Ναι, ναι: η αριθμητική πρόοδος δεν είναι παιχνίδι για εσάς :) Λοιπόν, φίλοι, αν διαβάζετε αυτό το κείμενο, τότε το εσωτερικό καπάκι-απόδειξη μου λέει ότι δεν ξέρετε ακόμα τι είναι η αριθμητική πρόοδος, αλλά πραγματικά (όχι, έτσι: SOOOOO!) θέλετε να μάθετε. Επομένως, δεν θα σας βασανίσω με μεγάλες εισαγωγές και θα μπω κατευθείαν στο θέμα.
Πρώτον, μερικά παραδείγματα. Ας δούμε διάφορα σύνολα αριθμών:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Τι κοινό έχουν όλα αυτά τα σύνολα; Με την πρώτη ματιά, τίποτα. Αλλά στην πραγματικότητα υπάρχει κάτι. Και συγκεκριμένα: κάθε επόμενο στοιχείο διαφέρει από το προηγούμενο κατά τον ίδιο αριθμό.
Κρίνετε μόνοι σας. Το πρώτο σετ είναι απλώς διαδοχικοί αριθμοί, ο κάθε επόμενος είναι ένας περισσότερος από τον προηγούμενο. Στη δεύτερη περίπτωση, η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ήδη πέντε, αλλά αυτή η διαφορά παραμένει σταθερή. Στην τρίτη περίπτωση, υπάρχουν ρίζες συνολικά. Ωστόσο, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, και $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, π.χ. και σε αυτήν την περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο απλώς αυξάνεται κατά $\sqrt(2)$ (και μην φοβάστε ότι αυτός ο αριθμός είναι παράλογος).
Άρα: όλες αυτές οι ακολουθίες ονομάζονται αριθμητικές προόδους. Ας δώσουμε έναν αυστηρό ορισμό:
Ορισμός. Μια ακολουθία αριθμών στην οποία κάθε επόμενος διαφέρει από τον προηγούμενο κατά το ίδιο ακριβώς ποσό ονομάζεται αριθμητική πρόοδος. Το ίδιο το ποσό κατά το οποίο διαφέρουν οι αριθμοί ονομάζεται διαφορά προόδου και τις περισσότερες φορές συμβολίζεται με το γράμμα $d$.
Σημείωση: $\left(((a)_(n)) \right)$ είναι η ίδια η πρόοδος, η $d$ είναι η διαφορά της.
Και μόνο μερικές σημαντικές σημειώσεις. Πρώτον, εξετάζεται μόνο η εξέλιξη διέταξεακολουθία αριθμών: επιτρέπεται να διαβαστούν αυστηρά με τη σειρά που είναι γραμμένα - και τίποτα άλλο. Δεν είναι δυνατή η αναδιάταξη ή η εναλλαγή των αριθμών.
Δεύτερον, η ίδια η ακολουθία μπορεί να είναι είτε πεπερασμένη είτε άπειρη. Για παράδειγμα, το σύνολο (1; 2; 3) είναι προφανώς μια πεπερασμένη αριθμητική πρόοδος. Αλλά αν γράψετε κάτι στο πνεύμα (1; 2; 3; 4; ...) - αυτό είναι ήδη μια άπειρη εξέλιξη. Η έλλειψη μετά τα τέσσερα φαίνεται να αφήνει να εννοηθεί ότι θα ακολουθήσουν αρκετοί ακόμη αριθμοί. Άπειρα πολλά, για παράδειγμα. :)
Θα ήθελα επίσης να σημειώσω ότι οι προόδους μπορεί να αυξάνονται ή να μειώνονται. Έχουμε ήδη δει αυξανόμενα - το ίδιο σετ (1; 2; 3; 4; ...). Ακολουθούν παραδείγματα φθίνουσας προόδου:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
ΕΝΤΑΞΕΙ ΕΝΤΑΞΕΙ: τελευταίο παράδειγμαμπορεί να φαίνεται υπερβολικά περίπλοκο. Αλλά τα υπόλοιπα, νομίζω, τα καταλαβαίνεις. Επομένως, εισάγουμε νέους ορισμούς:
Ορισμός. Αριθμητική πρόοδοςπου ονομάζεται:
- αυξάνεται εάν κάθε επόμενο στοιχείο είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο.
- μειώνεται εάν, αντίθετα, κάθε επόμενο στοιχείο είναι μικρότερο από το προηγούμενο.
Επιπλέον, υπάρχουν οι λεγόμενες «στάσιμες» ακολουθίες - αποτελούνται από τον ίδιο επαναλαμβανόμενο αριθμό. Για παράδειγμα, (3; 3; 3; ...).
Μόνο ένα ερώτημα παραμένει: πώς να διακρίνουμε μια αυξανόμενη εξέλιξη από μια φθίνουσα; Ευτυχώς, όλα εδώ εξαρτώνται μόνο από το πρόσημο του αριθμού $d$, δηλ. διαφορές εξέλιξης:
- Εάν $d \gt 0$, τότε η εξέλιξη αυξάνεται.
- Εάν $d \lt 0$, τότε η πρόοδος είναι προφανώς φθίνουσα.
- Τέλος, υπάρχει η περίπτωση $d=0$ - σε αυτήν την περίπτωση ολόκληρη η εξέλιξη μειώνεται σε μια ακίνητη ακολουθία πανομοιότυπων αριθμών: (1; 1; 1; 1; ...), κ.λπ.
Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε τη διαφορά $d$ για τις τρεις φθίνουσες προόδους που δίνονται παραπάνω. Για να γίνει αυτό, αρκεί να πάρουμε οποιαδήποτε δύο γειτονικά στοιχεία (για παράδειγμα, το πρώτο και το δεύτερο) και να αφαιρέσουμε τον αριθμό στα αριστερά από τον αριθμό στα δεξιά. Θα μοιάζει με αυτό:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Όπως μπορούμε να δούμε, και στις τρεις περιπτώσεις η διαφορά στην πραγματικότητα αποδείχθηκε αρνητική. Και τώρα που λίγο-πολύ καταλάβαμε τους ορισμούς, ήρθε η ώρα να καταλάβουμε πώς περιγράφονται οι προόδους και ποιες ιδιότητες έχουν.
Όροι προόδου και τύπος επανάληψης
Δεδομένου ότι τα στοιχεία των ακολουθιών μας δεν μπορούν να αντικατασταθούν, μπορούν να αριθμηθούν:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \σωστά\)\]
Τα επιμέρους στοιχεία αυτού του συνόλου ονομάζονται μέλη μιας προόδου. Υποδεικνύονται με έναν αριθμό: πρώτο μέλος, δεύτερο μέλος κ.λπ.
Επιπλέον, όπως ήδη γνωρίζουμε, οι γειτονικοί όροι της προόδου σχετίζονται με τον τύπο:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Δεξί βέλος ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Εν ολίγοις, για να βρείτε τον όρο $n$th μιας προόδου, πρέπει να γνωρίζετε τον όρο $n-1$th και τη διαφορά $d$. Αυτός ο τύπος ονομάζεται επαναλαμβανόμενος, επειδή με τη βοήθειά του μπορείτε να βρείτε οποιονδήποτε αριθμό μόνο γνωρίζοντας τον προηγούμενο (και μάλιστα όλους τους προηγούμενους). Αυτό είναι πολύ άβολο, επομένως υπάρχει ένας πιο πονηρός τύπος που μειώνει τυχόν υπολογισμούς στον πρώτο όρο και τη διαφορά:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\αριστερά(n-1 \δεξιά)d\]
Πιθανότατα έχετε ήδη συναντήσει αυτόν τον τύπο. Τους αρέσει να το δίνουν σε κάθε είδους βιβλία αναφοράς και βιβλία λύσεων. Και σε κάθε λογικό εγχειρίδιο μαθηματικών είναι από τα πρώτα.
Ωστόσο, σας προτείνω να εξασκηθείτε λίγο.
Εργασία Νο. 1. Γράψτε τους τρεις πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου $\left(((a)_(n)) \right)$ αν $((a)_(1))=8,d=-5$.
Λύση. Έτσι, γνωρίζουμε τον πρώτο όρο $((a)_(1))=8$ και τη διαφορά της προόδου $d=-5$. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο που μόλις δόθηκε και ας αντικαταστήσουμε τα $n=1$, $n=2$ και $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\αριστερά(2-1 \δεξιά)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\αριστερά(3-1 \δεξιά)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(στοίχιση)\]
Απάντηση: (8; 3; −2)
Αυτό είναι όλο! Παρακαλώ σημειώστε: η πρόοδός μας μειώνεται.
Φυσικά, το $n=1$ δεν μπορούσε να αντικατασταθεί - ο πρώτος όρος είναι ήδη γνωστός σε εμάς. Ωστόσο, αντικαθιστώντας την ενότητα, πειστήκαμε ότι ακόμη και για τον πρώτο όρο η φόρμουλα μας λειτουργεί. Σε άλλες περιπτώσεις, όλα κατέληγαν σε μπανάλ αριθμητική.
Εργασία Νο. 2. Γράψτε τους τρεις πρώτους όρους μιας αριθμητικής προόδου αν ο έβδομος όρος της είναι ίσος με −40 και ο δέκατος έβδομος όρος ίσος με −50.
Λύση. Ας γράψουμε την κατάσταση του προβλήματος με γνωστούς όρους:
\[((a)_(7))=-40;\τετράγωνο ((a)_(17))=-50.\]
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(στοίχιση) \σωστά.\]
Έβαλα το σύμβολο συστήματος γιατί αυτές οι απαιτήσεις πρέπει να πληρούνται ταυτόχρονα. Τώρα ας σημειώσουμε ότι αν αφαιρέσουμε την πρώτη από τη δεύτερη εξίσωση (έχουμε το δικαίωμα να το κάνουμε αυτό, αφού έχουμε σύστημα), παίρνουμε αυτό:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(στοίχιση)\]
Έτσι είναι εύκολο να βρεις τη διαφορά εξέλιξης! Το μόνο που μένει είναι να αντικαταστήσουμε τον αριθμό που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του συστήματος. Για παράδειγμα, στο πρώτο:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((α)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(μήτρα)\]
Τώρα, γνωρίζοντας τον πρώτο όρο και τη διαφορά, μένει να βρούμε τον δεύτερο και τον τρίτο όρο:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(στοίχιση)\]
Ετοιμος! Το πρόβλημα λύθηκε.
Απάντηση: (−34; −35; −36)
Παρατηρήστε την ενδιαφέρουσα ιδιότητα της προόδου που ανακαλύψαμε: αν πάρουμε τους όρους $n$th και $m$th και τους αφαιρέσουμε ο ένας από τον άλλο, θα έχουμε τη διαφορά της προόδου πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \αριστερά(n-m \δεξιά)\]
Απλό αλλά πολύ χρήσιμη ιδιότητα, που σίγουρα πρέπει να γνωρίζετε - με τη βοήθειά του μπορείτε να επιταχύνετε σημαντικά την επίλυση πολλών προβλημάτων εξέλιξης. Εδώ είναι ένα σαφές παράδειγμα αυτού:
Εργασία Νο. 3. Ο πέμπτος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι 8,4 και ο δέκατος όρος είναι 14,4. Βρείτε τον δέκατο πέμπτο όρο αυτής της προόδου.
Λύση. Επειδή $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ και πρέπει να βρούμε $((a)_(15))$, σημειώνουμε τα εξής:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5δ. \\ \end(στοίχιση)\]
Αλλά από συνθήκη $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, άρα $5d=6$, από την οποία έχουμε:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((α)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(στοίχιση)\]
Απάντηση: 20.4
Αυτό είναι όλο! Δεν χρειάστηκε να δημιουργήσουμε κανένα σύστημα εξισώσεων και να υπολογίσουμε τον πρώτο όρο και τη διαφορά - όλα λύθηκαν σε μερικές μόνο γραμμές.
Τώρα ας δούμε έναν άλλο τύπο προβλήματος - την αναζήτηση αρνητικών και θετικών όρων μιας εξέλιξης. Δεν είναι μυστικό ότι εάν μια εξέλιξη αυξάνεται και ο πρώτος όρος είναι αρνητικός, αργά ή γρήγορα θα εμφανιστούν θετικοί όροι σε αυτήν. Και το αντίστροφο: οι όροι μιας φθίνουσας εξέλιξης αργά ή γρήγορα θα γίνουν αρνητικοί.
Ταυτόχρονα, δεν είναι πάντα δυνατό να βρεθεί αυτή η στιγμή «κατά μέτωπο» περνώντας διαδοχικά τα στοιχεία. Συχνά, τα προβλήματα γράφονται με τέτοιο τρόπο που χωρίς να γνωρίζουμε τους τύπους, οι υπολογισμοί θα χρειάζονταν πολλά φύλλα χαρτιού - απλώς θα κοιμόμασταν ενώ βρίσκαμε την απάντηση. Επομένως, ας προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτά τα προβλήματα με πιο γρήγορο τρόπο.
Εργασία Νο. 4. Πόσοι αρνητικοί όροι υπάρχουν στην αριθμητική πρόοδο −38,5; −35,8; ...;
Λύση. Άρα, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, από όπου βρίσκουμε αμέσως τη διαφορά:
Σημειώστε ότι η διαφορά είναι θετική, άρα η εξέλιξη αυξάνεται. Ο πρώτος όρος είναι αρνητικός, οπότε όντως κάποια στιγμή θα πέσει πάνω σε θετικούς αριθμούς. Το μόνο ερώτημα είναι πότε θα συμβεί αυτό.
Ας προσπαθήσουμε να μάθουμε πόσο καιρό (δηλαδή μέχρι ποιος φυσικός αριθμός $n$) παραμένει η αρνητικότητα των όρων:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \δεξιά. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Δεξί βέλος ((n)_(\max ))=15. \\ \end(στοίχιση)\]
Η τελευταία γραμμή απαιτεί κάποια εξήγηση. Ξέρουμε λοιπόν ότι $n \lt 15\frac(7)(27)$. Από την άλλη πλευρά, ικανοποιούμαστε μόνο με ακέραιες τιμές του αριθμού (επιπλέον: $n\in \mathbb(N)$), επομένως ο μεγαλύτερος επιτρεπόμενος αριθμός είναι ακριβώς $n=15$ και σε καμία περίπτωση το 16 .
Εργασία Νο. 5. Σε αριθμητική πρόοδο $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Βρείτε τον αριθμό του πρώτου θετικού όρου αυτής της προόδου.
Αυτό θα ήταν ακριβώς το ίδιο πρόβλημα με το προηγούμενο, αλλά δεν γνωρίζουμε $((a)_(1))$. Αλλά οι γειτονικοί όροι είναι γνωστοί: $((a)_(5))$ και $((a)_(6))$, οπότε μπορούμε να βρούμε εύκολα τη διαφορά της προόδου:
Επιπλέον, ας προσπαθήσουμε να εκφράσουμε τον πέμπτο όρο μέσω του πρώτου και τη διαφορά χρησιμοποιώντας τον τυπικό τύπο:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(στοίχιση)\]
Τώρα προχωράμε κατ' αναλογία με την προηγούμενη εργασία. Ας μάθουμε σε ποιο σημείο της ακολουθίας μας θα εμφανιστούν θετικοί αριθμοί:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Δεξί βέλος ((n)_(\min ))=56. \\ \end(στοίχιση)\]
Η ελάχιστη ακέραια λύση αυτής της ανισότητας είναι ο αριθμός 56.
Σημειώστε: στην τελευταία εργασία όλα κατέληξαν σε αυστηρή ανισότητα, επομένως η επιλογή $n=55$ δεν μας ταιριάζει.
Τώρα που μάθαμε πώς να λύνουμε απλά προβλήματα, ας προχωρήσουμε σε πιο σύνθετα. Αλλά πρώτα, ας μελετήσουμε μια άλλη πολύ χρήσιμη ιδιότητα των αριθμητικών προόδων, η οποία θα μας εξοικονομήσει πολύ χρόνο και άνισα κελιά στο μέλλον. :)
Αριθμητικός μέσος όρος και ίσες εσοχές
Ας εξετάσουμε αρκετούς διαδοχικούς όρους της αυξανόμενης αριθμητικής προόδου $\left(((a)_(n)) \right)$. Ας προσπαθήσουμε να τα σημειώσουμε στην αριθμητική γραμμή:
Όροι αριθμητικής προόδου στην αριθμητική γραμμήΕπισήμανα συγκεκριμένα αυθαίρετους όρους $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, και όχι κάποιους $((a)_(1)) ,\ ((α)_(2)),\ ((α)_(3))$, κ.λπ. Επειδή ο κανόνας για τον οποίο θα σας πω τώρα λειτουργεί το ίδιο για οποιαδήποτε "τμήματα".
Και ο κανόνας είναι πολύ απλός. Ας θυμηθούμε τον επαναλαμβανόμενο τύπο και ας τον γράψουμε για όλους τους επισημασμένους όρους:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(στοίχιση)\]
Ωστόσο, αυτές οι ισότητες μπορούν να ξαναγραφτούν διαφορετικά:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(στοίχιση)\]
Λοιπόν, τι; Και το γεγονός ότι οι όροι $((a)_(n-1))$ και $((a)_(n+1))$ βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το $((a)_(n)) $ . Και αυτή η απόσταση είναι ίση με $d$. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για τους όρους $((a)_(n-2))$ και $((a)_(n+2))$ - αφαιρούνται επίσης από το $((a)_(n) )$ στην ίδια απόσταση ίση με $2d$. Μπορούμε να συνεχίσουμε επ' άπειρον, αλλά το νόημα φαίνεται καλά από την εικόνα
Οι όροι της προόδου βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το κέντρο Τι σημαίνει αυτό για εμάς; Αυτό σημαίνει ότι το $((a)_(n))$ μπορεί να βρεθεί εάν οι γειτονικοί αριθμοί είναι γνωστοί:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Καταλήξαμε σε μια εξαιρετική δήλωση: κάθε όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των γειτονικών όρων της! Επιπλέον: μπορούμε να υποχωρήσουμε από το $((a)_(n))$ προς τα αριστερά και προς τα δεξιά όχι κατά ένα βήμα, αλλά κατά $k$ - και ο τύπος θα εξακολουθεί να είναι σωστός:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Εκείνοι. μπορούμε εύκολα να βρούμε κάποια $((a)_(150))$ αν γνωρίζουμε $((a)_(100))$ και $((a)_(200))$, επειδή $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι αυτό το γεγονός δεν μας δίνει τίποτα χρήσιμο. Ωστόσο, στην πράξη, πολλά προβλήματα είναι ειδικά προσαρμοσμένα για να χρησιμοποιούν τον αριθμητικό μέσο όρο. Ρίξε μια ματιά:
Εργασία Νο. 6. Βρείτε όλες τις τιμές των $x$ για τις οποίες οι αριθμοί $-6((x)^(2))$, $x+1$ και $14+4((x)^(2))$ είναι διαδοχικοί όροι του μια αριθμητική πρόοδο (με τη σειρά που υποδεικνύεται).
Λύση. Εφόσον αυτοί οι αριθμοί είναι μέλη μιας προόδου, ικανοποιείται η συνθήκη του αριθμητικού μέσου όρου για αυτούς: το κεντρικό στοιχείο $x+1$ μπορεί να εκφραστεί με όρους γειτονικών στοιχείων:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(στοίχιση)\]
Το αποτέλεσμα είναι μια κλασική τετραγωνική εξίσωση. Οι ρίζες του: $x=2$ και $x=-3$ είναι οι απαντήσεις.
Απάντηση: −3; 2.
Εργασία Νο. 7. Βρείτε τις τιμές των $$ για τις οποίες οι αριθμοί $-1;4-3;(()^(2))+1$ σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο (με αυτή τη σειρά).
Λύση. Ας εκφράσουμε ξανά τον μέσο όρο μέσω του αριθμητικού μέσου όρου γειτονικών όρων:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \δεξιά.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(στοίχιση)\]
Ξανά τετραγωνική εξίσωση. Και πάλι υπάρχουν δύο ρίζες: $x=6$ και $x=1$.
Απάντηση: 1; 6.
Εάν κατά τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος καταλήξετε σε κάποιους βάναυσους αριθμούς ή δεν είστε απολύτως σίγουροι για την ορθότητα των απαντήσεων που βρέθηκαν, τότε υπάρχει μια υπέροχη τεχνική που σας επιτρέπει να ελέγξετε: λύσαμε σωστά το πρόβλημα;
Ας πούμε ότι στο πρόβλημα Νο. 6 λάβαμε τις απαντήσεις −3 και 2. Πώς μπορούμε να ελέγξουμε ότι αυτές οι απαντήσεις είναι σωστές; Ας τα συνδέσουμε στην αρχική τους κατάσταση και ας δούμε τι θα συμβεί. Να σας υπενθυμίσω ότι έχουμε τρεις αριθμούς ($-6(()^(2))$, $+1$ και $14+4(()^(2))$), οι οποίοι πρέπει να σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο. Ας αντικαταστήσουμε το $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(στοίχιση)\]
Πήραμε τους αριθμούς −54. −2; 50 που διαφέρουν κατά 52 είναι αναμφίβολα μια αριθμητική πρόοδος. Το ίδιο συμβαίνει για $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(στοίχιση)\]
Και πάλι πρόοδος, αλλά με διαφορά 27. Έτσι το πρόβλημα λύθηκε σωστά. Όσοι επιθυμούν μπορούν να ελέγξουν μόνοι τους το δεύτερο πρόβλημα, αλλά θα πω αμέσως: όλα είναι σωστά και εκεί.
Γενικά, λύνοντας τα τελευταία προβλήματα, συναντήσαμε ένα άλλο ενδιαφέρον γεγονός, το οποίο πρέπει επίσης να θυμόμαστε:
Εάν τρεις αριθμοί είναι τέτοιοι που ο δεύτερος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του πρώτου και του τελευταίου, τότε αυτοί οι αριθμοί σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο.
Στο μέλλον, η κατανόηση αυτής της δήλωσης θα μας επιτρέψει να «κατασκευάσουμε» κυριολεκτικά τις απαραίτητες προόδους με βάση τις συνθήκες του προβλήματος. Πριν όμως ασχοληθούμε με μια τέτοια «κατασκευή», θα πρέπει να δώσουμε προσοχή σε ένα ακόμη γεγονός, το οποίο προκύπτει άμεσα από όσα έχουν ήδη συζητηθεί.
Ομαδοποίηση και άθροιση στοιχείων
Ας επιστρέψουμε ξανά στον αριθμητικό άξονα. Ας σημειώσουμε εκεί αρκετά μέλη της προόδου, μεταξύ των οποίων, ίσως. αξίζει πολλά άλλα μέλη:
Υπάρχουν 6 στοιχεία σημειωμένα στην αριθμητική γραμμήΑς προσπαθήσουμε να εκφράσουμε την "αριστερή ουρά" μέσω των $((a)_(n))$ και των $d$, και τη "δεξιά ουρά" μέσω των $((a)_(k))$ και $d$. Είναι πολύ απλό:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(στοίχιση)\]
Τώρα σημειώστε ότι τα ακόλουθα ποσά είναι ίσα:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= ΜΙΚΡΟ; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ΜΙΚΡΟ. \end(στοίχιση)\]
Με απλά λόγια, αν θεωρήσουμε ως αρχή δύο στοιχεία της προόδου, τα οποία συνολικά είναι ίσα με κάποιον αριθμό $S$, και μετά αρχίσουμε να βαδίζουμε από αυτά τα στοιχεία προς αντίθετες κατευθύνσεις (το ένα προς το άλλο ή αντίστροφα για να απομακρυνθούμε), έπειτα τα αθροίσματα των στοιχείων που θα σκοντάψουμε θα είναι επίσης ίσα$S$. Αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί πιο ξεκάθαρα γραφικά:
Οι ίσες εσοχές δίνουν ίσες ποσότητες Κατανόηση αυτό το γεγονόςθα μας επιτρέψει να λύσουμε τα προβλήματα σε ένα ουσιαστικά περισσότερο υψηλό επίπεδοδυσκολίες από αυτές που εξετάσαμε παραπάνω. Για παράδειγμα, αυτά:
Εργασία Νο. 8. Προσδιορίστε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου στην οποία ο πρώτος όρος είναι 66 και το γινόμενο του δεύτερου και του δωδέκατου όρου είναι το μικρότερο δυνατό.
Λύση. Ας γράψουμε όλα όσα γνωρίζουμε:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(στοίχιση)\]
Επομένως, δεν γνωρίζουμε τη διαφορά προόδου $d$. Στην πραγματικότητα, ολόκληρη η λύση θα χτιστεί γύρω από τη διαφορά, καθώς το γινόμενο $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(στοίχιση)\]
Για όσους βρίσκονται στη δεξαμενή: Πήρα τον συνολικό πολλαπλασιαστή 11 από τη δεύτερη αγκύλη. Έτσι, το επιθυμητό γινόμενο είναι μια τετραγωνική συνάρτηση σε σχέση με τη μεταβλητή $d$. Επομένως, θεωρήστε τη συνάρτηση $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - η γραφική παράσταση της θα είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω, επειδή αν επεκτείνουμε τις αγκύλες, παίρνουμε:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( δ)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Όπως μπορείτε να δείτε, ο συντελεστής του υψηλότερου όρου είναι 11 - αυτός είναι ένας θετικός αριθμός, επομένως έχουμε να κάνουμε πραγματικά με μια παραβολή με ανοδικούς κλάδους:
πρόγραμμα τετραγωνική λειτουργία- παραβολή
Σημείωση: αυτή η παραβολή παίρνει την ελάχιστη τιμή της στην κορυφή της με την τετμημένη $((d)_(0))$. Φυσικά, μπορούμε να υπολογίσουμε αυτήν την τετμημένη χρησιμοποιώντας το τυπικό σχήμα (υπάρχει ο τύπος $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), αλλά θα ήταν πολύ πιο λογικό να σημειωθεί ότι η επιθυμητή κορυφή βρίσκεται στη συμμετρία του άξονα της παραβολής, επομένως το σημείο $((d)_(0))$ απέχει ίση από τις ρίζες της εξίσωσης $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\τετράγωνο ((δ)_(2))=-6. \\ \end(στοίχιση)\]
Γι' αυτό δεν βιάστηκα ιδιαίτερα να ανοίξω τις αγκύλες: στην αρχική τους μορφή, οι ρίζες ήταν πολύ, πολύ εύκολο να βρεθούν. Επομένως, η τετμημένη ισούται με τη μέση τιμή αριθμητικοί αριθμοί−66 και −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Τι μας δίνει ο αριθμός που ανακαλύφθηκε; Με αυτό, το απαιτούμενο προϊόν παίρνει μικρότερη τιμή(παρεμπιπτόντως, ποτέ δεν υπολογίσαμε $((y)_(\min ))$ - αυτό δεν απαιτείται από εμάς). Ταυτόχρονα, αυτός ο αριθμός είναι η διαφορά της αρχικής εξέλιξης, δηλ. βρήκαμε την απάντηση. :)
Απάντηση: −36
Εργασία Νο. 9. Μεταξύ των αριθμών $-\frac(1)(2)$ και $-\frac(1)(6)$ εισάγετε τρεις αριθμούς ώστε μαζί με αυτούς τους αριθμούς να σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο.
Λύση. Ουσιαστικά, πρέπει να φτιάξουμε μια ακολουθία πέντε αριθμών, με τον πρώτο και τον τελευταίο αριθμό να είναι ήδη γνωστοί. Ας υποδηλώσουμε τους αριθμούς που λείπουν με τις μεταβλητές $x$, $y$ και $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Σημειώστε ότι ο αριθμός $y$ είναι το "μέσο" της ακολουθίας μας - απέχει ίση απόσταση από τους αριθμούς $x$ και $z$ και από τους αριθμούς $-\frac(1)(2)$ και $-\frac (1)( 6)$. Και αν από τους αριθμούς $x$ και $z$ είμαστε μέσα αυτή τη στιγμήδεν μπορούμε να πάρουμε $y$, τότε η κατάσταση είναι διαφορετική με τα άκρα της εξέλιξης. Ας θυμηθούμε τον αριθμητικό μέσο όρο:
Τώρα, γνωρίζοντας το $y$, θα βρούμε τους υπόλοιπους αριθμούς. Σημειώστε ότι το $x$ βρίσκεται μεταξύ των αριθμών $-\frac(1)(2)$ και του $y=-\frac(1)(3)$ που μόλις βρήκαμε. Να γιατί
Χρησιμοποιώντας παρόμοια συλλογιστική, βρίσκουμε τον υπόλοιπο αριθμό:
Ετοιμος! Βρήκαμε και τους τρεις αριθμούς. Ας τα γράψουμε στην απάντηση με τη σειρά που πρέπει να μπουν ανάμεσα στους αρχικούς αριθμούς.
Απάντηση: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Εργασία Νο. 10. Μεταξύ των αριθμών 2 και 42, εισαγάγετε αρκετούς αριθμούς που μαζί με αυτούς τους αριθμούς σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο, αν γνωρίζετε ότι το άθροισμα του πρώτου, του δεύτερου και του τελευταίου από τους αριθμούς που εισάγονται είναι 56.
Λύση. Ακόμα περισσότερο δύσκολη εργασία, το οποίο όμως λύνεται σύμφωνα με το ίδιο σχήμα με τα προηγούμενα - μέσω του αριθμητικού μέσου όρου. Το πρόβλημα είναι ότι δεν γνωρίζουμε ακριβώς πόσοι αριθμοί πρέπει να εισαχθούν. Επομένως, ας υποθέσουμε με βεβαιότητα ότι μετά την εισαγωγή όλων θα υπάρχουν ακριβώς αριθμοί $n$, και ο πρώτος από αυτούς είναι 2 και ο τελευταίος είναι 42. Σε αυτήν την περίπτωση, η απαιτούμενη αριθμητική πρόοδος μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( α)_(n-1));42 \δεξιά\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Σημειώστε, ωστόσο, ότι οι αριθμοί $((a)_(2))$ και $((a)_(n-1))$ λαμβάνονται από τους αριθμούς 2 και 42 στις άκρες κατά ένα βήμα ο ένας προς τον άλλο, δηλ. στο κέντρο της ακολουθίας. Και αυτό σημαίνει ότι
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Αλλά τότε η έκφραση που γράφτηκε παραπάνω μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(στοίχιση)\]
Γνωρίζοντας τα $((a)_(3))$ και τα $((a)_(1))$, μπορούμε εύκολα να βρούμε τη διαφορά της προόδου:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\αριστερά(3-1 \δεξιά)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Δεξί βέλος d=5. \\ \end(στοίχιση)\]
Το μόνο που μένει είναι να βρούμε τους υπόλοιπους όρους:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(στοίχιση)\]
Έτσι, ήδη στο 9ο βήμα θα φτάσουμε στο αριστερό άκρο της ακολουθίας - τον αριθμό 42. Συνολικά, χρειάστηκε να εισαχθούν μόνο 7 αριθμοί: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Απάντηση: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Προβλήματα λέξεων με προόδους
Εν κατακλείδι, θα ήθελα να εξετάσω μερικά σχετικά απλές εργασίες. Λοιπόν, τόσο απλό: για τους περισσότερους μαθητές που σπουδάζουν μαθηματικά στο σχολείο και δεν έχουν διαβάσει όσα γράφονται παραπάνω, αυτά τα προβλήματα μπορεί να φαίνονται δύσκολα. Ωστόσο, αυτοί είναι οι τύποι προβλημάτων που εμφανίζονται στο OGE και στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά, γι' αυτό σας συνιστώ να εξοικειωθείτε με αυτά.
Εργασία Νο. 11. Η ομάδα παρήγαγε 62 εξαρτήματα τον Ιανουάριο και κάθε επόμενο μήνα παρήγαγε 14 περισσότερα εξαρτήματα σε σχέση με τον προηγούμενο μήνα. Πόσα εξαρτήματα παρήγαγε η ομάδα τον Νοέμβριο;
Λύση. Προφανώς, ο αριθμός των τμημάτων που παρατίθενται ανά μήνα θα αντιπροσωπεύει μια αυξανόμενη αριθμητική πρόοδο. Εξάλλου:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\αριστερά(n-1 \δεξιά)\cdot 14. \\ \end(στοίχιση)\]
Ο Νοέμβριος είναι ο 11ος μήνας του έτους, επομένως πρέπει να βρούμε $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Επομένως, τον Νοέμβριο θα παραχθούν 202 ανταλλακτικά.
Εργασία Νο. 12. Το εργαστήριο βιβλιοδεσίας έδεσε 216 βιβλία τον Ιανουάριο και κάθε επόμενο μήνα έδεσε 4 περισσότερα βιβλία σε σχέση με τον προηγούμενο μήνα. Πόσα βιβλία δέσε το εργαστήριο τον Δεκέμβριο;
Λύση. Ολα τα ίδια:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\αριστερά(n-1 \δεξιά)\cdot 4. \\ \end(align)$
Ο Δεκέμβριος είναι ο τελευταίος, 12ος μήνας του έτους, επομένως αναζητούμε $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Αυτή είναι η απάντηση - 260 βιβλία θα είναι δεμένα τον Δεκέμβριο.
Λοιπόν, αν έχετε διαβάσει ως εδώ, βιάζομαι να σας συγχαρώ: ολοκληρώσατε επιτυχώς το "μαθήματα νεαρών μαχητών" στις αριθμητικές προόδους. Μπορείτε να προχωρήσετε με ασφάλεια στο επόμενο μάθημα, όπου θα μελετήσουμε τον τύπο για το άθροισμα της προόδου, καθώς και σημαντικές και πολύ χρήσιμες συνέπειες από αυτό.
Τι το βασικό σημείοΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι?
Αυτός ο τύπος σας επιτρέπει να βρείτε όποιος ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ" n" .
Φυσικά, πρέπει να γνωρίζετε και τον πρώτο όρο Α'1και διαφορά εξέλιξης ρε, καλά, χωρίς αυτές τις παραμέτρους δεν μπορείτε να γράψετε μια συγκεκριμένη εξέλιξη.
Το να απομνημονεύσετε (ή να ξαπλώσετε) αυτή τη φόρμουλα δεν αρκεί. Πρέπει να κατανοήσετε την ουσία του και να εφαρμόσετε τον τύπο σε διάφορα προβλήματα. Και μην ξεχνάτε κατάλληλη στιγμή, αλλά πως μην ξεχάσεις- Δεν γνωρίζω. Και εδώ πώς να θυμάστεΕάν χρειαστεί, θα σας συμβουλεύσω οπωσδήποτε. Για όσους ολοκληρώσουν το μάθημα μέχρι το τέλος.)
Λοιπόν, ας δούμε τον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου.
Τι είναι μια φόρμουλα γενικά; Παρεμπιπτόντως, ρίξτε μια ματιά αν δεν το έχετε διαβάσει. Όλα είναι απλά εκεί. Μένει να καταλάβουμε τι είναι η θητεία.
Η πρόοδος γενικά μπορεί να γραφτεί ως μια σειρά αριθμών:
ένα 1, ένα 2, ένα 3, ένα 4, ένα 5, .....
Α'1- δηλώνει τον πρώτο όρο μιας αριθμητικής προόδου, α 3- τρίτο μέλος, α 4- το τέταρτο, και ούτω καθεξής. Αν μας ενδιαφέρει η πέμπτη θητεία, ας πούμε ότι συνεργαζόμαστε α 5, αν εκατόν εικοστή - s ένα 120.
Πώς μπορούμε να το ορίσουμε με γενικούς όρους; όποιοςόρος μιας αριθμητικής προόδου, με όποιοςαριθμός? Πολύ απλό! Σαν αυτό:
a n
Αυτό είναι νος όρος αριθμητικής προόδου.Το γράμμα n κρύβει όλους τους αριθμούς μελών ταυτόχρονα: 1, 2, 3, 4 και ούτω καθεξής.
Και τι μας δίνει ένας τέτοιος δίσκος; Σκεφτείτε, αντί για αριθμό έγραψαν ένα γράμμα...
Αυτή η σημείωση μας δίνει ένα ισχυρό εργαλείο για την εργασία με αριθμητική πρόοδο. Χρησιμοποιώντας τη σημειογραφία a n, μπορούμε να βρούμε γρήγορα όποιοςμέλος όποιοςαριθμητική πρόοδος. Και λύστε ένα σωρό άλλα προβλήματα προόδου. Θα δείτε μόνοι σας περαιτέρω.
Στον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Α'1- ο πρώτος όρος μιας αριθμητικής προόδου.
n- αριθμός μέλους.
Ο τύπος συνδέει τις βασικές παραμέτρους οποιασδήποτε προόδου: a n ; Α'1 ; ρεΚαι n. Όλα τα προβλήματα προόδου περιστρέφονται γύρω από αυτές τις παραμέτρους.
Ο τύπος nth όρου μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να γράψει μια συγκεκριμένη εξέλιξη. Για παράδειγμα, το πρόβλημα μπορεί να λέει ότι η πρόοδος καθορίζεται από τη συνθήκη:
a n = 5 + (n-1) 2.
Ένα τέτοιο πρόβλημα μπορεί να είναι αδιέξοδο... Δεν υπάρχει ούτε σειρά ούτε διαφορά... Όμως, συγκρίνοντας την συνθήκη με τον τύπο, είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι σε αυτή την εξέλιξη a 1 =5 και d=2.
Και μπορεί να είναι ακόμα χειρότερο!) Αν πάρουμε την ίδια συνθήκη: a n = 5 + (n-1) 2,Ναι, να ανοίξω την παρένθεση και να φέρεις παρόμοιες; Παίρνουμε μια νέα φόρμουλα:
a n = 3 + 2n.
Αυτό Απλά όχι γενικά, αλλά για συγκεκριμένη εξέλιξη. Εδώ κρύβεται η παγίδα. Μερικοί άνθρωποι πιστεύουν ότι ο πρώτος όρος είναι τρεις. Αν και στην πραγματικότητα ο πρώτος όρος είναι πέντε... Λίγο πιο κάτω θα δουλέψουμε με έναν τέτοιο τροποποιημένο τύπο.
Στα προβλήματα προόδου υπάρχει μια άλλη σημείωση - ένα ν+1. Αυτός είναι, όπως μαντέψατε, ο όρος "n συν πρώτος" της προόδου. Η σημασία του είναι απλή και ακίνδυνη.) Αυτό είναι ένα μέλος της προόδου του οποίου ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό n κατά ένα. Για παράδειγμα, αν σε κάποιο πρόβλημα πάρουμε a nπέμπτη θητεία τότε ένα ν+1θα είναι το έκτο μέλος. Και τα λοιπά.
Τις περισσότερες φορές ο προσδιορισμός ένα ν+1που βρέθηκαν σε τύπους υποτροπής. Μην φοβάστε αυτήν την τρομακτική λέξη!) Αυτός είναι απλώς ένας τρόπος έκφρασης ενός μέλους μιας αριθμητικής προόδου μέσω του προηγούμενου.Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια αριθμητική πρόοδος σε αυτή τη μορφή, χρησιμοποιώντας έναν επαναλαμβανόμενο τύπο:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Το τέταρτο - μέχρι το τρίτο, το πέμπτο - μέχρι το τέταρτο, και ούτω καθεξής. Πώς μπορούμε να μετρήσουμε αμέσως, ας πούμε, τον εικοστό όρο; ένα 20? Αλλά δεν υπάρχει περίπτωση!) Μέχρι να μάθουμε τον 19ο όρο, δεν μπορούμε να μετρήσουμε τον 20ο. Αυτή είναι η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ του επαναλαμβανόμενου τύπου και του τύπου του nου όρου. Τα επαναλαμβανόμενα έργα μόνο μέσω προηγούμενοςόρος, και ο τύπος του nου όρου είναι μέσω πρώτακαι επιτρέπει αμέσωςβρείτε οποιοδήποτε μέλος με τον αριθμό του. Χωρίς να υπολογίσετε ολόκληρη τη σειρά των αριθμών με τη σειρά.
Σε μια αριθμητική πρόοδο, είναι εύκολο να μετατραπεί ένας επαναλαμβανόμενος τύπος σε κανονικό. Μετρήστε ένα ζεύγος διαδοχικών όρων, υπολογίστε τη διαφορά ρε,βρείτε, εάν χρειάζεται, τον πρώτο όρο Α'1, γράψτε τον τύπο στη συνηθισμένη του μορφή και δουλέψτε μαζί του. Τέτοια καθήκοντα συναντώνται συχνά στην Κρατική Ακαδημία Επιστημών.
Εφαρμογή του τύπου για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου.
Αρχικά, ας δούμε την άμεση εφαρμογή του τύπου. Στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος υπήρχε ένα πρόβλημα:
Δίνεται αριθμητική πρόοδος (a n). Βρείτε ένα 121 αν a 1 =3 και d=1/6.
Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χωρίς τύπους, απλά με βάση την έννοια μιας αριθμητικής προόδου. Προσθέστε και προσθέστε... Μία ή δύο ώρες.)
Και σύμφωνα με τον τύπο, η λύση θα διαρκέσει λιγότερο από ένα λεπτό. Μπορείτε να το χρονομετρήσετε.) Ας αποφασίσουμε.
Οι συνθήκες παρέχουν όλα τα δεδομένα για τη χρήση του τύπου: a 1 =3, d=1/6.Μένει να καταλάβουμε τι είναι ίσο n.Κανένα πρόβλημα! Πρέπει να βρούμε ένα 121. Γράφουμε λοιπόν:
Παρακαλώ δώσε προσοχή! Αντί για ευρετήριο nεμφανίστηκε ένας συγκεκριμένος αριθμός: 121. Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Μας ενδιαφέρει το μέλος της αριθμητικής προόδου αριθμός εκατόν είκοσι ένα.Αυτό θα είναι δικό μας n.Αυτό είναι το νόημα n= 121 θα αντικαταστήσουμε περαιτέρω στον τύπο, μέσα σε παρενθέσεις. Αντικαθιστούμε όλους τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίζουμε:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Αυτό είναι. Το ίδιο γρήγορα μπορούσε κανείς να βρει τον πεντακόσιο δέκατο όρο, και τον χίλια τρίτο, οποιοδήποτε. Βάζουμε αντί nο επιθυμητός αριθμός στο ευρετήριο του γράμματος " ένα"και σε παρένθεση, και μετράμε.
Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω το σημείο: αυτός ο τύπος σας επιτρέπει να βρείτε όποιοςόρος αριθμητικής προόδου ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ" n" .
Ας λύσουμε το πρόβλημα με πιο πονηρό τρόπο. Ας συναντήσουμε το εξής πρόβλημα:
Να βρείτε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου (a n), εάν a 17 =-2; d=-0,5.
Αν έχετε κάποιες δυσκολίες, θα σας πω το πρώτο βήμα. Γράψτε τον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου!Ναι ναι. Γράψε με τα χέρια σου, ακριβώς στο σημειωματάριό σου:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Και τώρα, κοιτάζοντας τα γράμματα του τύπου, καταλαβαίνουμε τι δεδομένα έχουμε και τι λείπει; Διαθέσιμος d=-0,5,υπάρχει ένα δέκατο έβδομο μέλος... Είναι αυτό; Αν νομίζετε ότι είναι αυτό, τότε δεν θα λύσετε το πρόβλημα, ναι...
Έχουμε ακόμα έναν αριθμό n! Σε κατάσταση a 17 =-2κρυμμένος δύο παραμέτρους.Αυτή είναι τόσο η τιμή του δέκατου έβδομου όρου (-2) όσο και ο αριθμός του (17). Εκείνοι. n=17.Αυτό το «μικρό» συχνά ξεφεύγει από το κεφάλι, και χωρίς αυτό, (χωρίς το «μικρό», όχι το κεφάλι!) το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί. Αν και... και χωρίς κεφάλι επίσης.)
Τώρα μπορούμε απλά να αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας με τον τύπο:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Ω ναι, ένα 17ξέρουμε ότι είναι -2. Εντάξει, ας αντικαταστήσουμε:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Αυτό είναι βασικά όλο. Απομένει να εκφράσουμε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου από τον τύπο και να τον υπολογίσουμε. Η απάντηση θα είναι: α 1 = 6.
Αυτή η τεχνική - καταγραφή ενός τύπου και απλώς αντικατάσταση γνωστών δεδομένων - βοηθάει πολύ σε απλές εργασίες. Λοιπόν, φυσικά, πρέπει να μπορείτε να εκφράσετε μια μεταβλητή από έναν τύπο, αλλά τι να κάνετε!; Χωρίς αυτή την ικανότητα, τα μαθηματικά μπορεί να μην μελετηθούν καθόλου...
Ένα άλλο δημοφιλές παζλ:
Να βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου (a n), αν a 1 =2; α 15 = 12.
Τι κάνουμε? Θα εκπλαγείτε, γράφουμε τον τύπο!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Ας εξετάσουμε τι γνωρίζουμε: a 1 =2; a 15 =12; και (θα τονίσω ιδιαίτερα!) n=15. Μη διστάσετε να το αντικαταστήσετε στον τύπο:
12=2 + (15-1)δ
Κάνουμε την αριθμητική.)
12=2 + 14η
ρε=10/14 = 5/7
Αυτή είναι η σωστή απάντηση.
Έτσι, τα καθήκοντα για α ν, α 1Και ρεαποφασισμένος. Το μόνο που μένει είναι να μάθετε πώς να βρείτε τον αριθμό:
Ο αριθμός 99 είναι μέλος της αριθμητικής προόδου (a n), όπου a 1 =12; d=3. Βρείτε τον αριθμό αυτού του μέλους.
Αντικαθιστούμε τις γνωστές μας ποσότητες στον τύπο του nου όρου:
a n = 12 + (n-1) 3
Με την πρώτη ματιά, υπάρχουν δύο άγνωστες ποσότητες εδώ: ένα ν και ν.Αλλά a n- αυτό είναι κάποιο μέλος της προόδου με έναν αριθμό n...Και γνωρίζουμε αυτό το μέλος του progression! Είναι 99. Δεν ξέρουμε τον αριθμό του. n,Αυτός ο αριθμός λοιπόν είναι αυτό που πρέπει να βρείτε. Αντικαθιστούμε τον όρο της προόδου 99 στον τύπο:
99 = 12 + (n-1) 3
Εκφράζουμε από τον τύπο n, νομίζουμε. Παίρνουμε την απάντηση: n=30.
Και τώρα ένα πρόβλημα στο ίδιο θέμα, αλλά πιο δημιουργικό):
Προσδιορίστε εάν ο αριθμός 117 είναι μέλος της αριθμητικής προόδου (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Ας ξαναγράψουμε τον τύπο. Τι, δεν υπάρχουν παράμετροι; Χμ... Γιατί μας δίνονται μάτια;) Βλέπουμε τον πρώτο όρο της εξέλιξης; Βλέπουμε. Αυτό είναι -3,6. Μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια: a 1 = -3,6.Διαφορά ρεΜπορείτε να καταλάβετε από τη σειρά; Είναι εύκολο αν γνωρίζετε ποια είναι η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Έτσι, κάναμε το πιο απλό πράγμα. Μένει να ασχοληθούμε με τον άγνωστο αριθμό nκαι ο ακατάληπτος αριθμός 117. Στο προηγούμενο πρόβλημα, τουλάχιστον ήταν γνωστό ότι ήταν ο όρος της προόδου που δόθηκε. Αλλά εδώ δεν ξέρουμε καν... Τι να κάνουμε!; Λοιπόν, τι να κάνουμε, τι να κάνουμε... Άναψε Δημιουργικές δεξιότητες!)
Εμείς υποθέτωότι το 117 είναι τελικά μέλος της προόδου μας. Με άγνωστο αριθμό n. Και, όπως και στο προηγούμενο πρόβλημα, ας προσπαθήσουμε να βρούμε αυτόν τον αριθμό. Εκείνοι. γράφουμε τον τύπο (ναι, ναι!)) και αντικαθιστούμε τους αριθμούς μας:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Και πάλι εκφράζουμε από τον τύποn, μετράμε και παίρνουμε:
Ωχ! Ο αριθμός αποδείχθηκε κλασματικός!Εκατόν ενάμιση. Και κλασματικοί αριθμοί σε προόδους δεν μπορεί.Τι συμπέρασμα μπορούμε να βγάλουμε; Ναί! Αριθμός 117 δεν είναιμέλος της προόδου μας. Είναι κάπου ανάμεσα στους εκατό πρώτους και εκατό δεύτερους όρους. Εάν ο αριθμός αποδείχθηκε φυσικός, δηλ. είναι θετικός ακέραιος, τότε ο αριθμός θα είναι μέλος της προόδου με τον αριθμό που βρέθηκε. Και στην περίπτωσή μας, η απάντηση στο πρόβλημα θα είναι: Οχι.
Μια εργασία που βασίζεται σε μια πραγματική έκδοση του GIA:
Μια αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη:
a n = -4 + 6,8n
Βρείτε τον πρώτο και τον δέκατο όρο της προόδου.
Εδώ η εξέλιξη διαμορφώνεται με έναν ασυνήθιστο τρόπο. Κάποιος τύπος... Συμβαίνει.) Ωστόσο, αυτός ο τύπος (όπως έγραψα παραπάνω) - επίσης ο τύπος για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου!Το επιτρέπει επίσης βρείτε οποιοδήποτε μέλος της προόδου με τον αριθμό του.
Ψάχνουμε για το πρώτο μέλος. Αυτός που σκέφτεται. ότι ο πρώτος όρος είναι μείον τέσσερα είναι μοιραία λάθος!) Επειδή ο τύπος στο πρόβλημα έχει τροποποιηθεί. Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου σε αυτό κρυμμένος.Δεν πειράζει, θα το βρούμε τώρα.)
Όπως και στα προηγούμενα προβλήματα, αντικαθιστούμε n=1σε αυτόν τον τύπο:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Εδώ! Ο πρώτος όρος είναι 2,8, όχι -4!
Αναζητούμε τον δέκατο όρο με τον ίδιο τρόπο:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Αυτό είναι.
Και τώρα, για όσους έχουν διαβάσει αυτές τις γραμμές, το υποσχόμενο μπόνους.)
Ας υποθέσουμε ότι σε μια δύσκολη κατάσταση μάχης, Κρατική Εξέταση ή Ενιαία Κρατική Εξέταση, ξεχάσατε χρήσιμη φόρμουλανος όρος μιας αριθμητικής προόδου. Θυμάμαι κάτι, αλλά με κάποιο τρόπο αβέβαιο... Ή nεκεί, ή n+1, ή n-1...Πώς να είσαι!?
Ηρεμία! Αυτή η φόρμουλα είναι εύκολο να εξαχθεί. Δεν είναι πολύ αυστηρό, αλλά σίγουρα αρκεί για αυτοπεποίθηση και σωστή απόφαση!) Για να βγάλετε ένα συμπέρασμα, αρκεί να θυμηθείτε τη στοιχειώδη σημασία μιας αριθμητικής προόδου και να έχετε μερικά λεπτά χρόνου. Απλά πρέπει να σχεδιάσετε μια εικόνα. Για λογους σαφηνειας.
Σχεδιάστε μια αριθμητική γραμμή και σημειώστε την πρώτη πάνω της. δεύτερο, τρίτο κ.λπ. μέλη. Και σημειώνουμε τη διαφορά ρεμεταξύ των μελών. Σαν αυτό:
Κοιτάμε την εικόνα και σκεφτόμαστε: τι σημαίνει ο δεύτερος όρος; Δεύτερος ένας ρε:
ένα 2 =a 1 + 1 ρε
Ποιος είναι ο τρίτος όρος; Τρίτοςόρος ισούται με πρώτο όρο συν δύο ρε.
ένα 3 =a 1 + 2 ρε
Τόπιασες? Δεν είναι τυχαίο που επισημαίνω κάποιες λέξεις με έντονους χαρακτήρες. Εντάξει, ένα ακόμη βήμα).
Ποιος είναι ο τέταρτος όρος; Τέταρτοςόρος ισούται με πρώτο όρο συν τρία ρε.
ένα 4 =a 1 + 3 ρε
Είναι καιρός να συνειδητοποιήσουμε ότι ο αριθμός των κενών, δηλ. ρε, Πάντα ένα λιγότερο από τον αριθμό του μέλους που αναζητάτε n. Δηλαδή στον αριθμό n, αριθμός διαστημάτωνθα n-1.Επομένως, ο τύπος θα είναι (χωρίς παραλλαγές!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Γενικά, οι οπτικές εικόνες βοηθούν πολύ στην επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά. Μην αμελείτε τις εικόνες. Αλλά αν είναι δύσκολο να σχεδιάσετε μια εικόνα, τότε... μόνο ένας τύπος!) Επιπλέον, ο τύπος του nου όρου σας επιτρέπει να συνδέσετε ολόκληρο το ισχυρό οπλοστάσιο των μαθηματικών στη λύση - εξισώσεις, ανισότητες, συστήματα κ.λπ. Δεν μπορείτε να εισάγετε μια εικόνα στην εξίσωση...
Εργασίες για ανεξάρτητη λύση.
Για προθέρμανση:
1. Σε αριθμητική πρόοδο (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Βρείτε ένα 3.
Υπόδειξη: σύμφωνα με την εικόνα, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί σε 20 δευτερόλεπτα... Σύμφωνα με τον τύπο, αποδεικνύεται πιο δύσκολο. Αλλά για την κυριαρχία του τύπου, είναι πιο χρήσιμο.) Στην Ενότητα 555, αυτό το πρόβλημα επιλύεται χρησιμοποιώντας τόσο την εικόνα όσο και τον τύπο. Νιώστε τη διαφορά!)
Και αυτό δεν είναι πλέον προθέρμανση.)
2. Σε αριθμητική πρόοδο (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Βρείτε ένα 3 .
Τι, δεν θέλετε να ζωγραφίσετε;) Φυσικά! Καλύτερα σύμφωνα με τον τύπο, ναι...
3. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε τον εκατόν εικοστό πέμπτο όρο αυτής της προόδου.
Σε αυτήν την εργασία, η πρόοδος καθορίζεται με επαναλαμβανόμενο τρόπο. Αλλά μετρώντας μέχρι τον εκατόν εικοστό πέμπτο όρο... Δεν είναι όλοι ικανοί για ένα τέτοιο κατόρθωμα.) Αλλά η φόρμουλα του 1ου όρου είναι στη δύναμη του καθενός!
4. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Βρείτε τον αριθμό του μικρότερου θετικού όρου της προόδου.
5. Σύμφωνα με τις συνθήκες της εργασίας 4, να βρείτε το άθροισμα των μικρότερων θετικών και μεγαλύτερων αρνητικών όρων της προόδου.
6. Το γινόμενο του πέμπτου και του δωδέκατου όρου μιας αύξουσας αριθμητικής προόδου είναι ίσο με -2,5 και το άθροισμα του τρίτου και του ενδέκατου μέλους είναι ίσο με μηδέν. Βρείτε ένα 14.
Δεν είναι η πιο εύκολη εργασία, ναι...) Η μέθοδος "δάχτυλο" δεν θα λειτουργήσει εδώ. Θα πρέπει να γράψετε τύπους και να λύσετε εξισώσεις.
Απαντήσεις (σε αταξία):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Συνέβη; Είναι ωραία!)
Δεν πάνε όλα καλά; Συμβαίνει. Παρεμπιπτόντως, υπάρχει ένα λεπτό σημείο στην τελευταία εργασία. Απαιτείται προσοχή κατά την ανάγνωση του προβλήματος. Και η λογική.
Η λύση σε όλα αυτά τα προβλήματα συζητείται λεπτομερώς στην Ενότητα 555. Και το στοιχείο της φαντασίας για τον τέταρτο, και το λεπτό σημείο για τον έκτο, και γενικές προσεγγίσεις για την επίλυση τυχόν προβλημάτων που αφορούν τον τύπο του nου όρου - περιγράφονται τα πάντα. Προτείνω.
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Όταν μελετάτε την άλγεβρα στο δευτεροβάθμιο σχολείο(9η τάξη) ένα από σημαντικά θέματαείναι η μελέτη των ακολουθιών αριθμών, που περιλαμβάνουν προόδους - γεωμετρικές και αριθμητικές. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε μια αριθμητική πρόοδο και παραδείγματα με λύσεις.
Τι είναι μια αριθμητική πρόοδος;
Για να γίνει κατανοητό αυτό, είναι απαραίτητο να ορίσουμε την εν λόγω εξέλιξη, καθώς και να παρέχουμε τους βασικούς τύπους που θα χρησιμοποιηθούν αργότερα για την επίλυση προβλημάτων.
Μια αριθμητική ή αλγεβρική πρόοδος είναι ένα σύνολο διατεταγμένων ρητών αριθμών, κάθε όρος των οποίων διαφέρει από τον προηγούμενο κατά κάποια σταθερή τιμή. Αυτή η τιμή ονομάζεται διαφορά. Δηλαδή, γνωρίζοντας οποιοδήποτε μέλος μιας διατεταγμένης σειράς αριθμών και τη διαφορά, μπορείτε να επαναφέρετε ολόκληρη την αριθμητική πρόοδο.
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Η ακόλουθη ακολουθία αριθμών θα είναι μια αριθμητική πρόοδος: 4, 8, 12, 16, ..., αφού η διαφορά σε αυτή την περίπτωση είναι 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Αλλά το σύνολο των αριθμών 3, 5, 8, 12, 17 δεν μπορεί πλέον να αποδοθεί στον τύπο της εξέλιξης που εξετάζεται, καθώς η διαφορά για αυτό δεν είναι σταθερή τιμή (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Σημαντικές φόρμουλες
Ας παρουσιάσουμε τώρα τους βασικούς τύπους που θα χρειαστούν για την επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας αριθμητική πρόοδο. Ας συμβολίσουμε με το σύμβολο a n το nο μέλος της ακολουθίας, όπου n είναι ακέραιος. Σημειώνουμε τη διαφορά με το λατινικό γράμμα d. Τότε ισχύουν οι παρακάτω εκφράσεις:
- Για τον προσδιορισμό της τιμής του nου όρου, είναι κατάλληλος ο ακόλουθος τύπος: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Για να προσδιορίσετε το άθροισμα των πρώτων n όρων: S n = (a n +a 1)*n/2.
Για να κατανοήσουμε τυχόν παραδείγματα αριθμητικής προόδου με λύσεις στην 9η τάξη, αρκεί να θυμηθούμε αυτούς τους δύο τύπους, αφού τυχόν προβλήματα του υπό εξέταση τύπου βασίζονται στη χρήση τους. Θα πρέπει επίσης να θυμάστε ότι η διαφορά προόδου καθορίζεται από τον τύπο: d = a n - a n-1.
Παράδειγμα #1: εύρεση άγνωστου μέλους
Ας δώσουμε ένα απλό παράδειγμα μιας αριθμητικής προόδου και τους τύπους που πρέπει να χρησιμοποιηθούν για την επίλυσή της.
Αφήστε την ακολουθία 10, 8, 6, 4, ... να δοθεί, πρέπει να βρείτε πέντε όρους σε αυτήν.
Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ήδη ότι οι 4 πρώτοι όροι είναι γνωστοί. Το πέμπτο μπορεί να οριστεί με δύο τρόπους:
- Ας υπολογίσουμε πρώτα τη διαφορά. Έχουμε: d = 8 - 10 = -2. Ομοίως, θα μπορούσατε να πάρετε οποιαδήποτε άλλα δύο μέλη που στέκονται το ένα δίπλα στο άλλο. Για παράδειγμα, d = 4 - 6 = -2. Αφού είναι γνωστό ότι d = a n - a n-1, τότε d = a 5 - a 4, από το οποίο παίρνουμε: a 5 = a 4 + d. Αντικαθιστούμε τις γνωστές τιμές: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Η δεύτερη μέθοδος απαιτεί επίσης γνώση της διαφοράς της εν λόγω προόδου, επομένως πρέπει πρώτα να την προσδιορίσετε όπως φαίνεται παραπάνω (d = -2). Γνωρίζοντας ότι ο πρώτος όρος a 1 = 10, χρησιμοποιούμε τον τύπο για τον ν αριθμό της ακολουθίας. Έχουμε: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Αντικαθιστώντας το n = 5 στην τελευταία παράσταση, παίρνουμε: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Όπως μπορείτε να δείτε, και οι δύο λύσεις οδήγησαν στο ίδιο αποτέλεσμα. Σημειώστε ότι σε αυτό το παράδειγμα η διαφορά προόδου d είναι αρνητική τιμή. Τέτοιες ακολουθίες ονομάζονται φθίνουσες, αφού κάθε επόμενος όρος είναι μικρότερος από τον προηγούμενο.
Παράδειγμα #2: διαφορά προόδου
Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο την εργασία, ας δώσουμε ένα παράδειγμα για το πώς
Είναι γνωστό ότι σε ορισμένους ο 1ος όρος είναι ίσος με 6 και ο 7ος όρος είναι ίσος με 18. Είναι απαραίτητο να βρείτε τη διαφορά και να επαναφέρετε αυτή την ακολουθία στον 7ο όρο.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να προσδιορίσουμε τον άγνωστο όρο: a n = (n - 1) * d + a 1 . Ας αντικαταστήσουμε τα γνωστά δεδομένα από τη συνθήκη σε αυτήν, δηλαδή τους αριθμούς a 1 και a 7, έχουμε: 18 = 6 + 6 * d. Από αυτή την έκφραση μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε τη διαφορά: d = (18 - 6) /6 = 2. Έτσι, απαντήσαμε στο πρώτο μέρος του προβλήματος.
Για να επαναφέρετε την ακολουθία στον 7ο όρο, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό μιας αλγεβρικής προόδου, δηλαδή, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d και ούτω καθεξής. Ως αποτέλεσμα, επαναφέρουμε ολόκληρη την ακολουθία: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Παράδειγμα Νο. 3: σχεδίαση μιας εξέλιξης
Ας περιπλέκουμε ακόμη περισσότερο το πρόβλημα. Τώρα πρέπει να απαντήσουμε στο ερώτημα πώς να βρούμε μια αριθμητική πρόοδο. Μπορεί να δοθεί το ακόλουθο παράδειγμα: δίνονται δύο αριθμοί, για παράδειγμα - 4 και 5. Είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια αλγεβρική πρόοδος έτσι ώστε να τοποθετηθούν άλλοι τρεις όροι μεταξύ αυτών.
Πριν ξεκινήσετε να λύνετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να καταλάβετε ποια θέση θα καταλάβουν οι συγκεκριμένοι αριθμοί στη μελλοντική εξέλιξη. Δεδομένου ότι θα υπάρχουν άλλοι τρεις όροι μεταξύ τους, τότε ένας 1 = -4 και ένας 5 = 5. Έχοντας διαπιστώσει αυτό, προχωράμε στο πρόβλημα, το οποίο είναι παρόμοιο με το προηγούμενο. Και πάλι, για τον nο όρο χρησιμοποιούμε τον τύπο, παίρνουμε: a 5 = a 1 + 4 * d. Από: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Αυτό που λάβαμε εδώ δεν είναι μια ακέραια τιμή της διαφοράς, αλλά είναι ρητός αριθμός, οπότε οι τύποι για την αλγεβρική πρόοδο παραμένουν οι ίδιοι.
Τώρα ας προσθέσουμε τη διαφορά που βρέθηκε στο 1 και ας επαναφέρουμε τους όρους που λείπουν από την εξέλιξη. Παίρνουμε: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, που συνέπεσε με τις συνθήκες του προβλήματος.
Παράδειγμα Νο. 4: πρώτος όρος προόδου
Ας συνεχίσουμε να δίνουμε παραδείγματα αριθμητικής προόδου με λύσεις. Σε όλα τα προηγούμενα προβλήματα, ο πρώτος αριθμός της αλγεβρικής προόδου ήταν γνωστός. Ας εξετάσουμε τώρα ένα πρόβλημα διαφορετικού τύπου: ας δοθούν δύο αριθμοί, όπου ένας 15 = 50 και ένας 43 = 37. Είναι απαραίτητο να βρούμε από ποιον αριθμό αρχίζει αυτή η ακολουθία.
Οι τύποι που χρησιμοποιήθηκαν μέχρι στιγμής προϋποθέτουν γνώση των 1 και δ. Στη δήλωση προβλήματος, τίποτα δεν είναι γνωστό για αυτούς τους αριθμούς. Ωστόσο, θα γράψουμε εκφράσεις για κάθε όρο σχετικά με τις διαθέσιμες πληροφορίες: a 15 = a 1 + 14 * d και a 43 = a 1 + 42 * d. Λάβαμε δύο εξισώσεις στις οποίες υπάρχουν 2 άγνωστα μεγέθη (α 1 και δ). Αυτό σημαίνει ότι το πρόβλημα περιορίζεται στην επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων.
Ο ευκολότερος τρόπος για να λύσετε αυτό το σύστημα είναι να εκφράσετε ένα 1 σε κάθε εξίσωση και στη συνέχεια να συγκρίνετε τις παραστάσεις που προκύπτουν. Πρώτη εξίσωση: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; δεύτερη εξίσωση: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Εξισώνοντας αυτές τις εκφράσεις, παίρνουμε: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, από όπου η διαφορά d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (δίνονται μόνο 3 δεκαδικά ψηφία).
Γνωρίζοντας το d, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε από τις 2 παραπάνω εκφράσεις για το 1. Για παράδειγμα, πρώτα: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Εάν έχετε αμφιβολίες σχετικά με το αποτέλεσμα που λάβατε, μπορείτε να το ελέγξετε, για παράδειγμα, να προσδιορίσετε τον 43ο όρο της προόδου, ο οποίος καθορίζεται στη συνθήκη. Παίρνουμε: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Το μικρό σφάλμα οφείλεται στο γεγονός ότι στους υπολογισμούς χρησιμοποιήθηκε η στρογγυλοποίηση στα χιλιοστά.
Παράδειγμα Νο. 5: ποσό
Τώρα ας δούμε πολλά παραδείγματα με λύσεις για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.
Έστω μια αριθμητική πρόοδος της ακόλουθης μορφής: 1, 2, 3, 4, ...,. Πώς να υπολογίσετε το άθροισμα των 100 αυτών των αριθμών;
Χάρη στην ανάπτυξη τεχνολογία υπολογιστώνμπορείτε να λύσετε αυτό το πρόβλημα, δηλαδή να προσθέσετε όλους τους αριθμούς διαδοχικά, κάτι που θα κάνει ο υπολογιστής αμέσως μόλις κάποιος πατήσει το πλήκτρο Enter. Ωστόσο, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί διανοητικά εάν προσέξετε ότι η παρουσιαζόμενη σειρά αριθμών είναι αλγεβρική πρόοδος και η διαφορά της είναι ίση με 1. Εφαρμόζοντας τον τύπο για το άθροισμα, παίρνουμε: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αυτό το πρόβλημα ονομάζεται "Gaussian" επειδή στο αρχές XVIIIαιώνα, ο διάσημος Γερμανός, ενώ ήταν ακόμη μόλις 10 ετών, μπόρεσε να το λύσει στο κεφάλι του μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Το αγόρι δεν ήξερε τον τύπο για το άθροισμα μιας αλγεβρικής προόδου, αλλά παρατήρησε ότι αν προσθέσετε τους αριθμούς στα άκρα της ακολουθίας σε ζευγάρια, έχετε πάντα το ίδιο αποτέλεσμα, δηλαδή 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., και δεδομένου ότι αυτά τα αθροίσματα θα είναι ακριβώς 50 (100 / 2), τότε για να πάρετε τη σωστή απάντηση αρκεί να πολλαπλασιάσετε το 50 με το 101.
Παράδειγμα Νο. 6: άθροισμα όρων από n έως m
Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγμα του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου είναι το εξής: δίνοντας μια σειρά αριθμών: 3, 7, 11, 15, ..., πρέπει να βρείτε πόσο ίσο με το άθροισμα των όρων της από το 8 έως το 14 .
Το πρόβλημα λύνεται με δύο τρόπους. Το πρώτο από αυτά περιλαμβάνει την εύρεση άγνωστων όρων από το 8 έως το 14 και στη συνέχεια τη διαδοχική άθροισή τους. Δεδομένου ότι υπάρχουν λίγοι όροι, αυτή η μέθοδος δεν είναι αρκετά εντατική. Ωστόσο, προτείνεται η επίλυση αυτού του προβλήματος χρησιμοποιώντας μια δεύτερη μέθοδο, η οποία είναι πιο καθολική.
Η ιδέα είναι να ληφθεί ένας τύπος για το άθροισμα της αλγεβρικής προόδου μεταξύ των όρων m και n, όπου n > m είναι ακέραιοι. Και για τις δύο περιπτώσεις, γράφουμε δύο εκφράσεις για το άθροισμα:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
Αφού n > m, είναι προφανές ότι το 2ο άθροισμα περιλαμβάνει το πρώτο. Το τελευταίο συμπέρασμα σημαίνει ότι αν πάρουμε τη διαφορά μεταξύ αυτών των αθροισμάτων και προσθέσουμε τον όρο a m σε αυτήν (στην περίπτωση λήψης της διαφοράς, αφαιρείται από το άθροισμα S n), θα λάβουμε την απαραίτητη απάντηση στο πρόβλημα. Έχουμε: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τους τύπους για ένα n και ένα m σε αυτήν την έκφραση. Τότε παίρνουμε: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
Ο προκύπτων τύπος είναι κάπως περίπλοκος, ωστόσο, το άθροισμα S mn εξαρτάται μόνο από τα n, m, a 1 και d. Στην περίπτωσή μας, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Αντικαθιστώντας αυτούς τους αριθμούς, παίρνουμε: S mn = 301.
Όπως φαίνεται από τις παραπάνω λύσεις, όλα τα προβλήματα βασίζονται στη γνώση της έκφρασης για τον nο όρο και στον τύπο για το άθροισμα του συνόλου των πρώτων όρων. Πριν ξεκινήσετε να επιλύετε οποιοδήποτε από αυτά τα προβλήματα, συνιστάται να διαβάσετε προσεκτικά την κατάσταση, να κατανοήσετε ξεκάθαρα τι πρέπει να βρείτε και μόνο στη συνέχεια να προχωρήσετε στη λύση.
Μια άλλη συμβουλή είναι να προσπαθήσετε για απλότητα, δηλαδή, εάν μπορείτε να απαντήσετε σε μια ερώτηση χωρίς να χρησιμοποιήσετε πολύπλοκους μαθηματικούς υπολογισμούς, τότε πρέπει να κάνετε ακριβώς αυτό, καθώς σε αυτήν την περίπτωση η πιθανότητα να κάνετε λάθος είναι μικρότερη. Για παράδειγμα, στο παράδειγμα μιας αριθμητικής προόδου με τη λύση Νο. 6, θα μπορούσε κανείς να σταματήσει στον τύπο S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, και Διακοπή κοινή εργασίασε ξεχωριστές υποεργασίες (σε αυτήν την περίπτωση, βρείτε πρώτα τους όρους a n και a m).
Εάν έχετε αμφιβολίες σχετικά με το αποτέλεσμα που προέκυψε, συνιστάται να το ελέγξετε, όπως έγινε σε ορισμένα από τα παραδείγματα που δίνονται. Ανακαλύψαμε πώς να βρούμε μια αριθμητική πρόοδο. Αν το καταλάβεις, δεν είναι και τόσο δύσκολο.
Τα μαθηματικά έχουν τη δική τους ομορφιά, όπως η ζωγραφική και η ποίηση.
Ο Ρώσος επιστήμονας, μηχανικός Ν.Ε. Ζουκόφσκι
Πολύ συνηθισμένες εργασίες σε εισαγωγικές εξετάσειςστα μαθηματικά είναι προβλήματα που σχετίζονται με την έννοια της αριθμητικής προόδου. Για να επιλύσετε με επιτυχία τέτοια προβλήματα, πρέπει να έχετε καλή γνώση των ιδιοτήτων της αριθμητικής προόδου και να έχετε ορισμένες δεξιότητες στην εφαρμογή τους.
Ας θυμηθούμε πρώτα τις βασικές ιδιότητες μιας αριθμητικής προόδου και ας παρουσιάσουμε τους πιο σημαντικούς τύπους, σχετίζονται με αυτή την έννοια.
Ορισμός. Αριθμητική ακολουθία, στην οποία κάθε επόμενος όρος διαφέρει από τον προηγούμενο κατά τον ίδιο αριθμό, ονομάζεται αριθμητική πρόοδος. Σε αυτή την περίπτωση ο αριθμόςονομάζεται διαφορά προόδου.
Για μια αριθμητική πρόοδο, ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:
, (1)
Οπου . Ο τύπος (1) ονομάζεται τύπος του γενικού όρου μιας αριθμητικής προόδου και ο τύπος (2) αντιπροσωπεύει την κύρια ιδιότητα μιας αριθμητικής προόδου: κάθε όρος της προόδου συμπίπτει με τον αριθμητικό μέσο όρο των γειτονικών όρων και .
Σημειώστε ότι ακριβώς λόγω αυτής της ιδιότητας η υπό εξέταση πρόοδος ονομάζεται «αριθμητική».
Οι παραπάνω τύποι (1) και (2) γενικεύονται ως εξής:
(3)
Για να υπολογίσετε το ποσόπρώτα όρους μιας αριθμητικής προόδουσυνήθως χρησιμοποιείται ο τύπος
(5) πού και .
Αν λάβουμε υπόψη τον τύπο (1), τότε από τον τύπο (5) προκύπτει
Αν δηλώνουμε , τότε
Οπου . Επειδή , οι τύποι (7) και (8) είναι μια γενίκευση των αντίστοιχων τύπων (5) και (6).
Συγκεκριμένα , από τον τύπο (5) προκύπτει, Τι
Ελάχιστα γνωστή στους περισσότερους μαθητές είναι η ιδιότητα της αριθμητικής προόδου, που διατυπώνεται μέσω του παρακάτω θεωρήματος.
Θεώρημα.Αν τότε
Απόδειξη.Αν τότε
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Για παράδειγμα , χρησιμοποιώντας το θεώρημα, μπορεί να αποδειχθεί ότι
Ας προχωρήσουμε στην εξέταση τυπικών παραδειγμάτων επίλυσης προβλημάτων στο θέμα «Αριθμητική πρόοδος».
Παράδειγμα 1.Ας είναι. Εύρημα .
Λύση.Εφαρμόζοντας τον τύπο (6), παίρνουμε . Αφού και , τότε ή .
Παράδειγμα 2.Έστω τρεις φορές μεγαλύτερο, και όταν διαιρεθεί με το πηλίκο, το αποτέλεσμα είναι 2 και το υπόλοιπο είναι 8. Προσδιορίστε και .
Λύση.Από τις συνθήκες του παραδείγματος ακολουθεί το σύστημα των εξισώσεων
Αφού , , και , τότε από το σύστημα των εξισώσεων (10) λαμβάνουμε
Η λύση σε αυτό το σύστημα εξισώσεων είναι και .
Παράδειγμα 3.Βρείτε αν και .
Λύση.Σύμφωνα με τον τύπο (5) έχουμε ή . Ωστόσο, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα (9), λαμβάνουμε .
Αφού και , τότε από την ισότητα ακολουθεί η εξίσωσηή .
Παράδειγμα 4.Βρείτε αν.
Λύση.Σύμφωνα με τον τύπο (5) έχουμε
Ωστόσο, χρησιμοποιώντας το θεώρημα, μπορούμε να γράψουμε
Από εδώ και από τον τύπο (11) παίρνουμε .
Παράδειγμα 5. Δόθηκαν: . Εύρημα .
Λύση.Από τότε. Ωστόσο, επομένως.
Παράδειγμα 6.Αφήστε , και . Εύρημα .
Λύση.Χρησιμοποιώντας τον τύπο (9), παίρνουμε . Επομένως, εάν , τότε ή .
Αφού και τότε εδώ έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων
Λύνοντας ποια, παίρνουμε και .
Φυσική ρίζα της εξίσωσηςείναι .
Παράδειγμα 7.Βρείτε αν και .
Λύση.Εφόσον σύμφωνα με τον τύπο (3) έχουμε ότι , τότε το σύστημα των εξισώσεων προκύπτει από τις συνθήκες του προβλήματος
Αν αντικαταστήσουμε την έκφρασηστη δεύτερη εξίσωση του συστήματος, τότε παίρνουμε ή .
Ρίζες τετραγωνική εξίσωσηείναιΚαι .
Ας εξετάσουμε δύο περιπτώσεις.
1. Αφήστε , τότε . Από και , τότε .
Στην περίπτωση αυτή, σύμφωνα με τον τύπο (6), έχουμε
2. Αν , τότε , και
Απάντηση: και.
Παράδειγμα 8.Είναι γνωστό ότι και. Εύρημα .
Λύση.Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (5) και την συνθήκη του παραδείγματος, γράφουμε και .
Αυτό συνεπάγεται το σύστημα των εξισώσεων
Αν πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος επί 2 και στη συνέχεια την προσθέσουμε στη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε
Σύμφωνα με τον τύπο (9) έχουμε. Από την άποψη αυτή, προκύπτει από το (12)ή .
Από και , τότε .
Απάντηση: .
Παράδειγμα 9.Βρείτε αν και .
Λύση.Αφού , και κατά συνθήκη , τότε ή .
Από τον τύπο (5) είναι γνωστό, Τι . Από τότε.
Ως εκ τούτου , εδώ έχουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων
Από εδώ παίρνουμε και . Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (8), γράφουμε .
Παράδειγμα 10.Λύστε την εξίσωση.
Λύση.Από δεδομένη εξίσωσηακολουθεί ότι. Ας υποθέσουμε ότι , , και . Σε αυτήν την περίπτωση .
Σύμφωνα με τον τύπο (1), μπορούμε να γράψουμε ή .
Αφού , τότε η εξίσωση (13) έχει τη μόνη κατάλληλη ρίζα .
Παράδειγμα 11.Βρείτε τη μέγιστη τιμή με την προϋπόθεση ότι και .
Λύση.Από τότε, η αριθμητική πρόοδος που εξετάζεται μειώνεται. Από αυτή την άποψη, η έκφραση παίρνει τη μέγιστη τιμή της όταν είναι ο αριθμός του ελάχιστου θετικού όρου της προόδου.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (1) και το γεγονός, αυτό και . Τότε παίρνουμε ότι ή .
Από τότε ή . Ωστόσο, σε αυτή την ανισότηταμεγαλύτερο φυσικό αριθμό, Να γιατί .
Εάν οι τιμές των , και αντικατασταθούν στον τύπο (6), παίρνουμε .
Απάντηση: .
Παράδειγμα 12.Προσδιορίστε το άθροισμα όλων των διψήφιων φυσικούς αριθμούς, το οποίο όταν διαιρείται με το 6 αφήνει ένα υπόλοιπο 5.
Λύση.Ας υποδηλώσουμε με το σύνολο όλων των διψήφιων φυσικών αριθμών, δηλ. . Στη συνέχεια, θα κατασκευάσουμε ένα υποσύνολο που θα αποτελείται από εκείνα τα στοιχεία (αριθμούς) του συνόλου που, όταν διαιρεθούν με τον αριθμό 6, δίνουν ένα υπόλοιπο 5.
Εύκολο στην εγκατάσταση, Τι . Προφανώς , ότι τα στοιχεία του συνόλουσχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο, στο οποίο και .
Για να καθορίσουμε την καρδινάτητα (αριθμός στοιχείων) του συνόλου, υποθέτουμε ότι . Δεδομένου ότι και , προκύπτει από τον τύπο (1) ή . Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (5), παίρνουμε .
Τα παραπάνω παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων δεν μπορούν σε καμία περίπτωση να ισχυριστούν ότι είναι εξαντλητικά. Αυτό το άρθρο είναι γραμμένο με βάση την ανάλυση σύγχρονες μεθόδουςεπίλυση τυπικών προβλημάτων σε ένα δεδομένο θέμα. Για μια πιο εις βάθος μελέτη των μεθόδων επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την αριθμητική πρόοδο, συνιστάται να ανατρέξετε στη λίστα της προτεινόμενης βιβλιογραφίας.
1. Συλλογή προβλημάτων στα μαθηματικά για υποψήφιους στα κολέγια / Εκδ. ΜΙ. Σκανάβι. – Μ.: Ειρήνη και Παιδεία, 2013. – 608 σελ.
2. Suprun V.P. Μαθηματικά για μαθητές γυμνασίου: επιπλέον ενότητες σχολικό πρόγραμμα σπουδών. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 σελ.
3. Medynsky M.M. Πλήρες μάθημαστοιχειώδη μαθηματικά σε προβλήματα και ασκήσεις. Βιβλίο 2: Ακολουθίες αριθμώνκαι την εξέλιξη. – Μ.: Editus, 2015. – 208 σελ.
Έχετε ακόμα ερωτήσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.
Άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.
Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι απλό πράγμα. Και σε νόημα και σε τύπο. Αλλά υπάρχουν όλα τα είδη εργασιών σε αυτό το θέμα. Από βασικό έως αρκετά συμπαγές.
Αρχικά, ας κατανοήσουμε την έννοια και τον τύπο του ποσού. Και μετά θα αποφασίσουμε. Για τη δική σας ευχαρίστηση.) Η έννοια του ποσού είναι τόσο απλή όσο ένα μουγκ. Για να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, πρέπει απλώς να προσθέσετε προσεκτικά όλους τους όρους της. Εάν αυτοί οι όροι είναι λίγοι, μπορείτε να προσθέσετε χωρίς τύπους. Αλλά αν υπάρχουν πολλά, ή πολλά... η προσθήκη είναι ενοχλητική.) Σε αυτή την περίπτωση, η φόρμουλα έρχεται να σώσει.
Ο τύπος για το ποσό είναι απλός:
Ας μάθουμε τι είδους γράμματα περιλαμβάνονται στον τύπο. Αυτό θα ξεκαθαρίσει πολύ τα πράγματα.
S n - το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Αποτέλεσμα προσθήκης Ολοιμέλη, με πρώταΜε τελευταίος.Είναι σημαντικό. Ακριβώς αθροίζονται Ολαμέλη στη σειρά, χωρίς παράλειψη ή παράλειψη. Και, ακριβώς, ξεκινώντας από πρώτα.Σε προβλήματα όπως η εύρεση του αθροίσματος του τρίτου και του όγδοου όρων ή του αθροίσματος από τον πέμπτο έως τον εικοστό όρο, η άμεση εφαρμογή του τύπου θα απογοητεύσει.)
Α'1 - πρώταμέλος της προόδου. Όλα είναι ξεκάθαρα εδώ, είναι απλό πρώτααριθμός σειράς.
a n- τελευταίοςμέλος της προόδου. Ο τελευταίος αριθμός της σειράς. Δεν είναι πολύ γνωστό όνομα, αλλά όταν εφαρμόζεται στο ποσό, είναι πολύ κατάλληλο. Τότε θα το δείτε μόνοι σας.
n - αριθμός του τελευταίου μέλους. Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι στον τύπο αυτός ο αριθμός συμπίπτει με τον αριθμό των προστιθέμενων όρων.
Ας ορίσουμε την έννοια τελευταίοςμέλος a n. Δύσκολη ερώτηση: ποιο μέλος θα είναι το τελευταίοαν δοθεί ατελείωτεςαριθμητική πρόοδος;)
Για να απαντήσετε με σιγουριά, πρέπει να κατανοήσετε τη στοιχειώδη έννοια της αριθμητικής προόδου και... να διαβάσετε προσεκτικά την εργασία!)
Στην εργασία εύρεσης του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου, εμφανίζεται πάντα ο τελευταίος όρος (άμεσα ή έμμεσα), που θα πρέπει να περιοριστεί.Διαφορετικά, ένα τελικό, συγκεκριμένο ποσό απλά δεν υπάρχει.Για τη λύση, δεν έχει σημασία αν δίνεται η πρόοδος: πεπερασμένη ή άπειρη. Δεν έχει σημασία πώς δίνεται: μια σειρά αριθμών ή ένας τύπος για τον nο όρο.
Το πιο σημαντικό είναι να καταλάβουμε ότι ο τύπος λειτουργεί από τον πρώτο όρο της προόδου στον όρο με αριθμό n.Στην πραγματικότητα, το πλήρες όνομα του τύπου μοιάζει με αυτό: το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας αριθμητικής προόδου.Ο αριθμός αυτών των πρώτων μελών, δηλ. n, καθορίζεται αποκλειστικά από την εργασία. Σε μια εργασία, όλες αυτές οι πολύτιμες πληροφορίες είναι συχνά κρυπτογραφημένες, ναι... Αλλά δεν πειράζει, στα παρακάτω παραδείγματα αποκαλύπτουμε αυτά τα μυστικά.)
Παραδείγματα εργασιών για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.
Πρωτα απο ολα, χρήσιμες πληροφορίες:
Η κύρια δυσκολία σε εργασίες που περιλαμβάνουν το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου έγκειται στον σωστό προσδιορισμό των στοιχείων του τύπου.
Οι συντάκτες εργασιών κρυπτογραφούν αυτά ακριβώς τα στοιχεία με απεριόριστη φαντασία.) Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην φοβάστε. Κατανοώντας την ουσία των στοιχείων, αρκεί απλώς να τα αποκρυπτογραφήσουμε. Ας δούμε μερικά παραδείγματα αναλυτικά. Ας ξεκινήσουμε με μια εργασία που βασίζεται σε ένα πραγματικό GIA.
1. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a n = 2n-3,5. Βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων του.
Καλή δουλειά. Εύκολο.) Για να προσδιορίσουμε την ποσότητα χρησιμοποιώντας τον τύπο, τι πρέπει να γνωρίζουμε; Πρώτο μέλος Α'1, τελευταίος όρος a n, ναι ο αριθμός του τελευταίου μέλους n.
Πού μπορώ να βρω τον αριθμό του τελευταίου μέλους; n? Ναι, εκεί, υπό όρους! Λέει: βρείτε το άθροισμα τα πρώτα 10 μέλη.Λοιπόν, με ποιο νούμερο θα είναι; τελευταίος,δέκατο μέλος;) Δεν θα το πιστέψετε, ο αριθμός του είναι δέκατος!) Επομένως, αντί για a nΘα αντικαταστήσουμε στον τύπο ένα 10, και αντ' αυτού n- δέκα. Επαναλαμβάνω, ο αριθμός του τελευταίου μέλους συμπίπτει με τον αριθμό των μελών.
Μένει να καθοριστεί Α'1Και ένα 10. Αυτό υπολογίζεται εύκολα χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον nο όρο, που δίνεται στη δήλωση προβλήματος. Δεν ξέρετε πώς να το κάνετε αυτό; Παρακολουθήστε το προηγούμενο μάθημα, χωρίς αυτό δεν υπάρχει τρόπος.
Α'1= 2 1 - 3,5 = -1,5
ένα 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Ανακαλύψαμε τη σημασία όλων των στοιχείων του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Το μόνο που μένει είναι να τα αντικαταστήσουμε και να μετρήσουμε:
Αυτό είναι. Απάντηση: 75.
Μια άλλη εργασία που βασίζεται στο GIA. Λίγο πιο περίπλοκο:
2. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n), η διαφορά της οποίας είναι 3,7. a 1 = 2,3. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 15 όρων του.
Γράφουμε αμέσως τον τύπο αθροίσματος:
Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρούμε την τιμή οποιουδήποτε όρου με τον αριθμό του. Ψάχνουμε για μια απλή αντικατάσταση:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Απομένει να αντικαταστήσουμε όλα τα στοιχεία στον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου και να υπολογίσουμε την απάντηση:
Απάντηση: 423.
Παρεμπιπτόντως, εάν στον τύπο αθροίσματος αντί για a nΑπλώς αντικαθιστούμε τον τύπο για τον nο όρο και παίρνουμε:
Ας παρουσιάσουμε παρόμοια και ας λάβουμε έναν νέο τύπο για το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου:
 |
Όπως μπορείτε να δείτε, ο ντος όρος δεν απαιτείται εδώ a n. Σε ορισμένα προβλήματα αυτή η φόρμουλα βοηθάει πολύ, ναι... Μπορείτε να θυμηθείτε αυτή τη φόρμουλα. Ή μπορείτε απλά να το εμφανίσετε την κατάλληλη στιγμή, όπως εδώ. Εξάλλου, πρέπει πάντα να θυμάστε τον τύπο για το άθροισμα και τον τύπο για τον nο όρο.)
Τώρα η εργασία με τη μορφή μιας σύντομης κρυπτογράφησης):
3. Βρείτε το άθροισμα όλων των θετικών διψήφιους αριθμούς, πολλαπλάσια των τριών.
Ουάου! Ούτε το πρώτο σου μέλος, ούτε το τελευταίο σου, ούτε η εξέλιξη... Πώς να ζήσεις!;
Θα πρέπει να σκεφτείτε με το κεφάλι σας και να βγάλετε όλα τα στοιχεία του αθροίσματος της αριθμητικής προόδου από τη συνθήκη. Γνωρίζουμε τι είναι οι διψήφιοι αριθμοί. Αποτελούνται από δύο αριθμούς.) Ποιος διψήφιος αριθμός θα είναι πρώτα? 10, πιθανώς.) Α το τελευταίο πράγμαδιψήφιος αριθμός; 99, φυσικά! Θα τον ακολουθήσουν οι τριψήφιοι...
Πολλαπλάσια των τριών... Χμ... Είναι αριθμοί που διαιρούνται με το τρία, εδώ! Το δέκα δεν διαιρείται με το τρία, το 11 δεν διαιρείται... Το 12... διαιρείται! Άρα, κάτι προκύπτει. Μπορείτε ήδη να γράψετε μια σειρά σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Αυτή η σειρά θα είναι μια αριθμητική πρόοδος; Σίγουρα! Κάθε όρος διαφέρει από τον προηγούμενο κατά αυστηρά τρία. Εάν προσθέσετε 2 ή 4 σε έναν όρο, ας πούμε, το αποτέλεσμα, δηλ. ο νέος αριθμός δεν διαιρείται πλέον με το 3. Μπορείτε να προσδιορίσετε αμέσως τη διαφορά της αριθμητικής προόδου: d = 3.Θα σου φανεί χρήσιμο!)
Έτσι, μπορούμε να γράψουμε με ασφάλεια ορισμένες παραμέτρους προόδου:
Ποιος θα είναι ο αριθμός; nτελευταίο μέλος; Όποιος πιστεύει ότι το 99 κάνει μοιραία λάθος... Οι αριθμοί πηγαίνουν πάντα στη σειρά, αλλά τα μέλη μας ξεπερνούν τα τρία. Δεν ταιριάζουν.
Εδώ υπάρχουν δύο λύσεις. Ένας τρόπος είναι για τους σούπερ εργατικούς. Μπορείτε να γράψετε την πρόοδο, ολόκληρη τη σειρά αριθμών και να μετρήσετε τον αριθμό των μελών με το δάχτυλό σας.) Ο δεύτερος τρόπος είναι για τους σκεπτόμενους. Πρέπει να θυμάστε τον τύπο για τον nο όρο. Εάν εφαρμόσουμε τον τύπο στο πρόβλημά μας, βρίσκουμε ότι το 99 είναι ο τριακοστός όρος της προόδου. Εκείνοι. n = 30.
Ας δούμε τον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου:
Κοιτάμε και χαιρόμαστε.) Βγάλαμε από τη δήλωση προβλήματος όλα τα απαραίτητα για τον υπολογισμό του ποσού:
Α'1= 12.
ένα 30= 99.
S n = S 30.
Το μόνο που μένει είναι η στοιχειώδης αριθμητική. Αντικαθιστούμε τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίζουμε:
Απάντηση: 1665
Ένας άλλος τύπος δημοφιλούς παζλ:
4. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Βρείτε το άθροισμα των όρων από το εικοστό έως το τριάντα τέσσερα.
Κοιτάμε τον τύπο για το ποσό και... στεναχωριόμαστε.) Ο τύπος, να σας θυμίσω, υπολογίζει το ποσό από την πρώτημέλος. Και στο πρόβλημα πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα από τον εικοστό...Ο τύπος δεν θα λειτουργήσει.
Μπορείτε, φυσικά, να γράψετε ολόκληρη την εξέλιξη σε μια σειρά και να προσθέσετε όρους από 20 έως 34. Αλλά... είναι κάπως ανόητο και παίρνει πολύ χρόνο, σωστά;)
Υπάρχει μια πιο κομψή λύση. Ας χωρίσουμε τη σειρά μας σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος θα είναι από τον πρώτο όρο έως τον δέκατο ένατο.Δεύτερο μέρος - από είκοσι έως τριάντα τέσσερα.Είναι σαφές ότι αν υπολογίσουμε το άθροισμα των όρων του πρώτου μέρους S 1-19, ας το προσθέσουμε με το άθροισμα των όρων του δεύτερου μέρους S 20-34, παίρνουμε το άθροισμα της προόδου από τον πρώτο όρο στον τριακοστό τέταρτο S 1-34. Σαν αυτό:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Από αυτό μπορούμε να δούμε ότι βρείτε το άθροισμα S 20-34μπορεί να γίνει με απλή αφαίρεση
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Λαμβάνονται υπόψη και τα δύο ποσά στη δεξιά πλευρά από την πρώτημέλος, δηλ. Ο τυπικός τύπος αθροίσματος είναι αρκετά εφαρμόσιμος σε αυτά. Ας αρχίσουμε?
Εξάγουμε τις παραμέτρους προόδου από τη δήλωση προβλήματος:
d = 1,5.
Α'1= -21,5.
Για να υπολογίσουμε τα αθροίσματα των πρώτων 19 και των πρώτων 34 όρων, θα χρειαστούμε τον 19ο και τον 34ο όρο. Τα υπολογίζουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον nο όρο, όπως στο πρόβλημα 2:
ένα 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
ένα 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Δεν μένει τίποτα. Από το άθροισμα των 34 όρων αφαιρέστε το άθροισμα των 19 όρων:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Απάντηση: 262,5
Μια σημαντική σημείωση! Υπάρχει ένα πολύ χρήσιμο κόλπο για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Αντί για άμεσο υπολογισμό τι χρειάζεστε (S 20-34),μετρήσαμε κάτι που δεν φαίνεται να χρειάζεται - S 1-19.Και μετά αποφάσισαν S 20-34, απορρίπτοντας τα περιττά από το ολοκληρωμένο αποτέλεσμα. Αυτό το είδος "προσποιήσεις με τα αυτιά σας" συχνά σας σώζει από κακά προβλήματα.)
Σε αυτό το μάθημα εξετάσαμε προβλήματα για τα οποία αρκεί να κατανοήσουμε την έννοια του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Λοιπόν, πρέπει να γνωρίζετε μερικούς τύπους.)
Όταν επιλύετε οποιοδήποτε πρόβλημα που περιλαμβάνει το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, συνιστώ να γράψετε αμέσως τους δύο κύριους τύπους από αυτό το θέμα.
Τύπος για το nο τρίμηνο:
Αυτοί οι τύποι θα σας πουν αμέσως τι να αναζητήσετε και προς ποια κατεύθυνση να σκεφτείτε για να λύσετε το πρόβλημα. Βοηθάει.
Και τώρα τα καθήκοντα για ανεξάρτητη λύση.
5. Να βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων αριθμών που δεν διαιρούνται με το τρία.
Καλό;) Η υπόδειξη είναι κρυμμένη στη σημείωση για το πρόβλημα 4. Λοιπόν, το πρόβλημα 3 θα βοηθήσει.
6. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 24 όρων του.
Ασυνήθιστο;) Αυτό τύπος υποτροπής. Μπορείτε να διαβάσετε σχετικά στο προηγούμενο μάθημα. Μην αγνοήσετε τη σύνδεση, τέτοια προβλήματα εντοπίζονται συχνά στην Κρατική Ακαδημία Επιστημών.
7. Η Βάσια μάζεψε χρήματα για τις διακοπές. Μέχρι και 4550 ρούβλια! Και αποφάσισα να δώσω στο αγαπημένο μου πρόσωπο (τον εαυτό μου) λίγες μέρες ευτυχίας). Ζήστε όμορφα χωρίς να αρνηθείτε τίποτα στον εαυτό σας. Ξοδέψτε 500 ρούβλια την πρώτη μέρα και κάθε επόμενη μέρα ξοδέψτε 50 ρούβλια περισσότερα από την προηγούμενη! Μέχρι να τελειώσουν τα λεφτά. Πόσες μέρες ευτυχίας είχε η Βάσια;
Είναι δύσκολο;) Η πρόσθετη φόρμουλα από την εργασία 2 θα βοηθήσει.
Απαντήσεις (σε αταξία): 7, 3240, 6.
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
