Διάγραμμα πίτας ημιτόνων και συνημιτόνων. Πώς να θυμάστε τις τιμές των συνημιτόνων και των ημιτόνων των κύριων σημείων του κύκλου των αριθμών. Αριθμητικές εξισώσεις κύκλου

Ποικίλος. Μερικά από αυτά αφορούν σε ποια τέταρτα το συνημίτονο είναι θετικό και αρνητικό, σε ποια τέταρτα το ημίτονο είναι θετικό και αρνητικό. Όλα αποδεικνύονται απλά αν γνωρίζετε πώς να υπολογίσετε την τιμή αυτών των συναρτήσεων σε διαφορετικές γωνίες και είστε εξοικειωμένοι με την αρχή της γραφικής παράστασης συναρτήσεων σε ένα γράφημα.

Ποιες είναι οι τιμές συνημίτονου;

Αν το λάβουμε υπόψη, έχουμε την εξής αναλογία διαστάσεων, που την καθορίζει: το συνημίτονο της γωνίας ΕΝΑείναι ο λόγος του διπλανού σκέλους BC προς την υποτείνουσα ΑΒ (Εικ. 1): συν ένα= BC/AB.

Χρησιμοποιώντας το ίδιο τρίγωνο μπορείτε να βρείτε το ημίτονο γωνίας, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης. Το ημίτονο θα είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς της γωνίας AC προς την υποτείνουσα ΑΒ. Η εφαπτομένη μιας γωνίας βρίσκεται αν το ημίτονο της επιθυμητής γωνίας διαιρεθεί με το συνημίτονο της ίδιας γωνίας. Αντικαθιστώντας τους αντίστοιχους τύπους για την εύρεση του ημιτόνου και του συνημίτονου, λαμβάνουμε ότι το tg ένα= AC/BC. Η συνεφαπτομένη, ως συνάρτηση αντίστροφη προς την εφαπτομένη, θα βρεθεί ως εξής: ctg ένα= BC/AC.

Δηλαδή, με τις ίδιες τιμές γωνίας, ανακαλύφθηκε ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ο λόγος διαστάσεων είναι πάντα ο ίδιος. Φαίνεται ότι έχει γίνει σαφές από πού προέρχονται αυτές οι τιμές, αλλά γιατί παίρνουμε αρνητικούς αριθμούς;

Για να γίνει αυτό, πρέπει να λάβετε υπόψη το τρίγωνο στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, όπου υπάρχουν και θετικά και αρνητικές τιμές.

Σαφώς για τα τέταρτα, πού είναι ποιο

Τι είναι οι καρτεσιανές συντεταγμένες; Αν μιλάμε για δισδιάστατο χώρο, έχουμε δύο κατευθυνόμενες γραμμές που τέμνονται στο σημείο O - αυτές είναι ο άξονας της τετμημένης (Ox) και ο άξονας τεταγμένων (Oy). Από το σημείο Ο προς την κατεύθυνση της ευθείας υπάρχουν θετικοί αριθμοί, και μέσα αντιθετη πλευρα- αρνητικό. Τελικά, αυτό καθορίζει άμεσα σε ποια τέταρτα το συνημίτονο είναι θετικό και σε ποια, κατά συνέπεια, αρνητικό.

Πρώτο τέταρτο

Αν τοποθετήσετε ορθογώνιο τρίγωνοστο πρώτο τρίμηνο (από 0 ο έως 90 ο), όπου ο άξονας x και y έχουν θετικές αξίες(τα τμήματα AO και BO βρίσκονται στους άξονες όπου οι τιμές έχουν πρόσημο "+"), τότε και το ημίτονο και το συνημίτονο θα έχουν επίσης θετικές τιμές και τους εκχωρείται μια τιμή με το σύμβολο "συν". Τι συμβαίνει όμως αν μετακινήσετε το τρίγωνο στο δεύτερο τέταρτο (από 90 o σε 180 o);

Δεύτερο τέταρτο

Βλέπουμε ότι κατά μήκος του άξονα y τα σκέλη AO έλαβαν αρνητική τιμή. Συνημίτονο γωνίας ένατώρα έχει αυτή την πλευρά σε σχέση με ένα μείον, και ως εκ τούτου η τελική του τιμή γίνεται αρνητική. Αποδεικνύεται ότι σε ποιο τέταρτο το συνημίτονο είναι θετικό εξαρτάται από την τοποθέτηση του τριγώνου στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Και σε αυτή την περίπτωση, το συνημίτονο της γωνίας λαμβάνει αρνητική τιμή. Αλλά για το ημίτονο τίποτα δεν έχει αλλάξει, γιατί για να προσδιορίσετε το πρόσημο του χρειάζεστε την πλευρά ΟΒ, η οποία σε αυτή την περίπτωση παρέμεινε με το σύμβολο συν. Ας συνοψίσουμε τα δύο πρώτα τρίμηνα.

Για να μάθετε σε ποια τέταρτα το συνημίτονο είναι θετικό και σε ποια είναι αρνητικό (καθώς και ημίτονο και άλλα τριγωνομετρικές συναρτήσεις), πρέπει να εξετάσετε ποιο σημάδι έχει εκχωρηθεί σε αυτό ή εκείνο το πόδι. Για συνημίτονο γωνίας έναΗ πλευρά ΑΟ είναι σημαντική, για το ημίτονο - ΟΒ.

Το πρώτο τρίμηνο έχει γίνει μέχρι στιγμής το μόνο που απαντά στην ερώτηση: «Σε ποια τρίμηνα είναι θετικά ημιτονοειδή και συνημίτονο ταυτόχρονα;» Ας δούμε περαιτέρω αν θα υπάρξουν περαιτέρω συμπτώσεις στο ζώδιο αυτών των δύο λειτουργιών.

Στο δεύτερο τρίμηνο, η πλευρά AO άρχισε να έχει αρνητική τιμή, πράγμα που σημαίνει ότι το συνημίτονο έγινε επίσης αρνητικό. Το ημίτονο διατηρείται θετικό.

Τρίτο τέταρτο

Τώρα και οι δύο πλευρές ΑΟ και ΟΒ έχουν γίνει αρνητικές. Ας θυμηθούμε τις σχέσεις για συνημίτονο και ημίτονο:

Cos a = AO/AB;

Sin a = VO/AV.

Το ΑΒ έχει πάντα θετικό πρόσημο σε ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων, αφού δεν κατευθύνεται σε καμία από τις δύο κατευθύνσεις που ορίζονται από τους άξονες. Αλλά τα σκέλη έχουν γίνει αρνητικά, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα και για τις δύο συναρτήσεις είναι επίσης αρνητικό, γιατί εάν εκτελείτε πράξεις πολλαπλασιασμού ή διαίρεσης με αριθμούς, μεταξύ των οποίων ένα και μόνο ένα έχει σύμβολο μείον, τότε το αποτέλεσμα θα είναι επίσης με αυτό το πρόσημο.

Το αποτέλεσμα σε αυτό το στάδιο:

1) Σε ποιο τέταρτο είναι θετικό το συνημίτονο; Στο πρώτο από τα τρία.

2) Σε ποιο τρίμηνο είναι το ημιτονικό θετικό; Στο πρώτο και δεύτερο από τα τρία.

Τέταρτο τρίμηνο (από 270 o έως 360 o)

Εδώ η πλευρά ΑΟ αποκτά πάλι πρόσημο συν, άρα και το συνημίτονο.

Για τον ημιτονικό, τα πράγματα εξακολουθούν να είναι "αρνητικά", επειδή το πόδι OB παραμένει κάτω από το σημείο εκκίνησης O.

συμπεράσματα

Για να καταλάβετε σε ποια τέταρτα το συνημίτονο είναι θετικό, αρνητικό κ.λπ., πρέπει να θυμάστε τη σχέση για τον υπολογισμό του συνημιτόνου: το σκέλος δίπλα στη γωνία που διαιρείται με την υποτείνουσα. Μερικοί δάσκαλοι προτείνουν να θυμάστε αυτό: k(osine) = (k) γωνία. Εάν θυμάστε αυτό το "απάτη", τότε αυτόματα καταλαβαίνετε ότι το ημίτονο είναι η αναλογία του αντίθετου σκέλους της γωνίας προς την υποτείνουσα.

Είναι αρκετά δύσκολο να θυμηθούμε σε ποια τέταρτα το συνημίτονο είναι θετικό και σε ποια είναι αρνητικό. Υπάρχουν πολλές τριγωνομετρικές συναρτήσεις και όλες έχουν τη δική τους σημασία. Ωστόσο, ως αποτέλεσμα: οι θετικές τιμές για το ημίτονο είναι 1,2 τέταρτα (από 0 o έως 180 o). για συνημίτονο 1,4 τέταρτα (από 0 ο έως 90 ο και από 270 ο έως 360 ο). Στα υπόλοιπα τέταρτα οι συναρτήσεις έχουν τιμές μείον.

Ίσως θα είναι ευκολότερο για κάποιον να θυμηθεί ποιο σημάδι είναι ποιο απεικονίζοντας τη λειτουργία.

Για το ημίτονο είναι σαφές ότι από το μηδέν έως το 180 o η κορυφογραμμή είναι πάνω από τη γραμμή των τιμών sin(x), που σημαίνει ότι η συνάρτηση εδώ είναι θετική. Για το συνημίτονο είναι το ίδιο: σε ποιο τέταρτο το συνημίτονο είναι θετικό (φωτογραφία 7) και σε ποιο είναι αρνητικό, μπορείτε να δείτε μετακινώντας τη γραμμή πάνω και κάτω από τον άξονα cos(x). Ως αποτέλεσμα, μπορούμε να θυμηθούμε δύο τρόπους για να προσδιορίσουμε το πρόσημο των συναρτήσεων ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς:

1. Βασισμένο σε έναν φανταστικό κύκλο με ακτίνα ίση με ένα (αν και, στην πραγματικότητα, δεν έχει σημασία ποια είναι η ακτίνα του κύκλου, αυτό είναι το παράδειγμα που δίνεται συχνότερα στα σχολικά βιβλία· αυτό διευκολύνει την κατανόηση, αλλά στο την ίδια στιγμή, εκτός και αν ορίζεται ότι αυτό δεν έχει σημασία, τα παιδιά μπορεί να μπερδευτούν).

2. Απεικονίζοντας την εξάρτηση της συνάρτησης κατά μήκος (x) από το ίδιο το όρισμα x, όπως στο τελευταίο σχήμα.

Χρησιμοποιώντας την πρώτη μέθοδο, μπορείτε να ΚΑΤΑΛΑΒΕΤΕ από τι ακριβώς εξαρτάται το σημάδι και το εξηγήσαμε λεπτομερώς παραπάνω. Το Σχήμα 7, που κατασκευάστηκε από αυτά τα δεδομένα, απεικονίζει τη συνάρτηση που προκύπτει και το πρόσημά της με τον καλύτερο δυνατό τρόπο.

Με απλά λόγια, πρόκειται για λαχανικά μαγειρεμένα σε νερό σύμφωνα με ειδική συνταγή. Θα εξετάσω δύο αρχικά συστατικά (σαλάτα λαχανικών και νερό) και το τελικό αποτέλεσμα - μπορς. Γεωμετρικά, μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ορθογώνιο, με τη μία πλευρά να αντιπροσωπεύει το μαρούλι και την άλλη πλευρά να αντιπροσωπεύει το νερό. Το άθροισμα αυτών των δύο πλευρών θα δείχνει μπορς. Η διαγώνιος και το εμβαδόν ενός τέτοιου ορθογωνίου "μπορς" είναι καθαρά μαθηματικές έννοιες και δεν χρησιμοποιούνται ποτέ σε συνταγές με μπορς.

Πώς το μαρούλι και το νερό μετατρέπονται σε μπορς από μαθηματική άποψη; Πώς μπορεί το άθροισμα δύο ευθύγραμμων τμημάτων να γίνει τριγωνομετρία; Για να το καταλάβουμε αυτό, χρειαζόμαστε γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις.

Δεν θα βρείτε τίποτα για τις γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις στα σχολικά βιβλία μαθηματικών. Αλλά χωρίς αυτά δεν μπορούν να υπάρξουν μαθηματικά. Οι νόμοι των μαθηματικών, όπως και οι νόμοι της φύσης, λειτουργούν ανεξάρτητα από το αν γνωρίζουμε την ύπαρξή τους ή όχι.

Οι γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις είναι νόμοι πρόσθεσης.Δείτε πώς η άλγεβρα μετατρέπεται σε γεωμετρία και η γεωμετρία σε τριγωνομετρία.

Είναι δυνατόν να γίνει χωρίς γραμμικό γωνιακές συναρτήσεις? Είναι δυνατό, γιατί οι μαθηματικοί εξακολουθούν να τα καταφέρνουν χωρίς αυτούς. Το κόλπο των μαθηματικών είναι ότι πάντα μας λένε μόνο για εκείνα τα προβλήματα που οι ίδιοι ξέρουν να λύνουν και ποτέ δεν μιλούν για εκείνα τα προβλήματα που δεν μπορούν να λύσουν. Κοίτα. Αν γνωρίζουμε το αποτέλεσμα της πρόσθεσης και ενός όρου, χρησιμοποιούμε την αφαίρεση για να βρούμε τον άλλο όρο. Ολα. Δεν γνωρίζουμε άλλα προβλήματα και δεν ξέρουμε πώς να τα λύσουμε. Τι πρέπει να κάνουμε αν γνωρίζουμε μόνο το αποτέλεσμα της πρόσθεσης και δεν γνωρίζουμε και τους δύο όρους; Σε αυτή την περίπτωση, το αποτέλεσμα της πρόσθεσης πρέπει να αποσυντεθεί σε δύο όρους χρησιμοποιώντας γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις. Στη συνέχεια, εμείς οι ίδιοι επιλέγουμε ποιος μπορεί να είναι ένας όρος και οι γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις δείχνουν ποιος πρέπει να είναι ο δεύτερος όρος, ώστε το αποτέλεσμα της πρόσθεσης να είναι ακριβώς αυτό που χρειαζόμαστε. Μπορεί να υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων ζευγών όρων. ΣΕ Καθημερινή ζωήΜπορούμε να κάνουμε μια χαρά χωρίς να αποσυνθέσουμε το άθροισμα· η αφαίρεση μας αρκεί. Αλλά όταν επιστημονική έρευνανόμους της φύσης, η αποσύνθεση ενός αθροίσματος στα συστατικά του μπορεί να είναι πολύ χρήσιμη.

Ένας άλλος νόμος της πρόσθεσης για τον οποίο οι μαθηματικοί δεν αρέσει να μιλούν (άλλο ένα από τα κόλπα τους) απαιτεί οι όροι να έχουν τις ίδιες μονάδες μέτρησης. Για σαλάτα, νερό και μπορς, αυτά μπορεί να είναι μονάδες βάρους, όγκου, αξίας ή μονάδας μέτρησης.

Το σχήμα δείχνει δύο επίπεδα διαφοράς για τα μαθηματικά. Το πρώτο επίπεδο είναι οι διαφορές στο πεδίο των αριθμών, οι οποίες υποδεικνύονται ένα, σι, ντο. Αυτό κάνουν οι μαθηματικοί. Το δεύτερο επίπεδο είναι οι διαφορές στο πεδίο των μονάδων μέτρησης, οι οποίες εμφανίζονται σε αγκύλες και υποδεικνύονται με το γράμμα U. Αυτό κάνουν οι φυσικοί. Μπορούμε να κατανοήσουμε το τρίτο επίπεδο - διαφορές στην περιοχή των αντικειμένων που περιγράφονται. Διαφορετικά αντικείμενα μπορεί να έχουν τον ίδιο αριθμό πανομοιότυπων μονάδων μέτρησης. Το πόσο σημαντικό είναι αυτό, μπορούμε να το δούμε στο παράδειγμα της τριγωνομετρίας μπορς. Αν προσθέσουμε δείκτες στον ίδιο προσδιορισμό μονάδων μέτρησης διαφορετικών αντικειμένων, μπορούμε να πούμε ακριβώς ποιες μαθηματική ποσότηταπεριγράφει ένα συγκεκριμένο αντικείμενο και πώς αλλάζει με την πάροδο του χρόνου ή λόγω των πράξεών μας. Γράμμα WΘα ορίσω το νερό με ένα γράμμα μικρόΘα ορίσω τη σαλάτα με ένα γράμμα σι- μπορς. Έτσι θα μοιάζουν οι γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις για το μπορς.

Αν πάρουμε λίγο από το νερό και λίγο από τη σαλάτα, μαζί θα γίνουν μια μερίδα μπορς. Εδώ σας προτείνω να κάνετε ένα μικρό διάλειμμα από το μπορς και να θυμηθείτε τα μακρινά παιδικά σας χρόνια. Θυμάστε πώς μας έμαθαν να βάζουμε κουνελάκια και πάπιες μαζί; Ήταν απαραίτητο να βρούμε πόσα ζώα θα υπήρχαν. Τι μας έμαθαν να κάνουμε τότε; Μας έμαθαν να διαχωρίζουμε τις μονάδες μέτρησης από τους αριθμούς και να προσθέτουμε αριθμούς. Ναι, οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να προστεθεί σε οποιονδήποτε άλλο αριθμό. Αυτός είναι ένας άμεσος δρόμος προς τον αυτισμό σύγχρονα μαθηματικά- Κάνουμε ακατανόητα τι, ακατανόητα γιατί, και καταλαβαίνουμε πολύ κακώς πώς αυτό σχετίζεται με την πραγματικότητα, λόγω των τριών επιπέδων διαφοράς, οι μαθηματικοί λειτουργούν μόνο με ένα. Θα ήταν πιο σωστό να μάθουμε πώς να μετακινούμαστε από τη μια μονάδα μέτρησης στην άλλη.

Τα κουνελάκια, οι πάπιες και τα ζωάκια μπορούν να μετρηθούν σε κομμάτια. Μια κοινή μονάδα μέτρησης για διαφορετικά αντικείμενα μας επιτρέπει να τα προσθέσουμε μαζί. Αυτή είναι μια παιδική εκδοχή του προβλήματος. Ας δούμε ένα παρόμοιο πρόβλημα για ενήλικες. Τι κερδίζετε όταν προσθέτετε κουνελάκια και χρήματα; Υπάρχουν δύο πιθανές λύσεις εδώ.

Πρώτη επιλογή. Καθορίζουμε την αγοραία αξία των κουνελιών και την προσθέτουμε στο διαθέσιμο χρηματικό ποσό. Πήραμε τη συνολική αξία του πλούτου μας σε χρηματικούς όρους.

Δεύτερη επιλογή. Μπορείτε να προσθέσετε τον αριθμό των κουνελιών στον αριθμό των τραπεζογραμματίων που έχουμε. Θα λάβουμε το ποσό της κινητής περιουσίας σε κομμάτια.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο ίδιος νόμος πρόσθεσης σας επιτρέπει να έχετε διαφορετικά αποτελέσματα. Όλα εξαρτώνται από το τι ακριβώς θέλουμε να μάθουμε.

Ας επιστρέψουμε όμως στο μπορς μας. Τώρα μπορούμε να δούμε τι θα συμβεί πότε διαφορετικές έννοιεςγωνία γραμμικών γωνιακών συναρτήσεων.

Η γωνία είναι μηδέν. Έχουμε σαλάτα, αλλά όχι νερό. Δεν μπορούμε να μαγειρέψουμε μπορς. Η ποσότητα του μπορς είναι επίσης μηδενική. Αυτό δεν σημαίνει καθόλου ότι το μηδέν μπορς είναι ίσο με μηδέν νερό. Μπορεί να υπάρχει μηδέν μπορς με μηδέν σαλάτα (ορθή γωνία).

Για μένα προσωπικά, αυτή είναι η κύρια μαθηματική απόδειξη του γεγονότος ότι . Το μηδέν δεν αλλάζει τον αριθμό όταν προστίθεται. Αυτό συμβαίνει επειδή η ίδια η προσθήκη είναι αδύνατη εάν υπάρχει μόνο ένας όρος και ο δεύτερος όρος λείπει. Μπορείτε να το αισθανθείτε όπως θέλετε, αλλά να θυμάστε - όλες οι μαθηματικές πράξεις με το μηδέν εφευρέθηκαν από τους ίδιους τους μαθηματικούς, γι' αυτό πετάξτε τη λογική σας και στριμώξτε ανόητα τους ορισμούς που επινοούν οι μαθηματικοί: "η διαίρεση με το μηδέν είναι αδύνατη", "οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιάζεται με το μηδέν ισούται με μηδέν», «πέρα από το σημείο διάτρησης μηδέν» και άλλες ανοησίες. Αρκεί να θυμάστε μια φορά ότι το μηδέν δεν είναι αριθμός και δεν θα έχετε ποτέ ξανά ερώτηση εάν το μηδέν είναι φυσικός αριθμός ή όχι, γιατί μια τέτοια ερώτηση χάνει κάθε νόημα: πώς μπορεί κάτι που δεν είναι αριθμός να θεωρείται αριθμός ? Είναι σαν να ρωτάς σε ποιο χρώμα πρέπει να ταξινομηθεί ένα αόρατο χρώμα. Το να προσθέσετε ένα μηδέν σε έναν αριθμό είναι το ίδιο με το να ζωγραφίζετε με μπογιά που δεν υπάρχει. Κουνήσαμε ένα στεγνό πινέλο και είπαμε σε όλους ότι «ζωγραφίσαμε». Αλλά ξεφεύγω λίγο.

Η γωνία είναι μεγαλύτερη από το μηδέν αλλά μικρότερη από σαράντα πέντε μοίρες. Έχουμε πολλά μαρούλια, αλλά όχι αρκετό νερό. Ως αποτέλεσμα, θα πάρουμε χοντρό μπορς.

Η γωνία είναι σαράντα πέντε μοίρες. Έχουμε ίσες ποσότητες νερού και σαλάτας. Αυτό είναι το τέλειο μπορς (συγχωρέστε με, σεφ, είναι απλά μαθηματικά).

Η γωνία είναι μεγαλύτερη από σαράντα πέντε μοίρες, αλλά μικρότερη από ενενήντα μοίρες. Έχουμε πολύ νερό και λίγη σαλάτα. Θα πάρετε υγρό μπορς.

Ορθή γωνία. Έχουμε νερό. Το μόνο που μένει από τη σαλάτα είναι αναμνήσεις, καθώς συνεχίζουμε να μετράμε τη γωνία από τη γραμμή που κάποτε χαρακτήριζε τη σαλάτα. Δεν μπορούμε να μαγειρέψουμε μπορς. Η ποσότητα του μπορς είναι μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, κρατηθείτε και πίνετε νερό όσο το έχετε)))

Εδώ. Κάτι σαν αυτό. Μπορώ να πω άλλες ιστορίες εδώ που θα ήταν περισσότερο από κατάλληλες εδώ.

Δύο φίλοι είχαν τις μετοχές τους σε μια κοινή επιχείρηση. Αφού σκότωσε τον έναν από αυτούς, όλα πήγαν στον άλλον.

Η εμφάνιση των μαθηματικών στον πλανήτη μας.

Όλες αυτές οι ιστορίες λέγονται στη γλώσσα των μαθηματικών χρησιμοποιώντας γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις. Κάποια άλλη φορά θα σας δείξω την πραγματική θέση αυτών των συναρτήσεων στη δομή των μαθηματικών. Εν τω μεταξύ, ας επιστρέψουμε στην τριγωνομετρία του μπορς και ας εξετάσουμε τις προβολές.

Σάββατο 26 Οκτωβρίου 2019

Είδα ένα ενδιαφέρον βίντεο σχετικά με Σειρά Grundy Ένα μείον ένα συν ένα μείον ένα - Numberphile. Οι μαθηματικοί λένε ψέματα. Δεν έκαναν έλεγχο ισότητας κατά τη συλλογιστική τους.

Αυτό απηχεί τις σκέψεις μου για το .

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στα σημάδια ότι οι μαθηματικοί μας εξαπατούν. Στην αρχή του επιχειρήματος, οι μαθηματικοί λένε ότι το άθροισμα μιας ακολουθίας ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ από το αν έχει ζυγό αριθμό στοιχείων ή όχι. Αυτό είναι ένα ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΑ ΤΕΚΜΕΝΟ ΓΕΓΟΝΟΣ. Τι συμβαίνει μετά?

Στη συνέχεια, οι μαθηματικοί αφαιρούν την ακολουθία από την ενότητα. Σε τι οδηγεί αυτό; Αυτό οδηγεί σε αλλαγή στον αριθμό των στοιχείων της ακολουθίας - ένας ζυγός αριθμός αλλάζει σε περιττό, ένας περιττός αριθμός αλλάζει σε ζυγό. Μετά από όλα, προσθέσαμε ένα στοιχείο ίσο με ένα στην ακολουθία. Παρ' όλη την εξωτερική ομοιότητα, η ακολουθία πριν από τον μετασχηματισμό δεν είναι ίση με την ακολουθία μετά τον μετασχηματισμό. Ακόμα κι αν μιλάμε για μια άπειρη ακολουθία, πρέπει να θυμόμαστε ότι ο δαίμονας τελική ακολουθίαμε περιττό αριθμό στοιχείων δεν ισούται με άπειρη ακολουθία με ζυγό αριθμό στοιχείων.

Βάζοντας ένα πρόσημο ίσου μεταξύ δύο ακολουθιών με διαφορετικούς αριθμούς στοιχείων, οι μαθηματικοί ισχυρίζονται ότι το άθροισμα της ακολουθίας ΔΕΝ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ από τον αριθμό των στοιχείων της ακολουθίας, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με ένα ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΑ ΤΕΚΜΕΝΟ ΓΕΓΟΝΟΣ. Περαιτέρω συλλογισμός σχετικά με το άθροισμα μιας άπειρης ακολουθίας είναι ψευδής, αφού βασίζεται σε μια ψευδή ισότητα.

Αν δείτε ότι οι μαθηματικοί, κατά τη διάρκεια των αποδείξεων, τοποθετούν αγκύλες, αναδιατάσσουν στοιχεία μιας μαθηματικής έκφρασης, προσθέτουν ή αφαιρούν κάτι, να είστε πολύ προσεκτικοί, πιθανότατα προσπαθούν να σας εξαπατήσουν. Όπως οι μάγοι καρτών, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν διάφορους χειρισμούς έκφρασης για να αποσπάσουν την προσοχή σας προκειμένου να σας δώσουν τελικά ένα ψευδές αποτέλεσμα. Εάν δεν μπορείτε να επαναλάβετε ένα κόλπο με κάρτες χωρίς να γνωρίζετε το μυστικό της εξαπάτησης, τότε στα μαθηματικά όλα είναι πολύ πιο απλά: δεν υποψιάζεστε καν τίποτα για την εξαπάτηση, αλλά η επανάληψη όλων των χειρισμών με μια μαθηματική έκφραση σας επιτρέπει να πείσετε τους άλλους για την ορθότητα της το αποτέλεσμα που προέκυψε, όπως όταν -σε έπεισαν.

Ερώτηση από το κοινό: Είναι το άπειρο (ως ο αριθμός των στοιχείων της ακολουθίας S) ζυγό ή περιττό; Πώς μπορείς να αλλάξεις την ισοτιμία σε κάτι που δεν έχει ισοτιμία;

Το άπειρο είναι για τους μαθηματικούς, όπως το Βασίλειο των Ουρανών για τους ιερείς - κανείς δεν έχει πάει ποτέ εκεί, αλλά όλοι ξέρουν ακριβώς πώς λειτουργούν όλα εκεί))) Συμφωνώ, μετά θάνατον θα αδιαφορείς για το αν ζούσες ζυγό ή μονό αριθμό ημερών, αλλά... Προσθέτοντας μόνο μία μέρα στην αρχή της ζωής σας, θα έχουμε ένα εντελώς διαφορετικό άτομο: το επώνυμο, το όνομα και το πατρώνυμο του είναι ακριβώς τα ίδια, μόνο η ημερομηνία γέννησης είναι εντελώς διαφορετική - ήταν γεννήθηκε μια μέρα πριν από σένα.

Τώρα ας πάμε στο θέμα))) Ας πούμε ότι μια πεπερασμένη ακολουθία που έχει ισοτιμία χάνει αυτήν την ισοτιμία όταν πηγαίνει στο άπειρο. Τότε κάθε πεπερασμένο τμήμα μιας άπειρης ακολουθίας πρέπει να χάσει την ισοτιμία. Δεν το βλέπουμε αυτό. Το γεγονός ότι δεν μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα εάν μια άπειρη ακολουθία έχει ζυγό ή περιττό αριθμό στοιχείων δεν σημαίνει ότι η ισοτιμία έχει εξαφανιστεί. Η ισοτιμία, αν υπάρχει, δεν μπορεί να εξαφανιστεί χωρίς ίχνος στο άπειρο, όπως στο μανίκι ενός αιχμηρού. Υπάρχει μια πολύ καλή αναλογία για αυτή την περίπτωση.

Έχετε ρωτήσει ποτέ τον κούκο που κάθεται στο ρολόι προς ποια κατεύθυνση περιστρέφεται ο δείκτης του ρολογιού; Για αυτήν, το βέλος περιστρέφεται μέσα αντίστροφη κατεύθυνσηαυτό που λέμε «δεξιόστροφα». Όσο παράδοξο κι αν ακούγεται, η φορά περιστροφής εξαρτάται αποκλειστικά από ποια πλευρά παρατηρούμε την περιστροφή. Και έτσι, έχουμε έναν τροχό που περιστρέφεται. Δεν μπορούμε να πούμε σε ποια κατεύθυνση συμβαίνει η περιστροφή, αφού μπορούμε να την παρατηρήσουμε τόσο από τη μία πλευρά του επιπέδου περιστροφής όσο και από την άλλη. Μπορούμε μόνο να καταθέσουμε το γεγονός ότι υπάρχει εναλλαγή. Πλήρης αναλογία με την ισοτιμία μιας άπειρης ακολουθίας μικρό.

Τώρα ας προσθέσουμε έναν δεύτερο περιστρεφόμενο τροχό, το επίπεδο περιστροφής του οποίου είναι παράλληλο με το επίπεδο περιστροφής του πρώτου περιστρεφόμενου τροχού. Δεν μπορούμε ακόμα να πούμε με βεβαιότητα προς ποια κατεύθυνση περιστρέφονται αυτοί οι τροχοί, αλλά μπορούμε να πούμε απολύτως αν και οι δύο τροχοί περιστρέφονται προς την ίδια κατεύθυνση ή προς την αντίθετη κατεύθυνση. Συγκρίνοντας δύο άπειρες ακολουθίες μικρόΚαι 1-S, έδειξα με τη βοήθεια των μαθηματικών ότι αυτές οι ακολουθίες έχουν διαφορετικές ισοτιμίες και το να βάλεις ίσο μεταξύ τους είναι λάθος. Προσωπικά, εμπιστεύομαι τα μαθηματικά, δεν εμπιστεύομαι τους μαθηματικούς))) Παρεμπιπτόντως, για να κατανοήσουμε πλήρως τη γεωμετρία των μετασχηματισμών άπειρων ακολουθιών, είναι απαραίτητο να εισαγάγουμε την έννοια "συγχρονισμός". Αυτό θα πρέπει να σχεδιαστεί.

Τετάρτη 7 Αυγούστου 2019

Ολοκληρώνοντας τη συζήτηση, πρέπει να εξετάσουμε ένα άπειρο σύνολο. Το θέμα είναι ότι η έννοια του «άπειρου» επηρεάζει τους μαθηματικούς όπως ο βόας συσφιγκτήρας επηρεάζει ένα κουνέλι. Η τρέμουσα φρίκη του απείρου στερεί τους μαθηματικούς ΚΟΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εδώ είναι ένα παράδειγμα:

Η αρχική πηγή βρίσκεται. Το Alpha σημαίνει πραγματικός αριθμός. Το πρόσημο ίσου στις παραπάνω εκφράσεις δείχνει ότι αν προσθέσετε έναν αριθμό ή άπειρο στο άπειρο, τίποτα δεν θα αλλάξει, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο άπειρο. Αν πάρουμε ως παράδειγμα το άπειρο σύνολο φυσικούς αριθμούς, τότε τα εξεταζόμενα παραδείγματα μπορούν να παρουσιαστούν ως εξής:

Για να αποδείξουν ξεκάθαρα ότι είχαν δίκιο, οι μαθηματικοί βρήκαν πολλές διαφορετικές μεθόδους. Προσωπικά, βλέπω όλες αυτές τις μεθόδους ως σαμάνους που χορεύουν με ντέφια. Ουσιαστικά, όλα συνοψίζονται στο γεγονός ότι είτε κάποια από τα δωμάτια είναι ακατοίκητα και νέοι επισκέπτες μετακομίζουν μέσα, είτε ότι κάποιοι από τους επισκέπτες πετιούνται στο διάδρομο για να κάνουν χώρο για τους επισκέπτες (πολύ ανθρώπινα). Έχω εκφράσει τις απόψεις μου για τέτοιες αποφάσεις στο έντυπο φανταστική ιστορίαγια την Ξανθιά. Σε τι βασίζεται το σκεπτικό μου; Η μετεγκατάσταση ενός άπειρου αριθμού επισκεπτών απαιτεί άπειρο χρόνο. Αφού αδειάσουμε το πρώτο δωμάτιο για έναν επισκέπτη, ένας από τους επισκέπτες θα περπατά πάντα κατά μήκος του διαδρόμου από το δωμάτιό του στο επόμενο μέχρι το τέλος του χρόνου. Φυσικά, ο παράγοντας χρόνος μπορεί να αγνοηθεί ανόητα, αλλά αυτό θα είναι στην κατηγορία του «κανένας νόμος δεν είναι γραμμένος για ανόητους». Όλα εξαρτώνται από το τι κάνουμε: προσαρμογή της πραγματικότητας στις μαθηματικές θεωρίες ή το αντίστροφο.

Τι είναι ένα «ατελείωτο ξενοδοχείο»; Ένα άπειρο ξενοδοχείο είναι ένα ξενοδοχείο που έχει πάντα οποιονδήποτε αριθμό κενών κρεβατιών, ανεξάρτητα από το πόσα δωμάτια είναι κατειλημμένα. Αν όλα τα δωμάτια στον ατελείωτο διάδρομο «επισκέπτη» είναι κατειλημμένα, υπάρχει ένας άλλος ατελείωτος διάδρομος με δωμάτια «ξενώνες». Θα υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων διαδρόμων. Επιπλέον, το «άπειρο ξενοδοχείο» έχει έναν άπειρο αριθμό ορόφων σε έναν άπειρο αριθμό κτιρίων σε έναν άπειρο αριθμό πλανητών σε έναν άπειρο αριθμό συμπάντων που δημιουργήθηκαν άπειρος αριθμόςΘεοί. Οι μαθηματικοί δεν μπορούν να αποστασιοποιηθούν από τα κοινά καθημερινά προβλήματα: υπάρχει πάντα μόνο ένας Θεός-Αλλάχ-Βούδας, υπάρχει μόνο ένα ξενοδοχείο, υπάρχει μόνο ένας διάδρομος. Έτσι, οι μαθηματικοί προσπαθούν να ταχυδακτυλουργήσουν τους σειριακούς αριθμούς των δωματίων του ξενοδοχείου, πείθοντάς μας ότι είναι δυνατό να «χτυπήσουμε το αδύνατο».

Θα σας δείξω τη λογική του συλλογισμού μου χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός άπειρου συνόλου φυσικών αριθμών. Πρώτα πρέπει να απαντήσετε σε μια πολύ απλή ερώτηση: πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν - ένα ή πολλά; Δεν υπάρχει σωστή απάντηση σε αυτή την ερώτηση, αφού εφεύραμε τους αριθμούς μόνοι μας· οι αριθμοί δεν υπάρχουν στη Φύση. Ναι, η Φύση είναι εξαιρετική στο να μετράει, αλλά για αυτό χρησιμοποιεί άλλα μαθηματικά εργαλεία που δεν μας είναι οικεία. Θα σας πω τι σκέφτεται η Φύση μια άλλη φορά. Εφόσον εφεύραμε τους αριθμούς, εμείς οι ίδιοι θα αποφασίσουμε πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν. Ας εξετάσουμε και τις δύο επιλογές, όπως αρμόζει σε πραγματικούς επιστήμονες.

Επιλογή μία. «Ας μας δοθεί» ένα ενιαίο σύνολο φυσικών αριθμών, που βρίσκεται γαλήνια στο ράφι. Παίρνουμε αυτό το σετ από το ράφι. Αυτό ήταν, δεν έχουν μείνει άλλοι φυσικοί αριθμοί στο ράφι και πουθενά να τους πάρεις. Δεν μπορούμε να προσθέσουμε ένα σε αυτό το σύνολο, αφού το έχουμε ήδη. Τι γίνεται αν το θέλεις πραγματικά; Κανένα πρόβλημα. Μπορούμε να πάρουμε ένα από το σετ που έχουμε ήδη πάρει και να το επιστρέψουμε στο ράφι. Μετά από αυτό, μπορούμε να πάρουμε ένα από το ράφι και να το προσθέσουμε σε ότι μας περισσεύει. Ως αποτέλεσμα, θα πάρουμε ξανά ένα άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών. Μπορείτε να γράψετε όλους τους χειρισμούς μας ως εξής:

Κατέγραψα τις ενέργειες στο αλγεβρικό σύστημασημειογραφία και στο σύστημα σημειογραφίας που υιοθετείται στη θεωρία συνόλων, με λεπτομερή λίστα των στοιχείων του συνόλου. Ο δείκτης υποδεικνύει ότι έχουμε ένα και μοναδικό σύνολο φυσικών αριθμών. Αποδεικνύεται ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών θα παραμείνει αμετάβλητο μόνο αν αφαιρεθεί ένας από αυτό και προστεθεί η ίδια μονάδα.

Επιλογή δύο. Έχουμε πολλά διαφορετικά άπειρα σύνολα φυσικών αριθμών στο ράφι μας. Τονίζω - ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ, παρά το γεγονός ότι πρακτικά δεν διακρίνονται. Ας πάρουμε ένα από αυτά τα σετ. Στη συνέχεια παίρνουμε έναν από ένα άλλο σύνολο φυσικών αριθμών και τον προσθέτουμε στο σύνολο που έχουμε ήδη πάρει. Μπορούμε ακόμη να προσθέσουμε δύο σύνολα φυσικών αριθμών. Αυτό είναι αυτό που παίρνουμε:

Οι δείκτες "ένα" και "δύο" υποδεικνύουν ότι αυτά τα στοιχεία ανήκαν σε διαφορετικά σύνολα. Ναι, αν προσθέσετε ένα σε ένα άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης ένα άπειρο σύνολο, αλλά δεν θα είναι το ίδιο με το αρχικό σύνολο. Εάν προσθέσετε ένα άλλο άπειρο σύνολο σε ένα άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα είναι ένα νέο άπειρο σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία των δύο πρώτων συνόλων.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών χρησιμοποιείται για μέτρηση με τον ίδιο τρόπο που χρησιμοποιείται ένας χάρακας για τη μέτρηση. Τώρα φανταστείτε ότι προσθέσατε ένα εκατοστό στον χάρακα. Αυτή θα είναι μια διαφορετική γραμμή, όχι ίση με την αρχική.

Μπορείτε να δεχτείτε ή να μην αποδεχτείτε το σκεπτικό μου - είναι δική σας υπόθεση. Αν όμως κάποια μέρα συναντήσετε μαθηματικά προβλήματα, σκεφτείτε αν ακολουθείτε το μονοπάτι της ψευδούς συλλογιστικής που έχουν πατήσει γενιές μαθηματικών. Εξάλλου, η μελέτη των μαθηματικών, πρώτα απ 'όλα, σχηματίζει ένα σταθερό στερεότυπο σκέψης μέσα μας και μόνο τότε προσθέτει στις νοητικές μας ικανότητες (ή, αντίθετα, μας στερεί την ελεύθερη σκέψη).

pozg.ru

Κυριακή 4 Αυγούστου 2019

Τελειώνω ένα υστερόγραφο σε ένα άρθρο σχετικά και είδα αυτό το υπέροχο κείμενο στη Wikipedia:

Διαβάζουμε: «... πλούσιος θεωρητική βάσηΤα μαθηματικά της Βαβυλώνας δεν είχαν ολιστικό χαρακτήρα και περιορίστηκαν σε ένα σύνολο ανόμοιων τεχνικών, χωρίς κοινό σύστημακαι βάση αποδεικτικών στοιχείων».

Ουάου! Πόσο έξυπνοι είμαστε και πόσο καλά μπορούμε να δούμε τις ελλείψεις των άλλων. Είναι δύσκολο για εμάς να δούμε τα σύγχρονα μαθηματικά στο ίδιο πλαίσιο; Παραφράζοντας ελαφρώς το παραπάνω κείμενο, προσωπικά πήρα τα εξής:

Η πλούσια θεωρητική βάση των σύγχρονων μαθηματικών δεν έχει ολιστικό χαρακτήρα και περιορίζεται σε ένα σύνολο ανόμοιων τμημάτων, χωρίς κοινό σύστημα και βάση στοιχείων.

Δεν θα πάω μακριά για να επιβεβαιώσω τα λόγια μου - έχει γλώσσα και συμβάσεις που διαφέρουν από τη γλώσσα και σύμβολαπολλούς άλλους κλάδους των μαθηματικών. Τα ίδια ονόματα σε διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών μπορεί να έχουν διαφορετική σημασία. Θέλω να αφιερώσω μια ολόκληρη σειρά δημοσιεύσεων στα πιο προφανή λάθη των σύγχρονων μαθηματικών. Τα λέμε σύντομα.

Σάββατο 3 Αυγούστου 2019

Πώς να χωρίσετε ένα σύνολο σε υποσύνολα; Για να γίνει αυτό, πρέπει να εισαγάγετε μια νέα μονάδα μέτρησης που υπάρχει σε ορισμένα από τα στοιχεία του επιλεγμένου συνόλου. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Μακάρι να έχουμε πολλά ΕΝΑπου αποτελείται από τέσσερα άτομα. Αυτό το σύνολο σχηματίζεται με βάση το «άνθρωποι». Ας υποδηλώσουμε τα στοιχεία αυτού του συνόλου με το γράμμα ΕΝΑ, θα δείχνει ο δείκτης με έναν αριθμό σειριακός αριθμόςκάθε άτομο σε αυτό το πλήθος. Ας εισαγάγουμε μια νέα μονάδα μέτρησης «φύλο» και ας τη συμβολίσουμε με το γράμμα σι. Δεδομένου ότι τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά είναι εγγενή σε όλους τους ανθρώπους, πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο του συνόλου ΕΝΑμε βάση το φύλο σι. Παρατηρήστε ότι το σύνολο των «ανθρώπων» μας έχει πλέον γίνει ένα σύνολο «ανθρώπων με χαρακτηριστικά φύλου». Μετά από αυτό μπορούμε να χωρίσουμε τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά σε αρσενικά bmκαι γυναικεία bwσεξουαλικά χαρακτηριστικά. Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε ένα μαθηματικό φίλτρο: επιλέγουμε ένα από αυτά τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά, ανεξάρτητα από το - αρσενικό ή θηλυκό. Αν κάποιος το έχει, τότε το πολλαπλασιάζουμε με ένα, αν δεν υπάρχει τέτοιο σημάδι, το πολλαπλασιάζουμε με το μηδέν. Και μετά χρησιμοποιούμε κανονικά σχολικά μαθηματικά. Δείτε τι έγινε.

Μετά τον πολλαπλασιασμό, τη μείωση και την αναδιάταξη, καταλήξαμε σε δύο υποσύνολα: το υποσύνολο των ανδρών Bmκαι ένα υποσύνολο γυναικών Bw. Οι μαθηματικοί συλλογίζονται περίπου με τον ίδιο τρόπο όταν εφαρμόζουν τη θεωρία συνόλων στην πράξη. Αλλά δεν μας λένε τις λεπτομέρειες, αλλά μας δίνουν το τελικό αποτέλεσμα - «πολλοί άνθρωποι αποτελούνται από ένα υποσύνολο ανδρών και ένα υποσύνολο γυναικών». Φυσικά, μπορεί να έχετε μια ερώτηση: πόσο σωστά έχουν εφαρμοστεί τα μαθηματικά στους μετασχηματισμούς που περιγράφονται παραπάνω; Τολμώ να σας διαβεβαιώσω ότι στην ουσία οι μετασχηματισμοί έγιναν σωστά· αρκεί να γνωρίζουμε τη μαθηματική βάση της αριθμητικής, της άλγεβρας Boole και άλλων κλάδων των μαθηματικών. Τι είναι? Κάποια άλλη φορά θα σας πω για αυτό.

Όσον αφορά τα υπερσύνολα, μπορείτε να συνδυάσετε δύο σετ σε ένα υπερσύνολο επιλέγοντας τη μονάδα μέτρησης που υπάρχει στα στοιχεία αυτών των δύο συνόλων.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι μονάδες μέτρησης και τα συνηθισμένα μαθηματικά κάνουν τη θεωρία συνόλων λείψανο του παρελθόντος. Ένα σημάδι ότι δεν πάνε όλα καλά με τη θεωρία συνόλων είναι ότι για τη θεωρία συνόλων εφευρέθηκαν οι μαθηματικοί δική του γλώσσακαι δικές τους σημειώσεις. Οι μαθηματικοί ενήργησαν όπως κάποτε οι σαμάνοι. Μόνο οι σαμάνοι ξέρουν πώς να εφαρμόζουν «σωστά» τη «γνώση» τους. Μας διδάσκουν αυτή τη «γνώση».

Εν κατακλείδι, θέλω να σας δείξω πώς χειραγωγούν οι μαθηματικοί
Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω της. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει αυτή την απόσταση, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας τρέχει εκατό βήματα, η χελώνα σέρνεται άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ’ άπειρον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.

Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Αριστοτέλης, Διογένης, Καντ, Χέγκελ, Χίλμπερτ... Όλοι θεωρούσαν την απορία του Ζήνωνα με τον ένα ή τον άλλο τρόπο. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ...οι συζητήσεις συνεχίζονται μέχρι σήμερα· η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων... συμμετείχαν στη μελέτη του θέματος μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις. κανένα από αυτά δεν έγινε μια γενικά αποδεκτή λύση στο πρόβλημα..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει σε τι συνίσταται η εξαπάτηση.

Από μαθηματική άποψη, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την ποσότητα στο . Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για μόνιμες. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για τη χρήση μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνηθισμένης λογικής μας οδηγεί σε μια παγίδα. Εμείς, λόγω της αδράνειας της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες χρόνου στην αμοιβαία τιμή. Από φυσική άποψη, αυτό μοιάζει να επιβραδύνεται ο χρόνος μέχρι να σταματήσει εντελώς τη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να ξεπεράσει τη χελώνα.

Αν γυρίσουμε τη συνηθισμένη μας λογική, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτήν την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προλάβει τη χελώνα απείρως γρήγορα».

Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Παραμείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην μεταβείτε σε αντίστροφες μονάδες. Στη γλώσσα του Ζήνωνα μοιάζει με αυτό:

Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.

Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά αυτό δεν είναι μια πλήρης λύση στο πρόβλημα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ακαταμάχητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η Χελώνα». Πρέπει ακόμα να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση δεν πρέπει να αναζητείται ατελείωτα μεγάλοι αριθμοί, αλλά σε μονάδες μέτρησης.

Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:

Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.

Σε αυτήν την απορία, το λογικό παράδοξο ξεπερνιέται πολύ απλά - αρκεί να διευκρινίσουμε ότι σε κάθε στιγμή ένα ιπτάμενο βέλος βρίσκεται σε ηρεμία σε διαφορετικά σημεία του χώρου, που στην πραγματικότητα είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιορίσετε αν ένα αυτοκίνητο κινείται, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες από το ίδιο σημείο διαφορετικές στιγμέςχρόνο, αλλά η απόσταση δεν μπορεί να προσδιοριστεί από αυτά. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από ένα αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες από διαφορετικά σημεία του χώρου σε μια χρονική στιγμή, αλλά από αυτές δεν μπορείτε να προσδιορίσετε το γεγονός της κίνησης (φυσικά, χρειάζεστε επιπλέον δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει ). Αυτό στο οποίο θέλω να επιστήσω ιδιαίτερη προσοχή είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται, γιατί παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για έρευνα.
Θα σας δείξω τη διαδικασία με ένα παράδειγμα. Επιλέγουμε το "κόκκινο στερεό σε ένα σπυράκι" - αυτό είναι το "σύνολο". Ταυτόχρονα, βλέπουμε ότι αυτά τα πράγματα είναι με τόξο, και υπάρχουν χωρίς τόξο. Μετά από αυτό, επιλέγουμε μέρος του "όλου" και σχηματίζουμε ένα σύνολο "με φιόγκο". Έτσι παίρνουν την τροφή τους οι σαμάνοι συνδέοντας τη θεωρία των συνόλων τους με την πραγματικότητα.

Τώρα ας κάνουμε ένα μικρό κόλπο. Ας πάρουμε το «συμπαγές με ένα σπυράκι με φιόγκο» και ας συνδυάσουμε αυτά τα «ολόκληρα» ανάλογα με το χρώμα, επιλέγοντας τα κόκκινα στοιχεία. Πήραμε πολύ «κόκκινο». Τώρα το τελευταίο ερώτημα: τα σετ που προκύπτουν "με φιόγκο" και "κόκκινο" είναι το ίδιο σετ ή δύο διαφορετικά σετ; Μόνο οι σαμάνοι γνωρίζουν την απάντηση. Πιο συγκεκριμένα, οι ίδιοι δεν ξέρουν τίποτα, αλλά όπως λένε, έτσι θα είναι.

Αυτό το απλό παράδειγμα δείχνει ότι η θεωρία συνόλων είναι εντελώς άχρηστη όταν πρόκειται για την πραγματικότητα. Ποιο είναι το μυστικό; Σχηματίσαμε ένα σετ από "κόκκινο συμπαγές με σπυράκι και φιόγκο". Ο σχηματισμός έγινε σε τέσσερις διαφορετικές μονάδες μέτρησης: χρώμα (κόκκινο), αντοχή (συμπαγές), τραχύτητα (σπυράκι), διακόσμηση (με φιόγκο). Μόνο ένα σύνολο μονάδων μέτρησης μας επιτρέπει να περιγράψουμε επαρκώς πραγματικά αντικείμενα στη γλώσσα των μαθηματικών. Έτσι φαίνεται.

Το γράμμα "a" με διαφορετικούς δείκτες υποδηλώνει διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Οι μονάδες μέτρησης με τις οποίες διακρίνεται το «σύνολο» στο προκαταρκτικό στάδιο επισημαίνονται σε αγκύλες. Η μονάδα μέτρησης με την οποία σχηματίζεται το σετ βγαίνει από αγκύλες. Η τελευταία γραμμή δείχνει το τελικό αποτέλεσμα - ένα στοιχείο του σετ. Όπως μπορείτε να δείτε, αν χρησιμοποιήσουμε μονάδες μέτρησης για να σχηματίσουμε ένα σύνολο, τότε το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τη σειρά των ενεργειών μας. Και αυτό είναι μαθηματικά, και όχι ο χορός των σαμάνων με τα ντέφια. Οι σαμάνοι μπορούν «διαισθητικά» να καταλήξουν στο ίδιο αποτέλεσμα, υποστηρίζοντας ότι είναι «προφανές», επειδή οι μονάδες μέτρησης δεν αποτελούν μέρος του «επιστημονικού» τους οπλοστασίου.

Χρησιμοποιώντας μονάδες μέτρησης, είναι πολύ εύκολο να χωρίσετε ένα σετ ή να συνδυάσετε πολλά σετ σε ένα υπερσύνολο. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην άλγεβρα αυτής της διαδικασίας.

Το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης εξαρτάται αποκλειστικά από το τέταρτο συντεταγμένων στο οποίο βρίσκεται αριθμητικό όρισμα. Την τελευταία φορά μάθαμε να μετατρέπουμε ορίσματα από ένα μέτρο ακτινίου σε ένα μέτρο μοιρών (βλ. μάθημα «Μέτρο ακτινίου και μοίρας μιας γωνίας») και στη συνέχεια να προσδιορίζουμε αυτό το ίδιο τέταρτο συντεταγμένων. Τώρα ας προσδιορίσουμε πραγματικά το πρόσημο του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς και της εφαπτομένης.

Το ημίτονο της γωνίας α είναι η τεταγμένη (συντεταγμένη y) ενός σημείου πάνω τριγωνομετρικός κύκλος, που συμβαίνει όταν η ακτίνα περιστρέφεται κατά γωνία α.

Το συνημίτονο της γωνίας α είναι η τετμημένη (συντεταγμένη x) ενός σημείου ενός τριγωνομετρικού κύκλου, που εμφανίζεται όταν η ακτίνα περιστρέφεται κατά γωνία α.

Η εφαπτομένη της γωνίας α είναι ο λόγος του ημιτόνου προς το συνημίτονο. Ή, που είναι το ίδιο πράγμα, ο λόγος της συντεταγμένης y προς τη συντεταγμένη x.

Σημείωση: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

Όλοι αυτοί οι ορισμοί είναι γνωστοί σε εσάς από την άλγεβρα του γυμνασίου. Ωστόσο, δεν μας ενδιαφέρουν οι ίδιοι οι ορισμοί, αλλά οι συνέπειες που προκύπτουν στον τριγωνομετρικό κύκλο. Ρίξε μια ματιά:

Το μπλε χρώμα υποδηλώνει τη θετική κατεύθυνση του άξονα OY (άξονας τεταγμένων), το κόκκινο δείχνει τη θετική κατεύθυνση του άξονα OX (άξονας τετμημένης). Σε αυτό το «ραντάρ» γίνονται εμφανή τα σημάδια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Συγκεκριμένα:

1. sin α > 0 αν η γωνία α βρίσκεται στο τεταρτημόριο συντεταγμένων I ή II. Αυτό συμβαίνει επειδή, εξ ορισμού, το ημίτονο είναι μια τεταγμένη (συντεταγμένη y). Και η συντεταγμένη y θα είναι θετική ακριβώς στα τέταρτα συντεταγμένων Ι και ΙΙ.
2. cos α > 0, αν η γωνία α βρίσκεται στο 1ο ή 4ο τεταρτημόριο συντεταγμένων. Επειδή μόνο εκεί η συντεταγμένη x (γνωστή και ως τετμημένη) θα είναι μεγαλύτερη από το μηδέν.
3. tan α > 0 αν η γωνία α βρίσκεται στο τεταρτημόριο συντεταγμένων I ή III. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό: τέλος πάντων, tan α = y : x, επομένως είναι θετικό μόνο όπου τα πρόσημα των x και y συμπίπτουν. Αυτό συμβαίνει στο πρώτο τέταρτο συντεταγμένων (εδώ x > 0, y > 0) και στο τρίτο τέταρτο συντεταγμένων (x< 0, y < 0).

Για λόγους σαφήνειας, ας σημειώσουμε τα σημάδια κάθε τριγωνομετρικής συνάρτησης - ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης - σε ξεχωριστά «ραντάρ». Παίρνουμε την παρακάτω εικόνα:

Παρακαλώ σημειώστε: στις συζητήσεις μου δεν μίλησα ποτέ για την τέταρτη τριγωνομετρική συνάρτηση - συνεφαπτομένη. Το γεγονός είναι ότι τα σύμβολα συμπίπτουν με τα εφαπτομενικά ζώδια - δεν υπάρχουν ειδικοί κανόνες εκεί.

Τώρα προτείνω να εξετάσουμε παραδείγματα παρόμοια με προβλήματα Β11 από το τεστ Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά, που πραγματοποιήθηκε στις 27 Σεπτεμβρίου 2011. Ο καλύτερος τρόποςΗ κατανόηση της θεωρίας είναι πράξη. Συνιστάται να κάνετε πολλή εξάσκηση. Φυσικά, οι συνθήκες των εργασιών άλλαξαν ελαφρώς.

Εργο. Προσδιορίστε τα σημάδια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και εκφράσεων (οι τιμές των ίδιων των συναρτήσεων δεν χρειάζεται να υπολογιστούν):

1. sin(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. tg(5π/3);
4. sin (3π/4) cos (5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin (5π/6) cos (7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Το σχέδιο δράσης είναι το εξής: πρώτα μετατρέπουμε όλες τις γωνίες από ακτινικά μέτρα σε μοίρες (π → 180°) και μετά κοιτάμε σε ποιο τέταρτο συντεταγμένων βρίσκεται ο αριθμός που προκύπτει. Γνωρίζοντας τα τέταρτα, μπορούμε εύκολα να βρούμε τα σημάδια - σύμφωνα με τους κανόνες που μόλις περιγράφηκαν. Εχουμε:

1. αμαρτία (3π/4) = αμαρτία (3 · 180°/4) = αμαρτία 135°. Από 135° ∈ , αυτή είναι μια γωνία από το τεταρτημόριο συντεταγμένων II. Αλλά το ημίτονο στο δεύτερο τρίμηνο είναι θετικό, άρα sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Επειδή 210° ∈ , αυτή είναι η γωνία από το τρίτο τεταρτημόριο συντεταγμένων, στο οποίο όλα τα συνημίτονα είναι αρνητικά. Επομένως cos(7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Από 300° ∈ , βρισκόμαστε στο τέταρτο IV, όπου η εφαπτομένη παίρνει αρνητικές τιμές. Επομένως μαύρισμα (5π/3)< 0;
4. αμαρτία (3π/4) συν (5π/6) = αμαρτία (3 180°/4) συν (5 180°/6) = αμαρτία 135° συν 150°. Ας ασχοληθούμε με το ημίτονο: γιατί 135° ∈ , αυτό είναι το δεύτερο τέταρτο στο οποίο τα ημίτονο είναι θετικά, δηλ. sin (3π/4) > 0. Τώρα δουλεύουμε με συνημίτονο: 150° ∈ - πάλι το δεύτερο τέταρτο, τα συνημίτονα εκεί είναι αρνητικά. Επομένως cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Κοιτάμε το συνημίτονο: 120° ∈ είναι το τέταρτο συντεταγμένων II, άρα cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Και πάλι πήραμε ένα προϊόν στο οποίο οι παράγοντες έχουν διαφορετικά σημάδια. Εφόσον το «μείον κατά συν δίνει μείον», έχουμε: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. αμαρτία (5π/6) συν (7π/4) = αμαρτία (5 180°/6) συν (7 180°/4) = αμαρτία 150° συν 315°. Εργαζόμαστε με το ημίτονο: από τις 150° ∈ , μιλάμε για το τέταρτο συντεταγμένων II, όπου τα ημίτονο είναι θετικά. Επομένως, sin (5π/6) > 0. Ομοίως, 315° ∈ είναι το τέταρτο συντεταγμένων IV, τα συνημίτονα εκεί είναι θετικά. Επομένως cos (7π/4) > 0. Λάβαμε το γινόμενο δύο θετικών αριθμών - μια τέτοια έκφραση είναι πάντα θετική. Συμπεραίνουμε: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Αλλά η γωνία 135° ∈ είναι το δεύτερο τέταρτο, δηλ. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Εφόσον το "μείον κατά συν δίνει πρόσημο μείον", έχουμε: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Εξετάζουμε το όρισμα συντεταγμένης: 240° ∈ είναι το τέταρτο συντεταγμένων III, επομένως ctg (4π/3) > 0. Ομοίως, για την εφαπτομένη έχουμε: 30° ∈ είναι το τέταρτο συντεταγμένων Ι, δηλ. η απλούστερη γωνία. Επομένως tan (π/6) > 0. Και πάλι έχουμε δύο θετικές εκφράσεις - το γινόμενο τους θα είναι επίσης θετικό. Επομένως κούνια (4π/3) tg (π/6) > 0.

Εν κατακλείδι, ας δούμε μερικά ακόμα σύνθετες εργασίες. Εκτός από το να υπολογίσετε το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης, θα πρέπει να κάνετε λίγα μαθηματικά εδώ - ακριβώς όπως γίνεται στα πραγματικά προβλήματα Β11. Κατ 'αρχήν, αυτά είναι σχεδόν πραγματικά προβλήματα που εμφανίζονται στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά.

Εργο. Βρείτε το sin α αν sin 2 α = 0,64 και α ∈ [π/2; π].

Αφού αμαρτία 2 α = 0,64, έχουμε: αμαρτία α = ±0,8. Το μόνο που μένει είναι να αποφασίσουμε: συν ή πλην; Κατά συνθήκη, γωνία α ∈ [π/2; π] είναι το τέταρτο συντεταγμένων II, όπου όλα τα ημίτονο είναι θετικά. Επομένως, αμαρτία α = 0,8 - η αβεβαιότητα με τα σημάδια εξαλείφεται.

Εργο. Βρείτε cos α αν cos 2 α = 0,04 και α ∈ [π; 3π/2].

Ομοίως ενεργούμε, δηλ. εκχύλισμα Τετραγωνική ρίζα: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Κατά συνθήκη, γωνία α ∈ [π; 3π/2], δηλ. Μιλάμε για το τρίτο τρίμηνο συντεταγμένων. Όλα τα συνημίτονα εκεί είναι αρνητικά, άρα cos α = −0,2.

Εργο. Βρείτε την αμαρτία α αν η αμαρτία 2 α = 0,25 και α ∈ .

Έχουμε: αμαρτία 2 α = 0,25 ⇒ αμαρτία α = ±0,5. Βλέπουμε ξανά τη γωνία: α ∈ είναι το τέταρτο συντεταγμένων IV, στο οποίο, όπως γνωρίζουμε, το ημίτονο θα είναι αρνητικό. Έτσι, συμπεραίνουμε: αμαρτία α = −0,5.

Εργο. Βρείτε το tan α αν tan 2 α = 9 και α ∈ .

Όλα είναι ίδια, μόνο για την εφαπτομένη. Εξάγετε την τετραγωνική ρίζα: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Αλλά σύμφωνα με την συνθήκη, η γωνία α ∈ είναι το τέταρτο συντεταγμένων I. Όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, συμ. εφαπτομένη, υπάρχουν θετικά, άρα tan α = 3. Αυτό είναι!

Μάθημα Νο. 1

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις οποιουδήποτε ορίσματος.

Ορισμός και ιδιότητες του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης.

Ακτινικό μέτρο γωνίας.

Ας σημειώσουμε το σημείο Α στον άξονα Ox από την αρχή των συντεταγμένων και ας σχεδιάσουμε έναν κύκλο μέσα από αυτό με κέντρο στο σημείο Ο. Θα ονομάσουμε την ακτίνα ΟΑ αρχική ακτίνα.

Η γωνία P (OM, OE) μπορεί να περιγραφεί ως αποτέλεσμα περιστροφής γύρω από την αρχή της δέσμης με την αρχή στο σημείο O από την αρχική θέση OM στην τελική θέση OE. Αυτή η περιστροφή μπορεί να συμβεί είτε αριστερόστροφα είτε δεξιόστροφα, και

α) είτε με μερική περιστροφή,

β) είτε με ακέραιο αριθμό πλήρων περιστροφών.

γ) είτε με ακέραιο αριθμό πλήρων περιστροφών είτε με μερική περιστροφή.

Οι μετρήσεις των γωνιών που προσανατολίζονται αριστερόστροφα θεωρούνται θετικές και οι μετρήσεις προσανατολισμένες προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού θεωρούνται αρνητικές.

Θα θεωρήσουμε ίσες γωνίες εκείνες για τις οποίες, όταν οι αρχικές τους ακτίνες συνδυάζονται με κάποιο τρόπο, συνδυάζονται και οι τελικές ακτίνες και η κίνηση από την αρχική ακτίνα στην τελική ακτίνα εκτελείται προς την ίδια κατεύθυνση για τον ίδιο αριθμό πλήρεις και ημιτελείς στροφές γύρω από το σημείο Ο.

Οι μηδενικές γωνίες θεωρούνται ίσες.

Ιδιότητες των μέτρων γωνίας:

Υπάρχει μια γωνία της οποίας το μέτρο είναι 1 - η μονάδα μέτρησης για τις γωνίες. Ίσες γωνίεςέχουν ίσα μέτρα. Το μέτρο του αθροίσματος δύο γωνιών είναι ίσο με το άθροισμα των μέτρων των γωνιών. Το μέτρο της μηδενικής γωνίας είναι μηδέν.

Τα πιο συνηθισμένα μέτρα γωνιών είναι οι μοίρες και τα ακτίνια.

Η μονάδα μέτρησης για τις γωνίες είναι in μέτρο βαθμούείναι γωνία μιας μοίρας - 1/180 της ξεδιπλωμένης γωνίας. Από το μάθημα της γεωμετρίας γνωρίζουμε ότι το μέτρο μιας γωνίας σε μοίρες εκφράζεται ως αριθμός από 01/01/01. Όσο για τη γωνία περιστροφής, μπορεί να εκφραστεί σε μοίρες με οποιονδήποτε τρόπο πραγματικός αριθμόςαπό -∞ σε + ∞.

Ως κύκλος με κέντρο στην αρχή, θα πάρουμε έναν κύκλο μοναδιαίας ακτίνας, προσδιορίζοντας τα σημεία τομής του με τους άξονες συντεταγμένων A (1;0), B (0;1), C (-1;0), D (0;-1). Η ακτίνα ΟΑ θα ληφθεί ως αρχική γωνία για τις υπό εξέταση γωνίες.

Οι άξονες συντεταγμένων της τετμημένης και της τεταγμένης είναι αμοιβαία κάθετοι και χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερα τέταρτα συντεταγμένων: I, II, III, IV (βλ. εικόνα).

Ανάλογα με το τέταρτο της συντεταγμένης που βρίσκεται η ακτίνα OM, η γωνίαα θα είναι επίσης η γωνία αυτού του τριμήνου.

Έτσι, αν 00< α <900 , то угол α – γωνία πρώτου τετάρτου.

Αν 900< α <1800 , то угол α – γωνία του δεύτερου τετάρτου.

Αν το 1800< α <2700 , то угол α – γωνία τρίτου τετάρτου.

Αν 2700< α <3600 , то угол α - γωνία τέταρτου τετάρτου.

Προφανώς, όταν προσθέτουμε ακέραιο αριθμό στροφών σε μια γωνία, προκύπτει η γωνία του ίδιου τετάρτου.

Για παράδειγμα, μια γωνία 4300 είναι μια γωνίαΕγώ – Ω τρίμηνο, αφού 4300 = 3600 + 700 = 700;

Η γωνία 9200 είναι η γωνία III -ο τρίμηνο, από το 9200 = 3600 2 + 2000 = 2000

(δηλαδή ο αριθμός ολόκληρων περιστροφών μπορεί να αγνοηθεί!)

Οι γωνίες 00, ± 900, ± 1800, ± 2700, ± 3600 - δεν ανήκουν σε κανένα τέταρτο .

Ας προσδιορίσουμε ποιο τεταρτημόριο είναι η γωνίαα εάν:

α =2830 (IV) α = 1900 (III) α =1000 (II) α = -200 (IV h – αρνητική κατεύθυνση)

Και τώρα για τον εαυτό σας:

α = 1790 α = 3250 α =8000 α = -1200

Στο μάθημα της γεωμετρίας, το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη της γωνίας α ορίστηκαν στο

00 ≤ α ≤ 1800 . Τώρα θα εξετάσουμε αυτούς τους ορισμούς για την περίπτωση μιας αυθαίρετης γωνίας α.

font-size:12.0pt;line-height:115%">Αφήστε όταν στρίβετε κοντά στο σημείο O κατά γωνίαα η αρχική ακτίνα ΟΑ γίνεται ακτίνα ΟΜ.

Ημίτονο της γωνίαςα ονομάζεται λόγος της τεταγμένης του σημείου Μ προς το μήκος της ακτίνας, δηλ.

Συνημίτονο της γωνίαςα ονομάζεται λόγος της τετμημένης του σημείου Μ προς το μήκος της ακτίνας, δηλ.

Εφαπτομένη της γωνίαςα λέγεται λόγος της τεταγμένης ενός σημείου Μ προς την τετμημένη του, δηλ.

Συνεφαπτομένη της γωνίας α ονομάζεται λόγος της τετμημένης ενός σημείου Μ προς την τεταγμένη του, δηλ.

Ας δούμε παραδείγματα υπολογισμού τριγωνομετρικών συναρτήσεων χρησιμοποιώντας πίνακες τιμών ορισμένων γωνιών. Οι παύλες γίνονται όταν η έκφραση δεν έχει νόημα.

α (χαλάζι)	00	300	450	600	900	1800	2700	3600
(χαρούμενος)	0					π		2π
αμαρτία α
cos α
ταν α
ctg α

Παράδειγμα №1. Βρείτε sin300? cos450; tg600.

Λύση: α) βρείτε στη στήλη του πίνακα sina και στη γραμμή 300, στην τομή στήλης και γραμμής βρίσκουμε την τιμήαμαρτία Το 300 είναι ένας αριθμός. Γράφουν έτσι:αμαρτία 300 =

β) βρείτε στη στήλη του πίνακα cosα και στη γραμμή 450, στην τομή στήλης και γραμμής βρίσκουμε την τιμή cos Το 450 είναι ένας αριθμός. Γράφουν έτσι: cos 450 =

γ) βρείτε στη στήλη του πίνακα tgα και στη γραμμή 600, στην τομή στήλης και γραμμής βρίσκουμε την τιμή tg 600 είναι ο αριθμός EN-US style="font-size:12.0pt;line-height:115%"">tg600 =font-size:12.0pt;line-height:115%">Παράδειγμα αρ. 2

Υπολογίζωα) 2c os 600 + EL-ΗΠΑ" style="font-size: 12.0pt;line-height:115%">cos300 = 2 μέγεθος γραμματοσειράς:12.0pt;line-height:115%"> β)3 tg 450 tg 600 = 3 1 https://pandia.ru/text/79/454/images/image017_6.gif" width="24" height="24 src=">

Υπολογίστε το μόνοι σας : α) 5 sin 300 - ctg 450 β) 2 sin 300 + 6 cos 600 – 4 tg 450

γ) 4tg 600 sin 600 c) 2cossin 900 + 5tg 1800

Ας δούμε μερικές ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Ας μάθουμε ποια σημεία έχουν το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη σε καθένα από τα τέταρτα συντεταγμένων.

Έστω, όταν περιστρέφεται η ακτίνα ΟΑ ίση με R, κατά γωνία α , το σημείο Α έχει μετακινηθεί στο σημείο Μ με συντεταγμένες x και y. Επειδή(R = 1), μετά το σύμβολο εξαρτάται από το πρόσημο του y.

Στο I και II σε τρίμηνα y>0 και σε II και IV τέταρτα - σε<0.

Σημάδι εξαρτάται από το x, αφού, στη συνέχεια για τις γωνίες του 1ου και 4ου τετάρτου – x >0, και μέσα

II και III τέταρτα x<0.

Επειδή ; , στη συνέχεια στο 1ο και 3ο δεκάλεπτο και έχουν ένα σύμβολο "+" και μέσα II και IV σε τέταρτα έχουν πρόσημο μείον.

Τριγωνομετρικός κύκλος. Κύκλος μονάδας. Αριθμητικός κύκλος. Τι είναι?

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Πολύ συχνά όροι τριγωνομετρικός κύκλος, κύκλος μονάδας, κύκλος αριθμώνελάχιστα κατανοητή από τους μαθητές. Και εντελώς μάταια. Αυτές οι έννοιες είναι ένας ισχυρός και καθολικός βοηθός σε όλους τους τομείς της τριγωνομετρίας. Στην πραγματικότητα, αυτό είναι ένα νόμιμο cheat sheet! Σχεδίασα έναν τριγωνομετρικό κύκλο και αμέσως είδα τις απαντήσεις! Πειρασμός? Ας μάθουμε λοιπόν, θα ήταν αμαρτία να μην χρησιμοποιήσουμε κάτι τέτοιο. Επιπλέον, δεν είναι καθόλου δύσκολο.

Για να δουλέψετε επιτυχώς με τον τριγωνομετρικό κύκλο, πρέπει να γνωρίζετε μόνο τρία πράγματα.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.