Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

  • Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

  • Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
  • Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
  • Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
  • Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

  • Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, τις νομικές διαδικασίες ή/και με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
  • Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Αφήνω
(1)
είναι διαφοροποιήσιμη συνάρτηση της μεταβλητής x. Πρώτα θα το δούμε για το σύνολο τιμών του x για το οποίο παίρνει το y θετικές αξίες: . Στη συνέχεια, θα δείξουμε ότι όλα τα αποτελέσματα που λαμβάνονται ισχύουν επίσης για αρνητικές τιμές του .

Σε ορισμένες περιπτώσεις, για να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης (1), είναι βολικό να προ-λογάριθμη
,
και μετά υπολογίστε την παράγωγο. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης,
.
Από εδώ
(2) .

Η παράγωγος του λογάριθμου μιας συνάρτησης ονομάζεται λογαριθμική παράγωγος:
.

Λογαριθμική παράγωγος της συνάρτησης y = f(x) είναι παράγωγο φυσικός λογάριθμοςαυτή η λειτουργία: (ln f(x))′.

Η περίπτωση των αρνητικών τιμών y

Τώρα εξετάστε την περίπτωση που μια μεταβλητή μπορεί να λάβει τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές. Σε αυτήν την περίπτωση, πάρτε τον λογάριθμο του συντελεστή και βρείτε την παράγωγό του:
.
Από εδώ
(3) .
Δηλαδή, στη γενική περίπτωση, πρέπει να βρείτε την παράγωγο του λογάριθμου του συντελεστή συνάρτησης.

Συγκρίνοντας τις (2) και (3) έχουμε:
.
Δηλαδή, το τυπικό αποτέλεσμα του υπολογισμού της λογαριθμικής παραγώγου δεν εξαρτάται από το αν πήραμε το modulo ή όχι. Επομένως, κατά τον υπολογισμό της λογαριθμικής παραγώγου, δεν χρειάζεται να ανησυχούμε για το τι πρόσημο έχει η συνάρτηση.

Αυτή η κατάσταση μπορεί να διευκρινιστεί χρησιμοποιώντας μιγαδικούς αριθμούς. Έστω, για ορισμένες τιμές του x, αρνητικές: . Αν αναλογιστούμε μόνο πραγματικούς αριθμούς, τότε η συνάρτηση δεν έχει οριστεί. Ωστόσο, αν εισαγάγουμε υπόψη μιγαδικοί αριθμοί, τότε παίρνουμε τα εξής:
.
Δηλαδή, οι συναρτήσεις και διαφέρουν κατά μια μιγαδική σταθερά:
.
Αφού η παράγωγος μιας σταθεράς είναι μηδέν, τότε
.

Ιδιότητα της λογαριθμικής παραγώγου

Από μια τέτοια θεώρηση προκύπτει ότι η λογαριθμική παράγωγος δεν θα αλλάξει αν πολλαπλασιάσετε τη συνάρτηση με μια αυθαίρετη σταθερά :
.
Πράγματι, χρησιμοποιώντας ιδιότητες του λογάριθμου, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι παράγωγο άθροισμαΚαι παράγωγο σταθεράς, έχουμε:

.

Εφαρμογή λογαριθμικής παραγώγου

Είναι βολικό να χρησιμοποιείται η λογαριθμική παράγωγος σε περιπτώσεις όπου η αρχική συνάρτηση αποτελείται από ένα γινόμενο ισχύος ή εκθετικές συναρτήσεις. Σε αυτή την περίπτωση, η λογαριθμική πράξη μετατρέπει το γινόμενο των συναρτήσεων στο άθροισμά τους. Αυτό απλοποιεί τον υπολογισμό της παραγώγου.

Παράδειγμα 1

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:
.

Λύση

Ας λογαριθμήσουμε την αρχική συνάρτηση:
.

Ας διαφοροποιήσουμε ως προς τη μεταβλητή x.
Στον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
.
Εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των μιγαδικών συναρτήσεων.
;
;
;
;
(A1.1) .
Πολλαπλασιασμός με:

.

Έτσι, βρήκαμε τη λογαριθμική παράγωγο:
.
Από εδώ βρίσκουμε την παράγωγο της αρχικής συνάρτησης:
.

Σημείωση

Αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο πραγματικούς αριθμούς, τότε θα πρέπει να πάρουμε τον λογάριθμο του συντελεστή της αρχικής συνάρτησης:
.
Επειτα
;
.
Και πήραμε τον τύπο (Α1.1). Επομένως το αποτέλεσμα δεν έχει αλλάξει.

Απάντηση

Παράδειγμα 2

Χρησιμοποιώντας τη λογαριθμική παράγωγο, βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
.

Λύση

Ας πάρουμε τους λογάριθμους:
(A2.1) .
Διαφοροποίηση ως προς τη μεταβλητή x:
;
;

;
;
;
.

Πολλαπλασιασμός με:
.
Από εδώ παίρνουμε τη λογαριθμική παράγωγο:
.

Παράγωγο της αρχικής συνάρτησης:
.

Σημείωση

Εδώ η αρχική συνάρτηση είναι μη αρνητική: . Ορίζεται στο . Εάν δεν υποθέσουμε ότι ο λογάριθμος μπορεί να οριστεί για αρνητικές τιμές του ορίσματος, τότε ο τύπος (A2.1) θα πρέπει να γραφτεί ως εξής:
.
Επειδή η

Και
,
αυτό δεν θα επηρεάσει το τελικό αποτέλεσμα.

Απάντηση

Παράδειγμα 3

Βρείτε την παράγωγο
.

Λύση

Κάνουμε διαφοροποίηση χρησιμοποιώντας τη λογαριθμική παράγωγο. Ας πάρουμε έναν λογάριθμο, λαμβάνοντας υπόψη ότι:
(A3.1) .

Με τη διαφοροποίηση, παίρνουμε τη λογαριθμική παράγωγο.
;
;
;
(A3.2) .

Από τότε

.

Σημείωση

Ας κάνουμε τους υπολογισμούς χωρίς την υπόθεση ότι ο λογάριθμος μπορεί να οριστεί για αρνητικές τιμές του ορίσματος. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε τον λογάριθμο του συντελεστή της αρχικής συνάρτησης:
.
Τότε αντί για (A3.1) έχουμε:
;

.
Συγκρίνοντας με το (Α3.2) βλέπουμε ότι το αποτέλεσμα δεν έχει αλλάξει.


Κατά τη διαφοροποίηση, είναι ενδεικτικό λειτουργία ισχύοςή δυσκίνητες κλασματικές εκφράσεις, είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί η λογαριθμική παράγωγος. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε παραδείγματα εφαρμογής του με αναλυτικές λύσεις.

Η περαιτέρω παρουσίαση προϋποθέτει τη δυνατότητα χρήσης του πίνακα παραγώγων, των κανόνων διαφοροποίησης και της γνώσης του τύπου για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.


Παραγωγή του τύπου για τη λογαριθμική παράγωγο.

Αρχικά, παίρνουμε τους λογάριθμους στη βάση e, απλοποιούμε τη μορφή της συνάρτησης χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του λογαρίθμου και, στη συνέχεια, βρίσκουμε την παράγωγο της σιωπηρώς καθορισμένης συνάρτησης:

Για παράδειγμα, ας βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης εκθετικής ισχύος x στη δύναμη x.

Η λήψη λογαρίθμων δίνει . Σύμφωνα με τις ιδιότητες του λογάριθμου. Η διαφοροποίηση και των δύο πλευρών της ισότητας οδηγεί στο αποτέλεσμα:

Απάντηση: .

Το ίδιο παράδειγμα μπορεί να λυθεί χωρίς τη χρήση της λογαριθμικής παραγώγου. Μπορείτε να πραγματοποιήσετε μερικούς μετασχηματισμούς και να μετακινηθείτε από τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης εκθετικής ισχύος στην εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:

Παράδειγμα.

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης .

Λύση.

Σε αυτό το παράδειγμα η συνάρτηση είναι ένα κλάσμα και η παράγωγός του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους κανόνες διαφοροποίησης. Αλλά λόγω της δυσκινησίας της έκφρασης, αυτό θα απαιτήσει πολλούς μετασχηματισμούς. Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι πιο λογικό να χρησιμοποιείται ο τύπος της λογαριθμικής παραγώγου . Γιατί; Θα καταλάβετε τώρα.

Ας το βρούμε πρώτα. Στους μετασχηματισμούς θα χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες του λογαρίθμου (ο λογάριθμος ενός κλάσματος είναι ίσος με τη διαφορά των λογαρίθμων και ο λογάριθμος ενός γινόμενου είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων και ο βαθμός της έκφρασης κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου μπορεί να είναι βγαίνει ως συντελεστής μπροστά από τον λογάριθμο):

Αυτές οι μεταμορφώσεις μας έχουν οδηγήσει σε αρκετά απλή έκφραση, το παράγωγο του οποίου μπορεί εύκολα να βρεθεί:

Αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα που προκύπτει στον τύπο της λογαριθμικής παραγώγου και παίρνουμε την απάντηση:

Για να εμπεδώσουμε το υλικό, θα δώσουμε μερικά ακόμη παραδείγματα χωρίς λεπτομερείς επεξηγήσεις.


Παράδειγμα.

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης εκθετικής ισχύος

Νιώθεις ότι υπάρχει ακόμα πολύς χρόνος μέχρι τις εξετάσεις; Είναι ένας μήνας; Δύο? Ετος? Η πρακτική δείχνει ότι ένας μαθητής τα καταφέρνει καλύτερα με μια εξέταση εάν αρχίσει να προετοιμάζεται για αυτήν εκ των προτέρων. Υπάρχουν πολλά δύσκολα καθήκοντα, που στέκονται εμπόδιο στους μαθητές και τους μελλοντικούς υποψηφίους στην υψηλότερη βαθμολογία. Πρέπει να μάθετε να ξεπερνάτε αυτά τα εμπόδια, και επιπλέον, δεν είναι δύσκολο να το κάνετε. Πρέπει να κατανοήσετε την αρχή της εργασίας με διάφορες εργασίες από εισιτήρια. Τότε δεν θα υπάρχουν προβλήματα με τα νέα.

Οι λογάριθμοι με την πρώτη ματιά φαίνονται απίστευτα περίπλοκοι, αλλά με μια λεπτομερή ανάλυση η κατάσταση γίνεται πολύ πιο απλή. Εάν θέλετε να λάβετε μέρος στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους υψηλότερο βαθμό, θα πρέπει να κατανοήσετε την εν λόγω έννοια, κάτι που προτείνουμε να κάνουμε σε αυτό το άρθρο.

Αρχικά, ας διαχωρίσουμε αυτούς τους ορισμούς. Τι είναι ο λογάριθμος (log); Αυτός είναι ένας δείκτης της ισχύος στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί ο καθορισμένος αριθμός. Αν δεν είναι ξεκάθαρο, ας δούμε ένα βασικό παράδειγμα.

Σε αυτήν την περίπτωση, η βάση στο κάτω μέρος πρέπει να ανυψωθεί στη δεύτερη ισχύ για να πάρει τον αριθμό 4.

Τώρα ας δούμε τη δεύτερη έννοια. Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε οποιαδήποτε μορφή είναι μια έννοια που χαρακτηρίζει την αλλαγή μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο. Ωστόσο, αυτό σχολικό πρόγραμμα, και αν έχετε προβλήματα με αυτές τις έννοιες μεμονωμένα, αξίζει να επαναλάβετε το θέμα.

Παράγωγο λογάριθμου

ΣΕ Εργασίες Ενιαίας Κρατικής ΕξετάσεωνΣε αυτό το θέμα, πολλά προβλήματα μπορούν να δοθούν ως παραδείγματα. Αρχικά, η απλούστερη λογαριθμική παράγωγος. Είναι απαραίτητο να βρεθεί η παράγωγος της παρακάτω συνάρτησης.

Πρέπει να βρούμε την επόμενη παράγωγο

Υπάρχει μια ειδική φόρμουλα.

Σε αυτή την περίπτωση x=u, log3x=v. Αντικαθιστούμε τις τιμές από τη συνάρτησή μας στον τύπο.

Η παράγωγος του x θα είναι ίση με ένα. Ο λογάριθμος είναι λίγο πιο δύσκολος. Αλλά θα καταλάβετε την αρχή αν απλώς αντικαταστήσετε τις τιμές. Θυμηθείτε ότι η παράγωγος του lg x είναι η παράγωγος δεκαδικός λογάριθμος, και η παράγωγος ln x είναι η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου (στη βάση e).

Τώρα απλώς συνδέστε τις προκύπτουσες τιμές στον τύπο. Δοκιμάστε το μόνοι σας και μετά θα ελέγξουμε την απάντηση.

Ποιο θα μπορούσε να είναι το πρόβλημα εδώ για κάποιους; Εισάγαμε την έννοια του φυσικού λογάριθμου. Ας μιλήσουμε γι 'αυτό και ταυτόχρονα να καταλάβουμε πώς να λύσουμε προβλήματα με αυτό. Δεν θα δείτε τίποτα περίπλοκο, ειδικά όταν κατανοήσετε την αρχή της λειτουργίας του. Θα πρέπει να το συνηθίσετε, καθώς χρησιμοποιείται συχνά στα μαθηματικά (στα ανώτερα Εκπαιδευτικά ιδρύματαειδικά).

Παράγωγο του φυσικού λογάριθμου

Στον πυρήνα του, είναι η παράγωγος του λογαρίθμου στη βάση e (αυτό είναι παράλογος αριθμός, που είναι περίπου 2,7). Στην πραγματικότητα, το ln είναι πολύ απλό, επομένως χρησιμοποιείται συχνά στα μαθηματικά γενικά. Στην πραγματικότητα, η επίλυση του προβλήματος με αυτό δεν θα είναι επίσης πρόβλημα. Αξίζει να θυμηθούμε ότι η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου στη βάση e θα είναι ίση με το ένα διαιρούμενο με το x. Η λύση στο παρακάτω παράδειγμα θα είναι η πιο αποκαλυπτική.

Ας το φανταστούμε ως σύνθετη λειτουργία, που αποτελείται από δύο απλά.

Αρκεί η μετατροπή

Αναζητούμε την παράγωγο του u ως προς το x