Гравитационная энергия
Гравитационная энергия - потенциальная энергия системы тел (частиц), обусловленная их взаимным тяготением .
Гравитационно-связанная система - система, в которой гравитационная энергия больше суммы всех остальных видов энергий (помимо энергии покоя).
Общепринята шкала, согласно которой для любой системы тел, находящихся на конечных расстояниях, гравитационная энергия отрицательна, а для бесконечно удалённых, то есть для гравитационно не взаимодействующих тел, гравитационная энергия равна нулю . Полная энергия системы, равная сумме гравитационной и кинетической энергии , постоянна. Для изолированной системы гравитационная энергия является энергией связи . Системы с положительной полной энергией не могут быть стационарными.
В классической механике
Для двух тяготеющих точечных тел с массами M и m гравитационная энергия равна:
, - гравитационная постоянная ; - расстояние между центрами масс тел.Этот результат получается из закона тяготения Ньютона , при условии, что для бесконечно удалённых тел гравитационная энергия равна 0. Выражение для гравитационной силы имеет вид
- сила гравитационного взаимодействияС другой стороны согласно определению потенциальной энергии:
,Константа в этом выражении может быть выбрана произвольно. Её обычно выбирают равной нулю, чтобы при r, стремящемуся к бесконечности, стремилось к нулю.
Этот же результат верен для малого тела, находящегося вблизи поверхности большого. В этом случае R можно считать равным , где - радиус тела массой M, а h - расстояние от центра тяжести тела массой m до поверхности тела массой M.
На поверхности тела M имеем:
,Если размеры тела много больше размеров тела , то формулу гравитационной энергии можно переписать в следующем виде:
,где величину называют ускорением свободного падения. При этом член не зависит от высоты поднятия тела над поверхностью и может быть исключён из выражения путём выбора соответствующей константы. Таким образом для малого тела, находящегося на поверхности большого тела справедлива следующая формула
В частности, эта формула применяется для вычисления потенциальной энергии тел, находящихся вблизи поверхности Земли.
В ОТО
В общей теории относительности наряду с классическим отрицательным компонентом гравитационной энергии связи появляется положительная компонента, обусловленная гравитационным излучением , то есть полная энергия гравитирующей системы убывает во времени за счёт такого излучения.
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Гравитационная энергия" в других словарях:
Потенциальная энергия тел, обусловленная их гравитационным взаимодействием. Термин гравитационная энергия широко применяется в астрофизике. Гравитационная энергия какого либо массивного тела (звезды, облака межзвездного газа), состоящего из… … Большой Энциклопедический словарь
Потенциальная энергия тел, обусловленная их гравитационным взаимодействием. Гравитационная энергия устойчивого космического объекта (звезды, облака межзвёздного газа, звёздного скопления) по абсолютной величине вдвое больше средней кинетической… … Энциклопедический словарь
гравитационная энергия
гравитационная энергия - gravitacinė energija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. gravitational energy vok. Gravitationsenergie, f rus. гравитационная энергия, f pranc. énergie de gravitation, f; énergie gravifique, f … Fizikos terminų žodynas
Потенциальная энергия тел, обусловленная их гравитац. взаимодействием. Г. э. устойчивого космич. объекта (звезды, облака межзвёздного газа, звёздного скопления) по абс. величине вдвое больше ср. кинетич. энергии составляющих его частиц (тел; это… … Естествознание. Энциклопедический словарь
- (для данного состояния системы) разность между полной энергией связанного состояния системы тел или частиц и энергией состояния, в котором эти тела или частицы бесконечно удалены друг от друга и находятся в состоянии покоя: где … … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Энергия (значения). Энергия, Размерность … Википедия
энергия тяготения - gravitacinė energija statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Gravitacinio lauko energijos ir jo veikiamų kitų objektų energijos kiekių suma. atitikmenys: angl. gravitational energy vok. Gravitationsenergie, f rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
- (греч. energeia, от energos действующий, сильный). Настойчивость, обнаруживаемая в преследовании цели, способность высшего напряжения сил, в соединении с крепкой волей. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н.,… … Словарь иностранных слов русского языка
- (неустойчивость Джинса) нарастание со временем пространственных флуктуаций скорости и плотности вещества под действием сил тяготения (гравитационных возмущений). Гравитационная неустойчивость ведёт к образованию неоднородностей (сгустков) в … Википедия
Скорость
Ускорение
Называется касательноым ускорением величине
Называются тангенциальным ускорением , характеризующим изменение скорости по направлению
Тогда
В. Гайзенберга ,
Динамика
Сила
Инерциалные системы отсчета
Система отсчета
Инерция
Инертность
Законы Ньютона
Й закон Ньютона.
инерциальными системами
Й закон Ньютона.
3-й закон Ньютона:
4) Система материальных точек. Внутренние и внешние силы. Импульс материальной точки и импульс системы материальных точек. Закон сохранения импульса. Условия его применимости закона сохранения импульса.
Cистема материальных точек
Внешние силы:
Система называется замкнутой системой , если на тела системы не действует внешние силы .
Импульс материальной точки
Закон сохранения импульса:
Если 
и при этом 
следовательно
Преобразования Галилея, принцип относительно Галилея
центра масс
.
Где масса i – той частицы
Скорость цетра масс
6)
Работа в механике
)
потенциалтными .
непотенциалтными.
К первым относится 
Комплекс: называется кинетической энергией .
Тогда 
Где внешние сило
Кин. энергией системы тел
Потенциальная энергия
Уравнение моментов
Производная момента импульса материальной точки оносительно неподвижной оси по времени равна момент сила действуйщий на точку относително той же ось.
Суммарно всех внутренных сил относително в любой точки равно нулью. Поэтому
Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла Тепловая машина.
Мерой эффективности преобразования теплоты, подведенной количество рабочему телу, в работу тепловой машины над внешними телами является коэффициент полезного действия тепловой машины
Теродинамический КРД:
Тепловая машина : при превращении тепловой энергии в механическую работу. Основный элемент тепловой машины работа тел.
 |
|||
 |
|||
Энергический цикл
Холодильная машина.
26) Цикл Карно, КПД цикла Карно
. Второе начато термодинамики
. Его различные
формулировки.
Цикл Карно: это цикл состоит из двух изотермических процесов и из двух адиабаты.
1-2: Изотермический процесс расширении газа при температуре нагревателя Т 1 и подводит тепло.
2-3: Адиабатический процесс расширении газа при этом температура понижается от Т 1 до Т 2 .
3-4: Изотермический процесс сжимании газа при этом отводится тепла и температура равна Т 2
4-1: Адиабатический процесс сжимании газа при этом температура газа развивает от холодильника до нагревателя.
Сказывается для цикла Карно, общем вражения КПД существует производитель
В теоретическом смысле, этот цикл будет максимальным среди возможно КПД для всех циклов, работающих между температурами Т 1 и Т 2 .
Теорима Карно: Коэффициент полезной мощности теплового цикла Карно не зависит от вида работика дело и устойства самой машины. А только определятся температурами Т н и T х
Второе начато термодинамики
Второй закон термоднамики определяет направление протекания тепловых машин. Нелзья построить термодинамический цикл, действющий тепловой машин без холодильника. При этом цикле энергия системы ввидит ….
В этом случае КПД
Его различные формулировки.
1) Первая формулировка: “Томсона”
Невозможен процесс, единственным результатом которого является совершение работы за счет охлаждения одного тела.
2) Вторая формулировка: “Клаузиса”
Невозможен процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от холодного тела к горячему.
27) Энтропия - функция состояния термодинамической системы. Расчет изменения энтропии в процессах идеального газа . Неравенство Клаузиуса. Основное свойство энтропии (формулировка второго начала термодинамики через энтропию). Статистический смысл второго начала.
Неравенство Клаузиуса
Исходное условие второй закон термодинамики, Клаузиуса было получено соотношение
Знак равенство соотвествено обратимого цикла и процесса.
Наиболее вероятная
Скоростью молекул соотвествено максимальное значение функции распределения называется наивернейшая вероятность.
Постулаты Эйнштейна
1) Принцип относительности Эйнштейна: все физические законы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, а поэтому они должны быть сформулированы в виде, инвариантном относительно преобразований координат, отражающих переход от одной ИСО к другой.
2) 
Принцип постоянства скорости света: существует предельная скорость распространения взаимодействиий, величина которой во всех ИСО одинакова и равна скорости электромагнитной волны в вакууме и не зависит ни от направления ее распространения, не от движения источника и приемника.
Следствия из преобразований Лоренца
Лоренцево сокращение длины
Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси ОХ’ системы (Х’,Y’,Z’) и неподвижный относительно этой системы координат. Собственнoй длиной стержня называется величина то есть длина, измеренная в ситеме отсчета (X,Y,Z) будет
Следовательно, наблюдатель в системе (X,Y,Z) находит, что лина движущегося стержня в раз меньше собственной длины.
34) Релятивистская динамика. Второй закон Ньютона применительно к большим
скоростям. Релятивистская энергия. Связь массы и энергии.
Релятивистская динамика
Связь импульса частицы с её скоpостью тепеpь задается
Релятивистская энергия
Покоящаяся частица обладает энергией
Эта величина носит название энергии покоя частицы. Kинетическая энергия, очевидно, равна
Связь массы и энергии
Полная энергия
Поскольку
Скорость
Ускорение
По касательной траектории в данной ее точке Þ a t = eRsin90 o = eR
Называется касательноым ускорением , характеризующим изменение скорости по величине
По нормальной траектории в данной ее точке
Называются тангенциальным ускорением , характеризующим изменение скорости по направлению
Тогда
Границы применимости классического способа описания движения точки:
Все вышеизложенное относится к классическому способу описания движения м. точки. В случае неклассического рассмотрения движения микрочастиц понятия траектории их движения не существует, но можно говорить о вероятности нахождения частицы в той или иной области пространства. Для микрочастицы нельзя одновременно указать точные значения координаты и скорости. В квантовой механике существует соотношение неопределенностей
В. Гайзенберга , где h=1,05∙10 -34 Дж∙с (постоянная Планка), которое определяет погрешности одновременного измерения координаты и импульса
3) Динамика материальной точки. Масса. Сила. Инерциалные системы отсчета. Законы Ньютона.
Динамика – это раздел физики, изучает движение тел в связи с причиами, возврающыми тот или силой характер движения
Масса - физическая величина, отвечающая способности физических тел сохранять своё поступательное движение (инертности), а также характеризующая количество вещества
Сила – мера взаймодецствие между телами.
Инерциалные системы отсчета : Существуют такие системы отсчета относителього, которых тело находится в состоянии покоя (движится равно прямо линии) до тех пор пока на него не подействуют другие тела.
Система отсчета – инерциальный: любая другая движения относительно гелиоцентризм равномерно и прямо, так же является инерциальной.
Инерция – это явление связанное с способностьб тел сохранять свою скорость.
Инертность – способность материального тела сокрашать свою скорость. Чем более инертно тело, тем “Труднее” изменить его v. Количественной мерой инертности является масса тела, как мера инертность тела.
Законы Ньютона
Й закон Ньютона.
Существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными системами , в которых материалтная точка находится в состоянии нии покоя или равномерного прчмолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.
Й закон Ньютона.
Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение.
3-й закон Ньютона: силы, с которыми две м. точки действуют друг на друга в ИСО, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.
1) Если на тело А действует сило со стороны тело В, то на тело В действует сила А. Эти силы F 12 и F 21 имеют одинаковую физическую природу
2) Сила взаимодействуют между телами, не зависит от скорости движения тел
Cистема материальных точек : это такая система содержится точкими, который жестко связанных друг с другом.
Внутренние силы: Силы взаимодействия между точками системы называется внутренными силами
Внешние силы: Силы взаимодействуют на точки системы со стороны тел, не входящих в системе называется внешними силами.
Система называется замкнутой системой , если на тела системы не действует внешние силы .
Импульс материальной точки называетсяпроизведением массы на скорость точки Импульс системы материальных точек: Импульс системы материальных точек равен произведением массы системы на скорость движения ценрта масс.
Закон сохранения импульса:
Для замкнутой системы взаимодействует тел суммарный импульс системы остается неизменным, независимо от любых взаимодействующих тел между собой
Условия его применимости закона сохранения импульса :Закон сохранения импульса можно использовать при замкнутых условиях, даже если система не замкнута.
Если и при этом следовательно
Закон сохранения импульса работает и в микромере, когда классическая механика не работает, импульс сохраняется.
Преобразования Галилея, принцип относительно Галилея
Пусть имеем 2 инерциальные системы отсчета, одна из которых движется относительно второй, с постоянной скоростью v o . Тогда в соотвеств с преобразованием Галилея ускорение тела в оба систем отсчета окажется одинаковым.
1) Равномерное и прямолинецное движение системы не влияет на ход протекающих в них механических процессов.
2) Все инерциальные системы поставим свойством эквиваленно друг другу.
3) Никакими механическими опытами внутри системы невозможноустановаить покоиться система или движется равномерно или прямолинейно.
Относительность механического движения и одинаковость законов механики в разных инерциальных системах отсчета называется принципом относительности Галилея
5) Система материальных точек. Центр масс системы материальных точек. Теорема о движении центра масс системы материальных точек.
Любое тело можно представить как совокупность материальных точек.
Пусть имеет систему материальных точек массами m 1 , m 2 ,…,m i , положения которыз относительно инерциальной системе отсчета характеризуется векторами соотвестенно , тогда по определению положение центра масс
системы материальных точек определяется выражением: .
Где масса i – той частицы
– характеризует положение этой частицы относительно заданной системы координат,
– характеризуетс полодение центра масс системы относительно той же системы координат.
Скорость цетра масс
Импульс системы материальных точек равен произвоеденнию массы системы на скорость движения ценрта масс.
Если то система мы говорим, что система как центр покоится.
1) Центр масс системы движения так, если бы вся масса системы была сосредоточена в центре масс, а все силы действуют на тела системы ыли приложеие к центру масс.
2) Ускорение центра масс не зависит от точек приложения сил, действующих на тело системы.
3) Если (ускорение = 0) то импульс системы не изменияется.
6) Работа в механике. Понятие поля сил. Потенциальные и непотенциальные силы. Критерий потенциальности сил поля.
Работа в механике : Работой силы F на элемент перемещение называется скалярное произведение
Работа – величина алгеброическая ()
Понятие поля сил: Если в каждой материальной точке постранства на тело действуют определенная сила, то говорят, что тело находится в поле сил.
Потенциальные и непотенциальные силы, критерий потенциальности сил поля:
С точки зрения производшией работы будет размечать потенциальные и непотенциальные телы. Силы, для каждых:
1) Работа не зависит от формы траектории, а зависит лишь от начального и кнечного положения тела.
2) Работа, которая по замкнутым траекториям равно нулью, называется потенциальнями.
Силы удоблы этим условиям называется потенциалтными .
Силы не удоблы этим условиям называется непотенциалтными.
К первым относится и только отной силой трения непотенциально.
7) Кинетическая энергия материальной точки, системы материальных точек. Теорема об изменении кинетической энергии.
Комплекс: называется кинетической энергией .
Тогда Где внешние сило
Теорема об изменении кинетической энергии : изменение кин. энергии м. точки равно алгебраической сумме работ всех приложенных к ней сил.
Если на тело одновременно действуют несколько внешние сил то изменение крнетической энергии равно “ аллебраической работе” всех сил, действуют на тело: эта формула теоремы кинетической кинетики.
Кин. энергией системы тел наз. сумма кин. энергий всех тел, входящих в эту систему.
8) Потенциальная энергия. Изменение потенциальной энергии. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия и упругой деформации.
Потенциальная энергия – физическая виличина, изменение которой равно работе потенциальной силе системы взятой с знаком “-”.
Введем некоторую функцию W p , являющуюся потенциальной энергией f(x,y,z), которую определим следующим образом
Знак “-” показывает, что при совершении работы этой потециалной силой, потециальная энергия уменьшается.
Изменение потенциальной энергии системы тел, между которыми действуют только потенциальные силы, равно взятой с обратным знаком работе этих сил при переходе системы из одного состояния в другое.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия и упругой деформации.
1) Гравитационная сила
2) Работа силя упругости
9) Дефференциальная связь между потенциальной силой и потенциальной энергией. Градиент скалярного поля.
Пусть перемещение только вдоль оси х
Аналогично, пусть перемещение только вдоль оси у или z, мы получили
Знак “-” в формуле показывает что, силы всегда напровление в сторону поменьщается потенциальной энергии, но противно градиент W p .
Геометрическая смысль точек с одинаковыи значением потенциальной энергии называется эквипотенциальная поверхность.
10) Закон сохранения энергии. Абсолютно не упругий и абсолютно упругий центральные удары шаров.
Изменение механической энергии системы равно сумме работы всех непотенциалтных сил внутрен иак и внешние.
*) Закон сохранения механической энергии : Механическая энергия системы сохраняется если работаы всех непотенциальных сил (как внутренние так и внешние) равно нулью.
При этом возможно слишь переход потенциальной энергии в кинетическую энергию и наоборот польная энергия постояно: 
*)Общий физический закон сохранения энергии: Энергия на создается и не уничтожается, она либо переходит из первого виды в другой состоянии.
Если на систему действуют одни только консервативные силы, то можно для нее ввести понятие потенциальной энергии . Какое – либо произвольное положение системы, характеризующееся заданием координат ее материальных точек, условно примем за нулевое . Работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из рассматриваемого положения в нулевое, называется потенциальной энергией системы в первом положении
Работа консервативных сил не зависит от пути перехода, а потому потенциальная энергия системы при фиксированном нулевом положении зависит только от координат материальных точек системы в рассматриваемом положении. Иными словами, потенциальная энергия системы U является функцией только ее координат.
Потенциальная энергия системы определена не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной. Этот произвол не может отразится на физических выводах, так как ход физических явлений может зависеть не от абсолютных значений самой потенциальной энергии, а лишь от ее разности в различных состояниях. Эти же разности от выбора произвольной постоянной не зависят.
Пусть система перешла из положения 1 в положение 2 по какому – либо пути 12 (рис. 3.3). Работу А 12 , совершенную консервативными силами при таком переходе, можно выразить через потенциальные энергии U 1 и U 2 в состояниях 1 и 2 . С этой целью вообразим, что переход осуществлен через положение О, т. е. по пути 1О2. Так как силы консервативны, то А 12 = А 1О2 = А 1О + А О2 = А 1О – А 2О. По определению потенциальной энергии U 1 = A 1 O , U 2 = A 2 O . Таким образом,
A 12 = U 1 – U 2 , (3.10)
т. е. работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы.
Та же работа А 12 , как было показано ранее в (3.7), может быть выражена через приращение кинетической энергии по формуле
А 12 = К 2 – К 1 .
Приравнивая их правые части, получим К 2 – К 1 = U 1 – U 2 , откуда
К 1 + U 1 = К 2 + U 2 .
Сумма кинетической и потенциальной энергий системы называется ее полной энергией Е . Таким образом, Е 1 = Е 2 , или
E º K + U = const. (3.11)
В системе с одним только консервативными силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может. Это положение называется законом сохранения энергии в механике.
Вычислим потенциальную энергию в некоторых простейших случаях.
а) Потенциальная энергия тела в однородном поле тяжести. Если материальная точка, находящаяся на высоте h , упадет на нулевой уровень (т. е. уровень, для которого h = 0), то сила тяжести совершит работу A = mgh . Поэтому на высоте h материальная точка обладает потенциальной энергией U = mgh + C , где С – аддитивная постоянная. За нулевой можно принять произвольный уровень, например, уровень пола (если опыт производится в лаборатории), уровень моря и т. д. Постоянная С равна потенциальной энергии на нулевом уровне. Полагая ее равной нулю, получим
U = mgh . (3.12)
б) Потенциальная энергия растянутой пружины. Упругие силы, возникающие при растяжении или сжатии пружины, являются центральными силами. Поэтому они консервативны, и имеет смысл говорить о потенциальной энергии деформированной пружины. Ее называют упругой энергией . Обозначим через х растяжение пружины ,т. е. разность x = l – l 0 длин пружины в деформированном и недеформированном состояниях. Упругая сила F зависит только от растяжения. Если растяжение x не очень велико, то она пропорциональна ему: F = – kx (закон Гука). При возвращении пружины из деформированного в недеформированное состояние сила F совершает работу
Если упругую энергию пружины в недеформированном состоянии условиться считать равной нулю, то
в) Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух материальных точек. По закону всемирного тяготения Ньютона гравитационная сила притяжения двух точечных тел пропорциональна произведению их масс Mm и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
где G – гравитационная постоянная .
Сила гравитационного притяжения, как сила центральная, является консервативной. Для ее имеет смысл говорить о потенциальной энергии. При вычислении этой энергии одну из масс, например М , можно считать неподвижной, а другую – перемещающейся в ее гравитационном поле. При перемещении массы m из бесконечности гравитационные силы совершают работу
где r – расстояние между массами М и m в конечном состоянии.
Эта работа равна убыли потенциальной энергии:
Обычно потенциальную энергию в бесконечности U ¥ принимают равной нулю. При таком соглашении
Величина (3.15) отрицательна. Это имеет простое объяснение. Максимальной энергией притягивающиеся массы обладают при бесконечном расстоянии между ними. В этом положении потенциальная энергия считается равной нулю. Во всяком другом положении она меньше, т. е. отрицательна.
Допустим теперь, что в системе наряду с консервативными силами действуют также диссипативные силы. Работа всех сил А 12 при переходе системы из положения 1 в положение 2 по – прежднему равна приращению ее кинетической энергии К 2 – К 1 . Но в рассматриваемом случае эту работу можно представить в виде суммы работы консервативных сил и работы диссипативных сил . Первая работа может быть выражена через убыль потенциальной энергии системы: Поэтому
Приравнивая это выражение к приращению кинетической энергии, получим
где E = K + U – полная энергия системы. Таким образом, в рассматриваемом случае механическая энергия Е системы не остается постоянной, а уменьшается, так как работа диссипативных сил отрицательна.
> Гравитационная потенциальная энергия
Что такое гравитационная энергия: потенциальная энергия гравитационного взаимодействия, формула для гравитационной энергии и закон всемирного тяготения Ньютона.
Гравитационная энергия – потенциальная энергия, связанная с гравитационной силой.
Задача обучения
- Вычислить гравитационную потенциальную энергию для двух масс.
Основные пункты
Термины
- Потенциальная энергия – энергия объекта в его позиции или химическом состоянии.
- Затон тяготения Ньютона – каждая точечная вселенская масса притягивает другую при помощи силы, выступающей прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату их дистанции.
- Сила тяжести – результирующая сила наземной поверхности, притягивающая объекты к центру. Создается вращением.
Пример
Какой будет гравитационная потенциальная энергия 1-килограммовой книги на высоте в 1 м? Так как положение установлено близко к земной поверхности, то гравитационное ускорение будет постоянным (g = 9.8 м/с 2), а энергия гравитационного потенциала (mgh) достигает 1 кг ⋅ 1 м ⋅ 9.8 м/с 2 . Это можно проследить и в формуле:
Если добавить массу и земной радиус.
Гравитационная энергия отображает собою потенциальную, связанную с силой гравитации, потому что необходимо преодолеть земное притяжение, чтобы выполнить работу над поднятием предметов. Если объект падает от одной точки к другой внутри гравитационного поля, то сила тяжести выполнит положительную работу, а гравитационная потенциальная энергия уменьшится на ту же величину.
Допустим у нас есть книга, оставленная на столе. Когда мы переносим ее с пола на вершину стола, определенное внешнее вмешательство работает против гравитационной силы. Если же она упадет, то это работа гравитации. Поэтому процесс падения отображает потенциальную энергию, ускоряющую массу книгу и трансформирующуюся в кинетическую. Как только книга коснется пола, кинетическая энергия станет теплом и звуком.
На гравитационную потенциальную энергию влияют высота относительно конкретной точки, масса и сила гравитационного поля. Так что книга на столе уступает по гравитационной потенциальной энергии более тяжелой книга, расположенной ниже. Запомните, что высота не может применяться в вычислении гравитационной потенциальной энергии, если гравитация не выступает постоянной.
Локальное приближение
На силу гравитационного поля влияет расположение. Если изменение дистанции незначительное, то им можно пренебречь, а силу тяжести сделать постоянной (g = 9.8 м/с 2). Тогда для вычисления используем простую формулу: W = Fd. Восходящая сила приравнивается к весу, поэтому работа соотносится с mgh, выливающихся в формуле: U = mgh (U – потенциальная энергия, m – масса объекта, g – ускорение силы тяжести, h – высота объекта). Значение выражается в джоулях. Изменение потенциальной энергии передается как
Общая формула
Однако, если мы сталкиваемся с серьезными переменами в дистанции, то g не может оставаться постоянной и приходится применять исчисление и математическое определение работы. Чтобы рассчитать потенциальную энергию, можно интегрировать гравитационную силу относительно дистанции между телами. Тогда получим формулу гравитационной энергии:
U = -G + K, где К – постоянная интегрирования и приравнивается к нулю. Здесь потенциальная энергия превращается в ноль, когда r – бесконечна.
| Введение в равномерное круговое движение и гравитацию | |||||
| Неравномерное круговое движение | |||||
| Скорость, ускорение и сила | |||||
| Типы сил в природе | |||||
| Закон универсальной гравитации Ньютона | |||||
Если в системе действуют только консервативные силы, то можно ввести понятие потенциальной энергии. Пусть тело массой m находит-
ся в гравитационном поле Земли, масса которой M . Сила взаимодей- ствия между ними определяется законом Всемирного тяготения
F (r ) = G Mm ,
где G = 6,6745 (8) × 10–11 м3/(кг× с2) - гравитационная постоянная; r - расстояние между их центрами масс. Подставляя выражение для гра- витационной силы в формулу (3.33), найдем ее работу при переходе тела из точки с радиус-вектором r 1 в точку с радиус-вектором r 2
r 2 dr
|
= GMm ⎜⎝r
1 r 1 r 1 2 2 1
Представим соотношение (3.34) в виде разности значений
A 12 = U (r 1) – U (r 2), (3.35)
U (r ) = -G Mm + C
для различных значений расстояний r 1 и r 2. В последней формуле C - произвольная константа.
Если тело приближается к Земле, которая считается неподвижной , то r 2 < r 1, 1/ r 2 – 1/ r 1 > 0 и A 12 > 0, U (r 1) > U (r 2). В этом случае сила тя- жести совершает положительную работу. Тело переходит из некото- рого начального состояния, которое характеризуется значением U (r 1) функции (3.36), в конечное, с меньшим значением U (r 2).
Если же тело удаляется от Земли, то r 2 > r 1, 1/ r 2 – 1/ r 1 < 0 и A 12 < 0,
U (r 1) < U (r 2), т. е сила тяготения совершает отрицательную работу.
Функция U = U (r ) является математическим выражением способ- ности гравитационных сил, действующих в системе, совершать ра- боту и согласно данному выше определению представляет собой по- тенциальную энергию.
Отметим, что потенциальная энергия обусловлена взаимным тя- готением тел и является характеристикой системы тел, а не одного тела. Однако при рассмотрении двух или большего числа тел одно из них (обычно Земля) считается неподвижным, а другие движутся от- носительно него. Поэтому часто говорят о потенциальной энергии именно этих тел в поле сил неподвижного тела.
Поскольку в задачах механики представляет интерес не величина потенциальной энергии, а ее изменение, то значение потенциальной энергии можно отсчитывать от любого начального уровня. Послед- нее определяет значение константы в формуле (3.36).
U (r ) = -G Mm .
Пусть нулевой уровень потенциальной энергии соответствует по- верхности Земли, т. е. U (R ) = 0, где R – радиус Земли. Запишем фор- мулу (3.36) для потенциальной энергии при нахождении тела на вы- соте h над ее поверхностью в следующей форме
U (R + h ) = -G Mm
R + h
+ C . (3.37)
Полагая в последней формуле h = 0, имеем
U (R ) = -G Mm + C .
Отсюда найдем значение константы C в формулах (3.36, 3.37)
C = -G Mm .
После подстановки значения константы C в формулу (3.37), имеем
U (R + h ) = -G Mm + G Mm = GMm ⎛- 1
1 ⎞= G Mm h .
R + h R
⎝⎜ R + h R ⎟⎠ R (R + h )
Перепишем эту формулу в виде
U (R + h ) = mgh h ,
где gh
R (R + h )
Ускорение свободного падения тела на высоте
h над поверхностью Земли.
В приближении h « R получаем известное выражение для потен- циальной энергии, если тело находится на небольшой высоте h над поверхностью Земли
Где g = G M
U (h ) = mgh , (3.38)
Ускорение свободного падения тела вблизи Земли.
В выражении (3.38) принята более удобная запись: U (R + h ) = U (h ). Из него видно, что потенциальная энергия равна работе, которую со- вершает гравитационная сила при перемещении тела с высоты h над
Землей на ее поверхность, соответствующую нулевому уровню по- тенциальной энергии. Последнее служит основанием считать выра- жение (3.38) потенциальной энергией тела над поверхностью Земли, говорить о потенциальной энергии тела и исключить из рассмотре- ния второе тело - Землю.
Пусть тело массой m находится на поверхности Земли. Для того чтобы оно оказалось на высоте h над этой поверхностью, к телу не- обходимо приложить внешнюю силу, противоположно направлен- ную силе тяжести и бесконечно мало отличающуюся от нее по мо- дулю. Работа, которую совершит внешняя сила, определяется сле- дующим соотношением:
R + h
R + h dr
⎡1 ⎤R + h
|
