Урок из серии «Геометрические алгоритмы »

Здравствуйте, дорогой читатель.

Решения многих задач вычислительной геометрии основывается на нахождении площади многоугольника . На этом уроке мы выведем формулу для вычисления площади многоугольника через координаты его вершин, напишем функцию для вычисления этой площади.

Задача. Вычислить площадь многоугольника , заданного координатами своих вершин, в порядке их обхода по часовой стрелке.

Сведения из вычислительной геометрии

Для вывода формулы площади многоугольника нам понадобятся сведения из вычислительной геометрии, а именно, понятие ориентированной площади треугольника.

Ориентированная площадь треугольника – это обычная площадь, снабженная знаком. Знак ориентированной площади треугольника АВС такой же, как у ориентированного угла между векторами и . То есть ее знак зависит от порядка перечисления вершин.

На рис. 1 треугольник АВС – прямоугольный. Его ориентированная площадь равна (она больше нуля, так как пара , ориентирована положительно). Эту же величину можно вычислить другим способом.

Пусть О – произвольная точка плоскости. На нашем рисунке площадь треугольника ABC получится, если из площади треугольника OBC вычесть площади OAB и OCA. Таким образом, нужно просто сложить ориентированные площади треугольников OAB, OBC и OCA. Это правило работает при любом выборе точки О .

Точно так же для вычисления площади любого многоугольника нужно сложить ориентированные площади треугольников

В сумме получится площадь многоугольника, взятая со знаком плюс, если при обходе ломаной многоугольника находится слева (обход границы против часовой стрелки), и со знаком минус, если он находится справа (обход по часовой стрелке).

Итак, вычисление площади многоугольника свелось к нахождению площади треугольника. Посмотрим, как выразить ее в координатах.

Векторное произведение двух векторов на плоскости есть площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Векторное произведение, выраженное через координаты векторов:

Площадь треугольника будет равна половине этой площади:

В качестве точки О удобно взять начало координат, тогда координаты векторов, на основании которых вычисляются ориентированные площади, совпадут с координатами точек.

Пусть (х 1 , y 1), (x 2 , у 2), …, (х N ,у N) - координаты вершин заданного многоугольника в порядке обхода по или против часовой стрелки. Тогда его ориентированная площадь S будет равна:

Это и есть наша рабочая формула, она используется в нашей программе.

Если координаты вершин были заданы в порядке обхода против часовой стрелки, то число S, вычисленное по этой формуле, получится положительным. В противном случае оно будет отрицательным, и для получения обычной геометрической площади нам необходимо взять его абсолютное значение.

Итак, рассмотрим программу для нахождения площади многоугольника, заданного координатами вершин.

Program geom6; Const n_max=200; {максимальное количество точек+1} type b=record x,y:real; end; myArray= array of b; var input:text; A:myArray; s:real; i,n:integer; procedure ZapMas(var n:integer; var A:myArray); {Заполнение массива } begin assign(input,"input.pas"); reset(input); readln(input, n); for i:=1 to n do read(input, a[i].x,a[i].y); close(input); end; function Square (A:myarray): real; {Вычисление площади многоугольника} var i:integer; S: real; begin a.x:=a.x; a.y:=a.y; s:=0; for i:=1 to n do s:= s + (a[i].x*a.y - a[i].y*a.x); s:=abs(s/2); Square:= S end; {Square} begin {main} Zapmas(n, a); PrintMas(a); S:= Square(a); writeln("S= ",s:6:2); end.

Координаты вершин считывается из файла input.pas., хранятся в массиве А в виде записей с двумя полями. Для удобства обхода многоугольника в массиве вводится n+1 элемент, значение которого равно значению первого элемента массива.

Входные данные:
5
0.6 2.1 1.8 3.6 2.2 2.3 3.6 2.4 3.1 0.5

Выходные данные:
S= 3.91

Мы решили задачу о нахождении площади многоугольника по координатам его вершин. Задачи усложняются. Если у вас есть замечания к этой статье, или пожелания, напишите в комментарии. Буду Вам очень признательна за сотрудничество.

До встречи на следующем уроке.

В данной статье речь пойдёт о том, как выразить площадь многоугольника, в который можно вписать окружность, через радиус этой окружности. Сразу стоит отметить, что не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Однако, если это возможно, то формула, по которой вычисляется площадь такого многоугольника, становится очень простой. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите прилагающийся видеоурок, и вы узнаете, как же выразить площадь многоугольника через радиус вписанной в него окружности.

Формула площади многоугольника через радиус вписанной окружности

Нарисуем многоугольник A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 , не обязательно правильный, но такой, в который можно вписать окружность. Напомню, что вписанной называется окружность, которая касается всех сторон многоугольника. На рисунке это зелёная окружность с центром в точке O :

Мы взяли здесь для примера 5-угольник. Но на самом деле это не имеет существенного значения, поскольку дальнейшее доказательство справедливо и для 6-угольника и для 8-угольника и вообще для любого сколь угодно «угольника».

Если соединить центр вписанной окружности со всеми вершинами многоугольника, то он разобьётся на столько треугольников, сколько вершин в данном многоугольнике. В нашем случае: на 5 треугольников. Если же соединить точку O со всеми точками касания вписанной окружности со сторонами многоугольника, то получится 5 отрезков (на рисунке снизу это отрезки OH 1 , OH 2 , OH 3 , OH 4 и OH 5), которые равны радиусу окружности и перпендикулярны сторонам многоугольника, к которым они проведены. Последнее справедливо, поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной:

Как же найти площадь нашего описанного многоугольника? Ответ прост. Нужно сложить площади всех полученных в результате разбиения треугольников:

Рассмотрим, чему равна площадь треугольника . На рисунке снизу он выделен жёлтым цветом:

Она равна половине произведения основания A 1 A 2 на высоту OH 1 , проведённую к этому основанию. Но, как мы уже выяснили, эта высота равна радиусу вписанной окружности. То есть формула площади треугольника принимает вид: , где r — радиус вписанной окружности. Аналогично находятся площади всех оставшихся треугольников. В результате искомая площадь многоугольника оказывается равна:

Видно, что во всех слагаемых этой суммы ест общий множитель , который можно вынести за скобки. В результате получится вот такое выражение:

То есть в скобках осталась просто сумма всех сторон многоугольника, то есть его периметр P . Чаще всего в этой формуле выражение заменяют просто на p и называют эту букву «полупериметром». В результате, окончательная формула принимает вид:

То есть площадь многоугольника, в который вписана окружность известного радиуса, равна произведению этого радиуса на полупериметр многоугольника. Это и есть тот результат, в которому мы стремились.

Отметит напоследок, что в треугольник, который является частным случаем многоугольника, всегда можно вписать окружность. Поэтому для треугольника эту формулу можно применять всегда. Для остальных многоугольников, с количеством сторон большим 3, сперва нужно убедиться, что в них можно вписать окружность. Если это так, можно смело использовать эту простую формулу и находить по ней площадь этого многоугольника.

Материал подготовил , Сергей Валерьевич

1.1 Вычисление площадей в древности

1.2 Различные подходы к изучению понятий «площадь», «многоугольник», «площадь многоугольника»

1.2.1 Понятие о площади. Свойства площади

1.2.2 Понятие о многоугольнике

1.2.3 Понятие о площади многоугольника. Дескриптивное определение

1.3 Различные формулы площадей многоугольников

1.4 Вывод формул площадей многоугольников

1.4.1 Площадь треугольника. Формула Герона

1.4.2 Площадь прямоугольника

1.4.3 Площадь трапеции

1.4.4 Площадь четырёхугольника

1.4.5 Универсальная формула

1.4.6 Площадь n-угольника

1.4.7 Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин

1.4.8 Формула Пика

1.5 Теорема Пифагора о сумме площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника

1.6 Равносоставленность треугольников. Теорема Больяя-Гервина

1.7 Отношение площадей подобных треугольников

1.8 Фигуры с наибольшей площадью

1.8.1 Трапеция или прямоугольник

1.8.2 Замечательное свойство квадрата

1.8.3 Участки другой формы

1.8.4 Треугольник с наибольшей площадью

Глава 2. Методические особенности изучения площадей многоугольников в математических классах

2.1 Тематическое планирование и особенности преподавания в классах с углубленным изучением математики

2.2 Методика проведения уроков

2.3 Результаты опытно-экспериментальной работы

Заключение

Литература

Введение

Тема «Площади многоугольников» является неотъемлемой частью школьного курса математики, что вполне естественно. Ведь исторически само возникновение геометрии связано с потребностью сравнения земельных участков той или иной формы. Вместе с тем следует отметить, что образовательные возможности раскрытия этой темы в средней школе используются далеко не полностью.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Наряду с решением основной задачи углубленное изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе.

Квалификационная работа включает содержание курса математики общеобразовательной школы и ряд дополнительных вопросов, непосредственно примыкающих к этому курсу и углубляющих его по основным идейным линиям.

Включение дополнительных вопросов преследует две взаимосвязанные цели. С одной стороны, это создание в совокупности с основными разделами курса базы для удовлетворения интересов и развития способностей учащихся, имеющих склонность к математике, с другой – выполнение содержательных пробелов основного курса, придающее содержанию углубленного изучения необходимую целостность.

Квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и цитируемой литературы. В первой главе рассматриваются теоретические основы изучения площадей многоугольников, а во второй главе – непосредственно уже методические особенности изучения площадей.

Глава 1. Теоретические основы изучения площадей многоугольников

1.1Вычисление площадей в древности

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.

Еще в 4 – 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, или можно заполнить плоскость без пробелов.

В древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Когда каменщики определяли площадь прямоугольной стены дома, они перемножали высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определение: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Обе эти стороны должны быть выражены в одних и тех же линейных единицах. Их произведение и составит площадь прямоугольника, выраженную в соответствующих квадратных единицах. Скажем, если высота и ширина стены измерены в дециметрах, то произведение обоих измерений будет выражено в квадратных дециметрах. И если площадь каждой облицовочной Плотки составляет квадратный дециметр, то полученное произведение укажет число плиток, нужное для облицовки. Это вытекает из утверждения, положенного в основу измерения площадей: площадь фигуры, составленной из непересекающихся фигур, равна сумме их площадей.

Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам, и умножалась на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту и т.п. Для вычисления площади

четырехугольника со сторонами (рис. 1.1) применялась формула (1.1)

т.е. умножались полусуммы противоположных сторон.

Эта формула явно неверна для любого четырехугольника, из нее вытекает, в частности, что площади всех ромбов одинаковы. Между тем, очевидно, что у таких ромбов площади зависят от величины углов при вершинах. Данная формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь четырехугольников, у которых углы близки к прямым.

Для определения площади

равнобедренного треугольника (рис. 1.2), в котором , египтяне пользовались приближенной формулой:

(1.2) Рис. 1.2Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между стороной и высотой треугольника, иными словами, чем ближе вершина (и ) к основанию высоты из . Вот почему приближенная формула (1.2) применима лишь для треугольников с сравнительно малым углом при вершине.

Но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников. В своих «Началах» Евклид не употребляет слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражает результат измерения площади числом, а сравнивает площади разных фигур между собой.

Как и другие ученые древности, Евклид занимается вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому, например, можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур. Так, треугольник разбивается на такие части, из которых затем можно составить равновеликий ему прямоугольник. Из этого построения следует, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Прибегая к подобной перекройке, находят, что площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, площадь трапеции – произведению полусуммы оснований на высоту.

Когда каменщикам приходится облицовывать стену сложной конфигурации, они могут определить площадь стены, подсчитав число пошедших на облицовку плиток. Некоторые плитки, естественно, придется обкалывать, чтобы края облицовки совпали с кромкой стены. Число всех пошедших в работу плиток оценивает площадь стены с избытком, число необломанных плиток – с недостатком. С уменьшением размеров клеток количество отходов уменьшается, и площадь стены, определяемая через число плиток, вычисляется все точнее.

Одним из поздних греческих математиков – энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э. Будучи выдающимся инженером, он был назван также «Герон Механик». В своем произведении «Диоптрика» Герон описывает разные машины и практические измерительные инструменты.

Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников и треугольников. О нахождении площади треугольника по его сторонам Герон пишет: « Пусть, например, одна сторона треугольника имеет в длину 13 мерных шнуров, вторая 14 и третья 15. Чтобы найти площадь, поступают вот как. Сложи 13, 14 и 15; получится 42. Половина этого будет 21. Вычти из этого три стороны одну за другой; сперва вычти 13 – останется 8, затем 14 – останется 7 и, наконец, 15 – останется 6. А теперь перемножь их: 21раз по 8 даст 168, возьми это 7 раз – получится 1176, а это еще 6 раз – получится 7056. Отсюда квадратный корень будет 84. Вот сколько мерных шнуров будет в площади треугольника».

Конвертер единиц расстояния и длины Конвертер единиц площади Присоединяйтесь © 2011-2017 Довжик Михаил Копирование материалов запрещено. В онлайн калькуляте можно использовать величины в одинаквых единицах измерения! Если у вас возниели трудности с преобразованием едениц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины и конвертером единиц площади. Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади четырехугольника

Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «вправо» и «влево» на клавиатуре.

Теория. Площадь четырехугольника Четырёхугольник - геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Четырёхугольник называется выпуклым, если отрезок соединяющий любые две точки этого четырехугольника, будет находиться внутри него.

Как узнать площадь многоугольника?

Формула определения площади определяется путем взятия каждого ребра многоугольника АВ, и вычисления площади треугольника АВО с вершиной в начале координат О, через координаты вершин. При обходе вокруг многоугольника, образуются треугольники, включающие внутреннюю часть многоугольника и расположенные снаружи его. Разница между суммой этих площадей и есть площадь самого многоугольника.

Поэтому формула называется формулой геодезиста, так как «картограф» находится в начале координат; если он обходит участок против часовой стрелки, площадь добавляется если она слева и вычитается если она справа с точки зрения из начала координат. Формула площади действительна для любого самонепересекающегося (простого) многоугольника, который может быть выпуклым или вогнутым. Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 Более сложный пример
4 Объяснение названия
5 См.

Площадь многоугольника

Внимание

Это может быть:

треугольник;
четырехугольник;
пяти- или шестиугольник и так далее.

Такая фигура непременно будет характеризоваться двумя положениями:

Смежные стороны не принадлежат одной прямой.
У несмежных отсутствуют общие точки, то есть они не пересекаются.

Чтобы понять, какие вершины являются соседними, потребуется посмотреть, принадлежат ли они одной стороне. Если да, то соседние. В противном случае их можно будет соединить отрезком, который необходимо назвать диагональю. Их можно провести только в многоугольниках, у которых больше трех вершин.

Какие их виды существуют? Многоугольник, у которого больше четырех углов, может быть выпуклым или вогнутым. Отличие последнего в том, что некоторые его вершины могут лежать по разные стороны от прямой, проведенной через произвольную сторону многоугольника.

Как найти площадь правильного и неправильного шестиугольника?

Зная длину стороны, умножим её на 6 и получим периметр шестиугольника:10 см х 6 = 60 см
Подставим полученные результаты в нашу формулу:

квадратных корней

Метод трапеции.
Метод расчета площади неправильных многоугольников при помощи оси координат.
Метод разбивания шестиугольника на другие фигуры.

В зависимости от исходных данных, которые вам будут известны, подбирается подходящий метод.

Важно

Некоторые неправильные шестиугольники состоят из двух параллелограммов. Для определения площади параллелограмма следует умножить его длину на ширину и затем сложить две уже известные площади. Видео о том, как найти площадь многоугольника Равносторонний шестиугольник имеет шесть равных сторон и является правильным шестиугольником.

Площадь равностороннего шестиугольника равняется 6 площадям треугольников, на которые разбита правильная шестиугольная фигура. Все треугольники в шестиугольнике правильной формы равны, поэтому для нахождения площади такого шестиугольника достаточно будет знать площадь хотя бы одного треугольника. Для нахождения площади равностороннего шестиугольника используется, конечно же, формула площади правильного шестиугольника, описанная выше.

404 not found

Украшение жилища, одежды, рисование картин способствовало процессу формирования и накопления сведений в области геометрии, которые люди тех времён добывали опытным путем, по крупицам и передавали из поколения в поколение. Сегодня знания геометрии необходимы и закройщику, и строителю, и архитектору и каждому простому человеку в быту. Поэтому нужно учиться рассчитывать площадь различных фигур, и помнить, что каждая из формул может пригодиться впоследствии на практике, в том числе, и формула правильного шестиугольника.
Шестиугольником называется такая многоугольная фигура, общее количество углов которой равно шести. Правильным шестиугольником называют шестиугольную фигуру, которая имеет равные стороны. Углы у правильного шестиугольника также между собой равны.
В повседневной жизни мы часто можем встретить предметы, имеющие форму правильного шестиугольника.

Калькулятор площади неправильного многоугольника по сторонам

Вам понадобится

— рулетка;
— электронный дальномер;
— лист бумаги и карандаш;
— калькулятор.

Инструкция 1 Если вам нужна общая площадь квартиры или отдельной комнаты, просто прочтите технический паспорт на квартиру или дом, там указан метраж каждого помещения и общий метраж квартиры. 2 Для измерения площади прямоугольной или квадратной комнаты возьмите рулетку или электронный дальномер и измерьте длину стен. При измерении расстояний дальномером обязательно следите за перпендикулярностью направления луча, иначе результаты замеров могут быть искажены. 3 Затем полученную длину (в метрах) комнаты умножьте на ширину (в метрах). Полученное значение и будет площадью пола, она измеряется в квадратных метрах.

Формула площади гаусса

Если требуется посчитать площадь пола более сложной конструкции, например, пятиугольной комнаты или комнаты с круглой аркой, схематично начертите эскиз на листе бумаги. Затем разделите сложную форму на несколько простых, например, на квадрат и треугольник или прямоугольник и полукруг. Измерьте при помощи рулетки или дальномера величину всех сторон получившихся фигур (для круга необходимо узнать диаметр) и занесите результаты на ваш чертеж.

5 Теперь посчитайте площадь каждой фигуры по отдельности. Площадь прямоугольников и квадратов высчитывайте перемножением сторон. Для расчета площади круга диаметр разделите пополам и возведите в квадрат (умножьте его на самого себя), затем умножьте полученное значение на 3,14.
Если вам нужна только половина круга, разделите полученную площадь пополам. Чтобы рассчитать площадь треугольника, найдите Р, для этого сумму всех сторон поделите на 2.

Формула расчета площади неправильного многоугольника

Если точки пронумерованы последовательно в направлении против часовой стрелки, то детерминанты в формуле выше положительны и модуль в ней может быть опущен; если они пронумерованы в направлении по часовой стрелке, детерминанты будут отрицательными. Это происходит потому, что формула может рассматриваться как частный случай теоремы Грина. Для применения формулы необходимо знать координаты вершин многоугольника в декартовой плоскости.

Для примера возьмём треугольник с координатами {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Возьмём первую х -координату первой вершины и умножим её на y -координату второй вершины, а затем умножим х второй вершины на y третьей. Повторим эту процедуру для всех вершин. Результат может быть определен по следующей формуле: A tri.

Формула расчета площади неправильного четырехугольника

A} _{\text{tri.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|} где xi и yi обозначают соответствующую координату. Эту формулу можно получить, раскрыв скобки в общей формуле для случая n = 3. По этой формуле можно обнаружить, что площадь треугольника равна половине суммы 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, что даёт 3. Число переменных в формуле зависит от числа сторон многоугольника. Например, в формуле для площади пятиугольника будут использоваться переменные до x5 и y5: A pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | {\displaystyle \mathbf {A} _{\text{pent.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{5}y_{4}-x_{1}y_{5}|} A для четырехугольника - переменные до x4 и y4: A quad.

Многоугольник – это плоская или выпуклая фигура, которая состоит из пересеченных прямых (больше 3-х) и образует большое количество точек пересечения линий. Еще многоугольник можно определить как ломаную линию, которая замыкается. По-другому точки пересечения можно назвать вершинами фигуры. В зависимости от количества вершин фигура может называться пятиугольником, шестиугольником и так далее. Угол многоугольника – это угол, который образовывается сторонами, сходящимися в одной вершине. Угол находится внутри многоугольника. Причем углы могут быть разными, вплоть до 180 градусов. Есть также и внешние углы, которые обычно являются смежными внутренним.

Прямые линии, которые впоследствии пересекаются, называются сторонами многоугольника. Они могут быть соседними, смежными и не смежными. Очень важной характеристикой представленной геометрической фигуры является то, что несмежные ее стороны не пересекаются, а значит, не имеют общих точек. Смежные стороны фигуры не могут находиться на одной прямой.

Те вершины фигуры, которые принадлежат одной и той же прямой, можно назвать соседними. Если провести линию между двумя вершинами, не являющимися соседними, то получится диагональ многоугольника. Что касается площади фигуры, — это внутренняя часть плоскости геометрической фигуры с большим количеством вершин, которая создается разделяющими ее отрезками многоугольника.

Какого-либо одного решения для определения площади представленной геометрической фигуры нет, так как вариантов фигуры может быть бесконечное множество и для каждого варианта существует свое решение. Однако некоторые самые частые варианты нахождения площади фигуры все же нужно рассмотреть (они чаще всего используются на практике и включены даже в школьную программу).

Прежде всего, рассмотрим правильный многоугольник, то есть такую фигуру, в которой все углы, образованные равными сторонами, являются также равными. Итак, как найти площадь многоугольника в конкретном примере? Для этого случая нахождение площади многоугольной фигуры возможно, если дан радиус окружности, вписанной в фигуру или описанной вокруг нее. Для этого можно воспользоваться следующей формулой:

S = ½∙P∙r, где r – радиус окружности (вписанной или описанной), а P – является периметром геометрической многоугольной фигуры, которую можно узнать, умножив количество сторон фигуры на их длину.

Как находить площадь многоугольника

Чтобы ответить на вопрос, как находить площадь многоугольника, достаточно следовать следующему интересному свойству многоугольной фигуры, в свое время нашел известный австрийский математик – Георг Пик. Например, по формуле S = N + M/2 -1 можно найти площадь такого многоугольника, вершины которого размещены в узлах квадратной сетки. При этом S – это, соответственно, площадь; N – количество узлов квадратной сетки, которые разместились внутри фигуры с множеством углов; M – количество тех узлов квадратной сетки, которые разместились на вершинах и сторонах многоугольника. Однако, несмотря на свою красоту, формула Пика практически не применяется в практической геометрии.

Самым простым и известным методом определения площади, который изучают в школе, является разделение многоугольной геометрической фигуры на более простые части (трапеции, прямоугольники, треугольники). Найти площадь этих фигур не трудно. В этом случае площадь многоугольника определяется просто: нужно найти площади всех тех фигур, на которые разделен многоугольник.

В основном определение площади многоугольника определяется в механике (размеры деталей).

Площадь многоугольника через радиус вписанной окружности. Как найти площадь многоугольника? Равна площадь многоугольника