ΜΑΓΙΚΗ ΠΛΑΤΕΙΑ
Η Κίνα θεωρείται η γενέτειρα των μαγικών τετραγώνων. Στην Κίνα, υπάρχει η διδασκαλία του Φενγκ Σούι, που λέει ότι το χρώμα, το σχήμα και η φυσική τοποθέτηση κάθε στοιχείου σε έναν χώρο επηρεάζει τη ροή του Qi, είτε επιβραδύνοντάς το είτε ανακατευθύνοντάς το είτε επιταχύνοντάς το, γεγονός που επηρεάζει άμεσα την ενέργεια. επίπεδα των κατοίκων. Για να μάθουν τα μυστικά του κόσμου, οι θεοί έστειλαν στον αυτοκράτορα Yu το αρχαιότερο σύμβολο, την πλατεία Lo Shu (Lo - ποτάμι).
MAGIC SQARE LO SHU
Ο θρύλος λέει ότι πριν από περίπου τέσσερις χιλιάδες χρόνια, μια μεγάλη χελώνα, η Shu, αναδύθηκε από τα θυελλώδη νερά του ποταμού Λούο. Οι άνθρωποι που έκαναν θυσίες στο ποτάμι είδαν τη χελώνα και την αναγνώρισαν αμέσως ως θεότητα. Οι σκέψεις των αρχαίων σοφών φάνηκαν τόσο λογικές στον αυτοκράτορα Yu που διέταξε να απαθανατιστεί η εικόνα μιας χελώνας σε χαρτί και τη σφράγισε με την αυτοκρατορική του σφραγίδα. Διαφορετικά, πώς θα γνωρίζαμε αυτό το γεγονός;
Αυτή η χελώνα ήταν πραγματικά ξεχωριστή επειδή είχε ένα περίεργο σχέδιο κουκκίδων στο καβούκι της. Οι κουκκίδες σημειώθηκαν με τάξη, γεγονός που οδήγησε τους αρχαίους φιλοσόφους στην ιδέα ότι το τετράγωνο με τους αριθμούς στο κέλυφος της χελώνας χρησιμεύει ως πρότυπο διαστήματος - ένας χάρτης του κόσμου που συντάχθηκε από τον μυθικό ιδρυτή του κινεζικού πολιτισμού, Huang Di. Στην πραγματικότητα, το άθροισμα των αριθμών στις στήλες, τις σειρές και τις δύο διαγώνιους του τετραγώνου είναι το ίδιο M = 15 και ισούται με τον αριθμό των ημερών σε καθέναν από τους 24 κύκλους των κινεζικών ηλιακό έτος.
Ζυγοί και περιττοί αριθμοί εναλλάσσονται: 4 άρτιοι αριθμοί (γραμμένοι από κάτω προς τα πάνω με φθίνουσα σειρά) βρίσκονται στις τέσσερις γωνίες και 5 περιττοί αριθμοί (γραμμένοι από κάτω προς τα πάνω σε αύξουσα σειρά) σχηματίζουν έναν σταυρό στο κέντρο του τετραγώνου. Τα πέντε στοιχεία του σταυρού αντανακλούν τη γη, τη φωτιά, το μέταλλο, το νερό και το δάσος. Το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο αριθμών που χωρίζονται από ένα κέντρο είναι ίσο με τον αριθμό Ho Ti, δηλ. δέκα.
Μονοί αριθμοί(Σύμβολα της Γης) Το Lo Shu σημειώθηκε στο σώμα της χελώνας με τη μορφή μαύρων κουκκίδων ή συμβόλων Γιν και περιττών αριθμών (σύμβολα του ουρανού) - με τη μορφή λευκών κουκκίδων ή συμβόλων Yang. Η γη 1 (ή το νερό) είναι κάτω, η φωτιά 9 (ή ο ουρανός) είναι από πάνω. Είναι πιθανό η σύγχρονη εικόνα του αριθμού 5, που τοποθετείται στο κέντρο της σύνθεσης, να οφείλεται στο κινεζικό σύμβολο της δυαδικότητας του Γιανγκ και του Γιν.
ΜΑΓΙΚΗ ΠΛΑΤΕΙΑ ΑΠΟ ΤΟ KHAJURAHO
Ανατολικό δωμάτιο
Η μαγεία του Τζόζεφ Ράντγιαρντ Κίπλινγκ, που δημιούργησε τις εικόνες του Μόουγκλι, της Μπαγκίρα, του Μπαλού, του Σέρε Καν και, φυσικά, του Ταμπάκα, ξεκίνησε στις παραμονές του εικοστού αιώνα. Μισό αιώνα νωρίτερα, τον Φεβρουάριο του 1838, ένας νεαρός Βρετανός αξιωματικός των Μηχανικών της Βεγγάλης, T.S. Ο Μπερτ, ενδιαφερόμενος για τη συζήτηση των υπηρετών που κουβαλούσαν την παλανκίνα του, παρέκκλινε από τη διαδρομή και έπεσε πάνω σε αρχαίους ναούς στις ζούγκλες της Ινδίας.
Στα σκαλιά του ναού Vishvanatha, ο αξιωματικός βρήκε μια επιγραφή που μαρτυρεί την αρχαιότητα των κατασκευών. Μετά από λίγο, ο ενεργητικός Υποστράτηγος A. Cunningham σχεδίασε λεπτομερή σχέδια για τον Khajuraho. Ξεκίνησαν οι ανασκαφές, με αποκορύφωμα την συγκλονιστική ανακάλυψη 22 ναών. Οι ναοί ανεγέρθηκαν από τους Μαχαραγιές της δυναστείας τους Chandel. Μετά την κατάρρευση του βασιλείου τους, η ζούγκλα κατάπιε τα κτίρια για χίλια χρόνια. Το τετράγωνο της τέταρτης τάξης, που βρέθηκε ανάμεσα στις εικόνες γυμνών θεών και θεών, ήταν εκπληκτικό.
Όχι μόνο τα αθροίσματα αυτού του τετραγώνου κατά μήκος των σειρών, των στηλών και των διαγώνιων συμπίπτουν και ισούνται με 34. Συνέπεσαν επίσης κατά μήκος των σπασμένων διαγώνιων που σχηματίζονται όταν το τετράγωνο διπλώνεται σε έναν τόρο και προς τις δύο κατευθύνσεις. Για τέτοια μαγεία αριθμών, τέτοια τετράγωνα ονομάζονται "διαβολικά" (ή "πανδιαγώνια" ή "nasik").
Φυσικά, αυτό έδειχνε ασυνήθιστο μαθηματικές ικανότητεςοι δημιουργοί τους, ανώτεροι από τους αποικιοκράτες. Αυτό που αναπόφευκτα ένιωσαν οι άνθρωποι με τα λευκά κράνη.
Η ΜΑΓΙΚΗ ΠΛΑΤΕΙΑ DURER
Ο διάσημος Γερμανός καλλιτέχνης των αρχών του 16ου αιώνα, Albrecht Durer, δημιούργησε το πρώτο μαγικό τετράγωνο 4x4 στην ευρωπαϊκή τέχνη. Το άθροισμα των αριθμών σε οποιαδήποτε σειρά, στήλη, διαγώνιο και επίσης, παραδόξως, σε κάθε τέταρτο (ακόμη και στο κεντρικό τετράγωνο) και ακόμη και το άθροισμα των γωνιακών αριθμών είναι 34. Οι δύο μεσαίοι αριθμοί στην κάτω σειρά δείχνουν την ημερομηνία δημιουργίας του πίνακα (1514). Έχουν γίνει διορθώσεις στα μεσαία τετράγωνα της πρώτης στήλης - οι αριθμοί παραμορφώνονται.
Στην εικόνα με το απόκρυφο φτερωτό ποντίκι Κρόνος, το μαγικό τετράγωνο αποτελείται από τη φτερωτή νοημοσύνη Δία, που αντιτίθενται μεταξύ τους. Το τετράγωνο είναι συμμετρικό, αφού το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο αριθμών που περιλαμβάνονται σε αυτό, που βρίσκονται συμμετρικά σε σχέση με το κέντρο του, είναι ίσο με 17. Αν αθροίσετε τους τέσσερις αριθμούς που προέκυψαν από την κίνηση του ιππότη του σκακιού, θα λάβετε 34. Αλήθεια , αυτό το τετράγωνο, με την άψογη τακτοποίησή του, αντανακλά τη μελαγχολία που έχει κυριεύσει τον καλλιτέχνη.
Πρωινό όνειρο.
Οι Ευρωπαίοι γνώρισαν εκπληκτικά τετράγωνα αριθμών από τον βυζαντινό συγγραφέα και γλωσσολόγο Μοσχόπουλο. Το έργο του ήταν ένα ειδικό δοκίμιο για αυτό το θέμα και περιείχε παραδείγματα από τα μαγικά τετράγωνα του συγγραφέα.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΑΓΙΚΩΝ ΤΕΤΡΑΓΕΙΩΝ
Στα μέσα του 16ου αι. Στην Ευρώπη εμφανίστηκαν έργα στα οποία τα μαγικά τετράγωνα εμφανίζονταν ως αντικείμενα μαθηματικής έρευνας. Ακολούθησαν πολλά άλλα έργα, ιδιαίτερα από τόσο διάσημους μαθηματικούς, τους ιδρυτές σύγχρονη επιστήμη, όπως οι Stiefel, Baschet, Pascal, Fermat, Bessy, Euler, Gauss.
Μαγικός, ή ένα μαγικό τετράγωνο, είναι ένας τετράγωνος πίνακας γεμάτος με n 2 αριθμούς με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε σειρά, κάθε στήλη και στις δύο διαγώνιες να είναι το ίδιο. Ο ορισμός είναι υπό όρους, αφού και οι αρχαίοι προσέδιδαν νόημα, για παράδειγμα, στο χρώμα.
Κανονικόςονομάζεται ένα μαγικό τετράγωνο γεμάτο με ακέραιους αριθμούς από το 1 έως το n 2. Τα κανονικά μαγικά τετράγωνα υπάρχουν για όλες τις παραγγελίες εκτός από το n = 2, αν και η περίπτωση n = 1 είναι ασήμαντη - το τετράγωνο αποτελείται από έναν μόνο αριθμό.
Καλείται το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή, στήλη και διαγώνιο μαγική σταθεράΜ. Η μαγική σταθερά ενός κανονικού μαγικού τετραγώνου εξαρτάται μόνο από το n και δίνεται από τον τύπο
Μ = n (n 2 + 1) /2
Οι πρώτες τιμές των μαγικών σταθερών δίνονται στον πίνακα
Αν το άθροισμα των αριθμών σε ένα τετράγωνο είναι ίσο μόνο σε γραμμές και στήλες, τότε καλείται ημι-μαγικός. Το μαγικό τετράγωνο λέγεται προσεταιριστικήή συμμετρικός, αν το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο αριθμών που βρίσκονται συμμετρικά γύρω από το κέντρο του τετραγώνου είναι ίσο με n 2 + 1.
Υπάρχει μόνο ένα κανονικό τετράγωνο τρίτης τάξης. Πολλοί τον γνώριζαν. Η διάταξη των αριθμών στο τετράγωνο Lo Shu μοιάζει με τους συμβολικούς χαρακτηρισμούς των πνευμάτων στην Καμπάλα και τα σημάδια της ινδικής αστρολογίας.
Γνωστό και ως τετράγωνο Κρόνου. Μερικοί μυστικές εταιρείεςτον Μεσαίωνα είδαν σε αυτό την «Καμπάλα των εννέα θαλάμων». Αναμφίβολα, η απόχρωση της απαγορευμένης μαγείας σήμαινε πολλά για τη διατήρηση των εικόνων του.
Ήταν σημαντικό στη μεσαιωνική αριθμολογία, χρησιμοποιούμενο συχνά ως φυλαχτό ή μαντικό βοήθημα. Κάθε κελί αντιστοιχεί σε ένα μυστικιστικό γράμμα ή άλλο σύμβολο. Διαβάστε μαζί σε μια συγκεκριμένη γραμμή, αυτά τα ζώδια μετέφεραν απόκρυφα μηνύματα. Οι αριθμοί που απαρτίζουν την ημερομηνία γέννησης τοποθετήθηκαν στα κελιά του τετραγώνου και στη συνέχεια αποκρυπτογραφήθηκαν ανάλογα με τη σημασία και τη θέση των αριθμών.
Ανάμεσα στα πανδιαγώνια, όπως λέγονται επίσης, διαβολικά μαγικά τετράγωνα, διακρίνονται τα συμμετρικά - ιδανικά. Το διαβολικό τετράγωνο παραμένει διαβολικό αν το περιστρέψετε, το ανακλάσετε, αναδιατάξετε τη σειρά από πάνω προς τα κάτω και αντίστροφα, διαγράψετε μια στήλη δεξιά ή αριστερά και την αντιστοιχίσετε στην αντίθετη πλευρά. Υπάρχουν πέντε μετασχηματισμοί συνολικά, το διάγραμμα του τελευταίου φαίνεται στο σχήμα
Υπάρχουν 48 διαβολικά τετράγωνα 4x4 με ακρίβεια περιστροφής και ανάκλασης. Αν λάβουμε επίσης υπόψη τη συμμετρία ως προς τις τορικές παράλληλες μεταφράσεις, τότε απομένουν μόνο τρία ουσιαστικά διαφορετικά διαβολικά τετράγωνα 4x4:
Ο Claude F. Bragdon, ένας διάσημος Αμερικανός αρχιτέκτονας, ανακάλυψε ότι συνδέοντας ένα προς ένα τα κελιά με μόνο ζυγούς ή μόνο περιττούς αριθμούς μαγικών τετραγώνων σε μια διακεκομμένη γραμμή, στις περισσότερες περιπτώσεις έχουμε ένα κομψό μοτίβο. Το σχέδιο που εφηύρε για τη σχάρα εξαερισμού στην οροφή του Εμπορικού Επιμελητηρίου στο Ρότσεστερ της Νέας Υόρκης, όπου ζούσε, κατασκευάστηκε από τη μαγική διακεκομμένη γραμμή του φυλαχτού Lo-Shu. Ο Bragdon χρησιμοποίησε «μαγικές γραμμές» ως σχέδια για σχέδια υφασμάτων, εξώφυλλα βιβλίων, αρχιτεκτονικά διακοσμητικά και διακοσμητικά καλύμματα κεφαλής.
Εάν απλώσετε ένα μωσαϊκό πανομοιότυπων διαβολικών τετραγώνων (κάθε τετράγωνο πρέπει να είναι κοντά στα γείτονά του), θα λάβετε κάτι σαν παρκέ, στο οποίο οι αριθμοί σε οποιαδήποτε ομάδα κελιών 4x4 θα σχηματίσουν ένα διαβολικό τετράγωνο. Οι αριθμοί σε τέσσερα κελιά, ακολουθούν ο ένας μετά τον άλλο, ανεξάρτητα από το πώς βρίσκονται - κάθετα, οριζόντια ή διαγώνια - αθροίζονται πάντα στη σταθερά του τετραγώνου. Σύγχρονοι μαθηματικοίαποκαλούν τέτοια τετράγωνα «τέλεια».
ΛΑΤΙΝΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
Το λατινικό τετράγωνο είναι ένας τύπος ακανόνιστου μαθηματικού τετραγώνου γεμάτο με n διάφορα σύμβολαμε τέτοιο τρόπο ώστε και οι n χαρακτήρες να εμφανίζονται σε κάθε σειρά και σε κάθε στήλη (κάθε μία φορά).
Τα λατινικά τετράγωνα υπάρχουν για οποιοδήποτε n. Κάθε λατινικό τετράγωνο είναι ένας πίνακας πολλαπλασιασμού (πίνακας Cayley) μιας οιονεί ομάδας. Το όνομα "λατινικό τετράγωνο" προέρχεται από τον Leonhard Euler, ο οποίος χρησιμοποιούσε λατινικά γράμματα αντί για αριθμούς σε έναν πίνακα.
Δύο λατινικά τετράγωνα λέγονται ορθογώνιο, εάν όλα τα διατεταγμένα ζεύγη συμβόλων (a,b) είναι διαφορετικά, όπου το a είναι σύμβολο σε κάποιο κελί του πρώτου λατινικού τετραγώνου και το b είναι σύμβολο στο ίδιο κελί του δεύτερου λατινικού τετραγώνου.
Τα ορθογώνια λατινικά τετράγωνα υπάρχουν για οποιαδήποτε σειρά εκτός από το 2 και το 6. Επειδή το n είναι δύναμη ενός πρώτου αριθμού, υπάρχει ένα σύνολο από n–1 κατά ζεύγη ορθογώνια λατινικά τετράγωνα. Εάν σε κάθε διαγώνιο ενός λατινικού τετραγώνου όλα τα στοιχεία είναι διαφορετικά, ένα τέτοιο λατινικό τετράγωνο ονομάζεται διαγώνιος. Ζεύγη ορθογώνιων διαγώνιων λατινικών τετραγώνων υπάρχουν για όλες τις τάξεις εκτός από τις 2, 3 και 6. Το λατινικό τετράγωνο συναντάται συχνά σε προβλήματα προγραμματισμού επειδή οι αριθμοί δεν επαναλαμβάνονται σε σειρές και στήλες.
Ένα τετράγωνο που αποτελείται από ζεύγη στοιχείων δύο ορθογώνιων λατινικών τετραγώνων ονομάζεται Πλατεία ελληνολατινικής. Τέτοια τετράγωνα χρησιμοποιούνται συχνά για την κατασκευή μαγικών τετραγώνων και σε πολύπλοκα προβλήματα προγραμματισμού.
Μελετώντας τα ελληνολατινικά τετράγωνα, ο Euler απέδειξε ότι δεν υπάρχουν τετράγωνα δεύτερης τάξης, αλλά βρέθηκαν τετράγωνα 3, 4 και 5 τάξεων. Δεν βρήκε ούτε ένα τετράγωνο της τάξης 6. Υπέθεσε ότι δεν υπάρχουν τετράγωνα άρτιας τάξης που να μην διαιρούνται με το 4 (δηλαδή 6, 10, 14 κ.λπ.). Το 1901, ο Gaston Terry επιβεβαίωσε την υπόθεση για την 6η τάξη με ωμή βία. Αλλά το 1959, η υπόθεση διαψεύστηκε από τους E. T. Parker, R. C. Bowes και S. S. Shrickherd, οι οποίοι ανακάλυψαν ένα ελληνολατινικό τετράγωνο της τάξης 10.
ΠΟΛΥΜΙΝΟ ΑΡΘΟΥΡ ΚΛΑΡΚ
Πολυόμινοι - από άποψη πολυπλοκότητας, σίγουρα ανήκουν στην κατηγορία των πιο δύσκολων μαθηματικών τετραγώνων. Έτσι γράφει για αυτόν ο συγγραφέας επιστημονικής φαντασίας A. Clark - παρακάτω είναι ένα απόσπασμα από το βιβλίο «Earthly Empire». Είναι προφανές ότι ο Clark, ζώντας στο νησί του, έζησε στην Κεϋλάνη - και η φιλοσοφία του αποχωρισμού από την κοινωνία είναι ενδιαφέρουσα από μόνη της, ενδιαφέρθηκε για τη διασκέδαση που διδάσκει η γιαγιά του αγοριού και μας τη μετέδωσε. Εμείς προτιμάμε αυτό ζωντανή περιγραφήυπάρχουσες συστηματοποιήσεις που μεταφέρουν, ίσως, την ουσία, αλλά όχι το πνεύμα του παιχνιδιού.
«Είσαι αρκετά μεγάλο αγόρι τώρα, Ντάνκαν, και θα μπορείς να καταλάβεις αυτό το παιχνίδι... ωστόσο, είναι πολύ περισσότερο από ένα παιχνίδι». Σε αντίθεση με τα λόγια της γιαγιάς του, ο Ντάνκαν δεν εντυπωσιάστηκε από το παιχνίδι. Λοιπόν, τι μπορείτε να φτιάξετε από πέντε λευκά πλαστικά τετράγωνα;
«Πρώτα απ' όλα», συνέχισε η γιαγιά, «πρέπει να ελέγξεις πόσα διαφορετικά σχέδια μπορείς να συνδυάσεις από τετράγωνα».
– Να ξαπλώσουν στο τραπέζι; – ρώτησε ο Ντάνκαν.
– Ναι, θα πρέπει να βρίσκονται συγκινητικά. Δεν μπορείτε να επικαλύπτετε ένα τετράγωνο με ένα άλλο.
Ο Ντάνκαν άρχισε να απλώνει τα τετράγωνα.
«Λοιπόν, μπορώ να τα βάλω όλα σε μια ευθεία γραμμή», άρχισε. «Έτσι... Και μετά μπορώ να αναδιατάξω δύο κομμάτια και να πάρω το γράμμα L... Και αν πιάσω την άλλη άκρη, θα πάρω το γράμμα Εσείς...”
Το αγόρι έκανε γρήγορα μισή ντουζίνα συνδυασμούς, μετά περισσότερους και ξαφνικά ανακάλυψε ότι επαναλάμβαναν τους υπάρχοντες.
- Ίσως είμαι ηλίθιος, αλλά αυτό είναι όλο.
Ο Ντάνκαν έχασε τις απλούστερες φιγούρες - έναν σταυρό, για να δημιουργήσει τον οποίο αρκούσε να απλωθούν τέσσερα τετράγωνα στις πλευρές του πέμπτου, κεντρικού.
«Οι περισσότεροι ξεκινούν με το σταυρό», χαμογέλασε η γιαγιά. «Κατά τη γνώμη μου, ήσουν πολύ βιαστικός να δηλώσεις τον εαυτό σου ηλίθιο». Σκεφτείτε καλύτερα: θα μπορούσαν να υπάρχουν άλλα στοιχεία;
Κινώντας συγκεντρωμένα τα τετράγωνα, ο Ντάνκαν βρήκε άλλες τρεις φιγούρες και μετά σταμάτησε να ψάχνει.
«Σίγουρα έχει τελειώσει τώρα», είπε με σιγουριά.
– Τι μπορείτε να πείτε για μια τέτοια φιγούρα;
Έχοντας μετακινήσει ελαφρώς τα τετράγωνα, η γιαγιά τα δίπλωσε σε σχήμα καμπούρου γράμματος F.
- Και εδώ είναι άλλο ένα.
Ο Ντάνκαν ένιωθε σαν εντελώς ηλίθιος και τα λόγια της γιαγιάς του ήταν σαν βάλσαμο στην ντροπιασμένη ψυχή του:
– Είσαι απλά υπέροχος. Σκέψου, μου έλειψαν μόνο δύο κομμάτια. Και ο συνολικός αριθμός των ψηφίων είναι δώδεκα. Ούτε περισσότερο ούτε λιγότερο. Τώρα τους ξέρεις όλους. Αν ψάξεις για μια αιωνιότητα, δεν θα βρεις ποτέ άλλη.
Η γιαγιά σάρωσε πέντε λευκά τετράγωνα σε μια γωνία και άπλωσε μια ντουζίνα φωτεινά, πολύχρωμα πλαστικά κομμάτια στο τραπέζι. Αυτές ήταν οι ίδιες δώδεκα φιγούρες, αλλά σε τελειωμένη μορφή, και η καθεμία αποτελούνταν από πέντε τετράγωνα. Ο Ντάνκαν ήταν ήδη έτοιμος να συμφωνήσει ότι δεν υπήρχαν στην πραγματικότητα άλλες φιγούρες.
Αλλά επειδή η γιαγιά έβαλε αυτές τις πολύχρωμες ρίγες, σημαίνει ότι το παιχνίδι συνεχίζεται και μια άλλη έκπληξη περίμενε τον Ντάνκαν.
– Τώρα, Ντάνκαν, άκου προσεκτικά. Αυτές οι φιγούρες ονομάζονται «πενταμινές». Το όνομα προέρχεται από Ελληνική λέξη"penta", που σημαίνει "πέντε". Όλα τα σχήματα είναι ίσα σε εμβαδόν, αφού το καθένα αποτελείται από πέντε ίδια τετράγωνα. Υπάρχουν δώδεκα φιγούρες, πέντε τετράγωνα, επομένως, συνολική έκτασηθα είναι ίσο με εξήντα τετράγωνα. Σωστά?
- Χμμ ναι.
- Άκου περαιτέρω. Το εξήντα είναι ένας υπέροχος στρογγυλός αριθμός που μπορεί να συντεθεί με διάφορους τρόπους. Το πιο εύκολο είναι να πολλαπλασιάσετε το δέκα επί έξι. Αυτό το κουτί έχει μια τέτοια περιοχή: μπορεί να χωρέσει δέκα τετράγωνα οριζόντια και έξι κάθετα. Επομένως, και οι δώδεκα φιγούρες θα πρέπει να ταιριάζουν σε αυτό. Απλό, σαν μια σύνθετη εικόνα-αίνιγμα.
Ο Ντάνκαν περίμενε να πιάσει. Η γιαγιά αγαπούσε τα λεκτικά και μαθηματικά παράδοξα και δεν ήταν όλα κατανοητά στο δεκάχρονο θύμα της. Αυτή τη φορά όμως δεν υπήρχαν παράδοξα. Το κάτω μέρος του κουτιού ήταν επενδεδυμένο με εξήντα τετράγωνα, που σημαίνει... Σταμάτα! Η περιοχή είναι μια περιοχή, αλλά οι φιγούρες έχουν διαφορετικά σχήματα. Προσπαθήστε να τα βάλετε σε ένα κουτί!
- Σας αφήνω αυτό το καθήκον. ανεξάρτητη απόφαση", - είπε η γιαγιά, βλέποντας πώς με λύπη μετακίνησε το πεντομίνο στο κάτω μέρος του κουτιού. - Πιστέψτε με, μπορούν να μαζευτούν."
Σύντομα ο Ντάνκαν άρχισε να αμφιβάλλει έντονα για τα λόγια της γιαγιάς του. Κατάφερε εύκολα να χωρέσει δέκα φιγούρες στο κουτί και μια φορά κατάφερε να στριμώξει μια ενδέκατη. Όμως τα περιγράμματα του μη γεμισμένου χώρου δεν συνέπιπταν με τα περιγράμματα της δωδέκατης φιγούρας, που το αγόρι αναποδογυρίζει στα χέρια του. Υπήρχε ένας σταυρός και η υπόλοιπη φιγούρα έμοιαζε με το γράμμα Ζ...
Μετά από άλλη μισή ώρα, ο Ντάνκαν ήταν ήδη στα όρια της απόγνωσης. Η γιαγιά βυθιζόταν σε έναν διάλογο με τον υπολογιστή της, αλλά από καιρό σε καιρό τον κοιτούσε με ενδιαφέρον, σαν να έλεγε: «Δεν είναι τόσο εύκολο όσο νόμιζες».
Σε ηλικία δέκα ετών, ο Ντάνκαν ήταν αισθητά πεισματάρης. Οι περισσότεροι από τους συνομηλίκους του θα είχαν εγκαταλείψει την προσπάθεια εδώ και πολύ καιρό. (Μόλις λίγα χρόνια αργότερα συνειδητοποίησε ότι η γιαγιά του περνούσε με χάρη χρόνο μαζί του ψυχολογικό τεστ.) Ο Ντάνκαν άντεξε σχεδόν σαράντα λεπτά χωρίς εξωτερική βοήθεια...
Τότε η γιαγιά σηκώθηκε από τον υπολογιστή και έσκυψε πάνω από το παζλ. Τα δάχτυλά της κινούσαν τα σχήματα U, X και L...
Ο πάτος του κουτιού ήταν εντελώς γεμάτος! Όλα τα κομμάτια του παζλ πήραν τα σωστά μέρη.
– Την απάντηση βέβαια την ήξερες εκ των προτέρων! – Ο Ντάνκαν τράβηξε προσβεβλημένος.
- Απάντηση; – ρώτησε η γιαγιά. «Με πόσους τρόπους πιστεύεις ότι μπορεί να τοποθετηθεί το πεντομίνο σε αυτό το κουτί;»
Εδώ είναι μια παγίδα. Ο Ντάνκαν τριγυρνούσε για σχεδόν μια ώρα χωρίς να βρει λύση, αν και σε αυτό το διάστημα δοκίμασε τουλάχιστον εκατό επιλογές. Πίστευε ότι υπήρχε μόνο ένας τρόπος. Θα μπορούσαν να είναι... δώδεκα; Ή περισσότερο?
- Πόσοι τρόποι πιστεύετε ότι θα μπορούσαν να υπάρχουν; – ξαναρώτησε η γιαγιά.
«Είκοσι», ξεστόμισε ο Ντάνκαν, νομίζοντας ότι τώρα η γιαγιά δεν θα την πείραζε.
- Προσπάθησε ξανά.
Ο Ντάνκαν ένιωσε τον κίνδυνο. Η διασκέδαση αποδείχθηκε πολύ πιο πονηρή από ό,τι πίστευε, και το αγόρι αποφάσισε σοφά να μην το ρισκάρει.
«Στην πραγματικότητα, δεν ξέρω», είπε κουνώντας το κεφάλι του.
«Και είσαι δεκτικό αγόρι», χαμογέλασε ξανά η γιαγιά. «Η διαίσθηση είναι ένας επικίνδυνος οδηγός, αλλά μερικές φορές δεν έχουμε άλλον». Μπορώ να σας ευχαριστήσω: είναι αδύνατο να μαντέψετε τη σωστή απάντηση εδώ. Υπάρχουν πάνω από δύο χιλιάδες διαφορετικοί τρόποι για να χωρέσετε τα πεντομινό σε αυτό το κουτί. Πιο συγκεκριμένα, δύο χιλιάδες τριακόσιες τριάντα εννέα. Και τι λέτε για αυτό;
Είναι απίθανο να τον εξαπατούσε η γιαγιά του. Αλλά ο Ντάνκαν ήταν τόσο απογοητευμένος από την αδυναμία του να βρει μια λύση που δεν μπορούσε παρά να ξεστομίσει:
- Δεν πιστεύω!
Η Ελένη σπάνια έδειχνε εκνευρισμό. Όταν ο Ντάνκαν την προσέβαλε με κάποιο τρόπο, απλά έγινε ψυχρή και απόμακρη. Ωστόσο, τώρα η γιαγιά απλώς χαμογέλασε και χτύπησε κάτι στο πληκτρολόγιο του υπολογιστή.
«Κοίτα εδώ», πρότεινε εκείνη.
Ένα σετ από δώδεκα πολύχρωμα πεντομινό εμφανίστηκε στην οθόνη, γεμίζοντας ένα ορθογώνιο δέκα επί έξι. Λίγα δευτερόλεπτα αργότερα αντικαταστάθηκε από μια άλλη εικόνα, όπου οι φιγούρες πιθανότατα βρίσκονταν διαφορετικά (ο Ντάνκαν δεν μπορούσε να πει με βεβαιότητα, αφού δεν θυμόταν τον πρώτο συνδυασμό). Σύντομα η εικόνα άλλαξε ξανά, ξανά και ξανά... Αυτό συνεχίστηκε μέχρι που η γιαγιά σταμάτησε το πρόγραμμα.
«Ακόμη και με μεγάλη ταχύτητα, ο υπολογιστής θα χρειαστεί πέντε ώρες για να περάσει από όλες τις μεθόδους», εξήγησε η γιαγιά. «Μπορείς να δεχτείς τη λέξη μου: είναι όλες διαφορετικές». Αν δεν υπήρχαν οι υπολογιστές, αμφιβάλλω ότι οι άνθρωποι θα είχαν βρει όλους τους τρόπους μέσω της συνηθισμένης απαρίθμησης επιλογών.
Ο Ντάνκαν κοιτούσε τις δώδεκα απατηλά απλές φιγούρες για πολλή ώρα. Χώνεψε αργά τα λόγια της γιαγιάς του. Αυτή ήταν η πρώτη μαθηματική αποκάλυψη στη ζωή του. Αυτό που τόσο βιαστικά θεωρούσε συνηθισμένο παιδικό παιχνίδι άρχισε ξαφνικά να ξετυλίγεται μπροστά του ατελείωτα μονοπάτια και ορίζοντες, αν και ακόμη και το πιο προικισμένο δεκάχρονο παιδί δύσκολα θα μπορούσε να αισθανθεί την απέραντη φύση αυτού του σύμπαντος.
Αλλά τότε η απόλαυση και το δέος του Ντάνκαν ήταν παθητικά. Η πραγματική έκρηξη της πνευματικής απόλαυσης συνέβη αργότερα, όταν βρήκε ανεξάρτητα την πρώτη του μέθοδο τοποθέτησης πεντομινό. Για αρκετές εβδομάδες, ο Ντάνκαν κουβαλούσε ένα πλαστικό κουτί μαζί του παντού. Ολα ελεύθερος χρόνοςξόδεψε μόνο σε πεντομινό. Οι φιγούρες θα μετατραπούν σε προσωπικούς φίλους του Ντάνκαν. Τους αποκαλούσε με τα γράμματα που έμοιαζαν, αν και σε ορισμένες περιπτώσεις η ομοιότητα ήταν κάτι παραπάνω από μακρινή. Πέντε σχήματα - F, I, L, P, N - ήταν ασυνεπή, αλλά τα υπόλοιπα επτά επαναλάμβαναν τη σειρά του λατινικού αλφαβήτου: T, U, V, W, X, Y, Z.
Μια μέρα, σε κατάσταση είτε γεωμετρικής έκστασης είτε γεωμετρικής έκστασης, που δεν επαναλήφθηκε ποτέ, η Ντάνκαν βρήκε πέντε επιλογές styling σε λιγότερο από μία ώρα. Ίσως ούτε ο Νεύτωνας, ο Αϊνστάιν ή ο Τσεν Τζου, στις στιγμές της αλήθειας τους, δεν ένιωθαν πιο στενά συνδεδεμένοι με τους θεούς των μαθηματικών από τον Ντάνκαν Μακένζι.
Σύντομα συνειδητοποίησε, μόνος του, χωρίς την προτροπή της γιαγιάς του, ότι ένα πεντομίνο θα μπορούσε να τοποθετηθεί σε ένα ορθογώνιο με διαφορετικά μεγέθη πλευρών. Πολύ εύκολα, ο Ντάνκαν βρήκε πολλές επιλογές για ορθογώνια 5 επί 12 και 4 επί 15. Μετά υπέφερε για μια ολόκληρη εβδομάδα προσπαθώντας να χωρέσει δώδεκα φιγούρες σε ένα μακρύτερο και στενότερο ορθογώνιο 3 επί 20. Ξανά και ξανά άρχισε να γεμίζει τον ύπουλο χώρο και ... βγάλτε τρύπες στο ορθογώνιο και «έξτρα» φιγούρες.
Συντετριμμένος ο Ντάνκαν επισκέφτηκε τη γιαγιά του, όπου τον περίμενε μια νέα έκπληξη.
«Χαίρομαι για τα πειράματά σου», είπε η Έλεν. «Εξερευνήσατε όλες τις πιθανότητες, προσπαθώντας να αντλήσετε ένα γενικό μοτίβο». Αυτό κάνουν πάντα οι μαθηματικοί. Αλλά κάνετε λάθος: υπάρχουν λύσεις για ένα ορθογώνιο τριών επί είκοσι. Υπάρχουν μόνο δύο από αυτά, και αν βρείτε ένα, θα μπορείτε να βρείτε και το δεύτερο.
Εμπνευσμένος από τον έπαινο της γιαγιάς του, ο Ντάνκαν συνέχισε το «κυνήγι του πεντομινό» με ανανεωμένο σθένος. Μετά από άλλη μια εβδομάδα, άρχισε να καταλαβαίνει τι αφόρητο βάρος είχε βάλει στους ώμους του. Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους θα μπορούσαν να τακτοποιηθούν δώδεκα φιγούρες ήταν απλά συγκλονιστικός για τον Ντάνκαν. Επιπλέον, κάθε φιγούρα είχε τέσσερις θέσεις!
Και πάλι ήρθε στη γιαγιά του, λέγοντάς της όλες τις δυσκολίες του. Εάν υπήρχαν μόνο δύο επιλογές για ένα ορθογώνιο 3 επί 20, πόσος χρόνος θα χρειαζόταν για να τις βρούμε;
«Αν σε παρακαλώ, θα σου απαντήσω», είπε η γιαγιά. «Αν συμπεριφερόσουν σαν ανεγκέφαλος υπολογιστής, κάνοντας μια απλή αναζήτηση συνδυασμών και αφιερώνοντας ένα δευτερόλεπτο για τον καθένα, θα χρειαζόσουν...» Εδώ σταμάτησε επίτηδες. «Θα χρειαστείτε περισσότερα από έξι εκατομμύρια… ναι, περισσότερα από έξι εκατομμύρια χρόνια.
Επίγειο ή τιτάνιο; Αυτή η ερώτηση εμφανίστηκε αμέσως στο μυαλό του Ντάνκαν. Ποια είναι όμως η διαφορά;
«Αλλά διαφέρεις από έναν υπολογιστή χωρίς εγκέφαλο», συνέχισε η γιαγιά. «Βλέπεις αμέσως προφανώς ακατάλληλους συνδυασμούς και επομένως δεν χρειάζεται να χάνεις χρόνο ελέγχοντάς τους». Προσπάθησε ξανά.
Ο Ντάνκαν υπάκουσε, ήδη χωρίς ενθουσιασμό και πίστη στην επιτυχία. Και τότε του ήρθε στο μυαλό μια φαεινή ιδέα.
Ο Καρλ ενδιαφέρθηκε αμέσως για το pentomino και δέχτηκε την πρόκληση. Πήρε το κουτί με τις φιγούρες από τον Ντάνκαν και εξαφανίστηκε για αρκετές ώρες.
Όταν του τηλεφώνησε ο Καρλ, ο φίλος του φαινόταν κάπως αναστατωμένος.
– Είστε σίγουροι ότι αυτό το πρόβλημα έχει όντως λύση; - ρώτησε.
-Απολύτως σίγουρο. Υπάρχουν δύο από αυτούς. Αλήθεια δεν έχετε βρει τουλάχιστον ένα; Νόμιζα ότι ήσουν υπέροχος στα μαθηματικά.
«Φαντάσου, μπορώ να το καταλάβω, γι' αυτό ξέρω πόση δουλειά απαιτεί η δουλειά σου». Πρέπει να ελέγξουμε... ένα εκατομμύριο δισεκατομμύριο πιθανούς συνδυασμούς.
– Πώς ήξερες ότι είναι τόσοι πολλοί; – ρώτησε ο Ντάνκαν, ευχαριστημένος που τουλάχιστον κατάφερε να κάνει τον φίλο του να του ξύσει το κεφάλι μπερδεμένος.
Ο Καρλ έριξε μια λοξή ματιά σε ένα κομμάτι χαρτί γεμάτο με μερικά διαγράμματα και αριθμούς.
– Αν εξαιρέσετε απαράδεκτους συνδυασμούς και λάβετε υπόψη τη συμμετρία και τη δυνατότητα περιστροφής... παίρνετε ένα παραγοντικό... τον συνολικό αριθμό των μεταθέσεων... ακόμα δεν θα καταλάβετε. Καλύτερα να σου δείξω τον ίδιο τον αριθμό.
Έφερε άλλο ένα φύλλο χαρτί στην κάμερα, στο οποίο απεικονιζόταν με μεγάλη λεπτομέρεια μια εντυπωσιακή σειρά αριθμών:
1 004 539 160 000 000.
Ο Ντάνκαν δεν ήξερε τίποτα για τα παραγοντικά, αλλά δεν είχε καμία αμφιβολία για την ακρίβεια των υπολογισμών του Καρλ. Του άρεσε πολύ το μακρύ νούμερο.
«Λοιπόν θα παρατήσεις αυτό το καθήκον;» – ρώτησε προσεκτικά ο Ντάνκαν.
- Τι περισσότερο! Ήθελα απλώς να σας δείξω πόσο δύσκολο είναι.
Το πρόσωπο του Καρλ εξέφραζε ζοφερή αποφασιστικότητα. Αφού είπε αυτά τα λόγια, λιποθύμησε.
Την επόμενη μέρα, ο Ντάνκαν βίωσε ένα από τα μεγαλύτερα σοκ της παιδικής του ζωής. Το απογοητευμένο πρόσωπο του Καρλ, με ματωμένα μάτια, τον κοίταξε από την οθόνη. Ένιωθε ότι είχε περάσει μια άγρυπνη νύχτα.
«Λοιπόν, αυτό είναι όλο», ανακοίνωσε με μια κουρασμένη αλλά θριαμβευτική φωνή.
Ο Ντάνκαν δύσκολα πίστευε στα μάτια του. Του φαινόταν ότι οι πιθανότητες επιτυχίας ήταν αμελητέες. Έπεισε ακόμη και τον εαυτό του για αυτό. Και ξαφνικά... Μπροστά του βρισκόταν ένα ορθογώνιο τρία επί είκοσι, γεμάτο και με τις δώδεκα φιγούρες πεντόμινο.
Τότε ο Καρλ άλλαξε θέση και γύρισε τα κομμάτια στα άκρα, φεύγοντας κεντρικό τμήμαάθικτος. Τα δάχτυλά του έτρεμαν ελαφρά από την κούραση.
«Αυτή είναι η δεύτερη λύση», εξήγησε. «Και τώρα πάω για ύπνο». Καληνύχτα λοιπόν ή Καλημέρα- είναι όπως θέλεις.
Ο ταπεινωμένος Ντάνκαν κοίταξε τη σκοτεινή οθόνη για πολλή ώρα. Δεν ήξερε προς ποια κατεύθυνση κινήθηκε ο Καρλ, ψαχουλεύοντας για μια λύση στο παζλ. Ήξερε όμως ότι ο φίλος του είχε βγει νικητής. Ενάντια σε όλες τις πιθανότητες.
Δεν ζήλεψε τη νίκη του φίλου του. Ο Ντάνκαν αγαπούσε πάρα πολύ τον Καρλ και πάντα χαιρόταν με τις επιτυχίες του, αν και ο ίδιος συχνά βρισκόταν στην πλευρά των χαμένων. Αλλά υπήρχε κάτι διαφορετικό στον θρίαμβο του φίλου μου σήμερα, κάτι σχεδόν μαγικό.
Ο Ντάνκαν είδε για πρώτη φορά τη δύναμη της διαίσθησης. Συνάντησε τη μυστηριώδη ικανότητα του μυαλού να ξεφεύγει από τα γεγονότα και να παραμερίζει την παρεμβαλλόμενη λογική. Μέσα σε λίγες ώρες, ο Karl ολοκλήρωσε μια κολοσσιαία δουλειά, ξεπερνώντας τον ταχύτερο υπολογιστή.
Στη συνέχεια, ο Ντάνκαν έμαθε ότι όλοι οι άνθρωποι έχουν τέτοιες ικανότητες, αλλά τις χρησιμοποιούν εξαιρετικά σπάνια - ίσως μια φορά στη ζωή τους. Στον Καρλ, αυτό το δώρο γνώρισε εξαιρετική εξέλιξη... Από εκείνη τη στιγμή, ο Ντάνκαν άρχισε να παίρνει στα σοβαρά το σκεπτικό του φίλου του, ακόμη και το πιο γελοίο και εξωφρενικό από την άποψη της κοινής λογικής.
Αυτό έγινε πριν από είκοσι χρόνια. Ο Ντάνκαν δεν θυμόταν πού είχαν πάει τα πλαστικά κομμάτια πεντόμινο. Ίσως παρέμειναν με τον Καρλ.
Το δώρο της γιαγιάς έγινε η νέα τους ενσάρκωση, τώρα με τη μορφή κομματιών πολύχρωμης πέτρας. Ο εκπληκτικός, απαλός ροζ γρανίτης ήταν από τους λόφους του Γαλιλαίου, ο οψιανός ήταν από το οροπέδιο Huygens και το ψευδομάρμαρο ήταν από την κορυφογραμμή Herschel. Και ανάμεσά τους... στην αρχή ο Ντάνκαν νόμιζε ότι έκανε λάθος. Όχι, έτσι είναι: ήταν το πιο σπάνιο και μυστηριώδες ορυκτό του Τιτάνα. Η γιαγιά μου έφτιαχνε τον πέτρινο σταυρό πεντομινό από τιτανίτη. Αυτό το μπλε-μαύρο ορυκτό με τα χρυσά εγκλείσματα δεν μπορεί να συγχέεται με τίποτα. Ο Ντάνκαν δεν είχε ξαναδεί τόσο μεγάλα κομμάτια και μπορούσε μόνο να μαντέψει ποιο ήταν το κόστος τους.
«Δεν ξέρω τι να πω», μουρμούρισε. «Τι ομορφιά». Είναι η πρώτη φορά που το βλέπω αυτό.
Αγκάλιασε τους λεπτούς ώμους της γιαγιάς του και ξαφνικά ένιωσε ότι έτρεμαν και εκείνη δεν μπορούσε να σταματήσει το τρέμουλο. Ο Ντάνκαν την κράτησε απαλά στην αγκαλιά του μέχρι που οι ώμοι της έπαψαν να τρέμουν. Τέτοιες στιγμές δεν χρειάζονται λόγια. Πιο ξεκάθαρα από πριν, ο Ντάνκαν κατάλαβε: ήταν ο τελευταίος έρωτας στην κατεστραμμένη ζωή της Έλεν Μακένζι. Και τώρα πετάει μακριά, αφήνοντάς την μόνη με τις αναμνήσεις της.
ΜΕΓΑΛΗ ΜΑΓΙΚΗ ΠΛΑΤΕΙΑ
Ο Κινέζος μαθηματικός του 13ου αιώνα Γιανγκ Χούι ήταν εξοικειωμένος με το τρίγωνο του Πασκάλ (αριθμητικό τρίγωνο). Άφησε μια δήλωση μεθόδων για την επίλυση των εξισώσεων 4 και υψηλότερους βαθμούς, υπάρχουν κανόνες για την επίλυση του πλήρους τετραγωνική εξίσωση, άθροιση προόδων, τεχνικές κατασκευής μαγικών τετραγώνων. Κατάφερε να κατασκευάσει ένα μαγικό τετράγωνο έκτης τάξης και το τελευταίο αποδείχθηκε σχεδόν συνειρμικό (σε αυτό μόνο δύο ζεύγη κεντρικά αντίθετων αριθμών δεν δίνουν το άθροισμα 37).
Ο Benjamin Franklin κατασκεύασε ένα τετράγωνο 16x16, το οποίο, εκτός από το ότι είχε σταθερό άθροισμα 2056 σε όλες τις σειρές, τις στήλες και τις διαγώνιες, είχε μια επιπλέον ιδιότητα. Αν κόψουμε ένα τετράγωνο 4x4 από ένα φύλλο χαρτιού και τοποθετήσουμε αυτό το φύλλο σε ένα μεγάλο τετράγωνο έτσι ώστε 16 κελιά του μεγαλύτερου τετραγώνου να πέσουν σε αυτήν την υποδοχή, τότε το άθροισμα των αριθμών που εμφανίζονται σε αυτήν την υποδοχή, ανεξάρτητα από το πού το βάζουμε , θα είναι το ίδιο - 2056.
Το πιο πολύτιμο με αυτό το τετράγωνο είναι ότι είναι αρκετά εύκολο να το μεταμορφώσεις σε ένα τέλειο μαγικό τετράγωνο, ενώ η κατασκευή τέλειων μαγικών τετραγώνων δεν είναι εύκολη υπόθεση. Ο Φράνκλιν αποκάλεσε αυτό το τετράγωνο «την πιο γοητευτική μαγεία από όλα τα μαγικά τετράγωνα που δημιουργήθηκαν ποτέ από μάγους».
Durer Albrecht (1471-1528), Γερμανός ζωγράφος, σχεδιαστής, χαράκτης, θεωρητικός της τέχνης.
σπούδασε με τον πατέρα του.
Ο πατέρας, κατασκευαστής κοσμημάτων, ήθελε να εμπλέξει τον γιο του να εργαστεί σε ένα εργαστήριο κοσμημάτων, αλλά ο Άλμπρεχτ δεν εξέφρασε καμία επιθυμία. Αγαπούσε και τον τράβηξε η ζωγραφική.
Από τον καλλιτέχνη της Νυρεμβέργης Wolgemut Ο Dürer κατέκτησε όχι μόνο τη ζωγραφική, αλλά και τη χαρακτικήσε ξύλο.
Εμπνευσμένος από τα έργα του καλλιτέχνη Martin Schongauer, τον οποίο δεν γνώρισε ποτέ, ο Άλμπρεχτ ταξίδεψε πολύ και μελέτησε, μελέτησε, μελέτησε παντού...
Ήρθε όμως η στιγμή που ο Άλμπρεχτ χρειάστηκε να παντρευτεί. Και μετά διάλεξε την Agnes Frey, την κόρη του φίλου του πατέρα του, από μια παλιά και σεβαστή οικογένεια της Νυρεμβέργης. Ο γάμος με την Agnessa ήταν άτεκνος και οι σύζυγοι ήταν διαφορετικοί στον χαρακτήρα, γεγονός που έκανε την οικογένεια να μην είναι πολύ ευτυχισμένη.
Ωστόσο, άνοιξε τη δική του επιχείρηση και δημιούργησε ένα σημαντικό μέρος των χαρακτικών του στο εργαστήριό του.
Φήμες κυκλοφόρησαν στη Βενετία για την αγάπη του και για τα δύο φύλα...Ίσως ο Dürer να ασκούσε έρωτα του ίδιου φύλου με τον αγαπημένο του φίλο, ειδικό στην αρχαία λογοτεχνία, τον Pirkheimer.
Μακριά, καυτερά μαλλιά, μαθήματα χορού, φόβος να κολλήσει σύφιλη στη Βενετία και αγορά φαρμάκων κατά αυτής της ασθένειας στην Ολλανδία, κομψά ρούχα, ασήμαντη ματαιοδοξία σε οτιδήποτε σχετίζεται με την ομορφιά του και εμφάνιση, μελαγχολία, ναρκισσισμός και επιδεικτικότητα, σύμπλεγμα Χριστού, γάμος χωρίς παιδιά, υποταγή στη γυναίκα του, τρυφερή φιλία με τον ελευθεριακό Πιρκχάιμερ, τον οποίο ο ίδιος, σε μια επιστολή του Οκτωβρίου του 1506, πρότεινε χαριτολογώντας να τον ευνουχίσει -
Όλα αυτά συνδυάζονται στο Dürer με τρυφερή φροντίδα για τη μητέρα και τα αδέρφια του, με πολλά χρόνια σκληρής δουλειάς, συχνά παράπονα για φτώχεια, ασθένειες και κακοτυχίες που υποτίθεται ότι τον στοίχειωσαν.
Να είστε πιστοί στον Θεό!
Γίνετε υγιείς
Και αιώνια ζωή στον ουρανό
Σαν την αγνότερη Παναγία.
Ο Άλμπρεχτ Ντύρερ σου λέει -
Μετανοήστε για τις αμαρτίες σας
Πριν τελευταία μέρανηστεία
Και κλείσε το στόμα του διαβόλου,
Θα νικήσεις τον κακό.
Είθε ο Κύριος Ιησούς Χριστός να σας βοηθήσει
Επιβεβαιώστε τον εαυτό σας στο καλό!
Σκεφτείτε το θάνατο πιο συχνά
Σχετικά με την ταφή των σορών σας.
Τρομάζει την ψυχή
Αποσπά την προσοχή από το κακό
Και ο αμαρτωλός κόσμος,
Από την καταπίεση της σάρκας
Και οι παρακινήσεις του διαβόλου...
Όταν ο Koberger δημοσίευσε το 1498"Αποκάλυψη",
Ο Dürer δημιούργησε 15 ξυλογραφίες, που του έφεραν ευρωπαϊκή φήμη.Η γνωριμία με τη βενετσιάνικη σχολή είχε ισχυρή επιρροή στο ζωγραφικό στυλ του καλλιτέχνη.
Στη Βενετία, ο καλλιτέχνης ανέθεσε σε Γερμανούς εμπόρους "Φεστιβάλ Ροδοστεφάνων"και μετά ήρθαν και άλλες προτάσεις, πίνακες που άφησαν ανεξίτηλη εντύπωση με την πολυχρηστικότητα των χρωμάτων και των θεμάτων.
Ο ίδιος ο Αυτοκράτορας Μαξιμιλιανός Ι
ένιωθε δέος για την τέχνη του Άλμπρεχτ Ντύρερ.
Ο Dürer συμμετείχε στις απόψεις των «εικονομάχων», ωστόσο, στα μεταγενέστερα έργα του A. Dürer, ορισμένοι ερευνητές βρίσκουν συμπάθεια για τον προτεσταντισμό.
Στο τέλος της ζωής του, ο Dürer εργάστηκε πολύ ως ζωγράφος· κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου δημιούργησε τα πιο βαθιά έργα, τα οποία φανερώνουν την εξοικείωσή του με την ολλανδική τέχνη.
Ένας από τους σημαντικότερους πίνακες τα τελευταία χρόνια — δίπτυχο «Τέσσερις Απόστολοι», το οποίο ο καλλιτέχνης παρουσίασε στο δημοτικό συμβούλιο το 1526.
Στην Ολλανδία, ο Dürer έπεσε θύμα μιας άγνωστης ασθένειας (πιθανώς ελονοσίας), από την οποία υπέφερε για το υπόλοιπο της ζωής του.
Ο Albrekh συνέθεσε το λεγόμενο μαγικό τετράγωνο,απεικονίζεται σε ένα από τα πιο τέλεια χαρακτικά του -"Μελαγχολία" Η αξία του Ντύρερέγκειται στο γεγονός ότι κατάφερε να χωρέσει τους αριθμούς από το 1 έως το 16 στο σχεδιασμένο τετράγωνο με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα 34 προέκυψε όχι μόνο προσθέτοντας τους αριθμούς κάθετα, οριζόντια και διαγώνια, αλλά και στα τέσσερα τέταρτα, στο κεντρικό τετράπλευρο και ακόμη και κατά την προσθήκη των τεσσάρων γωνιακών κελιών. Ο Dürer κατάφερε επίσης να συμπεριλάβει στον πίνακα τη χρονιά που δημιουργήθηκε η γκραβούρα ""(1514).
Υπάρχουν τρεις διάσημες ξυλογραφίες στα έργα του Άλμπρεχτ Ντύρερ, που απεικονίζουν χάρτες του νότιου και του βόρειου ημισφαιρίου έναστρος ουρανόςκαι το ανατολικό ημισφαίριο της Γης, που έγινε το πρώτο στην ιστορία που τυπώθηκε με τυπογραφία.
Το 1494 εκδόθηκε το βιβλίο του Σεμπάστιαν Μπραντ με τον συμβολικό τίτλο"Πλοίο των ανόητων"
(Das Narrenschiff oder das Schiff von Narragonia).
Κατά τη διάρκεια των υποχρεωτικών ταξιδιών κατά μήκος του Ρήνου για έναν μαθητευόμενο συντεχνίας, ο Dürer ολοκλήρωσε αρκετές γκραβούρες σε καβαλέτο στο πνεύμα του ύστερου γοτθικού, εικονογραφήσεις για το «Ship of Fools» του S. Brant,
πάνω στο οποίο ο στόλος διασχίζει τη θάλασσα. Υπάρχουν πολλοί ανόητοι τριγύρω. Εδώ γελάνε με τους ανόητους ναυτικούς και τα καράβια της Αυτοκρατορίας.
Πιστεύεται ότι εκτός από τον A. Dürer, αρκετοί σχεδιαστές και σκαλιστές εργάστηκαν ταυτόχρονα στο έργο... Ζωγραφική "Καράβι των ανόητων"- έγραψε ο διάσημος καλλιτέχνηςΙερώνυμος Μπος.
Σχέδιο του Ντύρερ "Καραβίο των ανόητων"
Πάνω δεξιά υπάρχουν ανόητοι σε ένα κάρο, κάτω ένα καράβι περιτριγυρισμένο από βάρκες πλέει στη θάλασσα, και στο πλοίο και στις βάρκες είναι όλοι ανόητοι.
Πολλές εικονογραφήσεις για το «Το πλοίο των ανόητων», όπως σημειώνουν οι σχολιαστές, έχουν ΛΙΓΗ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΟΥ ΙΔΙΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ.
Όπως αποδεικνύεται, το ίδιο το βιβλίο του Brant επιλέχθηκε μόνο ως αφορμή, πρόσχημα, για δημοσίευση μεγάλος αριθμόςγκραβούρες (εκατόν δεκαέξι) με θέμα «Καράβι των ανόητων».
Εχω Ο Άλμπρεχτ Ντύρερ και ένας τέτοιος πίνακας όπως
«Γιορτή των Αγίων Πάντων»
(Landauer Altar) 1511. Kunsthistorisches Museum, Βιέννη. Αυτός ο πίνακας έφερε επίσης μεγάλη φήμη στον καλλιτέχνη.
Χαλκογραφία «Melancholy I» του πιο διάσημου καλλιτέχνη της Δυτικοευρωπαϊκής Αναγέννησης Άλμπρεχτ Ντύρερτυλιγμένο στο μυστήριο, γεμάτο σύμβολα και αλληγορίες. Στο απίστευτα μικρό μέγεθος της δημιουργίας του, ο αξεπέραστος δεξιοτέχνης της χαρακτικής κατάφερε να κρυπτογραφήσει τόσα μυστικά νοήματα και μηνύματα που οδηγούν ακόμα τους κριτικούς τέχνης σε αδιέξοδο. Διάφορες εκδοχές των απαντήσεων σε αυτά τα μυστήρια βρίσκονται περαιτέρω στην ανασκόπηση.
Άλμπρεχτ Ντύρερ (γερμανικά: Albrecht Dürer, 1471-1528) - Γερμανός ζωγράφος και γραφίστας, ο πρώτος θεωρητικός της τέχνης, ένας από τους μεγαλύτερους δασκάλους της Βόρειας Αναγέννησης, ήταν το τρίτο παιδί σε μια οικογένεια δεκαοκτώ γεννημένων και οκτώ επιζώντων παιδιών. Ο πατέρας, χρυσοχόος, προσπαθούσε από μικρός να μυήσει στον γιο του την τέχνη του κοσμήματος, από την οποία κέρδιζε ο ίδιος το ψωμί του.
Αλλά αντίθετα με τις προσδοκίες του, στα δεκαπέντε του ο νεαρός Άλμπρεχτ έγινε μαθητής του Michael Wolgemut, κορυφαίου καλλιτέχνη, ζωγράφου και εξαίρετου χαράκτη της Νυρεμβέργης. Από αυτόν ο επιμελής μαθητής έλαβε τις γνώσεις και τις δεξιότητες που χρησιμοποίησε σε όλη την καριέρα του. δημιουργική διαδρομή. Επιπλέον, ήταν τα ξυλόγλυπτα και τα χαλκογραφικά που έφεραν στον νεαρό καλλιτέχνη την πρώτη του επιτυχία. Στη συνέχεια έγινε καινοτόμος σε αυτή την τεχνική. Ω ΠΙΝΑΚΕΣ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗΣΔεν χρειάζεται να αναφέρουμε τον Durer - αυτά είναι αριστουργήματα της παγκόσμιας τέχνης.
Οι γνώσεις του Dürer για την αστρονομία, τα μαθηματικά και φυσικές επιστήμεςήταν καταπληκτικά. Δημιούργησε χάρτες του έναστρου ουρανού, παρακολουθώντας τα ουράνια σώματα από τη στέγη του σπιτιού του, στην οποία βρισκόταν ένα μικρό παρατηρητήριο. Υπολόγισε τις τιμές για το μαγικό τετράγωνο, που δημιουργήθηκε για πρώτη φορά στην Ευρώπη, και δημιούργησε θεωρητικά έργα για την τέχνη.
"Μελαγχολία Ι"
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-006.jpg" alt=" Θραύσμα της γκραβούρας "Melancholy I". Συγγραφέας: A. Durer. ¦ Φωτογραφία: kaplyasveta.ru." title="Απόσπασμα του χαρακτικού «Μελαγχολία Ι».
Στο κέντρο της σύνθεσης βλέπουμε μια γυναίκα με φτερά και ένα στεφάνι, που προσωποποιεί τη Λογική - αυτή είναι η Μούσα του Ντύρερ. Καθισμένη ακίνητη στη βεράντα, είναι βυθισμένη στη μελαγχολική σκέψη και θλίψη: αν και μια γυναίκα έχει φτερά, δεν μπορεί να διαπεράσει το πέπλο του μυστηρίου του Σύμπαντος. Όλα όσα συμβαίνουν γύρω γίνονται χωρίς τη συμμετοχή της. Αυτό την καταθλίβει και τη βάζει σε μελαγχολική διάθεση.
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-007.jpg" alt="Απόσπασμα του χαρακτικού «Μελαγχολία Ι». Συγγραφέας: A. Durer. ¦ Φωτογραφία: kaplyasveta.ru." title="Απόσπασμα του χαρακτικού «Μελαγχολία Ι».
Η γκραβούρα, διαστάσεων 23,9 x 18,8 εκατοστών, είναι υπερκορεσμένη με λεπτομέρειες και αντικείμενα. Εδώ μπορείτε να δείτε μια κλεψύδρα και ένα ηλιακό ρολόι, μια ζυγαριά, μια καμπάνα, μια πυξίδα, μια σφαίρα, ένα πολύεδρο, ένα σκαλισμένο μαγικό τετράγωνο, καθώς και εργαλεία κατασκευής.
Και η πιο ενδιαφέρουσα υπόθεση της Ρωσίδας κριτικού τέχνης Πάολα Βόλκοβα είναι η εκδοχή: η γκραβούρα δεν απεικονίζει μια φτερωτή γυναίκα, αλλά τον ίδιο τον Άλμπρεχτ Ντύρερ με τα φτερά ενός αγγέλου, κάτι που, ωστόσο, είναι απολύτως φυσικό.
Μαγικό τετράγωνο
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-004.jpg" alt="Απόσπασμα του χαρακτικού «Μελαγχολία Ι». Συγγραφέας: A. Durer. ¦ Φωτογραφία: kaplyasveta.ru." title="Απόσπασμα του χαρακτικού «Μελαγχολία Ι».
Η πρώτη εκδοχή: ο καλλιτέχνης αποφάσισε να δημιουργήσει πολλά έργα που αντανακλούν τη μελαγχολία, έτσι άρχισε να αριθμεί τα έργα του. Όμως, όπως γνωρίζετε, ο Dürer δεν είχε πλέον συνέχεια της σειράς χαρακτικών αφιερωμένων στη Μελαγχολία.
Η δεύτερη εκδοχή βασίστηκε στις ψυχολογικές διδασκαλίες της εποχής, που ανέφεραν ότι υπήρχαν τρεις τύποι μελαγχολικών ανθρώπων. Μερικοί από αυτούς ήταν δημιουργικούς ανθρώπους, με ανεπτυγμένη φαντασία, άλλοι είναι πολιτικοί και επιστήμονες, με ανεπτυγμένο μυαλό και άλλοι άνθρωποι της θρησκείας και φιλόσοφοι, με ανεπτυγμένη διαίσθηση. Ως εκ τούτου, ο Durer, που θεωρούσε τον εαυτό του μελαγχολικό άτομο, γράφει στο χαρακτικό: MELENCOLIA I.
Σύμφωνα με την τρίτη εκδοχή: το "I" δεν είναι καθόλου ρωμαϊκός αριθμός, αλλά το λατινικό γράμμα "i". Και σε συνδυασμό με τη μελαγχολία σημαίνει «Φύγε, μελαγχολία».
Και το τελευταίο, το πιο πιθανό. Δεδομένου ότι η τεχνική της χάραξης εκτελείται σε κατοπτρική εικόνα, ο Durer έκανε ένα λάθος όταν έγραψε το όνομα, το οποίο δεν ήταν η πρώτη φορά στην πρακτική του. Αντί για το γράμμα "Α" - το τελευταίο γράμμα, άρχισε να γράφει το γράμμα "Μ". Και για να διορθώσει το λάθος του, αποφάσισε να βγει από τη σημερινή κατάσταση με αυτόν τον τρόπο.
Το «Melancholia I» είναι το τελευταίο από μια σειρά τριών διάσημων «κυριοτεχνικών χαρακτικών» του Dürer και το πιο αγαπημένο του έργο. Τα δύο πρώτα είναι τα "Jerome in the Cell" και "The Knight, Death and the Devil".
Και στα τρία υπάρχει ένας χαρακτήρας: ένας ιππότης, ο Άγιος Ιερώνυμος, μια φτερωτή γυναίκα. Σύμφωνα με πολλούς κριτικούς τέχνης, σε αυτά τα τρία έργα ο καλλιτέχνης περιέγραψε διαφορετικές καταστάσεις της ανθρώπινης ψυχής.
Μπορείτε να μάθετε περισσότερα για το έργο "Knight, Death and the Devil" στην κριτική:
XIII Επιστημονικό και Πρακτικό Συνέδριο Μαθητών
"Μαγικά τετράγωνα"
Μαθητές 8 «Α» τάξης
ΠΤΠ Λυκείου
Sholokhova Anna
Επικεφαλής Anokhin M.N.
Η ιστορία της δημιουργίας του έργου μου……………………………………………………………………
μαγικό τετράγωνο................................................ ...................3
Ιστορικά σημαντικά μαγικά τετράγωνα...................4-5
ΠΛΑΤΕΙΑ ΒΡΕΘΗΚΕ ΣΤΟ KHAJURAHO (ΙΝΔΙΑ).......6
Μαγικό τετράγωνο του Γιανγκ Χούι (Κίνα)................................................ ..7
Πλατεία Άλμπρεχτ Ντύρερ ..................................................... ...... ............8
Squares των Henry E. Dudeney και Allan W. Johnson Jr.....9
Το μαγικό τετράγωνο του διαβόλου...................................10-11
ΚΑΝΟΝΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΑΓΙΚΩΝ ΤΕΤΡΑΓΕΙΩΝ.....12
ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΑΓΙΚΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ...................................13-15
Η δημιουργία του μαγικού τετραγώνου του Άλμπρεχτ Ντύρερ. .....17-18
Σουντόκου................................................ .. ..........................................19-21 Kakuro................................................ .. ..........................................22-23
TASK BANK................................................ ... ...............24-25
Συμπεράσματα................................................ ................................26 Λογοτεχνία................ .................................................. ........ .......27
Η ιστορία της δημιουργίας του έργου μου .
Πριν, δεν πίστευα καν ότι κάτι τέτοιο θα μπορούσε να εφευρεθεί. Η πρώτη φορά που συνάντησα μαγικά τετράγωνα ήταν στην πρώτη δημοτικού σε ένα σχολικό βιβλίο· ήταν τα πιο απλά.
Λίγα χρόνια αργότερα, πήγα στην παραλία με τους γονείς μου και γνώρισα μια κοπέλα που ήταν στο Sudoku. Ήθελα επίσης να μάθω και μου εξήγησε πώς να το κάνω. Μου άρεσε πολύ αυτή η δραστηριότητα, και έγινε το λεγόμενο χόμπι μου.
Αφού μου πρότειναν να συμμετάσχω σε ένα επιστημονικό και πρακτικό συνέδριο, επέλεξα αμέσως το θέμα «Μαγικά τετράγωνα». Σε αυτό το έργο συμπεριέλαβα ιστορικό υλικό, ποικιλίες και κανόνες για τη δημιουργία ενός παιχνιδιού γρίφων.
Μαγικό τετράγωνο.
Ένα μαγικό ή μαγικό τετράγωνο είναι ένας τετράγωνος πίνακας γεμάτος με n αριθμούς έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε σειρά, σε κάθε στήλη και στις δύο διαγώνιους να είναι το ίδιο. Ένα μαγικό τετράγωνο γεμάτο με ολόκληροςαριθμοί από το 1 έως το n.
Τα μαγικά τετράγωνα υπάρχουν για όλες τις παραγγελίες εκτός από το n=2, αν και η περίπτωση n=1 είναι ασήμαντη - το τετράγωνο αποτελείται από έναν μόνο αριθμό.
Το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή, στήλη και διαγώνιο. Που ονομάζεται μαγική σταθερά, Μ. Η μαγική σταθερά ενός κανονικού μαγικού τετραγώνου εξαρτάται μόνο από το n και δίνεται από τον τύπο.
| Παραγγελία ν |
|||||||||||
Οι πρώτες τιμές των μαγικών σταθερών δίνονται στους παρακάτω πίνακες.
Ιστορικά σημαντικά μαγικά τετράγωνα.
Στο αρχαίο κινέζικο βιβλίο "Zhe-kim" ("Βιβλίο των Μεταθέσεων") υπάρχει ένας θρύλος ότι ο αυτοκράτορας Nu, ο οποίος έζησε πριν από 4 χιλιάδες χρόνια, είδε μια ιερή χελώνα στην όχθη του ποταμού. Στο καβούκι της υπήρχε ένα σχέδιο από λευκούς και μαύρους κύκλους (Εικ. 1). Εάν αντικαταστήσετε κάθε σχήμα με έναν αριθμό που υποδεικνύει πόσους κύκλους περιέχει, λαμβάνετε έναν πίνακα.
Αυτό το τραπέζι έχει μια υπέροχη ιδιότητα. Ας προσθέσουμε τους αριθμούς της πρώτης στήλης: 4+3+8=15. Το ίδιο αποτέλεσμα θα έχουμε κατά την πρόσθεση των αριθμών στη δεύτερη και τρίτη στήλη. Λαμβάνεται επίσης προσθέτοντας αριθμούς από οποιαδήποτε από τις τρεις γραμμές. Όχι μόνο αυτό, αλλά η ίδια απάντηση 15 προκύπτει αν προσθέσουμε τους αριθμούς καθεμιάς από τις δύο διαγωνίους: 4+5+6=8+5+2=15.
Οι Κινέζοι πιθανότατα σκέφτηκαν αυτόν τον μύθο όταν βρήκαν τη διάταξη των αριθμών από το 1 έως το 9 με μια τόσο αξιοσημείωτη ιδιότητα. Ονόμασαν το σχέδιο "lo-shu" και άρχισαν να το θεωρούν ένα μαγικό σύμβολο και να το χρησιμοποιούν σε ξόρκια. Επομένως, τώρα καλείται κάθε τετράγωνος πίνακας που αποτελείται από αριθμούς και έχει αυτήν την ιδιότητα μαγικό τετράγωνο.
Εικ.1
ΠΛΑΤΕΙΑ ΒΡΕΘΗΚΕ ΣΤΟ KHAJURAHO (ΙΝΔΙΑ).
Το παλαιότερο μοναδικό μαγικό τετράγωνο ανακαλύφθηκε σε μια επιγραφή του 11ου αιώνα στην ινδική πόλη Khajuraho.
Αυτό είναι το πρώτο μαγικό τετράγωνο, που ανήκει σε μια ποικιλία από τα λεγόμενα «διαβολικά» τετράγωνα.
Μαγικό τετράγωνο Yang Hui (Κίνα)
Τον 13ο αιώνα, ο μαθηματικός Yang Hui ασχολήθηκε με το πρόβλημα των μεθόδων για την κατασκευή μαγικών τετραγώνων. Η έρευνά του συνεχίστηκε στη συνέχεια από άλλους Κινέζους μαθηματικούς. Ο Yang Hui θεωρούσε τα μαγικά τετράγωνα όχι μόνο του τρίτου, αλλά και υψηλότερων τάξεων.
Μερικά από τα τετράγωνά του ήταν αρκετά περίπλοκα, αλλά πάντα έδινε κανόνες για την κατασκευή τους. Κατάφερε να κατασκευάσει ένα μαγικό τετράγωνο έκτης τάξης.
Το άθροισμα των αριθμών σε οποιαδήποτε οριζόντια, κάθετη και διαγώνιο είναι 34. Το άθροισμα αυτό βρίσκεται επίσης σε όλα τα γωνιακά τετράγωνα 2x2, στο κεντρικό τετράγωνο (10+11+6+7), στο τετράγωνο των γωνιακών κελιών (16+13+4+1), σε τετράγωνα που χτίστηκαν με την «κίνηση του ιππότη» (2+8 +9+15 και 3+5+12+14), ορθογώνια που σχηματίζονται από ζεύγη μεσαίων κελιών σε αντίθετες πλευρές (3+2+15+14 και 5+8+9+12). Οι περισσότερες πρόσθετες συμμετρίες είναι λόγω του γεγονότος ότι το άθροισμα δύο κεντρικά συμμετρικά τοποθετημένων αριθμών είναι 17.
Squares των Henry E. Dudeney και Allan W. Johnson, Jr.
Εάν μια μη αυστηρά φυσική σειρά αριθμών εισαχθεί σε έναν τετράγωνο n x n πίνακα, τότε αυτό το μαγικό τετράγωνο είναι μη παραδοσιακό. Παρακάτω είναι δύο τέτοια μαγικά τετράγωνα, γεμάτα κυρίως με πρώτους αριθμούς. Το πρώτο (Εικ. 3) έχει τάξη n=3 (τετράγωνο Dudeney). το δεύτερο (Εικ. 4) (μέγεθος 4x4) είναι ένα τετράγωνο Johnson. Και οι δύο αναπτύχθηκαν στις αρχές του εικοστού αιώνα.
Εικ.3 Εικ.4
Το μαγικό τετράγωνο του διαβόλου- ένα μαγικό τετράγωνο, στο οποίο το άθροισμα των αριθμών κατά μήκος σπασμένων διαγωνίων (διαγώνιες που σχηματίζονται όταν διπλώνουμε το τετράγωνο σε βάση στήλης)και προς τις δύο κατευθύνσεις.
Τέτοια τετράγωνα ονομάζονται επίσης πανδιαγώνιος .
Υπάρχουν 48 διαβολικά μαγικά τετράγωνα 4x4 με ακρίβεια περιστροφής και αντανάκλασης. Αν λάβουμε επίσης υπόψη την πρόσθετη συμμετρία τους - τορικές παράλληλες μεταφράσεις, τότε απομένουν μόνο 3 σημαντικά διαφορετικά τετράγωνα:
Ρύζι. 5 εικ. 6
Ωστόσο, έχει αποδειχθεί ότι (Εικ. 7) οι απλούστερες μεταθέσεις αριθμών παράγουν τα δύο πρώτα τετράγωνα (Εικ. 5, 6). Δηλαδή, η τρίτη επιλογή είναι ένα βασικό διαβολικό τετράγωνο, από το οποίο μπορούν να κατασκευαστούν όλα τα άλλα χρησιμοποιώντας διάφορους μετασχηματισμούς.
Πανδιαγωνικά τετράγωνα υπάρχουν για περιττή τάξη n>3, για οποιαδήποτε σειρά διπλής ισοτιμίας n=4k (k=1,2,3...) και δεν υπάρχουν για μονή τάξη ισοτιμίας n=4k+2 (k=1,2, 3...) .
Τα πανδιαγώνια τετράγωνα τέταρτης τάξης έχουν έναν αριθμό πρόσθετων ιδιοτήτων για τις οποίες καλούνται τέλειος.Δεν υπάρχουν τέλεια πανδιαγώνια τετράγωνα περιττής τάξης. Ανάμεσα σε πανδιαγωνικά τετράγωνα ισοτιμίας υψηλότερα από 4 υπάρχουν τέλεια.
Υπάρχουν 3600 πανδιαγώνια τετράγωνα πέμπτης τάξης Λαμβάνοντας υπόψη τις τορικές παράλληλες μεταφράσεις, υπάρχουν 144 διαφορετικά πανδιαγώνια τετράγωνα. Ένα από αυτά φαίνεται παρακάτω.
ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΑΓΙΚΩΝ ΤΕΤΡΑΓΕΙΩΝ
Οι κανόνες για την κατασκευή μαγικών τετραγώνων χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες ανάλογα με το αν η σειρά του τετραγώνου είναι περιττή, ίση με διπλάσιο περιττό αριθμό ή ίση με τέσσερις φορές περιττό αριθμό. Γενική μέθοδοςΗ κατασκευή όλων των τετραγώνων είναι άγνωστη, αν και χρησιμοποιούνται ευρέως διάφορα σχήματα.
Είναι δυνατό να βρεθούν όλα τα μαγικά τετράγωνα της τάξης n μόνο για n=3,4, επομένως, ειδικές διαδικασίες για την κατασκευή μαγικών τετραγώνων για n>4 έχουν μεγάλο ενδιαφέρον.Η απλούστερη κατασκευή είναι για ένα μαγικό τετράγωνο περιττής τάξης. Πρέπει να βάλετε έναν αριθμό στο κελί με συντεταγμένες (x,y).
Είναι ακόμα πιο εύκολο να το κατασκευάσετε ως εξής: πάρτε έναν πίνακα n x n. Ένας βαθμιδωτός ρόμβος είναι χτισμένος μέσα του. Σε αυτό, τα κελιά από αριστερά προς τα πάνω κατά μήκος των διαγωνίων γεμίζουν με μια διαδοχική σειρά αριθμών. Καθορίζεται η τιμή του κεντρικού κελιού C.
Στη συνέχεια, στις γωνίες του μαγικού τετραγώνου οι τιμές θα είναι οι εξής: επάνω δεξιά κελί C-1. κάτω αριστερό κελί C+1. κάτω δεξιά κελί C-n; επάνω αριστερό κελί C+n.
ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΑΓΙΚΩΝ ΤΕΤΡΑΓΕΙΩΝ.
Πώς κατασκευάζονται τα μαγικά τετράγωνα;
Δημιουργία του μαγικού τετραγώνου «Lo-Shu».
Εργο: Ένα τετράγωνο 3x3, που αποτελείται από αριθμούς από το 1 έως το 9, έτσι ώστε τα αθροίσματα των αριθμών σε κάθε γραμμή, στήλη και διαγώνιο να είναι ίσα.
Λύση:Ας λύσουμε το πρόβλημα χωρίς να καταφύγουμε στη διερεύνηση όλων των μεταθέσεων των 9 ψηφίων σε 9 κελιά η μία μετά την άλλη (ο αριθμός τέτοιων διατάξεων είναι 362880). Ας σκεφτούμε έτσι. Το άθροισμα όλων των αριθμών από το 1 έως το 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε σειρά και σε κάθε στήλη το άθροισμα των αριθμών πρέπει να είναι ίσο με: 45:3=15. Αλλά αν αθροίσετε όλους τους αριθμούς στη δεύτερη στήλη και τη σειρά και στις δύο διαγώνιους, τότε κάθε αριθμός θα εμφανίζεται μία φορά, με εξαίρεση τον κεντρικό, που θα εμφανίζεται τέσσερις φορές. Αυτό σημαίνει ότι αν συμβολίσουμε τον κεντρικό αριθμό με x, τότε πρέπει να ισχύει η ισότητα 4*15=3x+3*15. Άρα x=5, δηλαδή ο αριθμός 5 πρέπει να βρίσκεται στο κέντρο του πίνακα.
Τώρα σημειώστε ότι ο αριθμός 9 δεν μπορεί να εμφανίζεται στη γωνία του πίνακα, ας πούμε στην επάνω αριστερή γωνία. Μετά από όλα, τότε στην απέναντι γωνία θα υπήρχε ο αριθμός 1 και για την πρώτη γραμμή και στήλη θα απομένει ένας συνδυασμός - οι αριθμοί 4 και 2. Αυτό σημαίνει ότι το 9 βρίσκεται στη μέση ορισμένων εξωτερικών σειρών ή στηλών ( στο δικό μας, στη μέση της πρώτης σειράς). Οι άλλοι δύο αριθμοί σε αυτή τη σειρά είναι το 4 και το 2 και ο τρίτος αριθμός στη μεσαία στήλη πρέπει να είναι 15-9-5=1. Οι αριθμοί 8 και 6 πρέπει να βρίσκονται στην ίδια ευθεία με το 1. Έτσι, το μαγικό τετράγωνο έχει σχεδόν γεμίσει και είναι εύκολο να βρείτε μια θέση για τους υπόλοιπους αριθμούς. Το αποτέλεσμα είναι ένα τετράγωνο «Lo-Shu».
Φυσικά, για το 9 μπορείτε να επιλέξετε άλλες τρεις θέσεις, και αφού επιλέξετε μια θέση για αυτόν τον αριθμό, υπάρχουν δύο δυνατότητες για την τοποθέτηση των αριθμών 4 και 2. Συνολικά, παίρνετε 4 * 2 = 8 διαφορετικά μαγικά τετράγωνα των τριών σειρές και τρεις στήλες (ή, όπως λένε οι μαθηματικοί, τετράγωνα τρίτης τάξης). Όλα αυτά τα τετράγωνα μπορούν να ληφθούν στο "Lo-Shu" είτε περιστρέφοντας το τετράγωνο κατά 180,90 ή 270. Είναι επίσης δυνατή η επιλογή κατοπτρικής εικόνας.
τετράγωνο
"Λο-Σου"
| 4 |
9 |
2 |
| 3 |
5 |
7 |
| 8 |
1 |
6 |
Δημιουργία μαγικού τετραγώνου
Άλμπρεχτ Ντύρερ.
Εργο : Δημιουργήστε ένα μαγικό τετράγωνο 4x4 από τους αριθμούς 1 έως 16, έτσι ώστε τα αθροίσματα των αριθμών σε κάθε γραμμή, στήλη και διαγώνιο να είναι ίσα.
Λύση: Άθροισμα όλων των αριθμών από το 1 έως το 16: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136. Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε σειρά και σε κάθε στήλη το άθροισμα των αριθμών πρέπει να είναι ίσο με: 136:4=34. Αλλά αν αθροίσετε όλους τους αριθμούς, δεύτερον, στη στήλη και τη γραμμή και στις δύο διαγώνιους, τότε κάθε αριθμός θα εμφανίζεται μία φορά, με εξαίρεση τους κεντρικούς, που θα εμφανίζονται δύο φορές. Αυτοί οι αριθμοί θα είναι 10,11,6,7. Στη συνέχεια θα παραδώσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς 1,2,3,4,5,8,9,12,13,14,15,16 στα υπόλοιπα κελιά
Πλατεία Άλμπρεχτ Ντύρερ
Σουντόκου.
Μετάφραση από τα ιαπωνικά, "su" σημαίνει "ψηφίο" και "doku" σημαίνει "στέκομαι μόνος".
Δεν χρειάζεται να μαντέψετε ή να εμβαθύνετε σε βιβλία - μόνο λογική και προσοχή!
Εργο: Συμπληρώστε τα κενά κελιά με αριθμούς από το 1 έως το 9, ώστε ο αριθμός να μην επαναλαμβάνεται σε καμία σειρά, καμία στήλη και σε καθένα από τα 9 μπλοκ 3x3.
Λύση: βήμα 1
Ας δούμε την επισημασμένη σειρά. Λείπουν μόνο δύο αριθμοί: 1 και 2. Ας δούμε το πρώτο κενό κελί στα δεξιά. Μπορούμε να βάλουμε 1 εκεί μέσα; Οχι. Επειδή αυτή η στήλη έχει ήδη 1 και αυτοί οι αριθμοί δεν μπορούν να επαναληφθούν στη στήλη. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να χωρέσουμε μόνο 2 σε αυτό το κελί. Θα το κάνουμε. Τώρα το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να εισάγουμε τον αριθμό 1 στο κενό, τελευταίο κελί αυτής της σειράς, και η σειρά έχει ολοκληρωθεί.
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
8 |
7 |
||||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
3 |
1 |
|||||
| 3 |
7 |
4 |
5 |
2 |
Ας δούμε την επιλεγμένη στήλη: λείπουν επίσης μόνο δύο αριθμοί - 2 και 7. Δεν μπορούμε να εισαγάγουμε τον αριθμό 7 στο πρώτο κενό κελί από την κορυφή αυτής της στήλης, επειδή στη σειρά που τέμνει τη στήλη υπάρχει ήδη ένας αριθμός 7. Μπορούμε όμως να το βάλουμε στο νούμερο 2, αυτό που κάνουμε! Και για τον αριθμό 7 υπάρχει μόνο ένα κενό
το κελί σε αυτήν τη στήλη είναι το δεύτερο κελί από το κάτω μέρος. Μη διστάσετε να γράψετε τον αριθμό 7 σε αυτό - η στήλη είναι γεμάτη!
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
7 |
|||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
7 |
3 |
1 |
||||
| 3 |
7 |
9 |
4 |
5 |
2 |
Λοιπόν, τώρα ας ρίξουμε μια ματιά στο κεντρικό μπλοκ των κελιών: υπάρχει μόνο ένα κενό κελί σε αυτό, δηλαδή, μόνο ένας αριθμός λείπει. Ας δούμε προσεκτικά - αυτός είναι ο αριθμός 9, αφού όλοι οι άλλοι αριθμοί είναι ήδη στη θέση τους. Γράφουμε ξανά τον αριθμό 9 στο κελί... και πάλι "κοιτάμε γύρω" - και πάλι έχουμε μια γραμμή και μια στήλη. Στο οποίο λείπουν δύο ψηφία. Τι έπεται? Την απάντηση θα τη βρούμε μόνοι μας - βήμα 1, βήμα 2...
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
7 |
|||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
7 |
3 |
1 |
||||
| 3 |
7 |
9 |
4 |
5 |
2 |
Αριθμοί δεδομένων.
| 1 |
9 |
2 |
3 |
6 |
7 |
8 |
4 |
5 |
| 8 |
3 |
5 |
1 |
2 |
4 |
6 |
9 |
7 |
| 6 |
4 |
7 |
8 |
9 |
5 |
2 |
3 |
1 |
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 9 |
2 |
6 |
4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
9 |
7 |
6 |
3 |
| 2 |
6 |
9 |
5 |
1 |
8 |
3 |
7 |
4 |
| 4 |
5 |
8 |
7 |
3 |
2 |
9 |
1 |
6 |
| 3 |
Η ΜΑΓΙΚΗ ΠΛΑΤΕΙΑ DURER
Το μαγικό τετράγωνο, που αναπαράγεται από τον Γερμανό καλλιτέχνη Άλμπρεχτ Ντύρερ στο χαρακτικό «Μελαγχολία», είναι γνωστό σε όλους τους ερευνητές των μαγικών τετραγώνων.
Αυτό το τετράγωνο περιγράφεται αναλυτικά εδώ. Αρχικά, θα δείξω το χαρακτικό «Μελαγχολία» (Εικ. 1) και το μαγικό τετράγωνο που απεικονίζεται πάνω του (Εικ. 2).
Ρύζι. 1
Ρύζι. 2
Τώρα θα δείξω αυτό το τετράγωνο στη συνηθισμένη του μορφή (Εικ. 3):
|
16 |
3 |
2 |
13 |
|
5 |
10 |
11 |
8 |
|
9 |
6 |
7 |
12 |
|
4 |
15 |
14 |
1 |
Ρύζι. 3
Είναι ενδιαφέρον ότι οι δύο μεσαίοι αριθμοί στην τελευταία γραμμή του τετραγώνου (τονίζονται) αποτελούν το έτος δημιουργίας της γκραβούρας - 1514.
Πιστεύεται ότι ήρθε αυτή η πλατεία, που τόσο γοήτευσε τον Άλμπρεχτ Ντύρερ Δυτική Ευρώπηαπό την Ινδία στην αρχή XVIαιώνας. Στην Ινδία αυτή η πλατεία ήταν γνωστή Εγώαιώνα μ.Χ. Πιστεύεται ότι τα μαγικά τετράγωνα εφευρέθηκαν από τους Κινέζους, αφού η παλαιότερη αναφορά τους βρίσκεται σε κινεζικό χειρόγραφο που γράφτηκε το 4000-5000 π.Χ. Έτσι είναι παλιά τα μαγικά τετράγωνα!
Ας εξετάσουμε τώρα όλες τις ιδιότητες αυτής της καταπληκτικής πλατείας. Αλλά θα το κάνουμε αυτό σε μια άλλη πλατεία, η ομάδα της οποίας περιλαμβάνει την πλατεία Durer. Αυτό σημαίνει ότι το τετράγωνο Dürer προκύπτει από το τετράγωνο που θα εξετάσουμε τώρα με έναν από τους επτά κύριους μετασχηματισμούς των μαγικών τετραγώνων, δηλαδή μια περιστροφή 180 μοιρών. Και τα 8 τετράγωνα που σχηματίζουν αυτήν την ομάδα έχουν ιδιότητες που θα παρατίθενται τώρα, μόνο στην ιδιότητα 8 για ορισμένα τετράγωνα η λέξη «σειρά» θα αντικατασταθεί από τη λέξη «στήλη» και αντίστροφα.
Μπορείτε να δείτε το κεντρικό τετράγωνο αυτής της ομάδας στο Σχ. 4.
|
1 |
14 |
15 |
4 |
|
12 |
7 |
6 |
9 |
|
8 |
11 |
10 |
5 |
|
13 |
2 |
3 |
16 |
Ρύζι. 4
Τώρα ας απαριθμήσουμε όλα τα ακίνητα αυτής της διάσημης πλατείας.
Ιδιοκτησία 1 . Αυτό το τετράγωνο είναι συνειρμικό, δηλαδή κάθε ζεύγος αριθμών που βρίσκεται συμμετρικά σε σχέση με το κέντρο του τετραγώνου δίνει συνολικά 17 = 1+ n 2 .
Ιδιοκτησία 2. Το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται στα γωνιακά κελιά του τετραγώνου είναι ίσο με τη μαγική σταθερά του τετραγώνου - 34.
Ιδιοκτησία 3. Το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γωνία 2x2 τετράγωνο, καθώς και στο κεντρικό τετράγωνο 2x2, είναι ίσο με τη μαγική σταθερά του τετραγώνου.
Ιδιοκτησία 4. Η μαγική σταθερά ενός τετραγώνου είναι ίση με το άθροισμα των αριθμών στις απέναντι πλευρές των δύο κεντρικών ορθογωνίων 2x4, δηλαδή: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.
Ιδιοκτησία 5. Η μαγική σταθερά του τετραγώνου είναι ίση με το άθροισμα των αριθμών στα κελιά που σημειώνονται από την κίνηση του ιππότη σκακιού, δηλαδή: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+ 2+12=34 και 4+10+13 +7=34.
Ιδιοκτησία 6. Η μαγική σταθερά ενός τετραγώνου είναι ίση με το άθροισμα των αριθμών στις αντίστοιχες διαγώνιες των γωνιακών τετραγώνων 2x2 που βρίσκονται δίπλα στις απέναντι κορυφές του τετραγώνου. Για παράδειγμα, στα γωνιακά τετράγωνα 2x2, τα οποία επισημαίνονται στο Σχ. 4, το άθροισμα των αριθμών στο πρώτο ζεύγος των αντίστοιχων διαγωνίων: 1+7+10+16=34 (αυτό είναι κατανοητό, αφού αυτοί οι αριθμοί βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο του ίδιου του τετραγώνου). Το άθροισμα των αριθμών στο άλλο ζεύγος των αντίστοιχων διαγωνίων: 14+12+5+3=34.
Ιδιοκτησία 7. Η μαγική σταθερά του τετραγώνου είναι ίση με το άθροισμα των αριθμών στα κελιά που σημειώνονται από μια κίνηση παρόμοια με την κίνηση ενός σκακιστή ιππότη, αλλά με ένα επίμηκες γράμμα G. Δείχνω αυτούς τους αριθμούς: 1+9+8+16= 34, 4+12+5+13=34, 1+2 +15+16=34,4+3+14+13=34.
Ιδιοκτησία 8. Σε κάθε σειρά του τετραγώνου υπάρχει ένα ζεύγος γειτονικών αριθμών, το άθροισμα των οποίων είναι 15, και ένα άλλο ζεύγος γειτονικών αριθμών, το άθροισμα των οποίων είναι 19. Σε κάθε στήλη του τετραγώνου υπάρχει ένα ζεύγος διπλανών αριθμών, ο άθροισμα των οποίων είναι 13, και ένα άλλο ζεύγος επίσης γειτονικών αριθμών, το άθροισμα των οποίων είναι 21.
Ιδιοκτησία 9. Τα αθροίσματα των τετραγώνων των αριθμών στις δύο εξωτερικές σειρές είναι ίσα μεταξύ τους. Το ίδιο μπορούμε να πούμε για τα αθροίσματα των τετραγώνων των αριθμών στις δύο μεσαίες σειρές. Βλέπω:
1 2 + 14 2 + 15 2 + 4 2 = 13 2 + 2 2 + 3 2 + 16 2 = 438
12 2 + 7 2 + 6 2 + 9 2 = 8 2 + 11 2 + 10 2 + 5 2 = 310
Οι αριθμοί στις στήλες ενός τετραγώνου έχουν παρόμοια ιδιότητα.
Ιδιοκτησία 10. Αν εγγράψουμε ένα τετράγωνο με κορυφές στη μέση των πλευρών στο τετράγωνο που εξετάζουμε (Εικ. 5), τότε:
α) το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται κατά μήκος ενός ζεύγους απέναντι πλευρών ενός εγγεγραμμένου τετραγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται κατά μήκος του άλλου ζεύγους απέναντι πλευρών και καθένα από αυτά τα αθροίσματα είναι ίσο με τη μαγική σταθερά του τετραγώνου.
β) τα αθροίσματα των τετραγώνων και των κύβων των αναφερόμενων αριθμών είναι ίσα:
12 2 + 14 2 + 3 2 + 5 2 = 15 2 + 9 2 + 8 2 + 2 2 = 374
12 3 + 14 3 + 3 3 + 5 3 = 15 3 + 9 3 + 8 3 + 2 3 = 4624
Ρύζι. 5
Αυτές είναι οι ιδιότητες του μαγικού τετραγώνου στο Σχ. 4.
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι σε ένα συσχετιστικό τετράγωνο, που είναι το εν λόγω τετράγωνο, μπορείτε επίσης να εκτελέσετε μετασχηματισμούς όπως η αναδιάταξη συμμετρικών σειρών ή/και στηλών. Για παράδειγμα, στο Σχ. Το 6 δείχνει ένα τετράγωνο που λαμβάνεται από το τετράγωνο στο Σχ. 4 με αναδιάταξη των δύο μεσαίων στηλών.
