Πολύ συχνά, οι μαθητές που εισέρχονται στην έβδομη τάξη στρέφονται σε βιβλία αυτής της μορφής για να αντεπεξέλθουν σε έναν τεράστιο αριθμό εργασιών στη γεωμετρία. Πριν αρχίσετε να χρησιμοποιείτε αυτούς τους οδηγούς, είναι καλύτερο να εξοικειωθείτε με τις βασικές πληροφορίες σχετικά με αυτούς και πώς μπορούν να σας ωφελήσουν.

Μελετάμε τα οφέλη που παρέχουν οι λύτες γεωμετρίας

Οι παιδοψυχολόγοι έχουν ήδη αποδείξει τη θετική επίδραση στην προσωπικότητα ενός παιδιού από τη συνεργασία με τέτοιους συμβούλους ως έτοιμες εργασίες για το σπίτι. Πρώτα απ 'όλα, οι γονείς ανησυχούν για την υγεία του παιδιού τους και το σκεφτήκαμε επίσης. Χρησιμοποιώντας το GDZ για τη γεωμετρία στον ιστότοπό μας, ο μαθητής της έβδομης δημοτικού δεν θα αναγκαστεί να καθίσει μέχρι το βράδυ κάνοντας τις εργασίες του και θα μπορεί να κοιμηθεί σύμφωνα με τα πρότυπα για την ηλικία του.

Επίσης, η σιγουριά ότι οι απαντήσεις στις ασκήσεις στο σπίτι είναι σωστές θα σας γλιτώσει από το άγχος που βιώνει ο μαθητής όταν παρουσιάζει τα αποτελέσματα της εργασίας του μπροστά στην τάξη. Επιπλέον, ένα εξίσου σημαντικό πλεονέκτημα της χρήσης βιβλίων όπως το GDZ για τη γεωμετρία 7η τάξη Atanasyan είναι η προετοιμασία του παιδιού για ανεξάρτητη ζωή.

Για παράδειγμα, όταν οι απαντήσεις σε ένα πρόβλημα δεν συμπίπτουν με τα δεδομένα που προσφέρουν οι λύτες, ο ίδιος ο μαθητής θα μπορεί να παρακολουθεί την πρόοδο της επίλυσης της άσκησης και να βρει μόνος του το λάθος που έγινε σε αυτήν. Τα εξαιρετικά αποτελέσματα και οι υψηλές ακαδημαϊκές επιδόσεις προέρχονται από τη συνεργασία μόνο με τους κατάλληλους λύτες γεωμετρίας Atanasyan. Με την έλευση της πύλης μας VIPGDZ, δεν χρειάζεται πλέον να χάνετε το χρόνο σας αναζητώντας ποιοτικά βιβλία αυτής της μορφής. Απλά πρέπει να επισκεφτείτε τον εκπαιδευτικό μας πόρο.

ο ιστότοπος δίνει στους μαθητές της έβδομης τάξης μόνο τις σωστές λύσεις

Η πύλη μας VIPGDZ συγκρίνεται πολύ ευνοϊκά με άλλους ιστότοπους αυτού του τύπου. Το θέμα είναι ότι δίνει έναν τεράστιο αριθμό αναμφισβήτητων πλεονεκτημάτων στους χρήστες του. Πρώτον, δεν χρειάζεται να ανησυχείτε για οποιαδήποτε πληρωμή για τη χρήση των βιβλίων προβλημάτων της έβδομης τάξης στις σελίδες μας, γιατί όλα εκπαιδευτική βιβλιογραφίαπαρέχεται εντελώς δωρεάν.

Επίσης, είμαστε σίγουροι ότι θα εντυπωσιαστείτε ευχάριστα από το ευρύ φάσμα βιβλίων γεωμετρίας που προσφέρει ο ιστότοπος. Μεταξύ άλλων πλεονεκτημάτων του πόρου μας είναι η δυνατότητα όχι μόνο προβολής καταλόγων στο διαδίκτυο, αλλά και λήψης τους σε υπολογιστή ή άλλο σύγχρονο gadget.

Γνωρίζοντας ότι γονείς και παιδιά είναι άτομα της νέας γενιάς, σκεφτήκαμε ότι η έκδοση για κινητά της ιστοσελίδας μας θα τους ευχαριστούσε και τη δημιουργήσαμε. Τώρα μπορείτε να απολαύσετε όλα τα πλεονεκτήματα που προσφέρουν οι απαντήσεις γεωμετρίας οποιαδήποτε στιγμή χρειάζεστε, απλώς προσθέτοντας τον πόρο μας στους σελιδοδείκτες σας.

Μαζί με την ιστοσελίδα μας θα καταλάβετε πόσο ενδιαφέρουσα και ανέμελη μπορεί να είναι η διαδικασία της εκτέλεσης εργασία για το σπίτιστη γεωμετρία στην 7η δημοτικού!

Έτοιμες εργασίες για εγχειρίδιο γεωμετρίας για μαθητές 7-9 τάξεων, συγγραφείς: Λ.Σ. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, E.G. Πόζνιακ, Ι.Ι. Yudina, εκδοτικός οίκος Prosveshchenie για το ακαδημαϊκό έτος 2015-2016.

Παιδιά, στις τάξεις 7-9 θα μελετήσετε ένα τόσο ενδιαφέρον θέμα όπως η γεωμετρία. Για να αποφύγετε προβλήματα κατανόησης αυτού του μαθήματος στο μέλλον, πρέπει να εργαστείτε σκληρά από την αρχή.

Σε προηγούμενα μαθήματα έχετε ήδη εξοικειωθεί με ορισμένα γεωμετρικά σχήματα. Σε αυτό το buzz θα διευρύνετε αυτό το ελάχιστο των γνώσεων. Ολόκληρο το μάθημα χωρίζεται σε δύο ενότητες: επιπεδομετρία και στερεομετρία. Στους βαθμούς 7 και 8 θα δείτε σχήματα σε ένα επίπεδο - αυτό είναι ένα τμήμα για την επιπεδομετρία. Στην 9η δημοτικού, ιδιότητες μορφών στο χώρο - στερεομετρία.

Συχνά προκύπτει μια κατάσταση όταν, βάσει των συνθηκών, δεν είναι δυνατό να κάνετε το σωστό σχέδιο, να σχεδιάσετε όλες τις λεπτομέρειες στο χώρο και τότε η γεωμετρία φαίνεται σαν ένα αδύνατο θέμα για εσάς. Εάν αρχίσετε να αντιμετωπίζετε τέτοιες δυσκολίες, τότε σας συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε το τεστ γεωμετρίας μας για τους βαθμούς 7-9 L.S. Atanasyan, το οποίο αναρτάται παρακάτω.

Μπορείτε να κατεβάσετε το βιβλίο εργασίας GDZ Geometry 7 Atanasyan.

Μπορείτε να κατεβάσετε το βιβλίο εργασίας GDZ Geometry τάξης 8 Atanasyan.

Μπορείτε να κατεβάσετε το βιβλίο εργασίας GDZ Geometry τάξης 9 Atanasyan.

GDZ να διδακτικό υλικόστη γεωμετρία για την τάξη 7 Ziv B.G. μπορεί να γίνει λήψη.

GDZ για διδακτικά υλικά στη γεωμετρία για την τάξη 8 Ziv B.G. μπορεί να γίνει λήψη.

GDZ για διδακτικά υλικά στη γεωμετρία για την τάξη 9 Ziv B.G. μπορεί να γίνει λήψη.

GDZ σε ανεξάρτητο και δοκιμέςστη γεωμετρία για τους βαθμούς 7-9 Ichenskaya M.A. μπορεί να γίνει λήψη.

GDZ για τη συλλογή εργασιών γεωμετρίας για την τάξη 7 Ershova A.P. μπορεί να γίνει λήψη.

GDZ για τη συλλογή εργασιών γεωμετρίας για την τάξη 8 Ershova A.P. μπορεί να γίνει λήψη.

GDZ να ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝστη γεωμετρία για τον βαθμό 9 Mishchenko T.M. μπορεί να γίνει λήψη.

GDZ για θεματικές δοκιμές στη γεωμετρία για την τάξη 7 Mishchenko T.M. μπορεί να γίνει λήψη.

GDZ για θεματικές δοκιμές στη γεωμετρία για τον βαθμό 8 Mishchenko T.M. μπορεί να γίνει λήψη

Πλανομετρία. Εγχειρίδιο για τη σε βάθος μελέτη των μαθηματικών / V.F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, S. A. Shestakov, I. I. Yudina. - Μ., 2005. - 488 σελ.
Αυτό το εγχειρίδιο παρέχει μια συστηματική παρουσίαση ενός σε βάθος μαθήματος στην επιπεδομετρία. Μαζί με τις βασικές γεωμετρικές πληροφορίες που περιλαμβάνονται στο πρότυπο σχολικό πρόγραμμα σπουδώνστη γεωμετρία, περιέχει ένα μεγάλο πρόσθετο υλικό, διευρύνοντας και εμβαθύνοντας βασικές πληροφορίες. Το στυλ παρουσίασης που υιοθετείται στο εγχειρίδιο διαφέρει σημαντικά από το παραδοσιακό: θεώρημα - απόδειξη. Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι συγγραφείς δεν διατυπώνουν εκ των προτέρων θεωρήματα και αξιώματα, αλλά αναζητούν τις διατυπώσεις τους μαζί με τον αναγνώστη. Αυτή η προσέγγιση εξηγείται από την επιθυμία των συγγραφέων να δώσουν μια ιδέα για το πώς κατασκευάζονται τα μαθηματικά και πώς λειτουργούν οι μαθηματικοί.

Το βιβλίο δίνει μεγάλη προσοχή στη γεωμετρία Lobachevsky, στις καμπύλες σταθερού πλάτους, στα ισοπεριμετρικά προβλήματα και αποδεικνύει ολόκληρη γραμμήαξιόλογα θεωρήματα επιπεδομετρίας.

Το εγχειρίδιο απευθύνεται σε μαθητές που έχουν αυξημένο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, καθώς και σε όσους έλκονται από την ομορφιά της γεωμετρίας. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε τάξεις με εις βάθος μελέτη των μαθηματικών, στις εργασίες μαθηματικών συλλόγων και μαθημάτων επιλογής και να χρησιμεύσει ως το κύριο εγχειρίδιο σε σχολεία που ειδικεύονται στη φυσική και τα μαθηματικά.
ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
Πρόλογος................................................ 3
Κεφάλαιο 1. Βασικές γεωμετρικές πληροφορίες................... 6
§ 1. Σημεία, ευθείες, τμήματα................................... 6
§2. Μέτρηση τμημάτων και γωνιών................................... 17
§3. Κάθετες και παράλληλες ευθείες................... 25
Κεφάλαιο 2. Τρίγωνα................................... 37
§ 1. Τα τρίγωνα και οι τύποι τους................................. 37
§2. Ισοσκελές τρίγωνο........................ 43
§3. Σχέσεις μεταξύ πλευρών και γωνιών τριγώνου... 46
§4. Σημάδια ισότητας τριγώνων................................. 52
§5. Σημάδια ισότητας ορθογώνια τρίγωνα.......... 68
§6. Εργασίες κατασκευής.......................................... 79
Κεφάλαιο 3. Παράλληλες ευθείες................................... 101
§1. Αξίωμα παράλληλων ευθειών........................ 101
§2. Ιδιότητες παράλληλων ευθειών................................... 119
Κεφάλαιο 4. Περαιτέρω πληροφορίες για τα τρίγωνα................... 127
§1. Άθροισμα γωνιών τριγώνου. ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑτρίγωνο...... 127
§2. Τέσσερα αξιόλογα σημεία του τριγώνου................................ 139
Κεφάλαιο 5. Πολύγωνα................................... 150
§1. Κυρτό πολύγωνο............................ 150
§2. Τετράπλευρα................................. 168
Κεφάλαιο 6. Περιοχή................................... 180
§1. Ίσα πολύγωνα................................ 180
§2. Η έννοια της περιοχής................................. 188
§3. Εμβαδόν τριγώνου................................... 197
§4. Ο τύπος του Ήρωνα και οι εφαρμογές του................................... 210
§5. Πυθαγόρειο θεώρημα................................... 213

Κεφάλαιο 7. Παρόμοια τρίγωνα........................ 219
§1. Σημάδια ομοιότητας τριγώνων...................................... 219
§2. Εφαρμογή της ομοιότητας στην απόδειξη θεωρημάτων και στην επίλυση προβλημάτων. . 230
§3. Εργασίες κατασκευής.......................................... 245
§4. Σχετικά με τα αξιόλογα σημεία του τριγώνου................... 255
Κεφάλαιο 8. Κύκλος................................... 260
§1. Ιδιότητες κύκλου...................................... 260
§2. Γωνίες που σχετίζονται με κύκλο...................................... 268
Κεφάλαιο 9. Διανύσματα................................... 285
§1. Προσθήκη διανύσματος.......................................... 285
§2. Πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό.......................... 292
Κεφάλαιο 10. Μέθοδος συντεταγμένων................................... 298
§ 1. Συντεταγμένες σημείων και διανυσμάτων................................... 298
§2. Εξισώσεις ευθείας και κύκλου................................ 304
§3. Ριζικός άξονας και ριζικό κέντρο κύκλων.......... 309
§4. Αρμονικά τετραπλά σημεία ............................ 317
Κεφάλαιο 11. Τριγωνομετρικές σχέσεις σε τρίγωνο. Κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων.......................... 324
§ 1. Σχέσεις πλευρών και γωνιών τριγώνου....... 324
§2. Χρήση τριγωνομετρικούς τύπουςόταν αποφασίζει γεωμετρικά προβλήματα...................................331
§3. Τελεακή γινόμενο διανυσμάτων................................... 339
Κεφάλαιο 12. Κανονικά πολύγωνα. Μήκος και εμβαδόν...... 347
§1. Κανονικά πολύγωνα............................ 347
§2. Μήκος................................................ 355
§3. Περιοχή.......................................... 363
Κεφάλαιο 13. Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί................................. 374
§1. Κινήσεις................................ 374
§2. Κεντρική ομοιότητα................................ 386
§3. Αντιστροφή.......................................... 396
Παράρτημα 1. Πάλι για τους αριθμούς*................................ 414
Παράρτημα 2. Πάλι για τη γεωμετρία του Λομπατσέφσκι................... 430

Μ.: Fizmatlit, 2005. - 488 σελ.

Αυτό το εγχειρίδιο παρέχει μια συστηματική παρουσίαση ενός σε βάθος μαθήματος στην επιπεδομετρία. Μαζί με τις βασικές γεωμετρικές πληροφορίες που περιλαμβάνονται στο τυπικό σχολικό πρόγραμμα σπουδών στη γεωμετρία, περιέχει μια μεγάλη ποσότητα πρόσθετου υλικού που διευρύνει και εμβαθύνει τις βασικές πληροφορίες. Το στυλ παρουσίασης που υιοθετείται στο εγχειρίδιο διαφέρει σημαντικά από το παραδοσιακό: θεώρημα - απόδειξη. Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι συγγραφείς δεν διατυπώνουν εκ των προτέρων θεωρήματα και αξιώματα, αλλά αναζητούν τις διατυπώσεις τους μαζί με τον αναγνώστη. Αυτή η προσέγγιση εξηγείται από την επιθυμία των συγγραφέων να δώσουν μια ιδέα για το πώς κατασκευάζονται τα μαθηματικά και πώς λειτουργούν οι μαθηματικοί.

Το βιβλίο δίνει μεγάλη προσοχή στη γεωμετρία Lobachevsky, στις καμπύλες σταθερού πλάτους, στα ισοπεριμετρικά προβλήματα και αποδεικνύει μια σειρά από αξιοσημείωτα θεωρήματα επιπεδομετρίας.

Το εγχειρίδιο απευθύνεται σε μαθητές που έχουν αυξημένο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, καθώς και σε όσους έλκονται από την ομορφιά της γεωμετρίας. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε τάξεις με εις βάθος μελέτη των μαθηματικών, στις εργασίες μαθηματικών συλλόγων και μαθημάτων επιλογής και να χρησιμεύσει ως το κύριο εγχειρίδιο σε σχολεία που ειδικεύονται στη φυσική και τα μαθηματικά.

Μορφή: pdf

Μέγεθος: 7,7 MB

Παρακολουθήστε, κατεβάστε: drive.google

Πρόλογος 3

Κεφάλαιο 1. Βασικές γεωμετρικές πληροφορίες 6

§ 1. Σημεία, ευθείες, τμήματα 6

1. Σημείο ( 6). 2. Ευθεία γραμμή (β). 3. Δοκός και τμήμα (9). 4. Αρκετές εργασίες A0). 5. Γωνία Α3). σι. Ημιεπίπεδο Α4).

§2. Μέτρηση τμημάτων και γωνιών 17

7. Ισότητα γεωμετρικά σχήματαΑ7). 8. Σύγκριση τμημάτων και γωνιών Α7). 9. Το μέσο του τμήματος και η διχοτόμος της γωνίας Α8). 10. Μέτρηση τμημάτων και γωνιών Α9). 11. Περί αριθμών Β0).

§3. Κάθετες και παράλληλες ευθείες 25

12. Κάθετες ευθείες Β5). 13. Σημάδια παραλληλισμού δύο ευθειών Β8). 14. Πρακτικοί τρόποικατασκευή παράλληλων ευθειών Γ1). 15. Υπάρχει τετράγωνο; C2). 16. Συμπερασματικές παρατηρήσεις Γ4).

Κεφάλαιο 2. Τρίγωνα 37

§ 1. Τα τρίγωνα και οι τύποι τους 37

17. Τρίγωνο Γ7). 18. Εξωτερική γωνία τριγώνου Γ8).

19. Ταξινόμηση τριγώνων Γ9). 20. Διάμεσοι, διχοτόμοι και υψόμετρα τριγώνου Δ0).

§2. Ισοσκελές τρίγωνο 43

21. Θεώρημα για τις γωνίες ισοσκελούς τριγώνου Δ3).

22. Πρόσημο ισοσκελούς τριγώνου Δ3). 23. Θεώρημα ύψους ισοσκελές τρίγωνοΔ4).

§3. Σχέσεις μεταξύ πλευρών και γωνιών τριγώνου 46

24. Θεώρημα για τις σχέσεις μεταξύ πλευρών και γωνιών τριγώνου Δ6). 25. Θεωρήματα αντιστροφήςΔ7). 26. Ανίσωση τριγώνου Δ9).

§4. Δοκιμές για ισοδυναμία τριγώνων 52

27. Τρία σημάδια ισότητας τριγώνων Ε2). 28. Υπάρχουν άλλα σημάδια ότι τα τρίγωνα είναι ίσα; Ε6). 29. Δοκιμές για την ισότητα τριγώνων με χρήση διάμεσων, διχοτόμων και υψομέτρων F1).

§5. Δοκιμές για την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων 68

30. Πέντε πρόσημα ισότητας ορθογωνίων τριγώνων F8).

31. Διχοτόμος σε τμήμα. Αξονική συμμετρία G2).

32. Απόσταση από σημείο σε ευθεία G5). 33. Ιδιότητα της διχοτόμου γωνίας G5). 34. Θεώρημα τομής διχοτόμων τριγώνου G7).

§6. Κατασκευαστικά προβλήματα 79

35. Κύκλος. Κεντρική συμμετρία G9). 36. Η σχετική θέση ευθείας και κύκλου (81). 37. Κύκλος εγγεγραμμένος σε τρίγωνο (84). 38. Η σχετική θέση δύο κύκλων (85). 39. Κατασκευή τριγώνου με χρήση τριών πλευρών (88).

40. Βασικές εργασίες για την κατασκευή (91). 41. Λίγα ακόμη προβλήματα για την κατασκευή τριγώνου (94).

Κεφάλαιο 3. Παράλληλες ευθείες 101

§ 1. Αξίωμα παράλληλων ευθειών 101

42. Αξιώματα Α01). 43. Βασικές έννοιες Α02). 44. Σύστημα επιπεδομετρικών αξιωμάτων 45. Δύο συμπεράσματα από τα αξιώματα Α08).

46. ​​Περί θεωρημάτων Α09). 48. Αξίωμα παράλληλων ευθειών Α14).

49. Περί του πέμπτου αξιώματος του Ευκλείδη Α16). 50. Για άλλη μια φορά για την ύπαρξη του τετραγώνου Α17).

§2. Ιδιότητες παράλληλων ευθειών 119

51. Απόσταση μεταξύ παράλληλων ευθειών Α19). 52. Ένας άλλος τρόπος κατασκευής παράλληλων ευθειών Α20). 53. Κατασκευαστικά προβλήματα Α21).

Κεφάλαιο 4: Περισσότερα για τα Τρίγωνα 127

§1. Άθροισμα γωνιών τριγώνου. Μέση γραμμή τριγώνου 127

54. Πρόβλημα κοπής τριγώνου Α27). 55. Άθροισμα γωνιών τριγώνου Α29). 56. Μέση γραμμή τριγώνου Α34). 57. Θεώρημα Θαλής Α34). 58. Απροσδόκητο γεγονός Α36).

§2. Τέσσερα υπέροχα σημεία του τριγώνου 139

59. Θεώρημα τομής κάθετων διχοτόμων στις πλευρές τριγώνου Α39). 60. Περιγεγραμμένος κύκλος γύρω από το τρίγωνο Α41). 61. Θεώρημα τομής υψομέτρων τριγώνου Α42). 62. Αντανακλάσεις στο σημείο τομής των διαμέσων τριγώνου Α43). 63. Θεώρημα τομής διαμέσου τριγώνου Α45).

Κεφάλαιο 5. Πολύγωνα 150

§ 1. Κυρτό πολύγωνο 150

64. Polyline A50). 65. Πολύγωνο Α52). 66. Κυρτό πολύγωνο Α58). 67. Κυρτή γραμμή Α61). 68. Κλειστή γραμμή Α62). 69. Κλειστή κυρτή γραμμή Α63). 70. Ενεπίγραφο πολύγωνο Α64). 71. Περιγεγραμμένο πολύγωνο Α66).

§2. Τετράπλευρα 168

72. Ιδιότητα διαγωνίων κυρτού τετράπλευρου Α68).

73. Χαρακτηριστική ιδιότητα του σχήματος Α70). 74. Παραλληλόγραμμο Α70). 75. Θεωρήματα Varignon και Gauss A72). 76. Ορθογώνιο, ρόμβος και τετράγωνο Α73). 77. Τραπεζοειδής Α76).

Κεφάλαιο 6. Περιοχή 180

§ 1. Ίσα πολύγωνα 180

78. Προβλήματα κοπής πολυγώνων Α80). 79. συγκροτημένα πολύγωνα Α83). 80. Κοπή τετραγώνου σε άνισα τετράγωνα Α85).

§2. Έννοια της περιοχής 188

81. Μέτρηση του εμβαδού ενός πολυγώνου A88). 82. Εμβαδόν αυθαίρετου σχήματος Α93).

§3. Εμβαδόν τριγώνου 197

84. Εμβαδόν ορθογωνίου, παραλληλόγραμμο και τρίγωνο Α97). 85. Πολύγωνα ίσου εμβαδού Α98). 86. Η μέθοδος του Ευκλείδη Β00). 87. Δύο θεωρήματα για τον λόγο των εμβαδών των τριγώνων Β01). 88. Δύο θεωρήματα στις διχοτόμους τριγώνου Β03). 89. Δοκιμή για την ισότητα τριγώνων με βάση δύο πλευρές και διχοτόμο από μια κορυφή Β04).

§4. Ο τύπος του Heron και οι εφαρμογές του 210

90. Τύπος Heron Β10). 91. Μέσο Θεώρημα Β11). 92. Τύπος διχοτόμου τριγώνου Β12).

§5. Πυθαγόρειο θεώρημα 213

93. Γενικευμένο Πυθαγόρειο θεώρημα Β13). 94. Πρόβλημα κοπής τετραγώνων Β15).

Κεφάλαιο 7. Παρόμοια τρίγωνα 219

§ 1. Δοκιμές ομοιότητας τριγώνων 219

95. Ομοιότητα και ισότητα τριγώνων Β19). 96. Άλλα σημάδια ομοιότητας τριγώνων Β22). 97. Τριγωνομετρικές συναρτήσειςΒ24).

§2. Εφαρμογή της ομοιότητας στην απόδειξη θεωρημάτων και στην επίλυση προβλημάτων. . 230

98. Γενικευμένο θεώρημα του Θαλή Β30). 99. Συμπέρασμα του γενικευμένου θεωρήματος του Θαλή Β32). 100. Θεώρημα αναλογικών τμημάτων σε τρίγωνο Β35). 101. Θεώρημα Ceva Β37).

102. Θεώρημα Μενελάου Β41).

§3. Προβλήματα κατασκευής 245

103. Γεωμετρικός μέσος όρος Β45). 104. Αριθμητικός μέσος, αρμονικός μέσος και τετράγωνος μέσος όρος για δύο τμήματα Β46). 105. Μέθοδος ομοιότητας Β47).

§4. Σχετικά με τα αξιόλογα σημεία του τριγώνου 255

106. Στα υψόμετρα του τριγώνου Β55). 107. Στις διχοτόμους του τριγώνου Β57). 108. Δύο ακόμη σημεία συνδέονται με τρίγωνο Β58).

Κεφάλαιο 8. Κύκλος 260

§ 1. Ιδιότητες κύκλου 260

109. Χαρακτηριστική ιδιότητα κύκλου Β60). ΜΕ. Προβλήματα για την κατασκευή Β60). 111. Καμπύλες σταθερού πλάτους Β63).

§2. Γωνίες που σχετίζονται με κύκλο 268

112. Εγγεγραμμένες γωνίες Β68). 113. Γωνίες μεταξύ συγχορδιών και τμημάτων Β71). 114. Γωνία μεταξύ εφαπτομένης και χορδής Β72). 115. Θεώρημα στο τετράγωνο της εφαπτομένης Β73). 116. Θεώρημα Pascal Β75).

117. Κυκλώσεις τριγώνου Β76).

Κεφάλαιο 9. Διανύσματα 285

§ 1. Προσθήκη διανύσματος 285

118. Συνκατευθυντικά διανύσματα Β85). 119. Ισότητα διανυσμάτων Β88). 120. Άθροισμα διανυσμάτων Β89).

§2. Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με τον αριθμό 292

121. Γινόμενο διανύσματος και αριθμού Β92). 122. Αρκετά προβλήματα Β94).

Κεφάλαιο 10. Μέθοδος συντεταγμένων 298

§ 1. Συντεταγμένες σημείων και διανυσμάτων 298

123. Συντεταγμένος άξονας Β98). 124. Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Β99). 125. Συντεταγμένες διανύσματος C00). 126. Μήκος διανύσματος και απόσταση δύο σημείων C02). 127. Θεώρημα Stewart C02).

§2. Εξισώσεις ευθείας και κύκλου 304

128. Κάθετα διανύσματα C04). 129. Εξίσωση γραμμής C05). 130. Εξίσωση κύκλου C06).

§3. Ριζικός άξονας και ριζικό κέντρο κύκλων 309

131. Ριζικός άξονας δύο κύκλων C09). 132. Θέση του ριζικού άξονα σε σχέση με τους κύκλους C11). 133. Ριζικό κέντρο τριών κύκλων Γ13). 134. Θεώρημα Brianchon C15).

§4. Αρμονικά τετραπλάσια σημεία 317

135. Παραδείγματα αρμονικών τετραπλών C17). 136. Polar C20).

137. Τετράκλινο Γ21). 138. Κατασκευάζοντας εφαπτομένη με χρήση ενός χάρακα C22).

Κεφάλαιο 11. Τριγωνομετρικές σχέσεις σε τρίγωνο. Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων 324

§1. Σχέσεις μεταξύ πλευρών και γωνιών τριγώνου 324

139. Ημίτονο και συνημίτονο διπλής γωνίας C24). 140. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυθαίρετων γωνιών Γ25). 141. Αναγωγικοί τύποι C25). 142. Ένας άλλος τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου C26).

143. Θεώρημα ημιτόνων Γ27). 144. Θεώρημα συνημιτονίου Γ28).

§2. Χρήση τριγωνομετρικών τύπων στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων 331

145. Ημίτονο και συνημίτονο του αθροίσματος και της διαφοράς των γωνιών C31). 146. Θεώρημα Morley C33). 147. Εμβαδόν τετράπλευρου C35). 148. Περιοχές εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων τετραπλεύρων Γ37).

§3. Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων 339

149. Γωνία μεταξύ διανυσμάτων C39). 150. Ορισμός και ιδιότητες του βαθμωτού γινομένου των διανυσμάτων C41). 151. Θεώρημα Euler C43). 152. Θεώρημα Leibniz Γ44).

Κεφάλαιο 12. Κανονικά πολύγωνα. Μήκος και εμβαδόν 347

§ 1. Κανονικά πολύγωνα 347

153. Ισόπλευρα και ισόπλευρα πολύγωνα C47).

154. Κατασκευή κανονικών πολυγώνων C50).

§2. Μήκος 355

155. Περιφέρεια C55). 156. Μήκος γραμμής C57).

§ 3. Περιοχή 363

158. Περιοχή του σχήματος C63). 159. Πρώτον υπέροχο όριο C65). 160. Ισοπεριμετρικό πρόβλημα Γ67).

Κεφάλαιο 13. Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί 374

§ 1. Κινήσεις 374

161. Αξονική συμμετρία C74). 162. Κίνηση Γ75). 163. Χρήση κινήσεων για την επίλυση προβλημάτων Γ77).

§2. Κεντρική ομοιότητα 386

164. Ιδιότητες κεντρικής ομοιότητας Γ86). 165. Θεώρημα Ναπολέοντα Γ88). 166. Πρόβλημα Euler C89). 167. Ευθεία Συμεών Γ92).

§3. Αντιστροφή 396

168. Ορισμός αντιστροφής C96). 169. Βασικές ιδιότητες της αντιστροφής C98). 170. Πτολεμαίο θεώρημα Δ01). 171. τύπος Euler D02). 172. Κύκλοι Απολλώνιου Δ02). 173. Οι κύκλοι του Απολλώνιου χρειάζονται ακόμη και οι νηματώδεις D05). 174. Θεώρημα Φόιερμπαχ Δ07). 175. Απολλώνιος Πρόβλημα Δ08).

Παράρτημα 1. Περί αριθμών πάλι* 414

176. Μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί Δ14). 177. Σύγκριση μη αρνητικών πραγματικών αριθμών Δ17). 178. Πρόσθεση μη αρνητικών πραγματικών αριθμών Δ17). 179. Πολλαπλασιασμός θετικών πραγματικών αριθμών Δ18). 180. Αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί Δ19). 181. Ακριβώς άνω όψη Δ20).

182. Θεώρημα Weierstrass Δ21). 183. Δυαδική μορφή γραφής του αριθμού Δ21). 184. Ο σχετική θέσηευθεία γραμμή και κύκλος D23). 185. Περί μέτρησης γωνιών Δ26). 186. Στη σχετική θέση δύο κύκλων Δ27).

Παράρτημα 2. Και πάλι για τη γεωμετρία Lobachevsky 430

Απαντήσεις και οδηγίες 437

Το σημειωματάριό μας 471

Ευρετήριο ονόματος 473

Ευρετήριο θεμάτων 474

Από τον Πρόλογο:

Αυτό το εγχειρίδιο απευθύνεται σε μαθητές που δείχνουν αυξημένο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά και προορίζεται κυρίως για τάξεις με εις βάθος μελέτη των μαθηματικών, για μαθηματικούς συλλόγους και μαθήματα επιλογής. Αποτελείται από 13 κεφάλαια που αντιστοιχούν στα κεφάλαια του σχολικού βιβλίου «Γεωμετρία 7-9» του Λ.Σ. Atanasyan, V.F. Butuzova, SB. Kadomtseva, E.G. Πόζνιακ, Ι.Ι. Yudina (M.: Prosveshchenie, 1990 και επόμενες εκδόσεις). Ταυτόχρονα, το εγχειρίδιο είναι εντελώς αυτόνομο, γεγονός που του επιτρέπει να χρησιμοποιείται τόσο σε εκείνες τις τάξεις όπου διδάσκεται η γεωμετρία χρησιμοποιώντας άλλα σχολικά βιβλία, όσο και ως το κύριο εγχειρίδιο σε σχολεία που ειδικεύονται στη φυσική και τα μαθηματικά. Πρέπει να σημειωθεί ότι το στυλ παρουσίασης που υιοθετείται στο εγχειρίδιο διαφέρει από το παραδοσιακό: θεώρημα - απόδειξη. Σε ορισμένες περιπτώσεις, δεν διατυπώνουμε εκ των προτέρων θεωρήματα και αξιώματα, αλλά αναζητούμε τις διατυπώσεις τους μαζί με τον αναγνώστη. Αυτή η προσέγγιση εξηγείται από την επιθυμία των συγγραφέων να δώσουν μια ιδέα για το πώς κατασκευάζονται τα μαθηματικά και πώς λειτουργούν οι μαθηματικοί.

Το εγχειρίδιο, μαζί με τις βασικές γεωμετρικές πληροφορίες που περιλαμβάνονται στο τυπικό σχολικό πρόγραμμα σπουδών στη γεωμετρία, περιέχει μια μεγάλη ποσότητα πρόσθετου υλικού που διευρύνει και εμβαθύνει τις βασικές πληροφορίες. Συγκεκριμένα, δίνεται μεγάλη προσοχή στη θεωρία των παράλληλων γραμμών και δίνεται μια ιδέα της γεωμετρίας του Lobachevsky που σχετίζεται με αυτήν.

Σε κάθε κεφάλαιο, καθώς παρουσιάζεται το θεωρητικό υλικό, δίνονται προβλήματα με λύσεις, απεικονίζοντας την εφαρμογή ορισμένων δηλώσεων. Για κάθε παράγραφο του κεφαλαίου δίνονται εργασίες για ανεξάρτητη εργασία, πλήρης με απαντήσεις και οδηγίες. Οι πιο δύσκολες εργασίες και τμήματα σημειώνονται με αστερίσκο. Υπάρχει επίσης ένα ευρετήριο θεμάτων που διευκολύνει την πλοήγηση στο βιβλίο. Ελπίζουμε ότι το βιβλίο μας θα ενδιαφέρει όχι μόνο δασκάλους και μαθητές σε προχωρημένα μαθήματα μαθηματικών, αλλά και σε όλους όσους έλκονται από την ομορφιά της γεωμετρίας.