Το μάθημα βίντεο «Get an A» περιλαμβάνει όλα τα απαραίτητα θέματα για επιτυχία περνώντας από την Ενιαία Κρατική Εξέτασηστα μαθηματικά για 60-65 μονάδες. Εντελώς όλα τα προβλήματα 1-13 Προφίλ Ενιαία Κρατική Εξέτασημαθηματικά. Κατάλληλο και για επιτυχία στη Βασική Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Αν θέλετε να περάσετε τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους με 90-100 μόρια, πρέπει να λύσετε το μέρος 1 σε 30 λεπτά και χωρίς λάθη!
Μάθημα προετοιμασίας για την Ενιαία Κρατική Εξέταση για τις τάξεις 10-11, καθώς και για εκπαιδευτικούς. Όλα όσα χρειάζεστε για να λύσετε το Μέρος 1 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά (τα πρώτα 12 προβλήματα) και το πρόβλημα 13 (τριγωνομετρία). Και αυτά είναι περισσότερα από 70 μόρια στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και ούτε ένας μαθητής 100 βαθμών ούτε ένας φοιτητής ανθρωπιστικών επιστημών μπορεί να τα κάνει χωρίς αυτά.
Όλη η απαραίτητη θεωρία. Γρήγοροι τρόποιλύσεις, παγίδες και μυστικά της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Όλες οι τρέχουσες εργασίες του μέρους 1 από την τράπεζα εργασιών FIPI έχουν αναλυθεί. Το μάθημα συμμορφώνεται πλήρως με τις απαιτήσεις της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης 2018.
Το μάθημα περιέχει 5 μεγάλα θέματα, 2,5 ώρες το καθένα. Κάθε θέμα δίνεται από την αρχή, απλά και ξεκάθαρα.
Εκατοντάδες εργασίες Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Προβλήματα λέξεων και θεωρία πιθανοτήτων. Απλοί και εύκολοι στην απομνημόνευση αλγόριθμοι για την επίλυση προβλημάτων. Γεωμετρία. Θεωρία, υλικό αναφοράς, ανάλυση όλων των τύπων εργασιών Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Στερεομετρία. Δύσκολες λύσεις, χρήσιμα cheat sheets, ανάπτυξη χωρικής φαντασίας. Τριγωνομετρία από το μηδέν στο πρόβλημα 13. Κατανόηση αντί να στριμώχνω. Σαφείς εξηγήσεις περίπλοκων εννοιών. Αλγεβρα. Ρίζες, δυνάμεις και λογάριθμοι, συνάρτηση και παράγωγος. Βάση λύσης σύνθετες εργασίες 2 μέρη της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης.
Πίσω μπροστά
Προσοχή! Οι προεπισκοπήσεις διαφανειών είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύουν όλα τα χαρακτηριστικά της παρουσίασης. Εάν ενδιαφέρεστε για αυτό το έργο, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.
1. Εισαγωγή.
Πλησιάζοντας στο σχολείο, ακούω τις φωνές των παιδιών από το γυμναστήριο, προχωράω - τραγουδούν, ζωγραφίζουν... συναισθήματα και συναισθήματα είναι παντού. Το γραφείο μου, μάθημα άλγεβρας, δέκατη δημοτικού. Εδώ είναι το σχολικό μας βιβλίο, στο οποίο το μάθημα της τριγωνομετρίας αποτελεί το ήμισυ του όγκου του και υπάρχουν δύο σελιδοδείκτες σε αυτό - αυτά είναι τα μέρη όπου βρήκα λέξεις που δεν σχετίζονται με τη θεωρία της τριγωνομετρίας.
Από τους λίγους είναι μαθητές που αγαπούν τα μαθηματικά, νιώθουν την ομορφιά τους και δεν ρωτούν γιατί είναι απαραίτητο να σπουδάσουν τριγωνομετρία, πού εφαρμόζεται η ύλη που έμαθαν; Η πλειοψηφία είναι αυτοί που απλώς ολοκληρώνουν εργασίες για να μην πάρουν κακό βαθμό. Και πιστεύουμε ακράδαντα ότι η εφαρμοσμένη αξία των μαθηματικών είναι η απόκτηση επαρκών γνώσεων επιτυχής ολοκλήρωσηΕνιαία κρατική εξέταση και εισαγωγή σε πανεπιστήμιο (μπείτε και ξεχάστε).
Ο κύριος στόχος του παρουσιαζόμενου μαθήματος είναι να δείξει την εφαρμοσμένη τιμή της τριγωνομετρίας σε διάφορα πεδίαανθρώπινη δραστηριότητα. Τα παραδείγματα που δίνονται θα βοηθήσουν τους μαθητές να δουν τη σύνδεση μεταξύ αυτής της ενότητας των μαθηματικών και άλλων μαθημάτων που μελετώνται στο σχολείο. Το περιεχόμενο αυτού του μαθήματος αποτελεί στοιχείο επαγγελματικής κατάρτισης των μαθητών.
Πείτε κάτι καινούργιο για αυτό που φαίνεται πριν από πολύ καιρό γνωστό γεγονός. Δείξτε μια λογική σύνδεση μεταξύ αυτού που ήδη γνωρίζουμε και αυτού που απομένει να μάθουμε. Άνοιξε λίγο την πόρτα και κοίτα έξω σχολικό πρόγραμμα σπουδών. Ασυνήθιστες εργασίες, σύνδεση με γεγονότα σήμερα- αυτές είναι οι τεχνικές που χρησιμοποιώ για να πετύχω τους στόχους μου. Εξάλλου, τα σχολικά μαθηματικά ως μάθημα δεν συμβάλλουν τόσο στη μάθηση όσο στην ανάπτυξη του ατόμου, της σκέψης και της κουλτούρας του.
2. Περίληψη μαθήματος για την άλγεβρα και τις αρχές της ανάλυσης (βαθμός 10).
Ώρα διοργάνωσης:Τοποθετήστε έξι πίνακες σε ημικύκλιο (μοντέλο μοιρογνωμόνιου), φύλλα εργασίας για μαθητές στα τραπέζια (Παράρτημα 1).
Ανακοινώνοντας το θέμα του μαθήματος: «Η τριγωνομετρία είναι απλή και ξεκάθαρη».
Κατά τη διάρκεια της άλγεβρας και της στοιχειώδους ανάλυσης, αρχίζουμε να μελετάμε την τριγωνομετρία. Θα ήθελα να μιλήσω για την εφαρμοσμένη σημασία αυτού του τμήματος των μαθηματικών.
Διατριβή μαθήματος:
“Υπέροχο βιβλίοΗ φύση μπορεί να διαβαστεί μόνο από εκείνους που γνωρίζουν τη γλώσσα στην οποία είναι γραμμένη και αυτή η γλώσσα είναι τα μαθηματικά».
(Γ. Γαλιλαίος).
Στο τέλος του μαθήματος, θα σκεφτούμε μαζί αν μπορέσαμε να εξετάσουμε αυτό το βιβλίο και να κατανοήσουμε τη γλώσσα στην οποία γράφτηκε.
Τριγωνομετρία οξείας γωνίας.
Η τριγωνομετρία είναι ελληνική λέξη και μεταφράζεται σημαίνει «μέτρηση τριγώνων». Η εμφάνιση της τριγωνομετρίας σχετίζεται με μετρήσεις στη γη, τις κατασκευές και την αστρονομία. Και η πρώτη σου γνωριμία με αυτό έγινε όταν σήκωσες ένα μοιρογνωμόνιο. Έχετε παρατηρήσει πώς είναι τοποθετημένα τα τραπέζια; Σκεφτείτε το στο μυαλό σας: αν πάρουμε ένα τραπέζι ως συγχορδία, τότε ποιο είναι το μέτρο μοίρας του τόξου που υποτάσσεται;
Ας θυμηθούμε το μέτρο των γωνιών: 1 ° = 1/360μέρος ενός κύκλου («βαθμός» – από το λατινικό grad – βήμα). Ξέρετε γιατί ο κύκλος χωρίστηκε σε 360 μέρη, γιατί όχι σε 10, 100 ή 1000 μέρη, όπως συμβαίνει, για παράδειγμα, όταν μετράμε μήκη; Θα σας πω μια από τις εκδοχές.
Προηγουμένως, οι άνθρωποι πίστευαν ότι η Γη είναι το κέντρο του Σύμπαντος και είναι ακίνητη, και ο Ήλιος κάνει μια περιστροφή γύρω από τη Γη την ημέρα, το γεωκεντρικό σύστημα του κόσμου, "geo" - Γη ( Εικόνα Νο. 1). Βαβυλώνιοι ιερείς που έκαναν αστρονομικές παρατηρήσεις ανακάλυψαν ότι την ημέρα της ισημερίας ο Ήλιος, από την ανατολή έως τη δύση του ηλίου, περιγράφει ένα ημικύκλιο στο θησαυροφυλάκιο του ουρανού, στο οποίο η ορατή διάμετρος (διάμετρος) του Ήλιου ταιριάζει ακριβώς 180 φορές, 1 ° - ίχνος Ήλιου. ( Εικόνα Νο. 2).
Για πολύ καιρό, η τριγωνομετρία είχε καθαρά γεωμετρικό χαρακτήρα. Συνεχίζετε την εισαγωγή σας στην τριγωνομετρία λύνοντας ορθογώνια τρίγωνα. Μαθαίνετε ότι το ημίτονο οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα, το συνημίτονο είναι ο λόγος της γειτονικής πλευράς προς την υποτείνουσα, η εφαπτομένη είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά και η συνεφαπτομένη είναι ο λόγος της διπλανής πλευράς προς την απέναντι. Και να θυμάστε ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που έχει μια δεδομένη γωνία, η αναλογία των πλευρών δεν εξαρτάται από το μέγεθος του τριγώνου. Μάθετε τα θεωρήματα ημιτόνου και συνημιτόνου για την επίλυση αυθαίρετων τριγώνων.
Το 2010, το μετρό της Μόσχας έγινε 75 ετών. Κάθε μέρα κατεβαίνουμε στο μετρό και δεν το παρατηρούμε…
Εργασία Νο. 1.Η γωνία κλίσης όλων των κυλιόμενων σκαλών στο μετρό της Μόσχας είναι 30 μοίρες. Γνωρίζοντας αυτό, τον αριθμό των λαμπτήρων στην κυλιόμενη σκάλα και την κατά προσέγγιση απόσταση μεταξύ των λαμπτήρων, μπορείτε να υπολογίσετε το κατά προσέγγιση βάθος του σταθμού. Υπάρχουν 15 λαμπτήρες στην κυλιόμενη σκάλα στο σταθμό Tsvetnoy Boulevard και 2 λάμπες στο σταθμό Prazhskaya. Υπολογίστε το βάθος αυτών των σταθμών εάν οι αποστάσεις μεταξύ των λαμπτήρων, από την είσοδο της κυλιόμενης σκάλας μέχρι την πρώτη λάμπα και από την τελευταία λάμπα έως την έξοδο της κυλιόμενης σκάλας, είναι 6 m ( Εικόνα Νο. 3). Απάντηση: 48 m και 9 m
Εργασία για το σπίτι. Ο βαθύτερος σταθμός του μετρό της Μόσχας είναι το Victory Park. Ποιο είναι το βάθος του; Σας προτείνω να βρείτε ανεξάρτητα τα δεδομένα που λείπουν για να λύσετε το πρόβλημα της εργασίας σας.
Έχω στα χέρια μου έναν δείκτη λέιζερ, ο οποίος είναι και ανιχνευτής απόστασης. Ας μετρήσουμε, για παράδειγμα, την απόσταση από τον πίνακα.
Ο Κινέζος σχεδιαστής Huan Qiaokun μάντεψε ότι συνδύασε δύο αποστασιομετρητές λέιζερ και ένα μοιρογνωμόνιο σε μια συσκευή και απέκτησε ένα εργαλείο που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο ( Εικόνα Νο. 4). Ποιο θεώρημα πιστεύετε ότι λύνει αυτό το πρόβλημα; Θυμηθείτε τη διατύπωση του θεωρήματος συνημιτόνου. Συμφωνείτε μαζί μου ότι οι γνώσεις σας είναι ήδη επαρκείς για να κάνετε μια τέτοια εφεύρεση; Λύστε προβλήματα γεωμετρίας και κάντε μικρές ανακαλύψεις κάθε μέρα!
Σφαιρική τριγωνομετρία.
Εκτός από την επίπεδη γεωμετρία του Ευκλείδη (πλανομετρία), μπορεί να υπάρχουν και άλλες γεωμετρίες στις οποίες οι ιδιότητες των σχημάτων δεν λαμβάνονται υπόψη σε ένα επίπεδο, αλλά σε άλλες επιφάνειες, για παράδειγμα, στην επιφάνεια μιας μπάλας ( Εικόνα Νο. 5). Ο πρώτος μαθηματικός που έθεσε τα θεμέλια για την ανάπτυξη μη Ευκλείδειων γεωμετριών ήταν ο N.I. Λομπατσέφσκι – «Κοπέρνικος της Γεωμετρίας». Από το 1827 για 19 χρόνια ήταν πρύτανης του Πανεπιστημίου του Καζάν.
Η σφαιρική τριγωνομετρία, η οποία αποτελεί μέρος της σφαιρικής γεωμετρίας, εξετάζει τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών των τριγώνων σε μια σφαίρα που σχηματίζεται από τόξα μεγάλων κύκλων σε μια σφαίρα ( Εικόνα Νο. 6).
Ιστορικά, η σφαιρική τριγωνομετρία και γεωμετρία προέκυψαν από τις ανάγκες της αστρονομίας, της γεωδαισίας, της ναυσιπλοΐας και της χαρτογραφίας. Σκεφτείτε ποια από αυτές τις κατευθύνσεις τα τελευταία χρόνιαέχει λάβει τόσο γρήγορη ανάπτυξη που το αποτέλεσμά του χρησιμοποιείται ήδη σε σύγχρονους φορείς επικοινωνίας. ... Σύγχρονη ΕφαρμογήΗ πλοήγηση είναι ένα σύστημα δορυφορικής πλοήγησης που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τη θέση και την ταχύτητα ενός αντικειμένου με βάση το σήμα από τον δέκτη του.
Παγκόσμιο Σύστημα Πλοήγησης (GPS). Για να προσδιορίσετε το γεωγραφικό πλάτος και το μήκος του δέκτη, είναι απαραίτητο να λαμβάνετε σήματα από τουλάχιστον τρεις δορυφόρους. Η λήψη ενός σήματος από τον τέταρτο δορυφόρο καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό του ύψους του αντικειμένου πάνω από την επιφάνεια ( Εικόνα Νο. 7).
Ο υπολογιστής-δέκτης λύνει τέσσερις εξισώσεις σε τέσσερις αγνώστους μέχρι να βρεθεί μια λύση που σύρει όλους τους κύκλους σε ένα σημείο ( Εικόνα Νο. 8).
Οι γνώσεις από την τριγωνομετρία οξείας γωνίας αποδείχθηκαν ανεπαρκείς για την επίλυση πιο περίπλοκων πρακτικά προβλήματα. Κατά τη μελέτη περιστροφικών και κυκλικών κινήσεων, η τιμή της γωνίας και του κυκλικού τόξου δεν περιορίζονται. Προέκυψε η ανάγκη να περάσουμε στην τριγωνομετρία ενός γενικευμένου επιχειρήματος.
Τριγωνομετρία γενικευμένου επιχειρήματος.
Ο κύκλος ( Εικόνα Νο. 9). Οι θετικές γωνίες σχεδιάζονται αριστερόστροφα, οι αρνητικές γωνίες απεικονίζονται δεξιόστροφα. Είστε εξοικειωμένοι με την ιστορία μιας τέτοιας συμφωνίας;
Όπως γνωρίζετε, τα μηχανικά και τα ρολόγια ηλίου είναι σχεδιασμένα με τέτοιο τρόπο ώστε τα χέρια τους να περιστρέφονται «κατά μήκος του ήλιου», δηλ. στην ίδια κατεύθυνση προς την οποία βλέπουμε τη φαινομενική κίνηση του Ήλιου γύρω από τη Γη. (Θυμηθείτε την αρχή του μαθήματος - το γεωκεντρικό σύστημα του κόσμου). Αλλά με την ανακάλυψη από τον Κοπέρνικο της αληθινής (θετικής) κίνησης της Γης γύρω από τον Ήλιο, η κίνηση του Ήλιου γύρω από τη Γη που βλέπουμε (δηλαδή, φαινομενική) είναι πλασματική (αρνητική). Ηλιοκεντρικό σύστημα του κόσμου (ήλιο - Ήλιος) ( Εικόνα Νο. 10).
Ζέσταμα.
- Τεντώστε το δεξί σας χέρι μπροστά σας, παράλληλα με την επιφάνεια του τραπεζιού, και κάντε μια κυκλική περιστροφή 720 μοιρών.
- Εκτείνετε το αριστερό σας χέρι μπροστά σας, παράλληλα με την επιφάνεια του τραπεζιού, και κάντε μια κυκλική περιστροφή (–1080) μοιρών.
- Τοποθετήστε τα χέρια σας στους ώμους σας και κάντε 4 κυκλική κίνησηεμπρός και πίσω. Ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών περιστροφής;
Οι Χειμερινοί Αγώνες πραγματοποιήθηκαν το 2010 Ολυμπιακοί αγώνεςστο Βανκούβερ, μαθαίνουμε τα κριτήρια για τη βαθμολόγηση της ολοκληρωμένης άσκησης ενός σκέιτερ λύνοντας το πρόβλημα.
Εργασία Νο. 2.Εάν ένας σκέιτερ κάνει μια στροφή 10.800 μοιρών ενώ εκτελεί την άσκηση «βίδα» σε 12 δευτερόλεπτα, τότε λαμβάνει μια «άριστη» βαθμολογία. Προσδιορίστε πόσες στροφές θα κάνει ο σκέιτερ σε αυτό το διάστημα και την ταχύτητα της περιστροφής του (στροφές ανά δευτερόλεπτο). Απάντηση: 2,5 στροφές/δευτ.
Εργασία για το σπίτι. Σε ποια γωνία στρέφεται ο σκέιτερ, ο οποίος έλαβε «μη ικανοποιητική» βαθμολογία, αν στον ίδιο χρόνο περιστροφής η ταχύτητά του ήταν 2 στροφές ανά δευτερόλεπτο.
Το πιο βολικό μέτρο τόξων και γωνιών που σχετίζονται με περιστροφικές κινήσεις αποδείχθηκε ότι ήταν το μέτρο ακτίνων (ακτίνα), ως μεγαλύτερη μονάδα μέτρησης μιας γωνίας ή τόξου ( Εικόνα Νο. 11). Αυτό το μέτρο μέτρησης γωνιών εισήλθε στην επιστήμη μέσω των αξιοσημείωτων έργων του Leonhard Euler. Ελβετός στην καταγωγή, έζησε στη Ρωσία για 30 χρόνια και ήταν μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης. Σε αυτόν οφείλουμε την «αναλυτική» ερμηνεία όλης της τριγωνομετρίας, έβγαλε τους τύπους που τώρα μελετάτε, εισήγαγε ομοιόμορφα σημάδια: αμαρτία Χ, συν Χ, tg Χ, ctg Χ.
Εάν μέχρι τον 17ο αιώνα η ανάπτυξη του δόγματος των τριγωνομετρικών συναρτήσεων χτίστηκε σε γεωμετρική βάση, τότε, ξεκινώντας από τον 17ο αιώνα, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις άρχισαν να εφαρμόζονται για την επίλυση προβλημάτων στη μηχανική, την οπτική, τον ηλεκτρισμό, για την περιγραφή ταλαντωτικών διεργασιών και κυμάτων. διάδοση. Όπου έχουμε να αντιμετωπίσουμε περιοδικές διεργασίες και ταλαντώσεις, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν βρει εφαρμογή. Οι συναρτήσεις που εκφράζουν τους νόμους των περιοδικών διεργασιών έχουν μια ειδική ιδιότητα που είναι εγγενής μόνο σε αυτές: επαναλαμβάνουν τις τιμές τους μέσα από το ίδιο διάστημα αλλαγής στο όρισμα. Οι αλλαγές σε οποιαδήποτε συνάρτηση μεταφέρονται πιο ξεκάθαρα στο γράφημά της ( Εικόνα Νο. 12).
Έχουμε ήδη απευθυνθεί στο σώμα μας για βοήθεια κατά την επίλυση προβλημάτων που περιλαμβάνουν περιστροφή. Ας ακούσουμε τους χτύπους της καρδιάς μας. Η καρδιά είναι ένα ανεξάρτητο όργανο. Ο εγκέφαλος ελέγχει οποιονδήποτε από τους μυς μας εκτός από την καρδιά. Έχει το δικό του κέντρο ελέγχου - τον φλεβόκομβο. Με κάθε συστολή της καρδιάς, εξαπλώνεται σε ολόκληρο το σώμα - ξεκινώντας από τον φλεβόκομβο (το μέγεθος ενός κόκκου κεχριού). ηλεκτρική ενέργεια. Μπορεί να καταγραφεί με ηλεκτροκαρδιογράφο. Σχεδιάζει ηλεκτροκαρδιογράφημα (ημιτονοειδές) ( Εικόνα Νο. 13).
Τώρα ας μιλήσουμε για τη μουσική. Τα μαθηματικά είναι μουσική, είναι μια ένωση ευφυΐας και ομορφιάς.
Η μουσική είναι μαθηματικά στους υπολογισμούς, άλγεβρα στην αφαίρεση, τριγωνομετρία στην ομορφιά. Αρμονική ταλάντωση(αρμονική) είναι ημιτονοειδής ταλάντωση. Το γράφημα δείχνει πώς αλλάζει η πίεση του αέρα στο τύμπανο του αυτιού του ακροατή: πάνω και κάτω σε ένα τόξο, περιοδικά. Ο αέρας πιέζει, τώρα πιο δυνατός, τώρα πιο αδύναμος. Η δύναμη της πρόσκρουσης είναι πολύ μικρή και οι δονήσεις συμβαίνουν πολύ γρήγορα: εκατοντάδες και χιλιάδες κρούσεις κάθε δευτερόλεπτο. Αντιλαμβανόμαστε τέτοιες περιοδικές δονήσεις ως ήχο. Η προσθήκη δύο διαφορετικών αρμονικών δίνει μια ταλάντωση μεγαλύτερη πολύπλοκο σχήμα. Το άθροισμα τριών αρμονικών είναι ακόμη πιο περίπλοκο και οι φυσικοί ήχοι και οι ήχοι των μουσικών οργάνων αποτελούνται από μεγάλο αριθμό αρμονικών. ( Εικόνα Νο. 14.)
Κάθε αρμονική χαρακτηρίζεται από τρεις παραμέτρους: πλάτος, συχνότητα και φάση. Η συχνότητα ταλάντωσης δείχνει πόσα χτυπήματα της πίεσης του αέρα συμβαίνουν σε ένα δευτερόλεπτο. Οι υψηλές συχνότητες γίνονται αντιληπτές ως «υψηλοί», «λεπτοί» ήχοι. Πάνω από 10 KHz – τρίξιμο, σφύριγμα. Οι μικρές συχνότητες γίνονται αντιληπτές ως ήχοι "χαμηλοί", "μπάσο", βουητό. Το πλάτος είναι το εύρος των κραδασμών. Όσο μεγαλύτερη είναι η εμβέλεια, τόσο μεγαλύτερη είναι η επίδραση στο τύμπανο και όσο πιο δυνατός είναι ο ήχος που ακούμε ( Εικόνα Νο. 15). Φάση είναι η μετατόπιση των ταλαντώσεων στο χρόνο. Η φάση μπορεί να μετρηθεί σε μοίρες ή ακτίνια. Ανάλογα με τη φάση, το σημείο μηδέν στο γράφημα μετατοπίζεται. Για να ρυθμίσετε μια αρμονική, αρκεί να καθορίσετε τη φάση από -180 έως +180 μοίρες, αφού σε μεγάλες τιμές η ταλάντωση επαναλαμβάνεται. Δύο ημιτονοειδή σήματα με το ίδιο πλάτος και συχνότητα, αλλά διαφορετικές φάσεις, προστίθενται αλγεβρικά ( Εικόνα Νο. 16).
Περίληψη μαθήματος.Πιστεύετε ότι μπορέσαμε να διαβάσουμε μερικές σελίδες από το Μεγάλο Βιβλίο της Φύσης; Έχοντας μάθει για την εφαρμοσμένη σημασία της τριγωνομετρίας, σας έγινε πιο ξεκάθαρος ο ρόλος της σε διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας, καταλάβατε το υλικό που παρουσιάζεται; Στη συνέχεια θυμηθείτε και απαριθμήστε τους τομείς εφαρμογής της τριγωνομετρίας που γνωρίσατε σήμερα ή γνωρίζατε πριν. Ελπίζω ότι ο καθένας από εσάς βρήκε κάτι νέο και ενδιαφέρον στο σημερινό μάθημα. Ίσως αυτό το νέο πράγμα να σας δείξει τον τρόπο επιλογής μελλοντικό επάγγελμα, αλλά ανεξάρτητα από το ποιος γίνετε, η μαθηματική σας εκπαίδευση θα σας βοηθήσει να γίνετε επαγγελματίας και πνευματικά ανεπτυγμένος άνθρωπος.
Εργασία για το σπίτι. Διαβάστε την περίληψη του μαθήματος (
Κάνοντας τριγωνομετρικοί μετασχηματισμοίακολουθήστε αυτές τις συμβουλές:
- Μην προσπαθήσετε να βρείτε αμέσως μια λύση στο παράδειγμα από την αρχή μέχρι το τέλος.
- Μην προσπαθήσετε να μετατρέψετε ολόκληρο το παράδειγμα ταυτόχρονα. Κάντε μικρά βήματα μπροστά.
- Θυμηθείτε ότι εκτός από τους τριγωνομετρικούς τύπους στην τριγωνομετρία, μπορείτε ακόμα να χρησιμοποιήσετε όλους τους δίκαιους αλγεβρικούς μετασχηματισμούς (αγκύλες, συντομεύσεις κλασμάτων, συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού κ.λπ.).
- Πίστεψε ότι όλα θα πάνε καλά.
Βασικοί τριγωνομετρικοί τύποι
Οι περισσότεροι τύποι στην τριγωνομετρία χρησιμοποιούνται συχνά τόσο από τα δεξιά προς τα αριστερά όσο και από τα αριστερά προς τα δεξιά, επομένως πρέπει να μάθετε αυτούς τους τύπους τόσο καλά ώστε να μπορείτε εύκολα να εφαρμόσετε κάποιον τύπο και προς τις δύο κατευθύνσεις. Αρχικά, ας γράψουμε τους ορισμούς τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Ας υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο:
Στη συνέχεια, ο ορισμός του ημιτονοειδούς:
Ορισμός συνημιτόνου:
Ορισμός εφαπτομένης:
Ορισμός συνεφαπτομένης:
Βασικά τριγωνομετρική ταυτότητα:
Τα απλούστερα συμπεράσματα από τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι διπλή γωνία. Ημίτονο διπλής γωνίας:
Συνημίτονο διπλής γωνίας:
Εφαπτομένη διπλής γωνίας:
Συμεφαπτομένη διπλής γωνίας:
Πρόσθετοι τριγωνομετρικοί τύποι
Τριγωνομετρικοί τύποι πρόσθεσης.Ημίτονο του αθροίσματος:
Η ημιτονία της διαφοράς:
Συνημίτονο του αθροίσματος:
Συνημίτονο της διαφοράς:
Εφαπτομένη του αθροίσματος:
Εφαπτομένη διαφοράς:
Συνεφαπτομένη του ποσού:
Συνεφαπτομένη της διαφοράς:
Τριγωνομετρικοί τύποι για τη μετατροπή ενός αθροίσματος σε γινόμενο.Άθροισμα ημιτόνων:
Ημιτονική διαφορά:
Άθροισμα συνημιτόνων:
Διαφορά συνημιτόνων:
Άθροισμα εφαπτομένων:
Εφαπτομενική διαφορά:
Άθροισμα συμεφαπτομένων:
Διαφορά συνεφαπτομένης:
Τριγωνομετρικοί τύποι για τη μετατροπή ενός προϊόντος σε άθροισμα.Προϊόν ημιτόνων:
Προϊόν ημιτονοειδούς και συνημιτόνου:
Προϊόν συνημίτονων:
Τύποι μείωσης πτυχίου.
Τύποι μισής γωνίας.
Τριγωνομετρικοί τύποι αναγωγής
Η συνημίτονο ονομάζεται συνλειτουργίαημιτονικές συναρτήσεις και αντίστροφα. Ομοίως, οι συναρτήσεις εφαπτομένης και συνεφαπτομένης είναι συνσυναρτήσεις. Οι τύποι μείωσης μπορούν να διαμορφωθούν ως εξής:
- Εάν στον τύπο αναγωγής αφαιρεθεί (προστεθεί) μια γωνία από 90 μοίρες ή 270 μοίρες, τότε η μειωμένη συνάρτηση αλλάζει σε συνάρτηση.
- Εάν στον τύπο μείωσης η γωνία αφαιρεθεί (προστεθεί) από 180 μοίρες ή 360 μοίρες, τότε το όνομα της μειωμένης συνάρτησης διατηρείται.
- Σε αυτήν την περίπτωση, το πρόσημο που έχει η μειωμένη (δηλαδή η αρχική) συνάρτηση στο αντίστοιχο τεταρτημόριο τοποθετείται μπροστά από τη μειωμένη συνάρτηση, αν θεωρήσουμε ότι η αφαιρούμενη (προστιθέμενη) γωνία είναι οξεία.
Φόρμουλες μείωσηςδίνονται σε μορφή πίνακα:
Με τριγωνομετρικός κύκλος εύκολο να προσδιοριστούν πινακικές τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
Τριγωνομετρικές εξισώσεις
Για να λυθεί μια ορισμένη τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει να αναχθεί σε μία από τις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις, το οποίο θα συζητηθεί παρακάτω. Για αυτό:
- Μπορεί να χρησιμοποιηθεί τριγωνομετρικούς τύπουςπου δόθηκε παραπάνω. Ταυτόχρονα, δεν χρειάζεται να προσπαθήσετε να μεταμορφώσετε ολόκληρο το παράδειγμα ταυτόχρονα, αλλά πρέπει να προχωρήσετε με μικρά βήματα.
- Δεν πρέπει να ξεχνάμε τη δυνατότητα μετατροπής κάποιας έκφρασης χρησιμοποιώντας αλγεβρικές μεθόδους, δηλ. για παράδειγμα, βγάλτε κάτι από αγκύλες ή, αντίθετα, ανοίξτε αγκύλες, μειώστε ένα κλάσμα, εφαρμόστε έναν συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού, φέρτε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή κ.ο.κ.
- Κατά την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μέθοδος ομαδοποίησης. Πρέπει να θυμόμαστε ότι για να είναι το γινόμενο πολλών παραγόντων ίσο με μηδέν, αρκεί οποιοσδήποτε από αυτούς να είναι ίσος με μηδέν, και τα υπόλοιπα υπήρχαν.
- Εφαρμογή μεταβλητή μέθοδος αντικατάστασης, ως συνήθως, η εξίσωση μετά την εισαγωγή της αντικατάστασης θα πρέπει να γίνει πιο απλή και να μην περιέχει την αρχική μεταβλητή. Πρέπει επίσης να θυμάστε να εκτελέσετε μια αντίστροφη αντικατάσταση.
- Θυμηθείτε ότι οι ομοιογενείς εξισώσεις εμφανίζονται συχνά στην τριγωνομετρία.
- Όταν ανοίγετε ενότητες ή λύνετε παράλογες εξισώσεις με τριγωνομετρικές συναρτήσεις, πρέπει να θυμάστε και να λάβετε υπόψη όλες τις λεπτές αποχρώσεις της επίλυσης των αντίστοιχων εξισώσεων με συνηθισμένες συναρτήσεις.
- Θυμηθείτε για το ODZ (στις τριγωνομετρικές εξισώσεις, οι περιορισμοί στο ODZ καταλήγουν κυρίως στο γεγονός ότι δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν, αλλά μην ξεχνάτε άλλους περιορισμούς, ειδικά για τη θετικότητα των εκφράσεων σε λογικές δυνάμειςκαι κάτω από ρίζες άρτιων μοιρών). Θυμηθείτε επίσης ότι οι τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου μπορούν να βρίσκονται μόνο στην περιοχή από μείον ένα έως συν ένα, συμπεριλαμβανομένων.
Το κύριο πράγμα είναι, αν δεν ξέρετε τι να κάνετε, κάντε τουλάχιστον κάτι και το κύριο πράγμα είναι να χρησιμοποιήσετε σωστά τους τριγωνομετρικούς τύπους. Εάν αυτό που παίρνετε γίνεται όλο και καλύτερο, τότε συνεχίστε τη λύση και αν χειροτερέψει, επιστρέψτε στην αρχή και προσπαθήστε να εφαρμόσετε άλλους τύπους, κάντε το μέχρι να βρείτε τη σωστή λύση.
Τύποι για λύσεις των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων.Για το ημίτονο υπάρχουν δύο ισοδύναμες μορφές γραφής της λύσης:
Για άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, η σημείωση είναι σαφής. Για το συνημίτονο:
Για εφαπτομένη:
Για συμεφαπτομένη:
Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις:
Η επιτυχής, επιμελής και υπεύθυνη εφαρμογή αυτών των τριών σημείων θα σας επιτρέψει να δείξετε ένα εξαιρετικό αποτέλεσμα στην αξονική τομογραφία, το μέγιστο από αυτό που μπορείτε.
Βρήκατε κάποιο λάθος;
Εάν πιστεύετε ότι έχετε βρει κάποιο σφάλμα στο εκπαιδευτικό υλικό, τότε παρακαλώ γράψτε γι' αυτό μέσω email. Μπορείτε επίσης να αναφέρετε ένα σφάλμα σε κοινωνικό δίκτυο(). Στο γράμμα, αναφέρετε το θέμα (φυσική ή μαθηματικά), το όνομα ή τον αριθμό του θέματος ή του τεστ, τον αριθμό του προβλήματος ή τη θέση στο κείμενο (σελίδα) όπου, κατά τη γνώμη σας, υπάρχει σφάλμα. Περιγράψτε επίσης ποιο είναι το ύποπτο σφάλμα. Το γράμμα σας δεν θα περάσει απαρατήρητο, το σφάλμα είτε θα διορθωθεί είτε θα σας εξηγηθεί γιατί δεν είναι λάθος.
Μια φορά κι έναν καιρό στο σχολείο υπήρχε ένα ξεχωριστό μάθημα για τη μελέτη της τριγωνομετρίας. Το πιστοποιητικό βαθμολογήθηκε με τρία μαθηματικούς κλάδους: άλγεβρα, γεωμετρία και τριγωνομετρία.
Στη συνέχεια, ως μέρος της μεταρρύθμισης σχολική μόρφωσηη τριγωνομετρία έπαψε να υπάρχει ως ξεχωριστό θέμα. ΣΕ σύγχρονο σχολείοΗ πρώτη γνωριμία με την τριγωνομετρία γίνεται στο μάθημα της Γεωμετρίας της 8ης τάξης. Μια πιο εμπεριστατωμένη μελέτη του θέματος συνεχίζεται στο μάθημα της 10ης άλγεβρας.
Οι ορισμοί του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης δίνονται αρχικά στη γεωμετρία μέσω της σχέσης των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.
Η οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα.
ΣυνημίτονοΗ οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.
Εφαπτομένη γραμμήΗ οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά.
ΣυνεφαπτομένηΗ οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της διπλανής πλευράς προς την αντίθετη πλευρά.
Αυτοί οι ορισμοί ισχύουν μόνο για αιχμηρές γωνίες(από 0º έως 90°).
Για παράδειγμα,
V τρίγωνο ABC, όπου ∠C=90°, BC είναι το σκέλος απέναντι από τη γωνία Α, AC είναι το σκέλος δίπλα στη γωνία Α, AB είναι η υποτείνουσα.
Το μάθημα της άλγεβρας της 10ης τάξης εισάγει τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης για οποιαδήποτε γωνία (συμπεριλαμβανομένης της αρνητικής).
Θεωρήστε έναν κύκλο ακτίνας R με κέντρο στην αρχή - σημείο O(0;0). Ας συμβολίσουμε το σημείο τομής του κύκλου με τη θετική φορά του άξονα της τετμημένης ως P 0 .
Στη γεωμετρία, μια γωνία θεωρείται ως μέρος ενός επιπέδου που οριοθετείται από δύο ακτίνες. Με αυτόν τον ορισμό, η γωνία κυμαίνεται από 0° έως 180°.
Στην τριγωνομετρία, η γωνία θεωρείται ως αποτέλεσμα της περιστροφής της ακτίνας OP 0 γύρω από το σημείο εκκίνησης O.
Ταυτόχρονα, συμφώνησαν να εξετάσουν τη στροφή της δέσμης αριστερόστροφα ως θετική κατεύθυνση διέλευσης και δεξιόστροφα ως αρνητική (αυτή η συμφωνία σχετίζεται με την πραγματική κίνηση του Ήλιου γύρω από τη Γη).
Για παράδειγμα, όταν η ακτίνα OP 0 περιστρέφεται γύρω από το σημείο O κατά γωνία α αριστερόστροφα, το σημείο P 0 θα πάει στο σημείο P α,
όταν στρίβετε κατά γωνία α δεξιόστροφα - στο σημείο F.
Με αυτόν τον ορισμό, η γωνία μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή.
Εάν συνεχίσουμε να περιστρέφουμε τη δέσμη OP 0 αριστερόστροφα, όταν στρέφουμε κατά γωνία α°+360°, α°+360°·2,...,α°+360°·n, όπου n είναι ακέραιος αριθμός (n∈ Ζ), ας φτάσουμε πάλι στο σημείο P α:
Οι γωνίες μετρώνται σε μοίρες και ακτίνια.
Η 1° είναι γωνία ίση με το 1/180 του τμήματος μέτρο βαθμούξεδιπλωμένη γωνία.
1 ακτίνι είναι επίκεντρη γωνία, το μήκος του τόξου του οποίου είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου:
∠AOB=1 rad.
Τα σύμβολα ακτίνων συνήθως δεν γράφονται. Ο χαρακτηρισμός πτυχίου δεν μπορεί να παραλειφθεί από το αρχείο.
Για παράδειγμα,
Το σημείο P α, που λαμβάνεται από το σημείο P 0 περιστρέφοντας την ακτίνα OP 0 γύρω από το σημείο O κατά γωνία α αριστερόστροφα, έχει συντεταγμένες P α (x;y).
Ας ρίξουμε μια κάθετη P α A από το σημείο P α στον άξονα της τετμημένης.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο OP α A:
P α A - σκέλος απέναντι από τη γωνία α,
ΟΑ - σκέλος δίπλα στη γωνία α,
Το OP α είναι η υποτείνουσα.
P α A=y, OA=x, OP α =R.
Με τον ορισμό του ημιτονοειδούς, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης σε ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε:
Έτσι, στην περίπτωση ενός κύκλου με κέντρο στην αρχή αυθαίρετης ακτίνας ημίτονογωνία α είναι ο λόγος της τεταγμένης του σημείου P α προς το μήκος της ακτίνας.
Συνημίτονογωνία α είναι ο λόγος της τετμημένης του σημείου P α προς το μήκος της ακτίνας.
Εφαπτομένη γραμμήΗ γωνία α είναι ο λόγος της τεταγμένης ενός σημείου P α προς την τετμημένη του.
Συνεφαπτομένηγωνία α είναι ο λόγος της τετμημένης του σημείου P α προς την τεταγμένη του.
Οι τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης εξαρτώνται μόνο από την τιμή του α και δεν εξαρτώνται από το μήκος της ακτίνας R (αυτό προκύπτει από την ομοιότητα των κύκλων).
Επομένως, είναι βολικό να επιλέξετε R=1.
Ένας κύκλος με κέντρο στην αρχή και ακτίνα R=1 ονομάζεται κύκλος μονάδας.
Ορισμοί
1) ΚόλποςΗ γωνία α ονομάζεται τεταγμένη του σημείου P α (x;y) του μοναδιαίου κύκλου:
2) ΣυνημίτονοΗ γωνία α ονομάζεται τετμημένη του σημείου P α (x;y) του μοναδιαίου κύκλου:
3) Εφαπτομένη γραμμήΗ γωνία α είναι ο λόγος της τεταγμένης ενός σημείου P α (x;y) προς την τετμημένη του, δηλαδή ο λόγος του sinα προς το cosα (όπου cosα≠0):
4) ΣυνεφαπτομένηΗ γωνία α είναι ο λόγος της τετμημένης ενός σημείου P α (x;y) προς την τεταγμένη του, δηλαδή ο λόγος του cosα προς το sinα (όπου sinα≠0):
Οι ορισμοί που εισάγονται με αυτόν τον τρόπο μας επιτρέπουν να εξετάζουμε όχι μόνο τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις των γωνιών, αλλά και τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις αριθμητικά ορίσματα(αν θεωρήσουμε τα sinα, cosα, tanα και ctgα ως τις αντίστοιχες τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας γωνίας σε α ακτίνια, δηλαδή το ημίτονο του αριθμού α είναι το ημίτονο της γωνίας σε α ακτίνια, το συνημίτονο του αριθμού α είναι το συνημίτονο της γωνίας σε α ακτίνια κ.λπ.).
Οι ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων μελετώνται ως ξεχωριστό θέμα στο μάθημα της άλγεβρας στις τάξεις 10 ή 11. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρέως στη φυσική.
Κατηγορία: |- -
Συνήθως, όταν θέλουν να τρομάξουν κάποιον με ΤΡΟΜΑΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, αναφέρουν κάθε λογής ημίτονο και συνημίτονο ως παράδειγμα, ως κάτι πολύ περίπλοκο και αηδιαστικό. Αλλά στην πραγματικότητα, αυτή είναι μια όμορφη και ενδιαφέρουσα ενότητα που μπορεί να γίνει κατανοητή και να λυθεί.
Το θέμα ξεκινάει στην 9η δημοτικού και δεν είναι πάντα ξεκάθαρα όλα την πρώτη φορά, υπάρχουν πολλές λεπτότητες και κόλπα. Προσπάθησα να πω κάτι για το θέμα.
Εισαγωγή στον κόσμο της τριγωνομετρίας:
Προτού βιαστείτε ασταμάτητα σε τύπους, πρέπει να καταλάβετε από τη γεωμετρία τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο κ.λπ.
Ημίτονο γωνίας- ο λόγος της αντίθετης (γωνίας) πλευράς προς την υποτείνουσα.
Συνημίτονο- η αναλογία παρακείμενου προς την υποτείνουσα.
Εφαπτομένη γραμμή- απέναντι πλευρά σε διπλανή πλευρά
Συνεφαπτομένη- δίπλα στο απέναντι.
Τώρα θεωρήστε έναν κύκλο μοναδιαίας ακτίνας επίπεδο συντεταγμένωνκαι σημειώστε κάποια γωνία άλφα σε αυτό: (οι φωτογραφίες μπορούν να κάνουν κλικ, τουλάχιστον μερικές)
- 
-
Οι λεπτές κόκκινες γραμμές είναι η κάθετη από το σημείο τομής του κύκλου και η ορθή γωνία στον άξονα βόδι και όυ. Το κόκκινο x και y είναι η τιμή των συντεταγμένων x και y στους άξονες (το γκρι x και y είναι απλώς για να υποδείξουν ότι πρόκειται για άξονες συντεταγμένων και όχι μόνο για γραμμές).
Πρέπει να σημειωθεί ότι οι γωνίες υπολογίζονται από τη θετική κατεύθυνση του άξονα βόδι αριστερόστροφα.
Ας βρούμε το ημίτονο, το συνημίτονο κ.λπ.
sin a: η απέναντι πλευρά είναι ίση με y, η υποτείνουσα είναι ίση με 1.
sin a = y / 1 = y
Για να είναι απολύτως σαφές από πού παίρνω το y και το 1, για λόγους σαφήνειας, ας τακτοποιήσουμε τα γράμματα και ας δούμε τα τρίγωνα.
- -
AF = AE = 1 - ακτίνα του κύκλου.
Επομένως ΑΒ = 1 ως ακτίνα. ΑΒ - υποτείνουσα.
BD = CA = y - ως τιμή για το oh.
AD = CB = x - ως τιμή σύμφωνα με το oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Ακολουθεί το συνημίτονο:
cos a: διπλανή πλευρά - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x
Επίσης βγάζουμε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.
tg a = y / x = αμαρτία a / cos a
κούνια α = x / y = cos a / αμαρτία α
Ξαφνικά αντλήσαμε τον τύπο για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη.
Λοιπόν, ας ρίξουμε μια συγκεκριμένη ματιά στο πώς λύνεται αυτό.
Για παράδειγμα, a = 45 μοίρες.
Παίρνουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με μία γωνία 45 μοιρών. Είναι αμέσως ξεκάθαρο σε κάποιους ότι πρόκειται για ισόπλευρο τρίγωνο, αλλά θα το περιγράψω ούτως ή άλλως.
Ας βρούμε την τρίτη γωνία του τριγώνου (η πρώτη είναι 90, η δεύτερη είναι 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Αν δύο γωνίες είναι ίσες, τότε οι πλευρές τους είναι ίσες, έτσι ακούστηκε.
Έτσι, αποδεικνύεται ότι αν προσθέσουμε δύο τέτοια τρίγωνα το ένα πάνω στο άλλο, θα έχουμε ένα τετράγωνο με διαγώνιο ίση με ακτίνα = 1. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, γνωρίζουμε ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου με πλευρά α είναι ίση με μια ρίζα δύο.
Τώρα σκεφτόμαστε. Αν το 1 (η υποτείνουσα γνωστή και ως διαγώνιος) είναι ίση με την πλευρά του τετραγώνου επί τη ρίζα του δύο, τότε η πλευρά του τετραγώνου θα πρέπει να είναι ίση με 1/sqrt(2) και αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος από τη ρίζα δύο, παίρνουμε sqrt(2)/2 . Και αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές, τότε AD = AC => x = y
Βρίσκοντας τις τριγωνομετρικές μας συναρτήσεις:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Πρέπει να εργαστείτε με τις υπόλοιπες τιμές γωνίας με τον ίδιο τρόπο. Μόνο τα τρίγωνα δεν θα είναι ισοσκελές, αλλά οι πλευρές μπορούν να βρεθούν εξίσου εύκολα χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Με αυτόν τον τρόπο παίρνουμε έναν πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων από διαφορετικές γωνίες:
- 
-
Επιπλέον, αυτός ο πίνακας είναι απατηλός και πολύ βολικός.
Πώς να το συνθέσετε μόνοι σας χωρίς καμία ταλαιπωρία:Σχεδιάστε έναν τέτοιο πίνακα και γράψτε τους αριθμούς 1 2 3 στα κουτάκια.
- 
-
Τώρα από αυτά τα 1 2 3 παίρνετε τη ρίζα και διαιρείτε με το 2. Αποδεικνύεται ως εξής:
- 
-
Τώρα διαγράφουμε το ημίτονο και γράφουμε το συνημίτονο. Οι τιμές του είναι το κατοπτρικό ημίτονο:
- 
-
Η εφαπτομένη είναι εξίσου εύκολο να εξαχθεί - πρέπει να διαιρέσετε την τιμή της ημιτονοειδούς γραμμής με την τιμή της συνημιτονοειδούς γραμμής:
- 
-
Η τιμή συνεφαπτομένης είναι η ανεστραμμένη τιμή της εφαπτομένης. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε κάτι σαν αυτό:
- 
-
Σημείωσηαυτή η εφαπτομένη δεν υπάρχει στο P/2, για παράδειγμα. Σκεφτείτε γιατί. (Δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν.)
Τι πρέπει να θυμάστε εδώ:ημίτονο είναι η τιμή y, συνημίτονο είναι η τιμή x. Η εφαπτομένη είναι ο λόγος του y προς το x και η συνεφαπτομένη είναι το αντίθετο. Έτσι, για να προσδιορίσετε τις τιμές των ημιτόνων / συνημιτόνων, αρκεί να σχεδιάσετε τον πίνακα που περιέγραψα παραπάνω και έναν κύκλο με άξονες συντεταγμένων (είναι βολικό να κοιτάξετε τις τιμές σε γωνίες 0, 90, 180, 360).
- 
-
Λοιπόν, ελπίζω ότι μπορείτε να διακρίνετε κατάλυμα:
- 
-
Το πρόσημο του ημιτόνου, του συνημιτόνου κ.λπ. εξαρτάται από το σε ποιο τέταρτο βρίσκεται η γωνία. Αν και, η απολύτως πρωτόγονη λογική σκέψη θα σας οδηγήσει στη σωστή απάντηση, αν λάβετε υπόψη ότι στο δεύτερο και τρίτο τρίμηνο το x είναι αρνητικό, και το y είναι αρνητικό στο τρίτο και τέταρτο. Τίποτα τρομακτικό ή τρομακτικό.
Νομίζω ότι δεν θα ήταν λάθος να αναφέρω φόρμουλες μείωσηςαλά φαντάσματα, όπως ακούνε όλοι, που έχει έναν κόκκο αλήθειας. Δεν υπάρχουν τύποι ως τέτοιοι, καθώς είναι περιττοί. Το ίδιο το νόημα όλης αυτής της ενέργειας: Βρίσκουμε εύκολα τις τιμές γωνίας μόνο για το πρώτο τέταρτο (30 μοίρες, 45, 60). Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές, επομένως μπορούμε να σύρουμε οποιαδήποτε μεγάλη γωνία στο πρώτο τέταρτο. Τότε θα βρούμε αμέσως το νόημά του. Αλλά απλά το σύρσιμο δεν αρκεί - πρέπει να θυμάστε για το σημάδι. Για αυτό χρησιμεύουν οι τύποι μείωσης.
Έτσι, έχουμε μια μεγάλη γωνία, ή μάλλον μεγαλύτερη από 90 μοίρες: a = 120. Και πρέπει να βρούμε το ημίτονο και το συνημίτονο του. Για να γίνει αυτό, θα αποσυνθέσουμε το 120 σε γωνίες με τις οποίες μπορούμε να δουλέψουμε:
sin a = αμαρτία 120 = αμαρτία (90 + 30)
Βλέπουμε ότι αυτή η γωνία βρίσκεται στο δεύτερο τέταρτο, το ημίτονο εκεί είναι θετικό, επομένως το σύμβολο + μπροστά από το ημίτονο διατηρείται.
Για να απαλλαγούμε από τις 90 μοίρες, αλλάζουμε το ημίτονο σε συνημίτονο. Λοιπόν, αυτός είναι ένας κανόνας που πρέπει να θυμάστε:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Ή μπορείτε να το φανταστείτε αλλιώς:
αμαρτία 120 = αμαρτία (180 - 60)
Για να απαλλαγούμε από τις 180 μοίρες, δεν αλλάζουμε τη λειτουργία.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Έχουμε την ίδια τιμή, οπότε όλα είναι σωστά. Τώρα το συνημίτονο:
cos 120 = cos (90 + 30)
Το συνημίτονο στο δεύτερο τρίμηνο είναι αρνητικό, οπότε βάζουμε πρόσημο μείον. Και αλλάζουμε τη συνάρτηση στην αντίθετη, αφού πρέπει να αφαιρέσουμε 90 μοίρες.
cos (90 + 30) = - αμαρτία 30 = - 1 / 2
Ή:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2
Τι πρέπει να γνωρίζετε, να μπορείτε να κάνετε και να κάνετε για να μεταφέρετε γωνίες στο πρώτο τρίμηνο:
- να αποσυνθέσετε τη γωνία σε εύπεπτους όρους.
-Λάβετε υπόψη σε ποιο τέταρτο βρίσκεται η γωνία και βάλτε το κατάλληλο πρόσημο εάν η συνάρτηση σε αυτό το τέταρτο είναι αρνητική ή θετική.
-Απαλλαγείτε από περιττά πράγματα:
*αν πρέπει να απαλλαγείτε από τα 90, 270, 450 και τα υπόλοιπα 90+180n, όπου n είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός, τότε η συνάρτηση αντιστρέφεται (ημίτονο σε συνημίτονο, εφαπτομένη σε συνεφαπτομένη και αντίστροφα).
*αν πρέπει να απαλλαγείτε από το 180 και το υπόλοιπο 180+180n, όπου n είναι οποιοσδήποτε ακέραιος, τότε η συνάρτηση δεν αλλάζει. (Υπάρχει ένα χαρακτηριστικό εδώ, αλλά είναι δύσκολο να το εξηγήσω με λόγια, αλλά οκ).
Αυτό είναι όλο. Δεν νομίζω ότι είναι απαραίτητο να απομνημονεύσετε τους ίδιους τους τύπους όταν μπορείτε να θυμάστε μερικούς κανόνες και να τους χρησιμοποιήσετε εύκολα. Παρεμπιπτόντως, αυτοί οι τύποι είναι πολύ εύκολο να αποδειχθούν:
- 
-
Και συντάσσουν επίσης δυσκίνητους πίνακες, τότε ξέρουμε:
- 
-
Βασικές εξισώσεις τριγωνομετρίας:πρέπει να τα ξέρεις πολύ, πολύ καλά, από καρδιάς.
Θεμελιώδης τριγωνομετρική ταυτότητα(ισότητα):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Αν δεν το πιστεύετε, καλύτερα να το ελέγξετε μόνοι σας και να το δείτε μόνοι σας. Αντικαταστήστε τις τιμές διαφορετικών γωνιών.
Αυτή η φόρμουλα είναι πολύ, πολύ χρήσιμη, να την θυμάστε πάντα. χρησιμοποιώντας το μπορείτε να εκφράσετε το ημίτονο μέσω συνημίτονο και αντίστροφα, κάτι που μερικές φορές είναι πολύ χρήσιμο. Αλλά, όπως κάθε άλλη φόρμουλα, πρέπει να ξέρετε πώς να το χειριστείτε. Να θυμάστε πάντα ότι το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η γωνία. Να γιατί κατά την εξαγωγή της ρίζας πρέπει να γνωρίζετε το τέταρτο.
Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη:Έχουμε ήδη αντλήσει αυτούς τους τύπους στην αρχή.
tg a = αμαρτία a / cos a
κούνια α = cos a / αμαρτία α
Προϊόν εφαπτομένης και συνεφαπτομένης:
tg a * ctg a = 1
Επειδή:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - τα κλάσματα ακυρώνονται.
Όπως μπορείτε να δείτε, όλες οι φόρμουλες είναι ένα παιχνίδι και ένας συνδυασμός.
Ακολουθούν δύο ακόμη, που προκύπτουν από τη διαίρεση με το συνημιτονο τετράγωνο και το ημιτονο τετράγωνο του πρώτου τύπου:
- 
-
Λάβετε υπόψη ότι οι δύο τελευταίοι τύποι μπορούν να χρησιμοποιηθούν με περιορισμό στην τιμή της γωνίας a, καθώς δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν.
Τύποι προσθήκης:αποδεικνύονται χρησιμοποιώντας διανυσματική άλγεβρα.
- 
-
Χρησιμοποιείται σπάνια, αλλά με ακρίβεια. Υπάρχουν τύποι στη σάρωση, αλλά μπορεί να είναι δυσανάγνωστοι ή η ψηφιακή φόρμα να γίνεται πιο εύκολα αντιληπτή:
- -
Τύποι διπλής γωνίας:
Λαμβάνονται με βάση τους τύπους πρόσθεσης, για παράδειγμα: το συνημίτονο διπλής γωνίας είναι cos 2a = cos (a + a) - σας θυμίζει κάτι; Μόλις αντικατέστησαν το betta με ένα άλφα.
- 
-
Οι δύο επόμενοι τύποι προέρχονται από την πρώτη αντικατάσταση sin^2(a) = 1 - cos^2(a) και cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Το ημίτονο διπλής γωνίας είναι απλούστερο και χρησιμοποιείται πολύ πιο συχνά:
- 
-
Και ειδικοί διεστραμμένοι μπορούν να αντλήσουν την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη διπλής γωνίας, δεδομένου ότι ταν α = αμαρτία α / συν α κ.λπ.
- 
-
Για τα παραπάνω πρόσωπα Τύποι τριπλής γωνίας:προκύπτουν προσθέτοντας γωνίες 2α και α, αφού γνωρίζουμε ήδη τους τύπους για τις διπλές γωνίες.
- 
-
Τύποι μισής γωνίας:
- 
-
Δεν ξέρω πώς προέρχονται, ή ακριβέστερα, πώς να το εξηγήσω... Αν γράψουμε αυτούς τους τύπους, αντικαθιστώντας την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα με a/2, τότε η απάντηση θα συγκλίνει.
Τύποι πρόσθεσης και αφαίρεσης τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
- 
-
Λαμβάνονται από τύπους προσθήκης, αλλά κανείς δεν νοιάζεται. Δεν συμβαίνουν συχνά.
Όπως καταλαβαίνετε, υπάρχουν ακόμα ένα σωρό φόρμουλες, η λίστα που είναι απλά άσκοπη, γιατί δεν θα μπορώ να γράψω κάτι επαρκές για αυτούς, και ξηρές φόρμουλες μπορούν να βρεθούν οπουδήποτε, και είναι ένα παιχνίδι με προηγούμενες υπάρχουσες φόρμουλες. Όλα είναι τρομερά λογικά και ακριβή. Τελευταία θα σου πω σχετικά με τη μέθοδο της βοηθητικής γωνίας:
Η μετατροπή της έκφρασης a cosx + b sinx στη μορφή Acos(x+) ή Asin(x+) ονομάζεται μέθοδος εισαγωγής βοηθητικής γωνίας (ή πρόσθετου ορίσματος). Η μέθοδος χρησιμοποιείται κατά την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, κατά την εκτίμηση των τιμών των συναρτήσεων, σε ακραία προβλήματα και είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι ορισμένα προβλήματα δεν μπορούν να λυθούν χωρίς την εισαγωγή μιας βοηθητικής γωνίας.
Ανεξάρτητα από το πώς προσπαθήσατε να εξηγήσετε αυτήν τη μέθοδο, δεν προέκυψε τίποτα, επομένως θα πρέπει να το κάνετε μόνοι σας:
- 
-
Πράγμα τρομακτικό, αλλά χρήσιμο. Εάν λύσετε τα προβλήματα, θα πρέπει να λυθεί.
Από εδώ, για παράδειγμα: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm
Ακολουθούν στο μάθημα γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Αλλά αυτό αρκεί για ένα μάθημα. Λαμβάνοντας υπόψη ότι στο σχολείο αυτό το διδάσκουν για έξι μήνες.
Γράψτε τις ερωτήσεις σας, λύστε προβλήματα, ζητήστε σαρώσεις ορισμένων εργασιών, ανακαλύψτε το, δοκιμάστε το.
Πάντα δικός σου, Dan Faraday.
