Περίεργα και ενδιαφέροντα γεγονότα για τα μαθηματικά. Από την ιστορία των δεκαδικών κλασμάτων Αστεία μαθηματική ιστορία για τα κλάσματα

Τα δεκαδικά κλάσματα εμφανίστηκαν τον 3ο αιώνα. ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. στην αρχαία Κίνα, όπου χρησιμοποιήθηκε το σύστημα δεκαδικών αριθμών. Κινέζος μαθηματικός του 3ου αιώνα. Ο Liu Hui συνέστησε τη χρήση κλασμάτων με παρονομαστή 10, 100 κ.λπ. κατά την εξαγωγή τετραγωνικές ρίζες. Εννοούσε τον κανόνα

που στη συνέχεια χρησιμοποιήθηκε συχνά από πολλούς Άραβες και Ευρωπαίους μαθηματικούς. Ήταν αυτός ο κανόνας, μαζί με κάποιες άλλες υπολογιστικές τεχνικές, που συνέβαλαν σε μεγάλο βαθμό στην εισαγωγή στην επιστήμη δεκαδικά.

Τον 15ο αιώνα Η πλήρης θεωρία των δεκαδικών κλασμάτων αναπτύχθηκε από τον αστρονόμο της Σαμαρκάνδης Jemshid al-Kashi στην πραγματεία «The Key to Arithmetic» (1427). Περιέγραψε λεπτομερώς τους κανόνες για την εργασία με δεκαδικά κλάσματα. Είναι πιθανό ο al-Kashi να αγνοούσε ότι χρησιμοποιούνταν δεκαδικοί στην Κίνα. Ο ίδιος τα θεωρούσε εφεύρεσή του. Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι η συνεχής χρήση δεκαδικών κλασμάτων και η περιγραφή των κανόνων λειτουργίας με αυτά είναι άμεση αξία του επιστήμονα. Αλλά οι πραγματείες του δεν ήταν γνωστές στους Ευρωπαίους επιστήμονες. Ανεξάρτητα ανέπτυξαν τη θεωρία των δεκαδικών κλασμάτων.

Η ιδέα της κατασκευής ενός τέτοιου συστήματος κλασμάτων εμφανίστηκε κατά καιρούς στα σχολικά βιβλία αριθμητικής από τον 13ο αιώνα. Ο Jordan Nemorarius έγραψε για αυτό στο έργο του "Arithmetic Set Forth in Ten Books".

Ο Γάλλος επιστήμονας François Viète δημοσίευσε το έργο του «Mathematical Canon» στο Παρίσι το 1579, στο οποίο παρουσίασε τριγωνομετρικούς πίνακες στη σύνταξη των οποίων χρησιμοποίησε δεκαδικά κλάσματα. Όταν έγραφε δεκαδικά κλάσματα, δεν ακολουθούσε κάποια συγκεκριμένη μέθοδο: άλλοτε χώριζε ολόκληρο το τμήμα από το κλασματικό μέρος με κάθετη γραμμή, άλλοτε απεικόνιζε τους αριθμούς ολόκληρου του μέρους με έντονη γραφή, άλλοτε έγραφε τους αριθμούς του κλασματικού μέρους με μικρότερα γράμματα. Έτσι, χάρη στον Vieta, τα δεκαδικά κλάσματα άρχισαν να διεισδύουν στους επιστημονικούς υπολογισμούς, αλλά δεν μπήκαν στην καθημερινή πρακτική.

Ο Ολλανδός επιστήμονας Simon Stevin πίστευε ότι τα δεκαδικά κλάσματα πρέπει να χρησιμοποιούνται σε όλους τους πρακτικούς υπολογισμούς. Σε αυτό αφιέρωσε το έργο του «Δέκατο» (1585), στο οποίο εισήγαγε δεκαδικά κλάσματα, ανέπτυξε κανόνες για αριθμητικές πράξεις με αυτά και πρότεινε ένα δεκαδικό σύστημα νομισματικών μονάδων, μέτρων και βαρών.

Το "Tenth" έγινε γρήγορα γνωστό στην Ευρώπη. Έχοντας δημοσιεύσει το βιβλίο το 1585 στα φλαμανδικά, ο συγγραφέας το μετέφρασε στα γαλλική γλώσσα, και το 1601 εκδόθηκε στα αγγλικά.

Ο Στίβιν έγραφε τα κλάσματα διαφορετικά από ό,τι τώρα. Ένα κυκλικό 0 χρησιμοποιήθηκε για να υποδείξει το κλασματικό μέρος. Η πρώτη φορά που χρησιμοποιήθηκε κόμμα κατά τη σύνταξη κλασμάτων ήταν το 1592. Στην Αγγλία, αντί για κόμμα χρησιμοποιήθηκε τελεία· στις ΗΠΑ χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα. Χρησιμοποιήστε κόμμα ως διαχωριστής, όπως και το σημείο, προτάθηκε το 1616-1617. διάσημος Άγγλος μαθηματικός Τζον Νάπιερ. Ο αστρονόμος Johannes Kepler χρησιμοποίησε την υποδιαστολή στα έργα του.

Στη Ρωσία, το δόγμα των δεκαδικών κλασμάτων παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τον L.F. Ο Μαγκνίτσκι στην «Αριθμητική» του.

Pavlikova E.V. (, γυμνάσιο MAOU Dyatkovskaya Νο. 5)

1. Anishchenko E. A. Ο αριθμός ως βασική έννοια των μαθηματικών. Μαριούπολη, 2002.

2. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Μαθηματικά. Ε' τάξη: εκπαιδευτικά για Εκπαιδευτικά ιδρύματα. – 26η έκδ., σβησμένο. – Μ.: Μνημοσύνη, 2009. – 280 σελ.

3. Geyser G.I. Η ιστορία των μαθηματικών στο σχολείο. Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικούς. – Μ.: Εκπαίδευση, 1981. – 239 σελ.

4. Μαθηματικά. Ε' τάξη: εκπαιδευτικά για τη γενική εκπαίδευση. ιδρύματα / Σ.Μ. Νικόλσκι, Μ.Κ. Ποταπόφ, Ν.Ν. Reshetnikov, A.V. Σεβκιν. 11η έκδ., αναθεωρημένη. – Μ.: Εκπαίδευση, 2016. – 272 σελ. – (MSU – σχολείο).

5. Μαθηματικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό. – Μ., 1988.

6. Dragunsky V. Πρέπει να έχεις χιούμορ. – Λειτουργία πρόσβασης: http://peskarlib.ru/lib.phpid_sst=248.

7. Από την ιστορία των κλασμάτων. Λειτουργία πρόσβασης: http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm.

8. Υλικό από τη Wikipedia - την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια. Λειτουργία πρόσβασης: http://ru.wikipedia.org/wiki.

9. Εισαγωγικά. Τρόπος πρόσβασης: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

Η μελέτη των κλασμάτων υπαγορεύεται από την ίδια τη ζωή. Η ικανότητα να εκτελεί διάφορους υπολογισμούς και υπολογισμούς είναι απαραίτητη για κάθε άτομο, αφού συναντάμε κλάσματα σε Καθημερινή ζωή. Ήθελα να μάθω από πού προήλθε το όνομα αυτών των αριθμών. ποιος βρήκε αυτούς τους αριθμούς, είναι το θέμα «Κλάσματα», που μελετάμε στο σχολείο, απαραίτητο στη ζωή μου.

Αντικείμενο μελέτης:ιστορία της προέλευσης των συνηθισμένων κλασμάτων.

Αντικείμενο μελέτης:συνηθισμένα κλάσματα.

Υπόθεση: Αν δεν υπήρχαν κλάσματα, θα μπορούσαν να αναπτυχθούν τα μαθηματικά;

Στόχος της εργασίας: Διακοσμώντας το περίπτερο «Μαθηματικά γύρω μας» στην τάξη των μαθηματικών με ενδιαφέροντα στοιχεία για τα κλάσματα.

Καθήκοντα:

1. Μελετήστε την ιστορία της εμφάνισης των κλασμάτων στα μαθηματικά.

2. Επιλέξτε τα περισσότερα Ενδιαφέροντα γεγονότασχετικά με τα κλάσματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη σύνθεση τμημάτων της βάσης.

3. Στήστε ένα περίπτερο στην τάξη των μαθηματικών.

Ζώντας περιτριγυρισμένοι από κλάσματα, δεν τα παρατηρούμε πάντα καθαρά. Ωστόσο, το συναντάμε πολύ συχνά: στο σπίτι, στο δρόμο, στο μαγαζί. Ξυπνώντας το πρωί, κοιτάμε το ξυπνητήρι και συναντάμε κλάσματα. Χρησιμοποιούμε κλάσματα όταν ζυγίζουμε αντικείμενα στα καταστήματα. Στις μετρήσεις, κατά τον προσδιορισμό του όγκου του φορτίου. Τα κλάσματα μας περιβάλλουν παντού. Με τη βοήθεια των κλασμάτων μπορούμε να μετρήσουμε μήκη και να χωρίσουμε ένα σύνολο σε μέρη. Πώς μπορείτε να μετρήσετε το ύψος ενός ατόμου ή την απόσταση μεταξύ των αντικειμένων χωρίς να γνωρίζετε τα κλάσματα; Τα πάντα γύρω είναι κλάσματα!

Συνάφεια: Μοντέρνα ζωήκαθιστά σχετικά προβλήματα κλασμάτων, καθώς διευρύνεται το πεδίο των πρακτικών εφαρμογών των κλασμάτων.

Ερευνητικές μέθοδοι:

1. Αναζήτηση πληροφοριών για κλάσματα σε διάφορες πηγές: στο Διαδίκτυο, μυθιστόρημα, σχολικά βιβλία.

2. Ανάλυση, σύγκριση, σύνθεση και συστηματοποίηση πληροφοριών.

Από την ιστορία των συνηθισμένων κλασμάτων

Η εμφάνιση των κλασμάτων

Από τα αρχαία χρόνια, για να λύσει τα προβλήματα της ζωής πρακτικά ζητήματαοι άνθρωποι έπρεπε να μετρήσουν αντικείμενα και να μετρήσουν ποσότητες, δηλαδή να απαντήσουν στις ερωτήσεις "Πόσα;": πόσα πρόβατα υπάρχουν στο κοπάδι, πόσα μέτρα σιτηρών που μαζεύτηκαν από το χωράφι, πόσα μίλια από το κέντρο της περιοχής κ.λπ. έτσι εμφανίστηκαν οι αριθμοί. Δεν ήταν πάντα δυνατό να εκφραστεί το αποτέλεσμα της μέτρησης ή το κόστος των αγαθών φυσικός αριθμός. Όταν ένα άτομο χρειαζόταν να βρει νέους - κλασματικούς - αριθμούς, εμφανίστηκαν κλάσματα. Στην αρχαιότητα, οι ακέραιοι και οι κλασματικοί αριθμοί αντιμετωπίζονταν διαφορετικά: οι προτιμήσεις ήταν στο πλευρό των ακέραιων αριθμών. «Αν θέλετε να διαιρέσετε μια μονάδα, οι μαθηματικοί θα σας ειρωνευτούν και δεν θα σας το επιτρέψουν», έγραψε ο ιδρυτής της Ακαδημίας Αθηνών, Πλάτων.

Σε όλους τους πολιτισμούς, η έννοια του κλάσματος προέκυψε από τη διαδικασία διαχωρισμού ενός συνόλου σε ίσα μέρη. Ο ρωσικός όρος "κλάσμα", όπως και τα ανάλογά του σε άλλες γλώσσες, προέρχεται από το λατ. «fractura», που με τη σειρά του είναι μετάφραση ενός αραβικού όρου με την ίδια σημασία: σπάω, τεμαχίζω. Επομένως, πιθανώς, τα πρώτα κλάσματα παντού ήταν κλάσματα της μορφής 1/n. Η περαιτέρω ανάπτυξη κινείται φυσικά προς το να θεωρηθούν αυτά τα κλάσματα ως μονάδες από τις οποίες μπορούν να συντεθούν τα κλάσματα m/n - ρητικοί αριθμοί. Ωστόσο, αυτό το μονοπάτι δεν ακολουθήθηκε από όλους τους πολιτισμούς: για παράδειγμα, δεν έγινε ποτέ αντιληπτό στα αρχαία αιγυπτιακά μαθηματικά.

Το πρώτο κλάσμα στο οποίο εισήχθησαν οι άνθρωποι ήταν το μισό. Αν και τα ονόματα όλων των παρακάτω κλασμάτων σχετίζονται με τα ονόματα των παρονομαστών τους (το τρία είναι "τρίτο", το τέσσερα είναι "τέταρτο" κ.λπ.), αυτό δεν ισχύει για τα μισά - το όνομά του σε όλες τις γλώσσες δεν έχει τίποτα να κάνω με τη λέξη «δύο».

Το σύστημα καταγραφής των κλασμάτων και οι κανόνες αντιμετώπισής τους διέφεραν σημαντικά διαφορετικά έθνη, και σε διαφορετικές χρονικές στιγμές μεταξύ των ίδιων ανθρώπων. Πολυάριθμοι δανεισμοί ιδεών έπαιξαν επίσης σημαντικό ρόλο κατά τις πολιτιστικές επαφές μεταξύ διαφορετικών πολιτισμών.

κλάσματα στη Ρωσία

Στη ρωσική γλώσσα, η λέξη "κλάσμα" εμφανίστηκε τον 8ο αιώνα · προέρχεται από το ρήμα "droblit" - σπάω, σπάω σε κομμάτια. Η σύγχρονη σημειογραφία για τα κλάσματα προέρχεται από Αρχαία Ινδία: Άρχισαν να το χρησιμοποιούν και οι Άραβες.

Σε παλιά εγχειρίδια βρίσκουμε τα ακόλουθα ονόματα κλασμάτων στη Ρωσία:

Η σλαβική αρίθμηση χρησιμοποιήθηκε στη Ρωσία μέχρι τον 16ο αιώνα, στη συνέχεια το δεκαδικό σύστημα αριθμών θέσης άρχισε σταδιακά να διεισδύει στη χώρα. Τελικά αντικατέστησε τη σλαβική αρίθμηση υπό τον Πέτρο Α.

Το μέτρο γης που χρησιμοποιήθηκε στη Ρωσία ήταν ένα τέταρτο και ένα μικρότερο ένα - μισό τέταρτο, το οποίο ονομαζόταν ocmina. Αυτά ήταν συγκεκριμένα κλάσματα, μονάδες για τη μέτρηση της επιφάνειας της γης, αλλά το οκτίνα δεν μπορούσε να μετρήσει τον χρόνο ή την ταχύτητα, κλπ. Πολύ αργότερα, το οκτίνα άρχισε να σημαίνει το αφηρημένο κλάσμα 1/8, το οποίο μπορεί να εκφράζει οποιαδήποτε τιμή. Σχετικά με τη χρήση των κλασμάτων σε Ρωσία XVIIαιώνα, μπορείτε να διαβάσετε στο βιβλίο του V. Bellustin «Πώς οι άνθρωποι έφτασαν σταδιακά στην πραγματική αριθμητική» τα εξής: «Σε ένα χειρόγραφο του 17ου αιώνα. «Το άρθρο για όλα τα κλάσματα του διατάγματος «αρχίζει απευθείας με τον γραπτό προσδιορισμό των κλασμάτων και με την ένδειξη του αριθμητή και του παρονομαστή. Κατά την προφορά των κλασμάτων, τα ακόλουθα χαρακτηριστικά είναι ενδιαφέροντα: το τέταρτο μέρος ονομάστηκε τέταρτο, ενώ τα κλάσματα με παρονομαστή από το 5 έως το 11 εκφράστηκαν με λέξεις που τελειώνουν σε "ina", έτσι ώστε το 1/7 να είναι μια εβδομάδα, το 1/5 είναι ένα πεντάποντο, το 1/10 είναι ένα δέκατο. Οι μετοχές με παρονομαστές μεγαλύτερους από 10 προφέρονταν χρησιμοποιώντας τις λέξεις «παρτίδες», για παράδειγμα 5/13 - πέντε δέκατα τρίτα των παρτίδων. Η αρίθμηση των κλασμάτων δανείστηκε απευθείας από δυτικές πηγές. Ο αριθμητής ονομαζόταν κορυφαίος αριθμός, ο παρονομαστής ονομαζόταν κάτω».

Κλάσματα σε άλλες πολιτείες της αρχαιότητας

Όλοι οι κανόνες μέτρησης των αρχαίων Αιγυπτίων βασίζονταν στην ικανότητα πρόσθεσης και αφαίρεσης, διπλασιασμού αριθμών και πλήρωσης κλασμάτων προς ένα. Υπήρχαν ειδικές σημειώσεις για τα κλάσματα. Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν κλάσματα της μορφής 1/n, όπου το n είναι φυσικός αριθμός. Τέτοια κλάσματα ονομάζονται κλάσματα. Μερικές φορές, αντί να διαιρούν m:n, πολλαπλασίαζαν το m. n.

Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιήθηκαν ειδικοί πίνακες. Πρέπει να ειπωθεί ότι οι πράξεις με κλάσματα ήταν χαρακτηριστικό της αιγυπτιακής αριθμητικής, στην οποία οι απλούστεροι υπολογισμοί μερικές φορές μετατρέπονταν σε σύνθετες εργασίες. (Εφαρμογή).

Εφαρμογή

Σταθείτε «Τα μαθηματικά γύρω μας»

Πίνακας «Γράψιμο κλασμάτων στην Αίγυπτο»

Αυτός ο πίνακας βοήθησε στη διεξαγωγή πολύπλοκων αριθμητικών υπολογισμών σύμφωνα με τους αποδεκτούς κανόνες. Προφανώς, οι γραφείς το απομνημόνευσαν, όπως τώρα οι μαθητές απομνημονεύουν τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Αυτός ο πίνακας χρησιμοποιήθηκε επίσης για τη διαίρεση αριθμών. Οι Αιγύπτιοι ήξεραν επίσης πώς να πολλαπλασιάζουν και να διαιρούν τα κλάσματα. Αλλά για να πολλαπλασιάσετε, έπρεπε να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα με τα κλάσματα και μετά, ίσως, να χρησιμοποιήσετε ξανά τον πίνακα. Η κατάσταση με τον διχασμό ήταν ακόμη πιο περίπλοκη.

Ήδη στην αρχαιότητα, οι Αιγύπτιοι ήξεραν πώς να χωρίσουν 2 μήλα σε τρία: είχαν ακόμη και ένα ειδικό εικονίδιο για αυτόν τον αριθμό. Παρεμπιπτόντως, αυτό ήταν το μόνο κλάσμα στη χρήση των Αιγυπτίων γραφέων που δεν είχε μονάδα στον αριθμητή - όλα τα άλλα κλάσματα είχαν σίγουρα 1 στον αριθμητή (τα λεγόμενα βασικά κλάσματα): 1/2, 1/3 , 1/17, ... και κτλ. Αυτή η στάση απέναντι στα κλάσματα υπάρχει εδώ και πολύ καιρό. Ο πολιτισμός της αρχαίας Αιγύπτου είχε ήδη χαθεί, η κάποτε πράσινη γη καταβροχθίστηκε από την άμμο της Σαχάρας και όλα τα κλάσματα ταξινομήθηκαν στο άθροισμα των βασικών - μέχρι την Αναγέννηση!

Στην Κίνα, σχεδόν όλες οι αριθμητικές πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα καθιερώθηκαν από τον 2ο αιώνα. προ ΧΡΙΣΤΟΥ μι.; περιγράφονται στο θεμελιώδες σώμα της μαθηματικής γνώσης της αρχαίας Κίνας - «Μαθηματικά σε εννέα βιβλία», η τελική έκδοση του οποίου ανήκει στον Zhang Tsang. Υπολογίζοντας με βάση έναν κανόνα παρόμοιο με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη (τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη του αριθμητή και του παρονομαστή), οι Κινέζοι μαθηματικοί μείωσαν τα κλάσματα. Ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων θεωρήθηκε ως η εύρεση της επιφάνειας ενός ορθογώνιου οικοπέδου, το μήκος και το πλάτος του οποίου εκφράζονται ως κλάσματα. Η διαίρεση θεωρήθηκε ότι χρησιμοποιούσε την ιδέα της κοινής χρήσης, ενώ οι Κινέζοι μαθηματικοί δεν συγχέονταν από το γεγονός ότι ο αριθμός των συμμετεχόντων στη διαίρεση θα μπορούσε να είναι κλασματικός, για παράδειγμα, 3 1/2 άτομα.

Αρχικά, οι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν απλά κλάσματα, τα οποία ονομάστηκαν χρησιμοποιώντας το ιερογλυφικό μπάνιου:

Απαγόρευση ("μισό") -1\2;

Shao ban ("μικρό μισό") -1\3;

Tai banh ("μεγάλο μισό") -2\3.

Είναι ενδιαφέρον ότι οι Βαβυλώνιοι προτιμούσαν έναν σταθερό παρονομαστή (ίσο με 60, προφανώς επειδή το σύστημα αριθμών τους ήταν σεξουαλικό).

Οι Ρωμαίοι χρησιμοποιούσαν επίσης μόνο έναν παρονομαστή, ίσο με 12.

Περαιτέρω ανάπτυξη της έννοιας ενός κοινού κλάσματος επιτεύχθηκε στην Ινδία. Οι μαθηματικοί αυτής της χώρας μπόρεσαν να περάσουν γρήγορα από τα κλάσματα μονάδας στα γενικά κλάσματα. Για πρώτη φορά τέτοια κλάσματα βρίσκονται στους «Κανόνες του Σχοινιού» του Απαστάμπα (VII-V αιώνες π.Χ.), που περιέχουν γεωμετρικές κατασκευές και τα αποτελέσματα ορισμένων υπολογισμών. Στην Ινδία χρησιμοποιήθηκε ένα σύστημα σημειογραφίας -ίσως κινεζικής και ίσως ύστερης ελληνικής προέλευσης- στο οποίο ο αριθμητής του κλάσματος ήταν γραμμένος πάνω από τον παρονομαστή - όπως το δικό μας, αλλά χωρίς γραμμή κλάσματος, αλλά ολόκληρο το κλάσμα τοποθετήθηκε σε ορθογώνιο πλαίσιο.

Ενδιαφέροντα κλάσματα

"Χωρίς γνώση των κλασμάτων, κανείς δεν μπορεί να αναγνωριστεί ότι γνωρίζει αριθμητική!"

Κάθε φορά που οι άνθρωποι χρησιμοποιούν χρήματα, συναντούν πάντα κλάσματα: στο Μεσαίωνα, 1 αγγλική πένα = 1/12 σελίνι. Επί του παρόντος, ένα ρωσικό καπίκι = 1/100 του ρουβλίου.

Τα συστήματα μέτρησης φέρουν κλάσματα: 1 εκατοστό = 1/10 δεκατόμετρο = 1/100 μέτρο.

Τα κλάσματα ήταν πάντα στη μόδα. Το στυλ μανίκι τριών τετάρτων είναι πάντα επίκαιρο. Και το κομμένο παντελόνι 7/8 είναι μια υπέροχη λεπτομέρεια της γκαρνταρόμπας.

Μπορείτε να συναντήσετε κλάσματα σε διαφορετικά μαθήματα. Για παράδειγμα, στη γεωγραφία: «Κατά τη διάρκεια της ύπαρξης της ΕΣΣΔ, η Ρωσία κατέλαβε το ένα έκτο της γης. Τώρα η Ρωσία καταλαμβάνει το ένα ένατο της ξηράς». Στην ωραία τέχνη - όταν απεικονίζει μια ανθρώπινη φιγούρα. Στη μουσική, ο ρυθμός, ο μέτρος ενός μουσικού κομματιού.

Ένα άτομο συναντά τη λέξη "κλάσμα" στη ζωή:

Μικρές μολύβδινες μπάλες για βολή από κυνηγετικό τουφέκι - βολή.

Συχνοί, διακοπτόμενοι ήχοι - τύμπανο.

Στο ναυτικό, η εντολή "πυροβολήστε!" - κατάπαυση του πυρός.

Αρίθμηση κατοικιών. Ένας αριθμός που χωρίζεται με ένα κλάσμα τοποθετείται σε σπίτια αριθμημένα κατά μήκος δύο οδών που διασταυρώνονται.

Κλάσμα στο χορό. Είναι αδύνατο να φανταστεί κανείς τον ρωσικό λαϊκό χορό χωρίς κλάσματα και τρέξιμο.

Χτυπήστε ένα κλάσμα με τα δόντια σας - χτυπήστε τα δόντια σας (τρέμουλο από το κρύο, φόβος).

Στη μυθοπλασία. Ο Deniska, ο ήρωας της ιστορίας του Viktor Dragunsky "You Must Have a Sense of Humor", ρώτησε κάποτε τον φίλο του Mishka ένα πρόβλημα: πώς να μοιράσεις δύο μήλα ίσα στα τρία; Και όταν ο Mishka τελικά ενέδωσε, ανακοίνωσε θριαμβευτικά την απάντηση: "Φτιάξε κομπόστα!" Ο Mishka και ο Denis δεν είχαν μάθει ακόμα κλάσματα και ήξεραν σίγουρα ότι το 2 δεν διαιρείται με το 3;

Αυστηρά μιλώντας, η «κομπόστα μαγειρέματος» είναι μια πράξη με κλάσματα. Ας κόψουμε τα μήλα σε κομμάτια και θα προσθέσουμε και θα αφαιρέσουμε τις ποσότητες αυτών των κομματιών, θα πολλαπλασιάσουμε και θα διαιρέσουμε - ποιος θα μας σταματήσει;.. Σημασία έχει μόνο να θυμόμαστε πόσα μικρά κομμάτια αποτελούν ένα ολόκληρο μήλο...

Αλλά δεν είναι μόνη απόφασηαυτή η εργασία! Πρέπει να χωρίσετε κάθε μήλο σε τρία μέρη και να διανείμετε δύο τέτοια μέρη και στα τρία.

Για πολλούς αιώνες, στις γλώσσες των λαών, ένας σπασμένος αριθμός ονομαζόταν κλάσμα. Για παράδειγμα, πρέπει να διαιρέσετε κάτι εξίσου, για παράδειγμα, καραμέλα, ένα μήλο, ένα κομμάτι ζάχαρη κ.λπ. Για να γίνει αυτό, ένα κομμάτι ζάχαρης πρέπει να χωριστεί ή να σπάσει σε δύο ίσα μισά. Το ίδιο και με τους αριθμούς, για να πάρετε το μισό, πρέπει να διαιρέσετε ή να «σπάσετε» μια μονάδα σε δύο μέρη. Από εδώ προέρχεται το όνομα «σπασμένοι» αριθμοί.

Υπάρχουν τρεις τύποι κλασμάτων:

1. Μονάδες (κλάσματα) ή κλάσματα (για παράδειγμα, 1/2, 1/3, 1/4, κ.λπ.).

2. Συστηματικά, δηλαδή κλάσματα στα οποία ο παρονομαστής εκφράζεται με δύναμη ενός αριθμού (π.χ. δύναμη 10 ή 60 κ.λπ.).

3. Γενικός τύπος, στον οποίο αριθμητής και παρονομαστής μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Υπάρχουν κλάσματα "ψευδή" - ακανόνιστα και "πραγματικά" - σωστά.

Κλάσμα στα μαθηματικά - μορφή αναπαράστασης μαθηματικά μεγέθηχρησιμοποιώντας τη λειτουργία διαίρεσης, που αρχικά αντικατοπτρίζει την έννοια των μη ακεραίων ή των κλασμάτων. Στην απλούστερη περίπτωση, ένα αριθμητικό κλάσμα είναι μια αναλογία δύο αριθμών

Στο κλάσμα m/n (διαβάστε: "em nths"), ο αριθμός m που βρίσκεται πάνω από τη γραμμή ονομάζεται αριθμητής και ο αριθμός n που βρίσκεται κάτω από τη γραμμή ονομάζεται παρονομαστής. Ο παρονομαστής δείχνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίστηκε το σύνολο και ο αριθμητής δείχνει πόσα τέτοια μέρη ελήφθησαν. Η γραμμή κλάσματος μπορεί να γίνει κατανοητή ως σύμβολο διαίρεσης.

Ο πρώτος Ευρωπαίος επιστήμονας που άρχισε να χρησιμοποιεί και να διαδίδει τη σύγχρονη σημειογραφία των κλασμάτων ήταν ένας Ιταλός έμπορος και ταξιδιώτης, ο γιος του υπαλλήλου της πόλης Fibbonacci (Λεονάρντο της Πίζας).

Το 1202 εισήγαγε τη λέξη «κλάσμα».

Τα ονόματα αριθμητής και παρονομαστής εισήχθησαν τον 13ο αιώνα από τον Μάξιμο Πλανούντ, Έλληνα μοναχό, επιστήμονα και μαθηματικό.

Το σύγχρονο σύστημα γραφής κλασμάτων δημιουργήθηκε στην Ινδία. Μόνο που εκεί έγραψαν τον παρονομαστή στην κορυφή και τον αριθμητή στο κάτω, και δεν έγραψαν κλασματική γραμμή. Και οι Άραβες άρχισαν να γράφουν κλάσματα όπως τώρα. Οι πράξεις με κλάσματα στο Μεσαίωνα θεωρούνταν η πιο δύσκολη περιοχή των μαθηματικών. Μέχρι σήμερα, οι Γερμανοί λένε για ένα άτομο που βρίσκεται σε δύσκολη κατάσταση ότι «έπεσε σε κλάσματα».

Κοινά κλάσματαέπαιξε ρόλο και στη μουσική. Και τώρα σε μια συγκεκριμένη μουσική σημειογραφία, μια μακρά νότα - ένα σύνολο - χωρίζεται σε μισά (μισό μήκος), τέταρτα, δέκατα έκτα και τριάντα δευτερόλεπτα. Έτσι, το ρυθμικό μοτίβο κάθε μουσικού έργου, όσο πολύπλοκο κι αν είναι, καθορίζεται από συνηθισμένα κλάσματα. Η Αρμονία αποδείχθηκε ότι σχετίζεται στενά με κλάσματα, γεγονός που επιβεβαίωσε την κύρια ιδέα των Ευρωπαίων: «Ο αριθμός κυβερνά τον κόσμο».

«Ένα άτομο είναι σαν ένα κλάσμα: ο αριθμητής είναι ο εαυτός του και ο παρονομαστής είναι αυτό που σκέφτεται για τον εαυτό του. Όσο μεγαλύτερος είναι ο παρονομαστής, τόσο μικρότερο είναι το κλάσμα» (L.N. Tolstoy).

Κύρια αποτελέσματα της μελέτης

Η μελέτη των κλασμάτων θεωρήθηκε το πιο δύσκολο τμήμα των μαθηματικών σε όλες τις εποχές και μεταξύ όλων των λαών. Όσοι γνώριζαν κλάσματα είχαν μεγάλη εκτίμηση. Συγγραφέας αρχαίου σλαβικού χειρογράφου του 15ου αιώνα. γράφει: «Δεν είναι θαυμάσιο ότι ... εν συνόλω, αλλά είναι αξιέπαινο ότι εν μέρει...».

Ενώ δούλευα, έμαθα πολλά νέα και ενδιαφέροντα πράγματα. Διάβασα πολλά βιβλία και ενότητες από εγκυκλοπαίδειες. Γνώρισα τα πρώτα κλάσματα με τα οποία λειτούργησαν οι άνθρωποι, με την έννοια του κλασματικού κλάσματος και έμαθα νέα ονόματα επιστημόνων που συνέβαλαν στην ανάπτυξη του δόγματος των κλασμάτων. Στη διαδικασία της εργασίας, έμαθα πολλά νέα πράγματα, νομίζω ότι αυτή η γνώση θα είναι χρήσιμη στις σπουδές μου.

Συμπέρασμα: Η ανάγκη για κλάσματα προέκυψε σε πολύ πρώιμο στάδιο της ανθρώπινης ανάπτυξης. Στη ζωή, ένα άτομο έπρεπε όχι μόνο να μετράει αντικείμενα, αλλά και να μετράει ποσότητες. Οι άνθρωποι μέτρησαν τα μήκη, τις εκτάσεις γης, τους όγκους, τις μάζες σώματος, τον χρόνο και έκαναν πληρωμές για αγαθά που αγόραζαν ή πουλούσαν. Δεν ήταν πάντα δυνατό να εκφραστεί το αποτέλεσμα μιας μέτρησης ή το κόστος ενός προϊόντος σε φυσικό αριθμό. Έτσι εμφανίστηκαν τα κλάσματα και οι κανόνες χειρισμού τους.

Πρακτική σημασία της εργασίας

Κατέκτησα τις δεξιότητες της εργασίας σε ένα πρόγραμμα επεξεργασίας κειμένου και δούλεψα με πόρους του Διαδικτύου. Επέλεξα υλικό για να διακοσμήσω το περίπτερο «Μαθηματικά γύρω μας» στην τάξη των μαθηματικών με ενδιαφέροντα στοιχεία για τα κλάσματα (Παράρτημα). Και σχεδίασε ένα περίπτερο (Παράρτημα).

Ως αποτέλεσμα της έρευνας, επιβεβαίωσα την υπόθεση: οι άνθρωποι δεν μπορούσαν να κάνουν χωρίς κλάσματα· χωρίς κλάσματα, τα μαθηματικά δεν μπορούσαν να αναπτυχθούν.

Βιβλιογραφικός σύνδεσμος

Balbutskaya A.A. ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝ ΓΙΑ ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ // Ξεκινήστε από την επιστήμη. – 2017. – Αρ. 5-2. – Σ. 265-268;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=874 (ημερομηνία πρόσβασης: 29/08/2019).

Σήμερα, θα μοιραστούμε μαζί σας ενδιαφέροντα και ασυνήθιστα γεγονότα από τον κόσμο αυτής της σοβαρής επιστήμης. Υπάρχει ένα μέρος για το επιπόλαιο ή απλά συναρπαστικό, σε οποιοδήποτε ακριβής επιστήμη. Το κυριότερο είναι η επιθυμία να το βρεις...

Ο Άγγλος μαθηματικός Abraham de Moivre, σε μεγάλη ηλικία, ανακάλυψε κάποτε ότι η διάρκεια του ύπνου του αυξανόταν κατά 15 λεπτά την ημέρα. Έχοντας συντάξει αριθμητική πρόοδος, καθόρισε την ημερομηνία που θα έφτανε το 24ωρο - 27 Νοεμβρίου 1754. Την ημέρα αυτή πέθανε.
Οι θρησκευόμενοι Εβραίοι προσπαθούν να αποφύγουν τα χριστιανικά σύμβολα και, γενικά, τα σημάδια παρόμοια με ένα σταυρό. Για παράδειγμα, οι μαθητές σε ορισμένα ισραηλινά σχολεία, αντί για το σύμβολο συν, γράφουν ένα σημάδι που επαναλαμβάνει το ανεστραμμένο γράμμα «t».
Η γνησιότητα ενός τραπεζογραμματίου ευρώ μπορεί να επαληθευτεί με τον αύξοντα αριθμό, τα γράμματα και τα έντεκα ψηφία του. Πρέπει να αντικαταστήσετε το γράμμα με αυτό σειριακός αριθμός V αγγλικό αλφάβητο, προσθέστε αυτόν τον αριθμό με τους άλλους και μετά προσθέστε τα ψηφία του αποτελέσματος μέχρι να πάρουμε ένα ψηφίο.

Εάν αυτός ο αριθμός είναι 8, τότε ο λογαριασμός είναι γνήσιος. Ένας άλλος τρόπος ελέγχου είναι να προσθέσετε τους αριθμούς με παρόμοιο τρόπο, αλλά χωρίς το γράμμα. Το αποτέλεσμα ενός γράμματος και ενός αριθμού πρέπει να αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη χώρα, αφού τυπώνονται ευρώ διαφορετικές χώρες. Για παράδειγμα, για τη Γερμανία είναι X2.
Η λέξη «άλγεβρα» ακούγεται η ίδια σε όλες τις γλώσσες του κόσμου. Είναι αραβικής προέλευσης και εισήχθη σε χρήση από τον μεγάλο μαθηματικό της Κεντρικής Ασίας στα τέλη του 8ου - αρχές του 9ου αιώνα, Mahammad ibn Musa al-Khwarizmi. Η μαθηματική πραγματεία του ονομαζόταν «Aldzhebr wal muqabala», από την πρώτη λέξη της οποίας προήλθε το διεθνές όνομα της επιστήμης - άλγεβρα.
Υπάρχει η άποψη ότι ο Άλφρεντ Νόμπελ δεν συμπεριέλαβε τα μαθηματικά στη λίστα των κλάδων του βραβείου του επειδή η γυναίκα του τον απάτησε με έναν μαθηματικό. Στην πραγματικότητα, ο Νόμπελ δεν παντρεύτηκε ποτέ. Ο πραγματικός λόγος που ο Νόμπελ αγνόησε τα μαθηματικά είναι άγνωστος, αλλά υπάρχουν αρκετές υποθέσεις. Για παράδειγμα, εκείνη την εποχή υπήρχε ήδη ένα βραβείο στα μαθηματικά από τον Σουηδό βασιλιά. Ένα άλλο πράγμα είναι ότι οι μαθηματικοί δεν κάνουν σημαντικές εφευρέσεις για την ανθρωπότητα, αφού αυτή η επιστήμη είναι καθαρά θεωρητική.
Το τρίγωνο Reuleaux είναι γεωμετρικό σχήμα, που σχηματίζεται από την τομή τριών ίσων κύκλων ακτίνας a με κέντρα στις κορυφές ισόπλευρο τρίγωνομε πλευρά α. Ένα τρυπάνι κατασκευασμένο με βάση το τρίγωνο Reuleaux σας επιτρέπει να ανοίξετε τετράγωνες τρύπες (με ανακρίβεια 2%).

Στη ρωσική μαθηματική λογοτεχνία, το μηδέν δεν είναι φυσικός αριθμός, αλλά στη δυτική λογοτεχνία, αντίθετα, ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών.

Το άθροισμα όλων των αριθμών σε μια ρουλέτα σε ένα καζίνο είναι ίσο με τον αριθμό του διαβόλου - 666.
Το 1897, η Ιντιάνα ψήφισε ένα νομοσχέδιο που καθόριζε την αξία του Pi ως 3,2. Το νομοσχέδιο αυτό δεν έγινε νόμος χάρη στην έγκαιρη παρέμβαση καθηγητή πανεπιστημίου.
Η Sofya Kovalevskaya εξοικειώθηκε με τα μαθηματικά στην πρώιμη παιδική ηλικία, όταν δεν υπήρχε αρκετή ταπετσαρία για το δωμάτιό της, αντί της οποίας επικολλήθηκαν φύλλα διαλέξεων του Ostrogradsky για τον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό.

Για να έχει την ευκαιρία να ασχοληθεί με την επιστήμη, η Sofya Kovalevskaya έπρεπε να συνάψει έναν πλασματικό γάμο και να φύγει από τη Ρωσία. Ενώ Ρωσικά πανεπιστήμιααπλά δεν δέχονταν γυναίκες και για να μεταναστεύσει ένα κορίτσι έπρεπε να έχει τη συγκατάθεση του πατέρα ή του συζύγου της. Δεδομένου ότι ο πατέρας της Σοφίας ήταν κατηγορηματικά αντίθετος, παντρεύτηκε τον νεαρό επιστήμονα Βλαντιμίρ Κοβαλέφσκι. Αν και στο τέλος ο γάμος τους έγινε de facto, και απέκτησαν μια κόρη.
Το σύστημα δεκαδικών αριθμών που χρησιμοποιούμε προέκυψε επειδή οι άνθρωποι έχουν 10 δάχτυλα. Η ικανότητα για αφηρημένη μέτρηση δεν εμφανίστηκε στους ανθρώπους αμέσως και αποδείχθηκε ότι ήταν πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τα δάχτυλα για μέτρηση. Ο πολιτισμός των Μάγια και, ανεξάρτητα από αυτούς, οι Chukchi χρησιμοποιούσαν ιστορικά το εικοσαψήφιο σύστημα αριθμών, χρησιμοποιώντας τα δάχτυλα όχι μόνο στα χέρια, αλλά και στα δάχτυλα των ποδιών. Το δωδεκαδάκτυλο και το σεξουαλικό σύστημα που ήταν κοινά στο αρχαίο Σούμερ και τη Βαβυλώνα βασίζονταν επίσης στη χρήση των χεριών: οι φάλαγγες των άλλων δακτύλων της παλάμης, ο αριθμός των οποίων είναι 12, μετρήθηκαν με τον αντίχειρα.
Σε πολλές πηγές, συχνά με σκοπό την ενθάρρυνση μαθητών με χαμηλή επίδοση, υπάρχει μια δήλωση ότι ο Αϊνστάιν απέτυχε στα μαθηματικά στο σχολείο ή, επιπλέον, γενικά σπούδασε πολύ κακά σε όλα τα μαθήματα. Στην πραγματικότητα, όλα δεν ήταν έτσι: ο Άλμπερτ ήταν ακόμα μέσα Νεαρή ηλικίαάρχισε να δείχνει ταλέντο στα μαθηματικά και το γνώριζε πολύ πέρα από το σχολικό πρόγραμμα.

Αργότερα, ο Αϊνστάιν δεν μπόρεσε να εισέλθει στην Ελβετική Ανώτερη Πολυτεχνική Σχολή της Ζυρίχης, δείχνοντας τα υψηλότερα αποτελέσματα στη φυσική και τα μαθηματικά, αλλά δεν πέτυχε τον απαιτούμενο αριθμό βαθμών σε άλλους κλάδους. Έχοντας κατακτήσει αυτά τα μαθήματα, ένα χρόνο αργότερα, σε ηλικία 17 ετών, έγινε φοιτητής σε αυτό το ίδρυμα.
Μια κυρία φίλη ζήτησε από τον Αϊνστάιν να της τηλεφωνήσει, αλλά προειδοποίησε ότι ο αριθμός τηλεφώνου της ήταν πολύ δύσκολο να θυμηθεί: - 24-361. Θυμάσαι? Επαναλαμβάνω! Έκπληκτος ο Αϊνστάιν απάντησε: «Φυσικά και θυμάμαι!» Δυο δωδεκάδες και 19 στο τετράγωνο.
Κάθε φορά που ανακατεύετε μια τράπουλα, δημιουργείτε μια σειρά από κάρτες που έχει πολύ μεγάλη πιθανότητα να μην υπάρχει ποτέ στο σύμπαν. Ο αριθμός των συνδυασμών σε μια τυπική τράπουλα είναι 52!, ή 8x1067. Για να επιτύχετε τουλάχιστον 50% πιθανότητα να πάρετε έναν συνδυασμό για δεύτερη φορά, πρέπει να κάνετε τυχαίες αναπαραστάσεις 9x1033. Και αν αναγκάσετε υποθετικά ολόκληρο τον πληθυσμό του πλανήτη να ανακατεύει συνεχώς κάρτες τα τελευταία 500 χρόνια και να παίρνει μια νέα τράπουλα κάθε δευτερόλεπτο, θα καταλήξετε με όχι περισσότερες από 1020 διαφορετικές ακολουθίες.
Ο Leonardo da Vinci εξήγαγε έναν κανόνα σύμφωνα με τον οποίο το τετράγωνο της διαμέτρου ενός κορμού δέντρου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των διαμέτρων των κλαδιών που λαμβάνονται σε ένα κοινό σταθερό ύψος. Μεταγενέστερες μελέτες το επιβεβαίωσαν με μία μόνο διαφορά - ο βαθμός στον τύπο δεν είναι απαραίτητα ίσος με 2, αλλά βρίσκεται στην περιοχή από 1,8 έως 2,3. Παραδοσιακά, πιστευόταν ότι αυτό το μοτίβο εξηγείται από το γεγονός ότι ένα δέντρο με τέτοια δομή έχει τον βέλτιστο μηχανισμό για την τροφοδοσία των κλαδιών του με θρεπτικά συστατικά. Ωστόσο, το 2010, ο Αμερικανός φυσικός Christophe Alloy βρήκε μια απλούστερη μηχανική εξήγηση για το φαινόμενο: αν θεωρήσουμε ένα δέντρο ως φράκταλ, τότε ο νόμος του Leonardo ελαχιστοποιεί την πιθανότητα να σπάσουν κλαδιά υπό την επίδραση του ανέμου.
Τα μυρμήγκια είναι σε θέση να εξηγούν μεταξύ τους την πορεία προς το φαγητό, μπορούν να μετρούν και να εκτελούν απλές αριθμητικές πράξεις. Για παράδειγμα, όταν ένα μυρμήγκι ανιχνευτής βρίσκει τροφή σε έναν ειδικά σχεδιασμένο λαβύρινθο, επιστρέφει και εξηγεί πώς να φτάσει σε αυτό σε άλλα μυρμήγκια.

Εάν αυτή τη στιγμή ο λαβύρινθος αντικατασταθεί με παρόμοιο, δηλαδή αφαιρεθεί το ίχνος φερομόνης, οι συγγενείς του ανιχνευτή θα εξακολουθήσουν να βρουν τροφή. Σε ένα άλλο πείραμα, ένας ανιχνευτής ψάχνει έναν λαβύρινθο με πολλά πανομοιότυπα κλαδιά και μετά την εξήγησή του, άλλα έντομα τρέχουν αμέσως στο καθορισμένο κλαδί. Και αν πρώτα συνηθίσετε τον ανιχνευτή στο γεγονός ότι το φαγητό είναι πιο πιθανό να είναι σε κλαδιά 10, 20 και ούτω καθεξής, τα μυρμήγκια τα παίρνουν ως βασικά και αρχίζουν να πλοηγούνται προσθέτοντας ή αφαιρώντας τον απαιτούμενο αριθμό από αυτά, δηλαδή, χρησιμοποιούν ένα σύστημα παρόμοιο με τους ρωμαϊκούς αριθμούς.
Τον Φεβρουάριο του 1992, η κλήρωση της λοταρίας της Βιρτζίνια 6/44 είχε τζακ ποτ 27 εκατομμυρίων δολαρίων. Ο αριθμός όλων των δυνατών συνδυασμών σε αυτό το είδος λαχειοφόρου αγοράς ήταν λίγο πάνω από 7 εκατομμύρια και κάθε εισιτήριο κόστιζε 1 $. Επιχειρηματικοί άνθρωποι από την Αυστραλία δημιούργησαν ένα ταμείο συγκεντρώνοντας 3 χιλιάδες δολάρια από 2.500 άτομα, αγόρασαν τον απαιτούμενο αριθμό εντύπων και τα συμπλήρωσαν χειροκίνητα με διάφορους συνδυασμούς αριθμών, λαμβάνοντας τριπλάσιο κέρδος μετά την πληρωμή φόρων.
Ο Stephen Hawking είναι ένας από τους κορυφαίους θεωρητικούς φυσικούς και εκλαϊκευτής της επιστήμης. Στην ιστορία του για τον εαυτό του, ο Χόκινγκ ανέφερε ότι έγινε καθηγητής μαθηματικών χωρίς να λάβει καμία μαθηματική εκπαίδευση από τότε Λύκειο. Όταν ο Χόκινγκ άρχισε να διδάσκει μαθηματικά στην Οξφόρδη, διάβασε το εγχειρίδιο δύο εβδομάδες πριν από τους δικούς του μαθητές.

Εργαστηριακές μελέτες έχουν δείξει ότι οι μέλισσες είναι σε θέση να επιλέξουν τη βέλτιστη διαδρομή. Αφού εντοπίσει τα λουλούδια που είναι τοποθετημένα σε διαφορετικά σημεία, η μέλισσα κάνει μια πτήση και επιστρέφει πίσω με τέτοιο τρόπο ώστε η τελική διαδρομή να αποδειχθεί η συντομότερη. Έτσι, αυτά τα έντομα αντιμετωπίζουν αποτελεσματικά το κλασικό «πρόβλημα του ταξιδιώτη πωλητή» από την επιστήμη των υπολογιστών, το οποίο οι σύγχρονοι υπολογιστές, ανάλογα με τον αριθμό των πόντων, μπορούν να αφιερώσουν περισσότερο από μία ημέρα για να λύσουν.
Υπάρχει ένας μαθηματικός νόμος που ονομάζεται νόμος του Benford, ο οποίος δηλώνει ότι η κατανομή των πρώτων ψηφίων στους αριθμούς οποιουδήποτε συνόλου δεδομένων του πραγματικού κόσμου είναι άνιση. Οι αριθμοί από το 1 έως το 4 σε τέτοια σύνολα (δηλαδή, στατιστικά στοιχεία γονιμότητας ή θνησιμότητας, αριθμοί σπιτιών κ.λπ.) βρίσκονται στην πρώτη θέση πολύ πιο συχνά από τους αριθμούς από το 5 έως το 9. Η πρακτική εφαρμογή αυτού του νόμου είναι ότι μπορεί να που χρησιμοποιούνται ελέγξτε την ακρίβεια των λογιστικών και οικονομικών στοιχείων, τα αποτελέσματα των εκλογών και πολλά άλλα. Σε ορισμένες πολιτείες των ΗΠΑ, η ασυνέπεια των δεδομένων με τη νομοθεσία του Benford είναι ακόμη και επίσημη απόδειξη στο δικαστήριο.
Υπάρχουν πολλές παραβολές για το πώς ένα άτομο προσκαλεί έναν άλλον να του πληρώσει για κάποια υπηρεσία με τον εξής τρόπο: στο πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας θα βάλει έναν κόκκο ρυζιού, στο δεύτερο - δύο και ούτω καθεξής: σε κάθε επόμενο τετράγωνο διπλάσια από την προηγούμενη. Ως αποτέλεσμα, αυτός που πληρώνει με αυτόν τον τρόπο σίγουρα θα χρεοκοπήσει. Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη: υπολογίζεται ότι το συνολικό βάρος του ρυζιού θα είναι περισσότερο από 460 δισεκατομμύρια τόνους

Ο Πι έχει δύο ανεπίσημες αργίες. Η πρώτη είναι 14 Μαρτίου, γιατί αυτή η ημέρα στην Αμερική γράφεται ως 3.14. Το δεύτερο είναι το 22 Ιουλίου, το οποίο σε ευρωπαϊκή μορφή γράφεται ως 22/7 και η τιμή ενός τέτοιου κλάσματος είναι μια αρκετά δημοφιλής κατά προσέγγιση τιμή του Pi.
Ο Αμερικανός μαθηματικός George Dantzig, ενώ ήταν μεταπτυχιακός φοιτητής στο πανεπιστήμιο, άργησε μια μέρα στο μάθημα και μπέρδεψε τις εξισώσεις που ήταν γραμμένες στον μαυροπίνακα με την εργασία για το σπίτι. Του φαινόταν πιο δύσκολο από ό,τι συνήθως, αλλά μετά από λίγες μέρες κατάφερε να το ολοκληρώσει. Αποδείχθηκε ότι έλυσε δύο «άλυτα» προβλήματα στα στατιστικά με τα οποία πολλοί επιστήμονες είχαν παλέψει.
Μεταξύ όλων των μορφών με την ίδια περίμετρο, ο κύκλος θα έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν. Αντίθετα, μεταξύ όλων των σχημάτων με το ίδιο εμβαδόν, ο κύκλος θα έχει τη μικρότερη περίμετρο.
Στην πραγματικότητα, στιγμήείναι μια μονάδα χρόνου που διαρκεί περίπου ένα εκατοστό του δευτερολέπτου.
Ο Ρενέ Ντεκάρτ εισήγαγε τους όρους " πραγματικός αριθμός" και "φανταστικός αριθμός".
Το κέικ μπορεί να κοπεί σε οκτώ ίσα κομμάτια με τρεις κινήσεις του μαχαιριού. Επιπλέον, υπάρχουν δύο τρόποι για να γίνει αυτό.

Σε μια ομάδα 23 ή περισσότερων ατόμων, η πιθανότητα δύο από αυτούς να έχουν τα ίδια γενέθλια είναι μεγαλύτερη από 50 τοις εκατό και σε μια ομάδα 60 ή περισσότερων ατόμων, η πιθανότητα είναι περίπου 99 τοις εκατό.
Εάν πολλαπλασιάσετε την ηλικία σας επί 7 και στη συνέχεια πολλαπλασιάσετε με το 1443, το αποτέλεσμα θα είναι η ηλικία σας γραμμένη τρεις φορές στη σειρά.
Στα μαθηματικά υπάρχουν: θεωρία πλεξούδας, θεωρία παιγνίων και θεωρία κόμπων.
Το μηδέν "0" είναι ο μόνος αριθμός που δεν μπορεί να γραφτεί με λατινικούς αριθμούς.
Ο μέγιστος αριθμός που μπορεί να γραφτεί με λατινικούς αριθμούς χωρίς να παραβιάζονται οι κανόνες του Shvartsman (κανόνες για τη γραφή λατινικών αριθμών) είναι 3999 (MMMCMXCIX) - δεν μπορείτε να γράψετε περισσότερα από τρία ψηφία στη σειρά
Το σύμβολο ίσου "=" χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Βρετανό Robert Record το 1557. Έγραψε ότι δεν υπάρχουν περισσότερα πανομοιότυπα αντικείμενα στον κόσμο από δύο ίσα και παράλληλα τμήματα.
Το άθροισμα όλων των αριθμών από το ένα έως το εκατό είναι 5050.
Στην πόλη Ταϊπέι της Ταϊβάν, επιτρέπεται στους κατοίκους να παραλείψουν τον αριθμό τέσσερα επειδή κινέζικααυτή η λέξη ακούγεται πανομοιότυπη με τη λέξη «θάνατος». Για το λόγο αυτό, πολλά κτίρια στην πόλη δεν έχουν τέταρτο όροφο.

Ο αριθμός δεκατρία, κατά πάσα πιθανότητα, άρχισε να θεωρείται άτυχος λόγω της βιβλικής ιστορίας του Μυστικού Δείπνου, όπου ήταν παρόντα ακριβώς δεκατρία άτομα. Επιπλέον, ο δέκατος τρίτος ήταν ο Ιούδας ο Ισκαριώτης.
Ένας ελάχιστα γνωστός μαθηματικός από τη Βρετανία αφιέρωσε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του στη μελέτη των νόμων της λογικής. Το όνομά του ήταν Charles Lutwidge Dodgson. Αυτό το όνομα δεν είναι γνωστό ένας μεγάλος αριθμόςάνθρωποι, αλλά το ψευδώνυμο με το οποίο έγραψε τα λογοτεχνικά του αριστουργήματα είναι γνωστό - Λιούις Κάρολ.
Η Ελληνίδα Ηπατία θεωρείται η πρώτη γυναίκα μαθηματικός στην ιστορία. Έζησε τον 4ο-5ο αιώνα στην Αιγυπτιακή Αλεξάνδρεια.
Μια πρόσφατη μελέτη δείχνει ότι σε τομείς όπου κυριαρχούν οι άνδρες, το ασθενέστερο φύλο τείνει να συγκαλύπτει τυπικά γυναικείες ιδιότητες προκειμένου να φαίνεται πιο πειστικό. Για παράδειγμα, οι γυναίκες μαθηματικοί προτιμούν να πηγαίνουν χωρίς μακιγιάζ.
Γνωρίζατε ότι μια από τις καμπύλες γραμμές ονομάζεται "Agnese Curl" προς τιμήν της πρώτης γυναίκας καθηγήτριας μαθηματικών στον κόσμο Maria Gaetano Agnese?
Ο Λέρμοντοφ, όντας πολυτάλαντος άνθρωπος, εκτός από λογοτεχνική δημιουργικότητα, ήταν καλός καλλιτέχνης και αγαπούσε τα μαθηματικά. Στοιχεία ανώτερων μαθηματικών, αναλυτική γεωμετρία, αρχές διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού γοήτευσαν τον Λέρμοντοφ σε όλη του τη ζωή. Πάντα κουβαλούσε μαζί του ένα εγχειρίδιο μαθηματικών του Γάλλου συγγραφέα Bezu.

Τον 18ο αιώνα, η σκακιστική μηχανή ενός Ούγγρου μηχανικού ήταν δημοφιλής Βόλφγκανγκ φον Κέμπελεν, ο οποίος έδειξε το αυτοκίνητό του στα γήπεδα της Αυστρίας και της Ρωσίας και στη συνέχεια το έδειξε δημόσια σε Παρίσι και Λονδίνο. Ναπολέων ΙΈπαιξα με αυτό το μηχάνημα, σίγουρος ότι δοκίμαζα τις δυνάμεις μου με το μηχάνημα. Στην πραγματικότητα, καμία σκακιστική μηχανή δεν λειτουργούσε αυτόματα. Κρυμμένος μέσα ήταν ένας ικανός ζωντανός σκακιστής που κινούσε τα πιόνια. Στα μέσα του περασμένου αιώνα, το περίφημο πολυβόλο ήρθε στην Αμερική και τελείωσε την ύπαρξή του εκεί κατά τη διάρκεια πυρκαγιάς στη Φιλαδέλφεια.
Σε μια παρτίδα σκακιού 40 κινήσεων, ο αριθμός των επιλογών για την ανάπτυξη του παιχνιδιού μπορεί να υπερβαίνει τον αριθμό των ατόμων σε απώτερο διάστημα. Μετά από όλα, είναι δυνατός ένας τεράστιος αριθμός επιλογών - 1,5 επί 10 έως την 128η ισχύ.
Ναπολέων Βοναπάρτηςέγραψε μαθηματικά έργα. Και ένα γεωμετρικό γεγονός ονομάζεται «Πρόβλημα του Ναπολέοντα»
Τα φύλλα σε ένα κλαδί φυτού είναι πάντα διατεταγμένα με αυστηρή σειρά, σε απόσταση μεταξύ τους σε μια συγκεκριμένη γωνία δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα. Το μέγεθος της γωνίας ποικίλλει μεταξύ των διαφορετικών φυτών, αλλά μπορεί πάντα να περιγραφεί ως κλάσμα, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του οποίου είναι αριθμοί από τη σειρά Fibonacci. Για παράδειγμα, για την οξιά αυτή η γωνία είναι 1/3 ή 120°, για δρυς και βερίκοκο - 2/5, για αχλάδι και λεύκα - 3/8, για ιτιά και αμύγδαλο - 5/13 κ.λπ. Αυτή η διάταξη επιτρέπει στα φύλλα να δέχονται την υγρασία και το ηλιακό φως πιο αποτελεσματικά.
Στην αρχαιότητα, στη Ρωσία ο κάδος (περίπου 12 λίτρα) και το shtof (το ένα δέκατο του κάδου) χρησιμοποιούνταν ως μονάδες μέτρησης όγκου. Στις ΗΠΑ, την Αγγλία και άλλες χώρες χρησιμοποιούνται ένα βαρέλι (περίπου 159 λίτρα), ένα γαλόνι (περίπου 4 λίτρα), ένα μπουζέλ (περίπου 36 λίτρα) και μια πίντα (από 470 έως 568 κυβικά εκατοστά).

Μικρά αρχαία ρωσικά μέτρα μήκους - άνοιγμα και πήχεις.
Σπιθαμή- αυτή είναι η απόσταση μεταξύ του τεντωμένου αντίχειρα και του δείκτη στη μεγαλύτερη απόστασή τους (το μέγεθος του ανοίγματος κυμαινόταν από 19 cm έως 23 cm). Λένε «Μην εγκαταλείπεις ούτε μια ίντσα γης», που σημαίνει να μην τα παρατάς, να μην εγκαταλείπεις ούτε το πιο μικρό κομμάτι της γης σου. Περίπου πολύ έξυπνο άτομοΛένε: «Επτά ανοίγματα στο μέτωπο».
Αγκώνας- αυτή είναι η απόσταση από το άκρο του εκτεταμένου μεσαίου δακτύλου του χεριού μέχρι την κάμψη του αγκώνα (το μέγεθος του αγκώνα κυμαινόταν από 38 cm έως 46 cm και αντιστοιχούσε σε δύο ανοίγματα). Υπάρχει ένα ρητό: «Είναι ψηλός όσο ένα νύχι, αλλά τα γένια του είναι τόσο μακριά όσο ο αγκώνας του».
Τετραγωνικές εξισώσειςδημιουργήθηκαν τον 11ο αιώνα στην Ινδία. Το περισσότερο ένας μεγάλος αριθμός, που χρησιμοποιούνταν στην Ινδία, ήταν 10 στην 53η δύναμη, ενώ οι Έλληνες και οι Ρωμαίοι λειτουργούσαν μόνο με αριθμούς στην 6η δύναμη.
Μάλλον ο καθένας έχει παρατηρήσει στον εαυτό του και στους γύρω του ότι ανάμεσα στα νούμερα υπάρχουν και αγαπημένα, στα οποία έχουμε ιδιαίτερο πάθος. Για παράδειγμα, αγαπάμε πραγματικά τους «στρογγυλούς αριθμούς», δηλαδή αυτούς που τελειώνουν σε 0 ή 5. Η προτίμηση για ορισμένους αριθμούς, η προτίμηση για αυτούς έναντι άλλων, βρίσκεται στην ανθρώπινη φύση πολύ πιο βαθιά από ό,τι πιστεύεται συνήθως. Από αυτή την άποψη, τα γούστα όχι μόνο των Ευρωπαίων και των προγόνων τους, για παράδειγμα, των αρχαίων Ρωμαίων, αλλά ακόμη και των πρωτόγονων λαών άλλων μερών του κόσμου συγκλίνουν.
Κάθε απογραφή συνήθως δείχνει μια υπερπληθώρα ατόμων των οποίων η ηλικία τελειώνει σε 5 ή 0. είναι πολύ περισσότερα από αυτά που θα έπρεπε. Ο λόγος έγκειται, φυσικά, στο γεγονός ότι οι άνθρωποι δεν θυμούνται σταθερά πόσο χρονών είναι και, δείχνοντας την ηλικία τους, άθελά τους «στρογγυλεύουν» τα χρόνια. Είναι αξιοσημείωτο ότι παρόμοια επικράτηση «στρογγυλών» ηλικιών παρατηρείται και στα επιτύμβια μνημεία των αρχαίων Ρωμαίων.
Θεωρούμε τους αρνητικούς αριθμούς ως κάτι φυσικό, αλλά αυτό δεν συνέβαινε πάντα.
Οι αρνητικοί αριθμοί νομιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά στην Κίνα τον 3ο αιώνα, αλλά χρησιμοποιήθηκαν μόνο για εξαιρετικές περιπτώσεις, καθώς θεωρούνταν, γενικά, χωρίς νόημα. Λίγο αργότερα, οι αρνητικοί αριθμοί άρχισαν να χρησιμοποιούνται στην Ινδία για να δηλώσουν χρέη, αλλά στη δύση δεν ρίζωσαν - ο περίφημος Διόφαντος της Αλεξάνδρειας υποστήριξε ότι η εξίσωση 4x+20=0 ήταν παράλογη.

Στην Ευρώπη, οι αρνητικοί αριθμοί εμφανίστηκαν χάρη στον Λεονάρντο της Πίζας (Φιμπονάτσι), ο οποίος το εισήγαγε επίσης για να λύσει οικονομικά προβλήματα με χρέη - το 1202 χρησιμοποίησε για πρώτη φορά αρνητικούς αριθμούς για να υπολογίσει τις απώλειές του.
Ωστόσο, μέχρι τον 17ο αιώνα, οι αρνητικοί αριθμοί βρίσκονταν «στο δίπλωμα» και ακόμη και τον 17ο αιώνα, ο διάσημος μαθηματικός Blaise Pascal υποστήριξε ότι 0-4 = 0, επειδή δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός που να μπορεί να είναι μικρότερος από το τίποτα, και μέχρι το Οι μαθηματικοί του 19ου αιώνα συχνά απέρριπταν αρνητικούς αριθμούς στους υπολογισμούς του, θεωρώντας τους ανούσιους...
Οι πρώτες «υπολογιστικές συσκευές» που χρησιμοποιούσαν οι άνθρωποι στην αρχαιότητα ήταν τα δάχτυλα και τα βότσαλα. Αργότερα εμφανίστηκαν ετικέτες με εγκοπές και σχοινιά με κόμπους. Στην Αρχαία Αίγυπτο και στην Αρχαία Ελλάδα, πολύ πριν από την εποχή μας, χρησιμοποιούσαν έναν άβακα - έναν πίνακα με λωρίδες κατά μήκος του οποίου κινούνταν βότσαλα. Ήταν η πρώτη συσκευή ειδικά σχεδιασμένη για υπολογιστές. Με την πάροδο του χρόνου, ο άβακας βελτιώθηκε - στον ρωμαϊκό άβακα, βότσαλα ή μπάλες κινούνταν κατά μήκος αυλακώσεων. Ο άβακας διήρκεσε μέχρι τον 18ο αιώνα, όταν αντικαταστάθηκε από γραπτούς υπολογισμούς. Ρωσικός άβακας - άβακας εμφανίστηκε τον 16ο αιώνα. Χρησιμοποιούνται ακόμα και σήμερα. Το μεγάλο πλεονέκτημα του ρωσικού άβακα είναι ότι βασίζεται στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και όχι στο πενταψήφιο σύστημα αριθμών, όπως όλοι οι άλλοι άβακες.
Το παλαιότερο μαθηματικό έργο βρέθηκε στη Σουαζιλάνδη - ένα κόκκαλο μπαμπουίνου με εγχάρακτες γραμμές (κόκκαλο από το Lembobo), που προφανώς ήταν αποτέλεσμα κάποιου είδους υπολογισμού. Η ηλικία του οστού είναι 37 χιλιάδες χρόνια.

Ένα ακόμη πιο περίπλοκο μαθηματικό έργο βρέθηκε στη Γαλλία - η
του οποίου το κόκαλο, στο οποίο είναι χαραγμένες γραμμές, ομαδοποιούνται σε ομάδες των πέντε. Η ηλικία του οστού είναι περίπου 30 χιλιάδες χρόνια.
Και τέλος, το περίφημο οστό από το Ishango (Κονγκό) στο οποίο είναι χαραγμένες ομάδες πρώτων αριθμών. Πιστεύεται ότι το οστό προήλθε πριν από 18-20 χιλιάδες χρόνια.
Όμως οι βαβυλωνιακές πινακίδες με την κωδική ονομασία Plimpton 322, που δημιουργήθηκαν το 1800-1900 π.Χ., μπορούν να θεωρηθούν το αρχαιότερο μαθηματικό κείμενο.
Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν είχαν πίνακες ή κανόνες πολλαπλασιασμού. Ωστόσο, ήξεραν πώς να πολλαπλασιάζουν και χρησιμοποίησαν μια μέθοδο "υπολογιστή" για αυτό - αποσύνθεση αριθμών σε δυαδική σειρά. Πώς το έκαναν; Ετσι:
Για παράδειγμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το 22 επί 35.
Σημειώστε 22 35
Τώρα διαιρούμε τον αριστερό αριθμό με το 2 και πολλαπλασιάζουμε τον δεξιό με το 2. Υπογραμμίζουμε τους αριθμούς στα δεξιά μόνο όταν διαιρείται με το 2.
Ετσι,

Τώρα προσθέστε 70+140+560=770
Σωστό αποτέλεσμα!
Οι Αιγύπτιοι δεν γνώριζαν κλάσματα όπως το 2/3 ή το 3/4. Χωρίς αριθμητές! Οι Αιγύπτιοι ιερείς λειτουργούσαν μόνο με κλάσματα, όπου ο αριθμητής ήταν πάντα 1 και το κλάσμα γραφόταν ως εξής: ένας ακέραιος με ένα οβάλ από πάνω του. Δηλαδή 4 με οβάλ σήμαινε το 1/4.
Τι γίνεται με κλάσματα όπως το 5/6; Οι Αιγύπτιοι μαθηματικοί τα χώρισαν σε κλάσματα με τον αριθμητή 1. Δηλαδή 1/2 + 1/3. Δηλαδή 2 και 3 με οβάλ στο πάνω μέρος.
Λοιπόν, είναι απλό. 2/7 = 1/7 + 1/7. Καθόλου! Ένας άλλος κανόνας των Αιγυπτίων ήταν η απουσία επαναλαμβανόμενων αριθμών σε μια σειρά από κλάσματα. Δηλαδή τα 2/7 κατά τη γνώμη τους ήταν 1/4 + 1/28.

Δημοτικό δημοσιονομικό εκπαιδευτικό ίδρυμα

Γυμνάσιο Νο 2

ΑΦΗΡΗΜΕΝΗ

γνωστικό αντικείμενο: "Μαθηματικά"

πανω σε αυτο το θεμα: "Ασυνήθιστα κλάσματα"

Εκτελέστηκε:

Μαθητής Ε' τάξης

Φρόλοβα Νατάλια

Επόπτης:

Drushchenko E.A.

καθηγητής μαθηματικών

Strezhevoy, περιοχή Τομσκ


	Εισαγωγή
	Από την ιστορία των συνηθισμένων κλασμάτων.
	Η εμφάνιση των κλασμάτων.
	Κλάσματα στην Αρχαία Αίγυπτο.
	Κλάσματα στην Αρχαία Βαβυλώνα.
	Κλάσματα στην Αρχαία Ρώμη.
	Τα κλάσματα στην αρχαία Ελλάδα.
	Κλάσματα στη Ρωσία.
	Κλάσματα στην αρχαία Κίνα.
	Κλάσματα σε άλλες πολιτείες της αρχαιότητας και του Μεσαίωνα.
	Εφαρμογή συνηθισμένων κλασμάτων.
	Υποπολλαπλάσια κλάσματα.
	Αντί για μικρούς λοβούς, μεγάλους.
	Μεραρχίες σε δύσκολες συνθήκες.
III.	Ενδιαφέροντα κλάσματα.
	Κλάσματα ντόμινο.
	Από τα βάθη των αιώνων.
	συμπέρασμα
	Βιβλιογραφία
	Παράρτημα 1. Φυσική κλίμακα.
	Παράρτημα 2. Αρχαία προβλήματα με χρήση συνηθισμένων κλασμάτων.
	Παράρτημα 3. Διασκεδαστικά προβλήματα με κοινά κλάσματα.
	Παράρτημα 4. Κλάσματα ντόμινο

Εισαγωγή

Φέτος αρχίσαμε να μαθαίνουμε για τα κλάσματα. Πολύ ασυνήθιστοι αριθμοί, ξεκινώντας από την ασυνήθιστη σημειογραφία τους και τελειώνοντας με πολύπλοκους κανόνεςενέργειες μαζί τους. Παρόλο που από την πρώτη γνωριμία μαζί τους ήταν ξεκάθαρο ότι δεν μπορούσαμε χωρίς αυτούς ακόμη και στη συνηθισμένη ζωή, αφού κάθε μέρα έχουμε να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα να χωρίσουμε ένα σύνολο σε μέρη, και ακόμη και σε μια συγκεκριμένη στιγμή μου φάνηκε ότι δεν περιβαλλόταν πλέον από ολόκληρα, αλλά από κλάσματα αριθμούς. Μαζί τους, ο κόσμος αποδείχθηκε πιο περίπλοκος, αλλά ταυτόχρονα πιο ενδιαφέρον. Εχω μερικές ερωτήσεις. Είναι απαραίτητα τα κλάσματα; Είναι σημαντικά; Ήθελα να μάθω από πού μας ήρθαν τα κλάσματα, ποιος βρήκε τους κανόνες για να δουλέψουμε μαζί τους. Αν και η λέξη επινοήθηκε μάλλον δεν είναι πολύ κατάλληλη, γιατί στα μαθηματικά όλα πρέπει να επαληθεύονται, αφού όλες οι επιστήμες και οι βιομηχανίες στη ζωή μας βασίζονται σε σαφείς μαθηματικούς νόμους που ισχύουν σε όλο τον κόσμο. Δεν μπορεί στη χώρα μας η πρόσθεση κλασμάτων να γίνεται σύμφωνα με έναν κανόνα, αλλά κάπου στην Αγγλία είναι διαφορετικά.

Ενώ δούλευα στο δοκίμιο, χρειάστηκε να αντιμετωπίσω κάποιες δυσκολίες: με νέους όρους και έννοιες, έπρεπε να επικεντρωθώ στο μυαλό μου, να λύνω προβλήματα και να αναλύω τη λύση που πρότειναν οι αρχαίοι επιστήμονες. Επίσης, κατά την πληκτρολόγηση, για πρώτη φορά ήρθα αντιμέτωπος με την ανάγκη να πληκτρολογήσω κλάσματα και κλασματικές εκφράσεις.

Ο σκοπός του δοκιμίου μου: να παρακολουθήσω την ιστορία της ανάπτυξης της έννοιας ενός συνηθισμένου κλάσματος, να δείξω την ανάγκη και τη σημασία της χρήσης συνηθισμένων κλασμάτων κατά την επίλυση πρακτικά προβλήματα. Οι εργασίες που έθεσα για τον εαυτό μου: συλλογή υλικού για το θέμα του δοκιμίου και τη συστηματοποίησή του, μελέτη αρχαίων προβλημάτων, σύνοψη του επεξεργασμένου υλικού, προετοιμασία του γενικευμένου υλικού, προετοιμασία παρουσίασης, παρουσίαση της περίληψης.

Η δουλειά μου αποτελείται από τρία κεφάλαια. Μελέτησα και επεξεργάστηκα υλικό από 7 πηγές, συμπεριλαμβανομένης της εκπαιδευτικής, επιστημονικής και εγκυκλοπαιδικής βιβλιογραφίας, και έναν ιστότοπο. Έχω σχεδιάσει μια εφαρμογή που περιέχει μια επιλογή προβλημάτων από αρχαίες πηγές, μερικά ενδιαφέροντα προβλήματα με συνηθισμένα κλάσματα, και ετοίμασα επίσης μια παρουσίαση που έγινε στο πρόγραμμα επεξεργασίας Power Point.

Εγώ. Από την ιστορία των συνηθισμένων κλασμάτων

1.1 Η εμφάνιση των κλασμάτων

Πολυάριθμες ιστορικές και μαθηματικές μελέτες δείχνουν ότι οι κλασματικοί αριθμοί εμφανίστηκαν μεταξύ διαφορετικών λαών στην αρχαιότητα, αμέσως μετά τους φυσικούς αριθμούς. Η εμφάνιση των κλασμάτων συνδέεται με πρακτικές ανάγκες: οι εργασίες όπου ήταν απαραίτητο να χωριστούν σε μέρη ήταν πολύ συνηθισμένες. Επιπλέον, στη ζωή ένα άτομο έπρεπε όχι μόνο να μετράει αντικείμενα, αλλά και να μετράει ποσότητες. Οι άνθρωποι αντιμετώπισαν μετρήσεις των μηκών, των εδαφών, των όγκων και των μαζών των σωμάτων. Σε αυτήν την περίπτωση, συνέβη η μονάδα μέτρησης να μην ταιριάζει ακέραιο αριθμό φορών στη μετρούμενη τιμή. Για παράδειγμα, κατά τη μέτρηση του μήκους ενός τμήματος σε βήματα, ένα άτομο αντιμετώπισε το ακόλουθο φαινόμενο: δέκα βήματα χωρούσαν στο μήκος και το υπόλοιπο ήταν λιγότερο από ένα βήμα. Επομένως, ο δεύτερος σημαντικός λόγος για την εμφάνιση κλασματικών αριθμών θα πρέπει να θεωρείται η μέτρηση των ποσοτήτων χρησιμοποιώντας την επιλεγμένη μονάδα μέτρησης.

Έτσι, σε όλους τους πολιτισμούς, η έννοια του κλάσματος προέκυψε από τη διαδικασία διάσπασης ενός συνόλου σε ίσα μέρη. Ο ρωσικός όρος "κλάσμα", όπως και τα ανάλογά του σε άλλες γλώσσες, προέρχεται από το λατ. fractura, που με τη σειρά του είναι μετάφραση ενός αραβικού όρου με την ίδια σημασία: σπάω, τεμαχίζω. Επομένως, πιθανώς, τα πρώτα κλάσματα παντού ήταν κλάσματα της μορφής 1/n. Η περαιτέρω ανάπτυξη κινείται φυσικά προς το να θεωρηθούν αυτά τα κλάσματα ως μονάδες από τις οποίες μπορούν να συντεθούν τα κλάσματα m/n - ρητικοί αριθμοί. Ωστόσο, αυτό το μονοπάτι δεν ακολουθήθηκε από όλους τους πολιτισμούς: για παράδειγμα, δεν έγινε ποτέ αντιληπτό στα αρχαία αιγυπτιακά μαθηματικά.

Το πρώτο κλάσμα στο οποίο εισήχθησαν οι άνθρωποι ήταν το μισό. Παρόλο που τα ονόματα όλων των παρακάτω κλασμάτων σχετίζονται με τα ονόματα των παρονομαστών τους (το τρία είναι "τρίτο", τέσσερα είναι "τέταρτο" κ.λπ.), αυτό δεν ισχύει για το μισό - το όνομά του σε όλες τις γλώσσες δεν έχει καμία σχέση κάντε με τη λέξη «δύο».

Το σύστημα καταγραφής των κλασμάτων και οι κανόνες αντιμετώπισής τους διέφεραν σημαντικά μεταξύ διαφορετικών εθνών και σε διαφορετικές χρονικές στιγμές μεταξύ των ίδιων ανθρώπων. Πολυάριθμοι δανεισμοί ιδεών έπαιξαν επίσης σημαντικό ρόλο κατά τις πολιτιστικές επαφές μεταξύ διαφορετικών πολιτισμών.

1.2 Κλάσματα στην Αρχαία Αίγυπτο

ΣΕ αρχαία Αίγυπτοςχρησιμοποιούσαν μόνο τα πιο απλά κλάσματα στα οποία ο αριθμητής είναι ίσος με ένα (αυτά που ονομάζουμε «κλάσματα»). Οι μαθηματικοί ονομάζουν τέτοια κλάσματα aliquot (από το λατινικό aliquot - αρκετά). Χρησιμοποιείται επίσης η ονομασία βασικά κλάσματα ή κλάσματα μονάδας.

Οι Αιγύπτιοι έβαλαν ιερογλυφικό

(εεε, "[ένα] από" ή σχετικά με, στόμα) πάνω από τον αριθμό για να υποδείξει ένα κλάσμα μονάδας με συνηθισμένη σημειογραφία, αλλά στα ιερά κείμενα χρησιμοποιήθηκε μια γραμμή. Π.χ:

το μεγαλύτερο μέρος του ματιού

1/2 (ή 32/64)

1/8 (ή 8/64)

δάκρυ (?)

1/32 (ή ²/64)

Επιπλέον, οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν μορφές γραφής βασισμένες σε ιερογλυφικά Μάτι του Ώρου (Wadget). Οι αρχαίοι χαρακτηρίζονταν από τη διαπλοκή της εικόνας του Ήλιου και του ματιού. Στην αιγυπτιακή μυθολογία αναφέρεται συχνά ο θεός Ώρος, ο οποίος προσωποποιεί τον φτερωτό Ήλιο και είναι ένα από τα πιο κοινά ιερά σύμβολα. Στη μάχη με τους εχθρούς του Ήλιου, που ενσωματώνονται στην εικόνα του Set, ο Horus αρχικά ηττάται. Ο Σεθ του αρπάζει το Μάτι - ένα υπέροχο μάτι - και το σκίζει σε κομμάτια. Ο Θωθ - ο θεός της μάθησης, της λογικής και της δικαιοσύνης - έβαλε και πάλι τα μέρη του ματιού σε ένα σύνολο, δημιουργώντας το «υγιές μάτι του Ώρου». Εικόνες τμημάτων του κομμένου ματιού χρησιμοποιήθηκαν γραπτώς στην Αρχαία Αίγυπτο για να αναπαραστήσουν κλάσματα από το 1/2 έως το 1/64.

Το άθροισμα των έξι χαρακτήρων που περιλαμβάνονται στο Wadget και μειώνονται σε έναν κοινό παρονομαστή: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

Τέτοια κλάσματα χρησιμοποιήθηκαν μαζί με άλλες μορφές αιγυπτιακών κλασμάτων για τη διαίρεση εκατ, το κύριο μέτρο όγκου στην Αρχαία Αίγυπτο. Αυτή η συνδυασμένη καταγραφή χρησιμοποιήθηκε επίσης για τη μέτρηση του όγκου των σιτηρών, του ψωμιού και της μπύρας. Εάν, μετά την καταγραφή της ποσότητας ως κλάσματος του ματιού του Ώρου, υπήρχε κάποιο υπόλοιπο, γραφόταν στη συνήθη μορφή ως πολλαπλάσιο του rho, μονάδα μέτρησης ίση με το 1/320 του εκάτ.

Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Σε αυτή την περίπτωση, το «στόμα» τοποθετήθηκε μπροστά από όλα τα ιερογλυφικά.

Hekatκριθάρι: 1/2 + 1/4 + 1/32 (δηλαδή 25/32 δοχεία κριθαριού).

Hekatήταν περίπου 4.785 λίτρα.

Οι Αιγύπτιοι αντιπροσώπευαν οποιοδήποτε άλλο κλάσμα ως άθροισμα κλασμάτων, για παράδειγμα 9/16 = 1/2+1/16. 7/8=1/2+1/4+1/8 και ούτω καθεξής.

Είχε γραφτεί ως εξής: /2 /16; /2 /4 /8.

Σε ορισμένες περιπτώσεις αυτό φαίνεται αρκετά απλό. Για παράδειγμα, 2/7 = 1/7 + 1/7. Αλλά ένας άλλος κανόνας των Αιγυπτίων ήταν η απουσία επαναλαμβανόμενων αριθμών σε μια σειρά από κλάσματα. Δηλαδή τα 2/7 κατά τη γνώμη τους ήταν 1/4 + 1/28.

Τώρα το άθροισμα πολλών κλασμάτων ονομάζεται αιγυπτιακό κλάσμα. Με άλλα λόγια, κάθε κλάσμα ενός αθροίσματος έχει αριθμητή ίσο με ένα και παρονομαστή ίσο με έναν φυσικό αριθμό.

Η διενέργεια διαφόρων υπολογισμών, η έκφραση όλων των κλασμάτων σε μονάδες, ήταν φυσικά πολύ δύσκολη και χρονοβόρα. Επομένως, Αιγύπτιοι επιστήμονες φρόντισαν να διευκολύνουν το έργο του γραφέα. Συνέταξαν ειδικούς πίνακες αποσυνθέσεων κλασμάτων σε απλούς. Τα μαθηματικά έγγραφα της αρχαίας Αιγύπτου δεν είναι επιστημονικές πραγματείες για τα μαθηματικά, αλλά πρακτικά εγχειρίδια με παραδείγματα βγαλμένα από τη ζωή. Μεταξύ των εργασιών που έπρεπε να λύσει ένας μαθητής της σχολής γραφέων ήταν οι υπολογισμοί της χωρητικότητας των αχυρώνων, ο όγκος ενός καλαθιού, η έκταση ενός χωραφιού, η κατανομή της περιουσίας μεταξύ των κληρονόμων και άλλα. Ο γραφέας έπρεπε να θυμάται αυτά τα δείγματα και να μπορεί να τα χρησιμοποιεί γρήγορα για υπολογισμούς.

Μία από τις πρώτες γνωστές αναφορές σε αιγυπτιακά κλάσματα είναι ο μαθηματικός πάπυρος Rhind. Τρία παλαιότερα κείμενα που αναφέρουν αιγυπτιακά κλάσματα είναι ο Αιγυπτιακός Μαθηματικός Δερμάτινος κύλινδρος, ο Μαθηματικός Πάπυρος της Μόσχας και η Ξύλινη Ταμπλέτα Akhmim.

Το αρχαιότερο μνημείο των αιγυπτιακών μαθηματικών, ο λεγόμενος «Πάπυρος της Μόσχας», είναι ένα έγγραφο του 19ου αιώνα π.Χ. Αποκτήθηκε το 1893 από τον συλλέκτη αρχαίων θησαυρών Golenishchev και το 1912 έγινε ιδιοκτησία του Μουσείου Καλών Τεχνών της Μόσχας. Περιείχε 25 διαφορετικά προβλήματα.

Για παράδειγμα, εξετάζει το πρόβλημα της διαίρεσης του 37 με έναν αριθμό που δίνεται ως (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). Διπλασιάζοντας διαδοχικά αυτό το κλάσμα και εκφράζοντας τη διαφορά μεταξύ του 37 και του αποτελέσματος, και χρησιμοποιώντας μια διαδικασία ουσιαστικά παρόμοια με την εύρεση του κοινού παρονομαστή, προκύπτει η απάντηση: το πηλίκο είναι 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

Το μεγαλύτερο μαθηματικό έγγραφο - ένας πάπυρος στο εγχειρίδιο υπολογισμού του γραφέα Ahmes - βρέθηκε το 1858 από τον Άγγλο συλλέκτη Rhind. Ο πάπυρος συντάχθηκε τον 17ο αιώνα π.Χ. Το μήκος του είναι 20 μέτρα, το πλάτος του 30 εκατοστά. Περιέχει 84 μαθηματικά προβλήματα, τις λύσεις και τις απαντήσεις τους, γραμμένα ως αιγυπτιακά κλάσματα.

Ο πάπυρος Ahmes ξεκινά με έναν πίνακα στον οποίο όλα τα κλάσματα της μορφής 2\n από 2/5 έως 2/99 γράφονται ως αθροίσματα κλασμάτων. Οι Αιγύπτιοι ήξεραν επίσης πώς να πολλαπλασιάζουν και να διαιρούν τα κλάσματα. Αλλά για να πολλαπλασιάσετε, έπρεπε να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα με τα κλάσματα και μετά, ίσως, να χρησιμοποιήσετε ξανά τον πίνακα. Η κατάσταση με τον διχασμό ήταν ακόμη πιο περίπλοκη. Εδώ, για παράδειγμα, είναι πώς διαιρέθηκε το 5 με το 21:

Ένα πρόβλημα που αντιμετωπίζεται συχνά από τον πάπυρο Ahmes: «Ας σας ειπωθεί: μοιράστε 10 μέτρα κριθάρι σε 10 άτομα. η διαφορά μεταξύ κάθε ανθρώπου και του διπλανού του είναι - 1/8 του μέτρου. Το μέσο μερίδιο είναι ένα μέτρο. Αφαιρέστε ένα από το 10. υπόλοιπο 9. Αναπληρώστε τη μισή διαφορά. αυτό είναι 16/1. Πάρτε το 9 φορές. Εφαρμόστε αυτό στο μεσαίο ρυθμό. αφαιρέστε το 1/8 του μέτρου για κάθε πρόσωπο μέχρι να φτάσετε στο τέλος».

Ένα άλλο πρόβλημα από τον πάπυρο Ahmes που καταδεικνύει τη χρήση κλασμάτων υποπολλαπλάσιας ποσότητας: «Μοιράστε 7 ψωμιά σε 8 άτομα».
Αν κόψετε κάθε καρβέλι σε 8 κομμάτια, θα πρέπει να κάνετε 49 κοψίματα.
Και στα αιγυπτιακά αυτό το πρόβλημα λύθηκε έτσι. Το κλάσμα 7/8 γράφτηκε ως κλάσματα: 1/2 + 1/4 + 1/8. Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε άτομο πρέπει να δοθεί μισό καρβέλι, ένα τέταρτο από ένα καρβέλι και ένα όγδοο καρβέλι. Επομένως, κόβουμε τέσσερα καρβέλια στη μέση, δύο καρβέλια σε 4 μέρη και ένα καρβέλι σε 8 μερίδες, μετά από τα οποία δίνουμε στο καθένα ένα μέρος.

Οι πίνακες αιγυπτιακών κλασμάτων και διάφοροι πίνακες Βαβυλωνίων είναι τα παλαιότερα γνωστά μέσα διευκόλυνσης των υπολογισμών.

Τα αιγυπτιακά κλάσματα συνέχισαν να χρησιμοποιούνται στην αρχαία Ελλάδα και στη συνέχεια από μαθηματικούς σε όλο τον κόσμο μέχρι τον Μεσαίωνα, παρά τα σχόλια των αρχαίων μαθηματικών για αυτά. Για παράδειγμα, ο Κλαύδιος Πτολεμαίος μίλησε για την ταλαιπωρία της χρήσης αιγυπτιακών κλασμάτων σε σύγκριση με το βαβυλωνιακό σύστημα (σύστημα θέσεων). Σημαντική εργασία για τη μελέτη των αιγυπτιακών κλασμάτων πραγματοποιήθηκε από τον μαθηματικό Fibonacci του 13ου αιώνα στο έργο του "Liber Abaci" - αυτοί είναι υπολογισμοί που χρησιμοποιούν δεκαδικά και συνηθισμένα κλάσματα, τα οποία τελικά αντικατέστησαν τα αιγυπτιακά κλάσματα. Ο Φιμπονάτσι χρησιμοποιούσε μια σύνθετη σημείωση κλασμάτων, συμπεριλαμβανομένης της σημειογραφίας μικτής βάσης και της σημειογραφίας αθροίσματος κλασμάτων, ενώ συχνά χρησιμοποιούνταν και αιγυπτιακά κλάσματα. Το βιβλίο παρείχε επίσης αλγόριθμους για τη μετατροπή από συνηθισμένα κλάσματα σε αιγυπτιακά.

1.3 Κλάσματα στην Αρχαία Βαβυλώνα.

Είναι γνωστό ότι στην αρχαία Βαβυλώνα χρησιμοποιούσαν το σεξουαλικό αριθμητικό σύστημα. Οι επιστήμονες αποδίδουν αυτό το γεγονός στο γεγονός ότι οι βαβυλωνιακές νομισματικές μονάδες και μονάδες μέτρησης βάρους χωρίστηκαν, λόγω ιστορικών συνθηκών, σε 60 ίσα μέρη: 1 τάλαντο = 60 λεπτά. 1 μίνα = 60 σέκελ. Η εξηκοστή ήταν κοινή στη ζωή των Βαβυλωνίων. Γι' αυτό χρησιμοποίησαν κλάσματα εξάμηνου, που έχουν πάντα τον παρονομαστή 60 ή τις δυνάμεις του: 60 2 = 3600, 60 3 = 216000 κ.λπ. Αυτά είναι τα πρώτα συστηματικά κλάσματα στον κόσμο, δηλ. κλάσματα στα οποία ο παρονομαστής είναι δυνάμεις του ίδιου αριθμού. Χρησιμοποιώντας τέτοια κλάσματα, οι Βαβυλώνιοι έπρεπε να αντιπροσωπεύουν πολλά κλάσματα περίπου. Αυτό είναι το μειονέκτημα και ταυτόχρονα το πλεονέκτημα αυτών των κλασμάτων. Αυτά τα κλάσματα έγιναν σταθερό εργαλείο επιστημονικών υπολογισμών για Έλληνες και στη συνέχεια αραβόφωνους και μεσαιωνικούς Ευρωπαίους επιστήμονες μέχρι τον 15ο αιώνα, όταν έδωσαν τη θέση τους στα δεκαδικά κλάσματα. Αλλά οι επιστήμονες όλων των εθνών χρησιμοποιούσαν κλάσματα σεξουαλικού μεγέθους στην αστρονομία μέχρι τον 17ο αιώνα, αποκαλώντας τα αστρονομικά κλάσματα.

Το σεξουαλικό αριθμητικό σύστημα προκαθόρισε μεγάλο ρόλο στα μαθηματικά της Βαβυλώνας για διάφορους πίνακες. Ένας πλήρης βαβυλωνιακός πίνακας πολλαπλασιασμού θα περιείχε γινόμενα από 1x1 έως 59x59, δηλαδή 1770 αριθμούς, και όχι 45 ως τον πίνακα πολλαπλασιασμού μας. Είναι σχεδόν αδύνατο να απομνημονεύσετε έναν τέτοιο πίνακα. Ακόμη και σε γραπτή μορφή θα ήταν πολύ δυσκίνητο. Επομένως, για τον πολλαπλασιασμό, όπως και για τη διαίρεση, υπήρχε ένα εκτεταμένο σύνολο διαφορετικών πινάκων. Η λειτουργία της διαίρεσης στα βαβυλωνιακά μαθηματικά μπορεί να ονομαστεί «πρόβλημα νούμερο ένα». Οι Βαβυλώνιοι μείωσαν τη διαίρεση του αριθμού m με τον αριθμό n πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό m με το κλάσμα 1\n, και δεν είχαν καν τον όρο «διαίρεση». Για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό του τι θα γράφαμε ως x = m: n, συλλογίζονταν πάντα ως εξής: πάρτε το αντίστροφο του n, θα δείτε 1\ n, πολλαπλασιάστε το m με 1 \ n και θα δείτε x. Βέβαια, αντί για τα γράμματά μας, οι κάτοικοι της Βαβυλώνας καλούσαν συγκεκριμένους αριθμούς. Έτσι, τον πιο σημαντικό ρόλο στα βαβυλωνιακά μαθηματικά έπαιξαν πολυάριθμοι πίνακες αμοιβαίων.

Επιπλέον, για υπολογισμούς με κλάσματα, οι Βαβυλώνιοι συνέταξαν εκτενείς πίνακες που εξέφραζαν τα κύρια κλάσματα σε κλάσματα εξάμηνου. Για παράδειγμα:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

Η πρόσθεση και η αφαίρεση των κλασμάτων από τους Βαβυλώνιους έγινε παρόμοια με τις αντίστοιχες πράξεις με ακέραιους αριθμούς και δεκαδικά κλάσματα στο σύστημα αριθμών θέσης μας. Πώς όμως πολλαπλασιάστηκε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα; Η αρκετά υψηλή ανάπτυξη της γεωμετρίας μέτρησης (τοπογραφία γης, μέτρηση περιοχής) υποδηλώνει ότι οι Βαβυλώνιοι ξεπέρασαν αυτές τις δυσκολίες με τη βοήθεια της γεωμετρίας: μια αλλαγή στη γραμμική κλίμακα κατά 60 φορές δίνει μια αλλαγή στην κλίμακα της περιοχής κατά 60 60 φορές. Πρέπει να σημειωθεί ότι στη Βαβυλώνα η επέκταση του πεδίου των φυσικών αριθμών στην περιοχή των θετικών ρητών αριθμών δεν συνέβη τελικά, αφού οι Βαβυλώνιοι θεωρούσαν μόνο πεπερασμένα σεξουαλικά κλάσματα, στην περιοχή των οποίων η διαίρεση δεν είναι πάντα εφικτή. Επιπλέον, οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν κλάσματα 1\2,1\3,2\3,1\4,1\5,1\6,5\6, για τα οποία υπήρχαν μεμονωμένα σημάδια.

Ίχνη του βαβυλωνιακού σεξουαλικού συστήματος αριθμών έχουν παραμείνει στη σύγχρονη επιστήμη στη μέτρηση του χρόνου και των γωνιών. Η διαίρεση μιας ώρας σε 60 λεπτά, ενός λεπτού σε 60 δευτερόλεπτα, ενός κύκλου σε 360 μοίρες, μιας μοίρας σε 60 λεπτά, ενός λεπτού σε 60 δευτερόλεπτα έχει διατηρηθεί μέχρι σήμερα. Minute σημαίνει "μικρό μέρος" στα λατινικά, second σημαίνει "δεύτερος"

(μικρό μέρος).

1.4. Κλάσματα στην Αρχαία Ρώμη.

Οι Ρωμαίοι χρησιμοποιούσαν κυρίως μόνο συγκεκριμένα κλάσματα, τα οποία αντικατέστησαν τα αφηρημένα μέρη με υποδιαιρέσεις των μέτρων που χρησιμοποιήθηκαν. Αυτό το σύστημα των κλασμάτων βασίστηκε στη διαίρεση μιας μονάδας βάρους σε 12 μέρη, το οποίο ονομαζόταν γάιδαρος. Έτσι προέκυψαν τα ρωμαϊκά δωδεκαδικά κλάσματα, δηλ. κλάσματα των οποίων ο παρονομαστής ήταν πάντα δώδεκα. Το δωδέκατο μέρος ενός άσου ονομαζόταν ουγγιά. Αντί για 1/12, οι Ρωμαίοι έλεγαν «μία ουγγιά», 5/12 – «πέντε ουγγιές» κ.λπ. Τρεις ουγγιές ονομάζονταν ένα τέταρτο, τέσσερις ουγγιές το τρίτο, έξι ουγγιές το μισό.

Και η διαδρομή, ο χρόνος και άλλες ποσότητες συγκρίθηκαν με ένα οπτικό πράγμα - το βάρος. Για παράδειγμα, ένας Ρωμαίος μπορεί να πει ότι περπάτησε επτά ουγγιές από ένα μονοπάτι ή διάβασε πέντε ουγγιές από ένα βιβλίο. Σε αυτή την περίπτωση, φυσικά, δεν επρόκειτο για το ζύγισμα του μονοπατιού ή του βιβλίου. Αυτό σήμαινε ότι τα 7/12 του ταξιδιού είχαν ολοκληρωθεί ή τα 5/12 του βιβλίου είχαν διαβαστεί. Και για τα κλάσματα που προέκυψαν με τη μείωση των κλασμάτων με παρονομαστή 12 ή τη διαίρεση των δωδεκατημορίων σε μικρότερα, υπήρχαν ειδικά ονόματα. Συνολικά χρησιμοποιήθηκαν 18 διαφορετικά ονόματα για τα κλάσματα. Για παράδειγμα, χρησιμοποιήθηκαν τα ακόλουθα ονόματα:

"scrupulus" - 1/288 assa,

"ημιτελές" - μισό άσα,

Το "sextance" είναι το έκτο μέρος του,

"Semiounce" - μισή ουγγιά, δηλ. 1/24 γαϊδούρια κ.λπ.

Για να δουλέψετε με τέτοια κλάσματα, ήταν απαραίτητο να θυμάστε τον πίνακα πρόσθεσης και τον πίνακα πολλαπλασιασμού για αυτά τα κλάσματα. Ως εκ τούτου, οι Ρωμαίοι έμποροι γνώριζαν ακράδαντα ότι όταν προσθέτουν τριέν (1/3 άσα) και εξτάνες, το αποτέλεσμα είναι ημι, και όταν πολλαπλασιάζουν το imp (2/3 assa) με το sescunce (2/3 ουγγιά, δηλ. 1/8 assa), το αποτέλεσμα είναι μια ουγγιά. Για τη διευκόλυνση της εργασίας, συντάχθηκαν ειδικοί πίνακες, μερικοί από τους οποίους έχουν φτάσει σε εμάς.

Μια ουγγιά συμβολιζόταν με μια γραμμή - μισό assa (6 ουγγιές) - με το γράμμα S (το πρώτο στη λατινική λέξη Semis - μισό). Αυτά τα δύο ζώδια χρησίμευαν για την καταγραφή οποιουδήποτε δωδεκαδικού κλάσματος, καθένα από τα οποία είχε το δικό του όνομα. Για παράδειγμα, το 7\12 γράφτηκε ως εξής: S-.

Τον πρώτο αιώνα π.Χ., ο εξέχων Ρωμαίος ρήτορας και συγγραφέας Κικέρων είπε: «Χωρίς γνώση των κλασμάτων, κανείς δεν μπορεί να αναγνωρίσει ότι γνωρίζει αριθμητική!»

Χαρακτηριστικό είναι το παρακάτω απόσπασμα από το έργο του διάσημου Ρωμαίου ποιητή του 1ου αιώνα π.Χ. Οράτιου, για μια συνομιλία δασκάλου και μαθητή σε ένα από τα ρωμαϊκά σχολεία εκείνης της εποχής:

Δάσκαλος: Ας μου πει ο γιος του Άλμπιν πόσα θα μείνουν αν αφαιρεθεί μια ουγγιά από τις πέντε ουγγιές!

Μαθητής: Το ένα τρίτο.

Δάσκαλος: Σωστά, ξέρεις καλά τα κλάσματα και θα μπορέσεις να σώσεις την περιουσία σου.

1.5. Τα κλάσματα στην αρχαία Ελλάδα.

Στην Αρχαία Ελλάδα, η αριθμητική - η μελέτη των γενικών ιδιοτήτων των αριθμών - διαχωρίστηκε από την επιμελητεία - την τέχνη του υπολογισμού. Οι Έλληνες πίστευαν ότι τα κλάσματα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν μόνο στα logistics. Οι Έλληνες χειρίζονταν ελεύθερα όλες τις αριθμητικές πράξεις με κλάσματα, αλλά δεν τις αναγνώριζαν ως αριθμούς. Κλάσματα δεν βρέθηκαν σε ελληνικά έργα για τα μαθηματικά. Οι Έλληνες επιστήμονες πίστευαν ότι τα μαθηματικά πρέπει να ασχολούνται μόνο με ακέραιους αριθμούς. Άφησαν να ασχολούνται με τα κλάσματα σε εμπόρους, τεχνίτες, καθώς και αστρονόμους, τοπογράφους, μηχανικούς και άλλους «μαύρους». «Αν θέλεις να χωρίσεις μια μονάδα, οι μαθηματικοί θα σε ειρωνευτούν και δεν θα σου επιτρέψουν να το κάνεις», έγραψε ο ιδρυτής της Ακαδημίας Αθηνών Πλάτωνας.

Δεν συμφωνούσαν όμως όλοι οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί με τον Πλάτωνα. Έτσι, στην πραγματεία του «Περί της μέτρησης ενός κύκλου», ο Αρχιμήδης χρησιμοποιεί κλάσματα. Ο Ήρων της Αλεξάνδρειας χειριζόταν επίσης ελεύθερα κλάσματα. Όπως οι Αιγύπτιοι, διασπά ένα κλάσμα στο άθροισμα των βασικών κλασμάτων. Αντί για 12\13 γράφει 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, αντί για 5\12 γράφει 1\3 + 1\12 κ.λπ. Ακόμη και ο Πυθαγόρας, που αντιμετώπιζε τους φυσικούς αριθμούς με ιερό τρόμο, όταν δημιουργούσε τη θεωρία της μουσικής κλίμακας, συνέδεε τα κύρια μουσικά διαστήματα με κλάσματα. Είναι αλήθεια ότι ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του δεν χρησιμοποίησαν την ίδια την έννοια των κλασμάτων. Επέτρεψαν στον εαυτό τους να μιλήσει μόνο για τις αναλογίες των ακεραίων.

Εφόσον οι Έλληνες δούλευαν με κλάσματα μόνο σποραδικά, χρησιμοποιούσαν διαφορετικούς συμβολισμούς. Ο Ήρων και ο Διόφαντος έγραψαν κλάσματα σε αλφαβητική μορφή, με τον αριθμητή να τοποθετείται κάτω από τον παρονομαστή. Χρησιμοποιήθηκαν χωριστοί χαρακτηρισμοί για ορισμένα κλάσματα, για παράδειγμα, για 1\2 - L′′, αλλά γενικά η αλφαβητική αρίθμησή τους καθιστούσε δύσκολο τον προσδιορισμό των κλασμάτων.

Για τα μοναδιαία κλάσματα, χρησιμοποιήθηκε μια ειδική σημείωση: ο παρονομαστής του κλάσματος συνοδεύτηκε από μια διαδρομή προς τα δεξιά, ο αριθμητής δεν γράφτηκε. Για παράδειγμα,
στο αλφαβητικό σύστημα σήμαινε 32, και " - το κλάσμα 1\32. Υπάρχουν τέτοιες εγγραφές συνηθισμένων κλασμάτων στα οποία ο αριθμητής με πρώτο και ο παρονομαστής που λαμβάνονται δύο φορές με δύο πρώτους γράφονται δίπλα δίπλα σε μια γραμμή. Έτσι , για παράδειγμα, ο Ήρων της Αλεξάνδρειας έγραψε το κλάσμα 3\4 :
.

Τα μειονεκτήματα των ελληνικών σημειώσεων για τους κλασματικούς αριθμούς οφείλονται στο γεγονός ότι οι Έλληνες κατανοούσαν τη λέξη «αριθμός» ως ένα σύνολο μονάδων, οπότε αυτό που τώρα θεωρούμε ως ενιαίο ρητός αριθμός– ένα κλάσμα – οι Έλληνες κατανοούσαν ως λόγο δύο ακέραιων αριθμών. Αυτό εξηγεί γιατί τα κλάσματα σπάνια βρίσκονταν στην ελληνική αριθμητική. Προτίμηση δόθηκε είτε σε κλάσματα με μοναδιαίο αριθμητή είτε σε κλάσματα εξάμηνου. Ο τομέας στον οποίο οι πρακτικοί υπολογισμοί είχαν τη μεγαλύτερη ανάγκη για ακριβή κλάσματα ήταν η αστρονομία και εδώ η βαβυλωνιακή παράδοση ήταν τόσο ισχυρή που χρησιμοποιήθηκε από όλα τα έθνη, συμπεριλαμβανομένης της Ελλάδας.

1.6. κλάσματα στη Ρωσία

Ο πρώτος Ρώσος μαθηματικός, γνωστός σε εμάς με το όνομά του, ο μοναχός του μοναστηριού του Νόβγκοροντ Kirik, ασχολήθηκε με θέματα χρονολογίας και ημερολογίου. Στο χειρόγραφο βιβλίο του «Teaching him to say a person the numbers of all years» (1136), δηλ. Η «Οδηγία για το πώς μπορεί ένα άτομο να γνωρίζει την αρίθμηση των ετών» εφαρμόζει τη διαίρεση της ώρας σε πέμπτα, εικοστά πέμπτα κ.λπ. κλάσματα, τα οποία ονόμασε «κλασματικές ώρες» ή «καστ». Φτάνει στην έβδομη κλασματική ώρα, από τις οποίες είναι 937.500 σε μια μέρα ή νύχτα, και λέει ότι τίποτα δεν προέρχεται από την έβδομη κλασματική ώρα.

Στα πρώτα εγχειρίδια μαθηματικών (7ος αιώνας), τα κλάσματα ονομάζονταν κλάσματα, αργότερα «σπασμένοι αριθμοί». Στη ρωσική γλώσσα, η λέξη κλάσμα εμφανίστηκε τον 8ο αιώνα · προέρχεται από το ρήμα "droblit" - σπάω, σπάω σε κομμάτια. Κατά τη σύνταξη ενός αριθμού χρησιμοποιήθηκε μια οριζόντια γραμμή.

Στα παλιά εγχειρίδια υπάρχουν τα ακόλουθα ονόματα κλασμάτων στη Ρωσία:

1/2 - μισό, μισό

1/3 – τρίτο

1/4 – ζυγό

1/6 – μισό τρίτο

1/8 - μισό

1/12 – μισό τρίτο

1/16 - μισό μισό

1/24 – μισό και μισό τρίτο (μικρό τρίτο)

1/32 – μισό μισό μισό (μικρό μισό)

1/5 – πυατίνα

1/7 - εβδομάδα

Το 1/10 είναι δέκατο.

Το μέτρο γης ενός τετάρτου ή μικρότερο χρησιμοποιήθηκε στη Ρωσία -

μισό τέταρτο, που λεγόταν οκτίνα. Αυτά ήταν συγκεκριμένα κλάσματα, μονάδες για τη μέτρηση της επιφάνειας της γης, αλλά το οκτίνα δεν μπορούσε να μετρήσει τον χρόνο ή την ταχύτητα, κλπ. Πολύ αργότερα, το οκτίνα άρχισε να σημαίνει το αφηρημένο κλάσμα 1/8, το οποίο μπορεί να εκφράζει οποιαδήποτε τιμή.

Σχετικά με τη χρήση των κλασμάτων στη Ρωσία τον 17ο αιώνα, μπορείτε να διαβάσετε τα ακόλουθα στο βιβλίο του V. Bellustin «Πώς οι άνθρωποι έφτασαν σταδιακά στην πραγματική αριθμητική»: «Σε ένα χειρόγραφο του 17ου αιώνα. «Το αριθμητικό άρθρο για όλα τα κλάσματα διάταγμα» ξεκινά απευθείας με τον γραπτό προσδιορισμό των κλασμάτων και με την ένδειξη του αριθμητή και του παρονομαστή. Κατά την προφορά των κλασμάτων, τα ακόλουθα χαρακτηριστικά είναι ενδιαφέροντα: το τέταρτο μέρος ονομάστηκε τέταρτο, ενώ τα κλάσματα με παρονομαστή από το 5 έως το 11 εκφράστηκαν με λέξεις που τελειώνουν σε "ina", έτσι ώστε το 1/7 να είναι μια εβδομάδα, το 1/5 είναι ένα πέντε, το 1/10 είναι ένα δέκατο. Οι μετοχές με παρονομαστές μεγαλύτερους από 10 προφέρονταν χρησιμοποιώντας τις λέξεις «παρτίδες», για παράδειγμα 5/13 - πέντε δέκατα τρίτα των παρτίδων. Η αρίθμηση των κλασμάτων δανείστηκε απευθείας από δυτικές πηγές... Ο αριθμητής ονομαζόταν κορυφαίος αριθμός, ο παρονομαστής ονομαζόταν κάτω».

Από τον 16ο αιώνα, ο άβακας σανίδα ήταν πολύ δημοφιλής στη Ρωσία - υπολογισμοί χρησιμοποιώντας μια συσκευή που ήταν το πρωτότυπο του ρωσικού άβακα. Κατέστησε δυνατή τη γρήγορη και εύκολη εκτέλεση σύνθετων αριθμητικών πράξεων. Ο απολογισμός σανίδων ήταν πολύ διαδεδομένος μεταξύ των εμπόρων, των υπαλλήλων των παραγγελιών της Μόσχας, των «μετρητών» - επιθεωρητών γης, των μοναστικών οικονομολόγων κ.λπ.

Στην αρχική του μορφή, ο άβακας σανίδας ήταν ειδικά προσαρμοσμένος στις ανάγκες της προηγμένης αριθμητικής. Αυτό είναι ένα φορολογικό σύστημα στη Ρωσία του 15ου-17ου αιώνα, στο οποίο, μαζί με την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση ακεραίων, ήταν απαραίτητο να εκτελεστούν οι ίδιες πράξεις με κλάσματα, καθώς η συμβατική μονάδα φορολογίας - το άροτρο - χωρίστηκε σε μέρη.

Ο λογαριασμός σανίδας αποτελούνταν από δύο πτυσσόμενα κουτιά. Κάθε κουτί χωρίστηκε στα δύο (αργότερα μόνο στο κάτω μέρος). το δεύτερο κουτί ήταν απαραίτητο λόγω της φύσης του λογαριασμού μετρητών. Μέσα στο κουτί, τα κόκαλα ήταν αρματωμένα σε τεντωμένα κορδόνια ή σύρματα. Σύμφωνα με το σύστημα δεκαδικών αριθμών, οι σειρές για ακέραιους αριθμούς είχαν 9 ή 10 ζάρια. Οι πράξεις με κλάσματα πραγματοποιήθηκαν σε ημιτελείς σειρές: μια σειρά από τρία ζάρια ήταν τα τρία τρίτα, μια σειρά από τέσσερα ζάρια ήταν τέσσερα τέταρτα (τέσσερα). Παρακάτω υπήρχαν σειρές στις οποίες υπήρχε ένα ζάρι: κάθε ζάρι αντιπροσώπευε το μισό του κλάσματος κάτω από το οποίο βρισκόταν (για παράδειγμα, το ζάρι που βρισκόταν κάτω από μια σειρά από τρία ζάρια ήταν το μισό του ενός τρίτου, το ζάρι κάτω από αυτό ήταν το μισό του μισού το ένα τρίτο, κ.λπ.). Η προσθήκη δύο όμοιων «συνεκτικών» κλασμάτων δίνει το κλάσμα της πλησιέστερης υψηλότερης κατάταξης, για παράδειγμα, 1/12+1/12=1/6 κ.λπ. Στον άβακα, η προσθήκη δύο τέτοιων κλασμάτων αντιστοιχεί σε μετακίνηση στο πλησιέστερο υψηλότερο ντόμινο.

Τα κλάσματα συνοψίστηκαν χωρίς αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή, για παράδειγμα, "ένα τέταρτο και μισό τρίτο και μισό μισό" (1/4 + 1/6 + 1/16). Μερικές φορές οι πράξεις με κλάσματα γίνονταν όπως και με ολόκληρα εξισώνοντας το σύνολο (άροτρο) με ένα ορισμένο χρηματικό ποσό. Για παράδειγμα, αν sokha = 48 νομισματικές μονάδες, το παραπάνω κλάσμα θα είναι 12 + 8 + 3 = 23 νομισματικές μονάδες.

Στην προχωρημένη αριθμητική έπρεπε να ασχοληθεί κανείς με μικρότερα κλάσματα. Ορισμένα χειρόγραφα παρέχουν σχέδια και περιγραφές «πίνακες μέτρησης» παρόμοια με αυτά που αναφέρθηκαν μόλις, αλλά με μεγάλο αριθμό σειρών με ένα κόκκαλο, έτσι ώστε να μπορούν να τοποθετηθούν πάνω τους κλάσματα έως 1/128 και 1/96. Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι κατασκευάζονταν και αντίστοιχα όργανα. Για τη διευκόλυνση των αριθμομηχανών, δόθηκαν πολλοί κανόνες του «Κώδικα των μικρών οστών», δηλ. προσθήκη κλασμάτων που χρησιμοποιούνται συνήθως σε κοινούς υπολογισμούς, όπως: τρία τέσσερα άροτρα και μισό άροτρο και μισό άροτρο κ.λπ. μέχρι μισό-μισό-μισό-μισό-μισό-μισό αλέτρι είναι ένα άροτρο χωρίς μισό-μισό-μισό-μισό-μισό-μισό, δηλ. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128, κ.λπ.

Αλλά από τα κλάσματα, μόνο το 1/2 και το 1/3 λήφθηκαν υπόψη, καθώς και αυτά που προέκυψαν από αυτά χρησιμοποιώντας διαδοχική διαίρεση με το 2. Η «μέτρηση σανίδων» δεν ήταν κατάλληλη για πράξεις με κλάσματα άλλων σειρών. Κατά τη λειτουργία τους, ήταν απαραίτητο να αναφερθούμε σε ειδικούς πίνακες στους οποίους δίνονταν τα αποτελέσματα διαφορετικών συνδυασμών κλασμάτων.

ΣΕ 1703 Εκδίδεται το πρώτο ρωσικό έντυπο εγχειρίδιο για τα μαθηματικά «Αριθμητική». Συγγραφέας Magnitsky Leonty Fillipovich. Στο 2ο μέρος αυτού του βιβλίου, «Περί αριθμών σπασμένων ή με κλάσματα», παρουσιάζεται αναλυτικά η μελέτη των κλασμάτων.

Ο Magnitsky έχει σχεδόν μοντέρνο χαρακτήρα. Ο Magnitsky ασχολείται με τον υπολογισμό των μεριδίων με περισσότερες λεπτομέρειες από τα σύγχρονα εγχειρίδια. Ο Magnitsky θεωρεί τα κλάσματα ως ονομασμένους αριθμούς (όχι μόνο το 1/2, αλλά το 1/2 του ρουβλίου, pood, κ.λπ.) και μελετά τις πράξεις με κλάσματα στη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων. Ότι υπάρχει ένας σπασμένος αριθμός, ο Magnitsky απαντά: «Ένας σπασμένος αριθμός δεν είναι τίποτα άλλο, μόνο ένα μέρος ενός πράγματος που δηλώνεται ως αριθμός, δηλαδή μισό ρούβλι είναι μισό ρούβλι και γράφεται ως ρούβλι ή ρούβλι, ή ένα ρούβλι, ή τα δύο πέμπτα, και όλα τα είδη των πραγμάτων που είτε δηλώνονται ως μέρος, δηλαδή ως σπασμένος αριθμός." Ο Magnitsky δίνει τα ονόματα όλων των κατάλληλων κλασμάτων με παρονομαστές από το 2 έως το 10. Για παράδειγμα, τα κλάσματα με παρονομαστή 6: ένα δεκαέξι, δύο δεκαέξι, τρία δεκαέξι, τέσσερα δεκαέξι, πέντε δεκαέξι.

Ο Magnitsky χρησιμοποιεί το όνομα αριθμητής, παρονομαστής, θεωρεί ακατάλληλα κλάσματα, μεικτούς αριθμούς, εκτός από όλες τις ενέργειες, απομονώνει ολόκληρο το μέρος ενός ακατάλληλου κλάσματος.

Η μελέτη των κλασμάτων παρέμεινε πάντα το πιο δύσκολο τμήμα της αριθμητικής, αλλά ταυτόχρονα, σε οποιαδήποτε από τις προηγούμενες εποχές, οι άνθρωποι συνειδητοποίησαν τη σημασία της μελέτης των κλασμάτων και οι δάσκαλοι προσπάθησαν να ενθαρρύνουν τους μαθητές τους στην ποίηση και την πεζογραφία. Ο L. Magnitsky έγραψε:

Αλλά δεν υπάρχει αριθμητική

Ο Izho είναι ολόκληρος ο κατηγορούμενος,

Και σε αυτές τις μετοχές δεν υπάρχει τίποτα,

Είναι δυνατόν να απαντήσω.

Ω, παρακαλώ, παρακαλώ,

Να μπορείς να είσαι σε μέρη.

1.7. Κλάσματα στην αρχαία Κίνα

Στην Κίνα, σχεδόν όλες οι αριθμητικές πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα καθιερώθηκαν από τον 2ο αιώνα. προ ΧΡΙΣΤΟΥ μι.; περιγράφονται στο θεμελιώδες σώμα της μαθηματικής γνώσης της αρχαίας Κίνας - «Μαθηματικά σε εννέα βιβλία», η τελική έκδοση του οποίου ανήκει στον Zhang Cang. Υπολογίζοντας με βάση έναν κανόνα παρόμοιο με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη (τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη του αριθμητή και του παρονομαστή), οι Κινέζοι μαθηματικοί μείωσαν τα κλάσματα. Ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων θεωρήθηκε ως η εύρεση της επιφάνειας ενός ορθογώνιου οικοπέδου, το μήκος και το πλάτος του οποίου εκφράζονται ως κλάσματα. Η διαίρεση θεωρήθηκε ότι χρησιμοποιεί την ιδέα της κοινής χρήσης, ενώ οι Κινέζοι μαθηματικοί δεν ντρέπονταν από το γεγονός ότι ο αριθμός των συμμετεχόντων στη διαίρεση θα μπορούσε να είναι κλασματικός, για παράδειγμα, 3⅓ άτομα.

απαγόρευση ("μισό") -1\2;

shao ban ("μικρό μισό") –1\3;

tai banh («μεγάλο μισό») –2\3.

Το επόμενο στάδιο ήταν η ανάπτυξη μιας γενικής κατανόησης των κλασμάτων και ο σχηματισμός κανόνων για τη λειτουργία με αυτά. Εάν στην αρχαία Αίγυπτο χρησιμοποιούνταν μόνο κλάσματα κλασμάτων, τότε στην Κίνα θεωρούνταν κλάσματα-fen, ως μία από τις ποικιλίες των κλασμάτων, και όχι οι μόνες πιθανές. Τα κινέζικα μαθηματικά ασχολούνται με τους μικτούς αριθμούς από την αρχαιότητα. Το παλαιότερο από τα μαθηματικά κείμενα, Zhou Bi Xuan Jing (Κανόνας Υπολογισμού του Zhou Gnomon/Μαθηματική πραγματεία για τον Γνώμονα), περιέχει υπολογισμούς που ανεβάζουν αριθμούς όπως το 247 933 / 1460 σε δυνάμεις.

Στο «Jiu Zhang Xuan Shu» («Κανόνες μέτρησης σε εννέα τμήματα»), ένα κλάσμα θεωρείται ως μέρος ενός συνόλου, το οποίο εκφράζεται στον n-αριθμό των κλασμάτων του-fen – m (n

Στην πρώτη ενότητα του «Jiu Zhang Xuan Shu», που είναι γενικά αφιερωμένη στη μέτρηση των πεδίων, δίνονται χωριστά οι κανόνες για τη μείωση, την πρόσθεση, την αφαίρεση, τη διαίρεση και τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, καθώς και τη σύγκριση και την «εξίσωσή» τους. μια τέτοια σύγκριση τριών κλασμάτων στα οποία είναι απαραίτητο να βρεθεί ο αριθμητικός μέσος όρος τους (ένας απλούστερος κανόνας για τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου δύο αριθμών δεν δίνεται στο βιβλίο).

Για παράδειγμα, για να λάβετε το άθροισμα των κλασμάτων στο υποδεικνυόμενο δοκίμιο, παρέχονται οι ακόλουθες οδηγίες: «Πολλαπλασιάστε εναλλακτικά (hu cheng) τους αριθμητές με τους παρονομαστές. Προσθήκη - αυτό είναι το μέρισμα (shi). Πολλαπλασιάστε τους παρονομαστές - αυτός είναι ο διαιρέτης (fa). Συνδυάστε το μέρισμα και το διαιρέτη σε ένα(α). Εάν υπάρχει υπόλοιπο, συνδέστε το με τον διαιρέτη.» Αυτή η οδηγία σημαίνει ότι εάν προστεθούν πολλά κλάσματα, τότε ο αριθμητής κάθε κλάσματος πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τους παρονομαστές όλων των άλλων κλασμάτων. Όταν "συνδυάζουμε" το μέρισμα (ως το άθροισμα των αποτελεσμάτων ενός τέτοιου πολλαπλασιασμού) με έναν διαιρέτη (το γινόμενο όλων των παρονομαστών), προκύπτει ένα κλάσμα, το οποίο θα πρέπει να μειωθεί εάν είναι απαραίτητο και από το οποίο θα πρέπει να διαχωριστεί ολόκληρο το μέρος με διαίρεση , τότε το "υπόλοιπο" είναι ο αριθμητής και ο μειωμένος διαιρέτης είναι παρονομαστής. Το άθροισμα ενός συνόλου κλασμάτων είναι το αποτέλεσμα μιας τέτοιας διαίρεσης, που αποτελείται από έναν ακέραιο αριθμό συν ένα κλάσμα. Η δήλωση «πολλαπλασιάστε τους παρονομαστές» ουσιαστικά σημαίνει αναγωγή των κλασμάτων στον μεγαλύτερο κοινό τους παρονομαστή.

Ο κανόνας για τη μείωση των κλασμάτων στο Jiu Zhang Xuan Shu περιέχει έναν αλγόριθμο για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη του αριθμητή και του παρονομαστή, ο οποίος συμπίπτει με τον λεγόμενο ευκλείδειο αλγόριθμο, σχεδιασμένος να προσδιορίζει τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών. Αν όμως το τελευταίο, όπως είναι γνωστό, δίνεται στο Principia σε γεωμετρική διατύπωση, τότε ο κινέζικος αλγόριθμος παρουσιάζεται καθαρά αριθμητικά. Ο κινεζικός αλγόριθμος για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη, που ονομάζεται deng shu («ίδιος αριθμός»), κατασκευάζεται ως η διαδοχική αφαίρεση ενός μικρότερου αριθμού από έναν μεγαλύτερο. Το κλάσμα πρέπει να μειωθεί κατά αυτόν τον αριθμό den shu. Για παράδειγμα, προτείνεται η μείωση του κλάσματος 49\91. Πραγματοποιούμε διαδοχική αφαίρεση: 91 – 49 = 42; 49 – 42 = 7; 42 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 0. Dan shu = 7. Μείωσε το κλάσμα με αυτόν τον αριθμό. Παίρνουμε: 7\13.

Η διαίρεση των κλασμάτων στο Jiu Zhang Xuan Shu είναι διαφορετική από αυτή που γίνεται αποδεκτή σήμερα. Ο κανόνας "jing fen" ("σειρά διαίρεσης") δηλώνει ότι πριν από τη διαίρεση των κλασμάτων, πρέπει να μειωθούν σε έναν κοινό παρονομαστή. Έτσι, η διαδικασία για τη διαίρεση των κλασμάτων έχει ένα περιττό βήμα: a/b: c/d = ad/bd: cb/bd = ad/cb. Μόλις τον 5ο αι. Ο Zhang Qiu-jian στο έργο του "Zhang Qiu-jian suan jing" ("The Counting Canon of Zhang Qiu-jian") το ξεφορτώθηκε, διαιρώντας τα κλάσματα σύμφωνα με τον συνήθη κανόνα: a/b: c/d = ad/ γβ.

Ίσως η μακρά δέσμευση των Κινέζων μαθηματικών σε έναν εξελιγμένο αλγόριθμο για τη διαίρεση των κλασμάτων οφειλόταν στην επιθυμία να διατηρήσουν την καθολικότητά του και στη χρήση ενός πίνακα μέτρησης. Ουσιαστικά, συνίσταται στη μείωση της διαίρεσης των κλασμάτων στη διαίρεση των ακεραίων. Αυτός ο αλγόριθμος είναι έγκυρος εάν ένας ακέραιος διαιρείται με έναν μεικτό αριθμό. Διαιρώντας, για παράδειγμα, το 2922 με το 182 5 / 8, και οι δύο αριθμοί πολλαπλασιάστηκαν πρώτα με το 8, γεγονός που επέτρεψε την περαιτέρω διαίρεση ακεραίων: 23376:1461= 16

1.8. Κλάσματα σε άλλες πολιτείες της αρχαιότητας και του Μεσαίωνα.

Για παράδειγμα, κλάσμα καταγράφηκε ως

Οι κανόνες για την εργασία με τα κλάσματα, που καθόρισε ο Ινδός επιστήμονας Bramagupta (8ος αιώνας), δεν διέφεραν σχεδόν καθόλου από τους σύγχρονους. Όπως και στην Κίνα, στην Ινδία, για να έρθουν σε έναν κοινό παρονομαστή, οι παρονομαστές όλων των όρων πολλαπλασιάζονταν για πολύ καιρό, αλλά από τον 9ο αιώνα. χρησιμοποιείται ήδη το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο.

Οι μεσαιωνικοί Άραβες χρησιμοποιούσαν τρία συστήματα για τη σύνταξη κλασμάτων. Πρώτον, με τον ινδικό τρόπο, γράφοντας τον παρονομαστή κάτω από τον αριθμητή. Η κλασματική γραμμή εμφανίστηκε στα τέλη του 12ου - αρχές του 13ου αιώνα. Δεύτερον, οι αξιωματούχοι, οι επιθεωρητές γης και οι έμποροι χρησιμοποίησαν τον λογισμό των κλασμάτων, παρόμοιο με τον αιγυπτιακό, χρησιμοποιώντας κλάσματα με παρονομαστές που δεν υπερβαίνουν το 10 (μόνο για τέτοια κλάσματα η αραβική γλώσσα έχει ειδικούς όρους). χρησιμοποιήθηκαν συχνά κατά προσέγγιση τιμές. Άραβες επιστήμονες εργάστηκαν για να βελτιώσουν αυτόν τον λογισμό. Τρίτον, οι Άραβες επιστήμονες κληρονόμησαν το Βαβυλωνιακό-Ελληνικό σεξουαλικό σύστημα, στο οποίο, όπως και οι Έλληνες, χρησιμοποιούσαν αλφαβητική σημειογραφία, επεκτείνοντάς την σε ολόκληρα μέρη.

Η ινδική σημειογραφία για τα κλάσματα και οι κανόνες λειτουργίας με αυτά υιοθετήθηκαν τον 9ο αιώνα. στις μουσουλμανικές χώρες χάρη στον Μωάμεθ του Χορεζμ (αλ-Χορεζμί). Στην εμπορική πρακτική στις ισλαμικές χώρες, τα κλάσματα μονάδων χρησιμοποιήθηκαν ευρέως· στην επιστήμη, τα κλάσματα φύλου και, σε πολύ μικρότερο βαθμό, τα συνηθισμένα κλάσματα. Ο Al-Karaji (X-XI αιώνες), ο al-Khassar (XII αιώνας), ο al-Kalasadi (XV αιώνας) και άλλοι επιστήμονες παρουσίασαν στα έργα τους τους κανόνες για την αναπαράσταση συνηθισμένων κλασμάτων με τη μορφή αθροισμάτων και προϊόντων μονάδων κλασμάτων. Πληροφορίες για τα κλάσματα μεταφέρθηκαν στη Δυτική Ευρώπη από τον Ιταλό έμπορο και επιστήμονα Λεονάρντο Φιμπονάτσι από την Πίζα (13ος αιώνας). Εισήγαγε τη λέξη κλάσμα, άρχισε να χρησιμοποιεί τη γραμμή κλασμάτων (1202) και έδωσε τύπους για τη συστηματική διαίρεση των κλασμάτων σε βασικά. Τα ονόματα αριθμητής και παρονομαστής εισήχθησαν τον 13ο αιώνα από τον Μάξιμο Πλανούντ, Έλληνα μοναχό, επιστήμονα και μαθηματικό. Μια μέθοδος για την αναγωγή των κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή προτάθηκε το 1556 από τον N. Tartaglia. Το σύγχρονο σχέδιο για την προσθήκη συνηθισμένων κλασμάτων χρονολογείται από το 1629. στο A. Girard.

II. Εφαρμογή συνηθισμένων κλασμάτων

2.1 Υποπολλαπλάσια κλάσματα

Τα προβλήματα που χρησιμοποιούν κλάσματα κλασμάτων αποτελούν μια μεγάλη κατηγορία μη τυπικών προβλημάτων, συμπεριλαμβανομένων εκείνων που προέρχονται από την αρχαιότητα. Τα κλάσματα κλασμάτων χρησιμοποιούνται όταν χρειάζεται να διαιρέσετε κάτι σε πολλά μέρη με τον ελάχιστο δυνατό αριθμό βημάτων. Η αποσύνθεση των κλασμάτων της μορφής 2/n και 2/(2n +1) σε δύο υποπολλαπλάσια κλάσματα συστηματοποιείται με τη μορφή τύπων

Αποσύνθεση σε τρία, τέσσερα, πέντε κ.λπ. κλάσματα κλάσματος μπορούν να παραχθούν με την αποσύνθεση ενός από τους όρους σε δύο κλάσματα, τον επόμενο όρο σε δύο ακόμη κλάσματα κλάσματος κ.λπ.

Για να αναπαραστήσετε έναν αριθμό ως άθροισμα κλασμάτων, μερικές φορές πρέπει να δείξετε εξαιρετική εφευρετικότητα. Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός 2/43 εκφράζεται ως εξής: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Είναι πολύ άβολο να εκτελούνται αριθμητικές πράξεις σε αριθμούς, αποσυνθέτοντάς τους στο άθροισμα των κλασμάτων του ενός. Ως εκ τούτου, κατά τη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων για την αποσύνθεση κλασμάτων κλασμάτων με τη μορφή αθροίσματος μικρότερων κλασμάτων, προέκυψε η ιδέα να συστηματοποιηθεί η αποσύνθεση των κλασμάτων με τη μορφή ενός τύπου. Αυτός ο τύπος είναι έγκυρος εάν χρειάζεται να αποσυνθέσετε ένα κλάσμα υποπολλαπλάσιου σε δύο κλάσματα κλάσματος.

Ο τύπος μοιάζει με αυτό:

1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)

Παραδείγματα διαστολής κλασμάτων:

1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.

Αυτός ο τύπος μπορεί να μετασχηματιστεί για να ληφθεί η ακόλουθη χρήσιμη ισότητα: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)

Για παράδειγμα, 1/6=1/(2 3)=1/2 -1/3

Δηλαδή, ένα κλάσμα υποπολλαπλάσιου μπορεί να αναπαρασταθεί από τη διαφορά δύο κλασμάτων κλασμάτων ή τη διαφορά δύο κλασμάτων, οι παρονομαστές των οποίων είναι διαδοχικοί αριθμοί ίσοι με το γινόμενο τους.

Παράδειγμα.Αντιπροσωπεύστε τον αριθμό 1 ως αθροίσματα διαφόρων κλασμάτων

α) τρεις όροι 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

β) τέσσερις όροι

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

γ) πέντε θητείες

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2.2 Αντί για μικρά κλάσματα, μεγάλα

Στα εργοστάσια κατασκευής μηχανών υπάρχει ένα πολύ συναρπαστικό επάγγελμα, που ονομάζεται μαρκαδόρος. Ο δείκτης επισημαίνει τις γραμμές στο τεμάχιο εργασίας κατά μήκος των οποίων θα πρέπει να υποβληθεί σε επεξεργασία αυτό το τεμάχιο εργασίας για να του δώσει το επιθυμητό σχήμα.

Ο δείκτης πρέπει να λύσει ενδιαφέροντα και μερικές φορές δύσκολα γεωμετρικά προβλήματα, να εκτελέσει αριθμητικούς υπολογισμούς κ.λπ.
«Ήταν απαραίτητο να διανεμηθούν με κάποιο τρόπο 7 πανομοιότυπες ορθογώνιες πλάκες σε ίσα μερίδια μεταξύ 12 μερών. Έφεραν αυτές τις 7 πλάκες στον δείκτη και του ζήτησαν, αν ήταν δυνατόν, να σημαδέψει τις πλάκες έτσι ώστε καμία από αυτές να μην συνθλίβεται σε πολύ μικρά μέρη Έτσι, η απλούστερη λύση είναι - Το να κόψετε κάθε πλάκα σε 12 ίσα μέρη δεν ήταν κατάλληλο, καθώς αυτό θα είχε ως αποτέλεσμα πολλά μικρά κομμάτια.
Είναι δυνατόν να χωρίσουμε αυτές τις πλάκες σε μεγαλύτερα μέρη; Ο μαρκαδόρος σκέφτηκε, έκανε μερικούς αριθμητικούς υπολογισμούς με κλάσματα και τελικά βρήκε τον πιο οικονομικό τρόπο για να χωρίσει αυτές τις πλάκες.
Στη συνέχεια, συνθλίβει εύκολα 5 πλάκες για να τις μοιράσει σε ίσα μέρη μεταξύ έξι μερών, 13 πλάκες για 12 μέρη, 13 πλάκες για 36 μέρη, 26 για 21 κ.λπ.

Αποδεικνύεται ότι ο δείκτης παρουσίασε το κλάσμα 7\12 ως άθροισμα μοναδιαίων κλασμάτων 1\3 + 1\4. Αυτό σημαίνει ότι αν από τα 7 δοσμένα πιάτα 4 κοπούν σε τρία ίσα μέρη το καθένα, τότε παίρνουμε 12 τρίτα, δηλαδή ένα τρίτο για κάθε μέρος. Τα υπόλοιπα 3 πιάτα τα κόβουμε σε 4 ίσα μέρη το καθένα, παίρνουμε 12 τέταρτα, δηλαδή ένα τέταρτο για κάθε μέρος. Ομοίως, χρησιμοποιώντας παραστάσεις κλασμάτων με τη μορφή αθροίσματος μοναδιαίων κλασμάτων 5\6=1\2+1\3; 13\121\3+3\4; 13\36=1\4+1\9.

2.3 Μεραρχίες σε δύσκολες συνθήκες

Υπάρχει μια γνωστή ανατολική παραβολή ότι ένας πατέρας άφησε 17 καμήλες στους γιους του και τους διέταξε να χωριστούν μεταξύ τους: η μεγαλύτερη μισή, η μεσαία ένα τρίτο, η μικρότερη μια ένατη. Αλλά το 17 δεν διαιρείται με το 2, το 3 ή το 9. Οι γιοι στράφηκαν στον σοφό. Ο σοφός ήταν εξοικειωμένος με τα κλάσματα και ήταν σε θέση να βοηθήσει σε αυτή τη δύσκολη κατάσταση.

Κατέφυγε σε ένα τέχνασμα. Ο σοφός πρόσθεσε προσωρινά την καμήλα του στο κοπάδι, μετά ήταν 18. Αφού μοίρασε αυτόν τον αριθμό, όπως αναφέρεται στη διαθήκη, ο σοφός πήρε την καμήλα του πίσω. Το μυστικό είναι ότι τα μέρη στα οποία έπρεπε να χωρίσουν οι γιοι το κοπάδι σύμφωνα με τη διαθήκη δεν αθροίζονται σε 1. Πράγματι, 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.

Υπάρχουν πολλά τέτοια καθήκοντα. Για παράδειγμα, ένα πρόβλημα από ένα ρωσικό εγχειρίδιο σχετικά με 4 φίλους που βρήκαν ένα πορτοφόλι με 8 πιστωτικά χαρτονομίσματα: ένα για ένα, τρία, πέντε ρούβλια και τα υπόλοιπα για δέκα ρούβλια. Με κοινή συμφωνία, ο ένας ήθελε ένα τρίτο μέρος, ο δεύτερος ένα τέταρτο, ο τρίτος ένα πέμπτο, ο τέταρτος ένα έκτο. Ωστόσο, δεν μπορούσαν να το κάνουν μόνοι τους: ένας περαστικός βοήθησε, αφού πρόσθεσε το ρούβλι του. Για να λύσει αυτή τη δυσκολία, ένας περαστικός πρόσθεσε τα κλάσματα μονάδων 1\3 + 1\4 + 1\5 + 1\6 = 57\60, ικανοποιώντας τα αιτήματα των φίλων του και κερδίζοντας 2 ρούβλια για τον εαυτό του.

III.Ενδιαφέροντα κλάσματα

3.1 Κλάσματα ντόμινο

Το ντόμινο είναι ένα επιτραπέζιο παιχνίδι δημοφιλές σε όλο τον κόσμο. Ένα παιχνίδι ντόμινο αποτελείται συνήθως από 28 ορθογώνια πλακίδια. Το ντόμινο είναι ένα ορθογώνιο πλακίδιο, το μπροστινό μέρος του οποίου χωρίζεται με μια γραμμή σε δύο τετράγωνα μέρη. Κάθε μέρος περιέχει από μηδέν έως έξι σημεία. Εάν αφαιρέσετε ζάρια που δεν περιέχουν σημεία τουλάχιστον στο ένα μισό (κενά), τότε τα υπόλοιπα ζάρια μπορούν να θεωρηθούν ως κλάσματα. Τα ζάρια, και τα δύο μισά των οποίων περιέχουν τον ίδιο αριθμό πόντων (διπλά), είναι ακατάλληλα κλάσματα ίσα με ένα. Εάν αφαιρέσετε αυτά τα περισσότερα οστά, θα μείνετε με 15 οστά. Μπορούν να τακτοποιηθούν με διαφορετικούς τρόπους και να έχουν ενδιαφέροντα αποτελέσματα.

1. Διάταξη σε 3 σειρές, το άθροισμα των κλασμάτων σε καθεμία από τις οποίες είναι 2.

;
;

2. Τοποθετήστε και τα 15 πλακίδια σε τρεις σειρές των 5 πλακιδίων το καθένα, χρησιμοποιώντας μερικά από τα ντόμινο ως ακατάλληλα κλάσματα, όπως 4/3, 6/1, 3/2 κ.λπ., έτσι ώστε το άθροισμα των κλασμάτων σε κάθε σειρά ισοδυναμούσε με τον αριθμό 10.

1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10

2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10

4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10

3. Διάταξη κλασμάτων σε σειρές, το άθροισμα των οποίων θα είναι ακέραιος αριθμός (αλλά διαφορετικό σε διαφορετικές σειρές).

3.2 Από αμνημονεύτων χρόνων.

«Μελέτησε σχολαστικά αυτό το θέμα». Αυτό σημαίνει ότι το θέμα έχει μελετηθεί μέχρι τέλους, ότι δεν μένει ούτε η παραμικρή ασάφεια. Και η περίεργη λέξη "σχολαστικά" προέρχεται από το ρωμαϊκό όνομα για το 1/288 assa - "scrupulus".

«Μπαίνοντας σε κλάσματα». Αυτή η έκφραση σημαίνει να βρεθείτε σε μια δύσκολη κατάσταση.

Το "Ass" είναι μια μονάδα μέτρησης της μάζας στη φαρμακολογία (φαρμακοποιός λίβρα).

Η «ουγγιά» είναι μια μονάδα μάζας στο αγγλικό σύστημα μετρήσεων, μια μονάδα μέτρησης της μάζας στη φαρμακολογία και τη χημεία.

IV. Συμπέρασμα.

Κατέληξα στο συμπέρασμα ότι η ιστορία των κλασμάτων είναι ένας δρόμος με στροφές με πολλά εμπόδια και δυσκολίες. Ενώ δούλευα το δοκίμιό μου, έμαθα πολλά νέα και ενδιαφέροντα πράγματα. Διάβασα πολλά βιβλία και ενότητες από εγκυκλοπαίδειες. Γνώρισα τα πρώτα κλάσματα με τα οποία λειτούργησαν οι άνθρωποι, με την έννοια του κλασματικού κλάσματος και έμαθα νέα ονόματα επιστημόνων που συνέβαλαν στην ανάπτυξη του δόγματος των κλασμάτων. Εγώ ο ίδιος προσπάθησα να λύσω προβλήματα Ολυμπιάδας και ψυχαγωγίας, επέλεξα ανεξάρτητα παραδείγματα αποσύνθεσης συνηθισμένων κλασμάτων σε κλάσματα κλασμάτων και ανέλυσα τη λύση στα παραδείγματα και τα προβλήματα που δίνονται στα κείμενα. Η απάντηση στην ερώτηση που έκανα στον εαυτό μου πριν ξεκινήσω την εργασία για το δοκίμιο: τα συνηθισμένα κλάσματα είναι απαραίτητα, είναι σημαντικά. Ήταν ενδιαφέρον να προετοιμάσω την παρουσίαση· έπρεπε να απευθυνθώ στον δάσκαλο και στους συμμαθητές για βοήθεια. Επίσης, κατά την πληκτρολόγηση, για πρώτη φορά αντιμετώπισα την ανάγκη πληκτρολόγησης κλασμάτων και κλασματικών εκφράσεων. Παρουσίασα την περίληψη μου σε ένα σχολικό συνέδριο. Έπαιξε επίσης μπροστά στους συμμαθητές της. Άκουσαν πολύ προσεκτικά και, κατά τη γνώμη μου, τους ενδιέφερε.

Πιστεύω ότι έχω ολοκληρώσει τις εργασίες που έθεσα πριν ξεκινήσω την εργασία για την περίληψη.

Βιβλιογραφία.

1. Borodin A.I. Από την ιστορία της αριθμητικής. Επικεφαλής εκδοτικός οίκος "Vishcha School"-K., 1986

2. Glazer G.I. Ιστορία των μαθηματικών στο σχολείο: τάξεις IV-VI. Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικούς. – Μ.: Εκπαίδευση, 1981.

3. Ιγνάτιεφ Ε.Ι. Στο βασίλειο της ευρηματικότητας. Κύρια σύνταξη φυσικής και μαθηματικής λογοτεχνίας του εκδοτικού οίκου "Nauka", Μ., 1978.

4. Kordemskoy G.A. Mathematical ingenuity - 10η έκδ., αναθεωρημένη. Και επιπλέον - M.: Unisam, MDS, 1994.

5. Stroik D.Ya. Σύντομο δοκίμιοιστορία των μαθηματικών. Μ.: Nauka, 1990.

6.Εγκυκλοπαίδεια για παιδιά. Τόμος 11. Μαθηματικά. Μόσχα, Avanta+, 1998.

7. /wiki.Υλικό από τη Βικιπαίδεια - η ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια.

Παράρτημα 1.

Φυσική κλίμακα

Όλοι γνωρίζουν ότι ο Πυθαγόρας ήταν επιστήμονας και, ειδικότερα, ο συγγραφέας του περίφημου θεωρήματος. Το γεγονός όμως ότι ήταν και λαμπρός μουσικός δεν είναι τόσο ευρέως γνωστό. Ο συνδυασμός αυτών των ταλέντων του επέτρεψε να είναι ο πρώτος που θα μαντέψει την ύπαρξη μιας φυσικής κλίμακας. Έπρεπε ακόμα να το αποδείξω. Ο Πυθαγόρας κατασκεύασε ένα μισό όργανο και μισή συσκευή για τα πειράματά του - ένα "μονόχορδο". Ήταν ένα μακρόστενο κουτί με ένα κορδόνι τεντωμένο από πάνω. Κάτω από το σπάγκο, στο πάνω καπάκι του κουτιού, ο Πυθαγόρας σχεδίασε μια ζυγαριά για να διευκολύνει τον οπτικό διαχωρισμό της χορδής σε μέρη. Ο Πυθαγόρας έκανε πολλά πειράματα με ένα μονόχορδο και, στο τέλος, περιέγραψε μαθηματικά τη συμπεριφορά μιας χορδής που ηχεί. Τα έργα του Πυθαγόρα αποτέλεσαν τη βάση της επιστήμης που σήμερα ονομάζουμε μουσική ακουστική. Αποδεικνύεται ότι για τη μουσική, επτά ήχοι μέσα σε μια οκτάβα είναι τόσο φυσικοί όσο δέκα δάχτυλα στα χέρια στην αριθμητική. Ήδη η χορδή του πρώτου τόξου, που ταλαντευόταν μετά τη βολή, έδινε έτοιμο εκείνο το σύνολο μουσικών ήχων που χρησιμοποιούμε ακόμα σχεδόν αμετάβλητο.

Από τη σκοπιά της φυσικής, το τόξο και μια χορδή είναι ένα και το αυτό. Και ο άνθρωπος έφτιαξε τη χορδή, προσέχοντας τις ιδιότητες του τόξου. Η χορδή που ηχεί δονείται όχι μόνο ως σύνολο, αλλά και στα μισά, τρίτα, τέταρτα κ.λπ. Ας προσεγγίσουμε τώρα αυτό το φαινόμενο από την αριθμητική πλευρά. Τα μισά δονούνται δύο φορές πιο συχνά από μια ολόκληρη χορδή, τα τρίτα - τρεις φορές, τα τέταρτα - τέσσερις φορές. Με μια λέξη, πόσες φορές μικρότερο είναι το δονούμενο μέρος της χορδής, η συχνότητα των ταλαντώσεων της είναι ισάριθμες φορές μεγαλύτερη. Ας υποθέσουμε ότι ολόκληρη η χορδή δονείται με συχνότητα 24 Hertz. Μετρώντας τις διακυμάνσεις των κλασμάτων μέχρι τα δέκατα έκτα, παίρνουμε τη σειρά των αριθμών που φαίνεται στον πίνακα. Αυτή η ακολουθία συχνοτήτων ονομάζεται φυσική, δηλ. φυσικός, κλίμακα.

Παράρτημα 2.

Αρχαία προβλήματα με χρήση κοινών κλασμάτων.

Σε αρχαία χειρόγραφα και αρχαία αριθμητικά εγχειρίδια από διάφορες χώρες υπάρχουν πολλά ενδιαφέροντα προβλήματα που αφορούν τα κλάσματα. Η επίλυση καθενός από αυτά τα προβλήματα απαιτεί σημαντική εφευρετικότητα, ευρηματικότητα και ικανότητα λογικής.

1. Έρχεται ένας βοσκός με 70 ταύρους. Τον ρωτούν:

Πόσους φέρνεις από το πολυάριθμο κοπάδι σου;

Ο βοσκός απαντά:

Φέρνω τα δύο τρίτα του ενός τρίτου των βοοειδών. Μετρήστε πόσοι ταύροι υπάρχουν στο κοπάδι;

Πάπυρος του Ahmes (Αίγυπτος, περίπου 2000 π.Χ.).

2. Κάποιος πήρε το 1/13 από το ταμείο. Από ότι έμεινε άλλος πήρε 17/1. Άφησε στο ταμείο 192. Θέλουμε να μάθουμε πόσα ήταν στο ταμείο αρχικά

Πάπυρος Akmim (VI αιώνα)

3. Ταξιδιώτη! Εδώ είναι θαμμένη η τέφρα του Διόφανθου. Και οι αριθμοί μπορούν να πουν, ιδού, πόσο μεγάλη ήταν η ζωή του.

Το έκτο μέρος του ήταν μια υπέροχη παιδική ηλικία.

Το δωδέκατο μέρος της ζωής του πέρασε - τότε το πηγούνι του καλύφθηκε με χνούδι.
Ο Διόφαντος πέρασε την έβδομη φορά σε γάμο χωρίς παιδιά.

Πέρασαν πέντε χρόνια. ευλογήθηκε με τη γέννηση του πανέμορφου πρωτότοκου γιου του.
Στον οποίο η μοίρα έδωσε μόνο τη μισή από μια όμορφη και φωτεινή ζωή στη γη σε σύγκριση με τον πατέρα του.

Και με βαθιά θλίψη ο γέροντας δέχτηκε το τέλος της επίγειας κλήρωσης του, έχοντας επιβιώσει τέσσερα χρόνια από τότε που έχασε τον γιο του.

Πες μου, πόσα χρόνια ζωής άντεξε ο Διόφαντος τον θάνατο;

4. Κάποιος, ετοιμοθάνατος, κληροδότησε: «Αν η γυναίκα μου γεννήσει γιο, τότε ας έχει τα 2/3 της περιουσίας, και η γυναίκα του τα υπόλοιπα. Αν γεννηθεί κόρη, τότε θα δοθεί το 1/3 σε αυτήν και τα 2/3 στη σύζυγο». Γεννήθηκαν δίδυμα - ένας γιος και μια κόρη. Πώς να διαιρέσετε την περιουσία;

Αρχαίο ρωμαϊκό πρόβλημα (II αιώνας)

Βρείτε τρεις αριθμούς έτσι ώστε ο μεγαλύτερος να υπερβαίνει τον μέσο όρο κατά ένα δεδομένο μέρος του μικρότερου, έτσι ώστε ο μέσος όρος να υπερβαίνει τον μικρότερο κατά ένα δεδομένο μέρος του μεγαλύτερου και έτσι ώστε ο μικρότερος να υπερβαίνει τον αριθμό 10 κατά ένα δεδομένο μέρος του μέσου όρου.

Διόφαντος Αλεξανδρινή πραγματεία «Αριθμητική» (2ος – 3ος αι. μ.Χ.)

5. Μια αγριόπαπια πετάει από τη Νότια Θάλασσα στη Βόρεια Θάλασσα για 7 ημέρες. Μια αγριόχηνα πετάει από τη βόρεια θάλασσα στη νότια θάλασσα για 9 ημέρες. Τώρα η πάπια και η χήνα πετούν έξω ταυτόχρονα. Σε πόσες μέρες θα συναντηθούν;

Κίνα (2ος αιώνας μ.Χ.)

6. «Ένας έμπορος πέρασε από 3 πόλεις, και στην πρώτη πόλη εισέπραξαν δασμούς από αυτόν για το μισό και ένα τρίτο της περιουσίας του, και στη δεύτερη πόλη για το μισό και ένα τρίτο της υπόλοιπης περιουσίας του, και στην τρίτη πόλη για το μισό και ένα τρίτο της υπόλοιπης περιουσίας του. Και όταν έφτασε στο σπίτι, του έμειναν 11 χρήματα. Μάθετε πόσα χρήματα είχε ο έμπορος στην αρχή».

Ananiy Shirakatsi. Συλλογή «Ερωτήσεις και Απαντήσεις» (VIIαιώνα μ.Χ.).

Υπάρχει ένα λουλούδι kadamba,

Για ένα πέταλο

Το ένα πέμπτο των μελισσών έχει πέσει.

Μεγάλωσα κοντά

Όλη ανθισμένη Simingda,

Και το τρίτο μέρος ταιριάζει σε αυτό.

Βρείτε τη διαφορά τους

Διπλώστε το τρεις φορές

Και φυτέψτε αυτές τις μέλισσες στο kutai.

Μόνο δύο δεν βρέθηκαν

Δεν υπάρχει μέρος για τον εαυτό σας πουθενά

Όλοι πετούσαν πέρα δώθε και παντού

Απόλαυσε το άρωμα των λουλουδιών.

Τώρα πες μου

Υπολογίζοντας στο μυαλό μου,

Πόσες μέλισσες υπάρχουν συνολικά;

Παλαιό ινδικό πρόβλημα (XI αιώνας).

8. «Βρείτε έναν αριθμό, γνωρίζοντας ότι αν αφαιρέσετε το ένα τρίτο και το ένα τέταρτο από αυτόν, θα έχετε 10».

Muhammad ibn Musa al Khwarizmi «Αριθμητική» (9ος αιώνας)

9. Μια γυναίκα πήγε στον κήπο για να μαζέψει μήλα. Για να φύγει από τον κήπο, έπρεπε να περάσει από τέσσερις πόρτες, καθεμία από τις οποίες είχε έναν φύλακα. Η γυναίκα έδωσε τα μισά από τα μήλα που είχε μαζέψει στον φύλακα στην πρώτη πόρτα. Έχοντας φτάσει στον δεύτερο φρουρό, η γυναίκα του έδωσε τα μισά από τα υπόλοιπα. Το ίδιο έκανε και με τον τρίτο φύλακα, και όταν μοιράστηκε τα μήλα με τον τέταρτο φρουρό, της έμειναν 10 μήλα. Πόσα μήλα μάζεψε στον κήπο;

"1001 νύχτες"

10. Μόνο «αυτό» και «αυτό» και το μισό «εκείνο» και «αυτό» - ποιο ποσοστό των τριών τετάρτων του «εκείνου» και «αυτό» θα είναι.

Αρχαίο χειρόγραφο της αρχαίας Ρωσίας (X-XI αιώνες)

11. Τρεις Κοζάκοι ήρθαν στον βοσκό για να αγοράσουν άλογα.

«Εντάξει, θα σου πουλήσω άλογα», είπε ο βοσκός, «θα πουλήσω μισό κοπάδι και άλλο μισό άλογο στον πρώτο, τα μισά από τα υπόλοιπα άλογα και άλλο μισό άλογο στον δεύτερο, ο τρίτος θα λάβει επίσης το μισό από τα υπόλοιπα άλογα με μισό άλογο.

Θα αφήσω μόνο 5 άλογα για μένα».

Οι Κοζάκοι εξεπλάγησαν πώς ο βοσκός χώριζε τα άλογα σε μέρη. Αλλά μετά από κάποιο προβληματισμό ηρέμησαν και η συμφωνία πραγματοποιήθηκε.

Πόσα άλογα πούλησε ο βοσκός σε καθέναν από τους Κοζάκους;

12. Κάποιος ρώτησε τον δάσκαλο: «Πες μου πόσους μαθητές έχεις στην τάξη σου, γιατί θέλω να γράψω τον γιο μου μαζί σου». Ο δάσκαλος απάντησε: «Αν έρθουν περισσότεροι μαθητές όσοι έχω εγώ, και οι μισοί και το ένα τέταρτο και ο γιος σου, τότε θα έχω 100 μαθητές». Το ερώτημα είναι πόσους μαθητές είχε ο δάσκαλος;

L. F. Magnitsky "Arithmetic" (1703)

13. Ο ταξιδιώτης, έχοντας προλάβει τον άλλον, τον ρώτησε: «Πόσο είναι μέχρι το χωριό μπροστά;» Ένας άλλος ταξιδιώτης απάντησε: «Η απόσταση από το χωριό από το οποίο έρχεστε είναι ίση με το ένα τρίτο της συνολικής απόστασης μεταξύ των χωριών. Και αν περπατήσετε άλλα δύο μίλια, θα είστε ακριβώς στη μέση ανάμεσα στα χωριά. Πόσα μίλια έχει να διανύσει ο πρώτος ταξιδιώτης;

L. F. Magnitsky "Arithmetic" (1703)

14.Μια χωρική πουλούσε αυγά στην αγορά. Η πρώτη πελάτισσα αγόρασε τα μισά από τα αυγά της και άλλα μισά αυγά, το δεύτερο μισό από τα υπόλοιπα και άλλο μισό αυγό και ο τρίτος τα τελευταία 10 αυγά.

Πόσα αυγά έφερε η αγρότισσα στην αγορά;

L. F. Magnitsky "Arithmetic" (1703)

15. Ο σύζυγος και η γυναίκα πήραν χρήματα από το ίδιο μπαούλο, και δεν έμεινε τίποτα. Ο σύζυγος πήρε τα 7/10 όλων των χρημάτων και η σύζυγος πήρε 690 ρούβλια. Πόσα ήταν όλα τα λεφτά;

Λ. Ν. Τολστόι «Αριθμητική»

16. Το ένα όγδοο του αριθμού

Πάρτε το και προσθέστε οποιοδήποτε

Μισό τριακόσιο

Και οι οκτώ θα ξεπεράσουν

Όχι λίγο - πενήντα

Τα τρία τέταρτα. Θα χαρω,

Αν αυτός που ξέρει τη βαθμολογία

Θα μου πει τον αριθμό.

Johann Hemeling, καθηγητής μαθηματικών (1800)

17. Τρία άτομα κέρδισαν ένα συγκεκριμένο χρηματικό ποσό. Το πρώτο αντιπροσώπευε το 1/4 αυτού του ποσού, το δεύτερο -1/7 και το τρίτο - 17 φλώρινα. Πόσο μεγάλα είναι τα συνολικά κέρδη;

Adam Riese (Γερμανία, 16ος αιώνας) 18. Έχοντας αποφασίσει να μοιράσει όλες τις οικονομίες του εξίσου σε όλους τους γιους του, κάποιος έκανε μια διαθήκη. «Ο μεγαλύτερος από τους γιους μου θα πρέπει να λάβει 1000 ρούβλια και το ένα όγδοο από τα υπόλοιπα. το επόμενο - 2000 ρούβλια και το ένα όγδοο του νέου υπολοίπου. τρίτος γιος - 3.000 ρούβλια και το ένα όγδοο του επόμενου υπολοίπου, κ.λπ. Προσδιορίστε τον αριθμό των γιων και το ποσό της κληροδοτημένης αποταμίευσης.

Leonhard Euler (1780)

19. Τρεις άνθρωποι θέλουν να αγοράσουν ένα σπίτι 24.000 λιβρών. Συμφώνησαν ότι ο πρώτος θα έδινε το μισό, ο δεύτερος το ένα τρίτο και ο τρίτος το υπόλοιπο. Πόσα λεφτά θα δώσει ο τρίτος;

Κλάσματα ", " Συνήθης κλάσματα" Παιχνίδι "Τι μπορούν να μιλήσουν... για νοητική αριθμητική." Εργασίες για το θέμα " Συνήθης κλάσματακαι πράξεις επ' αυτών» 1. Ου... φιλόσοφος, συγγραφέας. Ο Β. Πασκάλ ήταν ασυνήθισταταλαντούχος και πολύπλευρος, η ζωή του ήταν...

" άρθρο "". Το άρθρο είναι μια απάντηση στην ερώτηση των αναγνωστών μας: «Το παιδί μας ενδιαφέρεται για τα μαθηματικά. Τι μπορείτε να προσφέρετε στο θέμα των «κλασμάτων» που είναι ενδιαφέρον, χρήσιμο, ασυνήθιστο και εκπαιδευτικό; Δεν μας αρέσουν τα κέικ κομμένα σε κομμάτια».

Η οπτική συμμετρία των κλασμάτων είναι η απάντησή μας. Γενικά τα μαθηματικά είναι επιστήμη. Αρχικά αναπτύχθηκε ως επιστήμη στο υψηλοτερος ΒΑΘΜΟΣσυγκεκριμένο, πραγματικό. Τα θέματά της ήταν πραγματικά αντικείμενα, αντικείμενα, πράγματα. Στη συνέχεια, όμως, ξεκινώντας από τον Πυθαγόρα και το περίφημο τετράγωνό του, τα μαθηματικά άρχισαν να κινούνται στο αφηρημένο βασίλειο. Δηλαδή, δεν σχετίζεται με την υπάρχουσα πραγματικότητα.

Φυσικά, αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο κατά τον υπολογισμό διαφόρων ανώτερων πραγμάτων. Αλλά μαθαίνοντας τα βασικάστα μαθηματικά καταφεύγουν καλύτερα όσο το δυνατόν περισσότερο υλικόπαραδείγματα.

Δηλαδή, ένα ελάχιστο των ενεργειών στο μυαλό, ένα μέγιστο των ενεργειών με τις μάζες.

Αυτό λειτουργεί ακόμα κι αν ο μαθητής είναι 18 ετών και χρειάζεται επειγόντως να βελτιώσει τα μαθηματικά του. Αφιερώστε λίγο χρόνο δίνοντας τη μάζα και την υλικότητα ενός αντικειμένου - και η μάθηση θα πάει πολύ πιο γρήγορα.

Από αυτή την άποψη, τα κέικ είναι το μόνο πράγμα (εκτός από το ότι μπορεί να μην είναι τόσο καλά για τα δόντια σας :) Αλλά είναι πολύ πιο απλό και πολύ φθηνότερο να χρησιμοποιείτε κλαδιά και ραβδιά. Ποια παιδιά μπορούν να χωρίσουν ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ στα απαραίτητα μέρη.

Φυσικά, στην αρχή θα είναι απλώς φρουρόξυλο. Αλλά σταδιακά, σταδιακά, μπορείτε να φτάσετε στο σημείο. Για παράδειγμα, στη συμμετρία των κλασμάτων.

Με βάση λοιπόν την ουσιαστικότητα, και λαμβάνοντας υπόψη την ερώτηση, περιγράφουμε υλικό που συνήθως δεν λαμβάνεται υπόψη στο σχολείο.

Η οπτική συμμετρία των κλασμάτων είναι η επιστήμη, η αισθητική και η ανάπτυξη.

Μεθοδολογικά ζητήματα

Ακολουθούν εικόνες. Χωρίς την παραμικρή ερώτηση, η προβολή εικόνων στα παιδιά είναι σχεδόν άχρηστη. Στην καλύτερη περίπτωση, θα πουν ευγενικά «ουάου...» και θα πάνε να παίξουν στον υπολογιστή.

Αντί για εικόνες θα πρέπει να υπάρχουν αληθινά, συμπαγή αντικείμενα. Για παράδειγμα, κλαδιά που έσπασε στα απαιτούμενα μέρη. Παρακαλώ σημειώστε: από αυτό κλάσματα(από τη λέξη "να συντρίψω"), τότε δεν πρέπει να δίνετε σπίρτα κ.λπ. και ζητήστε να βάλετε έξω από αυτά. Πρέπει να είναι κάτι ολόκληρο που χωρίζεται στα απαραίτητα μέρη.

Εάν καθίσετε το παιδί σας και απλώσετε τα κλαδιά μπροστά του με τη μορφή που προτείνεται παρακάτω, μπορεί ακόμη και να ενδιαφερθεί. Αλλά τίποτα περισσότερο. Και αν του ζητήσετε να επαναλάβει αυτό που είδε σε πέντε ημέρες, δεν θα μπορέσει. Δηλαδή, απλώς ξαφνιάστηκε, όπως οι άνθρωποι εκπλήσσονται από άχρηστα αλλά ενδιαφέροντα γεγονότα (όπως «αν βάλεις όλα τα αιμοφόρα αγγεία σε μια γραμμή, μπορείς να τυλίξεις ένα ολόκληρο κοπάδι ελεφάντων σε ένα χοντρό κουκούλι»).

Αν θέλετε οφέλη για το παιδί, τότε αυτός Πρέπει να το ξεσπάσετε και να το δημοσιεύσετε μόνοι σαςτα μοτίβα που προτείνονται παρακάτω. Φυσικά, δεν χρειάζεται να κάνετε τα πάντα ταυτόχρονα.

Σταδιακά, ραβδί-ραβδί, το τελειωμένο σχέδιο.
Παρακαλώ ψάξτε για μοτίβα.
Ο χρόνος για να «σκεφτείτε» είναι ίσως μια μέρα ή ίσως μια εβδομάδα.
Σημειώστε το μοτίβο που βρήκατε.
Ελέγξτε το μοτίβο στην πράξη.

Μετά από αυτό, μπορείτε να προχωρήσετε στην επόμενη ομάδα μοτίβων.

Στην πραγματικότητα, η συμμετρία των κλασμάτων.

Δώστε προσοχή στην εικόνα.

Υπάρχει μια συμμετρία που σχηματίζεται από κλασματικά μέρη του συνόλου. Η συμμετρία έχει δύο μορφές:

οπτικός, εικονιστικός
οπτικός, αριθμητικός.

Έτσι, το αποτέλεσμα δεν ήταν απλώς μια όμορφη ομαλή καμπύλη. Αριθμητικό σχέδιο: πρώτα στην κορυφή του κλάσματος υπάρχει ένα και στο κάτω μέρος ο αριθμός μειώνεται κατά ένα. Και μετά το 1/2 υπάρχει ένα άλλο μοτίβο - τόσο ο ανώτερος όσο και ο κάτω αριθμός αυξάνονται κατά ένα.

Στην πραγματικότητα, μια φιλοσοφική ερώτηση: γιατί η αύξηση του παρονομαστή (ή του αριθμητή και του παρονομαστή) κατά ένα δίνει μια όμορφη ομαλή καμπύλη;

Ίσως τα παιδιά θα μπορέσουν να βρουν την απάντηση στην ερώτηση :)

Ειδικά αν ακολουθούν τα βήματα 1-5 των οδηγιών.

Τώρα περνάμε σε ένα άλλο σημείο συμμετρίας κλασμάτων. Το ίδιο σχέδιο, αλλά με μια μικρή προσθήκη:

Όπως μπορείτε να δείτε, το μοτίβο που βρέθηκε σχετικά με την αλλαγή στον αριθμητή και στον παρονομαστή κατά ένα είναι κατοπτρικό συμμετρικό.

Τώρα για την επόμενη στιγμή συμμετρίας. Ας κόψουμε το διάγραμμα σε 4 μέρη και ας καθρεφτίσουμε την επάνω αριστερή γωνία. Θα πάρετε αυτή την εικόνα:

Συμφωνώ, υπάρχει περισσότερη συμμετρία. Μας μένει όμως μια λευκή, απλήρωτη μέση. Είναι συμμετρικό... Μήπως υπάρχει κάποιο είδος μοτίβου σε αυτό; Ας ελέγξουμε:

Ναι ναι! Τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής μειώνονται κατά ένα. Αλλά η διαφορά μεταξύ του αριθμητή και του παρονομαστή είναι διαφορετική - 2 μονάδες.

Τώρα είναι η ώρα να θυμηθούμε ότι τα κλάσματα μπορούν να μειωθούν:

Είναι ενδιαφέρον ότι υπάρχει συμμετρία και εδώ - ο αριθμητής και ο παρονομαστής μειώνονται κατά ένα. Και επίσης η διαφορά μεταξύ τους είναι μία.

Αλλά έχουμε ακόμα άδεια κελιά... Τα οποία είναι μάλλον και φυσικά:

Και πάλι στην ουσία! Το ίδιο μοτίβο - μείωση κατά ένα και διαφορά κατά ένα.

Εδώ είναι μερικά ενδιαφέροντα πράγματα σχετικά με τη συμμετρία των κλασμάτων. Μόλις μάθετε το μοτίβο, θα μπορείτε να βρείτε συμμετρία από οποιαδήποτε κλάσματα με οποιοδήποτε μέσο.

Μια συμβουλή για τους γονείς (ή κάτι που θα ήταν καλό να καταλάβει ένα παιδί):

Μια φυσική αλλαγή δίνει ένα συμμετρικό μοτίβο.

Στην περίπτωσή μας, τα κλάσματα αλλάζουν φυσικά. Αλλά αυτό ισχύει και για οποιαδήποτε άλλα φαινόμενα στον περιβάλλοντα κόσμο.

Δεν με πιστεύεις; Τσέκαρέ το! 🙂

Γράψτε τις κριτικές και τις συμβουλές σας στα σχόλια!