Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi. Yo'nalish vektori to'g'ri. Oddiy vektor. Misol sifatida topshiriqlar uchun tenglama qanday tuziladi Shunday qilib, biz tenglama tuzishimiz mumkin

VI bo'lim.

TENGLIK TRANSFORMASIYALARI.

___________

1-darajali TENGLAMALARNI YECHISH VA TUZISH

§ 5. Bitta noma’lumli tenglama tuzish.

Har qanday arifmetik masala shundan iboratki, bir nechta ma'lum miqdorlarga ko'ra va bu ma'lum miqdorlar va boshqalar o'rtasidagi berilgan nisbatlarga ko'ra noma'lumlar, noma'lumlar topiladi. Algebra beradi maxsus yo'l arifmetik masalalarni yechish uchun. Bu usul arifmetik masalalarning og'zaki ifodalangan shartlarini algebraik tilga tarjima qilish mumkinligiga asoslanadi, ya'ni. algebraik formulalar yordamida ifodalanadi.

Muammoning og'zaki ifodalangan shartlarini algebraik tilga tarjima qilish odatda formulalash deb ataladi.

Masalaning shartlariga ko'ra bitta noma'lumli tenglama tuzish deganda, bu shartlarni algebraik tilga shunday tarjima qilish tushuniladiki, bu shartlarning butun majmuasi bitta noma'lum bo'lgan bitta tenglama bilan ifodalanadi. Buning uchun muammoning alohida mustaqil shartlari soni unda nazarda tutilgan noma'lumlar soniga teng bo'lishi kerak.

Muammolarning nihoyatda xilma-xilligi tufayli ushbu masalalarga mos keladigan tenglamalarni tuzish usullari juda xilma-xildir. Umumiy qoidalar№ tenglamalarni tuzish uchun. Ammo masala shartlarini algebraik tilga o‘tkazishda fikr yuritishimizga yo‘l ko‘rsatuvchi va fikrlashning boshidanoq yakuniy maqsadga erishish uchun to‘g‘ri yo‘ldan borishga imkon beruvchi bitta umumiy ko‘rsatkich mavjud. Bu umumiy ko'rsatma, yoki umumiy tamoyil tenglamani quyidagicha ifodalaymiz:

Muammoning shartlariga ko'ra bitta noma'lum tenglama tuzish uchun sizga kerak bo'ladi:

1) muammoda to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatilgan yoki birinchi bo'lib olingan noma'lumlardan birini tanlang va bu noma'lumni qandaydir harf bilan belgilang, masalan: X ;

2) bu belgidan va masalada berilgan belgilashlardan foydalanib, masalada bevosita aytilgan yoki nazarda tutilgan barcha miqdorlarni ifodalash, bunday iboralarni tuzishda masalada berilgan barcha raqamlar va berilgan yoki noma’lum miqdorlarga tegishli barcha shartlar bosqichma-bosqich hisobga olinishini kuzatish;

3) barcha shartlar shunday qo‘llanilgandan so‘ng tuzilgan yoki oddiy yozilgan iboralar orasidan berilgan shartlardan biri tufayli bir-biriga teng bo‘lishi kerak bo‘lgan ikkitasini toping va bu iboralarni teng belgi bilan bog‘lang.

Keling, ushbu printsipni ikkita muammoni hal qilishda qo'llaymiz:

1-topshiriq i. Bir hamyondagi tangalar soni boshqasidagining yarmini tashkil qiladi. Agar siz birinchisidan oltita tanga qo'ysangiz va ikkinchisiga sakkiz tanga qo'shsangiz, birinchi tangalar soni ikkinchisiga qaraganda etti baravar kam bo'ladi. Har bir hamyonda nechta tanga borligini aniqlang?

Bu masalada bir nechta ma'lum va bir nechta noma'lum miqdorlar ko'rsatilgan. Birinchi hamyon tangalarining birinchi noma'lum sonini birinchi noma'lum raqam sifatida qabul qilamiz va uni quyidagicha belgilaymiz. X. Keyin biz muammoning shartlarini o'z ichiga olgan barcha miqdorlarni belgilash bilan shug'ullanamiz.

Birinchi hamyondagi tangalar soni X . Ikkinchi va birinchi hamyonlardagi tangalar sonining nisbati 2 . Shunday qilib, ikkinchi hamyonning tangalar soni 2X.

Birinchisidan chiqarib oling 6 tangalar Shuning uchun, birinchi hamyonda tangalar mavjud X -6 .

Ikkinchi qo'shiqda 8 tangalar. Shuning uchun, ikkinchi hamyonda siz tangalarni olasiz 2X +8 . Ikkinchi va birinchi hamyondagi tangalar soni o'rtasidagi yangi nisbat . Bu ham teng 7 . Shu asosda biz tenglama tuzamiz, uni yechish orqali biz olamiz x= 10 , shundan so'ng biz bu erda aytib o'tgan boshqa noma'lumlarni aniqlash qiyin emas.

Agar biz ikkinchi hamyonni tangalarning birinchi noma'lum soni sifatida qabul qilsak va uni oldingi belgidan farqlash uchun belgilasak. da , keyin ko'rish oson bo'lganidek, boshqa tenglama olinadi, ya'ni ( da + 8 ):( da / 2 -6 )=7 , bu ham muammoni hal qiladi va javob beradi da=20 .

Hisoblashdan keyin birinchi hamyonda paydo bo'lgan tangalar sonini birinchi noma'lum deb hisoblash mumkin. 6 tangalar; keyin, bu noma'lum tomonidan belgilab z va biz birinchi tenglamada bo'lgani kabi, xuddi shu tarzda ketsak, biz tenglamani olamiz , qayerda z = 4 .

Ammo tenglamaning bog'lanish usulini ham o'zgartirish mumkin, masalan, tangalar soni o'rtasidagi o'zgargan nisbatni hisobga olish va tenglamani tuzishda dastlabki nisbat haqida ma'lum bo'lgan narsaga asoslanish. Bunday holda, tenglama quyidagicha yoziladi:

Hisoblashdan keyin birinchi hamyonning tangalar soni z . Joylashtirilgan 6 tangalar. Shunday qilib, birinchi hamyon tangalar boshlang'ich soni z + 6. Tangalar soni o'rtasidagi nisbat o'zgartirildi 7 . Shuning uchun, ikkinchi hamyon tangalar soni o'zgardi 7z. qo'shildi 8 tangalar. Shuning uchun, ikkinchi hamyon tangalar boshlang'ich soni 7z. - 8 . Tangalar soni o'rtasidagi boshlang'ich nisbat Bu tengdir 2 . Shu asosda bizda avvalgisiga mos keladigan tenglama bor, garchi u undan shakl jihatidan farq qilsa.

Agar ikkinchi yo'ldan borsak, biz ikkinchi hamyonga qo'shgandan keyin birinchi noma'lum miqdordagi tangalarni oldik. 8 tangalar, keyin, orqali farq uchun bu noma'lum bildiradi Va , biz tenglamani olamiz ( Va -8 ):( Va / 7 + 6 )=2 , qayerda Va =28 .

Ushbu tushuntirishlar shuni ko'rsatadiki, tenglamalarni yozishning bir xil umumiy qoidalariga amal qilgan holda, biz har bir masalada ushbu maqsadga erishishning turli usullarini olamiz. eng yaxshi yo'l masala shartlarini soddaroq ifodalagan va tenglamani tuzishga ham, yechishga ham tezroq olib boradigani ko'rib chiqiladi. Bunday holda, birinchi va uchinchi usullar tenglamani echish uchun bir xil darajada qulaydir, lekin birinchisi hali ham sodda va shuning uchun boshqalarga qaraganda yaxshiroqdir.

Tenglamalarni tuzishda ko'rsatilgan qoidani qo'llashda shuni esda tutish kerakki, har qanday to'g'ri ifodalangan tenglamada har bir tenglama hisobga olinishi kerak. berilgan raqam va ifodalangan shartlarning har biri.

Vazifa 2. Shahardan A bir sayohatchi chiqadi, kun bo'yi o'tib 20 verst. Ikki kundan keyin u uni kutib olish uchun shaharni tark etadi. IN har kuni o'tadigan boshqa sayohatchi 30 verst. Orasidagi masofa A Va IN teng 190 verst. Savol shundaki, ikki sayohatchi qachon va qayerda uchrashadi?

1-yo'l. Birinchi sayohatchining chiqish joyidan harakatlanishining birinchi noma'lum vaqtini olaylik A uchrashuv oldidan, va oxirgi sharti uchun orasidagi masofa hisoblanadi A Va IN teng 190 verst. Keyin biz shunday bahslashamiz:

Faraz qilaylik, birinchisi uchrashuv oldidan ketdi X kunlar. Har kuni u yurardi 20 verst. Shunday qilib, u o'tib ketdi 20X verst.

Ikkinchisi keyinroq chiqdi 2 kun. Shunday qilib, u uchrashgani ketdi X -2 kun. Har kuni u yurardi 30 verst. Shuning uchun u o'tib ketdi 30 (X -2 ) verst. Ikkala sayohatchi birga o'tib ketishdi [ 20X + 30 (X -2 )] verst. O'rtasidagi barcha masofa A Va IN teng 190 verst. Bunga asoslanib, biz tenglamani topamiz

20X + 30 (X -2 ) =190 ,

qayerda x= 5 . Bundan biz birinchi sayohatchining ketganini ko'ramiz 5 kunlar o'tdi 100 verst, ikkinchisi edi 3 kunlar o'tdi 90 verst.

2-yo'l. Birinchi sayohatchining chiqishdan yig'ilishgacha bo'lgan birinchi noma'lum masofasini va oxirgi shart uchun ikkinchi sayohatchi birinchidan kechroq ketganini olaylik. 2 kun. Keyin munozara quyidagicha davom etadi:

Birinchisi uchrashuv oldidan o'tdi, deb hisoblaymiz da verst. Har kuni u yurardi 20 verst. Shunday qilib, u hamma yurdi da / 20 kunlar.

Ikkinchisi hammasidan o'tdi ( 190 -da ) verst. Har kuni u yurardi 30 verst. Shunday qilib, u bir necha kun yurdi.

Ikkalasining harakat vaqtlari orasidagi farq va tengdir 2 . Shunday qilib, biz tenglamani topamiz , qayerda da =100 .

3-yo'l. Birinchi noma'lum - ikkinchi sayohatchining chiqish joyidan harakatlanish vaqti IN ko'rishguncha, oxirgi shart - birinchi sayohatchi har kuni o'tadi 20 verst.

Faraz qilaylik, ikkinchisi yig'ilishga boradi z kunlar. Shunday qilib, birinchisi o'tadi z +2 ) kun. Har kuni yurish 30 verst, ikkinchisi o'tadi jami 30z verst. Chunki ikkalasi ham o'tishi kerak 190 mil, keyin birinchi qilish kerak bo'ladi ( 190 -30z ) verst. Buning uchun u kuniga bir mil yurishi kerak. Chunki bu ifoda 20 , u holda tenglama olinadi, bu erdan z = 3.

4-yo'l. Birinchi noma'lum - ikkinchi sayohatchining uchrashishdan oldin bosib o'tgan masofasi, oxirgi shart - ikkinchisi har kuni birinchisidan 10 verst ko'proq sayohat qiladi.

Ikkinchisi uchrashuv oldidan o'tdi deb hisoblaymiz Va verst. Shunday qilib, birinchisi hali ketishi kerak edi ( 190 -Va ) verst. Ikkinchisi chiqarilishidan oldin u allaqachon o'tib ketgan 40 milya, keyin soniya chiqqandan keyin u hali borishi kerak edi ( 150 -Va ) verst. Ikkalasining bir vaqtning o'zida bosib o'tgan masofalaridagi farq ( 2Va-150 ) verst. Ularning umumiy harakati vaqti Va / 30 Shunday qilib, ikkinchi kun o'tadi birinchisidan ko'proq yoqilgan ( 2Va-150 ) : Va / 30 verst. Chunki bu ifoda 10 , keyin siz tenglamani olasiz ( 2Va-150 ) : Va / 30 =10 , beradi Va = 90 .

Oldingi tushuntirishlar shuni ko'rsatadiki, bir masalada tenglamalar tuzish usullarining xilma-xilligi ham ketma-ket belgilangan miqdorlarning tartibiga, ham ketma-ket hisobga olingan shartlarning tartibiga bog'liq.

231. Ikki kishi birgalikda 38 rublga ega, birinchisida esa ikkinchisidan 6 rubl ko'proq pul bor. Har birida qancha pul bor?

231. Ikki kishi birgalikda 114 rubl, birinchisida esa ikkinchisidan 18 rubl ko'proq pul bor. Har birida qancha pul bor?

232. Bir uyda boshqasiga qaraganda 15 taga kam derazalar, har ikkala uyda ham jami 51 ta deraza bor. Har birida nechta oyna bor?

232. Bir uyda boshqasiga qaraganda 6 ta kam deraza bor; jami ikkala uyda 62 ta deraza mavjud. Har birida nechta oyna bor?

233. Ikkita hamyonda 81 rubl bor. Birinchisida, ikkinchisiga qaraganda ikki baravar ko'p pul bor. Har birida qancha pul bor?

233. Ikkita hamyonda 72 rubl bor. Birinchisida ikkinchisiga qaraganda besh baravar kam pul bor. Har birida qancha pul bor?

234. Ota o'g'lidan katta uch marta, ikkalasining yillarining yig'indisi 48 yil. Ikkalasining yoshini aniqlang.

234. Ota o'g'ildan ikki baravar katta, ikkala yil yig'indisi 13 yosh. Ikkalasining yoshini aniqlang.

235. O'g'il otasidan to'rt baravar kichik va ularning yoshi o'rtasidagi farq 27 yosh. Har birida qancha uchish kerak?

235. O'g'il otasidan besh marta kichik, ularning yoshi o'rtasidagi farq 32 yosh. Har biri necha yoshda?

236. Uchta savatda 47 ta olma bor, birinchi va ikkinchi savat teng bo'lingan, uchinchisida esa har biriga qaraganda 2 tadan ko'p olma bor. Har bir savatda nechta olma bor?

236. Uchta savatda 110 ta olma bor, birinchi va uchinchisi teng bo'lingan, ikkinchisida esa har biriga qaraganda 4 ta kam olma bor. Har bir savatda nechta olma bor?

237. Uch kumush tanganing og'irligi 48 funtni tashkil qiladi. Birinchisi ikkinchisidan 12 kilogramm og'irroq, uchinchisi esa birinchisidan 9 kilogramm og'irroq. Har bir bo'lak qancha og'irlik qiladi?

237. Uchta kumush tanganing og‘irligi 33 funt. Birinchisi ikkinchisidan 5 funtga, uchinchisi esa birinchisidan 2 funtga engilroq. Har bir bo'lak qancha og'irlik qiladi?

238. O'g'il otasidan 20 yosh, qizidan 5 yosh katta. Barcha uch yil yig'indisi 60 yil. Har biri necha yoshda

238. Onasi o'g'lidan 21 yosh, otasidan 7 yosh katta. Barcha uch yil yig'indisi 64 yil. Har biri necha yoshda?

239. Uchta javonda jami 66 ta kitob mavjud bo‘lib, ularning soni pastda uch barobar, o‘rtada esa yuqoridagidan ikki barobar ko‘p. Har bir javonda nechta kitob bor?

239. Uchta javonda bor-yo‘g‘i 60 ta kitob bor, pastki qismida esa olti barobar ko‘p, tepasida esa o‘rtadagidan besh barobar ko‘p. Har bir javonda nechta kitob bor?

240. O'rmon, bog' va o'tloq birgalikda 10800 rublga tushadi.O'tloq bog'dan 2 barobar, o'rmon esa o'tloqdan 3 barobar qimmatroq. Ularning har biri alohida qancha turadi?

240. O'rmon, bog' va o'tloq birga 17600 rubl turadi.O'rmon bog'dan 3 barobar, o'tloq esa o'rmondan 4 barobar qimmatroq. Ularning har biri alohida qancha turadi?

241. 21 raqamini ikki qismga bo'ling, shunda birinchi qismning ikkinchi qismining nisbati 3/4 kasrga teng bo'ladi.

241. 48 raqamini ikki qismga bo'ling, shunda ikkinchi qismning birinchi qismiga karrali nisbati 5/3 kasrga teng bo'ladi.

242. 88 raqamini ikki qismga bo'ling, shunda birinchi qismni 5 ga, ikkinchisini 6 ga bo'lishning ko'rsatkichlari teng bo'ladi.

242. 55 raqamini ikki qismga bo'ling, shunda birinchi qismni 7 ga bo'lish ko'rsatkichlari, a. ikkinchisi 4 ga teng edi.

243. Ikki sonning yig‘indisi 85, ayirmasi 15. Ikkala sonni toping.

243. Ikki sonning yig‘indisi 72, ayirmasi 8. Ikkala sonni toping.

244. Ikki sonning ayirmasi 8 ga, ularning karralik nisbati 3/2 kasrga teng. Shu sonlarni toping.

244. Ikki sonning ayirmasi 12 ga, ularning karralik nisbati esa 5/3 kasrga teng. Bu raqamlarni toping.

245. 46 raqamini ikki qismga bo'ling, shunda birinchi qismni 3 ga, ikkinchisini 7 ga bo'lishdagi qismlarning farqi 2 ga teng bo'ladi.

245. 59 raqamini shunday ikki qismga ajratingki, birinchi qismni 3 ga, ikkinchi qismini 5 ga bo‘lishdagi bo‘laklarning ayirmasi 1 ga teng bo‘lsin.

246. 75 raqamini ikki qismga bo'ling, shunda katta qismi ikki qism orasidagi farqdan uch barobar ko'p bo'ladi.

246. 56 raqamini ikki qismga bo'ling, shunda kichik qismi ikki qism orasidagi farqdan uch baravar ko'p bo'ladi.

247. Ikki sonning yig'indisi 64 ga teng. Kattaroq sonni kichikga bo'lishda qism 3 ga, qolgan qismi 4 ga teng. Shu sonlarni toping.

247. Ikki sonning yig‘indisi 45 ga teng. Kattaroq sonni kichikga bo‘lganda qism 5 ga, qolgan qismi 3 ga teng. Shu sonlarni toping.

248. Ikki sonning ayirmasi 35 ga teng. Kattaroq sonni kichikga bo‘lishda qism 4 ga, qolgan qismi 2 ga teng. Shu sonlarni toping.

248. Ikki sonning ayirmasi 23. Katta sonni kichikga bo‘lishda qism 2 ga, qolgan qismi 11 ga teng. Shu sonlarni toping.

249. Ikki noma'lum sondan biri ikkinchisidan 5 ga katta. Agar siz kichik sonni 4 ga, katta raqamni 3 ga bo'lsangiz, birinchi qism ikkinchisidan 4 ga kam bo'ladi. Ikkala raqamni toping.

249. Ikki noma’lum sondan biri ikkinchisidan 15 ga katta. Kattaroq sonni 9 ga, kichikini 2 ga bo‘lsang, birinchi qism ikkinchisidan 3 ga kam bo‘ladi. Ikkala raqamni toping.

250. Ikki noma'lum sondan biri ikkinchisidan 6 ga kichik. Agar katta sonni yarmiga bo'lsangiz, natijada olingan qism boshqa raqamdan uch birlik kam bo'ladi. Ikkala raqamni toping.

250. Ikki noma’lum sondan biri ikkinchisidan 18 ga kichik. Kattaroq sonni uchga bo‘lsangiz, natijada olingan qism boshqa sondan ikki birlik katta bo‘ladi. Ikkala raqamni toping.

251. Bir tankda ikkinchisidan ikki baravar ko'p suv bor; agar siz birinchisidan ikkinchisiga 16 chelak quyib qo'ysangiz, unda ikkalasida ham teng miqdorda suv bo'ladi. Har birida qancha suv bor?

251. Bir suv omborida boshqasiga qaraganda uch barobar ko'p suv bor; agar siz birinchisidan ikkinchisiga 22 chelak quysangiz, ikkalasida ham teng miqdorda suv bo'ladi.Har birida qancha suv bor?

252. Bozorda ikkita savdogarda atigi 220 dona tuxum bor; agar ikkinchisi birinchi 14 ta tuxumni bergan bo'lsa, ularning har biri uchun tuxum soni bir xil bo'ladi. Har birida nechta tuxum bor?

252. Bozorda ikki savdogarda atigi 186 dona tuxum bor; agar ikkinchisi birinchi 10 ta tuxumni bergan bo'lsa, ularning har biri uchun tuxum soni bir xil bo'ladi. Har birida nechta tuxum bor?

253. Kimningdir o'ng cho'ntagida chap cho'ntagidan 4 barobar ko'p rubl bor; agar u o'ng cho'ntagidan 6 rublni chapga o'tkazsa, o'ngda chapga qaraganda atigi 3 baravar ko'p pul bo'ladi. Har bir cho'ntagida qancha pul bor?

253. Kimningdir o'ng cho'ntagida chap cho'ntagidan 3 barobar ko'p rubl bor; agar chap cho'ntakdan o'ngga 5 rubl o'tkazilsa, o'ngda chapdan besh baravar ko'p pul bo'ladi. Har bir cho'ntagida qancha pul bor?

254. Zavodda ikki ishchiga maosh berilganda, ularning birinchisi qilgan mehnati uchun 12 rubl olgan. soniyadan ko'proq, va shundan keyin ikkinchi xodim unga 2 rubl to'ladi. qarz. Ma'lum bo'lishicha, birinchisi uyiga ikkinchisidan uch barobar ko'p pul olib kelgan. Har biri qancha pul topdi?

254. Zavodda ikkita ishchini hisoblaganda, ularning birinchisi ish uchun ikkinchisidan 20 rubl kam olgan, biroq ayni paytda ikkinchi ishchi unga 2 rubl qaytarib bergan. qarz. Ma'lum bo'lishicha, birinchisi ikkinchisining yarmini uyiga olib ketgan. Har biri qancha pul topdi?

255. Bir bolada 30 tiyin, ikkinchisida 11 tiyin bor, birinchisida ikkinchisidan ikki barobar ko'p pul bo'lishi uchun har biriga bir tiyindan necha marta berish kerak?

255. Bir bolada 48 tiyin, boshqasida 22 tiyin bor.Birinchi bolada ikkinchisidan uch barobar ko'p pul bo'lishi uchun har biriga bir tiyindan necha marta sarflash kerak?

256. Ota 40 yoshda, o'g'li 12 yoshda. Necha yil oldin ota o'g'lidan besh marta katta edi?

256. Ota 49 yoshda, o'g'li 11 yoshda. Necha yildan keyin ota o'g'lidan uch marta katta bo'ladi?

257. Bir yer egasining qo‘ylari boshqasidan to‘rt barobar ko‘p. Agar ikkalasi ham har biri 9 tadan qo'y sotib olgan bo'lsa, birinchisida ikkinchisidan uch barobar ko'p qo'y bo'lar edi. Har birida nechta qo‘y bor?

257. Bir yer egasining qo‘ylari boshqasidan uch barobar kam. Agar ikkalasi ham har biri 10 tadan qo‘y sotgan bo‘lsa, birinchisining qo‘yi ikkinchisiga qaraganda besh barobar kam bo‘lardi. Har birida nechta qo‘y bor?

258. Ota o'g'lidan 39 yosh katta, 7 yildan keyin esa o'g'lidan 4 barobar katta bo'ladi. Biri va ikkinchisi necha yoshda?

258. Ota va o'g'il birga 88 yoshda, 8 yil oldin ota o'g'lidan 7 marta katta edi. Biri va ikkinchisi necha yoshda?

259. Bir tankda 48 chelak, ikkinchisida 22 chelak suv bor. Birinchisidan ikkinchisiga qaraganda ikki baravar ko'p suv to'kilgan, keyin birinchisida ikkinchisiga qaraganda uch baravar ko'p suv qolgan. Har biridan nechta chelak quyiladi?

259. Bir idishda 42 chelak, boshqasida 8 chelak suv bor. Birinchisiga ikkinchisiga qaraganda uch baravar ko'p suv quyilgan, keyin birinchisida ikkinchisiga qaraganda to'rt baravar ko'p suv quyilgan. Har biriga nechta chelak quyiladi?

260. O'yin boshida alohida karta o'ynagan ikki kishi bor edi - birinchisi 72 rubl, ikkinchisi 21 rubl. Birinchisi ikkinchisi g'alaba qozonganidan uch barobar ko'p yutqazdi. O'yindan keyin birinchi o'yinchi ikkinchi o'yinchidan ikki baravar ko'p pulga ega bo'ldi. Ikkinchisi qancha g'alaba qozondi va birinchisini yo'qotdi?

260. Alohida karta o'ynagan ikki kishi o'yin boshida edi - birinchi 25 rubl, ikkinchisi 12 rubl. Birinchisi ikkinchisi yutqazganidan ikki baravar ko'p g'alaba qozondi. O'yindan so'ng birinchi o'yinchi ikkinchisidan besh baravar ko'p pulga ega bo'lib chiqdi. Ikkinchisi qancha yo'qotdi va birinchi g'alaba qozondi?

261. Savdogar birinchi marta o'zida bo'lgan olma sonining 2/7 qismini, ikkinchi marta bir xil miqdordagi p ni sotdi; keyin atigi 8 ta olma qoldi. Uning nechta olmasi bor edi?

261. Savdogar birinchi marta o‘zida bo‘lgan olma sonining 1/9 qismini, ikkinchi marta esa xuddi shu sonning 5/6 qismini sotgan; keyin atigi 4 ta olma qoldi. Uning nechta olmasi bor edi?

262. Birinchidan, suvning umumiy miqdorining uchdan bir qismi suv idishidan to'kilgan, keyin qolganlarning 5/6 qismi, keyin esa faqat 6 chelak qolgan. Tankda qancha suv bor edi?

262. Birinchidan, umumiy miqdorning 3/5 qismi suv idishidan to'kilgan, keyin qolganlarning 3/4 qismi, keyin esa faqat 5 chelak qolgan. Tankda qancha suv bor edi?

263. Bir jamiyatda 40 nafar erkak, ayol va bolalar bor edi. Ayollar soni erkaklar sonining 3/5 qismini, bolalar soni esa erkaklar va ayollar sonining 2/3 qismini tashkil etdi. Qancha erkaklar, ayollar va bolalar bor edi?

263. Bir jamiyatda 72 erkak, ayol va bolalar bor edi. Erkaklar soni ayollar sonining 2/3 qismini, bolalar soni esa erkaklar va ayollar sonining 4/5 qismini tashkil etdi. Qancha erkaklar, ayollar va bolalar bor edi?

264. Ikki turdagi 30 arshin mato uchun atigi 128 rubl to'langan; Birinchi navli o‘lchov 4 1/2 rubl, ikkinchi navli o‘lchagich esa 4 so‘m turadi.Ikkala navdan nechta arshin sotib olingan?

264. Ikki navli 27 arshin mato uchun atigi 120 rubl to'langan; birinchi navli arshin narxi 5 rubl; ikkinchi arshin 3 p. 75 k.. Ikkala guvohnomadan nechta arshin sotib olingan?

265. Choy sotuvchisi ikki navli 38 funt choyni 3 rubldan sotdi. birinchi sinfning funtiga va 1 p. Ikkinchi navning bir funti uchun 60 tiyin va shu bilan birga butun birinchi sinf uchun ikkinchisiga qaraganda 22 rubl ko'proq daromad oldi. Ikkala navning nechta choyi sotilgan?

265. Choy sotuvchisi 4 1/2 r narxda ikki navli 110 funt choy sotdi. birinchi sinfning bir funtiga va 2 p. Ikkinchi navning bir funti uchun 25 k. va shu bilan birga birinchi nav uchun ikkinchisiga qaraganda 45 rubl kamroq daromad oldi. Ikkala navning nechta choyi sotilgan?

266. Pudratchi xodimni unga 90 tiyin to‘lash sharti bilan ishga oldi. har bir ish kuni uchun va undan 40 tiyin olib tashlang. har bir ishlamaydigan kun uchun. 12 kundan keyin ishchi 6 r oldi. 90 k.. U necha kun ishlagan?

266. Pudratchi xodimni unga 80 tiyin to'lash sharti bilan ishga oldi. har bir ish kuni uchun va undan 50 tiyin olib tashlang. har bir ishlamaydigan kun uchun. 50 kundan keyin ishchi 21 rubl oldi. 80 yilda .. U necha kun o'tkazib yubordi?

267. A Va IN o‘yin g‘olibi yutqazgandan 76 k olish sharti bilan bilyard o‘ynaydi; 20 o'yindan keyin shunday bo'ldi IN faqat 4 r g'alaba qozondi. 50 k.. U nechta o'yinda g'alaba qozongan?

267 A Va IN o‘yin g‘olibi yutqazgandan 50 k olish sharti bilan bilyard o‘ynaydi; 12 o'yindan keyin shunday bo'ldi A bor yo'g'i 2 marta g'alaba qozondi.U nechta o'yinda mag'lub bo'ldi?

268. Ikki kurer bir vaqtning o'zida 300 mil uzoqlikda joylashgan ikkita shahardan jo'nab, bir-biriga qarab ketmoqda. Birinchisi soatiga 12 verst, ikkinchisi 13 verst tezlikda harakatlanadi. Ular qachon uchrashishadi?

268. Ikki kurer bir vaqtning o'zida 280 mil uzoqlikda joylashgan ikkita shahardan chiqib, bir-birlariga qarab ketishdi. Birinchisi soatiga 11 verst, ikkinchisi 17 verst tezlikda harakatlanadi. Ular qachon uchrashishadi?

269. ikkita stantsiyadan temir yo'l, 77 verst masofada joylashgan, ikkita poezd bir vaqtning o'zida jo'naydi va bir xil yo'nalishda soatiga 31 1/2 verst va 18 2/3 verst tezlikda boradi, birinchisi ikkinchidan keyin. U qachon yetib oladi?

269. 38 verst masofada joylashgan ikkita temir yo'l stantsiyasidan ikkita poezd bir vaqtning o'zida jo'naydi va bir yo'nalishda soatiga 25 1/4 verst va 20 1/2 verst tezlikda harakatlanadi, birinchisi ikkinchidan keyin. U qachon yetib oladi?

270. Yo'lovchi poyezdi stansiyadan soat 12 da jo'naydi va 32 dyuymni tashkil qiladi. soat birda. 45 daqiqadan so‘ng kurerlik poyezdi o‘sha stansiyadan 42 dyuymga yetib boradi. soat birda. Kurer poyezdi yo‘lovchi poyezdini soat nechada quvib o‘tadi?

270. Yo‘lovchi poyezdi stansiyadan ertalab soat 9 da jo‘naydi, 28 dyuym. soat birda. Bir soat va chorak o'tgach, kurer poyezdi o'sha stantsiyadan 40 voltni tashkil qiladi. soat birda. Kurer poyezdi yo‘lovchi poyezdini soat nechada quvib o‘tadi?

271. 1 yil va 2 oy ichida 224 rubl foyda olish uchun 6% o'sishda qanday kapital berilishi kerak?

271. 7 oy ichida 182 rubl foyda olish uchun 8% o'sish uchun qanday kapitaldan voz kechish kerak?

272. 1 yil 5 oy ichida 280 rubl foyda olish uchun kapitalning 4400 rubl o'sishiga qancha foizlar berilishi kerak. 50 k.?

272. 11 oy ichida 93 rubl miqdorida foyda olish uchun 1800 rubl miqdoridagi kapitalni foizlar bilan qancha foiz bilan to'lash kerak. 60 k.?

273. Tovarni 299 rublga sotgan savdogar foydaning 15 foizini oldi. Mahsulot unga qancha turadi?

273. Tovarni 161 rublga sotgan savdogar foydaning 7 1/2 foizini oldi. Mahsulot unga qancha turadi?

274. 429 p miqdorida tovarlarni sotishda. 2 1/2% zarar bilan olingan. Mahsulotning narxi qancha?

274. 366 rubl miqdorida tovarlarni sotishda. zarar bilan olingan 8 1/2 % Tovarning narxi qancha?

275. To'lov muddatidan 10 oy oldin hisobda 1120 rubl to'langan, tijorat hisobi 8%. Vekselning valyutasini toping.

275. Muddatidan 3 oy oldin 1 yil uchun hisob-kitob bo'yicha 839 rubl to'langan. 60 kop. tijorat hisobi bilan 7%. Vekselning valyutasini toping.

276. Hovuz bir quvur bilan soat 3 da, ikkinchisi soat 5 da to'ldiriladi. Ikkala quvur bir vaqtning o'zida ochilsa, qancha vaqt to'ldiriladi?

276. Hovuz bir quvur bilan soat 7 1/2 da, ikkinchisi soat 5 da to'ldiriladi. Ikkala quvur bir vaqtning o'zida ochilsa, qancha vaqt to'ldiriladi?

277. Hovuz soat 4 da bitta quvur bilan to'ldiriladi, ikkinchisi orqali esa soat 6 da hammasi oqishi mumkin. Ikkala quvurning bir vaqtning o'zida harakatlanishi bilan hovuz qaysi vaqtda to'ldiriladi?

277. Hovuz bir trubka bilan 2 1/3 soatda to'ldiriladi, ikkinchisi orqali esa hammasi 2 soat 48 soatda oqishi mumkin.Hovuz qancha vaqt davomida ikkala quvurning bir vaqtda ta'sirida to'ldiriladi?

278. Ikki ishchi birgalikda 3 soat 36 daqiqada ishni tugatadilar; birinchisi buni soat 6 da bajarishi mumkin. Ikkinchi odam qaysi vaqtda xuddi shu ishni bajaradi?

278. Ikki ishchi birgalikda ishni soat 12 da tugatadilar; birinchisi buni soat 20 da bajarishi mumkin. Ikkinchisi qaysi vaqtda xuddi shunday ishni bajaradi?

279. Hovuzda uchta quvur bor; suv birinchi ikkitasidan kiradi, uchinchisi orqali oqib chiqadi. Birinchi quvur orqali hovuzni soat 3 da, ikkinchisi orqali soat 2 da, uchinchisi orqali esa barcha suv hovuzdan soat 6 da oqib chiqishi mumkin. Agar uchta quvur ham ochilgan bo'lsa, hovuz qaysi vaqtda to'ldiriladi?

279. Havzada uchta quvur bor; suv birinchi ikkitasidan kiradi, uchinchisi orqali oqib chiqadi. Birinchi quvur orqali hovuzni soat 2 da, ikkinchisi orqali soat 5 da, uchinchisi orqali esa barcha suv hovuzdan soat 10 da oqib chiqishi mumkin. Agar uchta quvur ham ochilgan bo'lsa, hovuz qaysi vaqtda to'ldiriladi?

280. Hovuzga tortilgan uchta quvurdan birinchisi uni soat 5 da to'ldiradi, ikkinchisi soat 15 da to'ldiradi va uchinchisi orqali butun hovuz soat 3 da oqadi. Agar barcha quvurlar bir vaqtning o'zida faol bo'lsa, to'liq hovuz qancha vaqtni oladi?

280. Hovuzga tortilgan uchta quvurdan birinchisi soat 6 da, ikkinchisi soat 18 da to'ldiradi, uchinchisi orqali butun hovuz soat 3 da oqadi. Agar barcha quvurlar bir vaqtning o'zida ishlayotgan bo'lsa, to'liq hovuz qancha vaqtni oladi?

281. Temir yo'lning ikkinchi poyezdi dan ketadi A V IN o'rtacha soatiga 30 milya tezlikda, keyin dan qaytadi IN V A soatiga 28 milya tezlikda. U butun safarni u erga va orqaga 2 1/2 soatda qiladi. Qancha kilometr uzoqlikda A oldin IN?

281. Temir yo'lning ikkinchi poyezdi dan ketadi A V IN soatiga o'rtacha 24 milya tezlikda, keyin dan qaytadi IN V A soatiga 30 milya tezlikda. U butun safarni u erga va orqaga 11 1/4 soatda qiladi. Qancha kilometr uzoqlikda A oldin IN?

282. Kimdan A V IN poezd chiqdi, bir soatda 20 verstda o'tdi. 8 soatdan keyin poyezd jo‘naydi IN V A, 30 dyuymdan o'tgan. soat birda. Masofa AB 350 V ga teng.. Qaysi masofadan A poezdlar uchrashadimi?

282. Kimdan A V IN poezd 24 verst soatda o'tib ketdi. Poyezd 5 soatda jo‘naydi. IN V A o'tish 28 c. soat birda. Masofa AB 380 dyuymga teng, qaysi masofadan IN poezdlar uchrashadimi?

283. Uch sonning yig’indisi 70 ga teng. Ikkinchi son birinchisiga bo’linganda 2 ga, qolgan 1 ga, uchinchisi ikkinchisiga bo’linganda 3 ga, qolgan 3 ga teng bo’ladi. Shu sonlarni toping.

283. Uch sonning yig‘indisi 60 ga teng.Ikkinchi son birinchisiga bo‘linganda 3 ga, qolgan 2 ga, uchinchisi ikkinchisiga bo‘linganda 2 ga, qolgan 4 ga teng bo‘ladi.Sonlarni toping.

284. 5 ga bo‘linganda 2 qoldig‘ini, 8 ga bo‘linganda esa 5 qoldig‘ini beradigan sonni toping, chunki birinchi qism ikkinchisidan uch marta katta.

284. 7 ga bo‘linganda 2 qoldiq, 9 ga bo‘linganda esa 4 ga teng qolgan, bundan tashqari bilgan sonni toping. birinchi qism ikkinchisidan ikki kattaroq ekanligini.

285. Kimdir yonidagi pulini kambag‘allarga tarqatmoqchi bo‘lib, har biriga 15 tiyin berilsa, 10 tiyin yetmaydi, har biriga 13 tiyin berilsa, 6 tiyin ortiqcha qolib ketishini hisoblab chiqdi. Qancha tilanchi bor edi va qancha pul bor edi?

285. Kimdir o‘zi bilan bo‘lgan pulini kambag‘allarga taqsimlamoqchi bo‘lib, hammaga 8 tiyin berilsa, 4 tiyin qoladi, deb hisobladi. ortiqcha, va agar hammaga 9 tiyin berilsa, 2 tiyin ham yetmaydi.. Qancha tilanchi bor edi va qancha pul?

286. Muhandis telegraf ustunlarini ma'lum masofaga o'rnatadi. Agar ularni bir-biridan 25 metr masofada qo'ysa, yana 150 ta ustun yasash kerak bo'ladi, agar u ustunlar orasidagi masofani 5 metrga oshirsa, 70 ta ustun qo'shimcha bo'ladi. Masofa qanchalik katta va nechta qutb yasalgan?

286. Muhandis telegraf ustunlarini ma'lum masofaga o'rnatadi. Agar ularni bir-biridan 30 metr masofada qo'ygan bo'lsa, u holda 100 ta qo'shimcha ustun qoldirgan bo'lardi va agar u ustunlar masofasini 4 metrga qisqartirsa, yana 180 ta ustun yasash kerak edi. Masofa qanchalik katta va nechta qutb yasalgan?

287. Kimdir xizmatkorni yollashda unga bir yillik xizmat uchun pul va 144 rubl to'lashni va'da qildi. va kiyim bering. Xizmatchi 7 oydan keyin to'ladi va kiyim-kechak va 54 rubl to'lov oldi. Kiyimlar qancha turadi?

287. Xizmatkorni ishga olishda kimdir unga 7 oylik xizmat uchun 75 rubl pul to'lash va kiyim-kechak berishni va'da qilgan. Xizmatchi 5 oydan keyin to'ladi va kiyim-kechak va 45 rubl to'lov oldi. Kiyimning narxi qancha?

288. 195 rubl uchun 46 kilogramm shakar uchun to'langan. 73 kilogrammdan ortiq choy; 9 pud shakar 30 rubldan 37 funt choydan arzonroq. Bir funt choy va bir pud shakar qancha turadi?

288. 21 funt choy uchun 40 funt shakardan 238 rubl kamroq to'langan; 15 kilogramm choyning narxi 2 rubl. 4 pud shakardan qimmatroq. Bir funt choy va bir pud shakar qancha turadi?

289. Yer egasi bir xil kunlik ish haqiga ikki dehqonni yollagan. Ulardan biri 40 kun davomida, u 7 p berdi. 50 kopek pul va 3 1/2 chorak jo'xori, 24 kun ichida yana 4 rubl. 80 k. naqd va 2 chorak jo'xori. Sulining chorak qismi qancha turadi?

289. Yer egasi bir xil kunlik ish haqiga ikki dehqonni yollagan. Ulardan biriga 56 kun ichida 14 rubl berdi. pul va 8 chorak jo'xori, yana 88 kun davomida 13 p. 50 k. naqd va 15 chorak jo'xori. Sulining chorak qismi qancha turadi?

290. 25 arshin mato va 21 arshin uchun to'langan. baxmal 247 rubl. Ma'lumki, 10 arsh. baxmal 13 arshin matodan 18 rublga qimmat edi. Ikkalasining bir arshiniga nima arziydi?

290. 15 arshin baxmal va 52 arshin uchun to‘langan. mato 276 rubl. Ma'lumki, 2 arsh. baxmal 11 arshdan 17 rublga arzon. mato. Ikkalasining bir arshiniga nima arziydi?

291. Ikki xonali sonning raqamlari yig'indisi 12. Agar 18 kerakli raqamdan ayirilsa, u holda siz bir xil raqamlar bilan ko'rsatilgan, ammo teskari tartibda yozilgan raqamni olasiz. Bu raqamni toping.

291. Ba'zi ikki xonali sonlarning birliklari va o'nlik raqamlari orasidagi farq 3 ga teng. Agar kerakli songa 27 qo'shilsa, u holda biz bir xil raqamlar bilan ko'rsatilgan, lekin teskari tartibda yozilgan sonni olamiz. Bu raqamni toping.

292. Ba'zilarida ikki raqamli o'nliklar soni birliklar sonidan ikki baravar ko'p. Agar bu raqamning raqamlarini qayta joylashtirsak, u holda biz kerakli raqamdan 36 ga kam sonni olamiz. Bu raqamni toping.

292. Ba'zi ikki xonali sonlarda o'nliklar soni birliklar sonidan uch marta kam. Agar bu raqamning raqamlarini qayta joylashtirsak, biz kerakli raqamdan 36 ga katta raqam olamiz. Shu raqamni toping.

293. A bilan shaxmat o'ynash IN va unga qarshi har to'rtta o'yindan uchtasida g'alaba qozonadi, keyin bilan o'ynaydi BILAN va har uch o'yindan ikkitasida ikkinchisiga qarshi g'alaba qozonadi. Jami A 21 ta o'yin o'tkazdi va 15 tasida g'alaba qozondi.Nechta o'yin bilan o'ynadi IN va bilan BILAN?

293. A bilan shaxmat o'ynash IN va har sakkiz o'yindan uchtasida unga yutqazadi, keyin bilan o'ynaydi BILAN va har besh o'yindan ikkitasini oxirgisigacha yutqazadi. Umuman A 26ta o'yin o'tkazdi va 10tasida mag'lub bo'ldi.Nechta o'yin bilan o'ynadi IN va bilan BILAN?

294. Tushdan boshlab soatlarning 1/5 qismi yarim tungacha bo'lgan soatlarning 1/3 qismini tashkil qilsa, hozir soat necha?

294. Agar tushdan keyin o‘tgan soatlarning 1/11 qismi yarim tungacha qolgan soatlarning 1/13 qismiga teng bo‘lsa, hozir soat necha?

295. Dumining og'irligi 2 kilogramm, boshning og'irligi dumi va tanasining yarmi, tanasi esa bosh va quyruqdek og'irligini bilib, baliqning vaznini toping.

295. Baliqning boshi 7 kilogramm, dumi boshi va tanasining yarmi, tanasi esa dumi va boshidek og‘irligini bilib, uning vaznini toping.

296. Muayyan miqdor ikki kishiga bo'linishi kerak, shunda birinchi va ikkinchi qismlar 5 va 3 raqamlari kabi bir-biriga bog'liq bo'lib, birinchisining bu qismi 50 rublni tashkil qiladi. jami 5/9 dan ortig'i. Har bir qism qanchalik katta?

296. Birinchi va ikkinchi qismning qismlari 7 va 4 raqamlari sifatida bir-biriga bog'liq bo'lishi va ikkinchi qismi 21 rubl bo'lishi uchun ma'lum miqdorni ikki shaxsga bo'lish kerak. umumiy summaning 5/12 qismidan kam. Har bir qism qanchalik katta?

297. Mahsulot 420 rubl uchun zarar bilan sotilgan; agar u 570 rublga sotilgan bo'lsa, unda olingan foyda etkazilgan zarardan 5 baravar ko'p bo'ladi. Mahsulotning narxi qancha?

297. 520 rubl uchun foyda bilan sotilgan tovarlar; agar u 320 rublga sotilgan bo'lsa, unda daromadning 3/7 qismini tashkil etadigan zarar bo'lar edi. Mahsulotning narxi qancha?

298. Uch bo'lakdan iborat bo'lgan arshinlarning soni 2:3:5 nisbatda. Birinchi bo'lakdan 4 ta arshinni, ikkinchisidan 6 ta arshinni kesib tashlasangiz. va uchinchidan 10 arsh., keyin butun chintzning qolgan miqdori oldingi miqdorning 5/6 qismini tashkil qiladi. Har bir parchada nechta arshin bor?

298. Uchta bo'lakda joylashgan kalikoning arshinlari soni 3:5:8. Birinchi 10 arshindan kesilsa, ikkinchi 20 arshindan. va uchinchi 30 arshdan boshlab, keyin butun chintzning qolgan miqdori oldingi miqdorning 5/8 qismini tashkil qiladi. Har bir parchada nechta arshin bor?

299. Birinchidan, undagi barcha suvning yarmi va yarim chelak suv omboridan to'kilgan, keyin qolgan yarmi va yarim chelak, nihoyat qolgan yarmi va yarim chelak; shundan keyin tankda 6 chelak qoldi. Boshida qancha suv bor edi?

299. Undagi suvning uchdan bir qismi va chelakning uchdan bir qismi rezervuardan, keyin qolgan uchdan bir qismi va chelakning uchdan bir qismi, nihoyat, qolgan uchdan bir qismi va chelakning uchdan bir qismi to'kilgan; shundan keyin idishda 7 chelak qolgan.Boshida qancha suv bor edi?

300. Bir necha kishi ma'lum miqdorni quyidagicha taqsimlaydi; birinchisi 100 r oladi. va qolganning beshdan bir qismi, ikkinchisi 200 rubl va yangi balansning beshdan biri, uchinchisi 300 rubl va qolganning beshdan bir qismi va boshqalar. Ma'lum bo'lishicha, butun miqdor teng qismlarga bo'lingan. Bu miqdor qancha, bo'limda nechta ishtirokchi bor va har biri qanchadan olgan?

300. Bir necha kishi ma'lum bir summani quyidagicha taqsimlaydi: birinchisi 50 rubl va qolganning oltidan bir qismini oladi, ikkinchisi 100 rubl va yangi balansning oltidan bir qismini, uchinchisi 150 rubl va qolganning oltidan bir qismini oladi va hokazo. Barcha miqdor teng qismlarga bo'linganligi ma'lum bo'ldi. Bu miqdor qancha, bo'limda nechta ishtirokchi bor va har biri qanchadan olgan?

Quyidagi vazifalar avvalgilaridan ma'lumotlarning bevosita, ya'ni harflar bilan ifodalanishi bilan farq qiladi. Bu vazifalar avvalgilari bilan bir xil turlarga tegishli. Ularni hal qilishda ilgari qo'llanilgan usullarning eng muhimlari takrorlanadi, ammo ma'lumotlarning yashirin shakli tufayli fikrlash yanada umumiy va ayni paytda mavhumroqdir. Yangi mashg'ulotlarda, xuddi oldingi mashg'ulotlarda bo'lgani kabi, birinchi navbatda, asosiy noma'lum va berilgan belgilar orqali muammoda to'g'ridan-to'g'ri aytilgan yoki unda nazarda tutilgan barcha miqdorlarni ifodalashga e'tibor berish kerak va bu holda, muammoda keltirilgan barcha belgilarni, ma'lumotlar va qidirilganlarga tegishli barcha shartlarni izchil hisobga olish kerak, bunda barcha g'oyalar qachon paydo bo'ladi, bunda qanday qilib zarur bo'lgan g'oyalar paydo bo'ladi. o'zi.

301. Ikki raqamning farqi s q . Ikkala raqamni toping.

301. Ikki sonning farqi d , kattaning kichikga ko'p nisbati q . Ikkala raqamni toping.

302. Raqamni ajrating A Birinchi qism ikkinchi qismdan bir raqamga katta bo'lishi uchun uch qismga bo'linadi T va uchdan biridan kamroq P bir marta.

302. Raqamni ajrating A birinchi qism ikkinchi qismdan raqam bilan kichik bo'lishi uchun uch qismga bo'linadi T va uchdan biridan ko'proq P bir marta.

303. Bir raqam ichida A boshqasidan bir necha marta kamroq. Agar siz birinchi raqamga qo'shsangiz T , va ikkinchisiga P , keyin birinchi summa bo'ladi b ikkinchidan marta kamroq. Bu raqamlarni toping.

303. Bir raqam ichida A boshqasidan bir necha marta kamroq. Birinchisidan ayirib tashlasak T , va ikkinchisidan P , keyin birinchi farq ichida bo'ladi b ikkinchisidan ko'ra ko'proq. Bu raqamlarni toping.

304. Kasrning soni uning maxrajidan songa kichik A ; Biroq, kasrlar ikkala a'zodan tomonidan ayirilsa b T / P . Kasrning shartlarini toping.

304. Kasrning soni uning maxrajidan songa katta A . Kasrning ikkala a'zosiga by qo'shsak b , keyin siz kasrga teng kasr olasiz T / P . Kasrning shartlarini toping.

305. Raqamni ajrating A R ikkinchidan marta ko'p va q uchdan bir marta kamroq.

305. Raqamni ajrating A Birinchisi shunday qilib, uch qismga bo'lingan. V R ikkinchidan marta kam va q uchdan bir marta ko'p.

306. Kasrning maxraji uning sonining eng katta qismidir A bir marta. Numeratorga raqamni qo'shsak b va maxrajdan raqamni ayiring Bilan , keyin siz kasrga teng kasr olasiz k /l . Kasrning shartlarini toping.

306. Kasrning maxraji in sonidan kichik A bir marta. Agar raqamni hisoblagichdan ayirsak b va maxrajga raqam qo'shing Bilan , keyin kasrga teng kasrni o'rganing k /l . Kasrning shartlarini toping.

307. Raqamni ajrating T ikki qismga bo'ling, shunda ko'rsatkichlar orasidagi farq birinchi qismga bo'linadi A va ikkinchi b sevar edi r.

307. Raqamni ajrating T ikki qismga bo'ling, shunda birinchi qismni bo'lishdan olingan ko'rsatkichlar yig'indisi A va ikkinchi b teng bo'lar edi s .

308. Xodim har bir ish kuni uchun oladi A tiyin, va har bir ishlamaydigan uchun ular chegirib tashlanadi b tiyin. O'tgandan keyin P kun, ishchining sof daromadi teng s rubl. Qancha ish kuni va qancha ishlamaydigan kun?

308. Xodim har bir ish kuni uchun oladi A tiyin, va har bir ishlamaydigan uchun ular undan chegirib tashlashadi b tiyin. O'tgandan keyin P kun, xodim 5 rublni o'zi to'lashi kerak.Necha ish kuni va qancha ishlamaydigan kun?

309. Ikki raqamning farqi d . Minuendni ayirmaga bo'lish qismni beradi q va qolgan qismi farqning yarmiga teng. Bu raqamlarni toping

309. Ikki sonning farqi d . Minuendni ayirmaga bo'lish qoldiqni beradi r va farqning yarmiga teng bo'lgan qism. Bu raqamlarni toping.

310. Bir necha arshin mato uchun. to'langan A rubl; agar biz ko'proq mato sotib olgan bo'lsak Bilan b

310. Bir necha arshin mato uchun to'langan A rubl; agar biz arzonroq mato sotib olgan bo'lsak Bilan arshin, keyin to'lash kerak edi b rubl. Qancha arshin sotib olindi?

311. Qaysi raqam, ko'paytirilganda a , soniga ortadi T ?

311. Qaysi songa bo'linish A , songa kamaytiring T ?

312. Uyni sotayotganda m rubl oldi R foiz yo'qotish. Bu sotuvchining o'ziga qancha tushdi?

312. Uy-joy sotilganda T rubl oldi R foiz foyda. Bu sotuvchining o'ziga qancha tushdi?

313. Ikkita kurer bir vaqtning o'zida ikkita joydan jo'naydi A Va IN va bir xil yo'nalishda sayohat qiling A Kimga IN va hokazo. IIbirinchi soatda o'tadi A verst, ikkinchi b verst. Masofa AB teng d verst. Qachon va qanchalik uzoqda A Birinchi kurer ikkinchisidan o'tib ketadimi?

313. Ikki joydan bir vaqtning o'zida ikkita kurer jo'naydi A Va IN va bir-biringizga boring. Birinchisi bir soat ichida o'tadi A verst, ikkinchi b verst. Masofa AB teng d verst. Qachon. va qanchalik uzoqda A ikkala kurer uchrashadimi?

314. Aravaning old g'ildiragi aylanaga ega A oyoqlari, orqa atrofi b ft. Old g'ildirak harakatlanishi uchun arava qancha masofani bosib o'tishi kerak P teskari yuqori aylanishlar?

314. Vagonning old g'ildiragida aylana bor A oyoqlari orqa tomondan kamroq. Old g'ildirak harakatlanishi uchun arava qancha masofani bosib o'tishi kerak T , va orqa P inqiloblar?

315. Hovuzga ikkita quvur olib boriladi, ikkalasi ham uni to'ldiradi, birinchisi alohida harakatga ega A soat, ikkinchisi ham alohida harakat bilan b soat. Ikkala quvurning bir vaqtning o'zida harakatlanishi bilan hovuz qaysi vaqtda to'ldiriladi?

315. Hovuzga ikkita quvur olib boriladi, ulardan birinchisi alohida harakat bilan uni to'ldiradi. A soat, ikkinchisi ham alohida harakatda butun hovuzni to'kadi b soat. Ikkala quvurning bir vaqtning o'zida ishlashi bilan hovuzni to'ldirish uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?

316. Ekipaj g'ildiragi aylanasi A marta oldingi g'ildirakning aylanasi. Ekipaj o'tib ketdi T oyoqlari, va bunda, old g'ildirak qildi Kimga inqiloblar orqaga qaraganda ko'proq. Ikkala g'ildirakning atrofini va aylanishlar sonini aniqlang.

316. Old g'ildirakning aylanasi A oyoqlari orqa aylanadan kamroq. Ekipaj o'tib ketdi T oyoqlari va bir vaqtning o'zida orqa g'ildirak ichkariga kirdi Kimga oldinga qaraganda bir necha marta kamroq inqiloblar. Ikkala g'ildirakning atrofini va aylanishlar sonini aniqlang.

317. Bir shahar aholisi har yili oshib boradi R o'tgan yilgi aholi soniga nisbatan %. Hozirda shaharda T

317. Bir shahar aholisi yiliga ga kamayadi R o'tgan yilgi aholi soniga nisbatan %. Hozirda shaharda T aholisi. 3 yil oldin u erda qancha odam bor edi?

318. Bir vaqtning o'zida ishlaydigan ikkita ishchi o'z ishlarini yakunlaydi A soat. Birinchisi xuddi shu vazifani bajaradi b , bir soniyadan marta tezroq. Har bir ishchi ishni qaysi vaqtda tugatadi?

318. Bir vaqtning o'zida ishlaydigan ikkita ishchi ishni tugatadi A soat. Birinchisi xuddi shu vazifani bajaradi b , bir soniyadan sekinroq. Har bir ishchi ishni soat nechada tugatadi?

319. Qayiqchi daryo bo'ylab eshkak eshib, suzadi P sazhen in t soat; oqimga qarshi eshkak eshish, u foydalanadi Va bir xil masofada suzish uchun ko'proq soat. Soatlik oqim tezligini aniqlang.

319. Oqimga qarshi eshkak etgach, qayiqchi suzadi P sazhen in t soat; pastga qarab eshkak eshish, u foydalanadi Va bir xil masofada suzish uchun soat kamroq. Soatlik oqim tezligini aniqlang.

320. Tana A tezlikda harakat qilish v sekundiga metr. Boshqa tana qanchalik tez harakatlanishi kerak? IN, xuddi shu joydan kelgan t soniya oldin, agar u tana tomonidan bosib olingan bo'lsa A orqali Va bu tananing harakati boshlanganidan keyin soniya?

320. Tana A tezlikda harakat qilish v sekundiga metr. Boshqa tana qanchalik tez harakatlanishi kerak? IN xuddi shu joydan keladi Va soniyadan keyin u tanani ushlasa A orqali va uning harakati boshlanganidan keyin soniya?

321. Ikki turdagi tovarlardan, narxida A rubl va b bir funt uchun rubl, tuzilgan d T bir funt uchun rubl olingan s rubl yo'qotish. Aralashmani tayyorlash uchun ikkala turdagi necha funt sarflandi?

321. Ikki xil tovardan, narxida A rubl va b bir funt uchun rubl, tuzilgan d kilogramm aralash. Ushbu aralashmani sotganda T bir funt uchun rubl olingan s rubl foyda. Aralashmani tayyorlash uchun ikkala turdagi necha funt sarflandi?

322. B basseyn, qulay T chelaklar, ikkita quvur yotqizildi. Birinchisi hovuzga quyiladi A soatiga chelaklar. Ikkinchisi butun hovuzni to'kadi b soat. Hovuz qaysi vaqtda ikkala quvurning bir vaqtning o'zida ishlashi bilan to'ldiriladi?

322. O'z ichiga olgan hovuzga T chelaklar, ikkita quvur yotqizildi. Birinchisi butun hovuzni to'ldiradi A soat. Bir soat ichida ikkinchisi hovuzdan to'kiladi b chelaklar. Hovuz qaysi vaqtda ikkala quvurning bir vaqtning o'zida ishlashi bilan to'ldiriladi?

323. Raqamni ajrating A Birinchisi ikkinchisiga tegishli bo'lishi uchun uch qismga bo'ling t:p , va ikkinchidan uchinchigacha, kabi p: q.

323. Raqamni ajrating A uch qismga bo'ling, shunda ikkinchisi birinchisiga tegishli bo'ladi, kabi t:p , va uchinchidan ikkinchisiga, kabi p: q.

324. Ikki joydan A Va IN P sazhen, ikki qayiq bir xil kuchga ega eshkakchilar tomonidan boshqariladigan bir-biriga qarab suzib ketmoqda. Birinchisi, quyi oqim bo'ylab suzuvchi, butun masofani bosib o'tadi AB V t soat; ikkinchisi, oqimga qarshi suzish uchun bir xil masofani ko'proq vaqt sarflaydi Va soat. Soatlik oqim tezligini aniqlang.

324. Ikki joydan A Va IN daryoda, bir-biridan ajratilgan P sazhen, ikki qayiq bir xil kuchga ega eshkakchilar tomonidan boshqariladigan bir-biriga qarab suzib ketmoqda. Birinchisi, oqimga qarshi suzish, butun masofani bosib o'tadi AB V t soat; ikkinchisi, oqim bilan birga, bir xil masofaga kamroq vaqt sarflaydi Va soat. Soatlik oqim tezligini aniqlang.

325. Birinchisi va ikkinchisi birga ekanligini bilib, uchta odamning poytaxtlarini aniqlang T rubl, ikkinchisi uchinchisi bilan P rubl, va bu birinchi kapital R uchdan birining kapitalidan baravar kam.

325. Birinchisi va uchinchisi birga ekanligini bilib, uchta shaxsning poytaxtlarini aniqlang T rubl, ikkinchisi uchinchisi bilan P rubl, va bu birinchi kapital R ikkinchisining poytaxti marta.

326. Ikki jism uzoqda joylashgan ikki joydan bir-biriga qarab harakatlanadi d metr. Birinchisi tezlik bilan harakat qiladi v sekundiga metr. Agar ikkinchi jismga yetgan bo'lsa, qanday tezlik bilan harakatlanishi kerak h soniyadan keyin birinchi va hamma narsa yig'ilishidan oldin borish kerak P soniya?

326. Ikki jism ikki joydan uzoqdan bir-biriga qarab harakatlanadi d metr. Birinchisi tezlik bilan harakat qiladi v sekundiga metr. Agar ikkinchi jism yetgan bo'lsa, qanday tezlik bilan harakatlanishi kerak h soniya birinchisidan oldin va hamma narsaning uchrashuvigacha borish kerak P soniya?

327. Veksel tijoriy ravishda diskontlangan R % ortda P muddatdan bir necha yil oldin, ko'proq matematik ko'rib chiqadi, shuningdek, muvofiq amalga oshiriladi R % va uchun P yillar, on A rubl. Haftaning valyutasini toping.

327. Tijoriy diskontlangan veksel R % ortda P yillar davom etadi T rubl matematik hisob-kitoblarga qaraganda arzonroq, shuningdek, shunga ko'ra amalga oshiriladi R % va uchun P yillar Hisob-kitob miqdori qancha?

328. Ikki kurer joylarni tark etishadi A Va B masofada joylashgan d verst va ular birinchi soatda o'tib, tomon ketishadi u versiya va ikkinchi v verstlar; birinchisining ketishi A da boʻlib oʻtdi h IN. Kurerlar qachon va qayerda uchrashishini aniqlang?

328. Ikki kurer joyni tark etadi A Va B masofada joylashgan d verst va ikkalasi ham bir yo'nalishda, bir soat yoki bir soatda o'tib ketishadi Va verst va ikkinchi v verstlar; dan birinchi bo'lib ketish A da boʻlib oʻtdi h ikkinchisining ketishidan soat oldin B. Birinchi kurer ikkinchisini qachon va qayerda bosib o'tishini aniqlang?

329. Raqamni ajrating A shunday uch qismga, agar siz birinchisiga biriktirsangiz T , ikkinchisi birinchi bo'lib kamayadi m , keyin esa ga ko'paytiring P , va uchinchisini ajrating P , keyin natijalar bir xil bo'ladi.

329. Raqamni ajrating A shunday uch qismga bo'linadiki, agar birinchisi kamaytirilsa T , birinchi navbatda ikkinchisini oshiring T , keyin ga ko'paytiring P , va uchinchisini ajrating P , keyin natijalar bir xil bo'ladi.

330. Hovuzda uchta quvur bor. A, B Va BILAN. orqali A Va BILAN orqali suv oqadi IN A Va IN hovuz to'ldiriladi T soat, harakat ostida A Va C V P soat, harakat ostida IN Va BILAN V R soat. Hovuz qaysi vaqtda uchta quvurning bir vaqtning o'zida harakatlanishi bilan to'ldiriladi?

330. Hovuzga uchta quvur olib boriladi A, B Va BILAN. orqali A orqali suv oqadi IN Va BILAN ergashadi. Quvurlarning birgalikdagi harakati bilan A Va IN hovuz to'ldiriladi T soat, harakat ostida A Va BILAN V P soat, quvurlar IN Va BILAN butun hovuzni to'kib tashlang R soat. Agar uchta quvur bir vaqtning o'zida ishlayotgan bo'lsa, butun hovuz qancha vaqtni oladi?

Tenglama tuzish deganda muammoning ma'lumotlari (ma'lum) va uning zarur (noma'lum) qiymatlari o'rtasidagi munosabatni matematik shaklda ifodalash tushuniladi. Ba'zan bu bog'liqlik masalani shakllantirishda shunchalik aniq bo'ladiki, tenglamani tuzish matematik belgilar tilida masalaning so'zma-so'z takrorlanishidir.

Misol 1. Petrov o'z ishi uchun 160 rubl oldi. Ivanov olgan summaning yarmidan ko'pi. Ular birgalikda 1120 rubl olishdi. Petrov va Ivanov o'z mehnatlari uchun qancha pul olishdi? X Ivanovning daromadi bo'lsin. Uning daromadining yarmi 0,5x; Petrovning oylik maoshi 0,5x + 160 birga ular 1120 rubl oladi; oxirgi iboraning matematik yozuvi bo'ladi

(0,5x + 160) + x = 1120.

Tenglama tuzildi. Uni bir vaqtlar o'rnatilgan qoidalarga muvofiq hal qilib, biz Ivanovning daromadini topamiz x = 640 rubl; Petrovning daromadi 0,5x + 160=480 (rubl).

Ko'pincha, muammoda ma'lumotlar va qidirilayotgan miqdorlar o'rtasidagi bog'liqlik to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatilmaydi; topshiriqning shartlaridan kelib chiqib belgilanishi kerak. IN amaliy vazifalar bu deyarli har doim shunday bo'ladi. Hozirgina keltirilgan misol o'ylab topilgan; Haqiqiy hayotda bunday vazifalar deyarli uchramaydi.

Shuning uchun tenglamani tuzish uchun to'liq ko'rsatmalar berish mumkin emas. Biroq, avvaliga quyidagilarga amal qilish foydalidir. Keling, kerakli qiymatning qiymatini (yoki bir nechta qiymatlarni) tasodifiy olingan raqamni (yoki bir nechta raqamlarni) olamiz va o'z oldimizga muammoning to'g'ri echimini taxmin qilgan yoki yo'qligini tekshirish vazifasini qo'yaylik. Agar biz ushbu testni o'tkaza olsak va bizning taxminimiz to'g'ri yoki noto'g'ri ekanligini aniqlay olsak (ko'pincha ikkinchisi bo'ladi, albatta), biz darhol kerakli tenglamani (yoki bir nechta tenglamalarni) tuzishimiz mumkin. Ya'ni, biz tekshirish uchun qilgan harakatlarimizni yozamiz, lekin tasodifiy olingan raqam o'rniga noma'lum qiymatning alifbo belgisini kiritamiz. Biz kerakli tenglamani olamiz.

2-misol. Mis va rux qotishmasining hajmi 1 dm3 bo`lgan bo`lagi 8,14 kg. Qotishmada qancha mis bor? (misning solishtirma og'irligi 8,9 kg/dm3; rux - 7,0 kg/dm3).

Tasodifiy misning kerakli hajmini ifodalovchi raqamni olaylik, masalan, 0,3 dm3. Keling, ushbu raqamni muvaffaqiyatli olganimizni tekshirib ko'raylik. 1 kg / dm3 misning og'irligi 8,9 kg bo'lganligi sababli, 0,3 dm3 8,9 * 0,3 = 2,67 (kg) ga teng. Qotishmadagi sinkning hajmi 1 - 0,3 = 0,7 (dm3). Uning og'irligi 7,0 0,7 = 4,9 (kg). Sink va misning umumiy og'irligi 2,67 + + 4,9 = 7,57 (kg). Ayni paytda, muammoning shartiga ko'ra, bizning buyumning og'irligi 8,14 kg ni tashkil qiladi. Bizning taxminimiz noto'g'ri. Ammo boshqa tomondan, biz darhol yechim to'g'ri javob beradigan tenglamani olamiz. Tasodifiy olingan 0,3 dm3 o'rniga mis hajmini (dm3 da) x orqali belgilaymiz. 8,9 0,3 = 2,67 mahsulot o'rniga 8,9 x mahsulotlarni olamiz. Bu qotishma tarkibidagi misning og'irligi. 1 - 0,3 = 0,7 o'rniga biz 1 - x ni olamiz; bu sink miqdori. 7,0 0,7 = 4,9 o'rniga biz 7,0 (1 - x) ni olamiz; bu sinkning og'irligi. 2,67 + 4,9 o'rniga biz 8,9 x + 7,0 (1 - x) ni olamiz; bu sink va misning umumiy og'irligi. Shartiga ko'ra, u 8,14 kg ga teng; shuning uchun 8,9 x + 7,0 (1 - x) = 8,14.

Bu tenglamani yechish x = 0,6 ni beradi. Tasodifiy tanlangan yechimni tekshirish turli usullar bilan amalga oshirilishi mumkin; shunga ko'ra, bir xil masala uchun har xil turdagi tenglamalar olinishi mumkin; ammo ularning barchasi kerakli qiymat uchun bir xil echimni beradi, bunday tenglamalar bir-biriga ekvivalent deb ataladi.

Albatta, tenglamalarni tuzish ko'nikmalariga ega bo'lgandan so'ng, olingan raqamni tasodifiy tekshirishning hojati yo'q: siz kerakli qiymatning qiymati uchun raqamni emas, balki qandaydir harfni (x, y va boshqalar) olishingiz mumkin va xuddi shu harf (noma'lum) biz tekshiradigan raqam kabi harakat qilishingiz mumkin.

Masalaning yechimi odatda mantiqiy fikrlash va hisob-kitoblar orqali qandaydir miqdorning qiymatini topishga to‘g‘ri keladi. Masalan, biror narsaning tezligini, vaqtini, masofasini, massasini yoki biror narsaning miqdorini toping.

Bu muammoni tenglama yordamida hal qilish mumkin. Buning uchun kerakli qiymat o'zgaruvchi orqali belgilanadi, so'ngra mantiqiy asoslab, ular tenglama tuzadilar va yechishadi. Tenglamani yechib, ular tenglamaning yechimi masala shartlarini qanoatlantirishini tekshiradilar.

Dars mazmuni

Noma'lum bo'lgan iboralarni yozish

Muammoni yechish bu masala uchun tenglamani tuzish bilan birga keladi. Yoniq dastlabki bosqich vazifalarni o'rganayotganda, u yoki bu narsani tasvirlaydigan so'zma-so'z iboralarni tuzishni o'rganish maqsadga muvofiqdir hayotiy vaziyat. Bu bosqich qiyin emas va muammoni o'zi hal qilish jarayonida o'rganilishi mumkin.

Matematik ifoda yordamida yozish mumkin bo'lgan bir nechta vaziyatlarni ko'rib chiqing.

Vazifa 1. Otaning yoshi x yillar. Onam ikki yosh kichik. O'g'il otasidan 3 marta kichik. Ifodalar yordamida har birining yoshini yozing.

Yechim:

Vazifa 2. Otaning yoshi x yil, onasi otasidan 2 yosh kichik. O'g'il otasidan 3 marta, qizi onasidan 3 marta kichik. Ifodalar yordamida har birining yoshini yozing.

Yechim:

Vazifa 3. Otaning yoshi x yil, onasi otadan 3 yosh kichik. O'g'il otasidan 3 marta, qizi onasidan 3 marta kichik. Ota, ona, o'g'il va qizning umumiy yoshi 92 bo'lsa, har birining yoshi nechada?

Yechim:

Bu masalada ifodalarni yozishdan tashqari, har bir oila a'zosining yoshini hisoblash kerak.

Birinchidan, iboralar yordamida har bir oila a'zosining yoshini yozamiz. Har bir o'zgaruvchiga x Keling, otaning yoshini olaylik va keyin bu o'zgaruvchidan foydalanib, qolgan iboralarni tuzamiz:

Keling, har bir oila a'zosining yoshini aniqlaymiz. Buning uchun tenglamani yozishimiz va yechishimiz kerak. Bizda tenglamaning barcha komponentlari tayyor. Faqat ularni birga yig'ish qoladi.

Ota, ona, o'g'il va qizning yoshini qo'shish orqali 92 yoshning umumiy yoshi aniqlandi:

Har bir yosh uchun biz matematik ifoda yaratdik. Bu ifodalar tenglamamizning komponentlari bo'ladi. Keling, tenglamamizni ushbu sxema va yuqorida keltirilgan jadval bo'yicha yig'amiz. Ya'ni, dad, onam, o'g'il, qiz so'zlari jadvaldagi ularga mos keladigan ibora bilan almashtiriladi:

Onaning yoshi uchun ifoda x − 3 aniqlik uchun qavs ichida olingan.

Endi olingan tenglamani yechamiz. Boshlash uchun, iloji bo'lsa, qavslarni ochishingiz mumkin:

Tenglamani kasrlardan ozod qilish uchun ikkala tomonni 3 ga ko'paytiring

Olingan tenglamani ma'lum bo'lgandan foydalanib yechamiz bir xil o'zgarishlar:

Biz o'zgaruvchining qiymatini topdik x. Bu o'zgaruvchi otaning yoshi uchun javobgar edi. Shunday qilib, otaning yoshi 36 yoshda.

Otaning yoshini bilib, siz qolgan oila a'zolarining yoshini hisoblashingiz mumkin. Buning uchun siz o'zgaruvchining qiymatini almashtirishingiz kerak x ma'lum bir oila a'zosining yoshi uchun mas'ul bo'lgan iboralarda.

Muammoda onaning otasidan 3 yosh kichik ekanligi aytilgan. Biz uning yoshini ifoda orqali belgiladik x−3. O'zgaruvchan qiymat x hozir ma'lum bo'lib, onaning yoshini hisoblash uchun ifodada zarur x − 3 o'rniga x topilgan qiymat 36 ni almashtiring

x - 3 \u003d 36 - 3 \u003d 33 yoshli onam.

Xuddi shunday, qolgan oila a'zolarining yoshi ham belgilanadi:

Imtihon:

Vazifa 4. Bir kilogramm olma arziydi x rubl. 300 rublga qancha kilogramm olma sotib olishingiz mumkinligini hisoblaydigan iborani yozing.

Yechim

Agar bir kilogramm olma qimmatga tushsa x rubl, keyin 300 rubl uchun bir kilogramm olma sotib olishingiz mumkin.

Misol. Bir kilogramm olma 50 rubl turadi. Keyin 300 rublga, ya'ni 6 kilogramm olma sotib olishingiz mumkin.

Vazifa 5. Yoniq x rubl, 5 kg olma sotib olindi. Bir kilogramm olma necha rubl turishini hisoblaydigan ifodani yozing.

Yechim

Agar 5 kg olma uchun to'langan bo'lsa x rubl, keyin bir kilogramm rublga tushadi

Misol. 300 rubl uchun 5 kg olma sotib olindi. Keyin bir kilogramm olma, ya'ni 60 rublga tushadi.

Vazifa 6. Tom, Jon va Leo tanaffus paytida kafeteryaga borishdi va sendvich va bir chashka qahva sotib olishdi. Sendvich arziydi x rubl, va bir chashka qahva - 15 rubl. Har bir narsa uchun 120 rubl to'langanligi ma'lum bo'lsa, sendvich narxini aniqlang?

Yechim

Albatta, bu muammo uch tiyinchalik sodda va uni tenglamaga murojaat qilmasdan hal qilish mumkin. Buning uchun 120 rubldan uch stakan kofe (15 × 3) narxini ayirib, natijani 3 ga bo'ling.

Lekin bizning maqsadimiz masala uchun tenglama yozish va bu tenglamani yechishdir. Shunday qilib, sendvichning narxi x rubl. Faqat uchtasini sotib oldim. Shunday qilib, xarajatlarni uch baravar oshirib, biz uchta sendvich uchun qancha rubl to'langanligini tavsiflovchi iborani olamiz.

3x - uchta sendvichning narxi

Va uch stakan kofe narxini 15 × 3 deb yozish mumkin. 15 - bir krujka qahvaning narxi va 3 - bu ko'paytiruvchi (Tom, Jon va Leo) bu xarajatlarni uch baravar oshiradi.

Muammoning shartiga ko'ra, har bir narsa uchun 120 rubl to'langan. Bizda nima qilish kerakligining taxminiy sxemasi allaqachon mavjud:

Bizda allaqachon uchta sendvich va uch chashka qahva narxini tavsiflovchi iboralar mavjud. Bu iboralar 3 x va 15×3. Sxemadan foydalanib, biz tenglama yozamiz va uni yechamiz:

Shunday qilib, bitta sendvichning narxi 25 rublni tashkil qiladi.

Masala uning uchun tenglama to‘g‘ri tuzilgandagina to‘g‘ri yechiladi. Biz ildizlarni topishni o'rganadigan oddiy tenglamalardan farqli o'laroq, muammolarni hal qilish uchun tenglamalar o'ziga xos qo'llanilishiga ega. Bunday tenglamaning har bir komponentini og'zaki shaklda tasvirlash mumkin. Tenglamani tuzishda uning tarkibiga u yoki bu komponentni nima uchun kiritishimiz va nima uchun kerakligini tushunish juda muhimdir.

Shuni ham yodda tutish kerakki, tenglama tenglik bo'lib, uni hal qilgandan so'ng chap tomon o'ng tomonga teng bo'lishi kerak. Olingan tenglama bu fikrga zid kelmasligi kerak.

Tasavvur qiling-a, tenglama ikkita piyola va muvozanat holatini ko'rsatadigan ekranli muvozanatdir.

IN bu daqiqa ekran teng belgisini ko'rsatadi. Nima uchun chap piyola o'ng kosaga teng ekanligi aniq - kosalarda hech narsa yo'q. Quyidagi tenglikdan foydalanib, tarozi holatini va kosalarda biror narsa yo'qligini yozamiz:

0 = 0

Keling, tarvuzni chap o'lchovga qo'yamiz:

Chap piyola o'ng piyoladan og'irroq edi va ekran signalni chalib, teng emas belgisini (≠) ko'rsatdi. Bu belgi chap piyola o'ng idishga teng emasligini ko'rsatadi.

Endi muammoni hal qilishga harakat qilaylik. Chap idishda yotgan tarvuzning og'irligi qancha ekanligini aniqlash talab qilinsin. Lekin siz qayerdan bilasiz? Axir, bizning tarozilarimiz faqat chap kosa o'ngga teng yoki yo'qligini tekshirish uchun mo'ljallangan.

Tenglamalar yordamga keladi. Eslatib o'tamiz, ta'rifi bo'yicha tenglama tenglik Qiymatini topmoqchi bo'lgan o'zgaruvchini o'z ichiga olgan A. Bunday holda, tarozilar aynan shu tenglamaning rolini o'ynaydi va tarvuzning massasi qiymati topilishi kerak bo'lgan o'zgaruvchidir. Bizning maqsadimiz - bu tenglamani to'g'ri bajarish. Tushunish, tarozilarni tekislang, shunda siz tarvuzning massasini hisoblashingiz mumkin.

Tarozilarni tekislash uchun siz o'ng idishga og'ir narsalarni qo'yishingiz mumkin. Masalan, u erga 7 kg vazn qo'yaylik.

Endi, aksincha, o'ng kosa chapdan og'irroq edi. Ekran hali ham kosalar teng emasligini ko'rsatadi.

Keling, chap idishga 4 kg vazn qo'yishga harakat qilaylik

Endi tarozilar tekislandi. Rasmda chap piyola o'ng piyola darajasida ekanligi ko'rsatilgan. Va ekran teng belgisini ko'rsatadi. Bu belgi chap piyola o'ng kosaga teng ekanligini ko'rsatadi.

Shunday qilib, biz tenglamani oldik - noma'lumni o'z ichiga olgan tenglik. Chap panja tenglamaning chap tomoni bo'lib, 4 ta komponent va o'zgaruvchidan iborat x(tarvuz massasi) va o'ng kosa tenglamaning o'ng tomoni bo'lib, 7-komponentdan iborat.

Xo'sh, tenglamaning ildizi 4 + ekanligini taxmin qilish qiyin emas x\u003d 7 - 3. Shunday qilib, tarvuzning massasi 3 kg.

Xuddi shu narsa boshqa vazifalar uchun ham amal qiladi. Noma'lum qiymatni topish uchun tenglamaning chap yoki o'ng tomoniga turli xil elementlar qo'shiladi: atamalar, omillar, ifodalar. IN maktab vazifalari Bu elementlar allaqachon berilgan. Faqat ularni to'g'ri tuzish va tenglama tuzish qoladi. Biz kirdik bu misol tarvuzning massasini hisoblash uchun turli xil massadagi og'irliklarni sinab ko'rish bilan shug'ullanadi.

Tabiiyki, masalada berilgan ma'lumotlar birinchi navbatda tenglamaga kiritilishi mumkin bo'lgan shaklga keltirilishi kerak. Shuning uchun, ular aytganidek "Sizga yoqadimi yoki yo'qmi, o'ylab ko'rishingiz kerak".

Quyidagi muammoni ko'rib chiqing. Otaning yoshi o'g'il va qizning birgalikdagi yoshiga teng. O'g'il qizidan ikki baravar, otasidan yigirma yosh kichik. Har biri necha yoshda?

Qizning yoshini quyidagicha ifodalash mumkin x. Agar o'g'il qizidan ikki baravar katta bo'lsa, uning yoshi 2 deb ko'rsatiladi x. Muammoning shartida aytilishicha, qiz va o'g'ilning yoshi birgalikda otaning yoshiga teng. Shunday qilib, otaning yoshi yig'indi bilan belgilanadi x + 2x

Siz iboraga o'xshash shartlarni qo'shishingiz mumkin. Keyin otaning yoshi 3 deb belgilanadi x

Endi tenglama tuzamiz. Biz noma'lumni topishimiz mumkin bo'lgan tenglikni olishimiz kerak x. Keling, og'irliklardan foydalanamiz. Chap kosaga biz otaning yoshini qo'yamiz (3 x) va o'ng kosada o'g'ilning yoshi (2 x)

Nima uchun chap piyola o'ngdan og'irroq bo'lganligi va ekranda nima uchun (≠) belgisi ko'rsatilganligi aniq. Axir, otaning yoshi o'g'ilning yoshi kattaroq bo'lishi mantiqan to'g'ri.

Ammo biz noma'lumni hisoblashimiz uchun tarozilarni muvozanatlashimiz kerak x. Buning uchun to'g'ri idishga bir nechta raqam qo'shishingiz kerak. Muammoda qanday raqam ko'rsatilgan. Shartda aytilishicha, o'g'il otasidan 20 yosh kichik. Shunday qilib, 20 yil - bu taroziga qo'yilishi kerak bo'lgan bir xil raqam.

Agar bu 20 yilni o'lchovning o'ng tomoniga qo'shsak, tarozi tenglashadi. Boshqacha aytganda, o‘g‘ilni ota yoshiga yetkazaylik

Endi tarozilar tekislandi. Bu tenglama chiqdi , bu osonlikcha hal qilinadi:

x biz qizning yoshini belgiladik. Endi biz ushbu o'zgaruvchining qiymatini topdik. Qizim 20 yoshda.

Va nihoyat, biz otaning yoshini hisoblaymiz. Masalada o'g'il va qizning yosh yig'indisiga, ya'ni (20+40) yoshga teng ekanligi aytildi.

Keling, vazifaning o'rtasiga qaytaylik va bir nuqtaga e'tibor qaratamiz. Otaning yoshini va o'g'ilning yoshini taroziga qo'yganimizda, chap kosa o'ngdan og'irroq edi.

Ammo biz bu muammoni to'g'ri idishga yana 20 yil qo'shish orqali hal qildik. Natijada tarozi tekislandi va biz tenglikka erishdik

Ammo bu 20 yilni o'ng kosaga qo'shmaslik, balki chapdan ayirish mumkin edi. Bu holatda biz tenglikka erishamiz

Bu safar tenglama . Tenglamaning ildizi hali ham 20 ga teng

Ya'ni, tenglamalar Va ekvivalentdir. Va biz buni eslaymiz ekvivalent tenglamalar ildizlar mos keladi. Agar siz ushbu ikki tenglamaga diqqat bilan qarasangiz, ikkinchi tenglama 20 raqamini o'ng tomondan chap tomonga qarama-qarshi belgi bilan o'tkazish orqali olinganligini ko'rishingiz mumkin. Va bu harakat, oldingi darsda ko'rsatilganidek, tenglamaning ildizlarini o'zgartirmaydi.

Muammoni hal qilishning boshida har bir oila a'zosining yoshini boshqa iboralar orqali belgilash mumkinligiga ham e'tibor berish kerak.

Aytaylik, o'g'ilning yoshi bilan belgilanadi x va u qizidan ikki katta bo'lganligi sababli, qizning yoshi bilan ko'rsatiladi (uni o'g'ildan ikki barobar yosh qilish uchun tushuning). Otaning yoshi esa, o'g'il va qizning yoshlarining yig'indisi bo'lganligi sababli, ifoda orqali ifodalanadi. Va nihoyat, mantiqan to'g'ri tenglamani qurish uchun siz o'g'ilning yoshiga 20 raqamini qo'shishingiz kerak, chunki otasi yigirma yosh katta. Natijada butunlay boshqacha tenglama paydo bo'ladi. . Keling, bu tenglamani yechamiz

Ko'rib turganingizdek, muammoga javoblar o'zgarmadi. O'g'lim hali 40 yoshda. Qizlari hali yoshda, otasi esa 40+20 yoshda.

Boshqacha qilib aytganda, muammoni turli yo'llar bilan hal qilish mumkin. Shu sababli, u yoki bu muammoni hal qilish mumkin emasligidan umidsizlikka tushmaslik kerak. Ammo muammoni hal qilishning eng oddiy usullari mavjudligini yodda tutishingiz kerak. Shahar markaziga turli yo'nalishlar mavjud, lekin har doim eng qulay, eng tezkor va xavfsiz yo'nalish mavjud.

Muammoni hal qilishga misollar

Vazifa 1. Ikkita paketda 30 ta daftar bor. Agar birinchi to'plamdan ikkinchisiga 2 ta daftar o'tkazilsa, birinchi to'plamda ikkinchisiga qaraganda ikki barobar ko'p daftar bo'lar edi. Har bir paketda nechta daftar bor edi?

Yechim

tomonidan belgilang x birinchi paketdagi noutbuklar soni. Agar jami 30 ta daftar bo'lsa va o'zgaruvchi x bu birinchi paketdagi daftarlar soni, keyin ikkinchi paketdagi daftarlar soni 30 − ifodasi bilan belgilanadi. x. Ya'ni, daftarlarning umumiy sonidan biz birinchi to'plamdagi daftarlar sonini ayiramiz va shu bilan ikkinchi to'plamdan daftar sonini olamiz.

va bu ikkita daftarni ikkinchi paketga qo'shing

Keling, mavjud ifodalardan tenglama tuzishga harakat qilaylik. Ikkala o'ram daftarni tarozi ustiga qo'ydik

Chap idish o'ngdan og'irroq. Chunki, masalaning shartida aytilishicha, birinchi daftardan ikkita daftar olinib, ikkinchisiga joylashtirilgandan so‘ng, birinchi to‘plamdagi daftarlar soni ikkinchisiga nisbatan ikki barobar ko‘paygan.

Tarozilarni tenglashtirish va tenglamani olish uchun o'ng tomonni ikki baravar oshiring. Buning uchun uni 2 ga ko'paytiring

Bu tenglama chiqadi. Keling, bu tenglamani yechamiz:

Biz birinchi to'plamni o'zgaruvchi bilan belgiladik x. Endi biz uning ma'nosini topdik. O'zgaruvchan x 22 ga teng. Shunday qilib, birinchi paketda 22 ta daftar bor edi.

Va biz ikkinchi paketni 30 − ifodasi orqali belgiladik x va o'zgaruvchining qiymatidan boshlab x Endi bilamizki, ikkinchi paketdagi daftarlar sonini hisoblashimiz mumkin. Bu 30 − 22 ga teng, ya'ni 8 dona.

Vazifa 2. Ikki kishi kartoshka tozalayotgan edi. Bir daqiqada ikkita kartoshkani, qolgan uchta kartoshkani tozaladi. Ular birgalikda 400 ta bo'lakni tozalashdi. Agar ikkinchisi birinchisidan 25 daqiqa ko'proq ishlagan bo'lsa, har biri qancha vaqt ishlagan?

Yechim

tomonidan belgilang x birinchi shaxsning vaqti. Ikkinchi shaxs birinchisidan 25 daqiqa ko'proq ishlaganligi sababli, uning vaqti ifoda bilan belgilanadi

Birinchi ishchi daqiqada 2 ta kartoshkani tozalagan va u ishlaganidan beri x daqiqa, keyin jami u 2 tozaladi x kartoshka.

Ikkinchi odam bir daqiqada uchta kartoshkani tozaladi va u bir necha daqiqa ishlaganligi sababli, u jami kartoshkani tozaladi.

Ular birgalikda 400 dona kartoshkani tozalashdi

Mavjud komponentlardan biz tenglama tuzamiz va yechamiz. Tenglamaning chap tomonida har bir kishi tomonidan tozalangan kartoshka, o'ng tomonida esa ularning yig'indisi bo'ladi:

O'zgaruvchi orqali ushbu muammoni hal qilishning boshida x birinchi shaxsning ish vaqtini belgilab oldik. Endi biz ushbu o'zgaruvchining qiymatini topdik. Birinchi odam 65 daqiqa ishladi.

Va ikkinchi odam daqiqalar davomida ishladi va o'zgaruvchining qiymatidan beri x endi ma'lum, keyin siz ikkinchi shaxsning vaqtini hisoblashingiz mumkin - bu 65 + 25 ga teng, ya'ni 90 daqiqa.

Andrey Petrovich Kiselevning "Algebra" darsligidan muammo. Choy navlaridan 32 kg aralashmasi tayyorlangan. Birinchi navning kilogrammi 8 rubl, ikkinchi navi esa 6 rubl. 50 kop. Har ikkala navdan qancha kilogramm olinadi, agar aralashmaning bir kilogrammi (foyda yoki zararsiz) 7 rubl bo'lsa. 10 tiyin?

Yechim

tomonidan belgilang x birinchi navli ko'p choy. Keyin ikkinchi navdagi choy massasi 32 - ifodasi orqali belgilanadi x

Birinchi navli choyning kilogrammi 8 rublni tashkil qiladi. Agar bu sakkiz rubl birinchi navdagi choyning kilogrammiga ko'paytirilsa, rubl qancha ekanligini aniqlash mumkin bo'ladi. x kg birinchi navli choy.

Ikkinchi navli choyning bir kilogrammi 6 rubl. 50 kop. Agar bu 6 rubl bo'lsa. 50 kop. 32 ga ko'paytiring − x, keyin 32 rubl qancha ekanligini bilib olishingiz mumkin − x kg ikkinchi navli choy.

Shartda aytilishicha, aralashmaning bir kilogrammi 7 rublni tashkil qiladi. 10 kop. Hammasi bo'lib 32 kg aralashma tayyorlandi. 7 rublni ko'paytiring. 10 kop. 32 da biz 32 kg aralashmaning qancha turishini bilib olamiz.

Endi biz tenglama tuzadigan iboralar quyidagi shaklni oladi:

Keling, mavjud ifodalardan tenglama tuzishga harakat qilaylik. Keling, birinchi va ikkinchi navli choy aralashmalari narxini tarozi chap panasiga qo'yamiz va o'ng tovaga 32 kg aralashmaning narxini, ya'ni choyning ikkala navini o'z ichiga olgan aralashmaning umumiy narxini qo'yamiz:

O'zgaruvchi orqali ushbu muammoni hal qilishning boshida x biz birinchi navdagi choy massasini belgiladik. Endi biz ushbu o'zgaruvchining qiymatini topdik. O'zgaruvchan x 12,8 ga teng. Bu aralashmani tayyorlash uchun birinchi navdagi 12,8 kg choy olinganligini anglatadi.

Va 32 ifoda orqali − x biz ikkinchi navdagi choyning massasini va o'zgarish qiymatini belgiladik x Endi ma'lumki, biz ikkinchi navdagi choyning massasini hisoblashimiz mumkin. U 32 − 12,8 ga, ya’ni 19,2 ga teng. Bu aralashmani tayyorlash uchun 19,2 kg ikkinchi navli choy olinganligini anglatadi.

Vazifa 3. Velosipedchi 8 km/soat tezlikda masofani bosib o'tdi. U birinchisidan 3 km uzunroq bo'lgan boshqa yo'l bilan qaytishga majbur bo'ldi va qaytib kelgan bo'lsa-da, soatiga 9 km tezlikda ketayotgan bo'lsa-da, vaqtni daqiqadan ko'proq ishlatdi. Yo'llar qancha uzun edi?

Yechim

Ba'zi vazifalar odam o'rganmagan mavzularni qamrab olishi mumkin. Bu vazifa ana shunday vazifalar qatoriga kiradi. U masofa, tezlik va vaqt tushunchalari bilan shug'ullanadi. Shunga ko'ra, bunday muammoni hal qilish uchun siz muammoda aytilgan narsalar haqida tasavvurga ega bo'lishingiz kerak. Bizning holatimizda masofa, tezlik va vaqt nima ekanligini bilishimiz kerak.

Vazifa ikkita yo'lning masofasini topishdir. Biz bu masofalarni hisoblash imkonini beradigan tenglama yozishimiz kerak.

Masofa, tezlik va vaqt o'rtasidagi munosabatni ko'rib chiqing. Ushbu miqdorlarning har birini harfiy tenglama yordamida tavsiflash mumkin:

Tenglamani tuzish uchun biz ushbu tenglamalardan birining o'ng tomonidan foydalanamiz. Qaysi biri ekanligini bilish uchun siz topshiriq matniga qaytishingiz va quyidagi nuqtaga e'tibor berishingiz kerak:

Velosipedchining qayerda ekanligiga e'tibor berish kerak orqaga yo'l bir daqiqadan ko'proq vaqtni oldi. Bu maslahat bizga tenglamadan, ya'ni uning o'ng tomonidan foydalanishimiz mumkinligini aytadi. Bu bizga o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglama yozish imkonini beradi S .

Shunday qilib, keling, birinchi yo'lning uzunligini deb belgilaymiz S. Velosipedchi bu yo'lni 8 km/soat tezlikda bosib o'tdi. U bu yo'lni bosib o'tgan vaqt ifoda bilan belgilanadi, chunki vaqt bosib o'tgan masofaning tezlikka nisbati.

Velosipedchining qaytish yo'li 3 km uzoqroq edi. Shuning uchun uning masofasi ifoda bilan belgilanadi S+3. Velosipedchi bu yo'lda 9 km/soat tezlikda yurdi. Shunday qilib, u bu yo'lni bosib o'tgan vaqt ifoda bilan belgilanadi.

Endi mavjud ifodalardan tenglama tuzamiz

O'ng kosa chapdan og'irroq. Buning sababi shundaki, muammo velosipedchining qaytishda ko'proq vaqt sarflaganini aytadi.

Tarozilarni tenglashtirish uchun xuddi shu daqiqalarni chap tomonga qo'shing. Lekin birinchi navbatda, daqiqalarni soatga aylantiramiz, chunki masalada tezlik daqiqada metrda emas, soatiga kilometrlarda o'lchanadi.

Daqiqalarni soatga aylantirish uchun ularni 60 ga bo'lish kerak

Daqiqalar soatni tashkil qiladi. Ushbu soatlarni tenglamaning chap tomoniga qo'shing:

Bu tenglama chiqadi . Keling, bu tenglamani yechamiz. Kasrlardan xalos bo'lish uchun qismning ikkala qismini 72 ga ko'paytirish mumkin. Bundan tashqari, ma'lum bir xil o'zgarishlardan foydalanib, biz o'zgaruvchining qiymatini topamiz. S

O'zgaruvchi orqali S biz birinchi yo'lning masofasini belgilab oldik. Endi biz ushbu o'zgaruvchining qiymatini topdik. O'zgaruvchan S 15. Demak, birinchi yo'lning masofasi 15 km.

Va ifoda orqali ikkinchi yo'lning masofasini belgiladik S+ 3 , va o'zgaruvchining qiymatidan beri S Endi biz bilamiz, biz ikkinchi yo'lning masofasini hisoblashimiz mumkin. Bu masofa 15 + 3 yig'indisiga teng, ya'ni 18 km.

Vazifa 4. Ikki mashina katta yo'lda bir xil tezlikda ketmoqda. Agar birinchisi tezlikni 10 km/soatga oshirsa, ikkinchisi tezlikni 10 km/soatga kamaytirsa, birinchisi ikkinchisi 3 soatda bir xil masofani 2 soatda bosib o'tadi.Mashinalar qanday tezlikda yuradi?

Yechim

tomonidan belgilang v har bir mashinaning tezligi. Muammoning keyingi qismida maslahatlar berilgan: birinchi avtomobilning tezligini 10 km / soat ga oshirish va ikkinchi avtomobilning tezligini 10 km / soat ga kamaytirish. Keling, ushbu maslahatdan foydalanaylik

Yana aytilishicha, bunday tezliklarda (10 km/soatga oshgan va kamaygan) birinchi avtomobil 2 soatda xuddi shunday masofani ikkinchisi 3 soatda bosib o‘tadi. ibora "ko'p" deb tushunish mumkin "Birinchi mashina bosib o'tgan masofa bo'ladi teng ikkinchi mashina bosib o'tgan masofa.

Masofa, biz eslaganimizdek, formula bilan aniqlanadi. Bizni ushbu harfiy tenglamaning o'ng tomoni qiziqtiradi - bu bizga o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamani yozishga imkon beradi v .

Shunday qilib, tezlikda v + 10 km/soat birinchi mashina o'tadi 2(v+10) km, ikkinchisi esa o'tadi 3(v − 10) km. Bu shartda avtomobillar bir xil masofalarni bosib o'tadi, shuning uchun tenglamani olish uchun bu ikki ifodani teng belgi bilan bog'lash kifoya. Keyin biz tenglamani olamiz. Keling, buni hal qilaylik:

Muammoli vaziyatda mashinalar bir xil tezlikda ketayotgani aytildi. Biz bu tezlikni o'zgaruvchi bilan belgiladik v. Endi biz ushbu o'zgaruvchining qiymatini topdik. O'zgaruvchan v 50 ga teng. Demak, ikkala mashinaning tezligi 50 km/soat edi.

Vazifa 5. 9 soat quyida kema oqimdan yuqori bo'lgan 11 soatdagi kabi masofani bosib o'tadi. Agar daryoning tezligi 2 km/soat bo'lsa, qayiqning tezligini toping.

Yechim

tomonidan belgilang v kemaning o'z tezligi. Daryo oqimining tezligi soatiga 2 km. Daryo oqimida kemaning tezligi bo'ladi v + 2 km/soat, va oqimga qarshi - (v − 2) km/soat.

Masala shartida aytilishicha, 9 soatda kema daryo bo‘ylab xuddi oqimga qarshi 11 soatda bo‘lgan masofani bosib o‘tadi. ibora "xuddi shunday" deb tushunish mumkin qayiqning daryo bo'ylab 9 soatda bosib o'tgan masofasi, teng daryo oqimiga qarshi kemaning 11 soat ichida bosib o'tgan masofasi. Ya'ni, masofalar bir xil bo'ladi.

Masofa formula bilan aniqlanadi. Keling, o'z tenglamamizni yozish uchun ushbu harfiy tenglamaning o'ng tomonidan foydalanamiz.

Shunday qilib, 9 soat ichida kema daryo bo'ylab o'tadi 9(v + 2) km, va 11 soatdan keyin - 11(v − 2) km. Ikkala ibora ham bir xil masofani tasvirlagani uchun birinchi ifodani ikkinchisiga tenglashtiramiz. Natijada, biz tenglamani olamiz. Keling, buni hal qilaylik:

Demak, kemaning tezligi 20 km/soat.

Muammolarni hal qilishda yaxshi odat unga qanday yechim izlanishini oldindan aniqlashdan iborat.

Faraz qilaylik, vazifa piyodaning ma'lum bir yo'lni bosib o'tishi uchun qancha vaqtni topishni talab qildi. Biz vaqtni o'zgaruvchi orqali belgiladik t, keyin biz ushbu o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglama tuzdik va uning qiymatini topdik.

Amaliyotdan shuni bilamizki, ob'ektning harakat vaqti ham butun sonlarni, ham kasr qiymatlarini olishi mumkin, masalan, 2 soat, 1,5 soat, 0,5 soat.Unda bu muammoning yechimi to'plamda qidirilgan deb aytishimiz mumkin. ratsional sonlar Q, chunki 2 h, 1,5 h, 0,5 h qiymatlarining har biri kasr sifatida ifodalanishi mumkin.

Shuning uchun noma’lum miqdor o‘zgaruvchi bilan belgilanganidan keyin bu miqdor qaysi to‘plamga tegishli ekanligini ko‘rsatish maqsadga muvofiqdir. Bizning misolimizda vaqt t ratsional sonlar to‘plamiga kiradi Q

t ∈ Q

Bundan tashqari, o'zgaruvchiga cheklov kiritishingiz mumkin t, faqat qabul qilishi mumkinligini bildiradi ijobiy qadriyatlar. Haqiqatan ham, agar ob'ekt yo'lda ma'lum vaqt sarflagan bo'lsa, unda bu vaqt salbiy bo'lishi mumkin emas. Shuning uchun, ifoda yonida t∈ Q uning qiymati noldan katta bo'lishi kerakligini belgilang:

t∈ R, t > 0

Agar biz tenglamani yechsak, olamiz salbiy ma'no o'zgaruvchi uchun t, keyin muammo noto'g'ri hal qilingan degan xulosaga kelish mumkin bo'ladi, chunki bu yechim shartni qoniqtirmaydi t∈ Q , t> 0 .

Yana bir misol. Agar biz ma'lum bir ishni bajarish uchun odamlar sonini topish kerak bo'lgan muammoni hal qilsak, bu raqamni o'zgaruvchi orqali belgilaymiz. x. Bunday muammoda yechim to'plamda izlanadi natural sonlar

x ∈ N

Haqiqatan ham, odamlar soni 2 kishi, 3 kishi, 5 kishi kabi butun sondir. Lekin 1,5 (bir butun odam va yarim kishi) yoki 2,3 (ikkita butun odam va yana bir kishining o'ndan uch qismi) emas.

Bu erda odamlar soni noldan katta bo'lishi kerakligini ko'rsatish mumkin, ammo natural sonlar to'plamiga kiritilgan raqamlar N o'zlari ijobiy va noldan katta. Bu to'plam yo'q manfiy raqamlar va soni 0. Shuning uchun x > 0 ifodasini o'tkazib yuborish mumkin.

Vazifa 6. Maktabni ta'mirlash uchun duradgorlarga qaraganda 2,5 baravar ko'p bo'yoqchilar bo'lgan guruh keldi. Tez orada usta yana to'rtta rassomni jamoaga kiritdi va ikkita duradgorni boshqa ob'ektga o'tkazdi. Natijada, brigadada duradgorlarga qaraganda 4 barobar ko'p bo'yoqchilar bor edi. Dastlab brigadada qancha bo‘yoqchi, qancha duradgor bo‘lgan

Yechim

tomonidan belgilang x dastlab ta'mirlash uchun kelgan duradgorlar.

Duradgorlar soni noldan katta butun son. Shuning uchun biz buni ta'kidlaymiz x natural sonlar to‘plamiga kiradi

x∈N

Duradgorlardan 2,5 barobar ko'p rassomlar bor edi. Shuning uchun, rassomlar soni sifatida belgilanadi 2,5x.

Rassomlar soni esa 4 taga ortadi

Endi duradgorlar va rassomlar soni quyidagi iboralar bilan belgilanadi:

Keling, mavjud ifodalardan tenglama tuzishga harakat qilaylik:

To'g'ri idish kattaroq, chunki jamoaga yana to'rtta rassom qo'shib, ikkita duradgorni boshqa ob'ektga o'tkazgandan so'ng, jamoadagi rassomlar soni duradgorlarga qaraganda 4 barobar ko'p bo'lib chiqdi. Tarozilarni tenglashtirish uchun siz chap idishni 4 barobar oshirishingiz kerak:

Tenglama bor. Keling, buni hal qilaylik:

O'zgaruvchi orqali x duradgorlarning dastlabki soni belgilandi. Endi biz ushbu o'zgaruvchining qiymatini topdik. O'zgaruvchan x 8 ga teng. Shunday qilib, dastlab brigadada 8 ta duradgor bo'lgan.

Va rassomlar soni 2.5 ifodasi orqali ko'rsatilgan x va o'zgaruvchining qiymatidan boshlab x endi ma'lum, keyin siz rassomlar sonini hisoblashingiz mumkin - bu 2,5 × 8, ya'ni 20 ga teng.

Biz vazifaning boshiga qaytamiz va shart bajarilganligiga ishonch hosil qilamiz x∈ N. O'zgaruvchan x 8 ga teng va natural sonlar to‘plamining elementlari N Bularning barchasi 1, 2, 3 va boshqalar bilan boshlanadigan raqamlardir. Xuddi shu to'plam biz topgan 8 raqamini o'z ichiga oladi.

8 ∈N

Rassomlarning soni haqida ham shunday deyish mumkin. 20 raqami natural sonlar to'plamiga kiradi:

20 ∈N

Muammoning mohiyatini tushunish va tenglamani to'g'ri shakllantirish uchun kosalar bilan tarozilar modelini ishlatish umuman shart emas. Siz boshqa modellardan foydalanishingiz mumkin: segmentlar, jadvallar, diagrammalar. Siz muammoning mohiyatini yaxshi tasvirlaydigan o'zingizning modelingizni topishingiz mumkin.

Vazifa 9. Konservadan 30% sut quyilgan. Natijada, unda 14 litr qoldi. Dastlab bankada necha litr sut bor edi?

Yechim

Kerakli qiymat - qutidagi litrning dastlabki soni. Litr sonini chiziq sifatida chizing va bu chiziqni X deb belgilang

Aytishlaricha, sutning 30 foizi bankadan quyilgan. Rasmda biz taxminan 30% ni tanlaymiz

Foiz, ta'rifga ko'ra, biror narsaning yuzdan bir qismidir. Agar sutning 30% to'kilgan bo'lsa, qolgan 70% qutida qoldi. Ushbu 70% muammoda ko'rsatilgan 14 litrni tashkil qiladi. Rasmda qolgan 70% ni tanlang

Endi siz tenglama tuzishingiz mumkin. Keling, raqamning foizini qanday topishni eslaylik. Buning uchun biror narsaning umumiy miqdori 100 ga bo'linadi va natija kerakli foizga ko'paytiriladi. E'tibor bering, 14 litr, ya'ni 70%, xuddi shunday tarzda olinishi mumkin: litrning dastlabki soni X 100 ga bo'ling va natijani 70 ga ko'paytiring. Bularning barchasini 14 raqamiga tenglashtiring.

Yoki oddiyroq tenglama oling: 70% ni 0,70 deb yozing, keyin X ga ko'paytiring va bu ifodani 14 ga tenglang.

Bu shuni anglatadiki, dastlab qutida 20 litr sut bor edi.

Vazifa 9. Ular ikkita oltin va kumush qotishmalarini oldilar. Birida bu metallarning nisbati 1:9, ikkinchisida esa 2:3. Oltin va kumush 1:4 nisbatda bo‘ladigan 15 kg yangi qotishma olish uchun har bir qotishmadan qancha miqdorda olish kerak?

Yechim

Keling, birinchi navbatda 15 kg yangi qotishmada qancha oltin va kumush bo'lishini aniqlashga harakat qilaylik. Vazifada aytilishicha, bu metallarning tarkibi 1: 4 nisbatda bo'lishi kerak, ya'ni oltin qotishmaning bir qismi, kumush esa to'rt qismdan iborat bo'lishi kerak. Keyin qotishmadagi qismlarning umumiy soni 1 + 4 = 5, bir qismning massasi esa 15: 5 = 3 kg bo'ladi.

15 kg qotishmada qancha oltin borligini aniqlaymiz. Buning uchun 3 kg oltinning qismlari soniga ko'paytiriladi:

3 kg × 1 = 3 kg

15 kg qotishmada qancha kumush borligini aniqlaymiz:

3 kg × 4 = 12 kg

Demak, 15 kg og'irlikdagi qotishma tarkibida 3 kg oltin va 12 kg kumush bo'ladi. Endi asl qotishmalarga qayting. Ularning har birini ishlatishingiz kerak. tomonidan belgilang x Birinchi qotishmaning massasi va ikkinchi qotishmaning massasi 15 - bilan belgilanishi mumkin. x

Masalada berilgan barcha munosabatlarni foiz sifatida ifodalaymiz va ular bilan quyidagi jadvalni to‘ldiramiz:

Birinchi qotishmada oltin va kumush 1: 9 nisbatda bo'ladi. Keyin umumiy qismlar 1 + 9 = 10 bo'ladi. Ulardan oltin bo'ladi , va kumush .

Keling, ushbu ma'lumotlarni jadvalga o'tkazamiz. Ustunning birinchi qatoriga 10% kiritiladi "qotishmadagi oltin ulushi", 90% ham ustunning birinchi qatoriga kiritiladi "qotishmadagi kumush ulushi", va oxirgi ustunda "qotishma og'irligi" o'zgaruvchini kiriting x, chunki biz birinchi qotishma massasini shunday belgiladik:

Ikkinchi qotishma bilan ham xuddi shunday qilamiz. Undagi oltin va kumush 2:3 nisbatda bo'ladi.Unda jami 2+3=5 qism bo'ladi.Bulardan oltin bo'ladi. , va kumush .

Keling, ushbu ma'lumotlarni jadvalga o'tkazamiz. Ustunning ikkinchi qatoriga 40% kiritiladi "qotishmadagi oltin ulushi", 60% ham ustunning ikkinchi qatoriga kiritiladi "qotishmadagi kumush ulushi", va oxirgi ustunda "qotishma og'irligi" 15 − ifodasini kiriting x, chunki biz ikkinchi qotishma massasini shunday belgiladik:

Keling, oxirgi qatorni to'ldiramiz. Olingan og'irligi 15 kg bo'lgan qotishma tarkibida 3 kg oltin bo'ladi, ya'ni qotishma va kumush bo'ladi qotishma. Oxirgi ustunda hosil bo'lgan qotishma massasini 15 yozamiz

Endi siz ushbu jadval yordamida tenglamalarni yozishingiz mumkin. Biz eslaymiz. Agar ikkala qotishmaning oltinini alohida qo'shsak va bu miqdorni hosil bo'lgan qotishma oltinining massasiga tenglashtirsak, qiymat nima ekanligini bilib olamiz. x.

Birinchi oltin qotishmasi 0,10 ga ega edi x, ikkinchi oltin qotishmasida esa 0,40 (15 - x). Keyin hosil bo'lgan qotishmada oltinning massasi birinchi va ikkinchi qotishmalarning oltin massalari yig'indisiga teng bo'ladi va bu massa yangi qotishmaning 20% ​​ni tashkil qiladi. Yangi qotishmaning 20% ​​esa biz ilgari hisoblagan 3 kg oltindir. Natijada biz tenglamani olamiz 0,10x+ 0.40(15 − x) = 3 . Keling, bu tenglamani yechamiz:

Dastlab orqali x biz birinchi qotishma massasini belgiladik. Endi biz ushbu o'zgaruvchining qiymatini topdik. O'zgaruvchan x 10 ga teng. Va biz ikkinchi qotishma massasini 15 − orqali belgiladik x, va o'zgaruvchining qiymatidan boshlab x endi ma'lum, keyin ikkinchi qotishma massasini hisoblashimiz mumkin, u 15 - 10 = 5 kg ga teng.

Bu shuni anglatadiki, og'irligi 15 kg bo'lgan yangi qotishma olish uchun oltin va kumush 1: 4 ga teng bo'ladi, siz 10 kg birinchi va 5 kg ikkinchi qotishma olishingiz kerak.

Tenglamani natijaviy jadvalning ikkinchi ustunidan foydalanib tuzish mumkin. Keyin biz tenglamani olamiz 0,90x+ 0.60(15 − x) = 12. Bu tenglamaning ildizi ham 10 ga teng

Vazifa 10. Mis miqdori 6% va 11% bo'lgan ikki qatlamli ruda mavjud. Mis miqdori 8% bo'lgan boy 20 tonna bilan aralashtirganda uni olish uchun qancha past navli ruda olish kerak?

Yechim

tomonidan belgilang x kambag'al ruda massasi. 20 tonna ruda olishingiz kerak bo'lganligi sababli, 20 ta boy ruda olinadi - x. Kambag'al rudadagi mis miqdori 6% bo'lganligi sababli, unda x tonna ruda 0,06 ni o'z ichiga oladi x tonna mis. Boy rudada mis miqdori 11% ni, 20-da esa - x tonna boy ruda 0,11 (20 - x) tonna mis.

Olingan 20 tonna rudada mis miqdori 8% bo'lishi kerak. Bu 20 tonna mis rudasida 20 × 0,08 = 1,6 tonna bo'lishini anglatadi.

0,06 ifodalarni qo'shing x va 0,11 (20 − x) va bu summani 1,6 ga tenglashtiring. Biz tenglamani olamiz 0,06x + 0,11(20 − x) = 1,6

Keling, bu tenglamani yechamiz:

Bu shuni anglatadiki, mis miqdori 8% bo'lgan 20 tonna ruda olish uchun siz 12 tonna kambag'al ruda olishingiz kerak. Boylar 20 − 12 = 8 tonna oladi.

11-topshiriq. O'rtacha tezlikni 250 dan 300 m/min gacha oshirgan sportchi masofani 1 daqiqa tezroq yugurishni boshladi. Masofaning uzunligi qancha?

Yechim

Masofaning uzunligi (yoki masofaning masofasi) quyidagi harf tenglamasi bilan tavsiflanishi mumkin:

Keling, o'z tenglamamizni yozish uchun ushbu tenglamaning o'ng tomonidan foydalanamiz. Dastlab sportchi masofani daqiqasiga 250 metr tezlikda bosib o‘tdi. Ushbu tezlikda masofa uzunligi 250 ifodasi bilan tavsiflanadi t

Keyin sportchi tezligini daqiqasiga 300 metrga oshirdi. Ushbu tezlikda masofa uzunligi ifoda bilan tavsiflanadi 300t

Masofaning uzunligi doimiy qiymat ekanligini unutmang. Sportchining tezlikni oshirishi yoki kamaytirishi, masofaning uzunligi o'zgarishsiz qoladi.

Bu bizga 250 ifodasini tenglashtirish imkonini beradi t 300 ifodasiga t, chunki ikkala ifoda ham bir xil masofaning uzunligini tasvirlaydi

250t = 300t

Ammo topshiriqda aytilishicha, daqiqasiga 300 metr tezlikda sportchi masofani 1 daqiqa tezroq yugura boshlagan. Boshqacha aytganda, daqiqasiga 300 metr tezlikda sayohat vaqti bir marta kamayadi. Demak, 250 tenglamada t= 300t o'ng tomonda vaqtni bittaga qisqartirish kerak:

Daqiqada 250 metr tezlikda sportchi masofani 6 daqiqada bosib o‘tadi. Tezlik va vaqtni bilib, siz masofaning uzunligini aniqlashingiz mumkin:

S= 250 × 6 = 1500 m

Va daqiqada 300 metr tezlikda sportchi masofani bosib o'tadi t− 1 , ya’ni 5 daqiqada. Yuqorida aytib o'tilganidek, masofaning uzunligi o'zgarmaydi:

S= 300 × 5 = 1500 m

12-topshiriq. Chavandoz o‘zidan 15 km oldinda kelayotgan piyodani bosib o‘tadi. Agar har soatda birinchi chavandoz 10 km, ikkinchisi esa bor-yo‘g‘i 4 km yo‘l bossa, chavandoz piyodani necha soatda yetib oladi?

Yechim

Bu vazifa. Buni yaqinlashish tezligini aniqlash va chavandoz va piyoda o'rtasidagi dastlabki masofani shu tezlikka bo'lish yo'li bilan hal qilish mumkin.

Yopish tezligi past tezlikni kattasidan ayirish yo'li bilan aniqlanadi:

10 km/soat - 4 km/soat = 6 km/soat (yaqinlashish tezligi)

Har soatda 15 kilometrlik masofa 6 kilometrga qisqaradi. Qachon butunlay pasayishini bilish uchun (chavandoz piyodani quvib yetganda) 15 ni 6 ga bo'lish kerak.

15:6 = 2,5 soat

2,5 h bu butun ikki soat va yarim soat. Va yarim soat - 30 daqiqa. Shunday qilib, chavandoz piyodani 2 soat 30 daqiqada bosib o'tadi.

Keling, bu masalani tenglama yordamida hal qilaylik.

Shundan so'ng, uning ortidan bir chavandoz soatiga 10 km tezlikda yo'lga chiqdi. Yurish tezligi esa atigi 4 km/soat. Bu shuni anglatadiki, chavandoz ma'lum vaqtdan keyin piyodani bosib o'tadi. Biz bu vaqtni topishimiz kerak.

Chavandoz piyodani quvib yetsa, bu ular bir xil masofani birga bosib o‘tganligini bildiradi. Chavandoz va piyoda bosib o'tgan masofa quyidagi tenglama bilan tavsiflanadi:

Keling, o'z tenglamamizni yozish uchun ushbu tenglamaning o'ng tomonidan foydalanamiz.

Chavandoz bosib o'tgan masofa 10 ifoda bilan tavsiflanadi t. Piyoda chavandozdan oldin yo'lga chiqib, 15 km masofani bosib o'tishga muvaffaq bo'lganligi sababli, uning bosib o'tgan masofasi 4 ifoda bilan tavsiflanadi. t + 15 .

Chavandoz piyodaga yetib borguncha, ikkalasi ham bir xil masofani bosib o‘tgan bo‘ladi. Bu bizga chavandoz va piyoda bosib o'tgan masofalarni tenglashtirishga imkon beradi:

Natijada oddiy tenglama olinadi. Keling, buni hal qilaylik:

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar

Masala 1. Yo‘lovchi poyezdi bir shahardan ikkinchi shaharga yuk poyezdidan 45 minut tezroq yetib keladi. Yo‘lovchi poyezdining tezligi 48 km/soat, yuk poyezdining tezligi esa 36 km/soat bo‘lsa, shaharlar orasidagi masofani hisoblang.

Yechim

Ushbu muammoda poezd tezligi soatiga kilometrlarda o'lchanadi. Shuning uchun biz topshiriqda ko'rsatilgan 45 daqiqani soatlarga aylantiramiz. 45 daqiqa - 0,75 soat

O'zgaruvchi orqali shaharga yuk poezdi yetib kelgan vaqtni belgilaymiz t. Yo'lovchi poyezdi ushbu shaharga 0,75 soat tezroq kelganligi sababli, uning harakatlanish vaqti ifoda bilan belgilanadi. t - 0,75

Yo‘lovchi poyezdi 48 tadan oshib o‘tdi( t - 0,75) km, va tovar 36 t km. Biz bir xil masofa haqida gapirayotganimiz uchun biz birinchi ifodani ikkinchisiga tenglashtiramiz. Natijada biz tenglamani olamiz 48(t - 0.75) = 36t . Keling, buni hal qilaylik:

Endi shaharlar orasidagi masofani hisoblaylik. Buning uchun yuk poyezdining tezligi (36 km / soat) uning harakat vaqtiga ko'paytiriladi. t. O'zgaruvchan qiymat t hozir ma'lum - bu uch soatga teng

36 × 3 = 108 km

Masofani hisoblash uchun siz yo'lovchi poezdi tezligidan ham foydalanishingiz mumkin. Ammo bu holda o'zgaruvchining qiymati

O'zgaruvchan qiymat t 1,2 ga teng. Shunday qilib, mashinalar 1,2 soatdan keyin uchrashdi.

Javob: mashinalar 1,2 soatdan keyin uchrashdi.

3-topshiriq. Zavodning uchta sexida jami 685 nafar ishchi ishlaydi. Ikkinchi tsexda birinchisiga qaraganda uch barobar ko'p, uchinchisida esa ikkinchi sexga nisbatan 15 ishchi kam. Har bir do'konda nechta ishchi bor?

Yechim

Mayli x ishchilar birinchi do'konda edi. Ikkinchi ustaxonada birinchisiga qaraganda uch baravar ko'p edi, shuning uchun ikkinchi ustaxonadagi ishchilar sonini 3 ifoda bilan belgilash mumkin. x. Uchinchi sexda ikkinchisiga qaraganda 15 nafar kam ishchi bor edi. Shuning uchun uchinchi sexdagi ishchilar sonini 3 ifoda bilan belgilash mumkin x - 15 .

Muammoda aytilishicha, jami 685 ishchi bor edi, shuning uchun biz iboralarni qo'shishimiz mumkin x, 3x, 3x - 15 va bu yig'indini 685 raqamiga tenglashtiramiz. Natijada tenglamani olamiz x + 3x + ( 3x - 15) = 685

O'zgaruvchi orqali x birinchi ustaxonadagi ishchilar soni ko'rsatilgan. Endi biz bu o'zgaruvchining qiymatini topdik, u 100 ga teng. Shunday qilib, birinchi sexda 100 ta ishchi bor edi.

Ikkinchi seminarda 3 tasi bor edi x ishchilar, ya'ni 3 × 100 = 300. Uchinchi ustaxonada esa 3 tasi bor edi x - 15, ya'ni 3 × 100 - 15 = 285

Javob: birinchi sexda 100 nafar, ikkinchisida 300 nafar, uchinchisida 285 nafar ishchi bor edi.

Vazifa 4. Bir hafta ichida ikkita ta'mirlash ustaxonasi reja bo'yicha 18 ta motorni ta'mirlashi kerak. Birinchi sexda reja 120 foizga, ikkinchisi esa 125 foizga bajarilgani bois bir hafta ichida 22 dvigatel ta’mirlandi. Har bir ustaxonada qanday haftalik dvigatelni ta'mirlash rejasi bor edi?

Yechim

Mayli x motorlar birinchi ustaxona tomonidan ta'mirlanishi kerak edi. Keyin ikkinchi ustaxonani ta'mirlash kerak edi 18 − x motorlar.

Birinchi ustaxona rejani 120 foizga bajargani uchun bu 1,2 taʼmirlanganligini bildiradi x motorlar. Ikkinchi ustaxona esa rejani 125 foizga bajardi, ya’ni 1,25 (18 −) ta’mirlandi. x) motorlar.

Vazifada aytilishicha, 22 ta motor ta’mirlangan. Shuning uchun biz iboralarni qo'shishimiz mumkin 1,2x va 1.25 (18 − x) , keyin bu summani 22 raqamiga tenglashtiramiz. Natijada, biz tenglamani olamiz 1,2x + 1,25(18− x) = 22

O'zgaruvchi orqali x birinchi ustaxona ta'mirlashi kerak bo'lgan motorlar soni ko'rsatilgan. Endi biz bu o'zgaruvchining qiymatini topdik, u 10 ga teng. Shunday qilib, birinchi ustaxonada 10 ta motorni ta'mirlash kerak edi.

Va 18 − ifodasi orqali x ikkinchi ustaxona ta'mirlashi kerak bo'lgan motorlar soni ko'rsatilgan. Shunday qilib, ikkinchi ustaxonada 18 - 10 = 8 motorni ta'mirlash kerak edi.

Javob: birinchi ustaxonada 10 ta motor, ikkinchisida esa 8 ta motor ta'mirlanishi kerak edi.

Muammo 5. Tovarlarning narxi 30% ga oshdi va hozir 91 rubl. Narx oshishidan oldin mahsulot qancha edi?

Yechim

Mayli x rubl qiymatidagi tovarlar narxi oshishidan oldin. Agar narx 30% ga oshgan bo'lsa, demak u 0,30 ga oshgan x rubl. Narxlar oshganidan keyin tovarlar 91 rublga tusha boshladi. 0,30 bilan x qo'shing x va bu summani 91 ga tenglashtiramiz. Natijada tenglamani olamiz Raqamni 10% ga kamaytirsak, 45 ga erishildi. Sonning asl qiymatini toping. x -

Javob: 12% tuz eritmasini olish uchun 1 kg 10% eritmaga 0,25 kg 20% ​​eritma qo'shishingiz kerak.

Masala 12. Tuzning suvdagi ikkita eritmasi berilgan, ularning konsentratsiyasi 20% va 30%. 25 kg 25,2% li eritma olish uchun har bir idishda necha kilogramm eritmani aralashtirish kerak?

Yechim

Mayli x kg birinchi eritmani olish kerak. 25 kg eritma tayyorlash kerak bo'lgani uchun ikkinchi eritmaning massasini 25 − x ifoda bilan belgilash mumkin.

Birinchi probirkada 0,20x kg tuz, ikkinchisida esa 0,30(25 − x) kg tuz bo‘ladi. Olingan eritmada tuz miqdori 25 × 0,252 = 6,3 kg bo'ladi. 0,20x va 0,30(25 - x) iboralarini qo'shing, so'ngra bu summani 6,3 ga tenglang. Natijada biz tenglamani olamiz

Shunday qilib, birinchi eritmani 12 kg, ikkinchisini esa 25 - 12 = 13 kg olish kerak.

Javob: birinchi yechim siz 12 kg, ikkinchisi esa 13 kg olishingiz kerak.

Dars sizga yoqdimi?
Bizning yangi Vkontakte guruhimizga qo'shiling va yangi darslar haqida bildirishnomalarni olishni boshlang

Evklid geometriyasida to'g'ri chiziqning xossalari.

Har qanday nuqta orqali o'tkaziladigan cheksiz ko'p chiziqlar mavjud.

Har qanday ikkita mos kelmaydigan nuqta orqali faqat bitta to'g'ri chiziq mavjud.

Tekislikdagi bir-biriga mos kelmaydigan ikkita chiziq yoki bitta nuqtada kesishadi yoki bo'ladi

parallel (avvalgisidan keyin).

3D maydonida uchta variant mavjud. nisbiy pozitsiya ikkita to'g'ri chiziq:

• chiziqlar kesishadi;

• to'g'ri chiziqlar parallel;

• to'g'ri chiziqlar kesishadi.

Streyt chiziq- birinchi tartibli algebraik egri chiziq: Dekart koordinata tizimida to'g'ri chiziq

tekislikda birinchi darajali tenglama (chiziqli tenglama) bilan beriladi.

Umumiy tenglama Streyt.

Ta'rif. Tekislikdagi har qanday chiziq birinchi tartibli tenglama bilan berilishi mumkin

Ah + Wu + C = 0,

va doimiy A, B bir vaqtning o'zida nolga teng emas. Bu birinchi tartibli tenglama deyiladi umumiy

to'g'ri chiziq tenglamasi. Konstantalarning qiymatlariga qarab A, B Va BILAN Quyidagi maxsus holatlar mumkin:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- chiziq koordinatadan o'tadi

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- o'qqa parallel to'g'ri chiziq Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- o'qqa parallel to'g'ri chiziq OU

. B = C = 0, A ≠ 0- chiziq o'qga to'g'ri keladi OU

. A = C = 0, B ≠ 0- chiziq o'qga to'g'ri keladi Oh

To'g'ri chiziq tenglamasi har qanday berilganga qarab turli ko'rinishlarda ifodalanishi mumkin

boshlang'ich sharoitlar.

To'g'ri chiziqning nuqta va normal vektor bilan tenglamasi.

Ta'rif. Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimida komponentlar (A, B) bo'lgan vektor.

chiziqqa perpendikulyar tenglama bilan berilgan

Ah + Wu + C = 0.

Misol. Nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping A(1, 2) vektorga perpendikulyar (3, -1).

Yechim. Keling, A \u003d 3 va B \u003d -1 da to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz: 3x - y + C \u003d 0. C koeffitsientini topish uchun

berilgan A nuqtaning koordinatalarini hosil bo‘lgan ifodaga almashtiramiz: 3 - 2 + C = 0 bo‘ladi, demak.

C = -1. Jami: kerakli tenglama: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi.

Kosmosda ikkita nuqta berilgan bo'lsin M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Va M2 (x 2, y 2, z 2), Keyin to'g'ri chiziq tenglamasi,

Ushbu nuqtalardan o'tish:

Agar maxrajlardan birortasi nolga teng bo'lsa, mos keladigan numerator nolga teng bo'lishi kerak. Yoniq

tekislikda, yuqorida yozilgan to'g'ri chiziq tenglamasi soddalashtirilgan:

Agar x 1 ≠ x 2 Va x = x 1, Agar x 1 = x 2 .

Fraksiya = k chaqirdi qiyalik omili Streyt.

Misol. A(1, 2) va B(3, 4) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.

Yechim. Yuqoridagi formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

To'g'ri chiziqning nuqta va qiyalik bo'yicha tenglamasi.

Agar to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi Ah + Wu + C = 0 shaklga keltiring:

va belgilang , keyin hosil bo'lgan tenglama chaqiriladi

qiyaligi k bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi.

Nuqtadagi to'g'ri chiziq tenglamasi va yo'naltiruvchi vektor.

Oddiy vektor orqali to'g'ri chiziq tenglamasini ko'rib chiqadigan nuqtaga o'xshatib, siz vazifani kiritishingiz mumkin

nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziq va to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori.

Ta'rif. Har bir nolga teng bo'lmagan vektor (a 1 , a 2), uning tarkibiy qismlari shartni qanoatlantiradi

Aa 1 + Ba 2 = 0 chaqirdi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori.

Ah + Wu + C = 0.

Misol. Yo‘nalish vektori (1, -1) bo‘lgan va A(1, 2) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.

Yechim. Biz kerakli to'g'ri chiziq tenglamasini quyidagi shaklda qidiramiz: Ax + By + C = 0. Ta'rifga ko'ra,

koeffitsientlar quyidagi shartlarga javob berishi kerak:

1 * A + (-1) * B = 0, ya'ni. A = B.

Keyin to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: Ax + Ay + C = 0, yoki x + y + C / A = 0.

da x=1, y=2 olamiz C/ A = -3, ya'ni. kerakli tenglama:

x + y - 3 = 0

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi.

Agar to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasida Ah + Wu + C = 0 C≠0 bo'lsa, -C ga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz:

yoki , qayerda

geometrik ma'no koeffitsientlar, bunda a koeffitsienti kesishish nuqtasining koordinatasi hisoblanadi

o'q bilan to'g'ri Oh, A b- chiziqning o'q bilan kesishish nuqtasining koordinatasi OU.

Misol. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan x - y + 1 = 0. Ushbu to'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasini toping.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

normal tenglama Streyt.

Agar tenglamaning ikkala tomoni bo'lsa Ah + Wu + C = 0 raqamga bo'linadi , deb ataladi

normallashtiruvchi omil, keyin olamiz

xcosph + ysinph - p = 0 -to'g'ri chiziqning normal tenglamasi.

Normallashtiruvchi omilning ± belgisi shunday tanlanishi kerak m * C< 0.

R- boshdan chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi;

A φ - o'qning musbat yo'nalishi bilan bu perpendikulyar tomonidan hosil qilingan burchak Oh.

Misol. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan 12x - 5y - 65 = 0. Yozish talab qilinadi Har xil turlar tenglamalar

bu to'g'ri chiziq.

Ushbu to'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi:

Bu chiziqning qiyalik bilan tenglamasi: (5 ga bo'linadi)

To'g'ri chiziq tenglamasi:

cos ph = 12/13; sin ph= -5/13; p=5.

Shuni ta'kidlash kerakki, har bir to'g'ri chiziqni segmentlarda tenglama bilan ifodalash mumkin emas, masalan, to'g'ri chiziqlar,

o'qlarga parallel yoki boshlang'ichdan o'tuvchi.

Tekislikdagi chiziqlar orasidagi burchak.

Ta'rif. Ikki qator berilgan bo'lsa y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, Bu o'tkir burchak bu chiziqlar orasida

sifatida belgilanadi

Ikki chiziq parallel bo'lsa k 1 = k 2. Ikki chiziq perpendikulyar

Agar k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

To'g'ridan-to'g'ri Ah + Wu + C = 0 Va A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 koeffitsientlar proportsional bo'lganda parallel bo'ladi

A 1 \u003d lA, B 1 \u003d lB. Agar ham S 1 \u003d l, keyin chiziqlar mos keladi. Ikki chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari

bu chiziqlar tenglamalar sistemasi yechimi sifatida topiladi.

Berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi berilgan chiziqqa perpendikulyar.

Ta'rif. Nuqtadan o'tuvchi chiziq M 1 (x 1, y 1) va chiziqqa perpendikulyar y = kx + b

tenglama bilan ifodalanadi:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.

Teorema. Agar ball berilsa M(x 0, y 0), keyin chiziqgacha bo'lgan masofa Ah + Wu + C = 0 quyidagicha aniqlanadi:

Isbot. Nuqtaga ruxsat bering M 1 (x 1, y 1)- nuqtadan tushgan perpendikulyar asosi M berilgan uchun

bevosita. Keyin nuqtalar orasidagi masofa M Va M 1:

(1)

Koordinatalar x 1 Va 1 tenglamalar sistemasiga yechim sifatida topish mumkin:

Tizimning ikkinchi tenglamasi orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasi berilgan nuqta M 0 perpendikulyar

berilgan qator. Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0,

keyin hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:

Teorema isbotlangan.

Keling, kimyoviy tenglamani qanday yozish haqida gapiraylik, chunki ular ushbu fanning asosiy elementlari hisoblanadi. O'zaro ta'sirlar va moddalarning barcha shakllarini chuqur bilish tufayli siz ularni boshqarishingiz, ularni qo'llashingiz mumkin. turli sohalar tadbirlar.

Nazariy xususiyatlar

Kimyoviy tenglamalarni tuzish sakkizinchi sinfda ko'rib chiqiladigan muhim va hal qiluvchi bosqichdir umumta'lim maktablari. Ushbu bosqichdan oldin nima bo'lishi kerak? O'qituvchi o'z o'quvchilariga kimyoviy tenglamani qanday yozishni aytib berishdan oldin, maktab o'quvchilarini "valentlik" atamasi bilan tanishtirish, ularni elementlarning davriy jadvalidan foydalangan holda metallar va metall bo'lmaganlar uchun ushbu qiymatni aniqlashga o'rgatish muhimdir.

Ikkilik formulalarni valentlik bo'yicha tuzish

Kimyoviy tenglamani valentlik nuqtai nazaridan yozishni tushunish uchun, avvalo, valentlik yordamida ikki elementdan iborat birikmalarni shakllantirishni o'rganishingiz kerak. Biz vazifani engishga yordam beradigan algoritmni taklif qilamiz. Misol uchun, natriy oksidi uchun formulani yozishingiz kerak.

Birinchidan, nomda oxirgi eslatib o'tilgan kimyoviy element formulada birinchi o'rinda bo'lishi kerakligini hisobga olish kerak. Bizning holatda, formulada birinchi navbatda natriy, ikkinchisida kislorod yoziladi. Eslatib o'tamiz, ikkilik birikmalar oksidlar deb ataladi, ularda oxirgi (ikkinchi) element -2 (valentlik 2) oksidlanish darajasi bo'lgan kislorod bo'lishi kerak. Bundan tashqari, davriy jadvalga ko'ra, ikkita elementning har birining valentligini aniqlash kerak. Buning uchun biz ma'lum qoidalardan foydalanamiz.

Natriy 1-guruhning asosiy kichik guruhida joylashgan metall bo'lgani uchun uning valentligi doimiy qiymat bo'lib, u I ga teng.

Kislorod metall emas, chunki u oksidda oxirgi bo'lib, uning valentligini aniqlash uchun sakkiztadan (guruhlar soni) (kislorod joylashgan guruh) 6 ni ayirib, kislorodning valentligi II ekanligini olamiz.

Muayyan valentliklar orasida biz eng kichik umumiy ko'paytmani topamiz, so'ngra uni elementlarning har birining valentligiga ajratamiz, ularning indekslarini olamiz. Tayyor Na 2 O formulasini yozamiz.

Tenglama tuzish bo'yicha ko'rsatmalar

Endi kimyoviy tenglamani qanday yozish haqida ko'proq gaplashamiz. Birinchidan, nazariy fikrlarni ko'rib chiqamiz, keyin aniq misollarga o'tamiz. Shunday qilib, kimyoviy tenglamalarni tuzish ma'lum bir protsedurani o'z ichiga oladi.

• 1-bosqich. Taklif etilgan vazifani o'qib bo'lgach, qaysi birini aniqlash kerak kimyoviy moddalar tenglamaning chap tomonida paydo bo'lishi kerak. Asl komponentlar orasiga "+" belgisi qo'yiladi.
• 2-bosqich. Teng belgidan keyin reaksiya mahsuloti formulasini tuzish kerak. Bunday harakatlarni amalga oshirishda biz yuqorida muhokama qilgan ikkilik birikmalar uchun formulalarni tuzish algoritmi talab qilinadi.
• 3-bosqich. Har bir elementning atomlar sonini oldin va keyin tekshirish kimyoviy o'zaro ta'sir, agar kerak bo'lsa, formulalar oldiga qo'shimcha koeffitsientlarni qo'ying.

Yonish reaktsiyasiga misol

Keling, algoritm yordamida magniyning yonishi uchun kimyoviy tenglamani qanday tuzishni aniqlashga harakat qilaylik. Tenglamaning chap tomonida biz magniy va kislorod yig'indisi orqali yozamiz. Kislorod ikki atomli molekula ekanligini unutmang, shuning uchun u 2 indeksga ega bo'lishi kerak. Teng belgidan keyin reaktsiyadan keyin olingan mahsulot uchun formulani tuzamiz. Ularda magniy birinchi bo'lib yoziladi va biz kislorodni formulada ikkinchi o'ringa qo'yamiz. Jadvaldan pastga kimyoviy elementlar valentligini aniqlang. 2-guruhda (asosiy kichik guruh) joylashgan magniy doimiy II valentlikka ega, kislorod uchun 8 - 6 ni ayirib, II valentlikni ham olamiz.

Jarayon yozuvi quyidagicha bo'ladi: Mg+O 2 =MgO.

Tenglama moddalar massasining saqlanish qonuniga mos kelishi uchun koeffitsientlarni tartibga solish kerak. Birinchidan, reaktsiyadan oldin, jarayon tugagandan so'ng kislorod miqdorini tekshiramiz. 2 ta kislorod atomi bor edi va faqat bittasi hosil bo'lganligi sababli, o'ng tomonda, magniy oksidi formulasidan oldin, siz 2 faktorni qo'shishingiz kerak. Keyinchalik, jarayondan oldin va keyin magniy atomlari sonini hisoblaymiz. O'zaro ta'sir natijasida 2 magniy olingan, shuning uchun old tomonda chap tomonda oddiy modda magniyga ham 2 faktor kerak.

Reaksiyaning yakuniy shakli: 2Mg + O 2 \u003d 2MgO.

Almashtirish reaksiyasiga misol

Kimyodagi har qanday referat tavsifni o'z ichiga oladi har xil turlari o'zaro ta'sirlar.

Murakkabdan farqli o'laroq, almashtirish tenglamaning chap va o'ng tomonida ikkita moddaga ega bo'ladi. Aytaylik, siz sink o'rtasidagi o'zaro ta'sir reaktsiyasini yozishingiz kerak va biz standart yozish algoritmidan foydalanamiz. Birinchidan, chap tomonda biz sink va xlorid kislotasini yig'indisi orqali yozamiz, o'ng tomonda hosil bo'lgan reaktsiya mahsulotlarining formulalarini tuzamiz. dan beri elektrokimyoviy qator metallarning kuchlanishlari, rux vodoroddan oldin, ichida joylashgan bu jarayon u kislotadan molekulyar vodorodni siqib chiqaradi, sink xlorid hosil qiladi. Natijada quyidagi yozuvni olamiz: Zn+HCL=ZnCl 2 +H 2.

Endi biz har bir elementning atomlari sonini tenglashtirishga murojaat qilamiz. Xlorning chap tomonida bitta atom bo'lgani uchun va o'zaro ta'sirdan keyin formuladan oldin ikkitasi bor edi. xlorid kislotasi 2 koeffitsientini belgilashingiz kerak.

Natijada, moddalar massasining saqlanish qonuniga mos keladigan tayyor reaksiya tenglamasini olamiz: Zn + 2HCL = ZnCl 2 + H 2.

Xulosa

Oddiy kimyo konspekti, albatta, bir nechta kimyoviy transformatsiyalarni o'z ichiga oladi. Ushbu fanning biron bir bo'limi o'zgarishlarning oddiy og'zaki tavsifi, erishi, bug'lanish jarayonlari bilan cheklanmaydi, hamma narsa tenglamalar bilan tasdiqlanishi shart. Kimyoning o'ziga xosligi shundaki, barcha jarayonlar bilan turli noorganik yoki o'rtasida sodir bo'ladi organik moddalar, koeffitsientlar, indekslar yordamida tavsiflanishi mumkin.

Kimyo boshqa fanlardan nimasi bilan farq qiladi? Kimyoviy tenglamalar nafaqat davom etayotgan o'zgarishlarni tavsiflashga, balki ular bo'yicha miqdoriy hisob-kitoblarni amalga oshirishga yordam beradi, buning natijasida laboratoriya va laboratoriya ishlarini bajarish mumkin. sanoat ishlab chiqarish turli moddalar.