Επίλυση εργασιών Β8 με βάση υλικά ανοιχτής τράπεζας Προβλήματα Ενιαίας Κρατικής Εξέτασηςστα μαθηματικά 2012 Η ευθεία y = 4x + 11 είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = x2 + 8x + 6. Να βρείτε την τετμημένη του σημείου εφαπτομένης Νο 1 Λύση: Αν η ευθεία είναι παράλληλη στην εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε κάποιο σημείο (ας την ονομάσουμε xo), τότε ο γωνιακός συντελεστής της (στην περίπτωσή μας k = 4 από την εξίσωση y = 4x +11) είναι ίσος με την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης στο το σημείο xo: k = f ′(xo) = 4 Παράγωγος της συνάρτησης f′(x) = (x2+8x + 6)′= 2x +8. Αυτό σημαίνει ότι για να βρεθεί το επιθυμητό σημείο εφαπτομένης είναι απαραίτητο 2xo + 8 = 4, από το οποίο xo = – 2. Απάντηση: – 2. Η ευθεία y = 3x + 11 εφάπτεται στη γραφική παράσταση

  • συναρτήσεις y = x3−3x2− 6x + 6.
  • Να βρείτε την τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου.
    • Νο 2 Λύση: Σημειώστε ότι αν η ευθεία εφάπτεται στη γραφική παράσταση, τότε η κλίση της (k = 3) πρέπει να είναι ίση με την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο εφαπτομένης, από την οποία έχουμε Zx2 − 6x − 6 = 3 , δηλαδή Zx2 − 6x − 9 = 0 ή x2 − 2x − 3 = 0. Αυτό είναι τετραγωνική εξίσωσηέχει δύο ρίζες: −1 και 3. Έτσι, υπάρχουν δύο σημεία στα οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x3 − 3x2 − 6x + 6 έχει κλίση ίση με 3. Για να προσδιοριστεί ποιο από αυτά τα δύο σημεία η ευθεία γραμμή y = 3x + 11 αγγίζει το γράφημα της συνάρτησης, ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία και ας ελέγξουμε αν ικανοποιούν την εφαπτομένη εξίσωση. Η τιμή της συνάρτησης στο σημείο −1 είναι y(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8, και η τιμή στο σημείο 3 είναι y(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Σημειώστε ότι το σημείο με συντεταγμένες (−1; 8) ικανοποιεί την εφαπτομενική εξίσωση, αφού 8 = −3 + 11. Αλλά το σημείο (3; −12) δεν ικανοποιεί την εφαπτομένη εξίσωση, αφού −12 ≠ 9 + 11. Αυτό σημαίνει ότι η απαιτούμενη Η τετμημένη του σημείου εφαπτομένης είναι −1. Απάντηση: −1 Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση y = f ′(x) – η παράγωγος της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα (–10; 8). Σε ποιο σημείο του τμήματος [–8; –4] η συνάρτηση f(x) παίρνει τη μικρότερη τιμή Νο. 3 Λύση: Σημειώστε ότι στο τμήμα [–8; –4] η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική, που σημαίνει ότι η ίδια η συνάρτηση μειώνεται, που σημαίνει ότι παίρνει τη μικρότερη τιμή σε αυτό το τμήμα στο δεξί άκρο του τμήματος, δηλαδή στο σημείο –4.у = f ′(x) f(x) –Απάντηση: –4 .Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση y = f ′(x) – η παράγωγος της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα (–8; 8). Να βρείτε τον αριθμό των ακραίων σημείων της συνάρτησης f(x), που ανήκουν στο τμήμα [– 6; 6].Αριθ. 4Λύση: Στο ακραίο σημείο, η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με 0 ή δεν υπάρχει. Μπορεί να φανεί ότι υπάρχουν τέτοια σημεία που ανήκουν στο τμήμα [–6; 6] τρεις. Σε αυτή την περίπτωση, σε κάθε σημείο η παράγωγος αλλάζει πρόσημο είτε από «+» σε «–», είτε από «–» σε «+».у = f ′(x) ++––Απάντηση: 3. Το σχήμα δείχνει το γράφημα του у = f ′(x) – παράγωγος της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα (–8; 10). Βρείτε το ακραίο σημείο της συνάρτησης f(x) στο διάστημα (– 4; 8) Όχι. όταν περνάς από αυτό το σημείο αλλάζει παράγωγο πρόσημου από «–» σε «+», το σημείο 4 είναι το επιθυμητό ακραίο σημείο της συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα. y = f ′(x) +–Απάντηση: 4. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση y = f ′(x) – η παράγωγος της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα (–8; 8). Να βρείτε τον αριθμό των σημείων στα οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) είναι παράλληλη με την ευθεία y = –2x + 2 ή συμπίπτει με αυτήν Νο 6 Λύση: Αν η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) είναι παράλληλη προς την ευθεία y = –2x+ 2 ή συμπίπτει με αυτήν, τότε η κλίση της k = –2, που σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε τον αριθμό των σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης f ′(x) = – 2. Για να το κάνετε αυτό, σχεδιάστε μια ευθεία y = –2 στο γράφημα της παραγώγου και μετρήστε τον αριθμό των σημείων στο γράφημα της παραγώγου που βρίσκεται σε αυτή τη γραμμή. Υπάρχουν 4 τέτοια σημεία y = f ′(x) y = –2Απάντηση: 4. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x), που ορίζεται στο διάστημα (–6; 5). Προσδιορίστε τον αριθμό των ακεραίων σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική Αρ. 7y Λύση: Σημειώστε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι αρνητική εάν η ίδια η συνάρτηση f(x) είναι φθίνουσα, πράγμα που σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να βρεθεί ο αριθμός των ακέραιων σημείων που περιλαμβάνονται στα διαστήματα της φθίνουσας συνάρτησης Υπάρχουν 6 τέτοια σημεία: x = −4, x = −3, x = −2, x = −1, x = 0, x = 3.y = f(x ) x–6–45–1–20–33Απάντηση: 6. Το σχήμα δείχνει γράφημα της συνάρτησης y = f(x), που ορίζεται στο διάστημα (–6; 6). Βρείτε τον αριθμό των σημείων στα οποία η εφαπτομένη σε η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη στην ευθεία y = –5. Αρ. 8yΛύση: Η ευθεία y = −5 είναι οριζόντια, που σημαίνει ότι αν η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη προς αυτήν, τότε είναι και οριζόντια. Κατά συνέπεια, η κλίση στα απαιτούμενα σημεία k = f′(x)= 0. Στην περίπτωσή μας πρόκειται για ακραία σημεία. Υπάρχουν 6 τέτοια σημεία.τον στο τετμημένο σημείο xo. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο xo. Νο. 9 Λύση: Η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f′(хo) = tanα = k στον ισογωνικό συντελεστή της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο. Στην περίπτωσή μας, k > 0, αφού το α είναι οξεία γωνία (tgα > 0) Για να βρούμε τον γωνιακό συντελεστή, επιλέγουμε δύο σημεία Α και Β που βρίσκονται στην εφαπτομένη, των οποίων τα τετμημένα και οι τεταγμένες είναι ακέραιοι. Τώρα ας προσδιορίσουμε το μέτρο του γωνιακού συντελεστή. Για αυτό θα χτίσουμε τρίγωνο ABC. tgα =ВС: AC = 5: 4 = 1,25 у = f(x) Ва5хоаС4А Απάντηση: 1,25 Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης у = f(x), που ορίζεται στο διάστημα (–10; 2) και την εφαπτομένη στο το σε σημείο με τετμημένη xo Βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο xo. Αρ. 10Λύση: Η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f′(хo) = tanα = k στον ισογωνικό συντελεστή της εφαπτομένης που σύρεται στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο. Στην περίπτωσή μας ο Κ< 0, так как α– αμβλεία γωνία(tgα< 0).Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180°−α) = ВС: АС = 6: 8 = 0,75 tgα = − tg (180°−α) = −0,75Ву = f(x) α6хо180°− αСА8Ответ: −0,75.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. №11.Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять. В точках х2и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.уу = f ′(x) +++–100–––х10f(x) х3х5х2х4х1maxmaxОтвет: 2.Прямая у = 4х – 4является касательной к графику функции ах2+ 34х + 11. Найдите а.№12Решение:Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo+ 34 = 4. То есть ахo =–15. Найдем значение исходной функции в точке касания:ахo2 + 34хo + 11 = –15xo+ 34хo + 11 = 19хo + 11.Так как прямая у = 4х – 4– касательная, имеем: 19хo + 11 =4хo–4, откуда хo = –1. А значитa = 15. Ответ: 15.Прямая у = –4х – 5 является касательной к графику функции 9х2+bх + 20. Найдите b,учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.№13Решение. Если хо– абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = –4 –18хо. Аналогично задаче№12 найдем хо:9xo2+ (–4 –18хо)xo+20 = – 4хo – 5, 9xo2–4xo –18хо2+20 + 4хo + 5 = 0,–9xo2+25 = 0,хо2 = 25/9. Откуда xo = 5/3или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = –4 –18∙ 5/3, имеем b = –34. Ответ: –34.Прямая у = 2х – 6является касательной к графику функции х2+ 12х + с. Найдите с.№14Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo= –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6, откуда с = 19. Ответ: 19.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.№15Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, ευθύγραμμη κίνησηεκτελείται σύμφωνα με το νόμο x = x(t), ισούται με την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης xnput = to, η επιθυμητή ταχύτητα θα είναι x ′(t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2.x ′ (6) = 6 – 2 = 4 m/s Απάντηση: 4. Ένα υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα σύμφωνα με το νόμο x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, όπου x είναι η απόσταση από το σημείο αναφοράς σε μέτρα, t είναι ο χρόνος σε δευτερόλεπτα, μετρημένος από την αρχή της κίνησης. Σε ποιο χρονικό σημείο (σε δευτερόλεπτα) η ταχύτητά του ήταν ίση με 4 m/s;Αριθ. 16 Λύση. Δεδομένου ότι η στιγμιαία ταχύτητα ενός σημείου κάθε φορά έως, η ευθύγραμμη κίνηση που εκτελείται σύμφωνα με το νόμο x = x(t), είναι ίση με την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης xnput = to, η επιθυμητή ταχύτητα θα είναι x ′(to) = 0,5 ∙ 2 έως – 2 = έως – 2, Επειδή με συνθήκη, x ′(to) = 4, μετά σε – 2 = 4, από όπου = 4 + 2 = 6 m/s Απάντηση: 6. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x), που ορίζεται στο διάστημα (– 8; 6).Να βρείτε το άθροισμα των ακραίων σημείων της συνάρτησης f(x).Αριθ. 17Λύση: Τα ακραία σημεία είναι ελάχιστα και μέγιστα σημεία. Μπορεί να φανεί ότι υπάρχουν πέντε τέτοια σημεία που ανήκουν στο διάστημα (–8; 6). Ας βρούμε το άθροισμα των τετμημένων τους: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.у = f ′(x) Απάντηση: 6. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου y = f ′ (x) – συνάρτηση f (x), που ορίζεται στο διάστημα (–10; 8). Να βρείτε τα διαστήματα της αύξουσας συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, αναφέρετε το άθροισμα των ακέραιων σημείων που περιλαμβάνονται σε αυτά τα διαστήματα. Λύση: Σημειώστε ότι η συνάρτηση f(x) αυξάνεται εάν η παράγωγος της συνάρτησης είναι θετική. που σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να βρεθεί το άθροισμα των ακέραιων σημείων που περιλαμβάνονται στα διαστήματα της αύξουσας συνάρτησης Υπάρχουν 7 τέτοια σημεία: x = −3, x = −2, x = 3, x = 4, x = 5, x = 6, x = 7. Το άθροισμά τους: −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20у = f ′(x) ++3-357Απάντηση: 20. Υλικά που χρησιμοποιούνται
  • Ενιαία Κρατική Εξέταση 2012. Μαθηματικά. Πρόβλημα Β8. Γεωμετρική σημασία της παραγώγου. ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ/ Εκδ. A.L. Semenov και I.V. Γιασχένκο. 3η έκδ. στερεοτυπία. − Μ.: MTsNMO, 2012. − 88 σελ.
  • http://mathege.ru/or/ege/Main− Υλικά της ανοιχτής τράπεζας εργασιών στα μαθηματικά 2012

    • «Β8 στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα Μαθηματικά» - Ελάχιστοι βαθμοί. Η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης. Να βρείτε την τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου. Ταχύτητα. Η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης. Παράγωγο. Χρόνος. Γράφημα της παραγώγου συνάρτησης. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης. Διαστήματα αυξανόμενης συνάρτησης. Επίλυση εργασιών εξέτασης Β8 Ενιαίας Πολιτείας στα μαθηματικά.

    "Β3 στα μαθηματικά" - Υπόμνημα προς τον μαθητή. δεξιότητες CT. Πρωτότυπο εργασίας. Περιεχόμενα εργασίας Β3. Πρωτότυπο της εργασίας Β3. Πρωτότυπο της εργασίας Β3. Η εξίσωση. Βασικές ιδιότητες των ριζών. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης. Λογάριθμοι. Λογάριθμοι με για τους ίδιους λόγους. Βαθμός. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Καθήκοντα για ανεξάρτητη απόφαση.

    «Επίλυση εργασιών Β11» - Εργασίες. Αρχές μαθηματικής ανάλυσης. Εύρημα υψηλότερη τιμήλειτουργίες σε ένα τμήμα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι. Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης. δεξιότητες CT. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση. Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο τμήμα. Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης. Εξέταση. Λύση. Υπόμνημα προς τον μαθητή.

    "Β1 στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα Μαθηματικά" - Ο μικρότερος αριθμός. Κουλουράκι. Εισιτήριο. Αμερικάνικο αυτοκίνητο. Ηλεκτρικός βραστήρας. Διαφημιστική καμπάνια. Ημέρα. Τερματικό πληρωμής. Φάρμακο. Εργασίες Β1. Πελάτης. Μηχανοκίνητο πλοίο. Γενικό σημειωματάριο. Μετρητής ροής ζεστού νερού. Σιδηροδρομικό εισιτήριο. Συνταξιούχοι.

    «Εργασίες Ενιαίας Εξέτασης Πολιτείας στα μαθηματικά» - Εργασία Β 13. Πρέπει να λύσουμε μερικά ακόμη παραδείγματα. Εργασία Β 6. Να βρείτε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή. Εργασία Β 1. Πόσο πρέπει να ανέβει η στάθμη του νερού μετά τη βροχή; Βρείτε την περιοχή. Μετά τη βροχή, η στάθμη του νερού στο πηγάδι μπορεί να ανέβει. Εργασία Β 5. Εργασία Β 12. Ανεξάρτητη εργασία. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση. Εργασία Β 3.

    "Β1 στα μαθηματικά" - Μαρμελάδα. Διαφημιστική καμπάνια. Έκπτωση την ημέρα της πώλησης. Αμπούλα. Πλυντήριο. Λεωφορείο. Φόρος εισοδήματος. Μπουκάλι σαμπουάν. Σημειωματάριο. Ο μικρότερος αριθμός. Κινητό τηλέφωνο. Εισιτήριο υπεραστικού λεωφορείου. Οδηγός ταξί. Κατάστημα. Εισιτήριο. Ένα ραβδί βούτυρο. Τριαντάφυλλο. Εργασίες Β1 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά. Λύση.

    Υπάρχουν συνολικά 33 παρουσιάσεις στο θέμα

    Επίλυση εργασιών Β8 Εξέταση Ενιαίας Πολιτείας στα μαθηματικά Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα συναρτήσεις y = f(x), που ορίζεται στο διάστημα (−5; 5). Βρείτε τον αριθμό των σημείων στα οποία η παράγωγος f'(x)ίσο με 0

    • Απάντηση: 4
    f(x), που ορίζεται στο διάστημα (−10; 8). Βρείτε τον αριθμό των μέγιστων πόντων της συνάρτησης f(x)στο τμήμα [−9;6].
    • Λύση. Τα μέγιστα σημεία αντιστοιχούν στα σημεία όπου το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην. Στο τμήμα [−9;6] η συνάρτηση έχει δύο μέγιστα σημεία Χ= − 4 και Χ= 4. Απάντηση: 2.
    Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y=f(x), που ορίζεται στο διάστημα (−1; 12). Να προσδιορίσετε τον αριθμό των ακεραίων σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική.
    • Λύση.

    Η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική σε εκείνα τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση μειώνεται, δηλαδή στα διαστήματα (0,5; 3), (6; 10) και (11; 12). Περιέχουν ολόκληρα σημεία 1, 2, 7, 8 και 9. Υπάρχουν 5 βαθμοί συνολικά. Απάντηση: 5.

    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα (−10; 4). Να βρείτε τα διαστήματα μείωσης της συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, αναφέρετε το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά.

    • Λύση. Μείωση των διαστημάτων μιας συνάρτησης f(x)αντιστοιχούν σε διαστήματα στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική, δηλαδή το διάστημα (−9; −6) του μήκους 3 και το διάστημα (−2; 3) του μήκους 5. Το μήκος της μεγαλύτερης από αυτές είναι 5 Απάντηση: 5.
    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα (−7; 14). Βρείτε τον αριθμό των μέγιστων πόντων της συνάρτησης f(x)στο διάστημα [-6; 9].
    • Λύση. Τα μέγιστα σημεία αντιστοιχούν στα σημεία όπου το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από θετικό σε αρνητικό. Στο τμήμα [-6; 9] η συνάρτηση έχει ένα μέγιστο σημείο Χ= 7. Απάντηση: 1.
    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα (−8; 6). Να βρείτε τα διαστήματα αύξησης της συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, αναφέρετε το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά.
    • Λύση. Διαστήματα αυξανόμενης συνάρτησης f(x)αντιστοιχούν σε διαστήματα στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι θετική, δηλαδή στα διαστήματα (−7; −5), (2; 5). Το μεγαλύτερο από αυτά είναι το διάστημα (2; 5), του οποίου το μήκος είναι 3.
    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα (−7; 10). Βρείτε τον αριθμό των ελάχιστων σημείων της συνάρτησης f(x)στο διάστημα [-3; 8].
    • Λύση. Τα ελάχιστα σημεία αντιστοιχούν στα σημεία όπου το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από μείον σε συν. Στο τμήμα [−3; 8] η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο σημείο Χ= 4. Απάντηση: 1.
    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα (−16; 4). Βρείτε τον αριθμό των ακραίων σημείων της συνάρτησης f(x)στο τμήμα [−14; 2].
    • Λύση. Τα ακραία σημεία αντιστοιχούν στα σημεία όπου αλλάζει το πρόσημο της παραγώγου - τα μηδενικά της παραγώγου που εμφανίζονται στο γράφημα. Η παράγωγος εξαφανίζεται στα σημεία −13, −11, −9, −7. Στο τμήμα [−14; 2] η συνάρτηση έχει 4 ακραία σημεία. Απάντηση: 4.
    Το σχήμα δείχνει το γράφημα της συνάρτησης y=f(x), που ορίζεται στο διάστημα (−2; 12). Να βρείτε το άθροισμα των ακραίων σημείων της συνάρτησης f(x).
    • Λύση. Η δεδομένη συνάρτηση έχει μέγιστα στα σημεία 1, 4, 9, 11 και ελάχιστα στα σημεία 2, 7, 10. Επομένως, το άθροισμα των ακραίων σημείων είναι 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44. Απάντηση : 44.
    Το σχήμα δείχνει το γράφημα της συνάρτησης y=f(x)και η εφαπτομένη σε αυτό στο σημείο της τετμημένης Χ 0. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x)στο σημείο Χ 0 .
    • Λύση. Η τιμή της παραγώγου στο σημείο της εφαπτομένης είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης, η οποία με τη σειρά της είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης αυτής της εφαπτομένης στον άξονα της τετμημένης. Ας κατασκευάσουμε ένα τρίγωνο με κορυφές στα σημεία A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Η γωνία κλίσης της εφαπτομένης στον άξονα της τετμημένης θα είναι ίσο με γωνία, δίπλα στη γωνία ACB
    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) και μια εφαπτομένη σε αυτή τη γραφική παράσταση στο σημείο της τετμημένης ίση με 3. Βρείτε την τιμή της παραγώγου αυτής της συνάρτησης στο σημείο x = 3.

    Για να λύσουμε χρησιμοποιούμε γεωμετρική σημασίαπαράγωγος: η τιμή της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης που σχεδιάζεται στο συγκεκριμένο σημείο. Η εφαπτομένη γωνία είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ της εφαπτομένης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα x (tg α). Γωνία α = β, ως εγκάρσιες γωνίες με παράλληλες ευθείες y=0, y=1 και τέμνουσα εφαπτομένη. Για τρίγωνο ABC

    Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x) και η εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη xo. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο xо.

    • Σύμφωνα με τις ιδιότητες της εφαπτομένης, ο τύπος για την εφαπτομένη στη συνάρτηση f(x) στο σημείο x 0 είναι ίσος με
    • y=f ′ (x 0)⋅x+b, b=const
    • Το σχήμα δείχνει ότι η εφαπτομένη της συνάρτησης f(x) στο σημείο x0 διέρχεται από τα σημεία (-3;2), (5,4). Επομένως, μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα σύστημα εξισώσεων
    Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα y=f’(x)- παράγωγο συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα (−6; 6). Βρείτε τον αριθμό των σημείων στα οποία η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης Η f(x) είναι παράλληλη ή συμπίπτει με την ευθεία y = -3x-11.
    • Απάντηση: 4

    f’(x0)=-3

    Πηγές

    • http://reshuege.ru/
    • http://egemat.ru/prepare/B8.html
    • http://bankege.ru/

    Στόχοι:

    • Εκπαιδευτικός: επαναλάβετε τους βασικούς τύπους και τους κανόνες διαφοροποίησης, τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου. να αναπτύξουν την ικανότητα ολοκληρωμένης εφαρμογής γνώσεων, δεξιοτήτων, ικανοτήτων και τη μεταφορά τους σε νέες συνθήκες· δοκιμάστε τις γνώσεις, τις δεξιότητες και τις ικανότητες των μαθητών σε αυτό το θέμα κατά την προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση.
    • Αναπτυξιακή: προώθηση της ανάπτυξης νοητικές λειτουργίες: ανάλυση, σύνθεση, γενίκευση; διαμόρφωση δεξιοτήτων αυτοεκτίμησης.
    • Εκπαιδευτικός: προάγει την επιθυμία για συνεχή βελτίωση των γνώσεών του

    Εξοπλισμός:

    • Προβολέας πολυμέσων.

    Τύπος μαθήματος:συστηματοποίηση και γενικεύσεις.
    Πεδίο γνώσεων:δύο μαθήματα (90 λεπτά)
    Αναμενόμενο Αποτέλεσμα:οι εκπαιδευτικοί χρησιμοποιούν τις γνώσεις που έχουν αποκτήσει σε Πρακτική εφαρμογη, αναπτύσσοντας παράλληλα δεξιότητες επικοινωνίας, δημιουργικότητας και αναζήτησης, καθώς και την ικανότητα ανάλυσης της εργασίας που ελήφθη.

    Δομή μαθήματος:

    1. Οργ. Στιγμή, ενημέρωση των απαραίτητων γνώσεων για τη λύση πρακτικές εργασίεςαπό το υλικό της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης.
    2. Πρακτικό μέρος (έλεγχος των γνώσεων των μαθητών).
    3. Προβληματισμός, δημιουργική εργασία

    Πρόοδος διαβούλευσης

    Ι. Οργανωτική στιγμή.

    Μήνυμα του θέματος του μαθήματος, στόχοι μαθήματος, κίνητρο εκπαιδευτικές δραστηριότητες(μέσω της δημιουργίας μιας προβληματικής βάσης θεωρητικών γνώσεων).

    II. Επικαιροποίηση της υποκειμενικής εμπειρίας των μαθητών και των γνώσεών τους.

    Εξετάστε τους κανόνες και τους ορισμούς.

    1) αν σε ένα σημείο η συνάρτηση είναι συνεχής και σε αυτό η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην, τότε είναι μέγιστο σημείο.

    2) αν σε ένα σημείο η συνάρτηση είναι συνεχής και σε αυτό η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, τότε είναι ελάχιστο σημείο.

    • Κρίσιμα σημεία – πρόκειται για εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης στα οποία η παράγωγος δεν υπάρχει ή ισούται με μηδέν.
    • Επαρκές σημάδι αύξησης, φθίνων λειτουργίες .
    • Αν f "(x)>0 για όλα τα x από το διάστημα (a; b), τότε η συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα (a; b).
    • Αν f "(x)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).
    • Αλγόριθμος για την εύρεση του μεγαλύτερου και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης στο τμήμα [a;b], εάν δίνεται ένα γράφημα της παραγώγου της συνάρτησης:

    Εάν η παράγωγος σε ένα τμήμα είναι θετική, τότε το a είναι η μικρότερη τιμή, το b είναι η μεγαλύτερη τιμή.

    Εάν η παράγωγος σε ένα τμήμα είναι αρνητική, τότε το a είναι η μεγαλύτερη και το b είναι η μικρότερη τιμή.

    Η γεωμετρική σημασία της παραγώγου είναι η εξής. Εάν είναι δυνατόν να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) στο σημείο με την τετμημένη x0 που δεν είναι παράλληλο στον άξονα y, τότε η f "(x0) εκφράζει την κλίση της εφαπτομένης: κ = f "(x0). Εφόσον κ = τανα, η ισότητα f "(x0) = tana είναι αληθής

    Ας εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις:

    1. Η εφαπτομένη που σχεδιάστηκε στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σχημάτιζε οξεία γωνία με τον άξονα OX, δηλ. α< 90º. Производная положительная.
    2. Η εφαπτομένη σχημάτιζε αμβλεία γωνία με τον άξονα ΟΧ, δηλ. α > 90º. Το παράγωγο είναι αρνητικό.
    3. Η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα ΟΧ. Η παράγωγος είναι μηδέν.

    Ασκηση 1.Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα λειτουργίες y = f(x) και η εφαπτομένη σε αυτή τη γραφική παράσταση σχεδιάζεται στο σημείο με την τετμημένη -1. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x0 = -1

    Λύση: α) Η εφαπτομένη που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα ΟΧ. Χρησιμοποιώντας τον τύπο αναγωγής, βρίσκουμε την εφαπτομένη αυτής της γωνίας tg(180º - α) = - tanα. Αυτό σημαίνει f "(x) = - τανα. Από όσα μελετήσαμε νωρίτερα, γνωρίζουμε ότι η εφαπτομένη είναι ίση με τον λόγο της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά.

    Για να γίνει αυτό, χτίζουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο έτσι ώστε οι κορυφές του τριγώνου να βρίσκονται στις κορυφές των κελιών. Μετράμε τα κελιά της απέναντι πλευράς και της διπλανής. Διαχωρίστε την απέναντι πλευρά από τη διπλανή πλευρά. (Διαφάνεια 44)

    β) Η εφαπτομένη που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα ΟΧ.

    f "(x)= tgα. Η απάντηση θα είναι θετική. (Διαφάνεια 30)

    Ασκηση 2. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα παράγωγοσυνάρτηση f(x), που ορίζεται στο διάστημα (-4; 13). Βρείτε τα διαστήματα στα οποία μειώνεται η συνάρτηση. Στην απάντησή σας, αναφέρετε το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά.

    Λύση: f "(x)< 0 функция убывает. Находим длину,который имеет наибольший участок.(Слайд 34)

    Πρακτικό μέρος.
    35 λεπτά. Οι προετοιμασμένες διαφάνειες απαιτούν θεωρητικές γνώσεις για το θέμα του μαθήματος. Σκοπός των διαφανειών είναι να επιτρέψουν στους μαθητές να βελτιώσουν και να εφαρμόσουν πρακτικά τη γνώση.
    Χρησιμοποιώντας διαφάνειες μπορείτε:
    - μετωπική έρευνα (λαμβάνονται υπόψη τα ατομικά χαρακτηριστικά των μαθητών).
    - διευκρινίζεται η διατύπωση πληροφοριών των κύριων εννοιών, ιδιοτήτων, ορισμών.
    - αλγόριθμος για την επίλυση προβλημάτων. Οι μαθητές πρέπει να απαντήσουν στις διαφάνειες.

    IV. Ατομική δουλειά. Επίλυση προβλημάτων με χρήση διαφανειών.

    V. Σύνοψη του μαθήματος, προβληματισμός.

    Δεξιότητες CT Προσδιορίστε την τιμή μιας συνάρτησης από την τιμή του ορίσματος όταν
    διαφορετικοί τρόποι καθορισμού μιας συνάρτησης. περιγράψτε σύμφωνα με το πρόγραμμα
    συμπεριφορά και ιδιότητες συναρτήσεων, βρείτε συναρτήσεις από γραφήματα
    υψηλότερες και χαμηλότερες τιμές. κατασκευή γραφημάτων
    λειτουργίες που μελετήθηκαν
    Υπολογίστε παράγωγα και αντιπαράγωγα του στοιχειώδους
    λειτουργίες
    Διερεύνηση συναρτήσεων για μονοτονία στις απλούστερες περιπτώσεις,
    βρείτε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές συναρτήσεων
    Περιεχόμενα της εργασίας Β8 στο IES
    Έρευνα λειτουργιών
    4.2.1 Εφαρμογή της παραγώγου στη μελέτη συναρτήσεων και
    κατασκευή διαγράμματος
    4.2.2 Παραδείγματα χρήσης της παραγώγου για εύρεση
    η καλύτερη λύση σε εφαρμοσμένα, συμπεριλαμβανομένων των κοινωνικοοικονομικών, προβλημάτων

    Υπόμνημα προς τον μαθητή

    Εργασία Β8 για τον υπολογισμό της παραγώγου. Για
    Ο μαθητής πρέπει να είναι σε θέση να λύσει μια εργασία
    να υπολογίσετε την τιμή μιας συνάρτησης από μια γνωστή
    επιχείρημα για διαφορετικούς τρόπους προσδιορισμού
    συναρτήσεις και να βρεις παραγώγους και
    αντιπαράγωγα στοιχειωδών συναρτήσεων.

    Τραπέζι
    παράγωγα
    f' (x)
    ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι
    ΜΕ"
    0
    (Χ)"
    1
    (xa)"
    αμαρτία"χ
    τσεκούρι α 1
    όταν a≠1
    cos x
    сos"x
    αμαρτία x
    tg"x
    1
    cos 2 x
    1
    αμαρτία 2 x
    ctg"x
    (πρώην)"
    πρώην
    (τσεκούρι)"
    a x ln a
    ln"x
    1
    Χ
    λογα"χ
    1
    x ln a
    (f+g)"
    f"g"
    (f∙g)"
    f "g fg"
    (βλ.)"
    πρβλ"
    στ`
    σολ
    (f "g fg")
    g2
    (f(kx+b))"
    kf " (kx b)
    (f(g(x)))"
    f " (g(x)) g" (x)

    Πρωτότυπο της εργασίας Β8 (Αρ. 27485)

    Η ευθεία y=7x-5 είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=x2+6x-8
    . Να βρείτε την τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου.
    k=7 , μετά f "(x0)=7
    να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=x2+6x-8,
    παίρνουμε:
    f "(x)=2x+6; f"(x0)= 2x0+6
    f "(x0)=7
    2x0+6=7
    2x0=1
    x0=0,5
    Λύση
    Απάντηση:x0=0,5

    Εργασία Β8 (Αρ. 6009)
    Η ευθεία y=6x+8 είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=x2-3x+5. Να βρείτε την τετμημένη του σημείου
    αφή.
    Εργασία Β8 (Αρ. 6011)
    Η ευθεία y=7x+11 είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=x2+8x+6. Να βρείτε την τετμημένη του σημείου
    αφή.
    Εργασία Β8 (Αρ. 6013)
    Η ευθεία y=4x+8 είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=x2-5x+7. Να βρείτε την τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου.
    Εργασία Β8 (Αρ. 6015)
    Η ευθεία y=3x+6 είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=x2-5x+8. Να βρείτε την τετμημένη του σημείου
    αφή.
    Εργασία Β8 (Αρ. 6017)
    Η ευθεία y=8x+11 είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=x2+5x+7. Να βρείτε την τετμημένη του σημείου
    αφή.
    Εργασία Β8 (Αρ. 6019)
    Η ευθεία y=-5x+4 είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=x2+3x+6. Να βρείτε την τετμημένη του σημείου
    αφή.
    Εξέταση
    ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: Αρ. 6009: 4.5
    № 6011: -0,5
    № 6013: 4,5
    № 6015: 4
    № 6017: 1,5
    № 6019: -4

    Πρωτότυπο της εργασίας Β8 (Αρ. 27487)

    Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y=f(x), που ορίζεται στο διάστημα (-6;8). Καθορίζω
    η λειτουργία είναι θετική.
    Η f(x) αυξάνεται κατά [-3;0] και κατά .
    Αυτό σημαίνει ότι η παράγωγος της συνάρτησης είναι θετική
    σε αυτά τα τμήματα, ο αριθμός των ακέραιων σημείων είναι 4
    Απάντηση: 4
    Λύση

    Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

    Εργασία Β8 (Αρ. 6399)

    που ορίζεται στο διάστημα (-9;8). Καθορίζω
    αριθμός ακέραιων σημείων στα οποία η παράγωγος
    Η συνάρτηση f(x) είναι θετική.
    Εργασία Β8 (Αρ. 6869)
    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x),
    που ορίζεται στο διάστημα (-5;6). Καθορίζω
    αριθμός ακέραιων σημείων στα οποία η παράγωγος
    η λειτουργία είναι θετική.
    ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: Αρ. 6399: 7
    № 6869: 5
    Εξέταση

    Πρωτότυπο της εργασίας Β8 (Αρ. 27488)
    Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y=f(x) που ορίζεται στο διάστημα (-5;5) Προσδιορίστε τον αριθμό
    ακέραια σημεία στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης f(x) είναι αρνητική.
    Η f(x) μειώνεται κατά [-4;1] και κατά .
    Αυτό σημαίνει ότι η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική
    σε αυτά τα τμήματα. Αριθμός ακέραιων σημείων 4
    Λύση
    ΑΠΑΝΤΗΣΗ: 4

    Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

    Εργασία Β8 (Αρ. 6871)
    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x),
    που ορίζεται στο διάστημα (-1;12). Καθορίζω
    αριθμός ακέραιων σημείων στα οποία η παράγωγος
    η συνάρτηση είναι αρνητική.
    Εργασία Β8 (Αρ. 6873)
    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x),
    που ορίζεται στο διάστημα (-7;7). Καθορίζω
    αριθμός ακέραιων σημείων στα οποία η παράγωγος
    η συνάρτηση είναι αρνητική.
    ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: Αρ. 6771: 3
    № 6873: 3
    Εξέταση

    Πρωτότυπο της εργασίας Β8 (Αρ. 27489)

    Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y=f(x), που ορίζεται στο διάστημα (-5;5). Βρείτε τον αριθμό των πόντων
    στην οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη στην ευθεία y=6 ή συμπίπτει με αυτήν.
    Κ=0
    Απάντηση: 4 βαθμοί
    Λύση

    Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

    Εργασία Β8 (Αρ. 6401)
    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x),
    που ορίζεται στο διάστημα (-9;8). Εύρημα
    αριθμός σημείων στα οποία η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης
    συνάρτηση παράλληλη στην ευθεία y=10
    Εργασία Β8 (Αρ. 6421)
    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x),
    ορίζεται στο διάστημα (-5;5)Εύρεση
    αριθμός σημείων στα οποία εφάπτεται
    η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη στην ευθεία y=6
    ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: Αρ. 6401: 6
    № 6421: 4
    Εξέταση

    Πρωτότυπο της εργασίας Β8 (Αρ. 27490)

    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x), που ορίζεται στο διάστημα (-2;12).
    Να βρείτε το άθροισμα των ακραίων σημείων της συνάρτησης f(x).
    Η συνάρτηση έχει 7 ακραία σημεία. 1, 2, 4, 7, 9, 10,
    11.
    Ας βρούμε το άθροισμά τους 1+2+4+7+9+10+11=44
    Λύση
    ΑΠΑΝΤΗΣΗ:44

    Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

    Εργασία Β8 (Αρ. 7329)


    ακραία σημεία της συνάρτησης f(x).
    Εξέταση
    Εργασία Β8 (Αρ. 7331)
    Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x),
    που ορίζεται στο διάστημα (-7;5). Βρείτε το ποσό
    ακραία σημεία της συνάρτησης f(x).
    ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: Αρ. 7329: 0
    № 7331: -10

    Πρωτότυπο της εργασίας B8 (Αρ. 27491)

    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα (-8;3). Σε ποιο σημείο
    Το τμήμα [-3;2] f(x) παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή.
    Στο τμήμα [-3;2] η f(x) παίρνει το μέγιστο
    τιμή ίση με 0 στο x= -3.
    ΑΠΑΝΤΗΣΗ: -3
    Λύση

    Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

    Εργασία Β8 (Αρ. 6413)

    συνάρτηση f(x), που ορίζεται στο διάστημα (-6;6). ΣΕ
    ποιο σημείο [-5;-1] του τμήματος f(x).
    μεγαλύτερη αξία.
    Εργασία Β8 (Αρ. 6415)
    Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου
    συνάρτηση f(x) που ορίζεται στο διάστημα (-6:6). ΣΕ
    ποιο σημείο του τμήματος f(x) παίρνει
    μεγαλύτερη αξία.
    ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: #6413: -5
    №6415: 3
    Εξέταση

    Πρωτότυπο της εργασίας B8 (Αρ. 27492)

    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα (-8;4). Σε ποιο σημείο
    Το τμήμα [-7;-3] f(x) παίρνει τη μικρότερη τιμή.
    Στο τμήμα [-7;-3] η f(x) παίρνει
    η μικρότερη τιμή είναι 0 στο x= -7.
    ΑΠΑΝΤΗΣΗ: -7
    Λύση

    Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

    Εργασία Β8 (Αρ. 6403)

    f(x) που ορίζεται στο διάστημα (-9;8) . Στο οποίο
    σημείο του τμήματος [-8;-4] f(x) παίρνει το μικρότερο
    έννοια.
    Εργασία Β8 (Αρ. 6405)
    Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου
    συνάρτηση f(x), που ορίζεται στο διάστημα (-9;8). ΣΕ
    ποιο σημείο του τμήματος f(x) παίρνει
    χαμηλότερη τιμή.
    ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: Αρ. 6403: -4
    №6405: 3
    Εξέταση

    Πρωτότυπο της εργασίας B8 (αρ. 27503)

    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x) και μια εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x0. Εύρημα

    α
    f(x0)= k= tgA
    Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. ΣΕ
    Γερμανικά tgα= 2/1 = 2
    f(x0)=2
    Λύση
    ΑΠΑΝΤΗΣΗ: 2

    Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

    Εργασία Β8 (Αρ. 9051)
    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x) και
    εφαπτομένη σε αυτό στο σημείο με τετμημένη x0. Εύρημα
    την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x0.
    Εργασία Β8 (Αρ. 9055)
    Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και
    εφαπτομένη σε αυτό στο σημείο της τετμημένης. Εύρημα
    την τιμή της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο.
    ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: #9051: -0,25
    №9055: 0,5
    Εξέταση

    Πρωτότυπο της εργασίας B8 (Αρ. 27494)

    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα (-7;14). Εύρημα
    αριθμός μέγιστων σημείων της συνάρτησης f(x) στο τμήμα [-6;9]
    Στο τμήμα [-6;9] η συνάρτηση f(x) αλλάζει 5 φορές
    χαρακτήρας της μονοτονίας, από την αύξηση σε
    μειώνεται, που σημαίνει ότι έχει 5 μέγιστους βαθμούς.
    Λύση
    ΑΠΑΝΤΗΣΗ: 4

    Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

    Εργασία Β8 (Αρ. 7807)
    Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης
    f(x), που ορίζεται στο διάστημα (-4;16). Εύρημα
    αριθμός μέγιστων σημείων της συνάρτησης f(x) on
    τμήμα.
    Εργασία Β8 (Αρ. 7817)
    Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου
    συνάρτηση f(x), που ορίζεται στο διάστημα (13;8). Βρείτε τον αριθμό των μέγιστων πόντων
    συνάρτηση f(x) στο διάστημα [-8;6].
    ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: Αρ. 6413: 4
    №6415: 4
    Εξέταση

    Λίστα προτεινόμενης βιβλιογραφίας
    Η πιο πλήρης έκδοση τυπικών εκδόσεων πραγματικών εργασιών Ενιαίας Πολιτικής Εξέτασης: 2010: Μαθηματικά / συλλογή συγγραφέα. I.R. Vysotsky, D.D. Gushchin, P.I. Zakharov και άλλοι. επεξεργάστηκε από A.L. Semenova, I.V. Yashchenko. –
    M.:AST:Astrel, 2010. – 93, (3) σελ. – (Ομοσπονδιακό Ινστιτούτο Παιδαγωγικών Μετρήσεων)
    Μαθηματικά: θεματικός προγραμματισμός μαθημάτων για την προετοιμασία για τις εξετάσεις / Beloshistaya.V.
    Α. – Μ: Εκδοτικός οίκος «Εξεταστική», 2007. – 478 (2) σελ. (Σειρά «Ενιαία Κρατική Εξέταση 2007. Μάθημα
    σχεδίαση")
    Μαθηματικά: ανεξάρτητη προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση / L.D. Lappo, M.A. Ποπόφ. – 3η έκδ.,
    ξαναδούλεψε Και επιπλέον - Μ.: Εκδοτικός οίκος “Εξάμ”, 2009. – 381, (3) σελ. (Σειρά «Ενιαία Κρατική Εξέταση.
    Εντατικός")
    Μαθηματικά. Επίλυση προβλημάτων της ομάδας Β / Yu.A. Glazkov, I.A. Varshavsky, M.Ya. Gaiashvilli.
    – Μ.: Εκδοτικός οίκος «Εξάμ», 2009. – 382 (2) σελ. (Σειρά «Ενοποιημένη Κρατική Εξέταση. 100 βαθμοί»)
    Μαθηματικά: εκπαίδευση θεματικών εργασιών αυξημένης δυσκολίας με απαντήσεις
    για προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση και άλλες μορφές τελικών και εισαγωγικών εξετάσεων /σύν.
    G.I. Kovaleva, T.I. Buzulina, O.L. Bezrukova, Yu.A. Τριαντάφυλλο. _ Volgograd: Teacher, 20089, 494 p.
    Shabunin M.I. και άλλα Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Διδακτικό υλικό για τις τάξεις 10-11. –
    3η έκδ. – Μ.: Μνημοσύνη, 2000. – 251 σελ.: εικ.

    Διευθύνσεις ιστοσελίδων στο Διαδίκτυο
    www.fipi.ru – Ομοσπονδιακό Ινστιτούτο Παιδαγωγικών Μετρήσεων (FIPI). Δώστε ιδιαίτερη προσοχή
    προσοχή στην ενότητα "Ανοιχτό τμήμα του FBTZ" - αυτό είναι ένα σύστημα προετοιμασίας για την Ενιαία Κρατική Εξέταση - διαδικτυακά. Μπορείτε να απαντήσετε σε ερωτήσεις από την τράπεζα εργασιών του Unified State Exam σε διάφορα θέματα, καθώς και
    επιλεγμένο θέμα.
    http://mathege.ru -Ανοικτή τράπεζα προβλημάτων Ενιαίας Κρατικής Εξετάσεων στα μαθηματικά. Το κύριο καθήκον μιας ανοιχτής τράπεζας
    Εργασίες Unified State Exam στα μαθηματικά - δώστε μια ιδέα για το ποιες εργασίες θα συμπεριληφθούν στις επιλογές
    Ενιαία Κρατική Εξέταση στα Μαθηματικά το 2010, και βοήθεια αποφοίτων
    για να σας βοηθήσει να προετοιμαστείτε για τις εξετάσεις. Εδώ μπορείτε να βρείτε όλες τις δοκιμαστικές εξετάσεις για την Ενιαία Κρατική Εξέταση
    μαθηματικά που έχουν ήδη ολοκληρωθεί.
    http://egetrener.ru/ - μαθηματικά: μαθήματα βίντεο, επίλυση προβλημάτων Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης.
    http://ege-trener.ru/ - πολύ συναρπαστική και αποτελεσματική προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά.
    Εγγραφείτε και προσπαθήστε να μπείτε στο top 30!
    uztest.ru - δωρεάν υλικά για την προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση (και όχι μόνο την Ενιαία Κρατική Εξέταση) στα μαθηματικά:
    διαδραστικούς θεματικούς προσομοιωτές, τη δυνατότητα εγγραφής σε δωρεάν διαδικτυακά μαθήματα για
    προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση.
    Το www.ege.edu.ru είναι η επίσημη πύλη πληροφοριών της ενιαίας κρατικής εξέτασης.
    Ηλεκτρονικές διαλέξεις βίντεο «Διαβουλεύσεις για την Ενιαία Κρατική Εξέταση» σε όλα τα μαθήματα.
    Βίντεο της κατηγορίας Ενιαία Κρατική Εξέταση. Διαλέξεις για τα μαθηματικά
    http://www.alexlarin.narod.ru/ege.html - υλικά για την προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά (ιστότοπος
    Λάριν Αλεξάντερ Αλεξάντροβιτς).
    http://www.diary.ru/~eek/ - μια κοινότητα που παρέχει βοήθεια στην επίλυση προβλημάτων στα μαθηματικά,
    Εδώ μπορείτε να κατεβάσετε πολλά χρήσιμα βιβλία για τα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένων εκείνων για την προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση.
    http://4ege.ru/ - Πύλη Unified State Exam, ό,τι πιο πρόσφατο για την Unified State Exam. Όλες οι πληροφορίες για τις εξετάσεις. Ενιαία Κρατική Εξέταση 2010.