Formule sine i kosinus količine argumenata. Iznos i razlika sinusa i kosine: izlazne formule, primjeri. Primjeri rješavanja praktičnih zadataka

Formule suma i razlike sinusa i kosines za dva kuta α i β omogućuju vam da se preselite s zbroja navedenih kutova na proizvod kutova α + β2 i α-β 2. Odmah napomenumo da se ne vrijedi zbunjeno zbrojem zbroja i razlike u sinusima i kosinu s formulama sinusnih i kosinusa i razlika. Ispod navodemo ove formule, predstavljamo njihov zaključak i pokazujemo primjere primjene za određene zadatke.

Yandex.rtB r-a-339285-1

Formule suma i razlike sinusa i kosinusa

Pišemo formule količine i razlike za sinuse i za kosinu

Formulas suma i razlika za sinuse

sin α + grijeh β \u003d 2 grijeh α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β \u003d 2 grijeh α - β 2 cos α + β 2

Formule iznosa i razlike za kosinu

cos α + cos β \u003d 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 grijeh α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos α \u003d 2 grijeh α + β 2 · · - α 2.

Ove formule vrijede za bilo koji kutovi α i β. Kutovi α + β2 i α-β 2 nazivaju se pola kao visina kutova alfa i beta. Mi ćemo dati tekst za svaku formulu.

Definicije formula iznosi i razlike u sinusima i kosinu

Zbroj sinusa dva kuta Jednak je dvostrukim proizvodom polusušivanja tih kutova do kosine hrane.

Razlika spavanja dviju kutova Jednak je dvostrukim proizvodom sinusa izdržljivosti tih uglova do kosine polu-šoka.

Zbroj kosine od dva kuta Jedna je udvostrukom produkutu kosine polu-šoka i kosine iz trajnosti tih kutova.

Razlika u kolosinu dva ugla Jedna je udvostrukim radom polu-sušenja polu-haljina tih kutova, uzeti s negativnim znakom.

Izlaz formula sami i razlike sinusa i kosine

Za izlaz zbroja zbroja i razlika sinusa i kosine od dva kuta koriste se formule. Dajemo im ispod

grijeh (α + β) \u003d sin α · cos β + cos α · grijeh grijeh (α - β) \u003d sin · · cos β - cos α · grijeh β cos (α + β) \u003d cos α · cos β - grijeh α · grijeh β cos (α - β) \u003d cos α · cos β + grijeh α · grijeh β

Također zamislite kutove sami u obliku količine pola guzica i dijetetske.

α \u003d α + β2 + α-α 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - α 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Idite izravno na izlaz formula i razlike za grijeh i cos.

Zaključak formule suma sine

U količini grijeha α + grijeh β, α i β će biti zamijenjeni izrazima za ove kutove iznad. Primati

sin α + grijeh β \u003d sin a + α + α - α 2 + sin a + β 2 - α - α 2

Sada do prvog izraza, koristimo formulu dodatka, a na drugu formulu razlike sinusa kutova (vidi formule iznad)

sIN α + β 2 + α - β 2 \u003d SIN α + β 2 COS α - α 2 + COS α + β 2 SIN α - β 2 SIN α + β 2 - α - α 2 \u003d SIN α + β 2 COS α - β 2 - COS α + β 2 grijeh α - β 2 sin a + α 2 + α 2 + sin a + β 2 - α - α 2 \u003d sin α + β 2 cos α - α + cos α + β 2 grijeh α - β 2 + grijeh α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 otvorene zagrade, dajemo takve komponente i dobiva željenu formulu

sin α + β 2 COS α + β 2 + cos α + β 2 grijeh α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 grijeh α - β 2 \u003d 2 grijeh α + β 2 Cos α - β 2

Akcije za povlačenje preostalih formula su slične.

Izlaz sinus razlike formule

sin α - SIN β \u003d SIN α + α 2 + α - β 2 - SIN α + P 2 - α 2 SIN α + β 2 + α 2 - SIN α + β 2 - α - β 2 \u003d grijeh α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 \u003d 2 grijeh α - β 2 cos α + β 2

Zaključak formule količine kosinusa

cOS α + COS α + α2 + a - α 2 + COS α + β 2 - α - α 2 COS α + β 2 + α - α 2 + COS α + β 2 - α - β 2 \u003d cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin a - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 grijeh α - β 2 \u003d 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Izlaz formule razlike kosine

cOS α - COS α + β 2 + α - α 2 - COS α + β 2 - α-α 2 COS α + β 2 + α - α 2 - COS α + β 2 - α - α 2 \u003d cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 grijeh α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β2 + sin α + β 2 grijeh α - β 2 \u003d - 2 grijeh α + β 2 grijeh α - β 2

Primjeri rješavanja praktičnih zadataka

Za početak, napravite ček jedne od formula, zamjenjujući specifične vrijednosti kutova u nju. Neka α \u003d π 2, β \u003d π 6. Izračunajte vrijednost zbroja sinusa tih kutova. Prvo koristite tablicu glavnih vrijednosti trigonometrijske funkcijeI zatim primijenite formulu za količinu sinusa.

Primjer 1. Provjerite formulu zbroja dva ugla

α \u003d π 2, β \u003d π 6 grijeh π 2 + grijeh 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 grijeh π 2 + grijeh 6 \u003d 2 grijeh π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 grijeha π 3 cos 6 \u003d 2 · 3 2 · 3 2 \u003d 3 2

Sada razmatramo slučaj kada se vrijednosti kutova razlikuju od glavnih vrijednosti prikazanih u tablici. Neka α \u003d 165 °, β \u003d 75 °. Izračunajte razliku u razliku sinusa tih kutova.

Primjer 2. Primjena formule razlike sinusa

α \u003d 165 °, β \u003d 75 ° grijeh α - sin β \u003d grijeh 165 ° - sin 75 ° grijeh 165 - grijeh 75 \u003d 2 · sin 165 ° - grijeh 75 ° 2 cos 165 ° + grijeh 75 ° 2 \u003d 2 · 45 ° COS 120 ° \u003d 2 · 2 2 · - 1 2 \u003d 2 2

Uz pomoć formula suma i razlike sinusa i kosines, možete ići iz količine ili razlike u proizvod od trigonometrijskih funkcija. Često se te formule nazivaju tranzicijskim formulama iz iznosa do posla. Formule iz suma i razlike sinusa i kosine se naširoko koriste u rješavanju trigonometrijske jednadžbe i prilikom pretvaranja trigonometrijskih izraza.

Ako primijetite pogrešku u tekstu, odaberite ga i pritisnite Ctrl + Enter

elektronički resurs je izvrstan materijal za interaktivno učenje moderne škole, To je ispravno sastavljeno, ima jasnu strukturu i odgovara školskom planu. Zahvaljujući detaljnim objašnjenjima, tema koja je prikazana u video tutorial postat će jasno što je više moguće broj studenata u učionici. Nastavnici se moraju sjetiti da svi učenici imaju isti stupanj percepcije, brzinu razumijevanja, baze. Provoditi s poteškoćama i nadoknaditi svoje vršnjake, takve će materijale pomoći ispraviti izvedbu. Uz pomoć u kućnoj mirnoj atmosferi, samostalno zajedno s učiteljem, student može razumjeti ovu ili tu temu, proučavati teoriju i prikaz primjera praktična aplikacija To ili ta formula, itd.

Ovaj video tutorial je posvećen temi "sinus i kosine razlika argumenata". Podrazumijeva se da su učenici već proučavali osnove trigonometrije, upoznati s osnovnim funkcijama i njihovim svojstvima, formulama duhova i trigonometrijske vrijednosti.

Također, prije nego što nastavite na studiju ove teme, potrebno je imati koncept sinusa i kosine iz suma argumenata, znaju dvije osnovne formule i biti u mogućnosti koristiti ih.

Na početku video tutorial, govornik podsjeća na školske djece ove dvije formule. Nadalje pokazuje prvu formulu - sinus razlike argumenata. Osim kako se prikazuje formula, prikazano je kako se ispostavilo s druge. Dakle, školarac se ne mora pridružiti novoj formuli bez razumijevanja, što je uobičajena pogreška. To je vrlo važno za studente u ovom razredu. Uvijek je potrebno zapamtiti da prije minus znaka možete dodati znak +, a minus na znaku plus će se na kraju pretvoriti u minus. Uz pomoć tako jednostavnog koraka, možete koristiti formulu sinusnog iznosa i dobiti formulu razlike u razlici argumenata.

Slično tome, izvedena je formula kauzine razlike od kosine formule količine argumenata.

Spiker prolazi sve objašnjava, i kao rezultat toga, na sličan način se prikazuje opća formula kosenika i razlika argumenata i sinusa.

Prvi primjer praktičnog dijela ovog video tutorial nudi za pronalaženje kosinusa PI / 12. Predlaže se da ovu vrijednost predstavlja u obliku određene razlike na kojoj će se smanjiti i oduzeti tabletirajuće vrijednosti. Zatim će se primjenjivati \u200b\u200bformula kacinuške razlike argumenata. Zamjena izraza, možete zamijeniti vrijednost i dobiti odgovor. Spiker čita odgovor koji se prikazuje na kraju primjera.

Drugi primjer je jednadžba. U desnoj strani, i na lijevoj strani vidimo kosine razlike u argumentima. Spiker podsjeća na prezentacijske formule koje se koriste za zamjenu i pojednostavljenje tih izraza. Ove formule su snimljene na desnoj strani, tako da učenici mogu razumjeti gdje se to ili druge promjene pojavljuju.

Drugi primjer, treći, predstavlja određenu frakciju, gdje u numeritoru i u nazivniku imamo trigonometrijski izrazi, naime, razlika radova.

Ovdje, pri rješavanju, koriste se formule. Dakle, školci mogu pobrinuti da preskakanje jedne teme u trigonometriju, bit će složenije razumjeti ostatak.

I konačno, četvrti primjer. Također je jednadžba, pri rješavanju koje treba koristiti nove studije i stare formule.

Primjeri koji se daju u video tutorial mogu se razmotriti detaljnije i pokušati riješiti sebe. Mogu se postaviti kao domaća zadaća Školska djeca.

Tekst dekodiranje:

Tema razreda "sinusa i kosine razlike argumenata".

U prethodnom tečaju postali smo upoznati s dvije trigonometrijske formule sinusa i količine argumenata.

grijeh (x + y) \u003d sin x cos y + cos x grijeh y,

cos (x + y) \u003d cos x cos y - sin x grijeh Y.

sinus zbroja dviju kutova jednak je zbroj između proizvoda prvog kuta i kosine drugog kuta i kosine prvog kuta i sinus drugog kuta;

kosinus zbroja dva kuta jednaka je razlici između proizvoda kosine tih uglova i količine zbroja tih kutova.

S tim formulama izvodimo formulu sinusa i kosinus razlike argumenata.

Razlika razlika sinusa Grijeh (X- Y)

Dvije formule (sinusni iznosi i razlika sinusa) mogu se napisati u obliku:

grijeh (X. y) \u003d grijeh x cos ycos x grijeh Y.

Slično tome, povucite formulu razlike u kauzinusu:

Kosinus razlike argumenata će prepisati u obliku iznosa i primjenjivati \u200b\u200bveć poznatu formulu kosinusa: COS (X + Y) \u003d cosxcosy - sinxsiny.

samo za argumente x i-y. Zamjena tih argumenata u formuli, dobivamo cosxcos (- y) - sinxsin (- y).

grijeh (- y) \u003d - Siny). I dobivamo konačni izraz cosxcosy + sinxsiny.

cos (x - y) \u003d cos (x + (- y)) \u003d cos xcos (- y) - sin x grijeh (- y) \u003d cosx cos y + sin xsin y.

Dakle, cos (x - y) \u003d cosxcos y + sin xsin y.

kosinus razlike u dva kuta jednaka je količini između proizvoda kosine tih kutova i proizvoda sinusa tih kutova.

Kombinirajući dvije formule (količine kosinusa i kosine razlike) u jednom, pišu

cos (X. y) \u003d cosxcos y grijeh xsin y.

Sjećamo se da se formule u praksi mogu se koristiti i s lijeva na desno i obrnuto.

Razmotrite primjere.

Primjer 1. Izračunajte COS (Cosine PI, podijeljeni s dvanaest).

Odluka. Pišemo PI, podijeljen s dvanaestoredom, kao razlika PI do tri i PI, podijeljena na četiri: \u003d -.

Zamijenimo vrijednosti u kauzinusu razlike: cos (x - y) \u003d cosxcosy + sinxsiny, tako cos \u003d cos (-) \u003d cos cos + sin grijeh

Znamo da je cos \u003d, cos \u003d sin \u003d, grijeh \u003d. Prikaži tablicu vrijednosti.

Mi ćemo zamijeniti vrijednost sinusnog i kosinua s numeričkim vrijednostima i dobiti ∙ + ∙ kada se umnožava, udio u djeliću brojeva i denominatora se mijenjaju, dobivamo

cos \u003d cos (-) \u003d cos cos + sin grijeh \u003d ∙ + ∙ \u003d \u003d \u003d.

Odgovor: cos \u003d.

Primjer 2. Za rješavanje COS jednadžbe (2π - 5x) \u003d cos (- 5x) (kosinus dva PI minus pet X je jednaka kosinu od PI za dva minus pet x).

Odluka. Na lijevi i desni dijelovi jednadžbe, cos cos (2π - cos (cosines dva mogu minus alfa jednaka kosinu Alpha) i cos (- \u003d grijeh (Cosine PI na dvjema minus alfa jednako alfa sinus), dobivamo cos 5x \u003d grijeh 5x, dajemo ga u obliku homogene jednadžbe prvog stupnja i dobiti cos 5x - grijeh 5x \u003d 0. Ovo je homogena jednadžba prvog stupnja. Podijelimo metre oba dijela COS 5X jednadžbe. Imajte:

cos 5x: cos 5x - sin 5x: cos 5x \u003d 0, jer cos 5x: cos 5x \u003d 1, i sin 5x: cos 5x \u003d tg 5x, onda dobivamo:

Budući da već znamo da je jednadžba tgt \u003d a ima rješenje t \u003d arctga + πn, a budući da smo t \u003d 5x, i \u003d 1, onda dobivamo

5x \u003d arct 1 + πn,

i vrijednost Arctg 1, zatim TG 1 \u003d prikazuje tablicu

zamijenimo vrijednost u jednadžbi i riješimo ga:

Odgovor: x \u003d +.

Primjer 3. Pronađite vrijednost frakcije. (u različitim razlikama rada u radu Sedamdeset pet stupnjeva i šezdeset i pet stupnjeva i djela sedamdeset i pet stupnjeva i šezdeset pet stupnjeva, te u denominatoru razlika rada sinusa osamdeset i pet stupnjeva i kosinu Trideset i pet stupnjeva i djela Kosina osamdeset i pet stupnjeva i sinus trideset i pet stupnjeva).

Odluka. U numeritoru tog frakcije, razlika može biti "minimizirana" u kosinu i 35 °. Primati

Odgovor: - 1.

Primjer 4. Riješite jednadžbu: COS (e) + grijeh \u003d 1 (Cosine PI razlika po četiri i IX Plus Sinus PI razlika po četiri i x jednaka je jednom).

Odluka. Nanesite formulu razlike uzrokovanja i razlike sinusa.

Prikaži opću formulu za kolosinu

Onda cos (s) \u003d cos cos x + sinsin