Πώς να βρείτε το άθροισμα των αριθμών σε μια αριθμητική πρόοδο. Τύπος για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου. Όροι προόδου και τύπος επανάληψης

Τύπος μαθήματος:εκμάθηση νέου υλικού.

Στόχοι μαθήματος:

διεύρυνση και εμβάθυνση της κατανόησης των μαθητών για προβλήματα που επιλύονται με χρήση αριθμητικής προόδου· οργάνωση των δραστηριοτήτων αναζήτησης των μαθητών κατά την εξαγωγή του τύπου για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου.
ανάπτυξη της ικανότητας να αποκτά ανεξάρτητα νέα γνώση και να χρησιμοποιεί ήδη αποκτηθείσες γνώσεις για την επίτευξη μιας δεδομένης εργασίας·
ανάπτυξη της επιθυμίας και της ανάγκης για γενίκευση των γεγονότων που αποκτήθηκαν, ανάπτυξη ανεξαρτησίας.

Καθήκοντα:

συνοψίζουν και συστηματοποιούν τις υπάρχουσες γνώσεις σχετικά με το θέμα "Αριθμητική πρόοδος".
εξάγουν τύπους για τον υπολογισμό του αθροίσματος των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου.
διδάξτε πώς να εφαρμόζετε τους ληφθέντες τύπους κατά την επίλυση διάφορα καθήκοντα;
να επιστήσει την προσοχή των μαθητών στη διαδικασία εύρεσης της τιμής μιας αριθμητικής παράστασης.

Εξοπλισμός:

κάρτες με εργασίες για εργασία σε ομάδες και ζευγάρια.
χαρτί αξιολόγησης·
παρουσίαση “Αριθμητική πρόοδος”.

Ι. Επικαιροποίηση βασικών γνώσεων.

1. Ανεξάρτητη εργασίασε ζευγάρια.

1η επιλογή:

Ορίστε την αριθμητική πρόοδο. Γράψτε έναν τύπο επανάληψης που ορίζει μια αριθμητική πρόοδο. Δώστε ένα παράδειγμα αριθμητικής προόδου και υποδείξτε τη διαφορά της.

2η επιλογή:

Να γράψετε τον τύπο για τον ν ο όρο μιας αριθμητικής προόδου. Βρείτε τον 100ο όρο της αριθμητικής προόδου ( a n}: 2, 5, 8 …
Αυτή τη στιγμή δύο μαθητές πίσω πλευράτα συμβούλια ετοιμάζουν απαντήσεις σε αυτές τις ίδιες ερωτήσεις.
Οι μαθητές αξιολογούν τη δουλειά του συντρόφου τους ελέγχοντάς τους στον πίνακα. (Δίνονται φύλλα με απαντήσεις.)

2. Στιγμή παιχνιδιού.

Ασκηση 1.

Δάσκαλος.Σκέφτηκα κάποια αριθμητική πρόοδο. Κάντε μου μόνο δύο ερωτήσεις για να μπορέσετε μετά τις απαντήσεις να ονομάσετε γρήγορα τον 7ο όρο αυτής της εξέλιξης. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Ερωτήσεις από μαθητές.

Ποιος είναι ο έκτος όρος της προόδου και ποια η διαφορά;
Ποιος είναι ο όγδοος όρος της εξέλιξης και ποια η διαφορά;

Εάν δεν υπάρχουν άλλες ερωτήσεις, τότε ο δάσκαλος μπορεί να τις διεγείρει - μια «απαγόρευση» στο d (διαφορά), δηλαδή, δεν επιτρέπεται να ρωτήσετε τι ισούται με τη διαφορά. Μπορείτε να κάνετε ερωτήσεις: με τι ισούται ο 6ος όρος της προόδου και με τι ο 8ος όρος της προόδου;

Εργασία 2.

Υπάρχουν 20 αριθμοί γραμμένοι στον πίνακα: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Ο δάσκαλος στέκεται με την πλάτη στον πίνακα. Οι μαθητές καλούν τον αριθμό και ο δάσκαλος καλεί αμέσως τον ίδιο τον αριθμό. Εξηγήστε πώς μπορώ να το κάνω αυτό;

Ο δάσκαλος θυμάται τη φόρμουλα για το ν ο τρίμηνο a n = 3n – 2και, αντικαθιστώντας τις καθορισμένες τιμές n, βρίσκει τις αντίστοιχες τιμές a n.

II. Ορισμός μαθησιακής εργασίας.

Προτείνω να λυθεί ένα αρχαίο πρόβλημα που χρονολογείται από τη 2η χιλιετία π.Χ., που βρέθηκε σε αιγυπτιακούς παπύρους.

Εργο:«Ας σας ειπωθεί: μοιράστε 10 μεζούρες κριθάρι σε 10 άτομα, η διαφορά του καθενός από τον διπλανό του είναι το 1/8 του μέτρου».

Πώς σχετίζεται αυτό το πρόβλημα με την αριθμητική πρόοδο του θέματος; (Κάθε επόμενο άτομο λαμβάνει το 1/8 του μέτρου περισσότερο, που σημαίνει ότι η διαφορά είναι d=1/8, 10 άτομα, που σημαίνει n=10.)
Τι νομίζετε ότι σημαίνουν τα μέτρα με τον αριθμό 10; (Άθροισμα όλων των όρων της προόδου.)
Τι άλλο πρέπει να ξέρετε για να είναι εύκολη και απλή η διαίρεση του κριθαριού ανάλογα με τις συνθήκες του προβλήματος; (Πρώτη περίοδος εξέλιξης.)

Στόχος μαθήματος– λήψη της εξάρτησης του αθροίσματος των όρων της προόδου από τον αριθμό τους, τον πρώτο όρο και τη διαφορά και έλεγχος εάν το πρόβλημα λύθηκε σωστά στην αρχαιότητα.

Πριν συμπεράνουμε τον τύπο, ας δούμε πώς έλυσαν το πρόβλημα οι αρχαίοι Αιγύπτιοι.

Και το έλυσαν ως εξής:

1) 10 μέτρα: 10 = 1 μέτρο – μέσο μερίδιο.
2) 1 μέτρο ∙ = 2 μέτρα – διπλασιάζονται μέση τιμήμερίδιο.
Διπλασιάστηκε μέση τιμήμετοχή είναι το άθροισμα των μετοχών του 5ου και του 6ου προσώπου.
3) 2 μέτρα – 1/8 μέτρα = 1 7/8 μέτρα – διπλάσιο το μερίδιο του πέμπτου ατόμου.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – κλάσμα του πέμπτου. και ούτω καθεξής, μπορείτε να βρείτε το μερίδιο κάθε προηγούμενου και επόμενου ατόμου.

Παίρνουμε τη σειρά:

III. Επίλυση του προβλήματος.

1. Εργασία σε ομάδες

Ομάδα Ι:Βρείτε το άθροισμα των 20 συνεχόμενων φυσικούς αριθμούς: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Γενικά

II ομάδα:Βρείτε το άθροισμα των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 100 (The Legend of Little Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Συμπέρασμα:

III ομάδα:Να βρείτε το άθροισμα των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 21.

Λύση: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Συμπέρασμα:

IV ομάδα:Να βρείτε το άθροισμα των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 101.

Συμπέρασμα:

Αυτή η μέθοδος επίλυσης των προβλημάτων που εξετάζονται ονομάζεται «Μέθοδος Gauss».

2. Κάθε ομάδα παρουσιάζει τη λύση του προβλήματος στον πίνακα.

3. Γενίκευση των προτεινόμενων λύσεων για μια αυθαίρετη αριθμητική πρόοδο:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Ας βρούμε αυτό το άθροισμα χρησιμοποιώντας παρόμοια συλλογιστική:

4. Έχουμε λύσει το πρόβλημα;(Ναί.)

IV. Πρωταρχική κατανόηση και εφαρμογή των τύπων που λαμβάνονται κατά την επίλυση προβλημάτων.

1. Έλεγχος της λύσης ενός αρχαίου προβλήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο.

2. Εφαρμογή του τύπου στην επίλυση διαφόρων προβλημάτων.

3. Ασκήσεις για την ανάπτυξη της ικανότητας εφαρμογής τύπων κατά την επίλυση προβλημάτων.

Α) Νο 613

Δίνεται: ( α ιδ) –αριθμητική πρόοδος?

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Εύρημα: S 1500

Λύση: , a 1 = 1 και 1500 = 1500,

Β) Δεδομένα: ( α ιδ) –αριθμητική πρόοδος?
(α ν): 1, 2, 3, …
S n = 210

Εύρημα: n
Λύση:

V. Ανεξάρτητη εργασία με αμοιβαία επαλήθευση.

Ο Ντένις άρχισε να εργάζεται ως κούριερ. Τον πρώτο μήνα ο μισθός του ήταν 200 ρούβλια, κάθε επόμενο μήνα αυξανόταν κατά 30 ρούβλια. Πόσα κέρδισε συνολικά σε ένα χρόνο;

Δίνεται: ( α ιδ) –αριθμητική πρόοδος?
a 1 = 200, d=30, n=12
Εύρημα: S 12
Λύση:

Απάντηση: Ο Ντένις έλαβε 4380 ρούβλια για το έτος.

VI. Οδηγία εργασίας για το σπίτι.

Ενότητα 4.3 – μάθετε την παραγωγή του τύπου.
№№ 585, 623 .
Δημιουργήστε ένα πρόβλημα που μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου.

VII. Συνοψίζοντας το μάθημα.

1. Φύλλο βαθμολογίας

2. Συνεχίστε τις προτάσεις

Σήμερα στην τάξη έμαθα...
Έμαθες φόρμουλες...
Το πιστεύω …

3. Μπορείτε να βρείτε το άθροισμα των αριθμών από το 1 έως το 500; Ποια μέθοδο θα χρησιμοποιήσετε για να λύσετε αυτό το πρόβλημα;

Βιβλιογραφία.

1. Άλγεβρα, 9η τάξη. Φροντιστήριο για Εκπαιδευτικά ιδρύματα. Εκδ. G.V. Dorofeeva.Μ.: «Διαφωτισμός», 2009.

Μερικοί άνθρωποι αντιμετωπίζουν τη λέξη «πρόοδος» με προσοχή, ως έναν πολύ περίπλοκο όρο από τους κλάδους των ανώτερων μαθηματικών. Εν τω μεταξύ, η απλούστερη αριθμητική πρόοδος είναι η εργασία του ταξίμετρου (όπου υπάρχουν ακόμα). Και η κατανόηση της ουσίας (και στα μαθηματικά δεν υπάρχει τίποτα πιο σημαντικό από την «κατανόηση της ουσίας») μιας αριθμητικής ακολουθίας δεν είναι τόσο δύσκολη, έχοντας αναλύσει μερικές στοιχειώδεις έννοιες.

Μαθηματική ακολουθία αριθμών

Μια αριθμητική ακολουθία ονομάζεται συνήθως μια σειρά αριθμών, καθένας από τους οποίους έχει τον δικό του αριθμό.

a 1 είναι το πρώτο μέλος της ακολουθίας.

και 2 είναι ο δεύτερος όρος της ακολουθίας.

και το 7 είναι το έβδομο μέλος της ακολουθίας.

και το n είναι το ντο μέλος της ακολουθίας.

Ωστόσο, κανένα αυθαίρετο σύνολο αριθμών και αριθμών δεν μας ενδιαφέρει. Θα εστιάσουμε την προσοχή μας σε μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η τιμή του nου όρου σχετίζεται με τον τακτικό του αριθμό μέσω μιας σχέσης που μπορεί να διατυπωθεί ξεκάθαρα μαθηματικά. Με άλλα λόγια: η αριθμητική τιμή του nου αριθμού είναι κάποια συνάρτηση του n.

α είναι η τιμή ενός μέλους μιας αριθμητικής ακολουθίας.

n - του σειριακός αριθμός;

Η f(n) είναι μια συνάρτηση, όπου ο τακτικός αριθμός στην αριθμητική ακολουθία n είναι το όρισμα.

Ορισμός

Μια αριθμητική πρόοδος ονομάζεται συνήθως μια αριθμητική ακολουθία στην οποία κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος (μικρότερος) από τον προηγούμενο κατά τον ίδιο αριθμό. Ο τύπος για τον nο όρο μιας αριθμητικής ακολουθίας είναι ο εξής:

a n - η τιμή του τρέχοντος μέλους της αριθμητικής προόδου.

ένα n+1 - τύπος του επόμενου αριθμού.

δ - διαφορά (ορισμένος αριθμός).

Είναι εύκολο να προσδιοριστεί ότι εάν η διαφορά είναι θετική (d>0), τότε κάθε επόμενο μέλος της υπό εξέταση σειράς θα είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο και μια τέτοια αριθμητική πρόοδος θα αυξάνεται.

Στο παρακάτω γράφημα είναι εύκολο να καταλάβουμε γιατί η αριθμητική ακολουθία ονομάζεται "αύξηση".

Σε περιπτώσεις που η διαφορά είναι αρνητική (δ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Καθορισμένη τιμή μέλους

Μερικές φορές είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τιμή οποιουδήποτε αυθαίρετου όρου a n μιας αριθμητικής προόδου. Αυτό μπορεί να γίνει με τον διαδοχικό υπολογισμό των τιμών όλων των μελών της αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από το πρώτο στο επιθυμητό. Ωστόσο, αυτό το μονοπάτι δεν είναι πάντα αποδεκτό εάν, για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να βρεθεί η τιμή του πενταχιλιοστού ή του οκτώ εκατομμυρίου όρου. Οι παραδοσιακοί υπολογισμοί θα χρειαστούν πολύ χρόνο. Ωστόσο, μια συγκεκριμένη αριθμητική πρόοδος μπορεί να μελετηθεί χρησιμοποιώντας ορισμένους τύπους. Υπάρχει επίσης ένας τύπος για τον nο όρο: η τιμή οποιουδήποτε όρου μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να προσδιοριστεί ως το άθροισμα του πρώτου όρου της προόδου με τη διαφορά της προόδου, πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό του επιθυμητού όρου, μειωμένη κατά ένας.

Η φόρμουλα είναι καθολική για την αύξηση και τη μείωση της εξέλιξης.

Ένα παράδειγμα υπολογισμού της τιμής ενός δεδομένου όρου

Ας λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα εύρεσης της τιμής του nου όρου μιας αριθμητικής προόδου.

Προϋπόθεση: υπάρχει μια αριθμητική πρόοδος με παραμέτρους:

Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι 3.

Η διαφορά στη σειρά αριθμών είναι 1,2.

Εργασία: πρέπει να βρείτε την τιμή 214 όρων

Λύση: για να προσδιορίσουμε την τιμή ενός δεδομένου όρου, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

a(n) = a1 + d(n-1)

Αντικαθιστώντας τα δεδομένα από τη δήλωση προβλήματος στην έκφραση, έχουμε:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Απάντηση: Ο 214ος όρος της ακολουθίας ισούται με 258,6.

Τα πλεονεκτήματα αυτής της μεθόδου υπολογισμού είναι προφανή - ολόκληρη η λύση δεν διαρκεί περισσότερες από 2 γραμμές.

Άθροισμα ενός δεδομένου αριθμού όρων

Πολύ συχνά, σε μια δεδομένη αριθμητική σειρά, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το άθροισμα των τιμών ορισμένων από τα τμήματα της. Για να γίνει αυτό, δεν χρειάζεται επίσης να υπολογίσετε τις τιμές κάθε όρου και στη συνέχεια να τις προσθέσετε. Αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται εάν ο αριθμός των όρων των οποίων το άθροισμα πρέπει να βρεθεί είναι μικρός. Σε άλλες περιπτώσεις, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο.

Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου από το 1 στο n είναι ίσο με το άθροισμα του πρώτου και του nου όρου, πολλαπλασιασμένο με τον αριθμό του όρου n και διαιρούμενο με δύο. Αν στον τύπο η τιμή του nου όρου αντικατασταθεί από την έκφραση της προηγούμενης παραγράφου του άρθρου, παίρνουμε:

Παράδειγμα υπολογισμού

Για παράδειγμα, ας λύσουμε ένα πρόβλημα με τις ακόλουθες συνθήκες:

Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι μηδέν.

Η διαφορά είναι 0,5.

Το πρόβλημα απαιτεί τον προσδιορισμό του αθροίσματος των όρων της σειράς από 56 έως 101.

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον προσδιορισμό του ποσού της προόδου:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Αρχικά, προσδιορίζουμε το άθροισμα των τιμών των 101 όρων της προόδου αντικαθιστώντας τις δεδομένες συνθήκες του προβλήματός μας στον τύπο:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2.525

Προφανώς, για να βρούμε το άθροισμα των όρων της προόδου από το 56ο στο 101ο, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε το S 55 από το S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Έτσι, το άθροισμα της αριθμητικής προόδου για αυτό το παράδειγμα είναι:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Παράδειγμα πρακτικής εφαρμογής της αριθμητικής προόδου

Στο τέλος του άρθρου, ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα μιας αριθμητικής ακολουθίας που δίνεται στην πρώτη παράγραφο - ένα ταξίμετρο (μετρητής αυτοκινήτου ταξί). Ας εξετάσουμε αυτό το παράδειγμα.

Η επιβίβαση σε ταξί (που περιλαμβάνει 3 χιλιόμετρα διαδρομής) κοστίζει 50 ρούβλια. Κάθε επόμενο χιλιόμετρο πληρώνεται με τιμή 22 ρούβλια/χλμ. Η απόσταση ταξιδιού είναι 30 χλμ. Υπολογίστε το κόστος του ταξιδιού.

1. Ας απορρίψουμε τα πρώτα 3 χιλιόμετρα, η τιμή των οποίων περιλαμβάνεται στο κόστος προσγείωσης.

30 - 3 = 27 χλμ.

2. Ο περαιτέρω υπολογισμός δεν είναι τίποτα άλλο από την ανάλυση μιας αριθμητικής σειράς αριθμών.

Αριθμός μέλους - ο αριθμός των χιλιομέτρων που διανύθηκαν (μείον τα τρία πρώτα).

Η αξία του μέλους είναι το άθροισμα.

Ο πρώτος όρος σε αυτό το πρόβλημα θα είναι ίσος με 1 = 50 ρούβλια.

Διαφορά προόδου d = 22 r.

ο αριθμός που μας ενδιαφέρει είναι η τιμή του (27+1)ου όρου της αριθμητικής προόδου - η ένδειξη του μέτρου στο τέλος του 27ου χιλιομέτρου είναι 27.999... = 28 χλμ.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Οι υπολογισμοί δεδομένων ημερολογίου για μια αυθαίρετα μεγάλη περίοδο βασίζονται σε τύπους που περιγράφουν ορισμένες αριθμητικές ακολουθίες. Στην αστρονομία, το μήκος της τροχιάς εξαρτάται γεωμετρικά από την απόσταση του ουράνιου σώματος από το αστέρι. Επιπλέον, διάφορες σειρές αριθμών χρησιμοποιούνται με επιτυχία στη στατιστική και σε άλλους εφαρμοσμένους τομείς των μαθηματικών.

Ένας άλλος τύπος ακολουθίας αριθμών είναι η γεωμετρική

Η γεωμετρική πρόοδος χαρακτηρίζεται από μεγαλύτερους ρυθμούς μεταβολής σε σύγκριση με την αριθμητική πρόοδο. Δεν είναι τυχαίο ότι στην πολιτική, την κοινωνιολογία και την ιατρική, για να δείξουν την υψηλή ταχύτητα εξάπλωσης ενός συγκεκριμένου φαινομένου, για παράδειγμα, μιας ασθένειας κατά τη διάρκεια μιας επιδημίας, λένε ότι η διαδικασία εξελίσσεται σε γεωμετρική πρόοδο.

Ο Νος όρος της σειράς γεωμετρικών αριθμών διαφέρει από τον προηγούμενο στο ότι πολλαπλασιάζεται με κάποιο σταθερό αριθμό - ο παρονομαστής, για παράδειγμα, ο πρώτος όρος είναι 1, ο παρονομαστής είναι αντίστοιχα ίσος με 2, τότε:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - η τιμή του τρέχοντος όρου της γεωμετρικής προόδου.

b n+1 - τύπος του επόμενου όρου της γεωμετρικής προόδου.

q είναι ο παρονομαστής της γεωμετρικής προόδου (σταθερός αριθμός).

Εάν το γράφημα μιας αριθμητικής προόδου είναι μια ευθεία γραμμή, τότε μια γεωμετρική πρόοδος δίνει μια ελαφρώς διαφορετική εικόνα:

Όπως και στην περίπτωση της αριθμητικής, η γεωμετρική πρόοδος έχει έναν τύπο για την τιμή ενός αυθαίρετου όρου. Κάθε νιοστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσος με το γινόμενο του πρώτου όρου και τον παρονομαστή της προόδου στη δύναμη του n μειωμένη κατά ένα:

Παράδειγμα. Έχουμε μια γεωμετρική πρόοδο με τον πρώτο όρο ίσο με 3 και τον παρονομαστή της προόδου ίσο με 1,5. Ας βρούμε τον 5ο όρο της προόδου

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Το άθροισμα ενός δεδομένου αριθμού όρων υπολογίζεται επίσης χρησιμοποιώντας έναν ειδικό τύπο. Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ του γινόμενου του nου όρου της προόδου και του παρονομαστή του και του πρώτου όρου της προόδου, διαιρούμενο με τον παρονομαστή μειωμένο κατά ένα:

Εάν το b n αντικατασταθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο που συζητήθηκε παραπάνω, η τιμή του αθροίσματος των πρώτων n όρων της υπό εξέταση σειράς αριθμών θα λάβει τη μορφή:

Παράδειγμα. Η γεωμετρική πρόοδος ξεκινά με τον πρώτο όρο ίσο με 1. Ο παρονομαστής ορίζεται σε 3. Ας βρούμε το άθροισμα των πρώτων οκτώ όρων.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Κατά τη μελέτη της άλγεβρας σε ένα σχολείο δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης (9η τάξη), ένα από τα σημαντικά θέματα είναι η μελέτη των αριθμητικών ακολουθιών, οι οποίες περιλαμβάνουν προόδους - γεωμετρικές και αριθμητικές. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε μια αριθμητική πρόοδο και παραδείγματα με λύσεις.

Τι είναι μια αριθμητική πρόοδος;

Για να γίνει κατανοητό αυτό, είναι απαραίτητο να ορίσουμε την εν λόγω εξέλιξη, καθώς και να παρέχουμε τους βασικούς τύπους που θα χρησιμοποιηθούν αργότερα για την επίλυση προβλημάτων.

Μια αριθμητική ή αλγεβρική πρόοδος είναι ένα σύνολο διατεταγμένων ρητών αριθμών, κάθε όρος των οποίων διαφέρει από τον προηγούμενο κατά κάποια σταθερή τιμή. Αυτή η τιμή ονομάζεται διαφορά. Δηλαδή, γνωρίζοντας οποιοδήποτε μέλος μιας διατεταγμένης σειράς αριθμών και τη διαφορά, μπορείτε να επαναφέρετε ολόκληρη την αριθμητική πρόοδο.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Η ακόλουθη ακολουθία αριθμών θα είναι μια αριθμητική πρόοδος: 4, 8, 12, 16, ..., αφού η διαφορά σε αυτή την περίπτωση είναι 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Αλλά το σύνολο των αριθμών 3, 5, 8, 12, 17 δεν μπορεί πλέον να αποδοθεί στον τύπο της εξέλιξης που εξετάζεται, καθώς η διαφορά για αυτό δεν είναι σταθερή τιμή (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Σημαντικές φόρμουλες

Ας παρουσιάσουμε τώρα τους βασικούς τύπους που θα χρειαστούν για την επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας αριθμητική πρόοδο. Ας συμβολίσουμε με το σύμβολο a n το nο μέλος της ακολουθίας, όπου n είναι ακέραιος. Σημειώνουμε τη διαφορά με το λατινικό γράμμα d. Τότε ισχύουν οι παρακάτω εκφράσεις:

Για τον προσδιορισμό της τιμής του nου όρου, είναι κατάλληλος ο ακόλουθος τύπος: a n = (n-1)*d+a 1 .
Για να προσδιορίσετε το άθροισμα των πρώτων n όρων: S n = (a n +a 1)*n/2.

Για να κατανοήσουμε τυχόν παραδείγματα αριθμητικής προόδου με λύσεις στην 9η τάξη, αρκεί να θυμηθούμε αυτούς τους δύο τύπους, αφού τυχόν προβλήματα του υπό εξέταση τύπου βασίζονται στη χρήση τους. Θα πρέπει επίσης να θυμάστε ότι η διαφορά προόδου καθορίζεται από τον τύπο: d = a n - a n-1.

Παράδειγμα #1: εύρεση άγνωστου μέλους

Ας δώσουμε ένα απλό παράδειγμα μιας αριθμητικής προόδου και τους τύπους που πρέπει να χρησιμοποιηθούν για την επίλυσή της.

Αφήστε την ακολουθία 10, 8, 6, 4, ... να δοθεί, πρέπει να βρείτε πέντε όρους σε αυτήν.

Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ήδη ότι οι 4 πρώτοι όροι είναι γνωστοί. Το πέμπτο μπορεί να οριστεί με δύο τρόπους:

Ας υπολογίσουμε πρώτα τη διαφορά. Έχουμε: d = 8 - 10 = -2. Ομοίως, θα μπορούσατε να πάρετε οποιαδήποτε άλλα δύο μέλη που στέκονται το ένα δίπλα στο άλλο. Για παράδειγμα, d = 4 - 6 = -2. Αφού είναι γνωστό ότι d = a n - a n-1, τότε d = a 5 - a 4, από το οποίο παίρνουμε: a 5 = a 4 + d. Αντικαθιστούμε τις γνωστές τιμές: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Η δεύτερη μέθοδος απαιτεί επίσης γνώση της διαφοράς της εν λόγω προόδου, επομένως πρέπει πρώτα να την προσδιορίσετε όπως φαίνεται παραπάνω (d = -2). Γνωρίζοντας ότι ο πρώτος όρος a 1 = 10, χρησιμοποιούμε τον τύπο για τον ν αριθμό της ακολουθίας. Έχουμε: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Αντικαθιστώντας το n = 5 στην τελευταία παράσταση, παίρνουμε: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Όπως μπορείτε να δείτε, και οι δύο λύσεις οδήγησαν στο ίδιο αποτέλεσμα. Σημειώστε ότι σε αυτό το παράδειγμα η διαφορά προόδου d είναι αρνητική τιμή. Τέτοιες ακολουθίες ονομάζονται φθίνουσες, αφού κάθε επόμενος όρος είναι μικρότερος από τον προηγούμενο.

Παράδειγμα #2: διαφορά προόδου

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο την εργασία, ας δώσουμε ένα παράδειγμα για το πώς

Είναι γνωστό ότι σε ορισμένους ο 1ος όρος είναι ίσος με 6 και ο 7ος όρος είναι ίσος με 18. Είναι απαραίτητο να βρείτε τη διαφορά και να επαναφέρετε αυτή την ακολουθία στον 7ο όρο.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να προσδιορίσουμε τον άγνωστο όρο: a n = (n - 1) * d + a 1 . Ας αντικαταστήσουμε τα γνωστά δεδομένα από τη συνθήκη σε αυτήν, δηλαδή τους αριθμούς a 1 και a 7, έχουμε: 18 = 6 + 6 * d. Από αυτή την έκφραση μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε τη διαφορά: d = (18 - 6) /6 = 2. Έτσι, απαντήσαμε στο πρώτο μέρος του προβλήματος.

Για να επαναφέρετε την ακολουθία στον 7ο όρο, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό μιας αλγεβρικής προόδου, δηλαδή, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d και ούτω καθεξής. Ως αποτέλεσμα, επαναφέρουμε ολόκληρη την ακολουθία: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Παράδειγμα Νο. 3: σχεδίαση μιας εξέλιξης

Ας περιπλέκουμε ακόμη περισσότερο το πρόβλημα. Τώρα πρέπει να απαντήσουμε στο ερώτημα πώς να βρούμε μια αριθμητική πρόοδο. Μπορεί να δοθεί το ακόλουθο παράδειγμα: δίνονται δύο αριθμοί, για παράδειγμα - 4 και 5. Είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια αλγεβρική πρόοδος έτσι ώστε να τοποθετηθούν άλλοι τρεις όροι μεταξύ αυτών.

Πριν ξεκινήσετε να λύνετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να καταλάβετε ποια θέση θα καταλάβουν οι συγκεκριμένοι αριθμοί στη μελλοντική εξέλιξη. Δεδομένου ότι θα υπάρχουν άλλοι τρεις όροι μεταξύ τους, τότε ένας 1 = -4 και ένας 5 = 5. Έχοντας διαπιστώσει αυτό, προχωράμε στο πρόβλημα, το οποίο είναι παρόμοιο με το προηγούμενο. Και πάλι, για τον nο όρο χρησιμοποιούμε τον τύπο, παίρνουμε: a 5 = a 1 + 4 * d. Από: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Αυτό που λάβαμε εδώ δεν είναι μια ακέραια τιμή της διαφοράς, αλλά είναι ένας ρητός αριθμός, επομένως οι τύποι για την αλγεβρική πρόοδο παραμένουν οι ίδιοι.

Τώρα ας προσθέσουμε τη διαφορά που βρέθηκε στο 1 και ας επαναφέρουμε τους όρους που λείπουν από την εξέλιξη. Παίρνουμε: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, που συνέπεσε με τις συνθήκες του προβλήματος.

Παράδειγμα Νο. 4: πρώτος όρος προόδου

Ας συνεχίσουμε να δίνουμε παραδείγματα αριθμητικής προόδου με λύσεις. Σε όλα τα προηγούμενα προβλήματα, ο πρώτος αριθμός της αλγεβρικής προόδου ήταν γνωστός. Ας εξετάσουμε τώρα ένα πρόβλημα διαφορετικού τύπου: ας δοθούν δύο αριθμοί, όπου ένας 15 = 50 και ένας 43 = 37. Είναι απαραίτητο να βρούμε από ποιον αριθμό αρχίζει αυτή η ακολουθία.

Οι τύποι που χρησιμοποιήθηκαν μέχρι στιγμής προϋποθέτουν γνώση των 1 και δ. Στη δήλωση προβλήματος, τίποτα δεν είναι γνωστό για αυτούς τους αριθμούς. Ωστόσο, θα γράψουμε εκφράσεις για κάθε όρο σχετικά με τις διαθέσιμες πληροφορίες: a 15 = a 1 + 14 * d και a 43 = a 1 + 42 * d. Λάβαμε δύο εξισώσεις στις οποίες υπάρχουν 2 άγνωστα μεγέθη (α 1 και δ). Αυτό σημαίνει ότι το πρόβλημα περιορίζεται στην επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων.

Ο ευκολότερος τρόπος για να λύσετε αυτό το σύστημα είναι να εκφράσετε ένα 1 σε κάθε εξίσωση και στη συνέχεια να συγκρίνετε τις παραστάσεις που προκύπτουν. Πρώτη εξίσωση: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; δεύτερη εξίσωση: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Εξισώνοντας αυτές τις εκφράσεις, παίρνουμε: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, από όπου η διαφορά d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (δίνονται μόνο 3 δεκαδικά ψηφία).

Γνωρίζοντας το d, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε από τις 2 παραπάνω εκφράσεις για το 1. Για παράδειγμα, πρώτα: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Εάν έχετε αμφιβολίες σχετικά με το αποτέλεσμα που λάβατε, μπορείτε να το ελέγξετε, για παράδειγμα, να προσδιορίσετε τον 43ο όρο της προόδου, ο οποίος καθορίζεται στη συνθήκη. Παίρνουμε: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Το μικρό σφάλμα οφείλεται στο γεγονός ότι στους υπολογισμούς χρησιμοποιήθηκε η στρογγυλοποίηση στα χιλιοστά.

Παράδειγμα Νο. 5: ποσό

Τώρα ας δούμε πολλά παραδείγματα με λύσεις για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Έστω μια αριθμητική πρόοδος της ακόλουθης μορφής: 1, 2, 3, 4, ...,. Πώς να υπολογίσετε το άθροισμα των 100 αυτών των αριθμών;

Χάρη στην ανάπτυξη της τεχνολογίας υπολογιστών, είναι δυνατή η επίλυση αυτού του προβλήματος, δηλαδή η προσθήκη όλων των αριθμών διαδοχικά, κάτι που θα κάνει ο υπολογιστής μόλις κάποιος πατήσει το πλήκτρο Enter. Ωστόσο, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί διανοητικά εάν προσέξετε ότι η παρουσιαζόμενη σειρά αριθμών είναι αλγεβρική πρόοδος και η διαφορά της είναι ίση με 1. Εφαρμόζοντας τον τύπο για το άθροισμα, παίρνουμε: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αυτό το πρόβλημα ονομάζεται "Gaussian" επειδή στις αρχές του 18ου αιώνα ο διάσημος Γερμανός, μόλις 10 ετών, μπόρεσε να το λύσει στο μυαλό του μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Το αγόρι δεν ήξερε τον τύπο για το άθροισμα μιας αλγεβρικής προόδου, αλλά παρατήρησε ότι αν προσθέσετε τους αριθμούς στα άκρα της ακολουθίας σε ζευγάρια, έχετε πάντα το ίδιο αποτέλεσμα, δηλαδή 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., και δεδομένου ότι αυτά τα αθροίσματα θα είναι ακριβώς 50 (100 / 2), τότε για να πάρετε τη σωστή απάντηση αρκεί να πολλαπλασιάσετε το 50 με το 101.

Παράδειγμα Νο. 6: άθροισμα όρων από n έως m

Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγμα του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου είναι το εξής: δίνοντας μια σειρά αριθμών: 3, 7, 11, 15, ..., πρέπει να βρείτε πόσο ίσο με το άθροισμα των όρων της από το 8 έως το 14 .

Το πρόβλημα λύνεται με δύο τρόπους. Το πρώτο από αυτά περιλαμβάνει την εύρεση άγνωστων όρων από το 8 έως το 14 και στη συνέχεια τη διαδοχική άθροισή τους. Δεδομένου ότι υπάρχουν λίγοι όροι, αυτή η μέθοδος δεν είναι αρκετά εντατική. Ωστόσο, προτείνεται η επίλυση αυτού του προβλήματος χρησιμοποιώντας μια δεύτερη μέθοδο, η οποία είναι πιο καθολική.

Η ιδέα είναι να ληφθεί ένας τύπος για το άθροισμα της αλγεβρικής προόδου μεταξύ των όρων m και n, όπου n > m είναι ακέραιοι. Και για τις δύο περιπτώσεις, γράφουμε δύο εκφράσεις για το άθροισμα:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Αφού n > m, είναι προφανές ότι το 2ο άθροισμα περιλαμβάνει το πρώτο. Το τελευταίο συμπέρασμα σημαίνει ότι αν πάρουμε τη διαφορά μεταξύ αυτών των αθροισμάτων και προσθέσουμε τον όρο a m σε αυτήν (στην περίπτωση λήψης της διαφοράς, αφαιρείται από το άθροισμα S n), θα λάβουμε την απαραίτητη απάντηση στο πρόβλημα. Έχουμε: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τους τύπους για ένα n και ένα m σε αυτήν την έκφραση. Τότε παίρνουμε: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ο προκύπτων τύπος είναι κάπως περίπλοκος, ωστόσο, το άθροισμα S mn εξαρτάται μόνο από τα n, m, a 1 και d. Στην περίπτωσή μας, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Αντικαθιστώντας αυτούς τους αριθμούς, παίρνουμε: S mn = 301.

Όπως φαίνεται από τις παραπάνω λύσεις, όλα τα προβλήματα βασίζονται στη γνώση της έκφρασης για τον nο όρο και στον τύπο για το άθροισμα του συνόλου των πρώτων όρων. Πριν ξεκινήσετε να επιλύετε οποιοδήποτε από αυτά τα προβλήματα, συνιστάται να διαβάσετε προσεκτικά την κατάσταση, να κατανοήσετε ξεκάθαρα τι πρέπει να βρείτε και μόνο στη συνέχεια να προχωρήσετε στη λύση.

Μια άλλη συμβουλή είναι να προσπαθήσετε για απλότητα, δηλαδή, εάν μπορείτε να απαντήσετε σε μια ερώτηση χωρίς να χρησιμοποιήσετε πολύπλοκους μαθηματικούς υπολογισμούς, τότε πρέπει να κάνετε ακριβώς αυτό, καθώς σε αυτήν την περίπτωση η πιθανότητα να κάνετε λάθος είναι μικρότερη. Για παράδειγμα, στο παράδειγμα μιας αριθμητικής προόδου με τη λύση Νο. 6, θα μπορούσε κανείς να σταματήσει στον τύπο S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, και Διακοπή κοινή εργασίασε ξεχωριστές υποεργασίες (σε αυτήν την περίπτωση, βρείτε πρώτα τους όρους a n και a m).

Εάν έχετε αμφιβολίες σχετικά με το αποτέλεσμα που προέκυψε, συνιστάται να το ελέγξετε, όπως έγινε σε ορισμένα από τα παραδείγματα που δίνονται. Ανακαλύψαμε πώς να βρούμε μια αριθμητική πρόοδο. Αν το καταλάβεις, δεν είναι και τόσο δύσκολο.

Τα μαθηματικά έχουν τη δική τους ομορφιά, όπως η ζωγραφική και η ποίηση.

Ο Ρώσος επιστήμονας, μηχανικός Ν.Ε. Ζουκόφσκι

Πολύ συνηθισμένες εργασίες σε εισαγωγικές εξετάσειςστα μαθηματικά είναι προβλήματα που σχετίζονται με την έννοια της αριθμητικής προόδου. Για να επιλύσετε με επιτυχία τέτοια προβλήματα, πρέπει να έχετε καλή γνώση των ιδιοτήτων της αριθμητικής προόδου και να έχετε ορισμένες δεξιότητες στην εφαρμογή τους.

Ας θυμηθούμε πρώτα τις βασικές ιδιότητες μιας αριθμητικής προόδου και ας παρουσιάσουμε τους πιο σημαντικούς τύπους, σχετίζονται με αυτή την έννοια.

Ορισμός. Αριθμητική ακολουθία, στην οποία κάθε επόμενος όρος διαφέρει από τον προηγούμενο κατά τον ίδιο αριθμό, ονομάζεται αριθμητική πρόοδος. Σε αυτή την περίπτωση ο αριθμόςονομάζεται διαφορά προόδου.

Για μια αριθμητική πρόοδο, ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

, (1)

Οπου . Ο τύπος (1) ονομάζεται τύπος του γενικού όρου μιας αριθμητικής προόδου και ο τύπος (2) αντιπροσωπεύει την κύρια ιδιότητα μιας αριθμητικής προόδου: κάθε όρος της προόδου συμπίπτει με τον αριθμητικό μέσο όρο των γειτονικών όρων και .

Σημειώστε ότι ακριβώς λόγω αυτής της ιδιότητας η υπό εξέταση πρόοδος ονομάζεται «αριθμητική».

Οι παραπάνω τύποι (1) και (2) γενικεύονται ως εξής:

(3)

Για να υπολογίσετε το ποσόπρώτα όρους μιας αριθμητικής προόδουσυνήθως χρησιμοποιείται ο τύπος

(5) πού και .

Αν λάβουμε υπόψη τον τύπο (1), τότε από τον τύπο (5) προκύπτει

Αν δηλώνουμε , τότε

Οπου . Επειδή , οι τύποι (7) και (8) είναι μια γενίκευση των αντίστοιχων τύπων (5) και (6).

Συγκεκριμένα , από τον τύπο (5) προκύπτει, Τι

Ελάχιστα γνωστή στους περισσότερους μαθητές είναι η ιδιότητα της αριθμητικής προόδου, που διατυπώνεται μέσω του παρακάτω θεωρήματος.

Θεώρημα.Αν τότε

Απόδειξη.Αν τότε

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Για παράδειγμα , χρησιμοποιώντας το θεώρημα, μπορεί να αποδειχθεί ότι

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση τυπικών παραδειγμάτων επίλυσης προβλημάτων στο θέμα «Αριθμητική πρόοδος».

Παράδειγμα 1.Ας είναι. Εύρημα .

Λύση.Εφαρμόζοντας τον τύπο (6), παίρνουμε . Αφού και , τότε ή .

Παράδειγμα 2.Έστω τρεις φορές μεγαλύτερο, και όταν διαιρεθεί με το πηλίκο, το αποτέλεσμα είναι 2 και το υπόλοιπο είναι 8. Προσδιορίστε και .

Λύση.Από τις συνθήκες του παραδείγματος ακολουθεί το σύστημα των εξισώσεων

Αφού , , και , τότε από το σύστημα των εξισώσεων (10) λαμβάνουμε

Η λύση σε αυτό το σύστημα εξισώσεων είναι και .

Παράδειγμα 3.Βρείτε αν και .

Λύση.Σύμφωνα με τον τύπο (5) έχουμε ή . Ωστόσο, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα (9), λαμβάνουμε .

Αφού και , τότε από την ισότητα ακολουθεί η εξίσωσηή .

Παράδειγμα 4.Βρείτε αν.

Λύση.Σύμφωνα με τον τύπο (5) έχουμε

Ωστόσο, χρησιμοποιώντας το θεώρημα, μπορούμε να γράψουμε

Από εδώ και από τον τύπο (11) παίρνουμε .

Παράδειγμα 5. Δόθηκαν: . Εύρημα .

Λύση.Από τότε. Ωστόσο, επομένως.

Παράδειγμα 6.Αφήστε , και . Εύρημα .

Λύση.Χρησιμοποιώντας τον τύπο (9), παίρνουμε . Επομένως, εάν , τότε ή .

Αφού και τότε εδώ έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων

Λύνοντας ποια, παίρνουμε και .

Φυσική ρίζα της εξίσωσηςείναι .

Παράδειγμα 7.Βρείτε αν και .

Λύση.Εφόσον σύμφωνα με τον τύπο (3) έχουμε ότι , τότε το σύστημα των εξισώσεων προκύπτει από τις συνθήκες του προβλήματος

Αν αντικαταστήσουμε την έκφρασηστη δεύτερη εξίσωση του συστήματος, τότε παίρνουμε ή .

Ρίζες τετραγωνική εξίσωσηείναιΚαι .

Ας εξετάσουμε δύο περιπτώσεις.

1. Αφήστε , τότε . Από και , τότε .

Στην περίπτωση αυτή, σύμφωνα με τον τύπο (6), έχουμε

2. Αν , τότε , και

Απάντηση: και.

Παράδειγμα 8.Είναι γνωστό ότι και. Εύρημα .

Λύση.Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (5) και την συνθήκη του παραδείγματος, γράφουμε και .

Αυτό συνεπάγεται το σύστημα των εξισώσεων

Αν πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος επί 2 και στη συνέχεια την προσθέσουμε στη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε

Σύμφωνα με τον τύπο (9) έχουμε. Από την άποψη αυτή, προκύπτει από το (12)ή .

Από και , τότε .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 9.Βρείτε αν και .

Λύση.Αφού , και κατά συνθήκη , τότε ή .

Από τον τύπο (5) είναι γνωστό, Τι . Από τότε.

Ως εκ τούτου , εδώ έχουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Από εδώ παίρνουμε και . Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (8), γράφουμε .

Παράδειγμα 10.Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Από δεδομένη εξίσωσηακολουθεί ότι. Ας υποθέσουμε ότι , , και . Σε αυτήν την περίπτωση .

Σύμφωνα με τον τύπο (1), μπορούμε να γράψουμε ή .

Αφού , τότε η εξίσωση (13) έχει τη μόνη κατάλληλη ρίζα .

Παράδειγμα 11.Βρείτε τη μέγιστη τιμή με την προϋπόθεση ότι και .

Λύση.Από τότε, η αριθμητική πρόοδος που εξετάζεται μειώνεται. Από αυτή την άποψη, η έκφραση παίρνει τη μέγιστη τιμή της όταν είναι ο αριθμός του ελάχιστου θετικού όρου της προόδου.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (1) και το γεγονός, αυτό και . Τότε παίρνουμε ότι ή .

Από τότε ή . Ωστόσο, σε αυτή την ανισότηταμεγαλύτερο φυσικό αριθμό, Να γιατί .

Εάν οι τιμές των , και αντικατασταθούν στον τύπο (6), παίρνουμε .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 12.Προσδιορίστε το άθροισμα όλων των διψήφιων φυσικών αριθμών που, όταν διαιρεθούν με τον αριθμό 6, αφήνουν υπόλοιπο 5.

Λύση.Ας υποδηλώσουμε με το σύνολο όλων των διψήφιων φυσικών αριθμών, δηλ. . Στη συνέχεια, θα κατασκευάσουμε ένα υποσύνολο που θα αποτελείται από εκείνα τα στοιχεία (αριθμούς) του συνόλου που, όταν διαιρεθούν με τον αριθμό 6, δίνουν ένα υπόλοιπο 5.

Εύκολο στην εγκατάσταση, Τι . Προφανώς , ότι τα στοιχεία του συνόλουσχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο, στο οποίο και .

Για να καθορίσουμε την καρδινάτητα (αριθμός στοιχείων) του συνόλου, υποθέτουμε ότι . Δεδομένου ότι και , προκύπτει από τον τύπο (1) ή . Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (5), παίρνουμε .

Τα παραπάνω παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων δεν μπορούν σε καμία περίπτωση να ισχυριστούν ότι είναι εξαντλητικά. Αυτό το άρθρο είναι γραμμένο με βάση την ανάλυση σύγχρονες μεθόδουςεπίλυση τυπικών προβλημάτων σε ένα δεδομένο θέμα. Για μια πιο εις βάθος μελέτη των μεθόδων επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την αριθμητική πρόοδο, συνιστάται να ανατρέξετε στη λίστα της προτεινόμενης βιβλιογραφίας.

1. Συλλογή προβλημάτων στα μαθηματικά για υποψήφιους στα κολέγια / Εκδ. ΜΙ. Σκανάβι. – Μ.: Ειρήνη και Παιδεία, 2013. – 608 σελ.

2. Suprun V.P. Μαθηματικά για μαθητές γυμνασίου: επιπλέον ενότητες σχολικό πρόγραμμα σπουδών. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 σελ.

3. Medynsky M.M. Πλήρες μάθημαστοιχειώδη μαθηματικά σε προβλήματα και ασκήσεις. Βιβλίο 2: Ακολουθίες αριθμώνκαι την εξέλιξη. – Μ.: Editus, 2015. – 208 σελ.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις;

Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Για παράδειγμα, η ακολουθία \(2\); \(5\); \(8\); \(έντεκα\); Το \(14\)... είναι μια αριθμητική πρόοδος, επειδή κάθε επόμενο στοιχείο διαφέρει από το προηγούμενο κατά τρία (μπορεί να ληφθεί από το προηγούμενο προσθέτοντας τρία):

Σε αυτή την εξέλιξη, η διαφορά \(d\) είναι θετική (ίση με \(3\)), και επομένως κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Τέτοιες προόδους ονομάζονται αυξανόμενη.

Ωστόσο, το \(d\) μπορεί επίσης να είναι αρνητικός αριθμός. Για παράδειγμα, σε αριθμητική πρόοδο \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... η διαφορά προόδου \(d\) είναι ίση με μείον έξι.

Και σε αυτή την περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο θα είναι μικρότερο από το προηγούμενο. Αυτές οι προόδους ονομάζονται μειώνεται.

Σημειογραφία αριθμητικής προόδου

Η πρόοδος υποδεικνύεται με ένα μικρό λατινικό γράμμα.

Οι αριθμοί που σχηματίζουν μια πρόοδο ονομάζονται μέλη(ή στοιχεία).

Συμβολίζονται με το ίδιο γράμμα με μια αριθμητική πρόοδο, αλλά με αριθμητικό δείκτη ίσο με τον αριθμό του στοιχείου κατά σειρά.

Για παράδειγμα, η αριθμητική πρόοδος \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) αποτελείται από τα στοιχεία \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) και ούτω καθεξής.

Με άλλα λόγια, για την εξέλιξη \(a_n = \αριστερά\(2; 5; 8; 11; 14…\δεξιά\)\)

Επίλυση προβλημάτων αριθμητικής προόδου

Κατ' αρχήν, οι πληροφορίες που παρουσιάζονται παραπάνω είναι ήδη αρκετές για να λύσουν σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα αριθμητικής προόδου (συμπεριλαμβανομένων αυτών που προσφέρονται στο OGE).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες \(b_1=7; d=4\). Βρείτε το \(b_5\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_5=23\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται οι τρεις πρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου: \(62; 49; 36…\) Βρείτε την τιμή του πρώτου αρνητικού όρου αυτής της προόδου..
Λύση:

	Μας δίνονται τα πρώτα στοιχεία της ακολουθίας και γνωρίζουμε ότι είναι μια αριθμητική πρόοδος. Δηλαδή, κάθε στοιχείο διαφέρει από το διπλανό του κατά τον ίδιο αριθμό. Ας μάθουμε ποιο αφαιρώντας το προηγούμενο από το επόμενο στοιχείο: \(d=49-62=-13\).
	Τώρα μπορούμε να επαναφέρουμε την πρόοδό μας στο (πρώτο αρνητικό) στοιχείο που χρειαζόμαστε.
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(-3\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται πολλά διαδοχικά στοιχεία μιας αριθμητικής προόδου: \(…5; x; 10; 12,5...\) Βρείτε την τιμή του στοιχείου που ορίζεται από το γράμμα \(x\).
Λύση:

	Για να βρούμε το \(x\), πρέπει να ξέρουμε πόσο διαφέρει το επόμενο στοιχείο από το προηγούμενο, με άλλα λόγια, τη διαφορά προόδου. Ας το βρούμε από δύο γνωστά γειτονικά στοιχεία: \(d=12,5-10=2,5\).
	Και τώρα μπορούμε εύκολα να βρούμε αυτό που ψάχνουμε: \(x=5+2,5=7,5\).
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(7,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος ορίζεται από τις ακόλουθες συνθήκες: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Βρείτε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

Πρέπει να βρούμε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων της προόδου. Δεν γνωρίζουμε όμως τη σημασία τους· μας δίνεται μόνο το πρώτο στοιχείο. Επομένως, πρώτα υπολογίζουμε τις τιμές μία προς μία, χρησιμοποιώντας αυτό που μας δίνεται:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Και έχοντας υπολογίσει τα έξι στοιχεία που χρειαζόμαστε, βρίσκουμε το άθροισμά τους.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Βρέθηκε το απαιτούμενο ποσό.

Απάντηση: \(S_6=9\).

Παράδειγμα (OGE). Σε αριθμητική πρόοδο \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Βρείτε τη διαφορά αυτής της εξέλιξης.
Λύση:

Απάντηση: \(d=7\).

Σημαντικοί τύποι για την αριθμητική πρόοδο

Όπως μπορείτε να δείτε, πολλά προβλήματα σχετικά με την αριθμητική πρόοδο μπορούν να λυθούν απλά κατανοώντας το κύριο πράγμα - ότι μια αριθμητική πρόοδος είναι μια αλυσίδα αριθμών και κάθε επόμενο στοιχείο αυτής της αλυσίδας προκύπτει προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό στον προηγούμενο (το διαφορά της εξέλιξης).

Ωστόσο, μερικές φορές υπάρχουν καταστάσεις κατά τις οποίες το να αποφασίσετε "με τα μούτρα" είναι πολύ άβολο. Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι στο πρώτο παράδειγμα δεν χρειάζεται να βρούμε το πέμπτο στοιχείο \(b_5\), αλλά το τριακόσιο ογδόντα έκτο \(b_(386)\). Πρέπει να προσθέσουμε τέσσερις \(385\) φορές; Ή φανταστείτε ότι στο προτελευταίο παράδειγμα πρέπει να βρείτε το άθροισμα των πρώτων εβδομήντα τριών στοιχείων. Θα βαρεθείς να μετράς...

Επομένως, σε τέτοιες περιπτώσεις δεν λύνουν τα πράγματα "κατά μέτωπο", αλλά χρησιμοποιούν ειδικούς τύπους που προέρχονται για αριθμητική πρόοδο. Και τα κυριότερα είναι ο τύπος για τον nο όρο της προόδου και ο τύπος για το άθροισμα των \(n\) πρώτων όρων.

Τύπος του \(n\)ου όρου: \(a_n=a_1+(n-1)d\), όπου \(a_1\) είναι ο πρώτος όρος της προόδου.
\(n\) – αριθμός του απαιτούμενου στοιχείου.
\(a_n\) – όρος της προόδου με αριθμό \(n\).

Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρίσκουμε γρήγορα ακόμη και το τριακόσιο ή το εκατομμυριοστό στοιχείο, γνωρίζοντας μόνο το πρώτο και τη διαφορά της προόδου.

Παράδειγμα. Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Βρείτε το \(b_(246)\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_(246)=1850\).

Τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), όπου

\(a_n\) – ο τελευταίος αθροιστικός όρος.

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες \(a_n=3,4n-0,6\). Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(25\) όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Για να υπολογίσουμε το άθροισμα των πρώτων εικοσιπέντε όρων, πρέπει να γνωρίζουμε την τιμή του πρώτου και του εικοστού πέμπτου όρων. Η πρόοδός μας δίνεται από τον τύπο του nου όρου ανάλογα με τον αριθμό του (για περισσότερες λεπτομέρειες βλ.). Ας υπολογίσουμε το πρώτο στοιχείο αντικαθιστώντας ένα με το \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Τώρα ας βρούμε τον εικοστό πέμπτο όρο αντικαθιστώντας τον εικοστό πέντε αντί του \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Λοιπόν, τώρα μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το απαιτούμενο ποσό.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(25)=1090\).

Για το άθροισμα \(n\) των πρώτων όρων, μπορείτε να πάρετε έναν άλλο τύπο: απλά πρέπει να \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) αντί για \(a_n\) αντικαταστήστε τον τύπο για αυτό \(a_n=a_1+(n-1)d\). Παίρνουμε:

Τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), όπου

\(S_n\) – το απαιτούμενο άθροισμα των πρώτων στοιχείων \(n\).
\(a_1\) – ο πρώτος αθροιστικός όρος.
\(d\) – διαφορά προόδου.
\(n\) – αριθμός στοιχείων συνολικά.

Παράδειγμα. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(33\)-ex όρων της αριθμητικής προόδου: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Λύση:

Απάντηση: \(S_(33)=-231\).

Πιο πολύπλοκα προβλήματα αριθμητικής προόδου

Τώρα έχετε όλες τις πληροφορίες που χρειάζεστε για να λύσετε σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα αριθμητικής προόδου. Ας ολοκληρώσουμε το θέμα εξετάζοντας προβλήματα στα οποία δεν χρειάζεται μόνο να εφαρμόσετε τύπους, αλλά και να σκεφτείτε λίγο (στα μαθηματικά αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο ☺)

Παράδειγμα (OGE). Βρείτε το άθροισμα όλων των αρνητικών όρων της προόδου: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Λύση:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Η εργασία μοιάζει πολύ με την προηγούμενη. Αρχίζουμε να λύνουμε το ίδιο πράγμα: πρώτα βρίσκουμε το \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Τώρα θα ήθελα να αντικαταστήσω το \(d\) στον τύπο για το άθροισμα... και εδώ προκύπτει μια μικρή απόχρωση - δεν ξέρουμε το \(n\). Με άλλα λόγια, δεν γνωρίζουμε πόσοι όροι θα πρέπει να προστεθούν. Πώς να μάθετε; Ας σκεφτούμε. Θα σταματήσουμε να προσθέτουμε στοιχεία όταν φτάσουμε στο πρώτο θετικό στοιχείο. Δηλαδή, πρέπει να μάθετε τον αριθμό αυτού του στοιχείου. Πως? Ας γράψουμε τον τύπο για τον υπολογισμό οποιουδήποτε στοιχείου μιας αριθμητικής προόδου: \(a_n=a_1+(n-1)d\) για την περίπτωσή μας.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Χρειαζόμαστε το \(a_n\) να γίνει μεγαλύτερο από το μηδέν. Ας μάθουμε σε τι \(n\) θα συμβεί αυτό.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(\|:0,3\)		Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Μεταφέρουμε μείον ένα, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε τα σημάδια
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Ας υπολογίσουμε...
\(n>65.333…\)		...και αποδεικνύεται ότι το πρώτο θετικό στοιχείο θα έχει τον αριθμό \(66\). Αντίστοιχα, το τελευταίο αρνητικό έχει \(n=65\). Για κάθε ενδεχόμενο, ας το ελέγξουμε αυτό.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Πρέπει λοιπόν να προσθέσουμε τα πρώτα \(65\) στοιχεία.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(65)=-630,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Βρείτε το άθροισμα από το \(26\)ο στο στοιχείο \(42\) συμπεριλαμβανομένου.
Λύση:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Σε αυτό το πρόβλημα πρέπει επίσης να βρείτε το άθροισμα των στοιχείων, αλλά ξεκινώντας όχι από το πρώτο, αλλά από το \(26\)ο. Για μια τέτοια περίπτωση δεν έχουμε τύπο. Πώς να αποφασίσετε; Είναι εύκολο - για να πάρετε το άθροισμα από το \(26\)ο στο \(42\)ο, πρέπει πρώτα να βρείτε το άθροισμα από το \(1\)ο στο \(42\)ο και μετά να αφαιρέσετε από αυτό το άθροισμα από το πρώτο έως το \(25\)ο (βλ. εικόνα).
	Για την πρόοδό μας \(a_1=-33\), και τη διαφορά \(d=4\) (εξάλλου, προσθέτουμε τα τέσσερα στο προηγούμενο στοιχείο για να βρούμε το επόμενο). Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε το άθροισμα των πρώτων \(42\)-y στοιχείων.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Τώρα το άθροισμα των πρώτων \(25\) στοιχείων.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Και τέλος, υπολογίζουμε την απάντηση.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Απάντηση: \(S=1683\).

Για την αριθμητική πρόοδο, υπάρχουν αρκετοί ακόμη τύποι που δεν εξετάσαμε σε αυτό το άρθρο λόγω της χαμηλής πρακτικής χρησιμότητάς τους. Ωστόσο, μπορείτε να τα βρείτε εύκολα.