Με τη διαφορά ότι αντί για «επίπεδα» γραφήματα, θα εξετάσουμε τις πιο κοινές χωρικές επιφάνειες και επίσης θα μάθουμε πώς να τις κατασκευάζουμε με το χέρι. Πέρασα πολύ καιρό επιλέγοντας εργαλεία λογισμικού για τη δημιουργία τρισδιάστατων σχεδίων και βρήκα μερικές καλές εφαρμογές, αλλά παρά την ευκολία χρήσης, αυτά τα προγράμματα δεν λύνουν τα σημαντικά πρακτική ερώτηση. Το γεγονός είναι ότι στο ορατό ιστορικό μέλλον, οι μαθητές θα εξακολουθούν να είναι οπλισμένοι με χάρακα και μολύβι, και ακόμη και έχοντας ένα υψηλής ποιότητας σχέδιο "μηχανής", πολλοί δεν θα μπορούν να το μεταφέρουν σωστά σε καρό χαρτί. Επομένως, στο εγχειρίδιο δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στην τεχνική της χειροκίνητης κατασκευής και ένα σημαντικό μέρος των εικονογραφήσεων της σελίδας είναι ένα χειροποίητο προϊόν.
Τι διαφορετικό έχει αυτό υλικό αναφοράςαπό ανάλογα;
Έχοντας αξιοπρεπή πρακτική εμπειρία, γνωρίζω πολύ καλά ποιες επιφάνειες έχουμε να αντιμετωπίσουμε συχνότερα σε πραγματικά προβλήματα ανώτερων μαθηματικών και ελπίζω ότι αυτό το άρθρο θα σας βοηθήσει να αναπληρώσετε γρήγορα τις αποσκευές σας με τις σχετικές γνώσεις και εφαρμοσμένες δεξιότητες, οι οποίες αντιστοιχούν σε 90 -95% θα πρέπει να υπάρχουν αρκετές περιπτώσεις.
Τι πρέπει να ξέρετε αυτή τη στιγμή?
Το πιο βασικό:
Πρώτον, πρέπει να είστε σε θέση κατασκευάσει σωστάχωρικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (δείτε την αρχή του άρθρου Γραφήματα και ιδιότητες συναρτήσεων) .
Τι θα κερδίσετε αφού διαβάσετε αυτό το άρθρο;
Μπουκάλι Αφού καταλάβετε τα υλικά του μαθήματος, θα μάθετε να προσδιορίζετε γρήγορα τον τύπο της επιφάνειας από τη λειτουργία ή/και την εξίσωσή της, να φανταστείτε πώς βρίσκεται στο διάστημα και, φυσικά, να κάνετε σχέδια. Είναι εντάξει αν δεν τα έχετε όλα στο μυαλό σας μετά την πρώτη ανάγνωση - μπορείτε πάντα να επιστρέψετε σε οποιαδήποτε παράγραφο αργότερα, όπως χρειάζεται.
Οι πληροφορίες είναι στη δύναμη του καθενός - για να τις κατακτήσετε δεν χρειάζεστε καμία σούπερ γνώση, ιδιαίτερο καλλιτεχνικό ταλέντο ή χωρική όραση.
Αρχίζουν!
Στην πράξη συνήθως δίνεται η χωρική επιφάνεια συνάρτηση δύο μεταβλητώνή μια εξίσωση της μορφής (η σταθερά στη δεξιά πλευρά είναι τις περισσότερες φορές ίση με μηδέν ή ένα). Ο πρώτος προσδιορισμός είναι πιο τυπικός για μαθηματική ανάλυση, ο δεύτερος - για αναλυτική γεωμετρία. Η εξίσωση είναι ουσιαστικά σιωπηρά δίνεταισυνάρτηση 2 μεταβλητών, οι οποίες σε τυπικές περιπτώσεις μπορούν εύκολα να αναχθούν στη μορφή . σου θυμίζω απλούστερο παράδειγμαντο:
–επίπεδο εξίσωσηείδος .
– λειτουργία αεροπλάνου σε ρητά .
Ας ξεκινήσουμε με αυτό:
Κοινές εξισώσεις επιπέδων
Τυπικές επιλογές για τη διάταξη των επιπέδων σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων συζητούνται λεπτομερώς στην αρχή του άρθρου. Επίπεδη εξίσωση. Ωστόσο, ας σταθούμε για άλλη μια φορά στις εξισώσεις που έχουν μεγάλη σημασία για την πρακτική.
Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να αναγνωρίσετε πλήρως αυτόματα τις εξισώσεις των επιπέδων που είναι παράλληλες αεροπλάνα συντεταγμένων. Τα θραύσματα των επιπέδων απεικονίζονται τυπικά ως ορθογώνια, τα οποία στις δύο τελευταίες περιπτώσεις μοιάζουν με παραλληλόγραμμα. Από προεπιλογή, μπορείτε να επιλέξετε οποιεσδήποτε διαστάσεις (εντός λογικών ορίων, φυσικά), αλλά είναι επιθυμητό το σημείο στο οποίο ο άξονας συντεταγμένων "τρυπάει" το επίπεδο να είναι το κέντρο συμμετρίας: 
Αυστηρά μιλώντας, οι άξονες συντεταγμένων θα πρέπει να απεικονίζονται με διακεκομμένες γραμμές σε ορισμένα σημεία, αλλά για να αποφευχθεί η σύγχυση θα παραμελήσουμε αυτήν την απόχρωση.
– (αριστερό σχέδιο)Η ανισότητα καθορίζει το μισό διάστημα που βρίσκεται πιο μακριά από εμάς, εξαιρουμένου του ίδιου του επιπέδου.
– (μεσαίο σχέδιο)Η ανισότητα καθορίζει το δεξιό μισό διάστημα, συμπεριλαμβανομένου του επιπέδου.
– (δεξιό σχέδιο)η διπλή ανισότητα ορίζει ένα «στρώμα» που βρίσκεται μεταξύ των επιπέδων, συμπεριλαμβανομένων και των δύο επιπέδων.
Για αυτοζέσταμα:
Παράδειγμα 1
Σχεδιάστε ένα σώμα που οριοθετείται από επίπεδα
Δημιουργήστε ένα σύστημα ανισοτήτων που ορίζουν ένα δεδομένο σώμα.
Ένας παλιός γνώριμος θα πρέπει να αναδυθεί κάτω από το προβάδισμα του μολυβιού σας. κυβοειδές. Μην ξεχνάτε ότι οι αόρατες άκρες και τα πρόσωπα πρέπει να σχεδιάζονται με μια διακεκομμένη γραμμή. Ολοκληρώθηκε η ζωγραφική στο τέλος του μαθήματος.
Σας παρακαλούμε, ΜΗΝ ΑΜΕΛΗΣΕΙΣμαθησιακές εργασίες, ακόμα κι αν φαίνονται πολύ απλές. Διαφορετικά, μπορεί να συμβεί να το χάσατε μία φορά, να το χάσατε δύο και μετά να αφιερώσετε μια σταθερή ώρα προσπαθώντας να καταλάβετε ένα τρισδιάστατο σχέδιο σε κάποιο πραγματικό παράδειγμα. Εκτός, μηχανική εργασίαθα σας βοηθήσει να μάθετε το υλικό πολύ πιο αποτελεσματικά και να αναπτύξετε τη νοημοσύνη σας! Δεν είναι τυχαίο ότι νηπιαγωγείοΚαι δημοτικό σχολείοΤα παιδιά είναι φορτωμένα με σχέδια, μοντελοποίηση, κιτ κατασκευής και άλλες εργασίες για λεπτές κινητικές δεξιότητες των δακτύλων. Συγγνώμη για την παρέκκλιση, αλλά δεν πρέπει να λείπουν τα δύο τετράδια μου για την αναπτυξιακή ψυχολογία =)
Θα ονομάσουμε υπό όρους την επόμενη ομάδα επιπέδων "άμεση αναλογικότητα" - αυτά είναι επίπεδα που διέρχονται από τους άξονες συντεταγμένων:
2) μια εξίσωση της μορφής καθορίζει ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα.
3) μια εξίσωση της μορφής καθορίζει ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα.
Αν και το επίσημο πρόσημο είναι εμφανές (ποια μεταβλητή λείπει από την εξίσωση - το επίπεδο διέρχεται από αυτόν τον άξονα), είναι πάντα χρήσιμο να κατανοήσουμε την ουσία των γεγονότων που λαμβάνουν χώρα:
Παράδειγμα 2
Κατασκευάστε αεροπλάνο
Ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος κατασκευής; Προτείνω τον παρακάτω αλγόριθμο:
Αρχικά, ας ξαναγράψουμε την εξίσωση με τη μορφή , από την οποία φαίνεται ξεκάθαρα ότι το «y» μπορεί να πάρει όποιοςνοήματα. Ας καθορίσουμε την τιμή, δηλαδή θα εξετάσουμε το επίπεδο συντεταγμένων. Σύνολο εξισώσεων διαστημική γραμμή, που βρίσκεται σε ένα δεδομένο επίπεδο συντεταγμένων. Ας απεικονίσουμε αυτή τη γραμμή στο σχέδιο. Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων, οπότε για να την κατασκευάσουμε αρκεί να βρούμε ένα σημείο. Αφήστε . Αφήστε στην άκρη ένα σημείο και τραβήξτε μια ευθεία γραμμή.
Τώρα επιστρέφουμε στην εξίσωση του επιπέδου. Αφού το «Υ» δέχεται όποιοςτιμές, τότε η ευθεία γραμμή που κατασκευάζεται στο επίπεδο «αντιγράφεται» συνεχώς προς τα αριστερά και προς τα δεξιά. Έτσι ακριβώς σχηματίζεται το αεροπλάνο μας, περνώντας από τον άξονα. Για να ολοκληρώσουμε το σχέδιο, τοποθετούμε δύο παράλληλες γραμμές αριστερά και δεξιά της ευθείας γραμμής και «κλείνουμε» το συμβολικό παραλληλόγραμμο με εγκάρσια οριζόντια τμήματα: 
Δεδομένου ότι η συνθήκη δεν επέβαλε πρόσθετους περιορισμούς, ένα θραύσμα του αεροπλάνου μπορούσε να απεικονιστεί σε ελαφρώς μικρότερα ή ελαφρώς μεγαλύτερα μεγέθη.
Ας επαναλάβουμε για άλλη μια φορά την έννοια του χωρικού γραμμική ανισότηταΓια παράδειγμα . Πώς να προσδιορίσετε το μισό διάστημα που ορίζει; Ας πάρουμε κάποιο σημείο που δεν ανήκει σεεπίπεδο, για παράδειγμα, ένα σημείο από το πλησιέστερο σε εμάς ημιδιάστημα και αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του στην ανισότητα:
Ελήφθη αληθινή ανισότητα, που σημαίνει ότι η ανισότητα προσδιορίζει το χαμηλότερο (σε σχέση με το επίπεδο) μισό διάστημα, ενώ το ίδιο το επίπεδο δεν περιλαμβάνεται στη λύση.
Παράδειγμα 3
Κατασκευάστε αεροπλάνα
ΕΝΑ) ;
β) .
Αυτές είναι εργασίες για αυτοκατασκευή· σε περίπτωση δυσκολιών, χρησιμοποιήστε παρόμοια συλλογιστική. Σύντομες οδηγίες και σχέδια στο τέλος του μαθήματος.
Στην πράξη, τα επίπεδα παράλληλα προς τον άξονα είναι ιδιαίτερα κοινά. Η ειδική περίπτωση όταν το αεροπλάνο διέρχεται από τον άξονα συζητήθηκε μόλις στο σημείο "be" και τώρα θα αναλύσουμε περισσότερα κοινή εργασία:
Παράδειγμα 4
Κατασκευάστε αεροπλάνο
Λύση: η μεταβλητή "z" δεν περιλαμβάνεται ρητά στην εξίσωση, πράγμα που σημαίνει ότι το επίπεδο είναι παράλληλο με τον άξονα εφαρμογής. Ας χρησιμοποιήσουμε την ίδια τεχνική όπως στα προηγούμενα παραδείγματα.
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση του επιπέδου στη μορφή 
από το οποίο είναι σαφές ότι το «zet» μπορεί να πάρει όποιοςνοήματα. Ας το διορθώσουμε και ας σχεδιάσουμε μια κανονική "επίπεδη" ευθεία γραμμή στο "εγγενές" επίπεδο. Για να το κατασκευάσετε, είναι βολικό να λαμβάνετε σημεία αναφοράς.
Αφού το «Ζ» δέχεται Ολατιμές, τότε η κατασκευασμένη ευθεία «πολλαπλασιάζεται» συνεχώς πάνω-κάτω, σχηματίζοντας έτσι το επιθυμητό επίπεδο 
. Σχεδιάζουμε προσεκτικά ένα παραλληλόγραμμο λογικού μεγέθους: 
Ετοιμος.
Εξίσωση επιπέδου σε τμήματα
Η πιο σημαντική εφαρμοσμένη ποικιλία. Αν Ολαπιθανότητα γενική εξίσωση του αεροπλάνου μη μηδενικό, τότε μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή 
η οποία ονομάζεται εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα. Είναι προφανές ότι το επίπεδο τέμνει τους άξονες συντεταγμένων σε σημεία , και το μεγάλο πλεονέκτημα μιας τέτοιας εξίσωσης είναι η ευκολία κατασκευής ενός σχεδίου:
Παράδειγμα 5
Κατασκευάστε αεροπλάνο
Λύση: Αρχικά, ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα. Ας ρίξουμε τον ελεύθερο όρο προς τα δεξιά και ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με το 12: 
Όχι, δεν υπάρχει τυπογραφικό λάθος εδώ και όλα τα πράγματα συμβαίνουν στο διάστημα! Εξετάζουμε την προτεινόμενη επιφάνεια χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο που χρησιμοποιήθηκε πρόσφατα για αεροπλάνα. Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση στη φόρμα 
, από το οποίο προκύπτει ότι το «zet» παίρνει όποιοςνοήματα. Ας διορθώσουμε και ας κατασκευάσουμε μια έλλειψη στο επίπεδο. Αφού το «ζετ» δέχεται Ολατιμές, τότε η κατασκευασμένη έλλειψη «αντιγράφεται» συνεχώς πάνω-κάτω. Είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι η επιφάνεια άπειρος:
Αυτή η επιφάνεια ονομάζεται ελλειπτικός κύλινδρος. Μια έλλειψη (σε οποιοδήποτε ύψος) ονομάζεται οδηγόςκύλινδρος, και ονομάζονται παράλληλες γραμμές που διέρχονται από κάθε σημείο της έλλειψης σχηματίζονταςκύλινδρο (που κυριολεκτικά τον σχηματίζουν). Ο άξονας είναι ΑΞΟΝΑΣ συμμετριαςεπιφάνεια (αλλά όχι μέρος της!).
Οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που ανήκει σε μια δεδομένη επιφάνεια ικανοποιούν απαραίτητα την εξίσωση 
.
Χωρικήη ανισότητα ορίζει το «μέσα» του άπειρου «σωλήνα», συμπεριλαμβανομένης της ίδιας της κυλινδρικής επιφάνειας, και, κατά συνέπεια, η αντίθετη ανισότητα ορίζει το σύνολο των σημείων έξω από τον κύλινδρο.
ΣΕ πρακτικά προβλήματαδημοφιλέστερος ειδική περίπτωση, Οταν οδηγόςκύλινδρος είναι κύκλος:
Παράδειγμα 8
Κατασκευάστε την επιφάνεια που δίνεται από την εξίσωση
Είναι αδύνατο να απεικονιστεί ένας ατελείωτος «σωλήνας», επομένως η τέχνη συνήθως περιορίζεται στο «κόψιμο».
Πρώτα, είναι βολικό να κατασκευάσουμε έναν κύκλο ακτίνας στο επίπεδο και, στη συνέχεια, μερικούς ακόμη κύκλους πάνω και κάτω. Οι κύκλοι που προκύπτουν ( οδηγούςκύλινδρος) συνδέστε προσεκτικά με τέσσερις παράλληλες ευθείες ( σχηματίζονταςκύλινδρος): 
Μην ξεχνάτε να χρησιμοποιείτε διακεκομμένες γραμμές για γραμμές που είναι αόρατες σε εμάς.
Οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που ανήκει σε έναν δεδομένο κύλινδρο ικανοποιούν την εξίσωση 
. Οι συντεταγμένες κάθε σημείου που βρίσκεται αυστηρά μέσα στον «σωλήνα» ικανοποιούν την ανισότητα 
και η ανισότητα 
ορίζει ένα σύνολο σημείων του εξωτερικού τμήματος. Για καλύτερη κατανόηση, συνιστώ να εξετάσετε αρκετά συγκεκριμένα σημεία στο χώρο και να δείτε μόνοι σας.
Παράδειγμα 9
Κατασκευάστε μια επιφάνεια και βρείτε την προβολή της στο επίπεδο
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση στη φόρμα 
από το οποίο προκύπτει ότι το «x» παίρνει όποιοςνοήματα. Ας διορθώσουμε και ας απεικονίσουμε στο επίπεδο κύκλος– με κέντρο στην αρχή, ακτίνα μονάδας. Αφού το «χ» δέχεται συνέχεια Ολατιμές, τότε ο κατασκευασμένος κύκλος δημιουργεί έναν κυκλικό κύλινδρο με άξονα συμμετρίας. Σχεδιάστε έναν άλλο κύκλο ( οδηγόςκύλινδρο) και συνδέστε τα προσεκτικά με ευθείες γραμμές ( σχηματίζονταςκύλινδρος). Σε ορισμένα σημεία υπήρχαν επικαλύψεις, αλλά τι να κάνετε, μια τέτοια κλίση: 
Αυτή τη φορά περιορίστηκα σε ένα κομμάτι κυλίνδρου στο κενό, και αυτό δεν είναι τυχαίο. Στην πράξη, είναι συχνά απαραίτητο να απεικονίζεται μόνο ένα μικρό κομμάτι της επιφάνειας.
Εδώ, παρεμπιπτόντως, υπάρχουν 6 γενικές γραμμές - δύο πρόσθετες ευθείες γραμμές "καλύπτουν" την επιφάνεια από την επάνω αριστερή και την κάτω δεξιά γωνία.
Τώρα ας δούμε την προβολή ενός κυλίνδρου σε ένα επίπεδο. Πολλοί αναγνώστες καταλαβαίνουν τι είναι η προβολή, αλλά, παρόλα αυτά, ας κάνουμε άλλη μια σωματική άσκηση πέντε λεπτών. Παρακαλούμε σταθείτε και σκύψτε το κεφάλι σας πάνω από το σχέδιο έτσι ώστε το σημείο του άξονα να δείχνει κάθετα στο μέτωπό σας. Αυτό που φαίνεται να είναι ένας κύλινδρος από αυτή τη γωνία είναι η προβολή του σε ένα επίπεδο. Αλλά φαίνεται να είναι μια ατελείωτη λωρίδα, που περικλείεται ανάμεσα σε ευθείες γραμμές, συμπεριλαμβανομένων των ίδιων των ευθειών. Αυτή η προβολή είναι ακριβώς τομέαλειτουργίες (άνω «αυλάκι» του κυλίνδρου), (κάτω «αυλάκι»).
Παρεμπιπτόντως, ας ξεκαθαρίσουμε την κατάσταση με προβολές σε άλλα επίπεδα συντεταγμένων. Αφήστε τις ακτίνες του ήλιου να λάμπουν στον κύλινδρο από την άκρη και κατά μήκος του άξονα. Η σκιά (προβολή) ενός κυλίνδρου σε ένα επίπεδο είναι μια παρόμοια άπειρη λωρίδα - ένα μέρος του επιπέδου που οριοθετείται από ευθείες γραμμές (- οποιαδήποτε), συμπεριλαμβανομένων των ίδιων των ευθειών.
Αλλά η προβολή στο αεροπλάνο είναι κάπως διαφορετική. Εάν κοιτάξετε τον κύλινδρο από την άκρη του άξονα, τότε θα προβληθεί σε έναν κύκλο μοναδιαίας ακτίνας 
, με το οποίο ξεκινήσαμε την κατασκευή.
Παράδειγμα 10
Κατασκευάστε μια επιφάνεια και βρείτε τις προβολές της σε επίπεδα συντεταγμένων
Αυτό είναι ένα καθήκον για ανεξάρτητη απόφαση. Εάν η συνθήκη δεν είναι πολύ σαφής, τετραγωνίστε και τις δύο πλευρές και αναλύστε το αποτέλεσμα. μάθετε ποιο τμήμα του κυλίνδρου καθορίζεται από τη συνάρτηση. Χρησιμοποιήστε την τεχνική κατασκευής που χρησιμοποιείται επανειλημμένα παραπάνω. Μια σύντομη λύση, σχέδιο και σχόλια στο τέλος του μαθήματος.
Οι ελλειπτικές και άλλες κυλινδρικές επιφάνειες μπορούν να μετατοπιστούν σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων, για παράδειγμα:
(με βάση γνωστά κίνητρα του άρθρου για Γραμμές 2ης παραγγελίας)
– κύλινδρος μοναδιαίας ακτίνας με ευθεία συμμετρίας που διέρχεται από σημείο παράλληλο προς τον άξονα. Ωστόσο, στην πράξη, τέτοιοι κύλινδροι συναντώνται αρκετά σπάνια και είναι απολύτως απίστευτο να συναντήσετε μια κυλινδρική επιφάνεια που είναι «λοξή» σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων.
Παραβολικοί κύλινδροι
Όπως υποδηλώνει το όνομα, οδηγόςτέτοιος κύλινδρος είναι παραβολή.
Παράδειγμα 11
Κατασκευάστε μια επιφάνεια και βρείτε τις προβολές της σε επίπεδα συντεταγμένων.
Δεν μπορούσα να αντισταθώ σε αυτό το παράδειγμα =)
Λύση: Ας πάμε στο πεπατημένο μονοπάτι. Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση με τη μορφή, από την οποία προκύπτει ότι το "zet" μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Ας διορθώσουμε και κατασκευάσουμε μια συνηθισμένη παραβολή στο επίπεδο, έχοντας προηγουμένως επισημάνει τα ασήμαντα σημεία αναφοράς. Αφού το «Ζ» δέχεται Ολατιμές, τότε η κατασκευασμένη παραβολή «αντιγράφεται» συνεχώς πάνω-κάτω στο άπειρο. Βάζουμε την ίδια παραβολή, ας πούμε, σε ύψος (στο επίπεδο) και τις συνδέουμε προσεκτικά με παράλληλες ευθείες ( σχηματίζοντας τον κύλινδρο): 
σου θυμίζω χρήσιμη τεχνική: εάν αρχικά δεν είστε σίγουροι για την ποιότητα του σχεδίου, τότε είναι καλύτερα να σχεδιάσετε πρώτα τις γραμμές πολύ λεπτά με ένα μολύβι. Στη συνέχεια αξιολογούμε την ποιότητα του σκίτσου, ανακαλύπτουμε τις περιοχές όπου η επιφάνεια είναι κρυμμένη από τα μάτια μας και μόνο τότε ασκούμε πίεση στη γραφίδα.
Προβολές.
1) Η προβολή ενός κυλίνδρου σε ένα επίπεδο είναι παραβολή. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε αυτή την περίπτωση είναι αδύνατο να μιλήσουμε τομέας ορισμού μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών– για το λόγο ότι η εξίσωση του κυλίνδρου δεν είναι αναγώγιμη σε λειτουργική μορφή.
2) Η προβολή ενός κυλίνδρου σε ένα επίπεδο είναι ημιεπίπεδο, συμπεριλαμβανομένου του άξονα
3) Και τέλος, η προβολή του κυλίνδρου πάνω στο επίπεδο είναι ολόκληρο το επίπεδο.
Παράδειγμα 12
Κατασκευάστε παραβολικούς κυλίνδρους:
α) περιοριστείτε σε ένα κομμάτι της επιφάνειας στο σχεδόν μισό διάστημα.
β) στο μεσοδιάστημα
Σε περίπτωση δυσκολιών, δεν βιαζόμαστε και συλλογιζόμαστε κατ' αναλογία με προηγούμενα παραδείγματα· ευτυχώς, η τεχνολογία έχει αναπτυχθεί πλήρως. Δεν είναι κρίσιμο εάν οι επιφάνειες είναι λίγο αδέξιες - είναι σημαντικό να εμφανιστεί σωστά η θεμελιώδης εικόνα. Εγώ ο ίδιος δεν ασχολούμαι πραγματικά με την ομορφιά των γραμμών· αν έχω ένα βατό σχέδιο με βαθμό C, συνήθως δεν το ξανακάνω. Παρεμπιπτόντως, το διάλυμα δείγματος χρησιμοποιεί μια άλλη τεχνική για τη βελτίωση της ποιότητας του σχεδίου ;-)
Υπερβολικοί κύλινδροι
Οδηγοίτέτοιοι κύλινδροι είναι υπερβολές. Αυτός ο τύπος επιφάνειας, σύμφωνα με τις παρατηρήσεις μου, είναι πολύ λιγότερο κοινός από τους προηγούμενους τύπους, επομένως θα περιοριστώ σε ένα μόνο σχηματικό σχέδιο ενός υπερβολικού κυλίνδρου: 
Η αρχή του συλλογισμού εδώ είναι ακριβώς η ίδια - η συνηθισμένη σχολική υπερβολήαπό το επίπεδο συνεχώς «πολλαπλασιάζεται» πάνω-κάτω στο άπειρο.
Οι θεωρούμενοι κύλινδροι ανήκουν στα λεγόμενα Επιφάνειες 2ης τάξης, και τώρα θα συνεχίσουμε να εξοικειωνόμαστε με άλλους εκπροσώπους αυτής της ομάδας:
Ελλειψοειδές. Σφαίρα και μπάλα
Η κανονική εξίσωση ενός ελλειψοειδούς σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων έχει τη μορφή 
, όπου είναι θετικοί αριθμοί ( άξονεςελλειψοειδές), το οποίο στη γενική περίπτωση διαφορετικός. Ένα ελλειψοειδές ονομάζεται επιφάνεια, Έτσι σώμα, που περιορίζεται από μια δεδομένη επιφάνεια. Το σώμα, όπως πολλοί έχουν μαντέψει, καθορίζεται από την ανισότητα 
και οι συντεταγμένες οποιουδήποτε εσωτερικού σημείου (καθώς και κάθε σημείου επιφάνειας) ικανοποιούν αναγκαστικά αυτήν την ανισότητα. Ο σχεδιασμός είναι συμμετρικός ως προς τους άξονες συντεταγμένων και τα επίπεδα συντεταγμένων: 
Η προέλευση του όρου «ελλειψοειδές» είναι επίσης προφανής: εάν η επιφάνεια «κόβεται» από επίπεδα συντεταγμένων, τότε οι τομές θα έχουν ως αποτέλεσμα τρία διαφορετικά (στη γενική περίπτωση)
Οι μαθητές συναντούν συχνότερα επιφάνειες 2ης τάξης στο πρώτο έτος. Στην αρχή, τα προβλήματα σε αυτό το θέμα μπορεί να φαίνονται απλά, αλλά καθώς μελετάτε ανώτερα μαθηματικά και εμβαθύνετε στην επιστημονική πλευρά, μπορείτε τελικά να χάσετε την εικόνα του τι συμβαίνει. Για να μην συμβεί αυτό, δεν χρειάζεται απλώς να απομνημονεύσετε, αλλά να καταλάβετε πώς αποκτάται αυτή ή εκείνη η επιφάνεια, πώς οι μεταβαλλόμενοι συντελεστές την επηρεάζουν και τη θέση της σε σχέση με το αρχικό σύστημα συντεταγμένων και πώς να βρείτε νέο σύστημα(ένα στο οποίο το κέντρο του συμπίπτει με την αρχή των συντεταγμένων και είναι παράλληλο με έναν από τους άξονες συντεταγμένων). Ας τα πάρουμε από την αρχή.
Ορισμός
Μια επιφάνεια 2ης τάξης ονομάζεται GMT, οι συντεταγμένες της οποίας ικανοποιούν τη γενική εξίσωση της παρακάτω μορφής:
Είναι σαφές ότι κάθε σημείο που ανήκει στην επιφάνεια πρέπει να έχει τρεις συντεταγμένες σε κάποια καθορισμένη βάση. Αν και σε ορισμένες περιπτώσεις ο τόπος των σημείων μπορεί να εκφυλιστεί, για παράδειγμα, σε ένα επίπεδο. Αυτό σημαίνει μόνο ότι μία από τις συντεταγμένες είναι σταθερή και ίση με το μηδέν σε όλο το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών.
Η πλήρης γραπτή μορφή της παραπάνω ισότητας μοιάζει με αυτό:
A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.
Τα nm είναι μερικές σταθερές, τα x, y, z είναι μεταβλητές που αντιστοιχούν στις συγγενικές συντεταγμένες ενός σημείου. Στην περίπτωση αυτή, τουλάχιστον ένας από τους σταθερούς παράγοντες δεν πρέπει να είναι ίσος με μηδέν, δηλαδή κανένα σημείο δεν θα αντιστοιχεί στην εξίσωση.
Στη συντριπτική πλειοψηφία των παραδειγμάτων, πολλοί αριθμητικοί παράγοντες εξακολουθούν να είναι πανομοιότυπα ίσοι με μηδέν και η εξίσωση είναι σημαντικά απλοποιημένη. Στην πράξη, ο προσδιορισμός του αν ένα σημείο ανήκει σε μια επιφάνεια δεν είναι δύσκολος (αρκεί να αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του στην εξίσωση και να ελέγξουμε αν ισχύει η ταυτότητα). Το βασικό σημείο σε μια τέτοια εργασία είναι να φέρει το τελευταίο σε κανονική μορφή.
Η εξίσωση που γράφτηκε παραπάνω ορίζει οποιεσδήποτε (όλες που αναφέρονται παρακάτω) επιφάνειες 2ης τάξης. Ας δούμε παραδείγματα παρακάτω.
Τύποι επιφανειών 2ης τάξης
Οι εξισώσεις των επιφανειών 2ης τάξης διαφέρουν μόνο στις τιμές των συντελεστών A nm. Από τη γενική μορφή, για ορισμένες τιμές των σταθερών, μπορεί κανείς να λάβει διάφορες επιφάνειες, ταξινομούνται ως εξής:
- Κύλινδροι.
- Ελλειπτικός τύπος.
- Υπερβολικός τύπος.
- Κωνικός τύπος.
- Παραβολικός τύπος.
- Αεροπλάνα.
Καθένας από τους αναφερόμενους τύπους έχει μια φυσική και φανταστική μορφή: στη φανταστική μορφή, ο τόπος των πραγματικών σημείων είτε εκφυλίζεται σε απλούστερο σχήμα είτε απουσιάζει εντελώς.
Κύλινδροι
Αυτός είναι ο απλούστερος τύπος, καθώς η σχετικά σύνθετη καμπύλη βρίσκεται μόνο στη βάση και λειτουργεί ως οδηγός. Οι γεννήτριες είναι ευθείες γραμμές κάθετες στο επίπεδο στο οποίο βρίσκεται η βάση.
Το γράφημα δείχνει έναν κυκλικό κύλινδρο, μια ειδική περίπτωση ενός ελλειπτικού κυλίνδρου. Στο επίπεδο XY, η προβολή του θα είναι μια έλλειψη (στην περίπτωσή μας, ένας κύκλος) - ένας οδηγός, και στο XZ - ένα ορθογώνιο - δεδομένου ότι οι γεννήτριες είναι παράλληλες με τον άξονα Z. Για να το λάβετε από τη γενική εξίσωση, είναι είναι απαραίτητο να δοθούν οι ακόλουθες τιμές στους συντελεστές:
Αντί για τα συνηθισμένα σύμβολα x, y, z, x με σειριακός αριθμός- δεν έχει σημασία.
Στην πραγματικότητα, το 1/a 2 και οι άλλες σταθερές που υποδεικνύονται εδώ είναι οι ίδιοι συντελεστές που υποδεικνύονται στη γενική εξίσωση, αλλά είναι συνηθισμένο να γράφονται ακριβώς με αυτήν τη μορφή - αυτή είναι η κανονική αναπαράσταση. Στη συνέχεια, αυτή η καταχώρηση θα χρησιμοποιηθεί αποκλειστικά.
Αυτό ορίζει έναν υπερβολικό κύλινδρο. Το σχήμα είναι το ίδιο - η υπερβολή θα είναι ο οδηγός.
Ένας παραβολικός κύλινδρος ορίζεται ελαφρώς διαφορετικά: η κανονική του μορφή περιλαμβάνει έναν συντελεστή p, που ονομάζεται παράμετρος. Στην πραγματικότητα, ο συντελεστής είναι q=2p, αλλά συνηθίζεται να διαιρείται στους δύο παράγοντες που παρουσιάζονται.
Υπάρχει ένας άλλος τύπος κυλίνδρου: ο φανταστικός. Κανένα πραγματικό σημείο δεν ανήκει σε τέτοιο κύλινδρο. Περιγράφεται από την εξίσωση ενός ελλειπτικού κυλίνδρου, αλλά αντί για ένα υπάρχει -1.
Ελλειπτικός τύπος
Το ελλειψοειδές μπορεί να τεντωθεί κατά μήκος ενός από τους άξονες (κατά μήκος του οποίου εξαρτάται από τις τιμές των σταθερών a, b, c που αναφέρονται παραπάνω· προφανώς, ο μεγαλύτερος άξονας θα αντιστοιχεί σε μεγαλύτερο συντελεστή).
Υπάρχει επίσης ένα φανταστικό ελλειψοειδές - με την προϋπόθεση ότι το άθροισμα των συντεταγμένων πολλαπλασιαζόμενο με τους συντελεστές είναι ίσο με -1:
Υπερβολοειδή
Όταν εμφανίζεται ένα μείον σε μία από τις σταθερές, η εξίσωση του ελλειψοειδούς μετατρέπεται σε εξίσωση ενός υπερβολοειδούς ενός φύλλου. Πρέπει να καταλάβετε ότι αυτό το μείον δεν χρειάζεται να βρίσκεται μπροστά από τη συντεταγμένη x3! Καθορίζει μόνο ποιος από τους άξονες θα είναι ο άξονας περιστροφής του υπερβολοειδούς (ή παράλληλος με αυτόν, αφού όταν εμφανίζονται πρόσθετοι όροι στο τετράγωνο (για παράδειγμα, (x-2) 2), το κέντρο του σχήματος μετατοπίζεται, όπως με αποτέλεσμα η επιφάνεια να κινείται παράλληλα με τους άξονες συντεταγμένων). Αυτό ισχύει για όλες τις επιφάνειες 2ης τάξης.
Επιπλέον, πρέπει να καταλάβετε ότι οι εξισώσεις παρουσιάζονται σε κανονική μορφή και μπορούν να αλλάξουν μεταβάλλοντας τις σταθερές (διατηρώντας το πρόσημο!). Ταυτόχρονα, η εμφάνισή τους (υπερβολοειδής, κώνος κ.λπ.) θα παραμείνει η ίδια.
Μια τέτοια εξίσωση δίνεται από ένα υπερβολοειδές δύο φύλλων.
Κωνική επιφάνεια
Στην εξίσωση του κώνου, δεν υπάρχει ενότητα - ισούται με μηδέν.
Μόνο μια περιορισμένη κωνική επιφάνεια ονομάζεται κώνος. Η παρακάτω εικόνα δείχνει ότι, στην πραγματικότητα, θα υπάρχουν δύο λεγόμενοι κώνοι στο γράφημα.
Σημαντική σημείωση: σε όλες τις θεωρούμενες κανονικές εξισώσεις, οι σταθερές θεωρούνται θετικές από προεπιλογή. Διαφορετικά, το πρόσημο μπορεί να επηρεάσει το τελικό γράφημα.
Τα επίπεδα συντεταγμένων γίνονται επίπεδα συμμετρίας του κώνου, το κέντρο συμμετρίας βρίσκεται στην αρχή.
Στην εξίσωση ενός φανταστικού κώνου υπάρχουν μόνο συν. κατέχει ένα μόνο πραγματικό σημείο.
Παραβολοειδή
Επιφάνειες 2ης τάξης στο διάστημα μπορούν να πάρουν διάφορα σχήματαακόμα και με παρόμοιες εξισώσεις. Για παράδειγμα, τα παραβολοειδή διατίθενται σε δύο τύπους.
x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z
Ένα ελλειπτικό παραβολοειδές, όταν ο άξονας Ζ είναι κάθετος στο σχέδιο, θα προβάλλεται σε μια έλλειψη.
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z
Υπερβολικό παραβολοειδές: σε τομές με επίπεδα παράλληλα προς το ΖΥ θα ληφθούν παραβολές και σε τμήματα με επίπεδα παράλληλα προς ΧΥ θα ληφθούν υπερβολές.
Τέμνοντα επίπεδα
Υπάρχουν περιπτώσεις που επιφάνειες 2ης τάξης εκφυλίζονται στο επίπεδο. Αυτά τα αεροπλάνα μπορούν να τακτοποιηθούν με διάφορους τρόπους.
Αρχικά, ας δούμε τα επίπεδα που τέμνονται:
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0
Με αυτή την τροποποίηση της κανονικής εξίσωσης, παίρνουμε απλώς δύο τεμνόμενα επίπεδα (φανταστικά!). όλα τα πραγματικά σημεία βρίσκονται στον άξονα της συντεταγμένης που απουσιάζει στην εξίσωση (στην κανονική - ο άξονας Z).
Παράλληλα επίπεδα
Εάν υπάρχει μόνο μία συντεταγμένη, οι επιφάνειες 2ης τάξης εκφυλίζονται σε ένα ζεύγος παράλληλων επιπέδων. Μην ξεχνάτε, οποιαδήποτε άλλη μεταβλητή μπορεί να πάρει τη θέση του παίκτη. τότε θα ληφθούν επίπεδα παράλληλα με άλλους άξονες.
Σε αυτή την περίπτωση γίνονται φανταστικά.
Συμπτωματικά αεροπλάνα
Με αυτό απλή εξίσωσηένα ζευγάρι αεροπλάνων εκφυλίζεται σε ένα - συμπίπτουν.
Μην ξεχνάτε ότι στην περίπτωση της τρισδιάστατης βάσης, η παραπάνω εξίσωση δεν προσδιορίζει την ευθεία y=0! Λείπουν οι άλλες δύο μεταβλητές, αλλά αυτό σημαίνει απλώς ότι η τιμή τους είναι σταθερή και ίση με το μηδέν.
Κατασκευή
Μια από τις πιο δύσκολες εργασίες για έναν μαθητή είναι ακριβώς η κατασκευή επιφανειών 2ης τάξης. Είναι ακόμη πιο δύσκολο να μετακινηθείτε από το ένα σύστημα συντεταγμένων στο άλλο, λαμβάνοντας υπόψη τις γωνίες κλίσης της καμπύλης σε σχέση με τους άξονες και τη μετατόπιση του κέντρου. Ας επαναλάβουμε πώς να προσδιορίσουμε με συνέπεια τη μελλοντική εμφάνιση ενός σχεδίου με αναλυτικό τρόπο.
Για να κατασκευάσετε μια επιφάνεια 2ης τάξης, πρέπει:
- Φέρτε την εξίσωση σε κανονική μορφή.
- να καθορίσει τον τύπο της επιφάνειας που μελετάται.
- χτίστε με βάση τις τιμές των συντελεστών.
Παρακάτω αναφέρονται όλοι οι τύποι που εξετάζονται:
Για να το ενισχύσουμε αυτό, θα περιγράψουμε λεπτομερώς ένα παράδειγμα αυτού του τύπου εργασίας.
Παραδείγματα
Ας πούμε ότι έχουμε την εξίσωση:
3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0
Ας το φέρουμε σε κανονική μορφή. Ας επιλέξουμε ολόκληρα τετράγωνα, δηλαδή θα τακτοποιήσουμε τους διαθέσιμους όρους με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι αποσύνθεση του τετραγώνου του αθροίσματος ή της διαφοράς. Για παράδειγμα: αν (a+1) 2 =a 2 +2a+1, τότε a 2 +2a+1=(a+1) 2. Θα κάνουμε μια δεύτερη επέμβαση. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν είναι απαραίτητο να ανοίξετε τις αγκύλες, καθώς αυτό απλώς θα περιπλέξει τους υπολογισμούς, αλλά προσθέστε τον κοινό παράγοντα 6 (σε αγκύλες με Τέλειο τετράγωνοπαιχνίδι) χρειάζεστε:
3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6
Η μεταβλητή zet εμφανίζεται σε αυτήν την περίπτωση μόνο μία φορά - μπορείτε να την αφήσετε μόνη της προς το παρόν.
Ας αναλύσουμε την εξίσωση σε αυτό το στάδιο: όλοι οι άγνωστοι έχουν ένα σύμβολο συν μπροστά τους. Διαιρώντας με έξι φεύγει ένα. Κατά συνέπεια, έχουμε μπροστά μας μια εξίσωση που ορίζει ένα ελλειψοειδές.
Παρατηρήστε ότι το 144 συνυπολογίστηκε σε 150-6 και στη συνέχεια το -6 μετακινήθηκε προς τα δεξιά. Γιατί έπρεπε να γίνει με αυτόν τον τρόπο; Προφανώς, ο μεγαλύτερος διαιρέτης σε σε αυτό το παράδειγμα-6, επομένως, για να παραμείνει κάποιος στα δεξιά μετά τη διαίρεση με αυτό, πρέπει να "παραμερίσει" ακριβώς το 6 από το 144 (το γεγονός ότι κάποιος πρέπει να είναι στα δεξιά υποδηλώνεται από την παρουσία ελεύθερο μέλος- μια σταθερά που δεν πολλαπλασιάζεται με έναν άγνωστο).
Ας διαιρέσουμε τα πάντα με το έξι και ας πάρουμε την κανονική εξίσωση του ελλειψοειδούς:
(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1
Στην προηγουμένως χρησιμοποιούμενη ταξινόμηση επιφανειών 2ης τάξης, μια ειδική περίπτωση θεωρείται όταν το κέντρο του σχήματος βρίσκεται στην αρχή των συντεταγμένων. Σε αυτό το παράδειγμα είναι μετατόπιση.
Υποθέτουμε ότι κάθε παρένθεση με άγνωστα είναι μια νέα μεταβλητή. Δηλαδή: a=x-1, b=y+5, c=z. Στις νέες συντεταγμένες, το κέντρο του ελλειψοειδούς συμπίπτει με το σημείο (0,0,0), επομένως, a=b=c=0, από όπου: x=1, y=-5, z=0. Στις αρχικές συντεταγμένες, το κέντρο του σχήματος βρίσκεται στο σημείο (1,-5,0).
Το ελλειψοειδές θα ληφθεί από δύο ελλείψεις: η πρώτη στο επίπεδο XY και η δεύτερη στο επίπεδο XZ (ή YZ - δεν έχει σημασία). Οι συντελεστές με τους οποίους διαιρούνται οι μεταβλητές τετραγωνίζονται στην κανονική εξίσωση. Επομένως, στο παραπάνω παράδειγμα, θα ήταν πιο σωστό να διαιρέσουμε με τη ρίζα του δύο, του ενός και της ρίζας του τρία.
Ο δευτερεύων άξονας της πρώτης έλλειψης, παράλληλος προς τον άξονα Υ, είναι ίσος με δύο. Ο κύριος άξονας είναι παράλληλος με τον άξονα Χ - δύο ρίζες των δύο. Ο δευτερεύων άξονας της δεύτερης έλλειψης, παράλληλος με τον άξονα Υ, παραμένει ο ίδιος - είναι ίσος με δύο. Και ο κύριος άξονας, παράλληλος στον άξονα Z, είναι ίσος με δύο ρίζες του τριών.
Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που λαμβάνονται από την αρχική εξίσωση μετατρέποντάς την σε κανονική μορφή, μπορούμε να σχεδιάσουμε ένα ελλειψοειδές.
Ανακεφαλαίωση
Το θέμα που καλύπτεται σε αυτό το άρθρο είναι αρκετά εκτενές, αλλά στην πραγματικότητα, όπως μπορείτε να δείτε τώρα, δεν είναι πολύ περίπλοκο. Η ανάπτυξή του, στην πραγματικότητα, τελειώνει τη στιγμή που απομνημονεύεις τα ονόματα και τις εξισώσεις των επιφανειών (και, φυσικά, το πώς μοιάζουν). Στο παραπάνω παράδειγμα, εξετάσαμε κάθε βήμα λεπτομερώς, αλλά το να φέρουμε την εξίσωση σε κανονική μορφή απαιτεί ελάχιστες γνώσεις ανώτερων μαθηματικών και δεν πρέπει να προκαλεί δυσκολίες στον μαθητή.
Η ανάλυση του μελλοντικού χρονοδιαγράμματος με βάση την υπάρχουσα ισότητα είναι ήδη περισσότερο από δύσκολη εργασία. Αλλά για να το λύσουμε με επιτυχία, αρκεί να καταλάβουμε πώς κατασκευάζονται οι αντίστοιχες καμπύλες δεύτερης τάξης - ελλείψεις, παραβολές και άλλες.
Οι περιπτώσεις εκφυλισμού είναι μια ακόμη πιο απλή ενότητα. Λόγω της απουσίας ορισμένων μεταβλητών, όχι μόνο απλοποιούνται οι υπολογισμοί, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, αλλά και η ίδια η κατασκευή.
Μόλις μπορέσετε να ονομάσετε με σιγουριά όλους τους τύπους επιφανειών, να αλλάξετε σταθερές, να μετατρέψετε ένα γράφημα σε ένα ή άλλο σχήμα, το θέμα θα κατακτηθεί.
Καλή επιτυχία στις σπουδές σας!
Ορισμός 1.Μια κωνική επιφάνεια ή κώνος με κορυφή στο σημείο M 0 είναι μια επιφάνεια που σχηματίζεται από όλες τις ευθείες γραμμές, καθεμία από τις οποίες διέρχεται από το σημείο M 0 και από κάποιο σημείο της ευθείας γ. Το σημείο M 0 ονομάζεται κορυφή του κώνου, η ευθεία γ ονομάζεται οδηγός. Οι ευθείες που διέρχονται από την κορυφή του κώνου και βρίσκονται πάνω του ονομάζονται γεννήτριες του κώνου.
Θεώρημα.Μια επιφάνεια 2ης τάξης με την κανονική εξίσωση
είναι ένας κώνος με κορυφή στην αρχή, οδηγός του οποίου είναι μια έλλειψη
Απόδειξη.
Έστω M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) κάποιο σημείο στην επιφάνεια α, διαφορετικό από την αρχή. ?=ОM 1 – ευθεία, το M (x; y; z) ανήκει στο;. Από | | , τότε, έτσι ώστε
Αφού, τότε οι συντεταγμένες του είναι x 1. y 1 ; z 1 ικανοποιεί την εξίσωση (1). Λαμβάνοντας υπόψη τις προϋποθέσεις (3) έχουμε, όπου t ≠ 0. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με t 2 ≠ 0, παίρνουμε ότι οι συντεταγμένες ενός αυθαίρετου σημείου M (x; y; z) της ευθείας m=ОM 1 ικανοποιούν την εξίσωση (1). Επίσης ικανοποιείται από τις συντεταγμένες του σημείου Ο(0,0,0).
Έτσι, οποιοδήποτε σημείο Μ (x; y; z) της ευθείας m=ОМ 1 βρίσκεται στην επιφάνεια α με την εξίσωση (1), δηλαδή η ευθεία ΟΜ 1 =m είναι μια ευθύγραμμη γεννήτρια της επιφάνειας α.
Ας εξετάσουμε τώρα ένα τμήμα της επιφάνειας α κατά ένα επίπεδο παράλληλο στο επίπεδο Oxy με την εξίσωση z = c ≠ 0:
Αυτό το τμήμα είναι μια έλλειψη με ημιάξονες ΕΝΑΚαι σι. Επομένως, τέμνει αυτή την έλλειψη. Σύμφωνα με τον ορισμό 1, η επιφάνεια α είναι ένας κώνος με κορυφή ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ(0,0,0) (Όλες οι γραμμές m διέρχονται από την αρχή). οι γεννήτριες αυτού του κώνου είναι ευθείες m, ο οδηγός είναι η προαναφερθείσα έλλειψη.
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Ορισμός 2.Μια επιφάνεια 2ης τάξης με την κανονική εξίσωση (1) ονομάζεται κώνος δεύτερης τάξης.
Ιδιότητες κώνου 2ης τάξης.
1ºΟ κώνος με την εξίσωση (1) είναι συμμετρικός ως προς όλα τα επίπεδα συντεταγμένων, όλους τους άξονες συντεταγμένων και την αρχή (καθώς όλες οι μεταβλητές περιέχονται στην εξίσωση (1) στη δεύτερη δύναμη).
2ºΌλοι οι άξονες συντεταγμένων έχουν έναν μόνο κώνο (1) κοινό σημέιο– η αρχή των συντεταγμένων, που χρησιμεύει ως κορυφή και κέντρο ταυτόχρονα
3ºΤομή κώνου (1) με επίπεδα OxzΚαι Oyz– ζεύγη ευθειών που τέμνονται στην αρχή. επίπεδο Oxy- τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ(0,0,0).
4ºΟι τομές του κώνου (1) από επίπεδα παράλληλα προς τα επίπεδα συντεταγμένων, αλλά που δεν συμπίπτουν με αυτά, είναι είτε ελλείψεις είτε υπερβολές.
5ºΑν ΕΝΑ = σι, τότε αυτές οι ελλείψεις είναι κύκλοι και ο ίδιος ο κώνος είναι μια επιφάνεια περιστροφής. Στην περίπτωση αυτή ονομάζεται κυκλικός κώνος.
Ορισμός 3: κωνική τομή είναι μια ευθεία κατά την οποία ένας κυκλικός κώνος τέμνεται με ένα αυθαίρετο επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του. Έτσι, τα κανονικά τμήματα είναι η έλλειψη, η υπερβολή και η παραβολή.
Μια κωνική επιφάνεια είναι μια επιφάνεια που σχηματίζεται από ευθείες γραμμές - τις γεννήτριες του κώνου - που διέρχονται από ένα δεδομένο σημείο - την κορυφή του κώνου - και τέμνουν μια δεδομένη γραμμή - τον οδηγό του κώνου. Αφήστε τον οδηγό κώνου να έχει τις εξισώσεις
και η κορυφή του κώνου έχει συντεταγμένες Οι κανονικές εξισώσεις των γεννητριών του κώνου ως ευθείες που διέρχονται από το σημείο ) και από το σημείο του οδηγού θα είναι?
Εξαιρώντας τα x, y και z από τις τέσσερις εξισώσεις (3) και (4), παίρνουμε την επιθυμητή εξίσωση της κωνικής επιφάνειας. Αυτή η εξίσωση έχει μια πολύ απλή ιδιότητα: είναι ομοιογενής (δηλαδή όλοι οι όροι της είναι της ίδιας διάστασης) ως προς τις διαφορές. Στην πραγματικότητα, ας υποθέσουμε πρώτα ότι η κορυφή του κώνου βρίσκεται στην αρχή. Έστω X, Y και Z οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου στον κώνο. ικανοποιούν λοιπόν την κωνική εξίσωση. Μετά την αντικατάσταση των X, Y και Z στην εξίσωση του κώνου, αντίστοιχα, μέσω XX, XY, XZ, όπου το X είναι ένας αυθαίρετος παράγοντας, η εξίσωση πρέπει να ικανοποιηθεί, καθώς XX, XY και XZ είναι οι συντεταγμένες του σημείου του γραμμή που διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων προς το σημείο, δηλαδή σχηματίζει έναν κώνο. Κατά συνέπεια, η εξίσωση του κώνου δεν θα αλλάξει αν πολλαπλασιάσουμε όλες τις τρέχουσες συντεταγμένες με τον ίδιο αριθμό Χ. Από αυτό προκύπτει ότι αυτή η εξίσωση πρέπει να είναι ομοιογενής ως προς τις τρέχουσες συντεταγμένες.
Αν η κορυφή του κώνου βρίσκεται σε ένα σημείο, θα μεταφέρουμε την αρχή των συντεταγμένων στην κορυφή και σύμφωνα με τα αποδεδειγμένα, η μετασχηματισμένη εξίσωση του κώνου θα είναι ομοιογενής ως προς τις νέες συντεταγμένες, δηλ. προς την
Παράδειγμα. Γράψτε μια εξίσωση για έναν κώνο με κορυφή στην αρχή και μια κατεύθυνση
Οι κανονικές εξισώσεις των γεννητριών που διέρχονται από την κορυφή (0, 0, C) του κώνου και το σημείο του οδηγού θα είναι:
Ας εξαλείψουμε τα x, y και από τις τέσσερις δοσμένες εξισώσεις. Αντικαθιστώντας το c, προσδιορίζουμε και το y από τις δύο τελευταίες εξισώσεις.
Το περιεχόμενο του άρθρου
ΚΩΝΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ,επίπεδες καμπύλες που λαμβάνονται με τομή μιας ευθείας κυκλικός κώνοςεπίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του (Εικ. 1). Από την άποψη της αναλυτικής γεωμετρίας, μια κωνική τομή είναι ο τόπος των σημείων που ικανοποιούν μια εξίσωση δεύτερης τάξης. Με εξαίρεση τις εκφυλισμένες περιπτώσεις που εξετάζονται στο τελευταία ενότητα, οι κωνικές τομές είναι ελλείψεις, υπερβολές ή παραβολές.
Οι κωνικές τομές βρίσκονται συχνά στη φύση και την τεχνολογία. Για παράδειγμα, οι τροχιές των πλανητών που περιστρέφονται γύρω από τον Ήλιο έχουν σχήμα ελλείψεων. Ένας κύκλος είναι μια ειδική περίπτωση έλλειψης στην οποία ο κύριος άξονας είναι ίσος με τον ελάσσονα. Ένα παραβολικό κάτοπτρο έχει την ιδιότητα όλες οι προσπίπτουσες ακτίνες παράλληλες στον άξονά του να συγκλίνουν σε ένα σημείο (εστίαση). Αυτό χρησιμοποιείται στα περισσότερα ανακλαστικά τηλεσκόπια που χρησιμοποιούν παραβολικούς καθρέφτες, καθώς και σε κεραίες ραντάρ και ειδικά μικρόφωνα με παραβολικούς ανακλαστήρες. Μια δέσμη παράλληλων ακτίνων εκπέμπεται από μια πηγή φωτός που βρίσκεται στο επίκεντρο ενός παραβολικού ανακλαστήρα. Γι' αυτό οι παραβολικοί καθρέφτες χρησιμοποιούνται σε προβολείς υψηλής ισχύος και προβολείς αυτοκινήτων. Μια υπερβολή είναι μια γραφική παράσταση πολλών σημαντικών φυσικών σχέσεων, όπως ο νόμος του Boyle (που σχετίζεται με την πίεση και τον όγκο ενός ιδανικού αερίου) και ο νόμος του Ohm, ο οποίος ορίζει ηλεκτρική ενέργειαως συνάρτηση της αντίστασης σε σταθερή τάση.
ΠΡΩΪΜΗ ΙΣΤΟΡΙΑ
Ο ανακαλυπτής των κωνικών τομών υποτίθεται ότι είναι ο Μεναίχμος (4ος αι. π.Χ.), μαθητής του Πλάτωνα και δάσκαλος του Μεγάλου Αλεξάνδρου. Ο Μέναιχμος χρησιμοποίησε μια παραβολή και μια ισόπλευρη υπερβολή για να λύσει το πρόβλημα του διπλασιασμού ενός κύβου.
Πραγματεία για κωνικές τομές που γράφτηκαν από τον Αρισταίο και τον Ευκλείδη στα τέλη του 4ου αι. π.Χ., χάθηκαν, αλλά υλικά από αυτά περιλήφθηκαν σε περίφημα Κωνικές τομέςΑπολλώνιος ο Πέργας (περίπου 260–170 π.Χ.), που σώζονται μέχρι σήμερα. Ο Απολλώνιος εγκατέλειψε την απαίτηση να είναι κάθετο το επίπεδο τομής της γεννήτριας του κώνου και, μεταβάλλοντας τη γωνία κλίσης του, έλαβε όλες τις κωνικές τομές από έναν κυκλικό κώνο, ευθύ ή κεκλιμένο. Οφείλουμε στον Απόλλωνα και σύγχρονα ονόματακαμπύλες - έλλειψη, παραβολή και υπερβολή.
Στις κατασκευές του, ο Απολλώνιος χρησιμοποίησε έναν κυκλικό κώνο δύο φύλλων (όπως στο Σχ. 1), έτσι για πρώτη φορά έγινε σαφές ότι μια υπερβολή είναι μια καμπύλη με δύο κλάδους. Από την εποχή του Απολλώνιου, οι κωνικές τομές χωρίστηκαν σε τρεις τύπους ανάλογα με την κλίση του επιπέδου κοπής προς τη γεννήτρια του κώνου. Έλειψη (Εικ. 1, ΕΝΑ) σχηματίζεται όταν το επίπεδο κοπής τέμνει όλα τα γενετικά στοιχεία του κώνου στα σημεία ενός από την κοιλότητα του. παραβολή (Εικ. 1, σι) – όταν το επίπεδο κοπής είναι παράλληλο σε ένα από τα εφαπτομενικά επίπεδα του κώνου. υπερβολή (Εικ. 1, V) – όταν το επίπεδο κοπής τέμνει και τις δύο κοιλότητες του κώνου.
ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ
Μελετώντας τις κωνικές τομές ως τομές επιπέδων και κώνων, οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί τις θεωρούσαν επίσης ως τροχιές σημείων σε ένα επίπεδο. Βρέθηκε ότι μια έλλειψη μπορεί να οριστεί ως ο τόπος των σημείων, το άθροισμα των αποστάσεων από τις οποίες σε δύο δεδομένα σημεία είναι σταθερό. παραβολή - ως τόπος σημείων που ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο και μια δεδομένη ευθεία. υπερβολή - ως τόπος σημείων, η διαφορά στις αποστάσεις από τις οποίες σε δύο δεδομένα σημεία είναι σταθερή.
Αυτοί οι ορισμοί των κωνικών τομών ως επίπεδων καμπυλών προτείνουν επίσης μια μέθοδο για την κατασκευή τους χρησιμοποιώντας μια τεντωμένη χορδή.
Ελλειψη.
Αν οι άκρες του νήματος δεδομένου μήκουςσταθερά σε σημεία φά 1 και φά 2 (Εικ. 2), τότε η καμπύλη που περιγράφεται από το σημείο ενός μολυβιού που γλιστρά κατά μήκος ενός σφιχτά τεντωμένου νήματος έχει το σχήμα έλλειψης. Πόντοι φά 1 και φά 2 ονομάζονται εστίες της έλλειψης, και τα τμήματα V 1 V 2 και v 1 v 2 μεταξύ των σημείων τομής της έλλειψης με τους άξονες συντεταγμένων - τον κύριο και τον δευτερεύοντα άξονα. Αν πόντοι φά 1 και φά 2 συμπίπτουν, τότε η έλλειψη μετατρέπεται σε κύκλο.
Υπερβολή.
Κατά την κατασκευή μιας υπερβολής, το σημείο Π, η μύτη ενός μολυβιού, στερεώνεται σε ένα νήμα που γλιστράει ελεύθερα κατά μήκος των μανταλιών που είναι τοποθετημένα σε σημεία φά 1 και φά 2, όπως φαίνεται στο Σχ. 3, ΕΝΑ. Οι αποστάσεις επιλέγονται έτσι ώστε το τμήμα PFΤο 2 είναι μεγαλύτερο από το τμήμα PF 1 κατά σταθερό ποσό μικρότερο από την απόσταση φά 1 φά 2. Σε αυτή την περίπτωση, το ένα άκρο του νήματος περνά κάτω από το μανταλάκι φά 1 και οι δύο άκρες του νήματος περνούν πάνω από το μανταλάκι φά 2. (Η αιχμή του μολυβιού δεν πρέπει να γλιστράει κατά μήκος του νήματος, επομένως πρέπει να στερεωθεί κάνοντας μια μικρή θηλιά στο νήμα και περνώντας το σημείο μέσα από αυτό.) Ένας κλάδος της υπερβολής ( Φ/Β 1 Q) σχεδιάζουμε, φροντίζοντας το νήμα να παραμένει τεντωμένο ανά πάσα στιγμή, και τραβώντας και τις δύο άκρες του νήματος προς τα κάτω πέρα από το σημείο φά 2 και πότε σημείο Πθα είναι κάτω από το τμήμα φά 1 φά 2, κρατώντας το νήμα και στις δύο άκρες και χαράσσοντάς το προσεκτικά (δηλαδή απελευθερώνοντάς το). Ο δεύτερος κλάδος της υπερβολής ( Πў V 2 Qў ) σχεδιάζουμε, έχοντας προηγουμένως ανταλλάξει τους ρόλους των μανταλιών φά 1 και φά 2 .
Οι κλάδοι της υπερβολής πλησιάζουν δύο ευθείες που τέμνονται μεταξύ των διακλαδώσεων. Αυτές οι γραμμές, που ονομάζονται ασύμπτωτες της υπερβολής, κατασκευάζονται όπως φαίνεται στο Σχ. 3, σι. Οι γωνιακοί συντελεστές αυτών των γραμμών είναι ίσοι με ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), όπου v 1 v 2 – τμήμα της διχοτόμου της γωνίας μεταξύ ασυμπτωμάτων, κάθετο στο τμήμα φά 1 φά 2 ; ευθύγραμμο τμήμα v 1 vΤο 2 ονομάζεται συζευγμένος άξονας της υπερβολής και το τμήμα V 1 V 2 – ο εγκάρσιος άξονάς του. Έτσι, οι ασύμπτωτες είναι οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου με πλευρές που διέρχονται από τέσσερα σημεία v 1 , v 2 , V 1 , V 2 παράλληλα με τους άξονες. Για να κατασκευάσετε αυτό το ορθογώνιο, πρέπει να καθορίσετε τη θέση των σημείων v 1 και v 2. Βρίσκονται στην ίδια απόσταση, ίσοι
από το σημείο τομής των αξόνων Ο. Αυτός ο τύπος προϋποθέτει την κατασκευή ορθογώνιο τρίγωνομε τα πόδια Οβ 1 και V 2 Οκαι υποτείνουσα φά 2 Ο.
Εάν οι ασύμπτωτες μιας υπερβολής είναι αμοιβαία κάθετες, τότε η υπερβολή ονομάζεται ισόπλευρη. Δύο υπερβολές που έχουν κοινές ασύμπτωτες, αλλά με αναδιατεταγμένους εγκάρσιους και συζυγείς άξονες, ονομάζονται αμοιβαία συζυγείς.
Παραβολή.
Οι εστίες της έλλειψης και της υπερβολής ήταν γνωστές στον Απολλώνιο, αλλά η εστίαση της παραβολής προφανώς καθιερώθηκε για πρώτη φορά από τον Πάππο (2ο μισό του 3ου αιώνα), ο οποίος όρισε αυτή την καμπύλη ως τον τόπο των σημείων που ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο (εστίαση). και μια δεδομένη ευθεία, που ονομάζεται σκηνοθέτης. Η κατασκευή παραβολής με τεντωμένη κλωστή, με βάση τον ορισμό του Πάππου, προτάθηκε από τον Ισίδωρο τον Μίλητο (6ος αιώνας). Τοποθετήστε τον χάρακα έτσι ώστε η άκρη του να συμπίπτει με την κατεύθυνση LLў (Εικ. 4) και εφαρμόστε το πόδι σε αυτή την άκρη ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.τρίγωνο σχεδίασης αλφάβητο. Στερεώνουμε τη μια άκρη της κλωστής με μήκος ΑΒστην κορυφή σιτρίγωνο, και το άλλο στο επίκεντρο της παραβολής φά. Χρησιμοποιώντας την άκρη ενός μολυβιού για να τεντώσετε το νήμα, πιέστε το άκρο σε ένα μεταβλητό σημείο Πστο ελεύθερο πόδι ΑΒτρίγωνο σχεδίασης. Καθώς το τρίγωνο κινείται κατά μήκος του χάρακα, το σημείο Πθα περιγράψει το τόξο μιας παραβολής με εστίαση φάκαι η διευθύντρια LLў , αφού το συνολικό μήκος του νήματος είναι ΑΒ, ένα κομμάτι κλωστής είναι δίπλα στο ελεύθερο σκέλος του τριγώνου, και επομένως το υπόλοιπο κομμάτι κλωστής PFπρέπει να είναι ίσο με το υπόλοιπο μέρος του ποδιού ΑΒ, δηλ. PA. Σημείο τομής Vπαραβολή με άξονα ονομάζεται κορυφή της παραβολής, η γραμμή που διέρχεται φάΚαι V, – ο άξονας της παραβολής. Εάν μια ευθεία γραμμή χαράσσεται διαμέσου της εστίας, κάθετα στον άξονα, τότε το τμήμα αυτής της ευθείας που αποκόπτεται από την παραβολή ονομάζεται εστιακή παράμετρος. Για μια έλλειψη και μια υπερβολή, η εστιακή παράμετρος προσδιορίζεται ομοίως.
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ
Ορισμοί του Πάππου.
Ο καθορισμός της εστίασης μιας παραβολής έδωσε στον Pappus την ιδέα να δώσει έναν εναλλακτικό ορισμό των κωνικών τομών γενικά. Αφήνω φά – σημείο ρύθμισης(εστίαση) και μεγάλο– μια δεδομένη ευθεία (directrix) που δεν διέρχεται φά, Και Δ ΦΚαι Δ Λ– απόσταση από το κινούμενο σημείο Πνα επικεντρωθεί φάκαι διευθύντριες μεγάλοαντίστοιχα. Στη συνέχεια, όπως έδειξε ο Πάππος, οι κωνικές τομές ορίζονται ως ο τόπος των σημείων Π, για την οποία η σχέση Δ Φ/Δ Λείναι μια μη αρνητική σταθερά. Αυτή η αναλογία ονομάζεται εκκεντρικότητα μικωνική τομή. Στο μι e > 1 – υπερβολή; στο μι= 1 – παραβολή. Αν φάβρίσκεται επάνω μεγάλο, τότε οι γεωμετρικοί τόποι έχουν τη μορφή ευθειών (πραγματικών ή φανταστικών), που είναι εκφυλισμένες κωνικές τομές.
Η εντυπωσιακή συμμετρία της έλλειψης και της υπερβολής υποδηλώνει ότι καθεμία από αυτές τις καμπύλες έχει δύο κατευθύνσεις και δύο εστίες, και αυτή η περίσταση οδήγησε τον Κέπλερ το 1604 στην ιδέα ότι μια παραβολή έχει επίσης μια δεύτερη εστία και μια δεύτερη κατεύθυνση - ένα σημείο στο άπειρο και ευθεία . Με τον ίδιο τρόπο, ένας κύκλος μπορεί να θεωρηθεί ως έλλειψη, οι εστίες του οποίου συμπίπτουν με το κέντρο και οι κατευθύνσεις βρίσκονται στο άπειρο. Εκκεντρικότητα μισε αυτή την περίπτωση ισούται με μηδέν.
Σχέδιο Dandelen.
Οι εστίες και οι κατευθύνσεις μιας κωνικής τομής μπορούν να αποδειχθούν ξεκάθαρα χρησιμοποιώντας σφαίρες εγγεγραμμένες σε κώνο και ονομαζόμενες σφαίρες Dandelin (μπάλες) προς τιμήν του Βέλγου μαθηματικού και μηχανικού J. Dandelin (1794–1847), ο οποίος πρότεινε την ακόλουθη κατασκευή. Ας σχηματιστεί μια κωνική τομή από την τομή ενός συγκεκριμένου επιπέδου Πμε ίσιο κυκλικό κώνο δύο κοιλοτήτων με κορυφή σε ένα σημείο Ο. Ας εγγράψουμε δύο σφαίρες σε αυτόν τον κώνο μικρό 1 και μικρό 2 που αγγίζουν το αεροπλάνο Πσε σημεία φά 1 και φά 2 αντίστοιχα. Εάν η κωνική τομή είναι έλλειψη (Εικ. 5, ΕΝΑ), τότε και οι δύο σφαίρες βρίσκονται μέσα στην ίδια κοιλότητα: η μία σφαίρα βρίσκεται πάνω από το επίπεδο Π, και το άλλο είναι κάτω από αυτό. Κάθε γενιά του κώνου αγγίζει και τις δύο σφαίρες και ο τόπος των σημείων επαφής μοιάζει με δύο κύκλους ντο 1 και ντο 2 που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα Π 1 και Π 2. Αφήνω Π– ένα αυθαίρετο σημείο σε μια κωνική τομή. Ας τραβήξουμε ευθείες γραμμές PF 1 , PF 2 και επεκτείνετε την ευθεία ταχυδρομείο. Αυτές οι γραμμές εφάπτονται στις σφαίρες σε σημεία φά 1 , φά 2 και R 1 , R 2. Αφού όλες οι εφαπτομένες που έλκονται στη σφαίρα από ένα σημείο είναι ίσες, τότε PF 1 = PR 1 και PF 2 = PR 2. Ως εκ τούτου, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2. Από το αεροπλάνο Π 1 και Π 2 παράλληλα, ευθύγραμμο τμήμα R 1 RΤο 2 έχει σταθερό μήκος. Έτσι, η αξία PR 1 + PRΤο 2 είναι το ίδιο για όλες τις θέσεις πόντων Π, και σημείο Πανήκει στον γεωμετρικό τόπο των σημείων για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων από Ππριν φά 1 και φά 2 είναι σταθερό. Ως εκ τούτου, τα σημεία φά 1 και φά 2 – εστίες ελλειπτικής τομής. Επιπλέον, μπορεί να αποδειχθεί ότι οι ευθείες γραμμές κατά τις οποίες το επίπεδο Πτέμνει επίπεδα Π 1 και Π 2 , είναι οι κατευθύνσεις της κατασκευασμένης έλλειψης. Αν Πτέμνει και τις δύο κοιλότητες του κώνου (Εικ. 5, σι), τότε δύο σφαίρες Dandelin βρίσκονται στην ίδια πλευρά του επιπέδου Π, μια σφαίρα σε κάθε κοιλότητα του κώνου. Σε αυτή την περίπτωση, η διαφορά μεταξύ PF 1 και PFΤο 2 είναι σταθερό και ο τόπος των σημείων Πέχει σχήμα υπερβολής με εστίες φά 1 και φά 2 και ευθείες - γραμμές τομής ΠΜε Π 1 και Π 2 – ως διευθύντριες. Εάν η κωνική τομή είναι παραβολή, όπως φαίνεται στο Σχ. 5, V, τότε μόνο μια σφαίρα πικραλίδας μπορεί να εγγραφεί στον κώνο.
Άλλα ακίνητα.
Οι ιδιότητες των κωνικών τομών είναι πραγματικά ανεξάντλητες και οποιαδήποτε από αυτές μπορεί να θεωρηθεί ως καθοριστική. Σημαντικό μέρος σε Μαθηματική συνάντησηΠαππά (περίπου 300), Γεωμετρία Descartes (1637) και ΑρχέςΟ Newton (1687) ασχολήθηκε με το πρόβλημα της γεωμετρικής θέσης των σημείων σε σχέση με τέσσερις ευθείες. Αν σε ένα επίπεδο δίνονται τέσσερις γραμμές μεγάλο 1 , μεγάλο 2 , μεγάλο 3 και μεγάλο 4 (δύο από τα οποία μπορεί να είναι ίδια) και μια τελεία Πείναι τέτοιο ώστε το γινόμενο των αποστάσεων από Ππριν μεγάλο 1 και μεγάλοΤο 2 είναι ανάλογο με το γινόμενο των αποστάσεων από Ππριν μεγάλο 3 και μεγάλο 4, μετά ο τόπος των σημείων Πείναι μια κωνική τομή. Πιστεύοντας λανθασμένα ότι ο Απολλώνιος και ο Πάππος δεν μπόρεσαν να λύσουν το πρόβλημα του τόπου των σημείων σε σχέση με τέσσερις ευθείες, ο Ντεκάρτ δημιούργησε αναλυτική γεωμετρία για να βρει μια λύση και να τη γενικεύσει.
ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ
Αλγεβρική ταξινόμηση.
Με αλγεβρικούς όρους, οι κωνικές τομές μπορούν να οριστούν ως επίπεδες καμπύλες των οποίων οι συντεταγμένες στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ικανοποιούν μια εξίσωση δεύτερου βαθμού. Με άλλα λόγια, η εξίσωση όλων των κωνικών τμημάτων μπορεί να γραφτεί γενική εικόναΠως
όπου όχι όλοι οι συντελεστές ΕΝΑ, σιΚαι ντοείναι ίσα με μηδέν. Χρησιμοποιώντας παράλληλη μετάφραση και περιστροφή των αξόνων, η εξίσωση (1) μπορεί να αναχθεί στη μορφή
τσεκούρι 2 + με 2 + ντο = 0
px 2 + qy = 0.
Η πρώτη εξίσωση προκύπτει από την εξίσωση (1) με σι 2 № ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ., το δεύτερο – στο σι 2 = ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.. Οι κωνικές τομές των οποίων οι εξισώσεις ανάγονται στην πρώτη μορφή ονομάζονται κεντρικές. Κωνικές τομές που δίνονται από εξισώσεις του δεύτερου τύπου με qΟι αριθμοί 0 ονομάζονται μη κεντρικοί. Μέσα σε αυτές τις δύο κατηγορίες υπάρχουν εννέα διάφοροι τύποικωνικές τομές ανάλογα με τα σημάδια των συντελεστών.
2831) αν οι πιθανότητες ένα, σιΚαι ντοέχουν το ίδιο πρόσημο, τότε δεν υπάρχουν πραγματικά σημεία των οποίων οι συντεταγμένες θα ικανοποιούσαν την εξίσωση. Μια τέτοια κωνική τομή ονομάζεται νοητή έλλειψη (ή φανταστικός κύκλος, αν ένα = σι).
2) Αν έναΚαι σιέχουν το ίδιο σημάδι, και ντο– απέναντι, τότε η κωνική τομή είναι έλλειψη (Εικ. 1, ΕΝΑ) στο ένα = σι– κύκλος (Εικ. 6, σι).
3) Αν έναΚαι σιέχουν διαφορετικά πρόσημα, τότε η κωνική τομή είναι υπερβολή (Εικ. 1, V).
4) Αν έναΚαι σιέχουν διαφορετικά σημάδια και ντο= 0, τότε η κωνική τομή αποτελείται από δύο τεμνόμενες γραμμές (Εικ. 6, ΕΝΑ).
5) Αν έναΚαι σιέχουν το ίδιο πρόσημο και ντο= 0, τότε υπάρχει μόνο ένα πραγματικό σημείο στην καμπύλη που ικανοποιεί την εξίσωση και η κωνική τομή είναι δύο νοητές τεμνόμενες γραμμές. Σε αυτή την περίπτωση μιλάμε επίσης για μια έλλειψη συσταλμένη σε ένα σημείο ή, αν ένα = σι, συστέλλεται σε ένα σημείο του κύκλου (Εικ. 6, σι).
6) Εάν ένα από τα δύο ένα, ή σιισούται με μηδέν, και οι υπόλοιποι συντελεστές έχουν διαφορετικά πρόσημα, τότε το κωνικό τμήμα αποτελείται από δύο παράλληλες ευθείες.
7) Εάν ένα από τα δύο ένα, ή σιισούται με μηδέν, και οι υπόλοιποι συντελεστές έχουν το ίδιο πρόσημο, τότε δεν υπάρχει ούτε ένα πραγματικό σημείο που να ικανοποιεί την εξίσωση. Σε αυτή την περίπτωση, λένε ότι μια κωνική τομή αποτελείται από δύο νοητές παράλληλες γραμμές.
8) Αν ντο= 0, και είτε ένα, ή σιισούται επίσης με μηδέν, τότε η κωνική τομή αποτελείται από δύο πραγματικές συμπίπτουσες γραμμές. (Η εξίσωση δεν ορίζει καμία κωνική τομή στο ένα = σι= 0, αφού στην περίπτωση αυτή η αρχική εξίσωση (1) δεν είναι δεύτερου βαθμού.)
9) Οι εξισώσεις του δεύτερου τύπου ορίζουν τις παραβολές αν ΠΚαι qδιαφέρουν από το μηδέν. Αν ΠΝο. 0, α q= 0, παίρνουμε την καμπύλη από το βήμα 8. Αν Π= 0, τότε η εξίσωση δεν ορίζει καμία κωνική τομή, αφού η αρχική εξίσωση (1) δεν είναι δεύτερου βαθμού.
Παραγωγή εξισώσεων κωνικών τομών.
Οποιαδήποτε κωνική τομή μπορεί επίσης να οριστεί ως καμπύλη κατά μήκος της οποίας ένα επίπεδο τέμνει μια τετραγωνική επιφάνεια, δηλ. με μια επιφάνεια που δίνεται από μια εξίσωση δεύτερου βαθμού φά (Χ, y, z) = 0. Προφανώς, οι κωνικές τομές αναγνωρίστηκαν για πρώτη φορά με αυτή τη μορφή και τα ονόματά τους ( Δες παρακάτω) οφείλονται στο γεγονός ότι προέκυψαν με τομή ενός επιπέδου με έναν κώνο z 2 = Χ 2 + y 2. Αφήνω Α Β Γ Δ– βάση ορθού κυκλικού κώνου (Εικ. 7) με ορθή γωνία στην κορυφή V. Αφήστε το αεροπλάνο FDCτέμνει τη γεννήτρια VBστο σημείο φά, βάση – σε ευθεία γραμμή CDκαι η επιφάνεια του κώνου - κατά μήκος της καμπύλης DFPC, Οπου Π– οποιοδήποτε σημείο της καμπύλης. Ας σχεδιάσουμε τη μέση του τμήματος CD– σημείο μι- ευθεία Η Ε.Φ.και διάμετρο ΑΒ. Μέσα από το σημείο Πσχεδιάστε ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση του κώνου, τέμνοντας τον κώνο σε κύκλο R.P.S.και άμεση Η Ε.Φ.στο σημείο Q. Επειτα QFΚαι QPμπορεί να ληφθεί, αναλόγως, ως τετμημένη Χκαι τεταγμένη yσημεία Π. Η καμπύλη που προκύπτει θα είναι μια παραβολή.
Η κατασκευή που φαίνεται στο Σχ. 7, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για έξοδο γενικές εξισώσειςκωνικές τομές. Το τετράγωνο του μήκους ενός κάθετου τμήματος που αποκαθίσταται από οποιοδήποτε σημείο της διαμέτρου έως την τομή με τον κύκλο είναι πάντα ίσο με το γινόμενο των μηκών των τμημάτων διαμέτρου. Να γιατί
y 2 = RQ H QS.
Για μια παραβολή, ένα τμήμα RQέχει σταθερό μήκος (αφού σε οποιαδήποτε θέση του σημείου Πείναι ίσο με το τμήμα Η A.E.), και το μήκος του τμήματος QSαναλογικά Χ(από την αναλογία QS/Ε.Β. = QF/F.E.). Από αυτό προκύπτει ότι
Οπου ένα– σταθερός συντελεστής. Αριθμός έναεκφράζει το μήκος της εστιακής παραμέτρου της παραβολής.
Εάν η γωνία στην κορυφή του κώνου είναι οξεία, τότε το τμήμα RQδεν ισούται με το τμήμα Η A.E.; αλλά η αναλογία y 2 = RQ H QSισοδυναμεί με μια εξίσωση της μορφής
Οπου έναΚαι σι– σταθερές, ή, μετά τη μετατόπιση των αξόνων, στην εξίσωση
που είναι η εξίσωση μιας έλλειψης. Σημεία τομής της έλλειψης με τον άξονα Χ (Χ = έναΚαι Χ = –ένα) και τα σημεία τομής της έλλειψης με τον άξονα y (y = σιΚαι y = –σι) ορίστε τον κύριο και τον δευτερεύοντα άξονα, αντίστοιχα. Εάν η γωνία στην κορυφή του κώνου είναι αμβλεία, τότε η καμπύλη τομής του κώνου και του επιπέδου έχει τη μορφή υπερβολής και η εξίσωση παίρνει την ακόλουθη μορφή:
ή, μετά τη μεταφορά των αξόνων,
Στην περίπτωση αυτή, τα σημεία τομής με τον άξονα Χ, που δίνεται από τη σχέση Χ 2 = ένα 2, προσδιορίστε τον εγκάρσιο άξονα και τα σημεία τομής με τον άξονα y, που δίνεται από τη σχέση y 2 = –σι 2, προσδιορίστε τον άξονα σύζευξης. Αν σταθερό έναΚαι σιστην εξίσωση (4α) είναι ίσα, τότε η υπερβολή ονομάζεται ισόπλευρη. Περιστρέφοντας τους άξονες, η εξίσωσή του ανάγεται στη μορφή
xy = κ.
Τώρα από τις εξισώσεις (3), (2) και (4) μπορούμε να κατανοήσουμε τη σημασία των ονομάτων που έδωσε ο Απολλώνιος στις τρεις κύριες κωνικές τομές. Οι όροι "έλλειψη", "παραβολή" και "υπέρβολα" προέρχονται από Ελληνικές λέξεις, που σημαίνει «ελλιπής», «ίσος» και «ανώτερος». Από τις εξισώσεις (3), (2) και (4) είναι σαφές ότι για την έλλειψη y 2 b 2 / ένα) Χ, για παραβολή y 2 = (ένα) Χκαι για την υπερβολή y 2 > (2σι 2 /ένα) Χ. Σε κάθε περίπτωση, η τιμή που περικλείεται σε παρένθεση είναι ίση με την εστιακή παράμετρο της καμπύλης.
Ο ίδιος ο Απολλώνιος θεωρούσε μόνο τρεις γενικού τύπουκωνικές τομές (τύποι 2, 3 και 9 που αναφέρονται παραπάνω), αλλά η προσέγγισή του επιτρέπει σε μια γενίκευση να ληφθούν υπόψη όλες οι πραγματικές καμπύλες δεύτερης τάξης. Εάν το επίπεδο κοπής επιλεγεί παράλληλα με την κυκλική βάση του κώνου, τότε η διατομή θα έχει ως αποτέλεσμα έναν κύκλο. Εάν το επίπεδο κοπής έχει μόνο ένα κοινό σημείο με τον κώνο, την κορυφή του, τότε θα ληφθεί ένα τμήμα τύπου 5. εάν περιέχει μια κορυφή και μια εφαπτομένη στον κώνο, τότε λαμβάνουμε μια τομή τύπου 8 (Εικ. 6, σι) εάν το επίπεδο κοπής περιέχει δύο γεννήτριες του κώνου, τότε η τομή παράγει μια καμπύλη τύπου 4 (Εικ. 6, ΕΝΑ) όταν η κορυφή μεταφέρεται στο άπειρο, ο κώνος μετατρέπεται σε κύλινδρο και εάν το επίπεδο περιέχει δύο γεννήτριες, τότε προκύπτει ένα τμήμα τύπου 6.
Αν κοιτάξετε έναν κύκλο από λοξή γωνία, μοιάζει με έλλειψη. Η σχέση μεταξύ κύκλου και έλλειψης, γνωστή στον Αρχιμήδη, γίνεται προφανής αν ο κύκλος Χ 2 + Υ 2 = ένα 2 με χρήση αντικατάστασης Χ = Χ, Υ = (ένα/σι) yμετατροπή σε έλλειψη, δίνεται από την εξίσωση(3α). Μετατροπή Χ = Χ, Υ = (Όλα συμπεριλαμβάνονται/σι) y, Οπου Εγώ 2 = –1, μας επιτρέπει να γράψουμε την εξίσωση ενός κύκλου με τη μορφή (4α). Αυτό δείχνει ότι μια υπερβολή μπορεί να θεωρηθεί ως έλλειψη με έναν φανταστικό δευτερεύοντα άξονα ή, αντίθετα, μια έλλειψη μπορεί να θεωρηθεί ως μια υπερβολική με έναν φανταστικό συζυγή άξονα.
Σχέση μεταξύ τεταγμένων ενός κύκλου Χ 2 + y 2 = ένα 2 και έλλειψη ( Χ 2 /ένα 2) + (y 2 /σι 2) = 1 οδηγεί απευθείας στον τύπο του Αρχιμήδη ΕΝΑ = p abγια την περιοχή της έλλειψης. Ο Κέπλερ γνώριζε τον κατά προσέγγιση τύπο Π(ένα + σι) για την περίμετρο μιας έλλειψης κοντά σε έναν κύκλο, αλλά η ακριβής έκφραση ελήφθη μόλις τον 18ο αιώνα. μετά την εισαγωγή των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων. Όπως έδειξε ο Αρχιμήδης, το εμβαδόν ενός παραβολικού τμήματος είναι τα τέσσερα τρίτα του εμβαδού ενός εγγεγραμμένου τριγώνου, αλλά το μήκος του τόξου μιας παραβολής μπορούσε να υπολογιστεί μόνο μετά τον 17ο αιώνα. Εφευρέθηκε ο διαφορικός λογισμός.
ΠΡΟΒΟΛΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ
Η προβολική γεωμετρία σχετίζεται στενά με την κατασκευή της προοπτικής. Εάν σχεδιάσετε έναν κύκλο σε ένα διαφανές φύλλο χαρτιού και τον τοποθετήσετε κάτω από μια πηγή φωτός, τότε αυτός ο κύκλος θα προβληθεί στο παρακάτω επίπεδο. Επιπλέον, εάν η πηγή φωτός βρίσκεται ακριβώς πάνω από το κέντρο του κύκλου και το επίπεδο και το διαφανές φύλλο είναι παράλληλα, τότε η προβολή θα είναι επίσης κύκλος (Εικ. 8). Η θέση της φωτεινής πηγής ονομάζεται σημείο εξαφάνισης. Υποδεικνύεται από το γράμμα V. Αν Vδεν βρίσκεται πάνω από το κέντρο του κύκλου ή αν το επίπεδο δεν είναι παράλληλο με το φύλλο χαρτιού, τότε η προβολή του κύκλου παίρνει το σχήμα έλλειψης. Με ακόμη μεγαλύτερη κλίση του επιπέδου, ο κύριος άξονας της έλλειψης (προβολή του κύκλου) επιμηκύνεται και η έλλειψη μετατρέπεται σταδιακά σε παραβολή. σε επίπεδο παράλληλο σε ευθεία γραμμή V.P., η προβολή έχει τη μορφή παραβολής. με ακόμη μεγαλύτερη κλίση, η προβολή παίρνει τη μορφή ενός από τους κλάδους της υπερβολής.
Κάθε σημείο στον αρχικό κύκλο αντιστοιχεί σε ένα ορισμένο σημείο της προβολής. Αν η προβολή έχει τη μορφή παραβολής ή υπερβολής, τότε λένε ότι το σημείο που αντιστοιχεί στο σημείο Π, είναι στο άπειρο ή απείρως μακριά.
Όπως είδαμε, με την κατάλληλη επιλογή σημείων φυγής, ένας κύκλος μπορεί να προβληθεί σε ελλείψεις διαφόρων μεγεθών και με διάφορες εκκεντρότητες και τα μήκη των κύριων αξόνων δεν σχετίζονται άμεσα με τη διάμετρο του προβαλλόμενου κύκλου. Επομένως, η προβολική γεωμετρία δεν ασχολείται με τις αποστάσεις ή τα μήκη από μόνη της· καθήκον της είναι να μελετήσει την αναλογία των μηκών που διατηρείται κατά την προβολή. Αυτή η σχέση μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας την ακόλουθη κατασκευή. Μέσα από οποιοδήποτε σημείο Πεπίπεδο, σχεδιάστε δύο εφαπτόμενες σε οποιονδήποτε κύκλο και συνδέστε τα εφαπτόμενα σημεία με μια ευθεία γραμμή Π. Αφήστε μια άλλη γραμμή να διέρχεται από το σημείο Π, τέμνει τον κύκλο σε σημεία ντο 1 και ντο 2 και ευθεία Π- στο σημείο Q(Εικ. 9). Στην επιπεδομετρία αποδεικνύεται ότι Η/Υ 1 /Η/Υ 2 = –QC 1 /QC 2. (Το πρόσημο μείον προκύπτει λόγω του γεγονότος ότι η κατεύθυνση του τμήματος QCΤο 1 είναι αντίθετο με τις κατευθύνσεις άλλων τμημάτων.) Με άλλα λόγια, σημεία ΠΚαι Qδιαιρέστε το τμήμα ντο 1 ντο 2 εξωτερικά και εσωτερικά από την ίδια άποψη. λένε επίσης ότι η αρμονική αναλογία τεσσάρων τμημάτων είναι ίση με - 1. Εάν ο κύκλος προβάλλεται σε μια κωνική τομή και διατηρείται ο ίδιος συμβολισμός για τα αντίστοιχα σημεία, τότε η αρμονική αναλογία ( Η/Υ 1)(QC 2)/(Η/Υ 2)(QC 1) θα παραμείνει ίσο με - 1. Σημείο Πονομάζεται πόλος γραμμής Πσε σχέση με την κωνική τομή και την ευθεία Π– πολικό σημείο Πσε σχέση με την κωνική τομή.
Όταν το σημείο Ππλησιάζει μια κωνική τομή, η πολική τείνει να πάρει τη θέση μιας εφαπτομένης. αν σημείο Πβρίσκεται σε μια κωνική τομή, τότε το πολικό της συμπίπτει με την εφαπτομένη στην κωνική τομή στο σημείο Π. Αν το σημείο Πβρίσκεται μέσα στο κωνικό τμήμα, τότε το πολικό του μπορεί να κατασκευαστεί ως εξής. Ας αναλύσουμε το σημείο Ποποιαδήποτε ευθεία που τέμνει μια κωνική τομή σε δύο σημεία. σχεδιάστε εφαπτομένες στην κωνική τομή στα σημεία τομής. ας υποθέσουμε ότι αυτές οι εφαπτομένες τέμνονται σε ένα σημείο Π 1 . Ας αναλύσουμε το σημείο Πμια άλλη ευθεία που τέμνει την κωνική τομή σε δύο άλλα σημεία. Ας υποθέσουμε ότι οι εφαπτομένες στην κωνική τομή σε αυτά τα νέα σημεία τέμνονται στο σημείο Π 2 (Εικ. 10). Γραμμή που διέρχεται από σημεία Π 1 και Π 2 , και υπάρχει η επιθυμητή πολική Π. Αν το σημείο Ππλησιάζοντας το κέντρο Οκεντρική κωνική τομή, μετά πολική Παπομακρυνόμενος από Ο. Όταν το σημείο Πσυμπίπτει με Ο, τότε το πολικό του γίνεται απείρως απόμακρο, ή ιδανικό, ευθεία στο επίπεδο.
ΕΙΔΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ
Ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τους αστρονόμους είναι η ακόλουθη απλή κατασκευή σημείων έλλειψης με χρήση πυξίδας και χάρακα. Αφήστε μια αυθαίρετη ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο Ο(Εικ. 11, ΕΝΑ), τέμνεται σε σημεία QΚαι Rδύο ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο σε ένα σημείο Οκαι ακτίνες σιΚαι ένα, Οπου σιένα. Ας αναλύσουμε το σημείο Qοριζόντια γραμμή και μέσα R– μια κατακόρυφη γραμμή και δηλώνουν το σημείο τομής τους Π Πόταν περιστρέφετε μια ευθεία γραμμή OQRγύρω από το σημείο Οθα υπάρξει έλλειψη. Γωνία φάμεταξύ της ευθείας γραμμής OQRκαι ο κύριος άξονας ονομάζεται έκκεντρη γωνία και η κατασκευασμένη έλλειψη ορίζεται εύκολα παραμετρικές εξισώσεις Χ = ένα cos φά, y = σιαμαρτία φά. Εξαιρείται η παράμετρος φά, παίρνουμε την εξίσωση (3α).
Για μια υπερβολή, η κατασκευή είναι σε μεγάλο βαθμό παρόμοια. Μια αυθαίρετη ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο Ο, τέμνει έναν από τους δύο κύκλους σε ένα σημείο R(Εικ. 11, σι). Μέχρι κάποιο σημείο Rέναν κύκλο και μέχρι το τελικό σημείο μικρόοριζόντια διάμετρος άλλου κύκλου, σχεδιάστε εφαπτομένες που τέμνονται OSστο σημείο ΤΚαι Ή- στο σημείο Q. Αφήστε μια κάθετη γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο Τ, και μια οριζόντια γραμμή που διέρχεται από το σημείο Q, τέμνονται σε ένα σημείο Π. Στη συνέχεια ο τόπος των σημείων Πκατά την περιστροφή ενός τμήματος Ήπερίπου Οθα είναι μια υπερβολή που δίνεται από παραμετρικές εξισώσεις Χ = έναδευτ φά, y = σι tg φά, Οπου φά– έκκεντρη γωνία. Αυτές οι εξισώσεις ελήφθησαν από τον Γάλλο μαθηματικό A. Legendre (1752–1833). Εξαιρώντας την παράμετρο φά, παίρνουμε την εξίσωση (4α).
Μια έλλειψη, όπως σημείωσε ο N. Copernicus (1473–1543), μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας επικυκλική κίνηση. Εάν ένας κύκλος κυλά χωρίς να γλιστρήσει κατά μήκος του εσωτερικού ενός άλλου κύκλου διπλάσιας διαμέτρου, τότε κάθε σημείο Π, που δεν βρίσκεται στον μικρότερο κύκλο, αλλά είναι ακίνητο σε σχέση με αυτόν, θα περιγράψει μια έλλειψη. Αν το σημείο Πείναι σε μικρότερο κύκλο, τότε η τροχιά αυτού του σημείου είναι μια εκφυλισμένη περίπτωση έλλειψης - η διάμετρος του μεγαλύτερου κύκλου. Μια ακόμη απλούστερη κατασκευή της έλλειψης προτάθηκε από τον Πρόκλο τον 5ο αιώνα. Αν τα άκρα ΕΝΑΚαι σιευθύγραμμο τμήμα ΑΒενός δεδομένου μήκους ολίσθηση κατά μήκος δύο σταθερών τεμνόμενων ευθειών (για παράδειγμα, κατά μήκος άξονες συντεταγμένων), μετά κάθε εσωτερικό σημείο Πτο τμήμα θα περιγράφει μια έλλειψη. ο Ολλανδός μαθηματικός F. van Schooten (1615–1660) έδειξε ότι οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο των τεμνόμενων γραμμών, σταθερό σε σχέση με ένα ολισθαίνον τμήμα, θα περιγράφει επίσης μια έλλειψη.
Ο B. Pascal (1623–1662) σε ηλικία 16 ετών διατύπωσε το διάσημο πλέον θεώρημα Pascal, το οποίο λέει: τα τρία σημεία τομής των απέναντι πλευρών ενός εξαγώνου που εγγράφεται σε οποιαδήποτε κωνική τομή βρίσκονται στην ίδια ευθεία γραμμή. Ο Pascal εξήγαγε περισσότερα από 400 συμπεράσματα από αυτό το θεώρημα.
