικά, θα πρέπει να κοπούν έτσι ώστε οι άκρες της επένδυσης να συμπίπτουν με την άκρη του τοίχου. Ο αριθμός όλων των πλακιδίων που χρησιμοποιούνται στην εργασία υπολογίζει την επιφάνεια του τοίχου με πλεόνασμα, τον αριθμό των μη σπασμένων πλακιδίων - με έλλειψη. Καθώς το μέγεθος των κυψελών μειώνεται, η ποσότητα των απορριμμάτων μειώνεται και η επιφάνεια του τοίχου, που προσδιορίζεται από τον αριθμό των πλακιδίων, υπολογίζεται όλο και με μεγαλύτερη ακρίβεια.

Ένας από τους μετέπειτα Έλληνες μαθηματικούς και εγκυκλοπαιδιστές, των οποίων τα έργα είχαν κυρίως εφαρμοσμένο χαρακτήρα, ήταν ο Ήρων ο Αλεξανδρινός, που έζησε τον 1ο αιώνα. n. μι. Όντας εξαιρετικός μηχανικός, ονομαζόταν και «Ήρων ο Μηχανικός». Στο έργο του «Dioptrics» ο Heron περιγράφει διάφορες μηχανές και πρακτικά όργανα μέτρησης.

Ένα από τα βιβλία του Heron ονομαζόταν «Geometrics» και είναι ένα είδος συλλογής τύπων και αντίστοιχων προβλημάτων. Περιέχει παραδείγματα για τον υπολογισμό των εμβαδών τετραγώνων, ορθογωνίων και τριγώνων. Σχετικά με την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου με βάση τις πλευρές του, ο Heron γράφει: «Ας, για παράδειγμα, η μία πλευρά του τριγώνου έχει μήκος 13 κορδονιών μέτρησης, η δεύτερη 14 και η τρίτη 15. Για να βρείτε την περιοχή, προχωρήστε ως εξής. Προσθέστε 13, 14 και 15. Θα είναι 42. Το μισό από αυτό θα είναι 21. Αφαιρέστε από αυτό τις τρεις πλευρές μία προς μία. πρώτα αφαιρέστε το 13 - σας μένει το 8, μετά το 14 - σας μένει το 7 και τέλος το 15 - σας μένει το 6. Τώρα πολλαπλασιάστε τα: 21 φορές το 8 δίνει 168, πάρτε αυτό 7 φορές - παίρνετε 1176 και παίρνετε αυτό άλλες 6 φορές - παίρνετε 7056. Από εδώ Τετραγωνική ρίζαθα είναι 84. Τόσα κορδόνια μέτρησης θα υπάρχουν στην περιοχή του τριγώνου».

Μετατροπέας μονάδων απόστασης και μήκους Μετατροπέας μονάδων επιφάνειας Ελάτε μαζί μας © 2011-2017 Dovzhik Mikhail Απαγορεύεται η αντιγραφή υλικών. Στην ηλεκτρονική αριθμομηχανή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τιμές στις ίδιες μονάδες μέτρησης! Εάν δυσκολεύεστε να μετατρέψετε μονάδες μέτρησης, χρησιμοποιήστε τον μετατροπέα μονάδων απόστασης και μήκους και τον μετατροπέα μονάδων εμβαδού. Πρόσθετα χαρακτηριστικά της αριθμομηχανής τετράπλευρου εμβαδού

• Μπορείτε να μετακινηθείτε μεταξύ των πεδίων εισαγωγής πατώντας τα πλήκτρα «δεξιά» και «αριστερά» στο πληκτρολόγιο.

Θεωρία. Εμβαδόν τετράπλευρου Το τετράπλευρο είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από τέσσερα σημεία (κορυφές), από τα οποία κανένα δεν βρίσκεται στην ίδια ευθεία γραμμή και τέσσερα τμήματα (πλευρές) που συνδέουν αυτά τα σημεία σε ζεύγη. Ένα τετράπλευρο ονομάζεται κυρτό αν το τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε δύο σημεία αυτού του τετράπλευρου βρίσκεται μέσα του.

Πώς να μάθετε το εμβαδόν ενός πολυγώνου;

Ο τύπος για τον προσδιορισμό του εμβαδού καθορίζεται παίρνοντας κάθε ακμή του πολυγώνου ΑΒ και υπολογίζοντας το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΟ με την κορυφή του στην αρχή Ο, μέσω των συντεταγμένων των κορυφών. Όταν περπατάτε γύρω από ένα πολύγωνο, σχηματίζονται τρίγωνα που περιλαμβάνουν το εσωτερικό του πολυγώνου και αυτά που βρίσκονται έξω από αυτό. Η διαφορά μεταξύ του αθροίσματος αυτών των περιοχών είναι η περιοχή του ίδιου του πολυγώνου.

Επομένως, ο τύπος ονομάζεται τύπος επιθεωρητή, αφού ο "χαρτογράφος" βρίσκεται στην αρχή. αν περπατά γύρω από την περιοχή αριστερόστροφα, το εμβαδόν προστίθεται αν είναι αριστερά και αφαιρείται αν είναι δεξιά από την άποψη της προέλευσης. Ο τύπος εμβαδού ισχύει για οποιοδήποτε αυτοδιαχωριζόμενο (απλό) πολύγωνο, το οποίο μπορεί να είναι κυρτό ή κοίλο. Περιεχόμενο

• 1 Ορισμός
• 2 Παραδείγματα
• 3 Πιο περίπλοκο παράδειγμα
• 4 Επεξήγηση ονόματος
• 5 Βλ

Εμβαδόν πολυγώνου

Προσοχή

Θα μπορούσε να είναι:

• τρίγωνο;
• τετράπλευρο;
• πεντάγωνο ή εξάγωνο και ούτω καθεξής.

Ένα τέτοιο σχήμα σίγουρα θα χαρακτηρίζεται από δύο θέσεις:

1. Οι διπλανές πλευρές δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία.
2. Τα μη διπλανά δεν έχουν κοινά σημεία, δηλαδή δεν τέμνονται.

Για να καταλάβετε ποιες κορυφές είναι γειτονικές, θα πρέπει να δείτε αν ανήκουν στην ίδια πλευρά. Αν ναι, τότε γειτονικές. Διαφορετικά, μπορούν να συνδεθούν με ένα τμήμα, το οποίο πρέπει να ονομάζεται διαγώνιος. Μπορούν να πραγματοποιηθούν μόνο σε πολύγωνα που έχουν περισσότερες από τρεις κορυφές.

Τι είδη από αυτά υπάρχουν; Ένα πολύγωνο με περισσότερες από τέσσερις γωνίες μπορεί να είναι κυρτό ή κοίλο. Η διαφορά μεταξύ του τελευταίου είναι ότι μερικές από τις κορυφές του μπορεί να βρίσκονται κατά μήκος διαφορετικές πλευρέςαπό μια ευθεία γραμμή που χαράσσεται μέσα από μια αυθαίρετη πλευρά του πολυγώνου.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός κανονικού και ακανόνιστου εξαγώνου;

• Γνωρίζοντας το μήκος της πλευράς, πολλαπλασιάστε το με 6 και λάβετε την περίμετρο του εξαγώνου: 10 cm x 6 = 60 cm
• Ας αντικαταστήσουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν στον τύπο μας:
Εμβαδόν = 1/2*περίμετρος*απόθεμα Περιοχή = ½*60cm*5√3 Λύση: Τώρα μένει να απλοποιήσουμε την απάντηση για να απαλλαγούμε από τετραγωνικές ρίζεςκαι υποδείξτε το αποτέλεσμα που λήφθηκε σε τετραγωνικά εκατοστά: ½ * 60 cm * 5√3 cm =30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm² Βίντεο σχετικά με τον τρόπο εύρεσης της περιοχής ενός κανονικού εξαγώνου Υπάρχουν πολλά επιλογές για τον προσδιορισμό της περιοχής ενός ακανόνιστου εξαγώνου:

• Τραπεζοειδής μέθοδος.
• Μια μέθοδος για τον υπολογισμό του εμβαδού των ακανόνιστων πολυγώνων χρησιμοποιώντας τον άξονα συντεταγμένων.
• Μια μέθοδος για το σπάσιμο ενός εξαγώνου σε άλλα σχήματα.

Ανάλογα με τα αρχικά δεδομένα που γνωρίζετε, επιλέγεται μια κατάλληλη μέθοδος.

Σπουδαίος

Μερικά ακανόνιστα εξάγωνα αποτελούνται από δύο παραλληλόγραμμα. Για να προσδιορίσετε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου, πολλαπλασιάστε το μήκος του με το πλάτος του και στη συνέχεια προσθέστε τις δύο ήδη γνωστές περιοχές. Βίντεο για το πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός πολυγώνου Ένα ισόπλευρο εξάγωνο έχει έξι ίσες πλευρές και είναι ένα κανονικό εξάγωνο.

Το εμβαδόν ενός ισόπλευρου εξαγώνου είναι ίσο με 6 περιοχές των τριγώνων στα οποία χωρίζεται ένα κανονικό εξαγωνικό σχήμα. Όλα τα τρίγωνα σε ένα εξάγωνο σωστή φόρμαείναι ίσα, επομένως, για να βρείτε το εμβαδόν ενός τέτοιου εξαγώνου, θα αρκεί να γνωρίζετε το εμβαδόν τουλάχιστον ενός τριγώνου. Για να βρούμε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου εξαγώνου, χρησιμοποιούμε, φυσικά, τον τύπο για το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου που περιγράφεται παραπάνω.

404 δεν βρέθηκε

Η διακόσμηση ενός σπιτιού, η ένδυση και η σχεδίαση εικόνων συνέβαλαν στη διαδικασία διαμόρφωσης και συσσώρευσης πληροφοριών στον τομέα της γεωμετρίας, τις οποίες οι άνθρωποι εκείνης της εποχής αποκτούσαν εμπειρικά, σπιθαμή προς σπιθαμή, και μετέδιδαν από γενιά σε γενιά. Σήμερα, η γνώση της γεωμετρίας είναι απαραίτητη για τον κόφτη, τον κατασκευαστή, τον αρχιτέκτονα και όλους στον απλό άνθρωποστο σπίτι. Επομένως, πρέπει να μάθετε να υπολογίζετε την περιοχή διάφορες φιγούρες, και να θυμάστε ότι καθένας από τους τύπους μπορεί να είναι χρήσιμος αργότερα στην πράξη, συμπεριλαμβανομένου του τύπου για ένα κανονικό εξάγωνο.
Ένα εξάγωνο είναι ένα πολυγωνικό σχήμα του οποίου ο συνολικός αριθμός γωνιών είναι έξι. Ένα κανονικό εξάγωνο είναι ένα εξάγωνο σχήμα που έχει ίσες πλευρές. Οι γωνίες ενός κανονικού εξαγώνου είναι επίσης ίσες μεταξύ τους.
Στην καθημερινή ζωή, μπορούμε συχνά να συναντήσουμε αντικείμενα που έχουν σχήμα κανονικού εξαγώνου.

Αριθμομηχανή εμβαδού ενός ακανόνιστου πολυγώνου στις πλευρές

Θα χρειαστείτε

• - ρουλέτα
• — ηλεκτρονικός αποστασιόμετρο.
• - ένα φύλλο χαρτιού και ένα μολύβι.
• - αριθμομηχανή.

Οδηγία 1 Εάν χρειάζεστε συνολική έκτασηδιαμέρισμα ή ένα ξεχωριστό δωμάτιο, απλά διαβάστε το τεχνικό διαβατήριο για το διαμέρισμα ή το σπίτι, δείχνει τα πλάνα κάθε δωματίου και το συνολικό υλικό του διαμερίσματος. 2 Για να μετρήσετε την περιοχή ενός ορθογώνιου ή τετράγωνου δωματίου, πάρτε μια μεζούρα ή ηλεκτρονικό αποστασιόμετρο και μετρήστε το μήκος των τοίχων. Όταν μετράτε αποστάσεις με αποστασιόμετρο, βεβαιωθείτε ότι η κατεύθυνση της δέσμης είναι κάθετη, διαφορετικά τα αποτελέσματα της μέτρησης ενδέχεται να παραμορφωθούν. 3 Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε το μήκος που προκύπτει (σε ​​μέτρα) του δωματίου με το πλάτος (σε μέτρα). Η προκύπτουσα τιμή θα είναι η επιφάνεια δαπέδου, μετράται σε τετραγωνικά μέτρα.

Τύπος περιοχής Gauss

Εάν πρέπει να υπολογίσετε την επιφάνεια δαπέδου περισσότερο από πολύπλοκος σχεδιασμόςΓια παράδειγμα, ένα πενταγωνικό δωμάτιο ή ένα δωμάτιο με στρογγυλή καμάρα, σχεδιάστε ένα σκίτσο σε ένα κομμάτι χαρτί. Στη συνέχεια διαιρέστε πολύπλοκο σχήμασε πολλά απλά, για παράδειγμα, σε ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο ή ένα ορθογώνιο και ένα ημικύκλιο. Χρησιμοποιώντας μια μεζούρα ή μετρητή απόστασης, μετρήστε το μέγεθος όλων των πλευρών των σχημάτων που προκύπτουν (για έναν κύκλο πρέπει να γνωρίζετε τη διάμετρο) και καταγράψτε τα αποτελέσματα στο σχέδιό σας.

5 Τώρα υπολογίστε το εμβαδόν κάθε σχήματος ξεχωριστά. Υπολογίστε το εμβαδόν των ορθογωνίων και των τετραγώνων πολλαπλασιάζοντας τις πλευρές. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός κύκλου, διαιρέστε τη διάμετρο στο μισό και τετραγωνίστε την (πολλαπλασιάστε την από μόνη της), στη συνέχεια πολλαπλασιάστε την τιμή που προκύπτει κατά 3,14.
Εάν χρειάζεστε μόνο μισό κύκλο, διαιρέστε την περιοχή που προκύπτει στη μέση. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου, βρείτε το P διαιρώντας το άθροισμα όλων των πλευρών με το 2.

Τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ακανόνιστου πολυγώνου

Εάν τα σημεία αριθμούνται διαδοχικά αριστερόστροφα, τότε οι ορίζοντες στον παραπάνω τύπο είναι θετικοί και ο συντελεστής σε αυτόν μπορεί να παραλειφθεί. εάν είναι αριθμημένα δεξιόστροφα, οι ορίζουσες θα είναι αρνητικές. Αυτό συμβαίνει επειδή ο τύπος μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωσηΘεώρημα Green. Για να εφαρμόσετε τον τύπο, πρέπει να γνωρίζετε τις συντεταγμένες των κορυφών του πολυγώνου στο καρτεσιανό επίπεδο.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε ένα τρίγωνο με συντεταγμένες ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Ας πάρουμε την πρώτη συντεταγμένη x της πρώτης κορυφής και ας την πολλαπλασιάσουμε με τη συντεταγμένη y της δεύτερης κορυφής και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τη συντεταγμένη x της δεύτερης κορυφής με τη συντεταγμένη y της τρίτης. Ας επαναλάβουμε αυτή τη διαδικασία για όλες τις κορυφές. Το αποτέλεσμα μπορεί να προσδιοριστεί με τον ακόλουθο τύπο: A tri.

Τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ακανόνιστου τετράπλευρου

Α) _(\κείμενο(τρι.))=(1 \πάνω από 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) όπου xi και yi δηλώνουν την αντίστοιχη συντεταγμένη. Αυτός ο τύπος μπορεί να ληφθεί ανοίγοντας τις παρενθέσεις στον γενικό τύπο για την περίπτωση n = 3. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, μπορείτε να βρείτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με το μισό του αθροίσματος των 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, που δίνει 3. Ο αριθμός των μεταβλητών στον τύπο εξαρτάται από τον αριθμό των πλευρών ενός πολυγώνου. Για παράδειγμα, ο τύπος για το εμβαδόν ενός πενταγώνου θα χρησιμοποιούσε μεταβλητές έως και x5 και y5: A pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \πάνω από 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) Α για τετράπλευρο - μεταβλητές έως x4 και y4: Ένα τετράπλευρο.

Πολύγωνο είναι ένα επίπεδο ή κυρτό σχήμα που αποτελείται από τεμνόμενες ευθείες (περισσότερες από 3) και μορφές ένας μεγάλος αριθμός απόσημεία τομής γραμμών. Ένα άλλο πολύγωνο μπορεί να οριστεί ως μια διακεκομμένη γραμμή που κλείνει. Με άλλο τρόπο, τα σημεία τομής μπορούν να ονομαστούν κορυφές του σχήματος. Ανάλογα με τον αριθμό των κορυφών, το σχήμα μπορεί να ονομαστεί πεντάγωνο, εξάγωνο και ούτω καθεξής. Η γωνία ενός πολυγώνου είναι η γωνία που σχηματίζεται από τις πλευρές που συναντώνται σε μία κορυφή. Η γωνία βρίσκεται μέσα στο πολύγωνο. Επιπλέον, οι γωνίες μπορεί να είναι διαφορετικές, έως και 180 μοίρες. Υπάρχουν και εξωτερικές γωνίες, που συνήθως γειτνιάζουν με την εσωτερική.

Οι ευθείες που τέμνονται στη συνέχεια ονομάζονται πλευρές του πολυγώνου. Μπορούν να είναι γειτονικά, γειτονικά ή μη. Ένα πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό που παρουσιάζεται γεωμετρικό σχήμαείναι ότι οι μη γειτονικές πλευρές του δεν τέμνονται, άρα και δεν έχουν κοινά σημεία. Οι διπλανές πλευρές ενός σχήματος δεν μπορούν να βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Όσες κορυφές ενός σχήματος ανήκουν στην ίδια ευθεία μπορούν να ονομαστούν γειτονικές. Εάν σχεδιάσετε μια γραμμή μεταξύ δύο κορυφών που δεν είναι γειτονικές, θα έχετε τη διαγώνιο ενός πολυγώνου. Όσον αφορά το εμβαδόν ενός σχήματος, αυτό είναι το εσωτερικό τμήμα του επιπέδου ενός γεωμετρικού σχήματος με μεγάλο αριθμό κορυφών, το οποίο δημιουργείται από τα τμήματα πολυγώνου που το διαιρούν.

Δεν υπάρχει ενιαία λύση για τον προσδιορισμό του εμβαδού του παρουσιαζόμενου γεωμετρικού σχήματος, αφού μπορεί να υπάρχει άπειρος αριθμός παραλλαγών του σχήματος και για κάθε παραλλαγή υπάρχει η δική της λύση. Ωστόσο, μερικές από τις πιο κοινές επιλογές για την εύρεση της περιοχής μιας φιγούρας πρέπει ακόμα να ληφθούν υπόψη (χρησιμοποιούνται συχνότερα στην πράξη και περιλαμβάνονται ακόμη και στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών).

Πρώτα απ 'όλα, ας θεωρήσουμε ένα κανονικό πολύγωνο, δηλαδή ένα σχήμα στο οποίο όλες οι γωνίες που σχηματίζονται από ίσες πλευρές είναι επίσης ίσες. Λοιπόν, πώς βρίσκετε το εμβαδόν ενός πολυγώνου σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα; Για αυτήν την περίπτωση, η εύρεση του εμβαδού ενός πολυγωνικού σχήματος είναι δυνατή εάν δοθεί η ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο σχήμα ή περιγεγραμμένος γύρω του. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο:

S = ½∙P∙r, όπου r είναι η ακτίνα ενός κύκλου (εγγεγραμμένο ή περιγεγραμμένο), και P είναι η περίμετρος ενός γεωμετρικού πολυγωνικού σχήματος, το οποίο μπορεί να βρεθεί πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των πλευρών του σχήματος με το μήκος τους.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός πολυγώνου

Για να απαντήσετε στο ερώτημα πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός πολυγώνου, αρκεί να ακολουθήσετε την ακόλουθη ενδιαφέρουσα ιδιότητα μιας πολυγωνικής φιγούρας, την οποία κάποτε ανακάλυψε ο διάσημος Αυστριακός μαθηματικός Georg Pieck. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τον τύπο S = N + M/2 -1, μπορείτε να βρείτε την περιοχή ενός πολυγώνου του οποίου οι κορυφές βρίσκονται στους κόμβους ενός τετράγωνου πλέγματος. Σε αυτήν την περίπτωση, το S είναι, κατά συνέπεια, η περιοχή. N – ο αριθμός των τετράγωνων κόμβων πλέγματος που βρίσκονται μέσα σε ένα σχήμα με πολλές γωνίες. M είναι ο αριθμός των κόμβων του τετραγωνικού πλέγματος που βρίσκονται στις κορυφές και τις πλευρές του πολυγώνου. Ωστόσο, παρά την ομορφιά του, η φόρμουλα του Pick πρακτικά δεν χρησιμοποιείται στην πρακτική γεωμετρία.

Η απλούστερη και πιο διάσημη μέθοδος προσδιορισμού του εμβαδού, που μελετάται στο σχολείο, είναι η διαίρεση ενός πολυγωνικού γεωμετρικού σχήματος σε πιο απλά μέρη (τραπεζοειδή, ορθογώνια, τρίγωνα). Η εύρεση της περιοχής αυτών των μορφών δεν είναι δύσκολη. Σε αυτή την περίπτωση, το εμβαδόν του πολυγώνου καθορίζεται απλά: πρέπει να βρείτε τις περιοχές όλων εκείνων των σχημάτων στα οποία χωρίζεται το πολύγωνο.

Βασικά, ο ορισμός του εμβαδού ενός πολυγώνου καθορίζεται στη μηχανική (διαστάσεις τμημάτων).