Ιδιότητες πτυχίου με πραγματικό εκθέτη - θεωρητικές πληροφορίες. Γραπτή εξέταση. Ιδιότητες της συνάρτησης arcctg

Αυτό το μάθημα είναι μέρος του θέματος «Μεταμορφώσεις εκφράσεων που περιέχουν δυνάμεις και ρίζες».

Η περίληψη είναι μια λεπτομερής εξέλιξη ενός μαθήματος για τις ιδιότητες ενός πτυχίου με ορθολογικό και πραγματικό εκθέτη. Χρησιμοποιούνται τεχνολογίες εκμάθησης υπολογιστών, ομάδων και παιχνιδιών.

Κατεβάστε:

Προεπισκόπηση:

Μεθοδολογική ανάπτυξη μαθήματος άλγεβρας

Καθηγητής Μαθηματικών Κρατικού Αυτόνομου Ιδρύματος ΚΟ ΟΝ ΚΣΤ

Pekhova Nadezhda Yurievna

με θέμα: «Ιδιότητες βαθμών με λογικούς και πραγματικούς εκθέτες».

Στόχοι μαθήματος:

εκπαιδευτικά: εμπέδωση και εμβάθυνση της γνώσης των ιδιοτήτων του πτυχίου με ορθολογικός δείκτηςκαι τη χρήση τους σε ασκήσεις. βελτίωση της γνώσης σχετικά με την ιστορία της ανάπτυξης πτυχίων·
ανάπτυξη: ανάπτυξη της ικανότητας του εαυτού και του αμοιβαίου ελέγχου. ανάπτυξη πνευματικών ικανοτήτων, δεξιοτήτων σκέψης,
εκπαίδευση: ενθάρρυνση του γνωστικού ενδιαφέροντος για το θέμα, ενστάλαξη ευθύνης για την εργασία που εκτελείται, προώθηση της δημιουργίας ατμόσφαιρας ενεργούς δημιουργικής εργασίας.

Τύπος μαθήματος: Μαθήματα βελτίωσης γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων.

Μέθοδοι διεξαγωγής: προφορική – οπτική.

Εκπαιδευτικές τεχνολογίες: τεχνολογίες εκμάθησης υπολογιστών, ομάδων και παιχνιδιών.

Εξοπλισμός μαθήματος: εξοπλισμός προβολής, υπολογιστής, παρουσίαση μαθήματος, εργαζόμενοι

τετράδια, σχολικά βιβλία, κάρτες με το κείμενο ενός σταυρόλεξου και ένα στοχαστικό τεστ.

Διάρκεια μαθήματος: 1 ώρα 20 λεπτά.

Κύρια στάδια του μαθήματος:

1. Οργάνωση χρόνου. Δήλωση του θέματος και των στόχων του μαθήματος.

2. Ενημέρωση γνώσεις υποβάθρου. Επανάληψη ιδιοτήτων βαθμού με ορθολογικό εκθέτη.

3. Μαθηματική υπαγόρευση στις ιδιότητες των μοιρών με λογικό εκθέτη.

4. Εκθέσεις μαθητών με χρήση παρουσίασης υπολογιστή.

5. Εργαστείτε σε ομάδες.

6. Επίλυση του σταυρόλεξου.

7. Σύνοψη, βαθμολόγηση.Αντανάκλαση.

8. Εργασία για το σπίτι.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων:

1. Οργ. στιγμή. Επικοινωνήστε το θέμα, τους στόχους του μαθήματος, το σχέδιο μαθήματος.Διαφάνειες 1, 2.

2. Ενημέρωση βασικών γνώσεων.

1) Επανάληψη των ιδιοτήτων πτυχίου με ορθολογικό δείκτη: οι μαθητές πρέπει να συνεχίσουν τις γραπτές ιδιότητες – μετωπική έρευνα.Διαφάνεια 3.

2) Μαθητές στον πίνακα - ανάλυση ασκήσεων από το σχολικό βιβλίο (Alimov Sh.A.): α) Νο 74, β) Νο 77.

Γ) Αρ. 82-α;β;γ.

Νο. 74: α) = = α ;

Β) + = ;

Β) : = = = β .

Νο. 77: α) = = ;

Β) = = = β .

Νο. 82: α) = = = ;

Β) = = y;

Β) () () = .

3. Μαθηματική υπαγόρευση με αμοιβαία επαλήθευση. Οι μαθητές ανταλλάσσουν εργασίες, συγκρίνουν απαντήσεις και δίνουν βαθμούς.

Διαφάνειες 4 - 5

4. Μηνύματα από κάποιους μαθητές ιστορικά γεγονόταγια το θέμα που μελετάται.

Διαφάνειες 6 – 12:

Πρώτος μαθητής: Διαφάνεια 6

Η έννοια του πτυχίου με φυσικό δείκτη διαμορφώθηκε στους αρχαίους λαούς. Τετράγωνο και κύβοςΟι αριθμοί χρησιμοποιήθηκαν για τον υπολογισμό των εμβαδών και των όγκων. Οι δυνάμεις ορισμένων αριθμών χρησιμοποιήθηκαν από τους επιστήμονες για να λύσουν ορισμένα προβλήματα Αρχαία Αίγυπτοςκαι Βαβυλώνα.

Τον 3ο αιώνα εκδόθηκε βιβλίο του Έλληνα επιστήμονα Διόφαντου«Αριθμητική», στην οποία τέθηκε η εισαγωγή των συμβόλων γραμμάτων. Ο Διόφαντος εισάγει σύμβολα για τις πρώτες έξι δυνάμεις του αγνώστου και τις αντίστροφές τους. Σε αυτό το βιβλίο, ένα τετράγωνο συμβολίζεται με ένα σημάδι και έναν δείκτη. για παράδειγμα, ένας κύβος - σύμβολο k με δείκτη r κ.λπ.

Δεύτερος μαθητής: Διαφάνεια 7

Ο αρχαίος Έλληνας επιστήμονας Πυθαγόρας συνέβαλε πολύ στην ανάπτυξη της έννοιας του πτυχίου. Είχε ένα ολόκληρο σχολείο και όλοι οι μαθητές του ονομάζονταν Πυθαγόρειοι. Κατέληξαν στην ιδέα ότι κάθε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως αριθμοί. Για παράδειγμα, αντιπροσώπευαν τους αριθμούς 4, 9 και 16 ως τετράγωνα.

Πρώτος μαθητής: Διαφάνειες 8-9

Διαφάνεια 8

Διαφάνεια 9

XVI αιώνα. Σε αυτόν τον αιώνα, η έννοια του πτυχίου έχει επεκταθεί: άρχισε να αναφέρεται όχι μόνο σε έναν συγκεκριμένο αριθμό, αλλά και σε μια μεταβλητή. Όπως έλεγαν τότε «για τους αριθμούς γενικά» Άγγλος μαθηματικός S. Stevin επινόησε έναν συμβολισμό για να δηλώσει το βαθμό: ο συμβολισμός 3(3)+5(2)–4 υποδήλωνε έναν τέτοιο σύγχρονο συμβολισμό 3 3 + 5 2 – 4.

Δεύτερος μαθητής: Διαφάνεια 10

Αργότερα, κλασματικοί και αρνητικοί εκθέτες βρίσκονται στο «Πλήρης Αριθμητική» (1544) από τον Γερμανό μαθηματικό M. Stiefel και στον S. Stevin.

Ο S. Stevin πρότεινε ότι κατά βαθμό με έναν εκθέτη της μορφήςρίζα, δηλ. .

Πρώτος μαθητής: Διαφάνεια 11

Στα τέλη του 16ου αιώνα ο François Vièteεισήγαγε γράμματα για να δηλώσουν όχι μόνο μεταβλητές, αλλά και τους συντελεστές τους. Χρησιμοποίησε συντομογραφίες: N, Q, C - για τον πρώτο, δεύτερο και τρίτο βαθμό.

Αλλά σύγχρονες ονομασίες (όπως π.χ, ) εισήχθη τον 17ο αιώνα από τον Ρενέ Ντεκάρτ.

Δεύτερος μαθητής: Διαφάνεια 12

Σύγχρονοι ορισμοίκαι σημειώσεις για βαθμούς με μηδενικούς, αρνητικούς και κλασματικούς εκθέτες προέρχονται από την εργασία Άγγλων μαθηματικώνΤζον Γουόλις (1616–1703) και ο Ισαάκ Νεύτων.

5. Λύση σταυρόλεξου.

Οι μαθητές λαμβάνουν φύλλα σταυρόλεξων. Αποφασίζουν ανά δύο. Το ζευγάρι που το λύνει πρώτο παίρνει το σημάδι.Διαφάνειες 13-15.

6. Εργασία σε ομάδες.Διαφάνεια 16.

Οι μαθητές κάνουν ανεξάρτητη εργασία, εργάζονται σε ομάδες των 4, συμβουλεύονται ο ένας τον άλλον. Στη συνέχεια η εργασία υποβάλλεται για έλεγχο.

7. Σύνοψη, βαθμολόγηση.

Αντανάκλαση.

Οι μαθητές ολοκληρώνουν ένα στοχαστικό τεστ. Σημειώστε «+» εάν συμφωνείτε και «-» διαφορετικά.

Ανακλαστική δοκιμή:

1. Έμαθα πολλά νέα πράγματα.

2. Αυτό θα μου είναι χρήσιμο στο μέλλον.

3. Υπήρχαν πολλά να σκεφτούμε κατά τη διάρκεια του μαθήματος.

4. Έλαβα απαντήσεις σε όλες τις ερωτήσεις που είχα κατά τη διάρκεια του μαθήματος.

5. Δούλεψα ευσυνείδητα κατά τη διάρκεια του μαθήματος και πέτυχα τον στόχο του μαθήματος.

8. Εργασία για το σπίτι: Διαφάνεια 17.

1) № 76 (1; 3); № 70 (1; 2)

2) Προαιρετικά: δημιουργήστε ένα σταυρόλεξο με τις βασικές έννοιες του θέματος που μελετάτε.

Βιβλιογραφικές αναφορές:

Alimov Sh.A. Άλγεβρα και αρχές ανάλυσης τάξεις 10-11, σχολικό βιβλίο - M.: Prosveshchenie, 2010.
Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης βαθμός 10. Διδακτικό υλικό. Διαφωτισμός, 2012.

Πηγές Διαδικτύου:

Εκπαιδευτικός ιστότοπος - RusCopyBook.Com - Ηλεκτρονικά σχολικά βιβλία και GDZ
Δικτυακός τόπος Εκπαιδευτικοί ΠόροιΔιαδίκτυο - για μαθητές και φοιτητές. http://www.aleng.ru/edu/educ.htm
Ιστοσελίδα Πύλη δασκάλου - http://www.uchportal.ru/

Θέμα μαθήματος: Πτυχίο με λογικούς και πραγματικούς εκθέτες.

Στόχοι:

Εκπαιδευτικός :

γενίκευση της έννοιας του πτυχίου.
εξασκηθείτε στην ικανότητα να βρείτε την αξία ενός πτυχίου με πραγματικό εκθέτη.
να παγιώσει την ικανότητα χρήσης των ιδιοτήτων των βαθμών κατά την απλοποίηση εκφράσεων.
αναπτύξουν την ικανότητα χρήσης των ιδιοτήτων των βαθμών στους υπολογισμούς.

Αναπτυξιακή :

πνευματική, συναισθηματική, προσωπική ανάπτυξημαθητης σχολειου;
να αναπτύξουν την ικανότητα γενίκευσης, συστηματοποίησης βάσει σύγκρισης και εξαγωγής συμπερασμάτων.
εντατικοποίηση της ανεξάρτητης δραστηριότητας·
αναπτύξουν γνωστικό ενδιαφέρον.

Εκπαιδευτικός :

καλλιέργεια της επικοινωνιακής και πληροφοριακής κουλτούρας των μαθητών·
αισθητική αγωγήπραγματοποιείται μέσω του σχηματισμού της ικανότητας ορθολογικής και ακριβούς κατάρτισης μιας εργασίας στον πίνακα και σε ένα σημειωματάριο.

Οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν: ορισμός και ιδιότητες βαθμού με πραγματικό εκθέτη

Οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση:

να καθορίσετε εάν μια έκφραση με βαθμό έχει νόημα.

χρήση των ιδιοτήτων των βαθμών στους υπολογισμούς και την απλοποίηση των εκφράσεων.

επίλυση παραδειγμάτων που περιέχουν βαθμούς.

συγκρίνετε, βρείτε ομοιότητες και διαφορές.

Μορφή μαθήματος: σεμινάριο – εργαστήριο, με στοιχεία έρευνας. Υποστήριξη υπολογιστή.

Μορφή οργάνωσης κατάρτισης: ατομική, ομαδική.

Εκπαιδευτικές τεχνολογίες : εκμάθηση βασισμένη στην επίλυση προβλημάτων, συνεργατική μάθηση, μαθητοκεντρική μάθηση, επικοινωνιακή.

Τύπος μαθήματος: μάθημα έρευνας και πρακτικής εργασίας.

Εικόνες και φυλλάδια μαθήματος:

παρουσίαση

τύποι και πίνακες (Παράρτημα 1.2)

ανάθεση για ανεξάρτητη εργασία (Παράρτημα 3)

Πλάνο μαθήματος

№

Στάδιο μαθήματος

Σκοπός της σκηνής

Χρόνος, min.

Έναρξη του μαθήματος

Αναφορά του θέματος του μαθήματος, καθορισμός στόχων μαθήματος.

1-2 λεπτά

Προφορική εργασία

Επαναλάβετε τους τύπους ισχύος.

Ιδιότητες πτυχίων.

4-5 λεπτά.

Μπροστινή λύση

πίνακες από το σχολικό βιβλίο Νο 57 (1,3,5)

№58(1,3,5) με λεπτομερή τήρηση του σχεδίου λύσης.

Διαμόρφωση δεξιοτήτων και ικανοτήτων

οι μαθητές εφαρμόζουν ιδιότητες

μοίρες κατά την εύρεση των τιμών μιας έκφρασης.

8-10 λεπτά.

Εργαστείτε σε μικροομάδες.

Εντοπισμός κενών γνώσης

μαθητές, δημιουργώντας προϋποθέσεις για

ατομική ανάπτυξημαθητης σχολειου

στο μάθημα.

15-20 λεπτά.

Συνοψίζοντας την εργασία.

Παρακολουθήστε την επιτυχία της εργασίας

Φοιτητές στο ανεξάρτητη απόφασηεργασίες για το θέμα, μάθετε

τη φύση των δυσκολιών, τις αιτίες τους,

υποδεικνύουν συλλογικά λύσεις.

5-6 λεπτά.

Εργασία για το σπίτι

Εισάγετε τους μαθητές στις εργασίες για το σπίτι. Δώστε τις απαραίτητες εξηγήσεις.

1-2 λεπτά.

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Οργάνωση χρόνου

Γεια σας παιδιά! Σημειώστε την ημερομηνία και το θέμα του μαθήματος στα τετράδιά σας.

Λένε ότι ο εφευρέτης του σκακιού, ως ανταμοιβή για την εφεύρεσή του, ζήτησε από τον Raja λίγο ρύζι: στο πρώτο τετράγωνο της σανίδας ζήτησε να βάλει έναν κόκκο, στο δεύτερο - 2 φορές περισσότερο, δηλαδή 2 κόκκους, στο τρίτο - 2 φορές περισσότερο, δηλαδή 4 κόκκοι κλπ έως 64 κύτταρα.

Το αίτημά του φάνηκε πολύ μέτριο στον ράτζα, αλλά σύντομα έγινε σαφές ότι ήταν αδύνατο να εκπληρωθεί. Ο αριθμός των κόκκων που έπρεπε να δοθεί στον εφευρέτη του σκακιού ως ανταμοιβή εκφράζεται με το άθροισμα

1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 .

Το ποσό αυτό ισούται με έναν τεράστιο αριθμό

18446744073709551615

Και είναι τόσο μεγάλο που αυτή η ποσότητα σιτηρών θα μπορούσε να καλύψει ολόκληρη την επιφάνεια του πλανήτη μας, συμπεριλαμβανομένων των ωκεανών του κόσμου, με ένα στρώμα 1 cm.

Οι δυνάμεις χρησιμοποιούνται κατά τη σύνταξη αριθμών και εκφράσεων, γεγονός που τους καθιστά πιο συμπαγείς και βολικούς για την εκτέλεση ενεργειών.

Οι βαθμοί χρησιμοποιούνται συχνά κατά τη μέτρηση φυσικές ποσότητες, που μπορεί να είναι "πολύ μεγάλο" ή "πολύ μικρό".

Η μάζα της γης 6000000000000000000000 t γράφεται ως γινόμενο 6.10 21 Τ

Ως γινόμενο γράφεται η διάμετρος ενός μορίου νερού 0,0000000003 m

3.10 -10 Μ.

1. Με ποια μαθηματική έννοια συνδέονται οι λέξεις:

Βάση
Δείκτης(Βαθμός)

Ποιες λέξεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να συνδυαστούν οι λέξεις:
Ρητός αριθμός
Ακέραιος αριθμός
Φυσικός αριθμός
Παράλογος αριθμός(πραγματικός αριθμός)
Διατυπώστε το θέμα του μαθήματος.(Πτυχίο με πραγματικό εκθέτη)

2. Άρα α Χ,ΟπουΤο x είναι πραγματικός αριθμός. Επιλέξτε από εκφράσεις

Με φυσικό δείκτη

Με ακέραιο δείκτη

Με ορθολογικό εκθέτη

Με παράλογο δείκτη

3. Ποιος είναι ο στόχος μας;(ΧΡΗΣΗ)
Οι οποίεςστόχους του μαθήματός μας ?
– Γενικεύστε την έννοια του πτυχίου.

Καθήκοντα:

– επανάληψη των ιδιοτήτων του βαθμού
– εξετάστε τη χρήση ιδιοτήτων βαθμού σε υπολογισμούς και απλοποιήσεις παραστάσεων
– ανάπτυξη υπολογιστικών δεξιοτήτων

4 . Ισχύς με ορθολογικό εκθέτη

Βάση

βαθμούς

Πτυχίο με δείκτηr, βάση α (nΝ, Μn

r= n

r= - n

r= 0

r =0

ένα n= ένα. ένα. … . ένα

ένα -n=

ένα 0 =1

ένα n=α.α. ….ένα

ένα -n=

Δεν υπάρχει

ένα 0 =1

a=0

0 n=0

Δεν υπάρχει

5 . Από αυτές τις εκφράσεις, επιλέξτε αυτές που δεν έχουν νόημα:

6 . Ορισμός

Εάν ο αριθμόςr- φυσικό, τότε α rυπάρχει ένα έργοrαριθμοί, καθένας από τους οποίους ισούται με:

ένα r= ένα. ένα. … . ένα

Εάν ο αριθμόςr- κλασματική και θετική, δηλαδή όπουΜΚαιn- φυσικό

αριθμοί, λοιπόν

Εάν ο δείκτηςrείναι λογική και αρνητική, τότε η έκφρασηένα r

ορίζεται ως η αμοιβαία τωνένα - r

Αν

7 . Για παράδειγμα

8 . Οι δυνάμεις των θετικών αριθμών έχουν τις ακόλουθες βασικές ιδιότητες:

9 . Υπολογίζω

10. Ποιες πράξεις (μαθηματικές πράξεις) μπορούν να εκτελεστούν με βαθμούς;

Αγώνας:

Α) Κατά τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με ίσες βάσεις

1) Οι βάσεις πολλαπλασιάζονται, αλλά ο δείκτης παραμένει ίδιος

Β) Κατά τη διαίρεση δυνάμεων με ίσες βάσεις

2) Οι βάσεις χωρίζονται, αλλά ο δείκτης παραμένει ίδιος

Β) Όταν ανεβάζετε μια δύναμη σε δύναμη

3) Η βάση παραμένει η ίδια, αλλά οι δείκτες πολλαπλασιάζονται

Δ) Κατά τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με ίσους εκθέτες

4) Η βάση παραμένει ίδια, αλλά οι δείκτες αφαιρούνται

Δ) Κατά τη διαίρεση μοιρών με ίσους εκθέτες

5) Η βάση παραμένει η ίδια, αλλά οι δείκτες αθροίζονται

11 . Από το σχολικό βιβλίο (στον πίνακα)

Για επίλυση στην τάξη:

№57 (1,3,5)

№58 (1, 3, 5)

№59 (1, 3)

№60 (1,3)

12 . Με Υλικό Ενιαίας Κρατικής Εξεταστικής

(ανεξάρτητη εργασία) σε χαρτάκια

XIVαιώνας.

Απάντηση: Orezma. 13. Επιπλέον (μεμονωμένα) για όσους ολοκληρώνουν τις εργασίες πιο γρήγορα:

14. Εργασία για το σπίτι

§ 5 (γνωρίζω ορισμούς, τύπους)

№57 (2, 4, 6)

№58 (2,4)

№59 (2,4)

№60 (2,4) .

Στο τέλος του μαθήματος:

«Τα μαθηματικά πρέπει να διδάσκονται αργότερα γιατί βάζουν το μυαλό σε τάξη»

– Έτσι είπε ο μεγάλος Ρώσος μαθηματικός Μιχαήλ Λομονόσοφ.

- Ευχαριστώ για το μάθημα!

Παράρτημα 1

1.Πτυχία. Βασικές ιδιότητες

Δείκτης

α 1 =α

ένα n=α.α. ….ένα

a R n

3 5 =3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=243,

(-2) 3 =(-2) . (-2) . (-2)= - 8

Βαθμός με ακέραιο εκθέτη

a 0 = 1,

όπου ένας

0 0 - δεν ορίζεται.

Πτυχίο με ορθολογικό

Δείκτης

Οπουένα

m n

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

Απάντηση: ==25,9...

1. ένα Χ. ένα y=α x+y

2.α Χ:ένα y==α x-y

3. .(ένα Χ) y=α x.y

4.(α.β) n=α n.σι n

5. (=

6. (

Παράρτημα 2

2. Πτυχίο με ορθολογικό εκθέτη

Βάση

βαθμούς

Πτυχίο με δείκτηr, βάση α (nΝ, Μn

r= n

r= - n

r= 0

r =0

ένα n= ένα. ένα. … . ένα

ένα -n=

ένα 0 =1

ένα n=α.α. ….ένα

ένα -n=

Δεν υπάρχει

ένα 0 =1

a=0

0 n=0

Δεν υπάρχει

Παράρτημα 3

3. Ανεξάρτητη εργασία

Οι πράξεις στις δυνάμεις χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά από έναν Γάλλο μαθηματικόXIVαιώνας.

Αποκρυπτογραφήστε το όνομα του Γάλλου επιστήμονα.

Για οποιαδήποτε γωνία α τέτοια ώστε α ≠ πk/2 (k ανήκει στο σύνολο Z), ισχύει το εξής:

Για οποιαδήποτε γωνία α ισχύουν οι ισότητες:

Για οποιαδήποτε γωνία α τέτοια ώστε α ≠ πk (το k ανήκει στο σύνολο Z), ισχύει το εξής:

Φόρμουλες μείωσης

Ο πίνακας παρέχει τύπους αναγωγής για τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Λειτουργία (γωνία σε º)	90º - α	90º + α	180º - α	180º + α	270º - α	270º + α	360º - α	360º + α
αμαρτία	cos α	cos α	αμαρτία α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	αμαρτία α
cos	αμαρτία α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	αμαρτία α	cos α	cos α
tg	ctg α	-ctg α	-tg α	ταν α	ctg α	-ctg α	-tg α	ταν α
ctg	ταν α	-tg α	-ctg α	ctg α	ταν α	-tg α	-ctg α	ctg α
Λειτουργία (γωνία σε rad.)	π/2 – α	π/2 + α	π – α	π + α	3π/2 – α	3π/2 + α	2π – α	2π + α

Ισοτιμία τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Οι γωνίες φ και -φ σχηματίζονται όταν η δοκός περιστρέφεται σε δύο αμοιβαία αντίθετες κατευθύνσεις (δεξιόστροφα και αριστερόστροφα).
Επομένως, οι ακραίες πλευρές ΟΑ 1 και ΟΑ 2 αυτών των γωνιών είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα της τετμημένης. Συντεταγμένες διανυσμάτων μοναδιαίου μήκους OA 1 = ( Χ 1 , στο 1) και ΟΑ 2 = ( Χ 2 , y 2) ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις: Χ 2 = Χ 1 y 2 = -στο 1 Επομένως cos(-φ) = cosφ, sin (- φ) = -sin φ, Επομένως, το ημίτονο είναι περιττό και το συνημίτονο είναι ομοιόμορφη λειτουργίαγωνία.
Στη συνέχεια έχουμε:
Να γιατί η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη είναι περιττές συναρτήσεις γωνίας.

8)Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις- μαθηματικές συναρτήσεις που είναι το αντίστροφο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Έξι συναρτήσεις ταξινομούνται συνήθως ως αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

§ τόξο(σύμβολο: arcsin)

§ τόξο συνημίτονο(σύμβολο: τόξο)

§ αρκταγενής(ονομασία: arctg, στην ξένη λογοτεχνία arctan)

§ τόξο εφαπτομένη(ονομασία: arcctg, στην ξένη λογοτεχνία arccotan)

§ τόξο(σύμβολο: arcsec)

§ arccosecant(ονομασία: arccosec, στην ξένη βιβλιογραφία arcsc)

Πίσω τίτλος τριγωνομετρική συνάρτησησχηματίζεται από το όνομα της αντίστοιχης τριγωνομετρικής συνάρτησης προσθέτοντας το πρόθεμα "arc-" (από Lat. τόξο- τόξο). Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι γεωμετρικά η τιμή της αντίστροφης τριγωνομετρικής συνάρτησης μπορεί να συσχετιστεί με το μήκος του τόξου κύκλος μονάδας(ή μια γωνία που υποτάσσει αυτό το τόξο) που αντιστοιχεί σε ένα ή άλλο τμήμα. Περιστασιακά στην ξένη βιβλιογραφία, σημειώσεις όπως το sin −1 χρησιμοποιούνται για το τόξο κ.λπ. Αυτό θεωρείται αδικαιολόγητο, καθώς μπορεί να υπάρξει σύγχυση με την αύξηση μιας συνάρτησης στην ισχύ −1.

Ιδιότητες της συνάρτησης arcsin

(η συνάρτηση είναι περιττή). στο .

στο

Ιδιότητες της συνάρτησης arccos[

· (η συνάρτηση είναι κεντρικά συμμετρική ως προς το σημείο) είναι αδιάφορη.

Ιδιότητες της συνάρτησης arctg

· , για x > 0.

Ιδιότητες της συνάρτησης arcctg

· (η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κεντρικά συμμετρική ως προς το σημείο

· για κάθε

12) Η δύναμη ενός αριθμού a > 0 με ρητό εκθέτη είναι μια δύναμη της οποίας ο εκθέτης μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα συνηθισμένο μη αναγώγιμο κλάσμα x = m/n, όπου m είναι ακέραιος αριθμός και n φυσικός αριθμός, και n > 1 (x είναι ο εκθέτης).

Πτυχίο με πραγματικό εκθέτη

Έστω ένας θετικός αριθμός και ένας αυθαίρετος πραγματικός αριθμός. Ο αριθμός ονομάζεται δύναμη, ο αριθμός είναι η βάση της ισχύος και ο αριθμός είναι ο εκθέτης.

Εξ ορισμού πιστεύουν:

Αν και είναι θετικοί αριθμοί και είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί, τότε ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

14)Λογάριθμος ενός αριθμού στη βάση(από τα ελληνικά λόγος - «λέξη», «σχέση» και ἀριθμός - «αριθμός») ορίζεται ως δείκτης της δύναμης στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί ένας αριθμός. Ονομασία: , προφέρεται: " λογάριθμος βάσης".

Ιδιότητες λογαρίθμων:

Η 1° είναι η βασική λογαριθμική ταυτότητα.

Ο λογάριθμος ενός προς οποιαδήποτε θετική βάση εκτός του 1 είναι μηδέν. Αυτό είναι δυνατό επειδή οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός μπορεί να μετατραπεί σε 1 μόνο αν τον ανεβάσει στη μηδενική ισχύ.

4° είναι ο λογάριθμος του γινομένου.

Ο λογάριθμος του γινομένου είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων των παραγόντων.

5° - λογάριθμος του πηλίκου.

Ο λογάριθμος του πηλίκου (κλάσμα) είναι ίσος με τη διαφορά μεταξύ των λογαρίθμων των παραγόντων.

6° είναι ο λογάριθμος της μοίρας.

Ο λογάριθμος μιας ισχύος είναι ίσος με το γινόμενο του εκθέτη και του λογάριθμου της βάσης του.

7°

8°

9° - μετάβαση σε νέα βάση.

15) Πραγματικός αριθμός - (πραγματικός αριθμός), οποιοδήποτε θετικό, ένας αρνητικός αριθμόςή μηδέν. Διά μέσου πραγματικούς αριθμούςεκφράζονται τα αποτελέσματα των μετρήσεων όλων των φυσικών μεγεθών. ;

16)Φανταστική μονάδα- συνήθως ένας μιγαδικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με αρνητικό. Ωστόσο, είναι δυνατές και άλλες επιλογές: στην κατασκευή του διπλασιασμού σύμφωνα με τον Cayley-Dixon ή στο πλαίσιο της άλγεβρας σύμφωνα με τον Clifford.

Μιγαδικοί αριθμοί(απαρχαιωμένοι φανταστικοί αριθμοί) - αριθμοί της μορφής , όπου και είναι πραγματικοί αριθμοί, - μια φανταστική μονάδα. αυτό είναι . Πολλά από όλους μιγαδικοί αριθμοίσυνήθως συμβολίζεται από το λατ. συγκρότημα- στενά συνδεδεμένα.

Θέμα μαθήματος:Πτυχίο με πραγματικό εκθέτη.

Καθήκοντα:

Εκπαιδευτικός:
- γενίκευση της έννοιας του πτυχίου.
- εξασκηθείτε στην ικανότητα να βρείτε την αξία ενός πτυχίου με πραγματικό εκθέτη.
- να παγιώσει την ικανότητα χρήσης των ιδιοτήτων των βαθμών κατά την απλοποίηση εκφράσεων.
- αναπτύξουν την ικανότητα χρήσης των ιδιοτήτων των βαθμών στους υπολογισμούς.
Αναπτυξιακή:
- πνευματική, συναισθηματική, προσωπική ανάπτυξη του μαθητή.
- να αναπτύξουν την ικανότητα γενίκευσης, συστηματοποίησης βάσει σύγκρισης και εξαγωγής συμπερασμάτων.
- εντατικοποίηση της ανεξάρτητης δραστηριότητας·
- αναπτύξουν γνωστικό ενδιαφέρον.
Εκπαιδευτικός:
- καλλιέργεια της επικοινωνιακής και πληροφοριακής κουλτούρας των μαθητών·
- Η αισθητική αγωγή πραγματοποιείται μέσω του σχηματισμού της ικανότητας ορθολογικής και ακριβούς κατάρτισης μιας εργασίας στον πίνακα και σε ένα σημειωματάριο.

Οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν:ορισμός και ιδιότητες ενός βαθμού με πραγματικό εκθέτη.

Οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση:

να καθορίσετε εάν μια έκφραση με βαθμό έχει νόημα.
χρήση των ιδιοτήτων των βαθμών στους υπολογισμούς και την απλοποίηση των εκφράσεων.
επίλυση παραδειγμάτων που περιέχουν βαθμούς.
συγκρίνετε, βρείτε ομοιότητες και διαφορές.

Μορφή μαθήματος:σεμινάριο – εργαστήριο, με στοιχεία έρευνας. Υποστήριξη υπολογιστή.

Μορφή οργάνωσης κατάρτισης:ατομική, ομαδική.

Τύπος μαθήματος:μάθημα έρευνας και πρακτικής εργασίας.

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Οργάνωση χρόνου

«Μια μέρα ο βασιλιάς αποφάσισε να διαλέξει έναν πρώτο βοηθό από τους αυλικούς του. Οδηγούσε τους πάντες σε ένα τεράστιο κάστρο. «Όποιος το ανοίξει πρώτος θα είναι ο πρώτος βοηθός». Κανείς δεν άγγιξε καν την κλειδαριά. Μόνο ένας βεζίρης ήρθε και έσπρωξε την κλειδαριά, η οποία άνοιξε. Δεν ήταν κλειδωμένο.
Τότε ο βασιλιάς είπε: «Θα λάβεις αυτή τη θέση γιατί δεν βασίζεσαι μόνο σε αυτά που βλέπεις και ακούς, αλλά βασίζεσαι στη δική σου δύναμη και δεν φοβάσαι να προσπαθήσεις».
Και σήμερα θα προσπαθήσουμε και θα προσπαθήσουμε να καταλήξουμε στη σωστή απόφαση.

1. Με ποια μαθηματική έννοια συνδέονται οι λέξεις:

Βάση
Δείκτης (Βαθμός)
Ποιες λέξεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να συνδυαστούν οι λέξεις:
Ρητός αριθμός
Ακέραιος αριθμός
Φυσικός αριθμός
Παράλογος αριθμός (πραγματικός αριθμός)
Διατυπώστε το θέμα του μαθήματος. (Πτυχίο με πραγματικό εκθέτη)

2. Ποιος είναι ο στρατηγικός μας στόχος; (ΧΡΗΣΗ)
Οι οποίες στόχους του μαθήματός μας?
– Γενικεύστε την έννοια του πτυχίου.

Καθήκοντα:

– επαναλάβετε τις ιδιότητες του βαθμού
– εξετάστε τη χρήση ιδιοτήτων βαθμού σε υπολογισμούς και απλοποιήσεις παραστάσεων
– ανάπτυξη υπολογιστικών δεξιοτήτων.

3. Άρα, a p, όπου p είναι ένας πραγματικός αριθμός.
Δώστε παραδείγματα (επιλέξτε από τις εκφράσεις 5 –2, 43, ) μοίρες

– με φυσικό δείκτη
– με ακέραιο δείκτη
– με ορθολογικό δείκτη
– με παράλογο δείκτη

4. Σε ποιες αξίες ΕΝΑη έκφραση βγάζει νόημα

αn, όπου n (α – οποιοδήποτε)
am, όπου m (а 0) Πώς να μετακινηθείτε από μια μοίρα με αρνητικό εκθέτη σε μια μοίρα με θετικό εκθέτη;
, όπου (a0)

5. Από αυτές τις εκφράσεις, επιλέξτε αυτές που δεν έχουν νόημα:
(–3) 2 , , , 0 –3 , , (–3) –1 , .
6. Υπολογίζω. Οι απαντήσεις σε κάθε στήλη έχουν μία κοινή περιουσία. Σημειώστε μια επιπλέον απάντηση (αυτή που δεν έχει αυτήν την ιδιότητα)

2 = =
= 6 = (λανθασμένα άλλα) = (δεν μπορώ να γράψω dec. other)
= (κλάσμα) = =

7. Ποιες πράξεις (μαθηματικές πράξεις) μπορούν να εκτελεστούν με βαθμούς;

Αγώνας:

Ένας μαθητής γράφει τύπους (ιδιότητες) σε γενική μορφή.

8. Προσθέστε τις μοίρες από το βήμα 3, ώστε οι ιδιότητες του βαθμού να μπορούν να εφαρμοστούν στο παράδειγμα που προκύπτει.

(Ένα άτομο εργάζεται στον πίνακα, το υπόλοιπο σε σημειωματάρια. Για έλεγχο, ανταλλάξτε σημειωματάρια και ένα άλλο εκτελεί ενέργειες στον πίνακα)

9. Στον πίνακα (εργάζεται ο μαθητής):

Υπολογίστε : =

Ανεξάρτητα (με έλεγχο σε φύλλα)

Ποια απάντηση δεν μπορεί να ληφθεί στο μέρος «Β» της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης; Εάν η απάντηση αποδείχθηκε , τότε πώς να γράψετε μια τέτοια απάντηση στο μέρος "Β";

10. Ανεξάρτητη ολοκλήρωση της εργασίας (με έλεγχο στον πίνακα - πολλά άτομα)

Εργασία πολλαπλών επιλογών