Три закона ньютона для поступательного движения. Динамика поступательного движения материальной точки. Законы Ньютона. Вопросы для самоподготовки

1. Инерциальные системы отсчета. Законы Ньютона. Масса, импульс, сила. Уравнение движения материальной точки.

2. Понятие замкнутой системы. Закон сохранения импульса. Центр масс механической системы, закон движения центра масс.

3. Движение тел переменной массы. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского.

Цели:

· ввести понятия инерциальной и неинерциальной систем отсчета, массы, импульса, силы, замкнутой системы;

· изучить законы Ньютона;

· вывести и сформулировать закон сохранения импульса;

· описать движение тел переменной массы;

· вывести уравнение Мещерского и формулу Циолковского.

Литература:

1. Трофимова Т.И. Курс физики: учебное пособие для инженерно-технических специальностей вузов - М.: Academia, 2006, 2007 и 2008.

2. Грабовский Р. И. Курс физики [Электронный ресурс]: учебное пособие / Р. И. Грабовский - Санкт-Петербург [и др.]: Лань, 2012.

3. Зисман Г. А. Курс общей физики [Электронный ресурс]: [учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим, естественнонаучным и педагогическим направлениям и специальностям]: В 3-х т. / Г. А. Зисман, О. М. Тодес - Санкт-Петербург [и др.]: Лань, 2007- Т. 2: Электричество и магнетизм.

4. Ливенцев Н.М. Курс физики [Электронный ресурс]: учебное пособие - СПб: Лань, 2012.

5. Бабаев В.С., Легуша Ф.Ф. Корректирующий курс физики [Электронный ресурс] - СПб: Лань, 2011.

6. Калашников Н. П. Основы физики: учебник для вузов: в 2-х т / Н. П. Калашников, М. А. Смондырев - М.: Дрофа, 2007.

7. Рогачев Н. М. Курс физики [Электронный ресурс]: [учебное пособие для студентов вузов, обучающихся в области техники и технологий] / Н. М. Рогачев - Санкт-Петербург [и др.]: Лань, 2010.

8. Александров И.В. и др. Современная физика [Электронный ресурс]: учебное пособие для студентов всех форм обучения, обучающихся по техническим и технологическим направлениям и специальностям - Уфа: УГАТУ, 2008.

Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Первый закон Ньютона. Масса. Сила

Динамика является основным разделом механики, в ее основе лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Ньютона играют исключительную роль в механике и являются (как и все физические законы) обобщением результатов огромного человеческого опыта. Их рассматривают как систему взаимосвязанных законов и опытной проверке подвергают не каждый отдельный закон, а всю систему в целом.

Первый закон Ньютона : всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние . Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью . Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции .

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета . Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.

Опытным путем установлено, что инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведаны в направлении определенных звезд). Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), при решении многих задач пренебрежимо малы, и в этих случаях ее можно считать инерциальной.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, т.е., иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы).

Масса тела - физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса ) и гравитационные (гравитационная масса ) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10 –12 их значения).

Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т. е. приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, т. е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Итак, сила - это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо пропорционально равнодействующей приложенных сил:

а ~ F (т = const) . (6.1)

При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения оказываются различными, а именно

а ~ 1/т (F = const) . (6.2)

Используя выражения (6.1) и (6.2) и учитывая, что сила и ускорение-величины векторные, можем записать

а = kF/m. (6.3)

Соотношение (6.3) выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).

В СИ коэффициент пропорциональности k= 1. Тогда

(6.4)

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике есть величина постоянная, в выражении (6.4) ее можно внести под знак производной:

Векторная величина

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.

Подставляя (6.6) в (6.5), получим

Это выражение - более общая формулировка второго закона Ньютона : скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выражение (6.7) называется уравнением движения материальной точки .

Единица силы в СИ - ньютон (Н): 1 Н - сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с 2 в направлении действия силы:

1 Н = 1 кг×м/с 2 .

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго. Действительно, в случае равенства нулю равнодействующей сил (при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорение (см. (6.3)) также равно нулю. Однако первый закон Ньютона рассматривается как самостоятельный закон (а не как следствие второго закона), так как именно он утверждает существование инерциальных систем отсчета, в которых только и выполняется уравнение (6.7).

В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил : если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач. Например, на рис. 10 действующая сила F=m a разложена на два компонента: тангенциальную силу F t , (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу F n (направлена по нормали к центру кривизны). Используя выражения и , а также , можно записать:

Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под F во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.

Третий закон Ньютона

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона : всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

F 12 = – F 21 , (7.1)

где F 12 - сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй;

F 21 - сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

Силы трения

Обсуждая до сих пор силы, мы не интересовались их происхождением. Однако в механике мы будем рассматривать различные силы: трения, упругости, тяготения.

Из опыта известно, что всякое тело, движущееся по горизонтальной поверхности другого тела, при отсутствии действия на него других сил с течением времени замедляет свое движение и в конце концов останавливается. Это можно объяснить существованием силы трения , которая препятствует скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга. Силы трения зависят от относительных скоростей тел. Силы трения могут быть разной природы, но в результате их действия механическая энергия всегда превращается во внутреннюю энергию соприкасающихся тел.

Различают внешнее (сухое) и внутреннее (жидкое или вязкое) трение. Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении. Если соприкасающиеся тела неподвижны друг относительно друга, говорят о трении покоя, если же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения , качения или верчения .

Внутренним трением называется трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою. В отличие от внешнего трения здесь отсутствует трение покоя. Если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки. В таком случае говорят о гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и граничном трении (толщина смазочной прослойки »0,1 мкм и меньше).

Обсудим некоторые закономерности внешнего трения. Это трение обусловлено шероховатостью соприкасающихся поверхностей; в случае же очень гладких поверхностей трение обусловлено силами межмолекулярного притяжения.

Рассмотрим лежащее на плоскости тело (рис. 11), к которому приложена горизонтальная сила F. Тело придет в движение лишь тогда, когда приложенная сила F будет больше силы трения F тр. Французские физики Г. Амонтон (1663-1705) и Ш. Кулон (1736-1806) опытным путем установили следующий закон : сила трения скольжения F тр пропорциональна силе N нормального давления, с которой одно тело действует на другое:

F тр = f N ,

где f - коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.

Найдем значение коэффициента трения. Если тело находится на наклонной плоскости с углом наклона a (рис.12), то оно приходит в движение, только когда тангенциальная составляющая F силы тяжести Р больше силы трения F тр. Следовательно, в предельном случае (начало скольжения тела) F =F тр. или P sin a 0 = f N = f P cos a 0 ,откуда

f = tga 0 .

Таким образом, коэффициент трения равен тангенсу угла a 0 , при котором начинается скольжение тела по наклонной плоскости.

Для гладких поверхностей определенную роль начинает играть межмолекулярное притяжение. Для них применяется закон трения скольжения

F тр = f ист (N + Sp 0) ,

где р 0 - добавочное давление, обусловленное силами межмолекулярного притяжения, которые быстро уменьшаются с увеличением расстояния между частицами; S - площадь контакта между телами; f ист - истинный коэффициент трения скольжения.

Трение играет большую роль в природе и технике. Благодаря трению движется транспорт, удерживается забитый в стену гвоздь и т. д.

В некоторых случаях силы трения оказывают вредное действие и поэтому их надо уменьшать. Для этого на трущиеся поверхности наносят смазку (сила трения уменьшается примерно в 10 раз), которая заполняет неровности между этими поверхностями и располагается тонким слоем между ними так, что поверхности как бы перестают касаться друг друга, а скользят друг относительно друга отдельные слои жидкости. Таким образом, внешнее трение твердых тел заменяется значительно меньшим внутренним трением жидкости.

Радикальным способом уменьшения силы трения является замена трения скольжения трением качения (шариковые и роликовые подшипники и т. д.). Сила трения качения определяется по закону, установленному Кулоном:

F тр =f к N/r , (8.1)

где r - радиус катящегося тела; f к - коэффициент трения качения, имеющий размерность dim f к =L. Из (8.1) следует, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела.

Закон сохранения импульса. Центр масс

Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой . Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются - внутренними . Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними . Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной ). Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны m 1 , m 2 , .... m n , и v 1 , v 2 ,..., v n . Пусть - равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, a - равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

Складывая почленно эти уравнения, получаем

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

(9.1)

где - импульс системы. Таким образом, производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

Последнее выражение и является законом сохранения импульса : импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения импульса справедлив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, т. е. закон сохранения импульса - фундаментальный закон природы.

Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симметрии пространства - его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

Отметим, что, согласно (9.1), импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

В механике Галилея-Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс. Центром масс (или центром инерции ) системы материальных точек называется воображаемая точка С ,положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус-вектор равен

где m i и r i - соответственно масса и радиус-вектор i -й материальной точки; n - число материальных точек в системе; – масса системы. Скорость центра масс

Учитывая, что pi = m i v i , a есть импульс р системы, можно написать

т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Подставив выражение (9.2) в уравнение (9.1), получим

(9.3)

т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (9.3) представляет собойзакон движения центра масс.

В соответствии с (9.2) из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

Уравнение движения тела переменной массы

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m , а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т - dm, а скорость станет равной v + dv. Изменение импульса системы за отрезок времени dt

где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

(учли, что dm dv - малый высшего порядка малости по сравнению с остальными). Если на систему действуют внешние силы, то dp=Fdt , поэтому

(10.1)

Второе слагаемое в правой части (10.1) называютреактивной силой Fp. Если u противоположен v по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.

Таким образом, мы получилиуравнение движения тела переменной массы

которое впервые было выведено И. В. Мещерским (1859-1935).

Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказывалась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем (1854-1881). К. Э. Циолковский (1857-1935) в 1903 г. опубликовал статью, где предложил теорию движения ракеты и основы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считают основателем отечественной космонавтики.

Применим уравнение (10.1) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F=0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса m 0 , то С = u ln(m 0). Следовательно,

v = u ln (m 0 /m ). (10.3)

Это соотношение называетсяформулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты m 0 ; 2) чем больше скорость истечения и газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Выражения (10.2) и (10.3) получены для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью с распространения света в вакууме.

Контрольные вопросы

Уравнение динамики поступательного движения тела:

где m – масса тела, – его ускорение,
– сумма всех действующих на тело сил.

Импульсом тела называется произведение массы тела на его скорость:
.

Закон изменения импульса:

=
.

Работой силы F на перемещении ds называется произведение проекции силы на направление перемещения на это перемещение:

dA = F s ds = Fds cosα,

где α – угол между направлениями силы и перемещения.

Работа переменной силы вычисляется как:

A =
.

Мощностью называют работу, произведенную за единицу времени: N = .

Мгновенная мощность равна скалярному произведению силы, действующей на тело, на его скорость:

N =
.

Кинетическая энергия тела при поступательном движении:

где m – масса тела, υ – его скорость.

Потенциальная энергия тела

– в однородном поле тяжести:

E п = mgh

(m – масса тела, g – ускорение свободного падения, h – высота тела над точкой, в которой потенциальная энергия принимается равной нулю);

– в поле упругих сил:

E п =

(k – коэффициент жесткости упругого тела, x – смещение от положения равновесия).

В замкнутой системе частиц полный импульс системы не меняется в процессе ее движения:

Σ = const.

В замкнутой консервативной системе частиц сохраняется полная механическая энергия:

E = E k + E п = const.

Работа сил сопротивления равна убыли полной энергии системы частиц или тела: A conp = E 1 – E 2 .

Примеры решения задач

Задача 5

Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола, и начинает скользить тогда, когда длина свешивающейся части составляет 25% всей его длины. Чему равен коэффициент трения каната о стол?

Решение

Разрежем мысленно канат в месте сгиба и соединим обе части невесомой нерастяжимой нитью. Когда канат только начнёт скользить, все силы уравновесятся (так как он движется ещё без ускорения), а сила трения достигает величины силы трения скольжения, F тр = μΝ .

Условия равновесия сил:

mg = N

F тр = T

mg = T m

Отсюда: μmg = mg ,

Задача 6

Невесомый блок укреплён на вершине наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α =30 о. Тела А и В равной массы m 1 = m 2 =1кг соединены нитью. Найти: 1) ускорение, с которым движутся тела, 2) натяжение нити. Трением в блоке и трением тела В о наклонную плоскость пренебречь.

Решение

x y Запишем уравнения движения обоих тел:

А: m = m +

x x x В: m = m + +

В проекциях для тела А:

– ma = T –mg (3)

Для тела В по оси х :

– ma = –T + mg sin  (4)

0 = N – mg cos  (5)

Если сложить уравнения (3) и (4), то получим:

–2ma = – mg + mg sin , или

a = g

Подставив это значение, например, в уравнение (3) (можно в (4)), получаем: T = mg – ma = mg

Подставляем числовые значения:

a = 9,8 = = 2,45

T = 1 ∙ 9,8 = 7,35 H

Задача 7

Вагон массой 20 т, двигавшийся равномерно, под действием силы трения в 6 кН через некоторое время остановился. Начальная скорость вагона равна 54 км/ч. Найти: 1) работу сил трения; 2) расстояние, которое вагон пройдёт до остановки.

Решение

Работа равна приращению кинетической энергии тела:

A тр = 0 – = – ,

Знак «–» означает, что работа сил трения отрицательна, так как силы трения направлены против движения.

С другой стороны, работу силы трения можно рассчитать через произведение силы на путь:

A тр = F тр. S ,

отсюда S = =

Подставив числовые значения:

m = 2 . 10 4 кг, F тр = 6 . 10 3 Н, υ = 15 ,

A тр =
= 2,25 . 10 6 Дж = 2,25 МДж,

S =
= 358 м.

Задача 8

Камень бросили под углом α = 60 о к горизонту со скоростью υ 0 =15 м/с. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию камня: 1) спустя одну секунду после начала движения; 2) в высшей точке траектории. Масса камня m = 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Выберем ось х – по горизонтали, а ось у – по вертикали.

Проекции скорости:

υ x = υ 0 cos , (6)

υ о υ y = υ 0 sin  – gt (7)

 x В момент времени t модуль скорости определится из соотношения:

υ 2 = υ 0 2 cos 2 + (υ 0 sin  – gt ) 2 = υ 0 2 – 2 υ 0 gt sin  + g 2 t 2 .

Высота камня над поверхностью земли в момент времени t определяется из соотношения:

h = υ 0 sin  - . (8)

Находим кинетическую, потенциальную и полную энергию в момент времени t :

E k = = ( υ 0 2 – 2 υ 0 gt sin  + g 2 t 2),

E п = mgh = (2 υ 0 gt sin  – g 2 t 2),

E = E k + E п = .

В высшей точке траектории υ y = 0. Этой точки камень достигает за время =
(из (7)), и максимальная высота подъёмаh max =
(из (8)).

E k = =
,

E п = mgh max =
,

E = E k + E п = .

Подставляем числовые значения. В момент времени t = 1 c.

E k = 17,4 Дж, E п = 5,1 Дж, E = 22,5 Дж.

В высшей точке траектории:

E k = 16,9 Дж, E п = 5,6 Дж, E = 22,5 Дж.

Задача 9

На рельсах стоит платформа массой m 1 = 10 т, на платформе закреплено орудие массой m 2 = 5 т, из которого проводится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m 3 = 100 кг, его начальная скорость относительно орудия υ 0 = 500 м/с. Определить скорость υ x платформы в первый момент времени, если: 1) платформа стояла неподвижно, 2) платформа двигалась со скоростью υ 1 = 18км/ч, и выстрел был произведён в направлении её движения, 3) платформа двигалась со скоростью υ 1 = 18 км/ч, и выстрел был произведён в направлении, противоположном её движению.

Решение

Согласно закону сохранения импульса, импульс замкнутой системы до какого-либо события (в данном случае выстрела) должен быть равен её импульсу после события. За положительное выбираем направление скорости снаряда. До выстрела вся система имела импульс (m 1 +m 2 +m 3)υ 1 , после выстрела платформа с орудием движутся со скоростью υ x , их импульс (m 1 +m 2)υ x , а снаряд относительно земли движется со скоростью υ 0 + υ 1 , его импульс m 3 (υ 0 +υ 1). Закон сохранения импульса записывается так:

(m 1 + m 2 + m 3) υ 1 = (m 1 + m 2) υ x + m 3 (υ 0 + υ 1),

отсюда υ x =
=υ 1 –
υ 0 .

Подставляем значения масс, υ 1 и υ 0:

1) υ 1 = 0

υ x = – 3,33 м/с.

Знак минус означает, что платформа с орудием движется противоположно направлению движения снаряда;

2) υ 1 = 18 км/ч = 5 м/с,

υ x = 5 – 3,33 = 1,67 м/с.

Платформа с орудием продолжает двигаться в направлении выстрела, но с меньшей скоростью;

3) υ 1 = – 18 км/ч = – 5 м/с

υ x = – 5 – 3,33 = – 8,33 м/с.

Скорость платформы, двигавшейся в направлении, противоположном направлению выстрела, увеличивается.

Задача 10

Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на лёгком жёстком стержне, и застревает в нём. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара равно 1 м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара на угол 10 о.

Решение.

Если пуля застревает в шаре, то удар

абсолютно неупругий, и выполняется только закон сохранения импульса. До удара пуля имела импульс m υ , шар импульса не имел. Непосредственно после удара пуля с шаром имеют общую скорость υ 1 , их импульс (M + m ) υ 1 .

Закон сохранения импульса:

m υ = (M + m ) υ 1 ,

отсюда υ 1 =
υ.

Шар вместе с пулей в момент удара приобрёл кинетическую энергию:

E k =
υ 1 2 =

υ 2 =
.

За счёт этой энергии шар поднялся на высоту h , при этом его кинетическая энергия переходит в потенциальную:

E k = E п 
= (M + m ) gh . (9)

Высоту h можно выразить через расстояние от точки подвеса до центра шара и угол отклонения от вертикали

h = L – L cos  = L (1 – cos ).

Подставив последнее выражение в соотношение (9), получим:

L
= gL (1 – cos ),

h и определим скорость пули:

υ =
.

Подставив числовые значения, получим:

υ = 1001
 543 м/с.

Задача 11

Камень, привязанный к верёвке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти массу камня, если известно, что разность между максимальным и минимальным натяжениями верёвки равны 9,8 Н.

Решение

В верхней точке траектории и сила тяжести, и
сила натяжения верёвки направлены вниз.

L Уравнение движения в верхней точке имеет вид:

L ma n = m = mg + T 1 .

В нижней точке траектории сила тяжести направлена вниз, а сила натяжения верёвки и нормальное ускорение вверх. Уравнение движения в нижней точке:

ma n = m = T 2 – mg .

По условию камень вращается с постоянной скоростью, поэтому левые части обоих уравнений одинаковы. Значит, можно приравнять правые части:

mg + T 1 = T 2 – mg ,

отсюда T 2 – T 1 = 2mg ,

m =
.

Подставляем числа: m = = 0,5 кг.

Задача 12

Шоссе имеет вираж с уклоном в 10° при радиусе закругления дороги в 100 м. На какую скорость рассчитан вираж?

Решение

Сила, действующая на автомобиль, складывается

из силы тяжести
и силы нормального давления. Сумма этих сил обусловливает нормальное ускорение автомобиля при повороте.

Из треугольника сил видно, что: =tg .

Рассчитаем a n , сократив массу

= tg ,

отсюда υ =
=41,5 м/с.

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Первый закон Ньютона

В кинематике рассматривается описание простейших типов механических движений. При этом не затрагиваются причины вызывающие изменения положения тела относительно других тел, а система отсчета выбирается из соображений удобства при решении той или иной задачи. В принципе, можно взять любую из бесчисленного множества систем отсчета.

Однако, законы механики в различных системах отсчета имеют, строго говоря, различный вид. Возникает задача выбора такой системы отсчета, в которой законы механики были бы возможно более простыми. Такая система отсчета, очевидно, наиболее удобна для описания механических явлений.

Выясним, от чего зависит ускорение частицы в некоторой произвольной системе отсчета. Какова причина этого ускорения? Экспериментально установлено, что этой причиной могут быть как действие на данную частицу каких-то определенных тел, так и свойства самой системы отсчета (см. §1.8 ).

Ньютон предположил, что существует такая система отсчета, в которой ускорение материальной точки обусловлено только взаимодействием ее с другими телами и не зависит от выбора системы отсчета. Материальная точка, не подверженная действию никаких других тел, движется относительно такой системы отсчета прямолинейно и равномерно, или, как говорят, по инерции. Такую систему отсчета называют инерциальной ,

Утверждение, что инерциальные системы отсчета существуют, составляет содержание первого закона классической механики - закона инерции Галилея - Ньютона - таково: существуют системы отсчета, называемые инерциальными, в которых при отсутствии воздействия других тел частица сохраняет стационарное состояние движения: движется равномерно и прямолинейно (в частном случае - покоится) .

Инерциальной системой отсчета является гелиоцентрическая система отсчета , начало отсчета которой связана с Солнцем. Системы отсчета, движущиеся равномерно прямолинейно относительно инерциальной системы также являются инерциальными. Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальной системы, являются неинерциальными .

По этим причинам поверхность Земли, строго говоря, является неинерциальной системой отсчета. Однако, во многих задачах, систему отсчета, связанную с Землей, в первом приближении можно считать инерциальной.

Вопросы для самоконтроля

Какие системы отсчета называются инерциальными? Почему эти системы очень удобны для описания механических движений?
Какими факторами определяется значение ускорения в инерциальных системах отсчета?
Можно ли считать систему отсчета, связанную с Землей инерциальной?
Сформулируйте первый закон Ньютона.

§2.2. Основные законы динамики в инерциальных системах отсчета

Способность тела сохранять состояние равномерного прямолинейного движения или покоя в инерциальных системах отсчета, называется инертностью тела . Мерой инертности тела является масса . Масса величина скалярная, в системе СИ измеряется в килограммах (кг).

Мерой взаимодействия является величина, называемой силой . Сила – величина векторная, в системе СИ измеряется в Ньютонах (Н).

Второй закон Ньютона. В инерциальных системах материальная точка движется с ускорением, если сумма всех сил, действующих на нее не равна нулю, причем произведение массы точки на ее ускорение равно сумме этих сил, т.е.:

Поскольку масса точки величина положительная, то ее вектор ускорения всегда направлен по сумме всех сил, действующих на нее, т.е.
.

При решении задач с применением второго закона Ньютона важно помнить следующее:

если точка движется по прямой линии, то ее вектор ускорения направлен по движению при ускоренном характере движения, для замедленного характера движения –– против движения;
если точка движется по окружности ускоренно, то вектор тангенциального ускорения направлен по вектору линейной скорости, при замедленном характере движения –– наоборот. Вектор нормального ускорения направлен к центру вращения.

Третий закон Ньютона. Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению, т.е.:

Следует запомнить, что силы, как меры взаимодействия, всегда рождаются парами .

Если тело совершает поступательное движение 1 , то векторы сил, действующих на него, переносят в центр масс этого тела. Это позволяет свести задачу к движению одной материальной точки твердого тела.

Для успешного решения большинства задач с использованием законов Ньютона, необходимо придерживаться некоторой последовательности действий (своего рода алгоритма).

Основные пункты алгоритма.

1. Проанализировать условие задачи и выяснить, с какими телами взаимодействует рассматриваемая материальная точка. Исходя из этого, определить количество сил, действующих на нее. (Допустим, число сил, действующих на тело, равно .) Затем выполнить схематически правильный рисунок, на котором построить все силы, действующие на точку.

2. Используя условие задачи, определить направление ускорения рассматриваемой точки, и изобразить вектор ускорения на рисунке.

3. Записать в векторной форме второй закон Ньютона, т.е.:

где
силы, действующие на точку.

4. Выбрать инерциальную систему отсчета. Изобразить на рисунке прямоугольную декартову систему координат, ось ОХ которой обычно направляют по вектору ускорения, ось ОY и ОZ направить перпендикулярно оси ОХ.

5. Воспользовавшись основным свойством векторных равенств, записать второй закон Ньютона для проекций векторов на оси координат, т.е.:

(2.3)

6. Если в задаче кроме сил и ускорений требуется определить координаты и скорость, то кроме второго закона Ньютона необходимо использовать и кинематические уравнения движения. Записав систему уравнений, необходимо обратить внимание на то, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных в данной задаче.

Вопросы для самоконтроля

Дайте определение силы. В каких единицах в системе СИ измеряется величина силы?
Что такое свойство инертности тела? Какая физическая величина является мерой инертности тела? В каких единицах в системе СИ измеряется масса тел?
Дайте формулировку второго закона Ньютона для инерциальных систем отсчета.
Дайте формулировку третьего закона Ньютона.

Примеры решения задач

Пример 1. В кабине лифта на динамометре висит груз массой
. Динамометр показывает силу
. Определить ускорение груза. Можно ли ответить на вопрос, в каком направлении движется груз?

Решение. На тело, движущееся с ускорением , действуют два тела: Земля с силой тяжести
и пружина с силой . Изобразим силы на рисунке. Предположим, что вектор ускорения лифта направлен вверх. Изобразим вектор на рисунке. Записываем второй закон Ньютона в векторной форме:

Выбираем ось ОХ по направлению ускорения. Записываем второй закон Ньютона для проекций векторов на эту ось:

Из данного равенства находим проекцию ускорения на ось ОХ:

Так как проекция ускорения на ось ОХ положительная, то предположение о том, что вектор ускорения лифта направлен вертикально вверх, соответствует действительности. Определить направление движения лифта не представляется возможным, так как указанному направлению вектора ускорения соответствует два типа движения: а) равноускоренное движение вертикально вверх; б) равнозамедленное движение вертикально вниз.

Второй закон Ньютона в неинерциальных системах отсчета. Силы инерции.

2 Рассмотрим неинерциальную систему отсчета
, вращающуюся с постоянной угловой скоростью
вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью относительно инерциальной
системы.

В этом случае ускорение точки в инерциальной системе () связано с ускорением в неинерциальной системе () соотношением (см §1.8):

где – ускорение неинерциальной системы относительно инерциальной системы
,
линейная скорость точки в неинерциальной системе.

Из последнего соотношения вместо ускорения подставим в равенство (1), получим выражение:

Это соотношение является вторым законом Ньютона для неинерциальной системы отсчета.

Силы инерции. Введем условные обозначения:

1.
– поступательная сила инерции ;

2.
– сила Кориолиса ;

3
– центробежная сила инерции .

В задачах поступательная сила инерции изображается против вектора ускорения поступательного движения неинерциальной системы отсчета (), центробежная сила инерции –– от центра вращения по радиусу (); направление силы Кориолиса определяется по правилу буравчика для векторного произведения векторов
.

Строго говоря, силы инерции не являются в полном смысле, силами, т.к. для них не выполняется третий закон Ньютона, т.е. они не являются парными и возникают только при переходе от инерциальных систем отсчета к неинерциальным системам.

Вопросы для самоконтроля

§2.4. Силы в механике

В механике рассматривают одну бесконтактную дальнодействующую силу – силу всемирного тяготения , которая может действовать на рассматриваемое тело на большом расстоянии (например, Земля притягивает Луну), и пять контактных сил: силу упругости , силу реакции, вес тела, силу упругости, силу трения и силу сопротивления .

§2.5. Сила всемирного тяготения. Сила тяжести.

Ускорение свободного падения.

Сила всемирного тяготения возникает в процессе взаимодействия между телами, обладающими массами, и вычисляется из соотношения:

.
. (2.6)

получил название гравитационной постоянной . Его величина в системе СИ равна
.

Силы взаимного притяжения направлены вдоль одной прямой, соединяющей эти материальные точки. Закон всемирного тяготения справедлив для тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Если размеры тел сравнимы с расстоянием между ними, то, для вычисления силы взаимодействия между ними, поступают следующим образом.

Каждое из тел разбивают на бесконечно малые части, размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними. Далее вычисляют силы взаимодействия каждой части одного тела с каждой частью другого тела. Полная сила взаимного притяжения равна сумме сил, действующих со стороны всех элементов одного тела на все элементы другого тела.

Проведя такие рассуждения для однородных шаров, можно показать, что результирующая сила притяжения вычисляется по формуле, приведенной ранее. В этом случае, берется масса шаров, а в качестве расстояния берется расстояние между центрами шаров.

Для тела, взаимодействующего с планетой, в качестве расстояния берется расстояние от центра планеты до центра масс тела. Приведем формулу для силы притяжения тел к планетам:

. (2.7)

Обычно, силу притяжения тела к планете называют силой тяжести, величину которой принято вычислять по формуле
, где
масса тела,
модуль вектора ускорения свободного падения. Сила тяжести направлена к центру Земли, приложена к центру тяжести тела.

Соотношение (2.7), позволяет установить связь величины ускорения свободного падения с массой планеты, ее радиусом и высотой от рассматриваемой точки до поверхности планеты:

. (2.8)

На поверхности планеты, т.е. когда
, для ускорения свободного падения справедлива формула

. (2.9)

Вопросы для самоконтроля

По какому соотношению вычисляется величина силы всемирного тяготения?
Дайте определение силы тяжести.
Отчего зависит ускорение свободного падения тел?

Сила реакции. Вес тела.

Силы реакции возникают при взаимодействии тела с различными конструкциями, ограничивающими его положение в пространстве. Например, на тело, подвешенное на нити, действует сила реакции, называемая обычно силой натяжения. Сила натяжения нити направлена всегда вдоль нити. Формулы для вычисления ее величины нет. Обычно величину ее находят либо из первого, либо из второго закона Ньютона.

К силам реакции также относят силы, действующие на частицу на гладкой поверхности. Ее называют нормальной силой реакции , обозначают . Сила реакции всегда направлена перпендикулярно рассматриваемой поверхности . Со стороны тела на гладкую поверхность действует сила, называемая силой нормального давления (
). По третьему закону Ньютона, сила реакции равна по величине силе нормального давления, но векторы этих сил противоположны по направлению.

Вес тела – это сила, с которой тело, вследствие притяжения Земли, давит на горизонтальную опору или растягивает вертикальный подвес.

Если весы движутся с ускорением, то вес может быть и больше, и меньше силы тяжести.

Вопросы для самоконтроля

Какие силы принято называть силами реакций?
Дайте определение веса тела.
В каких случаях вес тела и сила тяжести совпадают?

Примеры решения задач

Пример 5 . Определить вес мальчика массой
в лифте, движущемся вертикально вверх с ускорением
. Во сколько раз вес мальчика отличается от силы тяжести?

Решение. На мальчика в лифте действуют два тела: а) Земля с силой тяжести ; б) пол лифта с силой реакции
. Изобразим эти силы на рисунке. Покажем на этом рисунке направление вектора ускорения лифта. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

В качестве инерциальной системы отсчета выбираем поверхность Земли, ось ОХ направим по вектору ускорения лифта. Запишем второй закон Ньютона в проекции на эту ось:

Из данного уравнения находим величину силы реакции:

Подставляя цифровые данные в системе СИ, находим силу реакции:

По определению, вес численно равен силе реакции, т.е.
.

Найдем, во сколько раз отличается вес от силы тяжести мальчика:

Сила упругости.

Силы упругости возникают в телах в том случае, если тела деформированы, т.е. если изменена форма тела или его объем. При прекращении деформации силы упругости исчезают. Следует заметить, что, хотя силы упругости возникают при деформациях тел, не всегда деформация приводит к возникновению сил упругости.

Силы упругости возникают в телах, способных восстанавливать свою форму после прекращения внешнего воздействия. Такие тела, и соответствующие им деформации, называются упругими . При пластической деформации изменения полностью не исчезают после прекращения внешнего воздействия.

Ярким примером проявления сил упругости могут служить силы, возникающие в пружинах, подверженных деформации. Для упругих деформаций, возникающих в деформированных телах, сила упругости всегда пропорциональна величине деформации, т.е.:

, (5)

где
коэффициент упругости (или жесткости) пружины,
вектор деформации пружины.

Данное утверждение получило название закона Гука.

Чем больше жесткость тела, тем меньше оно деформируется при заданной силе. Величина определяется геометрическими размерами тела и материалом, из которого оно изготовлено. Если форма тела (стержня, пружины или резинового жгута) начинает существенно меняться, то пропорциональность между
и
нарушается (см. рис. 2.2).

Сила упругости направлена вдоль нити, стержня или пружины. Сила приложена в точке контакта.

Нить – модель тела с нулевой массой и с выделенной осью, которое способно изгибаться под бесконечно малой нагрузкой. Поэтому, ее можно перебросить через блок, и сила натяжения будет везде одинакова.

Пружина – модель тела (обычно с нулевой массой), которое действует на рассматриваемое тело не только в растянутом, но и в сжатом состоянии. Причем закон Гука выполняется для пружины не только при растяжении, но и при сжатии.

Вопросы для самоконтроля

Какие силы принято называть силами упругости?
Какие деформации называются упругими, а какие пластическими?
Сформулируйте закон Гука и укажите границы применимости закона Гука.

Примеры решения задач

Пример 6 . Через легкий вращающийся без трения блок перекинута нить. На одном конце нити находится тело массой
, на другом - тело массой
. Определить величину силы натяжения нити и величину ускорения тел.

Решение. Изобразим все силы, действующие на тела и на блок. Рассмотрим процесс движения тел, связанных нитью, перекинутой через блок. Нить является невесомой и нерастяжимой, следовательно, величина силы натяжения на любом участке нити будет одинаковой, т.е.
и
.

Перемещения тел за любые промежутки времени будут одинаковыми, и, следовательно, в любой момент времени одинаковыми будут величины скоростей и ускорений этих тел.

Из того, что блок вращается без трения и является невесомым, следует, что сила натяжения нити по обе стороны блока будет одинаковой, т.е.:
.

Отсюда вытекает равенство сил натяжения нити, действующей на первое и второе тело, т.е.
.

Изобразим на рисунке векторы ускорений первого и второго тела. Изобразим две оси ОХ. Первую ось направим вдоль вектора ускорения первого тела, вторую - вдоль вектора ускорения второго тела.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на эти оси координат:

Учитывая, что
, и выразив из первого уравнения , подставим во второе уравнение, получим

Из последнего равенства находим величину ускорения:

Из равенства (1) находим величину силы натяжения:

Сила трения. Закон сухого трения.

При соприкосновении тел, между ними наблюдается взаимодействие. Силу, характеризующую это взаимодействие, называют силой реакции поверхности, обозначают , и представляют в виде суммы сил, составляющих ее:
, где
– сила нормальной реакции поверхности , направленная перпендикулярно этой поверхности,
– сила трения , направленная вдоль этой поверхности.

При контакте гладких поверхностей
и
. Простейшее соотношение между модулями сил, составляющих силу реакции поверхности, формулируется в виде закона сухого трения:

При скольжении модуль силы трения прямо пропорционален модулю силы нормальной реакции:

Коэффициент пропорциональности – коэффициент трения скольжения не зависит ни от площади соприкасающихся поверхностей, ни от скорости их относительного движения.

Если скольжение не происходит, то максимально возможное значение силы трения покоя равно значению силы трения скольжения:

Значение и направление силы трения покоя определяется из условия неподвижности тела относительно опоры.

При постепенном увеличении (со временем) силы , приложенной вдоль трущихся поверхностей, происходит аналогичный рост силы трения покоя (рис. 2.3). Силы, действующие вдоль поверхности, скомпенсированы, поэтому тело покоится.

Когда модуль силы достигнет значения
, модуль силы трения покоя достигает своего максимального значения, а затем сила трения уже не уравновешивает внешнюю силу , и тело начинает скользить, разгоняясь (рис. 2.3).

Вопросы для самоконтроля

Примеры решения задач

Пример 9 . На наклонной плоскости с углом наклона
находится тело массой
. Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью равен
. К телу прикладывают силу, направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Какова должна быть величина этой силы, чтобы тело двигалось вверх по наклонной плоскости с ускорением?

Решение. На тело, движущееся вверх вдоль наклонной плоскости, действуют внешние тела: а) Земля с силой тяжести , направленной вертикально вниз; б) наклонная плоскость с силой реакции , направленной перпендикулярно наклонной плоскости; в) наклонная плоскость с силой трения
, направленной против движения тела; г) внешнее тело с силой , направленной вверх вдоль наклонной плоскости.

Под действием этих сил тело движется равноускоренно вверх по наклонной плоскости, и, следовательно, вектор ускорения направлен по перемещению тела.

Изобразим вектор ускорения на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в векторной виде:

Выберем прямоугольную декартову систему координат, ось ОХ которой направим по ускорению движения тела, а ось OY - перпендикулярно наклонной плоскости.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси координат, получим следующие уравнения:

Сила трения скольжения связана с силой реакции следующим соотношением:

. (3)

Из равенства (2) находим величину силы реакции и подставляем в равенство (3), имеем следующее выражение для силы трения:

. (4)

Подставим в равенство (1) вместо силы трения правую часть равенства (4), получим следующее уравнение для вычисления величины искомой силы:

Вычислим величину силы
:

Сила сопротивления.

При движении тел в жидкостях и газах возникают так же силы трения, но они существенно отличаются от сил сухого трения. Эти силы называются силами вязкого трения , или силы сопротивления . Силы вязкого трения возникают только при относительном движении тел. Силы сопротивления зависят от многих факторов, а именно: от размеров и формы тел, от свойств среды (плотности, вязкости), от скорости относительного движения. При малых скоростях сила сопротивления прямо пропорционально зависит от скорости движения тела относительно среды, т.е.:

, (2.11)

где
– вектор скорости движения теля относительно среды.

При больших скоростях сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости движения тела относительно среды, т.е.:

, (2.12)

где
некоторые коэффициенты пропорциональности, называемые коэффициентами сопротивления .

Вопросы для самоконтроля

При каких условиях возникает сила сопротивления?
По какой формуле вычисляется сила трения для малых скоростей движения?
По какой формуле вычисляется сила трения при большой скорости движения?

Основное уравнение динамики

Основное уравнение динамики материальной точки представляет собой не что иное, как математическое выражение второго закона Ньютона:

. (2.13)

В прямоугольной декартовой системе координат основное уравнения динамики в проекциях на оси координат имеет вид:

(2.14)

В инерциальной системе отсчета в сумму всех сил входят только силы, являющиеся мерами взаимодействий, в неинерциальных системах в сумму сил входят силы инерции.

С математической точки зрения соотношение (9) представляет собой дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде. Его решение является основной задачей динамики материальной точки.

Вопросы для самоконтроля

Какое соотношение является основным уравнением динамики?
Как выглядят уравнения динамики в прямоугольной декартовой системе координат?

Примеры решения задач

Пример 1 . , получим искомую зависимость скорости от времени:

1 Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором всякая прямая, неизменно связанная с телом, перемещается параллельно самой себе..

2 Материал для дополнительного изучения

*Задача повышенной сложности

Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Первый закон Ньютона. Масса. Сила

Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета .

Итак, сила - это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Второй закон Ньютона

а ~ F (т = const ) . (6.1)

а ~ 1 /т (F = const) . (6.2)

а = kF / m . (6.3)

В СИ коэффициент пропорциональности k = 1. Тогда

(6.4)

(6.5)

Векторная величина

(6.6)

Подставляя (6.6) в (6.5), получим

(6.7)

Выражение (6.7) называется уравнением движения материальной точки .

1 Н = 1 кг  м/с 2 .

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго.

Третий закон Ньютона

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона .

F 12 = – F 21 , (7.1)

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек.

Силы трения

В механике мы будем рассматривать различные силы: трения, упругости, тяготения.

Силы трения , которые препятствуют скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга.

Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении.

В зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения , качения или верчения .

Внутренним трением называется трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа. Если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки. В таком случае говорят о гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и граничном трении (толщина смазочной прослойки 0,1 мкм и меньше).

Сила трения скольжения F тр пропорциональна силе N нормального давления, с которой одно тело действует на другое:

F тр = f N ,

где f - коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.

В предельном случае (начало скольжения тела) F =F тр. или P sin  0 = f N = f P cos  0 , откуда

f = tg  0 .

F тр = f ист (N + Sp 0 ) ,

где р 0 - добавочное давление, обусловленное силами межмолекулярного притяжения, которые быстро уменьшаются с увеличением расстояния между частицами; S - площадь контакта между телами; f ист - истинный коэффициент трения скольжения.

F тр = f к N / r , (8.1)

Закон сохранения импульса. Центр масс

Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой . Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются - внутренними . Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними . Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной ). Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

Складывая почленно эти уравнения, получаем

(9.1)

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, т. е. закон сохранения импульса - фундаментальный закон природы.

Центром масс (или центром инерции ) системы материальных точек называется воображаемая точка С , положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус-вектор равен

где m i и r i - соответственно масса и радиус-вектор i -й материальной точки; n - число материальных точек в системе; – масса системы. Скорость центра масс

Учитывая, что pi = m i v i , a есть импульс р системы, можно написать

(9.2)

т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Подставив выражение (9.2) в уравнение (9.1), получим

(9.3)

т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (9.3) представляет собой закон движения центра масс.

Динамика изучает движение тел с учетом причин, вызывающих это движение.

Основу динамики составляют законы Ньютона.

I закон. Существуют инерциальные системы отсчета (ИСО), в которых материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.

Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии воздействия на него других тел называется инертностью .

ИСО называют систему отсчета, в которой тело, свободное от внешних воздействий, покоится или движется равномерно прямолинейно.

Инерциальной является система отсчета, которая покоится или движется равномерно прямолинейно относительно какой-либо ИСО.

Система отсчета, движущаяся с ускорением относительно ИСО, является неинерциальной.

I закон Ньютона, называемый также законом инерции, был впервые сформулирован Галилеем. Его содержание сводится к 2-м утверждениям:

1) все тела обладают свойством инертности;

2) существуют ИСО.

Принцип относительности Галилея : все механические явления во всех ИСО происходят одинаково, т.е. никакими механическими опытами внутри ИСО невозможно установить, покоится данная ИСО или движется равномерно прямолинейно.

В большинстве практических задач систему отсчета, жестко связанную с Землей, можно считать ИСО.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют свою скорость, т.е. приобретают различные ускорения, ускорение тел зависит от их массы.

Масса - мера инерционных и гравитационных свойств тела. С помощью точных экспериментов установлено, что инертная и гравитационная массы пропорциональны друг другу. Выбирая единицы таким образом, чтобы коэффициент пропорциональности стал равным единице, получим, что m и =m г, поэтому говорят просто о массе тела.

[m]=1кг - масса платино-иридиевого цилиндра, диаметр и высота которого равны h=d=39мм.

Чтобы характеризовать действие одного тела на другое, вводят понятие силы.

Сила - мера взаимодействия тел, в результате которого тела изменяют свою скорость или деформируются.

Сила характеризуется численным значением, направлением, точкой приложения. Прямая, вдоль которой действует сила, называется линией действия силы . Одновременное действие на тело нескольких сил эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей или результирующей силой и равной их геометрической сумме:

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется движение тела под действием приложенных к нему сил.

II закон. Ускорение материальной точки прямо пропорционально действующей на нее силе, обратно пропорционально ее массе и совпадает по направлению с действующей силой.

Где - равнодействующая сила.

Силу можно выразить формулой

1Н - это сила, под действием которой тело массой 1 кг получает ускорение 1м/с 2 в направлении действия силы.

Второй закон Ньютона можно записать в другом виде, введя понятие импульса:

Импульс - векторная величина, численно равная произведению массы тела на его скорость и сонаправленная с вектором скорости.