Παράδειγμα 1 . Υπολογίζω:
Δίπλα σε κάθε έκφραση υποδεικνύεται μια ταυτότητα, στους κύκλους για τους οποίους ενδέχεται να υπάρχουν οι προτεινόμενες εργασίες. Ο σκοπός τέτοιων εργασιών είναι να κυριαρχήσουν τα χαρακτηριστικά των εγγραφών, συμπεριλαμβανομένων των συμβόλων νέων λειτουργιών και συναρτήσεων, και να αναπτύξουν μαθηματικές δεξιότητες ομιλίας.
Ένα σημαντικό μέρος της χρήσης μετασχηματισμών ταυτότητας που σχετίζονται με στοιχειώδεις συναρτήσεις πέφτει στη λύση παράλογων και υπερβατικών εξισώσεων. Οι κύκλοι που σχετίζονται με την αφομοίωση των ταυτοτήτων περιλαμβάνουν μόνο τις απλούστερες εξισώσεις, αλλά εδώ είναι σκόπιμο να πραγματοποιηθεί εργασία για τον έλεγχο της μεθόδου επίλυσης τέτοιων εξισώσεων: μειώνοντάς την αντικαθιστώντας το άγνωστο με αλγεβρική εξίσωση.
Η σειρά των βημάτων για αυτή τη λύση είναι η εξής:
α) βρείτε τη συνάρτηση
, για την οποία αυτή η εξίσωση μπορεί να αναπαρασταθεί ως ;β) να γίνει αντικατάσταση
και λύστε την εξίσωση ?γ) να λύσετε καθεμία από τις εξισώσεις
, όπου είναι το σύνολο των ριζών της εξίσωσης .Κατά τη χρήση της περιγραφόμενης μεθόδου, το βήμα β) εκτελείται συχνά σιωπηρά, χωρίς να εισάγεται σημειογραφία για
. Επιπλέον, οι μαθητές συχνά προτιμούν, από τα διάφορα μονοπάτια που οδηγούν στην εύρεση απάντησης, να επιλέγουν αυτό που οδηγεί στην αλγεβρική εξίσωση πιο γρήγορα και ευκολότερα.Παράδειγμα 2 . Λύστε την εξίσωση
.Πρώτος τρόπος:
Δεύτερος τρόπος:
Εδώ μπορείτε να δείτε ότι με την πρώτη μέθοδο το βήμα α) είναι πιο δύσκολο από ό,τι με τη δεύτερη. Η πρώτη μέθοδος είναι «πιο δύσκολη στην αρχή», αν και η περαιτέρω πορεία της λύσης είναι πολύ πιο απλή. Από την άλλη πλευρά, η δεύτερη μέθοδος έχει τα πλεονεκτήματα της μεγαλύτερης ευκολίας και μεγαλύτερης ακρίβειας στην εκμάθηση της αναγωγής σε μια αλγεβρική εξίσωση.
Για σχολικό μάθημαάλγεβρα, τυπικές εργασίες είναι στις οποίες η μετάβαση σε μια αλγεβρική εξίσωση είναι ακόμη πιο απλή από σε αυτό το παράδειγμα. Το κύριο φορτίο τέτοιων εργασιών σχετίζεται με την αναγνώριση του βήματος γ) ως ανεξάρτητου μέρους της διαδικασίας λύσης που σχετίζεται με τη χρήση των ιδιοτήτων της στοιχειώδους συνάρτησης που μελετάται.
Παράδειγμα 3 . Λύστε την εξίσωση:
; σι) 
.
Αυτές οι εξισώσεις ανάγονται στις εξισώσεις: α)
ή ; β) ή . Η επίλυση αυτών των εξισώσεων απαιτεί γνώση μόνο των απλούστερων γεγονότων εκθετικη συναρτηση: η μονοτονία του, το εύρος των αξιών του. Όπως η εργασία στο προηγούμενο παράδειγμα, οι εξισώσεις α) και β) μπορούν να αποδοθούν στην πρώτη ομάδα του κύκλου ασκήσεων για την επίλυση τετραγωνικών εκθετικές εξισώσεις.Έτσι, καταλήγουμε σε μια ταξινόμηση εργασιών σε κύκλους που σχετίζονται με την επίλυση υπερβατικών εξισώσεων που περιλαμβάνουν μια εκθετική συνάρτηση:
1) εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις της μορφής
και έχοντας μια απλή, γενική απάντηση: ;2) εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις
, όπου είναι ένας ακέραιος αριθμός, ή , όπου ;3) εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις
και απαιτεί ρητή ανάλυση της μορφής με την οποία είναι γραμμένος ο αριθμός .Οι εργασίες για άλλες στοιχειώδεις συναρτήσεις μπορούν να ταξινομηθούν με παρόμοιο τρόπο.
Ένα σημαντικό μέρος των ταυτοτήτων που μελετώνται στην άλγεβρα και την άλγεβρα και τις αρχές των μαθημάτων ανάλυσης αποδεικνύονται ή, τουλάχιστον, εξηγούνται. Αυτή η πλευρά της μελέτης των ταυτοτήτων έχει μεγάλης σημασίαςκαι για τα δύο μαθήματα, αφού ο αποδεικτικός συλλογισμός σε αυτά πραγματοποιείται με τη μεγαλύτερη σαφήνεια και αυστηρότητα ακριβώς σε σχέση με τις ταυτότητες. Πέρα από αυτό το υλικό, τα στοιχεία είναι συνήθως λιγότερο πλήρη· δεν διακρίνονται πάντα από την τεκμηρίωση που χρησιμοποιείται.
Οι ιδιότητες των αριθμητικών πράξεων χρησιμοποιούνται ως το στήριγμα πάνω στο οποίο χτίζονται οι αποδείξεις ταυτοτήτων.
Ο εκπαιδευτικός αντίκτυπος των υπολογισμών και των μετασχηματισμών ταυτότητας μπορεί να στοχεύει στην ανάπτυξη λογική σκέψη, αν μόνο οι μαθητές καλούνται συστηματικά να δικαιολογούν υπολογισμούς και πανομοιότυπους μετασχηματισμούς, να αναπτύξουν λειτουργική σκέψη, η οποία επιτυγχάνεται με διάφορους τρόπους. Η σημασία των υπολογισμών και των πανομοιότυπων μετασχηματισμών στην ανάπτυξη της θέλησης, της μνήμης, της ευφυΐας, του αυτοελέγχου και της δημιουργικής πρωτοβουλίας είναι προφανής.
Οι απαιτήσεις της καθημερινής και της βιομηχανικής πρακτικής υπολογιστών απαιτούν από τους μαθητές να αναπτύξουν ισχυρές, αυτοματοποιημένες δεξιότητες σε ορθολογικούς υπολογισμούς και μετασχηματισμούς ταυτότητας. Αυτές οι δεξιότητες αναπτύσσονται στη διαδικασία οποιασδήποτε υπολογιστικής εργασίας, ωστόσο είναι απαραίτητες ειδικές ασκήσεις εκπαίδευσης σε γρήγορους υπολογισμούς και μετασχηματισμούς.
Έτσι, εάν το μάθημα περιλαμβάνει επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη βασική λογαριθμική ταυτότητα
, τότε είναι χρήσιμο να συμπεριληφθούν στο σχέδιο μαθήματος προφορικές ασκήσεις για την απλοποίηση ή τον υπολογισμό των σημασιών των εκφράσεων: , ,
. Ο σκοπός των ασκήσεων κοινοποιείται πάντα στους μαθητές. Κατά τη διάρκεια της άσκησης, μπορεί να είναι απαραίτητο να απαιτηθεί από τους μαθητές να αιτιολογήσουν μεμονωμένες μεταμορφώσεις, ενέργειες ή τη λύση ενός ολόκληρου προβλήματος, ακόμα κι αν αυτό δεν ήταν προγραμματισμένο. Όπου είναι δυνατοί διαφορετικοί τρόποι επίλυσης ενός προβλήματος, συνιστάται να κάνετε πάντα ερωτήσεις: «Πώς λύθηκε το πρόβλημα;», «Ποιος έλυσε το πρόβλημα με διαφορετικό τρόπο;» Οι έννοιες της ταυτότητας και του μετασχηματισμού ταυτότητας εισάγονται ρητά στο μάθημα της άλγεβρας της VI τάξης. Ο ίδιος ο ορισμός πανομοιότυπες εκφράσειςδεν μπορεί πρακτικά να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει την ταυτότητα δύο εκφράσεων και να κατανοήσει ότι η ουσία των πανομοιότυπων μετασχηματισμών είναι να εφαρμόζονται στην έκφραση οι ορισμοί και οι ιδιότητες εκείνων των ενεργειών που υποδεικνύονται στην έκφραση ή να προστίθεται σε αυτήν μια έκφραση που είναι πανομοιότυπη ίσο με 0, ή να το πολλαπλασιάσουμε με έκφραση πανομοιότυπα ίση με ένα. Αλλά ακόμη και έχοντας κατακτήσει αυτές τις διατάξεις, οι μαθητές συχνά δεν καταλαβαίνουν γιατί αυτοί οι μετασχηματισμοί μας επιτρέπουν να ισχυριστούμε ότι η αρχική και η προκύπτουσα έκφραση είναι πανομοιότυπες, δηλ. πάρτε τις ίδιες τιμές για οποιαδήποτε συστήματα (σύνολα) μεταβλητών τιμών.
Είναι επίσης σημαντικό να διασφαλιστεί ότι οι μαθητές κατανοούν ξεκάθαρα ότι τέτοια συμπεράσματα πανομοιότυπων μετασχηματισμών είναι συνέπειες των ορισμών και των ιδιοτήτων των αντίστοιχων ενεργειών.
Ο μηχανισμός μετασχηματισμών ταυτότητας, που συσσωρεύτηκε τα προηγούμενα χρόνια, επεκτείνεται στον βαθμό VI. Αυτή η επέκταση ξεκινά με την εισαγωγή μιας ταυτότητας που εκφράζει την ιδιότητα του προϊόντος των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις:
Η έννοια του πτυχίου με ορθολογικό εκθέτη. Επίλυση παράλογων εξισώσεων. Εκθετική συνάρτηση, οι ιδιότητές της και η γραφική παράσταση. Πανομοιότυποι μετασχηματισμοί εκθετικών εκφράσεων. Επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων. Λογάριθμος ενός αριθμού. Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Λογαριθμική συνάρτηση, ιδιότητες και γραφική παράσταση. Επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων. Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης. Αριθμός και φυσικός λογάριθμος. Παράγωγο λειτουργία ισχύος.
Ο κύριος σκοπός του τμήματος της εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης είναι να εξοικειώσει τους μαθητές με τις εκθετικές, λογαριθμικές και συναρτήσεις ισχύος. διδάσκουν στους μαθητές να λύνουν εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.
Οι έννοιες της ης ρίζας και του βαθμού με λογικό εκθέτη είναι γενίκευση των εννοιών της τετραγωνικής ρίζας και του βαθμού με ακέραιο εκθέτη. Οι μαθητές θα πρέπει να δώσουν προσοχή στο γεγονός ότι οι ιδιότητες των ριζών και των δυνάμεων με λογικό εκθέτη που εξετάζονται εδώ είναι παρόμοιες με εκείνες τις ιδιότητες που έχουν μελετηθεί προηγουμένως τετραγωνικές ρίζεςκαι μοίρες με ακέραιους εκθέτες. Είναι απαραίτητο να αφιερώσουμε αρκετό χρόνο στην εξάσκηση των ιδιοτήτων των πτυχίων και στην ανάπτυξη των δεξιοτήτων μετασχηματισμών ταυτότητας. Η έννοια του πτυχίου με έναν παράλογο εκθέτη εισάγεται σε οπτική και διαισθητική βάση. Αυτό το υλικό παίζει βοηθητικό ρόλο και χρησιμοποιείται κατά την εισαγωγή της εκθετικής συνάρτησης.
Η μελέτη των ιδιοτήτων των εκθετικών, λογαριθμικών και συναρτήσεων ισχύος κατασκευάζεται σύμφωνα με το αποδεκτό γενικό σχήμα για τη μελέτη συναρτήσεων. Σε αυτήν την περίπτωση, δίνεται μια επισκόπηση των ιδιοτήτων ανάλογα με τις τιμές των παραμέτρων. Οι εκθετικές και λογαριθμικές ανισώσεις επιλύονται με βάση τις μελετημένες ιδιότητες των συναρτήσεων.
Χαρακτηριστικό γνώρισμα του μαθήματος είναι η συστηματοποίηση και γενίκευση των γνώσεων των μαθητών, η εμπέδωση και ανάπτυξη δεξιοτήτων που αποκτήθηκαν στο μάθημα της άλγεβρας, το οποίο πραγματοποιείται τόσο κατά τη μελέτη νέου υλικού όσο και κατά τη γενική επανάληψη.
Λογαριθμικές εκφράσεις, επίλυση παραδειγμάτων. Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε προβλήματα που σχετίζονται με την επίλυση λογαρίθμων. Οι εργασίες θέτουν το ερώτημα της εύρεσης της σημασίας μιας έκφρασης. Πρέπει να σημειωθεί ότι η έννοια του λογάριθμου χρησιμοποιείται σε πολλές εργασίες και η κατανόηση της σημασίας της είναι εξαιρετικά σημαντική. Όσον αφορά την Εξέταση Ενιαίου Κράτους, ο λογάριθμος χρησιμοποιείται κατά την επίλυση εξισώσεων, σε εφαρμοσμένα προβλήματα, επίσης σε εργασίες που σχετίζονται με τη μελέτη συναρτήσεων.
Ας δώσουμε παραδείγματα για να κατανοήσουμε την ίδια την έννοια του λογάριθμου:
Βασική λογαριθμική ταυτότητα:
Ιδιότητες λογαρίθμων που πρέπει πάντα να θυμόμαστε:
*Ο λογάριθμος του γινομένου είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων των παραγόντων.
* * *
*Ο λογάριθμος ενός πηλίκου (κλάσματος) ισούται με τη διαφορά μεταξύ των λογαρίθμων των παραγόντων.
* * *
*Ο λογάριθμος ενός εκθέτη είναι ίσος με το γινόμενο του εκθέτη και του λογάριθμου της βάσης του.
* * *
*Μετάβαση σε νέα βάση
* * *
Περισσότερες ιδιότητες:
* * *
Ο υπολογισμός των λογαρίθμων σχετίζεται στενά με τη χρήση των ιδιοτήτων των εκθετών.
Ας παραθέσουμε μερικά από αυτά:
Η ουσία αυτής της ιδιότητας είναι ότι όταν ο αριθμητής μεταφέρεται στον παρονομαστή και αντίστροφα, το πρόσημο του εκθέτη αλλάζει στο αντίθετο. Για παράδειγμα:
Συμπέρασμα από αυτό το ακίνητο:
* * *
Όταν αυξάνεται μια ισχύς σε μια ισχύ, η βάση παραμένει η ίδια, αλλά οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται.
* * *
Όπως είδατε, η ίδια η έννοια του λογάριθμου είναι απλή. Το κυριότερο είναι αυτό που χρειάζεται καλή πρακτική, που δίνει μια συγκεκριμένη ικανότητα. Φυσικά απαιτείται γνώση τύπων. Εάν η ικανότητα μετατροπής στοιχειωδών λογαρίθμων δεν έχει αναπτυχθεί, τότε κατά την επίλυση απλών εργασιών μπορείτε εύκολα να κάνετε ένα λάθος.
Εξασκηθείτε, λύστε πρώτα τα πιο απλά παραδείγματα από το μάθημα των μαθηματικών και μετά προχωρήστε σε πιο σύνθετα. Στο μέλλον, σίγουρα θα δείξω πόσο «τρομακτικοί» λογάριθμοι λύνονται· δεν θα εμφανιστούν στην Ενιαία Κρατική Εξέταση, αλλά έχουν ενδιαφέρον, μην τους χάσετε!
Αυτό είναι όλο! Καλή σου τύχη!
Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh
P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν μου πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.
Εργασίες των οποίων η λύση είναι μετατροπή λογαριθμικών παραστάσεων, είναι αρκετά κοινά στην Ενιαία Κρατική Εξέταση.
Για να τα αντιμετωπίσετε επιτυχώς με ελάχιστο χρόνο, εκτός από τις βασικές λογαριθμικές ταυτότητες, θα πρέπει να γνωρίζετε και να χρησιμοποιείτε σωστά μερικούς ακόμη τύπους.
Αυτό είναι: a log a b = b, όπου a, b > 0, a ≠ 1 (Απάγεται απευθείας από τον ορισμό του λογάριθμου).
log a b = log c b / log c a ή log a b = 1/log b a
όπου a, b, c > 0; α, γ ≠ 1.
log a m b n = (m/n) log |a| |β|
όπου a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.
α ημερολόγιο c b = b ημερολόγιο c α
όπου a, b, c > 0 και a, b, c ≠ 1
Για να δείξουμε την εγκυρότητα της τέταρτης ισότητας, ας πάρουμε τον λογάριθμο της αριστερής και της δεξιάς πλευράς στη βάση α. Παίρνουμε log a (a log με b) = log a (b log με a) ή log με b = log με a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); log με b = log με β.
Έχουμε αποδείξει την ισότητα των λογαρίθμων, που σημαίνει ότι οι εκφράσεις κάτω από τους λογάριθμους είναι επίσης ίσες. Η Formula 4 έχει αποδειχθεί.
Παράδειγμα 1.
Υπολογίστε 81 log 27 5 log 5 4 .
Λύση.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Επομένως,
log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.
Τότε 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.
Μπορείτε να ολοκληρώσετε την παρακάτω εργασία μόνοι σας.
Υπολογίστε (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.
Ως υπόδειξη, 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0,2 5 = -1.
Απάντηση: 5.
Παράδειγμα 2.
Υπολογισμός (√11) κούτσουρο √3 9- log 121 81 .
Λύση.
Ας αλλάξουμε τις εκφράσεις: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,
121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (χρησιμοποιήθηκε ο τύπος 3).
Στη συνέχεια (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.
Παράδειγμα 3.
Υπολογίστε το ημερολόγιο 2 24 / ημερολόγιο 96 2 - ημερολόγιο 2 192 / ημερολόγιο 12 2.
Λύση.
Αντικαθιστούμε τους λογάριθμους που περιέχονται στο παράδειγμα με λογάριθμους με βάση 2.
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);
log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).
Στη συνέχεια log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + ημερολόγιο 2 3)) =
= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).
Αφού ανοίξουμε τις παρενθέσεις και φέρουμε παρόμοιους όρους, παίρνουμε τον αριθμό 3. (Όταν απλοποιούμε την παράσταση, μπορούμε να συμβολίσουμε το log 2 3 με n και να απλοποιήσουμε την παράσταση
(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).
Απάντηση: 3.
Μπορείτε να ολοκληρώσετε μόνοι σας την παρακάτω εργασία:
Υπολογισμός (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.
Εδώ είναι απαραίτητο να γίνει η μετάβαση σε λογάριθμους βάσης 3 και παραγοντοποίηση μεγάλων αριθμών σε πρώτους παράγοντες.
Απάντηση: 1/2
Παράδειγμα 4.
Δίνονται τρεις αριθμοί A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Τοποθετήστε τους σε αύξουσα σειρά.
Λύση.
Ας μετατρέψουμε τους αριθμούς A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.
Ας τα συγκρίνουμε
log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 και log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Ή 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Απάντηση. Επομένως, η σειρά τοποθέτησης των αριθμών είναι: C; ΕΝΑ; ΣΕ.
Παράδειγμα 5.
Πόσοι ακέραιοι αριθμοί υπάρχουν στο διάστημα (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).
Λύση.
Ας προσδιορίσουμε ανάμεσα σε ποιες δυνάμεις του αριθμού 3 βρίσκεται ο αριθμός 1/16. Παίρνουμε 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .
Εφόσον η συνάρτηση y = log 3 x αυξάνεται, τότε το log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Ας συγκρίνουμε το αρχείο καταγραφής 6 (4/3) και 1/5. Και για αυτό συγκρίνουμε τους αριθμούς 4/3 και 6 1/5. Ας ανεβάσουμε και τους δύο αριθμούς στην 5η δύναμη. Παίρνουμε (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,
ημερολόγιο 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Επομένως, το διάστημα (log 3 1 / 16 ; log 6 48) περιλαμβάνει το διάστημα [-2; 4] και οι ακέραιοι -2 τοποθετούνται σε αυτό. -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Απάντηση: 7 ακέραιοι.
Παράδειγμα 6.
Υπολογίστε 3 lglg 2 / lg 3 - lg20.
Λύση.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.
Τότε 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.
Απάντηση: -1.
Παράδειγμα 7.
Είναι γνωστό ότι log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Βρείτε το log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).
Λύση.
Αριθμοί (√3 + 1) και (√3 – 1); (√6 – 2) και (√6 + 2) είναι συζυγή.
Ας πραγματοποιήσουμε τον ακόλουθο μετασχηματισμό των εκφράσεων
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).
Στη συνέχεια log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Μητρώο 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =
2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.
Απάντηση: 2 – Α.
Παράδειγμα 8.
Απλοποιήστε και βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή της παράστασης (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.
Λύση.
Μειώνουμε όλους τους λογάριθμους σε κοινά σημεία 10.
(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Η κατά προσέγγιση τιμή του lg 2 μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα, έναν κανόνα διαφανειών ή μια αριθμομηχανή).
Απάντηση: 0,3010.
Παράδειγμα 9.
Υπολογίστε το log a 2 b 3 √(a 11 b -3) εάν το log √ a b 3 = 1. (Σε αυτό το παράδειγμα, το a 2 b 3 είναι η βάση του λογαρίθμου).
Λύση.
Αν log √ a b 3 = 1, τότε 3/(0,5 log a b = 1. Και log a b = 1/6.
Στη συνέχεια καταγράψτε a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Λαμβάνοντας υπόψη ότι αυτό το log a b = 1/ 6 παίρνουμε (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.
Απάντηση: 2.1.
Μπορείτε να ολοκληρώσετε μόνοι σας την παρακάτω εργασία:
Υπολογίστε το log √3 6 √2,1 εάν το log 0,7 27 = a.
Απάντηση: (3 + α) / (3α).
Παράδειγμα 10.
Υπολογίστε 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.
Λύση.
6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (τύπος 4))
Παίρνουμε 9 + 6 = 15.
Απάντηση: 15.
Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν είστε σίγουροι πώς να βρείτε την τιμή μιας λογαριθμικής παράστασης;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!
ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.
Θα εξετάσουμε τώρα τη μετατροπή παραστάσεων που περιέχουν λογάριθμους από μια γενική προοπτική. Εδώ θα εξετάσουμε όχι μόνο τον μετασχηματισμό παραστάσεων χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων, αλλά επίσης θα εξετάσουμε τον μετασχηματισμό παραστάσεων με γενικούς λογάριθμους, οι οποίοι περιέχουν όχι μόνο λογάριθμους, αλλά και δυνάμεις, κλάσματα, ρίζες κ.λπ. Ως συνήθως, θα παρέχουμε όλο το υλικό με χαρακτηριστικά παραδείγματα με λεπτομερείς περιγραφές λύσεων.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Εκφράσεις με λογάριθμους και λογαριθμικές εκφράσεις
Κάνοντας πράγματα με κλάσματα
Στην προηγούμενη παράγραφο, εξετάσαμε τους βασικούς μετασχηματισμούς που πραγματοποιούνται με επιμέρους κλάσματα που περιέχουν λογάριθμους. Αυτοί οι μετασχηματισμοί, φυσικά, μπορούν να πραγματοποιηθούν με κάθε μεμονωμένο κλάσμα που αποτελεί μέρος περισσότερων σύνθετη έκφραση, για παράδειγμα, που αντιπροσωπεύει το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο παρόμοιων κλασμάτων. Αλλά εκτός από την εργασία με μεμονωμένα κλάσματα, ο μετασχηματισμός εκφράσεων αυτού του τύπου συχνά περιλαμβάνει την εκτέλεση αντίστοιχων πράξεων με κλάσματα. Στη συνέχεια θα δούμε τους κανόνες με τους οποίους πραγματοποιούνται αυτές οι ενέργειες.
Από την 5η-6η τάξη γνωρίζουμε τους κανόνες με τους οποίους διεξάγονται. Στο άρθρο μια γενική ματιά στις πράξεις με κλάσματαέχουμε επεκτείνει αυτούς τους κανόνες με συνηθισμένα κλάσματασε ένα γενικό κλάσμα Α/Β, όπου τα Α και Β είναι ορισμένες αριθμητικές, κυριολεκτικές εκφράσεις ή εκφράσεις με μεταβλητές και το Β δεν είναι ταυτόσημα ίσο με μηδέν. Είναι σαφές ότι τα κλάσματα με λογάριθμους είναι ειδικές περιπτώσεις γενικών κλασμάτων. Και από αυτή την άποψη, είναι σαφές ότι οι πράξεις με κλάσματα που περιέχουν λογάριθμους στις σημειώσεις τους εκτελούνται σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες. Και συγκεκριμένα:
- Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε δύο κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε τους αριθμητές ανάλογα, αλλά να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.
- Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε δύο κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να τα φέρετε σε έναν κοινό παρονομαστή και να εκτελέσετε τις κατάλληλες ενέργειες σύμφωνα με τον προηγούμενο κανόνα.
- Για να πολλαπλασιάσετε δύο κλάσματα, πρέπει να γράψετε ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι το γινόμενο των αριθμητών των αρχικών κλασμάτων και ο παρονομαστής είναι το γινόμενο των παρονομαστών.
- Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα σε ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το κλάσμα που διαιρείται με το κλάσμα που είναι το αντίστροφο του διαιρέτη, δηλαδή με ένα κλάσμα με τον αριθμητή και τον παρονομαστή να ανταλλάσσονται.
Ακολουθούν μερικά παραδείγματα για τον τρόπο εκτέλεσης πράξεων με κλάσματα που περιέχουν λογάριθμους.
Παράδειγμα.
Εκτελέστε πράξεις με κλάσματα που περιέχουν λογάριθμους: α) , β) 
, V) 
, Ζ) 
.
Λύση.
α) Οι παρονομαστές των κλασμάτων που προστίθενται είναι προφανώς ίδιοι. Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα για την πρόσθεση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, προσθέτουμε τους αριθμητές και αφήνουμε τον παρονομαστή ίδιο: 
.
β) Εδώ οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί. Επομένως, πρώτα χρειάζεστε μετατρέπουν τα κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή. Στην περίπτωσή μας, οι παρονομαστές παρουσιάζονται ήδη με τη μορφή προϊόντων και το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να πάρουμε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και να προσθέσουμε σε αυτό τους συντελεστές που λείπουν από τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Έτσι παίρνουμε έναν κοινό παρονομαστή της φόρμας 
. Στην περίπτωση αυτή, τα αφαιρούμενα κλάσματα φέρονται σε έναν κοινό παρονομαστή χρησιμοποιώντας πρόσθετους παράγοντες με τη μορφή λογαρίθμου και την έκφραση x 2 ·(x+1), αντίστοιχα. Μετά από αυτό, το μόνο που μένει είναι να αφαιρέσουμε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, κάτι που δεν είναι δύσκολο.
Η λύση λοιπόν είναι: 
γ) Είναι γνωστό ότι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων είναι ένα κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι το γινόμενο των αριθμητών και ο παρονομαστής είναι το γινόμενο των παρονομαστών, επομένως 
Είναι εύκολο να δεις ότι μπορείς μειώνοντας ένα κλάσμαγια δύο και για δεκαδικός λογάριθμος, ως αποτέλεσμα έχουμε 
.
δ) Περνάμε από τη διαίρεση των κλασμάτων στον πολλαπλασιασμό, αντικαθιστώντας το διαιρετικό κλάσμα με το αντίστροφο κλάσμα του. Έτσι 
Ο αριθμητής του κλάσματος που προκύπτει μπορεί να αναπαρασταθεί ως 
, από το οποίο είναι σαφώς ορατός ο κοινός παράγοντας του αριθμητή και του παρονομαστή - παράγοντας x, μπορείτε να μειώσετε το κλάσμα με αυτόν: 
Απάντηση:
α), β) 
, V) 
, Ζ) 
.
Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι οι πράξεις με κλάσματα εκτελούνται λαμβάνοντας υπόψη τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες: πρώτα, πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση, και εάν υπάρχουν παρενθέσεις, τότε εκτελούνται πρώτα οι ενέργειες σε παρενθέσεις.
Παράδειγμα.
Κάνε πράγματα με κλάσματα 
.
Λύση.
Αρχικά, προσθέτουμε τα κλάσματα σε αγκύλες και μετά θα πολλαπλασιάσουμε: 
Απάντηση:
Σε αυτό το σημείο, μένει να πούμε δυνατά τρία μάλλον προφανή, αλλά ταυτόχρονα σημαντικά σημεία:
Μετατροπή παραστάσεων με χρήση ιδιοτήτων λογαρίθμων
Τις περισσότερες φορές, ο μετασχηματισμός εκφράσεων με λογάριθμους περιλαμβάνει τη χρήση ταυτοτήτων που εκφράζουν τον ορισμό του λογαρίθμου και
ΑΝΟΙΧΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΣΤΗΝ 11η ΤΑΞΗ
ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ»
Στόχοι μαθήματος:
επαναλάβετε τον ορισμό του λογαρίθμου ενός αριθμού, τη βασική λογαριθμική ταυτότητα.
ενοποίηση των βασικών ιδιοτήτων των λογαρίθμων.
ενισχύω πρακτικός προσανατολισμόςαυτό το θέμα για ποιοτική προετοιμασία για το UNT.
προώθηση της στερεής αφομοίωσης του υλικού.
προωθεί την ανάπτυξη δεξιοτήτων αυτοελέγχου στους μαθητές.
Τύπος μαθήματος: συνδυασμός με διαδραστικό τεστ.
Εξοπλισμός: προβολέας, οθόνη, αφίσες με εργασίες, φύλλο απαντήσεων.
Πλάνο μαθήματος:
Οργάνωση χρόνου.
Ενημέρωση γνώσεων.
Διαδραστικό τεστ.
"Τουρνουά με λογάριθμους"
Επίλυση προβλημάτων σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο.
Συνοψίζοντας. Συμπλήρωση του φύλλου απαντήσεων.
Βαθμολόγηση.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
1. Οργανωτική στιγμή.
2. Καθορισμός των στόχων του μαθήματος.
Γεια σας παιδιά! Σήμερα έχουμε ένα ασυνήθιστο μάθημα, ένα μάθημα - ένα παιχνίδι, το οποίο θα διεξάγουμε με τη μορφή τουρνουά με λογάριθμους.
Ας ξεκινήσουμε το μάθημα με ένα διαδραστικό τεστ.
3. Διαδραστική δοκιμή:
4. Τουρνουά με λογάριθμους:
Ορισμός λογάριθμου.
Λογαριθμικές ταυτότητες:
Απλοποιώ:
Βρείτε το νόημα της έκφρασης:
Ιδιότητες λογαρίθμων .
Μετατροπή:
Εργασία με το σχολικό βιβλίο.
Συνοψίζοντας.
Οι μαθητές συμπληρώνουν το δικό τους φύλλο απαντήσεων.
Δώστε βαθμούς για κάθε απάντηση.
Βαθμολόγηση. Εργασία για το σπίτι. Παράρτημα 1.
Σήμερα βυθίζεσαι στους λογάριθμους,
Πρέπει να υπολογίζονται με ακρίβεια.
Φυσικά, θα τους συναντήσετε στις εξετάσεις,
Δεν έχουμε παρά να σας ευχηθούμε επιτυχία!
Εγώ επιλογή
α) 9 ½ =3; β) 7 0 =1.
ΕΝΑ)κούτσουρο8=6; σι)κούτσουρο9=-2.
α) 1.7 κούτσουρο 1,7 2 ; β) 2 κούτσουρο 2 5 .
4. Υπολογίστε:
ΕΝΑ) lg8+lg125;
σι)κούτσουρο 2 7-κούτσουρο 2 7/16
V)κούτσουρο 3 16/ημερολόγιο 3 4.
II επιλογή
1. Βρείτε τον λογάριθμο στη βάση του a ενός αριθμού που παριστάνεται ως δύναμη με βάση a:
α) 32 1/5 =2; β) 3 -1 =1/3.
2. Ελέγξτε την ισότητα:
ΕΝΑ)κούτσουρο27=-6; σι)κούτσουρο 0,5 4=-2.
3. Απλοποιήστε την έκφραση χρησιμοποιώντας τις βασικές λογαριθμικές ταυτότητες:
α) 5 1+ κούτσουρο 5 3 ; β) 10 1- lg 2
4. Υπολογίστε:
ΕΝΑ)κούτσουρο 12 4 + ημερολόγιο 12 36;
σι) lg13-lg130;
V) (lg8+lg18)/(2lg2+lg3).
III επιλογή
1. Βρείτε τον λογάριθμο στη βάση του a ενός αριθμού που παριστάνεται ως δύναμη με βάση a:
α) 27 2/3 =9; β) 32 3/5 =8.
2. Ελέγξτε την ισότητα:
ΕΝΑ)κούτσουρο 2 128=;
σι)κούτσουρο 0,2 0,008=3.
3. Απλοποιήστε την έκφραση χρησιμοποιώντας τις βασικές λογαριθμικές ταυτότητες:
α) 4 2 κούτσουρο 4 3 ;
β) 5 -3 κούτσουρο 5 1/2 .
4. Υπολογίστε:
ΕΝΑ)κούτσουρο 6 12 + ημερολόγιο 6 18;
σι)κούτσουρο 7 14-κούτσουρο 7 6 + ημερολόγιο 7 21;
V) (κούτσουρο 7 3/ κούτσουρο 7 13)∙ κούτσουρο 3 169.
IV επιλογή
1. Βρείτε τον λογάριθμο στη βάση του a ενός αριθμού που παριστάνεται ως δύναμη με βάση a:
α) 81 3/4 =27; β) 125 2/3 =25.
2. Ελέγξτε την ισότητα:
ΕΝΑ)κούτσουρο √5 0,2=-2;
σι)κούτσουρο 0,2 125=-3.
3. Απλοποιήστε την έκφραση χρησιμοποιώντας τις βασικές λογαριθμικές ταυτότητες:
α) (1/2) 4 κούτσουρο 1/2 3 ;
β) 6 -2 κούτσουρο 6 5 .
4. Υπολογίστε:
ΕΝΑ)κούτσουρο 14 42-log 14 3;
σι)κούτσουρο 2 20-κούτσουρο 2 25+ ημερολόγιο 2 80;
V)κούτσουρο 7 48/ κούτσουρο 7 4- 0,5 κούτσουρο 2 3.
